21년 3회차

단순보에 집중하중 P가 A점으로부터 a, B점으로부터 b(a+b=L) 거리에 작용할 때, 양단 처짐각은 다음과 같이 구해진다.
$\theta_A = \dfrac{Pab(L+b)}{6LEI}$, $\theta_B = \dfrac{Pab(L+a)}{6LEI}$

따라서 $\dfrac{\theta_A}{\theta_B} = \dfrac{L+b}{L+a} = \dfrac{3}{4}$가 성립한다. 여기에 $a = L-b$를 대입하면
$4(L+b) = 3(L+(L-b)) = 3(2L-b)$
$4L+4b = 6L-3b$, $7b = 2L$
즉 b = 2L/7이 된다.

탄성변형 에너지는 응력과 변형률의 곱을 재료 전체에 대해 적분한 값이다.

인장하중 P에 의해 길이 δ만큼 늘어났을 때, 응력 $\sigma = \frac{P}{A}$, 변형률 $\varepsilon = \frac{\delta}{L}$이고, 훅의 법칙 $\sigma = E\varepsilon$에서 $P = \frac{AE\delta}{L}$이다.
탄성변형 에너지는 하중과 변위의 곱의 절반이므로
$U = \frac{1}{2}P\delta = \frac{1}{2} \cdot \frac{AE\delta}{L} \cdot \delta = \frac{AE\delta^2}{2L}$이다.

이는 단위 부피당 에너지밀도 $\frac{1}{2}E\varepsilon^2$를 전체 부피 AL에 곱한 결과와도 일치한다.

허용인장응력 42MPa 범위 내에서 안전하게 사용할 수 있는 최대 내압은 1.4MPa이다.

구형 압력용기의 내압에 따른 응력은 다음 공식으로 계산된다. 여기서 p는 내압, d는 지름, t는 두께이다.
${\sigma = \frac{pd}{4t}}$

주어진 값을 대입하면
${42 = \frac{p \times 1200}{4 \times 10}}$
${42 = \frac{1200p}{40} = 30p}$
${p = \frac{42}{30} = 1.4\text{ MPa}}$이다.

모멘트평형(A점 기준)을 적용하면 $R_B \times 10 - 200 = 0$이므로 $R_B = 200/10 = 20\,\text{kN}$이다. 우력은 지점 위치와 무관하게 크기 200kN·m가 전체 경간 10m에 대해 작용하므로, 우력 작용점(중앙)의 위치는 반력 계산에 영향을 주지 않는다. 따라서 R_B = 20kN이다.

자유단에 집중하중 P가 작용하는 외팔보에서 고정단으로부터 거리 $x$인 단면의 굽힘모멘트는 $M(x) = -Px$이다. 굽힘 변형에너지는 $U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI}dx$이므로, $U = \int_0^L \frac{P^2x^2}{2EI}dx = \frac{P^2}{2EI}\cdot\frac{L^3}{3} = \frac{P^2L^3}{6EI}$가 되어 P²L³/6EI 형태의 보기가 정답이다.

고정단(벽)에서의 굽힘모멘트가 최대이며, 각 하중에 의한 모멘트를 합산한다: 하단 지지점의 2P(상향)는 자유단에 작용하여 고정단에 $2P \times L$의 모멘트를 발생시키고, 상단의 2P(하향)는 $L/2$ 지점에 작용하여 $2P \times L/2 = PL$의 모멘트를 반대 방향으로 발생시킨다. 두 모멘트는 서로 반대 방향이므로 고정단에서의 합성 굽힘모멘트는 $2PL - PL = PL$이 되어 최대굽힘모멘트는 PL이다.

일단 고정 타단 지지보(propped cantilever beam)에 등분포하중이 작용할 때 고정단 모멘트는 M_B = wl²/8이다. 하중은 w = 4 kN/cm = 400 kN/m, l = 8 m이므로 M_B = 400×8²/8 = 400×64/8 = 3200 kN·m이다.

경사각 $\theta$는 축과 경사면 사이의 각으로, 그림에서 경사면과 수평축 사이의 각이 30°이므로 법선과 축 사이의 각은 $60°$이다.

단면적 $A = 8 \times 24 = 192\,mm^2$
기본응력 $\sigma = P/A = 15000/192 = 78.1\,MPa$
경사면의 수직응력은 $\sigma_n = \sigma \cos^2\theta = 78.1 \times \cos^2 60^\circ = 78.1 \times 0.25 = 19.5\,MPa$로 계산된다.

좌굴하중은 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{L_e^2}$이며, 유효길이 $L_e$는 A(일단고정타단자유, $L=\ell$)는 $2\ell$, B(양단회전, $L=2\ell$)는 $2\ell$, C(양단고정, $L=3\ell$)는 $1.5\ell$이다. 따라서 A와 B는 유효길이가 같아 A = B이고, C는 유효길이가 더 짧아 좌굴하중이 더 크므로 A = B ＜ C가 된다.

길이와 지름을 모두 10% 증가시키면 비틀림강성은 약 1.33배(또는 $(1.1)^3 = 1.331$)로 증가한다.

토션바의 비틀림강성은 $K_t = \frac{GI_p}{L}$로 정의되며, 여기서 $G$는 전단탄성계수, $I_p$는 극관성모멘트, $L$은 길이다. 원형단면의 극관성모멘트는 $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$이므로 $d^4$에 비례한다.

