19년 2회차

같은 검사를 사전·사후에 동일한 측정도구로 실시했으므로 측정도구가 달라져 생기는 도구효과는 개입할 여지가 없다.

사례는 자아존중감 검사에서 정상치보다 지나치게 낮은 점수가 나온 사람만 골라 향상 프로그램을 실시한 뒤 같은 검사로 재측정해 평균이 높아졌다고 했다.

• 극단적으로 낮은 점수자만 선별했기 때문에 재측정 시 점수가 평균 쪽으로 되돌아가는 통계적 회귀가 작동한다.
• 동일한 검사를 두 번 치르면서 문항에 익숙해져 점수가 오르는 시험효과가 섞여 있다.
• 프로그램 진행 기간에 대상자가 자연스럽게 변화하는 성숙효과도 배제할 수 없다.

온라인 조사는 인터넷 이용이 가능한 사람만을 대상으로 하기 때문에 접근성이 낮은 계층이 배제되어 대표성을 확보하기 어렵다는 한계가 있다.

따라서 조사대상에 대한 높은 대표성을 확보할 수 있다는 설명은 온라인 조사의 장점으로 볼 수 없다.

멀티미디어 활용, 짧은 기간에 많은 응답자 조사, 저렴한 비용은 온라인 조사의 실제 장점에 해당한다.

가설은 기존 이론이나 다른 가설과 논리적으로 연결되어야 하며, 이론체계와 독립적으로 존재할 수는 없다.

가설은 연구문제에 대한 잠정적 답으로서 이론에서 도출되거나 이론 형성에 기여하므로 다른 이론·가설과의 연관성 속에서 검토된다.

변수 간 관련성을 진술한 문장이며 구체적이고 검증 가능해야 한다는 점, 그리고 경험적 검증을 통해 참·거짓이 판명될 수 있다는 점은 가설의 올바른 요건이다.

작업가설(working hypothesis)은 두 변수 간의 관계를 구체적이고 검증 가능한 형태로 진술해야 하며, 소득수준과 생활만족도의 관계를 나타낸 진술이 이에 해당한다.

• 사회 양극화 진술은 변수 간 관계가 아니라 하나의 현상을 서술한 것이어서 검증 가능한 작업가설로 보기 어렵다.
• 독서를 많이 해야 한다는 진술은 사실판단이 아닌 당위(가치)판단이어서 과학적 가설이 될 수 없다.
• 경제성장이 사회혼란을 심화시킬 수 있다는 진술은 관계의 방향이 모호하고 가능성만 언급해 구체적 검증이 어렵다.

응답자에게 직접 묻지 않고 가상의 상황을 제시해 속마음을 드러내게 하는 간접 기법은 투사법이다.

제시문이 말한 '직접적인 질문 대신 가상의 상황으로 자극'한다는 것은, 응답자가 자신의 욕구·태도를 제시된 대상에 무의식적으로 투영하도록 만드는 절차를 뜻한다. 그림·문장완성·역할극 등이 대표적 도구다.

• 정보검사법은 응답자가 특정 주제에 대해 알고 있는 정보의 양을 물어 태도를 간접 추정하는 방법이다.
• 오진선택법은 정답이 없는 선택지들을 제시해 응답자가 고르는 오답의 방향으로 편견을 추정한다.
• 표적집단면접법은 소수 참여자를 모아 사회자 주도로 토론시키는 정성조사 기법으로, 가상 상황 자극과는 성격이 다르다.

과학적 연구는 간결성(parsimony)을 지향하므로, 현실적합성을 높인다고 해서 무작정 많은 자료와 변수를 포함하는 것이 좋은 것은 아니다.

가능한 적은 수의 변수로 현상을 설명할 수 있을수록 이론적으로 우수한 설명으로 평가된다.

과학적 연구가 논리적 사고에 근거하고, 현상의 원인이 논리적으로 확인 가능하다는 점, 그리고 사회과학의 과학성이 연구자들 간의 상호주관성에 근거한다는 설명은 모두 타당하다.

제시된 삼단논법(“모든 사람은 죽는다. 소크라테스는 사람이다. 따라서 소크라테스는 죽는다.”)은 일반적 명제로부터 개별 사실을 이끌어내는 연역법의 고전적 예이며, 귀납의 예로 설명한 것은 틀렸다.

귀납은 구체적인 개별 관찰들로부터 일반적 결론을 이끌어내는 논리이고, 연역은 반대로 일반 이론에서 구체적 가설을 도출하는 논리이다.

사회과학 이론과 연구가 연역과 귀납의 순환을 통해 연결된다는 설명 자체는 옳다.

완전참여자(complete participant)는 자신의 신분과 조사 목적을 밝히지 않은 채 관찰 대상 집단에 완전히 녹아들어 자연스러운 사회적 과정에 함께 참여하는 역할이다.

• 완전관찰자는 신분을 숨기지만 활동에는 참여하지 않고 지켜보기만 한다.
• 참여자적 관찰자와 관찰자적 참여자는 조사자로서의 신분을 대상자에게 알린 상태에서 참여의 비중을 달리하는 역할이다.

단일사례설계를 통해 개입의 효과를 검증하는 연구는 개입의 성과를 판단하는 것이므로 탐색(exploration)이 아니라 평가(evaluation) 목적의 연구로 짝지어야 한다.

탐색적 연구는 잘 알려지지 않은 주제에 대한 예비적 이해를 얻기 위한 연구를 말한다.

대선후보 지지율 조사는 현황을 있는 그대로 파악하는 기술(description), 담배값 인상 반대 이유를 파악하는 연구는 원인을 규명하는 설명(explanation), 의료정책이 국민 의료비에 미친 영향을 살피는 연구는 평가(evaluation)의 적절한 예이다.

토마스 쿤이 제시한, 한 시대의 견해와 사고를 지배하는 이론적 틀이자 과학공동체가 공유하는 세계관은 패러다임이다.

제시문은 이 개념을 '특정 과학공동체의 구성원이 공유하는 세계관, 신념 및 연구과정의 체계로서 개념적·이론적·방법론적·도구적 체계'라고 규정하는데, 이는 쿤이 과학혁명의 구조에서 제시한 패러다임 정의 그대로다.

• 명제는 둘 이상의 개념 사이의 관계를 서술한 진술이다.
• 법칙은 반복 검증되어 예외 없이 성립하는 것으로 확립된 관계 진술이다.
• 공리는 증명 없이 참으로 받아들이는 기본 전제로, 학문 공동체의 세계관 전체를 가리키지 않는다.

글을 읽거나 쓰기 어려운 어린이나 노인에게는 조사자가 직접 구술로 질문하고 응답을 받는 대면면접조사가 가장 적절한 자료수집 방법이다.

• 우편조사는 회수율(응답률)이 가장 낮은 방법으로 꼽힌다.
• 대면면접조사는 조사자가 즉석에서 추가질문(탐사질문)을 던지기 가장 용이한 방법이다.
• 전화조사와 대면면접조사는 조사자가 질문을 읽어주고 기입하는 타기입식 방법이며, 자기기입식은 주로 우편조사나 온라인조사에 해당한다.

제시된 세 주제는 모두 현상의 분포와 변수 간 관련성을 있는 그대로 파악하는 것이므로 전부 기술조사에 해당한다.

