20년 1회차

이미터 팔로워(컬렉터 접지) 회로는 입력저항이 매우 높고 출력저항이 낮아 CB(베이스 접지)증폭기보다 입력저항이 높고 전류이득도 크다.

출력 신호는 입력과 같은 위상으로 나오지만, 전압이득(증폭도)은 항상 1보다 약간 작은 값을 갖는 전압 버퍼 회로이다.

따라서 증폭도가 1 이상이라는 설명이 이미터 팔로워의 특성과 맞지 않는다.

두 증폭률의 관계는 $\beta=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}$ 이다.

트랜지스터에서 전류는 $I_E=I_B+I_C$ 로 나뉘고, 베이스 접지의 전류증폭률은 $\alpha=\dfrac{I_C}{I_E}$, 이미터 접지의 전류증폭률은 $\beta=\dfrac{I_C}{I_B}$ 로 정의된다.

$I_B=I_E-I_C$ 를 대입하면 $\beta=\dfrac{I_C}{I_E-I_C}=\dfrac{I_C/I_E}{1-I_C/I_E}=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}$ 를 얻는다.

α는 1보다 조금 작으므로(예: 0.98) β는 $\dfrac{0.98}{0.02}=49$ 처럼 수십 배로 커진다. 분모가 1+α인 식이나 β를 α와 거의 같다고 본 식으로는 이 큰 전류증폭을 설명할 수 없다.

출력은 $Y=A\overline{B}C+C\overline{D}E+E\overline{F}G$ 이다.

그림의 위쪽 AND 게이트에는 A, 인버터를 지난 $\overline{B}$, 그리고 C 선에서 분기된 C가 들어가 $A\overline{B}C$ 를 만든다.

가운데 AND 게이트에는 C, 인버터를 지난 $\overline{D}$, E가 들어가 $C\overline{D}E$ 를, 아래쪽 AND 게이트에는 E 선에서 분기된 E, 인버터를 지난 $\overline{F}$, G가 들어가 $E\overline{F}G$ 를 만든다.

세 AND 출력이 하나의 OR 게이트로 모이므로 최종 출력은 세 곱항의 합이 되며, C와 E가 이웃한 두 게이트에 공유되고 B·D·F만 반전되어 들어간다는 점이 핵심이다.

피변조파는 $V_C\left[1+m(t)\cos(\omega_s t)\right]\cos(\omega_c t)$ 이다.

진폭변조는 반송파의 진폭을 변조 신호에 따라 변화시키는 방식이므로, 반송파 $V_C\cos(\omega_c t)$ 의 진폭 자리에 $V_C\left[1+m(t)\cos(\omega_s t)\right]$ 가 들어간다.

즉 포락선은 변조 신호 각주파수 $\omega_s$ 로 느리게 변하고, 그 안을 채우는 높은 주파수 성분은 반송파 각주파수 $\omega_c$ 가 된다.

진폭 항과 반송파 항의 각주파수를 서로 바꾼 식은 낮은 주파수를 반송파로 쓰는 셈이 되어 맞지 않고, 상수항 1이 빠진 두 코사인의 곱은 포락선이 뒤집히는 양측파대 억압반송파(DSB-SC)여서 일반적인 AM 피변조파가 아니다. 반송파 항 없이 포락선만 적은 식도 변조된 높은 주파수 파형이 되지 못한다.

나이퀴스트(표본화) 정리에 따르면 원 신호를 왜곡 없이 복원하려면 표본화 주파수가 신호에 포함된 최고 주파수의 2배 이상이어야 한다.

최고 주파수가 5kHz이므로 최소 2배로 샘플링하면 원 신호와 동일하게 복원할 수 있다.

보데 선도에서 옥타브(octave)는 주파수가 2배로 변하는 구간을 의미한다.

따라서 -20dB/octave는 주파수가 2배로 증가하는 동안 이득이 20dB씩 감소한다는 뜻이다.

참고로 주파수가 10배로 증가하는 구간은 데케이드(decade)라 하며, 그 구간의 이득 감소는 -20dB/decade와 같이 별도로 표현한다.

T 플립플롭의 특성방정식은 $Q_{n+1}=T\oplus Q_n$ 이다.

T = 0이면 상태가 그대로 유지되어 $Q_{n+1}=Q_n$ 이고, T = 1이면 상태가 반전되어 $Q_{n+1}=\overline{Q_n}$ 이 된다.

이 두 동작을 한 식으로 묶으면 $Q_{n+1}=T\,\overline{Q_n}+\overline{T}\,Q_n$ 이고, 이는 곧 배타적 논리합 $T\oplus Q_n$ 이다.

다음 상태를 T 하나로만 두거나 T와 현재 상태의 논리합·논리곱으로 둔 식은 T = 0에서 유지, T = 1에서 반전이라는 토글 동작을 나타내지 못한다.

다이오드를 여러 개 병렬로 연결하면 전류 경로가 분산되어 각 다이오드에 흐르는 전류가 줄어들므로, 다이오드를 과전류로부터 보호하기 위한 목적이다.

• 과전압 보호는 다이오드를 직렬로 연결할 때의 목적이다.
• 맥동률 감소는 정류회로의 필터(콘덴서 등) 구성과 관련된 것으로 병렬 연결의 주된 목적이 아니다.

밀러정리로 나타낸 입력 임피던스는 $Z_{in}=\dfrac{Z_f}{1-A}$ 이다.

그림은 전압이득이 A인 증폭기의 입력 단자 $V_i$ 와 출력 단자 $V_o$ 사이에 되먹임 임피던스 $Z_f$ 가 걸린 구조이고, $V_o=A\,V_i$ 이다.

$Z_f$ 에 흐르는 전류는 $I=\dfrac{V_i-V_o}{Z_f}=\dfrac{V_i(1-A)}{Z_f}$ 이므로, 입력에서 본 임피던스는 $Z_{in}=\dfrac{V_i}{I}=\dfrac{Z_f}{1-A}$ 가 된다.

