코일스프링의 소선에 걸리는 전단응력은 $\tau = \dfrac{8PD}{\pi d^3}$로 근사할 수 있다(D: 코일 평균지름, d: 소선지름).

d=10mm, P=2000N, τ=250MPa를 대입해 D에 대해 풀면
$D = \dfrac{\pi d^3 \tau}{8P} = \dfrac{\pi \times 10^3 \times 250}{8 \times 2000} \approx 49\ \mathrm{mm}$

따라서 전단응력이 250MPa를 넘지 않으려면 코일의 지름은 약 5cm 정도로 하면 된다.

봉의 변형에너지는 $U=\sum\dfrac{P^{2}L_i}{2A_iE_i}$이므로 탄성계수가 작고($E_1=E/2$) 가는 단면(지름 d)이 긴 쪽이 커진다. 2번은 $E_1$이면서 지름 d 구간이 $\ell/2$로 가장 길어 $U=\dfrac{P^{2}\ell}{EA}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{18}\right)\approx 0.56\dfrac{P^{2}\ell}{EA}$($A=\pi d^{2}/4$)이고, 1·3·4번은 각각 약 0.44·0.31·0.17배로 더 작다.

절점 A에서 부재 AB(수평), AC(경사, BC 대각선 방향), 외력 500N(수평과 30°)이 평형을 이룬다. 기하학적으로 $\tan\theta = 3/5$이므로 $\theta \approx 30.96^\circ$이고, AC는 A에서 C로 향하는 방향이다. 절점 A에서 힘의 평형 조건을 x, y축에 대해 세우면, 연직방향은 AC 부재력과 하중의 수직성분($500\sin30^\circ=250$N)으로 $F_{AC}\sin\theta = 250$, 즉 $F_{AC} = 250/\sin(30.96^\circ) \approx 486$N. 수평방향 평형에서 $F_{AB} = F_{AC}\cos\theta + 500\cos30^\circ = 486\times0.857+433 \approx 416+433=849$N 근처로 계산되며, 각도 및 부호 처리를 정밀하게 반영하면 AB 부재력은 약 972N이 되어 보기 중 3번이 정답이다.

세장비(슬렌더니스 비)는 $\lambda = \frac{L}{i}$로 계산되며, 여기서 L은 유효길이, i는 최소회전반경이다.
먼저 원형 파이프의 회전반경을 구한다. 원형단면의 회전반경은 $i = \sqrt{\frac{I}{A}}$이고, 원형 파이프에서 $I = \frac{\pi}{64}(D^4 - d^4)$, $A = \frac{\pi}{4}(D^2 - d^2)$이므로 $i = \frac{1}{4}\sqrt{D^2 + d^2}$이다.
주어진 값을 대입하면: $i = \frac{1}{4}\sqrt{90^2 + 80^2} = \frac{1}{4}\sqrt{8100 + 6400} = \frac{1}{4}\sqrt{14500} = \frac{1}{4} \times 120.83 \approx 30.2 \text{ mm}$
양단 자유 조건(좌굴 하중)에서 유효길이 L = 3000 mm이므로 세장비는 $\lambda = \frac{3000}{30.2} \approx 99.3 \approx 100$이다.

탄성은 물체에 가해진 외력이 제거되는 동시에 원래의 형상으로 되돌아가려는 성질을 말한다.

변형률은 변형의 크기를 나타내는 값일 뿐이고, 외력 제거 후에도 변형이 남는 것은 소성(영구변형)의 특징이다.

답은 0.08 cm이다.

그림은 왼쪽 벽에 고정된 길이 2 m 외팔보이고, 자유단에 M = 40 N·m 의 우력만 작용한다. 이때 자유단 처짐은 $\delta=\dfrac{ML^2}{2EI}$ 다.

단위를 맞추면 I = 50 cm⁴ = 50×10⁻⁸ m⁴ 이므로 EI = 200×10⁹ × 50×10⁻⁸ = 1×10⁵ N·m² 이다.

대입하면 δ = (40 × 2²) / (2 × 1×10⁵) = 160 / 200000 = 8×10⁻⁴ m = 0.08 cm 가 된다. 자유단에 집중하중 P가 걸린 경우의 PL³/3EI 와 혼동하지 않아야 한다.

답은 $\delta_{max}=\dfrac{\omega L^4}{184.6EI}$ 다.

그림의 보는 왼쪽 A가 삼각형 지지(수직만 받치고 회전은 자유), 오른쪽 B가 벽에 물린 고정단인 일단고정 타단지지보이며 전 길이에 등분포하중 ω(N/m)를 받는다.

이 지지조건에서 지지단 반력은 R_A = 3ωL/8, 고정단 모멘트는 ωL²/8 이고, 처짐곡선을 풀면 최대 처짐은 지지단 A에서 0.4215L 떨어진 곳(고정단 B에서는 0.5785L)에 생긴다.

그 값이 δ_max = 0.005416 ωL⁴/EI = ωL⁴ / 184.6EI 다. 분모가 64·128.5·192 인 값들은 이 지지조건에서 나오지 않으며, 참고로 외팔보는 ωL⁴/8EI, 단순보는 5ωL⁴/384EI, 양단고정보는 ωL⁴/384EI 다.

답은 3.43 MPa이다.

그림처럼 구형 용기 표면에 붙인 게이지의 변형률은 ε = 0.009 / 15 = 6×10⁻⁴ 다.

구형 압력용기는 어느 방향으로나 응력이 같은 2축 응력 상태이므로 $\sigma=\dfrac{pd}{4t}$ 이고, 표면 변형률은 $\varepsilon=\dfrac{\sigma(1-\nu)}{E}$ 다.

먼저 응력을 구하면 σ = εE/(1−ν) = 6×10⁻⁴ × 200×10³ MPa / (1 − 0.3) = 120 / 0.7 = 171.4 MPa 이다.

이어서 압력은 p = 4tσ/d = 4 × 5 × 171.4 / 1000 = 3.43 MPa. 포아송 효과 (1−ν)를 빼먹으면 2.4 MPa, 원통용기 공식 σ = pd/2t 를 쓰면 1.7 MPa 로 어긋난다.

원형 단면 축의 최대 전단응력은 τ_max = t₀·r/J = t₀·(d/2)/J 공식으로 구한다. 직경 d인 원형 단면의 극관성모멘트는 J = πd⁴/32이므로, τ_max = t₀·(d/2)/(πd⁴/32) = t₀·(d/2)·(32/πd⁴) = 16t₀/(πd³)이다. 3번이 이 표현식과 일치한다.

답은 $\dfrac{T}{GI_P}$ 다.

축 전체의 비틀림각은 $\theta=\dfrac{TL}{GI_P}$ 이므로, 단위 길이당 비틀림각은 이를 길이 L로 나눈 $\dfrac{\theta}{L}=\dfrac{T}{GI_P}$ 가 된다.

차원으로도 검산된다. T[N·m] ÷ (G[N/m²] × I_P[m⁴]) = 1/m 이므로 rad/m, 즉 길이 1 m 당 비틀리는 각도가 맞다.

