17년 2회차

히스테리시스 손실은 루프 면적 × 체적 × 주파수로 구하며, 결과는 $4.8\times10^{-2}$ W이다.

그림의 루프는 위·아래 변이 $\pm B_r$, 빗변이 H축과 $\pm H_c$에서 만나는 평행사변형이다. 어느 높이에서나 가로 폭이 $2H_c$이고 높이가 $2B_r$이므로 한 주기당 단위 체적 손실은
$w = 2H_c \times 2B_r = 4B_rH_c = 4\times5\times2 = 40$ J/m³

$P = w\,v\,f = 40\times(20\times10^{-6})\times60 = 4.8\times10^{-2}$ W

• $1.2\times10^{-2}$ W 보기는 계산값과 다르다.
• $2.4\times10^{-2}$ W 보기는 계산값과 다르다.
• $3.6\times10^{-2}$ W 보기는 계산값과 다르다.

내부 반지름 a, 외부 반지름 b인 동축 원통의 단위 길이당 정전용량은 $C=\dfrac{2\pi\epsilon}{\ln\frac{b}{a}}$이다.

그림은 길이 1m, 안쪽 원통 반지름 a, 바깥 원통 반지름 b, 사이 유전율 $\epsilon$이다. 단위 길이당 전하 $\lambda$에 가우스 법칙을 쓰면
$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon r},\quad V=\int_a^b E\,dr=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\dfrac{b}{a}$
$C=\dfrac{\lambda}{V}=\dfrac{2\pi\epsilon}{\ln\frac{b}{a}}$

• 분자가 $2\pi$이고 분모에 $\epsilon$이 있는 보기는 정전용량이 유전율에 반비례하게 되어 차원(F/m)이 맞지 않는다.
• 분자가 $\epsilon$이고 분모에 $2\pi$가 있는 보기는 원통 둘레 $2\pi r$에서 오는 계수 위치가 뒤바뀐 식으로 유도 결과와 다르다.
• 로그 안이 $\frac{a}{b}$인 보기는 a가 b보다 작아 로그값이 음수가 되므로 정전용량이 음수가 되어 성립하지 않는다.

철심 내의 자속은 $8\times10^{-3}\,\mathrm{Wb}$이다.

자속은 기자력을 자기저항으로 나눈 값이며, 자로 길이는 $\ell=2\pi r$, 단면적은 $S=10^{-3}\,\mathrm{m^2}$이다.
$\Phi=\dfrac{\mu_0\mu_r S NI}{\ell}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times4000\times10^{-3}\times500\times2}{2\pi\times0.1}=8\times10^{-3}\,\mathrm{Wb}$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• $4\times10^{-3}\,\mathrm{Wb}$는 계산값과 다르다.
• $4\times10^{-4}\,\mathrm{Wb}$는 계산값과 다르다.
• $8\times10^{-4}\,\mathrm{Wb}$는 계산값과 다르다.

암페어 법칙으로 구하면 $H=\dfrac{K}{4}r^3\,a_\phi$이다.

z 방향 전류에 대해 반지름 r의 원형 경로를 잡으면 자계는 원주($a_\phi$) 방향이다.
$H\cdot 2\pi r=\int_0^r Kr'^2\cdot 2\pi r'\,dr'=\dfrac{2\pi K r^4}{4}$
$H=\dfrac{K r^3}{4}$

• $\dfrac{K}{4}r^4a_\phi$ 보기는 방향은 같으나 r의 지수가 하나 커서 계산값과 다르다.
• $\dfrac{K}{4}r^4a_z$ 보기는 크기도 계산값과 다르고, z 방향 전류가 만드는 자계는 전류를 감싸는 원주 방향이므로 방향도 틀리다.
• $\dfrac{K}{4}r^3a_z$ 보기는 크기는 같으나 자계 방향을 전류와 같은 z 방향으로 두어 틀리다.

공기층과 유리층이 직렬 콘덴서를 이루므로 정전용량은 $\dfrac{2C_0}{1+\frac{\epsilon_0}{\epsilon}}$이다.

$C_0=\dfrac{\epsilon_0S}{d}$일 때 두께 $\frac{d}{2}$인 각 층은
공기층 $C_1=\dfrac{\epsilon_0S}{d/2}=2C_0$, 유리층 $C_2=\dfrac{\epsilon S}{d/2}=2C_0\dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}$
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{2C_0}\left(1+\dfrac{\epsilon_0}{\epsilon}\right)\;\Rightarrow\;C=\dfrac{2C_0}{1+\frac{\epsilon_0}{\epsilon}}$

• 분모가 $1+\frac{1}{\epsilon}$이고 분자가 $2C_0$인 보기는 유전율 $\epsilon$(F/m)의 역수를 무차원 1에 더하는 꼴이라 차원이 맞지 않는다.
• 분모가 $1+\frac{1}{\epsilon}$이고 분자가 $C_0$인 보기도 같은 이유로 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{2\pi\epsilon}{1+\frac{\epsilon}{\epsilon_0}}$ 보기는 $C_0$가 없어 단위가 F/m가 되므로 정전용량(F)과 차원이 다르다.

점전하 Q에서 거리 r인 점의 전계는 $E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}$이다.

반지름 r인 구면에 가우스 법칙을 적용하면 $E\cdot4\pi r^2=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$이므로 위 식이 나온다.

