14년 2회차

강제적 측정과 통제된 측정을 이용하는 것은 표준화된 도구로 변수를 측정하는 양적연구의 특징이지, 자연스러운 상황에서 주관적ㆍ해석적으로 자료를 수집하는 질적 연구의 특징이 아니다.

질적 연구는 통제된 측정보다는 관찰이나 심층면접처럼 유연한 방법을 통해 현상의 의미를 해석하는 데 초점을 둔다.

제시된 사례의 대표적 저해요인은 성숙효과(maturation)다.

대상이 성장기 청소년이므로 키가 커진 것은 체육활동 때문이 아니라 시간이 흐르는 동안 일어난 자연적인 신체 발달 때문일 수 있다. 이처럼 시간 경과에 따라 조사대상 내부에서 일어난 변화가 실험효과와 뒤섞여 인과 추론을 흐리는 것이 성숙효과다.

• 외부사건(history)은 실험기간 중 발생한 외부의 사건이 결과에 영향을 주는 것인데, 사례에는 그런 사건이 제시되어 있지 않다.
• 검사효과(testing)는 사전검사를 받은 경험이 사후검사 결과를 바꾸는 것으로, 키는 측정에 익숙해진다고 달라지지 않는다.
• 도구효과(instrumentation)는 측정도구나 측정자가 바뀌어 생기는 차이인데, 여기서는 측정 방식 변화에 대한 언급이 없다.

2차 자료는 원래 다른 목적으로 수집된 자료이기 때문에, 연구자가 필요로 하는 개념을 그대로 측정했는지 확인하기 어려워 신뢰도와 타당성이 보장된다고 볼 수 없다.

오히려 자료의 수집 배경과 방법을 검토해 신뢰도ㆍ타당성을 별도로 판단해야 한다.

• 직접 조사보다 시간이 적게 든다는 것은 2차 자료의 장점이다.
• 직접 조사보다 비용이 적게 든다는 것도 2차 자료의 장점이다.
• 전문성 있는 기관이 수집했다면 그 혜택을 받을 수 있다는 것도 장점이다.

질문지는 응답자의 답변을 특정 방향으로 유도하지 않도록 가치중립적으로 작성해야 하며, 가치판단적인 질문은 편향된 응답을 유발하므로 바람직한 작성원칙이 아니다.

간결하고 명확하게, 응답자의 수준에 맞는 언어로 작성해야 한다는 나머지 원칙들은 모두 타당하다.

면접법의 특징을 검토하면, 면접은 조사자와 응답자가 직접 대면하는 방식이므로 익명성이 낮다. 따라서 4번은 면접법의 장점이 아니다. 반면 1번 관찰 병행, 2번 신축적 질문 조정, 3번 질문순서와 정보 흐름 통제는 모두 면접법의 핵심 장점이다. 익명성이 높아서 솔직한 의견을 얻을 수 있다는 특성은 오히려 설문조사의 장점에 해당한다.

반작용 효과(반응성 효과)는 피실험자가 자신이 관찰ㆍ실험 대상임을 의식해 평소와 다르게 반응하는 것으로, 실험 결과를 일반화하기 어렵게 만드는 외적타당도 저해요인이다.

특정사건(역사요인)의 영향, 피실험자의 자연스러운 변화(성숙요인), 사전검사의 영향(검사효과)은 모두 실험 진행 과정 자체에서 결과를 왜곡시키는 내적타당도 저해요인에 해당한다.

가설이 부인(기각)되었다고 해서 그 반대 가설이 자동으로 검증된 것은 아니다. 기각은 해당 가설을 지지할 근거가 부족함을 보여줄 뿐, 다른 대안적 설명의 참을 증명하지는 않는다.

가설은 검증 가능해야 하고, 실제 문제 해결에 기여할 수 있어야 하며, 변수와 그 관계로 구성되어야 한다는 나머지 특성은 모두 타당하다.

판매 매장과 비슷한 상황을 인위적으로 만들어 소비자의 행동을 관찰하는 것은 실제 자연스러운 환경이 아니라 조성된 환경에서 이루어지므로 인위적 관찰에 해당하며, 자연적 관찰이라고 볼 수 없다.

• 관찰된다는 사실을 알려주고 관찰하는 것은 공개적 관찰이 맞다.
• 표준화된 양식에 따라 미리 정한 내용을 기록하는 것은 체계적 관찰이 맞다.
• 현장을 직접 지켜보며 자료를 얻는 것은 직접관찰이 맞다.

동일한 조사대상 집단을 여러 시점에 걸쳐 반복적으로 추적 조사하여 태도나 의견의 변화를 살펴보는 방법은 패널조사다.

횡단조사는 한 시점의 단면을 보는 조사이고, 패널조사는 시간에 따른 동일 표본의 변화를 추적한다는 점에서 구분된다.

연구의 분석단위는 자료를 수집하고 분석하는 대상 그 자체를 가리킨다.

이 논문은 소년원에 있는 재소자 개개인의 특성을 조사해 비행의 결정요인을 살펴보는 것이므로, 분석단위는 소년원 재소자(개인)이다.

질문지의 지시문은 조사에 앞서 응답자에게 안내하는 부분으로, 연구목적, 연구자(조사기관)의 신분, 응답자가 어떻게 뽑혔는지를 알리는 표집방법 안내, 비밀보장과 협조 요청 등이 담긴다.

반면 응답자 특성(성별, 연령, 학력 등)은 지시문에서 안내할 사항이 아니라 질문지 본문의 인구통계 문항을 통해 조사해서 얻어야 할 자료이므로, 지시문에 들어갈 내용과는 거리가 멀다.

실증주의적 과학관은 관찰과 경험적 검증을 중시하며, 객관성ㆍ재생가능성ㆍ반증가능성을 과학적 지식의 핵심 특징으로 삼는다.

직관성은 개인의 주관적 통찰에 의존하는 것으로, 경험적ㆍ객관적 검증을 중시하는 실증주의 과학관의 특징과는 거리가 멀다.

추이연구, 동류집단연구, 패널연구는 모두 시간의 흐름에 따른 변화를 관찰하는 종단연구에 해당한다.

반면 횡단적연구는 한 시점에서 여러 대상을 조사해 단면을 파악하는 방법으로, 시간적 범위가 다른 세 연구와 구분된다.

구체적인 개별 사례의 특성을 근거로 삼아 이보다 큰 규모의 거시적ㆍ집합적 현상을 설명하려 할 때 발생하는 오류를 개인주의적 오류라 한다.

이와 반대로 집단 수준의 자료를 근거로 개별 구성원의 특성을 추론할 때 발생하는 오류는 생태학적 오류로, 서로 구분되는 개념이다.

가설은 변수들 간의 관계로 구체적으로 진술되어 검증 가능해야 한다.

'기업 경영은 근본적으로 인간이 결정한다'는 변수 간의 관계를 명시하지 않은 포괄적ㆍ당위적 진술이어서 경험적으로 검증하기 어려우므로 가설로 적합하지 않다.

나머지 보기들은 각각 원인과 결과에 해당하는 변수(지연-행정발전, 불화-소년범죄, 거주지역-정치성향)가 명확히 드러나 있어 가설로 적합하다.

관찰조사는 인위적인 조작 없이 자연스러운 상황에서 대상의 행동을 있는 그대로 살펴보는 방법이므로, 실험처럼 환경변수를 완벽하게 통제하기는 어렵다.

따라서 환경변수의 완벽한 통제는 관찰법의 장점이 아니라 오히려 통제된 실험법이 갖는 특징이다.

