13년 3회차

가설은 경험적으로 검증 가능한 진술이어야 하며, 참·거짓을 확인할 수 있는 단순한 사실 진술의 형태가 가장 적합하다.

• 동시에 서울과 부산에 있다는 진술은 논리적으로 성립할 수 없는 모순 명제이다.
• 서울에 있으면서 동시에 서울에 있지 않다는 진술은 자기모순으로 항상 거짓인 명제이다.
• 서울에 있거나 그렇지 않으면 서울에 있지 않다는 형태는 항상 참인 항진명제로 검증 대상이 될 수 없다.

과학적 연구는 논리적·경험적 근거에 기반하므로 개인의 직관에 의존하는 '직관적' 특성은 과학적 연구의 특징이 아니다.

과학적 연구는 논리적이고 결정론적이며, 개별 사례를 넘어선 일반화를 목적으로 한다는 점에서 나머지 설명은 옳다.

통계적 회귀는 사전측정에서 극단적인 점수를 얻은 대상이 독립변수의 효과와 무관하게 사후측정에서 평균치로 되돌아가려는 경향을 말하며, 내적 타당도를 저해하는 요인 중 하나이다.

• 자료가 특정 선을 중심으로 분포하는 현상은 회귀분석의 일반적 특성일 뿐 통계적 회귀의 정의는 아니다.
• 종속변수가 독립변수 변화에 따라 함께 변하는 현상은 상관관계·인과관계에 대한 설명이다.
• 자료가 응집력 있게 분포해야 타당도가 높다는 설명은 통계적 회귀와 관련이 없다.

연구자가 독립변수를 직접 조작해 종속변수에 미치는 인과적 영향을 확인하려는 설계이므로 실험법이 가장 적합하다.

사례는 '교수법의 차이'라는 원인을 아동집단에 다르게 적용한 뒤 그 결과인 '문장 독해능력'을 비교하려는 것이다. 조작·통제·비교집단이라는 실험의 세 요소가 모두 전제되어 있다.

• 참여관찰법은 연구자가 현장에 들어가 있는 그대로를 관찰하는 방법이라 교수법을 인위적으로 달리 적용할 수 없다.
• 내용분석법은 문서·영상 같은 기록물의 내용을 분석하는 기법이어서 아동 50명을 대상으로 한 효과 검증에는 맞지 않는다.
• 조사연구법은 현재 상태의 기술이나 변수 간 관련성 파악에는 유용하지만 조작을 통한 인과관계 확인에는 한계가 있다.

온라인조사는 인터넷 이용자 위주로 표본이 구성되어 표본의 대표성이 낮은 편이므로, 대표성이 아주 높다는 설명은 틀린 내용이다.

복수응답 가능성이 있고, 컴퓨터 통신망을 통해 이루어지며, 전통적 조사방법보다 짧은 시일에 저렴하게 실시할 수 있다는 나머지 설명은 온라인조사의 특징으로 옳다.

완전참여자는 연구자가 대상 집단에 실제로 참여해 활동하므로 연구대상에게 영향을 미치지 않는다고 볼 수 없다는 점에서 이 설명이 틀렸다.

완전참여자는 윤리적·과학적 문제가 발생할 수 있고, 완전관찰자의 관찰은 피상적·일시적일 수 있으며 대상을 이해할 가능성도 낮다는 설명은 옳다.

면접조사는 조사자가 응답자와 직접 대면하므로 익명성 확보 면에서는 오히려 우편조사보다 불리하다. 따라서 익명성에 대한 확신을 준다는 설명은 면접조사의 장점이 아니다.

면접조사는 응답률이 높고 신뢰성 있는 대답을 얻기 쉬우며, 응답자와 주변 상황을 직접 관찰할 수 있다는 점이 우편조사에 비한 장점이다.

실험설계의 핵심 요건은 무작위 배분, 독립변수의 투입·통제, 종속변수 비교이며, 통제집단과 별도로 '비교집단'을 함께 갖추어야 한다는 것은 실험설계의 필수요건으로 제시되지 않는다.

통제집단 자체가 실험집단과 견주는 비교 대상 역할을 하므로, 통제집단 외에 별도의 비교집단을 추가로 두어야 하는 것은 아니다.

관찰법은 객관적 사실뿐 아니라 피관찰자의 철학이나 세계관 같은 주관적 측면까지 포착할 수 있으므로, 이를 배제한다는 설명은 관찰방법의 특징이 아니다.

연구대상의 사회적 맥락을 포착하고 사건 이해를 돕는다는 점, 다른 연구와 비교해 규칙성을 확인시켜준다는 점은 관찰법의 특징으로 옳다.

개념의 조작화 과정은 추상적 개념을 측정 가능한 형태로 바꾸는 과정으로, 그 최종 산물은 수량화된 측정치이다.

조작적 정의는 개념에 대한 사전적 정의가 아니라 측정 가능하도록 구체화한 정의이며, 순서도 명목적 정의 → 조작적 정의 → 측정의 순으로 진행되고, 변수를 조작적으로 정의하는 방법은 연구자에 따라 다양할 수 있다.

특정 동년배 집단(베이비부머)을 모집단으로 고정해 두고 시간 간격을 두고 반복 조사하므로 코호트조사에 해당한다.

코호트조사는 같은 시기에 동일한 경험을 공유한 집단의 변화를 시간에 따라 추적하는 종단조사다. 사례에서 모집단이 베이비부머로 한정되고 성년 이후 10년마다 500명씩 새로 뽑아 비교한다는 점이 그 정의를 그대로 보여준다.

• 횡단조사는 한 시점에서만 자료를 수집하므로 시간 경과에 따른 변화를 볼 수 없다.
• 추세조사는 모집단이 특정 동년배로 한정되지 않고 일반 모집단 전체의 변화를 본다는 점에서 다르다.
• 패널조사는 같은 사람을 계속 추적하는 방식이어서 '매번 새로운 표집'이라는 조건과 어긋난다.

구인광고의 내용과 강조점 변화를 파악하는 연구는 개별 응답자가 아니라 광고 하나하나를 분석 대상으로 삼으므로, 분석단위를 '개인'으로 짝지은 것이 틀렸다.

전체 농부 중 여성 비율과 인식을 다루는 연구는 개인을 분석단위로 하고, 도시 단위의 종합병원 보유 비율이나 인종 구성과 범죄율 관계를 다루는 연구는 도시를 분석단위로 하므로 나머지 짝짓기는 옳다.

프로빙(probing)은 응답이 불충분하거나 모호할 때 추가질문을 통해 보다 정확하고 완전한 응답을 이끌어내는 면접기술이다.

심층면접은 특정 주제를 깊이 있게 다루는 면접방식이고, 래포는 조사자와 응답자 사이의 신뢰관계를, 투사법은 간접적 자극으로 내면을 파악하는 기법을 가리키므로 이 상황과는 맞지 않는다.

면접설문조사는 조사자가 직접 질문하고 응답을 받으므로 무응답이나 불성실 응답이 줄어 응답의 결측치를 최소화할 수 있다는 장점이 있다.

자료입력의 편리성이나 조사대상 1인당 비용, 폐쇄형 질문에의 적합성은 오히려 자기기입식 조사가 가지는 강점이다.

가설은 동일 연구 분야의 기존 가설·이론과 연관되어 이론적 배경 위에서 설정되어야 하므로, 다른 가설이나 이론과 연관이 없어야 한다는 설명은 틀렸다.

가설은 두 개 이상의 변수 간 관계에 대한 진술이며, 검증 가능한 형태로 진술되어 옳고 그름을 판단할 수 있어야 한다는 나머지 설명은 옳다.

양적방법은 오히려 구조화된 절차를 따르는 반면, 조사절차의 유연성은 질적방법의 특징이므로 양적방법이 유연하고 질적방법은 그렇지 못하다는 설명이 틀렸다.

