탄성선의 곡률 반지름은 26.04 m다.

순수 굽힘을 받는 보의 곡률 반지름은 ρ = EI/M이다. 그림은 벽에 고정된 외팔보의 자유단에 5 kN·m의 굽힘 모멘트가 걸린 상태이고, 단면은 플랜지 90 × 20 mm, 웨브 30 × 40 mm인 T형이다.

단면의 2차 모멘트는 문제에서 I = 868 × 10^-9 m⁴로 주어졌으므로 그대로 대입한다.
ρ = (150 × 10⁹ × 868 × 10^-9) / (5 × 10³)

= 130,200 / 5,000 = 26.04 m
여기서 모멘트를 kN·m 그대로 두면 자릿수가 1000배 어긋나므로, E는 Pa, M은 N·m으로 통일해 계산하는 것이 핵심이다.

강체 보가 수평을 유지하려면 두 봉의 신장량이 같아야 하고, 그 조건에서 Al봉 응력은 70MPa가 된다.

그림에서 Al봉 길이는 50cm, 강봉 길이는 70cm이며 지름은 둘 다 d로 같다. 수평 유지 조건 δ_Al=δ_s는 곧 $\dfrac{\sigma_a L_a}{E_a}=\dfrac{\sigma_s L_s}{E_s}$이다.

정리하면 $\sigma_a=\sigma_s\cdot\dfrac{L_s}{L_a}\cdot\dfrac{E_a}{E_s}$이고, 대입하면 $\sigma_a=150\times\dfrac{70}{50}\times\dfrac{1}{3}=70\,\mathrm{MPa}$.

길이가 더 긴 강봉이 같은 변형량을 내려면 변형률이 작아야 하는데 탄성계수가 3배 크므로 응력은 오히려 커진다. 짧고 무른 Al봉의 응력이 훨씬 작게 나오는 이유다.

원통형 압력용기의 축방향 응력은 $\sigma_{axial} = \dfrac{Pd}{4t}$로 구한다.

내압 $P=1200~\mathrm{kPa}=1.2~\mathrm{MPa}$, 직경 $d=2500~\mathrm{mm}$, 두께 $t=10~\mathrm{mm}$를 대입하면,
$\sigma_{axial} = \dfrac{1.2 \times 2500}{4 \times 10} = 75~\mathrm{MPa}$이다.

집중하중과 우력을 함께 고려하면 R_A=10.4kN이다.

그림에서 지간 AB는 10m이고, 10kN은 A점 바로 위에서 아래로 작용하며, 중간 C점에는 4kN·m의 반시계방향 우력이 걸려 있다. 우력은 작용 위치와 무관하게 보 전체에 같은 크기의 모멘트를 준다.

A점 모멘트 평형: $R_B\times 10 + 4 = 0 \;\Rightarrow\; R_B=-0.4\,\mathrm{kN}$ (실제로는 아래 방향 0.4kN).

연직력 평형: $R_A+R_B=10 \;\Rightarrow\; R_A=10-(-0.4)=10.4\,\mathrm{kN}$. 하중이 A 바로 위에 있어도 우력 때문에 반력이 하중 10kN보다 커진다는 점이 핵심이다.

지렛대 원리로 블록에 걸리는 수직력이 30N이 되므로 P=μN=12N 이상이어야 블록이 움직인다.

그림에서 보는 왼쪽 벽에 지지되고, 벽에서 10m 지점을 블록 A가 아래에서 떠받치며, 거기서 다시 20m 떨어진 자유단(벽에서 30m)에 10N이 아래로 작용한다.

벽 지지점 기준 모멘트 평형: $N\times 10 = 10\times 30 \;\Rightarrow\; N=30\,\mathrm{N}$. 이 30N이 그대로 블록을 바닥으로 누르는 수직력이 된다.

따라서 미끄러지기 시작하는 힘은 $P=\mu N=0.4\times 30=12\,\mathrm{N}$. 지렛대 비가 3:1이라 10N 하중이 30N으로 증폭된다는 점을 놓치면 4N이나 8N으로 잘못 답하게 된다.

양단이 완전히 구속되면 열팽창이 전부 열응력으로 바뀌므로 벽에 작용하는 힘은 πEαΔTd²/4이다.

자유 상태라면 봉은 $\delta=\alpha\,\Delta T\,L$ 만큼 늘어난다. 벽이 이를 완전히 막으므로 같은 크기의 압축 변형이 강제되고, 변형률은 $\varepsilon=\alpha\,\Delta T$가 된다.

응력은 $\sigma=E\varepsilon=E\alpha\Delta T$이고 힘은 여기에 단면적을 곱한 값이다. $F=\sigma A=E\alpha\Delta T\times\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi E\alpha\Delta T d^2}{4}$.

열응력 식에는 길이 L이 들어가지 않는다. 변형량은 길이에 비례하지만 변형률을 만들 때 길이가 약분되기 때문이며, 분자에 L이 남아 있는 식은 그래서 성립할 수 없다.

정사각단면(한 변 $b$)의 단면계수는 $Z = \dfrac{b^3}{6}$이고, 굽힘응력은 $\sigma = \dfrac{M}{Z}$로 구한다.

$b^3 = \dfrac{6M}{\sigma} = \dfrac{6 \times 8{,}000{,}000~\mathrm{N \cdot mm}}{60~\mathrm{MPa}} = 800{,}000~\mathrm{mm^3}$

따라서 $b = \sqrt[3]{800{,}000} \approx 92.8~\mathrm{mm} \approx 9.3~\mathrm{cm}$이다.

등분포하중이 왼쪽 절반에만 걸린 단순보로 풀면 필요한 최소 지름은 약 4.5mm다.

그림에서 지간은 50cm+50cm=1m이고, ω₀=50N/m이 왼쪽 지점부터 중앙까지 50cm 구간에만 작용한다. 합력은 $W=50\times0.5=25\,\mathrm{N}$, 작용점은 왼쪽 지점에서 0.25m다.

왼쪽 반력은 $R_A=\dfrac{25\times0.75}{1.0}=18.75\,\mathrm{N}$이고, 전단력이 0이 되는 곳은 $18.75-50x=0\Rightarrow x=0.375\,\mathrm{m}$, 그 지점에서 $M_{max}=18.75\times0.375-\dfrac{50\times0.375^2}{2}=3.516\,\mathrm{N\cdot m}$.

원형 단면의 굽힘응력식 $\sigma=\dfrac{32M}{\pi d^3}$에 허용값 400MPa를 넣으면 $d=\sqrt[3]{\dfrac{32\times3.516}{\pi\times400\times10^6}}\approx4.47\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, 즉 약 4.5mm다.

탄성(elasticity)은 외력이 제거되었을 때 물체가 원래의 형상으로 되돌아가려는 성질을 말한다.

양단 회전단이라 유효길이가 실제 길이와 같고, 최소 회전반경으로 계산하면 세장비는 약 69다.

단면이 20cm×10cm이므로 $A=200\,\mathrm{cm^2}$이고, 좌굴은 약한 축에서 일어나므로 $I_{min}=\dfrac{20\times10^3}{12}=1666.7\,\mathrm{cm^4}$를 써야 한다.

최소 회전반경은 $k=\sqrt{\dfrac{I_{min}}{A}}=\sqrt{\dfrac{1666.7}{200}}=2.887\,\mathrm{cm}$, 양단 회전단의 유효길이는 L=200cm 그대로다.

따라서 $\lambda=\dfrac{L_e}{k}=\dfrac{200}{2.887}\approx69$. 긴 변이 아니라 짧은 변 방향의 단면2차모멘트를 써야 한다는 것이 이 문제의 함정이다.

인장하중을 받으면 축방향으로는 늘어나고 반지름 방향으로는 줄어드는데, 이 비율을 포아송 비로 연결한다.

