18년 1회차

이 질문은 응답자가 이미 특정 백화점만 고집해서 다닌다고 임의로 전제한 채 이유를 묻는다는 점이 가장 큰 문제다.

여러 백화점을 두루 이용하거나 백화점을 거의 가지 않는 응답자는 답할 수 없는 질문이 되므로, 전제에 해당하지 않는 응답자가 왜곡된 응답을 하게 된다. 이런 경우에는 특정 백화점만 이용하는지를 먼저 확인하는 여과질문을 앞에 두어야 한다.

• 쓰인 단어들은 일상적이고 뜻이 분명해 용어의 모호성이 핵심 문제라고 보기 어렵다.
• 묻는 내용은 '주된 이유' 하나뿐이어서 한 항목에 두 가지를 담은 이중질문도 아니다.
• 구체적 수치나 세세한 기억을 요구하지 않으므로 지나치게 자세한 응답을 요구한 것도 아니다.

질문 순서를 정할 때는 응답자가 부담 없이 응답에 응하도록 일반적인 것에서 특수한 것으로 배치하는 것이 원칙이며, 그 반대 순서는 원칙에 어긋난다.

제시된 설명처럼 특수한 것을 먼저 묻고 일반적인 것을 뒤에 배치하면 응답자가 초반부터 부담을 느끼거나 응답 흐름이 부자연스러워지기 쉽다.

연상작용이 가능한 질문의 간격을 떨어뜨리고, 민감한 질문을 뒤로 배치하며, 논리적 순서로 자연스럽게 배치한다는 나머지 설명은 모두 실제 질문 배치의 일반원칙과 일치한다.

질적 연구는 연구자와 연구참여자 간의 상호작용을 통해 의미를 해석하는 현상학적·해석학적 접근이므로, 연구 과정에서 연구자의 주관과 가치판단이 개입되기 쉽다.

따라서 질적 연구가 가치지향적이지 않고 편견이 전혀 개입되지 않는다는 설명은 질적 연구의 본질적 특성과 맞지 않는다.

소규모 사례에 유리하고 분석에 시간이 많이 걸리며, 수집자료의 타당성은 높으나 신뢰성과 일반화 가능성이 낮다는 나머지 설명들은 질적 연구의 일반적 특징으로 옳다.

조사계획서는 조사를 시작하기 전에 작성하는 문서이므로, 아직 수행되지 않은 조사결과의 요약 내용은 계획서에 포함될 수 없다.

조사계획서에는 조사의 목적과 일정, 잠정적 제목, 조사 참여자의 프로파일 등 조사를 어떻게 수행할 것인지에 대한 사전 계획 내용이 담긴다.

조사결과의 요약은 조사가 종료된 이후 작성되는 보고서에 해당하는 항목이지 사전 계획서의 구성요소가 아니다.

탐색적 연구(exploratory research)는 문제를 명확히 정의하고 아이디어를 발굴하기 위한 예비적 성격의 연구로, 개념을 보다 분명하게 하기 위해(ㄱ), 다음 연구의 우선순위를 정하기 위해(ㄴ), 많은 아이디어를 생성하고 임시적 가설을 개발하기 위해(ㄷ) 수행된다.

• ㄹ(카테고리 분류·유형 분류)은 기술적 연구의 목적이다.
• ㅁ(이론의 정확성 판단)은 설명적 연구의 목적에 해당한다.

ㄹ과 ㅁ은 탐색적 연구와는 거리가 멀므로, ㄱ, ㄴ, ㄷ이 탐색적 연구의 목적에 해당한다.

추상적 개념을 측정 절차로 구체화해 관찰 가능한 형태로 바꾼 정의는 조작적 정의다.

구성개념이나 잠재변수는 그 자체로는 잴 수 없으므로, 무엇을 어떤 방법으로 측정할지를 명시해 경험적으로 관찰·측정 가능한 지표로 옮기는 단계가 반드시 필요하다.

• 구성적 정의는 어떤 개념을 다른 개념이나 용어로 풀어 설명하는 사전적·추상적 정의여서 측정 절차를 담지 않는다.
• 기술적 정의는 대상이나 현상의 특징을 있는 그대로 서술하는 데 그치므로, 측정 방법을 지정해 값을 얻게 하는 이 설명과는 층위가 다르다.
• 가설 설정은 변수들 사이의 관계를 검증 가능한 진술로 세우는 작업이지, 개념을 측정 가능하게 만드는 절차가 아니다.

관찰시기가 행동발생과 일치하는지 여부는 직접관찰과 간접관찰을 구분하는 기준이지, 체계적 관찰과 비체계적 관찰을 나누는 기준이 아니다.

체계적 관찰과 비체계적 관찰은 관찰 대상과 상황, 기록방법 등이 사전에 표준화된 절차로 정해져 있는지 여부에 따라 구분된다.

관찰상황의 인공성 여부에 따른 자연적·인위적 관찰, 피관찰자의 인지 여부에 따른 공개적·비공개적 관찰, 관찰주체에 따른 인간의 직접관찰과 기계관찰의 구분은 모두 실제 관찰법의 분류기준으로 옳다.

이론에서 가설을 이끌어낸 뒤 이를 경험적 관찰로 검증하는 탐구방식은 연역적 방법이다.

연역적 방법은 일반적인 이론이나 명제에서 출발해 구체적인 가설을 도출하고, 이를 자료를 통해 확인하거나 반증하는 절차를 따른다.

이와 달리 귀납적 방법은 개별적인 관찰이나 사실들을 축적해 일반적인 이론이나 법칙을 이끌어내는 방식으로, 이론에서 출발하는 이 문제의 절차와는 반대 방향이다.

면접조사는 조사자와 응답자가 대면하여 진행되기 때문에, 가구소득이나 가정폭력, 성적경향과 같은 민감한 사안을 조사할 때는 오히려 응답 저항이나 사회적으로 바람직한 답을 하려는 경향이 커져 활용이 어렵다.

따라서 면접조사가 민감한 사안 조사에 유용하다는 설명은 면접조사의 특성과 거리가 멀다.

조사자가 질문과 함께 관찰도 병행할 수 있고, 같은 조건에서 우편설문보다 응답률이 높으며, 여러 면접원을 동원할 때 이들을 조정·통제해야 한다는 나머지 설명은 면접조사의 실제 특징으로 옳다.

면접조사는 조사자가 응답자와 직접 대면하며 진행되므로, 다른 자료수집방법에 비해 신뢰관계 즉 래포(Rapport) 형성이 용이하다.

• 인터넷조사는 우편조사보다 인쇄·발송 비용이 들지 않아 오히려 비용이 적게 소요된다.
• 전화조사는 통상 면접조사보다 진행이 간단하여 시간이 덜 소요된다.
• 인터넷조사는 화면을 통해 이미지나 동영상 등 시각보조자료를 활용하기 오히려 용이한 방식이다.

제시된 다섯 항목이 모두 과학적 연구에서 이론이 수행하는 역할에 해당한다.

이론은 무엇을 연구할지 방향을 잡아 주는 토대가 되고, 흩어진 현상을 개념화·분류하게 하며, 관찰되지 않은 사실을 예측하고 설명하는 틀을 제공한다.