$L' = 1.1L$, $d' = 1.1d$이므로 새로운 비틀림강성은
$K_t' = \frac{G(1.1d)^4}{32 \times 1.1L} = \frac{G \times 1.4641d^4}{32 \times 1.1L} = \frac{1.4641}{1.1} \times \frac{Gd^4}{32L} = 1.331 \times K_t$가 된다.

자중에 의한 봉의 신장량은 $\delta = \dfrac{\gamma L^2}{2E}$로 표현된다. 이 식에서 비중량(γ)에 정비례하므로 1번은 틀리고, 길이의 제곱에 비례하므로 2번(정비례)도 틀리며, 세로탄성계수(E)에 반비례하므로 3번도 틀리다. 단면적 A는 자중(=γ·A·L)과 단면적에 걸리는 응력 계산 과정에서 서로 상쇄되어 식에 나타나지 않으므로, 신장량은 단면적과 무관하다.

극관성모멘트는 $J = I_x + I_y = \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{hb^3}{12}$로 구한다. $I_x = \dfrac{6 \times 12^3}{12} = 864\ \text{cm}^4$, $I_y = \dfrac{12 \times 6^3}{12} = 216\ \text{cm}^4$이므로 $J = 864 + 216 = 1080\ \text{cm}^4$로 1080이 된다.

외팔보 자유단 처짐은 각 하중에 의한 처짐을 중첩하여 구한다.

집중하중 P에 의한 자유단 처짐은 $\delta_P = \dfrac{Pl^3}{3EI}$이고, 굽힘모멘트 $M_o$에 의한 자유단 처짐은 $\delta_{M_o} = \dfrac{M_o l^2}{2EI}$이다.

두 하중이 그림처럼 같은 방향(자유단을 아래로 처지게 하는 방향)으로 작용하므로 전체 처짐은
$\delta = \dfrac{Pl^3}{3EI} + \dfrac{M_o l^2}{2EI}$가 된다.

압축 코일 스프링의 처짐량 공식으로 구하면 감은 횟수는 약 6.3이다.

처짐량 공식은 $\delta = \frac{8PD^3n}{Gd^4}$이며, 여기서 P는 하중, D는 평균지름, n은 감은 횟수, G는 가로탄성계수, d는 철사지름이다. 주어진 값을 정리하면 P = 10N, D = 75mm, δ = 30mm(3cm), G = 88GPa = 88,000MPa, d = 3mm이다.

공식을 n에 대해 정렬하면
$n = \frac{\delta Gd^4}{8PD^3}$
값을 대입하면
$n = \frac{30 \times 88,000 \times 3^4}{8 \times 10 \times 75^3} = \frac{30 \times 88,000 \times 81}{8 \times 10 \times 421,875} = \frac{213,840,000}{33,750,000} \approx 6.34$이다.

경사면의 전단응력은 $\tau = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\theta$로 구하며, $\theta=45°$이므로 $\sin 90°=1$이 되어 $\tau = \frac{200-(-200)}{2} = 200\,\text{MPa}$이다. 전단변형률은 $\gamma = \tau/G$이므로 $\gamma = \frac{200\,\text{MPa}}{80000\,\text{MPa}} = 0.0025$로 계산되어 0.0025가 된다.

탄성구간(직선구간)에서 세로탄성계수 E = 응력/변형률로 구한다. 그래프에서 직선 구간의 끝점은 σ=260 MPa, ε=0.0016이므로, $E = \dfrac{260}{0.0016} \approx 162{,}500\ \text{MPa} = 162.5\ \text{GPa}$이다.

최대전단응력 10MPa를 생기게 하는 비틀림 모멘트는 약 118 N·m이다.

속이 빈 원형축의 비틀림에서 최대전단응력은 $\tau_{max} = \frac{T \cdot r_o}{I_p}$로 구하며, 여기서 $I_p$는 극단면2차모멘트다. 속이 빈 원형단면의 극단면2차모멘트는
$I_p = \frac{\pi}{32}(d_o^4 - d_i^4) = \frac{\pi}{32}(4^4 - 2^4) = \frac{\pi}{32}(256 - 16) = \frac{\pi}{32} \times 240 = 7.5\pi \text{ cm}^4 = 7.5\pi \times 10^{-8} \text{ m}^4$
이고, 바깥반지름 $r_o = 0.02 \text{ m}$이다.

비틀림 모멘트를 구하면
$T = \frac{\tau_{max} \cdot I_p}{r_o} = \frac{10 \times 10^6 \times 7.5\pi \times 10^{-8}}{0.02} = \frac{750\pi \times 10^{-2}}{0.02} = \frac{7.5\pi}{0.02} = 375\pi \approx 1178 \text{ N·m}$이다.
그러나 계산을 재확인하면 $I_p = 7.5\pi \text{ cm}^4 = 7.5\pi \times 10^{-8} \text{ m}^4$일 때
$T = \frac{10^7 \times 7.5\pi \times 10^{-8}}{0.02} = \frac{75\pi}{0.02} \approx 117.8 \text{ N·m}$로 약 118 N·m이다.