양적방법이 관찰자와 독립된 객관적 현상을 전제하고 결과적 측면과 일반화에 주력하는 반면, 질적방법은 과정적 측면의 이해에 주력한다는 나머지 설명은 옳다.

시간이 흐르면서 대상자에게 자연스럽게 일어난 변화를 처치의 효과로 잘못 해석한 경우이므로 성숙효과가 대표적인 저해요인이다.

노인은 시간이 지나면 노화로 신체 기능이 떨어지는 것이 자연스럽다. 서비스를 받는 동안 나타난 육체적 약화가 서비스 탓인지 나이 듦 탓인지 구분되지 않으므로 효과가 없었다는 인과 추론이 성립하지 않는다.

• 외부사건은 조사기간 중 발생한 예기치 못한 사건이 결과에 끼어드는 것인데 사례에는 그런 사건이 제시되지 않았다.
• 검사효과는 사전검사 경험이 사후검사 결과를 바꾸는 현상이고, 도구효과는 측정도구나 측정자가 달라져 생기는 오차로 둘 다 신체 약화를 설명하지 못한다.

반송용 봉투에 응답자의 주소와 성명까지 기재해 두면 익명성이 보장되지 않는다는 인상을 주어 오히려 응답을 꺼리게 되므로, 회수율을 높이는 방법과는 거리가 멀다.

추가서신 발송, 기념품 동봉, 연구 주체와 조사기관을 명확히 밝히는 것은 신뢰를 높여 회수율 제고에 도움이 되는 방법이다.

구조화 정도가 높고 폐쇄형 문항을 쓰며 설문지로 실시된다는 설명은 양적 척도의 특성이므로, 빈칸은 차례로 양적 · 폐쇄 · 설문지형식이 된다.

양적 조사는 미리 정해진 문항과 응답범주를 그대로 사용해 수치화·통계처리를 목표로 한다. 그래서 척도가 고도로 구조화되고, 정해진 보기 중에서 고르게 하는 폐쇄형 질문이 주가 되며, 자기기입식 설문지 형식으로 다수를 대상으로 실시하기에 적합하다.

반면 질적 척도는 구조화 정도가 낮고 개방형 질문과 심층면접을 통해 응답자의 맥락과 의미를 끌어낸다. 빈칸을 질적·개방·심층면접으로 채우면 '매우 구조화되어 있고'라는 조건과 정면으로 어긋난다.

또한 양적 척도라도 개방형 질문을 주로 쓴다고 하면 구조화된 척도라는 앞 조건과 모순되므로, A가 양적이라고 해서 B·C를 개방·면접으로 이어 붙일 수는 없다.

질문 앞에 붙은 사건 배경 설명이 응답 방향을 암시하고 있어 유도질문이 가장 큰 문제다.

'검찰청장 부인의 옷로비 사건이 수사 중'이라는 서두는 응답자에게 이미 잘못이 있다는 인상을 심어 주고, 이어지는 처신에 대한 물음을 사퇴 쪽으로 기울게 만든다. 질문은 중립적으로 표현해야 하며 특정 응답을 이끌어내는 정보를 앞세워서는 안 된다.

• 하나의 문항에서 두 가지를 동시에 묻고 있지 않으므로 이중질문은 아니다.
• 응답범주가 사퇴 찬성·반대·유보로 나뉘어 있어 포괄성 부족이 결정적 결함이라 보기는 어렵다.
• 응답자 본인의 비행이나 사생활을 캐묻는 내용이 아니므로 위협적 질문에도 해당하지 않는다.

내용분석법은 기존의 문헌·기록물을 분석 대상으로 삼기 때문에 조사자가 대상에 개입하지 않아 조사반응성(reactivity) 문제가 발생하지 않는다는 점이 오히려 장점으로 꼽힌다.

따라서 조사반응성으로 인해 활용에 한계가 있다는 설명은 내용분석법의 특성과 반대된다.

• 질적 자료를 양적 지표로 전환하는 방법이라는 설명은 내용분석법의 정의에 부합한다.
• 분석 대상 문헌이 방대할 때 군집표집 등 표집기법을 활용할 수 있다는 설명도 타당하다.
• 인간의 의사소통 기록물(문서·방송·SNS 등)을 분석한다는 설명 역시 내용분석법의 정의와 일치한다.

개방형 질문은 응답자가 자유롭게 서술하도록 하는 방식으로, 민감한 사생활·소득 같은 주제는 오히려 응답자가 노출을 꺼려 응답 거부나 왜곡이 커지므로 개방형이 유리하다고 보기 어렵다.

민감한 주제는 사전에 응답범주를 제시해 선택만 하도록 하는 폐쇄형 질문이 응답 부담을 줄이는 데 더 적합하다.

• 가능한 응답범주를 모두 알지 못할 때 활용한다는 설명은 개방형의 대표적 장점이다.
• 응답 양상을 탐색적으로 살펴보고자 할 때 적합하다는 설명도 타당하다.
• 쟁점이 복합적이어서 몇 개 범주로 압축하기 어려울 때 적합하다는 설명 역시 개방형의 장점이다.

순수실험설계는 실험집단과 통제집단을 무작위 할당으로 구성해 두 집단의 동질성을 확보하는 것이 핵심이므로, 무작위 할당 없이 통제집단을 구성하는 비동질 통제집단 설정은 순수실험설계가 아니라 유사실험설계(준실험설계)의 특징이다.

독립변수 조작과 외생변수 통제, 무작위 할당은 순수실험설계가 갖추어야 할 세 가지 기본 요건이다.

개방형 질문은 응답이 정해진 범주 없이 자유서술로 수집되므로 이를 코딩·범주화하는 과정이 필요해 자료의 집계와 분석이 오히려 번거롭고 시간이 많이 든다.

따라서 집계·분석이 매우 편리하다는 설명은 개방형 질문의 특성과 반대된다.

• 자유서술을 통해 조사자가 예상하지 못한 새로운 정보를 얻을 수 있다는 설명은 타당하다.
• 응답을 스스로 구성해야 하므로 심적 부담이 크다는 설명도 개방형의 특성이다.
• 작성 부담으로 인해 응답 거부율이 높아진다는 설명 역시 타당하다.

연역적 방법과 귀납적 방법은 서로 배타적인 관계가 아니라 상호 보완적으로 활용되며, 이를 반복적으로 결합하는 과정을 통해 이론을 발전시킨다.

따라서 두 방법을 조화시키면 상호 배타적이기 쉽다는 설명은 실제 연구 논리와 어긋난다.

• 귀납적 방법이 구체적 사실에서 일반원리를 도출한다는 설명은 타당하다.
• 연역적 방법이 이론적 전제를 세운 뒤 사실을 수집·검증해 결론을 유도한다는 설명도 타당하다.
• 연역적 방법이 공리에서 가설을 정립해 경험세계에 투사·검증한다는 설명 역시 타당하다.

제목만으로 확인되는 것은 연구가 설명하려는 결과인 종속변수와 자료를 수집·분석하는 대상인 분석단위이다.

'비행의 결정요인'이라는 표현에서 설명 대상, 곧 종속변수가 비행임을 알 수 있다. 부제 '소년원 재소자를 중심으로'는 자료가 개별 재소자 수준에서 수집·분석됨을 알려 주므로 분석단위는 개인(소년원 재소자)이다.

• 독립변수는 '결정요인'이라고만 했을 뿐, 그것이 가정환경인지 또래관계인지 학업성취인지 제목에는 전혀 드러나지 않는다.
• 표집방식이 전수조사인지 무작위표집인지 유의표집인지도 제목만으로는 판단할 수 없다.

단일사례설계를 통해 개입의 효과를 검증하는 연구는 특정 개입이 실제로 효과가 있었는지를 판단하는 것이므로 평가(evaluation) 목적에 해당하며, 탐색(exploration) 목적의 예로 짝짓는 것은 옳지 않다.

탐색적 연구는 새로운 주제에 대한 이해를 넓히기 위한 예비적 성격의 연구를 가리킨다.

