18년 1회차

평면벽 전도 열흐름은 열전도도에 비례하고 두께에 반비례하므로, k가 4배·x가 2배가 되면 열흐름 속도는 2Q가 된다.

1차원 정상상태 전도(푸리에 법칙): $Q=\dfrac{kA\,\Delta T}{x}$

변경 후: $Q'=\dfrac{(4k)A\,\Delta T}{2x}=2\cdot\dfrac{kA\,\Delta T}{x}=2Q$

열전도도 증가 효과(4배)가 두께 증가에 따른 저항 증가 효과(2배)보다 크므로 열흐름은 2배로 증가하며, Q/2·Q·4Q는 비례 관계를 잘못 적용한 값이다.

피스톤 양쪽에서 교대로 액체를 끌어들이는 방식은 복동식 왕복펌프의 특징이므로 회전펌프에 대한 설명으로 옳지 않다.

회전펌프(기어펌프·베인펌프·스크루펌프 등)는 회전자가 케이싱 안에서 돌면서 일정 체적의 액체를 밀어내는 용적식 펌프로, 피스톤이나 밸브가 없다.

• 운전 속도가 한정되어 있다는 설명은 옳다. 운동부와 고정부의 간극이 작아 고속 운전이 제한된다.
• 운동 부분과 고정 부분이 밀착되어 있다는 설명은 옳다. 밀착된 간극으로 역류를 막는다.
• 배출 공간에서 흡입 공간으로 역류가 적다는 설명은 옳다. 용적식이므로 체크밸브 없이도 역류가 적고 토출량이 거의 일정하다.

마찰 손실이 없는 개방 탱크의 배출 속도는 토리첼리 정리에 따라 $\sqrt{2gh}$이다.

수면(점 1)과 배출구(점 2)에 베르누이식을 적용하면 두 점 모두 대기압이고 수면 속도는 0으로 볼 수 있다: $gh=\dfrac{v^{2}}{2}$

따라서 $v=\sqrt{2gh}$로, 높이 h의 위치에너지가 모두 운동에너지로 바뀐 결과다. gh·2gh는 속도의 제곱 차원이고 $\sqrt{gh}$는 계수 2가 빠진 값이다.

기체 확산계수는 압력에 반비례하고 온도가 높을수록·분자량이 작을수록 커지므로, 옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

기체 운동론과 Chapman–Enskog 식에 따르면 2성분 기체 확산계수는 대략 $D_{AB}\propto\dfrac{T^{3/2}}{P}\sqrt{\dfrac{1}{M_{A}}+\dfrac{1}{M_{B}}}$의 경향을 따른다.

• 온도가 일정할 때 압력이 높아지면 확산계수가 커진다는 설명(ㄱ)은 옳지 않다. 압력이 높아지면 분자 수밀도가 커져 평균자유행로가 짧아지므로 확산계수는 압력에 반비례해 작아진다.
• 분자량이 크면 확산계수가 작아진다는 설명(ㄴ)은 옳다. 무거운 분자는 평균 분자속도가 작아 확산이 느리다.
• 압력이 일정할 때 온도가 높아지면 확산계수가 커진다는 설명(ㄷ)은 옳다. 온도 상승으로 분자속도가 커져 $T^{3/2}$ 정도로 증가한다.

대류 열흐름 $q=hA\,\Delta T$를 키우려면 전열 면적 A를 늘리는 핀(fin) 등 확장표면을 설치하는 것이 옳다.

대류 열전달 속도는 대류 열전달계수 h, 전열 면적 A, 온도차 ΔT에 각각 비례하므로 이 세 가지 중 하나라도 키우면 열흐름이 증가한다.

• 유체의 흐름 속도를 낮추면 레이놀즈수가 작아져 대류 열전달계수 h가 감소하므로 열흐름이 줄어든다.
• 열저항이 큰 평판을 올려놓으면 직렬 열저항이 추가되어 열흐름이 줄어든다.
• 유체와 표면의 온도 차이를 줄이면 구동력 ΔT가 작아져 열흐름이 줄어든다.

A의 질량유속은 질량농도와 부피유속의 곱이며 시간 단위를 시간(h)으로 바꾸면 $7{,}200\,nM_A/V$ g/h가 된다.