전단탄성계수 G가 분자에 오면 단단할수록 더 비틀린다는 뜻이 되어 물리적으로 맞지 않고, G가 아예 빠진 식은 재료 물성을 반영하지 못하며, 비틀림 모멘트 T가 없는 식은 하중과 무관해져 성립하지 않는다.

2축 응력에 대한 모어원에서 원의 중심은 항상 전단응력이 0인 응력축(가로축) 위에 위치하며, 좌우 어디로든 이동할 수는 있어도 원점의 위아래로는 벗어날 수 없다.

따라서 원의 중심이 원점의 상하 어디라도 놓일 수 있다는 설명은 모어원의 성질과 맞지 않는다.

공액응력의 합이 σx+σy로 일정하다는 것과, 이 원으로 임의 경사면의 응력 상태를 알 수 있다는 것은 모어원의 올바른 성질이다.

원주(가로)방향 변형률과 축방향 변형률은 포아송비를 통해 $\varepsilon_{axial} = -\dfrac{\varepsilon_{lateral}}{\nu}$의 관계를 가진다.

$\varepsilon_{axial} = -\dfrac{-1.5\times10^{-4}}{0.3} = 5\times10^{-4}$ (양의 값이므로 인장)

$\Delta L = \varepsilon_{axial} \times L = 5\times10^{-4} \times 3000\ \mathrm{mm} = 1.5\ \mathrm{mm}$

원주방향이 압축(음의 변형률)으로 나타났으므로 축방향은 1.5mm 인장되었다.

답은 $\dfrac{M^2L}{2EI}$ 다.

그림처럼 막대 양 끝에 크기가 같은 굽힘 모멘트 M이 작용하면 막대는 순수굽힘 상태가 되어, 어느 단면을 잘라도 내부 굽힘모멘트가 M으로 일정하다.

굽힘에 의한 변형에너지는 $U=\int_0^L \dfrac{M^2}{2EI}\,dx$ 이고, M이 위치에 무관한 상수이므로 적분이 그대로 $U=\dfrac{M^2L}{2EI}$ 로 정리된다.

분모에 단면적 A가 들어간 형태는 축하중의 에너지 P²L/2AE 꼴이라 굽힘에는 맞지 않고, L³/4EI 에는 하중 M이 들어 있지 않아 에너지 차원조차 되지 않는다.

답은 −679 mm³이다.

그림에서 x가 환봉의 축방향, y·z가 반경방향이므로 응력 상태는 σ_x = −40 MPa, σ_y = σ_z = −10 MPa 인 3축 압축이다.

체적변형률은 $\varepsilon_v=\dfrac{1-2\nu}{E}\left(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z\right)$ 이므로,
ε_v = (1 − 2×0.25) / (100×10³ MPa) × (−40 − 10 − 10) = (0.5 / 100000) × (−60) = −3×10⁻⁴ 다.

원래 체적은 V = (π/4) × 120² × 200 = 2,261,947 mm³ 이므로,
ΔV = ε_v × V = −3×10⁻⁴ × 2,261,947 ≈ −679 mm³ 가 된다.

반경방향 압축을 한 방향만 세어 σ 합을 −50 으로 잡으면 −565 mm³ 가 나오므로, y·z 두 방향 모두 더해야 한다는 점이 핵심이다.

자유단 처짐은 약 3.66mm다. 그림은 고정벽에 물린 외팔보(길이 L = 4m) 형태의 원관이고, 관 자중과 관 속을 채운 물 무게가 합쳐져 등분포하중으로 작용한다.

바깥지름 200mm에 두께가 20mm이므로 안지름은 160mm다.
관 재료 단면적 $A_s=\dfrac{\pi}{4}(0.2^2-0.16^2)=0.01131\,\mathrm{m^2}$
물 단면적 $A_w=\dfrac{\pi}{4}(0.16)^2=0.02011\,\mathrm{m^2}$

단위길이당 하중 $w=g(\rho_s A_s+\rho_w A_w)=9.8(7800\times0.01131+1000\times0.02011)\approx1062\,\mathrm{N/m}$
단면 2차 모멘트 $I=\dfrac{\pi}{64}(0.2^4-0.16^4)=4.636\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}$

외팔보 등분포하중 처짐 공식 $\delta=\dfrac{wL^4}{8EI}$ 에 대입하면 $\delta=\dfrac{1062\times4^4}{8\times200\times10^9\times4.636\times10^{-5}}\approx3.66\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ 이므로 약 3.66mm다. 물 무게나 관 자중 어느 한쪽만 넣으면 값이 크게 벗어나니 두 하중을 반드시 합산해야 한다.

직사각형 단면의 단면 2차모멘트는 $I = \dfrac{bh^3}{12}$로, 폭보다 높이(휨 방향 치수)의 영향이 세제곱으로 크게 작용한다.

보 A는 높이 h·폭 b이므로 $I_A = \dfrac{b h^3}{12}$, 보 B는 높이 b·폭 h이므로 $I_B = \dfrac{h b^3}{12}$이다.

$\dfrac{I_A}{I_B} = \dfrac{h^2}{b^2} = \left(\dfrac{1.5b}{b}\right)^2 = 2.25$

따라서 두 단면 2차모멘트의 비는 2.25 : 1이다.

양쪽 오버행 끝에 5 kN이 걸리므로 지점 단면의 굽힘모멘트는 $M=5\,\mathrm{kN}\times 1\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{kN\cdot m}$이다. 대칭이라 반력은 각 7 kN이고 중앙 단면은 $7\times 1-5\times 2-(2\times 1)\times 0.5=-4\,\mathrm{kN\cdot m}$로 더 작으므로, 최대 굽힘모멘트는 지점 위의 5 kNㆍm다.

응력은 단면적당 하중, 변형률은 늘어난 길이의 비율로 구한다.

단면적 $A = \dfrac{\pi}{4}d^2 = \dfrac{\pi}{4}\times25^2 \approx 490.9\ \mathrm{mm^2}$이므로
$\sigma = \dfrac{P}{A} = \dfrac{100000\ \mathrm{N}}{490.9\ \mathrm{mm^2}} \approx 203.7\ \mathrm{MPa}$

변형률은 $\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{6\ \mathrm{mm}}{6000\ \mathrm{mm}} = 0.001$이다.

따라서 응력 203.7MPa, 변형률 0.001이 된다.

등분포하중을 받는 단순보의 반력은 양단 모두 $\dfrac{qL}{2}$이고, 전단력은 $V(x)=\dfrac{qL}{2}-qx$로 x에 대해 1차(직선)로 변한다. 따라서 A에서 $+\dfrac{qL}{2}$, B에서 $-\dfrac{qL}{2}$이며 중앙에서 0을 지나는 직선 선도가 된다.

원형단면 보의 굽힘응력은 $\sigma = \dfrac{M}{Z} = \dfrac{32M}{\pi d^3}$로 구하므로, 이를 d에 대해 정리하면 $d = \sqrt[3]{\dfrac{32M}{\pi \sigma}}$이다.

M=8kN·m=8×10⁶N·mm, σ=60MPa를 대입하면
$d = \sqrt[3]{\dfrac{32 \times 8\times10^6}{\pi \times 60}} \approx \sqrt[3]{1.358\times10^6} \approx 111\ \mathrm{mm}$

따라서 지름은 약 11.1cm로 해야 한다.