이것이 밀러정리이며, A가 큰 음수인 반전 증폭에서는 $Z_f$ 가 커패시터일 때 입력 용량이 (1−A)배로 커지는 밀러 효과로 나타난다.

두 입력 A, B를 배타적 논리합(XOR)한 출력과, A를 반전시켜 B와 AND 한 출력이 함께 나오므로 이 회로는 반감산기(half subtractor)이다.

그림에서 위쪽 게이트는 A와 B를 그대로 받는 XOR로 $D = A \oplus B$를 만들고, 아래쪽 AND 게이트는 인버터를 거친 $\overline{A}$와 B를 받아 $Bo = \overline{A} \cdot B$를 만든다. 이는 A에서 B를 뺄 때의 차(D)와 빌림(Borrow)을 그대로 나타낸 식이다.

• 반가산기라면 자리올림이 $C = A \cdot B$이므로 AND 게이트 입력에 인버터가 붙지 않는다. 그림에는 A쪽에 인버터가 분명히 그려져 있다.
• 플립플롭은 출력이 입력으로 되돌아오는 되먹임 경로가 있어야 상태를 기억하는데, 이 회로에는 그런 경로가 없다.
• 계수기는 클록으로 동작하는 플립플롭 여러 단이 필요하므로, 게이트만으로 구성된 조합논리 회로인 이 그림과는 구조 자체가 다르다.

R-L-C 직렬공진회로의 선택도는 공진 각주파수에서의 리액턴스와 저항의 비, 즉 $Q = \dfrac{\omega_r L}{R}$ 이다.

공진 시 $\omega_r L = \dfrac{1}{\omega_r C}$ 이므로 같은 값을 $Q = \dfrac{1}{\omega_r C R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ 로도 쓸 수 있고, 이는 무차원 값으로 공진의 첨예도(대역폭 $B = \dfrac{f_r}{Q}$)를 결정한다.

• 저항 R이 분모에 없이 $\dfrac{1}{\omega_r C}$ 만 쓴 식은 리액턴스(Ω) 차원이 남아 선택도가 될 수 없다.
• $\dfrac{L}{CR}$ 역시 Ω 차원이 남으므로 무차원인 Q와 맞지 않는다.
• $\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ 는 특성 임피던스의 역수 형태로, R이 전혀 들어 있지 않아 손실에 따른 선택도 변화를 설명하지 못한다.

FM 신호의 대역폭은 카슨(Carson)의 법칙 $BW = 2(\Delta f + f_m)$으로 구한다.

대역폭 150kHz, 변조주파수 10kHz를 대입하면 $150 = 2(\Delta f + 10)$이므로
$\Delta f = 75 - 10 = 65\,\mathrm{kHz}$

따라서 최대 주파수 편이는 65kHz이다.

그림은 차동증폭기이며, 주어진 값으로 출력전압은 -5V가 된다.

회로 접속을 보면 V₁은 R₁을 거쳐 반전(-)입력에, 출력은 R₂로 반전입력에 되먹임되고, V₂는 R₃를 거쳐 비반전(+)입력에, 그 마디는 R₄로 접지된다.

비반전 입력 전압은 $V_{+} = V_2 \cdot \dfrac{R_4}{R_3+R_4} = 3 \times \dfrac{5}{1+5} = 2.5\,\mathrm{V}$ 이고, 가상단락으로 $V_{-} = 2.5\,\mathrm{V}$ 이다.
R₁에 흐르는 전류는 $I = \dfrac{4-2.5}{1\,\mathrm{k\Omega}} = 1.5\,\mathrm{mA}$ 이고, 이 전류가 그대로 R₂로 흐르므로 $V_O = 2.5 - 1.5\,\mathrm{mA} \times 5\,\mathrm{k\Omega} = -5\,\mathrm{V}$ 이다.

R₁=R₃, R₂=R₄인 대칭 조건이므로 $V_O = \dfrac{R_2}{R_1}(V_2-V_1) = 5 \times (3-4) = -5\,\mathrm{V}$ 로 한 번에 구해도 같다. V₂가 V₁보다 작으므로 출력은 음(-)이 된다.

NPN 트랜지스터가 증폭기(활성영역)로 동작할 때 각 전극의 전위는 컬렉터가 가장 높고, 다음이 베이스, 이미터가 가장 낮은 순서이다.

• 베이스-이미터 순방향, 베이스-컬렉터 역방향 바이어스는 활성영역 동작의 기본 조건으로 옳은 설명이다.
• 트랜지스터의 3전극이 이미터·베이스·컬렉터라는 것도 옳은 설명이다.

따라서 전압이 높은 순서를 베이스, 이미터, 컬렉터라고 한 설명이 틀린 내용이다.

RC 직렬회로에 크기 V_b의 구형파(계단전압)를 인가하면 저항 양단 전압은 시정수 $\tau = RC$ 로 지수적으로 감쇠하여 $V_R = V_b e^{-t/RC}$ 가 된다.

인가 순간에는 커패시터에 전하가 없어 전압이 0이므로 전원 전압 전부가 R에 걸려 $V_R(0)=V_b$ 이고, 시간이 지나 C가 충전될수록 전류가 줄어 $V_R(\infty)=0$ 으로 수렴한다. 따라서 지수부가 음(-)이고 시정수 RC가 분모에 오는 형태만이 이 거동을 나타낸다.

• 지수가 양(+)인 형태는 시간이 갈수록 전압이 무한히 커진다는 뜻이어서 수동 RC 회로에서는 성립할 수 없다.
• 지수에 RC가 곱해진 $e^{-RCt}$ 형태는 시정수가 $1/RC$가 되어 버려, 시정수가 RC라는 RC 회로의 기본 성질과 어긋난다.

흡수법칙(absorption law)에 따라 $A(A+B) = A$가 성립하므로, $AB = A(A+B)$라는 등식은 우변이 항상 A인 반면 좌변 AB는 B값에 따라 달라져 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 A=1, B=0이면 좌변은 0, 우변은 1이 되어 서로 다르다.

