그림의 x-x 축은 원의 바깥 둘레에 접하는 축이므로 평행축 정리를 적용하면 $\dfrac{5\pi d^4}{64}$ 이다.

지름 d인 원이 x-x 축 위에 접해 놓여 있으므로 도심에서 축까지의 거리는 반지름 d/2 다.
$I_x=I_G+Ah^2=\dfrac{\pi d^4}{64}+\dfrac{\pi d^2}{4}\left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

$=\dfrac{\pi d^4}{64}+\dfrac{\pi d^4}{16}=\dfrac{\pi d^4+4\pi d^4}{64}=\dfrac{5\pi d^4}{64}$

$\pi d^4/64$ 는 도심축 값이고 $\pi d^4/32$ 는 극단면 2차모멘트다. 평행축 이동항 Ah² 을 빠뜨리지 않는 것이 관건이다.

하중과 형상이 좌우 대칭이므로 반력은 $R_A=R_D=210\,\mathrm{kN}$이다. 절점 A에는 수평재 AF와 사재 AB만 모이므로 AB의 연직분력이 반력 210 kN을 그대로 받아야 한다. AB는 수평 2 m에 연직 1.5 m(빗변 2.5 m, $\sin\theta=0.6$)이므로 $F_{AB}=\dfrac{210}{0.6}=350\,\mathrm{kN}$.

응력변환식에 대입하면 σ_x' ≒ 3.84 MPa 이다.

그림에서 읽히는 응력 상태는 σ_x = +20 MPa(인장), σ_y = −10 MPa(압축), τ_xy = −10 MPa 이다. 좌우 화살표는 바깥을 향해 인장이고 상하 화살표는 안쪽을 향해 압축이며, 윗면의 전단 화살표가 −x 방향이므로 전단은 음수다.

$\sigma_{x'}=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta$
$=\dfrac{20+(-10)}{2}+\dfrac{20-(-10)}{2}\cos60^\circ+(-10)\sin60^\circ$
$=5+7.5-8.66\approx3.84\ \mathrm{MPa}$

회전각이 30°이므로 식에는 2θ = 60° 를 넣어야 하고, σ_y 의 압축 부호와 전단의 음부호를 살려야 3.84가 나온다. 전단 부호를 반대로 두면 21 MPa 안팎으로 크게 벗어난다.

하중 P는 봉의 중앙에 걸리므로 P에 의한 신장은 위쪽 L/2 구간에서만 생겨 $\dfrac{P(L/2)}{AE}$이고, 자중에 의한 신장은 $\dfrac{\gamma L^2}{2E}$이다. 둘을 더하면 $\delta=\dfrac{L}{2E}\left(\gamma L+\dfrac{P}{A}\right)$.

최대 굽힘응력은 100 MPa이다.

굽힘응력은 $\sigma = \dfrac{Mc}{I}$이며, $c$는 중립축에서 표면까지 거리로 높이의 절반인 $10\ \mathrm{cm} = 0.1\ \mathrm{m}$이다.

$I = 251\ \mathrm{cm^4} = 2.51\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$
$\sigma = \dfrac{2510 \times 0.1}{2.51\times10^{-6}} = 1.0\times10^{8}\ \mathrm{Pa} = 100\ \mathrm{MPa}$

외팔보는 고정단에서 굽힘 모멘트가 최대이므로 P₁·L + P₂·b 이다.

그림은 오른쪽 끝이 벽에 고정된 외팔보로, 자유단인 왼쪽 끝에 P₁ 이 걸리고 자유단에서 a 만큼 떨어진 곳에 P₂ 가 걸린다. 그 지점부터 고정단까지가 b, 전체 길이가 L(= a + b)이다.

각 하중에 고정단까지의 팔 길이를 곱해 더하면 된다.
P₁ 의 팔 길이 = L
P₂ 의 팔 길이 = b
$M_{max}=P_1L+P_2b$

a는 자유단에서 P₂ 까지의 거리일 뿐 고정단까지의 팔 길이가 아니다. 따라서 a를 곱한 식이나 두 하중을 합쳐 L을 곱한 식은 성립하지 않는다.

최대 전단응력은 약 55.2 MPa이다.

중공축의 극단면 2차 모멘트는 $J=\dfrac{\pi}{32}(d_o^4-d_i^4)$이며, 최대전단응력은 $\tau=\dfrac{T \cdot (d_o/2)}{J}$이다.

$J = \dfrac{\pi}{32}(0.025^4-0.02^4) \approx 2.264\times10^{-8}\ \mathrm{m^4}$
$\tau = \dfrac{100 \times 0.0125}{2.264\times10^{-8}} \approx 55.2\ \mathrm{MPa}$

체적 변형률은 약 0.00038이다.

축응력 $\sigma=\dfrac{F}{A}$로 구하고, 축방향 변형률 $\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}$, 체적변형률은 $\varepsilon_v=(1-2\mu)\varepsilon$로 계산한다.

$A=\dfrac{\pi}{4}(0.02)^2\approx3.1416\times10^{-4}\ \mathrm{m^2},\ \sigma\approx95.5\ \mathrm{MPa}$
$\varepsilon\approx9.55\times10^{-4}$
$\varepsilon_v=(1-0.6)\times9.55\times10^{-4}\approx3.8\times10^{-4}$

한쪽 지점에만 모멘트가 걸린 단순보이므로 보 중앙의 처짐은 M₀ℓ²/(16EI)이다.

그림에서 A는 힌지, B는 롤러이고 길이 ℓ인 보의 B단에 모멘트 M₀만 작용한다. 반력은 R_A=M₀/ℓ, R_B=M₀/ℓ의 짝힘을 이루므로 A에서 x 떨어진 단면의 굽힘모멘트는 M(x)=M₀x/ℓ인 직선 분포가 된다.

탄성곡선식 EIy″=M(x)를 두 번 적분하고 y(0)=y(ℓ)=0을 적용하면
EIy = M₀x³/(6ℓ) − M₀ℓx/6
x=ℓ/2 대입 → EIy = M₀ℓ²/48 − M₀ℓ²/12 = −M₀ℓ²/16

따라서 중앙 처짐 크기는 δ = M₀ℓ²/(16EI)이다. 이 보의 최대 처짐은 중앙이 아니라 x=ℓ/√3 위치에서 M₀ℓ²/(9√3EI)로 생기므로, 중앙 처짐과 최대 처짐을 혼동하지 않도록 주의한다.

좌굴(buckling)은 장주가 축방향 압축하중을 받을 때 기둥이 옆으로 휘어지는 현상이다.

좌굴은 압축하중이 임계하중을 넘을 때 발생하는 불안정 현상으로, 인장하중이나 전단하중에 의한 변형과는 개념이 다르다.

비틀림 변형에너지는 $u = \dfrac{T^{2}L}{2GI_P}$이고 $I_P = \dfrac{\pi d^{4}}{32}$이므로, 같은 T·L·재질이면 u는 $d^{4}$에 반비례한다. 따라서 $\dfrac{u_1}{u_2} = \dfrac{d_2^{4}}{d_1^{4}} = \left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^{4}$이다.

지레의 모멘트 평형으로 스프링 힘을 구하면 δ = (a+b)P/(ak)이다.

그림에서 수평 강체 보는 왼쪽 끝이 핀으로 지지되고, 핀에서 a만큼 떨어진 곳에 스프링 상수 k인 스프링이 아래에서 받치며, 스프링에서 다시 b만큼 떨어진 오른쪽 끝(핀에서 a+b)에 하중 P가 아래로 작용한다.