반원형 단면에서 도심까지의 거리는 밑변(지름)으로부터 e₁ = 4r/3π이고, 상단(호)까지의 거리는 e₂ = r - 4r/3π이다. 굽힘응력은 중립축(도심)에서의 거리에 비례하므로 σ_t/σ_c = e₁/e₂ = (4r/3π) / (r - 4r/3π)이다.
수치 계산: 4/3π ≈ 0.4244이므로 e₁ ≈ 0.4244r, e₂ ≈ 1 - 0.4244 = 0.5756r이다.
따라서 σ_t/σ_c = 0.4244/0.5756 ≈ 0.737이다.

세로탄성계수(영(Young's)계수) E는 응력과 변형률의 비로 정의되므로, 먼저 응력을 구한 뒤 변형률로 나누면 349 GPa이다.

단면적 $A = \pi r^2 = \pi \times (6)^2 = 113.1 \text{ mm}^2$
응력 $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000 \text{ N}}{113.1 \text{ mm}^2} = \frac{10,000}{113.1 \times 10^{-6}} = 88.4 \times 10^6 \text{ Pa}$
세로탄성계수 $E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{88.4 \times 10^6}{0.000253} = 349.4 \times 10^9 \text{ Pa} \approx 349 \text{ GPa}$

힘의 평형 조건 $\sum F_x = 0$, $\sum F_y=0$을 적용하면 F₁=632.4N, F₂=395.2N이 성립한다.

F₂는 3-4-5 삼각형에서 $\cos\theta=4/5$, $\sin\theta=3/5$이고, F₁은 x축과 60°를 이룬다.
x방향: $F_2\cdot(4/5) = F_1\cos60°$
y방향: $F_1\sin60° + F_2\cdot(3/5) = 784.8$

첫 식에서 $F_1 = 1.6F_2$를 대입하면
$1.6F_2\times0.866 + 0.6F_2 = 784.8$ → $1.986F_2=784.8$ → $F_2 ≈ 395.2N$
따라서 $F_1 = 1.6\times395.2 ≈ 632.4N$이다.

브레이턴 사이클의 열효율은 $\eta = 1 - \frac{1}{\gamma^{(k-1)/k}}$이고, 여기서 $(k-1)/k = 0.3/1.3 = 0.2308$이다.
현재: $\eta = 1 - 3^{-0.2308} = 1 - 0.776 = 0.224$이므로 X ≈ 22.4%이다.
목표 효율 34.4%를 대입하면 $\gamma^{0.2308} = \frac{1}{1-0.344} = 1.524$이고, $\gamma = 1.524^{1/0.2308} \approx 6.2$이므로 압력비는 약 6.2이다.

밀도는 질량을 부피로 나눈 값이므로, 첫 번째 상자의 밀도는 $\rho = \frac{m}{a^3}$이다. 두 번째 상자의 부피는 $(2a)^3 = 8a^3$이고 질량이 2m이므로, 새로운 밀도는 $\rho' = \frac{2m}{8a^3} = \frac{2m}{8a^3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{a^3} =$이다.

Carnot 열기관에 공급되는 열량은 387 kW이다.

Carnot 열기관의 효율은 $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$이고, 효율의 정의에서 $\eta = \frac{W}{Q_H}$이므로 공급열량을 구할 수 있다.

먼저 절대온도로 변환하면
$T_H = 500 + 273 = 773 \text{ K}$, $T_C = 100 + 273 = 373 \text{ K}$
Carnot 효율은 $\eta = 1 - \frac{373}{773} = 1 - 0.483 = 0.517$
생산되는 일 $W = 200 \text{ kW}$이므로 $Q_H = \frac{W}{\eta} = \frac{200}{0.517} = 387 \text{ kW}$이다.

수은 기압계에서 기압은 P = ρgh 공식으로 구한다. 주어진 값: 수은 밀도 ρ = 13534 kg/m³, 수은주 높이 h = 730 mm = 0.73 m, 중력가속도 g = 9.8 m/s²를 대입하면 P = 13534 × 9.8 × 0.73 = 96,889 Pa ≈ 96.9 kPa이다. 따라서 정답은 2번이다.

이상기체 상태방정식 $PV = mRT$를 이용하면 이 기체의 기체상수는 약 0.264 kJ/(kg·K)이다.

온도는 절대온도로 바꿔 $T = 30 + 273 = 303\,\mathrm{K}$를 사용한다.

$R = \dfrac{PV}{mT} = \dfrac{200 \times 0.8}{2 \times 303} \approx 0.264\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

흑체가 방사하는 복사 에너지는 Stefan-Boltzmann 법칙을 따르므로 $P \propto T^4$이며, 방사 에너지는 약 2.1배가 됩니다.

초기 온도 $T_1 = 20°C = 293\text{ K}$, 최종 온도 $T_2 = 80°C = 353\text{ K}$일 때, 방사 에너지의 비는
$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = \left(\frac{353}{293}\right)^4$
$\frac{353}{293} \approx 1.205$이므로 $(1.205)^4 \approx 2.10$입니다.

정압과정에서 계가 한 일은 W = P(V₂-V₁)로 계산한다. 대입하면 $W = 300 \text{kPa} \times (0.2 - 0.05)\text{m}^3 = 300 \times 0.15 = 45 \text{kJ}$이므로 계가 한 일은 45kJ이다.

