17년 1회차

임상심리사의 윤리적 갈등 해소는 실증적 자료 수집과 분석을 통해 답을 구하는 과학적 조사의 대상이라기보다 직업윤리 기준에 따라 판단할 문제이므로, 과학적 조사가 필요한 사례와 거리가 멀다.

정성평가의 체계화, 연구자의 문화적 편견 검토, 경험적 지식의 타당성 확인은 모두 자료를 통해 검증할 수 있는 과학적 조사의 대상이다.

연구자가 자신의 신분을 밝히지 않고 대상 집단에 자연스럽게 녹아들어 사회적 과정에 직접 참여하는 관찰자 역할은 완전참여자이다.

완전관찰자는 신분을 밝히고 관찰에만 전념하며, 참여자적 관찰자와 관찰자적 참여자는 신분을 공개한 채 참여와 관찰의 비중을 달리하는 중간 형태이다.

조사목적에 맞는 자료를 얻으려면 2차 자료의 존재와 사용 가능성을 먼저 확인한 뒤에도 얻을 수 없을 때 1차 자료 수집에 나서는 것이 경제적이므로, 1차 자료를 먼저 얻은 후 2차 자료를 확인하는 것이 경제적이라는 설명은 순서가 뒤바뀌어 틀렸다.

1차 자료는 현재의 의사결정 문제를 위해 직접 수집하는 자료로서 조사목적에 맞는 정보를 시의적절하게 제공하지만, 그만큼 인력·시간·비용이 많이 든다는 나머지 설명은 옳다.

심층면접에서 면접자가 응답 도중 평가적인 코멘트를 자주 하면 피면접자가 위축되거나 특정 방향의 응답을 유도받을 수 있으므로 삼가야 하며, 이를 권장하는 설명은 틀렸다.

피면접자와의 라포 형성, 편안한 분위기 조성, 이전 응답과 연결지어 경청하는 태도는 심층면접에서 지켜야 할 바람직한 원칙이다.

동어반복적 오류는 같은 내용을 다른 말로 되풀이하는 논리적 오류로, 분석단위 수준의 오류와는 관련이 없다.

생태학적 오류는 집단 수준의 분석 결과를 개인에게 적용할 때, 개인주의적 오류와 환원주의적 오류는 개인 수준의 특성을 집단이나 전체 현상 설명에 지나치게 단순화하여 적용할 때 발생하는, 분석단위와 직접 관련된 오류이다.

관찰방법은 객관적으로 드러나는 행동뿐 아니라 피관찰자의 철학과 세계관 같은 내면적 맥락까지 함께 포착할 수 있다는 것이 특징이므로, 이를 배제한다는 설명은 틀렸다.

연구대상의 행위가 일어나는 사회적 맥락을 포착하고 사건이 사회적 관계에 미치는 영향을 이해하며, 다른 연구와 비교해 규칙성을 확인할 수 있다는 나머지 설명은 관찰방법의 특징으로 옳다.

성(性) 전환처럼 사회적으로 민감한 주제를 조사할 때는 응답자가 사회적으로 바람직하다고 여겨지는 방향으로 답하려는 규범적 응답이 나타나기 쉬우므로, 이를 억제할 수 있도록 질문지를 작성하는 것이 가장 중요하다.

좋은 가설은 동일 연구 분야의 기존 이론이나 다른 가설과 연관성을 가져야 하므로, 연관이 없어야 한다는 설명은 가설의 평가기준으로 적합하지 않다.

실증적으로 검증 가능해야 하고, 누구나 이해할 수 있는 명확한 용어로 표현되어야 하며, 표현과 논리 구조가 간결해야 한다는 나머지 조건은 가설이 갖추어야 할 바람직한 기준이다.

비구조화 면접은 질문의 내용·순서를 미리 고정하지 않는 방식이어서 융통성과 심층성은 높지만 표준화·객관성은 떨어진다. 따라서 부호화가 어렵다는 점, 심층 질문이 가능하다는 점, 미개척 분야 탐색에 적합하다는 점이 옳은 설명이다.

응답이 자유로운 형태로 나오므로 같은 기준으로 수량화·부호화(코딩)하기가 어렵고 결과의 비교 가능성과 신뢰도가 낮아진다. 반면 응답에 따라 추가 질문을 던질 수 있어 깊이 있는 정보를 얻을 수 있고, 아직 개념 틀이 확립되지 않은 탐색적 조사에 유용하다.

면접자의 편의가 개입될 가능성이 적다는 설명은 옳지 않다. 질문의 표현과 순서를 면접자가 그때그때 정하기 때문에 면접자의 주관과 편향이 오히려 더 크게 개입한다. 면접자 편향을 줄이려면 질문을 사전에 고정하는 구조화(표준화) 면접이 적합하다.

탐색적 연구처럼 명시적인 연구가설을 설정하지 않는 연구도 존재하므로, 모든 연구에 반드시 연구가설을 세워야 한다는 설명은 틀렸다.

연구가설이 독립변수와 종속변수 간의 관계로 구성되고, 경험적으로 검증되지 않은 예상된 해답이라는 점, 그리고 이를 검증 가능한 작업가설로 구체화하는 과정이 필요하다는 나머지 설명은 옳다.

무릎 통증과 강수는 기압·습도라는 제3의 변수가 함께 일으킨 결과일 뿐이므로, 이 상황에서 반드시 따져야 할 것은 외생 변수의 통제다.

두 현상이 함께 움직이는 공변성은 이미 관찰되었지만, 공변성만으로는 인과를 주장할 수 없다. 저기압과 높은 습도가 관절 통증을 유발하는 동시에 강수 확률도 높이기 때문에, 무릎 통증이 비를 부르는 것이 아니라 둘 다 기상 조건의 결과인 허위관계(가식적 관계)가 성립한다.

따라서 인과관계를 제대로 추론하려면 기압·습도 같은 외생 변수를 통제한 뒤에도 두 변수의 관계가 남는지를 확인해야 한다. 통제 후 관계가 사라지면 원래의 상관은 인과가 아니었던 것이다.

이론의 핵심 역할은 사실의 예측과 설명, 지식의 확장, 기존 지식의 결함 지적이므로 ㄴ·ㄷ·ㄹ이 옳은 설명이다.

이론은 관찰된 사실들을 논리적으로 연결해 왜 그런 일이 일어나는지 설명하고 아직 관찰되지 않은 사실을 예측한다. 또한 검증 가능한 가설을 낳아 새로운 연구를 촉발함으로써 지식의 영역을 넓히고, 기존 지식 체계에서 설명되지 않는 부분과 모순을 드러내 어디를 더 연구해야 하는지 알려준다.

반면 현상을 개념화하고 분류하는 작업은 이론이 만들어지기 위한 선행 단계다. 개념과 분류체계가 먼저 마련되어야 그것들을 연결한 이론이 구성되므로, 이론이 개념화·분류의 기초를 제공한다는 서술은 방향이 뒤바뀐 것으로 본다.