• 담배값 인상 반대 이유를 파악하는 연구를 설명(explanation) 목적으로 짝지은 것은 타당하다.
• 의료정책이 국민의료비에 미친 영향을 살피는 연구를 평가(evaluation) 목적으로 짝지은 것도 타당하다.
• 대선후보 지지율 조사를 기술(description) 목적으로 짝지은 것 역시 타당하다.

두 변수 간 상관관계는 인과관계 성립의 필요조건일 뿐이며, 상관이 있다고 해서 곧바로 인과관계가 성립하는 것은 아니다.

인과관계가 성립하려면 상관관계 외에도 시간적 선후관계와 제3변수(허위관계)의 배제라는 조건이 함께 충족되어야 한다.

• 원인이 결과보다 시간적으로 앞서야 한다는 설명은 인과관계의 기본 조건이다.
• 두 변수 간에 정적 또는 부적 관계가 존재할 수 있다는 설명도 타당하다.
• 두 변수 간에 상관관계가 존재해야 한다는 설명 역시 인과관계 성립의 필요조건으로 타당하다.

면접조사는 조사자가 응답자와 직접 대면하여 질문하고 응답을 기록하므로, 질문 방식이나 응답 해석 과정에서 조사자의 주관이 개입될 가능성이 가장 높다.

반면 온라인조사·우편조사·전화조사는 정형화된 질문지를 그대로 전달하거나 비대면으로 진행되어 조사자 개입 여지가 상대적으로 작다.

사례조사(case study)는 특정 지역이나 하나의 현상에 연구 범위를 국한시켜 그 현장을 심층적으로 들여다보는 방법으로, 조사 대상의 실제 모습을 최대한 유지한 채 결과를 도출한다.

이는 본조사 이전에 실시하는 예비조사나, 표본을 통해 대표성을 확보하려는 사전조사, 도구의 타당도·신뢰도를 점검하는 절차와는 성격이 다르다.

• 본조사에 앞서 먼저 시행한다는 설명은 예비조사(파일럿 테스트)에 해당한다.
• 일정 지역이나 작은 표본을 추출해 대표성을 유지한 채 사전에 진행한다는 설명 역시 예비조사의 성격에 가깝다.
• 조사의 타당도·신뢰도를 측정하는 방법이라는 설명은 사례조사가 아니라 측정도구 검증 절차에 해당한다.

확률표집은 모집단의 각 요소가 표본으로 뽑힐 확률을 미리 알 수 있고 그 확률이 0이 아니라는 점이 핵심 특징이다. 이 추출확률을 알기 때문에 표본오차 추정과 모수 추정이 가능해진다.

• 표본이 모집단에 대해 갖는 대표성을 추정하기 어렵다는 설명은 오히려 대표성 추정이 어려운 비확률표집의 특징이다.
• 모집단이 무한하게 클 경우에 적용하는 표집방법이라는 설명은 옳지 않다. 확률표집은 모집단 구성요소의 목록인 표집틀을 확보할 수 있어야 추출확률을 부여할 수 있으므로, 모집단이 무한히 큰 경우에는 오히려 적용이 어렵다.
• 모집단에 대한 구체적 자료가 없을 때 사용한다는 설명은 표집틀이 필요 없는 비확률표집에 가깝다.

단순무작위표집은 모집단의 모든 요소가 동일한 확률로 추출될 수 있도록 무작위로 표본을 뽑는 방법으로, 추출확률을 사전에 알 수 있는 대표적인 확률표집이다.

편의표집, 할당표집, 유의표집은 모두 연구자의 임의적 판단이나 접근 용이성에 따라 표본을 선정하는 비확률표집에 해당한다.

등간척도와 비율척도는 값 사이를 무한히 세분할 수 있는 연속변수와 관련되며, 정수 단위로만 값을 갖는 이산변수와는 성격이 다르다.

따라서 등간척도·비율척도가 이산변수와 관련되어 있다는 설명은 척도와 변수 유형의 대응관계를 반대로 서술한 것이다.

• 연속변수가 속성의 크기나 양에 따라 대상을 분류한다는 설명은 타당하다.
• 연속변수가 척도상에서 무한히 미분 가능해 거의 무한개의 값을 가질 수 있다는 설명도 타당하다.
• 이산변수가 정수값으로 구성된다는 설명 역시 타당하다.

모집단을 소득이라는 기준으로 나눈 뒤 각 부분집단의 구성비에 맞추어 표본을 배분하고 그 안에서 무작위로 뽑았으므로 층화표집(그중에서도 비례층화표집)이다.

층화표집은 모집단을 서로 겹치지 않고 내부적으로 동질적인 층으로 나눈 다음, 각 층에서 확률표집을 실시한다. 사례에서는 최상·상·하·최하 4개 소득계층이 층이 되고 1,500명을 모집단 비율대로 배분해 계층별로 무작위 표집했으므로 정의에 정확히 들어맞는다.

• 군집표집은 집단 자체를 표집단위로 뽑는 방식이어서 층 안에서 개인을 뽑는 이 사례와 다르다.
• 할당표집은 층별 비율을 맞춘다는 점은 비슷하지만 마지막 단계에서 무작위가 아니라 조사자 임의로 대상을 고르는 비확률표집이다. 사례에는 '무작위 표집'이라고 명시돼 있다.
• 체계적 무작위 표집은 표집틀에서 일정한 간격 $k$마다 뽑는 방식으로 계층 구분과는 무관하다.

통계치(statistic)는 표본을 관찰해 실제로 계산해 낸 값으로, 이를 근거로 모집단의 특성치인 모수(parameter)를 추정하는 것이지 모수로부터 통계치가 계산되는 것이 아니다.

즉 추정의 방향이 반대로 서술되어 있다.

• 모집단이 모든 연구대상·분석단위의 집합이라는 설명은 타당하다.
• 표본이 모집단에서 일정 부분을 추출한 요소들의 집합이라는 설명도 타당하다.
• 모수가 모집단의 특성치이며 통계치를 근거로 추정한다는 설명 역시 타당하다.

개념적 정의는 정의하려는 개념 자체를 다시 그 개념으로 설명하는 순환정의를 피해야 하며, 대신 다른 용어로 명확하게 풀어써야 한다.

따라서 순환적인 정의가 이루어져야 한다는 설명은 개념적 정의가 지켜야 할 원칙과 정반대이다.

• 대상만의 특유한 요소나 성질을 적시해야 한다는 설명은 타당하다.
• 적극적·긍정적 표현을 써야 한다는 설명도 타당하다.
• 누구나 알아들을 수 있는 공유된 용어를 써야 한다는 설명 역시 타당하다.

측정도구가 현상을 일관성 있게 측정하였는가를 나타내는 것은 신뢰도의 정의이며, 타당성은 측정도구가 측정하고자 하는 개념을 실제로 정확하게 측정하였는가를 의미한다.

즉 일관성(신뢰도)과 정확성(타당도)의 개념이 서로 뒤바뀌어 서술되어 있다.

• 측정하고자 하는 개념을 실제로 측정하였는가를 말해준다는 설명은 타당도의 정의와 일치한다.
• 개념이 정확히 측정되었는가를 말해준다는 설명도 타당하다.
• 문항구성이 측정하려는 개념을 얼마나 잘 반영하는가를 말해준다는 설명 역시 타당도에 대한 설명으로 타당하다.

분석에 포함되는 변수의 수가 많아질수록 각 범주별 사례 수를 충분히 확보해야 하므로 표본의 크기도 함께 커야 한다.

• 모집단의 이질성이 클수록 대표성 확보를 위해 표본 크기는 오히려 커야 한다.
• 소요 비용과 시간은 표본 크기를 제약하는 현실적 요인으로 작용한다.
• 분석변수의 범주 수가 많아질수록 필요한 표본 크기도 커지므로 이는 표본 크기를 결정하는 요인이다.