• 말로 표현되지 않는 비언어적 행동 자료를 얻는 데 효과적이라는 것은 관찰법의 장점이다.
• 시간을 두고 지속적으로 관찰하는 장기 연구가 가능하다는 것도 장점이다.
• 인위적 개입이 적어 자연스러운 연구 환경이 확보되기 쉽다는 것도 장점이다.

과학적 연구는 새로운 증거나 반증에 의해 언제든 수정될 수 있어야 하며, 이러한 개방성과 잠정성이 과학의 중요한 특징이다.

연구결과가 절대 수정될 수 없다고 보는 것은 과학적 연구의 속성과 맞지 않으며, 오히려 반증가능성을 부정하는 태도다.

논리적 이론에 근거하고, 결과의 일반화를 지향하며, 다른 연구자에 의해 재검증이 가능해야 한다는 나머지 설명은 모두 타당하다.

우편조사의 응답률을 높이려면 무응답자에게 독촉(사후관리)을 여러 차례 반복하는 것이 효과적이라고 알려져 있으며, 단 한 번의 독촉만으로는 응답률 제고 효과가 제한적이다.

따라서 독촉을 단 한 번만 하는 방법은 응답률을 높이는 방법과는 거리가 멀다.

• 공신력 있는 후원기관을 밝히는 것은 응답률을 높이는 방법이다.
• 선물이나 현금 등 적절한 보상을 제공하는 것도 응답률을 높이는 방법이다.
• 회수용 봉투에 우표를 직접 붙여 동봉하는 것도 응답의 편의를 높여 응답률 제고에 도움이 된다.

소수의 사람을 한 자리에 모아 특정 주제에 대해 자유롭게 토론하도록 하면서 필요한 정보를 얻는 방법은 표적집단면접법(FGI)이다.

진행자가 최소한으로 개입하며 참가자들 간의 상호작용을 통해 자연스러운 의견과 반응을 이끌어낸다는 점이 특징이다.

내용분석은 문헌, 기사, 가사, 방송물 등 이미 존재하는 기록물이나 텍스트를 체계적으로 분석하는 방법이다.

알코올이 운전행동에 미치는 영향을 살펴보는 것은 실제 행동에 대한 관찰이나 실험을 필요로 하는 주제로, 기존 기록물을 분석하는 내용분석의 대상으로는 적합하지 않다.

• 작가의 문체 분석은 텍스트 자료를 다루므로 내용분석에 적합하다.
• 전래 동화의 주제 분석도 문헌 자료를 다루므로 내용분석에 적합하다.
• 대중가요 가사 분석도 텍스트 자료를 다루므로 내용분석에 적합하다.

이 조사방법은 문헌조사이며, 이미 발표된 학술지·상업잡지·통계자료집 등 기존 문헌 자료를 수집·분석해 활용하는 간접적 자료수집 방법이다.

연구자가 직접 대상자를 만나지 않고도 필요한 정보를 얻을 수 있어 예비조사나 2차 자료 분석에 널리 쓰인다.

단 한 사람의 응답을 300여 명 전체의 동기로 확대한 것은 과도한 일반화에 해당한다.

과도한 일반화는 소수의 사례나 제한된 관찰에서 얻은 사실을 충분한 근거 없이 집단 전체에 적용하는 오류다. 시위대 1명이 '어떤 상점을 털기 위한 것'이라고 답했다고 해서 나머지 사람들의 참여 동기까지 같다고 볼 수는 없다.

• 선별적 관찰은 자신의 생각에 들어맞는 사례만 골라 보고 어긋나는 사례는 무시하는 오류다.
• 자아가 개입된 이해는 자신의 이해관계나 체면 때문에 사실을 왜곡해 받아들이는 것이다.
• 도박사의 논리는 서로 독립인 사건에서 앞선 결과가 다음 결과에 영향을 준다고 믿는 확률 오해다.

바르지 않은 설명은 산업 관련 질문의 배열 순서에 관한 것이다. 일반적으로 질문 순서는 산업 전체와 같은 포괄적·일반적인 내용에서 시작해 특정 품목처럼 구체적인 내용으로 좁혀가는 것이 바람직하다.

이 문항은 그 반대 순서를 제시하고 있어 옳지 않다.

• 첫 질문을 쉽고 흥미로운 내용으로 배치하는 것은 응답 참여를 유도하는 바람직한 원칙이다.
• 연령·소득 등 민감한 개인정보 질문을 뒷부분에 두는 것도 응답 거부를 줄이는 옳은 방식이다.
• 연상작용이 우려되는 질문들 사이에 간격을 두는 것도 응답 편향을 막기 위한 타당한 배열 원칙이다.

질적 연구에서 많이 활용되는 방법은 관찰조사이다. 연구자가 현상이 일어나는 현장에서 직접 행동과 상황을 관찰·기록함으로써 수치화하기 어려운 맥락적 정보를 깊이 있게 파악할 수 있기 때문이다.

전화조사·질문지조사·실험조사는 구조화된 도구로 양적 자료를 수집하는 데 주로 쓰인다.

사회과학 조사연구 주제로 적합하지 않은 것은 개기일식이 일어나는 이유를 묻는 항목이다. 이는 인간의 사회적 관계나 행동이 아니라 천문학적 자연현상을 다루는 자연과학의 영역이기 때문이다.

지능과 학업성적의 상관, 기업복지와 노사분규의 관계, 여성 차별대우 여부는 모두 사회적 관계와 행동을 다루는 사회과학 연구주제에 해당한다.

위약효과가 크게 나타났다는 것은 실험처치 자체보다 심리적 기대가 결과에 영향을 미쳤을 가능성이 크다는 뜻이므로, 이런 경우 연구결과를 일반화하지 않도록 유의해야 한다.

처치 효과와 위약 효과가 뒤섞이면 실험의 내적 타당도가 흔들리고, 그 결과를 다른 상황에 그대로 확장 적용하기 어려워지기 때문이다.

실험변수는 아니지만 결과변수에 영향을 미쳐 통제·제거 대상이 되는 변수는 외생변수(extraneous variable)이다.

외생변수의 영향을 상쇄하지 못하면 독립변수와 종속변수 간의 관계를 왜곡해 실험의 내적 타당도를 위협하므로, 무작위화나 통제집단 설정 등으로 그 영향을 최소화해야 한다.

면접 참여 동기 중 긍정적 요인이라 할 수 없는 것은 사생활 침해에 대한 오인과 자기방어 욕구이다. 이는 오히려 응답자가 면접을 거부하거나 방어적으로 반응하게 만드는 부정적 요인에 해당한다.

• 면접자를 돕고 싶은 이타적 충동은 참여를 이끄는 긍정적 동기이다.
• 물질적 보상에 대한 기대도 참여를 유도하는 긍정적 요인이다.
• 자신의 의견을 표현하고 싶은 욕망 역시 적극적 참여로 이어지는 긍정적 동기이다.

폐쇄형 질문의 응답범주는 가능한 모든 응답을 빠짐없이 제시하는 포괄성(exhaustiveness)을 갖추어야 한다.

• 범주의 내용이 중복되면 응답자가 어느 범주를 골라야 할지 혼란스러워지므로 상호배타적으로 구성해야 한다.
• 응답범주를 설정할 때는 이후 분석기법을 미리 고려해야 자료 처리가 수월하다.
• 중립 범주는 문항 성격에 따라 선택적으로 포함하는 것이며 반드시 넣어야 하는 것은 아니다.

개별 사례들을 먼저 살펴본 뒤 그로부터 일반적인 유형이나 법칙을 이끌어내는 방법은 귀납적 방법이다.

이론에서 출발해 가설을 도출하고 검증하는 연역적 방법과 달리, 귀납적 방법은 구체적 관찰 자료로부터 일반화된 결론을 도출한다.

