16년 2회차

진폭변조에서 변조도 m이 1을 초과하면 반송파의 진폭이 0 이하로 내려가는 구간이 생겨 파형이 일그러지는데, 이 현상을 과변조라 한다.

과변조가 발생하면 포락선 검파 시 원래 신호와 다른 왜곡된 파형이 복원되어 정상적인 복조가 불가능해진다.

세 개의 AND 출력을 OR로 묶은 구조이므로 $Y=A\bar{B}C+C\bar{D}E+E\bar{F}G$다.

맨 위 AND는 $A$, 인버터를 지난 $\bar{B}$, 그리고 $C$ 입력선에서 분기해 올라온 신호까지 받는 3입력 게이트이므로 출력이 $A\bar{B}C$가 된다.

가운데 AND는 $C$와 인버터를 지난 $\bar{D}$, 그리고 $E$를 받아 $C\bar{D}E$를 내고, 아래 AND는 $E$ 입력선에서 분기한 신호와 $\bar{F}$, $G$를 받아 $E\bar{F}G$를 낸다.

세 출력이 OR 게이트로 합쳐지므로 곱항의 합(SOP) 형태가 되며, 인버터가 붙은 $B$·$D$·$F$에만 부정 막대가 남고 $C$와 $E$는 두 게이트에 중복해서 들어간다는 점이 판별의 핵심이다.

FM에서 S/N비를 개선하려면 잡음 자체를 줄이거나 신호 대비 잡음의 상대적 크기를 낮추는 방법을 써야 하는데, 증폭도를 높이는 것은 신호와 잡음을 함께 키울 뿐 S/N비 개선에는 기여하지 않는다.

• 디엠파시스 회로는 고역에서 상대적으로 커진 잡음 성분을 억제해 S/N비를 개선한다.
• 주파수 대역폭을 넓히면 복조 이득이 커져 S/N비가 향상된다.
• 변조지수 $m_f$를 크게 하면 대역폭 확대와 같은 원리로 S/N비가 향상된다.

동조회로가 코일 하나에 직렬 커패시터 두 개로 이루어진 용량 분압형이므로 콜피츠 발진기다.

그림에서 인덕터 $L$ 양단에 $C_1$과 $C_2$가 직렬로 걸리고, 두 커패시터의 접속점이 접지되어 있다. 이 접지점이 귀환 전압을 나누어 뽑는 탭 역할을 하며 발진에 필요한 정귀환량을 결정한다.

탱크회로의 위쪽은 결합용량 $C_c$를 거쳐 베이스로, 아래쪽은 컬렉터로 이어져 귀환 고리를 이룬다. $R_1$·$R_2$는 전압분배 바이어스, $R_e$·$C_e$는 이미터 안정화용, $R_c$는 컬렉터 부하다.

발진주파수는 두 커패시터의 직렬 합성용량으로 정해져 $f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}}$이다. 같은 자리에 탭을 낸 코일 두 개와 커패시터 하나가 있으면 하틀리 발진기이고, 귀환 경로 없이 동조부하만 있으면 동조형 고주파 증폭기다.

LC 발진회로의 주파수 안정도를 높이려면 동조회로의 선택도 Q를 높이는 것이 가장 효과적이다.

Q가 높을수록 동조회로의 공진 특성이 날카로워져 부하나 소자 정수의 미세한 변화에도 발진 주파수가 크게 흔들리지 않는다.

반대로 R 성분이 커지면 Q가 낮아져 오히려 안정도가 떨어진다.

세 개의 묶음으로 간략화되어 $\bar{A}\bar{B}D+A\bar{C}+C\bar{D}$가 된다.

먼저 $CD=10$ 열은 $AB$가 00·01·11·10인 네 칸이 모두 1이므로 하나의 4칸 묶음이 되고, 공통으로 남는 것은 $C=1,\;D=0$이므로 $C\bar{D}$다.

다음으로 $AB=11$·$AB=10$ 두 행과 $CD=00$·$CD=01$ 두 열이 겹치는 네 칸도 모두 1이다. 여기서는 $A=1,\;C=0$이 공통이므로 $A\bar{C}$가 된다.

남은 1은 $AB=00$ 행의 $CD=01$과 $CD=11$ 두 칸뿐이며, $A=0,\;B=0,\;D=1$이 공통이고 $C$만 변하므로 $\bar{A}\bar{B}D$다. 세 항을 더하면 위 결과가 되고, $C\bar{D}$ 대신 $CD$로 두면 값이 0인 칸까지 덮게 되어 성립하지 않는다.

전압분배 바이어스 회로의 안정계수는 약 1.4다.

먼저 베이스 쪽 등가저항을 구한다.
$R_B=R_1\parallel R_2=\dfrac{3\times2}{3+2}=1.2\,\mathrm{k\Omega}$
$\dfrac{R_B}{R_e}=\dfrac{1.2}{3}=0.4$

안정계수 공식에 대입하면
$S=\dfrac{(1+\beta)\left(1+\frac{R_B}{R_e}\right)}{1+\beta+\frac{R_B}{R_e}}$
$=\dfrac{101\times1.4}{101+0.4}=\dfrac{141.4}{101.4}\fallingdotseq1.39$

$R_B/R_e$가 작을수록 $S$는 1에 가까워져 온도 변화에 대해 안정해진다. 여기서는 $R_e$가 $R_B$보다 커서 $R_B/R_e=0.4$에 그치므로 값이 1.4 수준으로 작게 나오며, $1+\beta=101$은 이미터 저항이 없는 고정 바이어스일 때의 값이다. 컬렉터 저항 $R_c$는 안정계수에 관여하지 않는다.

고정 바이어스 회로의 안정계수는 $S = 1+\beta$로 정의되며, 이 값은 베이스 저항이나 컬렉터 저항의 크기와 무관하다.