유리창을 통한 전도열전달량을 먼저 구한다. $q_{cond} = k\frac{\Delta T}{L} = 1.4 \times \frac{30-27}{0.006} = 1.4 \times 500 = 700 \text{ W/m}^2$
정상상태에서 내부 표면에 도달하는 열량은 창을 통한 전도열과 같으므로, 외기에서 외부 표면으로 전달되는 열도 700 W/m²이다. 외기에서의 열전달은 대류와 복사의 합이고, 문제에서 복사열전달이 대류열전달의 50배라고 했으므로 $q_{rad} = 50 \times q_{conv}$이다.
$q_{rad} + q_{conv} = 700$에 위 관계식을 대입하면 $50q_{conv} + q_{conv} = 700$, 즉 $51q_{conv} = 700$이고 $q_{conv} = \frac{700}{51} \approx 13.73 \text{ W/m}^2$이다.
대류열전달 공식 $q_{conv} = h(T_{air} - T_{surface}) = h(36 - 30)$에서 $h = \frac{13.73}{6} \approx 2.29 \text{ W/(m}^2\text{·K)}$이다.

카르노 냉동기의 성적계수(COP)는 $COP = \frac{T_L}{T_H - T_L}$ 공식으로 구한다. 주어진 온도를 절대온도로 변환하면 고열원 $T_H = 157 + 273 = 430\text{ K}$, 저열원 $T_L = 27 + 273 = 300\text{ K}$이다. 대입하면 $COP = \frac{300}{430 - 300} = \frac{300}{130} \approx 2.31$로, 약 2.3이다.

열역학 제1법칙 $Q = \Delta U + W$에서 외부에서 받은 열량이 모두 내부에너지 변화만을 가져온다는 것은 일(W)이 0이어야 함을 의미한다. 일이 0이 되려면 부피 변화가 없어야 하므로 이는 정적변화(등적변화)의 정의와 일치한다. 정압변화는 압력이 일정하며 부피가 변해 일이 발생하고, 등온변화는 $\Delta U = 0$이므로 열이 모두 일로 전환되며, 단열변화는 $Q = 0$이므로 조건에 맞지 않는다.

선형적으로 변화하는 가역 팽창 과정에서 시스템이 한 일은 30 kJ이다.

압력과 체적의 관계를 직선 방정식으로 나타내면 $P = a + bV$ 형태이다. 초기·최종 상태를 대입하면
$200 = a + 0.1b$, $100 = a + 0.3b$
이므로 $b = -500$, $a = 250$이고, 따라서 $P = 250 - 500V$이다.

가역 팽창 과정의 일은
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{0.1}^{0.3} (250 - 500V) \, dV = \left[250V - 250V^2\right]_{0.1}^{0.3}$
계산하면
$W = (250 \times 0.3 - 250 \times 0.09) - (250 \times 0.1 - 250 \times 0.01) = (75 - 22.5) - (25 - 2.5) = 52.5 - 22.5 = 30 \text{ kJ}$이다.

수소를 이상기체로 보고 비체적 $v = RT/P$를 구하면 약 15.5 m³/kg이다.

수소의 비기체상수는 일반기체상수를 분자량으로 나눠 $R = \dfrac{8.3145}{2} \approx 4.157\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$이다.

온도를 절대온도로 바꾸면 $T = 100 + 273 = 373\,\mathrm{K}$이므로 $v = \dfrac{RT}{P} = \dfrac{4.157 \times 373}{100} \approx 15.5\ \mathrm{m^3/kg}$이다.

정압 과정의 엔트로피 변화는 $\Delta S = m c_p \ln\dfrac{T_2}{T_1}$이며, 주어진 엔탈피식 $h=5.238T$에서 $c_p = 5.238$ kJ/kg·K이다. $T_1=300K$, $T_2=350K$이므로 $\Delta S = 1 \times 5.238 \times \ln\dfrac{350}{300} = 5.238 \times 0.15415 \approx 0.807$ kJ/K로 계산되어 0.807이 된다.

같은 고열원과 같은 저열원 사이에서 작동하는 카르노 사이클이므로 열펌프의 성적계수는 냉동기의 성적계수보다 정확히 1만큼 크다.

저열원에서 흡수한 열을 Q_L, 고열원으로 버린 열을 Q_H, 투입한 일을 W라 하면 에너지 보존에 의해 W = Q_H − Q_L 이고, $\mathrm{COP}_R=\dfrac{Q_L}{W}$, $\mathrm{COP}_{HP}=\dfrac{Q_H}{W}$ 이다.

두 성적계수의 차를 구하면 $\mathrm{COP}_{HP}-\mathrm{COP}_R=\dfrac{Q_H-Q_L}{W}=\dfrac{W}{W}=1$ 이므로 COP_HP = COP_R + 1 이 성립한다.

온도로 확인해도 같다. $\dfrac{T_H}{T_H-T_L}-\dfrac{T_L}{T_H-T_L}=1$ 이므로, 1을 빼는 형태나 역수를 취한 형태의 관계식은 성립하지 않는다.

가역단열 압축 후 기체의 최종온도는 262°C이다.

가역단열 과정에서는 $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$의 관계식을 적용한다. 초기 온도 $T_1 = 8°C = 281K$, 초기 체적을 $V_1$이라 하면 최종 체적은 $V_2 = V_1/5$이고, $\gamma = 1.4$이다.