• $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma}{r^2}$ 보기는 표면전하밀도(C/m²)를 거리 제곱으로 나누어 전계(V/m)와 차원이 맞지 않는다.
• $\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}$ 보기는 구 표면적 $4\pi r^2$에서 나오는 계수와 달라 계산값의 2배가 된다.
• $\dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma Q}{r^2}$ 보기는 전하량과 면전하밀도를 곱해 전계와 차원이 맞지 않는다.

전하밀도는 포아송 방정식 $\rho = -\varepsilon \nabla^2 V$로 구한다.

$V=\frac{1}{x}+2xy^2$에서 $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = \frac{2}{x^3}$, $\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 4x$이므로
$\nabla^2 V = \frac{2}{x^3}+4x$
점 $(x,y)=(1/2,2)$에서 $\frac{2}{(1/2)^3}=16$, $4\times\frac{1}{2}=2$이므로 $\nabla^2 V = 18$
따라서 $\rho = -\varepsilon_0\varepsilon_r \nabla^2 V = -8.855\times10^{-12}\times2\times18 \approx -318.8\times10^{-12} \approx$이다.

유전율 $\epsilon$, 투자율 $\mu$인 매질의 전파속도는 $v=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}$이다.

맥스웰 방정식에서 얻는 파동방정식 $\nabla^2E=\mu\epsilon\dfrac{\partial^2E}{\partial t^2}$의 계수가 $\dfrac{1}{v^2}$이므로 $v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}$이며, 단위는 m/s이다.

• $\sqrt{\epsilon\mu}$ 보기는 단위가 s/m로 속도의 역수이다.
• $\sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}$ 보기는 고유 임피던스의 역수(어드미턴스, S)로 속도가 아니다.
• $\sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}}$ 보기는 고유 임피던스(Ω)로 속도가 아니다.

전속밀도의 정의 $D=\epsilon_0E+P$에서 분극의 세기는 $P=D-\epsilon_0E$이다.

유전체 안의 전속밀도는 진공 부분 $\epsilon_0E$에 분극 $P$가 더해진 것이므로, 이항하면 $P=D-\epsilon_0E$이고 $\epsilon=\epsilon_0\epsilon_s$를 쓰면 $P=\epsilon_0(\epsilon_s-1)E$로도 쓸 수 있다.

• $P=D+\epsilon_0E$ 보기는 이항할 때 부호가 반대로 되어 정의식과 맞지 않는다.
• $P=\dfrac{D+E}{\epsilon_0}$ 보기는 단위가 다른 D(C/m²)와 E(V/m)를 더해 차원이 맞지 않는다.
• $P=\dfrac{D-E}{\epsilon_0}$ 보기도 D와 E를 직접 빼므로 차원이 맞지 않는다.

동축케이블의 단위 길이당 외부 인덕턴스는 내부도체와 외부도체 사이의 자기장에 의해 결정된다. 동축케이블의 외부 인덕턴스 공식은 $L_{ext} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$이다. 여기서 $a = 10 \text{ mm} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}$(내부도체 반지름), $b = 20 \text{ mm} = 20 \times 10^{-3} \text{ m}$(외부도체 내반지름), $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$이다.
$L_{ext} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} \ln\left(\frac{20 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-3}}\right) = 2 \times 10^{-7} \ln(2)$를 계산하면, $\ln(2) \approx 0.693$이므로 $L_{ext} = 2 \times 10^{-7} \times 0.693 = 1.386 \times 10^{-7} \approx 1.39 \times 10^{-7} \text{ H/m}$이다.

영상전하법으로 구한 P점 전하밀도의 크기는 $\dfrac{Q}{2\pi}\cdot\dfrac{a}{(a^2+x^2)^{3/2}}$이다. 실제 유도 전하는 음(−)이지만 보기는 모두 부호 없이 크기로 나타냈으므로 크기로 비교한다.

그림에서 Q는 도체면에서 a 떨어져 있고 P는 수선의 발 O에서 면을 따라 x 떨어진 점이다. 도체 반대편 a 위치에 영상전하 −Q를 두면 P까지 거리는 $r=\sqrt{a^2+x^2}$이고, 두 전하의 면 수직 성분이 더해진다.
$E=2\cdot\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\cdot\dfrac{a}{r}=\dfrac{Qa}{2\pi\epsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$
$|\sigma|=\epsilon_0E=\dfrac{Qa}{2\pi(a^2+x^2)^{3/2}}$

• 계수가 $\frac{Q}{4}$인 보기는 계산값과 다르다.
• 계수가 $\frac{Q}{4\pi}$이고 지수가 $\frac{2}{3}$인 보기는 단위가 C/m²가 되지 않아 차원이 맞지 않는다.
• 계수가 $\frac{Q}{2\pi}$이고 지수가 $\frac{2}{3}$인 보기도 거리 지수가 달라 차원이 맞지 않는다.

자기 모멘트와 자속밀도의 외적으로 구하면 토크는 $5.66\times10^{-4}\,a_z$ N·m이다.