또한 검증을 통해 기존 지식을 확장시키는 한편, 설명되지 않는 부분을 드러내 지식의 결함이 어디에 있는지를 알려 새로운 연구문제를 낳는다. 따라서 일부만 고른 조합은 이론의 기능을 좁게 본 것이다.

완전참여자는 자신이 조사자라는 신분을 밝히지 않고 관찰대상 집단에 완전히 소속되어 활동하므로, 신분을 속이는 데서 오는 윤리적 문제가 발생할 가능성이 가장 높다.

완전관찰자는 신분을 밝히지 않지만 집단 활동에 참여하지는 않으며, 참여자로서의 관찰자와 관찰자로서의 참여자는 자신이 조사자임을 공개한 채 관찰하므로 기만의 소지가 상대적으로 적다.

질문지를 설계할 때는 지시문의 내용, 자료수집방법, 질문의 유형 등을 고려해야 하지만, 표본추출방법은 표본설계 단계에서 다루는 문제로 질문지 설계 자체의 고려사항은 아니다.

지시문, 자료수집방법, 질문유형은 각각 응답자가 질문지를 어떻게 이해하고 응답하게 할지를 결정하는 요소로 질문지 설계와 직접 관련되어 있다.

인과관계가 성립하려면 원인이 결과보다 시간적으로 앞서야 하고(시간적 선행성), 두 변수가 함께 변화해야 하며(공변관계), 제3의 변수에 의한 것이 아닌 비허위적 관계여야 한다.

이 세 가지가 인과관계 성립의 일반적 조건이며, 변수의 측정수준이 반드시 연속변수여야 한다는 조건은 포함되지 않는다.

집단구성원들 간의 인간관계를 분석하고 그 강도와 빈도를 측정해 집단 자체의 구조를 파악하는 방법은 사회성측정법(Sociometry)이다.

• 투사법은 모호한 자극에 대한 반응을 통해 개인의 심리를 파악하는 기법이라 집단구조 분석과는 다르다.
• 내용분석법은 문헌이나 기록물의 내용을 체계적으로 분석하는 방법이라 대인관계 구조 파악에는 쓰이지 않는다.
• 표적집단면접법은 소수 참여자의 토론을 통해 의견을 심층적으로 수집하는 방법이라 구성원 간 관계망 측정과는 목적이 다르다.

인터넷 서베이 조사는 응답자의 물리적 위치와 무관하게 동일한 방식으로 진행되므로, 응답자의 지리적 위치에 따라 조사비용이 달라지지 않는다는 것이 오히려 이 조사방법의 장점이다.

실시간으로 결과를 확인할 수 있고, 개인화된 질문과 자료제공이 가능하며, 응답과 동시에 자동으로 코딩이 이루어진다는 나머지 설명은 인터넷 서베이 조사의 실제 특징으로 옳다.

집단조사는 여러 응답자가 같은 장소에서 동시에 응답하기 때문에, 주위 사람들의 눈치를 보거나 의견에 동조하게 되어 오히려 왜곡된 응답이 나타날 가능성이 커진다.

따라서 주위 응답자들과 의논할 수 있어 왜곡된 응답을 줄일 수 있다는 설명은 집단조사의 실제 특성과 반대된다.

비용과 시간을 절약하고 동일한 조건을 확보할 수 있으며, 학교나 군대 등 조직체 구성원을 조사할 때 유용하고, 면접방식과 자기기입방식을 조합하기도 한다는 나머지 설명은 모두 집단조사의 옳은 특징이다.

설문지 사전검사(Pre-test)의 주된 목적은 본조사에 앞서 질문의 표현이나 순서, 응답범주 등에서 나타날 수 있는 문제점을 미리 발견해 수정하는 데 있다.

응답자 분포 확인, 본조사 결과와의 비교자료 확보, 조사원 훈련은 사전검사의 부수적인 효과가 될 수는 있어도 그 자체가 사전검사의 주된 목적은 아니다.

가설의 적정성은 경험적으로 검증 가능해야 하고, 동어반복이 아니어야 하며, 동일 분야의 다른 이론과 연관성을 가져야 한다는 기준으로 평가하며, 매개변수의 존재 여부는 이러한 평가 기준에 해당하지 않는다.

매개변수는 독립변수와 종속변수 사이의 인과경로를 설명하는 데 쓰이는 개념일 뿐, 가설 자체가 갖추어야 할 적정성 요건과는 별개의 문제이다.

2017년 특정 3개 고등학교 졸업생이라는 동일한 모집단을 정해두고 그 안에서 매년 표본을 추출해 장기간 추적 조사하는 방식은 코호트 조사에 해당한다.

코호트 조사는 특정 시기에 동일한 경험(이 경우 특정 학교의 졸업)을 공유한 집단을 모집단으로 삼아, 시간이 지남에 따라 그 모집단에서 반복적으로 표본을 뽑아 변화를 추적하는 종단조사이다.

• 횡단조사는 한 시점에서 여러 대상을 조사하는 방식이라 10년에 걸친 반복조사와는 다르다.
• 서베이 리서치는 설문을 통한 자료수집 방법을 통칭하는 용어일 뿐 이 문제가 묻는 조사설계 유형이 아니다.
• 사례조사는 소수의 특정 사례를 심층적으로 다루는 방법이라 특정 모집단의 장기 추적과는 성격이 다르다.

내용분석은 이미 존재하는 문헌이나 기록물을 분석 대상으로 삼는 비관여적(nonreactive) 조사방법이므로, 조사가 진행된다고 해서 조사대상에 어떠한 영향도 미치지 않는다.

따라서 조사대상에 영향을 미친다는 설명은 내용분석의 실제 특성과 반대된다.

시간과 비용 측면에서 경제적이고, 일정 기간에 걸친 과정을 분석하기 용이하며, 연구 진행 중에도 계획을 부분적으로 수정할 수 있다는 나머지 설명은 내용분석의 옳은 특징이다.

탐색적 조사는 연구문제의 발견, 변수의 규명, 가설의 도출을 위해 본조사에 앞서 실시하는 예비적 성격의 조사이다.

탐색적 조사는 아직 연구주제가 명확히 정립되지 않았을 때 문헌연구, 전문가 의견조사, 사례조사 등을 통해 문제의 방향을 잡는 데 활용된다.

• 시간흐름에 따라 대상 집단의 변화를 관찰하는 것은 종단조사의 특징이다.
• 어떤 현상을 정확히 기술하는 것을 목적으로 하는 것은 기술적 조사의 특징이다.
• 동일 표본을 일정 간격으로 반복 측정하는 것은 패널조사와 같은 종단조사의 특징이다.

순수 실험설계와 유사 실험설계를 구분하는 핵심 기준은 실험대상 선정의 무작위화 여부이다.

실험집단과 통제집단에 대상을 무작위로 배정하면 순수 실험설계로 분류되고, 무작위 배정이 이루어지지 않으면 유사 실험설계로 분류된다.

독립변수와 종속변수의 설정, 비교집단의 존재 여부는 두 설계 모두에서 공통적으로 나타날 수 있는 요소이므로 구분기준이 되지 않는다.

패널조사는 동일한 대상을 반복적으로 조사하는 과정에서 시간이 지남에 따라 일부 패널 구성원이 자연 탈락하게 되는데, 탈락자와 잔류자의 특성이 다를 경우 표본의 대표성이 훼손되어 조사결과에 상당한 영향을 미친다.

