20년 1회차

복잡한 쟁점을 다루는 데는 면접설문조사가 자기기입식 설문조사보다 더 효과적이므로 이 설명은 옳지 않다.

면접원이 응답자의 이해를 돕고 추가 설명을 제공할 수 있는 면접설문조사와 달리, 자기기입식 설문조사는 응답자가 스스로 문항을 이해해야 하므로 복잡한 내용을 다루기에는 한계가 있다.

• 자기기입식 설문조사가 면접설문조사보다 비용과 시간이 적게 든다는 설명은 옳다.
• 익명성이 보장되어 민감한 쟁점에 유리하다는 설명도 옳다.
• 면접설문조사에서 면접원이 응답 외에 추가 관찰을 할 수 있다는 설명도 옳다.

조사 목적에 따른 구분이라는 진술과 2차 자료 분석이 비관여적 방법이라는 진술만 옳아, ㄱ과 ㄷ이 답이다.

탐색적·기술적·설명적 조사는 ‘무엇을 알아내려 하는가’라는 조사의 목적에 따른 분류이고, 이미 만들어져 있는 자료를 이용하는 2차 자료 분석은 연구자가 조사 대상에 개입하지 않으므로 비관여적(비반응적) 연구방법에 속한다.

• 패널조사는 동일한 사람을 반복 측정하지만, 동년배집단(코호트)조사는 같은 시기에 같은 사건을 경험한 집단을 추적할 뿐 매 시점 표본을 그 모집단에서 새로 뽑을 수 있어 동일인 반복측정을 원칙으로 하지 않는다.
• 탐색적 조사는 문제가 무엇인지조차 불분명할 때 가설을 세우기 위해 하는 조사이므로, 명확한 연구가설과 구체적 조사계획이 사전에 확정되어야 한다는 서술은 성립하지 않는다.

결국 조사 목적에 따른 분류와 비관여적 방법에 관한 두 진술만 옳다.

앞의 빈칸은 매개변수, 뒤의 빈칸은 조절변수이다.

매개변수는 독립변수의 결과이면서 동시에 종속변수의 원인이 되어, 두 변수 사이에 끼어들어 인과관계를 ‘어떻게’ 연결되는지 설명해 주는 변수다. 독립변수 → 매개변수 → 종속변수의 연쇄 위치에 놓인다.

조절변수는 인과의 고리에 끼어드는 것이 아니라, 독립변수가 종속변수에 미치는 영향의 크기나 방향을 강화·약화시키는 변수다. 즉 ‘언제·누구에게 그 관계가 더 강한가’를 알려 준다.

참고로 억제변수는 실제로 존재하는 관계를 없는 것처럼 보이게 만드는 변수이고, 구성변수는 포괄적인 개념을 이루는 하위 변수를 가리켜 두 빈칸의 설명과 맞지 않는다.

열거된 네 속성 — 저렴한 비용, 짧은 조사기간, 그림·음성·동영상 활용, 편향된 모집단 — 을 모두 만족하는 것은 온라인조사이다.

인터넷을 매개로 하므로 인쇄비·면접원 인건비·이동비가 거의 들지 않아 비용이 가장 저렴하고, 응답 회수와 코딩이 자동으로 이루어져 조사기간도 짧다. 화면에 이미지와 음성, 동영상을 함께 띄울 수 있어 응답자의 문항 이해도를 높이는 것도 이 방법의 고유한 장점이다.

반면 인터넷 이용자나 패널 가입자만 응답하게 되어 모집단이 편향되는 것이 대표적 한계로, 지문의 마지막 속성이 이를 가리킨다.

• 면접조사는 면접원 인건비와 이동비가 커 비용이 가장 높고 기간도 길다.
• 우편조사는 발송과 회수에 시간이 오래 걸리며 음성·동영상 제시가 불가능하다.
• 전화조사는 음성만 전달되어 그림이나 영상 같은 시각 자료를 전혀 보여줄 수 없다.

사후실험설계는 이미 발생한 사건을 사후에 조사하는 방식이므로 변수를 인위적으로 조작·통제하지 못해, 순수실험설계보다 오히려 인과관계를 명확히 밝히기 어렵다는 점에서 틀린 설명이다.

독립변수에 대한 조작과 무작위 배정이 이루어지지 않기 때문에 제3의 변수를 통제할 수 없어 인과관계 추론의 엄밀성이 순수실험설계에 비해 떨어진다.

• 실제 현상을 다루므로 가설의 실제적 가치와 현실성을 높일 수 있다는 설명은 옳다.
• 다양한 사례를 검토함으로써 편파적이거나 근시안적 관점에서 벗어날 수 있다는 설명도 옳다.
• 이미 발생한 자료를 활용하므로 조사의 시간과 비용을 줄일 수 있다는 설명도 옳다.

동일한 응답집단(패널)을 고정해 매년 반복 측정하는 방식이므로 패널조사에 해당한다.

대학 졸업생을 체계적 표집으로 뽑아 응답집단을 구성한 뒤 해마다 같은 사람들의 진로·경제활동·노동시장 이동을 추적하는 것은, 동일 대상의 시간에 따른 변화를 관찰하는 종단조사의 전형적인 형태다.

• 집단면접조사는 여러 응답자를 한자리에 모아 한 번에 조사하는 횡단적 방법이다.
• 파일럿조사는 본조사에 앞서 소규모로 시행하는 사전조사로 반복 추적과 무관하다.
• 델파이조사는 전문가에게 익명으로 여러 차례 의견을 물어 수렴시키는 방법이어서, 표집된 졸업생 집단을 해마다 따라가는 이 사례와 다르다.

독립변수와 종속변수 사이에 관찰된 관계라도 제3의 변수가 통제되지 않으면 허위적 관계(허위상관)일 수 있다는 설명이 옳다.

두 변수의 공변성은 인과성의 필요조건일 뿐 그것만으로 인과관계가 확정되지는 않으며, 시간적 우선성과 비허위적 관계까지 함께 충족되어야 한다.

• 공변성 여부만으로 인과성이 확정된다는 설명은 틀렸다.
• ‘가난한 사람들은 무계획한 소비를 한다’는 진술은 가난과 무계획한 소비 중 무엇이 먼저인지 선후관계가 불분명하므로, 시간적 우선성 원칙에 부합한다고 보기 어렵다.
• 실험설계가 인과성 규명을 목적으로 하지 않는다는 진술은 틀렸다. 실험설계는 변수를 통제·조작하여 인과관계를 규명하는 것을 주된 목적으로 한다.

자극을 제시한 뒤 눈동자(동공)의 크기 변화를 측정해 반응을 파악하는 장치는 퓨필로미터(pupilometer)다.

pupil이 '동공'을 뜻하는 데서 알 수 있듯, 광고·포장·상표 등 제시된 자극에 대한 관심과 흥미가 커지면 동공이 확대된다는 생리적 반응을 이용한 관찰도구다.

• 오디미터는 TV·라디오 수상기에 부착해 시청 채널과 시청 시간을 자동 기록하는 장치다.
• 사이코갈바노미터는 피부의 전기반응(발한)으로 정서적 긴장 정도를 측정한다.
• 모션 픽처 카메라는 행동 장면을 촬영해 기록·분석하는 도구로 생리적 반응 측정과 다르다.

집단 구성원 간의 활발한 토의와 상호작용을 통해 자료를 얻고 연구자가 질문자가 아니라 조정자·관찰자에 머무는 조사는 초점집단조사(FGI)다.

