09년 1회차

단상 전파정류된 파형의 평균값은 정현파 진폭(최댓값)에 대해 $V_{avg} = \dfrac{2V_m}{\pi}$의 관계를 갖는다.

진폭 $V_m = 12\ \mathrm{V}$를 대입하면 $V_{avg} = \dfrac{2 \times 12}{\pi} \approx 7.64\ \mathrm{V}$이다.

전달함수는 $-\dfrac{R_{1}}{R}\cdot\dfrac{s}{s+\dfrac{1}{RC}}$ 이다.

그림은 입력 $V_{i}$ 쪽에서 C와 R이 직렬로 반전(−) 입력단에 들어가고, 반전 입력단과 출력 사이에 $R_{1}$ 이 궤환되며 비반전(+) 입력단은 접지된 반전증폭기다.

반전증폭기의 이득은 $\dfrac{V_{o}}{V_{i}}=-\dfrac{Z_{f}}{Z_{1}}$ 이고,
여기서 $Z_{1}=R+\dfrac{1}{sC}=\dfrac{sRC+1}{sC}$, $Z_{f}=R_{1}$ 이다.

대입하면 $\dfrac{V_{o}}{V_{i}}=-\dfrac{R_{1}sC}{sRC+1}$ 이고, 분자·분모를 $RC$ 로 나누어 정리하면 $-\dfrac{R_{1}}{R}\cdot\dfrac{s}{s+\dfrac{1}{RC}}$ 가 된다. 분자에 s가 남는 고역통과(미분형) 특성이므로, 부호가 +인 형태나 $\dfrac{1}{RCs}$ 만 남는 적분형과는 다르다.

트랜지스터 증폭회로의 안정도지수(S)는 값이 작을수록 온도 변화 등에 대한 안정도가 좋다는 것을 의미하며, 이론적으로 가질 수 있는 최솟값은 $S=1$이다.

따라서 보기 중 $S=1$인 경우가 가장 안정도가 좋은 상태에 해당한다.

출력 $V_{o}$ 의 파형은 삼각파가 된다.

그림의 회로는 R을 직렬로 넣고 C 양단에서 출력을 뽑는 적분형(저역통과) RC 회로이고, 입력은 0과 V 사이를 오가는 주기 T의 구형파다.

시정수가 주기보다 훨씬 크면($RC \gg T$) 콘덴서 전압이 목표값에 도달하기 훨씬 전에 입력이 반전되므로 충·방전 지수곡선의 초기 직선 구간만 사용하게 된다. 입력이 V인 동안에는 거의 일정한 기울기로 상승하고, 0인 동안에는 같은 기울기로 하강한다.

그 결과 파형은 모서리가 둥근 구간 없이 직선으로 오르내리는 삼각파가 된다. 시정수가 주기와 비슷하면 지수적으로 휘어진 곡선이 되고, 뾰족한 첨두 펄스는 $RC \ll T$ 인 미분형(고역통과) 회로에서 나타난다.

이미터 폴로어(CC, 컬렉터 접지) 회로는 입력저항이 높고 출력저항이 낮으며, 입력과 출력의 위상이 같은 특성을 갖는다.

다만 전압증폭도는 항상 1보다 작으며 1에 가깝게 접근할 뿐 1을 넘지 않으므로, 증폭도가 1 이상이라는 설명은 옳지 않다.

이 회로는 비반전 증폭기이다. 입력전압이 (+)단자에 인가되고, 출력에서 nR과 R로 분압하여 (-)단자로 궤환하는 구조이므로 전압이득은 $A_v = 1 + \dfrac{nR}{R} = 1+n$이 된다. 따라서 전압이득은 n+1이다.

전가산기(full adder)는 두 입력 비트뿐 아니라 아랫자리에서 올라온 자리올림(carry-in)까지 더해 2진수 덧셈을 완전하게 수행하는 회로이다.

자리올림을 고려하지 않는 것은 반가산기(half adder)이므로, 자리올림을 포함해 완전한 덧셈을 수행한다는 설명이 전가산기의 정의에 해당한다.

제너 다이오드는 역방향 항복(제너 항복) 영역에서 전압이 거의 일정하게 유지되는 특성을 이용해 정전압회로에 널리 사용된다.

에사키 다이오드와 터널 다이오드는 부성저항 특성을 이용한 발진·스위칭용, 바렉터 다이오드는 가변용량 특성을 이용한 동조회로용으로 정전압 용도와는 다르다.

직류를 교류로 변환하는 장치는 인버터(Inverter)이다.

정류기는 반대로 교류를 직류로 바꾸는 장치이고, 컨버터는 일반적으로 교류-직류 변환기를, 변압기는 교류 전압의 크기만 바꾸는 장치이므로 직류-교류 변환과는 다르다.

dB로 표시된 전압증폭도는 직렬 연결 시 그대로 더해진다. $20\ \mathrm{dB} + 40\ \mathrm{dB} = 60\ \mathrm{dB}$

전압증폭도 $A$와 dB의 관계는 $20\log_{10}A = 60$이므로 $A = 10^{3} = 1000$이다.

시프트 레지스터의 출력을 다시 입력측으로 되먹여 클럭이 가해질 때마다 저장된 2진수가 그대로 순환하도록 구성한 회로를 링카운터라 한다.

