21년 2회차

T형 단면을 두 사각형(위쪽 40×100, 아래쪽 100×40)으로 나눠 도심을 구한다. 아래쪽 기준(바닥)으로 각 도형의 도심거리:
아래 사각형(100×40) 면적 A1=4000mm², 도심 y1=20mm
위 사각형(40×100) 면적 A2=4000mm², 도심 y2=40+50=90mm
전체 도심 $\bar{y}=(4000\times20+4000\times90)/8000=55mm$

각 도형의 자체 도심축 2차모멘트:
$I_1=100\times40^3/12=533333mm^4$, $I_2=40\times100^3/12=3333333mm^4$
평행축 정리 적용: $d_1=55-20=35$, $d_2=90-55=35$이므로
$I=I_1+A_1d_1^2+I_2+A_2d_2^2=533333+4000\times35^2+3333333+4000\times35^2$
계산하면 $4000\times1225=4900000$이고 두 번 더하면 $9800000$
합계 $I=533333+3333333+9800000=13666666\approx13.67\times10^6mm^4$

비틀림 모멘트는 $T = \frac{P}{\omega} = \frac{120{,}000}{2\pi \times 40} = 477.5\text{ N·m}$이다.
중공축의 응력식 $\tau = \frac{16 T d_2}{\pi(d_2^4 - d_1^4)}$에 대입하면 $d_2^4 - d_1^4 = \frac{16 \times 477.5 \times 0.046}{\pi \times 80 \times 10^6} = 1.398 \times 10^{-6}\text{ m}^4$이다.
$d_1^4 = 4.478 \times 10^{-6} - 1.398 \times 10^{-6} = 3.079 \times 10^{-6}$이므로 $d_1 \approx 0.0419$m이고, 보기 중 가장 가까운 값인 약 41.8mm 이하여야 한다.

주어진 평면응력 상태의 최대 주응력은 500 kPa이다.

그림의 미소요소는 위·아래에서 400 kPa로 눌리고(σ_y = −400 kPa), 좌·우로 400 kPa로 당겨지며(σ_x = 400 kPa), 각 면에 300 kPa의 전단(τ_xy = 300 kPa)이 함께 작용한다.

평면응력의 주응력은 $\sigma_{1,2}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^{\,2}}$ 로 구한다.

평균응력은 $\dfrac{400+(-400)}{2}=0$, 모어원의 반지름은 $\sqrt{\left(\dfrac{400-(-400)}{2}\right)^2+300^2}=\sqrt{400^2+300^2}=500$ 이므로 σ₁ = 0 + 500 = 500 kPa 이고 최소 주응력은 −500 kPa이다.

이 보의 최대 굽힘 모멘트는 $\dfrac{L}{8}\left(\omega_0 L+2P\right)$ 로, 고정단에서 발생한다.

그림은 왼쪽 끝이 벽에 고정된 전체 길이 L의 외팔보다. 고정단 쪽 L/2 구간에 등분포하중 ω₀가 아래로 걸리고, 고정단에서 3L/4 되는 점에 집중하중 P가 아래로, 자유단에는 P/2가 위로 작용한다.

각 하중이 고정단에 주는 모멘트를 더한다. 등분포하중의 합력은 ω₀L/2이고 작용점이 고정단에서 L/4이므로 $\omega_0\dfrac{L}{2}\cdot\dfrac{L}{4}=\dfrac{\omega_0 L^2}{8}$,
집중하중은 $P\cdot\dfrac{3L}{4}=\dfrac{3PL}{4}$,
자유단의 P/2는 방향이 반대이므로 $-\dfrac{P}{2}\cdot L=-\dfrac{PL}{2}$ 이다.

모두 합하면 $M_{\max}=\dfrac{\omega_0 L^2}{8}+\dfrac{3PL}{4}-\dfrac{PL}{2}=\dfrac{\omega_0 L^2}{8}+\dfrac{PL}{4}=\dfrac{L}{8}\left(\omega_0 L+2P\right)$ 가 된다. 외팔보는 모든 하중의 팔 길이가 가장 긴 고정단에서 굽힘 모멘트가 최대가 되므로 이 값이 최댓값이다.

비틀림 각 공식 $\phi = \frac{TL}{GI_p}$를 이용하여 비틀림 모멘트 T를 구한다.
먼저 극관성모멘트를 계산하면, 반지름 $r = 100\text{ mm} = 0.1\text{ m}$일 때
$I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi \times (0.2)^4}{32} = 1.571 \times 10^{-4}\text{ m}^4$
주어진 값들을 공식에 대입하면
$T = \frac{\phi \cdot G \cdot I_p}{L} = \frac{(1/15) \times 80 \times 10^9 \times 1.571 \times 10^{-4}}{2}$
계산하면
$T = \frac{0.0667 \times 80 \times 10^9 \times 1.571 \times 10^{-4}}{2} = \frac{838.1 \times 10^3}{2} = 419.0 \times 10^3\text{ N·m} \approx 418.9\text{ kN·m}$

등분포하중처럼 보이는 삼각형 분포하중(최대강도 w, A단 0 ~ B단 w)과 중앙 집중하중 P가 동시에 작용하는 단순보이다.

삼각형분포하중의 전체 하중은 $wl/2$이며 그 작용점(도심)은 B점에서 $l/3$인 지점, 즉 A점에서 $2l/3$ 지점에 위치한다.
반력은 모멘트평형으로 $R_A = P/2 + wl/6$, $R_B = P/2 + wl/3$이 된다.