바르지 않은 설명은 집락표집과 단순무작위표집의 표집오차 비교이다. 같은 표본 크기라면 집락표집이 오히려 표집오차가 더 큰 것이 일반적이다.

집락표집은 개별 사례를 바로 뽑는 것이 아니라 집락을 먼저 뽑는 단계가 추가되고, 실제로 같은 집락에 속한 사례들은 서로 비슷한 특성을 공유하는 경향(집락 내 상관)이 있어 표본이 담는 정보량이 그만큼 줄어들기 때문이다.

• 표본의 분산이 작을수록 통계량의 흩어짐이 줄어 표집오차가 작아진다는 설명은 옳다.
• 표본 크기가 클수록 표집오차가 작아진다는 설명도 표집이론의 기본 원리와 일치한다.
• 표집오차를 통계량이 모수 주위에 흩어진 정도로 정의한 것도 타당한 설명이다.

바르지 않은 설명은 주기성으로 인한 편중 표집의 위험을 층화표집의 문제로 돌린 부분이다.

모집단 명부가 특정 주기성을 가질 때 매 일정 간격으로 사례를 뽑는 계통표집(체계적 표집)에서 이 주기성과 표집 간격이 일치하면 편중된 표본이 뽑힐 위험이 있으며, 이는 층화표집의 특징이 아니다.

• 단순무작위표집에 모집단 명부(표집틀)가 필요하다는 설명은 옳다.
• 층화표집이 단순무작위표집보다 모집단을 더 잘 대표할 수 있다는 설명도 옳다.
• 유의표집이 연구자의 주관적 판단으로 대표성 있다고 여겨지는 사례를 뽑는다는 설명도 옳다.

처음 면접한 대상자로부터 다른 대상자를 소개받아 표본을 계속 늘려가는 방식은 눈덩이표집(snowball sampling)이다.

흡연 청소년처럼 명부를 확보하기 어려운 특수 모집단에 접근할 때 유용하며, 소개를 거듭할수록 표본 규모가 눈덩이처럼 불어나는 데서 이름이 붙었다.

조사대상자가 표본으로 뽑힐 확률이 동일하지 않은 방법은 유의표집이다. 연구자의 주관적 판단으로 표본을 선정하는 비확률표집이기 때문에 각 사례가 뽑힐 확률을 사전에 알 수 없다.

층화표집·집락표집·단순무작위표집은 모두 확률표집으로, 모든 구성요소가 뽑힐 확률이 사전에 정해져 있다.

바르지 않은 설명은 조작적 정의를 사전적(명목적) 정의처럼 서술한 부분이다.

이미 정립된 의미를 가진 다른 표현과 동의어로 바꾸어 쓰는 것은 사전적 정의의 특징이지, 관찰과 측정이 가능하도록 개념을 구체화하는 조작적 정의의 특징이 아니다.

• 용어의 지시물을 식별할 관찰 가능한 개념으로 구체화한다는 설명은 조작적 정의의 핵심 요건이다.
• 관찰과 측정 단계가 분명해야 조작적으로 정의될 수 있다는 설명도 옳다.
• 숫자로 측정 가능한 항목을 추출한다는 설명도 조작적 정의의 특징에 부합한다.

개념의 재정의가 필요한 이유와 가장 거리가 먼 것은 개념 간 인과관계를 밝혀야 한다는 설명이다. 인과관계 규명은 가설 검증이나 연구설계의 문제이지, 하나의 개념이 지닌 의미를 명확히 하는 재정의 작업의 목적과는 직접 관련이 없다.

일상어와 학술적 개념 사이의 의미 차이, 시대에 따른 개념 의미의 변화, 다의적 개념 중 특정 의미를 선택해야 할 필요성은 모두 재정의가 필요한 대표적 이유에 해당한다.

바르지 않은 설명은 측정도구와 특정 준거 간의 관련성을 구성타당도로 서술한 부분이다.

이는 기준타당도(준거타당도)에 대한 설명이며, 구성타당도는 측정하고자 하는 추상적 개념(구성개념)이 이론적으로 제대로 측정되었는지를 검증하는 타당도이다.

• 이론과 관련지어 측정도구의 타당도를 검증한다는 설명은 구성타당도의 정의에 부합한다.
• 요인분석 등을 구성타당도 검증 방법으로 드는 것도 옳은 설명이다.
• 측정값 자체보다 측정하려는 속성(구성개념)에 초점을 둔다는 설명도 구성타당도의 특징에 맞다.

바르지 않은 설명은 타당도가 신뢰도보다 확보하기 쉽다는 부분이다.

실제로는 반복 측정의 일관성만 확인하면 되는 신뢰도를 확보하는 것이 상대적으로 쉽고, 측정하려는 개념을 제대로 재고 있는지를 입증해야 하는 타당도를 확보하는 것이 더 어렵다.

• 타당도가 있는 측정은 항상 신뢰도가 있다는 설명은 옳다(타당도는 신뢰도를 전제한다).
• 타당도가 완전한 측정도구는 신뢰도도 완전하다는 설명도 같은 맥락에서 옳다.
• 신뢰도가 있어도 타당도는 있을 수도 없을 수도 있다는 설명 역시 신뢰도가 타당도의 필요조건일 뿐 충분조건은 아니라는 점에서 옳다.

바르지 않은 설명은 하나의 잠재변수를 하나의 관찰변수로만 측정하는 것이 바람직하다는 부분이다. 잠재변수는 직접 관찰할 수 없으므로 측정오차를 줄이고 개념의 여러 측면을 반영하기 위해 여러 개의 관찰변수(지표)를 함께 사용하는 것이 바람직하다.

잠재변수가 직접 관찰이 불가능한 변수라는 설명, 평점평균처럼 수치로 직접 나타난 것이 관찰변수라는 설명, 지능·태도·직무만족도가 잠재변수에 해당한다는 설명은 모두 옳다.

판단표집(유의표집)에 대한 설명 중 계량적 연구보다 질적 연구에 더 적절하다고 한정한 부분이 가장 거리가 멀다. 판단표집은 연구자의 주관적 판단에 따라 표본을 선정하는 방법으로, 질적 연구뿐 아니라 예비조사나 탐색적 계량연구에서도 널리 활용되므로 특정 연구 유형에만 국한된다고 볼 수 없다.

목적표집이라 불리는 점, 연구자의 주관적 판단에 의존한다는 점, 모집단과 그 구성요소에 대한 풍부한 사전지식이 필요하다는 점은 판단표집의 특징으로 옳다.

제시된 특징은 서스톤(Thurstone) 척도의 것이다.

서스톤 척도는 다수의 평가자가 수집된 문항들을 11개 범주로 분류하게 한 뒤, 평가자들이 부여한 값의 중앙값을 각 문항의 척도값으로 삼아 최종 문항을 선별한다. 이 과정 때문에 개발에 시간과 노력이 많이 들지만, 그 대가로 문항 간 동일한 간격(등간성)을 확보할 수 있어 등현등간척도라고도 불린다.

• 리커트 척도는 보통 5점 또는 7점으로 응답을 받아 합산하는 총화평정척도이며, 제작이 비교적 간단하지만 서열척도 수준에 머문다.
• 보가더스 척도는 특정 집단에 대해 느끼는 사회적 거리를 재는 누적척도다.
• 오스굿 척도(의미분화척도)는 뜻이 대조되는 형용사 쌍을 양극단에 두고 그 사이에 응답하게 하여 개념의 의미를 측정한다.

경험적으로 관찰된 현상의 속성에 일정한 규칙에 따라 수치를 부여하는 과정은 측정(measurement)이다.

척도는 측정을 위한 도구, 지표는 개념을 나타내는 구체적 관찰항목, 변수는 측정의 대상이 되는 속성 그 자체를 가리키는 개념으로 측정과 구분된다.