나머지 보기는 각각 교환법칙, 분배법칙(합의 곱 형태), 분배법칙(곱의 합 형태)으로 모두 성립하는 정리이다.

그림은 비반전 증폭기이므로 출력전압은 12V이다.

회로에서 입력 V₁이 비반전(+)입력에 직접 들어가고, 출력에서 R_f를 거쳐 반전(-)입력으로 되먹임되며, 그 반전입력 마디는 R₁을 통해 접지되어 있다. 이 구성의 전압이득은 $A_v = 1 + \dfrac{R_f}{R_1}$ 이다.

$V_O = \left(1 + \dfrac{450\,\mathrm{k\Omega}}{150\,\mathrm{k\Omega}}\right) \times 3\,\mathrm{V}$
$V_O = (1+3) \times 3 = 12\,\mathrm{V}$

입력이 비반전 단자로 들어가므로 출력의 극성은 입력과 같아 음수 값이 될 수 없고, 이득이 항상 1보다 크다는 점도 비반전 증폭기의 특징이다.

그림은 인덕터 L과 두 커패시터 C₁·C₂로 탱크회로를 이루고 그 접속점을 트랜지스터로 되먹임하는 콜피츠(Colpitts) 발진기이며, 발진 주파수는 약 2360kHz이다.

탱크회로의 공진 조건에서 두 커패시터는 L에 대해 직렬 합성으로 작용하므로 합성 정전용량은
$C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \dfrac{100 \times 10}{100 + 10} \fallingdotseq 9.09\,\mathrm{pF}$

발진 주파수는
$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.5\times10^{-3} \times 9.09\times10^{-12}}}$
$f \fallingdotseq 2.36\times10^{6}\,\mathrm{Hz} = 2360\,\mathrm{kHz}$

두 커패시터가 직렬 합성이라는 점이 핵심으로, 작은 쪽인 10pF보다도 작은 약 9.09pF가 되어 주파수가 높아진다. 만약 병렬(110pF)로 잘못 보면 약 680kHz가 나오므로 접속을 반드시 확인해야 한다.

16진수 $(A2F)_{16}$를 자릿값으로 전개하면
$A \times 16^2 + 2 \times 16^1 + F \times 16^0 = 10\times256 + 2\times16 + 15\times1$

$= 2560 + 32 + 15 = 2607$

따라서 10진수로 2607이다.

플립플롭 n개로 표현할 수 있는 상태 수는 $2^n$이다.

$2^6 = 64$이므로 64개의 상태를 표현하려면 최소 6개의 플립플롭이 필요하다.

3상 무효전력은 $Q = \sqrt{3}\,V_L I_L \sin\theta$로 구한다.

역률 $\cos\theta = 0.6$이므로 $\sin\theta = 0.8$이고, 이를 정리하면
$I_L = \dfrac{Q}{\sqrt{3}\,V_L \sin\theta} = \dfrac{10000}{\sqrt{3}\times100\times0.8}$

$I_L \approx 72.2\,\mathrm{A}$이므로 선전류의 크기는 약 72.2A이다.

복소전력의 크기는 유효전력과 무효전력을 각각 실수부·허수부로 하는 벡터의 크기로 구한다.
$|S| = \sqrt{P^2+Q^2} = \sqrt{300^2+400^2}$

$=\sqrt{90000+160000}=\sqrt{250000}=500\,\mathrm{VA}$

따라서 복소전력의 크기는 500VA이다.

20Ω에는 2A가 흘러 소비전력은 80W이다.

그림의 구성은 27V 전압원 - 1Ω - 마디 A, 마디 A에서 접지로 4Ω, 마디 A와 마디 B 사이에 20Ω, 마디 B에서 접지로 5Ω, 그리고 마디 B에서 접지로 향하는 6A 전류원이다. 두 마디에 대해 키르히호프 전류법칙을 세우면
$\dfrac{V_A-27}{1} + \dfrac{V_A}{4} + \dfrac{V_A-V_B}{20} = 0$
$\dfrac{V_B-V_A}{20} + \dfrac{V_B}{5} + 6 = 0$

정리하면 $26V_A - V_B = 540$, $V_A = 5V_B + 120$ 이 되어 $V_B = -20\,\mathrm{V}$, $V_A = 20\,\mathrm{V}$ 이다.

따라서 20Ω에 흐르는 전류는 $I = \dfrac{20-(-20)}{20} = 2\,\mathrm{A}$ 이고,
$P = I^2 R = 2^2 \times 20 = 80\,\mathrm{W}$ 이다. 전압원과 전류원이 함께 있는 회로이므로 마디해석으로 두 마디 전압을 먼저 구하는 것이 가장 빠르다.

주어진 전압방정식을 라플라스 변환하면 $I(s) = \dfrac{V}{R} \cdot \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{RC}}$ 가 된다.

일정 전압 V가 인가되므로 좌변은 $\dfrac{V}{s}$ 로, 우변의 적분항은 초기 전하가 없으므로 $\dfrac{I(s)}{sC}$ 로 변환된다.
$\dfrac{V}{s} = R\,I(s) + \dfrac{I(s)}{sC}$
$I(s) = \dfrac{V}{s\left(R + \dfrac{1}{sC}\right)} = \dfrac{V}{sR + \dfrac{1}{C}} = \dfrac{V}{R} \cdot \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{RC}}$

즉 분자 계수는 V/R(초기 전류 V/R)이고 극점은 s = -1/RC(시정수 RC)에 놓인다. 역변환하면 $i(t) = \dfrac{V}{R}e^{-t/RC}$ 로, RC 회로의 지수 감쇠 전류와 정확히 일치한다.

• 분자를 C/R이나 R/C로 쓴 식은 전류 차원(A)이 되지 않아 성립하지 않는다.
• 분모를 $s - \dfrac{1}{RC}$ 로 쓴 식은 극점이 우반평면에 놓여 시간이 갈수록 전류가 발산한다는 뜻이므로 수동 RC 회로의 답이 될 수 없다.