따라서 자연 탈락된 패널 구성원이 조사결과에 크게 영향을 미치지 않는다는 설명은 패널조사의 실제 한계와 어긋난다.

특정 대상자를 선정해 반복 조사하는 종단적 성격을 지니며, 반복 조사과정에서 성숙효과나 시험효과가 나타날 수 있다는 나머지 설명은 패널조사의 옳은 특징이다.

개방형 질문은 응답자의 다양한 의견을 폭넓게 얻어낼 수 있고 탐색조사에 특히 유용하지만, 응답 내용을 분류·부호화하기 어려워 일부 자료가 분석에서 제외되기도 한다는 한계가 있다.

이와 달리 중립적인 입장을 가진 사람만을 대상으로 조사하면 극단적인 결론이 얻어진다는 설명은 개방형 질문의 특징을 설명하는 진술로 성립하지 않는 부적절한 내용이다.

무작위 배정으로 두 집단을 만든 뒤 사전검사 없이 사후조사만 실시했으므로 통제집단 사후검사 설계다.

저소득층 중학생을 무작위로 각 50명씩 나누었기 때문에 두 집단의 동질성은 무작위화로 확보되며, 사전검사를 생략해 검사 경험 자체가 결과에 영향을 주는 검사효과를 피할 수 있다.

• 통제집단 사전-사후검사 설계는 두 집단 모두에 사전검사를 실시하는데, 이 사례에는 사전조사가 없다.
• 단일집단 사전-사후검사 설계는 비교할 통제집단 자체가 없으므로 두 집단을 둔 이 사례와 맞지 않는다.
• 정태집단 비교 설계는 무작위 배정 없이 이미 형성되어 있는 집단을 비교하는 방식인데, 이 사례는 무작위 배정을 했다.

면접조사에서 조사자는 응답자가 대답을 잘 하지 못하더라도 특정한 대답을 유도해서는 안 되며, 중립적인 태도를 유지해야 한다는 것이 면접의 일반원칙이다.

필요한 대답을 유도할 수 있다는 설명은 응답의 왜곡과 편향을 낳을 수 있어 면접조사의 기본원칙과 어긋난다.

비공식적인 편안한 분위기를 조성하고, 질문지에 있는 말 그대로 질문하며, 문항을 빠짐없이 묻는다는 나머지 설명은 면접조사의 옳은 일반원칙이다.

과학적 연구방법은 현재의 지식이 잠정적이며 새로운 증거에 따라 언제든 수정될 수 있다는 것을 전제로 하므로, 진리가 절대적이라는 가정은 과학적 연구방법의 기본가정과 어긋난다.

모든 현상과 사건에는 원인이 있고, 자명한 지식은 없으며, 경험적 관찰이 지식의 원천이라는 나머지 가정은 과학적 연구방법이 실제로 전제하는 신념체계에 해당한다.

집합단위(집단)로 수집된 자료를 근거로 그 집단에 속한 개인의 특성을 추리할 때 발생하는 오류를 생태학적 오류(생태주의 오류)라고 한다.

이는 분석단위의 혼동에서 비롯되는 오류로, 집단 수준에서 나타나는 관계가 그 집단을 구성하는 개인 수준에서도 그대로 성립한다고 잘못 단정할 때 발생한다.

차이나 관계가 우연의 산물이며 실제로는 존재하지 않는다고 진술하는 가설은 귀무가설이다.

귀무가설은 '변수 간 관계가 없다', '집단 간 차이가 없다'처럼 부정형으로 서술되며, 통계적 검정은 표본에서 얻은 차이가 우연으로 설명될 수 있는지를 따져 이 가설을 기각할지 판단한다.

• 대안가설은 귀무가설이 기각될 때 채택되는, 차이나 관계가 있다고 주장하는 가설이다.
• 통계적 가설은 모수에 관한 진술을 통칭하는 넓은 범주여서 귀무가설과 대립가설을 모두 포함하므로, 부정형 진술만을 가리키는 이 설명과는 층위가 다르다.
• 설명적 가설은 변수들 사이의 인과관계를 설명하려는 가설이어서 관계의 부재를 진술하지 않는다.

신뢰성(reliability)은 반복적이고 일관된 결과를 제공하는 능력을 의미하며, 안정성·일관성·예측가능성 모두 이와 직결된 개념이다. 반면 동시성(concurrency)은 여러 작업이 동시에 실행되는 능력을 나타내는 성능·구조 관련 개념으로, 신뢰성과는 직접적인 연관이 없다. 신뢰성은 측정 결과나 시스템이 얼마나 일정하고 믿을 수 있는가를 다루지만, 동시성은 병렬 처리 능력이라는 별개의 특성을 다룬다.

비율척도의 0은 해당 속성이 전혀 존재하지 않음을 나타내는 절대영점이므로, 자의적으로 부여된 것이 아니라 그 자체로 절대적 의미를 갖는다.

따라서 비율척도의 0이 자의적으로 부여되어 절대적 의미를 가질 수 없다는 설명은 비율척도의 실제 특성과 반대된다.

서열척도가 범주 간 크고 작음을 판단할 수 있고, 명목척도의 수치가 계량적 의미를 가지지 못하며, 등간척도가 대상 간 거리를 표준화된 척도로 표시할 수 있다는 나머지 설명은 모두 측정수준에 대한 옳은 설명이다.

군집표집에서 각 군집이 모집단 전체의 특성을 고르게 대표하려면 군집 내부가 이질적인 구성을 이루어야 하며, 군집이 지나치게 동질적일수록 특정 특성이 과대 또는 과소 대표되어 오차의 가능성이 오히려 커진다.

따라서 군집이 동질적이면 오차의 가능성이 낮다는 설명은 군집표집의 실제 특성과 반대된다.

전체 모집단의 목록표를 작성하지 않아도 되고, 단순무작위표집보다 시간과 비용을 절약할 수 있으며, 특정 집단의 특성을 과대 혹은 과소하게 나타낼 위험이 있다는 나머지 설명은 군집표집의 옳은 특징이다.

모집단을 일정한 특성별 범주로 나눈 뒤, 각 범주가 모집단에서 차지하는 구성비율에 맞추어 표본의 사례수를 할당해 추출하는 비확률표집방법은 할당표집이다.

• 눈덩이표집은 소수의 초기 응답자로부터 다른 응답자를 소개받아 표본을 늘려가는 방법이라 구성비율에 맞춘 추출과는 다르다.
• 유의표집은 조사자의 주관적 판단에 따라 표본을 선정하는 방법이라 모집단 구성비율을 기준으로 삼지 않는다.
• 편의표집은 접근이 쉬운 대상을 임의로 선정하는 방법이라 구성비율을 고려하지 않는다.

표집율은 모집단 크기 대비 표본크기의 비율로, 이 학교에서는 40%가 된다.

표집율 계산식은 $\dfrac{\text{표본크기}}{\text{모집단 크기}} \times 100$이다.

$\dfrac{800}{2000} \times 100 = 40\%$

내용타당도는 측정도구가 측정하고자 하는 내용(속성)을 얼마나 잘 대표하는지를 통계적 검증 없이 전문가나 연구자의 주관적 판단으로 평가하는 방법이다.