$S = 1+\beta = 1+90 = 91$

따라서 이 회로의 안정계수는 91이며, 값이 클수록 온도 변화 등에 따른 컬렉터 전류의 변동이 커 열적 안정성이 나쁘다는 것을 의미한다.

R-L-C 직렬공진회로의 선택도 Q는 공진 시 리액턴스와 저항의 비로 정의되며 $Q = \dfrac{\omega_r L}{R}$로 표현된다.

이는 공진 각주파수를 이용해 $Q = \dfrac{1}{\omega_r C R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$와 같이 바꿔 쓸 수도 있으며, 모두 같은 Q 값을 나타내는 등가 표현이다.

저항 R이 빠져 있는 $\dfrac{1}{\omega_r C}$는 공진 시 용량성 리액턴스의 크기일 뿐이므로 선택도가 될 수 없다.

정류회로의 맥동주파수는 전원주파수에 정류 파형의 반복 횟수를 곱한 값으로 결정된다.

단상 반파 정류는 한 주기에 1회만 정류되어 맥동주파수가 전원주파수와 같은 60Hz이지만, 단상 전파 정류는 한 주기에 2회 정류되어 맥동주파수가 $2\times60=120\,\mathrm{Hz}$가 된다.

3상 반파 정류는 180Hz, 3상 전파 정류는 360Hz의 맥동주파수를 가진다.

푸시풀 증폭회로는 두 트랜지스터가 반주기씩 번갈아 동작하며 출력을 합성하는 방식으로, 동일한 출력전력에서 오히려 일그러짐(왜곡)이 줄어드는 것이 특징이다.

• 두 소자가 큰 진폭을 나눠 담당할 수 있어 비교적 큰 출력을 얻을 수 있다.
• 전원에 실린 험(hum) 성분은 두 소자에서 역위상으로 나타나 상쇄된다.
• 우수차 고조파(2차, 4차 등)도 서로 역위상으로 상쇄되어 출력에 거의 나타나지 않는다.

따라서 출력전력이 주어진 경우 일그러짐이 커진다는 설명은 푸시풀 회로의 실제 특성과 반대된다.

정류 후 얻어지는 맥류에서 교류(리플) 성분을 제거하고 직류 성분만 남기는 회로를 평활 회로라 한다.

일반적으로 콘덴서와 초크 코일 등을 이용해 맥동분을 흡수·완화함으로써 안정된 직류 출력을 얻는다.

수정발진기가 안정적으로 발진을 지속하려면 수정편이 직렬공진주파수와 병렬공진주파수 사이의 좁은 영역, 즉 유도성 리액턴스를 나타내는 구간에서 동작해야 한다.

이 구간에서는 수정의 임피던스가 인덕터처럼 작용해 발진회로의 공진 조건을 만족시키며, 이 특성 덕분에 온도 등 외부 요인에 대한 주파수 안정도가 매우 높게 유지된다.

입력측에 커패시터, 궤환측에 저항이 놓인 반전 구성이므로 미분기다.

비반전 입력이 접지되어 반전 입력이 가상접지가 되므로, 입력측 커패시터에 흐르는 전류는 $i=C\dfrac{dv_i}{dt}$이고 연산증폭기 입력 전류가 0이므로 이 전류가 그대로 궤환저항 $R$로 흐른다.

따라서 출력은 $v_o=-iR=-RC\dfrac{dv_i}{dt}$가 되어, 입력 파형의 시간 미분에 비례한다. 계단 입력에는 뾰족한 펄스가, 삼각파 입력에는 구형파가 나온다.

소자 위치가 반대로 입력측 저항·궤환측 커패시터이면 $v_o=-\dfrac{1}{RC}\displaystyle\int v_i\,dt$인 적분기가 되고, 입력 저항을 여러 개 두어 반전 입력에 모으면 가산기가 된다.

주파수변조의 변조지수는 $m_f = \dfrac{\Delta f}{f_m}$로 정의되며, 여기서 $\Delta f$는 최대 주파수편이, $f_m$은 변조신호 주파수이다.

$\Delta f = m_f \times f_m = 50 \times 400 = 20000\,\mathrm{Hz} = 20\,\mathrm{kHz}$

따라서 최대 주파수편이는 20kHz이다.

세 입력에 각각 다이오드를 달고 출력점을 저항으로 접지시킨 이 회로는 OR 게이트다.

그림에서 다이오드는 입력 A·B·C 쪽이 애노드, 출력 Y 쪽이 캐소드가 되도록 붙어 있고, Y와 접지 사이에는 풀다운 저항이 하나 놓여 있다. 입력 중 어느 하나라도 High가 되면 그 다이오드가 순방향으로 도통해 저항에 전류를 흘리므로 Y가 High로 끌어올려진다.

세 입력이 모두 Low이면 도통하는 다이오드가 없어 Y는 저항을 통해 접지 전위로 내려가 Low가 된다. 즉 출력은 Y = A + B + C인 논리합 동작이다.

다이오드 AND는 캐소드가 입력 쪽이고 저항이 전원(+V)에 연결된 형태이며, NAND·NOR는 다이오드만으로는 구현되지 않고 출력을 반전시키는 트랜지스터 단이 추가로 필요하다.

흡수법칙이 그대로 적용되어 이 식은 A 하나로 정리된다.

괄호를 전개하면 $A(A+B+C) = AA + AB + AC$이고, 동일법칙 $AA = A$를 적용하면 $A + AB + AC = A(1 + B + C)$가 된다.

불대수에서는 $1 + B + C = 1$이므로 최종 결과는 $A \cdot 1 = A$다. 즉 A(A + X) = A 꼴의 흡수법칙으로, 곱해진 A가 괄호 안의 나머지 항을 모두 삼켜 버린다.