그림의 코일은 yz 평면에서 y는 −0.04m~0, z는 0~0.08m인 직사각형이고, 전류는 z축을 따라 위로, 윗변에서 −y 방향, 왼변에서 아래로 흐른다. 이 방향은 +x 쪽에서 볼 때 반시계 방향이므로 자기 모멘트는 $+a_x$ 방향이다.
$m=IS\,a_x=5\times(0.04\times0.08)\,a_x=0.016\,a_x$

$\tau=m\times B=0.016\,a_x\times0.05\dfrac{a_x+a_y}{\sqrt2}=\dfrac{0.016\times0.05}{\sqrt2}\,a_z\approx5.66\times10^{-4}\,a_z$
($a_x\times a_x=0,\;a_x\times a_y=a_z$)

• $2.66\times10^{-4}\,a_x$ 보기는 크기가 계산값과 다르고, 토크는 $a_x$ 방향인 m과 수직이라 x 성분이 생길 수 없다.
• $5.66\times10^{-4}\,a_x$ 보기는 크기는 같으나 방향이 x로 되어 외적 결과와 다르다.
• $2.66\times10^{-4}\,a_z$ 보기는 방향은 같으나 크기가 계산값과 다르다.

무한 평면 전류의 자계는 거리와 무관하므로 두 점의 자계 비는 1이다.

표면 전류밀도를 $K$라 하면 암페어 법칙으로 평면 양쪽의 자계는 $H=\dfrac{K}{2}$로 거리에 무관한 균일한 값이다.
$\dfrac{H(r)}{H(2r)}=1$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 비 $\sqrt2$는 계산값과 다르다. 자계가 거리에 따라 변하지 않는다.
• 비 2는 계산값과 다르다. 자계가 거리에 따라 변하지 않는다.
• 비 4는 계산값과 다르다. 자계가 거리에 따라 변하지 않는다.

공식 정답은 원판과 자석을 동시에 같은 방향, 같은 속도로 회전시킬 때이다. 출제 의도는 원판과 자석 사이에 상대운동이 없으면 기전력이 생기지 않는다는 것이다.

다만 물리적으로는 쟁점이 있다. 축대칭인 막대자석의 자계는 자석이 돌아도 변하지 않아 자석만 회전시킬 때 오히려 기전력이 생기지 않고, 원판이 정지한 회로에 대해 돌면 자석과 함께 돌아도 기전력이 생긴다(패러데이 역설).

• 원판만 회전: 원판의 반지름 방향 도체가 자속을 끊어 기전력이 생긴다.
• 자석을 축 방향으로 전진·후퇴: 회로와 쇄교하는 자속이 변해 순간적으로 전류가 흐른다.

시험에서는 공고된 정답대로 상대운동이 없는 경우를 고르면 된다.

회전자에 작용하는 토크는 $T=\dfrac{C_0V^2}{2\pi}$ (N·m) 이다.

그림의 두 전극은 반원판이라 겹치는 각이 0에서 $\pi$ rad 까지 변하고, 완전히 겹칠 때 최대 정전용량 $C_0$ 가 된다. 정전용량이 각도에 비례하므로 $C(\theta)=\dfrac{C_0}{\pi}\theta$, 즉 $\dfrac{dC}{d\theta}=\dfrac{C_0}{\pi}$ 이다.

전압 일정 조건의 정전 에너지 $W=\dfrac{1}{2}CV^2$ 를 각도로 미분하면
$T=\dfrac{1}{2}V^2\dfrac{dC}{d\theta}=\dfrac{1}{2}V^2\cdot\dfrac{C_0}{\pi}=\dfrac{C_0V^2}{2\pi}$

• $\dfrac{C_0V^2}{2}$ 보기는 각도 변화율 $\dfrac{1}{\pi}$ 이 빠져 계산값과 다르다.
• $\dfrac{C_0^2V}{2\pi}$ 보기는 정전용량의 제곱과 전압의 곱이라 에너지(토크) 차원이 되지 않는다.
• $\dfrac{C_0V^2}{\pi}$ 보기는 계산값의 2배로 계산값과 다르다.

자기저항은 자기회로의 길이에 비례한다.

자기저항은 $R_m=\dfrac{\ell}{\mu S}$이므로 길이에 비례하고 투자율과 단면적에는 반비례한다.

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 자기저항은 단면적에 비례하지 않고 반비례한다.
• 자기저항은 비투자율에 비례하지 않고 반비례한다.
• 자기저항은 비투자율에 반비례하며 제곱에 비례하는 관계는 없다.

알맞은 식은 보강 쪽 $L_1$ 이 상쇄 쪽 $L_2$ 보다 크고 $|M|=\dfrac{L_1-L_2}{4}$ 인 식이다.

자속이 보강되는 가동 결합은 $L_1=L_{c1}+L_{c2}+2|M|$, 상쇄되는 차동 결합은 $L_2=L_{c1}+L_{c2}-2|M|$ 이다.
두 식을 빼면 $L_1-L_2=4|M|$ 이므로 $|M|=\dfrac{L_1-L_2}{4}$, 그리고 $|M|$ 이 0 이 아니면 항상 $L_1$ 이 $L_2$ 보다 크다.

• $L_1$ 이 $L_2$ 보다 작고 $|M|=\dfrac{L_2+L_1}{4}$ 인 보기는 대소 관계가 반대이고, 두 값을 더하면 $2(L_{c1}+L_{c2})$ 가 되어 상호인덕턴스가 남지 않는다.
• $L_1$ 이 $L_2$ 보다 크고 $|M|=\dfrac{L_1+L_2}{4}$ 인 보기는 대소 관계는 맞지만 합은 자기인덕턴스 합에 비례할 뿐 $|M|$ 이 아니다.
• $L_1$ 이 $L_2$ 보다 작고 $|M|=\dfrac{L_2-L_1}{4}$ 인 보기는 보강 쪽이 더 크다는 관계와 반대이며 이 식은 음수가 된다.