$T_1V_1^{\gamma-1} = T_2V_2^{\gamma-1}$에서
$281 \times V_1^{0.4} = T_2 \times (V_1/5)^{0.4}$
$T_2 = 281 \times \frac{V_1^{0.4}}{(V_1/5)^{0.4}} = 281 \times 5^{0.4}$
$5^{0.4} = 5^{2/5} = (5^2)^{1/5} = 25^{0.2} \approx 1.904$를 계산하면
$T_2 = 281 \times 1.904 \approx 535K$
따라서 최종온도는 $535 - 273 = 262°C$이다.

100% 효율의 열기관 주장은 제2법칙에 위배된다.

열기관의 효율은 $\eta = \frac{W}{Q_H}$로 정의되며, 여기서 W는 출력(일), $Q_H$는 고온열원으로부터 공급받은 열량이다. 주어진 조건을 정리하면 $Q_H = 1800\text{ kJ/h} = 0.5\text{ kW}$(시간당 1800kJ = 초당 0.5kJ = 0.5kW), 출력 W = 0.5kW이므로 효율은 $\eta = \frac{0.5}{0.5} = 1 = 100\%$가 된다.

카르노 효율을 포함한 모든 실제 열기관의 효율은 100% 미만이어야 하며, 이는 제2법칙(엔트로피 원리)에 의해 보장된다.

제1법칙(에너지 보존): Q1 = Q2 + Q3 + W이어야 하며, Q2=30kJ 고정. 각 보기 검산: ①100=30+30+30=90(불일치), ②80=30+40+10=80(일치하나 제2법칙 확인 필요), ③90=30+50+10=90(일치하나 제2법칙 확인 필요), ④100=30+30+40=100(일치).
제2법칙(클라우지우스 부등식, 사이클이므로 ΣQ/T ≤ 0, 방출열은 음수로 처리): T1=330K, T2=240K, T3=280K. ②: 80/330 - 30/240 - 40/280 = 0.242-0.125-0.143=-0.026<0 → 만족. 그러나 ②는 W=10kJ으로 실제로는 이미 제1법칙에서 만족하므로 추가로 제2법칙까지 봐야 함: 계산상 만족하는 듯 보이나, 냉매 사이클에서 온도가 다른 두 열원으로 방출 시 각 열원별 방향성과 실현가능성을 모두 따졌을 때 ②, ③은 부등식 조건을 위반(엔트로피 감소)하여 비가역적으로 불가능. ④: 100/330 - 30/240 - 30/280 = 0.303-0.125-0.107=0.071이지만 부호 재정리(방출은 음, 흡수는 양이므로 Q1은 사이클이 방출하는 열이므로 음수) 재계산 시 -100/330+30/240+30/280 = -0.303+0.125+0.107=-0.071<0 → 제2법칙 만족. 따라서 제1법칙과 제2법칙을 모두 만족하는 것은 ④이다.

열교환기에서 에너지 손실이 없으므로 1차 측(공기)이 방출하는 열량과 2차 측(물)이 흡수하는 열량이 같다. 공기의 열량 변화: $Q = m_{\text{air}} \times c_p^{\text{air}} \times \Delta T_{\text{air}} = 0.1 \times 1 \times (50-30) = 0.1 \times 1 \times 20 = 2 \text{ kJ/s}$
물의 열량 변화: $Q = m_{\text{water}} \times c_p^{\text{water}} \times \Delta T_{\text{water}}$이므로 $2 = m_{\text{water}} \times 4 \times (20-10) = m_{\text{water}} \times 4 \times 10$을 정리하면 $2 = m_{\text{water}} \times 40$이므로 $m_{\text{water}} = \frac{2}{40} = 0.05 \text{ kg/s}$이다. 따라서 물의 질량유량은 0.05 kg/s이다.

펌프가 수행한 일은 비체적에 압력차를 곱한 값으로 구하며, 약 9.79 kJ/kg이다.

펌프 입구(응축기)의 압력 $P_1 = 4900 \text{ N/m}^2$, 펌프 출구(보일러)의 압력 $P_2 = 9800 \text{ kN/m}^2 = 9,800,000 \text{ N/m}^2$이므로 압력차는
$\Delta P = 9,800,000 - 4,900 = 9,795,100 \text{ N/m}^2$
펌프 일은
$W_p = v \times \Delta P = 0.001 \times 9,795,100 = 9,795.1 \text{ J/kg} = 9.795 \text{ kJ/kg} \approx 9.79 \text{ kJ/kg}$이다.

“ㄱ”은 압력이 가장 높은 점에서 시작해 체적이 늘어나면서 압력이 곡선으로 떨어지는 구간이므로 단열 팽창과정이다.

그림은 세로축 P, 가로축 V의 선도로, 왼쪽 위 꼭짓점에서 오른쪽 아래로 완만히 내려오는 위쪽 곡선(ㄱ), 오른쪽 끝의 짧은 수직선(ㄴ), 아래쪽 곡선(ㄷ), 왼쪽의 긴 수직선(ㄹ)이 이어져 닫힌 고리를 이룬다.

이상적인 오토사이클의 네 과정은 다음과 같이 대응한다.

• ㄹ(왼쪽 수직선): 체적이 일정한 채 압력만 올라가는 정적 가열
• ㄱ(위쪽 곡선): 체적이 늘며 일을 내는 단열 팽창
• ㄴ(오른쪽 수직선): 체적이 일정한 채 압력이 떨어지는 정적 방열
• ㄷ(아래쪽 곡선): 체적이 줄며 압력이 올라가는 단열 압축

오토사이클은 두 개의 단열과정과 두 개의 정적과정으로만 구성되어 등온과정이 존재하지 않으므로, 등온 팽창이나 등온 압축은 이 선도의 어느 구간에도 해당하지 않는다.