D 플립플롭은 링카운터를 구성하는 기본 소자일 뿐이고, 인코더·디코더는 부호를 변환하는 조합논리 회로로 순환 기능과는 관련이 없다.

수정발진기는 수정편이 기계적 응력을 받으면 전압이 발생하고 반대로 전압을 가하면 기계적 변형이 일어나는 압전기 효과(피에조 효과)를 이용해 매우 안정된 발진 주파수를 얻는 발진기이다.

콜피츠 발진기와 L-C 발진기는 인덕터·커패시터의 공진을 이용하는 방식으로 압전 효과와는 원리가 다르다.

이상적인 연산증폭기의 입력 단자로는 전류가 흐르지 않으므로, Z에 흐른 전류 I가 그대로 Z_L로 흐른다.

그림은 비반전(+) 입력에 신호원 v_s가 연결되고, 반전(−) 입력 마디에는 한쪽 끝이 접지된 Z가 붙어 있으며, 같은 마디에서 부하 Z_L을 거쳐 출력으로 돌아오는 귀환 구성이다.

반전 입력 마디에 키르히호프 전류법칙을 적용하면 Z를 통해 들어온 I와 Z_L로 나가는 전류만 남고 증폭기 쪽으로 새는 전류는 0이므로 $I_{Z_L} = I$ 이다.

또한 가상단락으로 반전 입력 전압이 v_s가 되어 $I = \dfrac{v_s}{Z}$ 로 정해지므로, 부하 Z_L의 크기와 무관하게 일정한 전류를 흘리는 전압–전류 변환 회로로 동작한다.

입력에 콘덴서 C가 직렬로 들어가고 출력측에 다이오드가 병렬로 놓인 구성이므로 클램핑(직류 재생) 회로이다.

그림에서 V_i 다음에 C가 직렬로 연결되고, 그 뒤 마디에 R이 병렬로, 이어서 다이오드 D와 직류 전원이 직렬로 된 가지가 출력 V_o와 병렬로 접속되어 있다.

다이오드가 도통하는 반주기에 C가 충전되고, 다이오드가 차단된 뒤에는 그 충전전압이 직류 오프셋으로 남는다. 그래서 파형의 모양과 진폭은 그대로인 채 기준 준위만 위아래로 옮겨지며, 직렬로 넣은 직류 전원이 그 기준 준위를 정한다.

• 클리핑회로는 직렬 저항과 병렬 다이오드로 파형의 일부를 잘라내는 회로여서 직렬 콘덴서가 없다.
• 증폭회로는 트랜지스터·연산증폭기 같은 능동소자와 전원이 있어야 하는데 이 회로에는 없다.
• 게이트회로는 논리 입력의 조합으로 출력을 정하는 회로로, 사인파의 직류 준위를 옮기는 이 구성과 목적이 다르다.

진폭변조파는 반송파의 진폭을 변조신호에 비례해 변화시킨 것이므로 V_c[1 + m(t)cos ω_st] cos ω_ct 형태가 된다.

대괄호 안의 $1 + m(t)\cos \omega_s t$ 가 시간에 따라 변하는 진폭, 곧 포락선이고 여기에 곱해진 $\cos \omega_c t$ 가 실제 전파에 실리는 반송파이다. 즉 포락선이 변조신호를 그대로 그리고 그 안을 반송파가 채우는 파형이다.

이 식을 전개하면 $V_c\cos\omega_c t + \dfrac{V_c m}{2}\left[\cos(\omega_c+\omega_s)t + \cos(\omega_c-\omega_s)t\right]$ 가 되어 반송파와 상·하 측파대가 함께 나타난다.

• 진폭항에 1이 없이 두 코사인의 곱만 있는 식은 반송파가 억압된 DSB-SC(평형변조)이지 일반 AM이 아니다.
• 반송파 cos ω_ct가 곱해지지 않은 식은 포락선, 즉 변조신호 자체일 뿐 피변조파가 아니다.
• ω_s와 ω_c의 자리가 뒤바뀐 식은 변조신호와 반송파의 역할이 반대로 된 것이다.

입력에 콘덴서, 귀환에 저항이 놓인 미분기이며 반전 입력을 쓰므로 출력은 입력을 미분한 형태이면서 위상이 반전된다.

그림은 v_i(t)가 C를 거쳐 반전(−) 입력으로 들어가고 그 마디와 출력 사이에 R이 귀환으로 연결되며, 비반전(+) 입력은 접지된 구성이다.

가상접지로 반전 입력이 0[V]이므로 콘덴서 전류는 $i = C\dfrac{dv_i}{dt}$ 이고, 이 전류가 전부 R로 흐르므로 $v_o = -iR = -RC\dfrac{dv_i}{dt}$ 가 된다. 앞의 음(−)부호가 곧 180° 위상 반전을 뜻한다.

입력에 R, 귀환에 C를 두면 $v_o = -\dfrac{1}{RC}\int v_i\,dt$ 인 적분기가 되므로, 소자 배치가 정반대라는 점으로 두 회로를 구분하면 된다.

다링톤 접속의 입력저항은 두 전류증폭률의 곱에 이미터 저항을 곱한 값이므로 약 8.75[㏁]이다.