최근 1년 동안 가입한 고객만 명단으로 삼으면, 그 이전부터 가입해 온 기존 고객들은 표본틀에서 빠지게 된다. 즉 표본틀이 모집단 내에 포함되는 경우의 표본틀 오류에 해당한다.

표본틀(최근 1년 가입자)이 모집단(전체 가입고객) 전체를 포괄하지 못하고 그 일부만을 담고 있어, 표본틀 밖에 있는 모집단 구성원들은 애초에 표본으로 뽑힐 기회조차 갖지 못하게 된다.

독립변수인 종교와 종속변수인 자살 사이에 놓여 그 영향을 전달하는 사회적 통합은 매개변수다.

매개변수는 독립변수의 영향을 받아 변하고, 다시 종속변수에 영향을 주면서 인과의 고리를 이어 주는 변수다. 종교가 구성원의 사회적 통합 수준을 높이고 그 높아진 통합이 자살을 억제한다는 뒤르켐의 설명이 전형적인 예다. 변수의 위치가 인과 사슬의 가운데라는 점이 판별 기준이다.

• 선행변수는 독립변수보다 앞서서 영향을 주는 변수로, 여기서는 종교 앞에 놓일 변수를 말한다.
• 구성변수는 하나의 포괄적 개념을 이루는 하위 차원에 해당하는 변수다.
• 외적변수는 두 변수의 관계가 실제로는 제3의 변수 때문에 나타난 허위관계임을 드러내는 변수다.

표집오차를 확률적으로 추정할 수 있는 방법은 단순무작위표집이다. 모든 구성요소가 뽑힐 확률이 동일하게 사전에 정해진 확률표집이기 때문에, 표본통계량의 분포로부터 표집오차를 수리적으로 계산할 수 있다.

할당표집·유의표집·눈덩이표집은 연구자의 판단이나 편의에 의존하는 비확률표집으로, 뽑힐 확률을 알 수 없어 표집오차를 확률적으로 추정할 수 없다.

바르지 않은 설명은 신뢰도계수의 범위가 -1.00에서 +1.00 사이라는 부분이다. 신뢰도계수는 통상 $0$에서 $1$ 사이의 값으로 나타내며, 값이 1에 가까울수록 측정의 일관성이 높음을 의미한다.

예측가능성을 가져야 한다는 것, 시간에 관계없이 일관된 측정치를 보여야 한다는 것, 유사한 척도로 측정해도 같은 결과가 나와야 한다는 것은 모두 신뢰도의 대표적 요건으로 옳은 설명이다.

같은 100명의 학생이 한 달 간격으로 두 번 검사를 받았는데 각 학생의 점수가 두 시점 모두 정확히 동일했다면, 두 검사 점수 간의 상관은 완전한 정적 상관인 $+1.00$이 된다.

이는 검사-재검사 신뢰도가 가장 높은 상태임을 의미하며, 시간이 지나도 측정치가 흔들림 없이 일관되게 유지되었음을 보여준다.

거트만척도에 대한 설명 중 제1사분위 이하 집단과 제3사분위 이상 집단의 평균 차이로 판별력을 따진다는 부분이 바르지 않다. 이는 리커트형 척도 등에서 쓰이는 문항-총점 상관 기반 판별력 분석의 방식이며, 거트만척도의 핵심은 문항 간 단일차원성과 누적성을 재생계수로 검증하는 데 있다.

문항들의 단일차원성이 경험적으로 검증되도록 설계된다는 점, 재생계수가 1일 때 이상적 척도에 가깝다는 점, 단일차원적이고 누적적이라는 점은 모두 거트만척도의 특징으로 옳다.

총화평정척도(리커트척도)에 대한 설명 중 평가자의 주관이 개입될 가능성이 높다는 부분이 바르지 않다. 이 척도는 응답자가 각 문항에 스스로 동의 정도를 표시하는 자기기입식 방법이므로, 오히려 평가자(연구자)의 주관 개입 여지가 적은 편이다.

리커트형 척도라 불리는 점, 문항별 점수를 합산한 총점을 태도의 측정치로 삼는 점, 예비문항으로 응답 카테고리를 구성한 뒤 내적일관성을 검토해 최종척도를 확정한다는 점은 모두 옳은 설명이다.

비확률표집이 아닌 것은 층화표집이다. 모집단을 동질적인 층으로 나눈 뒤 각 층에서 정해진 확률로 표본을 뽑는 확률표집 방법이기 때문이다.

편의표집·유의표집·할당표집은 모두 연구자의 편의나 주관적 판단에 의존해 표본을 선정하는 비확률표집에 해당한다.

인터넷을 활용한 사회조사의 가장 큰 문제점은 추정값의 편향이다. 인터넷 접근이 가능하고 조사에 자발적으로 참여하는 사람들만 응답자로 포함되어, 전체 모집단을 대표하지 못하는 편향된 표본에서 얻은 결과로 모수를 추정하게 되기 때문이다.

자료입력 오류나 분석기법 적용의 어려움은 인터넷조사 특유의 근본적 한계라기보다 기술적·부수적 문제에 가깝다.

집락표집과 층화표집의 특징으로 옳은 것은 집락표집이 내부적으로 이질적이라는 설명이다. 집락표집은 모집단과 유사한 이질적 구성을 갖는 집락(군집)을 단위로 추출하고, 뽑힌 집락 내부의 모든(또는 일부) 구성원을 조사한다.

반대로 층화표집은 층 내부는 동질적으로, 층과 층 사이는 이질적으로 구성한 뒤 각 층에서 표본을 뽑는 방식이므로, 집락표집과는 동질성·이질성 구조가 서로 반대이다.

지표가 갖추어야 할 요건이 아닌 것은 복잡성이다. 지표는 개념을 관찰 가능하게 나타내는 구체적 항목이므로 오히려 단순성과 명확성을 갖추어야 이해와 측정이 쉬워진다.

신뢰성·타당성·체계성은 지표가 개념을 정확하고 일관되게 대표하기 위해 반드시 갖추어야 할 요건들이다.

층화표본추출에 대한 설명 중 표본층 간은 동질적이고 층 내에서는 이질적이라는 부분이 바르지 않다. 실제로는 그 반대로, 층 내부는 동질적으로 묶고 층과 층 사이는 이질적으로 구분하는 것이 층화표집의 핵심 원리이다.

확률표본추출방법이라는 점, 층화된 모든 부분집단에서 표본을 뽑는다는 점, 모집단의 각 층에 대한 정확한 사전 정보가 필요하다는 점은 모두 옳은 설명이다.

집단 간 거리가 아니라 집단 내 구성원 사이의 거리를 측정하는 데 유용한 방법은 소시오메트리(sociometry)이다. 구성원들이 서로에 대해 느끼는 호오나 선택 관계를 조사해 집단 내부의 관계망을 파악한다.

보가더스 척도는 여러 사회적 집단(인종·민족 등) 사이의 거리를, 서스톤·거트만 척도는 태도의 강도나 누적 구조를 측정하는 데 쓰인다는 점에서 이 문항과 성격이 다르다.

표본추출에서 가장 중요한 요인은 대표성과 적절성이다. 표본이 모집단의 특성을 얼마나 잘 반영하는지를 뜻하는 대표성과, 그 표본 크기와 구성이 연구 목적에 적합한지를 뜻하는 적절성이 확보되어야 표본조사 결과를 모집단에 일반화할 수 있다.

경제성이나 신속성도 실무적으로 고려되지만, 조사결과의 타당성을 좌우하는 핵심 요인은 대표성과 적절성이다.

제시된 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이 모두 옳은 설명이다.