따라서 통계적 검증이 가능하다거나 특정대상의 모든 속성을 파악할 수 있다는 설명은 내용타당도의 실제 특성과 맞지 않으며, 다른 측정결과와 비교해 관련성을 파악하는 것은 준거관련타당도(기준타당도)에 해당하는 방식이다.

연구대상이 지닌 속성을 일정한 규칙에 따라 수치나 기호로 나타내는 절차를 측정이라 한다.

척도는 이러한 측정을 수행하기 위해 사용하는 도구나 체계를 가리키는 개념으로, 측정이라는 절차 자체와는 구분된다.

인종이나 사회계급과 같은 다양한 사회집단 간에 느끼는 친밀감과 거부감의 정도, 즉 사회적 거리를 측정하기 위해 고안된 척도는 보가더스 척도이다.

• 서스톤척도는 다수의 평가자가 문항의 우호도를 평정해 척도값을 부여하는 등간척도 구성방법이라 사회적 거리 측정과는 다르다.
• 거트만척도는 문항들이 일차원적인 누적 구조를 이루는지를 확인하는 척도 구성방법이라 사회집단 간 거리 측정을 목적으로 하지 않는다.
• 리커트척도는 각 문항에 대한 동의 정도를 합산해 태도를 측정하는 방법이라 사회적 거리 개념과는 별개이다.

층화표집은 모집단을 동질적인 층으로 나눈 뒤 각 층에서 무작위로 표본을 추출하는 확률표집이므로, 같은 표본크기라면 비확률표집인 할당표집보다 표집오차가 오히려 작다.

따라서 할당표집에서보다 층화표집의 경우 표집오차가 더 크다는 설명은 실제와 반대된다.

표본의 크기가 클수록, 표본의 분산이 작을수록 표집오차가 작아지며, 단순무작위표집보다 집락표집(군집표집)에서 표집오차가 더 크다는 나머지 설명은 표집오차에 대한 옳은 설명이다.

모집단의 동질성을 확보하기 위한 연구를 하면 표본 내 개체 간 편차가 줄어들어, 표본수를 늘리지 않고도 표집오차를 효과적으로 줄일 수 있다.

표집오차는 표본 크기뿐 아니라 모집단의 이질성(분산)에도 좌우되므로, 동질적인 하위집단을 파악해 조사를 설계하면 같은 비용으로 오차를 더 크게 줄일 수 있다.

• 표본수를 10배로 늘리는 방법은 오차를 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ 배로만 줄이면서 비용은 크게 늘어난다.
• 조사요원 증원·훈련은 측정오차를 줄이는 방법이지 표집오차를 줄이는 방법이 아니다.
• 전 국민 대상 단순무작위표집은 사실상 전수조사로 비용이 가장 크다.

측정수준에 따라 적용 가능한 통계기법이 달라지므로, 측정수준에 관계없이 통계기법의 적용이 동일하다는 설명은 틀렸다.

명목·서열척도 자료는 비모수적 기법이나 빈도·순위 중심의 통계만 적용할 수 있는 반면, 등간·비율척도 자료는 평균·표준편차를 활용한 모수적 기법까지 적용할 수 있다.

측정은 추상적·관념적 개념의 세계와 경험적 관찰을 이어주는 교량 역할을 하고, 측정대상의 속성에 수치나 기호를 부여해 통계분석에 쓸 정보를 제공하므로 나머지 설명은 옳다.

요인분석은 문항 간 상관구조를 바탕으로 잠재요인을 추출하는 기법으로, 척도의 신뢰성 계수 산출과는 직접 관련이 없다.

신뢰성 계수(Cronbach's α)는 문항 간 내적일관성을 측정하는 별도의 통계로, 신뢰도 분석 절차에서 계산한다.

• 문항 간 관련성 분석과 척도의 구성요인 확인은 요인분석의 핵심 목적이다.
• 척도가 하나의 요인으로 수렴하는지 보는 단일 차원성 검증도 요인분석의 대표적 활용이다.

서스톤 척도는 여러 진술문에 전문가(평가자)들이 부여한 척도값을 이용해 응답자의 태도를 측정하는 방법으로, 척도값 간 간격이 동일하다고 가정하는 등간척도에 해당한다.

평가자들이 매긴 값의 중앙값을 이용해 등간격으로 보이는 진술문을 골라내는 등현등간법 절차를 거치므로, 순위만 매기는 서열척도보다 정교한 등간척도로 분류된다.

개념을 관찰·측정 가능한 지표나 절차로 구체화하는 것을 조작적 정의라 한다.

개념적(이론적) 정의가 추상적 개념의 의미를 규정하는 단계라면, 조작적 정의는 그 개념을 실제 자료 수집이 가능하도록 변환하는 후속 단계이다.

할당표집은 모집단을 몇 개의 하위범주로 나눈 뒤 각 범주별 할당량만 채우면 표본 내에서는 임의로 선정하는 방식으로, 무작위추출 원리를 따르지 않는 비확률표본추출이다.

층화표집·군집표집·단순무작위표집은 모두 표본추출확률을 계산할 수 있는 확률표본추출 방법이다.

동일한 측정도구로 동일한 대상을 시간 간격을 두고 두 번 측정해 그 결과의 상관을 보는 방법은 재검사법이다.

복수양식법은 유사한 두 형태의 검사지를 사용하는 방법이고, 반분법과 내적일관성 분석은 한 번의 측정에서 문항을 나누어 비교하는 방법이므로 시간차를 둔 반복측정과는 구분된다.

서로 다른 개념을 잰 측정값끼리 상관이 낮아야 한다는 요건은 판별타당성에 해당한다.

판별타당성은 개념적으로 구별되는 구성개념이라면 측정값에서도 서로 구분되어야 한다는 것으로, 낮은 상관계수가 곧 두 개념이 제대로 변별되어 측정되었다는 증거가 된다.

• 수렴타당성은 같은 개념을 서로 다른 방법으로 측정했을 때 값들이 높은 상관을 보여야 한다는 것이어서 방향이 정반대다.
• 예측타당성과 동시타당성은 외적 준거와의 관계로 검증하는 기준타당성의 하위 유형이므로, 개념 간 구별을 따지는 이 설명과는 맞지 않는다.

제시된 설명은 추론측정(derived measurement)에 해당한다.

추론측정은 측정하려는 속성을 직접 재지 않고, 이미 측정된 다른 속성들 사이의 관계로부터 값을 끌어내는 방식이다. 지문의 밀도가 대표적으로, 질량과 부피를 각각 측정한 뒤 그 비율로 간접 산출한다.

• 본질측정은 길이·무게처럼 다른 속성의 도움 없이 그 속성 자체를 직접 재는 가장 기초적인 측정이다.
• 임의측정은 이론적 근거 없이 연구자가 편의상 정한 지표로 속성을 재는 측정이며, 'A급 측정'은 측정 유형으로 쓰이는 용어가 아니다.

매개변수(개입변수)는 독립변수와 종속변수 사이에 개입해, 종속변수의 변화 중 독립변수만으로는 설명되지 않는 부분을 설명해 주는 변수이다.

즉 독립변수의 영향이 매개변수를 거쳐 종속변수에 전달되는 경로를 보여준다.

• 사전에 조작되지 않은 원인변수·가설변수라는 설명은 독립변수에 대한 것이다.
• 독립변수의 원인을 받아 변화하는 결과변수라는 설명은 종속변수에 해당한다.
• 결과변수에 영향을 미치면서도 그 이유를 제대로 설명하지 못한다는 설명은 매개변수가 아니라 외생변수 등에 관한 서술이다.