그림은 두 트랜지스터의 컬렉터를 함께 +V_CC에 묶고 앞단의 이미터를 뒷단의 베이스에 직결한 다링톤 구성으로, 뒷단 이미터에 R_E가 달려 접지된다.

$R_i \simeq \beta_1 \beta_2 R_E$
$R_i = 125 \times 125 \times 560 = 8{,}750{,}000\,\Omega$
따라서 8.75[㏁]이다.

즉 두 트랜지스터가 전류이득 β₁β₂ = 15,625인 하나의 트랜지스터처럼 동작해 입력 임피던스가 매우 커지므로, 앞단 신호원에 부담을 주지 않는 임피던스 변환·버퍼 용도로 쓰인다.

두 입력이 만드는 전류가 크기는 같고 부호가 반대여서 서로 상쇄되므로 출력 전압은 0[V]이다.

그림은 e₁이 R₁을, e₂가 R₂를 거쳐 한 마디에 모이고 그 마디와 출력 사이에 R₃이 귀환으로 연결된 가산 증폭기이며, 나머지 입력은 접지되어 있다.

$e_0 = -R_3\left(\dfrac{e_1}{R_1} + \dfrac{e_2}{R_2}\right)$
$\dfrac{e_1}{R_1} = \dfrac{1\,\mathrm{V}}{10\,\mathrm{k\Omega}} = 0.1\,\mathrm{mA}$, $\dfrac{e_2}{R_2} = \dfrac{-10\,\mathrm{V}}{100\,\mathrm{k\Omega}} = -0.1\,\mathrm{mA}$
$e_0 = -1\,\mathrm{M\Omega} \times (0.1 - 0.1)\,\mathrm{mA} = 0\,\mathrm{V}$

가상접지 마디로 들어오는 전류의 합이 0이면 귀환저항에는 전류가 흐르지 않으므로, R₃의 값이 얼마든 출력은 0[V]가 된다.

JK 플립플롭은 $J=1, K=0$일 때 세트($Q=1$), $J=0, K=1$일 때 리셋($Q=0$), $J=1, K=1$일 때 토글되며, $J=0, K=0$일 때는 이전 출력 상태를 그대로 유지한다.

따라서 $J=0, K=0$에서 출력이 변한다는 설명은 JK 플립플롭의 동작과 맞지 않는다.

다이오드가 출력을 직류전원 준위 아래로 내려가지 못하게 붙들므로, 그 준위를 밑선으로 하고 그 위로 입력의 정(+)의 봉우리만 남는 파형이 된다.

그림은 V_i에서 저항이 직렬로 이어지고, 출력 마디에서 다이오드(캐소드가 출력쪽, 애노드가 아래쪽)와 직류 전원 V_A가 직렬로 접지에 연결된 병렬 클리퍼이다.

입력이 V_A보다 높은 동안에는 캐소드 전위가 더 높아 다이오드가 차단되고, 출력에 부하가 없어 직렬 저항에 전압강하가 생기지 않으므로 V_o = V_i 가 된다. 반대로 입력이 V_A보다 낮아지면 다이오드가 도통해 출력이 V_A에 고정된다.

따라서 V_m이 직류전원 전압보다 크다는 조건에서 출력은 그 준위의 수평선 위로 최대 V_m까지 솟는 봉우리만 보이고, 음의 반주기를 포함해 그보다 낮은 구간은 모두 평평하게 잘려 나간다.

같은 크기의 저항 세 개가 삼각형(Δ)으로 접속돼 a–b 사이에서 한 변과 나머지 두 변의 직렬이 병렬로 보이므로, R은 330[Ω]이다.

그림에서 크기가 같은 R 세 개가 폐삼각형을 이루고 단자 a와 b는 그 가운데 두 꼭짓점에 연결되어 있다.

$R_{ab} = \dfrac{R \times 2R}{R + 2R} = \dfrac{2}{3}R$
$R_{ab} = \dfrac{V}{I} = \dfrac{220}{1} = 220\,\Omega$
$\dfrac{2}{3}R = 220 \;\Rightarrow\; R = 330\,\Omega$

측정된 220[Ω]을 곧바로 한 변의 값으로 오해하기 쉬운데, Δ결선의 두 단자 사이는 R과 2R의 병렬이어서 한 변보다 작게 보인다는 점이 이 문제의 핵심이다.

왜형률(THD)은 기본파에 대한 고조파 성분의 비율을 제곱합의 제곱근으로 구한다: $THD = \sqrt{\left(\dfrac{V_3}{V_1}\right)^2 + \left(\dfrac{V_5}{V_1}\right)^2}$

제3고조파 40%, 제5고조파 30%를 대입하면 $THD = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = \sqrt{0.16+0.09} = \sqrt{0.25} = 0.5$이다.

마디해석으로 풀면 I = −2[A], 즉 그림에 표시된 화살표와 반대 방향으로 2[A]가 흐른다.

그림은 6[V] 전원과 2[Ω]이 직렬인 가지가 왼쪽 마디에 연결되고 그 마디에 2[Ω]이 병렬로 접지되며, 거기서 R = 1[Ω]을 지나 오른쪽 마디로 이어진다. 오른쪽 마디에는 1[Ω]이 접지되고 9[A] 전류원이 위쪽으로 전류를 밀어 넣는다.