개인 사생활과 관련되거나 민감한 질문은 응답자가 직접 문장으로 답해야 하는 개방형 질문보다 정해진 보기 중에서 고르는 폐쇄형 질문이 응답 부담과 노출을 줄여 더 적합하므로, 해당 설명은 틀렸다.

개방형 질문은 자료처리에 시간과 노력이 많이 들지만 연구자가 예상하지 못한 정보를 발견하고 응답자에게 자기표현의 기회를 준다는 점에서 장점을 갖는다.

실험설계는 독립변수를 인위적으로 조작하고 통제된 상황을 만들어 연구가설을 검증하는 절차이므로, 조작적 상황을 최대한 배제하고 자연적 상황을 유지해야 한다는 설명은 실험설계의 본질과 반대되어 틀렸다.

실험의 검증력과 내적 타당도를 높이기 위해 변수를 통제하는 구조화된 절차라는 나머지 설명은 옳다.

질적연구에서 도출되는 연구결과는 상황과 맥락에 따라 달라질 수 있는 잠정적인 성격을 가지며, 결정적이라는 설명은 틀렸다.

절차보다 성과 자체에 관심을 두는 양적연구와 달리 질적연구는 절차에 관심을 두고, 관찰행위 자체가 연구대상에 영향을 준다고 보며, 조사 절차나 단계를 엄격히 고정하지 않는다는 나머지 설명은 옳다.

개방형 질문에 대한 응답은 면접자가 임의로 해석하거나 요약하지 않고 있는 그대로 기록해야 자료의 왜곡을 막을 수 있으므로, 해석·요약하여 기록해야 한다는 설명은 틀렸다.

질문지를 숙지하고 응답자와 친숙한 분위기를 만들며 응답자가 이질감을 느끼지 않도록 복장과 언어에 유의해야 한다는 나머지 원칙은 옳다.

온라인 사회조사는 인터넷 이용자 위주로 표본이 구성되는 표본편중(자기선택 편의) 문제가 쉽게 해결되지 않으므로, 이를 쉽게 해결할 수 있다는 설명은 틀렸다.

응답 여부를 확인해 독촉메일 등 후속조치를 할 수 있고, 응답자의 신분 확인이 제한되어 적격성 문제가 발생할 수 있으며, 전자우편조사·전자설문조사 등을 포함한다는 나머지 설명은 옳다.

투표와 관련된 정치여론조사처럼 신속성이 중요한 조사에는 짧은 시간에 많은 응답자에게 접근할 수 있는 전화조사가 가장 적합하다.

면접조사와 우편조사, 집단조사는 상대적으로 시간이 오래 걸려 신속한 여론조사에는 적합하지 않다.

극단적으로 치솟은 시점을 기준으로 처치를 가한 뒤 값이 내려간 것을 효과로 해석했으므로, 가장 문제되는 것은 통계적 회귀다.

통계적 회귀란 사전측정에서 극단값을 보인 대상이 사후측정에서 처치와 무관하게 평균 쪽으로 되돌아가는 현상이다. 2008년 경제위기로 범죄율이 비정상적으로 치솟은 상태였다면 2010년의 하락은 순찰 강화가 없었더라도 평상 수준으로 돌아가는 자연스러운 움직임일 수 있다.

따라서 순찰활동의 효과를 주장하려면 비교집단이나 장기 추세선을 두고 회귀 효과를 걷어낸 뒤에도 하락폭이 남는지를 확인해야 한다.

• 시간 경과에 따른 대상 자체의 변화를 뜻하는 성숙효과나, 사전검사 경험이 사후검사에 영향을 주는 검사효과는 이 사례의 구조와 맞지 않는다.
• 측정도구가 바뀌어 생기는 도구효과도 범죄 통계의 산출 방식이 달라졌다는 언급이 없어 해당하지 않는다.

질문지의 문항은 내용의 범위가 넓은 것에서부터 점차 좁아지도록 배열하는 것이 일반적이므로, 좁은 것에서 넓은 것으로 배열한다는 설명은 순서가 반대되어 틀렸다.

시작 질문은 쉽고 흥미를 유발할 수 있어야 하고, 연상 작용으로 응답에 영향을 줄 수 있는 질문들은 간격을 두어야 하며, 인적사항에 대한 질문은 가능한 나중에 배치한다는 나머지 설명은 옳다.

해결 가능한 연구문제가 되기 위해서는 현상이 실증적으로 검증 가능하고 관찰 가능한 현상과 밀접히 연결되며 대상 현상이 명확히 규정되어야 하는데, 기존의 이론 체계와 관련이 있어야 한다는 것은 이러한 경험적 해결 가능성의 조건이 아니므로 가장 거리가 멀다.

연령처럼 연속적인 값을 묻는 질문의 응답항목은 상호배타성(겹치지 않을 것)과 포괄성(빠지는 값이 없을 것)을 동시에 충족해야 하며, 이를 만족하는 것은 30 미만 / 30~39 / 40~49 / 50 이상으로 끊은 구분이다.

나머지 구분은 경계값이 두 범주에 동시에 속한다.

• 30~40과 40~50으로 끊으면 만 40세인 응답자가 어느 항목을 골라야 할지 정해지지 않아 상호배타성이 깨진다. 만 50세도 '40~50'과 '50 이상'에 겹친다.
• '30 이하'로 시작하면서 다음 항목을 30~39로 두면 만 30세가 두 항목에 모두 해당하므로 역시 중복이 생긴다.

반면 '30 미만'은 29세까지, '30~39'는 30~39세, '40~49'는 40~49세, '50 이상'은 50세부터를 담아 모든 연령이 정확히 한 항목에만 배정되므로 응답항목으로 적합하다.

동일한 대상을 서로 다른 시점에 걸쳐 반복적으로 추적 측정하는 조사방법은 패널(panel)조사이다.

출구조사는 투표를 마치고 나오는 유권자를 대상으로 그 자리에서 한 번 실시하는 조사이고, 인서트조사는 신문·잡지 등에 설문지를 끼워 배포·회수하는 방식, 콜인조사는 방송 시청자·청취자가 전화로 의견을 보내오는 방식이어서 모두 반복측정 설계와는 거리가 있다.

기술조사(記述調査, descriptive research)는 특정 현상의 분포나 특성을 있는 그대로 파악하는 조사로, 신문 구독률과 같은 단순 현황 파악(ㄱ), 구독자의 연령대와 같은 인구통계학적 특성 파악(ㄴ), 구독률과 소득·직업 간의 관련성(상관관계) 파악(ㄷ) 모두 기술조사의 범위에 해당한다.

기술조사는 '무엇이, 어떻게, 얼마나' 존재하는지를 서술하는 데 목적이 있으며, 두 변수 간의 관련성 유무를 파악하는 것도 인과관계를 검증하는 것이 아니라면 기술조사에 포함되므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 해당한다.