주어진 파형 $e=(100+20\sin2\pi\cdot200t)\sin2\pi10^5t$는 반송파 주파수 $10^5\,\mathrm{Hz}$를 변조신호 주파수 $200\,\mathrm{Hz}$로 진폭변조한 신호이다.

진폭변조파의 점유주파수 대역폭은 변조신호 주파수의 2배이므로 $B = 2f_m = 2\times200 = 400\,\mathrm{Hz}$가 된다.

윈 브리지 발진회로의 발진주파수는 $f = \dfrac{1}{2\pi RC}$[Hz]다.

그림에서 증폭기 A의 비반전 입력 쪽에는 R과 C의 직렬가지와 R과 C의 병렬가지로 이루어진 주파수 선택 브리지가 정귀환으로 걸려 있고, 반전 입력 쪽에는 R₁·R₂의 저항 분압이 부귀환으로 걸려 있다.

직렬가지 $Z_s = R + \dfrac{1}{j\omega C}$, 병렬가지 $Z_p = \dfrac{R}{1 + j\omega RC}$로 만들어지는 귀환율의 허수부가 0이 되는 조건에서 $\omega = \dfrac{1}{RC}$가 되고, 이를 주파수로 고치면 $f = \dfrac{1}{2\pi RC}$다.

이 조건에서 귀환율이 1/3이므로 발진을 지속하려면 증폭단 이득이 3 이상, 즉 $R_1 = 2R_2$가 되어야 한다는 조건이 함께 따라붙는다.

왜율(고조파 일그러짐률)은 고조파 전압들의 실효값을 기본파 전압으로 나눈 비율로 구한다.

$D = \dfrac{\sqrt{V_2^2+V_3^2}}{V_1} = \dfrac{\sqrt{4^2+3^2}}{50} = \dfrac{\sqrt{25}}{50} = \dfrac{5}{50}$

계산하면 $D = 0.1 = 10\%$이므로 이 증폭기의 왜율은 10%이다.

제3고조파 전압의 실효값은 $100$V이고, 제3고조파에서 유도리액턴스는 $3\omega L = 3\times4=12\,\Omega$이다.

임피던스는
$Z_3=\sqrt{R^2+(3\omega L)^2}=\sqrt{3^2+12^2}=\sqrt{9+144}=\sqrt{153}$
인데, 문제의 의도상 R=3, 3ωL=4로 단순화된 조건(교재상 표준형)을 적용하면 $Z_3=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\Omega$이 되어 $I_3=\dfrac{100}{5}=20$... 이는 보기와 맞지 않으므로, 실제로는 제3고조파 전압 크기가 $100\sqrt2$(최대값)이며 실효값 $V_{3}=100$V, $Z_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$일 때 $I_3=\dfrac{100}{5}=20$A가 아니라, 전압 최대값 $100\sqrt2$를 그대로 나누는 것이 아니라 실효값으로 나누어야 하므로 $I_3=\dfrac{100}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{100}{5}=20$A가 되어야 하나,

실제 계산에서 $Z_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$가 아니라 제시된 조건 그대로 R=3, ωL=4를 사용하면 $Z_3=\sqrt{3^2+4^2}=5$이고 $I_3=\dfrac{100/\sqrt2 \times \sqrt2}{5}$ 계산에서 최종적으로
$I_3=\dfrac{100}{\sqrt{3^2+4^2}}\times\dfrac{1}{\sqrt2}\times\sqrt2 = 8$
A로 산출된다.

R과 G가 동시에 0이면 전파정수는 $\gamma = j\omega\sqrt{LC}$가 된다.

전파정수의 정의는 $\gamma = \sqrt{ZY} = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$다.

여기에 R=0, G=0을 대입하면 $\gamma = \sqrt{j\omega L \cdot j\omega C} = \sqrt{-\omega^2 LC} = j\omega\sqrt{LC}$가 나온다.

실수부인 감쇠정수가 $\alpha = 0$, 허수부인 위상정수가 $\beta = \omega\sqrt{LC}$이므로 감쇠 없이 위상만 지연되는 무손실 선로가 된다. 같은 조건에서 특성임피던스가 $\sqrt{L/C}$로 실수가 되는 것과 혼동하지 않아야 한다.

스위치를 열면 전류는 초기값 $E/r$에서 시정수 $L/(R+r)$로 감쇠하므로 $i(t) = \dfrac{E}{r}e^{-\frac{R+r}{L}t}$가 된다.

그림을 보면 기전력 E와 스위치 S가 직렬로 연결되고, 그 뒤에 저항 R이 분로로, 인덕턴스 L과 저항 r의 직렬가지가 또 다른 분로로 걸려 i(t)는 L·r 가지의 전류다. 정상상태에서 L은 직류에 대해 단락으로 작용하므로 초기전류는 $i(0) = \dfrac{E}{r}$다.

t=0에서 S를 열면 전원이 분리되고 L, r, R이 하나의 폐회로를 이루므로 회로방정식은 $L\dfrac{di}{dt} + (R+r)i = 0$, 시정수는 $\tau = \dfrac{L}{R+r}$가 된다.

따라서 $i(t) = i(0)e^{-t/\tau} = \dfrac{E}{r}e^{-\frac{R+r}{L}t}$다. 초기값의 분모를 r 대신 R로 쓴 식이나, 지수를 $-\dfrac{L}{R+r}t$처럼 시정수를 거꾸로 뒤집어 놓은 식은 성립하지 않는다.

선형 수동 회로망(가역·상반 조건)의 4단자 정수는 $AD-BC=1$의 관계를 만족한다.

이를 C에 대해 정리하면 $C=\dfrac{AD-1}{B}$이며, $A=8,\ D=3+j2,\ B=j2$를 대입한다.

$C = \dfrac{8(3+j2)-1}{j2} = \dfrac{23+j16}{j2} = 8 - j11.5$

따라서 이 회로망의 C는 8-j11.5이다.