조사자가 던진 주제를 놓고 참가자들이 의견을 주고받는 과정 자체가 자료가 되며, 논의가 어떻게 드러나고 진전되는지를 관찰하는 것이 핵심이다.

여러 명을 한자리에서 동시에 다루므로 자료수집 시간이 짧고 현장 수행이 쉬운 반면, 참여자 수가 적어 결과를 일반화하기 어렵고 참가자를 한자리에 모으는 집단소집이 번거롭다는 점이 단점으로 지적된다.

• 델파이조사는 전문가들이 서로 대면하지 않고 익명으로 응답을 반복하므로 토의와 상호작용이 없다.
• 사례연구조사는 특정 사례를 심층 분석하는 방식이어서 집단 토의를 전제하지 않는다.
• 집단실험설계는 처치의 효과를 검증하기 위한 실험설계이지 질적 토의 기법이 아니다.

귀납적 방법과 연역적 방법은 상호 배타적인 것이 아니라 실제 연구에서는 상호 보완적으로 조화를 이루어 사용된다는 점에서 틀린 설명이다.

연역적 방법으로 도출한 가설을 경험적 자료로 검증하고, 그 결과에서 귀납적으로 새로운 이론을 도출하는 순환적 과정이 일반적인 과학적 연구방법이다.

• 귀납적 방법이 구체적 사실에서 일반원리를 도출한다는 설명은 옳다.
• 연역적 방법이 이론적 전제를 세우고 사실을 수집·검증해 결론을 유도한다는 설명도 옳다.
• 연역적 방법이 공리에서 가설을 정립해 경험세계에서 검증한다는 설명도 옳다.

독립변수는 원인이 되는 변수, 종속변수는 그 결과로 나타나는 변수를 뜻하므로 설명이 반대로 서술되어 틀렸다.

독립변수는 다른 변수에 영향을 미치는 원인변수이고, 종속변수는 독립변수의 영향을 받아 변화하는 결과변수이다.

• 변수가 경험적으로 측정 가능한 연구대상의 속성을 나타낸다는 설명은 옳다.
• 변수의 속성으로 경험적 현실의 전제, 계량화, 연속성 등을 드는 것도 옳다.
• 기능에 따라 독립변수·종속변수·매개변수로 분류하는 것도 옳은 설명이다.

개인 수준에서 관찰된 특성을 근거로 그 개인이 속한 집단이나 사회 전체의 성격을 규명·추론할 때 발생하는 오류를 개인주의적 오류(individualistic fallacy)라 한다.

이는 집단 수준의 자료로 개인의 특성을 추론하는 생태학적 오류와는 반대 방향의 오류이다.

기술적 연구는 특정 현상이나 사실관계를 있는 그대로 정확하게 파악·기술하는 데 목적이 있으며, 미래를 예측하는 것은 기술적 연구의 목적이 아니다라는 점에서 틀린 설명이다.

미래 예측은 설명적 연구나 예측 연구의 영역에 가깝고, 기술적 연구는 현재 시점의 현상을 정확히 기술하는 데 초점을 둔다.

• 순수연구가 이론 구성과 검증을 목적으로 한다는 설명은 옳다.
• 평가연구가 진행 중인 프로그램의 효과를 평가하는 응용연구의 특수형태라는 설명도 옳다.
• 탐색적 연구가 선행연구가 빈약할 때 개념화를 시도한다는 설명도 옳다.

좋은 가설은 동의반복적(tautological)이지 않아야 하므로, 동의반복적이어야 한다는 설명은 평가기준과 거리가 멀다.

동의반복적 가설은 정의 자체가 결론을 포함하고 있어 경험적으로 검증할 수 없는 순환논리에 빠지므로 좋은 가설의 조건에서 배제된다.

• 경험적으로 검증할 수 있어야 한다는 것은 좋은 가설의 핵심 기준이다.
• 표현이 간단명료하고 논리적으로 간결해야 한다는 것도 타당한 기준이다.
• 계량화할 수 있어야 한다는 것도 검증 가능성을 위한 타당한 기준이다.

컨틴전시법(Contingency Method)은 앞선 응답 내용에 따라 다음 질문이 달라지는 조건부 질문 형식으로, 응답자의 속마음을 간접적으로 캐내는 간접질문법과는 성격이 다르다.

투사법, 오류선택법, 토의완성법(문장완성법 계열)은 모두 응답자가 자신의 진의를 직접 드러내지 않고도 태도를 파악할 수 있게 하는 대표적인 간접질문 기법이다.

조사설계의 핵심 구성요소는 조사대상·조사항목·조사방법이므로 제시된 세 가지가 모두 해당한다.

경험적 연구의 조사설계는 연구문제를 실제 자료로 답할 수 있게 만드는 청사진이다. 따라서 자료를 얻을 대상(누구를), 측정할 내용(무엇을), 자료를 얻는 절차(어떻게)가 빠짐없이 결정되어야 한다.

셋 중 하나라도 정해지지 않으면 자료수집 자체가 성립하지 않는다. 그래서 일부만 묶은 조합은 답이 될 수 없다.

높은 응답률, 질문 내용에 대한 상호작용, 응답자와 주변 상황의 관찰 가능성을 모두 갖춘 것은 면접조사다.

면접원이 직접 대면하므로 기피와 무응답이 적어 응답률이 가장 높고, 응답자가 질문을 잘못 이해하면 그 자리에서 부연 설명해 신뢰성 있는 응답을 얻을 수 있다.

또한 면접원이 응답자의 표정·태도와 생활환경 같은 비언어적 정보까지 관찰할 수 있다는 점은 다른 방법에는 없는 이점이다.

• 전화조사는 음성만 오가므로 응답자와 주변 상황을 관찰할 수 없다.
• 우편조사는 응답률이 가장 낮고 조사자와 응답자 사이의 상호작용도 불가능하다.
• 집단조사는 한자리에서 자기기입식으로 진행되어 개별 관찰과 심층적 상호작용이 어렵다.

횡단연구는 정태적, 종단연구는 동태적 성격을 가지므로, 설명이 반대로 서술되어 틀렸다.

횡단연구는 한 시점의 단면을 관찰하여 정지된 상태를 보여주는 반면, 종단연구는 시간의 흐름에 따른 변화를 추적하므로 동태적 성격을 지닌다.

• 횡단연구가 한 시점에서 이루어진 관찰 자료를 바탕으로 한다는 설명은 옳다.
• 종단연구가 일정 기간의 여러 관찰 자료를 이용한다는 설명도 옳다.
• 종단연구에 코호트연구, 패널연구, 추세연구가 포함된다는 설명도 옳다.

경제위기로 극단적으로 높아진 시점의 범죄율이 이후 평균 수준으로 되돌아온 것을 순찰의 성과로 해석했으므로 통계적 회귀(statistical regression)가 가장 문제된다.

2008년의 급증한 범죄율은 극단값이며, 이런 극단적 값은 별도의 개입이 없어도 다음 측정에서 평균 쪽으로 이동하는 경향이 있다. 2010년 하락분의 상당 부분이 이 평균으로의 회귀일 수 있는데도 2009년 순찰 강화의 효과로 귀속시킨 것이 오류다.

• 성숙효과는 시간 경과에 따른 대상 자체의 자연적 변화를 말하는데, 이 사례의 핵심은 극단적인 시점을 기준으로 삼은 데 있다.
• 검사효과는 사전검사 경험이 사후검사에 영향을 주는 것으로, 여기에는 검사 실시 자체가 없다.
• 도구효과는 측정도구나 관찰자가 바뀌어 생기는 오류인데 범죄 통계의 측정방식이 변경되었다는 언급이 없다.