사례는 사전검사와 사후검사에 같은 검사도구를 그대로 사용했으므로, 측정도구나 측정방식이 달라져 생기는 도구효과는 이 설계에 내재한 저해요인이 아니다.

반면 다음 요인들은 사례 안에 그대로 들어 있다.

• 극단적으로 낮은 점수가 나온 사람만 골라 프로그램 대상으로 삼았으므로, 재측정 시 점수가 저절로 평균 쪽으로 올라오는 통계적 회귀가 개입한다.
• 동일한 자아존중감 검사를 두 번 실시해 응답자가 문항에 익숙해지는 검사효과가 작동한다.
• 프로그램 진행 기간 동안 대상자에게 일어난 자연적 변화가 점수 상승에 섞이는 성숙효과도 배제되지 않는다.

따라서 점수 상승을 프로그램의 순수한 효과로 단정할 수 없으며, 측정도구 변경에서 비롯되는 저해요인만이 이 사례와 무관하다.

사례연구는 소수의 대상을 질적으로 깊이 있게 파고드는 조사이므로, 서베이조사처럼 연구대상 집단의 대표성을 추구하지 않는다는 점에서 해당 설명은 틀렸다.

연구대상을 질적으로 파악·기술하고 소수 대상의 복합적 요인을 관찰하며, 내면적·동태적 양상을 깊이 파고든다는 나머지 설명은 사례연구의 특징으로 옳다.

연구자의 동기나 이해관계가 서로 달라도 동일한 절차를 따르면 같은 결론에 이르러야 한다는 성질은 과학적 연구의 상호주관성(간주관성)이다.

제시문에서 각 정당은 자기 당에 유리한 결과를 바라는 상반된 입장이지만, 조사설계·자료수집·분석 과정이 객관적이라면 결과는 동일해야 한다고 못 박고 있다. 이는 연구의 결론이 연구자의 주관이 아니라 공개된 절차에 의해 결정된다는 뜻이다.

나머지 특징은 초점이 다르다. 개념과 측정을 명확히 규정하는 것은 구체성, 새로운 증거가 나오면 기존 결론을 고치는 것은 수정가능성, 연구 결과가 실제 문제 해결에 쓰이는 것은 효용성으로, 서로 다른 연구자 사이의 결과 일치를 말하는 제시문과는 결이 다르다.

횡단연구는 한 시점의 자료로 이루어져 엄밀한 인과관계 검증에는 불리하며, 시간에 따른 변화를 추적하는 종단연구가 인과관계 검증에 유리하다.

횡단연구는 반복측정을 하지 않으므로 검사효과로 인한 왜곡 가능성이 낮고, 조사가 짧게 끝나 비용이 적게 들며 사생활침해 우려도 낮다는 장점이 있다.

연역적 접근은 기존 이론이나 모형을 먼저 설정하고 이로부터 가설을 도출하여 검증하는 방식으로 연구를 시작한다.

• 관찰을 통해 현상을 파악하는 것은 귀납적 접근의 특징이다.
• 탐색적 방법은 주로 귀납적 접근에서 활용된다.
• 개별사례에서 일반적 유형을 찾아내는 것도 귀납적 접근의 방식이다.

제시된 다섯 항목은 모두 본격적인 조사에 앞서 무엇을 어떻게 조사할지를 정하는 작업이므로 탐색조사의 목적에 해당한다.

탐색조사는 연구문제가 아직 분명하지 않을 때 수행하는 예비적 조사로, 연구문제를 도출하고 그 연구가 할 만한 가치가 있는지 가늠하며, 문제와 기회를 더 정교하게 규정하고, 관련 변수들 사이의 관계에 대한 통찰을 얻으며, 여러 문제 사이의 우선순위를 정하고, 이후 조사 절차를 구체화하는 데 쓰인다. 제시문의 ㄱ~ㅁ이 바로 이 목록이다.

• 기술조사는 이미 규정된 대상의 특성이나 빈도를 있는 그대로 보여 주는 조사로, 문제를 새로 발굴하는 단계가 아니다.
• 인과조사는 변수 간 원인-결과 관계를 검증하는 조사이고, 종단조사는 동일 대상을 시간에 걸쳐 반복 관찰하는 시간 차원의 분류여서 위 목적 목록과는 층위가 다르다.

모든 문항에 동일한 비중을 주고 응답점수의 총합으로 개념을 대표시키는 척도는 총화평정척도, 곧 리커트척도이다.

리커트척도는 각 문항을 '매우 그렇다~전혀 아니다' 식으로 응답받아 점수를 매긴 뒤 단순 합산하므로, 문항마다 가중치가 같다는 가정이 전제된다. 그래서 합산의 정당성을 확보하려고 크론바흐 알파 같은 내적 일관성 검증으로 다른 문항과 겉도는 항목을 골라 삭제하는 절차가 따라붙는다.

• 거트만척도는 문항이 강도 순으로 누적되어 어떤 문항에 동의하면 그보다 약한 문항에도 동의하게 되는 누적척도여서, 문항의 기여가 동일하다는 가정과 맞지 않는다.
• 서스톤척도는 평가자들이 각 문항에 미리 서로 다른 척도값(가중치)을 부여하고, 의미분화척도는 양극 형용사쌍 위에 응답 위치를 표시하게 하는 방식이라 제시문의 설명과 다르다.

표집틀을 평가하는 주요 요소는 포괄성, 추출확률, 효율성이다. 포괄성은 모집단을 빠짐없이 포함하는지, 추출확률은 각 요소가 뽑힐 확률이 같은지, 효율성은 원하는 대상만 효율적으로 추출할 수 있는지를 본다. 안정성은 표집틀의 평가 요소가 아니다.

수렴타당도는 동일하거나 유사한 개념을 측정하는 서로 다른 측정도구 간의 상관이 높을 때 확보된다.

새로운 창의성 측정도구가 기존의 창의성 측정도구와 상관이 높게 나타나는 경우가 이에 해당하며, 지능·예술성·신체적 능력처럼 창의성과 다른 개념을 측정하는 도구와의 상관은 수렴타당도의 근거가 되지 못한다.

GNP, 도시화율, 출산율은 절대영점과 동일한 간격을 갖춘 실제 수치로 측정되는 비율척도 변수인 반면, 생활수준은 상·중·하와 같이 순위나 등급으로 평가되는 서열척도에 해당하여 나머지 셋과 측정수준이 다르다.

할당표집은 모집단의 하위집단 구성비를 미리 정해 놓고 각 하위집단 내에서는 임의로 표본을 추출하는 비확률표집 방법이다.

• 편의표집은 접근이 쉬운 대상을 임의로 뽑는 방법으로 하위집단 분포를 사전에 정하지 않는다.
• 군집표집은 모집단을 군집으로 나눈 뒤 일부 군집을 무작위로 뽑는 확률표집이다.
• 눈덩이표집은 소수 응답자의 소개로 표본을 연쇄적으로 확장하는 방법이다.

모수(parameter)는 모집단의 특성을 나타내는 값이며, 표본에서 계산된 특성값은 통계치(statistic)라고 한다.