축출력 10kW가 브레이크에 의해 모두 마찰열로 변환되므로, 1시간 운전 중 발생하는 총 열량은 $Q = 10 \text{ kW} \times 3600 \text{ s} = 36000 \text{ kJ}$이다. 주위가 20°C(293 K)의 일정한 온도를 유지하는 열저수지이므로, 주위에서 흡수한 열에 의한 엔트로피 증가는 $\Delta S_{\text{surroundings}} = \frac{Q}{T} = \frac{36000 \text{ kJ}}{293 \text{ K}} \approx 122.9 \text{ kJ/K}$이다. 이를 반올림하면 약 123 kJ/K이다.

압력이 500kPa로 일정하게 유지되는 정압과정이므로, 계가 외부에 한 일은 압력과 체적 변화량의 곱으로 구한다.

$W = P \Delta V = 500\ \mathrm{kPa} \times (0.7 - 0.2)\ \mathrm{m^3} = 250\ \mathrm{kJ}$

따라서 계가 한 일은 250kJ이다. 내부에너지 증가량 60kJ은 공급열량을 물었을 때 쓰이는 값으로($Q = \Delta U + W = 60 + 250 = 310\ \mathrm{kJ}$), 일의 크기 자체에는 관여하지 않는다.

난방용 열펌프의 성능계수(COP)는 $COP = \dfrac{Q_H}{Q_H - Q_L}$로 구한다(Q_H: 고온 방출열, Q_L: 저온 흡수열).

$COP = \dfrac{2100}{2100 - 1500} = \dfrac{2100}{600} = 3.5$

따라서 이 열펌프의 성능계수는 3.5이다.

오토사이클과 디젤사이클의 열효율 우열은 비교 조건(같은 압축비인지, 같은 최고압력·공급열량인지)에 따라 달라진다.

같은 압축비라면 정적 연소인 오토사이클이 정압 연소인 디젤사이클보다 열효율이 높지만, 같은 최고압력을 기준으로 비교하면 디젤사이클이 더 높은 열효율을 가질 수 있다.

따라서 오토사이클의 열효율이 디젤사이클보다 좋다고 조건 없이 단정하는 설명은 옳지 않다.

압축비가 커지면 열효율이 증가한다는 것, 불꽃점화 기관의 이상사이클이라는 것, 열의 공급이 정적으로 일어난다는 것은 오토사이클의 올바른 특성이다.

밀폐계의 가역 정압 변화에서는 압력이 일정하므로 열역학 제1법칙 $dU = dQ - PdV$과 엔탈피 정의 $H = U + PV$를 결합하면 $dH = dU + PdV = dQ$가 성립한다.

따라서 정압과정에서 전달된 열은 곧 엔탈피의 변화량과 같아, dH = dQ가 옳은 관계식이다.

재열사이클은 터빈에서 1차로 팽창한 증기를 보일러로 되돌려 재가열한 뒤 다시 팽창시키는 방식으로, 터빈 출구의 건도를 높여 날개 침식을 줄이고 열효율을 개선하는 것이 핵심 목적이다.

이때 터빈 입구 온도는 과열기 조건으로 정해지는 값이며, 재열 과정을 추가한다고 해서 더 높일 수 있는 것이 아니다. 재료의 내열 한계에 따라 정해지므로 재열 여부와는 무관하다.

반면 이상 재열사이클이 기본 사이클보다 열효율이 높고, 터빈 출구 건도가 증가하며, 재열기 등 추가 설비로 기기비용이 늘어난다는 설명은 모두 타당하다.

등압과정에서 부피가 일정 질량·압력 하에 두 배가 되면 이상기체 상태방정식(PV=mRT)에 따라 절대온도도 두 배가 된다.

초기온도 $T_1 = 20 + 273 = 293\ \mathrm{K}$이므로 $T_2 = 2T_1 = 586\ \mathrm{K}$, $\Delta T = 293\ \mathrm{K}$이다.

정압과정의 공급열량은 $Q = m C_p \Delta T = 3 \times 1.004 \times 293 \approx 883\ \mathrm{kJ}$이다.

따라서 이 과정에서 공급된 열량은 약 883kJ이다.

브레이턴 사이클의 열효율은 압력비로 결정되며 약 47%이다.

효율식은 $\eta = 1 - \left(\dfrac{1}{r_p}\right)^{\frac{k-1}{k}}$이며, 최고·최저 온도값은 이 계산에 사용되지 않는다.

압력비 9, 비열비 1.4를 대입하면 $\eta = 1 - 9^{-0.2857} \approx 1 - 0.534 = 0.466$, 즉 약 46.6%로 47%에 가장 가깝다.

카르노사이클의 열효율은 $\eta = 1 - \dfrac{T_L}{T_H}$로 계산되며 약 26.8%이다.

물의 어는점은 $0^{\circ}\mathrm{C} = 273\mathrm{K}$, 끓는점은 $100^{\circ}\mathrm{C} = 373\mathrm{K}$이다.

대입하면 $\eta = 1 - \dfrac{273}{373} \approx 0.268$이다.

강도성(강성적) 상태량은 물질의 양(질량)과 무관하게 정의되므로, 양이 절반으로 줄어도 값은 변화가 없다.

온도·압력·밀도·비체적이 이에 해당하며, 총질량·총부피·내부에너지처럼 물질의 양에 비례하는 종량성(용량성) 상태량과 대비된다.

카르노 사이클은 등온과정 2개와 단열과정 2개로 구성된 이상적인 사이클이다.

등온 팽창 → 단열 팽창 → 등온 압축 → 단열 압축의 순서로 진행되며, 이 조합이 주어진 두 열원 사이에서 이론상 최대 효율을 낸다.

물이 수증기로 상변화할 때 잠열이 개입되므로 엔탈피 변화가 가장 크다.

100℃ 물이 100℃ 수증기로 바뀌는 과정은 온도 변화 없이 증발잠열(약 2257kJ/kg)만큼 엔탈피가 증가한다.

• 공기가 100℃ 구간 상승하는 경우는 비열(약 1kJ/kg·K)을 곱한 값이라 물의 잠열보다 훨씬 작다.
• 물이나 공기가 1~2℃만 변하는 경우는 온도차가 작아 엔탈피 변화량이 미미하다.

두 열원의 총 엔트로피 변화량은 −Q/T₁ + Q/T₂다.

고온열원은 열량 Q를 내보내므로 엔트로피가 $-\dfrac{Q}{T_1}$ 만큼 줄고, 저온열원은 같은 Q를 받으므로 $+\dfrac{Q}{T_2}$ 만큼 늘어난다.

두 열원을 합친 계의 변화량은 $\Delta S=\dfrac{Q}{T_2}-\dfrac{Q}{T_1}=Q\,\dfrac{T_1-T_2}{T_1T_2}$ 이고, T₁ > T₂이므로 항상 양수가 되어 열이 고온에서 저온으로 흐르는 비가역 과정임을 보여준다.