핀에 대한 모멘트 평형: F_s·a = P·(a+b)
→ F_s = P(a+b)/a

스프링 변위는 δ = F_s/k 이므로 δ = (a+b)P/(ak)가 된다. 분모에 b가 들어간 식은 모멘트 팔을 스프링 위치가 아닌 구간 길이로 잘못 잡은 것이고, (a+b)를 분모에 둔 식들은 지레비가 뒤집혀 스프링 힘이 P보다 작아지므로 성립하지 않는다.

원주응력(후프응력)은 150 MPa이다.

얇은 원통형 압력용기의 원주응력은 $\sigma_h=\dfrac{PD}{2t}$로 구한다.

$\sigma_h=\dfrac{1.2\times10^6 \times 2.5}{2\times0.01}=1.5\times10^{8}\ \mathrm{Pa}=150\ \mathrm{MPa}$

재료의 비중과 관계있다는 설명이 틀렸다.

열응력은 $\sigma=E\alpha\Delta T$로 나타나며, 세로탄성계수·선팽창계수·온도차에 의해 결정될 뿐 재료의 밀도(비중)와는 무관하다.

양단 고정보에서 하중점까지 거리가 A쪽 a=6 m, B쪽 b=3 m(L=9 m)이므로 $R_B=\dfrac{Pa^2(3b+a)}{L^3}$다. 대입하면 $R_B=\dfrac{14\times6^2\times(9+6)}{9^3}=\dfrac{7560}{729}\approx10.37\,\mathrm{kN}$.

M/EI 선도의 면적을 이용하면 C점의 기울기는 3PL²/(64EI)이다.

그림에서 하중 P는 중앙 D(A에서 L/2)에 작용하고, C는 D에서 L/4 더 간 지점(B에서 L/4)이다. M/EI 선도는 D를 꼭짓점으로 하는 삼각형으로 최대값이 PL/(4EI)이며, C에서의 세로좌표는 (P/2)×(L/4)/EI = PL/(8EI)이다.

모멘트면적 제1정리로 θ_C = θ_A − (A~C 구간 M/EI 면적)
θ_A = PL²/(16EI)
A~D 삼각형 면적 = ½×(L/2)×PL/(4EI) = PL²/(16EI)
D~C 사다리꼴 면적 = (L/4)×½×[PL/(4EI)+PL/(8EI)] = 3PL²/(64EI)

따라서 θ_C = PL²/(16EI) − [PL²/(16EI) + 3PL²/(64EI)] = −3PL²/(64EI)이므로 크기는 3PL²/(64EI)이다. PL²/(16EI)는 지점 A(또는 B)에서의 기울기 값이므로 C점 값으로 쓸 수 없다.

최대 전단력은 B 지점 바로 오른쪽에서 100 kN이다.

그림에서 구간은 A(자유단)~B 2 m, B~C 6 m, C~D 2 m이고, 25 kN/m의 등분포하중이 A부터 C까지 8 m 구간에만 걸린다. 지지점은 B(롤러)와 D(핀)이며 C~D 구간은 무하중이다.

하중 합력 = 25 × 8 = 200 kN이 A에서 4 m 위치에 작용하므로
B점 모멘트 평형: R_D × 8 = 200 × 2 → R_D = 50 kN
→ R_B = 200 − 50 = 150 kN

전단력은 A에서 B 직전까지 −25×2 = −50 kN까지 내려갔다가 반력 150 kN만큼 뛰어 +100 kN이 되고, C까지 다시 줄어 −50 kN, D에서 반력 50 kN으로 0이 된다. 그러므로 절댓값 기준 최대 전단력은 100 kN이다.

전단변형률은 $12.5\times10^{-9}$이다.

전단변형률은 $\gamma=\dfrac{\tau}{G}$로 구한다.

$\gamma=\dfrac{1\times10^3}{80\times10^9}=12.5\times10^{-9}$

외팔보의 굽힘 변형에너지를 원형 단면에 대입하면 U = 32P²l³/(3πEd⁴)이다.

자유단에 P가 걸린 외팔보에서 자유단으로부터 거리 x인 단면의 굽힘모멘트는 M = Px이므로
U = ∫₀^l M²/(2EI) dx = P²l³/(6EI)

원형 단면의 단면 2차 모멘트 I = πd⁴/64를 대입하면
U = P²l³ × 64 / (6πEd⁴) = 32P²l³/(3πEd⁴)

처짐 δ = Pl³/(3EI)와 U = ½Pδ로 풀어도 같은 값이 나온다. 분자가 64인 식은 U = P²l³/(6EI)의 1/6을 빠뜨린 형태이고, 분모에 64π·9π가 들어간 식들은 I = πd⁴/64를 대입할 때 상수 정리를 잘못한 것이다.

종량적(extensive) 상태량은 엔탈피이다.

종량적 상태량은 계의 질량(크기)에 비례하는 양으로, 온도·압력·비체적처럼 질량과 무관하게 정해지는 강도성(intensive) 상태량과 구분된다.

"열원으로부터 받은 열을 모두 일로 바꾸는 것은 불가능하다"는 설명은 열역학 제2법칙(켈빈-플랑크 표현)에 해당하며, 제1법칙과는 거리가 멀다.

제1법칙은 에너지 보존, 열과 일의 상호 변환 가능성, 총에너지 불변을 다루는 법칙이다.

지수 $n=\infty$인 경우는 정적과정이다.

폴리트로픽 과정 $PV^n=C$에서 $n=0$은 정압, $n=1$은 등온, $n=k$는 단열, $n\to\infty$는 체적이 일정한 정적과정에 대응한다.

최종 온도는 약 335K이다.

단열 강체용기이므로 열출입은 없고, 패들일 5kJ이 내부에너지 증가로 전환된다: $\Delta U = mc_v\Delta T = W_{paddle}$.

$\Delta T=\dfrac{5}{0.2\times0.7165}\approx34.9\ \mathrm{K}$
$T_2=300+34.9\approx335\ \mathrm{K}$

그림의 사이클은 240K 저열원에서 $Q_3=30\,kJ$를 받고 외부에서 일 W를 공급받아, 320K로 $Q_1$, 370K로 $Q_2$를 방출하는 구조다.

제1법칙(에너지 보존)은 $Q_3+W=Q_1+Q_2$이다. $Q_1=20,\;Q_2=30,\;W=20\,kJ$을 넣으면 $30+20=20+30$으로 성립한다.

제2법칙은 전체 엔트로피 변화가 음이 아니어야 한다는 조건 $\dfrac{Q_1}{T_1}+\dfrac{Q_2}{T_2}-\dfrac{Q_3}{T_3}\ge0$이다. 대입하면 $\dfrac{20}{320}+\dfrac{30}{370}-\dfrac{30}{240}\approx0.0625+0.0811-0.125=0.019>0$으로 만족한다.

반면 $Q_1=20,\;Q_2=20,\;W=10$처럼 제1법칙만 맞는 조합은 엔트로피 합이 $-0.0084$로 음수가 되어 제2법칙에 위배되므로 성립할 수 없다.

엔트로피 변화량은 약 $0.268\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$이다.

등온과정이므로 이상기체의 내부에너지 변화는 0이고, 흡수한 열은 한 일과 같다: $Q=W=100\ \mathrm{kJ}$. 엔트로피 변화는 $\Delta S=\dfrac{Q}{T}$이다.