사전측정을 받은 집단과 받지 않은 집단을 나누어 각각 실험처치를 가함으로써 사전측정의 영향을 제거하고 외생변수를 통제하는 실험설계는 솔로몬 4집단설계이다.

이는 통제집단 사전사후측정설계와 통제집단 사후측정설계를 결합한 형태로, 총 네 개 집단을 비교하여 사전측정 효과 자체를 검증할 수 있다는 특징이 있다.

사례조사는 하나 또는 소수의 사례를 심층적으로 다루는 방법이어서 다른 사례와의 반복적 비교연구에는 적합하지 않다는 점에서 이는 사례조사의 장점으로 보기 어렵다.

표본을 체계적으로 반복 추출하여 비교하는 것은 오히려 표본조사나 실험연구의 특성에 가깝다.

• 가치적 측면 등 질적 특성을 깊이 파악할 수 있다는 것은 사례조사의 장점이다.
• 개별 상황의 특수성을 명확히 파악할 수 있다는 것도 사례조사의 장점이다.
• 선행연구가 부족한 분야에서 탐색적 연구방법으로 활용될 수 있다는 것도 장점이다.

탐색적 연구처럼 사전에 명확한 가설을 설정하지 않고 진행하는 연구도 존재하므로, 모든 연구에서 반드시 연구가설을 설정해야 한다는 설명은 틀렸다.

연구가설은 검증을 위한 예상된 해답의 역할을 하지만, 가설 설정 자체가 모든 연구의 필수요건은 아니다.

• 연구가설이 일반적으로 독립변수와 종속변수로 구성된다는 설명은 옳다.
• 경험적으로 아직 검증되지 않은 잠정적 이론이라는 설명도 옳다.
• 가치중립적이어야 한다는 것도 타당한 요건이다.

질문지는 자료수집방법의 결정 → 질문내용의 결정 → 질문형태의 결정 → 질문순서의 결정 순으로 작성한다.

먼저 면접·전화·우편·온라인 중 어떤 방법으로 자료를 모을지가 정해져야 문항의 길이, 사용할 용어, 보기 수 같은 제약 조건이 결정된다. 그 다음 얻고자 하는 정보를 실제 질문 문장으로 옮기는 질문내용을 확정한다.

이어서 각 질문을 개방형으로 둘지 선택형으로 둘지 형태를 정하고, 마지막으로 응답 흐름과 순서효과를 고려해 배열 순서를 잡은 뒤 사전조사로 다듬는다. 따라서 형태나 순서가 자료수집방법보다 앞서는 배열은 성립하지 않는다.

우편조사의 취지문이나 질문지 표지에는 조사기관, 조사목적, 비밀유지 보장 등 응답자의 신뢰와 협조를 얻기 위한 정보가 포함되어야 하지만, 구체적인 자료분석방법까지 밝힐 필요는 없다.

자료분석방법은 조사 이후의 처리 절차에 관한 내용으로, 응답자의 참여 여부나 응답의 정직성 확보와는 직접적인 관련이 없다.

연구자가 완전참여자일 때 연구대상에 영향을 미치지 않는다는 설명이 틀린 설명이다. 완전참여자(연구자가 연구대상 집단에 완전히 참여)는 오히려 연구대상에 영향을 미칠 가능성이 높다.

연구자의 존재 자체가 자연스러운 상황을 변화시킬 수 있고, 특히 대상자들이 연구자임을 알지 못할 경우 비밀 참여로 인한 윤리 문제까지 발생한다.

• 완전참여자가 윤리적 문제를 발생시킬 수 있다는 설명은 옳다(윤리적 문제 발생 가능성 있음).
• 완전관찰자의 관찰이 피상적이고 일시적이 될 수 있다는 설명도 옳다(완전관찰자는 거리를 유지하므로 관찰이 표면적·단기적이 될 수 있음).
• 완전관찰자가 완전참여자보다 연구대상을 충분히 이해할 가능성이 낮다는 설명도 옳다(완전관찰자는 대상과 거리가 있어 깊이 있는 이해가 어려운 반면, 완전참여자는 내부자 관점에서 문화와 맥락을 더 잘 이해할 수 있음).

"여성의 노동참여율이 높을수록 출산율은 낮을 것이다"는 서로 다른 두 변수 간의 구체적인 관계를 진술하고 있어 자료 수집을 통해 참·거짓을 검증할 수 있는 경험적 가설에 해당한다.

나머지 진술들은 가치판단을 포함하거나("바람직하다"), 지나치게 포괄적이어서("모든 행위", "모든 사회") 구체적으로 검증하기 어려운 명제이다.

A기업 회장과 B기업 회장의 성격을 비교한 진술은 개인을 단위로 한 분석인 반면, 나머지 세 진술은 노인층·지역·국가라는 집단(범주) 단위로 집계된 값을 비교하는 것이어서 분석단위가 다르다.

지지율·생산성처럼 특정 범주에 속한 사람들의 특성을 요약한 집계치를 비교하는 것과, 특정 두 개인의 속성을 직접 비교하는 것은 분석단위 수준이 서로 다르다.

실험기간 중 독립변수의 변화가 아니라 피실험자 자신의 심리적·신체적 특성이 시간 경과에 따라 자연스럽게 변화하여 종속변수에 영향을 미치는 경우를 성숙효과(maturation)라 한다.

이는 실험 외적인 사건(우발적 사건)이나 표집·통계적 회귀와는 구분되는, 피험자 내부의 자연스러운 변화에서 비롯되는 내적타당도 저해요인이다.

표준화된 질문지 없이 자유로운 방식으로 진행되는 심층 인터뷰조사는 면접원의 재량과 진행 방식에 따라 결과가 크게 달라질 수 있어 면접원 특성에 따른 편향이 가장 크게 나타난다.

반면 구조화된 질문지를 사용하는 인터뷰조사는 질문과 진행 방식이 표준화되어 있어 면접원 간 차이로 인한 편향이 상대적으로 작다.

특정 연구주제에 대한 사전 지식이 부족한 상태에서는 응답의 범위를 미리 제한하지 않는 개방형 질문을 사용하는 것이 예비조사에 가장 적합하다.

개방형 질문은 응답자가 자유롭게 응답하도록 하여 연구자가 미처 예상하지 못한 새로운 정보와 응답 범주를 발견할 수 있게 해 준다.

모집단을 특정 변수를 기준으로 몇 개의 범주(집단)로 나눈 다음, 각 집단에서 사전에 정해 놓은 비율에 따라 표본을 추출하는 방법을 할당표집이라 한다.

층화표집과 유사하게 모집단을 하위집단으로 나누지만, 무작위 추출이 아니라 조사원의 판단으로 대상을 채운다는 점에서 비확률표집에 속한다.

조사대상자가 잘 모르거나 관심이 없는 내용을 더 많이 질문하는 것은 오히려 불성실하거나 무작위적인 응답을 유발하여 신뢰도를 떨어뜨리는 요인이 된다.

신뢰도를 높이려면 응답자가 명확히 답할 수 있는 내용을 중심으로 측정항목을 구성해야 한다.

