19년 1회차

O점에는 x방향 200N의 힘만 작용하고 y방향 힘은 0이며, 모멘트는 400Nㆍm이다.

그림에서 막대는 O점의 힌지에서 x축과 30° 위로 기울어져 길이 4m로 뻗어 있고, 그 끝에 지면과 평행한 방향(+x)으로 200N의 힘 F가 걸린다. 외력이 수평 성분뿐이므로 힘의 평형에서 $F_{ox}=200\,\mathrm{N}$, $F_{oy}=0$이 된다.

모멘트는 힘의 크기에 O점에서 힘 작용선까지의 수직거리를 곱한다. 힘이 수평이므로 그 수직거리는 막대 끝의 높이인 $4\sin30^{\circ}=2\,\mathrm{m}$이다.
$M_z=200\times2=400\,\mathrm{N\cdot m}$

따라서 연직 반력이 생긴다고 보거나 모멘트 팔을 막대 길이 4m 또는 수평투영 $4\cos30^{\circ}$로 잡는 풀이는 성립하지 않는다. 수평력에는 연직 방향 거리를 곱해야 한다.

얇은 원통의 후프 응력(원주 응력)은 $\sigma_h = \frac{pd}{2t}$ 공식으로 구한다. 여기서 p = 1 MPa(내압), d = 400 mm(안지름), t = 8 mm(강판 두께)이다. $\sigma_h = \frac{1 \times 400}{2 \times 8} = \frac{400}{16} = 25 \text{ MPa}$ 따라서 강판에 발생하는 후프 응력은 25 MPa이다.

단순지지단의 반력은 $R_a=\dfrac{3M_0}{2\ell}$이다.

그림의 보는 왼쪽 A가 단순지지(핀), 오른쪽 B가 고정단인 1차 부정정보이며, 지간 ℓ의 A단에 모멘트 $M_0$가 작용한다. A의 반력을 잉여력으로 잡아 지지를 풀면 B만 고정된 외팔보가 된다.

이 외팔보의 자유단에 $M_0$만 작용할 때 처짐은 $\delta_1=\dfrac{M_0\ell^{2}}{2EI}$, 자유단에 $R_a$만 작용할 때 처짐은 $\delta_2=\dfrac{R_a\ell^{3}}{3EI}$이다. 실제 A점은 지지되어 처짐이 0이므로 두 값이 같아야 한다.

$\dfrac{R_a\ell^{3}}{3EI}=\dfrac{M_0\ell^{2}}{2EI}\;\Rightarrow\;R_a=\dfrac{3M_0}{2\ell}$
정리 과정에서 굽힘강성 EI가 소거되므로 반력은 재료·단면과 무관하게 계수 3/2로 결정된다.

옳은 관계는 $\sigma_T=\sigma_n(1+\varepsilon_n)$, $\varepsilon_T=\ln(1+\varepsilon_n)$이다.

공칭응력은 처음 단면적 $A_0$로, 진응력은 그 순간의 실제 단면적 A로 하중을 나눈 값이다. 소성변형에서 체적이 일정하다고 보면 $A_0L_0=AL$이므로 $\dfrac{A_0}{A}=\dfrac{L}{L_0}=1+\varepsilon_n$이 되어 $\sigma_T=\dfrac{P}{A}=\sigma_n(1+\varepsilon_n)$가 유도된다.

진변형률은 그때그때의 길이를 기준으로 변형을 누적한 값이므로 $\varepsilon_T=\int_{L_0}^{L}\dfrac{dL}{L}=\ln\dfrac{L}{L_0}=\ln(1+\varepsilon_n)$이다.

즉 로그가 붙는 쪽은 변형률이고, 응력에는 $(1+\varepsilon_n)$이 곱해진다. 응력에 ln을 씌우거나 응력비의 로그로 변형률을 정의한 식은 위 유도와 맞지 않는다.

균일강도 외팔보는 보 전체에서 굽힘응력이 일정하도록 두께가 변하는 구조다.

자유단에서 거리 $x$인 지점의 굽힘모멘트 $M=Px$, 단면계수 $Z=\dfrac{bh^2}{6}$이므로 $\sigma_{allow}=\dfrac{6Px}{bh^2}$가 성립한다.

이를 $h$에 대해 정리하면 $h=\sqrt{\dfrac{6Px}{b\sigma_{allow}}}$이고, $P=3\ \mathrm{kN}$, $x=250\ \mathrm{mm}$, $b=60\ \mathrm{mm}$, $\sigma_{allow}=65\ \mathrm{MPa}$를 대입하면 $h \approx 34\ \mathrm{mm}$가 된다.

양단 회전 지지(핀-핀)된 압축 부재의 오일러 좌굴하중은 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2 EI}{L^2}$ (단말계수 $n=1$)로 구한다.

직사각형 단면의 최소 단면2차모멘트는 $I=\dfrac{bh^3}{12}=\dfrac{0.1\times0.05^3}{12}\approx1.04\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$이다.

$E=100\ \mathrm{GPa}$, $L=4\ \mathrm{m}$를 대입하면 $P_{cr}\approx64.4\ \mathrm{kN}$이 된다.

평면 응력 상태에서 평면 내 최대 전단응력은 두 주응력 차이의 절반, 즉 $\tau_{max}=\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}$로 구한다.

$\sigma_x=100\ \mathrm{MPa}$, $\sigma_y=-50\ \mathrm{MPa}$를 대입하면 $\tau_{max}=\dfrac{100-(-50)}{2}=75\ \mathrm{MPa}$가 된다.

세 탄성계수 사이에는 $K=\dfrac{EG}{3(3G-E)}$의 관계가 성립한다.

등방성 재료에서는 푸아송비 ν를 매개로 $E=2G(1+\nu)$와 $E=3K(1-2\nu)$가 성립하며, 여기서 ν를 소거하면 $E=\dfrac{9KG}{3K+G}$라는 기본 관계식을 얻는다.