$T=100+273=373\ \mathrm{K}$
$\Delta S=\dfrac{100}{373}\approx0.268\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

탱크 안 공기의 최종 온도는 약 144.3℃이다.

진공 단열용기를 정상상태 공급관에서 채우는 과정은 엔탈피 보존형 충전으로, 최종온도는 $T_2=k\,T_1$로 결정되며 탱크 부피나 최종압력과는 무관하다.

$T_1=25+273=298\ \mathrm{K}$
$T_2=1.4\times298\approx417\ \mathrm{K}=144.3^\circ\mathrm{C}$

터빈 출구 건도가 낮을수록 효율이 좋아진다는 설명이 틀렸다.

터빈 출구의 건도가 낮다는 것은 수분 함량이 많다는 뜻으로, 이는 터빈 블레이드 침식을 유발하고 효율을 오히려 저하시키는 요인이다.

응축기 방열온도가 낮을수록 효율이 좋고, 증기 최고온도가 터빈 재료 내열특성에 제한되며, 압축일(급수펌프)이 팽창일보다 작은 것은 랭킨사이클의 실제 특징이다.

출구 건도를 먼저 구해 엔탈피 차를 잡으면 터빈 출력은 약 841 kJ/kg이다.

등엔트로피 과정이므로 s₂ = s₁ = 6.7428 kJ/(kg·K)이고, 30 kPa에서 s_f=0.9439, s_fg=6.8247이므로
x = (6.7428 − 0.9439)/6.8247 = 0.8497

출구 엔탈피는 h₂ = h_f + x·h_fg = 289.2 + 0.8497 × 2336.1 ≒ 2274.2 kJ/kg

터빈 일은 w_T = h₁ − h₂ = 3115.3 − 2274.2 ≒ 841.1 kJ/kg이다. 출구 엔트로피가 포화증기값 7.7686보다 작은 습증기 영역이므로 h_g=2625.3을 그대로 쓰면 안 되고, 반드시 건도를 거쳐야 한다.

계의 엔트로피 증가량은 약 465.5 J/K이다.

진공 용기로의 자유팽창이므로 온도는 변하지 않고, 공기가 차지하는 체적만 0.4 m³에서 0.6 m³로 늘어난다. 엔트로피 증가는 $\Delta S=mR\ln\dfrac{V_2}{V_1}$로 구한다.

$\Delta S=4\times0.287\times\ln\dfrac{0.6}{0.4}\approx0.4655\ \mathrm{kJ/K}=465.5\ \mathrm{J/K}$

기체가 한 일은 -500 J이다.

정압과정이므로 일은 $W=P\Delta V$로 구하며, 체적이 줄었으므로 기체는 외부로부터 일을 받은 상태이다.

$W=5000\times(0.2-0.3)=-500\ \mathrm{J}$

1개월 동안 사용한 에너지는 약 10830 kJ이다.

에너지는 전력×시간으로 구하며, 하루 7시간씩 30일 사용한 총 시간을 초 단위로 환산한다.

$t=7\times30\times3600=756000\ \mathrm{s}$
$E=14.33\times756000\approx1.083\times10^{7}\ \mathrm{J}=10830\ \mathrm{kJ}$

오토 사이클의 이론 열효율은 압축비로 결정되며, 계산하면 약 55.7%가 된다.

간극체적이 행정체적의 15%이므로 압축비는 $\varepsilon = \dfrac{V_c+V_s}{V_c} = \dfrac{0.15+1}{0.15} \approx 7.67$이다.

오토 사이클 효율식 $\eta = 1-\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)^{k-1}$에 $\varepsilon=7.67$, $k=1.4$를 대입하면 $\eta = 1-(1/7.67)^{0.4} \approx 0.557$, 즉 55.7%이다.

동일 질량 $m$의 두 이상기체 상태식을 비교하면, 기체 B의 분자량은 0.5M이 된다.

이상기체 상태방정식 $pV=\dfrac{m}{M}RT$을 분자량에 대해 정리하면 $M=\dfrac{mRT}{pV}$이다.

기체 A는 $M_A=\dfrac{mRT}{pV}=M$, 기체 B는 $M_B=\dfrac{mR(2T)}{(2p)(2V)}=\dfrac{mRT}{2pV}=\dfrac{M_A}{2}$이므로, 기체 B의 분자량은 0.5M이다.

표준대기압(1 atm ≈ 101.3kPa)과 차이가 가장 큰 압력값은 1 MPa이다.

단위를 통일해 대기압과의 차이를 보면 100kPa와 1bar(=100kPa)는 약 1.3kPa 차이에 불과하고, 100hPa(=10kPa)는 약 91kPa 차이다.

반면 $1\ \mathrm{MPa}=1000\ \mathrm{kPa}$은 대기압의 약 10배여서 차이가 약 899kPa로 압도적으로 크다.

증발 과정의 엔트로피 증가량은 잠열을 절대온도로 나눈 값으로, 약 5.6 kJ/K이다.

등온 상변화 과정에서 $\Delta S = \dfrac{Q}{T}$이며, $T=120+273=393\ \mathrm{K}$, $Q=2203\ \mathrm{kJ}$를 대입하면 $\Delta S = \dfrac{2203}{393} \approx 5.6\ \mathrm{kJ/K}$이다.

가스터빈의 질량유량은 출력을 온도강하에 따른 엔탈피 감소로 나누어 구하며, 약 7.44 kg/s이다.

단열 터빈의 일은 $\dot W = \dot m\,c_p\,(T_1-T_2)$로 나타나므로 $\dot m = \dfrac{\dot W}{c_p(T_1-T_2)}$이다.

$\dot W=5000\ \mathrm{kW}$, $c_p=1.12\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$, $T_1-T_2=1200-600=600\ \mathrm{K}$를 대입하면 $\dot m = \dfrac{5000}{1.12\times600} \approx 7.44\ \mathrm{kg/s}$이다.

정적비열을 이용한 내부에너지 변화량은 약 109.7 kJ이다.

내부에너지 변화는 $\Delta U = m\,c_v\,\Delta T$로 구하며, $\Delta T = 160-10=150\ \mathrm{K}$, $c_v=0.7315\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$를 대입하면 $\Delta U = 1\times0.7315\times150 \approx 109.7\ \mathrm{kJ}$이다.

이상적인 증기-압축 냉동사이클(Rankine cycle)에서 엔트로피 변화를 각 과정별로 분석하면, 응축과정이 유일하게 엔트로피가 감소한다. 증발과정(1번)과 압축과정(2번)은 열을 흡수하거나 일을 가해 엔트로피가 증가하고, 팽창과정(3번)도 압력 강하로 엔트로피가 증가하는 반면, 응축과정(4번)에서는 고온의 냉매가 응축기를 통해 열을 방출하면서 액체로 상변화되므로 엔트로피가 감소한다. 이 과정은 등온·등압 거동을 나타내며, 방출되는 열량이 엔트로피 감소량을 결정한다.

등온 과정에서 전달된 열량은 계가 한 일과 같으며, 약 34.7 kJ이다.

이상기체의 등온 과정에서는 내부에너지 변화가 없으므로 $Q=W=p_1V_1\ln\dfrac{V_2}{V_1}$이 성립한다.

$p_1=100\ \mathrm{kPa}$, $V_1=0.5\ \mathrm{m^3}$, $V_2=1.0\ \mathrm{m^3}$를 대입하면 $Q=100\times0.5\times\ln2 \approx 34.7\ \mathrm{kJ}$이다.

