원형 단면축의 비틀림 변형에너지는 U = T²L / (2G·I_P)다.

비틀림각이 $\theta=\dfrac{TL}{GI_P}$ 이고 탄성 범위에서 저장 에너지가 $U=\dfrac{1}{2}T\theta$ 이므로, 둘을 곱하면 $U=\dfrac{T^2L}{2GI_P}$ 가 된다.

비틀림은 전단 변형이므로 세로탄성계수 E가 아니라 가로탄성계수 G를 쓰고, 단면 성질도 관성모멘트 I가 아니라 극관성모멘트 I_P를 써야 한다.

E와 I를 조합한 형태는 굽힘 변형에너지 $U=\dfrac{M^2L}{2EI}$ 의 꼴이고, G와 I를 섞거나 E와 I_P를 섞은 식은 어느 쪽 변형에도 대응하지 않는 조합이다.

왼쪽은 단순지지, 오른쪽은 벽에 고정된 일단고정 타단지지보다. 등분포하중을 받을 때 최대처짐은 wL⁴을 약 185EI로 나눈 값이므로, 분모가 186.4EI인 식이 답이다.

지지단 반력을 R = 3wL/8로 놓고 처짐곡선식을 적분해 기울기가 0이 되는 점을 찾으면, 처짐이 최대가 되는 곳은 지지단에서 x = 0.4215L 지점이다.

그 점의 처짐은
$\delta_{max}=0.005416\dfrac{wL^4}{EI}=\dfrac{wL^4}{184.6EI}$

보기 중 이 값에 해당하는 것은 분모가 186.4EI인 식뿐이고(시험지 표기값), 64EI·128.5EI·192EI는 크게 벗어난다. 비교하면 단순보는 5wL⁴/384EI(=wL⁴/76.8EI), 양단고정보는 wL⁴/384EI, 외팔보는 wL⁴/8EI로 지지 조건마다 값이 완전히 달라진다.

이 내민보의 최대 굽힘 모멘트는 5 kN·m이고, 생기는 위치는 스팬 중앙이 아니라 지점 바로 위 단면이다.

그림의 하중은 양쪽 내민 끝(각 1 m)에 걸린 집중하중 5 kN 두 개와, 두 지점 사이 2 m 구간에 걸린 등분포하중 2 kN/m다. 좌우 대칭이므로 각 지점 반력은 (5+5+2×2)/2 = 7 kN이다.

지점 단면은 바깥쪽 내민부만 떼어 보면 되므로 M = 5 kN × 1 m = 5 kN·m.
지점 사이 중앙 단면은 왼쪽부터 더하면 M = −5×2 + 7×1 − 2×1×0.5 = −4 kN·m로 크기가 더 작다.

두 값 중 절댓값이 큰 5 kN·m가 답이다. 내민보는 이렇게 지점 위에서 최대 모멘트가 나오는 경우가 흔하므로 중앙만 계산하고 끝내면 안 된다.

회전반경은 $K_z=\sqrt{I_z/A}$ 이므로, 도심축 Z에 대한 단면 2차 모멘트와 단면적을 각각 구해 나눈 뒤 제곱근을 취하면 된다.

그림의 단면은 가로 전체 치수가 H, 안쪽 빈 구간이 h, 세로 높이가 b, 가운데 웨브의 두께가 t다. 수평 도심축 Z에 대해 양쪽 플랜지는 합친 폭이 (H−h)이고 높이가 b이므로 $\dfrac{(H-h)b^3}{12}$, 웨브는 폭 h에 높이 t이므로 $\dfrac{ht^3}{12}$ 이다.

$I_z=\dfrac{Hb^3-hb^3+ht^3}{12}$
$A=(H-h)b+ht=bH-bh+th$

따라서 $K_z=\sqrt{\dfrac{ht^3+Hb^3-hb^3}{12(bH-bh+th)}}$ 가 된다. 분모에만 12가 붙고, 면적이 bH−bh+th로 정리되는 형태가 핵심 판별점이다.

전 길이에 등분포하중 ω를 받는 단순 지지보의 최대 처짐은 $\delta_{max}=\dfrac{5\omega l^4}{384EI}$이며, 위치는 스팬 중앙이다.

