20년 2회차

봉에 생기는 인장력은 약 38.4kN이다.

그림처럼 길이 10m의 봉이 양쪽 벽에 완전히 고정되어 있어, 온도가 내려가면서 줄어들려는 변형이 전부 구속된다. 이때 봉에는 자유수축량과 같은 크기의 인장변형률 $\varepsilon=\alpha\,\Delta T$가 강제로 생기며, 길이 10m 자체는 응력 계산에 들어가지 않는다.

온도차가 ΔT = 100 − 20 = 80℃이므로
$\sigma=E\alpha\Delta T=200\times10^{9}\times0.000012\times80=192\times10^{6}\,\mathrm{Pa}=192\,\mathrm{MPa}$

단면적 2cm² = 2×10⁻⁴m²를 곱하면
$P=\sigma A=192\times10^{6}\times2\times10^{-4}=38400\,\mathrm{N}$
즉 약 38.4kN의 인장력이 작용한다.

이 외팔보의 굽힘 탄성 변형에너지는 U = w²L⁵ / (40EI)이다.

그림은 자유단에서 고정단까지 전 길이에 등분포하중 w가 작용하는 길이 L의 외팔보다. 자유단에서 거리 x인 단면의 굽힘모멘트는 그 구간에 실린 하중 wx가 x/2 위치에 작용하는 것과 같아 $M=\dfrac{wx^{2}}{2}$이다.

이를 변형에너지 식에 넣어 적분하면
$U=\int_0^{L}\dfrac{M^{2}}{2EI}dx=\int_0^{L}\dfrac{w^{2}x^{4}}{8EI}dx=\dfrac{w^{2}L^{5}}{40EI}$

분모가 20EI·30EI·50EI인 식들은 적분 결과의 계수가 맞지 않는다. 같은 등분포하중이라도 단순보이면 w²L⁵/(240EI)가 되므로, 계수를 외우기보다 지지 조건에 맞는 모멘트식부터 세우는 편이 안전하다.

B점에 대한 모멘트 평형과 힘의 평형을 결합하면 R_A = wℓ/2 - M/ℓ, R_B = wℓ/2 + M/ℓ가 되며, 보기 중 이 식과 일치하는 것이 정답이다.

ΣM_B=0 에서
$R_A \cdot \ell - w\ell \cdot \frac{\ell}{2} - M = 0$
이때 A점에 작용하는 모멘트 M은 반시계 방향이므로 부호에 유의하여 정리하면
$R_A = \frac{w\ell}{2} - \frac{M}{\ell}$
형태로 구해진다. 여기에 힘의 평형 $R_A + R_B = w\ell$과 결합한다.

부채꼴의 도심은 꼭짓점 O에서 x̄ = 2R sinα / (3α)만큼 떨어진 곳에 있다.

그림은 O를 꼭짓점으로 X축을 대칭축 삼아 좌우로 각각 α씩 벌어진 반지름 R의 부채꼴이고, x̄는 O에서 도심 C까지의 거리다. 좌우 대칭이므로 도심은 X축 위에 놓인다.

반지름 r, 두께 dr인 얇은 부채꼴 띠의 도심이 r·sinα/α 이고 그 면적이 2αr·dr, 전체 면적이 αR²이므로
$\bar{x}=\dfrac{\displaystyle\int_0^{R}\dfrac{r\sin\alpha}{\alpha}\,(2\alpha r\,dr)}{\alpha R^{2}}=\dfrac{2\sin\alpha\displaystyle\int_0^{R}r^{2}dr}{\alpha R^{2}}=\dfrac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$

검산하면 α가 0에 가까워질 때 sinα/α → 1이 되어 x̄ → 2R/3, 즉 가는 막대(삼각형)의 도심과 같아지고, 반원(α = π/2)에서는 4R/3π가 되어 잘 알려진 값과 일치한다. α가 들어가지 않는 2R/3·3R/4 형태나 sinα만 곱한 식은 이 검산을 통과하지 못한다.

축의 비틀림각은 $\theta = \dfrac{TL}{GJ}$로 구하며, 원형 단면의 극단면 2차모멘트는 $J = \dfrac{\pi d^4}{32}$이다.

$d = 0.05\ \mathrm{m}$이므로 $J = \dfrac{\pi \times 0.05^4}{32} \approx 6.136 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$이다.

$T = 2000\ \mathrm{N \cdot m}$, $L = 2\ \mathrm{m}$, $G = 85 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$를 대입하면
$\theta = \dfrac{2000 \times 2}{85\times10^9 \times 6.136\times10^{-7}} \approx 0.077\ \mathrm{rad}$이 되어 축의 비틀림각은 약 0.077rad이다.

이 봉의 체적 변화는 약 714.28mm³이다.

그림처럼 지름 d = 30mm, 길이 L = 5m인 원형 단면 봉이 양끝에서 P = 90kN으로 잡아당겨진다. 축방향으로는 늘어나고 가로방향으로는 줄어들므로 체적변형률은 세 방향 변형률의 합인 $\varepsilon_v=\varepsilon\,(1-2\mu)$가 된다.

단면적 $A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}=\dfrac{\pi\times 30^{2}}{4}=706.86\,\mathrm{mm^2}$, 축변형률 $\varepsilon=\dfrac{P}{AE}=\dfrac{90000}{706.86\times 210000}=6.063\times10^{-4}$이고 부피는 V = A·L = 706.86 × 5000 = 3.53×10⁶mm³이다.

따라서 $\Delta V=V\varepsilon(1-2\mu)=3.53\times10^{6}\times 6.063\times10^{-4}\times\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\approx 714.3\,\mathrm{mm^3}$이며, 정리하면 단면적이 소거되어 $\Delta V=\dfrac{PL(1-2\mu)}{E}$로 직경을 쓰지 않고도 바로 구할 수 있다.