비정현파 전력은 각 주파수 성분의 전력을 따로 구해 더하므로 소비전력은 약 1703W이다.

기본파는 실효값 100V이고 임피던스가 $Z_1 = \sqrt{4^2+3^2} = 5\,\Omega$ 이므로
$I_1 = \dfrac{100}{5} = 20\,\mathrm{A}$, $P_1 = I_1^2 R = 20^2 \times 4 = 1600\,\mathrm{W}$

제3고조파는 실효값 50V이고 리액턴스가 3배가 되어 $Z_3 = \sqrt{4^2+9^2} = \sqrt{97} \fallingdotseq 9.85\,\Omega$ 이므로
$I_3 = \dfrac{50}{9.85} \fallingdotseq 5.08\,\mathrm{A}$, $P_3 = 5.08^2 \times 4 \fallingdotseq 103\,\mathrm{W}$

따라서 $P = P_1 + P_3 = 1600 + 103 \fallingdotseq 1703\,\mathrm{W}$ 이다. 전력은 저항에서만 소비되고 주파수가 다른 성분끼리는 평균 전력을 만들지 않으므로 단순 합산이 성립하며, 고조파에서 유도리액턴스가 nωL로 커진다는 점을 놓치면 값이 크게 달라진다.

C상 전류의 크기는 $I_c = \dfrac{2W}{\sqrt{3}\,V_{ab}}$ 이다.

그림에서 전력계 W는 전류코일이 a선에 직렬로, 전압코일이 a-b 사이에 접속된 1전력계 결선이고, 부하는 저항 R 3개의 대칭 Y결선이다. 저항 부하이므로 선전류 $I_a$는 상전압 $V_{an}$과 동상이고, 선간전압 $V_{ab}$는 상전압보다 30° 앞선다.

따라서 전력계 지시값은
$W = V_{ab} I_a \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} V_{ab} I_a$
$I_a = \dfrac{2W}{\sqrt{3}\,V_{ab}}$

부하가 대칭이므로 세 선전류의 크기가 모두 같아 I_c = I_a 이고, 그 값이 그대로 답이 된다. 분모에 3이 들어간 식은 cos30°(=√3/2) 대신 3분모를 쓴 것이어서 위상관계와 맞지 않는다.

4단자 정수는 $A = 1 + \dfrac{Y_3}{Y_1}$, $C = Y_3$ 이다.

그림은 입력측 직렬 임피던스 Z₁, 출력측 직렬 임피던스 Z₂, 가운데 병렬(분로) 임피던스 Z₃로 이루어진 T형 회로망이다. 출력을 개방한 상태에서 정의대로 구하면
$A = \left.\dfrac{V_1}{V_2}\right|_{I_2=0} = \dfrac{Z_1+Z_3}{Z_3} = 1 + \dfrac{Z_1}{Z_3}$
$C = \left.\dfrac{I_1}{V_2}\right|_{I_2=0} = \dfrac{1}{Z_3}$

단서에서 $Z_1 = \dfrac{1}{Y_1}$, $Z_3 = \dfrac{1}{Y_3}$ 이므로 $\dfrac{Z_1}{Z_3} = \dfrac{Y_3}{Y_1}$ 가 되어 $A = 1 + \dfrac{Y_3}{Y_1}$ 이고, $C = \dfrac{1}{Z_3} = Y_3$ 이다.

즉 C는 분로 소자의 어드미턴스 그 자체이며, 출력을 개방했을 때 Z₂에는 전류가 흐르지 않으므로 A와 C에는 Z₂(Y₂)가 전혀 나타나지 않는다. C를 Y₂나 1/Y₃로 쓴 식은 이 성질과 어긋난다.

역상분 전류는 대칭좌표법 공식 $I_2 = \dfrac{1}{3}(I_a + a^2 I_b + a I_c)$로 구한다. 여기서 $a = 1\angle120^\circ$, $a^2 = 1\angle240^\circ$이다.

주어진 $I_a=15+j2$, $I_b=-20-j14$, $I_c=-3+j10$을 대입하면
$a^2 I_b \approx -2.12+j24.32$, $a I_c \approx -7.16-j7.60$이므로 세 항의 합은 $5.72+j18.72$이다.

이를 3으로 나누면 $I_2 \approx 1.91+j6.24\,\mathrm{A}$이므로 역상분 전류는 약 1.91+j6.24A이다.

스위치를 닫은 직후의 전류는 0.1A이다.

그림은 100V 직류전원에 스위치 S, 1kΩ 저항, 1μF 커패시터가 직렬로 연결된 RC 회로다. 커패시터에 초기 전하가 없으므로 $t=0^{+}$ 에서 커패시터 양단 전압은 0이고, 이 순간 커패시터는 단락(short)과 같이 동작한다.

따라서 전원 전압이 모두 저항에 걸리므로
$i(0^{+}) = \dfrac{V}{R} = \dfrac{100}{1\times10^{3}} = 0.1\,\mathrm{A}$

이후 전류는 시정수 $\tau = RC = 1\,\mathrm{k\Omega} \times 1\,\mu\mathrm{F} = 1\,\mathrm{ms}$ 로 $i(t) = 0.1e^{-t/\tau}$ 처럼 감소해 정상상태에서 0이 된다. 커패시터 값 1μF는 초기 전류 크기에는 관여하지 않고 감쇠 속도만 정한다는 점이 이 문제의 핵심이다.

무손실 선로의 진행파 속도는 단위 길이당 인덕턴스와 정전용량의 곱의 제곱근에 반비례하므로 $v=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\ [\mathrm{m/s}]$ 이다.

무손실 조건은 $R=0,\ G=0$ 이므로 전파정수가 $\gamma=\sqrt{(j\omega L)(j\omega C)}=j\omega\sqrt{LC}$ 가 되어 감쇠정수는 0, 위상정수는 $\beta=\omega\sqrt{LC}$ 이다.
따라서 $v=\dfrac{\omega}{\beta}=\dfrac{\omega}{\omega\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ 로 정리된다.