이 식을 체적탄성계수 K에 대해 풀면
$E(3K+G)=9KG$
$EG=9KG-3EK=3K(3G-E)$
$K=\dfrac{EG}{3(3G-E)}$

• 분모를 $2K+G$로 쓴 E의 식은 기본 관계식의 $3K+G$와 다르다.
• $\dfrac{3K-2G}{6K+2G}$는 푸아송비 ν를 주는 식이지 탄성계수 E가 아니다.
• $K=\dfrac{9EG}{3E+G}$는 기본식에서 E와 K의 자리를 뒤바꿔 쓴 형태다.

같은 재질·같은 단면적 조건에서 같은 전단응력을 낼 수 있는 비틀림 모멘트의 비는 두 축의 극단면계수($Z_p$) 비와 같다.

중공축(바깥지름 50cm, 안지름 30cm)과 단면적이 같은 중실축의 지름은 $D_s=\sqrt{50^2-30^2}=40\ \mathrm{cm}$로 구해진다.

극단면계수는 중공축 $Z_p=\dfrac{\pi}{16}\cdot\dfrac{D^4-d^4}{D}$, 중실축 $Z_p=\dfrac{\pi}{16}D_s^3$이며, 두 값을 계산해 비교하면 중공축이 중실축보다 약 1.7배의 비틀림 모멘트에 견딜 수 있다.

대칭축 n-n에 대한 단면 2차 모멘트는 약 735cm⁴이다.

그림의 단면은 눕힌 I형(H형)으로, 좌우에 두께 13mm·높이 150mm의 세로 판 두 장이 서 있고 그 사이를 두께 13mm·길이 224mm의 가로 판이 잇는다. n-n은 단면의 수평 대칭축이라 각 부분의 도심축과 일치하므로 평행축 정리의 보정항이 필요 없고 그대로 더하면 된다.

세로 판 한 장: $I=\dfrac{bh^{3}}{12}=\dfrac{13\times150^{3}}{12}=3{,}656{,}250\,\mathrm{mm^4}$, 두 장이면 $7{,}312{,}500\,\mathrm{mm^4}$
가로 판: $I=\dfrac{224\times13^{3}}{12}\approx41{,}000\,\mathrm{mm^4}$

합은 약 $7{,}353{,}500\,\mathrm{mm^4}$이고 $1\,\mathrm{cm^4}=10^{4}\,\mathrm{mm^4}$이므로 약 735cm⁴이다. 높이 150mm가 세제곱으로 들어가는 세로 판이 전체의 99% 이상을 차지한다.

축 방향 하중에 의한 응력은 $\sigma=\dfrac{P}{A}$로 구한다.

$P=10\ \mathrm{kN}=10^4\ \mathrm{N}$, $A=2\ \mathrm{cm^2}=2\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$를 대입하면 $\sigma=\dfrac{10^4}{2\times10^{-4}}=5\times10^{7}\ \mathrm{N/m^2}$가 된다.

모멘트 작용점의 비틀림각은 약 0.45rad이다.

그림처럼 양단이 고정된 축의 중간(왼쪽 벽에서 4m, 오른쪽 벽에서 6m 지점)에 비틀림 모멘트가 걸리면 토크가 양쪽으로 나뉘어 전달되므로, 작용점의 비틀림각은 $\theta=\dfrac{T\,a\,b}{G J L}$로 구한다(a=4m, b=6m, L=10m).

중실 원축의 극단면 2차 모멘트는 $J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}=\dfrac{\pi\times0.03^{4}}{32}\approx7.95\times10^{-8}\,\mathrm{m^4}$이고,
$GJ=100\times10^{9}\times7.95\times10^{-8}\approx7{,}952\,\mathrm{N\cdot m^2}$이다.

대입하면 $\theta=\dfrac{1{,}500\times4\times6}{7{,}952\times10}=\dfrac{36{,}000}{79{,}520}\approx0.45\,\mathrm{rad}$이다. 전체 길이 10m를 한쪽 길이처럼 쓰지 말고 $\dfrac{ab}{L}$ 형태로 넣어야 한다.

최대 굽힘응력은 $\sigma_{max}=\dfrac{3W\ell}{2bh^{2}}$이다.

그림은 지간 ℓ의 단순보 위를 집중하중 W가 왼쪽 지점에서 거리 x만큼 떨어진 위치로 이동하는 상황이고, 오른쪽에 폭 b·높이 h의 직사각형 단면이 함께 표시되어 있다. 하중이 x에 있을 때 굽힘모멘트는 $M=\dfrac{W x(\ell-x)}{\ell}$이며, 이 값은 하중이 보 중앙 $x=\dfrac{\ell}{2}$에 왔을 때 최대가 되어 $M_{max}=\dfrac{W\ell}{4}$이다.

직사각형 단면의 단면계수는 $Z=\dfrac{bh^{2}}{6}$이므로
$\sigma_{max}=\dfrac{M_{max}}{Z}=\dfrac{W\ell/4}{bh^{2}/6}=\dfrac{3W\ell}{2bh^{2}}$

굽힘응력 식에서 높이 h는 제곱으로 들어간다(세제곱은 단면 2차 모멘트 쪽이다). 또 하중 위치를 중앙으로 잡지 않으면 최대값이 나오지 않으므로 계수 3/2가 만들어지지 않는다.

트러스에 저장되는 탄성에너지는 약 159 kJ이다.

그림에서 부재 (1)은 벽면의 A와 B를 잇는 수평재로 길이 40 cm, 부재 (2)는 A보다 30 cm 아래인 벽면의 C와 B를 잇는 경사재로 길이 $\sqrt{40^2+30^2}=50\ \mathrm{cm}$이다. B점의 5 kN은 수평 4 : 수직 3의 기울기로 오른쪽 아래를 향하므로 성분은 $F_x=4\ \mathrm{kN}$, $F_y=3\ \mathrm{kN}$(아래)이다.