축방향 응력은 $\sigma = \dfrac{F}{A} = \dfrac{2000}{\pi/4 \times 20^2} \approx 6.37~\mathrm{MPa}$이고, 축방향 변형률은 $\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{6.37}{30{,}000} \approx 2.12\times10^{-4}$이다.

지름 방향 변형률은 $\varepsilon_d = \nu \varepsilon = 0.3 \times 2.12\times10^{-4}$이므로, 지름 감소량은 $\Delta d = \varepsilon_d \times d \approx 0.00128~\mathrm{mm}$이다.

외팔보 자유단에 집중하중이 걸릴 때 최대 처짐은 자유단에서 생기며 그 크기는 PL³/3EI이다.

고정단 기준 굽힘모멘트를 두 번 적분하거나 모멘트면적법을 쓰면 자유단에서 $\delta_{max}=\dfrac{PL^3}{3EI}$, 처짐각 $\theta_{max}=\dfrac{PL^2}{2EI}$가 나온다.

혼동하기 쉬운 값들을 함께 정리해 두면 좋다.

• 외팔보 + 등분포하중 자유단 처짐: $\dfrac{wL^4}{8EI}$
• 단순보 + 중앙 집중하중 중앙 처짐: $\dfrac{PL^3}{48EI}$

즉 지지 조건과 하중 형태를 짝지어 외워야 분모의 숫자를 헷갈리지 않는다.

중공축의 비틀림 강도는 전달 동력으로부터 토크를 구한 뒤, 허용 전단응력 조건으로 안지름을 역산한다.

각속도 $\omega = 2\pi \times 40 \approx 251.3~\mathrm{rad/s}$이므로 토크는 $T = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{120{,}000}{251.3} \approx 477.5~\mathrm{N \cdot m}$이다.

중공축의 비틀림 공식 $T = \dfrac{\pi \tau_a}{16 d_o}(d_o^4 - d_i^4)$에 $d_o=46~\mathrm{mm}$, $\tau_a=80~\mathrm{MPa}$를 대입해 풀면 안지름은 약 $d_i \approx 41.9~\mathrm{mm}$이다.

두 응력 상태를 성분별로 더한 뒤 최대전단응력 공식을 적용하면 (√13/2)σ₀가 된다.

왼쪽 요소는 x방향 인장 2σ₀뿐이다. 오른쪽 요소는 45° 기울어진 면에 작용하는 압축 3σ₀로, x–y 좌표로 옮기면 $\sigma_x=\sigma_y=-3\sigma_0\cos^2 45^\circ=-1.5\sigma_0$, $|\tau_{xy}|=3\sigma_0\sin45^\circ\cos45^\circ=1.5\sigma_0$이다.

두 상태를 합하면 $\sigma_x=2\sigma_0-1.5\sigma_0=0.5\sigma_0$, $\sigma_y=-1.5\sigma_0$, $|\tau_{xy}|=1.5\sigma_0$.

따라서 $\tau_{max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^{\,2}}=\sqrt{(1.0\sigma_0)^2+(1.5\sigma_0)^2}=\sqrt{3.25}\,\sigma_0=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\sigma_0$. 기울어진 응력을 먼저 같은 좌표계로 환산해 더하는 것이 순서다.

좌표원점이 사각형의 모서리에 있으므로 상승모멘트는 0이 아니라 b²h²/4이다.

정의는 $I_{xy}=\int xy\,dA$이고, 그림처럼 원점 O에서 x방향 폭 b, y방향 높이 h인 사각형이면 $I_{xy}=\int_0^b\!\!\int_0^h xy\,dy\,dx=\dfrac{b^2}{2}\cdot\dfrac{h^2}{2}=\dfrac{b^2h^2}{4}$.

도심을 지나는 축이었다면 대칭성 때문에 상승모멘트가 0이다. 평행축 정리로 확인해도 $I_{xy}=0+A\bar{x}\bar{y}=bh\cdot\dfrac{b}{2}\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{b^2h^2}{4}$로 같다.

차원으로도 걸러낼 수 있다. 상승모멘트는 단면2차모멘트와 같은 길이의 4제곱 차원이어야 하므로 b²h³ 같은 5제곱 조합은 애초에 성립하지 않는다.

모터 바로 다음 구간이 동력 전부를 전달하므로 그 구간 토크로 계산하면 최대 전단응력은 약 32.4MPa다.

그림의 배치는 왼쪽부터 모터 → A(축 시작점) → 기어 B → 베어링 → 기어 C 순서다. 따라서 A–B 구간은 50kW 전부를, B–C 구간은 기어 C가 쓰는 15kW만 전달하므로 최대 토크는 A–B 구간에 생긴다.

각속도 $\omega=\dfrac{2\pi\times600}{60}=62.83\,\mathrm{rad/s}$, 토크 $T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{50\times10^3}{62.83}=795.8\,\mathrm{N\cdot m}$.

중실 원형축이므로 $\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times795.8}{\pi\times(0.05)^3}=3.24\times10^7\,\mathrm{Pa}=32.4\,\mathrm{MPa}$. 기어 B의 35kW나 C의 15kW로 계산하면 값이 크게 달라지므로 구간별 전달동력을 먼저 정리해야 한다.

비틀림 전단응력은 중심에서의 거리에 비례하므로 임의 위치 r에서 τ = Tr/I_o이다.

원형 단면 비틀림 이론은 전단변형률이 반지름에 선형 비례한다는 가정에서 출발하며, 그 결과 $\tau=\dfrac{T\,r}{I_p}$가 유도된다. 여기서 I_p는 극단면2차모멘트로, 문제에 주어진 $I_o=I_x+I_y$와 같은 양이다.

따라서 중심(r=0)에서는 전단응력이 0이고 표면(r=a)에서 최대값 $\tau_{max}=\dfrac{Ta}{I_o}$가 된다. 어느 위치에서나 0이라고 보거나, 굽힘에 쓰는 I_x·I_y를 그대로 분모에 넣는 것은 잘못이며 두 값을 더한 극관성모멘트를 써야 한다.

양 끝에 크기가 같은 굽힘모멘트만 작용하는 순수굽힘 상태이므로 변형에너지는 M²L/2EI이다.

굽힘 변형에너지의 일반식은 $U=\int_0^L \dfrac{M(x)^2}{2EI}\,dx$이다. 그림처럼 양 끝에서 같은 M이 작용하면 전 길이에 걸쳐 M(x)=M으로 일정하다.

따라서 $U=\dfrac{M^2}{2EI}\int_0^L dx=\dfrac{M^2L}{2EI}$.

분모에 단면적 A가 들어간 식은 축하중 변형에너지 $\dfrac{P^2L}{2AE}$의 꼴을 굽힘에 잘못 옮긴 것이다. 굽힘 에너지의 분모는 A가 아니라 굽힘강성 EI다.

양단 고정보에서 굽힘모멘트가 0이 되는 지점의 처짐은 PL³/384EI이다.

중앙에 P가 작용하는 양단 고정보의 고정단 모멘트는 PL/8이므로, 왼쪽 지점에서 x만큼 떨어진 단면의 모멘트는 M(x) = −PL/8 + (P/2)x 이다.
M(x) = 0 → x = L/4, 즉 각 지점에서 L/4 떨어진 변곡점이 모멘트가 0인 위치다.

같은 구간(0 ≤ x ≤ L/2)의 처짐식 y(x) = Px²(3L − 4x)/(48EI) 에 x = L/4를 대입하면
y = P(L²/16)(3L − L)/(48EI) = 2PL³/(16 × 48EI) = PL³/384EI

중앙(x = L/2)의 최대처짐 PL³/192EI와 헷갈리기 쉬운데, 변곡점의 처짐은 최대처짐의 정확히 절반이다.