Δ결선 부하를 Y결선으로 바꾸면 소비전력은 1/3배(약 0.3배)로 줄어든다.

선간 전압 $V$가 일정할 때 상저항 $R$에 대해
$P_\Delta=3\dfrac{V^2}{R}$, $P_Y=3\dfrac{(V/\sqrt3)^2}{R}=\dfrac{V^2}{R}$
$\dfrac{P_Y}{P_\Delta}=\dfrac13\approx0.3$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 9배로 증가한다는 값은 계산값과 다르다.
• 0.1배로 줄어든다는 값은 계산값 1/3과 다르다.
• 3배로 증가한다는 값은 Y결선을 Δ결선으로 바꿀 때의 배율이어서 방향이 반대이다.

영상 임피던스는 $Z_{01}\approx 16$ Ω, $Z_{02}\approx 9.92$ Ω 이다.

그림은 직렬 $R_1=10$ Ω, 출력 쪽 병렬 $R_2=16$ Ω 인 L형 회로라 4단자 정수는
$A=1+\dfrac{10}{16}=1.625,\ B=10,\ C=\dfrac{1}{16},\ D=1$

영상 임피던스 공식에 대입하면
$Z_{01}=\sqrt{\dfrac{AB}{CD}}=\sqrt{1.625\times10\times16}=\sqrt{260}\approx16.1$
$Z_{02}=\sqrt{\dfrac{BD}{AC}}=\sqrt{\dfrac{10}{1.625/16}}\approx9.92$

• $Z_{01}=8,\ Z_{02}=4.96$ 보기는 두 값 모두 계산값과 다르다.
• $Z_{01}=8,\ Z_{02}=9.92$ 보기는 $Z_{01}$ 이 계산값과 다르다.
• $Z_{01}=16,\ Z_{02}=4.96$ 보기는 $Z_{02}$ 가 계산값과 다르다.

그림 파형의 라플라스 변환은 $H(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{e^{-2s}}{s}$ 이다.

그림은 $t=0$ 에서 높이 1 로 올라가 $t=2$ 에서 0 으로 떨어지는 구형 펄스라 $h(t)=u(t)-u(t-2)$ 로 쓴다.
단위 계단은 $\dfrac{1}{s}$, 2 만큼 늦은 계단은 시간 추이 정리로 $\dfrac{e^{-2s}}{s}$ 이므로 차를 취하면 위 결과가 된다.

• $\dfrac{2e^{-2s}}{s+2}$ 보기는 계산값과 다르며, 초깃값 정리로 $h(0^+)=0$ 이 되어 시작 높이 1 과 맞지 않는다.
• $s-se^{-2s}$ 보기는 계산값과 다르며, $s$ 항은 임펄스의 미분에 해당해 유한한 구형 펄스가 아니다.
• $\dfrac{e^{-2s}}{s(s+2)}$ 보기는 계산값과 다르며, $e^{-2s}$ 인자만 있어 $t=2$ 이전 값이 0 이 되므로 0~2 구간 높이 1 과 맞지 않는다.

$f(t)\cos\omega_0 t$ 의 푸리에 변환은 $\dfrac{1}{2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$ 이다.

오일러 공식으로 $\cos\omega_0 t=\dfrac{e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}}{2}$ 이고, $e^{\pm j\omega_0 t}$ 를 곱하면 스펙트럼이 $\omega\mp\omega_0$ 로 이동한다(주파수 추이).
따라서 $\mathcal{F}[f(t)\cos\omega_0 t]=\dfrac{1}{2}F(\omega-\omega_0)+\dfrac{1}{2}F(\omega+\omega_0)$ 이다.

• $2[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$ 보기는 계수가 계산값과 다르다.
• $\pi[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$ 보기는 계수가 계산값과 다르다.
• $\dfrac{1}{2}[F(\omega+\omega_0)-F(\omega-\omega_0)]$ 보기는 두 항이 모두 양의 계수로 더해지는 계산값과 부호가 다르다.

이 회로의 시정수는 1초이다.

코일의 인덕턴스는 쇄교 자속을 전류로 나눈 값이고, 시정수는 인덕턴스를 저항으로 나눈 값이다.
$L=\dfrac{N\phi}{I}=\dfrac{1000\times6\times10^{-2}}{10}=6\,\mathrm{H}$
$\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{6}{6}=1\,\mathrm{s}$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 2초는 계산값과 다르다.
• 10초는 계산값과 다르다.
• 12초는 계산값과 다르다.

직렬 임피던스 하나뿐인 회로의 4단자 정수는 $A=1,\ B=Z,\ C=0,\ D=1$ 이다.

그림은 입력과 출력 사이에 직렬 임피던스 $Z$ 만 있으므로 $I_1=I_2$, $V_1=V_2+ZI_2$ 이다.
$V_1=AV_2+BI_2,\ I_1=CV_2+DI_2$ 와 비교하면 위 값이 나온다.