같은 무손실 조건에서 $\sqrt{L/C}$ 는 특성임피던스(Ω), $\sqrt{C/L}$ 는 그 역수인 특성어드미턴스, $\sqrt{LC}$ 는 단위 길이당 지연시간(s/m)이다. 속도는 이들 중 어느 것도 아니고 $\sqrt{LC}$ 의 역수라는 점이 핵심이다.

직렬 L·C 를 지나 저항 R 양단에서 출력을 뽑는 회로이므로 전달함수는 $G(s)=\dfrac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이다.

그림은 입력단자에서 인덕턴스 L 과 커패시턴스 C 가 직렬로 이어지고 그 끝단에 저항 R 이 접지 쪽으로 연결된 구조이며, 출력 $v_2(t)$ 는 R 양단 전압이다.
루프 임피던스는 $Z(s)=sL+\dfrac{1}{sC}+R$ 이고 전압분배로 $\dfrac{V_2(s)}{V_1(s)}=\dfrac{R}{sL+\frac{1}{sC}+R}$ 이다.

분자·분모에 $sC$ 를 곱해 정리하면 $\dfrac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이 된다.

분자가 $Cs$ 뿐인 식은 출력저항 R 을 곱하지 않은 것이고, 분모를 $LCs^{2}-RCs-1$ 로 쓴 식은 직렬 임피던스의 합을 뺄셈으로 잘못 놓은 것이다. 수동 RLC 회로의 특성다항식은 모든 계수가 양(+)으로 나온다.

$\sin\omega t$ 의 z 변환은 $\dfrac{z\sin\omega T}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}$ 이다.

유도는 오일러 공식 $\sin\omega t=\dfrac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$ 와 지수함수의 z 변환 $\mathcal{Z}\left[e^{\pm j\omega t}\right]=\dfrac{z}{z-e^{\pm j\omega T}}$ 로 한다.
두 항의 차를 통분하면 분모는 $(z-e^{j\omega T})(z-e^{-j\omega T})=z^{2}-2z\cos\omega T+1$, 분자는 $z\sin\omega T$ 가 된다.

분모 가운데 항이 부호는 −, 함수는 cos 라는 점이 판별 기준이다. 가운데 항을 $+2z\cos\omega T$ 로 두거나 $\sin\omega T$ 로 둔 식은 극점이 단위원 위의 $e^{\pm j\omega T}$ 가 되지 않아 정현파가 될 수 없다.

같은 분모를 갖는 $\mathcal{Z}[\cos\omega t]=\dfrac{z(z-\cos\omega T)}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}$ 와 짝으로 외워 두면 분자만 비교해 고를 수 있다.

비례적분(PI) 동작의 출력은 $y(t) = K_p\,z(t) + \dfrac{K_p}{T_i}\displaystyle\int_0^t z(\tau)\,d\tau$로 나타낸다.

비례감도 $K_p=4$, 적분시간 $T_i=4$, $z(t)=2t$를 대입하면 적분항은 $\displaystyle\int_0^t 2\tau\,d\tau = t^2$이다.
$y(t) = 4(2t) + \dfrac{4}{4}t^2 = t^2+8t$

따라서 조작량은 $t^2+8t$이다.

특성방정식의 근이 s평면의 허수축(jω축) 위에 있으면 시스템은 감쇠도 발산도 하지 않고 일정한 진폭으로 진동하는 상태가 된다.

이러한 경우를 임계안정이라고 하며, 근이 좌반면에 있으면 안정, 우반면에 하나라도 있으면 불안정으로 판별한다.

위치상수(위치편차상수)는 K_p = lim(s→0) G(s)H(s)로 정의된다. 단위계단입력에 대한 정상상태 편차는 $e_{ss} = \dfrac{1}{1+K_p}$이며, 이때 K_p는 개루프 전달함수 $G(s)H(s)$에서 $s\to 0$인 극한값이므로, 이를 정확히 나타낸 식인 1번이 정답이다.

특성방정식 $s^4+2s^3+s^2+4s+2=0$의 계수로 라우스(Routh) 표를 작성하면 $s^4$행은 1, 1, 2이고 $s^3$행은 2, 4, 0이다.

$s^2$행은 $\dfrac{2\times1-1\times4}{2} = -1$과 2가 되고, $s^1$행은 $\dfrac{(-1)\times4-2\times2}{-1} = 8$, $s^0$행은 2가 된다.

제1열이 $1,\,2,\,-1,\,8,\,2$로 부호가 두 번 바뀌므로 특성방정식은 우반평면에 근을 가지며, 시스템은 불안정하다.

근궤적의 가지 수는 개루프 극점 수와 영점 수 중 큰 쪽이며, 여기서는 극점이 4개이므로 가지 수는 4이다.

개루프 이득 $G(s)H(s)=\dfrac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)(s+4)}$ 에서 극점은 $s=0,\,-1,\,-3,\,-4$ 로 4개, 영점은 $s=-2$ 하나이다.

특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$ 을 정리하면 $s(s+1)(s+3)(s+4)+K(s+2)=0$ 인 4차 방정식이 되고, 이득 K 가 0 에서 무한대로 변할 때 4개의 근이 각각 하나의 궤적을 그리므로 가지도 4개다.

영점 수 1 이나 점근선 수 $n-m=4-1=3$ 을 답으로 고르기 쉬우나 점근선 수와 가지 수는 다른 값이다. 실제로 3개의 가지는 무한대로 발산하고 나머지 1개가 유한 영점 $s=-2$ 로 수렴한다.

메이슨의 이득공식으로 정리하면 $\dfrac{C(s)}{R(s)}=-\dfrac{6}{41}$ 이다.