그림은 한쪽은 힌지, 반대쪽은 롤러로 받쳐진 스팬 l의 보 위에 하중 ω가 전 구간 고르게 실린 상태다. 처짐 곡선 $\delta(x)=\dfrac{\omega x}{24EI}(l^3-2lx^2+x^3)$ 에 $x=l/2$를 대입하면 위 결과가 나온다.

차원으로도 걸러진다. 등분포하중에 의한 처짐은 길이의 4제곱에 비례하므로 $l^3$이 들어간 식은 애초에 성립하지 않고, 계수도 중앙 집중하중의 48이나 외팔보의 24가 아니라 384다.

F₂는 3:4:5 방향이라 방향여현이 (0.8, 0.6)이고, F₁은 x축과 120°를 이룬다. x방향 평형 $-F_1\cos 60^\circ+0.8F_2=0$에서 $F_1=1.6F_2$, 이를 y방향 평형 $F_1\sin 60^\circ+0.6F_2=784.8$에 넣으면 $1.9856F_2=784.8$이다. 따라서 F₂=395.2N, F₁=632.4N이다.

이 축의 최대 허용 토크는 전단응력 조건과 비틀림각 조건 중 더 작은 값으로 정해지며, 약 1696 N·m이다.

극단면계수는 $Z_p=\dfrac{\pi d^3}{16}=\dfrac{\pi (60)^3}{16}\approx42412\ \mathrm{mm^3}$이므로, 허용전단응력 조건에서 $T_1=\tau_{allow}Z_p=40\times42412\approx1696\times10^3\ \mathrm{N\cdot mm}=1696\ \mathrm{N\cdot m}$이다.

비틀림각 조건에서는 극관성모멘트 $J=\dfrac{\pi d^4}{32}\approx1.272\times10^6\ \mathrm{mm^4}$와 $\theta=1.5^\circ\approx0.0262\ \mathrm{rad}$를 단위길이 $L=1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$에 대해 적용하여 $T_2=\dfrac{GJ\theta}{L}\approx2665\ \mathrm{N\cdot m}$로 더 크게 나오므로 전단응력 조건이 지배하여 최대 허용 토크는 약 1696 N·m가 된다.

이 축에 발생하는 최대 전단응력은 약 30 MPa이다.

각속도 $\omega=2\pi n=2\pi\times26.5\approx166.5\ \mathrm{rad/s}$이므로 전달토크는 $T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{26500\ \mathrm{W}}{166.5\ \mathrm{rad/s}}\approx159.2\ \mathrm{N\cdot m}$이다.

지름 30mm 축의 최대 전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times159160}{\pi\times30^3}\approx30\ \mathrm{MPa}$로 계산된다.

직사각형 단면 보의 최대 전단응력은 평균 전단응력의 1.5배이므로 12.5 N/cm²다.

그림은 벽에 고정된 길이 50 cm의 외팔보 자유단에 P = 100 N이 걸린 형태다. 외팔보는 전 구간에서 전단력이 일정해 V = P = 100 N이고, 굽힘응력과 달리 길이 50 cm는 전단응력 계산에 들어가지 않는다.

단면적 A = 3 cm × 4 cm = 12 cm²
$\tau_{max}=\dfrac{3V}{2A}=\dfrac{3\times100}{2\times12}=12.5\ \mathrm{N/cm^2}$

계수 3/2를 빼먹고 평균값만 구하면 8.33 N/cm²가 되므로, 직사각형 단면은 중립축에서 1.5배라는 점을 반드시 반영해야 한다.

최대주변형률과 최소주변형률은 각각 ε₁≈215×10⁻⁶, ε₂≈−645×10⁻⁶이다.

평균변형률은 $\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\dfrac{-150-280}{2}\times10^{-6}=-215\times10^{-6}$이고, 반경 성분은 $R=\sqrt{\left(\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}=\sqrt{65^2+425^2}\times10^{-6}\approx430\times10^{-6}$이다.

따라서 $\varepsilon_{1,2}=-215\times10^{-6}\pm430\times10^{-6}$이 되어 최대주변형률은 약 215×10⁻⁶, 최소주변형률은 약 −645×10⁻⁶이 된다.

이 보에 작용하는 등분포하중 q는 약 5 kN/m이다.

단면계수는 $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{40\times100^2}{6}\approx66667\ \mathrm{mm^3}$이므로 허용 최대굽힘모멘트는 $M_{max}=\sigma_{max}Z=337.5\times66667\approx22.5\ \mathrm{kN\cdot m}$이다.