압축응력은 $\sigma = \frac{P}{A}$로 구하며, 여기서 P는 압축하중, A는 단면적이다. 중공원통의 단면적은 $A = \pi(R^2 - r^2) = \pi(25^2 - 20^2) = \pi(625 - 400) = 225\pi \text{ cm}^2$이다. 압축응력은 $\sigma = \frac{500 \times 10^3 \text{ N}}{225\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2} = \frac{5 \times 10^8}{225\pi} \approx \frac{5 \times 10^8}{706.86} \approx 7.07 \text{ MPa}$로 계산되며, 이는 약 7.1 MPa이다.

이 냉동사이클의 성적계수는 약 3.1이다.

P-h 선도에서 4→1은 저압 수평선(증발), 1→2는 압축, 2→3은 고압 수평선(응축), 3→4는 수직 강하(팽창밸브)로 그려져 있다. 따라서 냉동효과는 h₁ − h₄, 압축일은 h₂ − h₁이다.

COP = (h₁ − h₄)/(h₂ − h₁)
= (1638 − 559)/(1983 − 1638)
= 1079/345 ≒ 3.13

h₃ = h₄인 이유는 팽창밸브가 등엔탈피(교축) 과정이기 때문이며, 응축기 출구 엔탈피를 증발기 입구 값으로 그대로 쓰면 된다.

냉매는 적은 순환량으로 큰 냉동효과를 내야 하므로 증발열(잠열)이 커야 한다.

• 비체적은 압축기 크기를 줄이기 위해 작아야 한다.
• 증발압력은 공기 침입 등을 막기 위해 대기압보다 높은 편이 유리하다.
• 응고점은 낮아야 저온에서도 냉매가 얼지 않는다.

수은주 기압계의 압력은 정수압 공식 $P = \rho g h$로 구한다.

$P = 13534 \times 9.81 \times 0.730 \approx 96{,}900~\mathrm{Pa} \approx 96.9~\mathrm{kPa}$이다.

등엔트로피 과정은 열 출입이 없고(단열) 비가역 요소도 없는 가역 단열 과정과 같은 개념이다.

폴리트로픽 과정이나 교축 과정, 등온 팽창 과정은 일반적으로 엔트로피가 변화하므로 등엔트로피 과정에 해당하지 않는다.

역카르노 사이클 냉동기의 최대 성적계수는 절대온도로 표현된 $COP = \dfrac{T_L}{T_H - T_L}$로 구한다.

$T_L = 5+273=278~\mathrm{K}$, $T_H=35+273=308~\mathrm{K}$이므로,
$COP = \dfrac{278}{308-278} = \dfrac{278}{30} \approx 9.3$이다.

증발 과정의 내부에너지 변화는 엔탈피 변화에서 유동일을 뺀 값이고, 엔트로피 변화는 등온 과정이므로 엔탈피 변화를 절대온도로 나눈 값이다.

엔탈피 변화는 $h_{fg} = 2778-763 = 2015~\mathrm{kJ/kg}$, 비체적 변화는 $v_{fg}=0.1944-0.00113=0.1933~\mathrm{m^3/kg}$이다.

$u_{fg} = h_{fg} - P v_{fg} = 2015 - 1000 \times 0.1933 \approx 1822~\mathrm{kJ/kg}$이고,
$s_{fg} = \dfrac{h_{fg}}{T} = \dfrac{2015}{180+273} \approx 4.447~\mathrm{kJ/(kg \cdot K)}$이다.

포화증기를 단열 압축하면 압축 과정에서 온도와 압력이 함께 상승하면서 포화선을 벗어나 과열증기 상태가 되는 것이 일반적인 거동이다.

이는 냉동 사이클의 압축기에서 습증기가 아닌 건조 압축(dry compression)을 이용하는 이유이기도 하다.

개스킷을 더 두껍게 넣으면 연소실(간극) 체적이 증가하여 압축비가 감소한다.

압축비가 낮아지면 이론 열효율(오토 사이클 효율 $\eta = 1-\dfrac{1}{r^{k-1}}$)도 함께 감소한다.

밀폐계의 에너지 보존식 $\Delta U = Q - W$에서, 열은 계 밖으로 방출되므로 $Q=-300~\mathrm{kJ}$이고, 압축일은 외부에서 계에 가해지므로 계가 한 일은 $W=-400~\mathrm{kJ}$이다.

따라서 $\Delta U = -300-(-400) = 100~\mathrm{kJ}$로 내부에너지는 증가한다.

푸리에 법칙에 따라 열유속은 $q = k \dfrac{\Delta T}{L}$로 표현되므로, 열전도율은 $k = \dfrac{qL}{\Delta T}$로 구한다.

$k = \dfrac{300{,}000 \times 0.04}{200-50} = \dfrac{12{,}000}{150} = 80~\mathrm{W/(m \cdot K)}$이다.

백워크비(back work ratio)는 터빈 일에 대한 압축기 일의 비를 말하며, 이 비가 클수록 순일이 줄어 열효율은 낮아진다.

• 압축기 압력비가 증가할수록 열효율이 증가하는 것은 맞는 설명이다.
• 터빈 입구 온도가 높을수록 열효율이 증가하되 내열 블레이드가 필요하다는 것도 맞는 설명이다.
• 가스터빈과 증기터빈을 결합한 복합 사이클로 열효율을 높일 수 있다는 것도 맞는 설명이다.

따라서 백워크비가 클수록 열효율이 높아진다는 설명만 틀린 내용이다.

압축기는 외부에서 공급된 동력을 이용해 유체의 압력을 높이는 장치이다.

• 노즐은 압력을 낮추며 유체의 속도를 오히려 증가(가속)시킨다.
• 디퓨저는 빠르게 흐르는 유체를 감속시켜 압력을 높이는 기구이다.
• 터빈은 유체의 압력(엔탈피)을 이용해 축일을 생성하는 회전 기계이지, 열을 생성하지 않는다.

증발 과정의 내부에너지 변화는 엔탈피 변화에서 유동일($Pv$) 변화를 뺀 값으로 구한다.

$u_{fg} = h_{fg} - P v_{fg} = 2257 - 101.325 \times (1.67-0.00104)$

$\approx 2257 - 169 \approx 2088~\mathrm{kJ/kg}$이다.

가역열기관의 최대 열효율은 카르노 효율 $\eta = 1-\dfrac{T_L}{T_H}$로 절대온도를 이용해 구한다.

$T_L=50+273=323~\mathrm{K}$, $T_H=100+273=373~\mathrm{K}$이므로,
$\eta = 1-\dfrac{323}{373} \approx 0.134 = 13.4\%$이다.

두 용기의 공기를 혼합 후 이상기체 상태방정식으로 계산하면 최종 압력은 약 214kPa이다.

첫 번째 용기의 질량은 $m_1=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{400\times1}{0.287\times293}=4.76\ \mathrm{kg}$이고, 두 번째 용기의 부피는 $V_2=\dfrac{mRT}{P}=\dfrac{5\times0.287\times303}{150}=2.90\ \mathrm{m^3}$이다.

전체 질량은 $9.76\ \mathrm{kg}$, 전체 부피는 $3.90\ \mathrm{m^3}$이며, 열적평형 온도 298K를 대입하면 $P=\dfrac{mRT}{V}=\dfrac{9.76\times0.287\times298}{3.90}\approx214\ \mathrm{kPa}$이다.

선형 P-V 과정에서 외부로부터 받은 일은 사다리꼴 면적으로 계산하며 그 값은 약 3000N·m이다.

압력을 단위 환산하면 $P_1=1\ \mathrm{N/cm^2}=10{,}000\ \mathrm{Pa}$, $P_2=2\ \mathrm{N/cm^2}=20{,}000\ \mathrm{Pa}$이다.