얇은 구형 내압용기에 생기는 막응력(원주응력)은 $\sigma = \dfrac{p\,d}{4t}$로 주어지므로, 허용응력 조건에서 최대 안전내경은 $d = \dfrac{4t\sigma_w}{p}$로 구한다.

$t = 0.3\ \mathrm{cm}$, $\sigma_w = 800\ \mathrm{kN/cm^2}$, $p = 20\ \mathrm{kN/cm^2}$를 대입하면
$d = \dfrac{4 \times 0.3 \times 800}{20} = 48\ \mathrm{cm}$가 되어 최대 안전내경은 48cm이다.

800N이 B점에 대해 만드는 모멘트는 약 202.6N·m이다.

그림에서 힘은 A점에서 수평선과 60°를 이루며 오른쪽 위로 작용하고, B는 A로부터 수평으로 200mm, 수직으로 160mm 떨어진 벽 쪽 지점이다. 힘의 작용선이 기울어져 있으므로 성분으로 나누어 계산하는 편이 빠르다.

$F_x=800\cos 60^{\circ}=400\,\mathrm{N},\qquad F_y=800\sin 60^{\circ}=692.8\,\mathrm{N}$

각 성분에 B까지의 수직거리를 곱해 더하면(두 성분이 같은 방향으로 회전시킨다)
$M_B=F_y\times 0.2+F_x\times 0.16=138.6+64=202.6\,\mathrm{N\cdot m}$
수직성분만 쓰면 138.6, 수평성분만 쓰면 64가 되므로 두 성분을 모두 더해야 한다.

이 단순보의 탄성 곡선식은 y = ωx(L³ − 2Lx² + x³) / 24EI이다.

그림은 왼쪽 힌지·오른쪽 롤러로 받쳐진 스팬 L의 단순보에 등분포하중 ω가 전 길이에 걸린 형태이고, x는 왼쪽 지점에서 잰 거리다. 좌우 반력은 각각 ωL/2이다.

굽힘모멘트 $M=\dfrac{\omega L}{2}x-\dfrac{\omega x^{2}}{2}$를 $EI\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=M$에 넣고 두 번 적분한 뒤, x = 0과 x = L에서 처짐이 0이라는 조건으로 적분상수를 정하면
$y=\dfrac{\omega x}{24EI}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)$

나머지 식들은 이 경계조건을 통과하지 못한다. 앞에 x가 곱해져 있지 않은 식은 x = 0에서 처짐이 0이 되지 않고, 괄호 안 항의 계수나 차수가 어긋난 식은 x = L을 넣어도 0이 되지 않는다. 반대로 정답 식에 x = L/2를 넣으면 최대처짐 5ωL⁴/384EI가 나와 검산된다.

이 보의 최대 굽힘모멘트는 오른쪽 고정단에서 나타나며 크기는 $\dfrac{qL^2}{4}$이다.

그림은 왼쪽 끝이 단순지지(수직반력만 생김), 스팬 중앙에 힌지, 오른쪽 끝이 고정단이고 전 길이 $L$(좌·우 각 $L/2$)에 등분포하중 $q$가 작용하는 겔버보다. 힌지는 모멘트를 전달하지 못하므로 왼쪽 $L/2$ 구간을 단순보처럼 먼저 푼다.

힌지점에 대한 모멘트 평형: $R_A \cdot \dfrac{L}{2} = q\dfrac{L}{2}\cdot\dfrac{L}{4}$ → $R_A = \dfrac{qL}{4}$
따라서 힌지가 오른쪽 구간에 전달하는 수직력은 $V = q\dfrac{L}{2} - \dfrac{qL}{4} = \dfrac{qL}{4}$이다.

오른쪽 $L/2$는 자유단에 $qL/4$를 받는 외팔보이므로 $M = \dfrac{q(L/2)^2}{2} + \dfrac{qL}{4}\cdot\dfrac{L}{2} = \dfrac{qL^2}{8} + \dfrac{qL^2}{8} = \dfrac{qL^2}{4}$이고, 왼쪽 구간의 최대 정모멘트 $qL^2/32$보다 크므로 이 값이 전체 최대가 된다.

축방향 인장에 의한 신장량은 $\delta = \dfrac{PL}{AE}$로 계산하며, 단면적은 $A = \dfrac{\pi d^2}{4}$이다.

$d = 0.03\ \mathrm{m}$이므로 $A = \dfrac{\pi \times 0.03^2}{4} \approx 7.069\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$이다.

$P = 20000\ \mathrm{N}$, $L = 3\ \mathrm{m}$, $E = 72\times10^9\ \mathrm{Pa}$를 대입하면
$\delta = \dfrac{20000 \times 3}{7.069\times10^{-4} \times 72\times10^9} \approx 1.18\times10^{-3}\ \mathrm{m} = 0.118\ \mathrm{cm}$이 되어 봉은 약 0.118cm 늘어난다.

양단이 고정된 보의 중앙에 집중하중이 작용할 때 중앙 처짐은 $\delta = \dfrac{PL^3}{192EI}$로 구하며, 원형 단면의 단면 2차모멘트는 $I = \dfrac{\pi d^4}{64}$이다.

$d = 0.1\ \mathrm{m}$이므로 $I = \dfrac{\pi \times 0.1^4}{64} \approx 4.909\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$이다.