단순지지보의 등분포하중에서 최대굽힘모멘트는 $M_{max}=\dfrac{qL^2}{8}$이므로 $q=\dfrac{8M_{max}}{L^2}=\dfrac{8\times22.5}{6^2}=5\ \mathrm{kN/m}$이다.

고정단 A에서 l/3 떨어진 B점의 처짐각은 $\theta_B=\dfrac{5Pl^2}{9EI}$다.

그림은 A가 고정, C가 자유단인 전체 길이 l의 외팔보로 A–B가 l/3, B–C가 2l/3이며 자유단 C에 2P가 아래로 작용한다. 자유단에 하중 W를 받는 외팔보의 처짐각은 고정단에서 x만큼 떨어진 곳에서 $\theta(x)=\dfrac{W}{EI}\left(lx-\dfrac{x^2}{2}\right)$ 이다.

W = 2P, x = l/3을 대입하면
$\theta_B=\dfrac{2P}{EI}\left(\dfrac{l^2}{3}-\dfrac{l^2}{18}\right)=\dfrac{2P}{EI}\cdot\dfrac{5l^2}{18}=\dfrac{5Pl^2}{9EI}$

자유단 C의 처짐각 $Pl^2/EI$ 보다 작아야 하고, 하중이 P가 아니라 2P라는 점을 놓치면 분모가 두 배인 값이 나온다.

옳은 전단력 선도는 자유단에서 하중 작용점까지 0, 하중점부터 고정단까지 크기 P로 일정한 계단(사각형) 모양이다.

그림은 왼쪽이 자유단, 오른쪽이 고정단인 외팔보의 중간 한 곳에 집중하중 P가 아래로 걸린 형태다. 자유단 쪽을 잘라 보면 걸린 하중이 없어 $V=0$이고, 하중점을 지난 뒤에는 잘린 부분에 P 하나만 남아 $V=P$로 끝까지 일정하다.

집중하중만 있으므로 전단력이 기울어진 직선이나 곡선이 될 수 없다. 등분포하중이 있어야 직선 기울기가 생기고, 삼각형 분포하중이라야 곡선이 나온다. 또 자유단부터 끝까지 P가 이어진 선도는 하중이 자유단에 걸렸을 때의 모양이라 이 문제와 맞지 않는다.

문제에서 아랫방향을 양(+)으로 두었으므로, 하중점에서 뛰어오른 그 단은 양(+)쪽에 그려져야 한다.

단면적이 다른 두 단이 각각 길이 $\dfrac{L}{2}=150\ \mathrm{mm}$이므로 수축량을 따로 구해 더한다. $\delta=\dfrac{P}{E}\left(\dfrac{L_1}{A_1}+\dfrac{L_2}{A_2}\right)=\dfrac{2500}{90000}\left(\dfrac{150}{1000}+\dfrac{150}{2000}\right)\approx 0.00625\ \mathrm{mm}$다.

이 강봉이 가질 수 있는 최소지름은 약 2.19cm이다.

안전율을 고려한 허용응력은 $\sigma_{allow}=\dfrac{\sigma_{max}}{S}=\dfrac{400}{5}=80\ \mathrm{MPa}$이다.

필요 단면적은 $A=\dfrac{P}{\sigma_{allow}}=\dfrac{30000\ \mathrm{N}}{80\ \mathrm{MPa}}=375\ \mathrm{mm^2}$이며, 원형 단면에서 지름은 $d=\sqrt{\dfrac{4A}{\pi}}\approx21.9\ \mathrm{mm}=2.19\ \mathrm{cm}$로 구해진다.

두 봉에 저장되는 탄성 변형에너지의 비는 U_B/U_A = 5/9다.

변형에너지는 $U=\dfrac{P^2L}{2AE}$ 이다. 그림에서 (A)는 지름 d로 길이 l 전체가 균일하고, (B)는 앞쪽 l/2이 지름 3d(단면적 9A), 뒤쪽 l/2이 지름 d(단면적 A)다. 양단 압축하중 P는 두 경우 모두 같다.

$U_A=\dfrac{P^2l}{2AE}$
$U_B=\dfrac{P^2(l/2)}{2(9A)E}+\dfrac{P^2(l/2)}{2AE}=\dfrac{P^2l}{4AE}\left(\dfrac{1}{9}+1\right)=\dfrac{5P^2l}{18AE}$

따라서 $\dfrac{U_B}{U_A}=\dfrac{5/18}{1/2}=\dfrac{5}{9}$ 로 1보다 작다. 굵은 쪽은 응력이 1/9로 낮아 에너지를 거의 흡수하지 못하므로, 단면을 키운 B가 오히려 더 적게 저장한다.