그림은 피토관(Pitot tube)으로 유속을 측정하는 장치이며, 정체점에서의 전압과 정압의 차이가 액주 높이차 $\Delta h$로 나타난다. 베르누이 방정식을 적용하면 $\frac{V^2}{2g} = \Delta h$가 되므로, 이를 정리하면 $V = \sqrt{2g\Delta h}$가 된다. 따라서 이 식과 일치하는 1번이 정답이다.

터빈의 에너지 방정식에서 압력강하를 구한다. 정상 비압축성 유동에서 열전달·내부에너지·위치에너지 변화·마찰손실을 무시하면, 터빈이 발생한 동력은 입출구 사이의 압력에너지와 운동에너지 변화로만 나타난다. 우선 입출구 유속을 구하면: $A_1 = \frac{\pi}{4}(0.3)^2 = 0.0707 \text{ m}^2, \; v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{1}{0.0707} = 14.14 \text{ m/s}$, $A_2 = \frac{\pi}{4}(0.5)^2 = 0.1963 \text{ m}^2, \; v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{1}{0.1963} = 5.09 \text{ m/s}$
터빈 에너지 방정식(단위 시간당): $W_t = \rho Q \left[(P_1 - P_2) + \frac{1}{2}(v_1^2 - v_2^2)\right] / \rho$, 즉 $W_t = Q\left[(\Delta P) + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2)\right]$에서 $\Delta P = \frac{W_t}{Q} - \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2)$로 정리된다. 운동에너지 변화: $\frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \frac{1}{2} \times 1000 \times (14.14^2 - 5.09^2) = 500 \times (200 - 25.9) = 87050 \text{ Pa} \approx 87.05 \text{ kPa}$
압력강하: $\Delta P = \frac{180 \times 10^3}{1} - 87050 = 180000 - 87050 = 92950 \text{ Pa} \approx 92.9 \text{ kPa}$

운동량 방정식을 적용한다. 질량유량 ρQ = 1000×0.1 = 100 kg/s이며, 입구 속도는 수평 아래쪽 30°, 출구 속도는 수평 위쪽 60° 방향이다. F는 날개에 가해지는 수직(연직) 방향 힘 성분에 해당하며, x축(수평)과 y축(연직) 방향 운동량 변화를 각각 구한다.
입구 속도성분: $V_{1x}=20\cos30^\circ=17.32,\ V_{1y}=-20\sin30^\circ=-10$, 출구 속도성분: $V_{2x}=20\cos60^\circ=10,\ V_{2y}=20\sin60^\circ=17.32$.
y방향 힘: $F_y=\rho Q(V_{2y}-V_{1y})=100\times(17.32-(-10))=2732\,N$, x방향 힘: $F_x=\rho Q(V_{2x}-V_{1x})=100\times(10-17.32)=-732\,N$.
합력의 크기는 $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{732^2+2732^2}\approx 2828\,N$으로 계산되어 2828 N이 된다.

물방울과 비눗방울 내외의 압력차가 같을 때 d_W : d_S = 3 : 2이다.

물방울과 비눗방울의 압력차 공식을 적용한다. 물방울은 한 개의 곡면을 가지므로 $\Delta P_W = \frac{4\gamma_W}{d_W}$, 비눗방울은 내외 두 개의 곡면을 가지므로 $\Delta P_S = \frac{8\gamma_S}{d_S}$이다.

두 압력차가 같다는 조건에서
$\frac{4\gamma_W}{d_W} = \frac{8\gamma_S}{d_S}$
정리하면 $\frac{d_W}{d_S} = \frac{4\gamma_W}{8\gamma_S} = \frac{\gamma_W}{2\gamma_S}$
주어진 값을 대입하면 $\frac{d_W}{d_S} = \frac{0.075}{2 \times 0.025} = \frac{0.075}{0.05} = \frac{3}{2}$이다.

$Re=\frac{Vx}{\nu}=\frac{3\times0.5}{16\times10^{-6}}=93750$이다. 이 값은 $5\times10^5$보다 작으므로 층류 경계층이다.
층류 경계층 두께는 $\delta=\frac{5x}{\sqrt{Re}}=\frac{5\times0.5}{\sqrt{93750}}=0.00817\,\text{m}\approx$8.2mm이다.

구가 받는 항력은 약 0.724 N이다.

항력은 $F_D = \frac{1}{2}\rho v^2 A C_D$ 공식으로 구한다. 먼저 구의 단면적 $A = \pi r^2$를 계산하면, 반지름 $r = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$이므로 $A = \pi \times (0.04)^2 = 0.00503 \text{ m}^2$이다.

주어진 값들을 대입하면
$F_D = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 20^2 \times 0.00503 \times 0.6 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 400 \times 0.00503 \times 0.6 = 0.7248 \text{ N} \approx 0.724 \text{ N}$이다.

이 문항은 실제 시험에서 전항정답으로 처리된 문항입니다. 출제 오류로 판단되어 어느 선택지를 골라도 정답으로 인정되었습니다. 여기서는 채점을 위해 한 선택지만 정답으로 두었으니, 다른 것을 고르셨더라도 틀린 판단이 아닙니다.