• 중요한 질문을 2회 이상 반복해 묻는 것은 신뢰도를 높이는 방법이다.
• 측정항목의 모호성을 제거해 내용을 명확히 하는 것도 신뢰도 향상 방법이다.
• 이미 신뢰성이 검증된 측정도구를 활용하는 것도 신뢰도를 높이는 방법이다.

개념의 구성요소로는 일반적으로 일반적 합의, 정확한 정의, 경험적 준거틀 등이 논의되며, 가치중립성은 개념 자체의 구성요소라기보다는 좋은 가설이나 연구 태도에 요구되는 별개의 조건이다.

"빈곤 - 물질적인 결핍 상태"는 여전히 추상적인 서술에 머물러 있어 측정 가능한 형태로 구체화되지 않은 개념적 정의에 해당하므로, 조작적 정의의 예시로는 적절하지 않다.

조작적 정의는 추상적 개념을 관찰·측정할 수 있는 구체적 지표나 절차로 바꾸는 것을 말하며, 소득을 금액으로, 서비스만족도를 재이용 의사 유무로, 신앙심을 종교행사 참여 횟수로 나타낸 나머지 예시들이 이에 해당한다.

측정도구 자체가 측정하려는 속성이나 개념을 문항 내용 측면에서 얼마나 잘 대표하고 있는지를 논리적·주관적으로 평가하는 타당도를 내용타당도라 한다.

내용타당도는 통계적 절차보다는 전문가의 판단에 의존해 문항이 개념의 전체 범위를 빠짐없이 반영하는지를 점검하는 방식으로 확인한다.

조작적 정의는 추상적인 개념적 정의를 실제로 측정할 수 있는 구체적 형태로 변환하는 것이므로 이 설명이 옳다.

조작적 정의는 개념적 정의가 먼저 이루어진 이후에 그것을 관찰·측정 가능한 지표로 구체화하는 절차이며, 현실세계에서 검증 가능하도록 만드는 것이 목적이다.

• 현실세계에서 검증할 수 없다는 설명은 조작적 정의의 목적과 반대되어 틀렸다.
• 개념적 정의에 앞서 이루어진다는 설명도 순서가 반대되어 틀렸다.
• 경험적 지표를 추상적으로 개념화한다는 설명도 방향이 반대되어 틀렸다.

측정의 일관성을 나타내는 신뢰도는 비체계적 오차(무작위 오차)와 관련된 개념이므로, 신뢰도가 체계적 오차와 관련된다는 설명은 틀렸다.

체계적 오차는 측정값을 일정한 방향으로 치우치게 만들어 타당도를 저해하는 반면, 비체계적 오차는 방향 없이 무작위로 분산되어 신뢰도를 저해한다.

• 비체계적 오차가 다양하게 분산되며 상호 상쇄되는 경향이 있다는 설명은 옳다.
• 체계적 오차가 일정하거나 한쪽으로 치우쳐 있다는 설명도 옳다.
• 비체계적 오차가 측정대상·과정·수단·측정자 등에 일시적으로 영향을 미쳐 발생한다는 설명도 옳다.

일반적으로 타당도를 확보하는 것이 신뢰도를 확보하는 것보다 더 어렵다고 알려져 있으므로, 타당도가 신뢰도에 비해 확보하기 용이하다는 설명은 옳지 않다.

신뢰도는 측정의 일관성만 확인하면 되지만, 타당도는 측정하려는 개념을 실제로 정확히 재고 있는지까지 검증해야 하므로 더 복잡한 절차가 필요하다.

• 신뢰도가 높다고 반드시 타당도가 높은 것은 아니라는 설명은 옳다.
• 신뢰도는 타당도의 필요조건이므로 신뢰도가 낮으면 타당도를 논할 수 없다는 설명도 옳다.
• 신뢰도가 있는 측정이 타당도가 있을 수도, 없을 수도 있다는 설명도 옳다.

온도는 절대영점이 존재하지 않는 등간척도(구간척도)인 반면, 교통사고 횟수·몸무게·저축금액은 절대영점이 존재하는 비율척도여서 측정수준이 다르다.

비율척도는 사칙연산이 모두 가능하고 값이 0일 때 해당 속성이 전혀 없음을 의미하지만, 등간척도인 온도는 0도가 온도가 전혀 없음을 뜻하지 않는다.

모집단의 목록에서 일정한 순서에 따라 매 k번째 요소를 추출하는 표집방법을 체계적 표집이라 한다.

먼저 표본크기에 맞는 추출간격 k를 정하고 무작위로 시작점을 선택한 뒤, 그 지점부터 매 k번째 요소를 차례로 뽑아 표본을 구성한다.

측정하려는 변수의 수가 많아질수록 각 변수별 세부 분석을 위해 필요한 표본크기도 커져야 한다는 설명이 옳다.

표본크기는 변수의 수와 분석변수의 범주 수, 모집단의 이질성 정도, 그리고 투입 가능한 비용과 시간 등 여러 요인을 함께 고려해 결정한다.

• 모집단의 이질성이 클수록 표본크기는 오히려 커야 하므로 작아야 한다는 설명은 틀렸다.
• 비용과 시간은 표본크기를 제약하는 현실적 요인이므로, 영향을 미치지 않는다는 설명도 틀렸다.
• 분석변수의 범주 수가 많을수록 범주별 사례 수를 확보해야 하므로, 표본크기 결정요인이 아니라는 설명도 틀렸다.

명목척도는 대상을 단순히 분류하거나 확인하기 위해 숫자를 부여하는 척도로, 절대영점이라는 개념 자체가 존재하지 않는다는 점에서 이 설명은 옳지 않다.

절대영점은 비율척도에서만 의미를 가지는 개념이며, 명목척도의 숫자는 크기나 순서, 원점과 무관하게 오직 범주 구분의 기호로만 쓰인다.

• 응답 범주가 상호 배타적이어야 한다는 설명은 명목척도의 기본 요건으로 옳다.
• 특성을 분류·확인할 목적으로 숫자를 부여한다는 설명도 옳다.
• 하나의 측정 대상이 동시에 두 값을 가질 수 없다는 설명도 옳다.

모든 문항 쌍의 상관관계를 계산해 그 평균값으로 신뢰도를 추정하는 방식은 내적 일관성법(internal consistency method)이다.

검사를 구성하는 개별 문항들이 하나의 속성을 얼마나 일관되게 측정하는지를 평가하는 방법으로, 크론바하 알파 계수가 대표적으로 이 원리를 사용한다.

• 같은 검사를 시간 간격을 두고 두 번 실시해 비교하는 방법은 재검사법이다.
• 동질적인 두 검사지를 만들어 비교하는 방법은 복수양식법이다.
• 한 검사를 두 부분으로 나누어 비교하는 방법은 반분법이다.

할당표집에서 범주의 수는 각 기준 항목의 사례 수를 모두 곱한 값으로 결정된다.

학년 4개 $\times$ 성별 2개 $\times$ 단과대학 4개(인문사회, 자연, 예체능, 기타)를 곱하면 $4 \times 2 \times 4 = 32$개의 범주가 만들어진다.

할당표집(quota sampling)은 대표적인 비확률표집 방법이므로 확률표집의 종류로 보는 설명은 옳지 않다.

• 단순 무작위표집이 확률표집의 기본이 된다는 설명은 옳다.
• 모집단의 모든 요소가 0이 아닌 추출 확률을 갖는다는 전제도 확률표집의 정의에 맞다.
• 통계적 기법을 통해 모집단에 대한 일반화(추론)가 가능하다는 설명도 옳다.