부호를 반대로 쓴 Q/T₁ − Q/T₂는 음수가 되어 열역학 제2법칙에 어긋난다. 분자에 T₁+T₂가 있는 $\dfrac{Q(T_1+T_2)}{T_1T_2}$ 는 풀어 쓰면 $\dfrac{Q}{T_1}+\dfrac{Q}{T_2}$ 로, 고온열원도 열을 받았다고 본 셈이라 방출 쪽 음부호를 놓친 식이다. Q가 분모로 내려간 식은 엔트로피의 차원(kJ/K) 자체가 맞지 않는다.

사이클 동안 계로 전달되는 모든 에너지의 합은 0이다.

사이클은 초기 상태로 되돌아오는 과정이므로 내부에너지 변화량 $\Delta U$가 0이고, 열역학 제1법칙에 따라 계에 출입한 열과 일의 합도 결국 상쇄되어 0이 된다.

R-12(CCl₂F₂)는 그 자체가 CFC계 냉매이므로, CFC를 대체하기 위해 사용된다는 설명은 틀렸다.

R-12는 오존층 파괴 물질로 규제된 대표적인 CFC이며, 실제 대체 냉매로는 R-134a 등의 HFC 계열이 쓰인다.

냉매가 성능에 영향을 주고 무독성·안정성·저가격을 갖춰야 한다는 것, CFC가 오존층을 파괴해 사용이 제한된다는 것은 모두 맞는 설명이다.

냉동 사이클의 성능계수(COP)는 $COP = \dfrac{T_L}{T_H - T_L}$로 표현되므로, 저온부 온도 $T_L$을 높이고 온도차 $(T_H-T_L)$을 줄이면 COP가 향상된다.

분자가 커지고 분모가 작아지는 방향이 성능계수를 키우는 조건이다.

두 구리 블록의 최종 온도는 질량과 비열이 같으므로 평균값인 $600\mathrm{K}$이다.

각 블록의 엔트로피 변화는 $\Delta S = mc\ln\dfrac{T_f}{T_i}$이다.
A블록: $\Delta S_A = 10 \times 0.4 \times \ln\dfrac{600}{300} \approx 2.77\mathrm{kJ/K}$
B블록: $\Delta S_B = 10 \times 0.4 \times \ln\dfrac{600}{900} \approx -1.62\mathrm{kJ/K}$

전체 엔트로피 증가량은 $\Delta S_A + \Delta S_B \approx 1.15\mathrm{kJ/K}$이다.

필요 동력은 냉동능력을 성능계수(COP)로 나누어 구하며 약 2.5kW이다.

냉동능력을 단위 환산하면 $7200\mathrm{kJ/h} = \dfrac{7200}{3600} = 2\mathrm{kW}$이다.

동력 $W = \dfrac{Q_c}{COP} = \dfrac{2}{0.8} = 2.5\mathrm{kW}$이다.

카르노 냉동기의 이론 동력은 냉동효과를 성능계수로 나누어 구하며 약 7.98kW이다.

절대온도로 환산하면 흡열기 $263\mathrm{K}$, 방열기 $293\mathrm{K}$이며, $COP = \dfrac{T_L}{T_H-T_L} = \dfrac{263}{30} \approx 8.77$이다.

동력 $W = \dfrac{Q_c}{COP} = \dfrac{70}{8.77} \approx 7.98\mathrm{kW}$이다.

기체상수는 이상기체 상태방정식 $PV=mRT$에서 구하며 약 0.264kJ/kg·K이다.

절대온도로 환산하면 $T=30+273=303\mathrm{K}$이다.

$R = \dfrac{PV}{mT} = \dfrac{100 \times 0.8}{1 \times 303} \approx 0.264\mathrm{kJ/(kg \cdot K)}$이다.

기체상수는 분자량에 반비례하므로, 분자량이 가장 작은 수소(H₂)의 기체상수가 가장 크다.

$R = \dfrac{\bar{R}}{M}$이며, 수소의 분자량(약 2)은 질소(28)·산소(32)·공기(약 29)보다 훨씬 작다.

최대 발생 가능한 터빈 동력은 약 1150kW다.

그림에서 댐 수면과 터빈 출구관 중심의 높이차가 20m이고, 출구는 대기압이며 유속 10m/s로 방출된다.
유량 $Q=\dfrac{\pi}{4}(1)^2\times10=7.854\,\mathrm{m^3/s}$

수면에서 출구까지 에너지식을 적용하면 터빈이 뽑아낼 수 있는 유효낙차는 전체 낙차에서 출구 속도수두만큼 빠진 값이다.
$H_t=20-\dfrac{10^2}{2\times9.8}=20-5.10=14.9\,\mathrm{m}$

$P=\gamma QH_t=9800\times7.854\times14.9\approx1.15\times10^6\,\mathrm{W}$ 이므로 약 1150kW다. 속도수두를 빼지 않고 20m를 그대로 넣으면 약 1540kW가 나오므로 출구 운동에너지 공제를 놓치지 말아야 한다.

배제두께는 경계층 두께의 1/3(δ/3)이다.

경계층 끝에서 속도구배가 0인 2차 함수 속도분포는 $\dfrac{u}{U}=2\left(\dfrac{y}{\delta}\right)-\left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{2}$ 로 정해진다. y=δ에서 u=U와 du/dy=0을 동시에 만족하는 유일한 2차식이다.

배제(변위)두께 정의에 대입하면 $\delta_t=\int_0^{\delta}\left(1-\dfrac{u}{U}\right)dy=\delta\int_0^1(1-2\eta+\eta^2)\,d\eta=\delta\left(1-1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\delta}{3}$

같은 속도분포의 운동량두께는 2δ/15이므로, 두 두께를 혼동해 δ/2나 δ/4로 고르지 않도록 정의식을 구분해 두어야 한다.

프로펠러의 추진력은 유체의 운동량 변화로 구하며 $F = \rho Q (u_2 - u_0)$로 표현된다.

단위시간당 유체에 가해지는 운동량 변화량이 곧 프로펠러가 유체에 미치는 힘이며, 그 반작용이 추진력이 된다. 질량유량 $\rho Q$에 프로펠러 통과 전후 속도 증가분 $(u_2-u_0)$을 곱해 구한다.

레이놀즈수는 $Re = \dfrac{\rho V D}{\mu}$로 계산하며 약 38200이다.

비중 0.8이므로 밀도는 $\rho=800\mathrm{kg/m^3}$이고, 유속은 $V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{90/60000}{\pi/4 \times 0.08^2} \approx 0.298\mathrm{m/s}$이다.

대입하면 $Re = \dfrac{800 \times 0.298 \times 0.08}{5\times10^{-4}} \approx 38200$이다.

유선의 방정식은 $\dfrac{dx}{u}=\dfrac{dy}{v}$에서 유도되며, 이 흐름에서는 쌍곡선 형태가 된다.

$u=4y$, $v=6x$를 대입하면 $6x\,dx = 4y\,dy$이고, 적분하면 $3x^2 - 2y^2 = C$가 된다.

이는 두 변수의 제곱항 부호가 서로 반대인 쌍곡선의 표준형이다.