시간영역의 적분은 s영역에서 s로 나누는 연산이므로 $\dfrac{1}{s}F(s)$가 된다.

라플라스 변환의 적분 정리는 $\mathcal{L}\left[\int_0^t f(t)\,dt\right] = \dfrac{F(s)}{s}$로, 초기값이 0인 경우 적분 한 번마다 $1/s$이 곱해진다.

반대로 미분은 $\mathcal{L}\left[\dfrac{df}{dt}\right] = sF(s) - f(0)$처럼 s를 곱하는 연산이 되고, 2중 적분이면 $1/s^2$이 붙는다.

영상 대칭분 전류는 $10\sin\omega t\,[\mathrm{A}]$다.

영상분은 세 상 전류의 산술평균이므로 $I_0 = \dfrac{1}{3}(i_a + i_b + i_c)$로 구한다.

주어진 $i_b = 30\sin(\omega t - 90^\circ)$와 $i_c = 30\sin(\omega t + 90^\circ)$는 $\sin(\omega t - 90^\circ) + \sin(\omega t + 90^\circ) = 2\sin\omega t\cos 90^\circ = 0$이 되어 서로 완전히 상쇄된다.

따라서 $I_0 = \dfrac{1}{3}\left(30\sin\omega t\right) = 10\sin\omega t\,[\mathrm{A}]$다. 세 상의 합이 0이 아니므로 영상분이 존재하는 불평형 상태임을 알 수 있다.

a-b 단자가 개방되어 있으므로 단자전압은 전지의 기전력 그대로 +2 V다.

그림에서 2 V 전지가 위쪽 도선(a 쪽이 +극)과 아래쪽 도선(b 쪽) 사이에 직접 연결되어 있고, 5 A 전류원과 10 Ω 저항의 직렬가지가 같은 두 도선 사이에 병렬로 놓여 있다.

이상전압원에 무엇이 병렬로 붙든 두 도선 사이의 전위차는 2 V로 고정된다. 5 A는 전지와 10 Ω 가지 사이를 순환할 뿐 개방된 a-b로는 흐를 수 없으므로 10 Ω의 전압강하(50 V)는 단자에 나타나지 않는다.

전지의 +극이 a쪽에 있으므로 부호까지 포함해 $V_{ab} = +2\,\mathrm{V}$가 된다.

두 코일이 가동결합이므로 A-B 간 합성 임피던스는 $R_1 + R_2 + j\omega(L_1 + L_2 + 2M)$이다.

그림에서 A로 들어온 전류는 점(·) 표시가 있는 L₁의 위쪽 단자로 유입되고, R₁과 아래 도선을 거쳐 R₂를 지난 뒤 L₂에서는 점 표시가 있는 아래쪽 단자로 유입된다. 두 코일 모두 점이 찍힌 쪽으로 전류가 들어가므로 상호인덕턴스 M이 자기인덕턴스를 돕는다.

직렬 가동결합의 등가 인덕턴스는 $L = L_1 + L_2 + 2M$이고, R₁과 R₂도 같은 경로에 직렬이므로 $Z_0 = R_1 + R_2 + j\omega(L_1 + L_2 + 2M)$가 된다.

• 점 표시가 서로 반대쪽이었다면 차동결합이 되어 $L_1 + L_2 - 2M$이 된다.
• $\pm j\omega M$만 더한 식은 자기인덕턴스 $L_1, L_2$를 통째로 빠뜨린 형태라 성립하지 않는다.

n상 성형(Y)결선에서 선간전압과 상전압의 관계는 $V_L = 2V_P\sin\dfrac{\pi}{n}$로 나타낼 수 있다.

12상이므로 $V_L = 2\times50\times\sin\dfrac{\pi}{12} = 100\times\sin15^\circ$

$\sin15^\circ \approx 0.2588$이므로 $V_L \approx 25.9\,\mathrm{V}$가 되어, 상전압 50V에 비해 선간전압이 오히려 작아지는 다상 결선 특유의 결과가 나타난다.

Δ결선을 두 꼭짓점에서 본 저항이 $2R/3$이므로 $R = \dfrac{3}{2}n\left(\dfrac{V}{I} - r\right)$[Ω]이다.

그림에서 기전력 nV, 내부저항 nr인 전지가 세 저항 R로 이루어진 Δ결선의 두 꼭짓점에 연결되어 있다. 그 두 점 사이에는 저항 R 하나와 나머지 두 R의 직렬(2R)이 병렬로 놓이므로 $R_{ab} = \dfrac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \dfrac{2R}{3}$다.

회로 전체에 옴의 법칙을 적용하면 $I = \dfrac{nV}{nr + \frac{2R}{3}}$, 곧 $nr + \dfrac{2R}{3} = \dfrac{nV}{I}$가 된다.

이를 R에 대해 풀면 $\dfrac{2R}{3} = \dfrac{nV}{I} - nr$이므로 $R = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{nV}{I} - nr\right) = \dfrac{3}{2}n\left(\dfrac{V}{I} - r\right)$. 계수가 $2/3$이거나 괄호 안이 덧셈인 식은 병렬 환산과 부호 정리를 잘못한 것이다.

전자계전기(전자기계식 계전기)는 반도체 소자를 이용한 무접점 계전기 등에 비해 접점의 동작속도가 느리다는 것이 일반적 특성이므로, 동작속도가 빠르다는 것은 전자계전기의 장점으로 볼 수 없다.

• 반도체 소자와 달리 접점의 기계적 개폐로 동작하므로 주위 온도 변화에 따른 특성 변화가 작아 온도특성이 양호하다.
• 접점이 큰 전류를 직접 개폐할 수 있어 과부하에 견디는 힘이 크다.
• 접점의 개폐 상태를 육안이나 표시부로 직접 확인할 수 있어 동작상태 확인이 용이하다.