기술조사는 '얼마나·누가·어떤 관계인가'를 밝히는 조사로, 신문의 구독률 조사와 신문 구독자의 연령대 조사는 현황과 분포를 기술하는 전형적 주제다.

신문 구독률과 구독자의 소득이나 직업 사이의 관련성 조사 역시 두 변수의 상관관계를 기술하는 것이지 원인과 결과를 검증하는 것이 아니다. 인과관계 규명은 설명조사의 영역이므로 이 주제도 기술조사에서 제외되지 않는다.

하나의 문항으로 두 가지 이상의 질문을 동시에 묻는 것은 이중질문(double-barreled question)으로, 문항수를 줄이기 위해 권장할 사항이 아니라 반드시 피해야 할 오류이다.

이중질문은 응답자가 어느 부분에 대해 답한 것인지 모호해져 자료의 신뢰성을 떨어뜨린다.

응답 항목 간 중복을 피하고 쉽고 명확한 단어를 사용하며, 조사자가 응답자에 대해 임의로 가정하지 않아야 한다는 나머지 설명은 질문지 작성의 올바른 원칙이다.

'귀하의 고향은 어디입니까?'라는 질문은 ‘고향’의 뜻을 규정하지 않아 명확성이 결여되어 있다.

응답자에 따라 고향을 태어난 곳으로 볼 수도 있고, 가장 오래 자란 곳이나 부모의 연고지로 볼 수도 있어 같은 문항에 서로 다른 기준으로 응답하게 되고 그 결과는 비교할 수 없게 된다.

• 응답 항목이 서울특별시부터 제주특별자치도까지 17개 시·도에 '외국'까지 포함하므로 포괄성은 갖추고 있다.
• 각 시·도는 서로 겹치지 않아 상호배제성도 문제되지 않는다.
• 질문 문장이 한 줄로 짧아 간결성이 결여되었다고 보기도 어렵다.

데이터베이스조사(database survey)는 이미 구축된 데이터베이스를 활용하는 자료 수집·분석 기법으로, 응답자가 온라인상에서 직접 응답하는 형태의 온라인 조사방법으로 분류되지 않는다.

전자우편조사, 웹조사(HTML form 방식), 다운로드형 조사는 모두 응답자가 인터넷을 통해 직접 설문에 응답하는 대표적인 온라인 조사방법이다.

시간이 지나면서 대상자 자신에게 일어난 자연스러운 변화를 처치의 효과로 잘못 해석한 것이므로 성숙효과가 대표적인 저해요인이다.

사례는 요양원에서 사회복지서비스를 받은 뒤 육체적으로 약해졌다는 사실만으로 서비스가 신체적 능력 향상에 전혀 효과가 없다고 추론했는데, 고령자는 개입이 없어도 신체 기능이 저하되므로 노화에 따른 변화가 결과에 그대로 섞여 있다.

• 우연적 사건은 조사 기간 중 발생한 외부 사건이 결과를 바꾸는 경우인데, 사례에는 그런 사건이 제시되지 않았다.
• 시험효과와 도구효과는 각각 검사의 반복과 측정도구·측정자의 변경을 전제로 하는데, 사례에는 반복 측정이나 도구 변경에 대한 언급이 없다.

혼합연구방법(mixed method)에서는 질적 연구결과에서 양적 연구가 시작될 수도 있고 그 반대의 순서도 가능하므로, 시작될 수 없다는 설명은 틀렸다.

혼합연구는 순차적 또는 동시적으로 양적·질적 접근을 결합할 수 있어 다양한 패러다임을 수용해야 하고, 두 결과가 상반되게 나타날 수도 있으며, 주제에 따라 두 방법의 비중이 달라질 수 있다는 설명은 모두 타당하다.

특정 조사대상을 미리 정해 반복 조사하는 것은 패널조사, 서로 다른 시점의 반복조사에서 얻은 시계열자료를 이용하는 것은 추세조사다.

패널조사는 동일한 표본(패널)을 계속 추적하므로 개인 수준의 변화까지 포착할 수 있는 반면, 추세조사는 시점마다 표본을 새로 추출해 같은 모집단의 시간적 변화를 비교한다.

횡단조사는 한 시점에서만 자료를 수집하므로 '반복조사'라는 설명과 맞지 않고, 전문가조사는 전문가 의견을 수집하는 방법이어서 시계열자료 이용과 무관하다.

과학적 연구는 일반적으로 이론 → 가설 → 관찰 → 경험적 일반화의 순서로 진행되는 연역-귀납의 순환 과정을 따른다.

먼저 이론에서 검증 가능한 가설을 연역적으로 이끌어내고, 이를 실제 관찰(자료수집)을 통해 검증한 뒤 관찰 결과를 귀납적으로 일반화하여 다시 이론을 보완·발전시킨다.

표적집단면접법(FGI)은 특정 주제에 대해 전문적인 지식이나 경험을 가진 소수의 집단을 모아 자유로운 토론을 진행시키고, 그 과정에서 필요한 정성적 정보를 이끌어내는 조사방법이다.

사회자(진행자)가 개방형 질문으로 토론을 유도하며 참가자 간 상호작용을 통해 심층적인 의견을 파악한다.

조사 목적을 숨긴 채 심리적 의사소통법을 이용하는 방법, 제시어로부터 연상되는 단어를 나열하게 하는 방법(단어연상법), 모호한 그림을 보여주고 해석하게 하는 방법(주제통각검사 등)은 모두 투사법에 속하는 기법으로 표적집단면접법과 구분된다.

1차 자료는 현재의 의사결정 문제를 위해 조사자가 직접 수집하는 자료이므로, 순서상 2차 자료의 존재와 사용가능성을 먼저 확인한 뒤 부족하면 1차 자료 수집에 나서는 것이 경제적이며, 그 반대 순서로 설명한 것은 틀렸다.

1차 자료는 조사목적에 맞는 최신 정보를 제공할 수 있지만, 새로 수집해야 하므로 인력·시간·비용이 많이 소요된다는 설명은 옳다.

면접법은 조사자가 응답자와 대면하여 진행하므로 오히려 익명성이 낮아 민감한 질문에 솔직한 답을 얻기 어려운 편이며, 익명성이 높다는 설명은 면접법의 장점으로 틀렸다.

익명성이 보장되어 솔직한 응답을 얻기 쉬운 방법은 우편조사나 온라인조사와 같은 자기기입식 방법이다.

면접법은 응답자의 표정·행동을 함께 관찰할 수 있고, 상황에 맞게 신축성 있게 질문할 수 있으며, 질문 순서와 정보 흐름을 조사자가 통제할 수 있다는 점이 장점이다.

동일한 대학생 모집단에서 두 집단을 같은 규모(각 30명)로 동일하게 구성한다고만 밝히고 있어, 집단 간 이질성에서 비롯되는 표본의 편중은 이 설계의 위협으로 드러나지 않는다.

반면 이 연구는 통제된 실험실이 아니라 현지에서 1개월간 진행되는 실험이므로, 기간 경과와 현장 노출에서 오는 위협이 크다.

• 조사 기간에 성 관련 사회적 이슈 등 외부 사건이 끼어들어 결과를 흔드는 우연적 사건이 개입할 수 있다.
• 사전·사후 측정 사이에 측정자나 측정 조건이 달라지는 측정수단의 변화가 생길 수 있다.
• 같은 학교 대학생끼리 접촉하므로 통제집단이 실험처치 내용을 알게 되는 실험변수의 확산 또는 모방이 일어나기 쉽다.