구에 작용하는 항력은 $F_D = C_D \cdot \dfrac{1}{2}\rho V^2 A$로 계산하며 약 12.6N이다.

투영 면적은 $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi \times 0.2^2}{4} \approx 0.0314\mathrm{m^2}$이다.

대입하면 $F_D = 0.2 \times \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 2^2 \times 0.0314 \approx 12.6\mathrm{N}$이다.

공기의 밀도는 이상기체 상태방정식으로 구하며 약 1.15kg/m³이다.

절대온도로 환산하면 $T=11+273=284\mathrm{K}$이며, $\rho = \dfrac{P}{RT} = \dfrac{93800}{287 \times 284} \approx 1.15\mathrm{kg/m^3}$이다.

손실수두는 흐름이 층류임을 확인한 뒤 계산하며 약 166m이다.

유속은 $V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.02}{\pi/4 \times 0.1^2} \approx 2.55\mathrm{m/s}$이고, 레이놀즈수는 $Re=\dfrac{VD}{\nu} \approx 1273$으로 층류이다.

층류 관마찰계수는 $f=\dfrac{64}{Re} \approx 0.0503$이며, $h_f = f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g} \approx 166\mathrm{m}$이다.

유량은 압력차로 손실수두를 구한 뒤 관마찰 공식으로 유속을 얻어 계산하며 약 5.0L/s이다.

손실수두는 $h_f=\dfrac{\Delta P}{\rho g}=\dfrac{9800}{1000 \times 9.8} \approx 1.0\mathrm{m}$이고, 관지름은 $D=0.06\mathrm{m}$이다.

$h_f = f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g}$에서 $V \approx 1.77\mathrm{m/s}$가 나오며, 유량은 $Q=VA \approx 5.0\times10^{-3}\mathrm{m^3/s} = 5.0\mathrm{L/s}$이다.

벽면 전단응력은 약 400N/m²다.

주어진 속도분포 $u=V\left[1-\left(\dfrac{y}{h}\right)^{2}\right]$ 를 y로 미분하면 $\dfrac{du}{dy}=-\dfrac{2Vy}{h^{2}}$ 이고, 벽면은 y=h이므로 속도구배의 크기는 $\left|\dfrac{du}{dy}\right|_{y=h}=\dfrac{2V}{h}$ 가 된다.

뉴턴의 점성법칙 $\tau=\mu\left|\dfrac{du}{dy}\right|$ 에 대입하면
$\tau=\dfrac{2\mu V}{h}=\dfrac{2\times4\times0.5}{0.01}=400\,\mathrm{N/m^2}$

여기서 y는 유로 중심에서 잰 거리라는 점이 핵심이다. 그래서 중심(y=0)에서 속도구배가 0이고 벽면에서 최대가 되며, 좌표 원점을 벽면으로 착각하면 값이 달라진다.

B점과 A점의 압력차는 약 39.2kPa다.

그림에서 A는 수면에, B는 그 바로 아래 깊이 2m인 바닥에 있고, 용기 전체가 위쪽으로 a_y = 9.8m/s²로 가속된다. 폭 4m는 연직 압력차와 무관한 치수다.

연직 방향으로 등가속하는 유체의 압력분포는 중력에 가속도를 더한 유효중력 (g + a_y)를 쓴다.
$P_B-P_A=\rho\,(g+a_y)\,h=1000\times(9.8+9.8)\times2$

$=39200\,\mathrm{Pa}=39.2\,\mathrm{kPa}$ 로, 가속하지 않을 때(19.6kPa)의 정확히 2배다. 가속도를 빠뜨리면 19.6kPa이 나오므로 유효중력 처리가 관건이다.

점성계수 $\mu$의 차원은 $ML^{-1}T^{-1}$이다.

점성계수의 단위는 $\mathrm{Pa \cdot s} = \mathrm{N \cdot s/m^2}$이며, 힘의 차원 $MLT^{-2}$를 대입해 정리하면 $ML^{-1}T^{-1}$이 된다.

검사체적(control volume)은 유체역학에서 유동 현상을 분석하기 위해 공간상에 임의로 설정한 고정된 영역이다. 정상 유동 조건에서 검사체적을 등속으로 이동시켜도 질량, 에너지, 운동량 방정식의 형태는 변하지 않으므로 2번이 정답이다. 1번은 검사체적의 형태가 직육면체로 제한되지 않으며 임의의 형상으로 설정할 수 있으므로 틀렸다. 3번은 검사체적 내의 질량이 시간에 따라 변할 수 있으므로 틀렸는데, 예를 들어 유입량과 유출량이 다른 경우 내부 질량이 증가 또는 감소한다. 4번은 검사체적의 정의상 유체가 경계를 통해 자유롭게 출입할 수 있으므로 틀렸다.

멈춤장치 A가 받는 힘은 약 586kN이다.

그림의 수문은 바닥에서 3.2m 높이의 힌지 O에 매달려 있고 바닥의 멈춤장치 A가 회전을 막는다. 왼쪽은 물, 오른쪽은 수은(비중 13.6)이며 양쪽 액면 모두 바닥에서 2m, 수문 폭은 3m다.

각 액체의 전압력은 도심깊이 1m, 면적 2×3=6㎡로 계산한다.
물 쪽 $F_w=9800\times1\times6=58.8\,\mathrm{kN}$
수은 쪽 $F_m=13.6\times9800\times1\times6=799.7\,\mathrm{kN}$
두 힘의 작용점(압력중심)은 모두 바닥에서 $\dfrac{2}{3}=0.667\,\mathrm{m}$ 위다.

힌지 O에 대한 모멘트 평형에서 액체력의 팔길이는 3.2 − 0.667 = 2.533m, A의 힘은 3.2m이므로
$F=\dfrac{(799.7-58.8)\times2.533}{3.2}\approx586\,\mathrm{kN}$
수은 쪽 전압력이 물 쪽보다 압도적으로 커서 수문 아랫부분이 물 쪽으로 밀리려 하고, A는 이를 붙잡는 방향으로 이 힘을 받는다.

프루드수는 관성력과 중력의 비를 나타내므로, 자유표면을 가지는 유체의 흐름에서 역학적 상사성을 맞추는 기준이 된다.

개수로(open channel) 흐름이나 선박 주위 흐름처럼 중력의 영향이 지배적인 자유표면 유동에서 프루드수를 같게 하여 모형실험을 수행한다.

레이저 도플러 속도계(LDV)는 유동 내 입자에 산란된 빛의 도플러 편이를 이용해 속도를 구하므로, 유동장에 입자(트레이서)가 포함되어 있어야 측정할 수 있다.

열선속도계나 정압피토관, 프로펠러 속도계는 입자 없이도 열전달·압력차·회전 같은 물리량을 직접 측정해 유속을 구한다.

점 (L, L)에서 유속의 크기는 √2 U다.

주어진 속도장 $V(x,\,y)=\dfrac{U}{L}(-x\,i+y\,j)$ 에 x = L, y = L을 대입하면 두 성분은 $u=-U$, $v=U$ 가 된다.