중앙점 C에서의 굽힘모멘트는 A쪽 반력과 삼각형 분포하중 중 A~C 구간(0~l/2)의 하중을 적분하여 구한다.
$M_C = R_A \cdot \dfrac{l}{2} - \left(\text{A~C 구간 하중} \times \text{그 도심까지 거리}\right)$
이 형태로 정리되어 P와 w가 결합된 형태의 식이 된다.

얇은 원통형 압력용기에서 원주방향(hoop) 응력은 $\sigma_\theta = \frac{Pr}{t}$, 축방향(longitudinal) 응력은 $\sigma_z = \frac{Pr}{2t}$이다.
2차원 평면응력 상태에서 면내 최대전단응력은
$\tau_{max} = \frac{\sigma_\theta - \sigma_z}{2}$
로 계산되므로
$\tau_{max} = \frac{\frac{Pr}{t} - \frac{Pr}{2t}}{2} = \frac{\frac{Pr}{2t}}{2} = \frac{Pr}{4t}$

이 강봉의 길이방향 변형량은 약 7.3 mm이다.

그림은 천장에 고정된 지름 Ø10 mm, 길이 15 m의 강봉 아래 끝을 P = 8 kN으로 아래로 당기는 단순 인장 상태다.

변형량은 $\delta=\dfrac{PL}{AE}$ 로 구하며, 단면적은 $A=\dfrac{\pi}{4}(10\,\mathrm{mm})^2=78.54\,\mathrm{mm^2}$ 이다.
단위를 N·mm로 통일하면 P = 8,000 N, L = 15,000 mm, E = 210 GPa = 210,000 N/mm² 이다.

대입하면 $\delta=\dfrac{8000\times 15000}{78.54\times 210000}=\dfrac{1.2\times 10^{8}}{1.649\times 10^{7}}\approx 7.28\,\mathrm{mm}$ 로 약 7.3 mm이다. 길이를 m 그대로 두면 값이 1,000배 어긋나므로 단위 통일이 핵심이다.

응력 조건: 하중 P가 C점(고정단으로부터 4m)에 작용하므로 최대굽힘모멘트는 $M=4P$. 허용응력 조건은 $\sigma=M/Z=8\text{MPa}$에서 $M=8\times10^6\times4.601\times10^{-3}=36808\text{N·m}$이므로 $P=36808/4=9202\text{N}\approx9.2\text{kN}$.
처짐 조건: B점 처짐은 C점 하중에 의한 처짐(캔틸레버 구간 4m)과 그 이후 처짐이 없는 구간(1m)의 기울기에 의한 추가 처짐의 합으로, $\delta_B=\dfrac{Pa^2}{6EI}(3L-a)$ (a=4, L=5)로 계산하면 $\delta_B=\dfrac{P\times16}{6\times12\times10^9\times1022\times10^{-6}}\times(15-4)$. 계산하면 $\delta_B=\dfrac{176P}{7.358\times10^7}=2.392\times10^{-6}P$(m). 허용처짐 $23.9\text{mm}=0.0239\text{m}$에서 $P=0.0239/2.392\times10^{-6}\approx9992\text{N}\approx10.0\text{kN}$.
두 조건 중 작은 값을 만족해야 하므로 응력 조건으로 정해지는 9.2kN이 최대 허용하중이다.

구간별 내력을 구하려면 각 구간에서 자유물체도를 잘라 좌측(또는 우측) 외력의 합으로 축력을 구한다. AB구간: 좌측에 3P(인장 방향)만 작용하므로 내력은 3P. BC구간: 좌측에서 A의 3P와 B의 P(반대 방향)를 합하면 3P−P=2P. CD구간: 우측에서 D의 2P만 작용하므로 내력은 2P(전체 평형: 3P−P−4P+2P=0 성립). 따라서 BC간에 작용하는 하중의 크기는 2P이다.

자유단 B(고정단에서 거리 3L)에 작용하는 하중 P는 처짐
$\delta_1 = \dfrac{P(3L)^3}{3EI} = \dfrac{9PL^3}{EI}$
을 만든다.

C점(고정단에서 거리 2L)에 작용하는 하중 P는 C점 처짐 $\dfrac{P(2L)^3}{3EI} = \dfrac{8PL^3}{3EI}$과 C점 처짐각 $\theta_C = \dfrac{P(2L)^2}{2EI} = \dfrac{2PL^2}{EI}$에 의한 추가 처짐 $\theta_C \times L = \dfrac{2PL^3}{EI}$을 B점에서 유발하여, 총
$\dfrac{8PL^3}{3EI} + \dfrac{2PL^3}{EI} = \dfrac{14PL^3}{3EI}$
이 된다.

두 하중의 기여분을 합하면
$\delta_B = \dfrac{9PL^3}{EI} + \dfrac{14PL^3}{3EI} = \dfrac{27PL^3+14PL^3}{3EI} = \dfrac{41PL^3}{3EI}$

허용응력을 기준으로 봉의 지름을 구하면 약 2.19 cm이다.

허용응력은 $\sigma_a = \dfrac{400}{5} = 80\,\mathrm{MPa}$이고, 필요 단면적은 $A = \dfrac{P}{\sigma_a} = \dfrac{30000}{80\times10^6} = 3.75\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$이다.

지름은 $d = \sqrt{\dfrac{4A}{\pi}} \approx 2.19\times10^{-2}\,\mathrm{m} = 2.19\,\mathrm{cm}$로 계산된다.

핀에 작용하는 전단응력은 약 12.73 MPa이다.

그림은 가운데 링크를 P = 2000 N으로 위로 당기고 바깥쪽 두 링크가 이를 받치는 구조여서, 핀은 두 개의 단면에서 동시에 잘리는 복전단(2면 전단) 상태가 된다.

