16년 2회차

해석주의는 사회현상을 자연과학적 인과법칙이 아니라 행위자의 주관적 의미를 이해함으로써 설명하려는 접근이다.

인과법칙의 형성이나 일반화를 통한 설명은 오히려 실증주의의 특징이므로, 이를 해석주의의 특징으로 서술한 것은 틀린 내용이다.

• 실증주의가 직접 관찰 가능한 현상에 지식의 토대를 둔다는 설명은 옳다.
• 실증주의가 자연과학적 방법을 사회현상 연구에 적용한다는 설명도 옳다.
• 해석주의가 신뢰성·일반화보다 타당성을 중시한다는 설명도 옳다.

질적 연구도 자료 분석에 컴퓨터프로그램을 활용할 수 있어 해당 설명은 틀린 진술이다.

NVivo·ATLAS.ti 같은 질적자료분석 소프트웨어(CAQDAS)가 실제로 광범위하게 쓰이며, 다만 통계처리가 아니라 텍스트 코딩·범주화를 지원하는 용도다.

• 사례기술적 이해 추구, 신뢰도 문제 발생 가능성, 포커스그룹 면접이 질적 연구에 해당한다는 설명은 모두 질적 연구의 일반적 특성으로 옳다.

전자 서베이는 설문 발송과 회수에 드는 비용이 거의 들지 않는다는 점이 가장 큰 장점이다.

이메일이나 웹을 통해 대량 배포·자동 회수가 가능해 인쇄·우편 비용이 사실상 사라진다.

• 인터넷 이용 여부에 따라 접근 가능한 모집단이 제한되므로 표본추출이 자유롭다는 설명은 옳지 않다.
• 전자메일은 발송 이력이 남아 추적독촉(재발송)이 오히려 쉬운 편이다.
• 응답 결과가 이미 디지털 데이터로 수집되므로 입력 과정이 간편하다.

제시된 네 가지가 모두 통제집단 사전사후측정설계의 핵심적 특징이다.

이 설계는 대상자를 무작위로 배정해 실험집단과 통제집단을 동등하게 만든 뒤, 두 집단 모두에 사전 측정을 하고 실험집단에만 처치를 가한 다음 다시 사후 측정을 하는 구조다. 따라서 통제집단의 설정, 두 집단의 동등화, 사전 측정이 모두 설계 정의에 그대로 들어 있다.

내적타당도 저해요인의 통제도 부수적 효과가 아니라 이 설계의 존재 이유다. 처치 없이 같은 기간을 보낸 통제집단이 역사·성숙·검사효과·통계적 회귀 같은 요인의 영향을 그대로 보여주는 비교 기준이 되어, 사후 측정의 차이 중 처치 때문인 부분을 분리해낼 수 있다.

좋은 가설은 기존 이론이나 다른 연구와 연관성이 있어야 하므로, 다른 이론과 연관성이 없어야 한다는 설명은 평가기준에 어긋난다.

가설은 고립된 주장이 아니라 관련 이론 체계 속에서 검증되고 축적되어야 학문적 의미를 가진다.

• 실제 자료로 검증 가능해야 한다는 것(검증가능성), 결과를 광범위하게 활용할 수 있어야 한다는 것(일반성), 간단명료하고 논리적이어야 한다는 것(간결성)은 모두 타당한 가설 평가기준이다.

일반적으로 연역적 접근법은 가설 검증에, 귀납적 접근법은 탐색적 연구에 주로 활용되므로 이를 반대로 서술한 설명이 틀렸다.

연역적 접근은 기존 이론에서 가설을 도출해 자료로 검증하는 절차이고, 귀납적 접근은 현실 관찰에서 출발해 일반화된 이론을 만들어가는 절차다.

• 연역적 접근에 기존 이론 분석이 필요하다는 것, 귀납적 접근이 관찰을 통한 경험적 일반화를 추구한다는 것, 두 접근법이 사회조사에서 상호 보완적으로 쓰인다는 것은 모두 옳은 설명이다.

토마스 쿤이 제시한, 한 시대의 사고를 지배하는 이론적 틀이자 과학공동체가 공유하는 세계관을 가리키는 개념은 패러다임이다.

쿤은 과학이 사실의 누적으로 발전하는 것이 아니라 패러다임의 교체(과학혁명)로 전환된다고 보았다. 지문의 '개념적·이론적·방법론적·도구적 체계'라는 표현이 곧 연구 문제 선정부터 방법 선택까지를 규정하는 패러다임의 포괄적 성격을 드러낸다.

• 명제는 개념과 개념의 관계를 진술한 문장으로, 패러다임보다 훨씬 좁은 단위다.
• 법칙은 여러 차례 경험적으로 검증되어 예외를 찾기 어려운 보편적 규칙성이다.
• 공리는 증명 없이 참으로 전제하고 논의의 출발점으로 삼는 기본 명제다.

완전참여자는 연구대상 속에 실제로 참여해 함께 생활하므로 관찰 대상의 행동이나 상황에 영향을 미칠 수 있다. 따라서 영향을 미치지 않는다는 설명은 틀렸다.

완전참여자는 신분을 숨기고 참여하는 만큼 존재 자체가 상호작용에 개입해 반응성(reactivity) 문제를 일으킬 수 있다.

• 완전참여자는 신분을 밝히지 않아 윤리적·과학적 문제가 제기될 수 있다는 것, 완전관찰자는 거리를 두고 지켜보는 만큼 관찰이 피상적·일시적일 수 있다는 것, 완전관찰자가 완전참여자보다 대상을 깊이 이해하기 어렵다는 것은 모두 타당한 설명이다.

관찰기간을 될 수 있는 한 길게 잡는 것은 관찰자의 피로와 기억 왜곡을 키워 지각 오류를 늘리므로, 오류 감소 방안으로 보기 어렵다. 오히려 관찰기간은 짧게 나누어 가져가는 것이 권장된다.

지각 오류를 줄이려면 관찰 시간을 짧게 유지하면서 관찰 대상과 도구를 표준화하는 방향이 필요하다.

• 보다 큰 단위로 관찰해 전체 맥락을 함께 보는 것, 객관적인 관찰 도구를 사용하는 것, 관찰단위를 가능한 한 명세화하는 것은 모두 지각 오류를 줄이는 데 도움이 되는 방안이다.

대면면접조사는 조사자가 직접 대상자를 만나 진행하므로 어린이나 노인처럼 문해력·이해력이 제한된 응답자에게 가장 적절한 방법이다.

조사자가 문항을 읽어주고 이해를 돕거나 도움을 줄 수 있기 때문이다.

• 우편조사는 회수 독촉이 어려워 응답률이 가장 낮은 편에 속한다.
• 전화조사는 조사자가 문항을 읽어주는 면접식 방법이라 자기기입식이 아니다.
• 대면면접조사는 응답자와 직접 마주하는 만큼 추가질문이 가장 용이한 방법이다.

응답 항목들이 서로 겹쳐 응답자가 하나만 고를 수 없으므로 상호배타성이 지켜지지 않은 질문이다.

은행 융자를 받은 사람은 '은행에서 융자를 받았다'와 '빚을 내었다' 둘 다에 해당하고, 가족에게 빌린 사람도 '가족으로부터 얻었다'와 '빚을 내었다' 둘 다에 해당한다. 상위 개념인 '빚'과 그 하위 유형이 같은 층위에 나란히 배열된 것이 문제의 핵심이다.

• 포괄성은 '기타(구체적으로 : )' 항목이 있어 어떤 조달 방식이든 응답할 자리가 있으므로 충족된다.
• 질문 문장이 짧고 이중질문이나 유도 표현이 없어 간결성과 명확성에는 결함이 없다.

사후실험설계는 이미 벌어진 사건이나 노출 이후 자료를 수집하는 방식이라, 종속변수에 영향을 미치는 다른 변수들을 통제하기가 오히려 어렵다.

독립변수를 사전에 조작·배정할 수 없으므로 실험 전 무작위 배정 같은 통제 장치를 쓸 수 없기 때문이다.