• ㄱ: 타당성은 측정하려는 개념을 얼마나 정확하게 측정했는가의 문제로, 반복 측정의 일관성을 뜻하는 신뢰성과 구분되는 개념이다.
• ㄴ: 내적 타당성은 관찰된 결과가 정말 실험변수(독립변수)의 변화 때문에 생긴 것인지, 즉 인과관계의 진실성에 관한 문제다.
• ㄷ: 외적 타당성은 얻어진 연구결과를 다른 대상·상황·시점으로 확대 적용할 수 있는가, 즉 일반화 가능성에 관한 문제다.
• ㄹ: 내적 타당성을 높이려 통제를 강화하면 연구 상황이 인위적이 되어 현실 일반화가 어려워지고, 반대로 현실성을 살리면 통제가 느슨해져 인과 추론이 약해진다.

이처럼 내적 타당성과 외적 타당성은 함께 최대로 끌어올리기 어려운 상충관계에 있다는 점이 이 문항의 핵심이다.

단일지표 대신 여러 지표를 함께 사용하는 이유로 바르지 않은 것은 타당도를 높이기 위해서라는 설명이다. 복수 지표를 쓰는 주된 목적은 측정의 신뢰도와 내적일관성, 안정성을 높이는 데 있으며, 타당도는 지표 수를 늘린다고 직접적으로 확보되는 것이 아니다.

여러 지표의 응답을 종합하면 무작위 오차가 상쇄되어 신뢰도가 높아지고, 지표들 간의 일관된 반응 패턴을 통해 내적일관성과 측정의 안정성도 함께 개선된다.

지수와 척도에 대한 설명 중 지수점수가 척도점수보다 더 많은 정보를 전달한다는 부분이 바르지 않다. 오히려 척도는 문항 간 강도의 차이(구조)까지 반영해 응답 유형을 구별해내므로, 단순히 항목들을 합산하는 지수보다 더 많은 정보를 담는 것으로 본다.

지수와 척도가 모두 여러 변수를 합쳐 만든 합성측정이라는 점, 둘 다 변수에 대한 서열 수준의 측정이라는 점, 척도가 속성의 강도 차이를 이용해 응답 유형을 구별해낸다는 점은 모두 옳은 설명이다.

측정수준은 명목 → 서열 → 등간 → 비율 순으로 담고 있는 정보량이 커지므로, 정보량이 많은 쪽부터 나열하면 비율측정 > 등간측정 > 서열측정 > 명목측정이 된다.

명목측정은 단순 분류만, 서열측정은 순위까지, 등간측정은 간격의 크기까지, 비율측정은 절대영점을 가져 비율 비교까지 가능하다. 상위 수준은 하위 수준의 정보를 모두 포함한다.

따라서 비율척도에 가까운 자료일수록 평균·표준편차는 물론 비(比) 계산까지 허용되어 더 정밀한 분석방법을 적용할 수 있고, 명목측정 쪽으로 갈수록 적용 가능한 기법이 빈도·최빈값 수준으로 제한된다.

표본비율 0.5, 표본크기 100을 대입하면 95% 신뢰구간은 0.40 ≤ P ≤ 0.60이 된다.

모비율의 신뢰구간은 $\hat{p} \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 이고, 제시된 값에서 $P(|Z| \gt 1.96)=0.05$ 이므로 95% 신뢰수준의 임계값은 1.96이다.

표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.5 \times 0.5}{100}} = 0.05$ 이므로 오차한계는 $1.96 \times 0.05 = 0.098$ 이다.

따라서 구간은 $0.5 \pm 0.098$ 즉 0.402 ~ 0.598 이고, 소수 셋째자리에서 반올림하면 0.40 ~ 0.60이다. 임계값 1.64를 쓰면 90%, 2.58을 쓰면 99% 신뢰구간이 되어 신뢰수준이 달라진다.

분할표의 독립성 검정통계량은 각 셀의 (관측도수−기대도수) 제곱을 기대도수로 나누어 모두 더한 값, 즉 $\chi^2 = \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}\dfrac{(O_{ij}-\hat{E}_{ij})^2}{\hat{E}_{ij}}$ 이다.

기대도수는 독립 가정 아래 $\hat{E}_{ij} = \dfrac{(\text{행 합계}) \times (\text{열 합계})}{n}$ 로 추정하며, 이 통계량은 자유도 $(M-1)(N-1)$ 인 카이제곱분포를 근사적으로 따른다.

나머지 형태들은 카이제곱분포를 따르지 않아 검정통계량이 될 수 없다.

• 분모를 관측도수 $O_{ij}$ 로 둔 식은 기대도수 대비 상대적 편차라는 정의에서 벗어난다.
• 분모를 $\hat{E}_{ij}^{2}$ 로 둔 식은 차원이 맞지 않아 표본크기가 커져도 카이제곱분포로 수렴하지 않는다.
• 편차를 제곱하지 않고 $\sqrt{n\hat{E}_{ij}O_{ij}}$ 로 나눈 식은 양·음의 편차가 상쇄되어 적합도를 측정하지 못한다.

단일 모집단의 모분산을 검정할 때는 카이제곱분포를 사용한다.

표본분산 $s^2$으로 만든 통계량 $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$은 자유도 $n-1$인 카이제곱분포를 따르므로, 이를 검정통계량으로 이용해 모분산에 대한 가설을 검정한다.

정규분포는 모평균 검정에, F-분포는 두 모집단의 분산비 검정에, 이항분포는 비율에 관한 이산확률분포에 주로 쓰여 이 문제의 답이 될 수 없다.

검정통계량이 약 3.47로 임계값 1.96을 크게 넘으므로 두 타이어의 평균수명에 통계적으로 유의한 차이가 있다.

표본크기가 각각 30인 대표본 두 평균 차이 검정은 $Z = \dfrac{\bar{x}_A - \bar{x}_B}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B}}}$ 를 쓴다.

표의 값을 대입하면 $Z = \dfrac{48500-52000}{\sqrt{\dfrac{3600^2}{30}+\dfrac{4200^2}{30}}} = \dfrac{-3500}{\sqrt{1{,}020{,}000}} \approx -3.47$ 이다.

양측검정 기각역이 $|Z| \gt 1.96$ 이므로 귀무가설(평균수명이 같다)을 기각한다. 다만 검정은 차이의 유무만 말해 줄 뿐이므로 두 평균이 '완전히 일치한다'는 결론이나 '알 수 없다'는 판단은 성립하지 않는다.

비대칭이 심한 분포에서는 평균이 극단치의 영향을 크게 받으므로 중앙값을 대푯값으로 쓰는 것이 더 바람직하다.

• 오른쪽 꼬리가 긴(양의 비대칭) 분포는 평균이 중앙값보다 크므로, 중앙값이 평균보다 크다는 설명은 반대이다.
• 왼쪽 꼬리가 긴(음의 비대칭) 분포는 평균<중앙값<최빈값 순서가 되므로, 최빈값이 가장 작다는 설명은 순서가 틀렸다.
• 중앙값과 최빈값의 대소관계는 분포 형태에 따라 달라지므로 항상 중앙값이 작다고 단정할 수 없다.

기대도수가 모두 30이므로 통계량은 $\chi^2 = \dfrac{(24-30)^2+(35-30)^2+(31-30)^2}{30} \approx 2.07$, 자유도는 2이다.

세 후보지의 지지율이 동일하다는 귀무가설 아래에서는 조사된 90명이 세 지역에 고르게 나뉘므로 각 지역의 기대도수는 $90 \div 3 = 30$ 이다.

관측도수 24·35·31을 대입하면 $\dfrac{36+25+1}{30} = \dfrac{62}{30} \approx 2.07$ 이고, 범주가 3개이므로 자유도는 $3-1=2$ 이다.