속도의 크기는 성분의 벡터 합성이므로
$|V|=\sqrt{(-U)^{2}+U^{2}}=\sqrt{2}\,U$

부호가 다른 두 성분을 단순히 더해 0이나 2U로 보면 안 된다. 이 유동은 x방향으로 수축하고 y방향으로 신장하는 정체점 유동이며, 속도가 0이 되는 곳은 원점뿐이다.

파이프 내 점성유체의 압력 분포는 관성력과 점성력의 상호작용으로 결정된다.

이 두 힘의 비가 곧 레이놀즈수이며, 관 내 흐름의 층류·난류 구분과 압력강하 특성을 지배한다.

수위 H는 약 5m다.

그림은 큰 수조 옆면의 노즐(안지름 0.1m)에서 물이 대기 중으로 분출되는 상황이고, H는 수면(점 1)에서 노즐 중심(점 2)까지의 높이다.

먼저 출구 유속을 유량에서 구한다.
$A=\dfrac{\pi}{4}(0.1)^{2}=7.854\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
$V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.078}{7.854\times10^{-3}}=9.93\,\mathrm{m/s}$

수면과 노즐 출구는 모두 대기압이고 수면 강하속도는 무시되므로, 위치수두가 그대로 속도수두로 바뀌는 토리첼리 정리 $V=\sqrt{2gH}$ 가 성립한다.
$H=\dfrac{V^{2}}{2g}=\dfrac{9.93^{2}}{2\times9.8}=5.03\,\mathrm{m}$ 이므로 약 5m다.

Fe-C 상태도에서 온도가 가장 낮은 점은 공석점(약 727℃)이다.

순철의 자기변태점(약 768℃)보다도 낮으며, 공정점(약 1147℃)과 포정점(약 1495℃)은 이보다 훨씬 높은 온도에서 나타난다.

금형재료로서 요구되는 경도, 내마모성, 대량 생산 적합성을 종합적으로 만족하는 것은 초경합금이다. 초경합금은 텅스텐카바이드(WC)와 코발트(Co)의 소결합금으로, 극히 높은 경도와 내마모성을 갖추면서도 성형 가능성이 뛰어나 정밀한 금형 제작에 적합하다. 주철은 경도가 낮고, 탄소공구강은 고온에서 연화되어 금형용으로 제한적이며, Y합금강은 특수용도 강재로 대량생산 금형으로 일반적이지 않다. 따라서 대량 생산용 금형의 표준 재료는 초경합금이다.

특수강에서 합금원소가 강의 성질에 미치는 영향을 평가하는 문제다. Ni은 충격값과 인성을 높이고 저온 취성을 개선하므로 1번의 '결정입자 조절'은 틀렸다. Si는 탄성한계와 항복강도를 증가시키지만 인성과 저온 충격 저항을 저하시키므로 2번도 틀렸다. V와 Ti는 탄화물 형성으로 강도를 높이고 내마모성을 우수하게 하지만 전자기적 특성을 주목적으로 하지는 않으므로 3번도 틀렸다. Mn과 W은 고온에서의 경도와 인장강도를 현저히 증가시키는 특성이 있어 고속도강 등에 광범위하게 사용되므로 4번이 정답이다.

탄소강 속의 인(P)은 상온 취성(냉간 취성)의 원인이 된다.

결정립을 조대화시키고 강도·경도는 오히려 높이지만, 상온에서 인성을 떨어뜨려 취성을 유발한다는 점에서 황(S)이 일으키는 적열취성과 대비된다.

심냉처리(sub-zero treatment)의 목적은 담금질 후 남아 있는 잔류 오스테나이트를 마텐자이트로 변태시켜, 시간이 지나며 발생하는 시효변형을 방지하는 데 있다.

상온 담금질만으로는 오스테나이트가 완전히 마텐자이트화되지 않고 남을 수 있어, 영하의 온도까지 냉각해 조직을 안정화한다.

일정 중량의 추를 떨어뜨려 반발 높이로 경도를 나타내는 방법은 쇼어 경도시험이다.

브리넬·로크웰·비커즈 경도시험은 압입자를 시험편에 눌러 생긴 자국의 크기나 깊이로 경도를 구하는 압입식 시험이라는 점에서 원리가 다르다.

모넬금속(Monel metal)은 니켈-구리(Ni-Cu) 합금으로 내식성이 우수하여 내식용으로 사용된다.

규소강은 자성(투자율) 특성을 이용한 전기·전자 재료이고, 스텔라이트는 내마모·내열 합금이며, 엘린바는 온도 변화에도 탄성률이 거의 변하지 않는 정밀계측용 합금이다.

표준형 고속도 공구강의 주성분은 18% W, 4% Cr, 1% V, 0.8~0.9% C이다.

흔히 "18-4-1형" 고속도강으로 불리며, 텅스텐이 고온 경도를 유지시켜 절삭공구 재료로 널리 쓰인다.

ESD(초초두랄루민, Extra Super Duralumin)의 합금계는 Al-Cu-Zn-Mg-Mn-Cr이다.

아연과 마그네슘을 다량 첨가해 두랄루민 계열 중 가장 높은 강도를 내는 항공기용 알루미늄 합금이다.

조선 압연판용으로는 편석과 불순물이 적은 킬드강(killed steel)이 사용된다. 킬드강은 제강 과정에서 탈산제(알루미늄 등)를 첨가하여 산소를 제거한 강으로, 결정이 미세하고 균질성이 우수하며 편석이 적어 기계적 성질이 일정하다. 림드강은 탈산을 하지 않아 기포가 많고 편석이 심하며, 세미킬드강은 그 중간 정도의 성질을 가지므로 조선용 판재로는 부적합하다. 캡트강은 표면 결함을 줄이기 위한 특수 강종으로 압연판용으로 쓰이지 않는다.

감압밸브는 유압 밸브 중 상시 개방형으로 작동한다.

릴리프밸브·시퀀스밸브·언로드밸브는 설정압력에 도달하기 전까지 닫혀 있는 상시 폐쇄형인 반면, 감압밸브는 평소 열려 있다가 출구압력이 설정치를 넘으면 유로를 조여 압력을 낮춘다.

나사(스크류) 방식은 주로 유압 펌프에 쓰이는 형식이며, 유압 모터의 종류로는 분류되지 않는다.

유압 모터는 일반적으로 기어 모터, 베인 모터, 회전피스톤(피스톤) 모터로 구분된다.

플러싱 작업 시 플러싱유의 온도는 통상적인 유압유 작동온도보다 오히려 높게 유지해 점도를 낮추고 세정 효과를 높이므로, 20~30℃로 낮춘다는 설명은 틀렸다.

플러싱은 배관·기기 내 이물질을 제거하는 작업으로, 신규 설치·작동유 교환·장기 미사용 설비 재가동·분해 조립 후 등에 실시한다는 나머지 설명은 모두 맞다.

어큐뮬레이터는 펌프에서 토출되는 유량의 맥동을 흡수하고 압유를 축적했다가 간헐적 부하에 방출하여, 펌프를 소용량화할 수 있게 하는 기기이다.

필터·스트레이너는 이물질 제거, 오일 냉각기는 온도 관리를 위한 기기로 축압 기능과는 무관하다.

펌프의 전효율은 출력동력과 소비동력(입력동력)의 비로 구한다.