핀 한 단면의 면적은 지름 1 cm = 10 mm이므로 $A=\dfrac{\pi}{4}(10\,\mathrm{mm})^2=78.54\,\mathrm{mm^2}$ 이고, 전단면이 2개이므로 $\tau=\dfrac{P}{2A}$ 이다.

대입하면 $\tau=\dfrac{2000}{2\times 78.54}=12.73\,\mathrm{N/mm^2}=12.73\,\mathrm{MPa}$ 이다. 단전단으로 잘못 보면 25.5 MPa가 되므로 전단면의 개수를 세는 것이 이 문항의 요점이다.

냉각에 의한 자유수축량과 같은 크기의 인장 변형을 만들어내는 하중을 구하면 약 36 kN이다.

자유수축량은 $\delta = \alpha \Delta T L = 12\times10^{-6}\times30\times0.6 = 2.16\times10^{-4}\,\mathrm{m}$이다.

같은 크기의 신장을 만드는 힘은 $P = \dfrac{\delta A E}{L} = \dfrac{2.16\times10^{-4}\times5\times10^{-4}\times200\times10^{9}}{0.6} \approx 36\,\mathrm{kN}$이다.

등분포하중을 받는 단순보의 최대 굽힘응력은 약 12.5 MPa이다.

최대 굽힘모멘트는 $M_{max} = \dfrac{wL^2}{8} = \dfrac{200\times2^2}{8} = 100\,\mathrm{N\cdot m}$이고, 직사각형 단면계수는 $Z = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{0.03\times0.04^2}{6} = 8\times10^{-6}\,\mathrm{m^3}$이다.

굽힘응력은 $\sigma = \dfrac{M_{max}}{Z} = \dfrac{100}{8\times10^{-6}} \approx 12.5\times10^{6}\,\mathrm{Pa} = 12.5\,\mathrm{MPa}$이다.

자유단에서 $x$ 떨어진 위치(고정단 기준 거리 $x$)의 굽힘모멘트는 $M(x) = -\frac{w x^2}{2}$이며, 탄성변형에너지는 $U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI}dx$로 구한다. 대입하면 $U = \int_0^L \frac{w^2 x^4}{8EI}dx = \frac{w^2}{8EI}\cdot\frac{L^5}{5} = \frac{w^2 L^5}{40EI}$가 되며, 이는 보기 4번의 식과 일치한다.

축 AB 구간에는 모터가 공급하는 50kW 전체가 전달되어 최대 토크가 발생한다(BC 구간은 15kW만 전달되어 더 작음).
토크 $T = \dfrac{60P}{2\pi N} = \dfrac{60 \times 50000}{2\pi \times 600} \approx 795.8\,N\cdot m$
최대 전단응력 $\tau = \dfrac{16T}{\pi d^3} = \dfrac{16 \times 795.8}{\pi \times (0.05)^3} \approx 32.4\,MPa$
로 계산되어 32.4 MPa가 최대 전단응력이다.

중앙에 걸린 집중하중의 크기는 P = 4M/L 이다.

그림은 좌우 양쪽 끝이 벽에 완전히 고정된 스팬 2L의 보이고, 스팬 한가운데에 아래 방향으로 집중하중 P가 작용한다.

양단고정보에 중앙 집중하중이 걸리면 스팬 길이를 $\ell$ 이라 할 때 중앙과 양 고정단의 굽힘 모멘트 크기가 모두 $\dfrac{P\ell}{8}$ 이다. 여기서는 $\ell=2L$ 이므로 $M=\dfrac{P(2L)}{8}=\dfrac{PL}{4}$ 가 된다.

이를 P에 대해 풀면 $P=\dfrac{4M}{L}$ 이다. 스팬을 2L이 아닌 L로 잘못 넣으면 8M/L이 나오므로, 그림의 전체 길이가 2L이라는 점을 반드시 반영해야 한다.

x방향 변형률은 $\varepsilon_x = \delta_x / L_x = 0.05/5 = 0.01$이다. 포아송비 관계식 $\varepsilon_y = \nu \cdot \varepsilon_x$에 대입하면 $\varepsilon_y = 0.3 \times 0.01 =$이 된다.

편심하중을 받는 단주의 응력식은 $\sigma = \frac{P}{A} \pm \frac{M}{Z}$이다.
단면 폭 3m(하중 편심방향), 높이 2m이므로 $A = 3\times2=6\,m^2$, $Z = \frac{2\times3^2}{6}=3\,m^3$
축응력 $\frac{P}{A} = \frac{150}{6}=25\,kPa$(압축)
편심모멘트 $M = 150\times1=150\,kN\cdot m$에 의한 응력 $\frac{M}{Z} = \frac{150}{3}=50\,kPa$

A쪽(하중 반대편, 편심방향과 먼 쪽)에서는 압축응력에서 휨응력을 빼야 하므로
$\sigma_A = 25 - 50 = -25\,kPa$
즉 인장응력 25 kPa이 발생한다.

일정 체적 과정에서 엔트로피 변화는
$\Delta S = m c_v \ln\frac{T_2}{T_1}$
주어진 값을 대입하면
$3.35 = 4 \times 0.717 \times \ln\frac{T_2}{288}$
$3.35 = 2.868 \times \ln\frac{T_2}{288}$에서 $\ln\frac{T_2}{288} = 1.168$
따라서 $\frac{T_2}{288} = e^{1.168} \approx 3.218$이고
$T_2 = 288 \times 3.218 \approx 927 \text{ K}$

1행정당 유효일은 평균유효압력×행정체적이다. 행정체적은 $V=\frac{\pi}{4}\times0.068^2\times0.08\approx2.905\times10^{-4}\,\text{m}^3$이다.
$W=1200\times2.905\times10^{-4}\approx0.349\,\text{kJ}\approx$0.35kJ이다.