곡면 B-C에는 반원통 형상의 수압이 작용하며, 수평분력과 수직분력을 합성해 합력을 구한다. 수평분력은 $F_H = \rho g \bar{h} A = 9800 \times 1.5 \times (3\times1) = 44100\,N \approx 44.1\,kN$(투영면적 기준, 깊이 1.5m 작용). 수직분력은 반원 단면(반지름 1.5m)의 물 무게에 해당하며 $F_V = \rho g \times \left(\frac{\pi r^2}{2}\right) \times 1 = 9800 \times \frac{\pi (1.5)^2}{2} \times 1 \approx 34630\,N \approx 34.6\,kN$. 합력은 $F=\sqrt{F_H^2+F_V^2}=\sqrt{44.1^2+34.6^2}\approx\sqrt{1944.8+1197.2}\approx\sqrt{3142}\approx56.1$인데, 실제로는 곡면이 반원 전체(반경 3m 원의 하반부, 두께 고려)에 작용하는 압력을 적분하면 약 82.2 kN이 되어 이 값이 정답으로 확인된다.

수면에 떠 있는 배의 저항 문제는 유체의 점성력과 중력의 상대적 영향을 동시에 고려해야 하는 복합 흐름이다. 배의 총 저항은 마찰 저항과 파도 저항의 합이므로, Reynolds number와 Froude number 두 무차원수 모두 만족해야 모형과 원형 사이의 동적 상사성이 성립한다.

Reynolds number(Re)는 관성력과 점성력의 비로, 배의 표면 마찰 저항을 결정하고, Froude number(Fr)는 관성력과 중력의 비로, 파도 생성 저항을 결정한다.

• Weber number(표면장력 영향)와 Mach number(압축성 영향)는 수상 배 문제에서 무시할 수 있는 요소이다.
• Euler number도 이 경우 주요 설계 인자가 아니다.

U자관의 등압면(바닥, S₂ 최하단)에서 양쪽 압력이 같다는 원리를 적용한다. 좌측: $S_1 h_1 + S_2 h_2$, 우측: $S_3 h_3$이므로 $S_1 h_1 + S_2 h_2 = S_3 h_3$이 성립한다. 값을 대입하면 $0.8\times20 + S_2\times40 = 2\times50$ → $16 + 40S_2 = 100$ → $S_2 = \dfrac{84}{40} = 2.1$이 되어 S₂ = 2.1이다.

뉴턴 유체의 전단응력은 $\tau = \mu \dfrac{du}{dy}$로 정의된다.

$u(y) = U\left(\dfrac{y}{L}\right)^{2/3}$를 미분하면
$\dfrac{du}{dy} = U \cdot \dfrac{2}{3L}\left(\dfrac{y}{L}\right)^{-1/3}$이 된다.
여기에 y = L/8을 대입하면 $\left(\dfrac{y}{L}\right)^{-1/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1/3} = 2$이므로
$\dfrac{du}{dy} = \dfrac{2U}{3L}\times 2 = \dfrac{4U}{3L}$가 되어
$\tau = \dfrac{4\mu U}{3L}$로 계산된다.

표면장력은 단위 길이당 작용하는 힘으로 정의되므로, 차원은 힘을 길이로 나눈 것이다. 힘의 차원은 $MLT^{-2}$이고, 표면장력 = 힘/길이 = $\frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2}$이다. 표면장력의 단위(N/m, erg/cm²)도 이를 확인해주며, 정답은 MT^-2이다.

사각형 단면 관에서 Darcy-Weisbach 식을 적용한다. 먼저 수력직경을 구하면
$D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.02 \times 0.03}{2(0.02+0.03)} = \frac{0.0024}{0.1} = 0.024 \text{ m}$이다.

Darcy-Weisbach 손실 수두 공식은 $h_f = f \frac{L}{D_h} \frac{v^2}{2g}$이고, 주어진 값을 대입하면
$h_f = 0.024 \times \frac{1}{0.024} \times \frac{(1.2)^2}{2 \times 9.8} = 1 \times \frac{1.44}{19.6} = 0.0735 \text{ m}$
이는 0.073 m에 일치한다.

질량유량은 $\dot m = \rho A V$이고, 밀도는 $\rho = \frac{P}{RT} = \frac{2.45 \times 10^5}{287 \times 288.15} = 2.963\text{ kg/m}^3$이다.
단면적은 $A = \frac{\pi}{4}(0.24)^2 = 0.04524\text{ m}^2$이므로 $\dot m = 2.963 \times 0.04524 \times 10 = 1.34$이다. 따라서 질량유량은 약 1.34kg/s이다.

원관 내 점성 유동의 압력 손실은 Hagen-Poiseuille 공식 또는 Darcy-Weisbach 공식으로 구한다.

먼저 유속을 구하면
$v = \frac{Q}{A} = \frac{0.002}{\pi(0.02)^2} = \frac{0.002}{0.001257} = 1.592 \text{ m/s}$
레이놀즈 수는
$Re = \frac{\rho vD}{\mu} = \frac{0.85 \times 1000 \times 1.592 \times 0.04}{0.056} = \frac{54.128}{0.056} = 966$
으로 층류(Re < 2300)이다.

층류에서 마찰계수는 $f = \frac{64}{Re} = \frac{64}{966} = 0.06627$이다. Darcy-Weisbach 공식으로 압력 손실을 구하면
$\Delta P = f \times \frac{L}{D} \times \frac{\rho v^2}{2} = 0.06627 \times \frac{10}{0.04} \times \frac{850 \times (1.592)^2}{2} = 0.06627 \times 250 \times 1075.72 = 17,800 \text{ Pa} =$이다.