질적연구가 양적연구에 비해 대상자를 더 정확히 이해할 수 있는 우월한 방법이라는 설명은 틀렸다. 두 방법은 우열의 관계가 아니라 상호보완적인 관계에 있다.

질적연구는 현상에 대한 깊은 이해와 주관적 의미, 개별 사례의 맥락을 규명하는 데 강점이 있는 반면 양적연구는 일반화와 객관적 측정에 강점이 있어, 연구주제에 따라 두 방법을 함께 활용할 수 있다.

실험설계는 연구자가 독립변수를 인위적으로 조작하고 상황을 통제하는 표준화된 절차이지, 조작적 상황을 배제하고 자연적 상황을 그대로 유지하는 절차가 아니다.

자연적 상황을 그대로 관찰하는 것은 실험설계가 아닌 비실험적(관찰) 연구설계의 특징에 가깝다.

실험설계는 연구가설의 진위를 확인하기 위한 구조화된 절차로서 검증력을 높이고 내적 타당도를 확보하려는 시도라는 나머지 설명은 옳다.

사생활 침해에 대한 오인과 자기방어 욕구는 응답자가 면접 참여를 꺼리게 만드는 저해 요인이지, 참여 동기를 부여하는 요인이 아니다.

면접자를 돕고 싶은 이타적 충동, 금전적·물질적 보상에 대한 기대, 자신의 의견을 표현하고 싶은 욕망은 모두 응답자가 면접에 협조하도록 이끄는 동기 요인에 해당한다.

수집한 자료를 편집(editing)·정정·보완하거나 필요시 삭제하는 작업은 통계적 처리에 앞서 자료를 다듬는 과정으로, 자료분석단계에서 본격적인 분석에 들어가기 전 전처리 과정으로 이루어진다.

문제설정단계는 연구주제와 가설을 정하는 단계이고, 자료수집단계는 현장에서 자료를 모으는 단계이며, 예비검사단계는 본조사 전 질문지를 시험적으로 점검하는 단계로, 이미 수집된 자료 자체를 정정·보완하는 작업과는 성격이 다르다.

패널조사는 최초에 패널을 잘못 구성하면 동일한 대상을 반복 추적해야 하는 조사 특성상 이후 이를 수정하기 어렵다는 것이 단점이며, 장기간에 걸쳐 쉽게 수정할 수 있다는 설명은 틀렸다.

패널조사는 동일 대상을 반복 조사하는 과정에서 패널이 이탈(마모)될 수 있는 단점이 있으나, 동일 대상을 계속 추적하므로 추가 자료 확보가 비교적 쉽고 시간에 따른 태도·행동 변화를 분석할 수 있는 장점이 있다.

응답에 대한 강제적 참여 조항은 질문지의 표준 구성요소가 아니며, 오히려 설문조사는 자발적 참여를 원칙으로 한다.

질문지는 통상 응답자를 식별하는 식별자료, 응답 방법을 안내하는 지시사항, 필요한 정보를 얻기 위한 문항들로 구성된다.

두 변수의 실제 관계가 정(+)의 방향이더라도, 표본의 특성이나 제3의 변수(억제변수 등)의 영향으로 인해 관찰된 상관계수가 부(-)로 나타날 수 있다.

X가 Y보다 논리적으로 선행하고 상관이 높다는 사실만으로 곧바로 인과관계가 있다고 단정할 수는 없으며, 인과관계가 성립하려면 시간적 선행성·공변관계(상관)·비허위성이 모두 충족되어야 한다.

피어슨 상관계수가 0이라는 것은 선형관계가 없다는 의미일 뿐, 비선형적 관계 등 다른 형태의 관계까지 없다고 단정할 수는 없다. 또한 X와 Y 사이에 매개변수가 있는 경우에도 두 변수는 매개변수를 통한 간접적인 인과관계를 가진다.

어의차이척도(semantic differential scale)는 서로 대립되는 형용사 쌍을 양 극단에 배치해 하나의 대상에 대한 감정·태도를 측정하는 비비교척도(noncomparative scale)이므로, 측정대상들을 직접 비교하는 비교척도에 해당한다는 설명은 틀렸다.

측정 대상을 다른 대상과 나란히 놓고 비교하지 않고 개별적으로 평가한다는 점에서 비비교척도로 분류된다.

측정된 자료가 요인분석 등 다변량분석에 활용될 수 있고, 브랜드·광고 이미지 등을 파악하는 데 널리 쓰이며, 대립되는 형용사로 구성된다는 나머지 설명은 옳다.

교육수준은 서열측정, 교육연수는 비율측정, 출신 고등학교 지역은 명목측정이다.

중졸 이하·고졸·대졸 이상은 높고 낮음의 순서는 있으나 범주 사이의 간격이 일정하지 않으므로 서열척도에 해당한다.

정규교육을 받은 기간(년)은 0년이 '교육을 전혀 받지 않음'을 뜻하는 절대영점을 가져 두 배·절반 같은 비율 비교가 가능하므로 비율척도이고, 출신 고등학교 지역은 지역을 구분하는 이름표일 뿐 순서나 크기가 없으므로 명목척도다.

단순무작위표집(simple random sampling)은 모집단의 모든 구성원에게 동일한 추출 확률을 부여하는 대표적인 확률표집 방법이다.

할당표집, 판단표집, 편의표집은 조사자의 주관이나 편의에 따라 표본을 선정하는 비확률표집 방법으로, 추출확률을 통계적으로 알 수 없다.

개념은 언어·기호를 통해 감각적으로 직접 관찰되지 않는 추상적 현상까지도 이해할 수 있게 해주는 도구이므로, 감각으로 감지 가능한 현상에 대해서만 이해 방법을 제시한다는 설명은 개념의 역할로 틀렸다.

개념은 연구의 출발점을 제시하고, 연역적 추론의 토대가 되며, 언어·기호로 표현되어 지식의 축적과 확장을 가능하게 한다는 점에서 나머지 설명은 타당하다.

단순무작위표집은 모집단의 명확한 목록(표본틀)이 존재하고 각 개체에 동등한 표집 확률을 부여할 수 있을 때 적용 가능하다. 그런데 중산층은 '중산층'의 기준이 소득·자산·교육 수준 등 다양한 요소에 따라 주관적이고, 정확한 대상자 목록을 작성하기 어렵다는 점에서 단순무작위표집의 전제 조건 자체가 성립하지 않는다.

반면 신용카드 이용자는 카드사 고객 명부, 고등학생은 학교 학적부, 시험응시자는 응시자 명부 등 모집단 목록을 확보하기 용이하다.

하나의 서술어를 가운데 두고 위쪽에 양수, 아래쪽에 음수 눈금을 배치한 형태는 스타펠척도다.

제시된 척도는 'AA백화점은'이라는 도입 문구 아래 고급이다·서비스가 부족하다·상품이 다양하다라는 단일 서술어를 각 칸 중앙에 두고, 그 위로 5에서 1까지, 아래로 -1에서 -5까지 숫자를 세로로 늘어놓았다. 응답자는 서술어가 맞을수록 큰 양수를, 틀릴수록 큰 음수를 고른다.