매장을 방문한 고객만을 대상으로 손쉽게 표본을 구성하는 방식은 편의표집(convenience sampling)이다.

접근이 쉬운 대상을 임의로 선택하는 비확률표집으로, 대표성은 낮지만 시간과 비용이 적게 든다.

• 군집표집은 모집단을 집락 단위로 나눈 뒤 일부 집락을 무작위로 뽑는 확률표집이다.
• 판단표집은 조사자의 주관적 판단으로 특정 대상을 선정하는 방법이다.
• 할당표집은 미리 정한 범주별 인원수를 채우는 방식이다.

표본추출은 모집단의 확정 → 표본프레임의 결정 → 표본추출방법의 결정 → 표본크기의 결정 → 표본추출의 실행 순으로 진행된다.

누구를 조사할 것인지 모집단을 먼저 규정해야 그 구성원 목록인 표본프레임을 마련할 수 있고, 목록이 갖춰져야 확률표집과 비확률표집 가운데 어떤 추출방법을 쓸지 정할 수 있다.

추출방법이 정해지면 허용 표집오차와 신뢰수준을 근거로 표본크기를 산정하고, 마지막으로 실제 표본을 뽑는 실행 단계가 온다. 그러므로 표본프레임이 모집단 확정보다 앞서거나 실행이 중간에 놓인 배열은 성립하지 않는다.

표본프레임(전체 마일리지 카드 소지자 명단)이 목표 모집단(최근 1년 10만 마일 이상 사용자)보다 넓어 모집단이 표본프레임 내에 포함되는 경우에 해당한다.

표본프레임에는 조사 대상이 아닌 요소까지 포함되어 있어, 추출된 표본 중 모집단 조건을 충족하지 않는 사례가 섞일 수 있다는 오류가 발생한다.

순위는 서열 관계만 나타낼 뿐 사칙연산이 불가능한 서열척도의 예이므로, 월드컵 축구 순위를 비율척도의 예로 드는 설명은 옳지 않다.

• 절대영점을 기준으로 상대적·절대적 크기 비교가 가능하다는 설명은 비율척도의 정의에 맞다.
• 가감승제의 모든 사칙연산이 가능하다는 설명도 옳다.
• 네 척도 중 가장 많은 정보를 담고 있다는 설명도 옳다.

의미분화척도는 등간척도로 취급되어 요인분석 등 다변량분석에 적용하기 용이하므로, 통계적 처리가 어렵다는 설명은 옳지 않다.

개념에 함축된 의미를 여러 차원에서 평가하도록 고안되었고, 척도 양극단에 상반되는 형용사를 배치하는 형태를 취한다는 나머지 설명은 모두 타당하다.

크론바하 알파는 값의 범위가 대체로 0에서 1 사이로 해석되므로, -1에서 +1까지라는 설명은 옳지 않다.

표준화된 알파라 불리며, 문항 간 평균상관관계가 높을수록, 문항 수가 많을수록 값이 커진다는 나머지 설명은 타당하다.

측정은 추상적 개념을 경험적으로 관찰 가능한 지표로 바꾸는 과정이므로, 그 반대 방향으로 서술한 설명은 옳지 않다.

조작적 정의에 근거해 이루어지고, 이론과 현실을 연결하는 매개체 역할을 하며, 하나의 관찰값이 동시에 두 속성을 가질 수 없다는 나머지 설명은 측정의 특성에 부합한다.

조사자가 조사문제와 모집단을 잘 안다고 판단한 특정집단을 의도적으로 표본으로 선정하는 방법은 판단표집(유의표집)이다.

휴대폰 로밍 서비스에 대한 전문지식을 가진 사람만 골라 임의로 표본을 구성한 예처럼, 연구목적에 가장 적합하다고 연구자가 판단한 대상을 뽑는 비확률표집에 해당한다.

• 편의표집은 접근이 쉬운 대상을 손닿는 대로 뽑는 것이어서 전문성에 대한 판단이 개입하지 않는다.
• 할당표집은 모집단의 특성별 구성비에 맞춰 범주별 할당량을 정하고 그 수를 채우는 방식이다.
• 층화표집은 모집단을 층으로 나눈 뒤 각 층에서 무작위로 추출하는 확률표집이므로 임의 선정과 구별된다.

표본크기는 신뢰도, 모집단의 동질성, 분석 범주의 수 등 통계적 요인에 의해 결정되며, 조사대상 지역의 지리적 여건은 표본크기 결정과 직접 관련이 없다.

옳은 것은 자료수집 방법이 표본크기와 관련된다는 것, 표본크기가 커질수록 모수와 통계치의 유사성이 커진다는 것, 표집오차가 커질수록 대표성의 정확성이 낮아진다는 것 세 가지다.

표본이 커지면 표준오차 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$가 작아져 통계치가 모수에 가까워지고, 반대로 표집오차가 클수록 표본이 모집단을 대표하는 정확성은 떨어진다. 또한 면접·우편·온라인 등 자료수집 방법에 따라 비용과 응답률이 달라지므로 실제로 확보할 수 있는 표본크기도 달라진다.

반면 분석변수가 적어질수록 표본크기가 커져야 한다는 진술은 방향이 반대다. 같은 표집오차를 유지하려면 교차분석할 변수와 세분 집단이 많아질수록 더 큰 표본이 필요하다.

판단표집(purposive sampling)은 조사자의 주관적 판단으로 표본을 선정하는 비확률표집이다.

층화표집, 군집표집, 체계적 표집은 모두 무작위 추출 원리를 따르는 확률표집 방법이다.

확률표본과 비확률표본 중 무엇을 선택할지는 연구목적, 비용 대 가치, 허용되는 오차의 크기 등을 종합해 결정하며, 모집단의 수 자체는 이 선택의 직접적 고려요인이 아니다.

측정도구의 점수와 이미 타당성이 검증된 외적 기준 간의 상관관계를 통계적으로 비교하는 방법은 기준 관련 타당도(criterion-related validity)이다.

• 표면타당도는 외견상 그럴듯해 보이는지를 주관적으로 판단하는 방법이다.
• 구성체타당도는 이론적 구성개념과의 관계로 검증하는 방법이다.
• 내용타당도는 문항이 측정하려는 내용 영역을 충분히 대표하는지를 전문가가 판단하는 방법이다.

중앙값, 순위상관관계, 비모수통계검증은 순서 정보만 이용하므로 서열측정 자료에 주로 활용된다.

명목측정은 최빈값 정도만 가능하고, 등간·비율측정은 평균과 모수적 통계기법까지 사용할 수 있어 이 방법들의 주 활용 대상은 아니다.

독립변수와 종속변수 사이의 관계를 실제보다 약하게 나타나게 만들어, 통제 시 오히려 관계가 뚜렷해지게 하는 제3의 변수를 억제변수(suppressor variable)라 한다.

연령을 통제했을 때 교육수준과 소득수준의 상관관계가 유의미하게 드러난 것은 연령이 두 변수 사이의 실제 관계를 가리고 있었기 때문이다.

추가된 값이 기존 평균과 같은 10이어서 평균은 그대로 10이고 편차제곱합도 늘지 않으므로, 새 분산은 $\dfrac{200}{3}$이다.

불편분산의 정의에서 먼저 편차제곱합을 구한다.
$\sum (x_i-\overline{x})^2=(n-1)s^2=(3-1)\times 100=200$

추가된 관측값 10은 평균과 같으므로 4개 자료의 평균도 $\overline{x}=10$으로 유지되고, 새로 더해지는 편차제곱은 $(10-10)^2=0$이 되어 편차제곱합은 200 그대로다.