• 독립변수를 조작할 수 없거나 이미 노출된 상태에서 관계를 검증한다는 것, 윤리적으로 조작이 바람직하지 않을 때 사용된다는 것, 실제 상황에서 검증해 현실성이 높다는 것은 모두 사후실험설계의 특징으로 옳다.

‘소득이 삶의 만족도에 미치는 영향은 성별에 따라 다르다’는 소득이 삶의 만족도에 미치는 영향이 성별이라는 조건에 따라 달라진다는 의미로, 성별이 그 관계의 강도나 형태를 조절하므로 조절변수 가설의 정의에 부합한다.

조절변수(moderating variable)는 독립변수가 종속변수에 미치는 영향의 크기나 방향을 변화시키는 변수로, 두 변수 간 관계가 조건에 따라 달라지는 상황을 나타낸다.

• ‘소득은 삶의 만족도에 영향을 미친다’는 직접 인과관계만 제시하고 있다.
• ‘소득과 삶의 만족도는 밀접한 관계가 있다’는 상관관계만 제시하고 있다.
• ‘소득은 의료접근성을 통하여 삶의 만족도에 영향을 미친다’는 매개변수(의료접근성이 독립변수와 종속변수 사이의 과정을 설명)의 개념이다.

기술적 연구는 특정 현상의 현재 상태나 사실관계를 있는 그대로 파악·기술하는 데 목적이 있으며, 미래를 예측하는 것은 기술적 연구가 아니라 설명적·예측적 연구의 영역이다.

따라서 기술적 연구가 축적된 자료로 미래를 예측한다는 설명은 연구유형의 성격을 잘못 서술한 것이다.

• 순수연구가 이론 구성·검증을 목적으로 한다는 것, 평가연구가 프로그램의 의도한 효과 달성 여부를 평가하는 응용연구라는 것, 탐색적 연구가 선행연구 부족 시 연구 속성을 개념화하는 것이라는 설명은 모두 옳다.

초점집단(포커스그룹) 조사는 소수 참여자를 모아 토론시키는 방식으로, 문항 구성이 조사 목적을 잘 반영하는지 점검하는 데 쓰여 내용타당도를 높이는 목적으로 활용될 수 있다.

이 설명이 옳고 나머지 세 설명은 초점집단과 델파이의 성격을 뒤바꿔 서술한 것이다.

• 초점집단 조사는 참여자들이 실명으로 얼굴을 마주한 채(대면) 상호작용하며 진행되므로 익명 집단이라는 서술은 옳지 않다.
• 델파이 조사는 오히려 구조화된 질문지를 반복 배포해 정보 흐름을 통제하는 방식이다.
• 델파이 조사는 전문가들이 서로 얼굴을 마주하지 않고 익명으로 의견을 주고받는 비대면 방식이다.

노인들이 요양원에서 사회복지서비스를 받은 후에 육체적으로 약해진 것은 서비스의 효과라기보다 시간 경과에 따른 노화(성숙) 때문일 가능성이 크다.

이처럼 시간이 지남에 따라 대상자 내부에서 자연적으로 일어나는 신체적·심리적 변화가 결과에 영향을 미치는 것을 성숙효과(maturation)라 한다.

• 외부사건(history)은 실험 기간 중 발생한 우연한 사건을 말하므로 이 사례와는 맞지 않는다.
• 검사효과(testing)는 사전검사 경험이 사후검사에 미치는 영향을 말하므로 이 사례와는 맞지 않는다.
• 도구효과(instrumentation)는 측정도구의 변화로 인한 오류를 말하므로 이 사례와는 맞지 않는다.

과학적 방법의 특징 중 인과성은 "모든 현상은 자연발생적이어야 한다"는 의미가 아니라, 모든 현상에는 원인이 있다는 인과관계의 존재를 의미한다. 보기 2번은 "자연발생적"이라는 표현으로 인과성의 개념을 잘못 설명하고 있다. 간결성(1번)은 옥캄의 면도날 원리로 불리며 과학적 방법의 핵심 특징이고, 일반성(3번)은 귀납적 추론을 통해 보편적 원리를 도출하는 과학의 기본 특성이며, 경험적 검증가능성(4번)은 과학적 이론의 필수 조건이다.

비구조화 면접은 표준화된 질문지 없이 상황에 따라 자유롭게 진행되므로, 면접자의 주관적 판단이 개입할 가능성이 오히려 크다. 따라서 편의(bias) 개입 가능성이 적다는 설명은 틀렸다.

질문의 형식과 순서가 고정되어 있지 않은 만큼 면접자마다 진행 방식이 달라져 편향이 커질 수 있다.

• 응답이 정형화되지 않아 부호화(코딩)가 어렵다는 것, 아직 연구가 축적되지 않은 미개척 분야 탐색에 적합하다는 것, 자유로운 대화로 심층적 질문이 가능하다는 것은 모두 비구조화 면접의 옳은 특징이다.

우편조사의 조사안내문은 응답자에게 누가, 왜, 어떻게 조사하는지를 설명해 협조를 구하는 것이 목적이므로, 표본의 규모와 응답자의 범위 같은 조사 설계 내부 정보는 포함할 필요가 없다.

이런 정보는 조사 방법론적 세부사항으로 응답 협조와는 직접 관련이 없기 때문이다.

• 연구자(조사자)의 연락처, 실시기관, 응답에 대한 비밀유지 보장은 응답자의 신뢰를 얻기 위해 안내문에 반드시 포함해야 할 내용이다.

인터넷조사는 응답이 이미 전자 형태로 수집되고 표본 규모가 늘어도 서버·시스템으로 처리하므로, 표본수 증감에 따른 조사비용 증감이 크지 않다는 점이 특징이다. 따라서 비용 증감이 크다는 설명은 틀렸다.

오히려 표본 규모를 늘려도 추가 비용이 우편·대면조사만큼 커지지 않는 것이 인터넷조사의 장점이다.

• 인터넷 사용 가능자만 조사 대상이 된다는 것, 모집단을 규정하기 어렵다는 것, 본인 확인이 안 되면 중복 응답이 발생할 수 있다는 것은 모두 인터넷조사의 한계로 옳은 설명이다.

과학적 조사는 문제의 제기 → 조사설계 → 자료의 수집 → 자료분석·해석 및 이용 → 보고서 작성 순서로 진행된다.

먼저 무엇을 밝힐 것인지 연구문제를 세워야 그에 맞는 조사대상·표본·측정도구·수집방법을 정하는 조사설계가 가능하다. 설계 없이 자료부터 모으면 분석에 쓸 수 없는 자료를 모으게 된다.

수집한 자료는 분석과 해석을 거쳐 연구문제에 대한 답으로 바뀌고, 보고서 작성은 그 결과를 정리해 전달하는 가장 마지막 단계다. 보고서를 자료수집이나 분석보다 앞에 두는 배열, 조사설계를 자료수집 뒤로 미루는 배열은 모두 이 인과적 흐름에 맞지 않는다.

자극을 제시해 우회적으로 속마음을 끌어내는 이 질문 방식은 투사법이다.

민감하거나 사회적으로 바람직하지 않은 주제는 직접 물으면 솔직한 답을 얻기 어렵다. 그래서 '다른 사람은 어떻게 생각할까'를 묻는 형태로 바꿔 응답자가 자기 태도를 남에게 투사해 드러내게 만드는 것이 이 기법의 원리다.

• 오진선택법은 정답이 없는 선택지들만 제시하고 응답자가 어느 쪽 오답으로 기우는지를 보아 태도를 추정하는 방법이다.
• 정보검사법은 특정 주제에 대해 얼마나 알고 있는지를 물어 그 지식 수준으로 관심과 태도를 짐작하는 방법이다.
• 단어연상법은 자극 단어를 던지고 즉시 떠오르는 단어를 말하게 하는 방법으로, 자극이 문장이 아니라 낱말이라는 점에서 이 지문의 설명과 다르다.

실험설계는 특정 개입(프로그램·서비스)이 대상자에게 미친 변화 효과를 검증할 때 적합한 방법이다. 무료급식 서비스를 받은 노숙자의 변화를 분석하는 상황이 바로 이러한 개입 효과 검증에 해당한다.