이 방식은 양극단의 상반된 형용사 쌍을 짝지어야 하는 어의차이척도의 부담을 덜기 위해 고안된 것이다. 리커트척도는 동의 정도를 묻는 진술문의 합산식이고, 거트만척도는 문항 간 누적성을, 서스톤척도는 전문가 평정으로 부여한 등간 가중치를 특징으로 해 이 형태와 구분된다.

계통표집(systematic sampling)은 표집구간 내에서 첫 번째 요소만 무작위로 선정한 뒤, 이후로는 일정한 간격(k)마다 요소를 뽑아 표본을 구성하는 방법이다.

층화표집은 모집단을 소집단(층)으로 나눈 뒤 각 층에서 표본을 추출하는 방법이고, 집락표집은 모집단을 여러 집락으로 나눈 뒤 일부 집락을 통째로 추출하는 방법이며, 단순무작위표집은 매번 독립적으로 무작위 추출을 반복하는 방법이라는 점에서 계통표집과 구분된다.

측정하고자 하는 개념을 정확히 측정했는가를 다루는 것은 타당도의 정의이며, 신뢰성에 대한 설명으로는 옳지 않다.

신뢰성은 동일한 대상을 반복 측정했을 때 나타나는 결과의 일관성·정확성·예측가능성과 관련된 개념이다.

재검사법, 복수양식법, 반분법은 신뢰성을 측정하는 대표적 방법이며, 측정값들 간 비체계적 오차가 적을수록 신뢰성이 높다는 설명은 옳다.

제시된 네 진술은 모두 개념타당성에 대한 옳은 설명이다.

개념타당성은 측정값 자체가 아니라 측정하려는 이론적 속성(구성개념)을 제대로 재고 있는가를 따지는 타당성이므로, 속성에 초점을 맞춘다는 설명과 이론과 관련지어 측정도구의 타당성을 검증한다는 설명이 모두 성립한다.

또한 문항들이 의도한 개념 차원으로 묶이는지를 요인분석으로 확인할 수 있고, 집중타당성과 판별타당성을 상관계수·요인적재량으로 따지는 통계적 검증이 가능하다는 점도 내용타당성 같은 주관적 판단 위주의 타당성과 구별되는 개념타당성의 특징이다.

확률표본추출을 하더라도 표본은 모집단의 일부일 뿐이므로 모집단 값과의 차이인 표본오차는 여전히 발생하며, 표본오차가 없다는 설명은 틀렸다.

확률표집은 다만 표본오차의 크기를 통계적으로 추정할 수 있게 해줄 뿐, 표본오차 자체를 없애주지는 않는다. 조사 과정상의 실수 등으로 발생하는 비표본오차와는 별개의 개념이다.

표본을 추출하려면 모집단을 분명히 정의해야 하고, 표본추출은 모집단에서 표본을 선택하는 행위이며, 대표성을 확보하려면 확률표본추출이 바람직하다는 나머지 설명은 옳다.

표본추출요소(sampling element)는 실제로 자료가 수집되는 최소 분석 단위를 가리키므로, 자료가 수집되는 대상의 단위라는 설명이 옳다.

분석단위와 관찰단위는 항상 일치하는 것은 아니며 서로 다를 수 있다.

통계치는 표본에서 얻은 특성을 요약한 값을 말하며 모집단의 특성을 요약한 값은 모수(parameter)라 부른다. 또한 표본이 실제로 추출되는 연구대상 목록은 표본추출단위가 아니라 표본프레임(sampling frame)에 해당한다.

신뢰도가 높다고 해서 타당도까지 보증되는 것은 아니며, 신뢰도는 타당도가 성립하기 위한 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다.

동일인이 같은 체중계로 반복 측정하는 것은 결과의 일관성을 보는 것이므로 타당도가 아니라 신뢰도와 관련된 예이고, 측정도구의 타당도 검사에 반분법을 쓴다는 설명도 반분법은 신뢰도 측정법이므로 틀렸다.

기준관련 타당도는 측정도구의 대표성이 아니라 다른 외적 기준(criterion)과의 상관 정도를 통해 타당성을 판단하는 방법이다.

모집단 목록을 만들 수 없는 대상을 기존 응답자의 소개로 연쇄적으로 확장해 표본을 채웠으므로 눈덩이표집이다.

지문은 외국인 불법체류 근로자처럼 표집틀 자체가 존재하지 않는 집단을 대상으로, 첫 단계에서 종교단체를 통해 소수의 응답자를 확보한 뒤 그 응답자의 소개로 다음 면접자를 계속 이어받는 절차를 보여준다. 이렇게 연쇄의뢰(referral)로 표본을 누적시키는 비확률표집이 눈덩이표집이다.

• 할당표집은 모집단의 구성비를 미리 알고 성·연령 등 범주별 할당량을 채우는 방식이라 모집단을 파악할 수 없는 지문의 상황에는 쓸 수 없다.
• 군집표집은 모집단을 집락으로 나눈 뒤 집락을 확률적으로 뽑는 확률표집이므로 표집틀이 반드시 필요하다.
• 편의표집은 접근이 쉬운 대상을 임의로 고르는 데 그치며, 응답자의 소개를 받아 단계적으로 표본을 늘려가는 절차가 없다.

토익점수가 실제 영어회화 능력을 제대로 반영하지 못했다는 것은, 측정하고자 하는 실제 개념(영어회화 능력)을 정확히 측정하지 못했다는 뜻이므로 이는 타당도의 문제이다.

신뢰도는 동일 측정을 반복했을 때의 결과 일관성 문제이므로, 다른 개념(회화능력)과의 관련성이 낮다는 이번 상황과는 성격이 다르다.

단일지표 대신 여러 개의 지표를 사용하는 주된 목적은 측정 결과의 일관성을 높이는 것으로, 신뢰도·내적일관성·측정도구의 안정성을 높이기 위함이며 타당도를 높이기 위한 것은 아니다.

여러 지표를 함께 사용하면 특정 지표 하나가 갖는 우연적 오차를 상쇄시켜 측정의 정확성과 일관성이 개선되지만, 이것이 곧 측정하고자 하는 개념을 제대로 측정했는지를 뜻하는 타당도의 향상을 보장하지는 않는다.

가구소득을 “100만원 이하”, “100만~200만원”, “200만~300만원”, “300만원 이상”으로 구분하면 100만원, 200만원, 300만원과 같은 경계값이 두 개의 범주에 동시에 포함되므로, 각 범주가 서로 겹치지 않아야 한다는 상호배타성의 원칙을 위반한다.

범주를 나눌 때는 경계값이 어느 한 범주에만 속하도록 구간을 명확히 구분해야 응답자가 하나의 범주만을 선택할 수 있다.

서스톤척도(Thurstone scale)는 다수의 평가자들에게 여러 문항이 척도상 어느 위치에 해당하는지를 판단하게 한 뒤, 조사자가 그 결과를 토대로 대표적인 문항들을 선별해 척도를 구성하는 방법이다.

리커트척도는 응답자가 각 문항에 동의 정도를 표시해 합산하는 방식이고, 거트만척도는 문항들이 누적적 위계를 이루는 방식이며, 의미분화척도는 대립되는 형용사 쌍으로 태도를 측정하는 방식이라는 점에서 서스톤척도와 구분된다.

인종은 특정 범주로만 구분되는 명목변수(범주형 변수)이므로, 값이 연속적으로 변화하는 연속변수로 구성하기 어렵다.