일의 크기는 평균압력과 부피변화량의 곱으로 $W=\dfrac{P_1+P_2}{2}\times(V_1-V_2)=\dfrac{10000+20000}{2}\times(0.5-0.3)=3000\ \mathrm{N\cdot m}$이다.

섭씨 -40℃는 화씨로 환산해도 -40°F로 같은 값이 나온다.

변환식은 $°F=\dfrac{9}{5}\times°C+32$이므로 $\dfrac{9}{5}\times(-40)+32=-72+32=-40$가 된다.

이는 두 온도 눈금이 정확히 일치하는 유일한 지점이다.

카르노 열기관의 효율 관계식으로 계산하면 고열원의 온도는 약 447℃이다.

열효율은 $\eta=\dfrac{W}{Q_H}=\dfrac{60}{100}=0.6$이고, 카르노 효율식 $\eta=1-\dfrac{T_L}{T_H}$에서 $\dfrac{T_L}{T_H}=0.4$이다.

저열원 온도 $T_L=15+273=288\ \mathrm{K}$를 대입하면 $T_H=\dfrac{288}{0.4}=720\ \mathrm{K}=447℃$가 된다.

가역 등온 과정의 엔트로피 변화는 열량을 절대온도로 나눈 값이며 약 1.0kJ/(kg·K)이다.

절대온도는 $T=227+273=500\ \mathrm{K}$이고, $\Delta s=\dfrac{q}{T}=\dfrac{500}{500}=1.0\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$이다.

이상적인 브레이턴 사이클의 열효율은 압력비와 비열비로만 결정되며 계산 결과는 약 47%이다.

효율식은 $\eta=1-\left(\dfrac{1}{r_p}\right)^{\frac{k-1}{k}}$이며, 압력비 9와 비열비 1.4를 대입하면 $\eta=1-9^{-0.2857}\approx1-0.534=0.466$이다.

최고·최저온도 1300K, 300K는 열효율 계산에는 직접 쓰이지 않고 압력비만으로 결정된다는 점이 이 문제의 핵심이다.

유선의 방정식은 xy = C이다.

주어진 속도장 u = −2x, v = 2y는 ∂u/∂x + ∂v/∂y = −2 + 2 = 0 이므로 비압축성 조건을 만족한다.

유선의 정의식 dx/u = dy/v 에 대입하면
dx/(−2x) = dy/(2y)
→ dy/y = −dx/x
→ ln y + ln x = 일정
→ xy = C

x나 y 중 하나만 제곱이 붙은 형태나 x/y 형태는 두 속도성분의 크기가 서로 같고 부호만 반대라는 관계와 맞지 않는다.

변화된 저항력은 2D이다.

항력은 D = C_D · (1/2)ρV²A 로, 속도의 제곱과 항력계수에 각각 비례한다.

속도가 2배, 항력계수가 1/2배가 되면
D′ = (C_D/2) · (1/2)ρ(2V)²A
= (1/2) × 4 × C_D(1/2)ρV²A = 2D

속도 제곱에 의한 4배 증가가 항력계수 감소(1/2배)를 이기므로 저항력은 오히려 커진다.

요구되는 에너지는 πD²(D/d − 1)σ이다.

지름 D인 물방울 하나가 지름 d인 작은 물방울 N개로 쪼개져도 체적은 보존되므로
N(π/6)d³ = (π/6)D³ → N = (D/d)³

표면적 증가량은
ΔA = Nπd² − πD² = π(D³/d) − πD² = πD²(D/d − 1)

표면장력 σ는 단위면적당 표면에너지이므로 필요한 에너지는 E = σΔA = πD²(D/d − 1)σ가 된다.

앞에 4π·2π처럼 계수가 더 붙은 형태나, 괄호 안이 (D/d)² − 1인 형태는 표면적 증가량 ΔA를 잘못 잡은 것이다.

옳은 것은 경계층 밖은 비점성유동으로 취급할 수 있다는 설명과 점성계수가 커질수록 경계층이 두꺼워진다는 설명이다.

평판 층류 경계층 두께는 δ = 5x/√(Re_x), Re_x = ρUx/μ 이므로 δ ∝ √(μx/ρU)로 정리된다.

• 속도가 커질수록 두꺼워진다는 설명 — U가 커지면 Re_x가 커져 δ는 오히려 얇아지므로 틀리다.
• 경계층 밖의 외부유동 — 속도구배가 사실상 없어 점성응력을 무시할 수 있으므로 비점성(퍼텐셜) 유동으로 다룬다.
• 속도·밀도가 같을 때 μ가 커지는 경우 — 동점성계수 ν = μ/ρ가 커져 δ ∝ √ν 에 따라 경계층이 두꺼워진다.

축을 1800rpm으로 회전시키는 데 필요한 동력은 약 128 W이다.

그림의 치수는 축 지름 3 cm, 축 길이 10 cm, 축과 하우징 사이 틈새 0.3 mm이다.
ω = 2π × 1800/60 = 188.5 rad/s
u = ωr = 188.5 × 0.015 = 2.83 m/s

Couette 유동이므로 틈새의 속도분포가 직선이고
τ = μu/h = 0.51 × 2.83 / 0.0003 ≒ 4807 Pa
A = πDL = π × 0.03 × 0.1 = 9.42×10⁻³ m²
F = τA ≒ 45.3 N

T = F·r = 45.3 × 0.015 = 0.680 N·m 이므로 동력 = Tω = 0.680 × 188.5 ≒ 128 W이다. 중간 계산값인 전단응력 4807 Pa나 마찰력 45.3 N을 그대로 답으로 고르지 않도록 주의한다.

기압계에 수은을 쓰는 이유는 수은의 비중이 매우 크기 때문이다.

비중이 큰 액체일수록 같은 압력을 지지하는 데 필요한 액주의 높이가 짧아져 기압계를 소형으로 만들 수 있다.

• 수은의 점성계수는 물보다 오히려 크며, 점성은 액주 높이를 결정하는 요인이 아니다.
• 수은의 동점성계수는 밀도가 커서 물보다 작고, 기압계 원리와도 무관하다.
• 수은의 비중량이 작다는 설명은 사실과 반대된다.

유체 속도를 측정할 수 없는 장치는 피에조미터(Piezometer)이다.

피에조미터는 관 벽에 뚫은 구멍으로 정압만을 측정하는 장치로, 속도 정보를 주지 않는다.

• 피토정압관은 정압과 동압의 차이로 속도를 구하는 대표적인 속도 측정 장치이다.
• 레이저 도플러 유속계는 산란광의 도플러 편이를 이용해 속도를 직접 측정한다.
• 열선유속계는 가열된 선의 냉각 정도로 속도를 측정한다.

두 평판 사이의 층류 누설유동에서 유량은 압력차에 비례하므로 압력차를 2배로 늘리면 누설유량도 2배가 된다.

평행평판 사이 층류유동의 유량식은 $Q=\dfrac{h^3 b}{12\mu L}\Delta P$로 압력차 $\Delta P$에 대해 1차식이다.

따라서 다른 조건이 그대로일 때 압력차만 2배가 되면 유량도 정확히 2배로 증가한다.

수면의 최고점과 최저점의 높이 차는 약 50.3 cm이다.

등속 회전하는 용기의 자유표면은 그림처럼 포물면이 되어 중심이 가장 낮고 벽면이 가장 높으며, 그 높이 차는 H = ω²r²/(2g)이다.

ω = 2π × 300/60 = 31.4 rad/s, r = 20/2 = 10 cm = 0.1 m 이므로
H = (31.4² × 0.1²)/(2 × 9.81) = 9.87/19.62 ≒ 0.503 m = 50.3 cm

반지름 대신 지름 0.2 m를 넣으면 4배인 2 m가 나오므로, r가 안지름의 절반임을 확인하고 대입해야 한다.