• $A=0,\ B=Z,\ C=1,\ D=1$ 보기는 $C$ 가 어드미턴스 차원이어야 하는데 무차원 1 이고, $A=0$ 이면 출력 개방 시 $V_1=0$ 이 되어 맞지 않는다.
• $A=1,\ B=0,\ C=\dfrac{1}{Z},\ D=1$ 보기는 $Z$ 가 병렬로 들어간 회로의 정수이다.
• $A=1,\ B=0,\ C=1,\ D=\dfrac{1}{Z}$ 보기는 무차원이어야 할 $D$ 가 어드미턴스 차원이라 차원이 맞지 않는다.

인덕터 전류는 전압보다 위상이 90° 뒤짐이므로, $I_L = \dfrac{V}{X_L}\angle(45° - 90°)$로 계산한다. 크기는 $I_L = \dfrac{220}{60} = 3.67\,A$이고 위상은 $45° - 90° = -45°$이므로 3.67∠-45° A가 된다.

입력에서 본 등가 임피던스는 12.5Ω이다.

이상 변압기의 2차측 부하는 권수비의 제곱에 비례하여 1차측으로 환산된다.
$Z_{in}=\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2R_L=\left(\dfrac12\right)^2\times50=12.5\,\Omega$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 50Ω은 계산값과 다르다.
• 25Ω은 계산값과 다르다.
• 6.25Ω은 계산값과 다르다.

권선비 $n_1:n_2$ 는 2:1 이다.

이상 변압기는 2차 부하를 1차에서 권선비 제곱배로 본다: $R_i=\left(\dfrac{n_1}{n_2}\right)^2R_L$.
$\left(\dfrac{n_1}{n_2}\right)^2=\dfrac{300}{75}=4\ \Rightarrow\ \dfrac{n_1}{n_2}=2$

• 1:2 보기는 $R_i=\dfrac{75}{4}=18.75$ Ω 가 되어 계산값과 다르다.
• 1:4 보기는 $R_i=\dfrac{75}{16}\approx4.7$ Ω 가 되어 계산값과 다르다.
• 4:1 보기는 $R_i=16\times75=1200$ Ω 가 되어 계산값과 다르다.

전류를 30% 늘리려면 저항을 0.77배로 감소시켜야 한다.

전압이 일정하면 전류는 저항에 반비례한다.
$R'=\dfrac{V}{1.3I}=\dfrac{R}{1.3}\approx0.77R$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 저항을 2배로 늘리면 전류가 절반으로 줄어든다.
• 저항을 1.2배로 늘리면 전류가 줄어든다.
• 저항을 그대로 두면 전류가 변하지 않는다.

정상 전류는 $i=1$ A 이다.

그림은 스위치 SW 로 직류 전원 $V_{dc}$ 에 R·L 이 직렬 연결된 회로다. 정상 상태에서는 전류 변화가 없어 $L\dfrac{di}{dt}=0$, 즉 L 은 단락과 같다.
$i=\dfrac{V_{dc}}{R}=\dfrac{20}{20}=1$ A (L 값은 시정수 $\dfrac{L}{R}=0.01$ s 에만 영향)

• 2A 보기는 계산값과 다르다.
• 4A 보기는 계산값과 다르다.
• 6A 보기는 계산값과 다르다.

RLC 직렬 공진회로의 선택도는 $Q=\dfrac{\omega_rL}{R}$이다.

직렬 공진에서 공진 시 리액턴스 $\omega_rL$과 저항 $R$의 비가 Q이며, $Q=\dfrac{1}{\omega_rCR}$과 같다.
Q는 무차원이므로 차원으로 따져도 판별된다.

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• $\omega_rC/R$은 차원이 무차원이 아니므로 Q가 될 수 없다.
• $\omega_r/R$은 차원이 무차원이 아니므로 Q가 될 수 없다.
• $\omega_rR/L$은 차원이 무차원이 아니므로 Q가 될 수 없다.

틀린 설명은 $f(t)=f(t\pm T/2)$이면 우함수라는 서술이다.

이 관계는 함수가 주기 $T/2$로 반복된다는 뜻일 뿐 대칭성과는 별개이다. 예를 들어 $f(t)=\sin\dfrac{4\pi t}{T}$는 이 관계를 만족하지만 기함수이다.

나머지 보기는 모두 옳은 내용이다.

• $f(t)=f(-t)$가 모든 t에서 성립하면 우함수라는 서술은 옳다.
• $f(t)=-f(-t)$가 모든 t에서 성립하면 기함수라는 서술은 옳다.
• $f(t)=-f(t+T/2)$가 성립하면 반파대칭인 주기파라는 서술은 옳다.

RC 직렬회로에서 전류가 전압을 앞서가므로(용량성), 전압과 전류의 위상차는 약 34°다.

RC 직렬회로에서 위상차는 $\tan\phi = \frac{X_C}{R}$로 구하며, 여기서 $X_C$는 용량성 리액턴스다.

주어진 전압식 $v=200\sqrt{2}\sin120\pi t$에서 각속도 $\omega = 120\pi$ rad/s이므로 $f = \frac{\omega}{2\pi} = 60$ Hz다.
용량성 리액턴스는 $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{120\pi \times 500 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.06\pi} \approx \frac{1}{0.1885} \approx 5.3$ Ω다.
따라서 $\tan\phi = \frac{5.3}{8} \approx 0.6625$이고, $\phi = \arctan(0.6625) \approx 33.7° \approx 34°$다.

정저항 회로가 되는 C 는 0.2 F 이다.