소득, 범죄율, 거주기간은 모두 수치가 연속적인 값을 가질 수 있어 연속변수로 다룰 수 있는 반면, 인종은 서로 대등한 명칭 범주로만 구분되는 질적 속성이다.

인과관계에서 독립변수보다 시간적으로 앞서면서 독립변수에 영향을 주는 제3의 변수는 선행변수다.

선행변수는 독립변수 이전 단계에 놓이므로 이를 통제하더라도 독립변수와 종속변수의 관계는 사라지지 않아야 한다. 반면 매개변수는 두 변수 사이에 끼어 관계를 설명하는 역할을 하므로, 관계 자체를 설명하기보다 그 관계에 미치는 영향을 분명히 하려고 도입한다는 지문의 서술이 선행변수를 가리킨다.

• 구성변수는 포괄적 개념을 이루는 하위 차원을 가리키는 것이어서 시간적 선후 관계와 무관하다.
• 조절변수는 독립변수와 종속변수 관계의 강도나 방향을 바꾸는 변수로, 독립변수에 앞서 영향력을 행사하는 변수가 아니다.
• 왜곡변수는 두 변수의 관계를 실제와 반대 방향으로 보이게 만드는 변수다.

할당표집(quota sampling)은 조사자의 판단으로 할당된 인원을 채우는 비확률표집이어서 무작위 추출 원리가 적용되지 않으므로, 조사결과의 오차 범위를 통계적으로 계산할 수 없다.

확률표집과 비확률표집을 가르는 기준은 무작위 표집 절차의 사용 여부이며, 편의표집은 표본의 대표성을 확보하기 어렵고, 층화표집은 모집단을 의미 있는 특징에 따라 소집단으로 나누어 표본을 추출한다는 나머지 설명은 옳다.

판단표집은 연구자의 주관적 판단으로 표본을 선정하는 비확률표본추출법이며, 표본에 대한 정보의 정확성은 모집단 크기가 아니라 연구자가 가진 사전지식의 풍부함에 달려 있다.

모집단이 커질수록 연구자가 모든 구성요소를 파악하기는 오히려 어려워지므로, 모집단이 클수록 정확한 정보를 얻기 쉽다는 설명은 옳지 않다.

무작위적 오차(random error)는 측정 상황·과정·대상에서 우연적이고 일시적인 요인에 의해 발생하는 오차를 말한다.

이는 일정한 방향성 없이 나타나므로, 특정 방향으로 편향되는 체계적 오차와 구분된다.

측정도구가 재려는 속성·개념의 내용 영역을 얼마나 대표하는가를 따지는 것이므로 내용타당성이다.

지문처럼 측정 대상이 가진 여러 속성 가운데 문항이 일부를 대표성 있게 표집했는지를 전문가의 논리적·주관적 판단으로 평가하는 것이 내용타당성(논리적 타당성)의 핵심이며, 별도의 통계적 검증 절차를 요구하지 않는다.

• 개념타당성은 이론적 구성개념과 측정치의 관계를 통계적으로 검증하는 상위 개념으로, 집중·판별·이해타당성을 포괄한다.
• 집중타당성은 같은 개념을 서로 다른 방법으로 측정한 값들이 높은 상관을 보이는지를 확인한다.
• 이해타당성은 개념들 사이의 이론적 관계가 측정치에서도 그대로 재현되는지를 확인한다.

학년(1·2·3학년) 3개, 성별 2개, 계열(인문계·자연계·예체능계) 3개를 곱하면 총 3×2×3=18개 범주로 구분된다.

검정요인을 통제하자 없던 관계가 드러났다면 그 검정요인은 억제변수다.

억제변수는 실제로 존재하는 두 변수의 관계를 가려서 겉으로는 무관해 보이게 만드는 제3의 변수이므로, 이를 통제하면 숨어 있던 관계가 비로소 나타난다.

• 왜곡변수는 관계의 방향 자체를 반대로 보이게 만드는 변수여서, 통제하면 관계가 새로 나타나는 것이 아니라 부호가 뒤집힌다.
• 예측변수는 종속변수를 예측하는 데 쓰이는 독립변수 쪽 변수이고, 종속변수는 영향을 받는 결과변수이므로 둘 다 검정요인의 역할과는 무관하다.

성인을 기준으로 개발된 검사도구를 청소년에게 그대로 적용하면 두 집단 간 문화적 차이(생활양식·언어표현·규범 차이)로 인해 문항의 의미가 다르게 해석될 위험이 가장 크다.

이는 무작위 오류나 특정 응답 패턴 문제가 아니라, 서로 다른 하위집단에 동일한 척도를 적용할 때 발생하는 타당도 문제에 해당한다.

표집틀이 모집단보다 큰 경우는 모집단은 좁게 한정되어 있는데 표집틀은 그보다 넓은 범위를 포괄할 때 나타난다.

체육과 학생이라는 좁은 모집단을 한국대학교 전체 학생등록부로 표집하면, 표집틀에 체육과 이외의 학생까지 포함되어 표집틀이 모집단보다 커진다.

• 학생등록부로 해당 학교 학생 전체를 표집하는 경우는 모집단과 표집틀이 일치한다.
• 교문 앞 임의표집은 표집틀 자체가 명확히 존재하지 않는 비확률표집이다.
• 서울지역 휴대폰 가입자 명부로 한국대학교 학생을 표집하면, 명부에 학생이 아닌 사람이 다수 포함되는 동시에 명부에 없는 학생도 생기므로 모집단과 표집틀이 부분적으로만 겹친다.

제시된 네 서술은 모두 측정의 개념에 대한 옳은 설명이다.

측정은 추상적·이론적 세계와 경험적 세계를 잇는 수단이며, 개념이나 변수를 현실세계에서 관찰가능한 자료와 연결시키는 과정이라는 점에서 조작화와 맞닿아 있다.

또한 측정은 질적 속성을 양적 속성으로 전환하는 작업이자, 일정한 규칙에 따라 측정대상이 지닌 속성에 수치를 부여하는 것이므로 어느 하나도 배제할 이유가 없다.

보가더스 사회적 거리척도는 집단 간 또는 개인·추상적 가치에 대한 친밀감(거리)을 서열화하여 측정하는 누적척도로, 예비조사에 적합하고 적용 범위가 넓다.

다만 문항이 누적적 구조를 이루기 때문에 신뢰도는 주로 재검사법으로 확인하며, 양분법(반분법)이나 복수양식법은 이 척도의 신뢰성 측정에 효과적인 방법으로 보기 어렵다.

모수(parameter)는 모집단 전체의 특성을 요약한 수치를 말하며, 표본에서 계산한 값인 통계치(statistics)와 대비된다.

상관계수는 절댓값이 1에 가까울수록 강한 상관관계를 의미하며, +1은 강한 양의 상관, -1은 강한 음의 상관을 나타낸다.

-1에 가까우면 상관이 없다는 설명은 옳지 않다. -1도 +1과 마찬가지로 두 변수 간 관계가 매우 강함을 뜻하며 방향만 반대일 뿐이다.

추정식 $\hat{y}=0.5-2x$ 의 기울기가 음수이므로 상관계수는 0.5가 아니라 음수여야 하고, 상관계수가 0.5라는 설명이 틀렸다.

단순회귀에서 상관계수의 부호는 기울기의 부호와 항상 같다. 기울기가 $-2$ 이므로 $r \lt 0$ 이며, 0.5는 절편일 뿐 상관계수와는 아무 관련이 없다.