A의 질량농도: $\dfrac{nM_A}{V}\ \mathrm{g\,L^{-1}}$

부피유속 환산: $120\ \mathrm{L\,min^{-1}}\times 60\ \mathrm{min\,h^{-1}}=7{,}200\ \mathrm{L\,h^{-1}}$

질량유속: $\dfrac{nM_A}{V}\times 7{,}200=\dfrac{7{,}200\,nM_A}{V}\ \mathrm{g\,h^{-1}}$. 120이 붙은 값은 분 단위를 시간으로 환산하지 않은 것이고, V로 나누지 않은 값은 농도가 아닌 전체 몰수를 그대로 곱한 오류다.

피토관 압력차로 구한 공기 유속은 16 m/s이다.

피토관에서 정체압과 정압의 차이는 동압과 같다: $\Delta P=\dfrac{\rho v^{2}}{2}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{2\times 128}{1}}=\sqrt{256}=16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

피토관 압력차는 동압에 해당하므로 유속은 압력차의 제곱근에 비례한다.

최소 유동화 속도는 입자 크기에 크게 의존하므로, 입자의 크기에 영향을 받지 않는다는 설명이 옳지 않다.

최소 유동화 조건은 층의 압력 강하가 입자층의 부력 보정 무게와 같아지는 점으로, 에르군(Ergun) 식에서 보듯 $u_{mf}$는 입자 지름 $d_p$, 입자와 유체의 밀도차, 유체 점도, 공극률에 의해 결정된다. 입자가 클수록 $u_{mf}$는 커진다.

• 유동화된 층의 압력 강하가 유체 속도가 빨라져도 일정하다는 설명은 옳다. 유동화 후 압력 강하는 층의 단위 면적당 무게로 고정된다.
• 유동화된 층의 높이가 유체 속도에 따라 증가한다는 설명은 옳다. 속도가 커질수록 층이 팽창해 공극률이 커진다.
• 최소 유동화 속도가 입자의 밀도에 영향을 받는다는 설명은 옳다. 입자와 유체의 밀도차가 클수록 $u_{mf}$가 커진다.

비정상상태 전도에서 중심 온도가 가장 빨리 오르는 것은 열확산계수가 가장 큰 경우이므로, 열전도도 5 W/m·K에 비열 500 J/kg·K인 평판이다.

그림처럼 두께 2s인 평판의 양 표면을 $T_{S}$로 유지하면 내부 온도분포가 포물선형으로 변하며 중심 $T_{c}$가 서서히 올라간다. 이 과정의 속도를 지배하는 물성은 열확산계수 $\alpha=\dfrac{k}{\rho c_{p}}$이며, 무차원 시간 $\dfrac{\alpha t}{s^{2}}$가 같을 때 같은 중심 온도에 도달한다.

밀도가 일정하므로 $\alpha$는 k에 비례하고 $c_{p}$에 반비례한다. 따라서 k가 크고 $c_{p}$가 작은 조합이 가장 빠르다: $\dfrac{5}{500}=0.01>\dfrac{5}{1{,}000}=0.005>\dfrac{1}{500}=0.002>\dfrac{1}{1{,}000}=0.001$

열전도도가 크면 열이 빨리 전달되고 비열이 작으면 같은 열량으로 온도가 더 많이 오르므로, 열전도도 1 W/m·K인 두 조합과 비열 1,000 J/kg·K인 조합은 모두 더 느리다.

원소 분석으로 구한 실험식은 $\mathrm{C_7H_{12}N_4O_3}$이고 그 식량이 200이므로, 가능한 분자량은 200 g/mol이다.

O의 질량 분율: $1-(0.42+0.06+0.28)=0.24$

100 g 기준 몰수: $\mathrm{C}=\dfrac{42}{12}=3.5,\ \mathrm{H}=\dfrac{6}{1}=6,\ \mathrm{N}=\dfrac{28}{14}=2,\ \mathrm{O}=\dfrac{24}{16}=1.5$
최소값 1.5로 나누고 정수비로 만들면 C : H : N : O = 7 : 12 : 4 : 3

실험식량: $7\times 12+12\times 1+4\times 14+3\times 16=84+12+56+48=200$. 분자량은 실험식량의 정수배여야 하므로 250·300·350은 불가능하다.