가설에서 다루는 독립변수(친절도)와 종속변수(매출액) 외에, 매출에 함께 영향을 미치는 음식 맛과 같은 요인은 외생변수이다.

외생변수는 통제되지 않으면 두 변수 간 인과관계 추정을 왜곡할 수 있어 실험설계에서 통제해야 할 대상이다.

• 종속변수는 매출액 자체이므로 음식 맛과는 다르다.
• 매개변수는 독립변수와 종속변수 사이를 연결하는 변수이지, 별도로 매출에 영향을 미치는 제3의 변수가 아니다.
• 조절변수는 독립변수와 종속변수 간 관계의 강도·방향을 변화시키는 변수로, 독립적으로 매출에 영향을 주는 변수와는 역할이 다르다.

측정항목의 수를 줄이는 것은 오히려 신뢰도를 낮출 수 있는 방향이므로, 신뢰성을 높이는 방법으로 볼 수 없다.

일반적으로 동일한 개념을 측정하는 문항 수를 늘릴수록 무작위 오차가 상쇄되어 신뢰도가 높아진다.

• 측정항목의 모호성 제거는 오차를 줄여 신뢰도를 높인다.
• 중요한 질문을 유사하게 반복하는 것은 반분법·복수양식 방식으로 신뢰도를 점검·향상시키는 방법이다.
• 응답자가 잘 모르는 내용을 측정하지 않는 것도 무작위 응답으로 인한 오차를 줄인다.

"아주 좋아한다~아주 싫어한다"처럼 선호의 정도에 순서는 있지만 그 간격이 동일하다고 보장할 수 없는 선택지는 서열척도로 측정된 것이다.

응답범주 간에 강약의 순위는 매길 수 있으나, 인접 범주 사이의 차이가 서로 같다고 단정할 수 없으므로 등간척도로 보기 어렵다.

편의표집·판단표집·할당표집은 모두 조사자의 주관이 개입되는 비확률표본추출인 반면, 군집표집은 무작위 원리를 따르는 확률표본추출이므로 표본의 대표성이 가장 크다.

확률표본추출은 모집단의 각 요소가 추출될 확률을 알 수 있어 표본오차를 통계적으로 추정할 수 있고, 이 점이 대표성을 확보하는 근거가 된다.

조사연구 자금 확보는 연구 수행을 위한 예산 마련 활동으로, 표본추출 절차 자체에 속하지 않는다.

표본추출은 일반적으로 모집단의 결정 → 표본프레임 결정 → 표집방법 결정 → 표본크기 결정 → 표본추출의 순서로 진행되는 절차이다.

ㄱ에는 타당성, ㄴ에는 신뢰성이 들어간다.

타당성은 측정도구가 재고자 한 개념을 실제로 재고 있는가의 문제로, 겨냥한 과녁을 맞히고 있는지를 묻는 정확성의 개념이다.

신뢰성은 같은 대상을 반복 측정했을 때 일관되게 같은 결과가 나오는가의 문제로, 결과의 안정성·일관성을 뜻한다. '동일성'은 측정의 평가 기준으로 쓰이는 용어가 아니다.

확률 표본추출법의 특징은 추출될 확률이 알려져 있다는 점과 모수 추정에서 조사자의 주관성이 배제된다는 점이다.

확률표본추출은 모집단의 각 요소가 표본에 뽑힐 확률을 사전에 알 수 있도록 무작위로 뽑기 때문에, 표본오차를 통계적으로 추정할 수 있고 결과를 모집단으로 일반화할 수 있다.

• 표본오차 추정이 불가능하다는 것은 추출확률을 알 수 없는 비확률 표본추출법의 한계다.
• 인위적 표본추출 역시 조사자의 판단·편의가 개입하는 비확률 표본추출법의 특징이다.

할당표집의 할당범주는 통제 변수들의 범주를 모두 곱한 조합의 수로 정해진다.

4년제 대학이므로 학년은 $4$개 범주, 성은 $2$개 범주이며, 할당범주의 수는 $4 \times 2 = 8$개이다.

통계분석기법의 선택은 자료를 처리·해석하는 이후 단계의 문제로, 측정 자체에서 발생하는 오차의 원인이 아니다.

측정오차는 측정방법·측정도구 자체의 결함, 측정시점의 환경요인, 측정대상자의 심리·신체 변화 등 측정 과정에서 비롯된다.

대칭되는 형용사 쌍의 사이를 평가하게 한 방식은 의미분화척도(Semantic Differential Scale)다.

'긍정적-부정적', '능동적-수동적'처럼 상반된 형용사를 양극에 배치하고 그 사이 1부터 7까지의 연속선 위에서 응답하게 해, 대상이 갖는 이미지나 태도를 여러 차원으로 재는 것이 이 척도의 전형적 형태다.

• 리커트척도는 하나의 진술문에 대해 '매우 그렇다~전혀 아니다'로 동의 정도를 묻고 점수를 합산하는 총화평정 방식이다.
• 거트만척도는 강도 순으로 문항이 누적되는 단일차원 척도이고, 서스톤척도는 평가자단이 부여한 척도값을 문항에 붙여 등간성을 확보한 척도다.

군집표집은 표본으로 뽑힌 각 집락이 모집단의 축소판일 때, 즉 집락 내부는 이질적이면서 집락 간에는 서로 비슷할 때 추정 효율이 가장 높다.

반대로 집락 내 관측값들이 서로 비슷하거나(동질적) 집락 간 평균·특성이 크게 다르면, 소수의 집락만 뽑아도 전체를 대표하지 못해 표본오차가 커진다.

사건 A의 발생횟수는 $n=50$, $p=\dfrac{1}{5}$인 이항분포를 따른다.

평균은 $E(X)=np=50 \times \dfrac{1}{5}=10$이다.

분산은 $Var(X)=np(1-p)=50 \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{4}{5}=8$이다.

빈칸은 차례로 A=7, B=52.59, C=3.79다.

총 자유도는 인자와 잔차 자유도의 합이므로 $A = 1 + 6 = 7$이다.

평균제곱은 제곱합을 자유도로 나눈 값이므로, 잔차 제곱합 315.54를 자유도 6으로 나누어 $B = \dfrac{315.54}{6} = 52.59$가 된다.

F값은 인자 평균제곱을 잔차 평균제곱으로 나눈 값이므로 $C = \dfrac{199.34}{52.59} \approx 3.79$다.

두 집단의 산포를 비교할 때는 두 표준편차의 비인 $\dfrac{s_A}{s_B}$를 사용한다.

표준편차의 차이($s_A-s_B$)는 척도(단위)에 따라 값이 달라져 상대적 비교에 부적합하지만, 비율은 단위에 무관하게 두 산포의 상대적 크기를 보여준다.

평균의 차이나 비율은 중심위치를 비교하는 통계치로, 산포를 비교하는 목적과는 다르다.

일원배치 분산분석 모형에서 오차항 $\varepsilon_{ij}$은 등분산성을 가정한다. 즉 모든 처리수준에서 오차의 분산이 동일해야 하므로, 분산이 동일하지 않아도 무방하다는 설명은 틀렸다.