$P = 200\ \mathrm{N}$, $L = 5\ \mathrm{m}$, $E = 200\times10^9\ \mathrm{Pa}$를 대입하면
$\delta = \dfrac{200 \times 5^3}{192 \times 200\times10^9 \times 4.909\times10^{-6}} \approx 1.33\times10^{-4}\ \mathrm{m}$이 되어 중앙 처짐은 약 $1.33\times10^{-4}\ \mathrm{m}$이다.

연결핀이 두 개의 단면에서 전단을 받으므로 전단응력은 약 25.46 MPa이다.

그림은 하중 $P = 1\,\mathrm{kN}$이 걸리는 안쪽 부재가 바깥쪽 U자형 부재 사이에 끼워지고 핀이 이를 관통하는 구조로, 하중이 핀의 좌·우 두 단면으로 나뉘어 전달되는 복전단(양면전단)이다.

핀 한 단면의 면적: $A = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi (5\,\mathrm{mm})^2}{4} = 19.63\,\mathrm{mm^2}$
$\tau = \dfrac{P}{2A} = \dfrac{1000\,\mathrm{N}}{2 \times 19.63\,\mathrm{mm^2}} = 25.46\,\mathrm{N/mm^2} = 25.46\,\mathrm{MPa}$

단전단으로 잘못 보면 50.92 MPa가 나오고, 단위를 kPa로 두면 1000배 어긋난다. $1\,\mathrm{N/mm^2} = 1\,\mathrm{MPa}$임을 기억하면 kPa 단위 보기는 자연히 걸러진다.

전달동력으로부터 토크를 구하면 $T = \dfrac{9550\,P[\mathrm{kW}]}{N[\mathrm{rpm}]} = \dfrac{9550 \times 30}{100} \approx 2865\ \mathrm{N \cdot m}$이다.

축의 극단면 2차모멘트는 $d = 0.07\ \mathrm{m}$일 때 $J = \dfrac{\pi d^4}{32} \approx 2.356\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$이다.

비틀림각 $\theta = \dfrac{TL}{GJ}$에 $L = 1\ \mathrm{m}$, $G = 83\times10^9\ \mathrm{Pa}$를 대입하면
$\theta = \dfrac{2865 \times 1}{83\times10^9 \times 2.356\times10^{-6}} \approx 0.015\ \mathrm{rad}$이 되어 축단의 비틀림각은 약 0.015rad이다.

지점 사이 구간의 굽힘모멘트가 $540\,\mathrm{kN\cdot m}$로 일정하며, 이때 최대 굽힘응력은 약 165 MPa이다.

그림은 전체 길이 12 m 보에서 왼쪽 끝으로부터 3 m 지점($R_1$)과 그로부터 6 m 떨어진 지점($R_2$)이 받치고, 좌·우로 각각 3 m 내민 부분에만 등분포하중 $\omega = 120\,\mathrm{kN/m}$가 걸린 돌출보다.

내민 부분이 만드는 지점 모멘트: $M = \dfrac{\omega L^2}{2} = \dfrac{120 \times 3^2}{2} = 540\,\mathrm{kN\cdot m}$
지점 사이 6 m 구간에는 하중이 없으므로 중앙부 굽힘모멘트는 540 kN·m로 일정하다.

$\sigma = \dfrac{M}{I}\cdot\dfrac{h}{2} = \dfrac{540 \times 10^3 \times 0.3}{9.82 \times 10^{-4}} = 1.65 \times 10^8\,\mathrm{Pa} \approx 165\,\mathrm{MPa}$
여기서 $h = 60\,\mathrm{cm}$이므로 $h/2 = 0.3\,\mathrm{m}$, $I = 98200\,\mathrm{cm^4} = 9.82 \times 10^{-4}\,\mathrm{m^4}$로 단위를 m 기준으로 통일하는 것이 실수를 막는 요령이다.

최대 주응력은 $1.618\tau$이다.

주어진 평면응력 상태는 $\sigma_x = \tau$, $\sigma_y = 0$, $\tau_{xy} = -\tau$이며, 주응력 공식은 $\sigma_{1,2} = \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$다. 전단응력은 제곱으로 들어가므로 음의 부호는 결과에 영향을 주지 않는다.

대입하면 $\sigma_1 = \dfrac{\tau}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{\tau}{2}\right)^2 + \tau^2} = 0.5\tau + \sqrt{1.25}\,\tau$
$= 0.5\tau + 1.118\tau = 1.618\tau$

같은 조건에서 최소 주응력은 $-0.618\tau$, 최대 전단응력은 $1.118\tau$다. $1.414\tau(=\sqrt{2}\tau)$나 $2.828\tau(=2\sqrt{2}\tau)$는 수직응력이 0인 순수전단일 때 나오는 형태의 값이라 이 조건에는 맞지 않는다.

자유단에서의 처짐각은 $\theta = \dfrac{PL^2}{2EI}$이다.

그림은 왼쪽이 벽에 고정된 길이 $L$의 외팔보로, 자유단에 집중하중 $P$가 아래로 작용하고 변형 후 자유단 접선이 원래 축과 이루는 각이 $\theta$다.

고정단에서 $x$만큼 떨어진 곳의 굽힘모멘트는 $M(x) = -P(L-x)$이므로, $\theta = \displaystyle\int_0^L \dfrac{M}{EI}\,dx$의 크기는 모멘트 선도의 삼각형 면적 $\dfrac{1}{2}PL \cdot L$을 $EI$로 나눈 $\dfrac{PL^2}{2EI}$가 된다.

같은 조건에서 자유단 처짐은 $\delta = \dfrac{PL^3}{3EI}$로 길이의 3승에 비례한다. 처짐각은 $L^2$, 처짐은 $L^3$이라는 차수 차이만 알아도 $PL^3/6EI$ 형태의 보기는 걸러낼 수 있다.