유체는 아무리 작은 전단응력에도 저항하지 못하고 연속적으로 변형하는 물질로 정의된다.

고체는 전단응력을 받아도 일정한 변형 상태를 유지하며 저항할 수 있지만, 유체는 아주 작은 전단력만 가해져도 계속 변형(유동)이 진행된다는 점이 본질적 차이다.

Stokes 법칙으로 구한 기름의 점성계수는 약 0.003379 kg/(m·s)이다.

등속 낙하 시 중력·부력·점성저항력이 평형을 이루므로 $\mu = \dfrac{2r^2(\rho_p-\rho_f)g}{9V}$가 성립한다.

입자 반지름 $r=5\times10^{-5}\ \mathrm{m}$, $\rho_p=7000$, $\rho_f=800\ \mathrm{kg/m^3}$, $V=0.01\ \mathrm{m/s}$를 대입하면 $\mu \approx 0.003379\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}$가 된다.

공기 중에서의 돌의 무게는 물속 무게에 부력을 더한 값으로, 약 59.6 N이다.

부력은 $F_B=\rho_w g V=1000\times9.81\times2\times10^{-3}\approx19.6\ \mathrm{N}$이다.

공기 중 무게는 $W_{air}=W_{water}+F_B=40+19.6\approx59.6\ \mathrm{N}$이 된다.

모형과 원형의 상사를 위해서는 레이놀즈수가 같아야 하며, 필요한 풍동 유속은 약 266 km/h이다.

레이놀즈수 상사 조건 $\dfrac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p} = \dfrac{\rho_m V_m L_m}{\mu_m}$에서 $V_m = V_p\times\dfrac{\rho_p}{\rho_m}\times\dfrac{L_p}{L_m}\times\dfrac{\mu_m}{\mu_p}$이다.

1/3 축척이므로 $L_p/L_m=3$이고, 나머지 물성값을 대입하면 $V_m \approx 100\times\dfrac{1.184}{1.269}\times3\times\dfrac{1.754}{1.849} \approx 266\ \mathrm{km/h}$가 된다.

층류 원관 유동의 압력강하는 Hagen-Poiseuille 식으로 구하며, 약 20.4 kPa이다.

$\Delta p = \dfrac{128\mu L Q}{\pi D^4}$에 $\mu=0.4\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$, $L=10\ \mathrm{m}$, $Q=2\times10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$, $D=0.02\ \mathrm{m}$를 대입한다.

계산하면 $\Delta p \approx \dfrac{128\times0.4\times10\times2\times10^{-5}}{\pi\times(0.02)^4} \approx 20.4\times10^{3}\ \mathrm{Pa}$, 즉 약 20.4 kPa이다.

통나무가 완전히 잠기는 조건에서 부력과 전체 무게가 같아지며, 통나무의 비중은 약 0.843이다.

납의 부피는 $V_{lead}=\dfrac{34}{11.3\times1000}\approx0.00301\ \mathrm{m^3}$이며, 완전 잠김 조건은 $\rho_w(V_{log}+V_{lead})=m_{log}+m_{lead}$이다.

여기서 $V_{log}=\dfrac{166+34}{1000}-0.00301\approx0.197\ \mathrm{m^3}$이므로, 통나무의 비중은 $S=\dfrac{m_{log}}{1000\times V_{log}}=\dfrac{166}{197}\approx0.843$이 된다.

관마찰에 의한 압력손실을 Darcy-Weisbach 식으로 구하면 약 296 kPa이다.

유량 $Q=\dfrac{15000}{24\times3600}\approx0.174\ \mathrm{m^3/s}$이고 관 단면적 $A=\dfrac{\pi D^2}{4}\approx0.0962\ \mathrm{m^2}$이므로 유속은 $V=Q/A\approx1.80\ \mathrm{m/s}$이다.

손실수두 $h_f=f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g}\approx0.032\times\dfrac{2000}{0.35}\times\dfrac{1.80^2}{2\times9.81}\approx30.2\ \mathrm{m}$이며, 필요한 압력은 $\Delta p=\rho g h_f\approx1000\times9.81\times30.2\approx296\ \mathrm{kPa}$이다.

급수관 압력으로 얻는 분출속도로 최대 수평도달거리를 구하면 약 40.8 m이다.

토리첼리 정리로 분출속도는 $v=\sqrt{\dfrac{2p}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{2\times200000}{1000}}=20\ \mathrm{m/s}$이다.

발사·도달 지점의 높이가 같을 때 최대 수평거리는 45° 발사에서 얻어지며 $R=\dfrac{v^2}{g}=\dfrac{20^2}{9.81}\approx40.8\ \mathrm{m}$이다.

연속방정식과 베르누이 방정식을 적용하면 입구와 출구의 압력차는 약 1.5 kPa이다.

연속방정식 $A_1V_1=A_2V_2$에서 $V_2=\dfrac{A_1}{A_2}V_1=\dfrac{20}{10}\times1=2\ \mathrm{m/s}$이다.

수평 노즐의 베르누이 방정식으로 $p_1-p_2=\dfrac{1}{2}\rho(V_2^2-V_1^2)=\dfrac{1}{2}\times1000\times(2^2-1^2)=1500\ \mathrm{Pa}$, 즉 1.5 kPa이다.

뉴턴 유체는 전단응력이 속도구배에 비례하는 유체를 말한다.

$\tau=\mu\dfrac{du}{dy}$의 선형 관계가 성립하는 유체가 뉴턴 유체이며, 물이나 공기와 같은 대부분의 일반 유체가 여기에 해당한다.

모세관 상승 높이는 관 지름에 반비례하므로, 지름 1:2인 두 모세관의 상승 높이비는 2:1이다.

모세관 현상에 의한 상승 높이는 $h=\dfrac{4\sigma\cos\theta}{\rho g d}$로 표현되어 지름 $d$에 반비례한다.

따라서 지름비가 1:2이면 높이비는 그 역수인 2:1이 된다.

두 속도 성분을 차례로 적분하면 ø = ax³/3 − axy² + C이다.

주어진 속도장은 u = a(x²−y²), v = −2axy이고 ∂u/∂y = −2ay = ∂v/∂x 이므로 와도가 0인 비회전 유동이어서 속도 퍼텐셜이 존재한다.

u = ∂ø/∂x = a(x²−y²) → ø = ax³/3 − axy² + f(y)
이를 y로 미분하면 ∂ø/∂y = −2axy + f′(y)이고, 이 값이 v = −2axy와 같아야 하므로 f′(y) = 0, 즉 f(y) = C

따라서 ø = ax³/3 − axy² + C이다. ax⁴/4로 시작하는 식은 u를 적분할 때 지수를 잘못 올린 것이고, axy²/2 항을 가진 식은 y로 미분하면 v = −axy가 되어 주어진 속도장과 맞지 않는다.

경계층 두께는 관례적으로 자유흐름 속도의 99%에 도달하는 지점까지의 거리로 정의한다.

퍼텐셜(자유)흐름 속도가 10m/s이므로, 경계층 두께 기준이 되는 속도는 $0.99\times10=9.9\ \mathrm{m/s}$이다.

바닥 압력은 액체의 깊이에만 좌우되므로 네 용기 모두 같다.

그림의 용기는 각각 폭 2b의 직사각형, 폭 b의 직사각형, 위 2b·아래 b로 좁아지는 사다리꼴, 위 b·아래 2b로 넓어지는 사다리꼴이지만 액면에서 바닥까지의 높이가 모두 동일하고 액체도 같다.