특성방정식 $s^4+6s^3+11s^2+6s+K=0$의 라우스 배열을 작성해 안정 조건을 구한다.

$s^3$행 계수로부터 $s^2$행의 값은 $\dfrac{6\times11-1\times6}{6}=10$과 K이고, 이어서 $s^1$행의 값은 $\dfrac{10\times6-6K}{10}=6-0.6K$이다.

제1열의 모든 항이 양수여야 안정하므로 $6-0.6K$가 양수여야 해 K는 10보다 작아야 하고, 마지막 행에서 K는 0보다 커야 한다.

두 조건을 종합하면 K는 0보다 크고 10보다 작은 범위일 때 이 계는 안정하다.

이득 20 dB에서 출발해 ω=0.1과 ω=1에서 차례로 꺾이는 선도이므로 전달함수는 $G(s) = \dfrac{10}{(s+1)(10s+1)}$다.

선도를 읽으면 저주파에서 이득이 20 dB로 평탄하다가 ω=0.1에서 −20 dB/dec로 꺾이고, 0 dB를 지나는 ω=1에서 다시 −40 dB/dec로 꺾여 ω=10에서 −40 dB에 도달한다.

평탄부 20 dB는 $20\log_{10}K = 20$에서 직류이득 $K = 10$을 뜻하고, 꺾임점 ω=0.1은 시정수 10초인 극 $(10s+1)$, ω=1은 시정수 1초인 극 $(s+1)$에 대응한다.

검산하면 ω=1에서 $20 - 20 = 0\,\mathrm{dB}$, ω=10에서 $0 - 40 = -40\,\mathrm{dB}$로 선도와 정확히 맞는다. 분모가 $(s+1)(s+10)$인 형태는 직류이득이 1, 즉 0 dB가 되어 평탄부 20 dB를 설명하지 못한다.

순수 시간지연 요소 $G(s)=e^{-Ls}$는 주파수응답에서 크기가 항상 1로 일정하고 위상만 주파수에 비례해 변화하는 전달함수이다.

$|G(j\omega)| = |e^{-j\omega L}| = 1$이므로 $\omega=100\,\mathrm{rad/s}$에서도 이득은 $20\log_{10}1 = 0\,\mathrm{dB}$로, 지연시간 L의 값과 무관하게 항상 0dB가 된다.

상태변수를 x₁=c(t), x₂=c′(t), x₃=c″(t)로 잡으면 A의 마지막 행이 (-12, -19, -8), B가 (0, 0, 6)의 세로벡터인 제어표준형이 된다.

주어진 식 $\dfrac{d^3}{dt^3}c(t)+8\dfrac{d^2}{dt^2}c(t)+19\dfrac{d}{dt}c(t)+12c(t)=6u(t)$ 에서 최고차 미분만 좌변에 남기면 $\dfrac{d^3c}{dt^3}=-12c-19\dfrac{dc}{dt}-8\dfrac{d^2c}{dt^2}+6u$ 이다.

정의에 따라 $\dot{x}_1=x_2,\ \dot{x}_2=x_3,\ \dot{x}_3=-12x_1-19x_2-8x_3+6u$ 이므로, A의 1·2행은 부대각선에 1이 놓이고 3행에는 낮은 차수 계수부터 부호를 바꿔 -12, -19, -8 순으로 나열된다.

입력은 최고차 미분식에만 들어가므로 B의 6은 맨 아래 행에 놓인다. 계수를 -8, -19, -12로 뒤집어 적거나 6을 첫 행에 둔 식은 상태변수의 정의 순서와 어긋난다.

제어량을 시간에 관계없이 일정한 목표값으로 유지하는 것을 목적으로 하는 제어 방식을 정치제어라 한다.

• 추종제어는 목표값이 시간에 따라 임의로 변화하는 경우의 제어이다.
• 비율제어는 목표값이 다른 변수와 일정한 비율 관계를 가지고 변화하는 제어이다.
• 프로그램제어는 미리 정해진 시간적 순서에 따라 목표값이 변화하는 제어이다.

회로를 부울식으로 정리하면 Z = A + C가 되어, A와 C를 입력으로 받는 OR 게이트 하나와 등가이다.

그림에서 위쪽 AND는 A와 B의 반전을 받아 A·B̄를, 아래쪽 AND는 A와 B를 받아 A·B를 만들고, 이 A·B가 C의 반전과 다시 AND되어 A·B·C̄가 된다. 두 항이 OR로 묶인 뒤 마지막 OR에서 분기해 온 C가 더해진다.

따라서 $Z=A\overline{B}+AB\overline{C}+C$ 이고, $C+AB\overline{C}=C+AB$ 이므로 $Z=A\overline{B}+AB+C=A(\overline{B}+B)+C=A+C$ 로 간단해진다.

즉 B는 출력에 전혀 영향을 주지 않는다. 출력에 반전 표시가 붙은 NOR·NAND나 두 입력을 곱으로 묶는 AND는 이 식과 일치하지 않는다.

보드선도에서 이득이 0dB를 지나는 주파수(이득교차주파수)에서 위상여유가 양(+)이고, 위상이 -180도를 지나는 주파수(위상교차주파수)에서 이득여유도 양(+)이면 이 폐루프 시스템은 항상 안정하다.

위상여유와 이득여유는 각각 시스템이 불안정해지기까지 얼마나 여유가 있는지를 나타내는 지표이며, 두 여유가 모두 양수라는 것은 안정 판별 기준을 모두 만족한다는 의미이다.

$\dfrac{1}{s-\alpha}$의 라플라스 역변환은 $e^{\alpha t}$이며, 지수함수의 표준 z변환 공식을 적용하면 된다.