인장응력이 생기지 않기 위한 편심거리의 한계는 10 cm이다.

그림의 단주는 단면이 가로 60 cm × 세로 40 cm인 직사각형이고, 압축하중 $P = 80\,\mathrm{kN}$이 단면 도심축에서 60 cm 변 방향으로 e만큼 치우친 위치(평면도의 점 G)에 작용한다.

편심 압축을 받는 단면의 연응력은 $\sigma = -\dfrac{P}{A} \pm \dfrac{Pe}{Z}$이고, 어느 쪽에도 인장이 생기지 않으려면 $\dfrac{P}{A} \ge \dfrac{Pe}{Z}$, 즉 $e \le \dfrac{Z}{A}$여야 한다.

직사각형에서 $Z = \dfrac{hb^2}{6}$, $A = bh$이므로 $e \le \dfrac{b}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\,\mathrm{cm}$가 된다(단면핵의 개념). 식에서 $P$가 약분되므로 하중 80 kN은 답에 영향을 주지 않고 단면 치수만으로 한계가 정해진다.

원형 축의 최대전단응력과 비틀림모멘트의 관계는 $\tau_{max} = \dfrac{16T}{\pi d^3}$이므로, 이를 $T$에 대해 정리하면 $T = \dfrac{\tau_{max}\,\pi d^3}{16}$이다.

$d = 0.07\ \mathrm{m}$, $\tau_{max} = 20\times10^6\ \mathrm{Pa}$를 대입하면
$T = \dfrac{20\times10^6 \times \pi \times 0.07^3}{16} \approx 1347\ \mathrm{N \cdot m} \approx 1.35\ \mathrm{kN \cdot m}$이 되어 비틀림모멘트는 약 1.35kN·m이다.

A지점에서의 평균 전단변형률은 $\gamma_{xy} = -0.0005$이다.

그림에서 변형 전 정사각형은 A(0, 0), B(0, 400), C(400, 400), D(400, 0)[mm]이고, 점선으로 표시된 변형 후에는 A가 x방향으로 0.3 mm, B가 아래로 0.25 mm, C가 x방향으로 0.15 mm, D가 x방향으로 0.7 mm·y방향으로 0.1 mm 이동해 있다.

전단변형률은 $\gamma_{xy} = \dfrac{\partial u}{\partial y} + \dfrac{\partial v}{\partial x}$, 즉 A에서 뻗은 두 변 AB(연직)와 AD(수평)의 기울기 변화를 더한 값이다.

$\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{u_B - u_A}{400} = \dfrac{0 - 0.3}{400} = -0.00075$
$\dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{v_D - v_A}{400} = \dfrac{0.1 - 0}{400} = +0.00025$
$\gamma_{xy} = -0.00075 + 0.00025 = -0.0005$

강도성 상태량(intensive property)은 물질의 양에 관계없이 일정한 값을 갖는 상태량으로 온도, 압력, 밀도 등이 이에 해당한다.

반면 내부에너지는 물질의 양에 비례하여 커지는 종량성(extensive) 상태량이므로, 강도성 상태량이 아니다.

클라우지우스 부등식은 $\oint \dfrac{\delta Q}{T} \le 0$으로 나타낸다.

사이클을 한 바퀴 돌면 엔트로피는 상태량이므로 변화가 0이지만, 비가역 사이클에서는 계가 실제로 주고받은 열을 그때의 경계온도로 나눈 총합이 0보다 작아진다. 등호는 가역 사이클일 때만 성립한다.

$\delta Q$는 온도 $T$인 경계를 통해 드나든 열이므로 반드시 $T$로 나눈 형태여야 한다. 온도를 곱한 $T\,\delta Q$ 꼴은 차원부터 엔트로피(kJ/K)가 되지 않아 성립하지 않는다.

부등호가 $\ge 0$인 형태는 열역학 제2법칙에 정면으로 어긋난다. 사이클에 대한 이 부등식이 엔트로피를 상태량으로 정의하는 출발점이 된다.

이상기체 상태방정식 $pV = mRT$를 기체상수에 대해 정리하면 $R = \dfrac{pV}{mT}$이다.

$p = 98000\ \mathrm{Pa}$, $V = 0.5\ \mathrm{m^3}$, $m = 2\ \mathrm{kg}$, $T = 25 + 273 = 298\ \mathrm{K}$를 대입하면
$R = \dfrac{98000 \times 0.5}{2 \times 298} \approx 82\ \mathrm{J/(kg \cdot K)}$이 되어 이 기체의 기체상수는 약 82 J/(kg·K)이다.

펌프일을 고려한 열효율은 $\eta_1 = \dfrac{(h_3-h_4)-(h_2-h_1)}{h_3-h_2}$이고, 펌프일을 무시한 열효율은 분자에서 펌프일 항을 빼지 않은 $\eta_2 = \dfrac{h_3-h_4}{h_3-h_2}$로 계산한다.

주어진 값을 대입하면 $\eta_1 = \dfrac{(3116-2403)-(387.5-384.4)}{3116-387.5} = \dfrac{709.9}{2728.5} \approx 26.02\%$이고,
$\eta_2 = \dfrac{713}{2728.5} \approx 26.13\%$이다.

두 효율의 차이는 $26.13\% - 26.02\% \approx 0.11\%$로, 펌프일을 무시하면 실제보다 열효율이 약 0.11% 높게 계산된다.

단열 노즐에서는 외부와 열·일 출입이 없으므로 에너지보존식은 $h_1 + \dfrac{V_1^2}{2} = h_2 + \dfrac{V_2^2}{2}$로 쓸 수 있고, 이를 입구 엔탈피에 대해 정리하면 $h_1 = h_2 + \dfrac{V_2^2 - V_1^2}{2}$이다.