실험집단·통제집단을 비교하거나 개입 전후를 비교해 효과를 확인할 수 있기 때문이다.

• 현안문제 파악, 이혼율 파악, 접근성 분석은 현상을 있는 그대로 조사하는 서베이·기술적 조사에 가까워 실험설계의 목적과 맞지 않는다.

실험설계는 독립변수를 인위적으로 조작(manipulation)해 그 효과를 검증하는 절차이므로, 조작적 상황을 최대한 배제하고 자연적 상황을 유지한다는 설명은 실험설계의 성격과 정반대다.

오히려 실험설계는 자연적 상황이 아니라 통제된 인위적 조건 속에서 변수 간 관계를 확인하는 것이 핵심이다.

• 검증력을 극대화하려는 시도라는 것, 가설의 진위를 확인하는 구조화된 절차라는 것, 내적 타당도 확보를 위한 노력이라는 것은 모두 실험설계의 옳은 특징이다.

‘개인-1970년부터 지금까지 고용주가 게재한 구인광고의 내용과 강조점이 어떻게 변화하였는지 파악하였다’는 분석단위가 '개인'으로 명시되어 있으나, 실제 연구내용은 '구인광고의 내용과 강조점의 변화'로서 시간에 따른 광고 문서 또는 구인 트렌드라는 사회 현상 수준의 데이터를 다루고 있어, 개별 개인의 특성을 분석하는 것이 아니다. 따라서 분석단위와 연구내용이 맞지 않는다.

분석단위는 연구가 주목하는 가장 작은 단위를 의미하며, 연구내용이 그 단위의 특성이나 변화를 다루어야 한다.

• 여성 농부 사례는 개인(여성 농부)의 사회적 지위 인식을 분석하므로 단위와 내용이 일치한다.
• 종합병원 사례는 도시(인구 10만 이상)의 의료 시설 보유 현황을 분석하므로 단위와 내용이 일치한다.
• 범죄율 사례는 도시(흑인이 많은)의 범죄율 특성을 분석하므로 단위와 내용이 일치한다.

질적연구의 핵심 특징을 묻는 문항이다. 양적연구는 통계적 분석을 통해 객관적 관계를 밝히는 연구(1번 참), 가설 검증에 중점을 두는 확증적 방법(4번 참)이며, 질적연구는 주관적·해석적 접근(3번 참)으로 현상의 의미를 깊이 있게 이해하는 연구이다. 2번은 질적연구의 정의를 역으로 표현한 것인데, 질적연구는 오히려 강제적 측정과 통제된 측정을 피하고 자연스러운 상황 속에서 관찰, 면접, 문헌분석 등 유연한 방법을 사용하는 특징이 있어 틀렸다.

같은 해 특수목적 고등학교에 입학했다는 공통 경험을 공유하는 특정 집단을 2012년부터 2017년까지 추적하면서 매년 새 표본을 뽑았으므로 동류집단(cohort) 연구에 해당한다.

동류집단 연구는 모집단을 '특수목적고 입학생'처럼 한정한 뒤 시점마다 그 안에서 서로 다른 표본을 추출한다. 조사되는 개인은 매번 달라져도 추적 대상 집단의 정체성은 그대로 유지되는 것이 핵심 특징이다.

• 동일한 사람을 반복해서 측정하는 방식은 패널 연구이므로, 매년 다른 표본을 뽑은 이 사례와 맞지 않는다.
• 한 시점에서 자료를 한 번만 수집하는 방식은 횡단적 연구여서 5년간의 변화를 관찰할 수 없다.
• 일반 모집단 전체의 시간적 변화를 보는 방식은 경향성 연구로, 특정 입학 집단으로 대상을 한정하지 않는다.

제시된 사례는 신문기사를 통해 대북정책에 대한 사회적 인식변화를 분석하는 내용분석법(content analysis)이다. 내용분석은 신문, 잡지, 문서, 방송, 연설문 등 인간의 모든 형태의 의사소통 기록물을 분석대상으로 활용할 수 있는 것이 특징이다. 표본추출이 가능하며, 분석 기준과 범주를 설정하는 사전조사(예비조사)가 필요하고, 빈도·양적 지표로 수량적 분석도 가능하므로 나머지 보기는 옳지 않다.

부정어가 포함된 질문은 응답자가 의미를 혼동하거나 이중부정으로 잘못 응답할 위험이 크므로 가급적 피해야 하며, 이를 반드시 포함시키라는 설명은 질문지 작성 원칙에 어긋난다.

부정문은 긍정문보다 이해하기 어렵고 응답 오류를 유발하기 쉽다.

• 항목이 명확해야 한다는 것, 질문항목이 짧아야 한다는 것, 편견에 치우친 항목과 용어를 지양해야 한다는 것은 모두 올바른 질문지 작성 원칙이다.

비반응적(nonreactive) 자료수집은 조사자의 개입 없이 이미 존재하는 기록물을 활용하는 방법으로, 일기·편지 등 사적인 문서를 수집하는 것이 대표적이다.

이런 자료는 조사자가 개입하기 전에 이미 작성된 것이라 조사 행위 자체가 대상자의 반응에 영향을 주지 않는다.

• 참여적 관찰, 심층면접, 자기기입식 설문조사는 모두 조사자가 개입해 대상자의 반응을 이끌어내는 반응적 방법이다.

크론바하의 알파값은 문항 수가 많을수록 커지는 경향이 있으므로, 문항 수가 적을수록 알파값이 커진다는 설명은 틀렸다.

알파값은 문항 간 평균 상관계수와 문항 수에 의해 결정되는데, 동일한 상관계수 조건에서 문항이 늘어날수록 값이 커진다.

• 표준화된 알파값이 0에서 1 사이의 값을 갖는다는 것, 문항 간 평균 상관계수가 높을수록 알파값이 커진다는 것, 알파값이 클수록 신뢰도가 높다고 보는 것은 모두 옳은 설명이다.

모집단에서 첫 번째 표본을 무작위로 정한 뒤 매 k번째 대상을 일정한 간격으로 뽑는 방법은 계통표본추출법(systematic sampling)이다.

등간격으로 대상을 추출한다는 점에서 완전한 무작위추출과 구별된다.

• 군집표본추출은 모집단을 여러 집락으로 나눈 뒤 집락 단위로 추출하는 방법이고, 편의표본추출은 접근이 쉬운 대상을 임의로 뽑는 비확률적 방법이며, 단순무작위표본추출은 모든 대상에게 동일한 추출확률을 부여해 난수 등으로 뽑는 방법이라는 점에서 매 k번째를 뽑는 방식과 다르다.

편의표본추출은 표본이 모집단을 대표한다는 보장이 없으므로, 표본 크기를 키운다고 해서 대표성 문제가 해결되지는 않는다. 따라서 이 설명이 틀린 서술이다.

대표성 문제는 표본 규모가 아니라 추출 방식 자체의 비확률적 성격에서 비롯되기 때문이다.

• 모집단 정보가 전혀 없을 때 편의표집을 사용할 수 있다는 것, 편의표집 자료도 유용한 정보를 줄 수 있다는 것, 표준오차 추정치를 부여할 수 없다는 것은 모두 편의표본추출의 옳은 특징이다.

표본추출과정은 보통 모집단 확정 → 표본프레임 결정 → 표본추출방법 결정 → 표본크기 결정 순서로 진행되므로, 가장 마지막 단계는 표본크기의 결정이다.

표본추출방법이 정해진 뒤에야 그 방법에 맞는 구체적인 표본 규모를 산정할 수 있기 때문이다.

• 표본프레임 결정, 표본추출방법 결정, 모집단 확정은 표본크기 결정보다 앞서 이루어지는 단계다.

조작적 정의는 추상적 개념을 측정 가능한 구체적 지표로 바꾸는 것인데, 빈곤을 '물질적인 결핍 상태'로 정의하는 것은 여전히 추상적인 개념적 정의에 머물러 있어 조작적 정의의 예로 보기 어렵다.

측정할 수 있는 수치나 구체적 행동 기준이 제시되지 않았기 때문이다.