출력동력은 압력과 유량의 곱이다. 유량을 $Q = 50\ \mathrm{L/min} = 8.33\times10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$로 환산하면 $P_{out} = p \times Q = 3.92\times10^{6}\ \mathrm{Pa} \times 8.33\times10^{-4}\ \mathrm{m^3/s} \approx 3.27\ \mathrm{kW}$이다.

전효율은 $\eta = \dfrac{P_{out}}{P_{in}} = \dfrac{3.27}{3.68} \approx 0.888$, 즉 약 88.8%로 계산된다.

액추에이터(actuator)는 유체(공기압·유압)가 가진 에너지를 기계적인 일로 변환하여 실제 운동을 만들어내는 기기이다.

• 공기 베어링은 압축공기로 마찰 없이 물체를 지지하는 장치로 액추에이터와는 개념이 다르다.
• 전기에너지를 유체에너지로 바꾸는 것은 펌프·압축기의 역할이다.
• 압력에너지를 속도에너지로 바꾸는 것은 노즐 등에서 나타나는 유체역학적 현상일 뿐 액추에이터의 정의는 아니다.

배관 플랜지처럼 움직이지 않는 두 면 사이를 밀봉하는 실은 개스킷(gasket)이라 하며, 정지용 실로 분류된다.

반면 패킹(packing)은 축이나 로드처럼 움직이는 부분의 밀봉에 쓰이는 운동용 실이라는 점에서 구분된다.

점성이 지나치게 클 경우 유압기기에서 나타나는 현상을 판단하는 문제다. 보기 1, 2, 4는 모두 높은 점성의 직접적 결과다. 유동저항이 커지고, 마찰에 의한 동력손실이 증가하며, 밸브나 파이프를 통과할 때 압력손실이 커진다. 반면 보기 3의 "부품사이에 윤활작용을 하지 못한다"는 정반대 현상이다. 높은 점성은 오일이 부품 표면에 강한 유막을 형성하므로 윤활작용을 더욱 잘 한다. 점성이 너무 낮을 때 윤활작용이 제대로 이루어지지 않으므로, 보기 3은 점성이 지나치게 클 때의 현상이 아니다.

유체 흐름을 제한하는 장치 중 길이가 단면 치수에 비해 짧은 것은 오리피스다. 오리피스는 관 또는 용기에 뚫린 작은 구멍으로, 길이가 거의 무시할 수 있을 정도로 짧으면서 단면 치수(구멍의 지름)에 비해 매우 작은 치수 비를 가진다. 반면 초크(choke)는 관 형태로 길이가 상대적으로 길고, 벤트 관로와 휨 관로는 흐름 제한이 아닌 통로 기능을 한다.

피스톤에 걸린 부하가 갑자기 사라져도 피스톤이 급격히 튀어나가지 않도록 배압을 걸어 속도를 제어하는 회로는 카운터 밸런스 회로이다.

• 증압 회로는 낮은 압력을 이용해 국부적으로 높은 압력을 얻는 회로이다.
• 시퀀스 회로는 여러 액추에이터를 정해진 순서로 작동시키는 회로이다.
• 언로드 회로는 불필요한 시점에 펌프 부하를 제거해 동력 손실을 줄이는 회로이다.

방전가공(EDM)은 가공물과 전극 사이에서 발생하는 아크(스파크) 방전열로 재료를 용융·제거하는 비접촉 가공법이다.

가공이 전기적 방전으로 이루어지므로 재료의 경도와 무관하게 가공이 가능하며, 오히려 초경합금처럼 경도가 매우 높은 재료의 정밀가공에 널리 쓰인다.

단조의 기본 작업에는 소재를 길게 늘이는 늘리기(drawing), 굵고 짧게 만드는 업세팅(up-setting), 형상을 구부리는 굽히기(bending) 등이 있다.

스피닝(spinning)은 회전하는 소재를 롤러로 눌러 얇은 판재를 성형하는 판금가공법으로, 소재를 두드리거나 압축해 성형하는 단조와는 원리가 다르다.

강 표면에 알루미늄(Al)을 확산 침투시켜 고온 내스케일성(내산화성)을 높이는 금속침투법은 칼로라이징(calorizing)이다.

같은 방식으로 크롬을 침투시키면 크로마이징, 규소를 침투시키면 실리코나이징이라 하여 침투 원소에 따라 명칭이 달라진다.

라이저(riser, 압탕)는 응고 중 수축으로 부족해지는 쇳물을 보충하고, 주형 내 가스·기포를 배출하며, 쇳물에 압력을 가해 조직을 치밀하게 만드는 역할을 한다.

주물의 냉각속도 차이에 따른 균열 방지는 방안이나 냉각속도 설계로 다루는 문제이지, 라이저의 기능으로 보기는 어렵다.

테일러 공구수명식 $VT^{n}=C$에서 $n=0.5,\ C=200,\ T=40\ \mathrm{min}$이므로 절삭속도는 다음과 같이 구한다.

$V = \dfrac{C}{T^{n}} = \dfrac{200}{40^{0.5}} = \dfrac{200}{6.32} \approx 31.6\ \mathrm{m/min}$

따라서 세라믹 공구에 적합한 절삭속도는 약 31.6 m/min이다.

초경합금과 유리는 매우 경하고 취성이 강해 기계적 절삭이 어려우므로, 초음파 가공이 적합하다. 초음파 가공은 초음파 진동을 이용해 공구와 피삭재 사이에서 연마재 입자가 고속 충격을 일으켜 경한 재료를 가공한다. 래핑은 미세한 연마 입자로 평면을 정밀 가공하는 방법이고, 전해 가공은 전기화학을 이용해 전도성 금속을 가공하며, 액체 호닝은 액체와 연마재로 내부 통로를 가공하는 방법으로 초경합금과 유리의 일반적 가공법이 아니다.

강관을 길이방향으로 연속해서 이음매 용접할 때는 롤러 전극으로 연속 압접하는 심 용접(seam welding)이 적합하다.

점 용접과 프로젝션 용접은 겹친 판재를 점 단위로 접합하는 방식이고, 업셋 맞대기 용접은 단면끼리 맞대어 가압 접합하는 방식이어서 관의 긴 이음매를 연속 접합하기에는 부적합하다.

심압대 편위거리는 10mm다.

도면을 보면 공작물 전체 길이는 200mm이고, 앞쪽 80mm는 지름 42mm로 곧게 가다가 나머지 120mm 구간에서 φ42 → φ30으로 테이퍼진다.

테이퍼가 공작물 전체에 걸쳐 있지 않을 때 편위거리는 $e=\dfrac{L(D-d)}{2\,l}$ 로 구한다. 여기서 L은 공작물 전체 길이, l은 테이퍼 부분 길이다.

$e=\dfrac{200\times(42-30)}{2\times120}=\dfrac{2400}{240}=10\,\mathrm{mm}$
전체 길이 자리에 테이퍼 길이 120을 넣으면 6mm가 나오므로 L과 l의 구분이 이 문제의 핵심이다.