$h_2 = 2770\ \mathrm{kJ/kg}$, $V_1 = 10\ \mathrm{m/s}$, $V_2 = 200\ \mathrm{m/s}$를 대입하면
$h_1 = 2770 + \dfrac{200^2 - 10^2}{2 \times 1000} \approx 2770 + 19.95 \approx 2790\ \mathrm{kJ/kg}$이 되어 입구 엔탈피는 약 2790 kJ/kg이다.

역카르노 사이클 열펌프의 성능계수는 $\dfrac{T_1}{T_1 - T_2}$이다.

열펌프에서 얻고자 하는 것은 고온측으로 방출되는 열 $Q_1$이므로 $\mathrm{COP_H} = \dfrac{Q_1}{W} = \dfrac{Q_1}{Q_1 - Q_2}$이고, 카르노 사이클에서는 $\dfrac{Q_1}{Q_2} = \dfrac{T_1}{T_2}$가 성립한다.

분자·분모를 온도로 바꾸면 $\mathrm{COP_H} = \dfrac{T_1}{T_1 - T_2}$가 된다. 같은 장치를 냉동기로 볼 때의 성능계수는 $\dfrac{T_2}{T_1 - T_2}$이므로 두 값의 차이는 항상 1이다($\mathrm{COP_H} = \mathrm{COP_R} + 1$).

$\dfrac{T_1 - T_2}{T_1}$은 카르노 열기관의 효율로 1보다 작은 값이다. 성능계수는 항상 1보다 크다는 점만 확인해도 분자가 온도차인 형태는 걸러진다.

카르노사이클의 열효율은 절대온도만으로 $\eta = 1 - \dfrac{T_L}{T_H}$로 구하며, 고열원 $T_H = 1000 + 273 = 1273\ \mathrm{K}$, 저열원 $T_L = 300\ \mathrm{K}$를 대입하면
$\eta = 1 - \dfrac{300}{1273} \approx 0.7643$이다.

사이클이 한 일과 효율의 관계 $\eta = \dfrac{W}{Q_H}$에서 $Q_H = \dfrac{W}{\eta} = \dfrac{100}{0.7643} \approx 130.8\ \mathrm{kJ}$이 되어, 고열원으로부터 받은 열량은 약 130.8kJ이다.

압축비 17은 압축 전후의 체적비 $V_1/V_2 = 17$을 의미하며, 이상기체 상태방정식으로부터 $\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$가 성립하므로
$T_2 = T_1 \times \dfrac{p_2}{p_1} \times \dfrac{V_2}{V_1}$로 압축 후 온도를 구할 수 있다.

$T_1 = 25 + 273 = 298\ \mathrm{K}$, $p_1 = 112\ \mathrm{kPa}$, $p_2 = 4350\ \mathrm{kPa}$, $V_2/V_1 = 1/17$을 대입하면
$T_2 = 298 \times \dfrac{4350}{112} \times \dfrac{1}{17} \approx 680.8\ \mathrm{K}$이다.

이를 섭씨로 환산하면 $680.8 - 273 \approx 407.8\ \mathrm{^\circ C}$가 되어 압축 후 온도는 약 407.8℃이다.

비체적(specific volume)은 밀도의 역수로 정의되며, 단위 질량당 차지하는 부피를 나타낸다. 주어진 밀도 ρ = 741 kg/m³에서 비체적 v = 1/ρ = 1/741 ≈ 0.00135 m³/kg = 1.35 × 10⁻³ m³/kg이다. 따라서 정답은 2번이다.

스테판-볼츠만 법칙은 물체 표면에서 방출되는 에너지가 절대온도의 4제곱에 비례한다는 법칙으로, 매질 없이 전자기파 형태로 에너지가 전달되는 복사(radiation) 열전달을 설명하는 대표적 법칙이다.

대류와 전도는 매질(유체 또는 고체)을 통한 열전달이고, 응축은 상변화 현상이므로 스테판-볼츠만 법칙과 직접 관련되지 않는다.

정압 과정에서 내부에너지 변화는 $\Delta U = Q - W$로 구하며, 이 과정의 내부에너지 변화는 700kJ이다.

일량은 $W = P\Delta V = 0.3\,\mathrm{MPa}\times(4-8)\,\mathrm{m^3} = -1200\,\mathrm{kJ}$이며, 압축되어 부피가 줄었으므로 일은 음(-)이다.

열은 외부로 방출되므로 $Q = -500\,\mathrm{kJ}$이다. 따라서 $\Delta U = Q - W = (-500) - (-1200) = 700\,\mathrm{kJ}$이다.

비체적은 약 0.0491 m³/kg이다.

주어진 관계식 $Z = \dfrac{Pv}{RT} = 1 - 0.8\dfrac{P_r}{T_r}$를 쓰려면 환산압력과 환산온도를 먼저 구해야 한다.
$P_r = \dfrac{1000}{7380} = 0.1355$, $T_r = \dfrac{293\,\mathrm{K}}{305\,\mathrm{K}} = 0.9607$

압축성 인자: $Z = 1 - 0.8 \times \dfrac{0.1355}{0.9607} = 1 - 0.1128 = 0.8872$

비체적: $v = \dfrac{ZRT}{P} = \dfrac{0.8872 \times 0.189 \times 293}{1000} = 0.0491\,\mathrm{m^3/kg}$
$Z$를 빼고 이상기체로만 계산하면 $v = RT/P = 0.0554\,\mathrm{m^3/kg}$가 되어 약 12% 과대평가된다.

