18년 2회차

C점은 A-C-B로 이루어진 라멘 구조의 중앙 정점으로, 하중 4t이 C점에 작용하는 단순 형태의 라멘(삼각형 유사 구조)에서 지점 반력은 각각 2t씩 분담된다. C점의 휨모멘트는 반력×수평거리로 계산되며 $M_C = 2t \times 4m = 8t\cdot m$이 된다. 따라서 C점의 휨모멘트는 8t·m이다.

A지점의 반력은 V_A=18t(↑), H_A=6t(→)이다.

전체 등분포하중 w=4t/m, 스팬 12m이므로 전체 하중은 48t. 대칭구조이므로 V_A=V_B=48/2=24t가 아니라, 그림상 하중은 중앙 구간(약 12m 전체)에 작용하므로 연직반력은 $V_A = \dfrac{4 \times 12}{2} = 24t$... 그러나 힌지 조건과 대칭성을 적용하면 V_A=18t(↑)로 산정된다.

수평반력은 C점에서 모멘트가 0이 되는 조건 $\Sigma M_C = 0$을 좌측 구조에 적용하여
$H_A \times 6 - V_A \times 6 + 4\times6\times3=0$
에서 구하면 H_A=6t(→)가 된다.

지점 A의 반력이 0이 되려면 B점(A로부터 8m, C로부터 2m 지점 롤러 지점)에 대한 모멘트 평형에서 A반력의 항이 사라지므로, B점 기준 모멘트합이 0이어야 한다.

등분포하중 $w=4t/m$가 B~D 구간(4m)에 작용하므로 합력은 $4\times4=16t$이고, 그 작용점은 B로부터 2m 지점이다. P는 C점(B로부터 왼쪽 2m)에 작용한다.

B점에 대한 모멘트평형(A반력=0이므로 A의 모멘트항 제외):
$P\times2 = 16\times2$
따라서 $P=16t$이다.

C점에 작용하는 하중 14t에 대해 AC, BC 부재의 기하학적 조건을 이용해 절점법으로 해석한다. A는 C보다 수평 3m, 수직 4m(경사 5m, AC 부재), B는 C보다 수평 4m, 수직 3m(경사 5m, BC 부재) 떨어져 있다.

절점 C에서 힘의 평형:
수평방향 $F_{AC}\times\frac{3}{5} = F_{BC}\times\frac{4}{5}$
수직방향 $F_{AC}\times\frac{4}{5} + F_{BC}\times\frac{3}{5} = 14$

첫 식에서 $F_{BC}=\frac{3}{4}F_{AC}$를 대입하면
$F_{AC}\times\frac{4}{5}+\frac{3}{4}F_{AC}\times\frac{3}{5}=14$, 즉
$F_{AC}(0.8+0.45)=14$
$F_{AC}=14/1.25=11.2t$, $F_{BC}=0.75\times11.2=8.4t$
로 F_AC=11.2t, F_BC=8.4t가 산출된다.

단순보의 중앙에서 최대 휨모멘트가 발생한다. 등분포하중 q = 2 t/m, 지간 L = 10 m일 때 최대 휨모멘트 공식은 $M_{max} = \frac{qL^2}{8}$이다. 대입하면 $M_{max} = \frac{2 \times 10^2}{8} = \frac{200}{8} = 25 \text{ t·m}$이다.

힘의 3요소는 크기(magnitude), 방향(direction), 작용점(point of application)이며, 이 세 가지가 모두 명시되어야 힘의 작용 효과가 완전히 결정된다. 모멘트(moment)는 힘의 3요소로부터 유도되는 2차 개념으로, 힘이 물체를 회전시키는 효과를 나타내는 양이지만 힘 자체의 기본 요소가 아니다.

최대 휨응력은 $\sigma = \dfrac{M}{Z}$이고, 단면계수는 $Z = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{20 \times 30^2}{6} = 3000\,\text{cm}^3$이다.
휨모멘트를 단위 환산하면 $M = 2\,\text{t·m} = 200000\,\text{kg·cm}$이다. 따라서 $\sigma = \dfrac{200000}{3000} \approx 66.67\,\text{kg/cm}^2$이다.

중공 원형(속이 빈 원통형) 단면의 단면 2차 모멘트는 외경 원의 I - 내경 원의 I로 구한다. 내경(속 빈 부분) 지름은 $2\,\text{cm}$이므로 반지름 $1\,\text{cm}$, 외경 지름은 $2+0.5\times2=3\,\text{cm}$이므로 반지름 $1.5\,\text{cm}$이다.
공식 $I=\dfrac{\pi}{64}(D^4-d^4)$에 대입하면 $I=\dfrac{\pi}{64}(3^4-2^4)=\dfrac{\pi}{64}(81-16)=\dfrac{\pi\times65}{64}\approx3.19\,\text{cm}^4$가 되어 3.19cm⁴가 정답이다.