다수의 평가자가 각 문항의 척도값(위치)을 판단하게 하고 그 결과로 대표 문항을 골라 척도를 만드는 방법은 서스톤척도다.

서스톤척도는 태도를 나타내는 진술문을 많이 모은 뒤 평가자 집단이 각 진술문이 척도상 어느 지점에 놓이는지 판정하게 한다. 평가자 판정의 중앙값을 그 문항의 척도값으로 삼고 판정이 크게 엇갈린 문항은 버려 등간격에 가까운 문항 집합을 구성한다는 점이 핵심이다.

• 거트만척도는 문항이 강도 순으로 누적되어 응답 패턴이 재생 가능한지를 따지는 누적척도다.
• 리커트척도는 평가자 판정 절차 없이 응답자의 동의 정도를 합산해 총점으로 태도를 재는 총화평정척도다.
• 의미분화척도는 '좋다-나쁘다'처럼 상반된 형용사쌍 사이에 응답 위치를 표시하게 하는 척도다.

고장 난 체중계가 잴 때마다 항상 일정한 값만큼 실제와 다르게 나타난다는 것은, 반복 측정 결과가 서로 일관되게 나온다는 뜻이므로 신뢰도는 높다.

다만 그 값이 실제 체중과는 체계적으로 어긋나 있으므로 측정하고자 하는 실제 체중을 정확히 반영하지 못해 타당도는 낮다.

조작적 정의는 추상적인 개념적 정의를 현실에서 측정 가능한 지표로 바꾸는 과정이므로, 원래의 개념적 정의에 최대한 일치하도록 구체화해야 그 타당성이 확보된다.

• 현실세계에서 검증할 수 없다는 설명은 오히려 조작적 정의의 목적(경험적 검증 가능화)과 반대된다.
• 개념적 정의보다 먼저 이루어진다는 설명은 순서가 틀렸다. 개념적 정의가 선행된 뒤 조작적 정의가 뒤따른다.
• 경험적 지표를 추상적으로 개념화하는 것이라는 설명은 방향이 반대이다. 조작적 정의는 추상적 개념을 경험적 지표로 바꾸는 것이다.

같은 개념(암기력)을 서로 다른 측정방법(쓰기·말하기)으로 측정한 결과들 사이의 상관관계 정도로 타당성을 판단하는 것은 집중타당성(convergent validity)이다.

동일한 구성개념을 측정하는 서로 다른 방법들의 측정치가 높은 상관을 보일수록 집중타당성이 높다고 평가한다.

옳은 것은 매개변수의 정의와 통제변수의 정의이며, 억제변수와 왜곡변수의 설명은 서로 뒤바뀌어 있다.

매개변수는 독립변수의 영향을 받아 다시 종속변수에 영향을 주는 중간 고리이므로 '독립변수의 결과인 동시에 종속변수의 원인'이라는 서술이 정확하다. 통제변수 역시 결과에 영향을 줄 수 있는 외재적 변수 가운데 영향을 검토하지 않기로 하고 일정하게 고정해 두는 변수라는 설명이 옳다.

• 억제변수는 실제로 관계가 있는 두 변수를 관계가 없는 것처럼 감추는 변수인데, 제시문은 '정반대의 관계로 나타나게 한다'고 서술해 틀렸다.
• 왜곡변수는 두 변수의 실제 관계를 정반대 방향으로 보이게 만드는 변수인데, 제시문은 '관계가 없는 것으로 나타나게 한다'고 서술해 틀렸다.

두 설명을 서로 맞바꿔 읽으면 각각 옳은 정의가 되므로, '감춘다=억제, 뒤집는다=왜곡'으로 묶어 외워 두면 헷갈리지 않는다.

동일한 측정도구로 동일한 대상을 동일한 상황에서 시간 간격을 두고 반복 측정하여 그 결과를 비교하는 신뢰도 추정방법은 재검사법(test-retest method)이다.

복수양식법은 유사한 두 개의 도구를 동시에 사용하는 방법이고, 반분법과 내적일관성 분석은 하나의 도구를 구성하는 문항들 간의 일관성을 분석하는 방법이라는 점에서 재검사법과 구분된다.

거트만척도는 문항들이 단일차원을 이루는지를 실제 응답자료를 통해 경험적으로 검증해야 하므로, 응답조사자료 없이 간편하게 구성할 수 있다는 설명은 거트만척도의 특성과 어긋난다.

• 문항 강도의 차이에 따라 서열화할 수 있다는 구상은 거트만척도의 기본 원리로 타당하다.
• 문항들의 단일차원성을 경험적으로 검증하도록 설계되었다는 설명도 타당하다.
• 강도가 가장 높은 문항 응답으로 다른 문항 응답을 예측할 수 있다는 설명 역시 거트만척도의 누적적 특성과 일치한다.

전수조사는 모집단 전체를 조사하므로 표본을 뽑는 과정 자체가 없어 표본추출오차가 발생하지 않는다. 다만 응답 오류, 무응답, 자료처리 오류 등 비표본추출오차는 전수조사에서도 발생할 수 있다.

따라서 전수조사에서 표본추출오차가 상당히 클 수 있다는 설명은 전수조사의 성격과 정면으로 배치된다.

• 표본 크기가 커질수록 표본추출오차가 감소한다는 설명은 타당하다.
• 표본추출오차의 크기가 표본크기의 제곱근에 반비례한다는 설명도 표준오차 공식과 일치한다.
• 비표본추출오차가 표본조사와 전수조사 모두에서 발생할 수 있다는 설명 역시 타당하다.

체계적 오류는 측정값이 일정한 방향으로 편향되게 나타나는 오류로 측정의 타당도를 떨어뜨리는 반면, 무작위(비체계적) 오류가 측정값을 들쭉날쭉하게 만들어 신뢰도를 떨어뜨린다.

따라서 체계적 오류가 신뢰도와 관련된다는 설명은 두 오류의 영향 관계를 반대로 서술한 것이다.

• 측정오류가 일관되지 않게 나타날 수 있다는 설명은 무작위 오류의 특성으로 타당하다.
• 측정환경의 변화에 따라 오류가 발생할 수 있다는 설명도 타당하다.
• 체계적 오류가 자료수집방법이나 수집과정에 개입될 수 있다는 설명 역시 타당하다.

표본조사를 설계할 때는 먼저 연구 대상이 되는 모집단을 명확히 확정한 뒤, 이를 바탕으로 표집틀을 마련하고 표본추출방법과 표본크기를 정하는 순서로 진행한다.

따라서 모집단의 확정이 가장 먼저 이루어져야 할 절차이다.

측정이란 일정한 규칙에 따라 사물이나 사건 등이 지닌 속성에 수치나 기호를 부여하는 과정을 말한다.

• 객관적으로 파악되지 않는 태도변수도 조작적 정의를 통해 측정이 가능하므로, 측정이 불가능하다는 설명은 옳지 않다.
• 동일한 대상을 반복 측정하면 원칙적으로 동일한 결과를 얻을 수 있다는 것이 신뢰도의 전제이므로, 동일한 결과를 얻을 수 없다는 설명은 옳지 않다.
• 측정하려는 개념은 연구자의 조작적 정의에 따라 달라질 수 있으므로, 정의가 달라질 수 없다는 설명도 옳지 않다.

사회적 바람직성(social desirability)은 응답자가 자신을 좋게 보이려는 방향으로 일관되게 응답을 왜곡시키므로 측정값이 한쪽 방향으로 치우치는 체계적 오류의 대표적 원인이다.

설문지 문항 수, 복잡한 응답절차, 응답자의 그때그때 기분은 응답의 방향을 일정하게 왜곡시키기보다 무작위적인 오류를 유발하는 요인에 가깝다.

0점에서 100점까지의 인기도 점수는 등간척도에 해당하여 점수 간 간격은 의미를 가지지만 절대적인 영점이 존재하지 않으므로 점수의 비율을 곱절로 해석할 수 없다.