절점 B의 평형에서 수직성분은 경사재만 부담하므로 $0.6F_2=3$, 즉 부재 (2)는 5 kN 압축이고, 수평방향에서 $F_1=4+0.8\times5=8$이므로 부재 (1)은 8 kN 인장이다.

단면적 $A=1.2\ \mathrm{cm^2}=1.2\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, $E=10^{6}\ \mathrm{Pa}$를 $U=\sum\dfrac{F^2L}{2AE}$에 대입하면 $U=\dfrac{8000^2\times0.4+5000^2\times0.5}{2\times1.2\times10^{-4}\times10^{6}}=\dfrac{3.81\times10^{7}}{240}\approx1.59\times10^{5}\ \mathrm{J}$로 약 159 kJ이다.

B점의 회전각은 $\theta_B=\dfrac{680}{EI}$이다.

그림의 보는 A가 고정단인 길이 1 m의 외팔보로, 분포하중 q=5 kN/m는 고정단에서 60 cm 구간에만 작용하고 집중하중 P=1 kN은 자유단 B에 아래로 작용한다.

분포하중이 도중에서 끝나면 그 뒤 구간은 굽힘모멘트가 0이어서 회전각이 더 커지지 않으므로 $\theta_q=\dfrac{qa^3}{6EI}=\dfrac{5000\times0.6^3}{6EI}=\dfrac{180}{EI}$이고, 자유단 집중하중은 $\theta_P=\dfrac{PL^2}{2EI}=\dfrac{1000\times1^2}{2EI}=\dfrac{500}{EI}$이다.

두 하중이 같은 방향이므로 중첩하면 $\theta_B=\dfrac{180+500}{EI}=\dfrac{680}{EI}$가 된다.

중앙 처짐을 0으로 만드는 P의 크기는 7.5 kN이다.

그림은 A가 핀, B가 롤러인 지간 6 m의 단순보로 전 길이에 2 kN/m의 등분포하중이 아래로 작용하고, A에서 3 m 떨어진 중앙점에 P가 위로 작용한다.

등분포하중에 의한 중앙 처짐은 $\delta_w=\dfrac{5wL^4}{384EI}=\dfrac{5\times2\times6^4}{384EI}=\dfrac{33.75}{EI}$(아래), 중앙 집중하중에 의한 처짐은 $\delta_P=\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{P\times6^3}{48EI}=\dfrac{4.5P}{EI}$(위)이다.

두 처짐이 상쇄되도록 $4.5P=33.75$로 두면 $P=7.5\ \mathrm{kN}$이며, 이는 일반식 $P=\dfrac{5wL}{8}$에 $w=2$, $L=6$을 넣은 값과 같다.

최대 전단응력은 약 15.6 kPa이다.

그림은 양단이 지지된 지간 $\ell=4\ \mathrm{m}$의 단순보에 등분포하중 $\omega$가 전 길이에 걸쳐 작용하는 경우이며, 단면은 지름 11 cm의 원형이다. 원형 단면계수는 $Z=\dfrac{\pi d^3}{32}=\dfrac{\pi\times11^3}{32}\approx130.7\ \mathrm{cm^3}$이다.

최대 굽힘모멘트는 $M=\sigma_{max}Z=85\times130.7\approx11109\ \mathrm{N\cdot cm}$이고 단순보 등분포하중에서 $M=\dfrac{\omega\ell^2}{8}$이므로 $\omega=\dfrac{8\times11109}{400^2}\approx0.556\ \mathrm{N/cm}$, 최대 전단력은 $V=\dfrac{\omega\ell}{2}=0.556\times200\approx111\ \mathrm{N}$이다.

원형 단면의 최대 전단응력은 평균 전단응력의 $\dfrac{4}{3}$배이므로 $\tau_{max}=\dfrac{4V}{3A}=\dfrac{4\times111}{3\times\frac{\pi\times11^2}{4}}\approx1.56\ \mathrm{N/cm^2}$, 즉 약 15.6 kPa이다($1\ \mathrm{N/cm^2}=10\ \mathrm{kPa}$).

두 축 지름의 비는 $\dfrac{d_2}{d_1}=\sqrt[3]{9}\approx2.08$이다.

그림에서 A와 B는 지름 $d_1$인 축에, C와 D는 지름 $d_2$인 축에 고정되어 있고, 맞물린 B와 C를 통해 동력이 넘어간다.

맞물린 치차의 접선력이 서로 같으므로 전달토크는 피치원 지름에 비례한다. $\dfrac{D_B}{D_C}=\dfrac{1}{9}$이므로 뒤쪽 축의 토크는 앞쪽 축의 9배, 즉 $T_2=9T_1$이다.

원형축의 최대 전단응력 $\tau=\dfrac{16T}{\pi d^3}$를 두 축에서 같게 두면 $\dfrac{T_1}{d_1^{\,3}}=\dfrac{T_2}{d_2^{\,3}}$이 되어 $\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^{3}=9$, 따라서 $\dfrac{d_2}{d_1}=9^{1/3}$이다.

자유단의 처짐은 $\delta=\dfrac{\omega\ell^4}{8EI}$이다.

그림은 한쪽이 벽에 완전히 고정되고 반대쪽이 자유단인 길이 $\ell$의 외팔보에 등분포하중 $\omega\,\mathrm{[N/m]}$가 전 길이에 걸쳐 아래로 작용하며, 자유단이 $\delta$만큼 처진 모습을 나타낸다.

고정단에서 거리 $x$인 곳의 굽힘모멘트를 두 번 적분하면 자유단 처짐은 $\delta=\dfrac{\omega\ell^4}{8EI}$, 자유단 처짐각은 $\theta=\dfrac{\omega\ell^3}{6EI}$가 된다.

• 분모가 $3EI$·$6EI$인 형태: 자유단 집중하중 처짐 $\dfrac{P\ell^3}{3EI}$이나 등분포하중의 처짐각 $\dfrac{\omega\ell^3}{6EI}$의 계수를 잘못 옮긴 것이다.
• 분모가 $24EI$인 형태: 외팔보 등분포하중의 처짐식에는 나오지 않는 계수다.