왼쪽 마디 전압을 V_A, 오른쪽을 V_B라 하면
$\dfrac{6 - V_A}{2} = \dfrac{V_A}{2} + I \;\Rightarrow\; V_A = 3 - I$
$I + 9 = \dfrac{V_B}{1},\quad I = V_A - V_B \;\Rightarrow\; V_A = 2I + 9$
$3 - I = 2I + 9 \;\Rightarrow\; I = -2\,\mathrm{A}$

검산하면 V_A = 5[V], V_B = 7[V]로 9[A] 전류원이 있는 쪽 전위가 더 높아 전류가 화살표 반대 방향으로 흐르며, 답의 음(−)부호가 바로 그 뜻이다.

커패시터 양단 전압을 출력으로 하는 직렬 RLC 회로이므로 전압비 전달함수는 4 / [(jω)² + jω + 4] 이다.

그림의 소자값은 R = 1[Ω], L = 1[H], C = 0.25[F]이고 전원 V가 이들과 모두 직렬로 연결되며, 출력 V_C는 커패시터 양단(위쪽 +, 아래쪽 −)에서 얻는다.

임피던스 분압으로 정리하면
$H(j\omega) = \dfrac{\frac{1}{j\omega C}}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}} = \dfrac{1}{(j\omega)^2 LC + j\omega RC + 1}$
$LC = 1 \times 0.25 = 0.25,\quad RC = 1 \times 0.25 = 0.25$
$H(j\omega) = \dfrac{1}{0.25(j\omega)^2 + 0.25\,j\omega + 1} = \dfrac{4}{(j\omega)^2 + j\omega + 4}$

분모의 상수항 4가 $\omega_n^2$ 에 해당하므로 고유각주파수는 2[rad/s]이고, ω가 0일 때 이득이 1인 2차 저역통과 특성을 갖는다.

RL 직렬회로의 과도 전류식에 값을 넣으면 약 3.16[A]이다.

그림은 20[V] 직류전원에 스위치 S와 4[Ω] 저항, 4[H] 인덕터가 모두 직렬로 연결된 회로이다.

$i(t) = \dfrac{V}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$
$i(1) = \dfrac{20}{4}\left(1 - e^{-\frac{4}{4}\times 1}\right) = 5\left(1 - e^{-1}\right)$
$= 5 \times (1 - 0.368) \simeq 3.16\,\mathrm{A}$

시정수가 $\tau = \dfrac{L}{R} = 1\,\mathrm{s}$ 이므로 t = 1[s]는 정확히 1τ가 지난 시점이고, 이때 전류는 정상값 5[A]의 63.2%가 된다는 관계만 알아도 답을 고를 수 있다.

$\sin \omega t$ 의 라플라스 변환은 ω / (s² + ω²) 이다.

오일러 공식으로 $\sin\omega t = \dfrac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}$ 이므로
$\mathcal{L}[\sin\omega t] = \dfrac{1}{2j}\left(\dfrac{1}{s - j\omega} - \dfrac{1}{s + j\omega}\right) = \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

• 분자가 s이고 분모가 s² + ω²인 것은 $\cos\omega t$ 의 변환이다.
• 분모가 s² − ω²인 것들은 쌍곡선함수의 변환으로, 분자가 s이면 $\cosh\omega t$, ω이면 $\sinh\omega t$ 이다.

결국 분자가 ω인지 s인지, 분모의 부호가 +인지 −인지 두 가지만 구분하면 되는 기본 변환쌍이므로 표째로 외워 두는 편이 빠르다.

출력측을 개방했을 때 입력에서 본 임피던스가 $Z_{11}$이며, 이 회로에서는 8[Ω]이다.

그림의 T형 4단자망은 입력단자에서 직렬로 5[Ω]이 놓이고, 그 뒤 절점에서 3[Ω]이 아래쪽 공통선으로 내려가는 분로로 접속되어 있다. 임피던스 파라미터의 정의가 $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$이므로 $Z_{11}$은 $I_2 = 0$일 때의 $V_1/I_1$이다.

출력단자를 개방하면 $I_2 = 0$이 되어 $I_1$은 직렬 5[Ω]을 지나 분로 3[Ω]으로만 흐른다. 따라서 $Z_{11} = 5 + 3 = 8\,[\Omega]$이 된다.

같은 회로에서 두 포트가 공유하는 것은 분로뿐이므로 $Z_{12} = Z_{21} = 3[\Omega]$, 출력측에서 본 $Z_{22} = 3[\Omega]$이다. 직렬 저항을 빼먹고 분로만 세면 3[Ω]이 나오는 함정이 있다.

반사계수는 $\Gamma = \dfrac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = \dfrac{400-100}{400+100} = 0.6$으로 구해진다.

전압정재파비는 $S = \dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} = \dfrac{1+0.6}{1-0.6} = \dfrac{1.6}{0.4} = 4$이다.

직렬 공진회로의 첨예도(Q)는 $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$로 구한다.

$R=2\ \Omega,\ L=10\ \mathrm{mH},\ C=4\ \mu\mathrm{F}$를 대입하면 $Q = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{0.01}{4\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2500} = \dfrac{1}{2}\times 50 = 25$이다.

△결선 부하는 상전압과 선간전압이 같으므로 상전류는 $I_{ph} = \dfrac{V}{|Z|}$로 구한다.