완전 단열($Q=0$) 과정에서는 열역학 제1법칙 $Q = \Delta U + W$에 의해 $W = -\Delta U$가 되므로, 외부로 한 일의 크기는 내부에너지 변화량의 절댓값과 같다.

엔탈피·온도·엔트로피 변화량은 이 과정에서 일의 크기와 직접 같은 값이 되지 않는다.

유리창을 통한 대류열전달량은 $Q = hA\Delta T$ 공식으로 구한다. 여기서 h = 50 W/(m²·K)(대류열전달계수), A = 2 m²(유리창면적), ΔT = 25 - 10 = 15 K(표면온도와 외기온도의 차)이다. 따라서 $Q = 50 \times 2 \times 15 = 1500 \text{ W}$로, 열전달량은 1500 W이다.

사이클 전체의 에너지 수지에서 유입량(보일러 가열량+펌프 입력일)과 유출량(터빈 일+응축기 방열량)은 같다. 따라서 $Q_{out}=Q_{in}+W_P-W_T$이다.
$Q_{out}=2500+20-550=$1970kW이다.

열평형 상태에서 방출된 열량 = 흡수된 열량이므로, 물체가 내놓은 열 = 용기와 물이 흡수한 열입니다. 물체의 비열을 $c$라 하면:
물체의 열량 손실: $5 \times c \times (180-35) = 5c \times 145 = 725c$ kJ
물의 열량 흡수: 물의 질량 = 20L = 20kg, $20 \times 4.2 \times (35-24) = 20 \times 4.2 \times 11 = 924$ kJ
용기(강)의 열량 흡수: $5 \times 0.46 \times (35-24) = 5 \times 0.46 \times 11 = 25.3$ kJ
열평형 식: $725c = 924 + 25.3 = 949.3$
$c = \frac{949.3}{725} \approx 1.31$ kJ/(kg·K)

냉매의 구비조건 중 증발열이 작은 것은 적합하지 않다. 냉매는 증발열이 커야 적은 질량으로도 많은 냉각 능력을 발휘할 수 있으므로, 증발열이 작으면 냉동기 효율이 저하된다. 또한 증기의 비체적은 작아야 압축기 배기량과 파이프 경로가 경제적이 되는데, 보기는 비체적이 크다고 했으므로 모순이다. 반면 1번(임계 온도 높고 응고 온도 낮음), 3번(점성 작음), 4번(부식성·독성 없음, 안정성 있음)은 모두 냉매의 바람직한 조건이다.

ⓐ 컵의 물이 증발하여 수증기로 변함은 분자 배열이 무질서해지므로 엔트로피가 증가한다.

엔트로피는 액체→기체(증발)처럼 무질서도가 증가할 때 커지고, 기체→액체(응결)나 단열팽창(가역), 열평형(식음)의 경우는 해당 물질의 엔트로피가 감소하거나 변화가 없다.

• ⓑ 수증기가 응결되어 물이 되는 것은 엔트로피 감소
• ⓒ 가역 단열팽창은 등엔트로피 과정(ΔS=0)
• ⓓ 뜨거운 커피가 식는 것은 커피 자체의 엔트로피는 감소한다.

열역학 제2법칙은 에너지의 양이 아니라 과정(상태변화)이 진행되는 방향을 제시하는 법칙이다. 열은 스스로 저온에서 고온으로 이동할 수 없다는 식으로 자연 과정의 비가역적 방향성을 규정한다.

에너지의 양이나 종류, 총 일의 양을 결정하는 것은 에너지 보존을 다루는 열역학 제1법칙의 영역이다.

이 과정에서 공기가 한 일은 약 305 kJ이다.

그림의 P-V 선도에서 상태 1(P₁ = 800 kPa, V₁ = 0.27 m³)로부터 상태 2(P₂ = 350 kPa, V₂ = 0.80 m³)까지 직선으로 변하므로, 일은 그 직선 아래의 사다리꼴 면적과 같다.

따라서 $W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV=\dfrac{P_1+P_2}{2}\,(V_2-V_1)$ 이다.

대입하면 $W=\dfrac{800+350}{2}\times(0.80-0.27)=575\times 0.53=304.75\,\mathrm{kJ}$ 로 약 305 kJ이다. 질량 8 kg은 이 면적 계산에 쓰이지 않는 조건이며, 평균압력을 쓰지 않고 한쪽 압력만 곱하면 값이 크게 어긋난다.

두 방열판의 복사 열전달량 비는 절대온도의 4제곱에 비례하며, 계산하면 약 1.54이다.

절대온도는 $T_A = 120+273=393\,\mathrm{K}$, $T_B = 80+273=353\,\mathrm{K}$이다.

$\dfrac{Q_A}{Q_B} = \left(\dfrac{T_A}{T_B}\right)^4 = \left(\dfrac{393}{353}\right)^4 \approx 1.54$

오토사이클(Otto cycle)의 열효율 공식은 $\eta = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}$이고, 여기서 $r$은 압축비, $\gamma$는 비열비이다.
주어진 값들을 대입하면 $0.565 = 1 - \frac{1}{r^{1.4-1}}$, 즉 $0.565 = 1 - \frac{1}{r^{0.4}}$
이를 정리하면 $\frac{1}{r^{0.4}} = 1 - 0.565 = 0.435$이므로 $r^{0.4} = \frac{1}{0.435} \approx 2.299$
양변에 $\frac{1}{0.4}$ 제곱을 취하면 $r = 2.299^{2.5} = 2.299^{5/2}$인데, $2.299^{2.5} \approx 8.0$
따라서 압축비는 약 8.0이다.