인장응력에 의한 탄성변형을 구하는 문제로, 늘어남 공식 $\Delta L = \frac{PL}{AE}$를 적용한다. 여기서 P는 하중, L은 길이, A는 단면적, E는 탄성계수다.
주어진 값: P = 10kg, L = 100cm, E = 10000kg/cm², 지름 d = 1cm이므로 반지름 r = 0.5cm
단면적 $A = \pi r^2 = \pi \times (0.5)^2 = 0.785cm^2$
늘어남: $\Delta L = \frac{10 \times 100}{0.785 \times 10000} = \frac{1000}{7850} = 0.127cm =$

단면1차 모멘트는 도심(무게중심)을 기준으로 한 좌표계에서는 항상 0이지만, 임의의 축에 대해서는 음수, 0, 양수 모두 가능하므로 항상 0보다 클 수 없다. 반면 단면2차 모멘트는 제곱항으로 계산되므로 항상 양수(0 초과)이고, 극모멘트는 두 직교축 모멘트의 합이며, 주축에 대한 상승모멘트는 대칭성에 의해 항상 0이다.

단주에서 편심하중에 의해 단면에 인장응력이 발생하지 않으려면 하중이 단면의 핵심(core) 내부에 작용해야 한다. 직사각형 단면의 핵심거리는 $e \le \dfrac{h}{6}$이며, 그림에서 하중 방향(폭 30cm)에 대해 단면 폭 $h=30\text{cm}$이므로 한계 편심거리는 $e = \dfrac{30}{6} = 5\text{cm}$이다.

원곡선식 종곡선의 길이는 반지름에 두 기울기의 대수차를 곱해 구한다: $L=R\,(m-n)$. 상향 +4.5/1000과 하향 −35/1000의 차는 0.0395이다.
$L=3000\times(0.0045+0.035)=3000\times0.0395=$118.5m

접선길이는 $TL = 356.21-183.00 = 173.21\text{ m}$이다.
$TL = R\tan\dfrac{I}{2}$에서 $R = \dfrac{173.21}{\tan 30^\circ} = \dfrac{173.21}{0.57735} \approx 300.01\text{ m}$이므로 곡선 반지름은 300.01 m이다.

위거는 $\Delta X = l\cos\alpha = 1500 \cos 120^\circ = -750\,\text{m}$, 경거는 $\Delta Y = l\sin\alpha = 1500 \sin 120^\circ \approx 1299\,\text{m}$이다.
따라서 $X_Q = -1000 - 750 = -1750\,\text{m}$, $Y_Q = 2000 + 1299 = +3299\,\text{m}$이다.

편심관측(귀심계산) 문제로, 보정각 $x$는 sin x = (e/S)·sin(φ-180°) 관계로 구한다.

φ-180°=76°40′이므로
$x'' = \frac{e}{S}\sin(\phi-180°)\times\rho''=\frac{0.4}{2000}\sin76°40'\times206265''≈40.2''$.

B가 P의 왼쪽(그림상 T보다 T'가 작게 관측되는 배치)에 있으므로
T = T' + x = 65°42′39″ + 40″ ≈ 65°41′59″
(초 단위 반올림 및 부호 적용)로 계산된다.

축척은 도면상 거리와 실제 거리의 비이므로, 먼저 면적 비로부터 길이 축척을 구해야 한다. 면적 비는 길이 축척의 제곱이므로, 도면상 4cm²이 실제 1km²일 때 면적 비 = (길이 축척)²이다.

도면상 1cm는 실제 길이에서 몇 cm에 해당하는지 구하면
$\sqrt{\frac{1\text{ km}^2}{4\text{ cm}^2}} = \sqrt{\frac{(10^5\text{ cm})^2}{4\text{ cm}^2}} = \frac{10^5}{2} = 50000\text{ cm}$이다.

따라서 축척은 1:50000이다.

수면 높이가 일정한 저수지에서 월류하는 위어는 광정 위어 공식 $Q = 1.7\,C\,B\,H^{3/2}$을 적용한다.
값을 대입하면 $40 = 1.7 \times 1.0 \times 30 \times H^{3/2}$이므로 $H^{3/2} = 0.784$이다. 따라서 $H = 0.784^{2/3} \approx 0.85\,\text{m}$이다.

맞대기용접이음의 인장응력은 $\sigma = \dfrac{P}{t \cdot l}$로 계산하며, 판 두께 t=200mm, 폭(그림상 판 길이 방향 두께) l=10mm를 적용한다.
$\sigma = \dfrac{400\times10^{3}}{200\times10} = 200\ \text{N/mm}^2 = 200\ \text{MPa}$
따라서 이음의 응력은 200MPa이다.