• 소득을 월( )만원으로 묻는 것, 서비스만족도를 재이용 의사 유무로 측정하는 것, 신앙심을 종교행사 참여 횟수로 측정하는 것은 모두 개념을 구체적으로 측정 가능하게 조작화한 예다.

신뢰성은 무작위 오차(random error)와 관련된 개념이고, 체계적 오차는 타당성과 관련되므로 신뢰성이 체계적 오차와 관련된 개념이라는 설명은 틀렸다.

무작위 오차가 적을수록 측정이 일관되게 반복되어 신뢰성이 높다고 보며, 체계적 오차는 측정값을 한쪽으로 치우치게 만들어 타당성을 저해한다.

• 무작위 오차가 다양하게 분산되고 상호 상쇄되는 경향이 있다는 것, 체계적 오차가 일정하거나 한쪽으로 치우친다는 것, 무작위 오차가 측정대상·과정·수단·측정자 등에 일관성 없이 영향을 미친다는 것은 모두 옳은 설명이다.

응답자가 관심 없어하는 내용을 억지로 설득해 응답하게 하면 성의 없는 답변이나 왜곡된 응답이 나올 가능성이 커져 오히려 측정 오차를 키우는 방법이다.

측정 오차를 줄이려면 응답자의 자발적 협조를 얻는 방향으로 접근해야 한다.

• 측정항목 수를 늘리는 것, 문장을 간단명료하게 구성하는 것, 다각도 검증(triangulation)을 수행하는 것은 모두 측정 오차를 줄이는 데 도움이 되는 방법이다.

측정도구가 측정하려는 개념이나 속성의 모든 의미영역을 얼마나 잘 대표하고 있는지를 평가하는 것은 내용타당성(content validity)이다.

전문가 판단으로 문항들이 개념의 여러 측면을 빠짐없이 포괄하는지 검토하는 방식으로 확인한다.

• 구성타당성은 이론적 개념 간의 관계로 타당성을 검증하는 것이고, 경험적 타당성은 외적 기준과의 상관으로 검증하는 것이며, 개념적 타당성도 이론적 개념과의 부합을 다루는 표현이라는 점에서 도구 자체의 대표성을 따지는 내용타당성과 구별된다.

반복 사용해도 언제나 비슷한 결과가 나왔으므로 신뢰성은 확보되었지만, 기존 대표 척도와의 연관성이 낮아 타당성은 확보되지 않은 척도다.

신뢰성은 같은 대상을 반복 측정했을 때 결과가 얼마나 일관되게 나오는가의 문제이고, 타당성은 재고자 한 개념을 실제로 재고 있는가의 문제다. 이미 공인된 척도와의 상관이 상당히 낮다는 것은 기준타당성(공인타당성)이 결여되었다는 근거가 된다.

즉 이 척도는 무언가를 일관되게 재고는 있으나 그 무언가가 고객만족도라는 보장이 없다. 신뢰성은 타당성의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니라는 점을 보여주는 전형적인 사례다.

측정수준 중 명목척도는 단순히 범주를 구분하는 정보만 제공하므로 서열·간격·비율 정보를 함께 담는 다른 척도보다 제공하는 정보량이 가장 적다.

측정수준은 일반적으로 명목·서열·등간·비율 순으로 정보량이 늘어난다.

• 서열척도는 순위 정보를, 등간척도는 순위와 간격 정보를, 비율척도는 순위·간격·절대영점 정보까지 담고 있어 명목척도보다 더 많은 정보를 제공한다.

하나의 수식어를 가운데 두고 +5부터 -5까지의 눈금만 좌우 없이 제시하는 형태이므로 스타펠척도다.

'고급이다', '서비스가 부족하다', '상품이 다양하다'처럼 항목마다 단극형 수식어 하나만 놓고, 응답자는 그 수식어가 대상을 얼마나 잘 나타내는지를 +5(매우 잘 맞음)에서 -5(전혀 맞지 않음) 사이에서 고른다. '고급-저급'처럼 양극 형용사 쌍을 제시하는 의미차별화 척도와 대비되는 지점이다.

• '매우 그렇다~전혀 그렇지 않다'의 동의 정도를 묻고 합산하는 방식은 리커트척도다.
• 문항 간 강도의 누적성(서열성)을 전제로 배열하는 방식은 거트만척도다.
• 전문가 평가로 문항마다 가중치를 부여해 등간성을 확보하는 방식은 서스톤척도다.

층화표본추출법(stratified sampling)은 모집단을 동질적인 하위집단(층)으로 나눈 뒤 각 층에서 무작위로 표본을 뽑는 확률표본추출방법이다.

모든 대상에게 추출될 확률이 부여된다는 점에서 확률표집의 요건을 충족한다.

• 판단표본추출, 할당표본추출, 눈덩이표본추출은 조사자의 주관적 판단이나 임의 배정에 의존하는 비확률표본추출방법이다.

등간측정의 성격을 갖추면서 실제적 의미의 절대 0(자연적 0)까지 갖춘 측정수준은 비율측정이다.

비율측정은 순위·동일간격 정보에 더해 원점이 '없음'을 의미하는 절대영점을 가져, 값들 사이의 비율 비교(예: 두 배, 세 배)까지 가능하다.

• 서열측정은 순위만, 명목측정은 범주 구분만 제공해 등간·비율 성격을 갖추지 못하며, '독립측정'은 표준적인 측정수준 분류에 해당하지 않는다.

하나의 속성을 기준점(100점)으로 삼아 다른 속성의 점수를 그 비율에 따라 매기게 하는 척도법을 비율분할법(fractionation method)이라 한다.

제시된 예시는 가격의 중요성을 100점으로 고정시킨 뒤, 이를 기준으로 디자인·성능 등 다른 속성의 상대적 중요도를 비율로 환산해 판단하도록 하는 방식이다.

• 고정총합척도법은 여러 속성에 점수를 나누어 배분해 합이 일정하게 되도록 하는 방법으로 기준 속성 대비 비율 판단과는 다르다.
• 연속평정법은 단순히 응답자가 직접 위치나 항목을 선택하는 방식이라 이 사례와 맞지 않는다.
• 항목평정법도 단순히 응답자가 직접 위치나 항목을 선택하는 방식이라 이 사례와 맞지 않는다.

척도를 구성하는 개별문항들은 하나의 연속체 위에서 단 하나의 개념을 반영해야 한다는 단일차원성(unidimensionality) 가정이 기본이 된다.

여러 문항이 서로 다른 개념을 동시에 측정하면 척도 점수의 해석이 모호해지기 때문이다.

• 양적 속성을 질적 속성으로 변환해야 한다는 것, 개별문항이 다차원적이어야 한다는 것, 통계적으로 조작 불가능한 질적 개념을 별도로 점수화해야 한다는 것은 모두 척도 구성의 기본가정과 맞지 않는다.

표집틀(sampling frame)을 평가하는 요소로는 모집단을 얼마나 빠짐없이 담고 있는지(포괄성), 조사에 드는 비용과 노력(효율성), 각 대상이 추출될 확률을 알 수 있는지(추출확률)가 꼽히며, '안정성'은 이러한 평가요소로 다루지 않는다.

표집틀 평가는 명단이 모집단과 얼마나 정확히 일치하는지, 효율적으로 활용할 수 있는지에 초점을 두기 때문이다.

개념을 경험적 수준으로 구체화하는 순서는 개념적 정의 → 조작적 정의 → 변수의 측정, 즉 B→A→C이다.

먼저 추상적인 개념이 무엇을 뜻하는지 말로 규정하는 개념적 정의를 세우고, 이를 관찰·계량이 가능한 절차와 지표로 바꾸는 조작적 정의를 내린 다음, 그 절차에 따라 실제 값을 얻는 측정이 이루어진다.

다시 말해 추상성이 높은 단계에서 낮은 단계로 내려가는 과정이다. 개념적 정의가 없으면 조작적 정의의 기준이 서지 않고, 조작적 정의 없이 곧바로 측정에 들어가면 무엇을 재는지가 규정되지 않는다.

신뢰성을 평가하는 대표적 방법에는 반분법, 재검사법, 내적 일관성법이 있으며, '구성체 신뢰도법'이라는 명칭은 이러한 신뢰성 평가 방법으로 통용되지 않는다.