Clausius 적분은 $\oint \frac{dQ}{T} = \frac{Q_h}{T_h} - \frac{Q_c}{T_c}$로 계산되며, 고열원에서 받은 열은 양수, 저열원에 방출한 열은 음수로 부호를 정한다. 주어진 값을 대입하면 $\oint \frac{dQ}{T} = \frac{20}{550} - \frac{14}{250} = 0.03636 - 0.056 = -0.01964 \approx -0.0196 \text{ kJ/K}$이다.
Clausius 적분이 음수이면 비가역사이클, 0이면 가역사이클, 양수이면 불가능한 사이클을 나타낸다. 계산 결과 음수(-0.0196kJ/K)이므로 이 사이클은 비가역사이클이다.

랭킨사이클의 열효율은 $\eta = \frac{(h_3-h_4)-(h_2-h_1)}{h_3-h_2}$로 계산한다.
터빈일 $w_T = h_3-h_4 = 2799.5-2007.5 = 792.0$ kJ/kg
펌프일 $w_P = h_2-h_1 = 193.8-191.8 = 2.0$ kJ/kg
보일러 공급열 $q_{in} = h_3-h_2 = 2799.5-193.8 = 2605.7$ kJ/kg
따라서 $\eta = \frac{792.0-2.0}{2605.7} = \frac{790.0}{2605.7} \approx 0.303$, 즉 약 30.3%이다.

오토 사이클(Otto cycle)의 이론 열효율은 $\eta = 1 - \frac{1}{r^{k-1}}$로 구하며, 여기서 $r$은 압축비(compression ratio)다.
압축비는 $r = \frac{V_1}{V_2} = \frac{V_s + V_c}{V_c}$로 정의되는데, 극간 체적 $V_c$가 행정 체적 $V_s$의 15%이므로 $V_c = 0.15V_s$
$r = \frac{V_s + 0.15V_s}{0.15V_s} = \frac{1.15V_s}{0.15V_s} = \frac{1.15}{0.15} = 7.667$
열효율을 계산하면 $\eta = 1 - \frac{1}{(7.667)^{1.4-1}} = 1 - \frac{1}{(7.667)^{0.4}}$
$(7.667)^{0.4} = e^{0.4 \ln(7.667)} = e^{0.4 \times 2.038} = e^{0.815} \approx 2.259$이므로
$\eta = 1 - \frac{1}{2.259} = 1 - 0.443 = 0.557 = 55.7\%$

이 사이클은 가역 사이클이므로 한 바퀴 순환 후 시스템은 원래 상태로 돌아와 모든 상태함수(내부에너지, 엔트로피)의 변화량은 0이 된다. 따라서 '이 그림으로 사이클 과정 동안 총 엔트로피 변화량을 알 수 없다'는 틀린 설명이다(가역 사이클이므로 $\oint \frac{\delta Q}{T}=0$, 즉 엔트로피 변화량은 0으로 명확히 알 수 있다).

• 내부에너지 변화량 0: 상태함수의 변화량이 0이므로 옳다.
• 외부로부터 순일을 받음: P-V 선도에서 1→A→2 경로가 위쪽(압력이 큰 경로)이고 2→B→1 경로가 아래쪽이므로, 팽창 시 한 일(A 아래 면적)보다 압축 시 받은 일(B 아래 면적)이 더 커서 사이클 전체로는 외부로부터 순일을 받는(역방향 사이클) 형태이므로 옳다.
• 내부에서 외부로 순열 전달: 열역학 제1법칙에 의해 받은 일만큼 열을 외부로 방출하므로 옳다.

이상기체의 비열 관계식으로 정압비열을 구하면 약 1.86 kJ/(kg·K)이다.

$c_p - c_v = R$, $k = c_p/c_v$ 관계를 정리하면 $c_p = \dfrac{kR}{k-1}$이다.

$c_p = \dfrac{1.33\times0.462}{1.33-1} \approx 1.86\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

카르노사이클의 열효율식으로 일의 양을 구하면 약 76 kJ이다.

절대온도는 $T_H = 200+273=473\,\mathrm{K}$, $T_L = 20+273=293\,\mathrm{K}$이며, 카르노 효율은 $\eta = 1-\dfrac{T_L}{T_H} = 1-\dfrac{293}{473} \approx 0.381$이다.

일은 $W = \eta Q = 0.381\times200 \approx 76\,\mathrm{kJ}$이다.

압력이 일정한 과정에서는 샤를의 법칙에 따라 부피와 절대온도가 비례하므로, 부피가 2배가 되면 절대온도도 2배가 된다.

초기 절대온도는 $T_1 = 20+273=293\,\mathrm{K}$이므로 $T_2 = 2\times293 = 586\,\mathrm{K}$이고, 섭씨온도로는 $586-273=313\,^\circ\mathrm{C}$이다.

정압과정에서 가해진 열량은 $Q = mc_p\Delta T$로 계산된다.
주어진 값을 대입하면 $323 = 1.0 \times 1.0 \times \Delta T$이므로 $\Delta T = 323 \text{ K}$
초기 온도는 $T_1 = 50 + 273 = 323 \text{ K}$이므로 최종 온도는 $T_2 = 323 + 323 = 646 \text{ K}$
정압과정에서 이상기체는 부피가 절대온도에 비례하므로($\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$)
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{646}{323} = 2$

변화된 저항력은 2D이다.

물체가 받는 항력은 $D=C_D\cdot\dfrac{1}{2}\rho V^2 A$ 로, 항력계수에 비례하고 속도의 제곱에 비례한다.