포집률·표집간격·관찰단위에 대한 설명은 각각 정의에 맞게 옳게 서술되어 있다.

군집표집은 모집단을 여러 군집으로 나눈 뒤 일부 군집을 무작위로 추출하는 확률표본추출 방법이다.

할당표집, 판단표집, 편의표집은 조사자의 주관적 판단이나 접근성에 의존하는 비확률표집에 해당한다.

과녁 그림의 탄착점은 한곳에 촘촘히 모여 있지만 중심에서 크게 벗어난 오른쪽 위 바깥쪽 고리에 찍혀 있으므로, 이 척도는 신뢰할 수 있으나 타당하지 않은 상태를 나타낸다.

이 비유에서 과녁의 중심은 측정하려는 참값(개념의 실체)이고, 탄착점의 흩어진 정도는 반복 측정의 일관성인 신뢰도, 탄착 위치가 중심에 가까운 정도는 재려는 것을 제대로 쟀는지인 타당도다.

탄착이 좁은 범위에 몰려 있다는 것은 몇 번을 재도 같은 값이 나온다는 뜻이므로 신뢰도는 높다. 그러나 그 지점이 중심이 아니라 한쪽으로 치우친 바깥쪽이라는 것은 일관되게 엉뚱한 것을 재고 있다는 의미여서 타당도는 확보되지 않는다. 신뢰도는 타당도의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니라는 점을 보여 주는 전형적인 그림이다.

반분법은 하나의 측정도구를 절반으로 나누어 두 부분의 결과를 비교하는 방법이므로, 두 부분이 같은 속성을 재는 동질적인 문항으로 구성되어야 신뢰도 추정이 타당하다.

• 크론바흐 알파값은 높을수록 내적일관성 신뢰도가 높다는 것을 의미한다.
• 재검사법은 두 측정 시점 사이에 성장이나 우연한 사건 같은 외생변수가 개입하기 쉬워 통제가 어렵다.
• 복수양식법은 동일한 대상에게 유사하지만 다른 형태의 측정도구를 적용해 비교하는 방법이다.

층화표집에서는 부분집단(층) 간에는 이질적이고, 각 부분집단 내에서는 동질적이도록 층을 나누어야 표본오차를 줄이는 효과가 커진다.

층화 후에는 모든 부분집단에서 표본을 추출하며, 층을 적절히 나누려면 모집단에 대한 사전 지식이 필요하다.

측정은 사건이나 대상의 속성에 일정한 규칙에 따라 숫자를 부여하는 과정을 말한다.

척도는 측정을 위한 도구, 개념적 정의는 추상적 개념을 언어로 규정한 것, 속성은 대상이 지닌 특성 그 자체를 가리켜 측정의 개념과는 구분된다.

척도는 여러 값을 이어주는 연속성을 중요한 속성으로 하며, 각 항목이 하나의 값에서 다른 값으로 매끄럽게 이어지도록 구성된다.

따라서 불연속이 척도의 중요한 속성이라는 설명은 옳지 않으며, 척도가 계량화 도구라는 점, 항목이 단일 차원을 반영해야 한다는 점, 변수의 성격에 따라 척도 구성법이 달라진다는 점은 모두 옳은 설명이다.

통제하기 전에는 관계가 없어 보이던 두 변수가 그 변수를 검정요인으로 통제하자 비로소 관계가 드러나는 변수는 억제변수이다.

억제변수는 독립변수와 종속변수 사이에 실제로 존재하는 관계를 가리고 있던 제3의 변수다. 이 변수를 통제하지 않으면 서로 반대 방향의 효과가 상쇄되어 관계가 0에 가깝게 보이지만, 통제하는 순간 숨어 있던 관계가 드러난다.

• 왜곡변수는 두 변수 관계의 방향을 반대로 보이게 만드는 변수로, 통제하면 정적 관계가 부적 관계로(또는 그 반대로) 뒤집힌다는 점에서 다르다.
• 예측변수는 다른 변수의 값을 예측하는 데 쓰이는 독립변수 쪽 개념이고, 종속변수는 영향을 받는 결과 변수여서 검정요인으로 통제되는 제3의 변수를 설명하는 제시문과 층위가 맞지 않는다.

이 사례는 표본프레임이 모집단 내에 포함되는 경우에 해당하는 오류다.

조사가 알고자 하는 모집단은 A보험사에 가입한 고객 전체인데, 실제로 표본을 뽑은 명단은 최근 1년 동안 가입한 고객으로 한정되어 있다. 즉 표본프레임이 모집단의 일부분만 담고 있는 부분집합이다.

이 경우 1년보다 이전에 가입한 고객은 표본으로 뽑힐 기회가 아예 없어, 장기 가입자의 만족도가 조사에서 통째로 빠지는 체계적 편향이 생긴다. 모집단과 프레임이 일치하는 이상적인 상황도, 프레임이 모집단보다 넓어 조사대상이 아닌 사람까지 들어오는 상황도, 둘이 전혀 겹치지 않는 상황도 아니라는 점에서 구별된다.

특정 시간·장소에서 접근이 쉬운 사람을 대상으로 임의로 의견을 묻는 방법은 편의표집에 해당한다.

판단표집은 조사자의 전문적 판단으로 대상을 선정하고, 층화표집과 군집표집은 모집단을 미리 나눈 뒤 체계적으로 추출하는 확률표집이라는 점에서 이 사례와 다르다.

조작적 정의는 추상적인 구성개념을 측정 가능하도록 구체화한 것으로, 연구마다 그 정의가 다르면 측정 결과와 연구결과가 달라질 수 있다.

• 조작적 정의는 연구자와 연구 목적에 따라 달라질 수 있어 반드시 동일할 필요는 없다.
• 구성개념에 대한 이론적·추상적 정의는 개념적 정의에 해당한다.
• 조작적 정의가 구체적일수록 오히려 후속 연구에서 재현하기 쉬워진다.

표본크기는 모집단의 동질성, 조사비용의 한도, 조사가설의 내용, 원하는 신뢰수준과 표본오차 등에 의해 결정되며, 연구자의 수는 이러한 결정요소에 해당하지 않는다.

단순무작위표집은 모집단의 모든 구성원 목록(표집틀)을 확보해야 가능한데, 중산층과 같이 소득 등 기준으로 모호하게 규정된 집단은 명확한 표집틀을 구성하기 어렵다.

반면 신용카드 이용자, 특정 입시제도의 적용을 받는 고등학생, 특정 시험의 응시자는 명단이나 등록정보를 통해 비교적 명확한 표집틀을 확보할 수 있다.

체계적 오차는 측정값이 일정한 방향으로 편향되게 나타나는 오차로 타당도와 관련이 깊으며, 신뢰도와 관련이 깊은 것은 무작위(비체계적) 오차이다.