연결 후 두 막대에 작용하는 인장력은 약 133.3 kN이다.

그림에서 AB 막대는 왼쪽 벽에 고정된 길이 2 m, CD 막대는 오른쪽 벽에 고정된 길이 1 m이고 B와 C 사이의 틈은 0.01 m이다. 핀을 끼우려면 두 막대가 늘어난 길이의 합이 이 틈과 같아야 한다.

두 막대에 같은 인장력 P가 걸리므로 $\delta=\dfrac{PL_{AB}}{AE}+\dfrac{PL_{CD}}{AE}=\dfrac{P(2+1)}{AE}=0.01\ \mathrm{m}$이다.

$A=2\ \mathrm{cm^2}=2\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, $E=200\ \mathrm{GPa}$를 넣으면 $P=\dfrac{0.01\times2\times10^{-4}\times200\times10^{9}}{3}\approx1.333\times10^{5}\ \mathrm{N}$, 즉 약 133.3 kN이다.

폴리트로픽 과정에서 기체가 외부에 한 일은 $W=\dfrac{mR(T_1-T_2)}{n-1}$로 구한다.

먼저 상태 관계식 $\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$에 $T_1=573\ \mathrm{K}$, $P_2/P_1=0.25$, $n=1.3$을 대입하면 $T_2\approx416\ \mathrm{K}$가 된다.

이를 일 공식에 대입하면 $W=\dfrac{0.3\times0.287\times(573-416)}{1.3-1}\approx45\ \mathrm{kJ}$이다.

기체상수는 $R=\dfrac{R_u}{M}$($R_u$: 일반기체상수, $M$: 분자량)로 구해지므로, 분자량이 작을수록 기체상수가 커진다.

제시된 기체 중 수소(H₂)가 분자량(약 2)이 가장 작으므로 기체상수 값이 가장 크다.

가역등온과정에서 이상기체가 하는 일은 $W=P_1V_1\ln\dfrac{V_2}{V_1}$로 구한다.

$P_1=2\ \mathrm{kPa}$, $V_1=0.1\ \mathrm{m^3}$, $V_2=0.3\ \mathrm{m^3}$를 대입하면 $P_1V_1=0.2\ \mathrm{kJ}=200\ \mathrm{J}$이므로 $W=200\times\ln 3 \approx 220\ \mathrm{J}$이 된다.

오토사이클의 열효율은 압축비 $r$과 비열비 $k$로 $\eta=1-\dfrac{1}{r^{k-1}}$와 같이 표현된다.

$\eta=0.55$, $k=1.4$를 대입하면 $r^{0.4}=\dfrac{1}{1-0.55}=2.222$가 되고, 이를 풀면 압축비는 $r\approx7.4$가 된다.

밀폐계의 가역 정압변화에서 계가 받은 열량은 압력이 일정하므로 $\delta Q=dH-VdP=dH$가 되어, 결국 엔탈피 변화량과 같아진다.

정압과정에서는 계가 외부에 압력×부피 변화만큼 일을 하는데, 이 일을 포함한 총 열량이 정확히 엔탈피 변화량으로 나타나므로 내부에너지 변화량이나 엔트로피 변화량과는 다른 값이 된다.

대류에 의한 열전달량은 $Q=hA\Delta T$로 구한다.

$h=50\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$, $A=2\ \mathrm{m^2}$, $\Delta T=25-10=15\ \mathrm{^\circ C}$를 대입하면 $Q=50\times2\times15=1500\ \mathrm{W}$가 된다.

내부에너지 변화는 $\Delta U=Q-W$($W$: 계가 외부에 한 일)로 구한다.

압축 과정이므로 외부에서 계에 $15\ \mathrm{kJ}$의 일이 가해져 $W=-15\ \mathrm{kJ}$이고, 열은 $10\ \mathrm{kJ}$ 방출되었으므로 $Q=-10\ \mathrm{kJ}$이다.

따라서 전체 내부에너지 증가량은 $\Delta U=-10-(-15)=5\ \mathrm{kJ}$이고, 기체 $0.2\ \mathrm{kg}$에 대한 값이므로 단위질량당으로는 $5/0.2=25\ \mathrm{kJ/kg}$가 된다.

강도성 상태량(intensive property)은 물질의 양에 관계없이 일정한 값을 갖는 상태량으로, 온도·압력·밀도가 이에 해당한다.

반면 체적은 물질의 양(질량)에 비례해 커지는 종량성(extensive) 상태량이므로 강도성 상태량으로 볼 수 없다.

엔트로피 변화량은 약 9.13 kJ/K이다.

이상기체가 온도가 일정한 상태로 변할 때 엔트로피 변화는 압력비만으로 정해져 $\Delta S=-n\overline{R}\ln\dfrac{P_2}{P_1}$이다.

$n=1\ \mathrm{kmol}$, $\overline{R}=8.31451\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}$, $P_1=600\ \mathrm{kPa}$, $P_2=200\ \mathrm{kPa}$를 대입하면 $\Delta S=-8.31451\times\ln\dfrac{200}{600}=8.31451\times\ln 3$이다.

$\ln 3\approx1.0986$이므로 $\Delta S\approx9.13\ \mathrm{kJ/K}$이며, 압력이 낮아진 만큼 엔트로피는 증가한다. 온도가 같아 내부에너지와 엔탈피가 변하지 않아도 엔트로피는 변한다는 점이 이 문항의 핵심이다.

열적 평형에 도달한 최종 온도는 약 25.5 ℃이다.

그림의 단열 용기 안에는 25 ℃의 물 0.8 ㎥가 들어 있고 여기에 100 ℃, 50 kg의 쇳덩어리를 넣는다. 물의 밀도를 1000 kg/㎥로 보면 물의 질량은 800 kg이다.