임피던스 크기는 $|Z| = \sqrt{6^2+8^2} = 10\ \Omega$이므로 $I_{ph} = \dfrac{220}{10} = 22\ \mathrm{A}$이다.

선전류는 상전류의 $\sqrt{3}$배이므로 $I_L = \sqrt{3}\times 22 \approx 38.1\ \mathrm{A}$가 된다.

메이슨 공식으로 정리하면 $\dfrac{C(s)}{R(s)} = \dfrac{ab + c(1-e)}{1-e}$가 된다.

선도는 $R$에서 이득 1로 첫 절점에 들어간 뒤, 중간 절점을 거치는 $a \to b$ 경로와 중간 절점을 건너뛰는 $c$ 경로가 나란히 놓이고, 마지막 절점에서 이득 1로 $C$로 빠져나간다. 되먹임은 중간 절점에 걸린 자기루프 $e$ 하나뿐이므로 $\Delta = 1 - e$이다.

전향경로는 두 개다. $P_1 = 1 \cdot a \cdot b \cdot 1 = ab$는 자기루프가 걸린 절점을 지나므로 $\Delta_1 = 1$이고, $P_2 = 1 \cdot c \cdot 1 = c$는 그 절점에 닿지 않으므로 $\Delta_2 = 1 - e$가 된다.

따라서 $\dfrac{C(s)}{R(s)} = \dfrac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} = \dfrac{ab + c(1-e)}{1-e}$이다. 분자를 $ab + c$로만 두면 루프에 닿지 않는 경로의 여인수 $(1-e)$를 빠뜨린 것이 된다.

피드백 제어계는 출력을 입력측으로 되먹여 오차를 스스로 보정하는 구조이므로 비선형 왜곡 감소, 대역폭 증가, 특성 변화에 대한 감도 감소 등의 장점을 갖는다.

반면 되먹임 경로와 비교부·검출부가 추가되어 구조가 복잡해지고 설치비도 상승하는 것이 일반적이므로, 구조가 간단하고 설치비가 저렴하다는 설명은 피드백 제어계의 특징과 맞지 않는다.

이득은 -20[dB], 위상차는 -90°이다.

$G(j\omega) = \dfrac{1}{j100\omega}$에 $\omega = 0.1$을 대입하면 $G(j0.1) = \dfrac{1}{j\,(100 \times 0.1)} = \dfrac{1}{j10}$이다.

크기는 $|G| = \dfrac{1}{10} = 0.1$이므로 이득은 $g = 20\log_{10} 0.1 = -20\,[\mathrm{dB}]$가 된다.

분모가 순허수 $j10$이므로 위상은 $\angle G = -90^{\circ}$이다. $\dfrac{1}{j\omega}$ 꼴의 적분요소는 주파수와 무관하게 위상이 항상 -90°로 고정되고, 이득만 -20[dB/dec] 기울기로 떨어진다.

z 변환의 최종치 정리는 $\lim_{z \to 1}(1 - z^{-1})X(z)$ 형태로 쓰는 것이 옳다.

라플라스 변환의 최종치 정리 $\lim_{s \to 0} sF(s)$와 짝을 이루는 관계인데, $z = e^{sT}$이므로 $s \to 0$은 z 평면에서 $z \to 1$에 대응하고, $s$에 해당하는 인자가 $(1 - z^{-1})$이다. 그래서 $z \to 1$의 극한에 $(1 - z^{-1})$을 곱한 값이 정상상태 값이 된다.

나머지 형태는 다음과 같이 걸러진다.

• $\lim_{z \to \infty} X(z)$는 초기치 정리로, 최종치가 아니라 첫 샘플값을 준다.
• $\lim_{z \to 0} X(z)$는 $z^{-1}$의 급수에서 어떤 항도 뽑아내지 못하므로 정리에 해당하지 않는다.
• $\lim_{z \to 1}(1 - z)X(z)$는 곱하는 인자의 부호가 반대라 결과의 부호가 뒤집힌다.

이 블록선도의 전달함수는 $\dfrac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 + G_2 G_3}$이다.

그림에서 입력 $R(s)$는 첫 가합점에서 출력 $C(s)$를 부(-)로 되먹임받은 뒤 $G_1$을 지나 둘째 가합점으로 들어간다. 둘째 가합점은 출력에서 $G_3$를 거쳐 온 신호를 다시 부(-)로 받고, 그 결과가 $G_2$를 통해 출력으로 나간다.

안쪽 루프부터 줄이면 $G_2$와 $G_3$가 만드는 부궤환이므로 $\dfrac{G_2}{1 + G_2 G_3}$이고, 앞에 $G_1$이 직렬로 붙어 전향이득은 $\dfrac{G_1 G_2}{1 + G_2 G_3}$가 된다.

여기에 바깥의 단위 부궤환을 적용하면 $\dfrac{C}{R} = \dfrac{\frac{G_1 G_2}{1 + G_2 G_3}}{1 + \frac{G_1 G_2}{1 + G_2 G_3}} = \dfrac{G_1 G_2}{1 + G_2 G_3 + G_1 G_2}$이다. 두 되먹임이 모두 부(-)이므로 분모의 두 항은 부호가 같게 더해진다.

이 지상 회로의 전달함수는 $\dfrac{sCR_2 + 1}{s(R_1 + R_2)C + 1}$이다.