분모를 15로 둔 식은 기대도수를 잘못 계산한 것이고, 자유도를 3으로 둔 것은 범주 수에서 1을 빼지 않은 오류다.

피어슨 상관계수가 0이라는 것은 두 변수 사이에 선형 상관관계가 없다는 의미이며, 상관관계가 없다면 이 값이 0이 된다.

• 강한 상관관계가 있다는 것은 오히려 두 변수가 서로 독립이 아니라는 뜻이므로, 독립적이라는 설명은 반대이다.
• 상관관계는 두 변수가 함께 변하는 정도를 나타낼 뿐이며, 상관관계만으로 인과관계를 도출할 수는 없다.
• 피어슨 상관계수는 $-1$과 $1$ 사이의 값을 가지므로 항상 0 이상이라는 설명은 틀렸다.

절편과 Neck은 p값이 모두 0.000으로 둘 다 통계적으로 유의하므로, 유의성이 없는 변수를 절편과 Neck이라고 한 설명이 바르지 않다.

표를 보면 절편은 계수 −275.26·T=−11.29·p=0.000, Neck은 계수 19.112·T=15.92·p=0.000으로 유의하고, T값이 1.41에 그치는 Head가 유일하게 유의하지 않은 변수다. (Head의 p값 칸은 원본에 1.161로 인쇄되어 있으나 확률값이 1을 넘을 수는 없어 0.161의 인쇄 오류로 보이며, 어느 쪽으로 읽어도 0.05보다 커서 유의하지 않다는 판단은 달라지지 않는다.)

나머지 설명은 출력 결과와 일치한다.

• Predictor 항목에 Head와 Neck이 들어 있으므로 설명변수는 이 둘이다.
• 결정계수 0.891은 반응변수 총변동의 약 89.1%를 회귀모형이 설명한다는 뜻이다.
• 다른 변수를 고정한 채 Neck이 한 단위 증가하면 반응값은 그 회귀계수만큼인 19.112 증가한다.

동전을 3회 던져 나오는 앞면 횟수의 기댓값은 $3 \times 0.5 = 1.5$회이다.

앞면 1회당 10만원을 받으므로 기대 상금은 $1.5 \times 10 = 15$만원이고, 참가비로 10만원을 내므로 한 게임당 기대되는 순이익은 $15 - 10 = 5$만원이다.

요인의 평균제곱은 $\dfrac{2.4}{2}=1.2$ 이므로 요인에 대한 평균제곱이 0.8이라는 설명이 바르지 않다.

취업교육 이수 횟수라는 하나의 요인이 세 수준(없음·1회·2회 이상)을 가지고 각 수준에 8명씩 배정되었으므로 총 관측치는 24개이고, 자유도는 요인 $3-1=2$, 잔차 $24-3=21$, 전체 23이다.

제곱합을 자유도로 나누면 $MS_{\text{요인}}=\dfrac{2.4}{2}=1.2$, $MS_{\text{잔차}}=\dfrac{10.5}{21}=0.5$ 이고 $F=\dfrac{1.2}{0.5}=2.4$ 이다. (제곱합의 합계는 $2.4+10.5=12.9$ 이며, 원본 표에 '계'가 1.29로 인쇄된 것은 소수점 위치 오류다. 판정에는 영향이 없다.)

따라서 일원분산분석이라는 점, 잔차 자유도가 21이라는 점, F값이 2.4라는 점은 모두 표와 맞는 설명이다.

중앙값은 자료를 크기순으로 나열했을 때 정확히 절반 지점에 해당하는 값으로, 이는 전체를 4등분했을 때 두 번째 구간의 경계인 제2사분위수와 정의상 같은 값이다.

최빈값이나 평균, 제3사분위수는 자료의 분포에 따라 중앙값과 다른 값을 가질 수 있어 항상 일치한다고 할 수 없다.

평균제곱은 제곱합을 해당 자유도로 나눈 값이므로 A = 43.33, B = 5.16이다.

처리의 평균제곱은 $A = \dfrac{130.0}{3} \approx 43.33$ 이다.

잔차의 평균제곱은 $B = \dfrac{330.0}{64} \approx 5.16$ 이다.

검산하면 $F = \dfrac{A}{B} = \dfrac{43.33}{5.16} \approx 8.40$ 으로 표에 주어진 F값 8.404와 일치하고, 제곱합 $130.0+330.0=460.0$·자유도 $3+64=67$ 도 '계' 행과 맞아떨어진다.

검정통계량이 $F = \dfrac{35.5}{3.5} \approx 10.14$ 이므로 유의수준 0.05에서는 귀무가설을 기각하고, 0.01에서는 기각하지 못한다.

회귀 평균제곱은 $\dfrac{35.5}{1}=35.5$, 잔차 평균제곱은 $\dfrac{24.5}{7}=3.5$ 이므로 $F=\dfrac{MSR}{MSE}=\dfrac{35.5}{3.5} \approx 10.14$ 이다.

주어진 기각값과 비교하면 $10.14 \gt 5.59$ 이므로 $H_0:\beta=0$ 은 α=0.05에서 기각되지만, $10.14 \lt 12.25$ 이므로 α=0.01에서는 기각되지 않는다.

즉 유의수준을 엄격하게 할수록 기각값이 커져 기각하기 어려워지며, 이 자료의 p값은 0.01과 0.05 사이에 놓인다.

유의확률 0.000258이 0.05보다 작아 귀무가설이 기각되므로 두 설명변수 중 적어도 하나는 반응변수에 영향을 준다고 추론한다.

중회귀모형의 유의성검정은 귀무가설 $H_0:\beta_1=\beta_2=0$ 을 대립가설 '적어도 하나의 $\beta_j$ 가 0이 아니다'에 대해 검정하는 것으로, 표의 값으로 $F=\dfrac{33.06}{0.98} \approx 33.7$ 이 얻어져 표에 제시된 F값 33.69와 일치한다.

따라서 기각의 결론은 '모두 영향을 준다'도 '하나만 영향을 준다'도 아니다. 어느 변수가 유의한지는 각 회귀계수의 t검정으로 따로 판단해야 하며, 분산분석표만으로는 개수를 특정할 수 없다.

오른쪽으로 꼬리가 긴 분포는 왜도가 양의 값을 가지고 평균이 중위수보다 크다.

왜도는 분포의 비대칭 방향을 나타내며 꼬리가 뻗은 쪽의 부호를 갖는다. 오른쪽 꼬리이므로 양의 왜도이고, 왼쪽으로 꼬리가 길 때가 음의 왜도다.

또한 오른쪽 극단의 큰 값들이 평균을 위로 끌어올리는 반면 중위수는 순위 기준이라 덜 움직이므로 평균 > 중위수 > 최빈값 순서가 된다. 음의 왜도 분포에서는 반대로 평균이 중위수보다 작아진다.

도수분포가 비대칭이고 극단치가 존재할 때는 극단치의 영향을 크게 받는 산술평균보다, 순위 기반이라 극단치에 영향을 덜 받는 중위수가 더 적절한 중심성향 척도가 된다.

최빈수는 분포의 봉우리만을 나타낼 뿐 자료 전체의 중심을 대표하기 어렵고, 조화평균은 비율·속도 자료와 같은 특수한 경우에 주로 쓰인다.

대응표본 t검정 결과 검정통계량이 기각역에 들어가므로 새로운 영업 전략의 판매량 증가 효과가 있다고 할 수 있다.

같은 영업사원의 전·후를 짝지어 차이(이후−이전)를 구하면 3, 2, 0, 5, 0, 5, 4, −1, −2, 1 이고, 평균은 $\bar{d}=1.7$, 표준편차는 $s_d \approx 2.497$ 이다.