• 추정식의 좌변이 y, 우변의 설명변수가 x이므로 반응변수는 y, 설명변수는 x라는 설명은 옳다.
• $x=0$ 을 대입하면 $\hat{y}=0.5$ 이므로 설명변수가 0일 때의 기본값이 0.5라는 설명도 옳다.
• 기울기 $-2$ 는 x가 한 단위 늘 때 y가 평균 2단위 줄어든다는 뜻이므로 옳다.

표본비율 $\hat{p} = \dfrac{39}{520} = 0.075$와 가설비율 $p_0 = 0.055$를 이용해 검정통계량 Z를 구한다.

$Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \dfrac{0.075 - 0.055}{\sqrt{\dfrac{0.055 \times 0.945}{520}}}$

분모를 계산하면 약 0.01이므로 $Z \approx \dfrac{0.02}{0.01} = 2.00$이 된다.

분산, 사분위간 범위, 변이(변동)계수는 모두 자료의 산포(퍼짐 정도)를 나타내는 지표이다.

반면 상관계수는 두 변수 간 선형적 관련성의 방향과 강도를 나타내는 지표로, 산포가 아닌 관계의 성질을 측정하므로 나머지와 성격이 다르다.

누적분포함수가 $F(x) = x$ (구간 [0,1])이면 확률밀도함수는 $f(x) = 1$로, X는 구간 [0,1]의 균등분포를 따른다.

균등분포의 평균은 구간의 중점이므로 $E(X) = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2}$이다.

검정력(power)은 대립가설이 참일 때 귀무가설을 옳게 기각시킬 확률, 즉 $1-\beta$를 의미한다.

• 참인 귀무가설을 채택할 확률은 신뢰수준(1-α)에 해당한다.
• 거짓인 귀무가설을 채택하는 것은 제2종 오류(β)이다.
• 귀무가설이 참인데도 기각시킬 확률은 유의수준(제1종 오류, α)이다.

줄기 5의 잎은 0 3 4이고, 자료의 중앙값은 50이다.

주어진 자료 25 45 54 44 42 34 81 73 66 78 61 46 86 50 43 53 38 은 모두 17개이며, 이 중 50대에 속하는 값은 50, 53, 54 세 개이므로 줄기 5의 잎은 0, 3, 4가 된다.

17개를 크기순으로 늘어놓으면 25 34 38 42 43 44 45 46 50 53 54 61 66 73 78 81 86 이고, 중앙값의 위치는 $\dfrac{17+1}{2}=9$ 번째이므로 중앙값은 50이다.

결정계수 $r^2$는 종속변수의 총변동(SST) 중 회귀직선으로 설명되는 변동(SSR)이 차지하는 비율로, $r^2 = \dfrac{SSR}{SST} = 1 - \dfrac{SSE}{SST}$로 정의된다.

잔차제곱합(SSE)을 총제곱합(SST)으로 나눈 값이라는 설명은 틀렸다. 그 값은 오히려 1-결정계수에 해당한다.

표본크기 n=64, 표본평균 30분, 표준편차 5분일 때 표준오차는 $\dfrac{5}{\sqrt{64}} = \dfrac{5}{8} = 0.625$이다.

95% 신뢰구간의 오차한계는 $1.96 \times 0.625 = 1.225$이므로, 신뢰구간은 $30 \pm 1.225$, 즉 하한 28.8, 상한 31.2가 된다.

키가 175cm보다 클 확률은 0.0668이다.

정규분포를 표준화하면 $Z=\dfrac{175-160}{10}=1.5$ 이므로 구하려는 값은 $P(Z \gt 1.5)$ 이다.

누적확률표의 z=1.5, 열 .00 에서 $P(Z \le 1.5)=0.9332$ 이므로 $P(Z \gt 1.5)=1-0.9332=0.0668$ 이 된다.

표에서 읽은 0.9332는 175cm보다 작을 확률이라 그대로 답으로 쓰면 안 되고, 같은 행에서 열을 하나 밀려 z=1.51 칸(0.9345)을 읽으면 그 여확률 0.0655가 나오므로 주의한다.

일원배치 모형의 오차항에 두는 가정은 독립성·정규성·등분산성이므로, 오차항 사이에 자기상관이 존재한다는 것은 가정이 아니라 오히려 가정의 위배다.

모형 $Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\epsilon_{ij}$ 에서 오차항은 $\epsilon_{ij} \sim N(0,\ \sigma^2)$ 이고 모든 i, j에 대해 서로 독립이며 분산이 동일하다고 본다.

자기상관이 생기면 관측치들이 서로 독립이라는 전제가 깨져 오차분산이 과소·과대 추정되고 F검정 결과가 왜곡되므로, 자기상관은 가정이 아니라 진단하고 제거해야 할 대상이다.

세 추정량 가운데 분산이 가장 작은 것은 A다.

계수의 합을 보면 A는 $\dfrac{1+1+1}{3}=1$, B는 $\dfrac{1+2+1}{4}=1$ 로 둘 다 불편추정량이고, C만 $\dfrac{2+1+2}{4}=\dfrac{5}{4} \ne 1$ 이어서 편향이 있다.

분산을 $\sigma^2$ 단위로 계산하면 A는 $\dfrac{1^2+1^2+1^2}{3^2}=\dfrac{1}{3}$, B는 $\dfrac{1^2+2^2+1^2}{4^2}=\dfrac{3}{8}$, C는 $\dfrac{2^2+1^2+2^2}{4^2}=\dfrac{9}{16}$ 이므로 A가 가장 작다.

따라서 불편추정량이 A 하나뿐이라는 서술, 편향이 있는 것이 B라는 서술, 가장 선호되는 추정량이 B라는 서술은 모두 성립하지 않고, 불편성과 최소분산성을 함께 만족하는 것은 A다.

유의확률 0.000이 유의수준 0.05보다 작으므로 귀무가설(성과 정당지지도는 관련이 없다)을 기각한다.

따라서 성과 정당지지도 사이에는 통계적으로 유의미한 관계가 있다고 결론지을 수 있다.

5개의 서로 다른 물건에서 3개를 복원추출하며 순서를 구분한다면 경우의 수는 $5^3 = 125$가지이며, 60가지가 되려면 비복원(순열) 방식으로 $5 \times 4 \times 3$을 계산해야 한다.

따라서 복원추출의 경우의 수가 60가지라는 설명은 틀렸다.

• 배반사건 A, B는 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$가 성립하며 옳은 설명이다.
• 독립사건 A, B는 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$가 성립하며 옳은 설명이다.
• 붉은 구슬 2개 중 2개를 뽑을 확률은 $\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}$로 옳은 설명이다.

제2종 오류는 대립가설이 참인데도 귀무가설을 채택함으로써 범하는 오류를 말한다.

• 확실한 근거로 입증하고자 하는 가설은 귀무가설이 아니라 대립가설이다.
• 유의수준은 제2종 오류가 아니라 제1종 오류를 범할 확률의 최대허용한계이다.
• 대립가설을 채택하게 하는 검정통계량의 영역은 채택역이 아니라 기각역이다.

최소제곱 회귀직선은 $y=\dfrac{30}{4}x-6$ 이다.

자료 (3,12), (4,22), (5,32), (3,22), (5,32)에서 $\bar{x}=\dfrac{20}{5}=4$, $\bar{y}=\dfrac{120}{5}=24$ 이다.