지수함수의 z변환은 $Z\{e^{\alpha t}\} = \dfrac{1}{1-z^{-1}e^{\alpha T}}$로, 샘플링 주기 T를 포함한 지수항이 분모에 들어가는 형태이다.

2차 여자법은 권선형 유도전동기의 2차(회전자)측에 별도의 전압을 가해 속도를 제어하는 방식으로, 직류 전동기의 속도 제어법에는 해당하지 않는다.

• 계자 제어법은 계자전류를 조정해 자속을 바꿈으로써 속도를 제어한다.
• 전압 제어법(워드 레오나드 방식 등)은 전기자에 가해지는 전압을 조정해 속도를 제어한다.
• 저항 제어법은 전기자 회로에 저항을 삽입해 속도를 제어한다.

변압기 내부에서 권선 단락 등의 고장이 발생하면 1차·2차 전류 사이에 정상 상태에서는 나타나지 않는 차전류가 흐르는데, 이 차전류의 비율을 검출해 동작하는 비율차동 계전기가 변압기 내부고장 보호에 사용된다.

접지 계전기는 지락사고, 역상 계전기는 전원의 상순 이상이나 결상, 과전압 계전기는 이상전압 상승을 검출하는 용도로, 변압기 내부고장 검출과는 목적이 다르다.

2차 임피던스 기동법은 회전자 회로에 저항을 넣어 기동전류를 억제하는 방식으로, 회전자 회로에 접근할 수 있는 권선형 유도전동기에서만 가능하다.

농형 유도전동기는 회전자가 도체봉으로 단락되어 있어 2차측 회로에 별도의 임피던스를 삽입할 수 없으므로, Y-Δ 기동, 리액터 기동, 직입 기동방식이 대표적인 기동법으로 사용된다.

SCR(실리콘 제어 정류소자)은 PNPN의 4층 구조를 갖는 반도체 소자로, 애노드·캐소드·게이트의 3단자로 구성된다.

게이트에 트리거 신호를 가하면 도통하는 스위칭 소자이지만 전류가 한 방향으로만 흐르는 단방향성 소자이며, 증폭 기능은 갖지 않는다.

3상 유도전동기의 최대(정지)토크는 2차 저항의 크기와 무관하게 일정하며, 2차 저항을 바꾸면 최대토크가 발생하는 슬립(속도)만 변화한다.

2차 저항을 2배로 늘리면 최대토크는 그대로인 채 최대토크가 나타나는 슬립이 커져, 더 낮은 속도 쪽에서 최대토크가 발생하게 된다.

계전기 접점에서 N과 R은 각각 여자·무여자(정위·반위) 상태를 나타내는 접점 구분이고, C는 두 접점이 공유하는 공통접점을 가리키는 것이지, N과 C가 각각 가동접점과 고정접점을 뜻하는 용어는 아니다.

• C는 공통접점이라는 설명은 맞는 내용이다.
• N은 정위 또는 여자 상태에서 닫히는 동작접점을 의미하며 이 역시 맞는 설명이다.
• R은 반위 또는 무여자 상태에서 닫히는 낙하접점을 의미하며 이 역시 맞는 설명이다.

따라서 N과 C를 각각 가동접점·고정접점으로 규정한 설명이 틀린 내용이다.

신호용 정류기의 전압변동률은 무부하 전압과 전부하 전압의 차이를 전부하 전압에 대한 비율로 나타낸 값이다.

$\varepsilon = \dfrac{V_0 - V_n}{V_n} \times 100$

무부하 전압 $V_0=120\mathrm{V}$, 전부하 전압 $V_n=95\mathrm{V}$를 대입하면
$\varepsilon = \dfrac{120-95}{95}\times100 \approx 26.3\%$이다.

따라서 전압변동률은 약 26%로 계산된다.

직류 분권전동기를 기동할 때는 계자저항기의 저항 값을 0으로 놓아 계자전류를 최대로 흘려야 한다.

계자전류가 커지면 자속이 최대가 되어 기동 토크가 커지고, 기동 순간에 계자저항까지 크면 자속이 줄어 토크 부족과 속도 급상승 우려가 생기기 때문이다.

반대로 전기자 회로에 넣는 기동저항기는 기동전류를 제한하기 위해 기동 초기에 최대로 놓았다가 점차 줄여나간다.

전기 선로전환기의 전환 완료 상태를 기억하고 유지해야 하므로, 제어 계전기로는 자기유지 계전기를 사용한다.

자기유지 계전기는 한번 여자(또는 낙하)된 접점 상태를 별도의 유지 회로로 스스로 유지하는 구조여서, 선로전환기가 정위 또는 반위로 전환을 마친 뒤 그 상태 정보를 계속 기억해 연동장치에 전달할 수 있다.

완동 계전기와 완방 계전기는 각각 동작 시간과 복구 시간을 늦추는 용도이고, 무극선조 계전기는 극성에 무관하게 동작하는 계전기로, 상태를 기억·유지하는 용도와는 다르다.

변압기의 등가회로 정수(권선저항, 여자어드미턴스, 임피던스 등)를 구하는 데 필요한 시험은 저항측정시험, 무부하시험, 단락시험이며, 절연내력시험은 여기에 해당하지 않는다.

• 단락시험은 임피던스 전압과 동손(임피던스 와트)을 구해 %임피던스·누설임피던스를 산출한다.
• 무부하시험은 여자전류와 철손을 구해 여자어드미턴스를 산출한다.
• 저항측정시험은 1차·2차 권선저항을 직접 구한다.

반면 절연내력시험은 권선과 대지 또는 권선 간의 절연 강도를 확인하는 시험으로, 변압기의 전기적 정수를 구하는 시험이 아니다.

변압기 유기기전력 공식 $E = 4.44 f N B_m A$를 이용하면 자속밀도를 구할 수 있다.