반분법은 문항을 절반으로 나눠 비교하고, 재검사법은 같은 검사를 시간 간격을 두고 반복하며, 내적 일관성법은 크론바하 알파처럼 문항 간 일관성을 확인하는 방식이다.

순수입을 '원(￦)' 단위처럼 절대 0을 가진 화폐 단위로 측정하면, 값들 사이의 배수 비교(예: 두 배)가 가능한 비율측정에 해당한다.

0원이 '수입이 전혀 없음'이라는 실제적 의미를 가지는 자연적 영점이기 때문이다.

• 명목측정은 단순 범주 구분, 서열측정은 순위 비교, 등간측정은 동일간격이지만 절대영점이 없는 경우에 해당해 화폐 단위의 금액 측정과는 성격이 다르다.

‘동일하거나 유사한 질문을 하지 않는다’는 신뢰성 향상과 반대 방향이므로 신뢰성 향상 방법과 가장 거리가 멀다. 신뢰성 측정에서 내적 일관성(Cronbach's alpha 등)을 평가하려면 동일하거나 유사한 질문을 여러 번 반복하여 응답의 일관성을 확인해야 하기 때문이다.

• 측정항목의 모호성 제거는 측정의 일관성을 높여 신뢰성을 직접 증진한다.
• 측정항목 수 증가는 표본 크기를 늘려 측정 오차를 감소시킨다.
• 신뢰성이 인정된 측정도구 사용은 이미 신뢰성이 입증된 방식을 활용하는 것이다.

확률표집에서 표본의 크기가 커질수록 표집오차는 오히려 줄어드는 경향을 보이므로, 표본크기가 커질수록 표집오차가 정비례적으로 증가한다는 설명은 틀렸다.

표본이 클수록 모집단 특성을 더 안정적으로 반영해 추정의 변동성이 작아지기 때문이다.

• 표집오차를 추정할 수 있다는 것, 표본 크기가 커질수록 대표성이 높아진다는 것, 무작위적인 방법으로 표본구성요소를 추출한다는 것은 모두 확률표집의 옳은 특징이다.

‘평가자를 활용하므로 객관적이다’는 리커트 척도의 장점이 아니다. 리커트 척도는 응답자의 주관적 판단에 의존하며, 평가자의 객관적 평가가 개입되지 않기 때문에 "평가자를 활용하므로 객관적"이라는 설명은 척도의 특성에 맞지 않는다.

리커트 척도는 문항에 대한 동의 정도를 5~7단계의 서열적 선택지로 응답하게 하는 방식으로, 실제 장점은 다음과 같다.

• 응답 선택지가 명확하게 순서화되어 응답자가 쉽게 이해할 수 있다.
• 적은 문항으로도 높은 신뢰도를 획득할 수 있다.
• 다단계 응답으로 측정의 정밀성을 높일 수 있다.

소시오메트리 척도는 집단 구성원 간의 상호 선호·배척 관계를 측정하는 것으로, 구성원들이 반드시 동질적이어야 하는 것은 아니다. 따라서 이 설명이 틀렸다.

이 척도는 구성원들 사이의 관계 구조 자체를 분석하는 것이지 구성원의 속성이 같아야 성립하는 것은 아니다.

• 집단결속력의 정도를 파악하는 데 사용된다는 것, 조사대상 인원이 적을 때 적용이 용이하다는 것, 통계학의 조합 원리가 적용된다는 것은 모두 소시오메트리 척도의 옳은 특징이다.

경제상황 예측처럼 전문성이 필요한 주제에 대해 경제학 교수라는 전문가 집단을 조사자가 의도적으로 선정하는 방식은 판단표본추출(judgmental sampling)에 해당한다.

조사 목적에 가장 적합하다고 판단되는 대상을 조사자의 전문적 식견에 따라 선정하는 비확률표집 방법이기 때문이다.

• 할당표본추출은 미리 정한 범주별 인원수를 채우는 방식이고, 편의표본추출은 접근이 쉬운 대상을 임의로 뽑는 방식이며, 눈덩이표본추출은 응답자의 소개를 통해 대상을 연쇄적으로 확대하는 방식이라는 점에서 전문가를 의도적으로 선정하는 이 사례와 다르다.

고등학생 집단을 학년(1·2·3학년 3개), 성별(2개), 계열(인문계·자연계·예체능계 3개)로 동시에 구분하면 범주의 수는 각 구분 기준의 곱으로 계산된다.

$3 \times 2 \times 3 = 18$

따라서 할당표본추출을 위한 범주는 총 18개로 구분된다.

눈덩이표본추출은 마약중독자, 노숙인 등 모집단 파악이 곤란한 특수 대상을 표본으로 확보할 때 적합하며(A), 초기 응답자의 소개를 통해 연쇄적으로 표본을 확장하므로 대표성 확보가 어렵고 편향 가능성이 크다(B). 또한 응답자 간 연결망(네트워크)을 가진 사람들의 특성을 파악하는 데 적절한 방법이다(C). A, B, C 모두 옳은 설명이다.

검사-재검사법은 동일한 검사를 시간 간격을 두고 두 번 이상 실시하여 그 결과 간의 상관계수를 구하는 방법이다. 1번은 반분법(홀짝 문항 비교)으로 검사-재검사법과 다른 기법이고, 2번은 내적 일치도(예: 크론바흐 알파)를 측정하는 방법으로 검사-재검사법이 아니다. 3번은 역으로 간격이 너무 짧으면 기억효과로 신뢰성이 높아지는 경향이 있어 오류이다. 4번이 정답으로, 검사-재검사법의 가장 기본적이고 직관적인 정의를 정확하게 설명한다.

표본추출과 관계없이 자료를 수집하는 과정에서 발생하는 오차는 비표본 오차다.

• 표본 틀 오차는 표본틀과 모집단의 불일치로 인한 표본추출 관련 오차다.
• 표준 오차는 표본분포의 표준편차로 표본크기에 따른 확률적 오차다.
• 확률적 오차는 표본 크기와 변동성에 의한 표본추출 과정의 오차다.

비표본 오차는 자료 수집·정리·분석 전 과정에서 발생할 수 있는 조사원의 실수, 응답 거부, 기입 오류 등 표본설계와 무관한 체계적·비체계적 오차를 의미한다.

인종은 각 범주가 서로 구별되기만 할 뿐 크고 작음이나 중간값을 가질 수 없는 명목척도 변수로, 범주형(질적) 변수에 해당한다.

소득·범죄율·거주기간은 모두 크고 작음을 연속적인 수치로 나타낼 수 있어 연속변수로 구성할 수 있다.

표집율은 표본 크기를 모집단 크기로 나눈 비율이다. 표집율 = (표본 크기 ÷ 모집단 크기) × 100% = (500 ÷ 2,000) × 100% = 0.25 × 100% = 25%이다.

기각역이 $\bar{X} \ge c$이고 귀무가설 $H_0: \mu=70$이므로, 제1종 오류(유의수준)는 $P(\bar{X}\ge c \mid \mu=70)=0.045$이다. 대립가설 $\mu=80$일 때 $P(\bar{X}\ge c \mid \mu=80)=0.921$은 귀무가설을 올바르게 기각할 확률, 즉 검정력이며 그 값은 0.921이다. 이때 제2종 오류는 $1-0.921=0.079$이므로 보기 2, 3은 틀렸고, 유의확률은 검정 전에 정해지는 값이 아니라 관측된 표본평균에 따라 달라지므로 단순히 0.045라고 할 수 없어 보기 1도 틀렸다. 따라서 옳은 설명은 4번이다.

원래 알려진 지지율 차이는 $p_1-p_2=0.066$이며, 이 값이 그대로 유지되는지를 귀무가설로, 차이가 줄어들었는지를 대립가설로 설정한다.

귀무가설은 변화가 없다는 $H_0: p_1-p_2=0.066$으로, 대립가설은 차이가 감소했다는 방향성을 반영해 $H_1: p_1-p_2 \lt 0.066$으로 세운다.