단열이므로 쇠가 잃은 열과 물이 얻은 열이 같다. $m_w c_w (T-25)=m_{Fe} c_{Fe}(100-T)$에 값을 넣으면 $800\times4.18\times(T-25)=50\times0.45\times(100-T)$이다.

정리하면 $3344(T-25)=22.5(100-T)$, $3366.5\,T=85850$에서 $T\approx25.5\ ^\circ\mathrm{C}$이다. 물의 열용량 3344 kJ/K가 쇠의 22.5 kJ/K보다 압도적으로 커서 물 온도는 0.5 ℃ 남짓밖에 오르지 않는다.

이 과정에서 공기가 한 일은 약 305 kJ이다.

그림의 P–V 선도에서 상태 1($V_1=0.27\ \mathrm{m^3}$, 800 kPa)에서 상태 2($V_2=0.80\ \mathrm{m^3}$, 350 kPa)까지 압력이 직선으로 감소하며, 빗금 친 곡선 아래 면적이 계가 한 일이다.

직선 아래 면적은 사다리꼴이므로 $W=\dfrac{P_1+P_2}{2}(V_2-V_1)=\dfrac{800+350}{2}\times(0.80-0.27)$이다.

계산하면 $W=575\times0.53=304.75\ \mathrm{kJ}$로 약 305 kJ이다. 압력과 체적만으로 면적이 정해지므로 공기 질량 8 kg은 이 계산에 쓰이지 않는다.

이 사이클의 열효율은 약 85 %이다.

그림의 T–s 선도는 1→2 압축, 2→3 가열($q_{in}$), 3→4 팽창, 4→1 방열($q_{out}$)로 이어지는 이상적인 브레이턴 사이클이다.

비열이 일정하다고 보면 $\eta=1-\dfrac{q_{out}}{q_{in}}=1-\dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$이고, 온도차만 들어가므로 섭씨 값을 그대로 대입해도 된다.

$\eta=1-\dfrac{160-30}{1060-200}=1-\dfrac{130}{860}\approx0.849$이므로 약 85 %이다.

정압비열을 체적이 일정한 조건의 미분으로 써 놓은 관계식이 잘못됐다.

비열의 정의는 $C_v=\left(\dfrac{\partial u}{\partial T}\right)_v$, $C_p=\left(\dfrac{\partial h}{\partial T}\right)_p$이다. 엔탈피를 온도로 미분할 때는 압력이 일정해야 정압비열이 되므로, 아래첨자를 $v$로 붙인 식은 성립하지 않는다.

나머지 관계식은 모두 옳다.

• $C_p-C_v=R$: $h=u+Pv=u+RT$를 온도로 미분해 얻는 마이어(Mayer) 관계식이다.
• $C_p=\dfrac{kR}{k-1}$: 위 식에 $k=\dfrac{C_p}{C_v}$를 대입해 정리한 결과다.

열역학 제2법칙은 "열효율 100%의 열기관은 불가능하다", "열은 저온에서 고온으로 스스로 이동하지 않는다", "일의 공급 없이 작동하는 냉동기는 불가능하다"는 표현으로 나타낸다.

이 표현들은 열을 전부 일로 바꾸는 것이나 열이 스스로 저온에서 고온으로 이동하는 것이 불가능함을 말할 뿐, 열을 일로 변환하는 것 자체가 불가능하다는 뜻은 아니다. 실제로 열기관은 공급 열의 일부를 일로 바꾼다.

따라서 "열을 일로 변환하는 것은 불가능하다"는 설명은 제2법칙과 관계있는 표현으로 볼 수 없다.

엔탈피의 정의 $H=U+PV$를 전미분하면 $dH=dU+PdV+VdP$가 되고, 여기에 열역학 제1법칙 관계식 $TdS=dU+PdV$를 대입하면 $TdS=dH-VdP$가 유도된다.

따라서 엔트로피 변화에 대한 열역학적 관계식으로 옳은 것은 $TdS=dH-VdP$이다.

엔탈피 변화는 내부에너지 변화에 유동일(압력×부피)의 변화를 더해 구한다.

초기 상태의 $PV$는 $50\ \mathrm{kPa}\times 3\ \mathrm{m^3}=150\ \mathrm{kJ}$이고, 나중 상태는 $900\ \mathrm{kPa}\times 0.5\ \mathrm{m^3}=450\ \mathrm{kJ}$이므로 $\Delta(PV)=450-150=300\ \mathrm{kJ}$이다.

따라서 $\Delta H=\Delta U+\Delta(PV)=160+300=460\ \mathrm{kJ}$로, 엔탈피는 약 460 kJ 증가한다.

단열된 정적 용기이므로 회전날개가 한 일은 모두 내부에너지 증가로 전환된다.

일의 양은 $W=20\ \mathrm{W}\times 30\times 60\ \mathrm{s}=36{,}000\ \mathrm{J}=36\ \mathrm{kJ}$이다.

$\Delta T=\dfrac{W}{mC_v}=\dfrac{36}{2\times 3.12}\approx5.77\ \mathrm{K}$이므로 최종온도는 $80+5.77\approx 85.8$ ℃이다.

터빈 일은 터빈 입구와 출구의 엔탈피 차로 구하므로 792.0 kJ/kg이다.

선도에서 1은 복수기 출구의 포화액, 1→2는 급수펌프 가압, 2→3은 보일러 가열로 3이 포화선 위쪽(과열영역)에 놓인 터빈 입구이고, 3에서 아래로 내려간 3→4가 터빈 팽창 과정이다. 따라서 계산에 쓰는 상태점은 3과 4뿐이다.

w_T = h₃ − h₄
= 2799.5 − 2007.5
= 792.0 kJ/kg

나머지 값은 다른 구간의 에너지량이다.

• 2.0 kJ/kg = h₂ − h₁ → 급수펌프가 소비한 일
• 2605.7 kJ/kg = h₃ − h₂ → 보일러 공급열량
• 1815.7 kJ/kg = h₄ − h₁ → 복수기 방출열량

보일러 효율은 물이 얻은 열량을 연료가 공급한 열량으로 나눈 값이다.