속도가 2배가 되면 V² 항이 4배가 되고, 항력계수가 1/2로 줄면 다시 절반이 된다.

따라서 $D'=\left(\dfrac{1}{2}C_D\right)\cdot\dfrac{1}{2}\rho (2V)^2 A=\dfrac{1}{2}\times 4\times D=2D$ 이다. 항력계수가 절반이 된 것만 반영하고 속도 변화를 빠뜨리면 D의 절반이라는 답이, 반대로 속도의 제곱만 반영하고 항력계수 감소를 빠뜨리면 D의 4배라는 답이 나온다. 두 변화를 반드시 함께 곱해야 한다.

비압축성 유체의 연속방정식 $A_1V_1 = A_2V_2$를 이용하면 좁은 관에서의 평균유속은 약 4.8 m/s이다.

$V_1 = \dfrac{A_2V_2}{A_1} = \dfrac{20\times2.4}{10} = 4.8\,\mathrm{m/s}$이며, 단면적이 절반으로 줄어든 만큼 유속은 2배로 커진다.

레이놀즈수 $Re = \dfrac{\rho V D}{\mu}$에 물의 밀도(약 $1000\,\mathrm{kg/m^3}$)와 주어진 값을 대입하면 약 1666.7이 된다.

$Re = \dfrac{1000\times1\times0.0025}{1.5\times10^{-3}} \approx 1666.7$이며, 이는 층류·난류를 가르는 임계 레이놀즈수(약 2100)보다 작아 층류 영역에 해당한다.

표면장력은 기본 형태의 Navier-Stokes 방정식에 나타나지 않으며, 표면장력이 지배적인 미소 유동(예: 모세관 유동, 기포 운동)에서만 별도의 경계 조건으로 추가되어야 한다.

비압축성 유동의 Navier-Stokes 방정식은 $\rho\frac{D\vec{V}}{Dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec{V} + \rho\vec{g}$ 형태로, 나머지 힘은 각각 명시적으로 포함된다.

• 체적력(중력): $\rho\vec{g}$ 항
• 압력: $-\nabla p$ 항
• 점성력: $\mu\nabla^2\vec{V}$ 항

수문은 수은 2m 구간에 작용하는 압력만 고려한다(수은 위 물은 힌지 위쪽에 있어 A점 모멘트에 직접 작용하지 않는 구간으로, 수문 하단 2m가 수은에 잠겨있음). 수은에 의한 압력분포는 삼각형이며, 힌지(O)를 기준으로 모멘트 평형을 세운다.
수은 작용 구간(2m)에서 합력 $F_1 = \gamma_{Hg} \cdot h_{avg} \cdot A = (13.6\times9.81)\times1\times(2\times3) = 800.5\,kN$, 작용점은 수은구간 하단에서 $2/3\times2=1.33m$ 위, 즉 힌지로부터 $3.2+2-1.33=3.87m$ 아래.
A점(맨 아래, 힌지로부터 $3.2+2=5.2m$)에서 모멘트 평형: $F_A \times 5.2 = F_1 \times (5.2-3.87)$이 아니라 직접 A에 대한 모멘트로 계산하면, 삼각형 압력분포의 합력 작용점을 A로부터의 거리로 환산해 $F_A = F_1 \times \dfrac{(2/3)\times2}{2} \approx 586\,kN$이 되어, 계산 결과 약 586 kN으로 정답과 일치한다.

수력구배선은 위치수두와 압력수두의 합을 나타내는 선으로, 속도수두만큼 에너지선 아래에 위치한다.

에너지선보다 위에 있다거나 항상 수평선이라는 설명은 옳지 않으며, 위치수두와 속도수두의 합을 나타낸다는 것은 수력구배선의 정의가 아니다.

토리첼리 정리에서 유속(유량)은 $V=\sqrt{2gh}$에 비례하므로, 유량을 2배로 하려면 유효수두 $h$를 4배로 늘려야 한다($Q\propto\sqrt{h}$이므로 $2=\sqrt{h'/h}$ → $h'=4h$). 기존 수두가 1m이므로 새로운 유효수두는 4m가 되어야 하며, 이는 피스톤이 가하는 압력에 의한 추가 수두 3m가 필요함을 의미한다.
피스톤 압력에 의한 수두 $h_p=\dfrac{W}{\rho g A}$이므로 $3=\dfrac{W}{1000\times1}$에서 $W=3000$kg (탱크 단면적 $A=1\text{m}^2$). 따라서 약 3000kg의 피스톤이 필요하다.

완전난류(완전히 발달한 난류)에서 원관 내 압력강하는 Darcy-Weisbach 식으로 표현된다.
$\Delta p = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho V^2}{2}$
완전난류에서 마찰계수 f는 상대조도에만 의존하고 Reynolds 수에 거의 무관하므로(Moody 선도에서 난류완전영역) f는 상수로 간주할 수 있다. 따라서 $\Delta p \propto V^2$이다.
속도를 V에서 2V로 증가시키면
$\Delta p_2 = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho (2V)^2}{2} = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho \cdot 4V^2}{2} = 4 \cdot f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho V^2}{2} = 4\Delta p_1$
이므로 압력강하는 4배가 된다.

속도의 크기가 √5가 되는 점은 (1, 1)과 (1, 2)이다.

유동함수의 정의 $u=\dfrac{\partial \psi}{\partial y}$, $v=-\dfrac{\partial \psi}{\partial x}$ 에 $\psi=y-x^2$ 을 대입하면 $u=1$, $v=2x$ 를 얻는다.

따라서 속도의 크기는 $V=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{1+4x^2}$ 로 y와는 무관하고 x에만 의존한다. 이를 √5와 같게 두면 $1+4x^2=5$, 즉 $x=\pm 1$ 이다.