선도는 $R(s)$ 와 $C(s)$ 사이에 중간 마디가 세 개 있고, 가지 이득은 R(s)→첫째 마디가 1, 첫째→둘째가 2, 둘째→셋째가 3, 셋째→C(s)가 1 이다. 되먹임은 셋째 마디에서 둘째 마디로 돌아오는 이득 4 와, 셋째 마디에서 첫째 마디로 돌아오는 이득 5 두 개다.
전향경로는 하나뿐이며 그 이득은 $P_1=1\times2\times3\times1=6$ 이다.

폐루프는 $L_1=3\times4=12$ 와 $L_2=2\times3\times5=30$ 두 개이고 두 루프가 둘째·셋째 마디를 공유해 서로 접촉하므로 비접촉 루프 항은 없다.
따라서 $\Delta=1-(L_1+L_2)=1-42=-41$ 이고, 전향경로가 모든 루프에 닿으므로 $\Delta_1=1$ 이다.

정리하면 $\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\dfrac{6}{-41}=-\dfrac{6}{41}$ 이다. 보기의 분모가 모두 41 로 같으므로 전향경로 이득 6 을 정확히 세는 것이 판별 포인트다.

계수행렬 A 로부터 특성방정식은 $|sI-A|=s^{2}-4s+3=0$ 이다.

주어진 $A=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ 에 대해 $sI-A=\begin{bmatrix}s & -1 \\ 3 & s-4\end{bmatrix}$ 이고,
행렬식은 $s(s-4)-(-1)\times 3=s^{2}-4s+3$ 이다.

2×2 행렬은 $s^{2}-(\text{대각합})s+(\text{행렬식})=0$ 으로 바로 쓸 수 있다. 대각합은 $0+4=4$, 행렬식은 $0\times4-1\times(-3)=3$ 이므로 같은 결과다.

특성방정식은 시스템행렬 A 만으로 결정되고 입력행렬 B 는 관여하지 않는다. s 항 부호를 $+4s$ 로 쓴 식은 대각합의 부호를, 상수항을 $-3$ 으로 쓴 식은 행렬식 계산의 부호를 잘못 잡은 것이다.

중복항 제거와 흡수법칙으로 정리하면 결과는 $A+B$ 이다.

괄호를 풀면 $AB+A\overline{B}+AB+\overline{A}B$ 이고, 같은 항 $AB$ 가 두 번 나오므로 $X+X=X$ 에 따라 $AB+A\overline{B}+\overline{A}B$ 로 줄어든다.
앞의 두 항은 $A(B+\overline{B})=A$ 이므로 식은 $A+\overline{A}B$ 가 된다.

여기에 흡수법칙 $A+\overline{A}B=A+B$ 를 적용하면 $A+B$ 로 최종 정리된다.

진리표로 검산해도 A 와 B 중 하나라도 1 이면 원식이 1, 둘 다 0 이면 0 이 되어 OR 게이트와 같다. 보수가 남은 $\overline{A}+B$·$A+\overline{B}$ 나 흡수되어 A 와 같아지는 $A+A\cdot B$ 는 이 진리값과 맞지 않는다.

2차 저항 기동법은 회전자(2차측) 권선에 외부 저항을 접속해 기동전류를 줄이는 방식으로, 회전자 회로에 접근할 수 있는 권선형 유도전동기에서만 적용할 수 있다.

농형 유도전동기는 회전자가 도체봉(농형)으로 단락되어 있어 2차 저항을 넣을 수 없으므로, Y-△기동법·리액터 기동법·전전압 기동법은 농형 전동기에 쓰이지만 2차 저항 기동법은 농형 전동기의 기동법이 아니다.

MJ81형 전기선로전환기에서 전환이 완료된 상태의 기본레일과 텅레일의 밀착간격은 최대 1mm 이하로 유지하도록 관리하는 것이 기준이다.

이 값을 초과하면 텅레일이 기본레일에 완전히 밀착되지 않아 밀착검지 불량·전환 불능은 물론 차륜 충격에 의한 탈선 위험으로 이어질 수 있어 보수 시 중요하게 점검하는 항목이다. (출제 당시 기준의 수치이다.)

여자전류가 끊어진 뒤에도 일정 시간이 지난 후에야 접점이 낙하(복귀)하는 계전기를 완방(緩放)계전기라 한다.

반대로 여자전류가 통전된 뒤 일정 시간이 지난 후에 접점이 동작하는 것은 완동계전기이며, 철도신호 회로에서 순차 동작을 구현하는 데 쓰인다.

직권전동기는 계자권선과 전기자권선이 직렬로 연결되어 있어, 부하(전기자 전류)가 변하면 계자 자속도 함께 크게 변한다.

속도는 자속에 반비례하는 특성이 있어 부하가 작아지면 속도가 급격히 상승하고 부하가 커지면 크게 떨어지는 등, 부하 변화에 대한 속도 변동이 매우 큰 특성을 가진다.

변압기 철심에 자속을 만드는 전류는 여자전류 중 자속을 형성하는 무효분인 자화전류이다.

철손전류는 철심의 히스테리시스·와전류 손실에 대응하는 유효분 전류로, 자화전류와 합쳐져 여자전류를 이룬다.

3상 유도전동기의 토크를 동기속도 기준의 전력값으로 환산해 표시한 것이 동기와트(synchronous watt)이며, 그 값은 2차 입력 $P_2$와 같다.

토크 $T$는 2차 입력 $P_2$와 동기각속도 $\omega_s$ 사이에 $T = \dfrac{P_2}{\omega_s}$의 관계를 가지므로, 동기속도가 정해지면 2차 입력의 전력값이 곧 토크를 나타내는 척도가 된다.

수은정류기에서 정류기가 갖는 한 방향으로만 전류를 흘리는 밸브 작용이 일시적으로 상실되어 역방향으로 전류가 흐르는 이상현상을 역호(逆弧)라 한다.

역호가 발생하면 정류기의 정류 기능이 상실되어 회로에 큰 이상전류가 흐를 수 있어 방지 대책이 중요하다.

NS형 전기선로전환기의 전환 완료 상태를 검지·제어하는 계전기로는 삽입형 유극 자기유지계전기가 사용된다.