$t = \dfrac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}} = \dfrac{1.7}{2.497/\sqrt{10}} \approx 2.15$

차이를 (이전−이후)로 두면 $t \approx -2.15$ 로 자유도 9의 단측 기각값 −1.833보다 작아 귀무가설을 기각한다. 즉 전후 판매량이 같다고 볼 수 없고, 실시 이후 판매량이 유의하게 늘었다고 판단한다.

모분산이 9이므로 모표준편차 σ=3이고 표본크기가 4이므로, 표본평균의 표준오차 $\dfrac{3}{\sqrt{4}}$로 나눈 $Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{3/\sqrt{4}}$가 표준화한 식이다.

정규모집단 $N(\mu,\sigma^2)$에서 크기 n의 표본을 뽑으면 표본평균은 $N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$를 따르므로, 표준화는 평균을 빼고 표준편차가 아닌 표준오차 $\sigma/\sqrt{n}$로 나누는 것이다.

• 분모를 3으로만 두면 표본크기를 반영하지 않은 것이어서 개별 관측값의 표준화가 된다.
• 분모에 9를 쓴 식들($9/\sqrt{4}$, $9/4$)은 분산 9를 표준편차 자리에 그대로 넣은 오류다.

모집단의 분포가 무엇이든 표본크기가 충분히 크면 표본평균이 근사적으로 $N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$를 따른다는 것은 중심극한정리이다.

제시된 설명이 모집단을 "임의의 모집단"이라 하여 분포 형태를 특정하지 않은 점, 그리고 "n이 충분히 크면 근사적으로"라는 단서를 단 점이 이 정리의 핵심 표지다.

• 정규분포는 특정한 확률분포의 이름일 뿐, 표본평균의 근사에 관한 정리가 아니다.
• 이항분포는 독립시행의 성공 횟수를 다루는 이산분포로 이 설명과 무관하다.
• 표본분포는 통계량의 분포를 가리키는 일반 용어여서, 근사적으로 정규분포가 된다는 정리 자체를 지칭하지 못한다.

표본상관계수 r과 제곱합 $S_X$, $S_Y$를 쓰면 기울기의 최소제곱추정량은 $\hat{\beta}=r\dfrac{S_Y}{S_X}$로 표현된다.

최소제곱추정량은 $\hat{\beta}=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sum(X_i-\overline{X})^2}$인데, 상관계수의 정의 $r=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{S_X S_Y}$에서 분자를 $r S_X S_Y$로 바꿔 넣으면 $\hat{\beta}=\dfrac{r S_X S_Y}{S_X^2}=r\dfrac{S_Y}{S_X}$가 된다.

• X와 Y를 바꾸면 분모가 $S_X^2$에서 $S_Y^2$로 바뀌어 추정량이 $r S_X/S_Y$가 되므로 일반적으로 같지 않다.
• 결정계수는 $R^2=\dfrac{SSR}{SST}$로 Y의 총변동 중 회귀가 설명하는 비율이며, Y의 변동이 작아진다고 자동으로 높아지지 않는다.
• 오차항에는 등분산 가정이 반드시 필요하며, 이를 어기면 추정량의 분산 추정과 유의성 검정이 왜곡된다.

유의수준은 제1종 오류를 범할 확률 자체를 의미하므로, 제1종 오류를 줄이려면 유의수준을 작게 설정해야 한다. 유의수준을 크게 할 필요가 있다는 설명은 반대로 되어 있어 옳지 않다.

제2종 오류는 대립가설이 참인데도 귀무가설을 채택하는 오류이며, 유의수준을 낮추면 제2종 오류를 범할 확률은 오히려 커지는 반비례 관계가 성립한다.

X가 0, 1, 2를 각각 0.2, 0.6, 0.2의 확률로 취하므로 평균 1.0, 분산 0.4이다.

평균은 $E(X)=0\times0.2+1\times0.6+2\times0.2=1.0$이다.

분산은 제곱의 기댓값 $E(X^2)=0^2\times0.2+1^2\times0.6+2^2\times0.2=1.4$를 구한 뒤 $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=1.4-1.0^2=0.4$로 계산한다. 분산은 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값이라는 공식을 그대로 적용하면 된다.

하루하루의 당첨 여부가 독립이고 당첨확률이 1/5인 5회 시행이므로 이항분포 $B(5, \tfrac{1}{5})$를 따르며, 5장 중 2장이 당첨일 확률은 ${}_5C_2\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\left(\dfrac{4}{5}\right)^3$이다.

5일 중 당첨되는 날 2일을 고르는 경우의 수는 ${}_5C_2=\dfrac{5\times4}{2\times1}=10$이므로, 확률은 $10\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\left(\dfrac{4}{5}\right)^3$로 정리된다.

• 계수를 2나 5로 둔 식은 5회 중 2회를 고르는 경우의 수를 잘못 센 것이다.
• 확률을 2/5, 3/5로 바꾼 식은 문제에서 준 당첨확률 1/5, 무효확률 4/5와 맞지 않는다.

중심극한정리에 따라 모집단이 좌우 비대칭이어도 표본크기가 커지면 표본평균의 분포는 정규분포에 근사하므로, 비대칭 모집단이면 표본평균이 정규분포를 따르지 않는다는 설명이 잘못됐다.

표본평균의 기댓값은 $E(\overline{X})=\mu$로 표본크기와 무관하고, 표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이므로 n이 커질수록 0에 가까워진다.

• 모집단이 정규분포이면 표본크기와 관계없이 표본평균도 정확히 정규분포를 따른다.
• 모집단 분포가 무엇이든 n이 커지면 표본평균은 근사적으로 $N(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n})$를 따른다.

표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$의 제곱 $Z^2$은 자유도 1인 카이제곱분포를 따른다.

이는 카이제곱분포의 정의 자체가 서로 독립인 표준정규 확률변수들의 제곱합으로 주어지기 때문이며, 자유도 1인 경우가 바로 이 문제에 해당한다.

주어진 제곱합과 평균으로 계산하면 절편 187.5, 기울기 −1.75가 나온다.

기울기는 $\hat{\beta}=\dfrac{\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{\sum(X_i-\overline{X})^2}=\dfrac{-3500}{2000}=-1.75$이다.

절편은 회귀직선이 항상 $(\overline{X},\overline{Y})$를 지난다는 성질에서 $\hat{\alpha}=\overline{Y}-\hat{\beta}\,\overline{X}=100-(-1.75)\times 50=100+87.5=187.5$로 구한다. 기울기의 음수 부호를 놓치면 절편이 12.5로 잘못 나오므로 부호 처리에 주의한다.

제시된 분산분석표의 자유도·평균제곱·F값은 모두 계산으로 맞아떨어지고, 0.7이라는 값만 자료와 맞지 않는다.

관측 자료가 10쌍이므로 총자유도는 $10-1=9$, 단순회귀의 회귀자유도는 1, 잔차자유도는 $9-1=8$이다. 따라서 회귀 평균제곱은 $\dfrac{9.9}{1}=9.9$, 잔차 평균제곱은 $\dfrac{33.0}{8}=4.125$가 된다.

F값은 두 평균제곱의 비이므로 $F=\dfrac{9.9}{4.125}=2.4$로 역시 표와 일치한다.

반면 이 자료의 결정계수는 $R^2=\dfrac{9.9}{42.9}\approx 0.231$, 상관계수의 절댓값은 $\sqrt{0.231}\approx 0.48$이어서 어느 쪽으로 보아도 0.7이 될 수 없다.

좋은 추정량의 효율성(efficiency)은 추정량들 중 분산이 더 작은 것을 더 효율적이라고 판단하는 개념이지, 값이 분포의 중앙에 위치하는지로 판단하는 것이 아니다.