따라서 자유도만 $4-1=3$으로 커진다.
$s^2=\dfrac{200}{3}$

두 모집단의 분산이 같다고 볼 때 쓰는 합동분산(공통분산)은 두 표본의 편차제곱합을 합쳐 자유도의 합으로 나눈 값으로, 여기서는 13이 된다.

공식은 $s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$이다.

주어진 $n_1=11,\ s_1^2=10,\ n_2=16,\ s_2^2=15$를 대입하면
$s_p^2=\dfrac{(11-1)\times 10+(16-1)\times 15}{11+16-2}=\dfrac{100+225}{25}=\dfrac{325}{25}=13$

표본평균 23과 25는 공통분산 계산에는 전혀 쓰이지 않는다는 점도 함께 기억해 두자.

전체 자유도에서 오차 자유도를 빼 처리 자유도를 구하면 처리수 6, 반복수 8이 된다.

완전확률화계획법에서 처리수를 $k$, 반복수를 $r$라 하면 처리 자유도는 $k-1$, 오차 자유도는 $k(r-1)$, 전체 자유도는 $kr-1$이다.

표에서 전체 47, 오차 42이므로 처리 자유도는 $47-42=5$이고, 따라서 $k-1=5 \Rightarrow k=6$이다.
전체 관측치 수는 $kr=47+1=48$이므로 $r=\dfrac{48}{6}=8$이다.

검산하면 오차 자유도가 $6\times(8-1)=42$로 표의 값과 정확히 일치한다.

표준편차는 분산에 제곱근을 취한 값이므로, 분산을 제곱한 것과 같다는 설명은 옳지 않다.

분산이 클수록 측정치가 평균에서 멀리 흩어져 있다는 것, 편차를 제곱해 산출한다는 것, 편차 제곱합을 관찰 수로 나눈 값이라는 나머지 설명은 모두 타당하다.

단순회귀에서 결정계수는 상관계수의 제곱($r^2=(r_{xy})^2$)이므로, 결정계수가 상관계수와 직접적인 관계가 없다는 설명이 틀렸다.

결정계수는 총변동 중 추정회귀직선이 설명하는 변동의 비율 $r^2=\dfrac{SSR}{SST}$로 정의되며, 여기서 $SST=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2$, $SSR=\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-\overline{y})^2$이다.

나머지 설명이 옳은 이유는 다음과 같다.

• 기울기 $b_1=0$이면 모든 예측값이 $\hat{y}_i=\overline{y}$가 되어 $SSR=0$, 즉 결정계수는 0이 된다.
• $r_{xy}=\pm\sqrt{r^2}$이고 그 부호는 기울기 $b_1$의 부호를 따르므로, 기울기가 음수면 상관계수는 $-\sqrt{r^2}$과 같다.

최소제곱법은 잔차의 제곱합을 최소화하는 방법이며, 잔차 자체의 합은 항상 0이 되므로 이를 최소화한다는 설명은 옳지 않다.

회귀분석이 독립변수와 종속변수의 함수관계를 규명하고, 영향을 미치는 독립변수를 파악하며, 오차항이 서로 독립인 정규분포 $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$를 따른다는 나머지 설명은 회귀모형의 기본 가정에 부합한다.

표의 제곱합과 자유도로 계산한 F 통계량은 150이므로, 값이 0.15라는 설명이 틀렸다.

F는 급간 평균제곱을 급내 평균제곱으로 나눈 값이다.
$F=\dfrac{MSB}{MSW}=\dfrac{1095/1}{73/10}=\dfrac{1095}{7.3}=150$

표에서 읽히는 나머지 설명은 모두 옳다.

• 급간 자유도가 1이므로 집단 수는 $1+1=2$, 즉 두 집단의 평균 비교이다.
• 전체 자유도가 $1+10=11$이므로 관찰치 총 개수는 $11+1=12$개다.
• F가 임계값보다 작으면 집단 간 차이가 유의하지 않아 귀무가설을 기각하지 않는다.

p값이 유의수준을 넘는 변수는 Head 하나뿐이므로, 통계적 유의성이 없는 것이 절편과 Neck이라는 설명이 틀렸다.

표를 보면 절편은 $t=-11.29,\ p=0.000$, Neck은 $t=15.92,\ p=0.000$으로 둘 다 유의한 반면, Head는 $t=1.41,\ p=0.161$로 유의수준 0.05에서 유의하지 않다.

나머지 설명이 옳은 이유는 다음과 같다.

• 절편을 제외한 예측변수가 Head와 Neck이므로 설명변수는 이 두 개다.
• 결정계수 0.891은 반응값의 총 산포 중 약 89.1%를 모형이 설명한다는 뜻이다.
• Neck의 회귀계수가 19.112이므로 다른 요인을 고정한 채 Neck이 한 단위 증가하면 반응값은 19.112만큼 증가한다.

표본비율의 표집분포는 평균이 모비율 $p$, 분산이 $\dfrac{p(1-p)}{n}$인 정규분포로 근사된다.

$p=0.1,\ n=100$이므로 평균은 $0.1$이다.

분산은 $\dfrac{0.1 \times 0.9}{100} = 9 \times 10^{-4}$가 되어, 표본불량률은 $N(0.1,\ 9\times10^{-4})$를 따른다.

유의확률(p-value)이 유의수준 $\alpha$보다 작을 때, 즉 $p\text{-value} \lt \alpha$일 때 귀무가설을 기각한다.

관측된 검정통계값이 귀무가설 하에서 나타날 확률이 미리 정한 기준보다 낮으므로 귀무가설을 기각할 근거가 된다는 원리이다.

동전을 세 번 던져 앞면이 두 번, 뒷면이 한 번 나올 확률은 이항분포 $\mathrm{P}(X=2) = \binom{3}{2}p^2(1-p)^1$로 구한다.

$p=0.4$를 대입하면 $\binom{3}{2}\times 0.4^2 \times 0.6 = 3 \times 0.16 \times 0.6 = 0.288$이 된다.

추정량이 갖추어야 할 바람직한 성질은 치우침이 없는 불편성이며, 편향되어 있음을 뜻하는 편의성(biasness)은 바람직한 성질이 아니다.

효율성, 일치성, 충분성은 모두 좋은 추정량이 갖추어야 할 성질로 인정된다.

세 지역 × 찬성·반대의 분할표이므로 자유도는 2이고, 유의수준 5%의 임계값은 5.99이며 검정통계량 7.55가 이를 넘으므로 지역에 따라 찬성률에 차이가 있다고 판정한다.

동질성 검정의 자유도는 $(\text{행의 수}-1)\times(\text{열의 수}-1)$이므로 $(3-1)\times(2-1)=2$이다.

주어진 값 중 자유도 2, 유의수준 0.05에 해당하는 $\chi^2_{0.05}(2)=5.99$가 임계값이고, $7.55>5.99$이므로 찬성률이 지역별로 같다는 귀무가설을 기각한다.

표본크기를 4배로 하면 표준오차가 절반이 되어 같은 거리를 벗어날 확률은 0.0456으로 줄어든다.

표본평균의 표준편차가 $\sigma/\sqrt{n}$이므로 $P(|\overline{X}-\mu|\ge 0.5\sigma)=P(|Z|\ge 0.5\sqrt{n})=0.3174$이다.
표에서 $P(Z>1.0)=0.1587$이고 $2\times 0.1587=0.3174$이므로 $0.5\sqrt{n}=1.0$, 즉 $n=4$이다.