그림은 $R\parallel L$ 과 $R\parallel C$ 를 직렬로 연결한 회로다. $a=\dfrac{j\omega L}{R},\ b=j\omega RC$ 로 두면
$Z=R\left(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\right)$

모든 주파수에서 $Z=R$ 이려면 $\dfrac{a}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}$, 즉 $a=b$ 여야 하므로 $\dfrac{L}{R}=RC$ ($R^2=\dfrac{L}{C}$ 조건)이다.
$C=\dfrac{L}{R^2}=\dfrac{0.2}{1^2}=0.2$ F

• 0.1F 보기는 계산값과 다르다.
• 1F 보기는 계산값과 다르다.
• 2F 보기는 계산값과 다르다.

틀린 보기는 $C=6$ 이며, 계산하면 $C=1$ 이다.

그림은 직렬 4Ω–병렬 4Ω–직렬 4Ω 의 T형과 병렬 12Ω–직렬 12Ω–병렬 12Ω 의 π형이 종속 접속된 회로다.
$T=\begin{bmatrix}1&4\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\ \frac{1}{4}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&12\\ \frac{1}{4}&2\end{bmatrix}$
$\Pi=\begin{bmatrix}1&0\\ \frac{1}{12}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&12\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\ \frac{1}{12}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&12\\ \frac{1}{4}&2\end{bmatrix}$

종속 접속은 행렬 곱이므로
$T\cdot\Pi=\begin{bmatrix}2\cdot2+12\cdot\frac{1}{4}&2\cdot12+12\cdot2\\ \frac{1}{4}\cdot2+2\cdot\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\cdot12+2\cdot2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&48\\ 1&7\end{bmatrix}$
검산: $AD-BC=49-48=1$

• $A=7$ 보기는 계산값과 일치하는 옳은 값이다.
• $B=48$ 보기는 계산값과 일치하는 옳은 값이다.
• $D=7$ 보기는 계산값과 일치하는 옳은 값이다.

원점을 지나지 않는 직선의 반전변환은 항상 원점을 지나는 원이 된다는 것이 반전변환의 기본 성질이다. 따라서 정답은 원점을 지나는 원이다.

역궤적(inverse locus)은 반전변환(inversion)을 적용한 도형의 자취를 말한다. 반전변환에서 점 $P$를 중심 $O$, 반전상수 $k$에 대해 변환하면 $OP \cdot OP' = k$를 만족하는 점 $P'$로 매핑된다.

이는 원점에서 직선까지의 최단거리를 $d$라 하면, 직선 위의 점들이 반전에 의해 원 위의 점들로 변환되는데, 직선 위의 무한원점이 반전에 의해 원점으로 수렴하고, 직선상의 모든 유한한 점들이 원 위의 점으로 매핑되기 때문이다.

전체 전압 25V, 전류 5A이므로 합성저항은 25/5=5Ω이며, 2Ω을 제외한 병렬부분 저항은 5-2=3Ω이다.

r₁과 r₂에 흐르는 전류비가 1:3이므로 저항비는 그 역수인 r₁:r₂=3:1이 되어야 하며, 병렬합성저항 $\dfrac{r_1 r_2}{r_1+r_2}=3$을 만족해야 한다.
r₁=3k, r₂=k로 놓으면 $\dfrac{3k^2}{4k}=3$에서 $k=4$이므로
r₁=12Ω, r₂=4Ω이 되어 병렬합성저항은 $\dfrac{12\times4}{16}=3Ω$으로 확인된다.

귀환 증폭기에서 이득-대역폭 곱(gain-bandwidth product)은 일정하게 유지된다는 특성을 적용한다. 무귀환 상태에서 이득×차단주파수 = 30 × 20 kHz = 600 kHz이고, 귀환 후 이득이 20으로 변했을 때도 같은 곱이 유지되므로 20 × f_c = 600 kHz, 따라서 f_c = 30 kHz이다. 귀환을 적용하면 이득은 감소하지만 대역폭이 확장되는 트레이드오프 관계를 보여주는 전형적인 사례다.

S=0, R=1, 클록 1 이면 출력은 $Q=0,\ \overline{Q}=1$ 인 리셋 상태가 된다.

그림에서 R 과 클록(펄스 전이 검출기 출력)은 AND 게이트 G3 에, S 와 클록은 AND 게이트 G4 에 들어간다. G3 출력은 NOR 게이트 G1(출력 Q)로, G4 출력은 NOR 게이트 G2(출력 $\overline{Q}$)로 들어가고, G1·G2 출력이 서로의 나머지 입력으로 교차 궤환된다.

$G_3 = R \cdot CP = 1 \cdot 1 = 1,\quad G_4 = S \cdot CP = 0 \cdot 1 = 0$
G1 은 입력에 1 이 있으므로 $Q = \overline{1 + \overline{Q}} = 0$
G2 는 두 입력이 모두 0 이므로 $\overline{Q} = \overline{G_4 + Q} = \overline{0 + 0} = 1$

• $Q=0,\ \overline{Q}=0$ 보기는 G2 의 두 입력이 모두 0 이라 $\overline{Q}$ 가 1 이 되므로 추적 결과와 다르다.
• $Q=1,\ \overline{Q}=1$ 보기는 G1 에 G3 의 출력 1 이 들어가 Q 가 0 이 되므로 추적 결과와 다르다.
• $Q=1,\ \overline{Q}=0$ 보기는 G1 출력이 0 으로 정해지는 이번 입력 조건과 맞지 않으며, S=1·R=0 일 때의 세트 상태에 해당한다.