물이 얻은 열량은 $380{,}000\ \mathrm{kg/h}\times(3230-830)\ \mathrm{kJ/kg}=912{,}000{,}000\ \mathrm{kJ/h}$이다.

연료 공급 열량은 $34{,}000\ \mathrm{kg/h}\times 32{,}000\ \mathrm{kJ/kg}=1{,}088{,}000{,}000\ \mathrm{kJ/h}$이므로 효율은 $\dfrac{912}{1088}\approx 83.8\%$이다.

몰리에 선도(h-s 선도)는 가로축에 엔트로피, 세로축에 엔탈피를 나타낸 선도이다.

터빈·압축기·노즐과 같은 정상유동 개방계에서는 일과 열전달이 엔탈피 변화로 표현되므로, 엔트로피-엔탈피 관계를 한눈에 볼 수 있는 이 선도가 해석에 유용하다.

• 가로축에 엔트로피, 세로축에 온도를 나타내는 것은 T-s 선도이다.
• 세로축에 밀도를 나타내는 형태는 몰리에 선도가 아니다.
• 가로축에 비체적, 세로축에 압력을 나타내는 것은 P-v 선도이다.

달시-바이스바흐 식에서 압력손실은 $h_L = f \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$로 마찰계수와 속도 제곱에 비례한다. 속도가 2배가 되면 $V^2$은 4배가 되고, 마찰계수는 $1/\sqrt{2}$배로 줄었으므로 압력손실 비율은 $4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$배가 된다.

레이놀즈수는 $Re=\dfrac{\rho V D}{\mu}$로 구한다.

비중 0.9이므로 밀도는 $\rho=900\ \mathrm{kg/m^3}$이고, $Re=\dfrac{900\times 3\times 0.03}{0.3}=270$이다.

이 액체 속에서 소리의 속도는 약 1572 m/s이다.

액체에서 음속은
$v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$
공식으로 구한다. 여기서 $K$는 체적 탄성계수, $\rho$는 밀도이다. 주어진 값 $K = 2200 \text{ MPa} = 2200 \times 10^6 \text{ Pa}$, $\rho = 890 \text{ kg/m}^3$을 대입하면
$v = \sqrt{\frac{2200 \times 10^6}{890}} = \sqrt{2.472 \times 10^6} = 1572.3 \text{ m/s}$
가 된다.

진공압력계 읽음은 대기압보다 낮은 압력(부압)을 나타내므로, 절대압력은 대기압에서 진공압을 뺀 값이다.

대기압은 $760\ \mathrm{mmHg}$이고 진공압은 $75\ \mathrm{mmHg}$이므로, 절대압력에 해당하는 수은주는 $760-75=685\ \mathrm{mmHg}$이다.

이를 압력으로 환산하면 $685\ \mathrm{mmHg}\times \dfrac{101.325\ \mathrm{kPa}}{760\ \mathrm{mmHg}}\approx 91.3\ \mathrm{kPa}$이다.

점성계수는 동점성계수에 밀도를 곱해 구한다($\mu=\nu\rho$).

$\nu=10\ \mathrm{cm^2/s}=1\times10^{-3}\ \mathrm{m^2/s}$이고 비중 1.2이므로 $\rho=1200\ \mathrm{kg/m^3}$이다.

따라서 $\mu=1\times10^{-3}\times1200=1.2\ \mathrm{Pa\cdot s}$이다.

평판 위 층류 경계층 두께는 선단으로부터의 거리에 대해 $\delta \propto \sqrt{x}$ 관계를 따른다.

거리가 10 cm에서 20 cm로 2배가 되면 경계층 두께는 $\sqrt{2}$배가 되므로, 새 경계층 두께는 $\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$가 된다.

기체 밀도를 이상기체 상태식으로 구한 뒤 레이놀즈수를 계산해 유동상태를 판정한다.

$\rho=\dfrac{P}{RT}=\dfrac{380{,}000}{187.8\times 300}\approx 6.75\ \mathrm{kg/m^3}$이다.

$Re=\dfrac{\rho V D}{\mu}=\dfrac{6.75\times 6\times 0.05}{1.77\times10^{-5}}\approx 1.14\times10^{5}$로, 상임계 레이놀즈수 4000을 크게 넘으므로 난류영역에 해당한다.

옆면에 작용하는 전체 압력에 의한 힘은 32 kN으로, 보기 중 약 31.4 kN이 가장 가깝다.

탱크 옆면에 작용하는 유체 압력의 합력은 압심(무게중심)에서의 압력 × 면적으로 구한다. 정육면체 옆면의 높이가 2 m이고 기름으로 가득 차 있으므로, 무게중심은 깊이 1 m 지점에 위치한다.
$P = \rho g h$
$P = 0.8 \times 1000 \text{ kg/m}^3 \times 10 \text{ m/s}^2 \times 1 \text{ m} = 8000 \text{ Pa}$
옆면의 넓이는
$A = 2 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 4 \text{ m}^2$
이므로, 전체 압력에 의한 힘은
$F = 8000 \text{ Pa} \times 4 \text{ m}^2 = 32,000 \text{ N} = 32 \text{ kN}$

완전 발달된 평판 사이 유동에서는 유동방향 압력구배가 전단응력의 y방향 변화율과 같다, 즉 $\dfrac{dP}{dx}=\dfrac{d\tau}{dy}$ 형태가 옳다.

두 평판 사이의 미소 유체요소에 힘의 평형을 세우면, 앞뒤 면의 압력차가 만드는 힘 $-\dfrac{dP}{dx}\,dx\,dy$와 위아래 면의 전단응력 차가 만드는 힘 $\dfrac{d\tau}{dy}\,dy\,dx$가 균형을 이룬다. 완전 발달·정상유동이라 가속도항이 0이므로 이 두 항만 남는다.