표본크기를 4배로 하면 $n=16$이므로 기준점은 $0.5\sqrt{16}=2.0$이 되고
$P(|Z|\ge 2.0)=2\times P(Z>2.0)=2\times 0.0228=0.0456$

이원교차표의 카이제곱 검정 자유도는 $(\text{행의 수}-1)\times(\text{열의 수}-1)$로 계산한다.

행이 2, 열이 3이므로 자유도는 $(2-1)\times(3-1) = 2$이다.

이항분포의 왜도는 $\dfrac{1-2p}{\sqrt{npq}}$이므로 $p=\dfrac{1}{2}$이면 왜도가 0이 되어, 이 경우 왜도가 양수라는 설명이 틀렸다.

왜도의 부호는 분자 $1-2p$가 결정한다. $p<\dfrac{1}{2}$이면 양수(오른쪽 꼬리가 긴 분포), $p>\dfrac{1}{2}$이면 음수(왼쪽 꼬리가 긴 분포), $p=\dfrac{1}{2}$이면 0으로 좌우대칭이다.

이 기준으로 나머지 설명을 확인하면 모두 옳다.

• $p=\dfrac{1}{2}$일 때 좌우대칭 형태가 되는 것은 맞다.
• $p=\dfrac{3}{4}$은 $1-2p=-0.5$이므로 왜도가 음수다.
• $p=\dfrac{1}{4}$은 $1-2p=0.5$이므로 왜도가 0이 아니다.

제1종 오류는 실제로 참인 귀무가설을 기각하는 경우에 발생한다.

• 참이 아닌 귀무가설을 기각하지 않는 경우는 제2종 오류에 해당한다.
• 참인 귀무가설을 기각하지 않는 경우는 올바른 결정이다.
• 참이 아닌 귀무가설을 기각하는 경우도 올바른 결정이다.

정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭이므로 평균과 중앙값이 일치한다.

$\mathrm{P}(X \lt 10)=0.5$는 10이 분포의 중앙값임을 의미하므로, $X$의 기댓값도 $10$이다.

최소제곱추정량 $b=(X'X)^{-1}X'y$의 분산-공분산 행렬은 $Var(b)=(X'X)^{-1}\sigma^2$이다.

유도 과정은 $Var(b)=(X'X)^{-1}X'\,Var(\varepsilon)\,X(X'X)^{-1}=(X'X)^{-1}X'(\sigma^2 I)X(X'X)^{-1}=\sigma^2(X'X)^{-1}$로 정리된다.

따라서 역행렬 없이 $X'X$를 그대로 곱한 형태나, 근거 없는 상수 $k$가 앞에 붙은 형태는 성립하지 않는다.

주사위 눈이 1 또는 2(확률 $\dfrac{1}{3}$)이면 2번, 그 외(확률 $\dfrac{2}{3}$)이면 3번 쏘며, 명중률은 $0.75$이다.

2번 쏘는 경우 한 번만 명중할 확률은 $\binom{2}{1}(0.75)(0.25) = 0.375$이고, 3번 쏘는 경우는 $\binom{3}{1}(0.75)(0.25)^2 = 0.140625$이다.

전체 확률은 $\dfrac{1}{3}\times 0.375 + \dfrac{2}{3}\times 0.140625 = 0.21875 = \dfrac{7}{32}$이다.

대응비교(짝지은 자료)의 t검정은 차이값 $D_i$ 하나의 표본에 대한 단일표본 검정이므로 자유도는 $n-1$이다.

자료 구조에서 각 쌍마다 $D_i=X_i-Y_i$를 만들면 실제 분석 대상은 $D_1,\ D_2,\ \cdots,\ D_n$의 n개 관측값뿐이다.

검정통계량 $T=\dfrac{\overline{D}}{S_D/\sqrt{n}}$의 분모에 쓰인 $S_D^2=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(D_i-\overline{D})^2}{n-1}$가 자유도 $n-1$을 사용하므로, T는 자유도 $n-1$인 t분포를 따른다.

두 표본을 서로 독립으로 볼 때 쓰는 $2(n-1)$과 혼동하지 않도록 주의한다.

분산분석표에는 제곱합, 자유도, 평균제곱, F값이 제시되며, 표준편차는 별도로 표시되지 않는다.

분산분석은 평균제곱(분산의 추정치)들의 비율인 F값을 이용해 집단 간 평균 차이를 검정하므로, 표준편차 자체는 표에 포함되는 항목이 아니다.

검정통계량이 $Z=-1.96$이고 좌측검정이므로 유의확률은 0.025이다.

모표준편차를 아는 경우의 검정통계량은 $Z=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$이다.

주어진 $\overline{x}=49.02,\ \mu_0=50,\ \sigma=5,\ n=100$을 대입하면
$Z=\dfrac{49.02-50}{5/\sqrt{100}}=\dfrac{-0.98}{0.5}=-1.96$

대립가설이 $\mu<50$인 좌측검정이므로 유의확률은 $P(Z\le -1.96)=0.025$가 된다.

중심극한정리에서 표본합의 분포는 $N(n\mu,\ n\sigma^2)$에 수렴한다.

표본합 $T=\sum_{i=1}^{n}X_i$의 기댓값은 $E(T)=n\mu$이고, 관측값이 서로 독립이므로 분산은 $Var(T)=n\sigma^2$이 된다.

표본평균의 분포 $N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$이나 평균과 분산을 뒤섞은 형태와 헷갈리기 쉬우니, 합이면 평균도 분산도 모두 n배라는 점으로 구분하자.

확률변수의 기댓값은 각 값에 그 확률을 곱해 모두 더한 값이므로 4.1이 된다.

정의식 $E(X)=\sum x_i P(X=x_i)$ 에 표의 값을 그대로 대입한다.
$E(X)=1\times 0.1+2\times 0.2+4\times 0.3+6\times 0.4$
$=0.1+0.4+1.2+2.4=4.1$

확률의 합이 $0.1+0.2+0.3+0.4=1$ 이므로 표는 유효한 확률분포이고, 값이 큰 4와 6 쪽에 확률(0.3, 0.4)이 몰려 있어 기댓값이 단순 평균인 3보다 크게 나오는 것이 검산의 실마리가 된다.

일원배치법의 오차항 $\varepsilon_{ij}$은 서로 독립이라고 가정하므로, 자기상관을 갖는다는 설명은 오차항에 대한 가정이 아니다.

오차항이 동일한 분산을 가지며 정규분포를 따른다는 나머지 가정은 일원배치 분산분석의 기본 전제에 해당한다.

상위 5%에 해당하는 표준정규분포 값은 $Z=1.645$이다.

점수는 $X = \mu + Z\sigma = 70 + 1.645 \times 10 = 86.45$이므로, 1등급이 되려면 최소 $86.45$점을 받아야 한다.

초기하분포는 유한모집단에서 비복원추출을 전제로 하므로, 복원추출을 전제로 한다는 설명은 옳지 않다.

이항분포는 베르누이 시행을 전제로 하고, 모집단이 충분히 크면 초기하분포가 이항분포로 근사되며, 이항분포는 적절한 조건에서 정규분포로 근사될 수 있다는 나머지 설명은 모두 타당하다.

평균(136.5cm)이 중앙값(130.0cm)보다 크므로, 분포는 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖는 비대칭분포(양의 왜도)이다.