고주파 증폭회로의 트랜지스터에서 틀린 설명은 컬렉터 용량이 클수록 고주파 특성이 좋다는 서술이다.

컬렉터 용량이 크면 밀러 효과로 입력 쪽 등가 용량이 커지고 출력이 입력으로 귀환되는 양도 늘어, 높은 주파수에서 이득이 감소하므로 고주파 특성은 나빠진다.

나머지 보기는 모두 옳은 내용이다.

• 베이스 폭이 얇을수록 캐리어 주행 시간이 짧아져 고주파 증폭에 적합하다는 서술은 옳다.
• 컬렉터 용량의 영향으로 입력 임피던스가 감소한다는 서술은 옳다.
• 컬렉터 용량을 통해 출력의 일부가 입력으로 귀환된다는 서술은 옳다.

T형 플립플롭 3개를 종속 접속하면 출력 주파수는 24Hz이다.

T형 플립플롭 한 개는 입력 주파수를 1/2로 줄이므로 3단이면 $2^3$분주이다.
$f_o=\dfrac{192}{2^3}=24\,\mathrm{Hz}$

나머지 보기가 맞지 않는 이유는 다음과 같다.

• 586Hz는 계산값과 다르다.
• 64Hz는 계산값과 다르다.
• 48Hz는 계산값과 다르다.

부하 출력전력은 직류 입력전력에 능률을 곱한 2.88 W이다.

$P_{dc}=V_{CC}I_C=12\times0.4=4.8\,\mathrm{W}$
$P_o=\eta P_{dc}=0.6\times4.8=2.88\,\mathrm{W}$

나머지 보기는 계산값과 다르다.

• 0.8 W는 계산값과 다르다.
• 1.44 W는 계산값과 다르다.
• 4.9 W는 계산값과 다르다.

대칭형 비안정 멀티바이브레이터의 발진주파수는 대략 $f \approx \dfrac{0.7}{RC}$ 이다.

그림에서 Q1·Q2 컬렉터에는 부하 $R_L$ 이 달리고, 각 컬렉터는 결합 커패시터($C_2$, $C_1$)를 거쳐 상대 트랜지스터의 베이스로 이어지며, 그 베이스는 $R_2$, $R_1$ 을 통해 +Vcc 에 연결된다. 한쪽이 켜져 컬렉터가 Vcc 에서 0 으로 떨어지면 커패시터 반대편(상대 베이스)이 약 $-V_{CC}$ 로 끌려 내려갔다가 베이스 저항 R 을 통한 RC 충전으로 올라가고, 약 0V 에 이르면 상대 트랜지스터가 다시 켜진다.

$v_B(t) = V_{CC} - 2V_{CC}\,e^{-t/RC} = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = RC\ln 2 \approx 0.69RC$
$T = 2RC\ln 2 \approx 1.39RC,\quad f = \dfrac{1}{T} \approx \dfrac{0.72}{RC} \approx \dfrac{0.7}{RC}$
(베이스-이미터 전압과 포화 전압을 무시한 근사이며, 문제에서 '대략'이라고 한 까닭이다.)

• $\dfrac{0.5}{RC}$ 보기는 계산값과 다르다.
• $\dfrac{0.7}{R_L C}$ 보기는 반주기를 정하는 시정수가 베이스 저항 R 과 C 의 곱이고 컬렉터 부하 $R_L$ 은 이 충전 경로에 들어가지 않으므로 맞지 않다.
• $\dfrac{0.5}{R_L C}$ 보기는 계수도 계산값과 다르고, 시정수에 컬렉터 부하 $R_L$ 을 쓴 점도 충전 경로와 맞지 않는다.

mod-8 존슨 카운터는 4개의 플립플롭을 사용하여 8개의 상태(000, 0001, 0011, 0111, 1111, 1110, 1100, 1000)를 2클록씩 반복 생성하므로, 최소 필요한 플립플롭은 4개이다.

mod-8 존슨 카운터는 8개의 서로 다른 상태를 가져야 하므로, 필요한 플립플롭의 수는 $2^n \geq 8$을 만족하는 최소 n값을 구하면 된다. $2^3 = 8$이므로 이론상으로는 3개가 필요하다.

그러나 존슨 카운터(Johnson counter)는 시프트 레지스터 구조로 동작하며 최상위 비트의 보수를 최하위에 피드백하는 방식으로 상태를 순환한다.

복수 개의 입력을 2진 코드로 바꾸는 조합 논리회로는 인코더(부호기)이다.

인코더는 활성화된 입력선 하나에 대응하는 2진 코드를 출력하는 부호화 회로이다.

나머지 보기는 다른 기능의 회로이다.

• 디코더는 2진 코드를 해독해 해당하는 출력선 하나를 활성화하는 회로이다.
• 플립플롭은 1비트를 기억하는 순서 논리회로의 기본 소자이다.
• 멀티플렉서는 여러 입력 중 하나를 선택해 단일 출력으로 내보내는 회로이다.

JFET의 드레인 전류는 3 mA이며, 제곱 법칙 식으로 구한다.

$I_D=I_{DSS}\left(1-\dfrac{V_{GS}}{V_P}\right)^2$
$=12\left(1-\dfrac{-2}{-4}\right)^2=12\times0.5^2$
$=3\,\mathrm{mA}$

나머지 보기는 계산값과 다르다.