주어진 세 점 중 (1, 1)과 (1, 2)는 x = 1이므로 조건을 만족하고, (2, 1)은 $\sqrt{1+4\times 2^2}=\sqrt{17}$ 이 되어 만족하지 않는다.

제곱근 안이 속도의 제곱 차원이 되므로 이 양의 차원은 L/T, 즉 속도와 같다.

발문의 식은 $\sqrt{\dfrac{\Delta P}{\rho}}$ 이고, 압력은 단위면적당 힘이므로 $[\Delta P]=\dfrac{MLT^{-2}}{L^{2}}=ML^{-1}T^{-2}$, 밀도는 $[\rho]=ML^{-3}$ 이다.

두 값을 나누면 $\dfrac{ML^{-1}T^{-2}}{ML^{-3}}=L^{2}T^{-2}$ 이고,
제곱근을 취하면 $LT^{-1}=\dfrac{L}{T}$ 가 된다.

질량 M이 약분되어 사라지는지 먼저 확인하는 것이 판정 요령이며, 이 조합은 음속 $c=\sqrt{dP/d\rho}$ 처럼 실제로 속도를 주는 형태다.

마노미터 압력 평형식 P_A + ρ_liquid·g·h = P_atm + ρ_Hg·g·H에서 계기압력 P_A(gauge) = ρ_Hg·g·H − ρ_liquid·g·h로 구한다. 대입하면 $P_A = 13.6\times1000\times9.81\times0.5 - 900\times9.81\times0.3$ = $66708 - 2648.7 = 64059\ \text{Pa}$ ≈ 63.9 kPa이 되어 정답과 일치한다.

원관 100m 길이에서의 수두손실은 약 24.9 m이다. 관 내 유동에서 수두손실을 구하기 위해 먼저 레이놀즈 수를 구해 유동 상태를 판정한다.

유속 $V = \frac{Q}{A} = \frac{20 \times 10^{-3}}{π(0.05)^2} = \frac{0.02}{0.00785} ≈ 2.55 \text{ m/s}$
레이놀즈 수 $Re = \frac{VD}{ν} = \frac{2.55 × 0.1}{3 × 10^{-4}} = \frac{0.255}{3 × 10^{-4}} = 850$
이므로 층류 상태다($Re < 2300$).

층류에서 마찰계수는 $f = \frac{64}{Re} = \frac{64}{850} ≈ 0.0753$이다. 다르시-바이스바흐 공식으로 수두손실을 계산하면
$h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} = 0.0753 × \frac{100}{0.1} × \frac{(2.55)^2}{2 × 9.81} = 0.0753 × 1000 × \frac{6.50}{19.62} = 75.3 × 0.331 ≈ 24.9 \text{ m}$

동점성계수와 밀도의 관계식 $\mu = \rho \nu$를 이용하면 점성계수는 약 1.2 Pa·s이다.

동점성계수는 $\nu = 10\,\mathrm{cm^2/s} = 1\times10^{-3}\,\mathrm{m^2/s}$이고 비중 1.2인 유체의 밀도는 $\rho = 1200\,\mathrm{kg/m^3}$이다.

$\mu = 1200\times1\times10^{-3} = 1.2\,\mathrm{Pa\cdot s}$

점성이 지배하는 아주 느린 흐름에서는 $\dfrac{F}{D\mu V}$ 가 무차원 상수가 된다.

각 물리량의 차원은 $[F]=MLT^{-2}$, $[D]=L$, $[\mu]=ML^{-1}T^{-1}$, $[V]=LT^{-1}$ 이다.

분모를 곱해 보면
$[D\mu V]=L\cdot ML^{-1}T^{-1}\cdot LT^{-1}=MLT^{-2}$
로 힘의 차원과 정확히 같아, 힘을 이 곱으로 나눈 비만 무차원이 된다.

지수를 $1/2$ 이나 $2$ 로 바꾸거나 속도를 제곱한 조합은 분모 차원이 $MLT^{-2}$ 에서 벗어나 무차원이 되지 못한다. 이 결과는 스토크스 저항식 $F=3\pi\mu VD$ 와도 일치한다.

가는 관 내부의 층류 유동을 이용하는 Hagen-Poiseuille 법칙에 기초한 세관식(모세관식) 점도계는 세이볼트(Saybolt) 점도계이다.

맥미셸·스토머 점도계는 회전체를 이용하는 회전식 점도계이며, 낙구식 점도계는 구가 낙하하는 속도로 점성을 측정하는 스토크스 법칙 기반 점도계이다.

점성마찰을 무시하고 프루드 상사법칙을 적용하면, 속도비는 길이비의 제곱근에 비례한다.

길이비는 $L_r = \dfrac{100}{5} = 20$이므로 속도비는 $\sqrt{L_r} = \sqrt{20} \approx 4.47$이다.

모형선의 속도는 $V_m = \dfrac{V_s}{\sqrt{L_r}} = \dfrac{40}{4.47} \approx 8.94\,\mathrm{km/h}$이다.

통에 남아 있는 물의 양은 4 m³이다. 수평 가속도 $a_x = 9.8\, m/s^2$이면 수면 기울기는 $\tan\theta = a_x/g = 9.8/9.8 = 1$로 45°가 된다.

즉 물통 뒤쪽 벽에서 수면이 위 모서리에 닿고 앞쪽 벽 바닥까지 수면이 직선으로 내려가는 형태가 되어, 넘친 후 남은 물의 단면은 밑변 2m, 높이 2m인 직각삼각형이 된다.