오차항은 평균이 0인 정규분포를 따르고 서로 독립이라는 가정도 함께 필요하다(정규성·독립성·등분산성).

모집단의 분포가 정규분포가 아닐 때는 표본평균의 분포가 정확히 정규분포가 되지 않으며, 중심극한정리에 의해 표본크기가 충분히 클 때에 한해 근사적으로 정규분포를 따른다.

따라서 모집단의 확률분포에 관계없이 항상 정규분포라는 설명은 틀렸다.

• 모집단이 정규분포이면 표본평균도 정규분포를 따른다는 설명은 옳다.
• 표본평균의 표준오차가 $\sigma/\sqrt{n}$이라는 설명도 옳다.
• 표본평균의 기댓값이 모평균과 같다는 설명(불편성)도 옳다.

결정계수는 61.2%다.

결정계수는 총제곱합 가운데 회귀식이 설명하는 비율이므로 $R^2 = \dfrac{SSR}{SST}$로 구한다.

분산분석표에서 회귀 제곱합은 3,060이고 전체 제곱합은 5,000이므로 $R^2 = \dfrac{3060}{5000} = 0.612$, 즉 61.2%가 된다.

잔차 제곱합 1,940을 이용해 $1 - \dfrac{1940}{5000} = 0.612$로 계산해도 같은 값이 나온다.

오차의 분산-공분산 행렬이 $Var(\varepsilon)=\sigma^2 I$인 표준 선형회귀모형에서, 최소제곱추정량 $b$의 분산-공분산 행렬은 $Var(b)=(X'X)^{-1}\sigma^2$이다.

이는 $b=(X'X)^{-1}X'y$로부터 유도되는 결과로, 별도의 상수 $k$가 곱해지지 않는다.

두 타이어의 평균수명에는 통계적으로 유의한 차이가 있다.

표본 크기가 각각 60으로 충분히 크므로 두 모평균 차의 검정에는 $Z = \dfrac{\bar{x}_B - \bar{x}_A}{\sqrt{\dfrac{s_B^2}{n_B} + \dfrac{s_A^2}{n_A}}}$를 쓴다.

A는 평균 48,500km·표준편차 3,600km, B는 평균 52,000km·표준편차 4,200km이므로 $Z = \dfrac{52000 - 48500}{\sqrt{\dfrac{4200^2}{60} + \dfrac{3600^2}{60}}} = \dfrac{3500}{\sqrt{510000}} \approx 4.90$이다.

양측검정 기각역의 경계인 $1.96$보다 검정통계량이 훨씬 크므로 귀무가설을 기각한다. 따라서 '차이가 없다'는 결론은 나올 수 없고, 표본 정보만으로 판단이 가능하므로 '알 수 없다'도 아니다. 또한 검정은 차이의 존재를 말해 줄 뿐이므로 두 수명이 '완전히 일치한다'는 결론 역시 성립하지 않는다.

중위수는 169다.

자료는 164, 166, 167, 167, 168, 170, 170, 172, 173, 175로 이미 크기순으로 정렬되어 있고 관측값은 10개로 짝수다.

관측값이 짝수일 때 중위수는 가운데 두 값의 평균이므로, 5번째 값 168과 6번째 값 170을 평균해 $\dfrac{168 + 170}{2} = 169$가 된다.

표본평균의 표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0.6}{\sqrt{9}}=0.2$이다.

$Z=\dfrac{4.6-5}{0.2}=-2$이므로, 평균수명이 4.6년 이하일 확률은 $P(Z \le -2)$이다.

$P(|Z|>2)=0.046$이므로 한쪽 꼬리 확률은 $P(Z \le -2)=\dfrac{0.046}{2}=0.023$이다.

정답은 분자가 $0.42 - 0.4$, 분모가 $\sqrt{0.4(1-0.4)/100}$인 식이다.

모비율 검정의 검정통계량은 $Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$이며, 분자는 표본비율에서 귀무가설의 모비율을 뺀 값이다.

핵심은 분모의 표준오차에 표본비율이 아니라 귀무가설이 참일 때의 모비율 $p_0 = 0.4$를 넣는다는 점이다. 검정은 귀무가설을 전제로 표본분포를 세우기 때문이다.

따라서 $\hat{p} = 0.42$, $p_0 = 0.4$, $n = 100$을 대입한 형태가 옳고, 분모에 0.42를 쓴 식이나 분자를 두 비율의 합으로 둔 식, 분자에서 뺄셈을 하지 않은 식은 모두 성립하지 않는다.

카이제곱 검정의 자유도는 3이다.

교차분석(독립성 검정)의 자유도는 $(\text{행의 수}-1) \times (\text{열의 수}-1)$로 구한다.

표는 성별 두 집단의 2개 행과 A지역~D지역의 4개 열로 이루어져 있으므로 $(2-1) \times (4-1) = 3$이 된다. 합계 행과 합계 열은 행·열 수를 셀 때 포함하지 않는다.

총 관측치 수는 $3 \times 5 = 15$개(수준 3 × 반복 5)이므로 총자유도는 $15-1=14$이다.

처리(인자)의 자유도는 $3-1=2$이므로, 잔차(오차)의 자유도는 $14-2=12$이다.

자유투 성공 횟수는 $n=20$, $p=0.9$인 이항분포를 따르므로 기댓값은 $E(X)=np=20 \times 0.9=18$이다.

포아송 분포 $Po(\lambda)$에서 평균과 분산은 모두 λ와 같다는 것이 핵심 성질이다. 주어진 문제에서 λ=6.7이므로 평균 E(X)=6.7, 분산 Var(X)=6.7이다.

'분산 r=6.7²'이라는 설명은 분산을 r=6.7²이라고 했으나, 포아송 분포의 분산은 6.7이어야 하므로 틀렸다.

• '확률변수는 주문이 성사되는 주문건수'라는 설명은 확률변수의 정의로 올바르다.
• x의 확률함수 설명은 포아송 확률함수 $P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$로 맞다.
• '1시간 동안의 주문 건수 평균은 13.4'는 30분 주기 λ=6.7이므로 1시간(60분, 2주기)의 평균은 $6.7 \times 2 = 13.4$로 올바르다.

이항분포 확률 공식 $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$을 적용한다. 여기서 $n=4$, $k=3$, $p=0.5$(B그룹 비율)이므로, $P(X=3)=\binom{4}{3}(0.5)^3(0.5)^1 = 4 \times 0.125 \times 0.5 = 0.25$가 되어 0.25이다.

상관계수 $r_{xy}$는 두 변수 간 선형관계의 방향과 강도를 나타내는 지표이지, 각 변수의 산포 자체를 나타내는 값이 아니다.

산포는 분산이나 표준편차로 표현되는 개념으로 상관계수와는 구분된다.

• 상관계수가 $-1 \le r_{xy} \le 1$ 범위를 갖는다는 설명은 옳다.
• $r_{xy}=0$이면 선형관계가 없거나 무상관이라는 설명도 옳다.
• $r_{xy}=-1$이면 완전한 음의 선형관계라는 설명도 옳다.

결석시간과 학기말성적의 상관계수는 -0.95다.

총제곱합 2514.50에서 잔차제곱합 246.72를 빼면 회귀제곱합은 $2514.50 - 246.72 = 2267.78$이다.

따라서 결정계수는 $R^2 = \dfrac{2267.78}{2514.50} \approx 0.9019$이고, 상관계수의 크기는 $\sqrt{0.9019} \approx 0.95$가 된다.