그림에서 입력은 직렬 $R_1$을 지나 절점에 이르고, 그 절점에서 $C$와 $R_2$가 직렬로 이어져 아래 공통선으로 내려간다. 출력은 $C$와 $R_2$의 직렬 조합 양단에서 뽑으므로 단순한 분압 관계다.

임피던스로 쓰면 아래쪽 가지가 $Z_2 = R_2 + \dfrac{1}{sC}$, 전체가 $R_1 + Z_2$이므로 $\dfrac{E_o}{E_i} = \dfrac{R_2 + \frac{1}{sC}}{R_1 + R_2 + \frac{1}{sC}}$이고, 분자·분모에 $sC$를 곱하면 $\dfrac{sCR_2 + 1}{sC(R_1 + R_2) + 1}$이 된다.

영점 $-\dfrac{1}{CR_2}$보다 극점 $-\dfrac{1}{C(R_1 + R_2)}$이 원점에 더 가까우므로 출력 위상이 입력보다 뒤지는 지상 특성을 갖는다. 분모와 분자를 뒤집으면 진상 회로가 되어 버린다.

주어진 식은 $A + B$로 간단해진다.

먼저 괄호 안을 묶으면 $B + \overline{B} = 1$이므로 $AB + A\overline{B} = A(B + \overline{B}) = A$이다.

여기에 다시 $AB$를 더해도 흡수법칙에 의해 $A + AB = A(1 + B) = A$이므로 대괄호 전체가 $A$로 줄어든다.

남은 것은 $A + \overline{A}B$이고, $A + \overline{A}B = (A + \overline{A})(A + B) = A + B$이므로 최종 결과는 $A + B$다. $A + A \cdot B$로 답하면 흡수법칙에 의해 그냥 $A$가 되어 $B$만 1인 경우를 놓친다.

특성방정식은 $s^2 + s - 5 = 0$이다.

상태방정식 $\dot{x} = Ax + Bu$의 특성방정식은 계통행렬 $A$만으로 정해지며 $|sI - A| = 0$으로 구한다. 입력행렬 $B$는 특성방정식에 관여하지 않는다.

주어진 $A$의 1행이 $(1,\;3)$, 2행이 $(1,\;-2)$이므로 $sI - A$의 1행은 $(s-1,\;-3)$, 2행은 $(-1,\;s+2)$가 된다.

행렬식을 전개하면 $(s-1)(s+2) - (-3)(-1) = s^2 + s - 2 - 3 = s^2 + s - 5$이므로 $s^2 + s - 5 = 0$을 얻는다. 상수항 $-5$가 음수라는 것은 이 계통이 우반평면 근을 가져 불안정하다는 뜻이기도 하다.

이 제어계는 안정하다.

안정 여부는 분모인 특성방정식만으로 결정되므로 $(S+2)(S^2+2S+2) = 0$을 전개해 $S^3 + 4S^2 + 6S + 4 = 0$을 얻는다.

루스 배열을 만들면 첫 열이 $1$, $4$, $\dfrac{4 \times 6 - 1 \times 4}{4} = 5$, $4$로 부호 변화가 한 번도 없다. 즉 우반평면 극점이 하나도 없다.

극점을 직접 구해도 $S = -2$와 $S^2 + 2S + 2 = 0$의 근 $S = -1 \pm j$로 모두 실수부가 음수여서 결론은 같다. 분자의 $S$는 원점 영점일 뿐 안정성 판정에는 영향을 주지 않는다.

2차 임피던스 기동은 회전자 회로에 저항이나 리액턴스를 넣어 기동전류·토크를 조정하는 방식으로, 회전자 권선에 외부 회로를 연결할 수 있는 권선형 유도전동기에서만 가능하다.

농형 유도전동기는 회전자가 도체봉으로 단락되어 있어 2차 회로에 접근할 수 없으므로 직입 기동, Y-△ 기동, 리액터 기동, 기동보상기법 등으로 기동전류를 제한한다.

프로니 브레이크법은 제동장치로 축토크와 회전수를 측정해 출력·동력을 구하는 방법으로, 슬립을 구하는 시험법이 아니다.

슬립은 회전자계와 회전자의 속도차를 이용해 구하므로 직류밀리볼트계법, 수화기법(스톱워치법), 스트로보스코프법처럼 회전수나 회전자 유기전압의 맥동을 관측하는 방식이 쓰인다.

변압기는 부하율 $a$에서 철손과 동손이 같아질 때 최대효율이 되며, 이때 $a=\sqrt{\dfrac{P_i}{P_c}}$이다.

철손 45[W], 전부하 동손 85[W]를 대입하면 $a=\sqrt{\dfrac{45}{85}}=\sqrt{0.529}\approx0.728$이다.

따라서 최대효율은 전부하의 약 72.8[%] 부하에서 나타난다.

정격 200[kVA] 전부하에서 역률 0.85일 때 출력 $P_1=200\times0.85=170[\mathrm{kW}]$이고 효율 95[%]이므로 손실은 $P_{loss}=\dfrac{P_1(1-\eta)}{\eta}=\dfrac{170\times0.05}{0.95}\approx8.95[\mathrm{kW}]$이다.

전부하 손실은 피상전력(부하율)이 같으면 역률에 무관하게 일정하므로, 역률 0.5에서도 손실은 그대로 약 8.95[kW]이다.