유극(극성) 구조와 자기유지 기능을 통해 전환기의 정위·반위 상태를 안정적으로 유지·검지할 수 있도록 설계된 것이다.

직류궤도회로에서는 궤도계전기로 흐르는 전류와 열차 단락 시의 전류를 적정 수준으로 제한하기 위해 가변저항기를 한류장치로 사용한다.

저항값을 조정해 궤도계전기의 동작전류를 현장의 도상 상태·궤도 길이 등 조건에 맞게 맞출 수 있다는 점이 가변저항기를 쓰는 이유이다.

NS형 전기선로전환기의 전동기는 콘덴서로 위상을 분할해 기동토크를 얻는 단상 전동기이다. 콘덴서는 기동에 필요한 회전자계를 만드는 역할을 한다.

따라서 이미 회전을 시작한 뒤에는 단상 권선만으로도 토크가 발생하므로, 동작 중 콘덴서 회로가 단선되더라도 전동기는 계속 회전하여 전환 동작을 끝까지 수행한다.

발전제동은 제동 시 전동기를 발전기로 동작시켜, 차량이 가진 운동에너지(회전부의 기계적 에너지)를 전기에너지로 바꾼 뒤 저항기에서 열로 소비시키는 제동방식이다.

이와 달리 회생제동은 발생한 전기에너지를 전차선(전원)으로 되돌려보내 재사용한다는 점에서 구분된다.

단상 변압기를 병렬 운전할 때 각 변압기가 분담하는 부하전류는 %임피던스강하에 반비례한다.

즉 %임피던스가 작은 변압기일수록 더 많은 부하전류를 분담하게 되며, 병렬 운전 시 각 변압기의 %임피던스를 같게 설계하는 것이 부하 분담을 균등하게 하는 방법이다.

동기속도는 $N_s = \dfrac{120f}{p} = \dfrac{120\times60}{6} = 1200\,\mathrm{rpm}$이다.

회전수는 $N = N_s(1-s) = 1200\times(1-0.04) = 1200\times0.96$

$N = 1152\,\mathrm{rpm}$이므로 회전수는 1152rpm이다.

경부고속철도의 기상검지장치는 풍향ㆍ풍속검지장치, 강우량검지장치, 적설량검지장치와 같이 궤도 상태와 열차 운행에 직접 영향을 주는 기상 요소를 계측하는 설비로 구성되며, 안개검지장치는 여기에 해당하지 않는다.

이들 장치는 계측값이 기준치를 넘으면 서행이나 운행중지 등 운전취급에 반영하기 위한 것으로, 강풍ㆍ강우ㆍ적설처럼 정량적으로 계측해 운전 규제와 연결되는 인자를 대상으로 한다.

출발신호기·입환신호기를 소정 위치에 설치할 수 없어 열차 및 차량 정지표지로 대신할 때, 정지표지에서 신호기까지의 궤도회로 구간을 열차가 점유하고 있으면 취급버튼을 정위로 쇄정하는데 이를 폐로쇄정이라 한다.

궤도회로가 열차 점유로 폐로(閉路) 상태가 되는 것을 조건으로 버튼 쇄정이 걸리므로, 철사쇄정·시간쇄정·접근쇄정 등 다른 쇄정 방식과 구분된다.

강설·결빙으로 인한 선로전환기의 전환불능·불량 장애를 미연에 방지하기 위해 설치하는 설비는 분기기 히팅장치이다.

전환기 주변 레일과 전환간에 열을 가해 눈과 얼음이 쌓이거나 얼어붙는 것을 방지함으로써 첨단레일의 밀착·전환 동작을 정상적으로 유지한다. 강우·적설·풍속 검지장치는 기상 상태를 계측해 알리는 설비일 뿐, 전환불능 자체를 예방하는 설비는 아니다.

3현시 자동폐색 구간의 최소 운전시격은 $T_R=\dfrac{3.6}{V}\times\{2(b+k)+L+C\}+t$ (초)로 구한다.

후속열차가 진행신호를 받으며 달리려면 선행열차와 폐색구간 2개 구간만큼 떨어져 있어야 한다. 폐색구간 길이는 제동거리 b 에 안전제동 여유거리 k 를 더한 $(b+k)$ 이므로 필요한 거리는 $2(b+k)$ 이고, 여기에 열차길이 L 과 신호현시 최소 확인거리 C 를 더한 것이 실제로 주행해야 할 거리다.

속도 V 가 km/h 이므로 m/s 로 환산하면 $V/3.6$ 이고, 소요시간은 $\dfrac{\text{거리}}{V/3.6}=\dfrac{3.6}{V}\times\text{거리}$ 가 된다.
여기에 신호기가 진행현시로 바뀌는 데 걸리는 시간 t 를 더하면 위 식이 완성된다.

분수를 뒤집어 $\dfrac{V}{3.6}$ 을 곱하면 단위가 초가 되지 않고, 괄호 안을 $2(b+C)+L+k$ 로 쓴 식은 폐색구간 길이에 확인거리 C 를 잘못 넣은 것이다. (출제 당시의 운전시격 산정 기준에 따른 식이다.)

2440형 건널목경보기의 발진주파수는 40kHz ± 2kHz 범위로 규정되어 있다.

보기들은 허용편차 ±2kHz는 모두 똑같이 두고 중심주파수만 20·30·40·50kHz로 바꾸어 놓은 형태다. 따라서 편차 폭으로는 답을 가릴 수 없고, 형식별로 정해진 중심주파수 값 자체를 기억해 두어야 구분되는 규격 암기 문항이다.

40kHz는 사람이 들을 수 있는 가청주파수 대역(대략 20Hz~20kHz)을 크게 벗어나는 값이므로, 이 발진주파수는 경보기가 울리는 경보음의 높이와는 다른 값이라는 점을 함께 정리해 두면 음량·음높이 규격과 섞여 헷갈리는 것을 막을 수 있다.