축전지에 공급되는 전기에너지에서 열손실을 뺀 값이 내부에너지 변화율이며, 그 값은 약 310W이다.

공급 전력은 $P = VI = 13\,\mathrm{V}\times25\,\mathrm{A} = 325\,\mathrm{W}$이다.

이 중 열손실 15W를 제외한 나머지가 축전지 내부에 저장되므로 $\dfrac{dU}{dt} = 325 - 15 = 310\,\mathrm{W}$이다.

냉매는 표면장력이 작아야 전열면에서 액막이 잘 퍼지고 기포 이탈이 원활해 전열 성능이 좋아지므로, 표면장력이 커야 한다는 설명은 틀렸다.

증발온도에서 잠열이 크고 열전도율이 높으며 불활성·비가연성이어야 한다는 조건은 모두 바람직한 냉매의 요건에 해당한다.

구리가 잃은 열량과 물이 얻은 열량이 같다는 열평형식으로 풀면 평형 온도는 약 48℃이다.

$m_{Cu}c_{Cu}(100-T) = m_w c_w (T-20)$에 값을 대입하면 $10\times0.45\times(100-T) = 2\times4.2\times(T-20)$이다.

정리하면 $450 - 4.5T = 8.4T - 168$, $12.9T = 618$이므로 $T \approx 47.9\,{}^\circ\mathrm{C}$로 약 48℃가 된다.

가역단열 압축의 온도-압력 관계식을 적용하면 압축 후 온도는 약 292.7℃이다.

$T_2 = T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}$이며, $T_1 = 293\,\mathrm{K}$, $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{2}{0.2}=10$, $\dfrac{k-1}{k}=\dfrac{0.4}{1.4}$이다.

계산하면 $T_2 = 293\times10^{0.286} \approx 565.7\,\mathrm{K}$이므로 섭씨로 환산하면 약 292.7℃가 된다.

교축과정은 엔탈피가 일정하게 유지되는 등엔탈피 과정이며 압력은 오히려 크게 떨어지므로, 정압과정으로 간주한다는 설명이 옳지 않다.

교축과정에서는 압력이 급격히 강하하면서 비가역성으로 인해 엔트로피는 증가하고, 외부와의 열·일 출입이 없어 엔탈피 변화는 없다고 본다.

이러한 특성 때문에 냉동기 팽창밸브의 이론적 해석에도 적용된다.

이 사이클의 열효율은 $\eta = 1 - \dfrac{T_c - T_d}{T_b - T_a}$이다.

선도에서 d→a와 b→c는 엔트로피가 일정한 연직선으로 단열압축·단열팽창이고, a→b와 c→d는 엔트로피가 변하는 곡선으로 정적 가열·정적 방열이다. 즉 열이 드나드는 과정은 a→b와 c→d 두 개뿐이다.

정적 과정이므로 공급열과 방출열은 $q_1 = C_v(T_b - T_a)$, $q_2 = C_v(T_c - T_d)$로 쓸 수 있다.

따라서 $\eta = 1 - \dfrac{q_2}{q_1} = 1 - \dfrac{C_v(T_c - T_d)}{C_v(T_b - T_a)} = 1 - \dfrac{T_c - T_d}{T_b - T_a}$이며, 비열이 약분되어 온도만으로 표현된다. 단열과정의 온도차($T_b - T_c$, $T_a - T_d$)를 쓴 식은 열 출입과 무관한 구간이라 성립하지 않는다.

이 습증기의 엔탈피는 약 2365 kJ/kg이다.

표에서 포화액은 엔탈피 384 kJ/kg·엔트로피 1.25 kJ/(kg·K), 포화증기는 엔탈피 2666 kJ/kg·엔트로피 7.62 kJ/(kg·K)이다. 습증기의 상태량은 건도 x로 두 값을 내분해 구하므로, 주어진 엔트로피로 건도를 먼저 구한다.

$x = \dfrac{s - s_f}{s_g - s_f} = \dfrac{6.78 - 1.25}{7.62 - 1.25} = \dfrac{5.53}{6.37} = 0.868$

$h = h_f + x(h_g - h_f) = 384 + 0.868 \times (2666 - 384) = 384 + 1981 = 2365\,\mathrm{kJ/kg}$
건도가 0.87 정도로 포화증기에 가깝긴 하지만 완전 건포화는 아니므로 2666보다 뚜렷하게 낮은 값이 나온다.

P–V 선도에서 사이클이 그리는 폐곡선의 면적이 곧 한 사이클 동안 계가 한 일이므로, 이 사이클의 일은 $W=\dfrac{(P_2-P_1)(V_2-V_1)}{2}$이다.

그림의 사이클은 $(V_1,\ P_1)$에서 압력만 올라가 $(V_1,\ P_2)$로 가고, 빗변을 따라 $(V_2,\ P_1)$까지 팽창한 뒤, 압력 $P_1$을 유지하며 처음 상태로 되돌아오는 직각삼각형이다.

따라서 밑변은 부피 변화 $V_2-V_1$, 높이는 압력 변화 $P_2-P_1$이고 삼각형 넓이는 밑변×높이÷2가 된다. 화살표가 시계 방향이므로 일은 양(+), 즉 계가 외부에 일을 한다.

압력의 합 $P_2+P_1$이나 부피의 합 $V_2+V_1$이 들어간 식은 삼각형의 밑변·높이가 아니라 두 값을 더한 것이어서 면적과 아무 관련이 없다.

두 무차원수가 모형과 원형에서 모두 같으므로 원형의 힘은 $F=32F_1$이 된다.