정수압은 P = ρgh(= γh)로 폭·부피·담긴 액체의 무게와 무관하다. 벽이 기울어져 있어도 수직 깊이만 같으면 바닥 압력이 같아지는 이 성질을 수력학적 역설이라 한다.

다만 바닥이 받는 전압력(힘)은 P×A이므로 바닥 면적이 넓은 용기일수록 크다. 문제는 힘이 아니라 압력을 묻고 있으므로 면적 차이는 답에 영향을 주지 않는다.

구의 항력은 항력계수를 이용한 항력식으로 구하며, 약 1.16 N이다.

구의 투영면적은 $A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi\times0.05^2}{4}\approx1.963\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$이다.

항력 $F_D=C_D\dfrac{1}{2}\rho V^2A=0.6\times0.5\times1.23\times40^2\times1.963\times10^{-3}\approx1.16\ \mathrm{N}$이 된다.

관성력 개념이 포함되지 않은 무차원수는 푸리에수(Fourier number)이다.

• 프루드수는 관성력과 중력의 비이다.
• 레이놀즈수는 관성력과 점성력의 비이다.
• 마하수는 관성력(속도)과 탄성력(음속)의 비이다.

반면 푸리에수는 $Fo=\dfrac{\alpha t}{L^2}$로 정의되어 비정상 열전도에서 열확산이 얼마나 진행되었는지를 나타내는 무차원 시간이므로, 관성력과는 무관하다.

연속방정식으로 구한 관 내 평균 유속은 약 4.0 m/s이다.

관 단면적은 $A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi\times0.1^2}{4}\approx7.85\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$이다.

평균 유속은 $V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0.0314}{7.85\times10^{-3}}\approx4.0\ \mathrm{m/s}$이다.

움직이는 곡면에 가해지는 수평력은 상대속도 (V−U)의 제곱에 비례하므로, V와 U의 차이가 가장 큰 조합이 답이다.

그림에서 유체는 속도 V로 수평 유입되어 곡면을 따라 90° 꺾여 연직 위로 빠져나가고, 곡면은 유체와 같은 방향으로 속도 U로 달아난다. 곡면에서 본 상대속도는 (V−U)이고 유출 쪽에는 수평 성분이 없으므로
F_x = ρA(V−U)·[(V−U) − 0] = ρA(V−U)²

유동단면적 A가 일정하다고 했으니 (V−U)²만 비교하면 된다.

• V=10, U=5 → (10−5)² = 25
• V=20, U=15 → (20−15)² = 25
• V=10, U=4 → (10−4)² = 36
• V=25, U=20 → (25−20)² = 25

V가 25로 가장 커도 U와의 차이가 5면 힘은 다른 조합과 똑같다. 속도 차가 6인 V=10m/s·U=4m/s에서 수평력이 최대가 된다.

원관 내 완전발달 층류 유동에서는 최대속도가 평균속도의 2배가 된다.

층류의 속도분포는 포물선(Hagen-Poiseuille) 형태를 가지며, 이때 관 중심의 최대속도 $V_c$와 단면 평균속도 $V$ 사이에는 $V_c=2V$의 관계가 성립한다.

비압축성 유동의 Navier-Stokes 방정식에는 표면장력이 나타나지 않는다.

Navier-Stokes 방정식은 체적력(중력), 압력, 점성력의 합으로 유체 요소의 운동량 변화를 나타내며, 표면장력은 자유표면 등 경계조건에서 별도로 고려되는 힘이다.

마그네슘의 특징 중 틀린 것을 판별하는 문항이다. 마그네슘은 육방정계(HCP) 결정구조로 인해 상온에서 소성가공성이 낮아 상온변형이 어렵고, 일반적으로 150~200°C 이상의 고온에서 가공되어야 한다. 따라서 "소성가공성이 높아 상온변형이 쉽다"는 2번이 틀렸다.
1번 감쇠능은 마그네슘이 주철보다 크고, 3번 비중은 약 1.74~1.8 g/cm³로 정확하며, 4번 비강도(강도/비중)가 매우 커서 항공기, 자동차, 휴대폰 등 경량화가 필요한 분야에서 널리 사용된다.

Al-Cu-Si계 알루미늄 합금은 라우탈이라 부른다.

• 실루민은 Al-Si계 합금이다.
• Y합금은 Al-Cu-Ni-Mg계 내열 합금이다.
• 두랄루민은 Al-Cu-Mg-Mn계 합금이다.

결정성 플라스틱의 특성을 정확히 구별하면, 1번 불투명성은 결정 구조로 인한 광산란으로 참이고, 4번 높은 용융열도 결정 격자 구조 파괴에 많은 에너지가 필요하므로 참이다. 3번 변형이 크다는 것도 결정성 플라스틱이 가소성(plasticity)을 가져 굽힘·휨에 유리한 특성이므로 참이다. 반면 2번은 결정성 플라스틱이 배향 특성이 크다는 것이 올바른 설명인데, 보기는 "배향 특성이 작다"고 하여 틀렸다. 결정성 플라스틱은 분자 사슬이 규칙적으로 배열되어 있어 외부 응력이나 성형 과정에서 배향(분자 정렬)이 잘 일어나고, 이는 강도와 경도를 높이는 특성으로 작용한다.

금속이 냉각될 때 냉각 속도가 빠르면 핵생성 시간은 짧아지고 각 핵에서 성장할 시간이 부족하여 많은 수의 작은 핵이 동시에 형성되고 성장이 제한된다. 따라서 결정 입자가 미세해지며, 이는 냉각 속도가 느릴 때 소수의 핵이 충분히 성장하여 조대한 조직을 형성하는 것과 대비된다. 보기 3번은 냉각이 느릴 때의 특징이고, 4번은 명백히 거짓이므로 정답은 1번이다.

자기변태는 상(결정구조)은 변하지 않고 자기적 성질만 변화하는 현상이다.

결정구조가 바뀌는 동소변태와 달리, 자기변태는 원자 배열은 그대로 유지된 채 퀴리점을 경계로 강자성에서 상자성 등으로 자기적 성질만 연속적으로 바뀐다.

탄소강이 약 950℃ 부근 고온에서 적열메짐을 일으키는 원인 원소는 황(S)이다.

황은 철과 결합해 융점이 낮은 FeS를 만들어 결정립계에 존재하게 되므로, 고온 가공 시 결정립계가 먼저 녹아 취성 파괴(적열메짐)를 일으킨다.

비파괴 시험이 아닌 것은 충격 시험법이다.

충격 시험은 시편을 파괴하여 인성을 평가하는 파괴 시험이며, 자기탐상·방사선·초음파 탐상은 재료를 파괴하지 않고 결함을 검출하는 비파괴검사법이다.

공정주철의 탄소 함량은 약 4.3%이다.

Fe-C 상태도에서 공정 반응이 일어나는 조성이 탄소 약 4.3%이며, 이 조성의 주철을 공정주철이라 한다. 탄소량이 이보다 적으면 아공정주철, 많으면 과공정주철로 구분한다.