부차적 손실을 관마찰로 환산한 상당길이는 약 11.25m이다.

상당길이 공식은 $L_e=\dfrac{K\cdot D}{f}$이며, $K=4.5$, $D=0.05\ \mathrm{m}$, $f=0.02$를 대입한다.

계산하면 $L_e=\dfrac{4.5\times0.05}{0.02}=11.25\ \mathrm{m}$가 된다.

분류로부터 판이 받는 총 힘은 약 2217 N이다.

그림에서 분류는 수평으로 들어와 135° 꺾여 비스듬히 위로 빠져나간다. 먼저 운동량 기준량 ρQV = 1000 × 0.03 × 40 = 1200 N을 구한다.

F_x = ρQV(1 − cos135°) = 1200 × (1 + 0.7071) = 2049 N
F_y = ρQV·sin135° = 1200 × 0.7071 = 848.5 N

따라서 F = √(2049² + 848.5²) ≒ 2217 N이다. x방향 성분만 계산해 2049 N에서 멈추지 않도록, 묻는 것이 합력의 크기임을 확인해야 한다.

질량유량과 비중으로부터 평균속도를 구하면 약 0.125m/s이다.

질량유량은 $\dot m=6\ \mathrm{kg/min}=0.1\ \mathrm{kg/s}$이고 밀도는 $\rho=800\ \mathrm{kg/m^3}$이므로 부피유량은 $Q=\dfrac{\dot m}{\rho}=1.25\times10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$이다.

단면적 $A=10\ \mathrm{cm^2}=1\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$이므로 속도는 $V=\dfrac{Q}{A}=0.125\ \mathrm{m/s}$가 된다.

액체 속에 잠긴 경사면에 작용하는 전압력은 γh_cA이다.

미소면적에 작용하는 압력을 면 전체에 적분하면 F = ∫γh dA = γ(∫h dA) = γh_cA 가 되며, 여기서 h_c는 그림처럼 자유표면에서 면의 도심까지 잰 수직 깊이다.

즉 경사각과 무관하게 도심 위치의 압력 γh_c에 면적 A를 곱한 값이고, 1/2이나 1/3, 2배 같은 계수는 붙지 않는다.

1/2 계수는 폭 1 m짜리 연직 수문처럼 삼각형 압력분포를 직접 적분할 때 나오는 형태이며, 압력의 작용점(압력중심)이 도심보다 아래에 있다는 사실은 작용 위치의 문제일 뿐 힘의 크기와는 무관하다.

에너지선과 수력기울기선의 높이 차이는 속도수두와 같으며 계산값은 약 1.27m이다.

속도수두는 $\dfrac{V^2}{2g}=\dfrac{5^2}{2\times9.8}=\dfrac{25}{19.6}\approx1.27\ \mathrm{m}$이다.

필요한 공급 유량은 약 0.06 m³/s이다.

그림처럼 위에서 Q가 들어오고 측면 지름 d = 10 cm 파이프로 물이 빠져나가는데, 수위 h를 3 m로 일정하게 유지하려면 공급 유량 = 배출 유량이어야 한다.
V = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 3) ≒ 7.67 m/s

배출관 단면적은 A = πd²/4 = π × 0.1²/4 = 7.854×10⁻³ m² 이므로
Q = AV = 7.854×10⁻³ × 7.67 ≒ 0.060 m³/s

물탱크 지름 3 m는 수위가 변할 때나 필요한 값이라, 수위 일정 조건에서는 계산에 쓰이지 않는다.

관마찰계수가 레이놀즈수와 무관하게 상대조도에만 의존하는 구간은 완전난류유동 영역이다.

이 영역에서는 유동이 완전히 거칠어져 관 벽면의 조도가 지배적인 손실 요인이 되고, 레이놀즈수 증가에 따른 관마찰계수 변화가 거의 없어진다.

• 완전층류유동에서는 관마찰계수가 레이놀즈수만의 함수(64/Re)로 결정되고 조도와는 무관하다.
• 임계유동과 천이유동 구간은 레이놀즈수와 조도가 함께 영향을 미치는 불안정한 영역이다.

속도 포텐셜은 ø = x² − y²이다.

정의식이 속도벡터 = ∇ø 이므로 성분으로 풀면 u = ∂ø/∂x, v = ∂ø/∂y가 된다.

u = 2x에서 ø = x² + f(y)
v = −2y에서 ∂ø/∂y = f′(y) = −2y → f(y) = −y²

두 결과를 합치면 ø = x² − y²이고, 실제로 편미분하면 u = 2x, v = −2y가 되어 주어진 속도장과 정확히 일치한다.

체적탄성계수는 압력과 동일한 차원을 갖는다.

체적탄성계수는 $K=-V\dfrac{dP}{dV}$로 정의되며, 부피 변화율(무차원)에 압력을 곱한 형태이므로 그 차원은 압력과 같다.

느린 유동(creeping flow)에서 항력은 점성력만으로 결정되므로, F·μ·V·D 로 만들 수 있는 유일한 무차원 조합인 F/(μVD) 가 답이다.

차원을 맞춰 보면 F = MLT^-2, μ = ML^-1T^-1, V = LT^-1, D = L 이므로 μVD = (ML^-1T^-1)(LT^-1)(L) = MLT^-2 로 힘과 같은 차원이 된다. 따라서 F/(μVD) 는 무차원이고, 변수 4개·기본차원 3개이므로 버킹엄 파이 정리가 예고하는 무차원수 1개라는 결과와도 맞는다.

실제로 구(球)의 스토크스 항력은 F = 3πμVD 이므로 F/(μVD) = 3π 라는 상수가 되어, 이 조합이 물리적으로 옳은 무차원수임을 뒷받침한다.

• VD/(μF) 는 차원이 L²T²M^-2 로 남아 무차원이 아니다.
• FD/(μV) 는 L² 이 남는다.
• F/(μDV²) 는 분모에 속도가 하나 더 붙어 L^-1T 만큼 어긋난다 — 이는 관성력이 지배하는 고레이놀즈수 항력식(ρV²)의 형태를 점성계수에 잘못 적용한 꼴이다.

완전히 물에 잠긴 잠수함은 자유표면의 영향이 없어 레이놀즈수 상사를 적용하며, 이때 모형 속도는 약 125m/s이다.

같은 해수를 사용하므로 동점성계수가 같아 레이놀즈수 상사조건은 $V_mL_m=V_pL_p$가 되고, 길이비의 역수만큼 속도가 커진다.

길이비가 1/25이므로 $V_m=V_p\times25=5\times25=125\ \mathrm{m/s}$이다.

이 문항은 실제 시험에서 전항정답으로 처리된 문항입니다. 출제 오류로 판단되어 어느 선택지를 골라도 정답으로 인정되었습니다. 여기서는 채점을 위해 한 선택지만 정답으로 두었으니, 다른 것을 고르셨더라도 틀린 판단이 아닙니다.

철강의 부식을 위해서는 철을 용해할 수 있으면서도 금속조직을 선택적으로 드러낼 수 있는 부식제가 필요하다. 왕수(질산과 염산의 혼합액)는 강력한 산화성과 염화물 이온의 작용으로 철을 빠르게 용해시켜 금속 표면을 광택 있게 드러낼 수 있다. 질산 용액은 부식 속도가 느리고, 나이탈 용액(질산과 에탄올 혼합액)과 염화제2철 용액은 주로 강의 금속조직을 구별하기 위한 식각제(에칭용)로 사용되어 조직 관찰에는 적합하지만 철강을 깊게 부식시키지는 못한다.

배빗메탈(화이트메탈)의 주요 성분은 Sn-Sb-Cu계 합금이다.