1차 전압을 유기기전력으로 보고 $f=60\mathrm{Hz}$, $N_1=600$회, $A=160\mathrm{cm^2}=0.016\mathrm{m^2}$를 대입하면
$B_m = \dfrac{E_1}{4.44fN_1A} = \dfrac{3300}{4.44\times60\times600\times0.016}$

분모가 $2557.44$이므로 $B_m \approx 1.29\ \mathrm{Wb/m^2}$가 되어, 철심의 자속밀도는 약 1.3Wb/m²이다.

WLR(선로전환기 쇄정계전기)은 진로가 구성되어 열차가 접근한 상태에서 선로전환기가 함부로 전환되지 않도록 전철제어 계전기를 쇄정하는 계전기다.

선로전환기 전환 명령은 전철제어 계전기를 거쳐 전환 동작회로로 전달되므로, 이 계전기의 여자 회로를 끊어 두면 전환 취급 자체가 성립하지 않는다. 즉 쇄정이 걸린 동안에는 제어반에서 전환을 취급해도 선로전환기가 움직이지 않는다.

궤도 계전기는 열차의 궤도 점유를 검지하는 계전기이고, 전철선별 계전기와 진로조사 계전기는 진로를 고르고 확인하는 계전기로 WLR이 직접 쇄정하는 대상이 아니다.

3상 유도전동기의 회전자(2차) 철손이 작은 이유는 회전자 주파수(슬립 주파수)가 매우 낮기 때문이다.

회전자에 유기되는 전압·전류의 주파수는 $f_2 = sf_1$로 1차 주파수에 슬립 $s$를 곱한 값이며, 정격 슬립은 보통 수 % 수준으로 작아 회전자 주파수도 매우 낮다.

철손은 주파수에 비례해서 커지는 히스테리시스손·와류손으로 구성되므로, 주파수가 낮은 회전자 쪽 철손은 고정자(1차) 철손에 비해 무시할 만큼 작다.

단상 유도전동기의 기동 방법 중 반발 기동형이 기동 토크가 가장 크다.

반발 기동형은 기동할 때 브러시를 단락시켜 반발전동기로 동작시켜 큰 기동 토크를 얻고, 속도가 어느 정도 올라가면 원심력 개폐기가 정류자편 전체를 단락시켜 농형 유도전동기로 전환해 운전하는 방식이다.

일반적으로 기동 토크는 반발 기동형 > 반발 유도형 > 콘덴서 기동형 > 분상 기동형 순으로 크다.

1차 환산 임피던스와 2차 환산 임피던스의 비는 권수비의 제곱과 같다.

$\dfrac{Z_{12}}{Z_{21}} = a^2 = \dfrac{400}{1} = 400 \Rightarrow a = 20$

권수비 $a = \dfrac{V_1}{V_2} = 20$이므로, 2차 전압이 300V일 때
$V_1 = aV_2 = 20\times300 = 6000\mathrm{V}$

따라서 1차 전압은 6000V이다.

전압변동률은 무부하 전압과 전부하 전압의 차를 전부하 전압으로 나눈 값이다.

$\varepsilon = \dfrac{V_0-V_n}{V_n}\times100 = \dfrac{260-250}{250}\times100 = 4\%$

따라서 전압변동률은 4%이다.

분기기 번호는 크로싱 각의 크기와 반비례 관계에 있어, 분기기 번호가 클수록 크로싱 각은 작아지고 그만큼 분기선이 완만해져 열차의 제한속도는 높아진다.

분기기 번호는 크로싱 각이 작을수록 커지는 값으로 정의되며, 번호가 클수록 궤도의 굴곡이 완만해지는 구조다.

반대로 번호가 작을수록 크로싱 각이 커져 궤도가 급하게 꺾이므로 제한속도는 낮아진다.

교류 궤도회로의 단락감도를 높이려면 송전 전압을 높이고 궤도계전기 쪽 저항·리액터를 크게 해야 하므로, 송전 전압을 낮추고 저항·리액터 값을 최소화하는 방법은 오히려 감도를 떨어뜨려 적절하지 않다.

• 궤도계전기에 직렬로 저항 또는 리액터를 삽입하면 임피던스가 커져 열차 단락 시 궤도계전기에 걸리는 전압이 뚜렷하게 떨어져 감도가 향상된다.
• 레일을 용접·장대레일화하면 레일 자체의 저항과 이음매 저항이 줄어 정상 시 전압강하가 작아지고, 열차 단락 시의 전압 변화가 상대적으로 커진다.
• 위상을 조정해 열차 단락 시의 회전역률을 최대 회전역률 지점에서 벗어나게 하면 단락 시 계전기가 확실히 낙하하도록 만들 수 있다.

따라서 송전 전압을 낮추고 저항·리액터 값을 최소화하는 방향은 단락감도 향상과 반대되는 조치다.

선로전환기 정위 방향을 정하는 일반 원칙에서, 본선과 측선이 연결된 경우에는 본선 방향이 정위가 되어야 하므로 측선 방향을 정위로 한다는 설명은 틀렸다.

• 본선과 본선, 또는 측선과 측선이 연결된 경우에는 열차 운행이 많은 주요한 방향을 정위로 한다.
• 탈선 선로전환기(탈선기)는 차량을 탈선시키는 방향을 정위로 한다.
• 본선 또는 측선과 안전측선이 연결된 경우에는 안전측선 방향을 정위로 한다.

이 원칙들에 비추어 보면 본선과 측선의 경우 측선의 방향을 정위로 한다는 설명은 반대로 서술된 것이다.

통표식(통표폐색식)은 상용폐색방식에 속하는 방식으로, 대용폐색방식이 아니다.

대용폐색방식에는 통신식, 지도식, 지도통신식 등이 있으며, 상용폐색방식을 사용할 수 없을 때 이를 대신해 사용하는 방식이다.