표본에서 관측된 차이 3.3%는 이 가설을 검정하기 위해 사용하는 표본 통계량일 뿐, 가설식 자체에 들어가는 값이 아니다.

변동계수(또는 변이계수, CV)는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로 정의된다. 보기 2는 이를 역순으로 서술하여 틀렸다. 보기 1, 3, 4는 모두 변동계수의 올바른 용도다. 변동계수는 평균 크기에 영향을 받지 않으므로 평균이 크게 다른 집단들의 산포를 비교할 수 있고, 백분율로 표현되어 단위가 다른 자료 간 비교가 가능하며, 산포의 상대적 크기를 측정하는 무차원 지표다.

대학생 용돈이 초등학생 용돈보다 상대적으로 더 평균에 밀집되어 있다고 해석한다. 변동계수가 작을수록 산포도가 상대적으로 작아 자료가 평균에 더 밀집되어 있기 때문이다.

변동계수는 $CV = \dfrac{\text{표준편차}}{\text{평균}} \times 100$으로 계산한다.
초등학생: $CV = \dfrac{2000}{130000} \times 100 \approx 1.54\%$
대학생: $CV = \dfrac{3000}{200000} \times 100 = 1.5\%$
따라서 대학생의 변동계수가 더 작다.

신호등 5개 중 정확히 1개에서만 빨간등에 걸릴 확률은 이항분포의 확률질량함수로 구한다.

$P(X=1) = \binom{5}{1}(0.2)^1(0.8)^4 = 5(0.2)^1(0.8)^4$

5개의 신호등 중 어느 신호등이 빨간등에 걸릴지 고르는 경우의 수 $\binom{5}{1}=5$를 곱해야 하므로, 단순히 $(0.2)^1(0.8)^4$만으로는 부족하다.

최소제곱 추정 결과는 $\hat{y}=-1+1.5x$이다.

먼저 평균을 구하면 $\overline{x}=\dfrac{6+7+4+2+1}{5}=4$, $\overline{y}=\dfrac{8+10+4+2+1}{5}=5$이다.

다음으로 $S_{xy}=\sum xy-n\overline{x}\,\overline{y}=139-5\times4\times5=39$이고
$S_{xx}=\sum x^{2}-n\overline{x}^{2}=106-5\times4^{2}=26$이므로 기울기는 $\hat{\beta}=\dfrac{39}{26}=1.5$이다.

절편은 $\hat{\alpha}=\overline{y}-\hat{\beta}\,\overline{x}=5-1.5\times4=-1$이므로, 기울기 1.5와 절편 -1을 함께 만족하는 식만이 답이 된다.

분산분석에서 총제곱합은 처리간제곱합(급간제곱합·처리제곱합)과 처리내제곱합(잔차제곱합)으로 분해된다.

각 처리(집단) 안에서 개별 관측값이 그 집단 평균으로부터 흩어진 정도를 모두 더한 것이 잔차제곱합이며, 이는 곧 처리 내에서의 변동의 합이다.

급간제곱합(처리제곱합)은 집단 간 평균 차이에서 비롯된 변동이므로 처리 간 변동에 해당한다.

좋은 추정량의 조건은 불편성(비편향성), 일치성, 유효성 등이며, 편의(bias)가 있다는 것은 오히려 바람직하지 않은 성질이다.

• 일치성은 표본크기가 커질수록 추정량이 모수에 가까워지는 성질이다.
• 유효성은 추정량의 분산이 작을수록 효율적이라는 성질이다.
• 비편향성은 추정량의 기댓값이 모수와 일치하는 성질이다.

따라서 편의성은 추정량이 갖춰야 할 바람직한 성질에 해당하지 않는다.

표준화된 변수 x와 y의 상관계수는 원래 변수 X와 Y의 상관계수와 같으며, 이를 $r = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i y_i}{n}$ 또는 $r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$로 표현한다.

표준화된 변수들 간의 상관계수를 구하는 문제다. 표준화 변수는 $x_i = \frac{X_i - \bar{X}}{s_X}$, $y_i = \frac{Y_i - \bar{Y}}{s_Y}$로 정의되며, 표준화 변수의 평균은 0, 표준편차는 1이다.

두 변수 x와 y의 상관계수는
$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i y_i}{n}$
로 계산된다. 이는 표준화 변수의 공분산과 같고, 표준편차가 모두 1이므로 상관계수는
$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{ns_X s_Y}$
와 일치한다.

단순회귀에서 기울기에 대한 가설을 검정할 때 쓰는 통계량은 회귀제곱합을 잔차평균제곱으로 나눈 F통계량, 즉 $F=\dfrac{\sum(\hat{y}_i-\overline{y})^{2}}{\sum(y_i-\hat{y}_i)^{2}/(n-2)}$이다.

분자의 $\sum(\hat{y}_i-\overline{y})^{2}$는 회귀제곱합 SSR이고 단순회귀에서 그 자유도가 1이므로 나누지 않아도 그대로 회귀평균제곱 MSR이 된다.

분모의 $\sum(y_i-\hat{y}_i)^{2}/(n-2)$는 잔차제곱합을 자유도 n-2로 나눈 잔차평균제곱 MSE로, 오차분산 $\sigma^{2}$의 불편추정량이다. 따라서 이 비는 자유도 (1, n-2)의 F분포를 따른다.

반면 $\sum(y_i-\overline{y})^{2}/(n-1)$은 y의 표본분산일 뿐 오차분산의 추정량이 아니므로, 이 값을 분모나 분자에 쓴 식은 검정통계량이 될 수 없다.

필요한 최소인원은 2,033명이다. 표본크기는 정수여야 하고 충분한 신뢰성을 확보하기 위해 올림하기 때문이다.

신뢰도 95%에서 모평균 추정의 표본크기 공식은
$n = \left(\frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$
이다. 95% 신뢰수준에서 양측 검정이므로 $\alpha/2 = 0.025$이고, 주어진 조건에서 P(Z > 1.96) = 0.025이므로 $Z_{\alpha/2} = 1.96$이다.

주어진 값을 대입하면
$n = \left(\frac{1.96 \times 2.3}{0.1}\right)^2 = \left(\frac{4.508}{0.1}\right)^2 = (45.08)^2 = 2,032.21$
이다.

상관계수는 두 변수 사이의 선형(직선)관계의 강도를 나타내는 측도이지, 일반적인 함수관계 전체의 강도를 나타내는 것은 아니다.

곡선 형태처럼 뚜렷한 함수관계가 있어도 선형성이 없으면 상관계수는 0에 가까울 수 있으므로, 함수관계의 강도를 나타낸다는 설명은 상관계수의 정의와 맞지 않는다.

• 공분산을 두 변수의 표준편차 곱으로 나눈 값이라는 정의는 옳다.
• 두 확률변수가 독립이면 공분산이 0이 되어 상관계수도 0이 된다는 설명은 옳다.
• 완전한 일차함수 관계에서는 상관계수가 $1$ 또는 $-1$이 된다는 설명도 옳다.

다중회귀분석에서 사용되는 변수선택방법은 전진선택법, 후진소거법, 단계적방법이다.

실험계획법은 실험을 설계하여 요인의 효과를 검정하기 위한 방법으로, 회귀모형에 포함할 변수를 고르는 절차와는 별개의 개념이다.

사분위수범위(IQR)는 자료가 흩어진 정도를 나타내는 산포도(변이) 측도이지, 자료의 중심위치를 나타내는 측도가 아니다.

• 편차의 합이 항상 0이라는 것은 평균의 정의상 옳은 설명이다.
• 중위수가 극단값의 영향을 받지 않는다는 것도 옳은 설명이다.
• 최빈수가 두 개 이상 있을 수 있다는 것도 옳은 설명이다.

표본평균의 평균은 모평균과 같으므로 E(X̄)=100이고, 표준편차는 $\sigma/\sqrt{n}$으로 계산한다. $20/\sqrt{100}=20/10=2$이므로 표준편차=2가 되어 평균=100, 표준편차=2가 정답이다.