결국 압력강하가 전부 마찰(전단응력)로 소모된다는 뜻이며, 점성계수 μ는 $\tau=\mu\dfrac{du}{dy}$를 통해 이미 전단응력 안에 포함되어 있다.

• μ를 따로 곱하거나 $\dfrac{1}{\mu}$를 붙인 식은 차원이 맞지 않아 성립하지 않는다.
• 압력을 y로, 전단응력을 x로 미분한 식은 미분 방향이 서로 뒤바뀐 것으로, 평판 사이 유동에서 압력은 y방향으로 일정하다.

계기압력은 $P=\rho g h$로 구한다.

비중 0.85이므로 $\rho=850\ \mathrm{kg/m^3}$이고, $P=850\times 9.81\times 10\approx 83{,}400\ \mathrm{Pa}\approx 83\ \mathrm{kPa}$이다.

펌프 효율은 수동력을 축동력으로 나눈 값이다.

유량 $Q=1.2\ \mathrm{m^3/min}=0.02\ \mathrm{m^3/s}$, 전양정 30 m이므로 수동력은 $P_w=\gamma Q H=9800\times0.02\times30=5880\ \mathrm{W}$이다.

효율은 $\eta=\dfrac{5.88}{7.35}=0.8$, 즉 80%이다.

비압축성 유체의 연속방정식에서 유량이 일정하므로 속도는 지름의 제곱에 반비례하여 $V=\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}V_1$이 된다.

그림은 지름 d₁인 A단면에서 지름 d₂인 B단면으로 좁아지는 축소관이고, 흐름은 A에서 B로 향한다.

A₁V₁ = A₂V
$\dfrac{\pi d_1^{2}}{4}V_1=\dfrac{\pi d_2^{2}}{4}V$
$V=\dfrac{d_1^{2}}{d_2^{2}}V_1=\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}V_1$

지름비를 제곱하지 않고 1제곱만 쓴 식은 면적이 아니라 지름의 비를 쓴 오류이고, d₂를 분자에 둔 식은 단면이 좁아지면 속도가 빨라진다는 사실과 반대가 되므로 성립하지 않는다.

피토관에서 유속에 의해 올라가는 수주 높이는 $h=\dfrac{V^2}{2g}$로 구한다.

$h=\dfrac{3^2}{2\times9.81}=\dfrac{9}{19.62}\approx 0.46\ \mathrm{m}$이다.

물질도함수로 계산하면 가속도장은 $\vec{a}=c^{2}x\vec{i}+c^{2}y\vec{j}$가 된다.

속도성분은 $u=cx$, $\upsilon=-cy$이고 정상유동이므로 시간항은 없다. 각 성분의 편미분은 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=c$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=0$, $\dfrac{\partial \upsilon}{\partial x}=0$, $\dfrac{\partial \upsilon}{\partial y}=-c$이다.

$a_x=u\dfrac{\partial u}{\partial x}+\upsilon\dfrac{\partial u}{\partial y}=(cx)(c)+(-cy)(0)=c^{2}x$
$a_y=u\dfrac{\partial \upsilon}{\partial x}+\upsilon\dfrac{\partial \upsilon}{\partial y}=(cx)(0)+(-cy)(-c)=c^{2}y$

y성분에서 음수끼리 곱해져 부호가 양(+)으로 바뀌는 점이 핵심이며, 상수 c가 두 번 곱해지므로 $cx^{2}$·$cy^{2}$처럼 좌표가 제곱되는 형태가 아니라 $c^{2}$이 계수로 붙는다.

평판이 분류를 향해 다가가므로 상대속도가 10 + 3 = 13 m/s가 되어 필요한 힘은 약 1690 N이다.

그림에서 분류는 왼쪽 노즐에서 10 m/s로 오른쪽으로 나가고, 평판은 그 반대 방향인 왼쪽으로 3 m/s로 접근하며 부딪힌 물은 평판을 따라 위아래로 갈라진다. 서로 마주 보고 접근하므로 두 속도는 더해진다.

F = ρ·A·(V + u)²
= 1000 kg/m³ × 0.01 m² × (10 + 3)²
= 1000 × 0.01 × 169 = 1690 N

평판이 멀어지는 경우로 잘못 보아 (10 − 3)²을 쓰면 490 N이 되고, 상대속도를 제곱하지 않고 (10 + 3)만 곱하면 130 N이 되어 모두 조건에 맞지 않는다.

조파저항은 프루드 상사법칙에 따라 비중량비와 길이비의 세제곱에 비례하여 확대된다.

길이비는 $\lambda=\dfrac{50}{2}=25$이므로 $\lambda^3=15{,}625$이다.

$R_s=R_m\times\dfrac{\gamma_s}{\gamma_m}\times\lambda^3=54\times\dfrac{10075}{9800}\times15{,}625\approx 867{,}000\ \mathrm{N}\approx 867\ \mathrm{kN}$이다.

딤플은 층류경계층을 조기에 난류경계층으로 천이시켜 박리를 지연시키고, 그 결과 압력(형상)저항을 크게 줄여 전체 항력을 감소시킨다.

반면 난류경계층으로의 천이는 표면 마찰(점성)저항을 오히려 증가시키는 효과가 있으므로, 딤플이 점성저항을 줄이는데 더 효과적이라는 설명은 옳지 않다.

딤플의 항력 감소 효과는 점성저항이 아니라 압력저항 감소에서 비롯된다.

베르누이 방정식은 비압축성 유체를 전제로 하므로 압축성 유체는 가정과 거리가 멀다.

식 $P_1+\dfrac{1}{2}\rho V_1^{2}+\gamma Z_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho V_2^{2}+\gamma Z_2$를 보면 밀도 ρ와 비중량 γ가 양변에 같은 상수로 쓰였다. 밀도가 압력에 따라 변하는 압축성 유체라면 이렇게 묶어낼 수 없다.

나머지 세 가지는 이 식을 유도할 때 반드시 필요한 조건이다.