주석을 주성분으로 안티몬과 구리를 첨가한 이 합금은 연하고 매입성이 좋아 베어링 재료로 널리 쓰인다.

전기 전도율이 높은 순서는 Ag > Cu > Au > Al이다.

은(Ag)이 금속 중 가장 전기 전도율이 높고, 그 다음으로 구리, 금, 알루미늄 순으로 낮아진다.

게이지용강의 조건으로 틀린 설명은 열팽창계수가 구리와 유사하고 취성이 커야 한다는 항목이다.

게이지용강의 열팽창계수는 측정 대상이 되는 보통강과 비슷해야 온도가 변해도 측정 오차가 생기지 않으며, 구리를 기준으로 삼지 않는다. 또한 사용 중 충격에 견뎌야 하므로 취성이 커서는 안 된다.

• 경도가 HRC55 이상이어야 한다는 것은 내마모성 확보를 위한 정상적인 요구 조건이다.
• 담금질 변형과 균열이 적어야 한다는 것도 정밀 게이지에 필요한 정상적인 조건이다.
• 장시간 경과해도 치수 변화가 적어야 한다는 것 역시 게이지용강의 핵심 요구 조건이다.

심냉처리의 주요 목적은 마텐자이트 변태를 완전히 진행시키는 것이다.

담금질 후에도 상온에서 완전히 변태하지 못하고 남은 잔류 오스테나이트를 영하의 온도로 냉각하여 마텐자이트로 마저 변태시켜 조직을 안정화하고 치수 변화를 방지한다.

구상 흑연주철에서 흑연을 구상화하는 데 주로 쓰이는 첨가제는 Mg, Ca이다.

마그네슘이나 세륨, 칼슘 등을 소량 첨가하면 흑연이 편상이 아닌 구상으로 정출되어 인성이 크게 향상된다.

불변강(不變鋼)은 온도 변화에 따른 선팽창 계수가 매우 작아 정밀 측정기기나 과학 기구에 사용되는 Ni-Fe 합금이다. 인바(Invar)는 Ni 36% 함유로 가장 낮은 팽창 계수를 가지며, 엘린바(Elinvar)는 인바에 텅스텐을 첨가하여 탄성률의 온도 변화를 최소화한 것이고, 플래티나이트(Platinite)는 Ni 46% 함유로 백금과 유사한 열팽창 특성을 가진 불변강이다. 반면 콘스탄탄(Constantan)은 Cu 60%, Ni 40%의 동-니켈 합금으로 Ni-Fe 합금이 아니며, 열전대의 음극으로 사용되는 정온도선(constantan wire)이므로 불변강에 해당하지 않는다.

보기 중 열경화성 수지에 해당하는 것은 에폭시 수지이다.

에폭시 수지는 경화 후 다시 가열해도 녹지 않는 삼차원 그물구조를 형성하는 열경화성 플라스틱이다.

• ABS 수지는 가열하면 다시 성형이 가능한 열가소성 수지이다.
• 폴리스티렌도 대표적인 열가소성 수지이다.
• 폴리에틸렌 역시 열가소성 수지로 분류된다.

마템퍼링은 M_s점(마텐자이트 변태 시작점)과 M_f점(마텐자이트 변태 종료점) 사이의 온도 범위에서 냉각을 멈춘 후 그 온도를 유지하여 변태를 진행시키는 열처리 방법이다. 이 과정에서 마텐자이트 변태가 부분적으로 진행되고 동시에 베인 생성이 발생하여 베어나이트와 마텐자이트의 혼합 조직이 형성된다. M_f점 이하까지 냉각하는 것은 마템퍼링이 아니라 일반적인 급냉 경화이며, M_s점 직상까지 냉각하는 것도 불완전한 표현이다. 완전한 펄라이트 조직은 서냉 시에 형성되므로 마템퍼링의 결과가 아니다.

α-Fe(페라이트)와 Fe₃C(시멘타이트)가 층상으로 나란히 배열된 조직은 펄라이트이다.

펄라이트는 공석강이 공석온도에서 냉각될 때 페라이트와 시멘타이트가 얇은 판 형태로 교대로 석출되어 만들어지는 조직이다.

최소 유량에서 최대 유량까지 증대하는 압력을 오버라이드 압력이라 한다.

압력제어밸브가 열리기 시작하는 크래킹 압력과 전량이 흐를 때의 압력 사이의 차이를 나타내는 값으로, 밸브의 응답 특성을 평가하는 지표로 쓰인다.

원 안에 삼각형이 채워진 형태(속이 찬 삼각형)가 표시되고, 회전축 방향이 고정된 형태는 정용량형 펌프·모터를 나타낸다. 사선 화살표가 추가로 표시되면 유량 조절이 가능한 가변용량형을 의미하지만, 이 기호에는 사선 화살표가 없으므로 용량이 고정된 정용량형임을 알 수 있다.

유압 실린더의 추력 공식은 $F = p \cdot A$이므로 $p = \dfrac{F}{A}$이다. 실린더 내경 $D=45\,mm$이므로 단면적은 $A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi \times 45^2}{4}=1590.4\,mm^2$이다. 따라서 $p=\dfrac{3000\,N}{1590.4\,mm^2}=1.887\,N/mm^2 = 1.89\,MPa$로 계산되어 1.89 MPa이 필요한 최소 유압이다.

압력 제어 밸브로만 구성된 조합은 카운터 밸런스 밸브, 시퀀스 밸브, 릴리프 밸브이다.

세 밸브 모두 회로 내 압력을 설정값으로 유지하거나 제한하는 압력제어 기능을 담당한다.

• 스로틀 밸브가 포함된 조합은 유량제어 밸브가 섞여 있어 제외된다.
• 체크 밸브가 포함된 조합은 방향제어 밸브가 섞여 있어 제외된다.
• 셔틀 밸브가 포함된 조합도 방향제어 밸브가 섞여 있어 제외된다.

유압 펌프의 소요 동력은 약 4W이다.

동력은 압력과 유량의 곱으로 계산하며, 유량을 SI 단위로 환산하면 $Q=40\ \mathrm{cm^3/min}=6.67\times10^{-7}\ \mathrm{m^3/s}$이다.

따라서 $P_{power}=p\times Q=6\times10^{6}\times6.67\times10^{-7}\approx4\ \mathrm{W}$가 된다.

축압기 특성 설명 중 옳지 않은 것은 다이어프램 충진 축압기가 일반적으로 대형이라는 항목이다.

다이어프램형 축압기는 구조상 소용량에 적합하여 일반적으로 소형으로 제작되며, 대용량이 필요한 경우에는 블래더형이나 피스톤형이 주로 쓰인다.

• 중추형 축압기는 추의 무게로 압력을 가하므로 유량 변화와 무관하게 압력이 항상 일정하다는 설명은 옳다.
• 스프링 내장형이 구조가 단순해 소형·저가라는 설명도 옳다.
• 피스톤형 가스 충진 축압기가 블래더형보다 사용 온도범위가 넓다는 설명도 옳다.

유압기기의 통로에서 탱크로 되돌아오는 액체를 나타내는 용어는 드레인이다.

드레인은 실린더나 밸브 등에서 새어 나온 소량의 작동유를 탱크로 회수하는 흐름을 가리키는 표준 용어이다.

밸브 전환 도중 과도하게 발생하는 포트 간의 흐름을 인터플로라 한다.

스풀이 한 위치에서 다른 위치로 이동하는 짧은 순간, 완전히 차단되지 않은 포트들 사이로 유체가 순간적으로 통하는 현상을 말한다.