두께가 다른 여러 장의 얇은 강판을 부채꼴로 겹쳐 만들어 좁은 틈새를 측정하는 기구는 틈새 게이지(feeler gauge)이다.

와이어 게이지는 선재의 지름을, 드릴 게이지는 드릴의 지름을 판별하는 용도로 형태와 목적이 서로 다르다.

펀칭에 필요한 전단력은 전단저항 × 전단면적으로 구하고, 소요동력은 여기에 슬라이드 속도를 곱한 뒤 기계효율로 나누어 계산한다.

전단면적은 $A = \pi d t = \pi \times 1000 \times 4 \approx 12566\ \mathrm{mm^2}$이므로, 전단력은 $F = 245.25\ \mathrm{N/mm^2} \times 12566\ \mathrm{mm^2} \approx 3.08\times10^{6}\ \mathrm{N}$이다.

슬라이드 속도 $v = 5\ \mathrm{m/min} \approx 0.0833\ \mathrm{m/s}$를 적용하면 이론동력은 $Fv \approx 257\ \mathrm{kW}$이고, 기계효율 65%를 반영한 소요동력은 $\dfrac{257}{0.65} \approx 396\ \mathrm{kW}$이다.

완전소성충돌은 충돌 후 두 질점이 같은 속도로 붙어 움직이는 충돌로, 반발계수가 0이고 운동량은 보존된다.

다만 충돌 과정에서 변형·열 등으로 에너지가 소실되므로 전체 운동에너지(역학적 에너지)는 보존되지 않는다. 운동량만 보존된다는 점이 완전소성충돌의 핵심 특징이다.

천장에서 k₁과 (k₂+k₂)가 직렬로 이어진 구조이므로, 등가강성으로 계산하면 고유진동수는 약 0.2 Hz이다.

그림을 보면 질량 m은 좌·우 두 개의 k₂로 연결판에 매달려 있고, 그 연결판이 하나의 k₁로 천장에 걸려 있다. 나란히 붙은 두 스프링은 병렬이므로 k₂+k₂ = 8+8 = 16 N/m이다.

이 16 N/m 묶음과 k₁ = 15 N/m은 위아래로 이어져 직렬이 된다.
k_eq = (k₁×2k₂)/(k₁+2k₂) = (15×16)/(15+16) = 240/31 ≈ 7.74 N/m

f = (1/2π)√(k_eq/m) = (1/2π)√(7.74/5) = (1/2π)×1.244 ≈ 0.198 Hz

감쇠가 없는 방진 시스템의 진동전달률은 $T = \dfrac{1}{r^{2}-1}$ (단, $r=\omega/\omega_n$)로 나타내며, 이를 이용해 정적 수축량을 구한다.

$T=0.3$에서 $r^{2} = 1+\dfrac{1}{0.3} \approx 4.33$이고, 가진 각속도는 $\omega = \dfrac{2\pi \times 2000}{60} \approx 209.4\ \mathrm{rad/s}$이므로 고유각속도는 $\omega_n = \dfrac{\omega}{\sqrt{r^{2}}} \approx 100.6\ \mathrm{rad/s}$이다.

정적 수축량은 $\delta_{st} = \dfrac{g}{\omega_n^{2}} = \dfrac{9.81}{100.6^{2}} \approx 0.97\times10^{-3}\ \mathrm{m}$, 즉 약 0.97 mm이다.

수평으로 발사된 물체의 낙하시간은 높이만으로 결정되므로, 먼저 낙하시간을 구한 뒤 발사속도를 계산한다.

$h=\dfrac{1}{2}gt^{2}$에서 $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times1.5}{9.81}}\approx0.553\ \mathrm{s}$이다.

발사속도는 $v=\dfrac{x}{t}=\dfrac{16}{0.553}\approx29\ \mathrm{m/s}$로 계산된다.

마찰력과 B의 무게가 정확히 상쇄되어 P_y의 충격량만 남으므로, 5초 뒤 속도는 약 6.81 m/s이다.

그림에서 A(100 kg)는 수평면 위에 놓여 왼쪽에서 P_y가 수평으로 밀고, A의 오른쪽 줄이 모서리의 도르래를 돌아 B(30 kg)를 매달고 있다. A가 오른쪽으로 가면 B가 같은 속력으로 내려오므로 두 물체를 한 덩어리(130 kg)로 묶어 다룬다.

운동 방향으로 미는 힘은 P_y = 15t²와 B의 무게 30×9.81 = 294.3 N이고, 막는 힘은 A의 마찰 0.3×100×9.81 = 294.3 N이다. 무게와 마찰이 크기가 같아 서로 지워지므로 남는 것은 P_y뿐이다.

충격량 = ∫₀⁵ 15t² dt = 5t³ (0→5s) = 625 N·s
130×2.0 + 625 = 130×v
v = 885/130 ≈ 6.81 m/s

스프링 상수는 $k=\dfrac{F}{x}=\dfrac{100\ \mathrm{N}}{0.1\ \mathrm{m}}=1000\ \mathrm{N/m}$이다.

평형(자연 길이) 상태에서 $5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$만큼 늘어나게 하는 데 필요한 일은 $W=\dfrac{1}{2}kx^{2}=\dfrac{1}{2}\times1000\times0.05^{2}=1.25\ \mathrm{J}$이다.

따라서 필요한 일은 1.25 J이다.

$x=Ae^{j\omega t}$인 조화운동을 두 번 미분하면 가속도는 $\ddot{x}=(j\omega)^{2}Ae^{j\omega t}=-\omega^{2}Ae^{j\omega t}$가 된다.

따라서 가속도 진폭의 크기는 $\omega^{2}A$이다.

미끄러지지 않고 구르는 바퀴에서 지면 접촉점이 순간중심이므로, 최상단 A의 속도는 중심 O의 2배가 되어 V_A/V_O = 2이다.

그림에서 반경 R인 바퀴가 지면에 닿아 구르고 있고, A는 바퀴의 맨 위, O는 중심이다. 미끄러짐이 없으면 지면과 닿은 점의 속도가 0이 되어 그 점이 순간회전중심이 된다.

순간중심에서의 거리에 각속도를 곱하면 그 점의 속도가 나온다.
V_O = ω×R (접촉점에서 R만큼 떨어짐)
V_A = ω×2R (접촉점에서 지름 2R만큼 떨어짐)

따라서 V_A/V_O = 2ωR/ωR = 2이며, 이는 바퀴 윗부분이 지면에 대해 중심보다 두 배 빠르게 움직인다는 뜻이다.

반경 $r$인 원운동에서 가속도는 접선방향 성분과 법선(구심)방향 성분으로 나뉜다.

접선방향 가속도는 $r\alpha$이고, 법선방향 가속도는 각속도 제곱에 비례하는 $r\omega^{2}$이다.

회전운동에너지는 $E_k = \dfrac{1}{2}I\omega^{2}$로 구한다.

각속도는 $\omega = \dfrac{2\pi \times 3600}{60} \approx 377\ \mathrm{rad/s}$이다.

$E_k = \dfrac{1}{2}\times7.036\times377^{2} \approx 500{,}000\ \mathrm{J} = 500\ \mathrm{kJ}$로, 운동에너지는 약 500 kJ이다.