신호기를 평지에 건식할 때 신호기주의 안전율은 2 이상이어야 한다.

안전율은 재료가 견딜 수 있는 강도와 실제 걸리는 응력의 비로, 풍압이나 진동 등 예상 외의 외력이 작용해도 기주가 손상되지 않도록 2배 이상의 여유를 확보하도록 한 것이다.

신호제어설비의 안전측 동작 원칙은 고장이나 정전 시 항상 정지·쇄정 상태로 귀결되도록 구성하는 것이다. 따라서 계전기 회로를 여자시 기기를 쇄정하는 방식으로 구성한다는 설명은 이 원칙에 해당하지 않는다. 여자 상태에서만 쇄정이 걸린다면 정전이나 단선으로 계전기가 떨어졌을 때 쇄정이 풀려 위험측으로 동작하기 때문이다.

• 계전기를 무여자시 전원이 차단되도록 하는 방식은 고장 시 자동으로 안전측(정지)으로 귀결되므로 원칙에 부합한다.
• 전원과 계전기의 위치를 회로의 양단에 두는 방식은 배선이 도중에 접촉·혼촉되어도 계전기가 잘못 여자되지 않게 하여 안전측으로 동작하게 한다.
• 궤도회로를 폐전로식으로 구성하면 레일 파단이나 단선 시 계전기가 무여자되어 정지 현시로 귀결되므로 안전측 원칙에 해당한다.

3위식 신호기의 5현시 방법은 정지-경계-주의-감속-진행의 순서이며, 등열 조합은 R, YY, Y, YG, G가 된다.

정지(R) 다음 단계인 경계 현시에는 황색등 두 개를 켜는 YY를, 주의(Y)와 진행(G) 사이의 감속 현시에는 황색과 녹색을 조합한 YG를 사용하여 속도 단계를 세분화한다.

궤도회로의 점퍼선은 설치 방법에 따라 직렬법·병렬법·직병렬법으로 나뉘는데, 병렬법이 안전도가 가장 높다는 설명은 옳지 않다.

병렬법은 레일 길이를 짧게 할 수 있는 장점이 있으나, 한쪽 점퍼선이 단선되어도 다른 경로로 전류가 흘러 단선을 즉시 검지하지 못할 수 있어 안전도 측면에서는 직렬법보다 불리하다.

• 동일 극성의 다른 레일 상호간을 접속하는 전선이라는 설명은 점퍼선의 정의와 일치한다.
• 병렬법이 궤도회로의 레일 길이를 짧게 할 수 있다는 설명도 옳다.

궤도회로의 한류장치는 전원장치에 과전류가 흐르는 것을 제한하는 설비로, 직류 궤도회로에서는 한류저항 등을 사용하고 교류 궤도회로에서는 저항이나 리액터를 사용하며 2원형 궤도계전기의 위상 조정도 함께 이루어진다.

반면 궤도증폭기는 궤도계전기의 동작에 필요한 신호를 증폭하기 위한 별도의 설비이지 전류를 제한하는 한류장치가 아니므로, 직류 궤도회로의 한류장치로 궤도증폭기를 사용한다는 설명은 옳지 않다.

고전압 임펄스 궤도회로는 높은 전압의 펄스를 매우 낮은 반복률로 레일에 송출하는 방식으로, 송신부의 주파수는 3Hz이다.

연속 전원을 흘리지 않고 초당 몇 회 수준의 임펄스만 보내기 때문에 소비전력이 작고, 전기철도 구간에서 전차선 전류의 영향을 받기 어렵다는 특징이 있다.

양쪽 방향으로 정보 전송이 가능하지만 어느 한 순간에는 한쪽 방향으로만 전송되는 방식은 반이중(half-duplex) 방식이다.

양쪽이 동시에 송수신할 수 있는 전이중 방식과 달리, 반이중 방식은 송신과 수신이 시간을 나누어 교대로 이루어진다. 직렬전송·병렬전송은 전송 방향이 아니라 비트를 보내는 형태에 따른 구분이다.

건널목 지장물검지장치의 광선중심축 지상높이는 건널목 도로면에서 745mm를 표준으로 한다.

이 높이는 건널목을 지장하는 자동차 등의 차체를 확실히 가로막을 수 있는 위치로, 발광기에서 나온 광선이 수광기에 도달하지 못하면 지장물이 있는 것으로 검지하여 열차에 정지 정보를 전달한다.

지상자와 차상자의 공진주파수는 $f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\ [\mathrm{Hz}]$ 로 구한다.

지상자와 차상자는 각각 코일 L 과 콘덴서 C 로 구성된 LC 공진회로이며, 두 회로의 공진주파수를 맞춰 전자결합으로 정보를 주고받는다.

공진조건은 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 같아지는 $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ 이므로 $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ 이고,
$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 가 된다.

$2\pi$ 가 없는 $1/\sqrt{LC}$ 는 주파수가 아니라 각주파수이고, $\pi$ 만 붙이거나 $2\pi$ 를 근호 안에 넣은 식은 유도 과정과 맞지 않는다. 지상자·차상자의 L·C 값이 얼마든 공진주파수 식 자체는 동일하다.

CTC(열차집중제어장치)는 신호설비의 감시·제어, 열차 진로의 자동 제어, 열차 운행 상황 표시를 담당하는 중앙 관제 설비이며, 열차의 속도 자체를 자동으로 제어하는 기능은 갖지 않는다.

정속도 운행의 자동 제어는 ATC·ATO와 같은 열차제어장치가 차상에서 담당하는 영역으로, CTC의 관제 기능과는 구분된다.

열차집중제어장치(CTC)는 주 컴퓨터, 데이터 전송설비(DTS), 대형표시반(LDP) 등으로 구성되어 관제실에서 열차 운행을 집중 감시·제어한다.

발리스(Balise)는 선로에 설치되어 차상 장치에 정보를 전달하는 지상자로 ATP·ATC 계열 열차제어시스템의 구성요소이며, CTC의 주요 구성기기에는 해당하지 않는다.