• 1.5 mA는 계산값과 다르다.
• 2.7 mA는 계산값과 다르다.
• 5 mA는 계산값과 다르다.

FM에서는 변조지수가 클수록 잡음 개선율이 커진다.

FM의 신호 대 잡음비 개선은 변조지수 $m_f$가 클수록 커지며, 변조지수는 신호파 진폭에 비례하므로 대역폭을 넓혀 잡음 개선을 얻는 방식이다.

나머지 보기는 이 관계와 맞지 않는다.

• 변조지수와 잡음 개선과는 관계없다는 서술은 개선율이 변조지수에 따라 커지므로 틀리다.
• 변조지수가 클수록 잡음 개선율이 적어진다는 서술은 방향이 반대이다.
• 신호파의 크기가 작을수록 잡음 개선율이 커진다는 서술은 신호파가 작으면 변조지수도 작아져 개선이 줄어드므로 틀리다.

부귀환을 걸면 전압이득은 20 dB이 된다.

$A=10^{40/20}=100$
$A\beta=100\times0.09=9$
$A_f=\dfrac{A}{1+A\beta}=\dfrac{100}{10}=10$
$20\log_{10}10=20\,\mathrm{dB}$

나머지 보기는 계산값과 다르다.

• 10 dB는 계산값과 다르다.
• 30 dB는 계산값과 다르다.
• 40 dB는 귀환을 걸기 전의 이득이며 부귀환 후 값과 다르다.

진리표를 만족하는 회로는 출력에 버블이 달린 NAND 게이트이다.

표에서 Y 는 A=0·B=0, A=0·B=1, A=1·B=0 에서 1 이고 A=1, B=1 일 때만 0 이다. 이는 $Y = \overline{A \cdot B}$ 의 진리표와 같다.

• AND 게이트 그림(버블 없는 D 모양) 보기는 $Y = A \cdot B$ 로 A=0·B=0 에서 0 을 내므로 표의 1 과 다르다.
• OR 게이트 그림(곡선 입력 한 겹) 보기는 $Y = A + B$ 로 A=0·B=0 에서 0 을 내므로 표의 1 과 다르다.
• XOR 게이트 그림(입력 쪽 곡선 두 겹) 보기는 $Y = A \oplus B$ 로 A=0·B=0 에서 0 을 내므로 표의 1 과 다르다.

귀환 증폭기에서 왜율은 폐루프 왜율 = 개루프 왜율 / (1 + 루프이득)으로 감소한다. 먼저 개루프 이득을 구하면, 60dB = 20log₁₀(A₀)에서 A₀ = 10³ = 1000이다. 루프이득은 Aβ = A₀ × β이므로 폐루프 왜율 식은 D_f = D₀/(1 + A₀β)이다. 주어진 조건을 대입하면 0.1 = 10/(1 + 1000β)에서 1 + 1000β = 100, β = 0.099이다.

1차 측에서 본 실효저항은 권선비의 제곱을 부하에 곱한 약 2.3 kΩ이다.

$R_1=\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2R_L$
$=12^2\times16=144\times16$
$=2304\,\Omega\approx2.3\,\mathrm{k\Omega}$

나머지 보기는 계산값과 다르다.

• 1.8 kΩ은 계산값과 다르다.
• 2.1 kΩ은 계산값과 다르다.
• 2.5 kΩ은 계산값과 다르다.

연산 증폭기 종류의 설명 중 틀린 것은 단위 이득 증폭기에 관한 서술이다.

단위 이득 증폭기(전압 팔로어)는 신호원을 비반전 입력단에 넣고 출력을 반전 입력단에 직접 되돌린다. 비반전 입력단을 출력과 단락한다는 서술은 이 구성과 맞지 않는다.

나머지 보기는 옳은 내용이다.

• 반전 증폭기는 비반전 입력단을 접지하고 반전 입력단에 신호원을 연결하는 구성이다.
• 비반전 증폭기는 반전 입력단을 저항으로 접지하고 비반전 입력단에 신호를 넣는 구성이다.
• 적분기는 반전 증폭회로의 귀환 저항 자리에 커패시터를 넣은 구성이다.

단락 전류이득은 $A_i = \dfrac{-g_m}{g_{b'e} + j\omega(C_e + C_c)}$ 이다.

그림에서 입력 B'–E 사이에 컨덕턴스 $g_{b'e}$ 와 커패시턴스 $C_e + C_c$ 가 병렬로 있고, 출력 쪽은 C 에서 E 로 향하는 종속 전류원 $g_m V_{b'e}$ 와, C–E 를 잇는 단락선(아래 방향 출력 전류 $I_o$)으로 되어 있다. C 마디에서 전류원 전류 $g_m V_{b'e}$ 와 출력 전류 $I_o$ 가 모두 C 에서 빠져나가는 방향으로 표시되어 있으므로 두 전류의 합이 0 이 되어 $I_o = -g_m V_{b'e}$ 이다.

B' 단자로 들어가는 입력 전류(그림의 Ie)를 $I_i$ 라 하면
$V_{b'e} = \dfrac{I_i}{g_{b'e} + j\omega(C_e + C_c)}$
$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{-g_m}{g_{b'e} + j\omega(C_e + C_c)}$
전류이득은 전류의 비이므로 무차원이어야 하고, 이 식은 컨덕턴스를 컨덕턴스로 나눈 꼴이라 무차원이다.