핀이 이중 전단(2면 전단)을 받으므로 전단응력은 약 12.73 MPa다.

그림은 두께 1.5 cm짜리 바깥 링크 두 장 사이에 두께 4 cm의 가운데 링크를 끼우고 핀 하나로 꿴 형태다. 하중 2000 N이 핀의 두 단면에 나뉘어 걸리므로, 저항하는 전단 면적은 원 단면적의 2배가 된다.

$A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\times10^2}{4}=78.54\ \mathrm{mm^2}$
$\tau=\dfrac{P}{2A}=\dfrac{2000}{2\times78.54}=12.73\ \mathrm{MPa}$

단일 전단으로 계산하면 25.5 MPa가 나온다. 링크가 세 장 겹쳐 핀이 두 곳에서 잘리는 구조인지를 그림에서 먼저 확인하는 것이 이 유형의 핵심이다.

축방향 변형률은 $\varepsilon_x=\dfrac{PD}{4tE}(1-2\nu)$, 원주방향 변형률은 $\varepsilon_y=\dfrac{PD}{4tE}(2-\nu)$ 다.

두께가 얇은 원통형 압력용기에서 원주(후프) 응력은 $\sigma_y=\dfrac{PD}{2t}$, 축(길이) 방향 응력은 그 절반인 $\sigma_x=\dfrac{PD}{4t}$ 다. 반지름 방향 응력은 t가 작아 무시하므로 2축 응력 상태로 다룬다.

2축 후크 법칙 $\varepsilon_x=\dfrac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}$, $\varepsilon_y=\dfrac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}$ 에 대입하면
$\varepsilon_x=\dfrac{1}{E}\left(\dfrac{PD}{4t}-\nu\dfrac{PD}{2t}\right)=\dfrac{PD}{4tE}(1-2\nu)$
$\varepsilon_y=\dfrac{1}{E}\left(\dfrac{PD}{2t}-\nu\dfrac{PD}{4t}\right)=\dfrac{PD}{4tE}(2-\nu)$

원주 응력이 축 응력의 2배이므로 괄호 안이 (1−2ν)와 (2−ν)로 짝지어지는 조합만 성립한다. 둘을 뒤바꾸거나 (1−ν)를 쓰면 응력비 2:1이 반영되지 않는다.

인장하중에 의한 신장량은 $\Delta L = \frac{PL}{AE}$ 공식으로 구한다. 주어진 값: $P = 50 \text{ kN} = 50,000 \text{ N}$, $L = 1,000 \text{ mm}$, 지름 $d = 20 \text{ mm}$이므로 단면적 $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 20^2}{4} = 314.16 \text{ mm}^2$, $E = 210 \text{ GPa} = 210,000 \text{ MPa}$. 대입하면 $\Delta L = \frac{50,000 \times 1,000}{314.16 \times 210,000} = \frac{50,000,000}{65,973,600} \approx 0.758 \text{ mm}$이다.

이 장주의 좌굴임계하중은 약 43 kN이다.

단면 2차모멘트는 $I=\dfrac{\pi d^4}{64}=\dfrac{\pi(0.1)^4}{64}\approx4.91\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$이고, 양단힌지 조건이므로 오일러 좌굴하중식을 그대로 적용한다.

$P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L^2}=\dfrac{\pi^2\times200\times10^9\times4.91\times10^{-6}}{15^2}\approx43000\ \mathrm{N}\approx43\ \mathrm{kN}$으로 계산된다.

이 과정에서 공기가 하는 일은 약 24.3 kJ이다.

초기 체적은 이상기체상태방정식으로 $V_1=\dfrac{mRT_1}{P}=\dfrac{0.2\times0.287\times423.15}{500}\approx0.0486\ \mathrm{m^3}$이다.

체적이 2배가 되므로 $V_2-V_1=V_1$이고, 정압과정에서 일은 $W=P(V_2-V_1)=500\times0.0486\approx24.3\ \mathrm{kJ}$로 구해진다.

이 등온과정에서의 가열량은 7000 kJ이다.