• 정상 유동 — 시간에 따른 변화가 없어야 두 지점의 값만으로 비교할 수 있다.
• 비점성 유체 — 점성에 의한 마찰손실 항이 없어야 좌변과 우변이 같아진다.
• 동일한 유선 — 같은 유선 위의 두 점 사이에서만 성립한다.

중력을 무시하고 관성력·점성력·표면장력이 중요한 미세유동에서는 레이놀즈수와 웨버수가 핵심 무차원수이다.

레이놀즈수는 관성력과 점성력의 비를, 웨버수는 관성력과 표면장력의 비를 나타내므로 마이크로 채널 유동 해석에 함께 사용된다.

유동함수의 정의를 적분하면 Ψ = −2x² + y²가 된다.

2차원 비압축성 유동에서 유동함수는 $u=\dfrac{\partial \Psi}{\partial y}$, $\upsilon=-\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}$로 정의된다. 주어진 속도성분은 u = 2y, υ = 4x이다.

u에서: $\dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=2y \;\Rightarrow\; \Psi=y^{2}+f(x)$
υ에서: $-\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}=4x \;\Rightarrow\; \Psi=-2x^{2}+g(y)$
두 결과를 합치면 $\Psi=-2x^{2}+y^{2}$

x항의 계수는 υ를 적분하며 생기는 1/2 때문에 −2가 되고, y항은 그대로 계수 1이 된다. x·y의 계수가 서로 뒤바뀐 형태나 두 항의 부호가 같은 형태는 이 적분 결과와 맞지 않는다.

기체는 압축성이 있으나, 압축할 때는 온도가 상승하고 팽창할 때는 온도가 하강하므로 "거의 온도변화가 발생하지 않는다"는 설명은 옳지 않다. 압축성 기체의 압축·팽창 과정에서 발생하는 온도변화를 구분하는 것이 핵심이다.

• 공기 밀도가 물의 약 1/830 수준으로 매우 작다는 설명은 올바르다.
• 기체의 낮은 밀도로 인해 같은 질량 유량에서도 유속이 훨씬 높다는 설명은 올바르다.
• 압축기의 정의상 압력 상승이 1 kg_f/cm² 이상인 기준도 일반적이다.

프로펠러 수차의 회전차 익형 분류에서 고정익은 프로펠러 수차(또는 나선수차), 가동익은 카플란 수차를 지칭한다. 보기 3은 이를 반대로 설명하고 있으므로 옳지 않다. 나머지 보기들은 모두 정확하다: 1번 저낙차(3~90m)에서 대유량 사용 ○, 2번 반동식 축류형식 ○, 4번 축류펌프와 원리 동일(에너지 방향만 반대) ○.

토크컨버터는 펌프회전차(임펠러), 터빈회전차, 안내깃(스테이터)의 세 요소로 구성된다.

펌프회전차가 오일에 운동에너지를 주고 터빈회전차가 이를 받아 회전력으로 전달하며, 안내깃은 오일의 흐름 방향을 바꿔 토크를 증대시키는 역할을 한다.

진공펌프는 흡입 기체의 밀도가 매우 낮아 유로 저항에 따른 압력강하가 흡입압력에 비해 상대적으로 크게 작용하므로 손실동력이 크다. 따라서 유로 저항을 가능한 한 작게 해야 하며, '유로 저항이 커져도 손실동력이 적다'는 기술은 틀렸다. 압력비가 커서 격간용적과 누설을 줄여야 하고, 외부 유체를 빨아들이기 쉬우며, 축동력에 비해 실린더 체적이 큰 것은 옳은 설명이다.

펠턴 수차는 고낙차·소유량 조건에 쓰이는 충동수차로, 반동수차인 프란시스·프로펠러·카플란 수차보다 비속도(비교회전도)가 오히려 가장 낮은 형식이다.

• 프란시스 수차가 반동형 수차에 속한다는 설명은 옳다.
• 프로펠러 수차가 저낙차·대유량 조건에 쓰인다는 설명도 옳다.
• 카플란 수차가 축류형 수차라는 설명도 옳다.

유체기계는 유체를 매개로 에너지를 주고받거나 전달하는 기계를 말하며, 유압기계·공기기계·유체 전송장치가 여기에 속한다.

공작기계는 금속 등을 절삭·가공하는 기계로 유체의 에너지 변환과 무관하므로 유체기계에 속하지 않는다.

공동현상(캐비테이션)이 발생하면 기포가 형성·붕괴하면서 소음·진동, 깃 표면의 피팅(부식) 등이 나타난다.

이때 양정·효율·축동력은 상승이 아니라 급격히 저하되므로, 이들이 급격히 상승한다는 설명은 옳지 않다.

흡입관의 손실수두나 부차적 손실이 크면 흡입측 압력이 더 낮아져 공동현상이 발생하기 쉬워진다.

기계효율은 도시동력을 축동력으로 나눈 값, 즉 L/L₁인데 제시된 식은 L₁/L로 분모와 분자가 뒤바뀌어 옳지 않다.

축동력 L₁은 펌프 축에 넣어 준 동력이고 도시동력 L은 그중 실제로 유체에 전달된 동력이다. 손실 때문에 항상 L < L₁이므로 효율은 1보다 작아야 하는데, L₁/L로 계산하면 1보다 큰 값이 나와 효율의 정의 자체에 어긋난다.

나머지 설명은 모두 옳다.

• 체적효율 η_v = V/V₀ — 실제 흡입량을 행정체적으로 나눈 값
• 수력효율 η_h = p/p_m — 최종 압력증가량을 평균유효압력으로 나눈 값
• 전효율 η = η_v × η_m × η_h — 세 효율의 곱

동기발전기의 회전수는 n = 120f / p (rpm)로 구한다.

극수 p인 발전기가 1회전하면 p/2쌍의 자극이 지나가므로 초당 주파수는 $f=\dfrac{p}{2}\cdot\dfrac{n}{60}$이다. 이를 n에 대해 풀면 $n=\dfrac{120f}{p}$가 된다.