부호는 추정회귀직선 $\hat{y} = 85.93 - 10.62x$의 기울기가 음수라는 데서 정해진다. 결석시간이 늘수록 성적이 떨어지는 관계이므로 상관계수는 -0.95다.

유의확률은 관측된 검정통계량 값을 근거로 귀무가설을 기각할 수 있는 최소의 유의수준을 의미한다.

이는 사전에 정해 둔 유의수준과 비교해, 유의확률이 그보다 작으면 귀무가설을 기각하는 방식으로 활용된다.

틀린 설명은 $Y = -2X + 3$일 때 $S_Y = 4S_X$라고 한 부분이다.

선형변환 $Y = aX + b$에서 표준편차는 $S_Y = |a| \, S_X$로 기울기의 절댓값 배만 커진다. 상수항 b는 산포를 바꾸지 못하고, 제곱해서 $a^2$배가 되는 것은 표준편차가 아니라 분산이다.

여기서는 $a = -2$이므로 $S_Y = |-2| \, S_X = 2S_X$가 옳다.

• 변이계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로, 단위나 평균 수준이 다른 여러 집단의 산포를 상대적으로 비교할 때 쓴다는 설명은 옳다.
• 상자그림은 다섯 수치 요약으로 여러 집단의 분포를 나란히 비교하는 데 유용하고, 상관계수가 0이어도 곡선 형태 같은 비선형 관련성은 존재할 수 있다.

단순회귀모형에서 결정계수는 상관계수의 제곱값($R^2=r^2$)과 같으므로, 상관계수와는 관계없는 값이라는 설명은 틀렸다.

결정계수는 종속변수의 총변동 중 회귀모형이 설명하는 비율을 뜻하며, X와 Y의 선형관계가 강할수록 커진다.

• $\beta=0$ 검정에 자유도 $n-2$인 t분포를 쓴다는 설명은 옳다.
• 오차분산의 추정량이 평균제곱오차(MSE)라는 설명도 옳다.
• 잔차 그래프로 모형 가정을 점검할 수 있다는 설명도 옳다.

자료의 범위는 최댓값 15에서 최솟값 0을 뺀 15이므로, 범위를 14로 계산한 값이 틀렸다.

주어진 15개 자료는 5, 7, 0, 3, 15, 6, 5, 9, 3, 8, 10, 5, 2, 0, 12이고 총합은 90이다. 따라서 평균 = 90 ÷ 15 = 6으로 옳다.

작은 값부터 정렬하면 0, 0, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15이다. 자료 수가 15개이므로 가운데인 여덟 번째 값이 중앙값이고 그 값은 5다. 가장 많이(3회) 나타난 값도 5이므로 최빈값 역시 옳다.

범위는 $\text{범위} = \text{최댓값} - \text{최솟값} = 15 - 0 = 15$이므로 14가 아니라 15가 된다.

모표준편차는 $\sigma=\sqrt{16}=4$이고, 표본평균의 표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}=0.8$이다.

90% 신뢰구간이므로 $Z=1.645$를 사용하면 오차한계는 $1.645 \times 0.8 \approx 1.316$이다.

따라서 신뢰구간은 $10 \pm 1.316$, 즉 $(8.68,\ 11.32)$이다.

유의수준($\alpha$)을 낮추면 귀무가설을 기각하는 기준이 엄격해져 제2종 오류를 범할 확률은 오히려 커진다. 따라서 유의수준을 감소시키면 제2종 오류도 감소한다는 설명은 틀렸다.

제1종 오류와 제2종 오류는 표본크기가 고정된 상태에서는 서로 상충 관계에 있다.

• 제1종 오류가 참인 귀무가설을 기각하는 오류라는 설명은 옳다.
• 제2종 오류가 참인 대립가설을 두고 귀무가설을 기각하지 못하는 오류라는 설명도 옳다.
• 유의수준이 제1종 오류의 최대허용한계라는 설명도 옳다.

잔차제곱합은 0이 아닌 양수인데 적합값과 잔차의 곱의 합은 0이므로, 잔차제곱합이 적합값·잔차 곱의 합과 같다는 관계는 성립하지 않는다.

최소제곱법은 $\sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$을 최소화하는 과정에서 정규방정식 $\sum e_i = 0$과 $\sum X_i e_i = 0$을 얻는다. 즉 잔차의 합과 설명변수·잔차 곱의 합은 모두 0이다.

• 잔차의 합이 0이라는 성질, 그리고 잔차의 합이 설명변수·잔차 곱의 합과 같다는 성질은 양변이 모두 0이므로 옳다.
• 적합값이 $\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i$이므로 $\sum \hat{Y}_i e_i = \hat{\beta}_0 \sum e_i + \hat{\beta}_1 \sum X_i e_i = 0$이 되어, 설명변수·잔차 곱의 합과 적합값·잔차 곱의 합이 같다는 성질도 옳다.

반면 $\sum e_i^2$은 잔차제곱합(SSE)으로, 모든 자료가 회귀직선 위에 정확히 놓이지 않는 한 항상 양수다. 그런데 이와 같다고 놓은 우변은 설명변수(또는 적합값)와 잔차를 곱해 더한 값이어서 정규방정식에 의해 0이 되므로, 양수인 잔차제곱합과 같아질 수 없다.

표본비율 0.55에 대한 검정통계량이 Z = 2이므로, 유의확률은 $P(Z \ge 2)$다.

가설이 $H_0 : p = 0.5$ 대 $H_1 : p > 0.5$인 우측 단측검정이고, 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{220}{400} = 0.55$다.

검정통계량은 $Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$이므로
$Z = \dfrac{0.55 - 0.5}{\sqrt{0.5 \times 0.5 / 400}} = \dfrac{0.05}{0.025} = 2$

유의확률은 귀무가설이 참일 때 관측값보다 더 극단적인 값이 나올 확률이고, 대립가설이 우측이므로 오른쪽 꼬리 확률 $P(Z \ge 2)$가 답이 된다. 양측검정이 아니므로 2배로 곱하지 않는다.

표본조사의 추정오차(신뢰한계)는 $E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$로, 표본크기 n의 제곱근에 반비례한다. 신뢰수준 95%일 때 $z_{\alpha/2} = 1.96$이고, 모비율 추정의 최대오차는 $E = 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$이다. 찬반 여론조사에서 p=0.5(최악의 경우)를 가정하면, 400명 표본의 오차: $E_1 = 1.96\sqrt{\frac{0.25}{400}} = 1.96 \times 0.025 = 0.049 = 4.9\%$
1,600명 표본의 오차: $E_2 = 1.96\sqrt{\frac{0.25}{1600}} = 1.96 \times 0.0125 = 0.0245 = 2.45\%$
표본을 4배 늘렸으므로 $\sqrt{4} = 2$배 감소하여, 오차 감소량 = 4.9% − 2.45% = 2.45%이다.

추정량이 동일한 불편추정량들 중에서 분산이 가장 작은, 즉 표본오차가 가장 작은 추정량을 고르는 성질을 유효성이라 한다.

불편성은 기댓값이 모수와 일치하는 성질, 일치성은 표본크기가 커질수록 모수에 수렴하는 성질로, 표본오차의 크기 자체와는 직접 연결되지 않는다.