등온과정에서 가열량은 $Q=T\Delta S=Tm(s_2-s_1)$로 구한다.

$Q=500\ \mathrm{K}\times2\ \mathrm{kg}\times(10-3)\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=7000\ \mathrm{kJ}$이다.

랭킨 사이클의 열효율을 높이는 방법으로 틀린 설명은 터빈 출구 온도를 높인다는 것이다.

랭킨 사이클의 효율은 복수기 압력을 낮추거나, 보일러 압력을 높이거나, 재열 장치를 사용할 때 향상된다.

• 복수기 압력을 낮추면 터빈 출구 엔탈피가 낮아져 일량이 늘어나므로 효율 향상에 해당한다.
• 보일러 압력 상승과 재열 사용도 모두 실제 열효율을 높이는 방법이다.

반면 터빈 출구 온도(배기 온도)를 높이면 복수기로 버려지는 열량이 늘어 오히려 효율이 낮아지므로 이 설명이 틀렸다.

줄-톰슨 계수에 대한 옳은 설명은 등엔탈피 과정에서 온도변화와 압력변화의 비이며, μJ<0이면 온도가 상승한다는 것이다.

교축(throttling)과정은 엔탈피가 일정하게 유지되는 등엔탈피 과정이므로 $\mu_J=\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_h$로 정의된다.

교축과정에서는 압력이 항상 감소하므로($dP<0$), $\mu_J<0$이면 $dT=\mu_J dP>0$가 되어 온도가 상승하는 경우에 해당한다.

이 카르노 사이클의 일은 약 307.2 kJ, 열효율은 약 0.6143이다.

절대온도로 환산하면 $T_H=773.15\ \mathrm{K}$, $T_C=298.15\ \mathrm{K}$이므로 카르노 효율은 $\eta_{th}=1-\dfrac{T_C}{T_H}\approx0.6143$이다.

일은 $W=\eta_{th}Q_H=0.6143\times500\approx307.2\ \mathrm{kJ}$로 계산된다.

이 브레이턴 사이클의 열효율은 약 0.37이다.

순일은 터빈 발생일에서 압축기 소요일을 뺀 값으로 $W_{net}=406-175=231\ \mathrm{kJ/kg}$이다.

열효율은 $\eta_{th}=\dfrac{W_{net}}{Q_{in}}=\dfrac{231}{627}\approx0.37$로 계산된다.

폴리트로픽 과정의 일 공식으로 계산하면 가스가 한 일은 약 17 kJ이다.

추를 덜어내며 팽창시키므로 압력이 내려간다. 나중 압력부터 구하면
$P_2=P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{n}=300\times\left(\dfrac{0.05}{0.2}\right)^{1.3}=300\times0.25^{1.3}=49.5\ \mathrm{kPa}$

$W=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{n-1}=\dfrac{300\times0.05-49.5\times0.2}{1.3-1}=\dfrac{15-9.9}{0.3}\approx17\ \mathrm{kJ}$

지수가 1이 아니므로 등온 팽창식 $P_1V_1\ln(V_2/V_1)$ 을 쓰면 안 된다. 그렇게 하면 약 20.8 kJ이 나와 다른 보기로 끌려가므로, n−1로 나누는 폴리트로픽 식을 써야 한다.

종량적 상태량(extensive property)에 속하는 것은 체적이다.

종량적 상태량은 물질의 양(질량)에 비례하는 상태량으로 체적, 내부에너지, 엔탈피, 엔트로피 등이 해당한다.

• 압력은 물질의 양과 무관하게 정해지는 강도성 상태량이다.
• 온도 역시 계의 크기와 무관한 강도성 상태량이다.
• 밀도는 질량을 체적으로 나눈 값으로 크기와 무관한 강도성 상태량이다.

이 과정 동안 공기가 한 일은 약 −40 kJ이다(체적이 감소하므로 압축일에 해당).

$P=aV^{-2}$이므로 일은 $W=\int_{V_1}^{V_2} aV^{-2}dV=a\left(\dfrac{1}{V_1}-\dfrac{1}{V_2}\right)$로 적분된다.

$W=6\times\left(\dfrac{1}{0.3}-\dfrac{1}{0.1}\right)=6\times(3.333-10)\approx-40\ \mathrm{kJ}$이다.

이 가솔린 기관의 열효율은 약 31%이다.