소득과 인구백분율의 관계를 나타내는 데 가장 적합한 그래프는 Lorenz곡선이다. Lorenz곡선은 누적 인구백분율(횡축)과 누적 소득백분율(종축)을 대응시켜 소득의 불균등 분포를 시각화하는 그래프로, 소득 불평등도를 측정하고 나타내는 표준적인 도구이다. 도수다각형, 히스토그램, 도수분포곡선은 모두 단일 변수의 도수 분포를 나타내는 데 사용되며 두 변수(소득, 인구백분율) 간의 누적 관계를 표현할 수 없다.

정규분포를 포함한 모든 연속확률분포에서 확률밀도곡선 아래의 전체 면적은 항상 1이며, 평균과 분산이 달라져도 이 값은 변하지 않는다.

평균과 분산은 곡선의 위치와 퍼진 정도를 결정할 뿐, 곡선 아래 전체 면적 자체를 바꾸지는 않는다.

좌우대칭, 평균과 중앙값의 일치, 표준편차에 따른 곡선 모양 변화는 모두 정규분포의 옳은 특징이다.

검정통계량이 15.6으로 임계값 11.07보다 커서 귀무가설이 기각되므로 이 주사위는 공정하다고 볼 수 없다.

60회를 굴렸으므로 주사위가 공정하다면 각 눈의 기대도수는 $60\times\dfrac{1}{6}=10$이고, 관측도수는 차례로 13, 19, 11, 8, 5, 4이다.

$\chi^{2}=\sum\dfrac{(O_i-E_i)^{2}}{E_i}=\dfrac{3^{2}+9^{2}+1^{2}+2^{2}+5^{2}+6^{2}}{10}=\dfrac{156}{10}=15.6$

자유도는 6-1=5이고 유의수준 5%의 기각역 경계가 11.07이므로 $15.6>11.07$이어서 각 눈이 나올 확률이 모두 1/6이라는 적합도 가설을 기각한다. 특정 눈 하나만 이상하다고 지목하는 결론이나 시행 횟수가 부족하다는 결론은 이 검정에서 나오지 않는다.

모비율의 95% 신뢰구간은 $\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이므로 $0.8\pm1.96\sqrt{\dfrac{0.16}{500}}$이 된다.

표본비율은 $\hat{p}=\dfrac{400}{500}=0.8$이고, 이때 $\hat{p}(1-\hat{p})=0.8\times0.2=0.16$이다.

따라서 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.16}{500}}$이고 95% 신뢰수준의 $z$값은 1.96이다. 분산 0.16을 n으로 나눈 뒤 제곱근을 취해야 하므로, 0.8이나 0.16을 $\sqrt{500}$으로 그대로 나눈 식은 표준오차가 되지 못한다.

비복원추출이므로 표본평균의 분산에는 유한모집단 수정계수가 곱해져 $Var(\overline{X})=\dfrac{N-n}{N-1}\times\dfrac{\sigma^{2}}{n}$이 된다.

복원추출이라면 표본단위들이 서로 독립이어서 $Var(\overline{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}$이지만, 비복원이면 이미 뽑힌 단위가 다시 뽑히지 않아 단위 간에 음의 공분산이 생기고 그만큼 분산이 줄어든다.

그 감소분이 수정계수 $\dfrac{N-n}{N-1}$이다. n이 N에 가까워지면 0에 가까워져 전수조사 시 분산이 사라지고, N이 n보다 훨씬 크면 1에 가까워져 복원추출 결과와 같아진다. 수정계수를 뒤집어 쓰거나 $\sigma^{2}$을 n으로 나누지 않은 식은 이 성질을 만족하지 못한다.

양측 구간추정에서 모비율의 표본크기 공식은 $n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$이다. 95% 신뢰도(양측)에서 $\alpha/2 = 0.025$이므로 z₀.₀₂₅ = 1.96이고, 허용오차는 E = 0.02이다. 모비율에 대한 정보가 없을 때는 p = 0.5를 사용하여 표본크기를 최대화한다.
대입하면 $n = \frac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.02^2} = \frac{3.8416 \times 0.25}{0.0004} = \frac{0.9604}{0.0004} = 2,401$이다.

결정계수는 항상 0 이상 1 이하의 값을 가지므로, 범위가 -1까지 내려갈 수 있다는 설명이 틀렸다.

정의상 $R^{2}=\dfrac{SSR}{SST}=1-\dfrac{SSE}{SST}$이고 SST·SSR·SSE는 모두 제곱합이라 음수가 될 수 없으므로 $0\le R^{2}\le 1$이다. -1 이상이라는 범위는 상관계수 r의 범위와 혼동한 것이다.

• 회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 식은 총변동 중 회귀식이 설명하는 비율이라는 정의 그대로여서 옳다.
• SST가 일정한 상태에서 SSE가 작아지면 $1-\dfrac{SSE}{SST}$가 커지므로 결정계수는 커진다.
• 독립변수를 추가하면 SSE는 줄어들기만 하므로 결정계수는 증가하는 경향이 있고, 그래서 수정결정계수를 함께 본다.

합동분산(pooled variance)은 두 집단의 분산을 표본크기를 가중치로 하여 통합한 추정량이다.

공식은
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
이다. 인문사회계열: $n_1=10$, $s_1^2=300$, 공학계열: $n_2=20$, $s_2^2=370$을 대입하면,
$s_p^2 = \frac{(10-1) \times 300 + (20-1) \times 370}{10+20-2} = \frac{9 \times 300 + 19 \times 370}{28} = \frac{2700 + 7030}{28} = \frac{9730}{28} =$만원이다.

회귀계수의 유의성 검정에서 $(b_1-\beta_1)/\sqrt{MSE/S_{xx}}$ 형태의 통계량은 t-분포(자유도 n-2)를 따르는 것이지 F-분포를 따르지 않으므로, F(1, n-2)를 따른다는 설명이 옳지 않다.

단, 이 통계량을 제곱하면 F(1, n-2)와 동치가 되지만 해당 통계량 자체는 t-분포를 따른다.

• b₁은 정규오차 가정 하에서 N(β₁, σ²/S_xx)를 따르므로 옳은 설명이다.
• b₀도 β₀의 불편추정량이므로 옳은 설명이다.
• MSE도 σ²의 불편추정량이므로 옳은 설명이다.

유의확률 0.044는 유의수준 $\alpha=0.01$보다 크고 $\alpha=0.05$보다는 작다.

유의확률이 유의수준보다 작을 때 귀무가설을 기각하므로, 유의수준 1%에서는 $0.044 \gt 0.01$이라 기각할 수 없고, 유의수준 5%에서는 $0.044 \lt 0.05$이므로 기각할 수 있다.

합사건의 확률 공식 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$를 이용해 교사건의 확률을 구한다.

$0.8 = 0.5 + 0.6 - P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = 1.1 - 0.8 = 0.3$

60점 이상 90점 이하의 성적을 받은 학생 수는 약 205명이다.

평균 μ=75, 표준편차 σ=15일 때, 60점과 90점을 표준화하면 각각
$Z_1 = \frac{60-75}{15} = -1$, $Z_2 = \frac{90-75}{15} = 1$
이다. 구하는 확률은 $P(-1 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z < -1)$인데, 정규분포의 대칭성에 의해 $P(Z < -1) = P(Z \geq 1) = 0.159$이므로 $P(Z \leq 1) = 1 - 0.159 = 0.841$이다.

따라서
$P(-1 \leq Z \leq 1) = 0.841 - 0.159 = 0.682$
이고, 300명 중 해당하는 학생 수는 $300 \times 0.682 = 204.6 \approx 205$명이다.

두 모비율의 차이를 검정하므로 합동표본비율로 표준오차를 만든 Z통계량인 $Z=\dfrac{\frac{110}{250}-\frac{104}{200}}{\sqrt{\frac{214}{450}\left(1-\frac{214}{450}\right)\left(\frac{1}{250}+\frac{1}{200}\right)}}$이 옳다.

남자 찬성률은 $\hat{p}_1=\dfrac{110}{250}$, 여자 찬성률은 $\hat{p}_2=\dfrac{104}{200}$이고, 검정하려는 것이 '차이가 있는가'이므로 분자는 두 비율의 차여야 한다.