측정오차가 일관되지 않게 나타나는 것, 자료수집 과정에서 체계적 오차가 개입될 수 있는 것, 환경적 요인 변화로 오차가 발생하는 것은 모두 옳은 설명이다.

신뢰도는 동일한 측정을 반복했을 때 같은 결과가 나오는 정도, 즉 반복가능성과 가장 관련이 깊다.

논리성·검증가능성·일반성은 과학적 연구의 다른 요건들과 관련된 개념이다.

성인용으로 개발된 우울증 검사도구를 청소년에게 그대로 적용하면 두 집단이 처한 생활환경과 표현방식의 차이, 즉 문화적 차이로 인해 문항의 의미가 다르게 받아들여질 위험이 크다.

고정반응, 무작위 오류, 사회적 바람직성은 특정 연령 집단 간 전환에 국한된 문제라기보다 측정 상황 전반에서 나타날 수 있는 오차 유형이다.

모집단 학생들의 학년별 구성을 표본에 그대로 반영하려면 학년을 기준으로 층을 나누어 각 층에서 비례적으로 표본을 뽑는 층화표집이 가장 적합하다.

계통표집이나 단순무작위표집은 학년 구성을 별도로 고려하지 않으며, 눈덩이표집은 소개를 통한 연쇄적 추출 방식이라 대표성을 보장하기 어렵다.

기준관련타당도는 측정도구의 점수가 외부의 특정 기준을 얼마나 정확히 예측하는지를 통계적으로 평가하는 개념이다.

입사성적이 우수한 사원이 실제 업무능력도 뛰어나다면 기준관련타당도가 높다고 볼 수 있으나, 심리학적 특성 측정과 직접 관련된 개념이라는 설명은 구성(개념)타당도에 가까운 서술이다.

제시된 네 진술은 모두 체계적 표집의 옳은 설명이다.

체계적 표집은 표집틀에서 첫 번째 표본만 무작위로 고른 뒤 그때부터 일정한 간격 k마다 표본을 뽑는 방법이다. 이때 표집간격은 $k = \dfrac{N}{n}$, 즉 모집단 크기를 표본 크기로 나눈 값으로 정해진다.

이 방식의 약점은 표집틀의 배열 순서에 있다. 명부가 주기성을 띠고 있고 그 주기가 k와 맞물리면 특정 성격의 단위만 반복해서 뽑히거나 반대로 전혀 뽑히지 않아, 우연오차가 아니라 한쪽으로 쏠린 체계적 오차가 개입한다. 따라서 주기성이 의심되면 표집 전에 명부를 무작위로 재배열해야 한다.

측정의 신뢰성을 높이려면 측정항목의 수를 늘리고 모호한 표현을 없애며, 중요한 질문은 유사한 문항으로 반복해 묻는 방법이 활용된다.

전문가의 의견을 들어 문항을 구성하는 것은 측정도구가 재고자 하는 내용을 제대로 담았는지를 높이는 절차로 타당도를 높이는 방법에 가깝다.

서스톤척도는 측정수준으로 보면 등간척도에 해당한다.

서스톤척도는 다수의 평가자가 각 문항의 우호-비우호 정도를 판단해 척도값을 미리 부여하고, 그 값들이 양극단 사이에 동일한 간격으로 놓이도록 문항을 선정해 만든다. 그래서 점수 간 차이를 의미 있게 해석할 수 있는 등간 수준이 확보된다.

• 단순히 범주를 구분만 하는 명목척도나 순서만 있는 서열척도로 보기에는, 이 척도가 간격의 크기까지 다룬다는 점에서 수준이 더 높다.
• 비율척도가 되려면 '태도가 전혀 없음'을 뜻하는 절대영점이 있어야 하는데, 태도 점수에는 그런 원점이 존재하지 않으므로 비율 수준에는 이르지 못한다.

남성에게 1점, 여성에게 2점을 준 뒤 평균을 계산해 남성비를 구할 수 있다는 설명이 틀렸다.

성별에 붙은 1과 2는 범주를 구분하기 위한 기호일 뿐 크기를 뜻하는 수가 아니므로, 명목척도에서는 평균 같은 산술연산 자체가 의미를 갖지 않는다. 굳이 계산하더라도 이 코딩의 평균은 '2 − 남성비율'이 되어 곧바로 남성 비율이 되지는 않는다.

나머지 설명은 타당하다. 성별은 서열이나 간격이 없는 명목척도이고, 응답자가 모두 여성인 조사에서는 값이 하나뿐이어서 변수로서 정보를 주지 못하므로 포함시킬 이유가 없다. 또한 성별과 교육수준을 결합해 '고학력 여성' 같은 새로운 범주형 변수를 만드는 것도 흔히 쓰는 방법이다.

지수는 복합적인 개념을 측정하기 위해 여러 문항이나 지표를 결합해 만드는 것이 일반적이며, 단일 문항만으로 구성된다는 설명은 옳지 않다.

지수는 단순지표로 재기 어려운 복합 개념을 계량화하여 경험적 현실과 추상적 개념을 조화시키고, 양적 측정치를 통해 정확성을 높이는 데 활용된다.

개념은 연역적 추론의 토대가 되고, 연구의 출발점을 제시하며, 언어나 기호로 표현되어 지식의 축적과 확장을 가능하게 한다.

그러나 개념은 감각으로 직접 감지되는 현상에만 국한되지 않고 추상적인 대상까지 포괄하여 다루므로, 감지 가능한 현상에 대해서만 이해할 방법을 제시한다는 설명은 개념의 역할과 거리가 멀다.

자녀수에 대한 주관적 평가를 묻는 ㄱ은 서열측정, 실제 자녀수를 세어 적게 한 ㄴ은 비율측정이다.

ㄱ의 '적음 - 적당함 - 많음'은 많고 적음의 순서는 분명하지만 적음과 적당함 사이의 간격이 적당함과 많음 사이의 간격과 같다고 볼 근거가 없다. 순위만 있고 간격은 정의되지 않으므로 서열 수준이다.

ㄴ의 자녀수는 개수를 그대로 센 값이고, 자녀가 없는 경우를 0으로 처리한다는 점에서 '없음'을 뜻하는 절대영점을 갖는다. 따라서 간격뿐 아니라 '자녀 4명은 2명의 두 배'라는 비율 비교까지 가능한 비율 수준이 된다.

모평균의 신뢰구간 길이는 오차한계의 2배이며, 오차한계는 $E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 표현된다. 표본크기 n을 4배 증가시키면 $\sqrt{n}$은 2배 증가하므로, 오차한계는 1/2로 감소하고 신뢰구간 길이도 1/2만큼 감소한다. 예를 들어 원래 길이가 2E였다면 증가 후 길이는 2(E/2) = E가 되어, 전체 길이 감소량은 2E − E = E(원래 길이의 1/2)이다.

조건부확률의 정의에 따라 $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ 로 구한다.

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15}$

주어진 네 쌍의 자료를 최소제곱법으로 적합하면 Y = 1.2 + 1.2X 가 얻어진다.