편차곱의 합은 $S_{xy}=(-1)(-12)+0\times(-2)+1\times 8+(-1)(-2)+1\times 8=30$ 이고, 편차제곱합은 $S_{xx}=1+0+1+1+1=4$ 이므로 기울기는 $b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{30}{4}=7.5$ 다.

절편은 $a=\bar{y}-b\bar{x}=24-7.5\times 4=-6$ 이므로, 기울기 $\dfrac{30}{4}$ 에 절편이 -6인 직선이 답이 된다.

평균은 중심경향을 나타내는 대표적 척도이지만 이상치(극단값)에 민감하여 왜곡되기 쉽다는 단점이 있다.

표본의 일부 값이 모평균에서 한쪽으로 멀리 떨어져 자료가 비대칭적으로 분포하는 경우, 평균은 그 극단값 영향을 크게 받아 좋은 추정량이 되지 못한다. 이런 경우에는 절사평균처럼 이상치의 영향을 줄인 대안이 쓰인다.

총 자유도가 142이므로 총 관측자료 수는 143이며, 142라고 한 설명이 틀렸다.

분산분석표에서 총 자유도는 $n-1$ 이다. 표의 계 자유도가 142이므로 $n=142+1=143$ 이고, 실제로 요인 7과 잔차 135를 더해도 142로 총 자유도와 일치한다.

• 요인 Month의 자유도가 7이므로 수준 수는 $7+1=8$ 개라는 설명은 옳다.
• 잔차의 평균제곱 $\dfrac{1608204}{135}=11913$ 이 곧 오차분산의 추정값이므로 11913이라는 설명도 옳다.
• 유의확률 0.164가 유의수준 0.05보다 커서 귀무가설을 기각할 수 없으므로, 인자의 효과가 인정되지 않는다는 설명 역시 옳다.

서로 다른 두 모집단에서 독립적으로 뽑은 두 표본의 평균 차이를 비교하는 상황이므로 독립표본 t-검정이 알맞다.

도시지역 몇 개 지역과 시골지역 몇 개 지역을 각각 따로 골라 가족의 수를 조사했으므로 두 표본은 짝지어진 관계가 아니라 서로 독립이고, 관심 모수는 두 집단의 모평균 차이다. 모분산을 모른 채 표본표준편차로 추정하므로 검정통계량은 t분포를 따른다.

• 더빈 왓슨검정은 회귀모형 잔차의 자기상관 유무를 판단하는 방법이라 평균 비교와 무관하다.
• 카이제곱 검정은 분할표의 도수(빈도) 자료로 적합도·독립성을 보는 방법이므로 연속형 측정치의 평균 비교에는 쓰지 않는다.
• F-검정은 셋 이상 집단의 평균을 한꺼번에 비교하거나 두 분산의 비를 검정할 때 쓰는 방법이다.

불량품 5개가 포함된 20개 중 3개를 뽑을 때 불량품 개수의 분포는 초기하분포이며, 불량률이 $5/20=0.25$로 0.5가 아니므로 좌우 대칭이 아니다.

• 주사위 2개의 눈의 합은 7을 중심으로 좌우 대칭이다.
• 공정한 동전(p=0.5) 10회 시행의 이항분포는 대칭이다.
• 완치율 50%(p=0.5)인 이항분포도 대칭이다.

분할표의 독립성 검정에는 피어슨 카이제곱 통계량, 즉 관측도수와 기대도수의 차이를 제곱한 뒤 기대도수로 나눈 값의 합을 쓴다.

식으로 쓰면 $\chi^2 = \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}\dfrac{(O_{ij}-\hat{E}_{ij})^2}{\hat{E}_{ij}}$ 이고, 귀무가설이 참일 때 이 통계량은 자유도 $(M-1)(N-1)$ 인 카이제곱분포를 근사적으로 따른다. 분모가 기대도수여야 각 셀의 기여도가 표준화되어 셀 크기에 관계없이 더할 수 있다.

• 분모를 관측도수 $O_{ij}$ 로 둔 식은 표준화 기준이 어긋나 카이제곱분포를 따르지 않는다.
• 차이를 제곱하지 않은 $\dfrac{O_{ij}-\hat{E}_{ij}}{\hat{E}_{ij}}$ 를 더하는 식은 양·음의 편차가 서로 상쇄되어 차이의 크기를 재지 못하므로 검정통계량이 될 수 없다.
• 분모에 $\sqrt{n\hat{E}_{ij}O_{ij}}$ 를 둔 식은 카이제곱 통계량의 정의와 무관한 형태다.

모비율 추정 시 표본크기는 $n = \dfrac{Z^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$이며, 모비율을 모를 때는 분산이 최대가 되는 $p=0.5$를 사용한다.

$n = \dfrac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.04^2} = \dfrac{0.9604}{0.0016} \approx 600.25$

표본크기는 이보다 작아서는 안 되므로 올림하여 최소 601명이 필요하다.

기댓값은 각 값의 함수값에 확률을 곱해 모두 더한 것이므로 $E[(X-1)^2]=\sum (x-1)^2 P(X=x) = 1$ 이다.

주어진 분포는 $P(X=0)=\dfrac{1}{3}$, $P(X=1)=\dfrac{1}{2}$, $P(X=2)=0$, $P(X=3)=\dfrac{1}{6}$ 이다.
각 항의 $(x-1)^2$ 값은 차례로 $1,\ 0,\ 1,\ 4$ 이다.

대입하면 $1\times\dfrac{1}{3}+0\times\dfrac{1}{2}+1\times 0+4\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}$
따라서 기댓값은 1이다. $P(X=2)=0$ 이라 제곱값이 1인 항이 통째로 빠지는 점이 계산의 핵심이다.

분산분석(ANOVA)은 3개 이상의 모집단 간 평균 차이를 동시에 비교할 때 사용하는 통계적 방법이다.

t-검정은 두 집단 비교에, 회귀분석과 상관분석은 변수 간 관계 분석에 주로 쓰여 3개 이상 집단의 평균 비교에는 적합하지 않다.

두 병원의 평균 대기시간은 17분으로 같고, 흩어진 정도는 A병원이 훨씬 크다.

A병원 자료는 5, 9, 17, 19, 20, 32로 합이 102이므로 평균은 $102 \div 6 = 17$ 분이다.
B병원 자료는 10, 15, 17, 17, 23, 20으로 합이 역시 102이므로 평균도 17분으로 동일하다.

편차제곱합을 보면 A병원은 $144+64+0+4+9+225=446$, B병원은 $49+4+0+0+36+9=98$ 이다.
표본분산은 각각 $\dfrac{446}{5}=89.2$, $\dfrac{98}{5}=19.6$ 으로 A병원의 분산이 B병원보다 크다. A병원은 5분과 32분처럼 극단값이 있어 대기시간이 들쭉날쭉한 반면 B병원은 대부분 10~23분 안에 몰려 있다.

잔차와 관측값 y_i 의 곱의 합이 0이라는 관계, 즉 $\sum e_i y_i = 0$ 은 성립하지 않는다.

최소제곱법의 정규방정식으로부터 $\sum_{i=1}^{n} e_i = 0$ 과 $\sum_{i=1}^{n} e_i x_i = 0$ 이 항상 성립한다. 이 둘을 결합하면 $\sum e_i \hat{y}_i = \sum e_i (b_0 + b_1 x_i) = b_0\sum e_i + b_1 \sum e_i x_i = 0$ 이므로 예측값과 잔차의 곱의 합도 0이다.