단면적: $\frac{1}{2}\times 2\times 2 = 2\, m^2$
폭(안길이) 2m를 곱한 남은 물의 부피: $2 \times 2 = 4\, m^3$

모세관 상승 높이는 표면장력과 액주 무게의 힘의 평형으로 구한다. 표면장력에 의한 상승력은 $\pi d \sigma \cos\theta$이고, 이를 지지하는 액주의 무게는 $\rho g \dfrac{\pi d^2}{4} h$이다.

두 식을 같다고 놓으면
$\pi d \sigma \cos\theta = \rho g \dfrac{\pi d^2}{4} h$
이를 $h$에 대해 정리하면
$h = \dfrac{4\sigma\cos\theta}{\rho g d}$
가 되며, 이 식의 형태와 일치하는 보기가 정답이다.

평판에 작용하는 힘은 F = ρQV = ρAV²로 구한다. 단면적 $A = \dfrac{\pi}{4}(0.05)^2 = 1.963\times10^{-3}\,m^2$, 밀도 $\rho = 0.83\times1000 = 830\,kg/m^3$이므로 $F = 830\times1.963\times10^{-3}\times12^2 = 234.7\,N$이 되어 234.7 N이 정답이다.

배제두께는 $\delta^* = \int_0^\delta \left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$로 정의된다.

$u/U = \sin(\pi y / 2\delta)$를 대입하면
$\delta^* = \int_0^\delta \left[1 - \sin\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right)\right] dy = \delta - \left[-\frac{2\delta}{\pi}\cos\left(\frac{\pi y}{2\delta}\right)\right]_0^\delta$
계산하면
$\delta^* = \delta - \frac{2\delta}{\pi}(0-(-1)) = \delta - \frac{2\delta}{\pi}$
이므로 $\delta^*/\delta = 1 - 2/\pi \approx$이다.

펌프 동력은 $P = \rho g Q H_p$로 구하며, 여기서 $H_p$는 펌프 양정(펌프가 물에 해줘야 할 에너지)이다. 먼저 흡입·토출 단면의 유속을 구하면, 흡입관 단면적 $A_1 = \pi(0.1)^2 = 0.01\pi \text{ m}^2$, 토출관 단면적 $A_2 = \pi(0.075)^2 = 0.005625\pi \text{ m}^2$이므로 $v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{6/60}{0.01\pi} = \frac{0.1}{0.01\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3.18 \text{ m/s}$, $v_2 = \frac{0.1}{0.005625\pi} = \frac{17.78}{\pi} \approx 5.66 \text{ m/s}$이다.
베르누이 방정식으로 펌프 양정을 구하면 $H_p = \frac{\Delta P}{\rho g} + \Delta z + \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g}$이다. 토출압력과 흡입압력의 차이는 $\Delta P = 147 - (-20) = 167 \text{ kPa} = 167000 \text{ Pa}$, 높이차 $\Delta z = 1.5 \text{ m}$, 동압 차이 $\frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = \frac{(5.66)^2 - (3.18)^2}{2 \times 9.8} = \frac{32.04 - 10.11}{19.6} = \frac{21.93}{19.6} \approx 1.12 \text{ m}$이다.
따라서 $H_p = \frac{167000}{1000 \times 9.8} + 1.5 + 1.12 = 17.04 + 1.5 + 1.12 = 19.66 \text{ m}$이다.
펌프 동력은 $P = \rho g Q H_p = 1000 \times 9.8 \times \frac{6}{60} \times 19.66 = 9800 \times 0.1 \times 19.66 = 980 \times 19.66 = 19,266 \text{ W} \approx 19.3 \text{ kW}$이다.

수차의 이론출력은 $P = \rho g Q H$ 공식으로 구한다. 여기서 $\rho g$는 물의 비중량 9800 N/m³, $Q$는 유량 200 m³/s, $H$는 유효 낙차 93 m이다. $P = 9800 \times 200 \times 93 = 1,823,200,000 \text{ W} = 182.32 \text{ MW}$이므로, 반올림하면 182 MW이다.

안내깃(가이드 베인)은 다단펌프나 특정 고성능 설계에서만 사용되고 단단펌프에서는 생략 가능한 선택 구성품이다. 원심펌프의 필수 구성품은 회전차(임펠러), 케이싱, 펌프축이다.

• 회전차(Impeller): 액체를 흡입·가압하는 핵심 회전 부품으로 필수 요소이다.
• 케이싱(Casing): 압력을 형성하는 외함으로 필수 요소이다.
• 펌프축(Pump shaft): 회전차를 구동하는 축으로 필수 요소이다.

반면 안내깃은 유동 방향을 제어하여 효율을 높이거나 맥동을 감소시키는 보조 부품으로, 구조를 단순화하고 비용을 절감하려면 생략해도 펌프의 기본 기능(흡입·배출)은 작동 가능하다.

서지탱크에 대한 설명이 틀렸다. 서지탱크(surge tank)의 역할은 관내 압력변화를 크게 하는 것이 아니라 완화하고 흡수하여 압력변화를 작게 유지함으로써 수격현상을 방지하는 것이기 때문이다.

• 기동·정지·부하 급변 시 유입수량 급변으로 수격현상 발생: 수격현상(water hammer)은 수차의 갑작스러운 부하 변화로 인해 유입수량이 급변할 때 발생하므로 정확하다.
• 진동의 원인이 되고 수관을 파괴하기도 함: 수격현상은 진동과 수관 파괴의 원인이 되므로 정확하다.
• 케이싱의 압력조절기로 방출유량 조절: 압력조절기(governor)는 부하 변화에 따라 수차의 유입수량을 조절함으로써 관내 압력변화를 완화하여 수격현상을 방지하는 장치로 올바른 설명이다.