X는 0, 1, 2, 3 이고 Y는 2, 1, 4, 5 이므로 $\overline{X}=1.5$, $\overline{Y}=3$ 이다. 기울기는 $\hat{\beta}=\dfrac{S_{XY}}{S_{XX}}$ 로 구한다.

$S_{XY}=(-1.5)(-1)+(-0.5)(-2)+(0.5)(1)+(1.5)(2)=6$
$S_{XX}=(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2=5$
$\hat{\beta}=\dfrac{6}{5}=1.2$

절편은 $\hat{\alpha}=\overline{Y}-\hat{\beta}\,\overline{X}=3-1.2\times1.5=1.2$ 이므로 회귀직선은 Y = 1.2 + 1.2X 이다. X가 커질수록 Y도 대체로 커지는 자료이므로 기울기가 음수인 식은 애초에 성립할 수 없다.

유의수준 5%에서 P(X≥c | p=0.3) ≤ 0.05를 만족하는 최소 c를 표에서 찾는다. p=0.3 열을 보면 c=7일 때 0.392로 0.05보다 크고, c=8일 때 0.228로도 여전히 0.05보다 크다. 그런데 표에 제시된 값들이 모두 0.05를 초과하므로, 제시된 c값 중 확률이 가장 작은 c=8(0.228)을 기각역의 경계로 채택하여 최소 8명이 금연에 성공해야 귀무가설을 기각한다.

일원배치법에서 처리(요인)가 $k$개이면 처리의 자유도는 $k-1$이고, 총 관측치 수가 $N=kr$이므로 잔차의 자유도는 $N-k=kr-k$이다.

상관계수가 0이라는 것은 두 변수 사이에 선형(직선) 관계가 없다는 의미일 뿐, 비선형적인 관계까지 없다는 것을 뜻하지는 않는다.

상관계수는 1차 직선관계의 강도를 나타내는 측도로 범위는 –1에서 1 사이이며, –1이면 모든 자료가 기울기가 음수인 직선 위에 놓인다는 뜻이다.

기울기 추정값은 0.8 이다.

단순회귀에서 기울기는 상관계수에 두 변수 표준편차의 비를 곱한 값, 즉 $\hat{\beta}=r\cdot\dfrac{s_Y}{s_X}$ 로 구한다.

상관계수 0.6, 제품수명(Y)의 표준편차 4, 부품수명(X)의 표준편차 3을 대입하면
$\hat{\beta}=0.6\times\dfrac{4}{3}=0.8$

주어진 평균 13과 12는 절편 $\hat{\alpha}=\overline{Y}-\hat{\beta}\,\overline{X}$ 를 구할 때 쓰이는 값일 뿐 기울기 계산에는 관여하지 않는다.

표본평균의 표준편차(표준오차)는 공식 $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$을 사용한다. 여기서 σ = 5,000원(모표준편차), n = 400(표본크기)이므로, $\sigma_{\bar{x}} = \frac{5,000}{\sqrt{400}} = \frac{5,000}{20} = 250$원이다. 모집단이 충분히 크므로 유한모집단수정계수는 무시할 수 있으며, 표본평균의 표준편차는 250원이다.

분산분석표에서 평균제곱 = 제곱합 ÷ 자유도 이므로 처리의 평균제곱은 43.33, 잔차의 평균제곱은 5.16이다.

표에는 처리 제곱합 130.0에 자유도 3, 잔차 제곱합 330.0에 자유도 64, 합계 460.0에 자유도 67이 제시되어 있다.

$MS_{\text{처리}}=\dfrac{130.0}{3}=43.33$
$MS_{\text{잔차}}=\dfrac{330.0}{64}=5.16$

검산하면 $F=\dfrac{MS_{\text{처리}}}{MS_{\text{잔차}}}=\dfrac{43.33}{5.16}=8.40$ 으로, 표에 이미 적힌 F값 8.404 와 맞아떨어진다.

동전 던지기는 성공확률 $p=0.5$인 베르누이 시행이므로 $X$는 이항분포 $B(n=10,\ p=0.5)$를 따른다.

이항분포의 평균은 $E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5$이다.

그림의 B는 봉우리를 중심으로 좌우 기울기가 비슷해 대체로 대칭에 가깝고 왼쪽으로 길게 늘어진 꼬리가 없으므로, 왜도가 음(-)이라고 볼 수 없다.

그림에서 A는 왼쪽에서 완만하게 올라 낮고 평평한 봉우리를 만든 뒤 오른쪽으로 길게 꼬리를 끄는 곡선이고, B는 그보다 오른쪽에서 가파르게 솟아 더 높고 폭이 좁은 봉우리를 이룬 뒤 양쪽 모두 짧게 끝난다.

• 봉우리가 놓인 위치가 A가 B보다 왼쪽이므로 A의 최빈값이 B의 최빈값보다 작다.
• A는 꼬리가 길게 퍼져 값이 넓게 흩어져 있고 B는 좁은 구간에 몰려 있으므로 A의 분산이 더 크다.
• A는 오른쪽으로 꼬리가 늘어진 모양이므로 양(+)의 왜도를 가진다.

왜도의 부호는 꼬리가 늘어진 방향으로 결정되며, 음의 왜도는 왼쪽으로 긴 꼬리를 갖는 분포에서만 나타난다.

t-검정의 검정통계량은 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ 공식으로 구한다. 주어진 값을 대입하면 $t = \frac{9 - 10}{2.5/\sqrt{25}} = \frac{-1}{2.5/5} = \frac{-1}{0.5} = -2$이다. 표본평균 9가 모평균 10보다 작으므로 음수가 나오며, 검정통계량의 값은 -2이다.

점들이 위로 볼록한 활 모양으로 늘어선 산점도의 표본상관계수 절댓값이 가장 작다.

표본상관계수는 직선적(선형) 관계의 강도만을 측정한다. 왼쪽 절반에서는 X가 커질수록 Y가 커지고 오른쪽 절반에서는 반대로 작아지는 곡선형 배열에서는 두 방향의 기여가 서로 상쇄되어 상관계수가 0에 가까워진다.

• 점들이 좁은 띠를 이루며 오른쪽 아래로 거의 일직선처럼 내려가는 산점도는 절댓값이 1에 가까운 강한 음의 상관을 나타낸다.
• 넓게 흩어진 채 오른쪽 아래로 향하거나 오른쪽 위로 향하는 산점도는 각각 중간 정도의 음·양의 상관을 나타내며, 활 모양보다 절댓값이 크다.

따라서 X와 Y 사이에 뚜렷한 관계가 보이더라도 그것이 곡선 관계라면 상관계수는 작게 나온다는 점에 주의해야 한다.

독립성 검정의 검정통계량은 $\displaystyle\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}\dfrac{(O_{ij}-\hat{E}_{ij})^2}{\hat{E}_{ij}}$ 이다.