연료의 시간당 발열량은 $\dot Q_{in}=\dot m H_l=20\times43470=869400\ \mathrm{kJ/h}\approx241.5\ \mathrm{kW}$이다.

열효율은 $\eta=\dfrac{P_{out}}{\dot Q_{in}}=\dfrac{74}{241.5}\approx0.31$로 계산된다.

랭킨사이클을 옳게 나타낸 과정은 가역단열압축 → 정압가열 → 가역단열팽창 → 정압냉각이다.

랭킨사이클은 급수펌프에서의 단열압축, 보일러에서의 정압가열, 터빈에서의 단열팽창, 복수기에서의 정압냉각으로 구성되는 증기동력 사이클이다.

이 물체에 가해진 열량은 30kJ이다.

열역학 제1법칙에서 $Q=\Delta U+W$이며, 내부에너지 변화는 $\Delta U=50-30=20\ \mathrm{kJ}$, 외부에 한 일은 $W=10\ \mathrm{kJ}$이다.

따라서 $Q=20+10=30\ \mathrm{kJ}$이다.

폭포수가 낙하한 후 수면에서의 온도 상승은 약 0.13K이다.

열교환이 없으므로 낙하로 인한 위치에너지가 모두 내부에너지(열)로 전환된다고 보면 $mgh=mc\Delta T$가 성립한다.

비열을 J 단위로 $c=4.2\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4200\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$로 두면 $\Delta T=\dfrac{gh}{c}=\dfrac{9.81\times55}{4200}\approx0.13\ \mathrm{K}$로 계산된다.

이 열기관은 열역학 제2법칙에 위배된다.

주어진 온도 사이의 카르노 효율은 $\eta_{Carnot}=1-\dfrac{T_C}{T_H}=1-\dfrac{303.15}{373.15}\approx0.188$(약 18.8%)이다.

그런데 이 기관의 실제 효율은 $\eta=\dfrac{W}{Q_H}=\dfrac{40}{100}=0.4$(40%)로 카르노 효율을 초과하므로, 에너지 보존 자체는 성립해 제1법칙은 위배되지 않지만 두 열원 사이 최대효율을 넘을 수 없다는 제2법칙에는 위배된다.

이 냉동기의 성능계수는 약 3.0이다.

압축기 입구 엔탈피(증발기 출구) $h_1=387.2$, 응축기 입구 엔탈피(압축기 출구) $h_2=435.1$, 증발기 입구 엔탈피(팽창밸브 출구) $h_4=241.8\ \mathrm{kJ/kg}$이다.

냉동효과는 $h_1-h_4=145.4\ \mathrm{kJ/kg}$, 압축일은 $h_2-h_1=47.9\ \mathrm{kJ/kg}$이므로 성능계수는 $COP=\dfrac{h_1-h_4}{h_2-h_1}\approx3.0$이다.

타이어 압력은 주행 전과 비교하여 약 58 kPa 상승한다.

체적이 일정하므로 절대압력과 절대온도는 비례한다: $\dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}$. 초기 절대압력은 $P_1=183+101.3=284.3\ \mathrm{kPa}$, $T_1=293\ \mathrm{K}$, $T_2=353\ \mathrm{K}$이다.

$P_2=P_1\times\dfrac{T_2}{T_1}\approx342.5\ \mathrm{kPa}$이므로 압력 상승분은 $\Delta P=342.5-284.3\approx58\ \mathrm{kPa}$이다.

열이 고열원에서 저열원으로 이동할 때 계 전체의 엔트로피 변화는 ΔS = Q(T₁ − T₂) / (T₁ × T₂) 이다.

고열원은 Q를 잃으므로 ΔS₁ = −Q/T₁, 저열원은 Q를 얻으므로 ΔS₂ = +Q/T₂ 이다.
두 값을 더하면 ΔS = Q/T₂ − Q/T₁ = Q(T₁ − T₂)/(T₁T₂) 가 된다.

T₁ > T₂ 이므로 이 값은 항상 양(+)이며, 비가역 열전달에서 전체 엔트로피는 증가한다는 열역학 제2법칙과 일치한다.

• Q가 분모에 놓인 식은 전달 열량이 커질수록 엔트로피 변화가 줄어든다는 뜻이 되어 성립하지 않는다.
• 분자가 T₁ + T₂ 인 식은 두 온도가 같아 열이동이 없을 때도 0이 되지 않아 모순이다.