이때 출력은 $P_2=200\times0.5=100[\mathrm{kW}]$이므로 효율은 $\eta=\dfrac{100}{100+8.95}\approx0.918$, 즉 약 92[%]이다.

직류궤도회로에서는 궤도회로에 흐르는 전류를 일정 범위로 제한하기 위해 가변저항기를 한류장치로 사용한다.

레일 저항이나 궤도 조건 변화에 따라 저항값을 조정해 송전전류를 규정치 이하로 유지하는 역할을 한다.

WLR(전철쇄정계전기, Switch Lock Relay)은 진로가 구성되어 있거나 열차가 진입해 있는 동안 선로전환기가 전환되지 못하도록 전철제어계전기(WR)를 쇄정하는 계전기이다.

즉 선로전환기를 직접 붙잡는 것이 아니라, 선로전환기를 움직이라는 제어명령을 만들어 내는 제어계전기 쪽 회로를 끊어 놓는 방식으로 안전을 확보한다.

궤도계전기는 궤도회로의 열차 점유 여부를 검지하는 계전기, 진로조사계전기는 구성된 진로의 상태를 확인하는 계전기로 쇄정 대상과는 역할이 다르다.

교류 NS형 전기선로전환기는 콘덴서 기동형 단상 유도전동기를 구동원으로 사용한다.

단상 전원만으로는 회전자계가 생기지 않으므로, 보조(기동)권선에 콘덴서를 직렬로 넣어 그 전류의 위상을 주권선보다 앞서게 함으로써 기동토크를 얻는 방식이다. 3상 전동기나 직류 분권·복권 전동기를 쓰는 다른 보기와 구분된다.

여자 전류가 끊어진 뒤에도 일정 시간이 지난 다음에야 접점이 낙하하는 계전기는 완방 계전기이다.

여자를 시작할 때 동작이 지연되는 것은 완동 계전기이며, 완방 계전기는 반대로 소자(낙하) 동작에 시간지연을 두어 순간적인 전원 끊김에도 회로가 바로 낙하하지 않도록 한다.

열차 차축이 궤도회로를 단락시키는 순간 레일에는 큰 전류가 흐르려 하므로, 한류장치는 이 과전류가 궤도계전기나 송전측 기기에 과도한 부담을 주지 않도록 제한하는 역할을 한다.

변압기의 전압변동률은 $\varepsilon=p\cos\theta+q\sin\theta$로 나타나며, 부하 역률각을 바꿔가며 이 값이 최대가 되는 조건은 $\tan\theta=\dfrac{q}{p}$일 때이다.

이때 최대 전압변동률은 $\varepsilon_{max}=\sqrt{p^2+q^2}$로 주어진다.

%저항강하 $p=3$, %리액턴스강하 $q=4$를 대입하면 $\varepsilon_{max}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5[\%]$이다.

3상 권선형 유도전동기의 2차 회로에 저항을 삽입하면 같은 토크를 내는 슬립이 저항에 비례해 이동하는 비례추이가 나타나며, 토크·1차 입력·1차 전류·2차 전류·역률 등이 비례추이한다.

반면 출력은 $P_0=(1-s)P_2$로 슬립 자체가 계수로 들어가고 2차 저항 삽입분이 그대로 2차 동손으로 소비되므로, 저항을 바꿔도 같은 값이 슬립축을 따라 옮겨가는 형태가 되지 않는다. 출력·효율·2차 동손은 비례추이하지 않는 대표적인 양이다.

건널목 전동차단기는 상용전원이 끊겨도 차단봉이 확실히 동작해야 하므로 축전지(부동충전) 전원으로 구동하며, 장대형 전동차단기의 정격전압은 DC 24[V]이다.

교류 전원을 그대로 쓰지 않고 저압 직류를 쓰는 것은 정전 시 동작 보장과 현장 배선의 안전 확보를 위해서이다.

계자권선이 전기자권선과 병렬로만 연결된 직류기는 분권기이다.

직권기는 계자권선이 전기자와 직렬로, 복권기는 직권·분권 계자권선을 함께 갖는 구조이며, 타여자기는 계자권선이 별도의 독립 전원에서 여자된다.

정시간 경보를 위한 검지거리 $D$는 여객열차 최고속도와 경보시간으로 정해지며, $108[\mathrm{km/h}]=30[\mathrm{m/s}]$이므로 $D=30\times30=900[\mathrm{m}]$이다.

같은 검지거리 $D$에서 화물열차($36[\mathrm{km/h}]=10[\mathrm{m/s}]$)가 건널목에 도달하는 시간은 $t=\dfrac{900}{10}=90[\mathrm{s}]$이다.

따라서 두 열차 간 경보시간의 차이는 $90-30=60[\mathrm{s}]$이다.

동력단로기는 전차선 등 전력계통의 구간을 개폐하는 전력설비이며, 열차의 진로 구성·방호를 담당하는 신호보안장치로 분류되지 않는다.

• 전기선로전환기는 진로를 구성하는 신호보안장치이다.
• 동표폐색기는 폐색 구간을 관리하는 신호보안장치이다.
• 열차집중제어장치(CTC)는 신호설비를 원격 제어·감시하는 신호보안장치이다.