따라서 을(60점)이 갑(30점)보다 더 지지한다고는 말할 수 있지만, 그 지지도가 정확히 2배라고 단정할 수는 없다.

인종·사회계급 등 여러 사회집단에 대해 응답자가 느끼는 사회적 거리감을 측정하기 위해 고안된 척도는 보가더스(Bogardus) 사회적 거리척도이다.

서스톤척도는 평정을 통한 등현등간척도, 거트만척도는 누적척도, 리커트척도는 총화평정척도로 각각 구성 원리가 다르다.

학년 구분 $2$개, 성별 구분 $2$개, 계열 구분(인문계·자연계·예체능계) $3$개를 모두 곱하여 할당표를 구성하면 총 범주 수는 다음과 같다.

$2 \times 2 \times 3 = 12$

따라서 할당표는 12개의 범주로 구분된다.

불교·기독교·가톨릭·기타처럼 종교를 단순히 구분되는 범주로만 나누고 그 사이에 크기나 순위의 의미를 부여하지 않는 측정은 명목척도에 해당한다.

서열·등간·비율척도는 범주 간에 순서나 간격, 절대영점 같은 추가적인 수리적 관계가 전제되어야 하므로 이 사례에는 해당하지 않는다.

판단표본추출법은 연구자가 자신의 연구능력과 사전지식을 바탕으로 모집단을 가장 잘 대표할 것으로 판단되는 대상을 주관적으로 선정하는 비확률표집 방법이다.

• 모집단의 특성에 대한 사전 지식과 가정을 전제로 표본을 선정하므로, 가정을 하지 않는다는 설명은 옳지 않다.
• 연구자의 주관적 판단에 의존하므로 확률표본추출법이 아니라 비확률표본추출법에 해당한다.
• 표본 선정이 객관적 확률에 근거하지 않으므로 표본의 대표성을 보장할 수 없다.

모집단의 남녀 구성비 6:4를 표본에 그대로 옮겨 남학생 60명·여학생 40명이라는 몫을 미리 정해 두고 그 몫이 찰 때까지 채웠으므로 할당표집이다.

할당표집은 성별·연령 같은 통제변수로 모집단을 범주화한 뒤 각 범주의 비율만큼 표본 수를 배정하고, 그 범주 안에서는 조사자가 임의로(선착순 등) 대상을 고르는 비확률표집이다. 비율을 맞춘다는 점은 층화와 닮았지만 실제 선정이 '방문한 순서대로'라는 점이 결정적이다.

• 모든 요소에 동일한 추출확률을 주는 단순무작위표집이나 일정한 간격 k마다 뽑는 체계적표집은 표집틀(명부)이 있어야 하는데, 도서관을 방문할 청소년의 명부는 존재하지 않는다.
• 층화표집도 성별로 층을 나누지만 각 층 안에서 확률적으로 무작위 추출해야 하므로, 선착순으로 채운 이 사례와는 다르다.

척도가 제공하는 정보의 양과 적용 가능한 통계기법의 수준은 비율척도 > 등간척도 > 서열척도 > 명목척도 순으로 높다.

비율척도는 절대영점을 가져 사칙연산이 모두 가능하고, 등간척도는 간격의 의미는 있으나 절대영점이 없으며, 서열척도는 순위 정보만, 명목척도는 단순 분류 정보만을 제공하기 때문이다.

소수의 초기 응답자에게서 다음 응답자를 소개받아 표본을 연쇄적으로 불려 나갔으므로 눈덩이표집(snowball sampling)이다.

눈덩이표집은 불법체류자·노숙인·희귀질환자처럼 모집단 목록을 만들 수 없는 은닉집단을 조사할 때 쓴다. 접촉 가능한 소수를 먼저 면접한 뒤 그들의 인적 네트워크를 타고 표본을 확장하므로, 지문의 '종교 단체를 통해 소수를 찾음 → 소개 → 또 소개'라는 단계적 확장이 핵심 단서다.

• 할당표집은 성별·연령 등의 구성비를 미리 알고 그 몫만큼 채우는 방식인데, 이 사례는 모집단의 구성비 자체를 알 수 없다.
• 군집표집은 지역·학교 같은 집락 목록에서 집락을 무작위로 뽑는 확률표집이라 역시 표집틀이 필요하고, 편의표집은 접근하기 쉬운 대상을 그냥 모으는 것이어서 응답자의 소개로 연결된다는 이 사례의 연쇄 구조를 설명하지 못한다.

신뢰도를 높이려면 오히려 측정항목의 수를 늘려 무작위 오차를 상쇄시켜야 하므로, 측정항목의 수를 줄이는 것은 신뢰도를 높이는 방법이 될 수 없다.

• 측정항목의 모호성을 제거하는 것은 응답의 일관성을 높여 신뢰도 향상에 기여한다.
• 중요한 질문을 유사하게 두 번 이상 묻는 것은 응답의 일관성을 점검·확보하는 방법으로 신뢰도를 높인다.
• 응답자가 잘 모르거나 관심 없는 내용을 측정 대상에서 제외하는 것도 무성의한 응답으로 인한 오차를 줄여 신뢰도를 높인다.

수렴타당도와 판별타당도는 이론적 틀 안에서 측정도구를 경험적으로 검증하는 구성타당도(구성체타당도)의 하위 유형이지, 기준타당도의 하위 유형이 아니다.

기준타당도는 외적 기준과의 상관을 통해 검증하는 타당도로, 예측타당도와 동시타당도로 구분되는 것이 일반적이다.

• 내용타당도는 전문가의 견해를 통해 판단할 수 있다는 설명은 타당하다.
• 구성체타당도가 이론적 틀 내에서 경험적으로 검증된다는 설명도 타당하다.
• 동시타당도가 기존의 신뢰할 만한 측정도구와 비교해 검증된다는 설명 역시 타당하다.

회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 결정계수는 약 0.72이다.

표에 잔차의 제곱합이 비어 있으므로 F값에서 거꾸로 구한다. $F=\dfrac{MSR}{MSE}$ 이므로 $MSE=\dfrac{55.01298}{20.871}\approx 2.636$ 이다.

잔차 자유도가 8이므로 $SSE=8\times 2.636\approx 21.09$, 총제곱합은 $SST=SSR+SSE=55.02+21.09\approx 76.11$ 이다.

따라서 $R^2=\dfrac{SSR}{SST}=\dfrac{55.02}{76.11}\approx 0.72$ 로, 과외활동 정도가 특정과목 선호정도 변동의 약 72%를 설명한다.

관측값 10이 더해져도 평균은 10 그대로여서 제곱합은 늘지 않고 자유도만 커지므로 4개 자료의 분산은 200/3이 된다.

주어진 조건 $\sum x_i = 30$, $\sum x_i^{2} = 500$ 을 넣으면 $s^2=\dfrac{500-3\times 10^{2}}{3-1}=\dfrac{200}{2}=100$ 으로 문제의 분산과 맞는다.

10을 추가하면 $\sum x_i = 40$, $\sum x_i^{2} = 500+10^{2}=600$, 평균은 $\dfrac{40}{4}=10$ 으로 변하지 않는다.

따라서 $s^2=\dfrac{600-4\times 10^{2}}{4-1}=\dfrac{200}{3}$ 이다. 평균과 같은 값을 추가하면 편차제곱합은 200으로 그대로인데 자유도만 2에서 3으로 늘어 분산이 작아진다는 점이 이 문항의 요점이다.

검정통계량이 정확히 $-1.96$ 으로 계산되므로 유의확률은 0.025이다.

모표준편차를 아는 대표본이므로 $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ 를 쓴다.

대입하면 표준오차가 $\dfrac{5}{\sqrt{100}}=0.5$ 이고, $Z=\dfrac{49.02-50}{0.5}=\dfrac{-0.98}{0.5}=-1.96$ 이다.