먼저 $\dfrac{B}{CD^{2}}$를 확인하면 모형은 $\dfrac{1}{1\times 1^{2}}=1$, 원형은 $\dfrac{4}{1\times 2^{2}}=1$로 두 값이 같아 상사조건이 만족된다. 따라서 나머지 무차원수도 같아야 한다.

모형에서 $\dfrac{F}{AB^{2}}=\dfrac{F_1}{1\times 1^{2}}=F_1$이므로 원형에서도 $\dfrac{F}{2\times 4^{2}}=F_1$, 즉 $F=32F_1$이다.

상사조건이 깨졌다면 예측 자체가 불가능하지만 여기서는 일치하므로 예측할 수 있고, 16배로 보는 것은 $B^{2}$만 반영하고 A가 2배로 커진 효과를 빠뜨린 계산이다.

노즐에 미치는 유체의 힘은 $F=\dfrac{\rho A_1 Q^{2}}{2}\left(\dfrac{A_1-A_2}{A_1 A_2}\right)^{2}$이다.

그림은 단면적 $A_1$인 관이 $A_2$로 좁아져 대기로 분출되는 노즐이므로 출구 계기압력은 0이고, 연속방정식에서 $V_1=\dfrac{Q}{A_1}$, $V_2=\dfrac{Q}{A_2}$이다.

베르누이식으로 입구압을 구하면 $p_1=\dfrac{\rho Q^{2}}{2}\left(\dfrac{1}{A_2^{2}}-\dfrac{1}{A_1^{2}}\right)$이고, 검사체적 운동량방정식 $p_1A_1-F=\rho Q(V_2-V_1)$에 대입한다.
$F=\dfrac{\rho Q^{2}}{2}A_1\left(\dfrac{1}{A_2^{2}}-\dfrac{1}{A_1^{2}}\right)-\rho Q^{2}\left(\dfrac{1}{A_2}-\dfrac{1}{A_1}\right)$
$=\dfrac{\rho Q^{2}}{2A_1}\left(\dfrac{A_1}{A_2}-1\right)^{2}=\dfrac{\rho A_1 Q^{2}}{2}\left(\dfrac{A_1-A_2}{A_1A_2}\right)^{2}$

따라서 괄호 안에는 두 단면적의 차가 들어가야 하고 앞의 계수도 $\rho A_1$이어야 한다. 합 $A_1+A_2$가 들어가거나 계수가 $\rho A_2$인 식은 유도 결과와 맞지 않는다.

레이놀즈수 정의식으로부터 천이가 일어나는 평균유속은 0.23 m/s이다.

$Re = \dfrac{Vd}{\nu}$이므로 $V = \dfrac{Re\cdot\nu}{d} = \dfrac{2300\times10^{-6}}{0.01} = 0.23\,\mathrm{m/s}$이다.

유효낙차와 효율을 반영한 수차 발생 동력은 약 3.53MW이다.

손실수두 10m를 제외한 유효낙차는 $H_e = 100-10=90\,\mathrm{m}$이다.

$P = \rho g Q H_e \eta = 1000\times9.81\times5\times90\times0.8 \approx 3{,}531{,}600\,\mathrm{W} \approx 3.53\,\mathrm{MW}$이다.

변수 5개에서 기본차원 2개를 빼므로 독립 무차원수는 3개이다.

함수관계 $F(a,\ V,\ t,\ \nu,\ L)=0$에 들어 있는 변수는 가속도 a, 속도 V, 시간 t, 동점성계수 ν, 길이 L로 모두 5개다.

각 차원은 $a=[\mathrm{LT^{-2}}]$, $V=[\mathrm{LT^{-1}}]$, $t=[\mathrm{T}]$, $\nu=[\mathrm{L^{2}T^{-1}}]$, $L=[\mathrm{L}]$로 질량 M이 전혀 나타나지 않아 기본차원은 길이와 시간 2개뿐이다.

버킹엄 파이 정리에서 $5-2=3$이므로 3개가 된다. 질량까지 포함해 기본차원을 3개로 잘못 세면 2개라는 답이 나온다.

양력 공식에 값을 대입하면 날개에 작용하는 양력은 약 786N이다.

날개 면적은 익현길이와 폭의 곱이므로 $A = 1\,\mathrm{m}\times5\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m^2}$이다.

$L = \dfrac{1}{2}\rho V^2 A C_L = \dfrac{1}{2}\times1.2\times24^2\times5\times0.455 \approx 786\,\mathrm{N}$이다.

수면차 H가 전부 관로 손실로 소비되므로 평균 유속은 $V=\sqrt{\dfrac{2gH}{K_1+f\dfrac{\ell}{d}+K_2}}$이다.

그림처럼 수면차 H인 두 저수지를 지름 d, 길이 ℓ인 관이 잇고 있으면 양쪽 수면의 속도수두와 압력수두가 모두 0이므로, 에너지방정식은 $H=h_{\text{입구}}+h_{\text{관마찰}}+h_{\text{출구}}$로 단순해진다.

각 손실을 속도수두로 쓰면 입구 $K_1\dfrac{V^{2}}{2g}$, 관마찰 $f\dfrac{\ell}{d}\dfrac{V^{2}}{2g}$, 출구 $K_2\dfrac{V^{2}}{2g}$이므로 $H=\left(K_1+f\dfrac{\ell}{d}+K_2\right)\dfrac{V^{2}}{2g}$이고, 이를 V에 대해 풀면 위 식이 된다.

관마찰 항에는 길이를 지름으로 나눈 $\ell/d$가 곱해져야 한다. 분자에 d가 곱해지거나 $f\ell$·$fd\ell$·$f/\ell$ 형태가 되면 무차원이 되지 않아 손실계수와 더할 수 없다.