밸브 입구측 압력이 내부 스프링의 저항력을 극복하여 포펫(poppet)이 처음으로 움직이기 시작하는 압력을 크래킹 압력(cracking pressure)이라 한다. 이는 밸브가 개방되기 시작하는 최소 압력으로, 스프링 사전응력(preload)에 의해 결정되며 릴리프 밸브나 감압 밸브의 성능을 나타내는 중요한 압력 파라미터다. 배압은 출구측 압력, 컷오프는 유량 차단, 인터플로는 제어 유로를 의미하므로 정답은 크래킹이다.

액추에이터 배출 쪽 관로의 흐름을 제어해 속도를 조절하는 회로는 미터 아웃 회로이다.

배출측 유량을 교축하여 액추에이터의 이동 속도를 제어하는 방식으로, 부하가 급변해도 비교적 안정적인 속도 제어가 가능하다.

제동거리로부터 역산한 제동 직전 속력은 약 13.1m/s이다.

운동에너지가 마찰일로 소모된다고 보면 $v=\sqrt{2\mu g d}$이다.

수치를 대입하면 $v=\sqrt{2\times0.35\times9.8\times25}=\sqrt{171.5}\approx13.1\ \mathrm{m/s}$이다.

B점 변위 x 를 기준으로 한 등가질량은 m = m₁/4 + m₂ 이다.

그림에서 보 AB 는 질량 없는 강체이고 A는 힌지, 중점 C에 m₁, 끝점 B에 m₂ 가 놓이며 스프링 k 와 변위 x 는 모두 B에 걸린다. 강체이므로 회전각 θ = x/L 하나로 운동이 결정되고, C는 A에서 L/2 이므로 C의 속도는 ẋ/2, B의 속도는 ẋ 이다.

운동에너지 T = ½m₁(ẋ/2)² + ½m₂ẋ² = ½(m₁/4 + m₂)ẋ² 이고 위치에너지는 B의 스프링만 작용하므로 U = ½kx² 이다. 이를 mẍ + kx = 0 과 비교하면 ẋ² 의 계수인 m₁/4 + m₂ 가 등가질량이 된다.

즉 힌지에서 가까운 질량일수록 기여가 거리의 제곱에 비례해 줄어들어, 중점 질량은 (1/2)² = 1/4 만 반영되고 끝점 질량은 그대로 반영된다. m₁ 을 그대로 더하거나 m₂ 를 절반으로 줄이는 식은 이 제곱 비례를 놓친 것이다.

병렬 스프링 2개가 자동차의 운동에너지를 모두 흡수한다고 보면 k = 625 kN/m 이다.

속도를 SI로 바꾸면 18 km/h = 5 m/s 이고, 운동에너지는 ½mv² = ½ × 2000 kg × (5 m/s)² = 25,000 J 이다.

그림처럼 범퍼가 스프링 2개를 나란히(병렬) 둔 형태이므로 합성강성은 2k 이고, 최대 압축량 0.2 m 에서 저장되는 탄성에너지는 ½(2k)(0.2 m)² = 0.04k 이다.

에너지 보존 0.04k = 25,000 → k = 625,000 N/m = 625 kN/m. 병렬 2개라는 조건을 빼고 스프링 하나로 계산하면 312.5 kN/m 가 나오므로, 합성강성이 2k 라는 점이 갈림길이다.

두 조화운동의 각진동수 차이로부터 맥놀이 진동수를 구하면 약 0.0318Hz이다.

맥놀이 진동수는 $f_b=\dfrac{|\omega_1-\omega_2|}{2\pi}$로 구하며, $\omega_1=10\ \mathrm{rad/s}$, $\omega_2=10.2\ \mathrm{rad/s}$를 대입한다.

계산하면 $f_b=\dfrac{0.2}{2\pi}\approx0.0318\ \mathrm{Hz}$가 된다.

부족감쇠가 되려면 감쇠비가 0과 1 사이여야 하므로 조건은 0 < c/√(km) < 2 이다.

그림의 계는 천장에 스프링 k 와 감쇠기 c 가 나란히 걸리고 그 아래 질량 m 이 매달린 1자유도계로, 변위 x 에 대한 운동방정식은 mẍ + cẋ + kx = 0 이다. 특성방정식 ms² + cs + k = 0 의 판별식 c² − 4km 이 음수, 즉 c² < 4km 일 때 근이 복소수가 되어 진동하면서 감쇠한다.

이를 정리하면 c < 2√(km), 곧 c/√(km) < 2 이고, 감쇠 자체가 존재해야 하므로 c > 0 도 필요하다. 감쇠비로 쓰면 ζ = c/(2√(km)) 이므로 0 < ζ < 1 과 같은 말이다.

c/√(km) = 2 는 임계감쇠, 그보다 크면 진동 없이 되돌아오는 과감쇠다. 상한을 1로 잡은 식은 임계감쇠계수를 2√(km) 가 아닌 √(km) 로 잘못 본 것이고, 하한 없이 > 형태만 준 식은 과감쇠 영역을 가리킨다.

A에서 본 B의 상대속도 크기는 ω × AB = 5 rad/s × 1 m = 5 m/s 이다.

OAB 는 하나의 강체이므로 그림처럼 A에서 꺾여 있어도 O를 중심으로 전체가 같은 각속도 5 rad/s(반시계)로 돈다. 강체 위 두 점 사이의 상대속도는 v_B/A = ω × r_B/A 이고, 크기는 각속도와 두 점 사이 거리의 곱이다.

그림에서 OA는 x축과 30°, AB는 수평과 60° 를 이루지만 이 각도들은 상대속도의 방향만 결정할 뿐 크기에는 영향을 주지 않는다. AB = 1 m 이므로 |v_B/A| = 5 × 1 = 5 m/s 다.

O를 기준으로 잰 B의 절대속도(꺾인 형상에서 OB 거리를 써야 한다)와 혼동하면 다른 값이 나온다. 여기서 묻는 것은 A를 기준으로 한 상대속도이므로 오직 AB 길이 1 m 만 쓴다.

원형 경로를 도는 자동차가 법선방향으로 받는 힘(구심력)은 약 300N이다.

구심력 공식은 $F=\dfrac{mV^2}{r}$이며, 질량 30kg, 속력 20m/s, 반경 40m를 대입한다.

계산하면 $F=\dfrac{30\times20^2}{40}=300\ \mathrm{N}$이 된다.

추의 무게가 경사면 방향 중력 성분과 최대 마찰력의 합을 넘어야 하므로 최소 질량은 약 46.7 kg 이다.

그림에서 경사각은 30°, 블록은 50 kg 이며 경사면 꼭대기의 도르래를 지난 줄에 질량 m 인 추가 매달려 있다. 경사면에 수직한 방향의 힘 균형에서 수직항력은 N = 50g·cos30° 이고, 블록이 위로 움직이려 하므로 마찰력은 경사면 아래 방향으로 작용한다.

줄의 장력은 추의 무게 mg 와 같으므로 조건은 mg ≥ 50g·sin30° + 0.5 × 50g·cos30° 이고, 양변에서 g 가 소거되어 m ≥ 50(0.5) + 0.5 × 50(0.866) 이 된다.

계산하면 m ≥ 25 + 21.65 = 46.65 ≈ 46.7 kg. 마찰을 빼고 중력 성분만 보면 25 kg, 마찰 방향을 반대로(블록이 미끄러져 내려가는 경우로) 잡으면 훨씬 작은 값이 나오므로 마찰 방향을 운동하려는 방향의 반대로 잡는 것이 관건이다.

봉의 초기 각가속도는 6.0 rad/s², 반시계방향이다.

그림에서 봉은 바퀴 달린 카트에 A점 핀으로 연결되어 연직 아래로 매달려 있고, 하중 P 에 의해 카트가 왼쪽으로 a_A = 4 m/s² 로 가속한다. 기준점 A 자체가 가속하므로, 카트와 함께 움직이는 좌표계에서 보면 무게중심에 관성력 m·a_A = 20 × 4 = 80 N 이 가속의 반대편(오른쪽)으로 작용한다.