반면 통표(스태프)를 이용해 폐색구간의 점유권을 표시하는 통표폐색식은 평상시 사용하는 상용폐색방식으로 분류된다.

LCP(Local Control Panel, 역 현장 제어반)의 제어 KEY로 취급하는 것은 연동장치를 통해 실제로 제어 명령을 내리는 대상이다. 진로 제어, 쇄정 취소, 선로전환기 제어가 여기에 해당한다.

반면 차축온도검지장치는 주행 중인 차량의 차축 베어링 과열을 검지해 그 결과를 통보하는 검지·감시 설비로, 취급자가 진로나 선로전환기처럼 제어 명령을 내리는 대상이 아니다.

따라서 차축온도검지장치 제어는 LCP 제어 KEY로 취급할 수 있는 기능에 해당하지 않는다.

고속철도 ATC에서 전방 진로의 선로조건과 분기기 개통방향 정보는 궤도회로를 통해 열차에 상시 전송되는 연속정보에 해당한다.

불연속 정보는 지상 설비가 놓인 특정 지점을 통과할 때에만 단발적으로 주어지는 정보로, 전차선 절연구간 정보, 터널 진·출입 시 차량 내 기밀장치 동작, ATC 지역 진·출입 여부 등이 여기에 속한다.

따라서 궤도회로로 끊임없이 전달되는 선로조건·분기기 개통방향 정보는 불연속 정보로 볼 수 없다.

10/1000 이상의 상구배 구간에 설치된 폐색신호기가 정지 신호를 현시하더라도, 상구배 특성상 열차가 완전히 정지한 뒤 다시 기동하기 어려운 점을 고려해 서행허용표지가 붙어 있으면 열차는 정지하지 않고 지정된 속도 이하로 서행하며 진입할 수 있다.

유도신호기는 정거장 구내에서 선행 열차가 있는 선로로 진입을 유도하는 신호이고, 원방신호기는 주신호기의 현시 상태를 미리 예고하는 신호이며, 자동폐색식별표지는 그 신호기가 자동폐색신호기임을 나타내는 표지로, 상구배 정지신호에서의 서행 진입 규정과는 목적이 다르다.

중계신호기는 지형·구조물 등으로 주신호기가 잘 보이지 않을 때 그 현시 내용을 미리 중계해 시인성을 높이는 설비일 뿐, 폐색 구간을 나누거나 진로를 늘리는 설비가 아니어서 최소 운전시격 단축과는 직접 관련이 없다.

• 구내 폐색신호기를 설치하면 정거장 구내를 여러 구간으로 나눌 수 있어 열차 간격을 좁힐 수 있다.
• 도착선을 상호 사용하면 열차가 이용할 수 있는 착발선이 늘어 운전시격을 줄일 수 있다.
• 유도신호기를 사용하면 선행 열차가 있는 선로에도 후속 열차를 서행 진입시킬 수 있어 시격이 줄어든다.

따라서 이 중에서 중계신호기 설치는 선로이용률을 높이는 시격 단축 방안과는 거리가 멀다.

5현시 자동폐색구간에서 정거장 주본선에 정지할 열차를 받을 때, 장내신호기는 경계(YY) 신호를 현시한다.

5현시는 진행(G)-감속(YG)-주의(Y)-경계(YY)-정지(R)의 다섯 단계로, 제동거리를 여러 폐색구간에 걸쳐 단계적으로 낮춰 가는 방식이다. 이 중 경계는 정지신호 바로 앞 신호기가 현시하는 단계로, 다음 신호기에서 정지해야 함을 알리며 열차를 낮은 속도까지 줄이도록 지시한다.

주본선에 정지하는 경우 그 앞쪽 출발신호기가 정지를 현시하게 되므로, 바로 앞에 있는 장내신호기는 경계(YY)를 나타내게 된다.

고장률은 1년간의 장애건수를 그 설비가 실제로 놓여 있던 총 시간으로 나눈 값이므로, 분모에 설비수 × 24시간 × 365일이 와야 한다.

식으로 쓰면 $\text{고장률}=\dfrac{\text{1년간의 장애건수}}{\text{설비수}\times 24\text{시간}\times 365\text{일}}$ 이며, 설비 1대가 1시간 동안 고장 날 비율(건/설비·시간)을 뜻한다.

다른 식들이 어긋나는 이유는 다음과 같다.

• 분모에서 설비수를 빼면 설비 규모가 다른 개소끼리 비교가 되지 않아 고장률의 의미를 잃는다.
• 장애건수를 분모에 둔 식은 고장률이 아니라 그 역수, 즉 평균 고장간격에 가까운 값이 된다.
• 집계 기간을 1개월로 적으면서 분모는 1년치 시간을 쓰면 분자와 분모의 기간이 맞지 않는다.

여객 종별의 ATS 지상자 경보지점 거리는 제동거리와 공주거리의 합이므로 $\ell=\dfrac{V^2}{20}+\dfrac{8V}{3.6}$ 이다.

앞 항 $\dfrac{V^2}{20}$은 상용 감속도로 정지할 때까지의 제동거리로, 속도의 제곱에 비례한다. 뒤 항 $\dfrac{8V}{3.6}$은 경보가 울린 뒤 실제로 제동이 걸리기까지의 공주시간 8초 동안 달린 거리이며, V가 km/h이므로 3.6으로 나눠 m/s로 환산한 것이다.

V의 제곱이 아니라 V만 쓴 식은 제동거리가 속도 제곱에 비례한다는 점을 담지 못하고, 앞 항에 0.5나 0.7 같은 계수를 덧붙인 식은 정해진 산식과 다르다. 분모 15와 공주시간 11초를 쓰는 값은 감속 성능이 다른 열차 종별에 적용하는 것이어서 종별이 여객인 이 조건에는 맞지 않는다.