A₁ 변태점 이하에서 실시하는 열처리는 뜨임(tempering)이 정답이다. 담금질로 경화된 강재는 매우 취성이 높아 실용성이 떨어지므로, A₁ 변태점(약 727°C) 이하의 온도에서 재가열하여 조직을 부분적으로 소성화시켜 경도와 인성의 균형을 맞추는 것이 뜨임의 목적이다. 풀림은 상온에서 내부응력을 제거하는 저온 열처리이고, 담금질은 오스테나이트 영역 이상에서 실시하며, 노멀라이징도 재결정 온도 이상에서 수행하므로 모두 A₁ 변태점 이하 조건에 맞지 않는다.

고속도강 SKH51을 HRC 64 이상으로 담금질하기 위한 퀜칭 온도는 약 1220℃이다.

고속도강은 W·Mo·Cr·V 등 합금원소가 많아 탄화물을 충분히 고용시키려면 1200℃ 이상의 매우 높은 온도에서 담금질해야 하며, 이는 일반 탄소강·합금강의 담금질 온도(800~900℃대)보다 훨씬 높다.

로드가 관통한 B측은 유효 수압면적이 A측보다 작으므로 압력이 오히려 커져 P_B = 4.0MPa가 된다.

그림에서 A측은 로드가 없는 헤드측(피스톤 전면적), B측은 로드가 빠져나가는 로드측(환상면적)이다. B 출구를 막고 로드에 부하가 없으면 피스톤에 걸리는 힘이 서로 평형이므로
P_A·A_A = P_B·A_B

A_A = (π/4)×50² = 1963.5mm²
A_B = (π/4)×(50² − 25²) = (π/4)×1875 = 1472.6mm²
P_B = 3 × 1963.5/1472.6 = 4.0MPa

면적비가 50² : (50²−25²) = 2500 : 1875 = 4 : 3이므로 압력은 그 역수인 4/3배로 증압된다. 로드 지름이 안지름의 절반이라는 점만 보고 압력이 절반이 될 것으로 짐작하면 틀린다.

오일 탱크 구비조건 중 옳지 않은 것은 방해판(배플)에 대한 설명이다.

방해판은 오일의 순환 경로를 길게 만들어 기포 방출과 오일 냉각을 돕는 역할을 하는데, 이를 순환거리를 짧게 한다고 설명한 것은 반대로 서술된 것이다.

바닥면 간격 확보, 스트레이너 출입구, 탱크 용량에 관한 설명은 모두 오일 탱크의 정상적인 구비조건에 해당한다.

방향전환밸브에서 밸브와 주 관로를 접속시키는 구멍은 포트(port)라고 한다.

웨이(way)는 포트의 수, 스풀(spool)은 밸브 내부에서 유로를 바꾸는 이동 부품, 포지션(position)은 밸브의 전환 위치를 가리키는 용어로 서로 구분된다.

실린더 출구 측에 유량제어밸브를 직렬로 설치해 속도를 제어하는 회로는 미터 아웃 회로이다.

입구 측에 유량제어밸브를 설치하는 방식은 미터 인 회로이며, 미터 아웃 회로는 실린더에서 나가는 유량을 제어해 배압을 통해 속도를 조절하는 방식이다.

유압 프레스는 파스칼의 원리(Pascal's Principle)에 기반한다. 파스칼의 원리는 밀폐된 유체에 가해진 압력이 유체 내 모든 점에 같은 크기로 전달된다는 법칙으로, 서로 다른 단면적을 가진 두 개의 실린더에 유체를 채웠을 때 작은 면적에 가한 압력이 큰 면적으로 전달되면서 기계적 이득을 얻을 수 있다. 이를 통해 작은 힘으로 큰 힘을 낼 수 있는 유압 프레스의 작동 원리가 성립한다.

유압 용어 중 올바르게 설명된 것은 서지압력에 관한 것이다.

서지압력은 밸브의 급조작 등으로 계통 내 유동이 과도적으로 변할 때 순간적으로 발생하는 압력을 말한다.

오리피스는 단면 치수에 비해 길이가 짧은 죔구, 초크는 반대로 길이가 긴 죔구여서 두 설명은 서로 바뀌어 있으며, 크래킹 압력도 밸브가 열리기 시작하는 압력이므로 제시된 설명(닫히는 압력)과는 다르다.

가변 용량형 베인 펌프의 작동 원리와 특성을 정확히 파악하는 문항이다. 1번 로터와 링 사이의 편심량 조절로 토출량을 변화시키는 것은 가변 베인 펌프의 핵심 원리이며, 2번 유압회로에 의해 필요한 유량을 토출하는 것도 가변형의 특징이다. 3번 토출량을 줄여서 유량을 감소시키면 내부 마찰과 누설이 줄어들어 발열량이 감소하므로 온도 상승 억제가 가능하다. 반면 4번은 잘못된 설명인데, 베인 펌프는 고속 회전에서 베인과 링 사이의 상대 운동으로 인한 마모가 크고, 베인의 왕복 운동으로 인해 소음이 상대적으로 크며 수명도 기어펌프나 피스톤펌프에 비해 상대적으로 짧은 편이다.

기호 몸체의 위·아래에 몸체와 나란한 평행선이 한 줄씩 덧그려져 있는데, 이는 위치가 단계 없이 연속으로 변한다는 표시이므로 서보 밸브다.

그림의 본체는 4포트 3위치 방향제어 밸브다. 왼쪽 칸은 교차 화살표(포트를 엇갈려 연결), 가운데 칸은 네 포트가 모두 막힌 클로즈드 센터, 오른쪽 칸은 나란한 화살표이며 양 끝에 스프링이 있어 중립으로 복귀한다. 왼쪽 조작부에는 비스듬한 화살표가 걸려 조작량을 가변할 수 있음을 나타낸다.

여기에 평행선 표기가 더해지면 정해진 세 위치만 오가는 것이 아니라 그 사이 임의의 위치에 머물러 유량과 방향을 연속적으로 제어한다는 뜻이 되고, 이것이 서보 밸브 고유의 표기다.

• 셔틀 밸브: 두 입구 중 높은 압력 쪽만 통과시키는 3포트 볼 기호로, 사각 칸이 여러 개인 이 기호와 형태가 전혀 다르다.
• 파일럿 밸브: 주밸브를 움직일 파일럿 압유를 내보내는 소형 밸브로, 무단계를 뜻하는 평행선이 붙지 않는다.
• 교축전환 밸브: 캠·롤러로 눌러 유량을 서서히 조이는 감속용 밸브라 교축(오리피스) 기호와 롤러 조작부로 그린다.

점성계수(동적 점도)의 차원은 Newton의 점도식 $\tau = \mu \frac{dv}{dy}$에서 유도된다. 전단응력 $\tau$의 차원은 $[ML^{-1}T^{-2}]$(압력과 동일)이고, 속도 구배 $\frac{dv}{dy}$의 차원은 $[T^{-1}]$이므로, 점성계수 $\mu$의 차원은 $\frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$이다.

유압유에 섞인 자성 고형물을 여과하는 데 가장 적합한 필터는 자기식 필터이다.

자기식 필터는 자석을 이용해 철분 등 자성을 띠는 마모 입자를 선택적으로 포집하므로, 일반 여과망 방식인 표면식·적층식·다공체식 필터보다 자성 이물질 제거에 효과적이다.

공진 진폭은 약 0.075cm이다.

감쇠 강제진동에서 가진 진동수가 고유진동수와 같아지는 공진점에서는 진폭이 $X=\dfrac{F_0}{c\,\omega_n}$로 단순화된다.

고유진동수는 $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{10000}{20}}\approx22.4\ \mathrm{rad/s}$이다.