비압축성 정상 흐름에서 부피유속이 일정하므로 직경이 2배인 관에서 평균속도는 단면적비의 역수인 v/4가 된다.

연속식: $A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}$, 원형관 단면적은 직경의 제곱에 비례한다.

$v_{2}=v\left(\dfrac{D_{1}}{D_{2}}\right)^{2}=v\left(\dfrac{4}{8}\right)^{2}=\dfrac{v}{4}$

v/2는 직경비를 제곱하지 않은 값이고, v/8은 세제곱(부피비)으로 잘못 계산한 값이며, v는 단면 변화를 무시한 값이다.

필터로 덮인 판(여과판)과 틀 사이에 슬러리를 가압 주입해 케이크와 여액으로 나누는 비연속(회분식) 가압 여과기는 여과 프레스(filter press)다.

여과 프레스는 여과포를 씌운 판과 틀을 교대로 겹쳐 압착한 뒤 슬러리를 펌프로 압입하며, 케이크가 차면 운전을 멈추고 판을 열어 배출하므로 회분식으로 운전된다.

• 수평 벨트 여과기는 진공 흡인으로 벨트 위 슬러리를 여과하는 연속식 장치다.
• 원심 여과기는 원심력을 구동력으로 사용하며 판 사이에 가압 주입하는 방식이 아니다.
• 회전 드럼 여과기는 드럼 내부 진공으로 여과하는 대표적 연속식 진공 여과기다.

원형관 층류에서는 중심 최대속도가 평균속도의 2배이므로 중심 유속은 0.8 m/s다.

평균속도: $\bar{v}=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.04}{0.1}=0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

완전발달 층류의 속도분포는 포물선형(Hagen–Poiseuille)이며 $v_{max}=2\bar{v}$이므로 $v_{max}=2\times 0.4=0.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

0.4는 평균속도를 그대로 쓴 값이고, 0.2·1.6은 비율을 거꾸로 적용하거나 두 번 곱한 값이다.

구형도는 같은 부피를 가진 구의 표면적을 실제 입자 표면적으로 나눈 값으로, 약 0.9다.

상당지름 1.5 mm인 구의 표면적: $\pi d^{2}=\pi\times 1.5^{2}=2.25\pi\approx 7.07\ \mathrm{mm^{2}}$

구형도: $\Phi=\dfrac{7.07}{8}\approx 0.88\approx 0.9$

검산: 지름 1.5 mm 구의 부피는 $\dfrac{\pi}{6}\times 1.5^{3}\approx 1.77\ \mathrm{mm^{3}}$로 주어진 부피 1.8 ㎣과 일치한다. 구형도는 구에 가까울수록 1에 접근하며, 같은 부피에서 구의 표면적이 가장 작으므로 항상 1 이하이다.

Michaelis–Menten형 속도식에서 $C_{A}\ll M$이면 분모가 M으로 근사되어 반응속도는 $C_{A}$에 비례(1차)한다는 설명이 옳다.

속도식 $-r_{A}=\dfrac{kC_{A}C_{E_{0}}}{M+C_{A}}$에서 분모의 두 항 중 어느 쪽이 지배하느냐에 따라 겉보기 반응차수가 달라진다.

$C_{A}\ll M$: $-r_{A}\approx\dfrac{kC_{E_{0}}}{M}C_{A}\propto C_{A}$ (1차)
$C_{A}\gg M$: $-r_{A}\approx kC_{E_{0}}$ (0차, $C_{A}$와 무관)

• $C_{A}\ll M$일 때 속도가 $C_{A}$에 반비례한다는 설명은 옳지 않다. 저농도에서는 1차 거동이다.
• $C_{A}\gg M$일 때 속도가 $C_{A}$에 반비례한다는 설명은 옳지 않다. 고농도에서는 효소가 포화되어 속도가 일정해진다.
• $C_{A}\gg M$일 때 속도가 $C_{A}$에 비례한다는 설명은 옳지 않다. 분모가 $C_{A}$로 근사되어 $C_{A}$가 약분되므로 0차다.

향류 열교환기의 대수평균 온도차(LMTD)는 20 °C이므로 단위 면적당 열흐름 속도는 12,000 W/$m^{2}$다.