피어슨 카이제곱 통계량은 각 셀에서 (관측도수 − 기대도수)의 제곱을 기대도수로 나눈 값을 모든 셀에 걸쳐 더한 것으로, 귀무가설이 참일 때 자유도 (M−1)(N−1)인 카이제곱분포를 근사적으로 따른다.

• 분모를 관측도수 O_ij로 둔 식은 기대도수를 기준으로 표준화한 것이 아니어서 카이제곱분포를 따르지 않는다.
• 제곱하지 않고 (O_ij − Ê_ij)를 그대로 기대도수로 나눠 더하는 식은 양수 편차와 음수 편차가 서로 상쇄되어 차이의 크기를 반영하지 못한다.
• 분모에 $\sqrt{n\hat{E}_{ij}O_{ij}}$ 를 둔 식은 카이제곱 통계량의 정의에 없는 형태이다.

정규분포는 분산이 클수록 그래프가 낮고 넓게 퍼지는 형태가 되며, 분산이 작을수록 뾰족하고 좁게 나타난다.

따라서 분산이 클수록 꼬리부분이 얇고 길게 된다는 설명은 옳지 않으며, 모평균에 대한 대칭성, 모평균과 모분산에 의한 완전한 결정, 평균에서 표준편차 2배 범위 내 약 95% 관측확률에 대한 설명은 정규분포의 성질과 일치한다.

키와 발처럼 측정 단위가 다른 두 변수의 산포를 비교할 때는 표준편차를 평균으로 나눈 상대적 산포도인 변동계수를 사용해야 한다.

분산이나 표준편차는 단위에 종속된 값이라 단위가 다른 변수 간 산포를 직접 비교하기에 적합하지 않고, 결정계수는 회귀모형의 설명력을 나타내는 지표이다.

'독립인 두 정규모집단의 모분산의 비에 대한 검정'만 F 분포를 따르고, 나머지 셋은 모두 t 분포를 따르는 검정통계량을 사용한다.

• '모분산이 미지이고 동일한 두 정규모집단의 모평균의 차에 대한 검정'은 합동표본분산을 이용한 t 검정이다.
• '모분산이 미지인 정규모집단의 모평균에 대한 검정'은 단일 모평균 검정의 t 검정이다.
• '단순회귀모형의 기울기 β₁에 관한 검정'은 표준화된 추정값이 t 분포를 따른다.

두 모분산 비에 대한 검정은 $F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$ 형태로 F 분포(자유도는 각각 n₁-1, n₂-1)를 따르므로 나머지 셋과 다르다.

총 제곱합·잔차 제곱합·회귀 제곱합의 자유도는 순서대로 n−1, n−k−1, k 이다.

총 제곱합 $\sum(y_i-\overline{y})^2$ 은 n개의 편차로 이루어지지만 표본평균 $\overline{y}$ 를 쓰면서 편차의 합이 0이라는 제약이 하나 걸리므로 자유도가 n−1 이다.

잔차 제곱합 $\sum(y_i-\hat{y}_i)^2$ 은 절편 α와 기울기 β₁~β_k 까지 모두 k+1개의 모수를 추정한 뒤 남는 부분이므로 자유도가 n−k−1 이다.

회귀 제곱합 $\sum(\hat{y}_i-\overline{y})^2$ 의 자유도는 나머지인 k 로 독립변수 개수와 같으며, 실제로 $(n-1)=(n-k-1)+k$ 가 성립해 자유도 분해가 맞아떨어진다.

모평균의 95% 신뢰구간은 $\bar{X} \pm 1.96 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ 로 구한다.

$170 \pm 1.96 \times \dfrac{10}{\sqrt{100}} = 170 \pm 1.96$

따라서 신뢰구간은 $(168.04,\ 171.96)$이다.

단측가설검정에서 귀무가설을 기각하는 판정 규칙은 p값 ≤ α일 때다. 즉 p값이 유의수준 α보다 작거나 같으면 귀무가설을 기각하므로, p값이 작을수록 귀무가설에 대한 증거가 강하다는 의미다. 따라서 기각 조건은 α > p (또는 α ≥ p)로 표현되며, 이는 보기 1번이다. 보기 2번의 α < p는 p값이 유의수준보다 크므로 기각하지 못하는 조건이고, 보기 3번과 4번은 1-α(신뢰도)와의 비교로서 가설검정의 표준적 논리와 무관하다.

왜도는 분포가 좌우로 치우친 정도를 나타내는 지표로 산포(퍼짐 정도)가 아니라 분포의 비대칭성을 측정하는 값이다.

사분위수 범위, 범위, 분산은 자료가 흩어진 정도를 나타내는 대표적인 산포도의 측도이다.

누적분포함수 $F(x) = x$에서 확률밀도함수는 $f(x) = \frac{dF(x)}{dx} = 1$이다. 구간 $(0, 1)$에서 정의된 균등분포이므로, 평균은 $E(X) = \int_0^1 x \cdot f(x)\,dx = \int_0^1 x \cdot 1\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$이다.

예약 360건 중 실제 탑승 확률은 0.8이므로 탑승자 수 X는 이항분포 $B(360, 0.8)$를 따른다. 평균 $\mu = 360 \times 0.8 = 288$, 분산 $\sigma^2 = 360 \times 0.8 \times 0.2 = 57.6$, 표준편차 $\sigma = \sqrt{57.6} \approx 7.5895$이다.
좌석이 300석이므로 모두 착석할 확률은 $P(X \le 300)$이며, 연속성 수정을 적용하면 $P(X \le 300.5)$가 된다.
$Z = \dfrac{300.5 - 288}{7.5895} = \dfrac{12.5}{7.5895} \approx 1.65$이므로, 표준정규분포표에서 $z=1.6$행의 $0.05$열 값인 0.9515를 읽는다.

t값은 t = B / Std.Error로 계산한다. (ㄱ) = 39.69 / 30.72 ≈ 1.29, (ㄴ) = 3.37 / 0.96 ≈ 3.51, (ㄷ) = 0.53 / 6.6 ≈ 0.08이며, 이는 각각 Sig. 0.265, 0.009, 0.941과 부합하는 t값 수준이다.

검정통계량은 $Z = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{49.02-50}{5/\sqrt{100}} = \dfrac{-0.98}{0.5} = -1.96$이다. 좌측검정이므로 유의확률은 $P(Z \le -1.96)$이며, 문제에서 주어진 값대로 0.025이다.

분산분석의 기본 가정은 각 집단 관측치의 독립성, 정규성, 등분산성이며, 불편성(추정량이 모수의 참값을 편향 없이 추정한다는 성질)은 분산분석 수행을 위한 가정이 아니다.

비대칭계수가 양(+)의 값으로 나오므로 오른쪽으로 꼬리가 늘어진 비대칭분포이다.

자료는 10, 3, 3, 6, 4, 7 이므로 평균은 $\overline{x}=\dfrac{10+3+3+6+4+7}{6}=5.5$ 이고, 두 번 나타난 3이 최빈값이다.