일부 학생의 신장이 매우 크게 측정되어 평균을 중앙값보다 끌어올린 것으로 해석할 수 있다.

두 집단의 모비율 차이 검정이므로 분자는 두 표본비율의 차여야 하고, 분모의 표준오차 괄호 안은 $\dfrac{1}{250}+\dfrac{1}{200}$ 처럼 더한 형태여야 한다.

표본비율은 남자 $\hat p_1=\dfrac{110}{250}$, 여자 $\hat p_2=\dfrac{104}{200}$ 이고, 귀무가설 $H_0:p_1=p_2$ 아래에서는 두 표본을 합친 합동표본비율 $\hat p=\dfrac{110+104}{250+200}=\dfrac{214}{450}$ 로 분산을 추정한다.
$Z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

• 분자를 $\dfrac{110}{250}+\dfrac{104}{200}$ 로 더한 식들: 두 비율의 차이를 재는 통계량이 아니어서 찬성률 차이 검정에 쓸 수 없다.
• 분모 괄호 안을 $\dfrac{1}{250}-\dfrac{1}{200}$ 로 뺀 식들: 독립인 두 표본비율 차의 분산은 각 분산의 합이므로 뺄셈이 될 수 없고, 실제로 $\dfrac{1}{250}-\dfrac{1}{200}=-0.001$ 로 음수가 되어 제곱근 자체가 정의되지 않는다.

결정계수는 회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 값이므로 $R^2=\dfrac{9.9}{42.9}\approx 0.23$ 이고, g=0.7 은 틀린 값이다.

자료가 10쌍이므로 $n=10$ 이고 단순회귀의 자유도는 회귀 $a=1$, 오차 $d=n-2=8$, 전체 $f=n-1=9$ 이다.
평균제곱은 제곱합을 자유도로 나눈 값이므로 $b=\dfrac{9.9}{1}=9.9$, $e=\dfrac{33.0}{8}=4.125$ 이다.

F값은 두 평균제곱의 비이므로 $c=\dfrac{MSR}{MSE}=\dfrac{9.9}{4.125}=2.4$ 이고, 제곱합도 $9.9+33.0=42.9$ 로 전체와 맞아떨어진다. 즉 a·b, d·e, c 는 모두 옳고 결정계수 자리만 어긋난다.

변동계수가 작을수록 상대적 산포가 작다는 뜻이므로, 대학생 용돈이 초등학생 용돈보다 상대적으로 평균에 더 밀집되어 있다.

변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 단위 없는 상대적 산포 측도다.
$CV=\dfrac{s}{\bar{x}}$
초등학생: $\dfrac{2{,}000}{130{,}000}\approx 0.0154\ (1.54\%)$
대학생: $\dfrac{3{,}000}{200{,}000}=0.015\ (1.5\%)$

표준편차만 보면 대학생(3,000원)이 초등학생(2,000원)보다 커서 더 흩어져 보이지만, 평균 수준이 다를 때는 표준편차를 직접 비교할 수 없고 변동계수로 봐야 한다. 두 값이 1.54%와 1.5%로 다르므로 변동계수가 같다고 할 수 없고, 평균이 달라도 변동계수를 쓰면 비교가 가능하다.

산술평균은 극단값(이상점)에 민감하게 영향을 받는 통계량이므로, 이상점의 영향을 받지 않는다는 설명은 옳지 않다.

편차의 합이 0이 되고, 좌우대칭분포에서는 중앙값과 일치하며, 자료의 중심위치를 나타내는 측도라는 나머지 설명은 산술평균의 성질에 부합한다.

표준오차는 $\mathrm{SE} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 계산되므로, 모집단의 표준편차 $\sigma$가 클수록 표준오차도 커진다. 따라서 작아진다는 설명은 옳지 않다.

표본평균의 표준편차를 의미하고, 표본크기가 클수록 작아지며, 항상 0 이상의 값을 갖는다는 나머지 설명은 타당하다.

95% 신뢰구간의 오차한계는 $E = Z_{0.025}\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 구하며, 이를 $0.5$보다 작게 하는 $n$을 구한다.

$1.96 \times \dfrac{10}{\sqrt{n}} \lt 0.5$를 정리하면 $\sqrt{n} \gt 39.2$, 즉 $n \gt 1536.64$이다.

표본크기는 정수여야 하므로 최소한 $1537$이 되어야 한다.

피어슨 상관계수는 두 변수 간 선형관계의 방향과 강도를 나타내며, 그 값의 범위는 -1에서 1 사이이다.

+1에 가까울수록 강한 양의 선형관계, -1에 가까울수록 강한 음의 선형관계, 0에 가까우면 선형관계가 거의 없음을 의미한다.

다섯 점이 모두 기울기가 음수인 하나의 직선 위에 정확히 놓이므로 상관계수는 -1이다.

표를 보면 x가 2씩 커질 때 y가 예외 없이 1씩 작아진다: (2,5), (4,4), (6,3), (8,2), (10,1).
이 관계는 $y=6-0.5x$ 라는 식으로 오차 없이 표현되므로 완전한 음의 선형관계다.

상관계수는 $-1\le r\le 1$ 범위이며 완전한 음의 선형관계이면 -1, 완전한 양의 선형관계이면 1이다. 점들이 직선에서 벗어나야 절댓값이 1보다 작아지는데 여기서는 단 한 점도 벗어나지 않으므로 -0.5나 0.5가 될 수 없고, x가 커질 때 y가 작아지므로 부호도 음수여야 한다.

10, 20, 30, 40, 50의 평균은 $\dfrac{10+20+30+40+50}{5} = 30$이다.

다섯 개 값을 크기순으로 정렬했을 때 가운데 값인 중앙값도 $30$으로 평균과 같다.

기울기 추정량을 표준화한 $\dfrac{b_1-\beta_1}{\sqrt{MSE/S_{xx}}}$ 는 자유도 n-2인 t-분포를 따르며, F(1, n-2)를 따르는 것은 이 값을 제곱한 통계량이다.

$b_1$ 의 표준오차가 $\sqrt{MSE/S_{xx}}$ 이므로 위 식은 정규분포를 추정된 표준오차로 나눈 t 통계량이 되고, $\{t(n-2)\}^2=F(1,\,n-2)$ 라는 관계에 따라 제곱해야 비로소 F분포가 된다. 따라서 제곱하지 않은 통계량을 F분포라고 한 설명이 옳지 않다.

• 기울기 추정량이 평균 $\beta_1$, 분산 $\sigma^2/S_{xx}$ 인 정규분포를 따른다: 최소제곱추정량이 정규분포를 따르는 관측값들의 선형결합이므로 성립한다.
• 절편 추정량이 $\beta_0$ 의 불편추정량이다: $E(b_0)=\beta_0$ 이므로 옳다.
• MSE가 오차분산의 불편추정량이다: 잔차제곱합을 자유도 $n-2$ 로 나눈 값이라 $E(MSE)=\sigma^2$ 이 되어 옳다.

표준오차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{40}{\sqrt{64}} = 5$(시간)이다.

표본평균 790.2시간에 대응하는 표준정규분포 값은 $Z = \dfrac{790.2-800}{5} = \dfrac{-9.8}{5} = -1.96$이다.

주어진 $z_{0.025}=1.96$을 이용하면 표준정규분포에서 Z가 -1.96보다 작을 확률은 0.025이므로, 표본평균이 790.2시간 미만일 확률은 0.025이다.