향류에서 양 끝의 온도차: 알코올 입구(60 °C)–물 출구(32 °C)에서 $\Delta T_{1}=28$, 알코올 출구(30 °C)–물 입구(16 °C)에서 $\Delta T_{2}=14$

$\Delta T_{lm}=\dfrac{28-14}{\ln(28/14)}=\dfrac{14}{\ln 2}=\dfrac{14}{0.7}=20$

$\dfrac{q}{A}=U\,\Delta T_{lm}=600\times 20=12{,}000\ \mathrm{W\,m^{-2}}$. 양 끝 온도차의 비가 2이므로 산술평균(21 °C)이 아니라 대수평균 온도차를 써야 한다.

라울의 법칙으로 두 성분의 분압을 같게 놓으면 액상 헥세인 몰분율은 1/3이다.

라울의 법칙: $y_{i}P=x_{i}P_{i}^{sat}$. 기상 몰분율이 둘 다 0.5이므로 두 성분의 분압이 같다: $x_{hex}\times 2=(1-x_{hex})\times 1$

$2x_{hex}=1-x_{hex}\ \Rightarrow\ x_{hex}=\dfrac{1}{3}$

증기압이 큰 헥세인은 기상에 농축되므로 액상 몰분율은 기상(0.5)보다 작아야 하며, 1/2·2/3은 이 방향과 맞지 않는다. 전압은 $P=\dfrac{2\times 1/3}{0.5}=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{bar}$로 확인된다.

이중경막론에서 기상·액상 플럭스가 같다는 조건과 계면 평형식을 연립하면 계면 조성은 (0.16, 0.08)이다.

정상상태 플럭스 등식: $N_{A}=k_{y}a\,(y-y_{i})=k_{x}a\,(x_{i}-x)$, $k_{x}a=2k_{y}a$이므로 $y-y_{i}=2(x_{i}-x)$

계면 평형 $y_{i}=0.5x_{i}$를 대입: $0.2-0.5x_{i}=2x_{i}-0.2\ \Rightarrow\ 2.5x_{i}=0.4\ \Rightarrow\ x_{i}=0.16,\ y_{i}=0.08$

검산: 기상 측 $0.2-0.08=0.12$, 액상 측 $2\times(0.16-0.1)=0.12$로 일치한다. 나머지 조성은 모두 $y_{i}=0.5x_{i}$는 만족하지만 플럭스 등식을 만족하지 않는다.

질량 조성을 몰수로 바꾸면 A와 B의 몰수가 같아지므로 평균 분자량은 25 g/mol이다.

혼합물 100 g 기준: $n_{A}=\dfrac{80}{40}=2\ \mathrm{mol},\quad n_{B}=\dfrac{20}{10}=2\ \mathrm{mol}$

평균 분자량: $\bar{M}=\dfrac{100\ \mathrm{g}}{4\ \mathrm{mol}}=25\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$

몰분율이 각각 0.5이므로 $0.5\times 40+0.5\times 10=25$로도 확인된다. 질량분율을 몰분율처럼 가중평균하면 $0.8\times 40+0.2\times 10=34$가 되어 틀린다.

A 1몰이 B 1몰로 바뀌는 등몰 역방향 확산이고 촉매 표면에서 A 농도가 0이므로 A의 몰플럭스는 $\dfrac{D_{AB}C_{A_{0}}}{\delta}$다.

그림의 정체기체막에서 A는 지점 1에서 지점 2로, 생성된 B는 지점 2에서 지점 1로 확산하며 $N_{A}=-N_{B}$이므로 벌크 흐름 항이 상쇄되어 플럭스는 Fick 법칙만으로 표현된다: $N_{A}=-D_{AB}\dfrac{dC_{A}}{dx}$

순간반응이므로 촉매 표면($x=\delta$)에서 $C_{A}=0$, 지점 1($x=0$)에서 $C_{A}=C_{A_{0}}$. 정상상태에서 농도분포는 직선이므로 $N_{A}=D_{AB}\dfrac{C_{A_{0}}-0}{\delta}=\dfrac{D_{AB}C_{A_{0}}}{\delta}$

분모에 2δ가 있는 식은 막 두께를 2배로 잘못 잡은 것이고, 계수 3/2이나 2가 붙은 식은 등몰 역방향 확산에서 상쇄되는 벌크 흐름 항을 잘못 더한 값이다.