따라서 $X=\dfrac{100}{6000\times22.4}\approx7.45\times10^{-4}\ \mathrm{m}=0.075\ \mathrm{cm}$가 된다.

같은 질량끼리의 충돌이 두 번 연달아 일어나므로 C의 충돌 직후 속도는 약 1.15m/s다.

그림에서 A만 오른쪽으로 1.5m/s로 달리고 B, C는 브레이크가 풀린 채 정지해 있다. 질량이 같은 차가 정지한 차를 때리면 운동량 보존과 반발계수 정의로부터
맞은 차: v′ = v(1+e)/2    때린 차: v″ = v(1−e)/2

A→B 충돌: v_B = 1.5 × (1+0.75)/2 = 1.3125m/s
(이때 A는 1.5 × 0.25/2 = 0.1875m/s로 느려져 B를 다시 따라잡지 못한다)
B→C 충돌: v_C = 1.3125 × (1+0.75)/2 = 1.148 ≒ 1.15m/s

두 번 모두 정지한 차를 때리는 형태라 속도가 매번 (1+e)/2 = 0.875배씩 곱해진다. 즉 1.5 × 0.875² = 1.15m/s로 한 번에 구할 수도 있다. 중간값 1.31m/s는 첫 충돌 직후 B의 속도이므로 여기서 멈추면 안 된다.

A가 10회전한 순간의 각속도를 구한 뒤 접촉점 선속도가 같다는 조건을 쓰면 B의 각속도는 약 21.1rad/s다.

그림처럼 반지름 20cm인 원판 A와 15cm인 원판 B가 외접해 미끄럼 없이 맞물려 돈다. A는 정지 상태에서 α_A = 2rad/s²로 등각가속하고, 10회전은 θ = 10 × 2π = 20π rad이므로
ω_A² = 2α_Aθ = 2 × 2 × 20π = 80π
ω_A = √80π = 15.85rad/s

미끄럼이 없으면 접촉점의 선속도가 같으므로 ω_Ar_A = ω_Br_B
ω_B = 15.85 × 20/15 = 21.1rad/s

각속도는 반지름에 반비례하므로 작은 원판 B가 더 빨리 돈다. 15.9는 반지름 비를 곱하지 않은 A의 각속도 그대로이고, 62.8은 10회전의 각변위 20π rad을 각속도로 착각한 값이다. 비를 뒤집어 15/20을 곱하지 않도록 방향을 반드시 확인한다.

임계감쇠계수는 $c_c=2\sqrt{mk}$다.

운동방정식 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$에 $x=e^{st}$를 넣으면 특성방정식 $ms^2+cs+k=0$을 얻는다. 임계감쇠는 이 근이 중근이 되는 경계, 즉 진동하지 않고 가장 빨리 평형으로 돌아오는 조건이다.

판별식을 0으로 두면
$c^2-4mk=0 \;\Rightarrow\; c_c=2\sqrt{mk}$

고유진동수 $\omega_n=\sqrt{k/m}$를 쓰면 같은 값을 $c_c=2m\omega_n=\dfrac{2k}{\omega_n}$로도 쓸 수 있다. 반면 $\sqrt{2k/\omega_n}$, $\sqrt{\omega_n/2k}$, $\sqrt{2m\omega_n}$처럼 근호 안에 $\omega_n$이 들어간 형태는 단위(N·s/m)부터 맞지 않아 계산 없이도 걸러낼 수 있다.

극좌표 가속도의 두 성분을 합성하면 약 0.005m/s²다.

그림은 고정 힌지 O를 중심으로 회전하는 홈 파인 막대 안에서 블록 P가 반지름 방향으로 미끄러지는 구조다. 주어진 값은 r = 300mm = 0.3m, $\dot{r}=40\,\mathrm{mm/s}=0.04\,\mathrm{m/s}$(일정하므로 $\ddot{r}=0$), $\dot{\theta}=0.1\,\mathrm{rad/s}$, $\ddot{\theta}=-0.04\,\mathrm{rad/s^2}$이다.

반지름 성분: $a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=0-0.3\times0.1^2=-0.003\,\mathrm{m/s^2}$
원주 성분: $a_\theta=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=0.3\times(-0.04)+2\times0.04\times0.1=-0.012+0.008=-0.004\,\mathrm{m/s^2}$

두 성분은 서로 직교하므로
$a=\sqrt{0.003^2+0.004^2}=\mathbf{0.005\,\mathrm{m/s^2}}$
$\dot{r}$이 일정하다고 해서 원주 성분을 $r\ddot{\theta}$만으로 계산하면 안 된다. 코리올리 항 $2\dot{r}\dot{\theta}$가 살아 있어 −0.012가 −0.004로 줄어드는 것이 이 문제의 핵심이다.

낙하 높이 h에 추가 변형 x까지 더한 위치에너지가 모두 스프링 변형에너지로 바뀌므로 x_max = [mg + √((mg)² + 2kmgh)] / k다.

그림에서 h는 스프링이 변형되지 않은 상태까지의 낙하 높이이고, 질량 m은 그 뒤에도 x만큼 더 내려가며 스프링을 누른다. 최대 변형점에서는 속도가 0이므로 에너지 보존식은
$mg(h+x_{max})=\tfrac{1}{2}kx_{max}^{2}$

정리하면 $kx_{max}^{2}-2mg\,x_{max}-2mgh=0$이고, 근의 공식에서 물리적으로 의미 있는 양의 근만 취하면
$x_{max}=\dfrac{2mg+\sqrt{4(mg)^2+8kmgh}}{2k}=\dfrac{mg+\sqrt{(mg)^2+2kmgh}}{k}$

낙하하는 동안 내려간 h뿐 아니라 스프링을 누르며 더 내려간 x의 위치에너지도 포함해야 한다는 점이 함정이다. $\sqrt{2gh}$(속도 차원이라 길이가 될 수 없다)나 $\sqrt{2mgh/k}$(x의 위치에너지를 빠뜨린 식)는 이 조건을 만족하지 못하고, 근호 안이 $(mg)^2+kmgh$인 식은 $2kmgh$의 계수 2가 빠져 있다.

반발계수가 1인 완전탄성충돌이며 마찰이 없으므로, 수평면과 수직한 방향의 속도 성분만 크기는 같고 방향이 반대로 바뀌며(수평 성분은 불변), 이로 인해 입사각과 반사각이 같아지고 운동에너지도 보존된다. 그러나 충돌 전후 속도(운동량)의 방향이 변하므로 운동량 벡터 자체는 같지 않다 — 즉 보기 1이 틀린 설명이다. 공이 받은 충격량(운동량 변화량)은 수평면이 받은 충격량과 작용-반작용으로 크기가 같으므로 보기 3은 옳다. 따라서 틀린 설명은 1번이다.

이 진동의 진동수는 1Hz, 각진동수는 6.28rad/s이다.

매분 60회 반복하므로 초당 반복 횟수는 $f=\dfrac{60}{60}=1\ \mathrm{Hz}$이다.

각진동수는 $\omega=2\pi f=2\pi\times1\approx6.28\ \mathrm{rad/s}$로 환산된다.

A점에 대한 회전 운동방정식을 세우면 각가속도는 α = 3g/(4L)이다.