평균 82점, 표준편차 8점일 때 66점부터 98점 범위를 표준정규분포로 해석하면, 66 = 82 − 2×8, 98 = 82 + 2×8이므로 평균으로부터 ±2표준편차 범위이다. 체비셰프 부등식에 의하면 평균으로부터 k표준편차 이내에 포함될 확률은 1 − 1/k²이고, k=2일 때 1 − 1/4 = 3/4이다. 따라서 해당 범위에 포함된 학생은 최소한 280 × 3/4 = 210명 이상이며, 보기 중 이를 초과하는 가장 작은 값은 211명이다.

정규분포에서 관측값이 $\mu-\sigma$와 $\mu+\sigma$ 사이에 나타날 확률은 약 68%이며, 약 95%가 되는 구간은 $\mu-2\sigma$에서 $\mu+2\sigma$ 사이이다.

따라서 해당 구간의 확률이 약 95%라는 설명은 틀렸다.

• 정규분포가 좌우대칭인 종모양이라는 설명은 옳다.
• 표준화변수 $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$가 $N(0,1)$을 따른다는 설명도 옳다.
• 평균과 중위수가 일치해 비대칭도가 0이라는 설명도 옳다.

상위 10%의 경계가 되는 $Z$값은 $P(0 \lt Z \lt 1.28)=0.4$이므로 $P(Z \gt 1.28)=0.5-0.4=0.1$, 즉 $Z=1.28$이다.

경계점수는 $75+1.28 \times 15=75+19.2=94.2$점이다.

따라서 94.2점 이상이어야 학점을 받으므로, 제시된 선택지 중 이를 만족하는 가장 낮은 점수인 95점이 최소점수가 된다.

임계값 3.84는 유의수준 0.05에서의 기각값인데, 계산된 검정통계량 8이 이 임계값보다 크므로 귀무가설을 기각하게 되어 유의확률은 오히려 0.05보다 작다.

• 독립성 검정에서 자유도는 (2-1)(2-1)=1로 옳다.
• 카이제곱 통계량은 기대도수가 모두 50이므로 $\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}=4\times\frac{10^2}{50}=8$로 옳다.
• 오즈비는 남자의 찬반 오즈(40/60)와 여자의 찬반 오즈(60/40)의 비로 $\text{OR}=\frac{40/60}{60/40}=\frac{40\times40}{60\times60}$ 형태로 옳게 표현된다.

결정계수는 상관계수의 제곱과 같으므로, 회귀선의 설명력은 $R^2=r^2=0.90^2=0.81$이다.

즉 광고액(독립변수)이 매출액(종속변수) 변동의 81%를 설명한다는 의미이다.

기울기 추정값이 -1.75, 절편 추정값이 187.5이므로 순서대로 187.5와 -1.75다.

최소제곱 추정값은 $\hat{\beta} = \dfrac{\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sum (x_i - \overline{x})^2}$, $\hat{\alpha} = \overline{y} - \hat{\beta}\,\overline{x}$로 구한다.

주어진 값이 $\overline{x} = 50$, $\overline{y} = 100$, $\sum (x_i - \overline{x})^2 = 2000$, $\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = -3500$이므로
$\hat{\beta} = \dfrac{-3500}{2000} = -1.75$
$\hat{\alpha} = 100 - (-1.75) \times 50 = 100 + 87.5 = 187.5$

함께 주어진 $\sum (y_i - \overline{y})^2 = 3000$은 총제곱합으로 결정계수나 분산 추정에 쓰이는 값이어서 회귀계수 계산에는 사용하지 않는다. 이 값을 분모에 넣지 않도록 주의한다.

두 사건의 교집합 확률이 $\dfrac{1}{3}$이므로 합집합 확률은 $\dfrac{2}{3}$다.

조건부확률의 정의 $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$에서 교집합을 먼저 구하면
$P(A \cap B) = P(A|B)\,P(B) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$

확률의 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$에 대입하면
$P(A \cup B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

$P(A|B) = \dfrac{2}{3}$이 $P(A) = \dfrac{1}{2}$과 다르므로 두 사건은 독립이 아니다. 따라서 교집합을 $P(A)P(B)$로 곱해 구하면 안 된다.

확률변수 X가 0 또는 1만을 취한다는 설명은 시행이 1회뿐인 베르누이 분포에 해당하며, 반복시행 $n$회의 이항분포에서는 X가 0부터 n까지의 정수값을 취할 수 있으므로 틀린 설명이다.

• 반복시행 n회일 때 X가 0부터 n까지의 값을 취한다는 설명은 옳다.
• 평균이 $np$라는 설명도 옳다.
• 분산이 $np(1-p)$라는 설명도 옳다.

95% 신뢰구간은 $200 \pm 1.96 \times \dfrac{20}{7}$이다.

표본크기가 49로 충분히 크므로 정규근사를 적용하며, 모평균의 신뢰구간은 $\overline{X} \pm z_{\alpha/2}\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ 꼴이다.

• 신뢰수준 95%는 양쪽 꼬리 확률이 각각 0.025이므로 $P(Z > 1.96) = 0.025$를 주는 1.96을 쓴다. 1.645는 신뢰수준 90%(단측 5%)에 해당하는 값이라 맞지 않는다.
• 표준오차의 분모는 표본크기가 아니라 그 제곱근이므로 $\dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{20}{\sqrt{49}} = \dfrac{20}{7}$이다. 분모를 49로 두면 틀린다.

따라서 구간은 $200 \pm 1.96 \times \dfrac{20}{7}$, 곧 대략 194.4mm에서 205.6mm 사이가 된다.

자료 10, 20, 30, 40, 100처럼 극단값(이상치)이 포함된 경우, 산술평균은 100과 같은 큰 값에 크게 영향을 받아 자료의 중심을 왜곡한다. 이런 경우 극단값의 영향을 받지 않는 중위수(중앙값)가 대푯값으로 가장 적합하며, 이 자료의 중위수는 30이다.

학점(평균평점)과 월급여의 관계를 다루는 사례는 두 연속변수 간의 관계를 살펴보는 문제로, 집단을 나누어 평균을 비교하는 것이 아니므로 일원배치 분산분석보다는 상관분석·회귀분석이 적합하다.

일원배치 분산분석은 하나의 범주형 요인(수준)에 따라 나뉜 집단 간 연속형 종속변수의 평균 차이를 검정하는 기법이다.

• 제조업체(3개 수준)별 원료 혼합 소요시간 평균 비교는 전형적인 일원배치 분산분석 사례이다.
• 직업군(부동산중개업자·건축가·증권거래인 3개 수준)별 직무스트레스 점수 평균 비교도 일원배치 분산분석에 해당한다.
• 구(3개 수준)별 아파트 매매가격 평균 비교 역시 일원배치 분산분석 사례이다.

비복원추출에서 특정 개수의 불량품이 뽑힐 확률은 초기하분포로 구한다.

전체 10개 중 4개를 뽑는 경우의 수는 $\binom{10}{4}=210$이다.

불량품 2개 중 1개, 정상품 8개 중 3개를 뽑는 경우의 수는 $\binom{2}{1}\times\binom{8}{3}=2\times56=112$이다.

따라서 확률은 $\dfrac{112}{210}\approx 0.53$이며, 불량품이 1개 포함될 확률은 약 0.53이다.