차상신호방식은 지상신호기 대신 운전실 내 표시로 신호를 현시하는 방식으로, 고속에서도 신호 확인이 확실하고 폐색을 세분할 수 있어 열차 속도 향상, 선로용량 증대, 안전성·신뢰성 확보라는 장점을 갖는다.

그러나 기관사는 주행 중 계속 차내 표시를 확인·추종해야 하므로 운전취급이 간소화되는 것은 아니며, 이는 차상신호방식의 장점으로 꼽히지 않는다.

전기선로전환기의 마찰클러치는 전동기의 회전력을 전달하면서 과부하 시 미끄러져 전동기와 기어를 보호하는 장치이다.

• 전동기 회전력을 전달한다는 설명은 클러치의 본래 기능이다.
• 과부하 시 전동기를 보호한다는 설명도 마찰클러치의 핵심 기능이다.
• 기어에 충격을 주지 않기 위해 설치한다는 설명 역시 옳다.

반면 밀봉형 볼베어링 채용 여부는 축받이(베어링) 부품의 형식에 대한 설명으로, 마찰클러치의 동작 원리를 설명하는 내용이 아니다.

90[km/h]는 $25[\mathrm{m/s}]$이다.

선행 열차를 안전하게 뒤따르려면 폐색구간 2개($2\times1200=2400[\mathrm{m}]$)에 열차 길이 100[m]와 신호 현시에 필요한 최소거리 200[m]를 더한 거리를 주행해야 하므로, 소요 주행거리는 $2400+100+200=2700[\mathrm{m}]$이다.

주행시간은 $\dfrac{2700}{25}=108[\mathrm{s}]$이고, 여기에 신호기가 주의에서 진행으로 바뀌는 데 걸리는 1초를 더하면 최소 운전시격은 $108+1=109[\mathrm{s}]$이다.

가동성은 $A = \dfrac{MTBF}{MTBF + MTTR}$로 나타낸다.

$MTBF$는 고장과 고장 사이에 정상 동작한 평균시간이고 $MTTR$은 고장 난 뒤 고쳐 다시 쓰기까지 걸린 평균시간이므로, $MTBF + MTTR$이 한 주기의 전체 시간이고 그중 기능을 발휘한 시간이 $MTBF$다. 시간의 비율이므로 값은 0과 1 사이에 놓인다.

다른 형태들은 다음과 같이 걸러진다.

• 분자와 분모를 뒤집어 전체 시간을 $MTBF$나 $MTTR$로 나눈 식은 항상 1보다 커서 비율이 될 수 없다.
• $MTTR$을 분자에 둔 식은 멈춰 있던 시간의 비율, 즉 가동성이 아니라 불가동률이다.

레일에 보내는 신호전류를 정해진 횟수의 부호(코드)로 단속하여 열차 유무와 정보를 전달하는 궤도회로 방식은 코드궤도회로이다.

연속된 교류나 직류를 그대로 흘리는 방식과 달리, 신호전류를 일정 패턴으로 단속함으로써 하나의 궤도회로로 여러 현시 정보를 전달할 수 있다.

경부고속철도의 열차제어시스템은 진로를 구성하는 연동장치(IXL), 열차 속도를 제어하는 열차자동제어장치(ATC), 각 역의 신호설비를 원격 제어하는 열차집중제어장치(CTC)로 구성된다.

열차자동운전장치(ATO)는 기관사 없이 또는 최소 개입으로 열차를 자동 운전하는 장치로, 경부고속철도의 기본 열차제어시스템 구성요소가 아니다.

열차자동운전장치(ATO) 구간에서 차량과 지상 현장기기 사이에 정보를 양방향으로 주고받는 열차정보송신장치는 TWC(Train to Wayside Communication)이다.

ATC는 열차의 속도를 제어하는 장치, CTC와 TTC는 열차운행을 집중 제어·감시하는 지령 설비로, 차량-지상 간 직접 양방향 통신장치와는 역할이 다르다.

고장률은 $\lambda=\dfrac{\text{연간 장애건수}}{\text{설비수}\times\text{연간 시간수}}$로 구하며, 1년은 $8,760[\mathrm{h}]$이다.

신호전구 1,000개에서 연간 50건의 장애가 발생했으므로 $\lambda=\dfrac{50}{1000\times8760}=\dfrac{50}{8,760,000}\approx5.71\times10^{-6}/\mathrm{h}$이다.

이를 $10^{-7}$ 단위로 바꾸면 약 57×10⁻⁷/시간이 된다.

정류회로의 전압변동률은 $\varepsilon=\dfrac{V_0-V_n}{V_n}\times100[\%]$으로 구하며, $V_0$는 무부하전압, $V_n$은 전부하전압이다.

무부하전압 28[V], 전부하전압 24[V]를 대입하면 $\varepsilon=\dfrac{28-24}{24}\times100\approx16.7[\%]$이다.

소수점을 반올림하면 전압변동률은 약 17[%]이다.

제동 개시 전 공주시간 동안 열차가 등속으로 진행한 거리가 공주거리이므로 속도와 시간의 곱으로 구한다.

$v=72\mathrm{km/h}=20\mathrm{m/s}$이고 공주시간이 5초이므로
$s=v\times t=20\mathrm{m/s}\times5\mathrm{s}=100\mathrm{m}$이다.

따라서 공주거리는 100m이다.