봉이 연직인 초기 순간에는 무게가 A를 지나는 선상에 있어 중력의 모멘트가 0이고 핀 반력도 A에서 모멘트를 만들지 않는다. 따라서 A 둘레의 모멘트 식에는 이 관성력의 모멘트와 I_Aα 만 남는다.

I_A = mL²/3 = 20 × 1²/3 = 6.67 kg·m² 이고 무게중심은 A 아래 0.5 m 이므로
I_Aα = m·a_A·(L/2) → 6.67α = 80 × 0.5 = 40 → α = 6.0 rad/s²

방향은, 카트가 왼쪽으로 튀어나가면 매달린 봉의 아래끝이 관성으로 뒤처져 오른쪽으로 밀리므로 그림에서 볼 때 반시계방향이다. 회전 기준점이 A 이므로 평행축 정리를 적용한 I_A = mL²/3 을 써야 하며, 무게중심 기준 I_G = mL²/12 를 그대로 쓰면 α 가 4배(24 rad/s²)로 부풀어 버린다.

질량이 같고 반발계수가 1인 정면충돌에서는 두 물체의 속도가 서로 바뀌므로 A는 정지하고 B가 v 로 움직인다.

그림처럼 A가 속도 v 로 정지한 B를 향해 진행하는 상황에서 운동량 보존은 mv + 0 = mv_A′ + mv_B′ → v = v_A′ + v_B′ 이고, 반발계수 정의는 (v_B′ − v_A′)/(v − 0) = 1 → v_B′ − v_A′ = v 다.

두 식을 연립하면 v_A′ = 0, v_B′ = v. 반발계수 1은 완전탄성충돌이므로 운동에너지도 보존되는데, ½mv² 가 손실 없이 통째로 B로 넘어간 셈이다.

두 구가 함께 v/2 로 움직이는 결과는 반발계수가 0인 완전비탄성충돌(붙어서 한 덩어리가 되는 경우)의 답이고, 둘 다 v 로 움직이거나 둘 다 정지하는 것은 운동량 보존을 만족하지 못한다.

방전가공 전극 재료의 구비조건으로 틀린 것은 가공 전극의 소모가 커야 한다는 항목이다.

방전가공용 전극은 가공 중 자체 소모(전극 마모)가 적을수록 형상 정밀도와 수명 면에서 유리하므로, 전극 소모는 오히려 작아야 한다.

• 기계가공이 쉬워야 한다는 것은 전극 제작의 편의성 측면에서 정상적인 요구 조건이다.
• 가공 정밀도가 높아야 한다는 것도 전극이 갖춰야 할 정상적인 특성이다.
• 방전이 안전하고 가공속도가 빨라야 한다는 것 역시 정상적인 요구 조건이다.

전기 저항 용접에 해당하지 않는 것은 테르밋 용접이다.

테르밋 용접은 금속산화물과 알루미늄의 화학반응열을 이용하는 용접법으로, 전류를 흘려 저항열을 발생시키는 전기 저항 용접과는 원리가 다르다.

• 심 용접은 롤러 전극으로 연속 접합하는 대표적인 전기 저항 용접이다.
• 스폿 용접은 점 형태로 두 판을 겹쳐 저항열로 접합하는 전기 저항 용접이다.
• 프로젝션 용접도 돌기부에 전류를 집중시켜 접합하는 전기 저항 용접이다.

기계 부품, 식기, 전기저항선 등에 쓰이는 양은(양백)의 성분은 Cu, Zn 및 Ni의 합금이다.

구리에 아연과 니켈을 첨가한 합금으로 은백색을 띠며 내식성과 가공성이 좋아 식기나 저항선 등 다양한 용도로 활용된다.

숫돌의 결합도가 약할 때는 연삭 떨림(채터)의 직접적 원인이 아니다.

결합도가 약한 숫돌은 입자가 쉽게 탈락해 자생작용이 활발하므로 떨림보다는 숫돌 마모가 빨리 진행되는 쪽에 가깝다. 오히려 결합도가 지나치게 단단하면 무딤·눈메움으로 연삭저항이 커져 떨림이 생긴다.

• 숫돌축이 편심되어 있으면 회전할 때마다 반경 방향 힘이 주기적으로 변해 떨림이 생긴다.
• 숫돌의 평형상태가 불량하면(무게중심 불일치) 고속 회전 시 진동이 발생한다.
• 연삭기 자체에서 진동이 있으면 그 진동이 그대로 가공면에 전달되어 떨림 무늬를 남긴다.

Taylor 공구수명식 $VT^n = C$에 값을 대입하면 절삭속도는 약 36.5 m/min이다.

$V = \dfrac{C}{T^n} = \dfrac{200}{30^{0.5}}$

$30^{0.5} \approx 5.477$이므로 $V \approx \dfrac{200}{5.477} \approx 36.5\ \mathrm{m/min}$이다.

펀치와 다이로 판재를 원하는 외형대로 오려내는 전단가공은 블랭킹(blanking)이다.

• 스웨이징은 다이 안에서 재료를 압축해 단면을 성형하는 단조 가공이다.
• 엠보싱은 얇은 판에 요철 무늬를 눌러 성형하는 가공이다.
• 브로칭은 브로치 공구를 이동시켜 홈이나 구멍의 형상을 절삭하는 가공이다.

버니어캘리퍼스의 최소 읽기 값(최소눈금)은 $\dfrac{1}{50}\ \mathrm{mm}$이다.

어미자 최소눈금을 $S$, 아들자(버니어) 등분수를 $n$이라 하면 최소 읽기 값은 $\dfrac{S}{n}$으로 구해진다.

여기서는 어미자 49mm를 50등분했으므로 아들자 한 눈금은 $\dfrac{49}{50}$mm이고, 어미자 한 눈금(1.0mm)과의 차이가 최소 읽기 값이 되어 $1 - \dfrac{49}{50} = \dfrac{1}{50}\ \mathrm{mm}$이다.

전해연마는 전기 도금의 반대 방향으로 가공물을 양극, 구리·아연 등 낮은 전기저항 금속을 음극에 연결하여 적절한 용액에서 통전할 때, 금속 표면의 미소 돌기 부분이 양극에서 용해되면서 거울면 같은 광택면을 얻는 가공법이다. 방전가공(1)은 전극과 피가공물 사이의 스파크를 이용한 가공이고, 전주가공(2)은 구리선을 회전시키며 연마하는 가공이며, 슈퍼피니싱(4)는 기계적 미세 연마 가공으로 모두 전기 도금과 반대 원리를 적용하지 않는다.

Fe-C 평형상태도에서 탄소함유량 약 0.80%는 공석점(eutectoid point)의 탄소 함유량이며, 이 성분의 강을 공석강이라 한다. 공석강은 오스테나이트가 냉각 시 페라이트와 시멘타이트(Fe₃C)로 분해되는 경계 조성이고, 저탄소강(0.80% 미만)을 아공석강, 고탄소강(0.80% 초과)을 과공석강이라 구분한다. 보기 2~4번은 모두 주철(탄소 2.11% 이상)의 분류이므로 해당하지 않는다.

주물사는 내화성이 커야 하므로 "내화성이 적을 것"은 구비조건으로 옳지 않다.

주형은 고온의 용탕과 직접 접촉하므로 주물사가 녹거나 소결되지 않도록 높은 내화도를 갖춰야 한다.

• 통기성이 좋아야 주형 내부 가스가 원활히 빠져나가 기공 결함을 막을 수 있다.
• 주형 제작이 용이해야 성형·다짐 작업이 수월하다.
• 주물 표면에서 이탈이 용이해야 응고 후 붕괴성이 좋아 탈형이 쉽다.