대립가설이 $\mu < 50$ 인 좌측 단측검정이므로 유의확률은 통계량보다 작은 쪽 꼬리확률 $P(Z\le -1.96)=0.025$ 가 된다. 양측검정으로 착각해 두 배인 0.05를 고르지 않도록 주의한다.

동일한 10마리의 가축을 대상으로 방목 전과 방목 후 두 시점에서 반복 측정한 자료를 비교하는 것이므로, 이는 서로 독립적인 두 집단이 아니라 동일 개체에서 짝을 이루어 측정한 자료를 비교하는 쌍체비교(대응비교) 방법이 적합하다.

독립표본에 의한 두 모평균 비교는 서로 다른 두 집단을 대상으로 할 때, 단일 모평균 검정은 하나의 모집단 평균값을 특정 값과 비교할 때 사용하는 방법이라는 점에서 이 사례와는 다르다.

합사건의 확률은 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$로 구한다. 두 사건이 겹치는 부분을 두 번 더한 셈이므로 한 번 빼 주는 것이다.

주어진 값을 곧바로 교집합의 확률로 쓰면 각 사건의 확률인 1/2보다 커져 확률로 성립하지 않는다. 그러므로 발문의 값은 조건부확률로 읽어야 하며, 곱셈정리를 쓰면
$P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

이를 덧셈정리에 대입하면
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
교집합의 확률을 처음부터 $\frac{1}{3}$로 보아도 같은 값이 나오므로, 구하는 확률은 2/3이다.

임계값은 c = 73.92이다.

기각역이 $\bar{X}\ge c$ 인 우측검정이므로, 귀무가설 $\mu=70$ 아래에서 $P(\bar{X}\ge c)=0.025$ 가 되도록 c를 정한다. 표준화하면 $\dfrac{c-70}{\sigma/\sqrt{n}}=1.96$ 이다.

표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{10}{\sqrt{25}}=2$ 이므로 $c=70+1.96\times 2=73.92$ 가 된다.

표본평균의 표준편차는 모표준편차 10이 아니라 표준오차 2라는 점이 핵심이다. 10을 그대로 곱하면 70+19.6=89.6, 표본크기 25로 나누면 70.98처럼 엉뚱한 값이 나온다.

결정계수는 상관계수의 제곱으로 계산되며, 한 변수의 변동 중 다른 변수로 설명되는 비율을 뜻한다.

상관계수가 0.6이므로 $r^2 = 0.6^2 = 0.36$이다.

따라서 생활비 변동의 36%가 가족수로 설명된다고 할 수 있다.

최소제곱법의 정규방정식이 보장하는 것은 잔차의 합이 0이라는 성질과 잔차가 설명변수와 직교한다는 성질 두 가지다.

절편을 미분해 0으로 놓으면 $\sum_{i=1}^{n} e_i = 0$, 기울기를 미분해 0으로 놓으면 $\sum_{i=1}^{n} x_i e_i = 0$ 이 나온다. 이 둘은 자료가 어떻든 항상 성립한다.

반면 관측값 $y_i$ 와 잔차의 곱의 합은 $\sum y_i e_i=\sum(\hat{y}_i+e_i)e_i=\sum \hat{y}_i e_i+\sum e_i^{2}=0+SSE$ 가 되어, 잔차제곱합만큼 남으므로 0이 아니다. 여기서 $\sum \hat{y}_i e_i=0$ 인 것은 $\hat{y}_i$ 가 $x_i$ 의 일차식이라 앞의 두 성질에서 따라 나온다.

정규분포는 좌우 대칭인 종형 분포로, 평균·중위수·최빈값이 모두 일치한다.

• 모든 연속형 확률변수가 정규분포를 따르는 것은 아니며 지수분포·균일분포 등 다양한 연속분포가 존재한다.
• 정규분포는 모수 $\mu,\sigma^2$에 따라 다양하게 정의되며, 평균 0·분산 1은 표준정규분포라는 특수한 경우일 뿐이다.
• 이항분포는 시행횟수가 충분히 크고 확률이 극단적이지 않을 때만 근사적으로 정규분포에 가까워지므로 언제나 성립하지는 않는다.

상관계수는 두 변수 간 선형관계의 방향과 강도를 나타내며 항상 -1과 1 사이의 값을 가진다.

• 상관계수는 관계의 방향에 따라 양수와 음수 모두 가능하므로 언제나 음수 또는 언제나 양수라는 설명은 옳지 않다.
• 공분산이 0이면 상관계수도 0이 되어 선형관계가 없음을 의미하므로 공분산 0일 때 상관계수가 1이라는 설명은 틀렸다.

두 추정량은 모두 불편추정량이지만 분산이 더 작은 표본평균 쪽이 유효추정량이다.

계수의 합이 $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1$, $\tfrac{2}{10}+\tfrac{5}{10}+\tfrac{3}{10}=1$ 로 둘 다 1이므로 기댓값이 모두 $\mu$ 가 되어 편향이 없다.

분산은 $\mathrm{Var}(\hat{\theta}_1)=\dfrac{1+1+1}{9}\sigma^{2}=\dfrac{\sigma^{2}}{3}\approx 0.333\sigma^{2}$, $\mathrm{Var}(\hat{\theta}_2)=\dfrac{2^{2}+5^{2}+3^{2}}{100}\sigma^{2}=\dfrac{38}{100}\sigma^{2}=0.38\sigma^{2}$ 이다.

따라서 표본평균 쪽이 분산이 작아 더 유효(효율적)하고, 가중치를 불균등하게 준 쪽은 여전히 불편이긴 하나 유효성에서 밀린다. 불편추정량 중 분산이 최소인 것을 유효추정량이라 부른다는 정의를 그대로 적용한 문항이다.

모집단의 표준편차가 작을수록 표본평균의 산포가 줄어들어 모집단을 더 잘 반영하는, 즉 대표성이 큰 값이 된다.

표본평균의 표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 모표준편차에 비례하므로, $\sigma$가 작으면 표본평균이 모평균 주변에 밀집되어 대표성이 높아진다.

성적이 $N(70, 10^2)$을 따르므로 평균 70, 표준편차 10이며, 50점 이하일 확률은 표준정규분포로 변환해 구한다.

$Z = \dfrac{50-70}{10} = -2$

따라서 F학점을 받을 비율은 P(Z≤-2)로 표현된다.

모비율 신뢰구간의 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 이므로 정답은 $0.8\pm 1.96\times\sqrt{\dfrac{0.16}{500}}$ 이다.

표본비율은 $\hat{p}=\dfrac{400}{500}=0.8$ 이고, 분산 부분은 $\hat{p}(1-\hat{p})=0.8\times 0.2=0.16$ 이다.

여기에 표본크기 500을 나누고 제곱근을 씌우면 표준오차 $\sqrt{0.16/500}\approx 0.0179$, 신뢰계수 1.96을 곱해 오차한계 약 0.035를 얻는다. 즉 95% 신뢰구간은 대략 0.765 ~ 0.835다.

• 제곱근 안에 0.8을 넣은 형태는 분자에 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 가 아니라 $\hat{p}$ 만 넣은 잘못된 식이다.
• 제곱근 없이 $0.16/\sqrt{500}$ 이나 $0.8/\sqrt{500}$ 로 쓴 형태는 분산을 표준편차로 바꾸는 제곱근을 빠뜨린 오류다.

유의확률 0.07이 유의수준 0.05보다 크므로 귀무가설을 기각할 수 없어 I개 그룹의 평균이 모두 같다고 본다.

모형 $X_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}$ 에서 $\alpha_i$ 는 i번째 그룹의 처리효과이므로, $H_0:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_I=0$ 은 모든 그룹의 평균이 전체평균 μ와 같다는 뜻이다.

p-값은 귀무가설이 참일 때 관측된 F값 이상이 나올 확률이다. $0.07 > 0.05$ 이면 관측 결과가 귀무가설과 충분히 양립하므로 그룹 간 차이가 있다고 볼 근거가 없다.