그런데 $y_i = \hat{y}_i + e_i$ 이므로 $\sum e_i y_i = \sum e_i \hat{y}_i + \sum e_i^2 = 0 + \sum e_i^2$ 가 된다.
잔차제곱합은 모든 점이 회귀직선 위에 정확히 놓이지 않는 한 양수이므로 $\sum e_i y_i \neq 0$ 이다. 잔차는 설명변수와 예측값에는 직교하지만 관측값 자체와는 직교하지 않는다는 것이 요점이다.

두 사건의 합집합 확률은 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$로 구한다.

$P(A\cup B) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{40}{60} + \dfrac{24}{60} - \dfrac{45}{60} = \dfrac{19}{60}$

따라서 적어도 한 과목에 합격할 확률은 $\dfrac{19}{60}$이다.

불량률 p=0.05인 이항분포 B(100, 0.05)를 따르므로, 기댓값은 $np = 100 \times 0.05 = 5$이다.

분산은 $np(1-p) = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 4.75$이다.

모표준편차를 모른 채 표본표준편차 s로 대체했고 표본크기도 10으로 작으므로 t-검정법을 쓰며, 검정통계량은 $t_0 = \dfrac{49-50}{0.6/\sqrt{10}}$ 이다.

단일 모평균 검정의 표준화 식은 $t_0 = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$ 이다.
여기에 $\bar{x}=49$, $\mu_0=50$, $s=0.6$, $n=10$ 을 대입하면 분모가 표준오차 $0.6/\sqrt{10}$ 이 된다.

• 모분산이 알려져 있을 때만 정규(Z)검정법을 쓰는데, 이 문제는 s를 표본에서 구했으므로 해당하지 않는다.
• 분모를 $\sqrt{0.6/10}$ 로 쓴 식은 0.6을 분산으로 잘못 본 것이다. 문제에서 0.6은 표준편차이므로 표준오차는 $0.6/\sqrt{10}$ 이 맞다.

자유도가 1인 t분포는 정규분포보다 꼬리가 매우 두껍고 중심이 뾰족하여 첨도가 가장 크다.

정규분포는 표준편차 크기와 관계없이 형태(첨도)가 동일하게 유지되므로, 표준편차만 다른 정규분포들끼리는 첨도 차이가 없다.

결정계수는 총제곱합 중 회귀가 설명하는 몫이므로 $R^2 = \dfrac{SSR}{SST} = \dfrac{541.69}{728.25} \approx 0.74$ 이다.

분산분석표에서 회귀 제곱합 $SSR=541.69$, 잔차 제곱합 $SSE=186.56$, 전체 제곱합 $SST=728.25$ 이고 $541.69+186.56=728.25$ 로 분해가 맞아떨어진다.

계산하면 $R^2 = 541.69 \div 728.25 = 0.7438\cdots$ 이므로 약 0.74다.
표의 나머지 값도 같은 구조로 확인된다. 평균제곱은 제곱합을 자유도로 나눈 값이라 잔차의 평균제곱은 $186.56 \div 10 = 18.656$ 이고, F값은 두 평균제곱의 비인 $541.69 \div 18.656 = 29.036$ 이다.

응답 여부는 각각 독립적으로 확률 0.5인 베르누이 시행이므로 5명 중 3명이 답할 확률은 이항분포 $B(5, 0.5)$를 따른다.

$P(X=3) = \binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2 = 10 \times \dfrac{1}{32} = 0.3125$

따라서 0.31에 가장 가깝다.

중앙값은 자료를 크기순으로 나열했을 때 정확히 가운데 위치한 값으로, 전체를 4등분한 값 중 두 번째에 해당하는 제2사분위수와 동일하다.

가변수의 수는 범주 수에서 1을 뺀 값이다. 학력은 3개 범주이므로 가변수 2개, 성별은 2개 범주이므로 가변수 1개가 필요하다.

따라서 다중회귀모형에 포함되어야 할 가변수의 총 개수는 $2+1=3$개이다.

비대칭도(skewness) 값이 0이면 좌우대칭 분포를 의미하며, 값이 1이라고 해서 대칭인 것은 아니다.

비대칭도의 부호는 꼬리가 긴 쪽 방향을 나타내는데, 음수이면 왼쪽으로, 양수이면 오른쪽으로 꼬리가 길게 늘어진 분포임을 뜻한다.

기존에 알려진 지지율 차이는 $p_1-p_2=6.6\%=0.066$이며, 이 값이 줄어들었는지를 검정하는 것이 목적이므로 귀무가설은 기존 값이 유지된다는 것, 대립가설은 그보다 작아졌다는 것으로 설정한다.

따라서 $H_0: p_1-p_2=0.066$, $H_1: p_1-p_2<0.066$으로 검정한다.

기울기의 최소제곱추정량은 $b_1 = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ 이므로 계산하면 약 0.387이다.

먼저 교차 제곱합을 구한다.
$S_{xy} = \sum x_i y_i - \dfrac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n} = 152.7 - \dfrac{39 \times 35.1}{10} = 152.7 - 136.89 = 15.81$

다음으로 x의 제곱합을 구한다.
$S_{xx} = \sum x_i^2 - \dfrac{(\sum x_i)^2}{n} = 193 - \dfrac{39^2}{10} = 193 - 152.1 = 40.9$

따라서 $b_1 = \dfrac{15.81}{40.9} = 0.3866\cdots$ 이므로 0.387이다. 주어진 값 중 $\sum y_i^2 = 130.05$ 는 기울기 계산에는 쓰이지 않고 총제곱합이나 결정계수를 구할 때 필요한 값이다.

정규분포에서 표준편차 σ가 커지면 분포는 옆으로 더 퍼지면서 평평해져, 평균 μ 근처의 확률은 오히려 작아지고 꼬리 부분의 확률은 커진다.

σ가 커질수록 μ 근처 확률이 커진다는 설명은 실제와 반대이므로 틀렸다.

나머지 설명(좌우대칭, μ 변화는 위치만 이동, 표준화 시 N(0,1) 따름)은 정규분포의 일반적 성질과 일치한다.

중심극한정리는 모집단 분포의 형태와 무관하게 표본크기가 커지면 표본평균이 정규분포에 근사한다는 정리이므로, 분포 형태에 관계없이 성립한다는 서술과 모집단이 연속형·이산형 모두 가능하다는 서술이 옳다.

정리의 조건은 모집단의 평균과 분산이 유한하고 표본이 독립·동일분포라는 것뿐이다. 따라서 모집단이 치우쳐 있든 이산형이든 상관없이 적용된다.

반면 표본평균의 기댓값과 분산이 모집단의 것과 같다는 서술은 틀렸다. 기댓값은 $E(\bar{X}) = \mu$ 로 모집단과 같지만, 분산은 $Var(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ 이어서 표본크기 n으로 나눈 만큼 작아진다. 표본평균이 모평균 주변에 더 촘촘히 모이는 성질이 바로 이 정리의 핵심이다.

표본수 n, 독립변수 수 k인 다중회귀모형에서 잔차제곱합(SSE)의 자유도는 전체 표본수에서 추정된 회귀계수의 개수(절편 포함 k+1개)를 뺀 값이다.

따라서 SSE의 자유도는 $n-k-1$이다.