귀무가설이 두 비율이 같다는 것이므로 공통비율은 전체 찬성자수를 전체 표본수로 나눈 $\overline{p}=\dfrac{214}{450}$로 추정한다. 두 표본이 서로 독립이므로 차의 분산은 각 표본의 분산을 더해 $\overline{p}(1-\overline{p})\left(\frac{1}{250}+\frac{1}{200}\right)$가 되며, 분자를 합으로 쓰거나 표본크기 역수를 빼는 식은 성립하지 않는다.

추정 회귀식은 $\hat{y} = 0.5 + 0.5x$ 형태가 된다.

기울기
$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \dfrac{80}{160} = 0.5$
이고, 절편은 $\bar{x}=9, \bar{y}=5$를 이용해
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} = 5 - 0.5\times 9 = 0.5$
로 계산된다.

여러 해에 걸친 성장률·비율의 평균을 구할 때는 산술평균이 아니라 기하평균을 사용해야 한다.

산술평균은 단순 합산 자료의 대표값에 적합하고, 기하평균은 매년 곱해지는 방식으로 누적되는 성장률·이자율 같은 비율 자료의 평균을 정확히 반영한다.

평균(136.5cm)이 중앙값(130.0cm)보다 크다는 것은 분포가 오른쪽(큰 값 쪽)으로 긴 꼬리를 가진 비대칭분포임을 의미한다.

소수의 매우 큰 값이 존재하면 평균이 그 값들에 끌려 중앙값보다 커지는 오른쪽 비대칭(양의 왜도) 분포가 나타난다.

정규분포라면 평균과 중앙값이 일치해야 하므로, 이 자료는 정규분포라고 볼 수 없다.

독립성 검정의 기대도수 추정치는 해당 행의 합과 열의 합을 곱한 뒤 전체 도수로 나눈 값, 즉 $\hat{E}_{ij}=\dfrac{n_{i+}n_{+j}}{n}$이다.

두 변수가 독립이면 셀 확률이 주변확률의 곱이 되므로 $\hat{E}_{ij}=n\times\dfrac{n_{i+}}{n}\times\dfrac{n_{+j}}{n}=\dfrac{n_{i+}n_{+j}}{n}$로 정리된다.

행합과 열합을 곱하기만 하면 값이 n배 커져 도수가 될 수 없고, 행합이나 열합 어느 한쪽만 n으로 나눈 값은 행·열 중 한 방향 정보만 반영해 (i, j)셀의 기대도수가 되지 못한다. 이렇게 구한 값을 $\sum\sum\dfrac{(O_{ij}-\hat{E}_{ij})^{2}}{\hat{E}_{ij}}$에 넣으면 자유도 (M-1)(N-1)의 카이제곱분포를 따른다.

이항분포는 일정한 시행 횟수 안에서 성공·실패가 정해지는 경우에 적용되는 분포이다.

1시간 동안 전화교환대에 걸려오는 전화 횟수는 정해진 시행 횟수가 없고 일정 시간 동안 발생하는 사건의 수를 세는 것이므로 포아송분포를 따르며, 이항분포로 볼 수 없다.

• 주사위를 10번 던져 짝수가 나온 횟수는 n=10인 이항분포를 따른다.
• 5개 제품 중 불량품 개수는 n=5인 이항분포를 따른다.
• 자유투 3개 중 성공 횟수는 n=3인 이항분포를 따른다.

모표준편차를 알 수 없는 상태에서 두 독립집단(흑인·백인) 각 20명의 지능지수 평균을 단순 비교하는 경우에는 독립표본 t-검정이 가장 적합하다.

모분산을 알 수 없고 표본크기도 크지 않으므로 Z-검정 대신 t-분포를 이용하며, $\chi^2$-검정은 범주형 자료의 적합도·독립성 검정에, F-검정은 세 집단 이상의 평균 비교나 분산 비교에 쓰이므로 이 상황과 맞지 않는다.

적합도 검정통계량은 $\chi^2=\sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$이며, 공정한 주사위이면 각 눈의 기대도수는 $E_i=120/6=20$이다.
각 항을 계산하면 $(18-20)^2/20=0.2$, $(23-20)^2/20=0.45$, $(16-20)^2/20=0.8$, $(21-20)^2/20=0.05$, $(18-20)^2/20=0.2$, $(24-20)^2/20=0.8$이다.
이를 모두 더하면 $0.2+0.45+0.8+0.05+0.2+0.8=2.5$이므로 검정통계량은 2.5이다.

처리 평균제곱을 잔차 평균제곱으로 나눈 값이 검정통계량이며 F = 2.75이다.

총 관측값은 처리 3개 × 각 10개 = 30개이므로 처리 자유도는 3−1=2, 잔차 자유도는 30−3=27이다. 처리제곱합은 총 제곱합에서 잔차제곱합을 뺀 650−540=110이다.

평균제곱은 $MS_{처리}=\dfrac{110}{2}=55$, $MS_{잔차}=\dfrac{540}{27}=20$이다.
따라서 $F=\dfrac{55}{20}=2.75$.

F는 항상 제곱합이 아니라 자유도로 나눈 평균제곱끼리의 비이므로, 110/540처럼 제곱합을 그대로 나누면 안 된다.

총 제곱합을 요인별 제곱합으로 분해해 오차 대비 영향이 큰 요인을 찾아내는 기법은 분산분석이다.

지문의 핵심은 제곱합의 분해다. 총 제곱합을 요인(처리)제곱합과 오차제곱합으로 쪼갠 뒤 각각을 자유도로 나눈 평균제곱을 비교해, 요인의 변동이 오차의 변동보다 유의하게 큰지를 F비로 판정한다.

• 추정은 표본 통계량으로 모수의 값을 어림하는 절차일 뿐 제곱합을 분해하지 않는다.
• 상관분석은 두 변수의 직선적 관련성의 방향과 강도를 상관계수로 나타내는 기법이다.
• 회귀분석은 독립변수로 종속변수를 예측하는 함수관계를 추정하는 기법으로, 초점이 요인 간 변동 비교가 아니라 예측식에 있다.

일원배치모형에서 총평균 $\mu$는 상수이고, 처리효과 $a_i$는 모수(고정)효과이다. 둘 다 확률변수가 아니므로 서로 독립이라고 말할 대상이 아니다. 서로 독립이고 $N(0,\sigma^2)$를 따르는 것은 오차항 $\varepsilon_{ij}$이며, 그 분산은 모두 같다. 총 실험 횟수는 $k\times n$이고, $x_{ij}$는 i번째 처리의 j번째 관측값이다.

성공이 k번 이상일 확률은 성공 횟수가 k부터 n까지인 이항확률을 모두 더한 $\sum_{i=k}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$이다.

독립시행 n회에서 성공 횟수 X가 이항분포를 따를 때 성공이 정확히 i번일 확률은 $P(X=i)=\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$이며, p의 지수는 성공 횟수 i, (1−p)의 지수는 실패 횟수 n−i로 짝이 맞아야 한다.

'k번 이상'은 $P(X\ge k)$이므로 i를 k에서 n까지 움직이며 위 확률을 합산해야 한다.

• 합의 기호 없이 항 하나만 쓴 식은 성공이 '정확히 k번'일 확률이어서 '이상'을 표현하지 못한다.
• 성공확률 p에 실패 횟수의 지수를, 실패확률 (1−p)에 성공 횟수의 지수를 붙인 식은 성공과 실패를 뒤바꾼 잘못된 식이다.

U, V 모두 N(0, 2)의 분포를 갖는다.

X, Y가 서로 독립이고 각각 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로, E(X) = E(Y) = 0, Var(X) = Var(Y) = 1이다.

U = X + Y의 경우 E(U) = E(X) + E(Y) = 0이고, 독립성에 의해
Var(U) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 1 = 2
이므로 U ~ N(0, 2)를 따른다. V = X - Y의 경우 E(V) = E(X) - E(Y) = 0이고, 독립성에 의해
Var(V) = Var(X) + Var(-Y) = Var(X) + Var(Y) = 1 + 1 = 2
이므로 V ~ N(0, 2)를 따른다.