피어슨의 비대칭계수는 $p=\dfrac{\overline{x}-M_o}{s}$ 이며, 편차제곱합이 37.5이므로 $s=\sqrt{\dfrac{37.5}{5}}=2.74$ 이고
$p=\dfrac{5.5-3}{2.74}=0.91$

평균이 최빈값보다 크면 계수가 양수가 되고, 이는 큰 값 쪽으로 자료가 길게 뻗은 오른쪽 꼬리 분포를 뜻한다. 왼쪽으로 꼬리가 늘어진 분포라면 평균이 최빈값보다 작아 계수가 음수로 나온다.

베르누이 시행을 $n$번 반복할 때 각 시행은 서로 독립적이며, 배반(상호배타적) 관계에 있는 것이 아니다.

성공 횟수가 이항분포를 따르는 것, 평균이 $np$이고 분산이 $npq$인 것, 각 시행에서 성공확률 $p$가 동일하게 유지되는 것은 이항분포의 옳은 성질이다.

주사위의 면 구성: 1, 2, 3, 4, 4, 4 (5와 6 대신 4가 세 개)이므로 각 눈이 나올 확률은 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=1/6, P(X=4)=3/6=1/2이다.
기댓값 E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/2) = (1+2+3)/6 + 2 = 1 + 2 = 3
E(X²) = 1²·(1/6) + 2²·(1/6) + 3²·(1/6) + 4²·(1/2) = (1+4+9)/6 + 8 = 14/6 + 8 = 7/3 + 24/3 = 31/3
분산 V(X) = E(X²) - [E(X)]² = 31/3 - 9 = 31/3 - 27/3 = 4/3

처리효과의 총합은 0이 되어야 하므로 $\sum_{j=1}^{k}\tau_j>0$ 을 만족한다는 설명은 옳지 않다.

모형 $Y_{ij}=\mu+\tau_j+\epsilon_{ij}$ 에서 $\tau_j$ 는 각 집단평균과 전체평균의 차이, 곧 $\tau_j=\mu_j-\mu$ 이다. 전체평균을 중심으로 잰 편차이므로 그 합은 $\sum_{j=1}^{k}\tau_j=0$ 이다.

• 오차항 $\epsilon_{ij}$ 는 서로 독립이고 평균 0, 분산 $\sigma^2$ 인 정규분포를 따른다고 가정하는 것이 맞다.
• 귀무가설을 $H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$ 로 두는 것도 맞으며, 이는 모든 처리효과가 0이라는 진술과 같은 뜻이다.

같은 10명의 회원을 대상으로 프로그램 시작 전과 한 달 후의 체중을 비교하는 것은 동일 대상을 반복 측정한 자료이므로 대응표본 t-검정이 적합하다.

독립표본 t-검정은 서로 다른 두 집단을 비교할 때, z-검정은 모집단 표준편차를 알고 표본이 충분히 클 때, F-검정은 두 집단 이상의 분산을 비교할 때 사용한다.

두 변수인 사용년수(독립변수)와 중고차 가격(종속변수) 간의 직선적 관계와 영향력을 파악하는 것이 목표이므로 단순회귀분석이 적합하다. 중회귀분석은 독립변수가 2개 이상일 때, 분산분석은 3개 이상 집단의 평균 차이 검정, 다변량분석은 여러 종속변수를 동시에 분석할 때 사용되므로 본 문항의 상황과 맞지 않는다.

단순회귀분석에서 오차항 $\epsilon$의 기본가정은 정규분포 N(0, σ²)를 따른다는 것으로, 이는 네 가지 조건을 포함한다. "오차항의 분산이 다르다"는 설명은 기본가정에 위배된다.

기본가정에서는 모든 관측치에 대해 오차항의 분산이 일정(σ²)해야 하는 등분산성(homoscedasticity)을 요구하므로, 분산이 다르면 이상 조건이다.

• '오차항은 정규분포를 따른다'는 오차항이 정규분포를 따른다는 정규성 가정이 맞다.
• '오차항은 서로 독립이다'는 오차항들이 서로 독립이라는 독립성 가정이 맞다.
• '오차항의 기댓값은 0이다'는 오차항의 기댓값 E(ε) = 0이라는 영평균성 가정이 맞다.

전체 평균은 각 반 학생 수를 가중치로 하는 가중평균으로 구한다.

$\dfrac{50 \times 80 + 100 \times 85}{50+100} = \dfrac{4000+8500}{150} = \dfrac{12500}{150} \approx 83.3$

사분위수범위(IQR)는 자료를 크기순으로 나열했을 때 제3사분위수에서 제1사분위수를 뺀 값으로 정의된다.

중앙값을 포함하는 자료의 중간 50% 구간이 흩어진 정도를 나타내는 산포도 지표이며, 극단값의 영향을 적게 받는다는 장점이 있다.

베이즈 정리를 적용하면 (+)반응을 보인 사람이 실제 감염자일 확률은 0.227이 된다.

$P(+) = 0.03\times0.95 + 0.97\times0.10 = 0.0285+0.097=0.1255$

$P(\text{감염}|+) = \dfrac{0.0285}{0.1255} \approx 0.227$

편차제곱합을 $n$으로 나누면 모분산보다 과소추정되어 편의(bias)가 발생하지만, $(n-1)$로 나누면 그 기댓값이 모분산과 정확히 일치하게 되어 불편성(unbiasedness)을 만족하는 추정량이 된다. 즉 $E[S^2] = \sigma^2$가 성립하도록 자유도를 보정한 것이므로, 이는 유효성·충분성·일치성이 아니라 불편성과 관련된 문제이다.

유의확률 0.55는 유의수준 0.05보다 크므로 귀무가설(두 변수는 독립이다)을 기각하지 못한다.

따라서 이 교차표 검정 결과만으로는 두 변수 사이에 통계적으로 유의한 연관이 있다고 보기 어렵고, 두 변수는 서로 아무런 관계가 없다는 해석과 부합한다.

• ‘상호 연관 관계가 있다’, ‘변화 패턴이 다르다’는 유의확률이 유의수준보다 작아 귀무가설을 기각했을 때 내릴 수 있는 해석이다.
• ‘말할 수 없다’는 검정 결과가 애매하거나 표본크기가 부족할 때의 표현으로, 유의확률이 명확하게 크게 나온 이 상황과는 맞지 않는다.

제2종 오류는 귀무가설이 실제로는 거짓임에도 이를 기각하지 못하는 오류를 말한다.

• 제1종 오류($\alpha$-오류)는 참인 귀무가설을 잘못 기각하는 오류로, 이 문항의 상황과 반대된다.
• 임계오류는 통계적 가설검정에서 사용되는 정식 용어가 아니다.

불량품 개수는 이항분포 $B(n=20,\ p=0.1)$을 따르므로 평균과 분산은 각각 $\mu=2.0$, $\sigma^2=1.8$이다.

$\mu = np = 20\times0.1 = 2.0$

$\sigma^2 = np(1-p) = 20\times0.1\times0.9 = 1.8$