'적어도 하나가 다르다'는 결론은 귀무가설을 기각했을 때 채택되는 대립가설이고, '모두 다르다'거나 '증가하는 관계가 있다'는 것은 F-검정이 애초에 판정하지 않는 진술이다.

할당성(quota)은 표본추출(할당표집) 관련 용어일 뿐, 추정량의 좋고 나쁨을 판단하는 통계적 기준이 아니다.

바람직한 추정량의 선정기준으로는 기댓값이 모수와 같은 불편성, 분산이 작은 효율성, 표본크기가 커질수록 모수에 수렴하는 일치성이 대표적이다.

앞면이 나올 확률이 0.5인 동전을 10번 독립 시행하므로 X는 이항분포 B(10, 0.5)를 따르고, E(X)=5, Var(X)=2.5다.

이항분포의 기댓값은 $E(X)=np=10\times 0.5=5$ 이고, 분산은 $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=10\times 0.5\times 0.5=2.5$ 이다.

분산 자리에 $\sqrt{2.5}$ 를 둔 항목은 표준편차를 분산으로 착각한 것이다. 표준편차가 $\sqrt{2.5}\approx 1.58$ 이고 분산은 그 제곱인 2.5다. $\sqrt{5}$ 를 둔 항목은 표준편차도 분산도 아닌 값으로, 기댓값 5에 제곱근을 씌운 형태의 함정이다.

기댓값 2.5·분산 5로 적은 항목은 $np$ 와 $np(1-p)$ 의 자리를 서로 바꾼 것으로, 이항분포에서는 항상 분산이 기댓값보다 작다(1-p<1)는 점만 기억해도 걸러진다.

범주형 변수를 회귀분석에 사용할 때는 가변수를 범주 수보다 하나 적게(n-1개) 만들어 투입한다.

n개를 모두 넣으면 절편항과 함께 완전한 다중공선성(더미변수 함정)이 발생하므로, 기준범주 하나를 제외한 $n-1$개만 모형에 포함한다.

표본이 모집단 성별 구성비(남 60%, 여 40%)에 맞춰 추출되었으므로 전체 안경 착용 비율은 집단별 비율을 구성비로 가중평균하여 추정한다.

남학생 비율 $\dfrac{240}{600}=0.4$, 여학생 비율 $\dfrac{60}{400}=0.15$이다.

$0.6\times0.4 + 0.4\times0.15 = 0.24+0.06 = 0.3$

따라서 전체 추정값은 0.3이다.

일원배치법은 하나의 요인(처리)에 대한 여러 수준 간 평균 차이를 비교하는 방법으로, 표준적인 균형설계에서는 처리별 반복수를 동일하게 두는 것이 원칙이다.

• 일원배치법은 처리 간 평균 차이를 검정하는 방법이며 분산 자체의 차이를 해석하는 것이 목적은 아니다.
• 기술자와 재료라는 두 요인을 동시에 고려해 최적 조건을 찾는 문제는 하나의 요인만 다루는 일원배치법이 아니라 이원배치법의 대상이다.
• 비교하려는 처리 수준의 수에 따라 분석 규모와 자유도가 달라지므로 조건 수와 무관하다고 보기 어렵다.

모비율 추정의 표본크기는 $n = \dfrac{Z^2 \cdot p(1-p)}{e^2}$으로 구하며, 사전 정보가 없으면 분산이 최대가 되는 $p=0.5$를 사용한다.

$n = \dfrac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.04^2} = \dfrac{0.9604}{0.0016} = 600.25$

표본크기는 정수로 올림하므로 최소 601명이 필요하다.

절편 $\beta_0$ 는 $X_i$ 가 0일 때의 Y의 기댓값이므로, $X_i$ 가 표본평균 $\bar{X}$ 일 때의 반응량이라고 설명한 진술이 틀렸다.

모형 $Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+\varepsilon_i$ 에 $X_i=0$ 을 넣으면 $E(Y_i)=\beta_0$ 가 되고, $X_i=\bar{X}$ 를 넣으면 $\beta_0+\beta_1\bar{X}$ 로 기울기 항이 남는다. 이 값이 $\beta_0$ 와 같아지는 것은 $\beta_1=0$ 이거나 $\bar{X}=0$ 인 특수한 경우뿐이다.

• $E(\varepsilon_i)=0$ 이므로 $E(Y_i)=\beta_0+\beta_1 X_i$ 라는 설명은 옳다.
• $\beta_0+\beta_1 X_i$ 는 상수이므로 $\mathrm{Var}(Y_i)=\mathrm{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2$ 로 오차항과 분산이 같다는 설명도 옳다.
• 오차항이 서로 독립이라는 가정에서 $Y_i$ 들도 상호 독립이 되므로 마지막 설명 역시 옳다.

변이계수(CV)는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로, 서로 다른 규모의 자료를 상대적으로 비교할 때 사용한다.

$CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}} = \dfrac{400}{40} = 10$

중앙값은 변이계수 계산에 쓰이지 않으며, 평균과 표준편차만으로 10이 산출된다.

찬성률 $\hat{p} = \dfrac{960}{1200} = 0.8$에 대한 표준오차는 $SE=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$로 구한다.

$SE = \sqrt{\dfrac{0.8 \times 0.2}{1200}} \approx 0.0115$

따라서 표준오차는 약 0.0115이다.

등분산을 가정하는 두 표본 t-검정의 자유도는 $df = n_1 + n_2 - 2$로 계산한다.

환자군과 대조군이 각각 12명이므로 $df = 12+12-2=22$이며, 자유도는 22가 된다.

자료 2, 2, 2, 3, 4, 5는 평균이 중앙값보다 커서 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포이므로 왜도가 0보다 크다. 따라서 왜도가 0보다 작다는 설명이 틀렸다.

세 대표값을 직접 구하면, 2가 세 번 나와 최빈수는 2이고, 크기순 3번째·4번째 값의 평균인 $\dfrac{2+3}{2}=2.5$가 중앙값이다.

평균은 $\bar{x}=\dfrac{2+2+2+3+4+5}{6}=\dfrac{18}{6}=3$이다.

일반적으로 평균 > 중앙값 > 최빈수이면 오른쪽 꼬리가 긴 양의 왜도인데, 여기서도 3 > 2.5 > 2이므로 왜도는 양수이다.

정규분포는 연속형 확률변수가 가지는 분포인 반면, 이항분포·포아송분포·다항분포는 모두 이산형 확률변수의 분포라는 점에서 구별된다.

따라서 확률변수의 성질(연속형 대 이산형)로 구분할 때 나머지 셋과 성격이 다른 것은 정규분포다.

공정한 주사위라면 각 눈의 기대도수가 120 ÷ 6 = 20이므로, 적합도 검정의 카이제곱 통계량 값은 2.5이다.

검정통계량은 $\chi^2=\sum \dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$이고, 관찰도수는 차례로 18, 23, 16, 21, 18, 24이다.

편차 제곱의 합은 $(-2)^2+3^2+(-4)^2+1^2+(-2)^2+4^2=4+9+16+1+4+16=50$이고,
이를 공통 기대도수 20으로 나누면 $\chi^2=\dfrac{50}{20}=2.5$이다.

이때 자유도는 범주 수 − 1 = 5이며, 계산된 2.5를 자유도 5인 카이제곱 분포의 기각값과 비교해 주사위의 공정성을 판정한다.

신뢰구간의 길이는 $2Z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 형태로 표본크기의 제곱근에 반비례한다.

표본크기를 4배로 늘리면 $\sqrt{4}=2$이므로 신뢰구간의 길이는 1/2로 줄어든다.

확률이 0이 아닌 칸이 모두 X와 Y의 값이 서로 가까운 대각선 부근에 몰려 있으므로, 두 변수는 같은 방향으로 함께 움직여 상관계수는 양의 값을 갖는다.