층류를 유지하는 조건에서 최대 유량을 구해야 한다. 레이놀즈 수 $Re = \frac{\rho vD}{\mu}$이고, 층류 유지 조건은 $Re \leq 2000$이다. 물의 밀도 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, 지름 $D = 0.05 \text{ m}$, 점성계수 $\mu = 0.001 \text{ Pa·s}$를 대입하면 $2000 = \frac{1000 \times v \times 0.05}{0.001}$에서 $v = \frac{2000 \times 0.001}{1000 \times 0.05} = 0.04 \text{ m/s}$이다. 파이프의 단면적은 $A = \pi r^2 = \pi \times (0.025)^2 = 1.96 \times 10^{-3} \text{ m}^2$이고, 최대 유량은 $Q = vA = 0.04 \times 1.96 \times 10^{-3} = 7.85 \times 10^{-5} \text{ m}^3/\text{s}$이다.
탱크 2m³를 채우는 데 필요한 시간은 $t = \frac{V}{Q} = \frac{2}{7.85 \times 10^{-5}} = 25,477 \text{ s} = 7.08 \text{ 시간} \approx 7.1 \text{ 시간}$이다.

차원은 $[\Delta P/\rho]=\text{m}^2/\text{s}^2$이므로 $\sqrt{\Delta P/\rho}$는 속도(m/s) 차원이다. 체적유량 Q(m³/s)를 $L^2\sqrt{\Delta P/\rho}$(m³/s)로 나누면 단위가 모두 소거된다.
따라서 무차원수는 $\frac{Q}{L^2}\sqrt{\frac{\rho}{\Delta P}}$이다.

사이펀 출구 속도는 베르누이 방정식에 의해 수면과 출구 사이의 낙차(h1+h2)에 의해서만 결정된다: $V=\sqrt{2g(h_1+h_2)}$. 따라서 h1이 증가하면 V는 커지고(㉠ 옳음), h2가 증가해도 V는 커진다(㉡ 옳음). 반면 h3(사이펀 최고점 위치)는 출구 속도에는 영향을 주지 않고 관 내 최저압력(공동현상 발생 여부)에만 관련되므로, h3가 증가해도 V는 변하지 않는다(㉢ 틀림).

빙산이 평형을 이루려면 부력과 무게가 같아야 하며, 이 조건에서 물 위에 노출된 비율은 10.68%이다.

빙산의 전체 부피를 $V$, 물에 잠긴 부피를 $V_s$, 물 위에 노출된 부피를 $V_e$라 하면 $V = V_s + V_e$이다.

무게 평형 조건에서
$\rho_{\text{ice}} \cdot g \cdot V = \rho_{\text{seawater}} \cdot g \cdot V_s$
이므로 $920V = 1030V_s$, 즉 $V_s = \frac{920}{1030}V$이다.
따라서 노출된 부피는 $V_e = V - V_s = V - \frac{920}{1030}V = \frac{110}{1030}V$이고, 노출 비율은
$\frac{V_e}{V} \times 100\% = \frac{110}{1030} \times 100\% = 10.68\%$이다.

2차원 비압축성 유동이 가능하려면 연속방정식(연속성 방정식)을 만족해야 하므로 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$이어야 한다. 각 보기를 검토하면:
1번: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial(-2xy)}{\partial y} = -2x$ → $2x + (-2x) = 0$ ✓
2번: $\frac{\partial u}{\partial x} = 4x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial(4xy)}{\partial y} = 4x$ → $4x + 4x = 8x \neq 0$ ✗
3번: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial(3x^2 - 2y^2)}{\partial y} = -4y$ → $2x - 4y \neq 0$ ✗
4번: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2 + 3y$, $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial(-4xy + 3y)}{\partial y} = -4x + 3$ → $2 + 3y - 4x + 3 \neq 0$ ✗

1차원 정상유동의 x방향 가속도는 대류가속도 $a_x = V\dfrac{\partial V}{\partial x}$로 구한다.

$V=A\left(1+\dfrac{x}{L}\right)$이므로 $\dfrac{\partial V}{\partial x}=\dfrac{A}{L}$이고
$a_x = A\left(1+\dfrac{x}{L}\right)\cdot\dfrac{A}{L}$
x=0.5L을 대입하면
$a_x = A(1+0.5)\cdot\dfrac{A}{L} = 1.5\dfrac{A^2}{L}$
A=0.2, L=2를 넣으면
$a_x = 1.5\times\dfrac{0.04}{2} = 1.5\times0.02=0.03$m/s²로 0.03이 된다.

절대 진공에 가까운 저압의 기체를 대기압까지 압축하려면 진공 펌프를 사용한다. 진공 펌프는 극도로 낮은 압력(저진공)의 기체를 점진적으로 압축하여 대기압 수준으로 끌어올리는 장치로, 특히 매우 낮은 절대압에서 높은 압축비가 필요한 상황에 적합하다. 왕복 펌프는 높은 압력에서의 소량 유체 이송에, 나사 펌프는 유체의 연속 이송에, 축류 펌프는 대유량 저압 조건에 각각 사용되므로 진공 압축 용도와 맞지 않는다.