수평원관 내 층류에서 전단응력은 관 중심에서 0이고 벽면으로 갈수록 반지름에 비례해 선형적으로 증가하여 벽면에서 최대가 된다.

• 단면 전체에서 일정하다는 설명은 틀렸으며, 전단응력은 중심에서 벽면까지 직선적으로 변한다.
• 벽면에서 0이고 중심으로 갈수록 커진다는 설명은 실제와 정반대이다.
• 거리의 제곱에 비례한다는 설명도 틀렸으며, 제곱 형태로 분포하는 것은 전단응력이 아니라 속도이다.

프란틀의 혼합거리는 벽면에 가까울수록 유체 입자의 횡방향 변동이 억제되므로 벽에서 0이 된다.

• 전단응력과 무관하다는 설명은 틀렸으며, 혼합거리는 난류 전단응력을 나타내는 데 쓰인다.
• 항상 일정하다는 설명은 틀렸으며, 벽으로부터의 거리에 따라 값이 달라진다.
• 층류 유동 계산에 유용하다는 설명도 틀렸으며, 혼합거리는 난류 해석에 쓰이는 개념이다.

그 위치에서의 속도는 156 m/s이다.

유동함수 $\psi=3x^{2}y-y^{3}$에서 속도성분은 $u=\dfrac{\partial \psi}{\partial y}=3x^{2}-3y^{2}$, $v=-\dfrac{\partial \psi}{\partial x}=-6xy$로 구한다.

$x=4\ \mathrm{m}$, $y=6\ \mathrm{m}$를 대입하면 $u=3(4)^{2}-3(6)^{2}=48-108=-60\ \mathrm{m/s}$, $v=-6(4)(6)=-144\ \mathrm{m/s}$이다.

속도의 크기는 두 성분의 벡터 합이므로 $\sqrt{(-60)^{2}+(-144)^{2}}=\sqrt{24336}=156\ \mathrm{m/s}$이다. 어느 한 성분만 답으로 쓰거나 두 성분을 그냥 더하면 틀린 값이 된다.

비중량과 물의 비중량 비로 구한 이 기름의 비중은 약 0.84이다.

비중량은 $\gamma = \dfrac{W}{V} = \dfrac{247\,\mathrm{kN}}{30\,\mathrm{m^3}} \approx 8.23\,\mathrm{kN/m^3}$이다.

물의 비중량 $9.81\,\mathrm{kN/m^3}$과 비교하면 $S = \dfrac{8.23}{9.81} \approx 0.84$이다.

연속방정식으로 구한 송출구의 평균 유속은 약 1.44 m/s이다.

유량은 $Q = 3.6\,\mathrm{m^3/min} = 0.06\,\mathrm{m^3/s}$이고, 단면적은 $A = \dfrac{\pi}{4}(0.23)^2 \approx 0.0415\,\mathrm{m^2}$이다.

$V = \dfrac{Q}{A} = \dfrac{0.06}{0.0415} \approx 1.44\,\mathrm{m/s}$이다.

작용점은 도심보다 조금 아래에 있으므로 $\eta=\bar{y}+\dfrac{d^{2}}{16\bar{y}}$이다.

그림에서 $\bar{y}$는 수면에서 원판 도심 G까지의 깊이, $\eta$는 수면에서 압력중심 C까지의 깊이이며, 수심이 깊어질수록 압력이 커지므로 C는 항상 G보다 아래에 놓인다.

압력중심 공식 $\eta=\bar{y}+\dfrac{I_G}{A\bar{y}}$에 지름 d인 원판의 $I_G=\dfrac{\pi d^{4}}{64}$와 $A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}$를 넣으면 $\dfrac{I_G}{A}=\dfrac{d^{4}/64}{d^{2}/4}=\dfrac{d^{2}}{16}$이다.

따라서 보정항의 분모는 $16\bar{y}$가 된다. 분모가 8·32·64로 적힌 식은 단면 2차 모멘트와 면적의 비를 잘못 정리한 결과다.

모든 값을 절대압력 기준으로 환산해 비교하면 절대압력 115kPa로 표시된 값이 가장 높다.

게이지압력 0.13atm은 절대압력으로 환산하면 $1.13\,\mathrm{atm}\approx114.5\,\mathrm{kPa}$이고, 절대압력 1.1atm은 $\approx111.5\,\mathrm{kPa}$, 절대압력 11mH2O는 $11\times9.81\approx107.9\,\mathrm{kPa}$이다.

따라서 115kPa로 주어진 값이 이들 중 가장 큰 절대압력이다.

두 지점의 유속은 $V_A=0.271\ \mathrm{m/s}$, $V_B=2.44\ \mathrm{m/s}$이다.

그림에서 세운 관의 물기둥 높이가 곧 압력수두이므로 A는 0.6 m, B는 0.3 m다. 같은 높이의 수평관이므로 베르누이식은 $0.6+\dfrac{V_A^{2}}{2g}=0.3+\dfrac{V_B^{2}}{2g}$가 되어 $V_B^{2}-V_A^{2}=2g(0.3)=5.886$이다.

연속방정식에서 안지름이 30 cm와 10 cm이므로 단면적비는 지름비의 제곱인 9배가 되어 $V_B=9V_A$이고, 이를 대입하면 $81V_A^{2}-V_A^{2}=80V_A^{2}=5.886$이다.

따라서 $V_A=\sqrt{0.0736}=0.271\ \mathrm{m/s}$, $V_B=9\times 0.271=2.44\ \mathrm{m/s}$다. 물기둥 높이를 cm 그대로 넣어 수두차를 30으로 잡으면 답이 정확히 10배 커지고, 단면적비 대신 지름비 3배를 그대로 쓰면 유속 관계 자체가 어긋난다.