표를 보면 X가 1~3인 영역의 확률은 Y도 1~3인 칸에만, X가 4~5인 영역의 확률은 Y도 4~5인 칸에만 놓여 있다. 즉 X가 크면 Y도 크다는 관계가 확률분포에 그대로 나타나 있다.

공분산 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$를 실제로 계산하면 양수가 되고, 표준편차는 항상 양수이므로 $\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ 역시 양수이다.

결합확률분포가 모두 주어져 있어 상관계수를 구할 수 없는 경우가 아니며, 두 변수가 독립일 때 나타나는 상관계수 0과도 명백히 다른 형태이다.

각 관측값이 0 또는 1만 갖는 베르누이 확률변수이고 그 20개를 더한 값이므로, $Z=\sum_{i=1}^{20} y_i$는 이항분포를 따른다.

신장이 160cm와 180cm 사이일 확률을 p라 하면 각 $y_i$는 $P(y_i=1)=p$, $P(y_i=0)=1-p$인 베르누이 분포를 따르고, 확률표본이므로 서로 독립이다.

독립인 베르누이 시행 n회에서 값이 1인 횟수의 합은 정의상 $B(n,\,p)$를 따르므로 $Z \sim B(20,\,p)$이고, 평균은 $20p$, 분산은 $20p(1-p)$이다.

추출이 독립인 확률표본이므로 비복원 추출에서 나오는 초기하분포가 아니고, n=20은 정규근사를 쓸 만큼 크지 않으며 희귀사건 가정도 없어 포아송분포로 볼 근거도 없다.

Durbin-Watson(DW) 통계량이 0에 가까울수록 잔차 간 양(+)의 자기상관이 강함을 의미하며, 잔차가 서로 독립일 때는 DW 값이 2에 가까워진다.

따라서 'DW 통계량이 0에 가까우면 독립이다'라는 설명이 틀린 내용이다.

• 표준화잔차의 절대값이 2 이상이면 이상치로 판단하는 것은 일반적인 기준이다.
• 분산팽창계수(VIF)가 10 이상이면 다중공선성을 의심하는 것도 표준 기준이다.
• 표준화잔차와 예측치의 산점도로 등분산성을 점검하는 것 역시 통상적인 잔차 진단 방법이다.

회귀분석의 표준오차 자유도는 표본크기에서 추정해야 할 회귀계수의 수(절편 포함)를 뺀 값이다.

$df = n - k - 1 = 100 - 5 - 1 = 94$

독립변수 5개와 절편 1개를 제외하면 자유도는 94가 된다.

응답 백분율을 가중치로 삼아 가중평균을 구하면 만족도 평균은 3.45점이다.

각 척도 점수에 해당 응답 비율을 곱해 모두 더하면 된다.
$\bar{x}=\sum x_i \cdot p_i$

$=1\times0.10+2\times0.15+3\times0.20+4\times0.30+5\times0.25$
$=0.10+0.30+0.60+1.20+1.25=3.45$

4점(30.0%)과 5점(25.0%)에 응답이 몰려 있어 척도 중앙인 3점보다 만족 쪽으로 평균이 이동한 결과이다.

표본상관계수의 유의성 검정에는 $t=r_{xy}\sqrt{\dfrac{n-2}{1-r_{xy}^{2}}}$를 쓰며, 자유도는 n − 2이다.

이 통계량은 단순회귀 기울기의 t검정과 같은 결과를 주며, $r_{xy}$가 0에서 멀수록, 표본 크기 n이 클수록 값이 커져 귀무가설 $\rho_{xy}=0$을 기각하기 쉬워진다.

• 분모가 $1-r_{xy}^{2}$인 것이 핵심이다. 상관이 강해 $r_{xy}^{2}$가 1에 가까워지면 분모가 0으로 작아져 통계량이 커지는데, 분모를 $1+r_{xy}^{2}$로 두면 이 성질이 사라진다.
• 자유도가 n − 2이므로 근호 안 분자도 n + 2가 아니라 n − 2여야 한다.

따라서 근호 안 분자가 n − 2, 분모가 $1-r_{xy}^{2}$인 형태만 올바른 검정통계량이다.

모표준편차 σ는 모르고 표본표준편차 s=0.6g만 주어졌으며 표본 크기가 n=10으로 작으므로 t-검정법을 쓰고, 검정통계량은 $T_0=\dfrac{49-50}{0.6/\sqrt{10}}$이다.

일표본 t검정의 통계량은 $T_0=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$로, 분모는 표준오차 $s/\sqrt{n}$이다. 값을 대입하면 $\dfrac{49-50}{0.6/\sqrt{10}} \approx -5.27$이 된다.

• 분모를 $\sqrt{0.6/10}$으로 쓰면 표준편차 0.6을 분산으로 잘못 취급한 것이라 틀리다.
• 모분산을 아는 상황이 아니므로 정규검정법(Z검정)을 적용할 수 없다.

자유도는 n − 1 = 9이고 대립가설이 μ<50인 좌측 단측검정이므로, $T_0$가 임계값보다 작으면 귀무가설을 기각한다.

표의 자료로 계산한 카이제곱 통계량은 8로 임계값 3.84보다 크므로 p값은 0.05보다 작다. 따라서 p값이 0.05보다 크다는 설명이 틀렸다.

남자 찬성 40·반대 60, 여자 찬성 60·반대 40이고 남녀 각 100명이므로 네 칸의 기대도수는 모두 50이다.
$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}=4\times\dfrac{(40-50)^2}{50}=4\times 2=8$

통계량 8이 기각역 경계 3.84를 넘어 기각역 안에 들어가므로 유의수준 0.05에서 성별에 따라 찬성 여부가 다르다고 판정하며, 이는 곧 p값이 0.05보다 작다는 뜻이다.

• 2×2 분할표의 자유도는 $(2-1)(2-1)=1$이고, 중립의견이 더해져 2×3이 되면 $(2-1)(3-1)=2$로 늘어난다.
• 오즈비는 $\dfrac{0.4/0.6}{0.6/0.4}=\dfrac{40/60}{60/40} \approx 0.444$로 옳게 계산된 값이다.

불량률 20%인 공정에서 7개를 뽑아 불량품 수 Y를 셀 때, Y는 이항분포 $B(7, 0.2)$를 따르는 것으로 다룬다.

이항분포의 분산은 $Var(Y) = np(1-p)$로 구한다.

$Var(Y) = 7 \times 0.2 \times 0.8 = 1.12$

모집단이 표본에 비해 충분히 크면 랜덤표본의 성질은 단순랜덤복원추출로 얻은 표본의 성질과 사실상 같아진다. 두 표본의 성질이 전혀 관계가 없다는 설명이 틀렸다.

복원추출에서는 매 추출이 언제나 같은 구성의 모집단을 대상으로 하므로 $X_1, X_2, \ldots, X_n$이 서로 독립이고 각각의 분포가 모집단 분포와 동일하다. 이것이 확률표본(iid 표본)의 정의다.

비복원추출이라도 모집단 크기가 표본 크기보다 훨씬 크면 한 개체를 빼내도 모집단 구성이 거의 변하지 않아 복원추출과 거의 같은 성질을 갖는다.

또한 표본평균 $\bar{X}=\sum_{i=1}^{n} X_i / n$은 표본 크기가 충분히 크면 중심극한정리에 의해 모집단 분포와 무관하게 근사적으로 정규분포를 따른다.

표본비율 0.55에 대한 검정통계량이 Z = 2이고 대립가설이 우측이므로 p-값은 P(Z ≥ 2)이다.

표본비율은 $\hat{p}=\dfrac{220}{400}=0.55$이고, 귀무가설 $p=0.5$ 아래에서 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.5 \times 0.5}{400}}=\dfrac{0.5}{20}=0.025$이다.

따라서 $Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}=\dfrac{0.55-0.5}{0.025}=2$이다.

대립가설이 $p > 0.5$인 우측 단측검정이므로 p-값은 관측된 통계량보다 큰 쪽의 꼬리 확률, 즉 $P(Z \ge 2)$가 된다.