일반적으로 정규분포를 따르는 자료에서는 평균이 중위수보다 표본 간 변동(분산)이 작아 더 효율적인 추정량이 되므로, 중위수가 평균보다 더 효율적이라는 설명은 옳지 않다.

일치성은 표본크기가 커질수록 추정치가 모수에 가까워지는 성질, 불편성은 추정량의 기댓값이 모수와 같아지는 성질, 충분성은 표본이 모수에 대한 정보를 남김없이 담고 있는 성질을 뜻하며 이들 설명은 모두 옳다.

모든 자료에 −3을 곱하면 표준편차는 곱한 수의 절댓값 배가 되므로 $|-3|\times 3=9$이다.

상수배 변환에서는 $SD(ax)=|a|\,SD(x)$가 성립한다. 부호는 절댓값에 흡수되어 분포의 좌우가 뒤집힐 뿐 퍼짐의 크기는 3배로 늘어난다.

표준편차는 항상 0 이상이므로 −3이나 −9 같은 음수는 답이 될 수 없고, 곱한 상수의 크기를 반영하지 않은 3도 성립하지 않는다.

모평균에 대한 신뢰구간의 길이는 표본크기 $n$의 제곱근에 반비례한다.

표본크기를 100에서 400으로 4배 늘리면 $\sqrt{n}$은 2배가 되므로 신뢰구간의 길이는 $\dfrac{1}{2}$로 줄어든다.

따라서 새로운 신뢰구간의 길이는 $0.2 \times \dfrac{1}{2} = 0.1$이다.

이 문제는 베이즈정리를 이용해 양성반응 조건에서 실제 질병에 걸렸을 확률을 구하는 문제이다.

질병에 걸렸을 확률은 $P(D)=0.02$, 걸리지 않았을 확률은 $P(D^c)=0.98$이고, 양성반응을 보일 조건부확률은 질병이 있으면 $0.8$, 없으면 $0.1$이다.

양성반응이 나올 전체 확률은 $0.02 \times 0.8 + 0.98 \times 0.1 = 0.016 + 0.098 = 0.114$이다.

따라서 양성반응자 가운데 실제로 질병에 걸렸을 확률은 $\dfrac{0.016}{0.114} = \dfrac{16}{114} = \dfrac{8}{57}$이다.

X가 1에서 5로 커질 때 Y는 8, 7, 5, 4, 2로 계속 줄어들므로 두 변수 사이에는 음의 상관관계가 존재한다.

평균이 $\overline{X}=3$, $\overline{Y}=5.2$이므로 편차곱의 합은 $\sum(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})=-15$로 음수이고, 이 부호가 곧 상관의 방향이다.

상관계수는 $r=\dfrac{-15}{\sqrt{10\times 22.8}}\approx -0.99$로 거의 완전한 음의 직선관계다. 0에 가깝지도 않고 양수도 아니며, 자료가 모두 주어져 있으므로 관계를 알 수 없다고 할 수도 없다.

모분산이 9로 알려진 정규모집단의 모평균 검정이므로 Z검정을 쓰며, 검정통계량은 −2이다.

$Z=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{19-20}{3/\sqrt{36}}=\dfrac{-1}{0.5}=-2$로 계산된다.

• 모분산을 아는 모평균 검정이므로 카이제곱분포가 아니라 표준정규분포를 이용한다.
• 유의수준 0.05의 좌측검정 기각역은 $Z < -1.645$이고 −2가 여기에 들어가므로, 평균 독서시간이 20시간보다 작다고 말할 수 있다.
• 모분산이 9로 주어져 있어 표본분산을 몰라도 검정이 가능하다.

대립가설이 참인 상황에서 귀무가설을 기각할 확률을 검정력(power)이라 한다.

이는 옳은 판단을 내릴 확률을 의미하며, 그 반대로 대립가설이 참인데도 귀무가설을 채택하는 오류가 제2종 오류이므로 검정력은 $1-\beta$로 표현된다.

이항분포를 따르는 확률변수의 기댓값은 $np$로 계산한다.

시행횟수 $n=20$, 성공률 $p=0.7$이므로 기대되는 성공 횟수는 $20 \times 0.7 = 14$회이다.

실험계획에서 데이터의 산포에 영향을 미치는, 실험환경이나 실험조건을 나타내는 변수를 인자(factor)라 한다.

실험단위는 처리가 적용되는 대상, 수준은 인자가 취하는 구체적인 값들을 뜻하므로 이 문제가 묻는 조건을 나타내는 변수 자체와는 구별된다.

표본비율 0.56으로 계산한 검정통계량이 기각역에 미치지 못하므로 찬성률이 과반수 이상이라고 결론 내릴 수 없다.

가설은 $H_0: p=0.5$, $H_1: p>0.5$이고, 검정통계량은 $Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}=\dfrac{0.56-0.5}{\sqrt{0.5\times0.5/100}}=\dfrac{0.06}{0.05}=1.2$이다.

주어진 확률표에서 $P(|Z|>1.64)=0.10$이므로 단측 5% 기각역은 $Z > 1.64$인데, $1.2 < 1.64$이므로 귀무가설을 기각하지 못한다.

표본에서 56%가 찬성했더라도 이는 표본오차 범위 안의 차이여서 모집단 과반수를 주장할 근거가 되지 못하며, 100명은 정규근사가 가능한 크기라 표본 수 부족이 문제인 것도 아니다.

두 병원의 평균 대기시간은 17분으로 같지만, 흩어진 정도는 A병원이 더 크다.

A병원 대기시간은 5, 9, 17, 19, 20, 32분으로 합이 102분, B병원은 10, 15, 17, 17, 23, 20분으로 역시 합이 102분이다.
$\bar{x}_A = \dfrac{102}{6} = 17$, $\bar{x}_B = \dfrac{102}{6} = 17$ 이므로 두 평균은 일치한다.

편차제곱합은 A병원이 $(-12)^2+(-8)^2+0^2+2^2+3^2+15^2 = 446$, B병원이 $(-7)^2+(-2)^2+0^2+0^2+6^2+3^2 = 98$ 이다.
따라서 $s_A^2 = \dfrac{446}{5} = 89.2$, $s_B^2 = \dfrac{98}{5} = 19.6$ 이다.

A병원 자료는 5분에서 32분까지 넓게 퍼져 있고 B병원은 10~23분에 몰려 있으므로, 평균은 같으면서 A병원의 분산이 B병원보다 크다는 것이 옳은 설명이다.

분산분석표의 총 자유도 142는 관측자료 수에서 1을 뺀 값이므로 실제 총 관측자료 수는 143개이며, 142개라는 서술이 잘못이다.

표에서 Month의 자유도는 7, 잔차의 자유도는 135, 계는 142이다. $\text{총 자유도} = N - 1$ 이므로 $N = 142 + 1 = 143$ 개가 된다.

• 인자 Month의 자유도가 7이고 $k-1=7$ 이므로 수준 수는 8개라는 설명은 옳다.
• 오차항의 분산 추정값은 잔차의 평균제곱이며 $\dfrac{1608204}{135} \approx 11913$ 으로 표의 값과 같다.
• 검정통계량은 $F = \dfrac{18150}{11913} \approx 1.52$ 이고 유의확률 0.164가 0.05보다 크므로 인자의 효과가 인정되지 않는다는 설명도 옳다.

순서대로 뽑는 상황에서 특정 순번에 특정 색 구슬이 나올 확률은 뽑는 순서와 무관하게 전체 구성 비율과 같다는 대칭성이 성립한다.

전체 10개 중 푸른 구슬은 2개이므로, 2번째로 뽑히는 구슬이 푸른 구슬일 확률은 $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$이다.