그림에서 막대 AB는 천장에 고정된 A점 힌지에 매달려 수평선 아래로 θ = 60° 기울어져 있다. 무게 mg는 막대 중앙(A에서 L/2 지점)에 연직 아래로 작용하고, A점 기준 모멘트 팔은 연직력에 대한 수평 거리 (L/2)cos θ다.
M_A = mg × (L/2)cos60° = mg × L/4 = mgL/4

한쪽 끝을 지나는 축에 대한 가는 균일 막대의 관성모멘트는 I_A = mL²/3이므로
α = M_A / I_A = (mgL/4) ÷ (mL²/3) = 3g/(4L)

θ를 수평선에서 재고 있으므로 모멘트 팔에 sin이 아니라 cos을 써야 하고(sin을 쓰면 3√3g/(4L)이 된다), 차원상 모멘트의 L¹을 관성모멘트의 L²로 나눠 1/L가 되므로 1/L²이 붙은 식은 성립할 수 없다.

자동차의 선형운동량은 약 12010 N·s이다.

무게로부터 질량은 $m=\dfrac{W}{g}=\dfrac{5300}{9.81}\approx540.3\ \mathrm{kg}$이다.

속도는 $v=80\ \mathrm{km/h}\approx22.22\ \mathrm{m/s}$이므로 운동량은 $p=mv\approx540.3\times22.22\approx12010\ \mathrm{N\cdot s}$가 된다.

셰이퍼에서 1분간 왕복 횟수를 구하려면 먼저 절삭 행정 거리와 시간을 파악해야 한다. 절삭 행정 거리는 공작물 길이에 행정여유를 더한 값이므로 340 + 25 = 365mm이다. 절삭 평균속도 15m/min = 15,000mm/min이므로, 절삭 행정에 소요되는 시간은 $\frac{365}{15000} = \frac{365}{15000}$분이다. 문제에서 "바이트 1왕복 시간에 대한 절삭 행정시간의 비는 3/5"라는 조건이 주어졌으므로, 절삭 행정시간을 $t_c$라 하면 바이트 1왕복 시간 $T$는 $\frac{t_c}{T} = \frac{3}{5}$, 즉 $T = \frac{5t_c}{3}$이다. $t_c = \frac{365}{15000}$분이므로 $T = \frac{5}{3} \times \frac{365}{15000} = \frac{1825}{45000} = \frac{73}{1800}$분이다. 1분 동안의 왕복 횟수는 $\frac{1}{T} = \frac{1800}{73} \approx 24.66 \approx 25$회이다.

방전가공(EDM)은 전극과 가공물 사이의 방전 에너지로 재료를 녹여 제거하는 비접촉 가공법이어서 큰 절삭력이 걸리지 않는다.

• 전극을 사용해 형상을 전사하므로 전극이 필요하다는 설명은 맞다.
• 방전열로 표면이 용융·재응고되어 변질층이 남는다는 설명도 맞다.
• 통전만 되면 경도와 무관하게 가공할 수 있다는 설명도 EDM의 특징과 일치한다.

공구의 윗면 경사각(rake angle)이 클수록 칩 두께가 얇아지고 마찰이 줄어들므로 빌트업 에지는 오히려 작아진다.

• 절삭속도를 높이면 응착이 어려워져 빌트업 에지가 감소한다는 설명은 맞다.
• 칩 두께를 줄이면 절삭저항이 줄어 빌트업 에지 발생이 감소한다는 설명도 맞다.
• 칩의 흐름 저항이 클수록 칩이 공구면에 정체되어 빌트업 에지가 커진다는 설명도 맞다.

콜드 헤딩·코이닝·스웨이징은 상온에서 이루어지는 냉간단조 공정이므로, 이를 열간단조로 분류한 설명이 틀렸다.

• 자유단조가 앤빌 위에서 해머로 타격해 형상을 만든다는 설명은 맞다.
• 형단조가 한 쌍의 다이 사이에서 소재를 성형한다는 설명도 맞다.
• 업셋단조가 수평틀에 고정한 재료의 돌출부를 축방향으로 압축한다는 설명도 맞다.

인발가공에서 사용되는 윤활제는 다이와 피가공물 사이의 마찰을 줄이고 표면품질을 향상시켜야 한다. 비누는 고전적인 인발윤활제로 광범위하게 사용되며, 석회(lime)는 인발유의 증점제 및 극압첨가제로 널리 쓰인다. 흑연(graphite)은 건성윤활제로서 마찰감소 효과가 우수하다. 반면 사염화탄소(CCl₄)는 유기용제로서 휘발성이 높고 인체 독성이 강한 화학물질이며, 인발가공의 윤활제로 사용되지 않는다.

버니싱(burnishing) 가공은 경화된 볼이나 롤러를 압입하여 표면을 소성변형시키는 마무리 가공으로, 주철뿐 아니라 연강, 알루미늄 등 다양한 금속 재료에 적용 가능하므로 1번이 틀렸다. 2번은 정확한데, 구멍의 내면을 볼을 통과시켜 매끄럽게 마무리할 수 있고, 3번도 맞는데 선행 가공(드릴, 리머 등)에서 발생한 스크래치와 거칠기를 제거하는 역할을 한다. 4번 역시 올바른 설명으로, 공작물 구멍 지름보다 약간 크기가 큰 강화 볼을 압입 통과시켜 표면을 경화하고 평활하게 가공한다.

용접 시 발생하는 주요 불량(결함)은 오버랩(겹침), 언더컷(홈파임), 용입불량(융합불완전) 등이 모두 용접부의 강도와 품질을 저하시키는 결함에 해당한다. 반면 콤퍼지션(composition)은 용접재료의 화학성분을 의미하는 용어로서, 결함이 아니라 용접재료 자체의 성질을 나타내는 특성값이다. 따라서 용접 불량에 해당하지 않는 것은 4번이다.

이 조건에서 평균 칩두께는 약 0.0625mm이다.

커터 회전수는 $N=\dfrac{1000v}{\pi D}=\dfrac{1000\times30}{\pi\times100}\approx95.5\ \mathrm{rpm}$이고, 이송속도 240mm/min을 회전수와 날수로 나누면 날당 이송은 $f_z=\dfrac{f}{Nz}=\dfrac{240}{95.5\times8}\approx0.314\ \mathrm{mm}$이다.

절입각은 $\cos\varphi=1-\dfrac{2d}{D}=1-\dfrac{8}{100}=0.92,\ \varphi\approx0.403\ \mathrm{rad}$로 구해진다.

평균 칩두께는 $t_m=f_z\dfrac{1-\cos\varphi}{\varphi}\approx0.314\times\dfrac{0.08}{0.403}\approx0.0625\ \mathrm{mm}$가 된다.

심냉처리(subzero treatment)는 담금질한 강을 상온보다 낮은 온도까지 냉각해 잔류 오스테나이트를 마르텐사이트로 변태시키는 보조 열처리이다.

가공경화법은 소성가공으로 강도를 높이는 방법이고, 가스침탄법은 표면에 탄소를 침투시키는 표면경화법이며, 석출경화법은 미세 석출물로 강도를 높이는 방법이라 잔류 오스테나이트 제거와는 무관하다.

얇고 두께가 균일하지 않은 목형에서 냉각 시 내부응력으로 인한 변형과 균열을 막기 위해 임시로 덧대는 부분을 덧붙임(stop off)이라 하며, 주물이 완성된 뒤 제거한다.

• 구배는 목형을 주형에서 뽑기 쉽도록 준 경사이지 변형 방지용이 아니다.
• 수축 여유는 응고·냉각 시 수축량을 미리 보정해 두는 치수 여유이다.
• 코어 프린트는 코어를 지지하기 위해 목형에 만들어 두는 돌출부이다.