이 등온팽창에서 엔트로피 변화량은 약 1.340 kJ/K이다.

이상기체의 등온과정에서는 내부에너지 변화가 없어 $Q=W=500\ \mathrm{kJ}$이다.

엔트로피 변화는 $\Delta S=\dfrac{Q}{T}=\dfrac{500}{373.15}\approx1.340\ \mathrm{kJ/K}$로 계산된다.

습증기의 엔탈피는 $h=h_f+x(h_g-h_f)$로 나타낸다.

포화액 엔탈피 $h_f$에 건도 x만큼 증발잠열 $(h_g-h_f)$가 더해지는 형태로, 건도는 전체 질량 중 증기로 존재하는 비율을 의미하기 때문이다.

이상기체의 정압비열은 C_p = k/(k − 1) · R 로 나타난다.

마이어 관계식 C_p − C_v = R 과 비열비 정의 k = C_p/C_v 에서 C_v = C_p/k 이다.
대입하면 C_p − C_p/k = R → C_p(k − 1)/k = R → C_p = kR/(k − 1).

• C_p = C_v − R 은 부호가 반대다. 실제로는 C_p = C_v + R 로 정압비열이 정적비열보다 항상 크다.
• (k − 1)/k · R 은 정답의 역수 꼴이며, 같은 관계에서 얻어지는 정적비열은 C_v = R/(k − 1) 이다.
• R = (C_p + C_v)/2 처럼 두 비열의 산술평균으로 기체상수를 정의하는 관계식은 존재하지 않는다.

모형 배의 속도는 약 1.633 m/s로 해야 한다.

자유표면을 갖는 선박의 모형실험에서는 프루드수를 실형과 모형에서 같게 맞춘다: $\dfrac{V}{\sqrt{gL}}$가 일정해야 한다.

따라서 $V_m=V_p\sqrt{\dfrac{L_m}{L_p}}=10\times\sqrt{\dfrac{4}{150}}\approx1.633\ \mathrm{m/s}$로 구해진다.

힘의 작용점(압력중심)은 수면에서 약 1.33 m 깊이에 있다.

그림의 수문은 상단이 수면과 일치하는 연직 평판으로 높이 h = 2 m, 폭 b = 3 m 이다.
따라서 도심 깊이 h_c = h/2 = 1 m, 면적 A = 3 × 2 = 6 m² 이다.

압력중심 y_p = h_c + I_c/(A·h_c) 에 단면 2차 모멘트 I_c = bh³/12 = 3 × 2³/12 = 2 m⁴ 를 대입하면
y_p = 1 + 2/(6 × 1) = 1 + 0.333 = 1.33 m.

압력이 깊이에 비례해 커지므로 작용점은 언제나 도심(1 m)보다 아래에 놓인다. 도심 깊이를 그대로 답으로 고르지 않도록 주의한다.

속도 수두는 $h_v = \frac{v^2}{2g}$ 공식으로 구한다. 주어진 값: $v = 1.4 \text{ m/s}$, $g = 10 \text{ m/s}^2$. 대입하면 $h_v = \frac{(1.4)^2}{2 \times 10} = \frac{1.96}{20} = 0.098 \text{ m} \approx 0.1 \text{ m}$으로, 약 0.1 m이다.

개수로와 같은 자유표면 유동과 가장 밀접한 무차원수는 프루드수(Froude수)이다.

프루드수는 관성력과 중력의 비를 나타내는 무차원수로, 자유표면이 존재해 중력의 영향이 지배적인 개수로·조파 유동을 특징짓는 데 사용된다.

• 오일러수는 압력력과 관성력의 비를 나타내는 무차원수이다.
• 마하수는 압축성 유동에서 유속과 음속의 비를 나타낸다.
• 프란틀수는 열전달에서 운동량 확산과 열 확산의 비를 나타내는 물성 무차원수이다.

두 점 사이를 흐르는 유량은 12 이다.

2차원 비압축성 유동에서 두 점 사이의 유량은 유동함수 값의 차와 같다(q = ψ₂ − ψ₁). 유선 사이의 ψ 차이가 곧 그 사이를 지나는 유량이기 때문이다.

ψ = 3xy 이므로
ψ(6, 2) = 3 × 6 × 2 = 36
ψ(4, 2) = 3 × 4 × 2 = 24
q = 36 − 24 = 12.

가장 압력이 높은 지점은 바닥면의 가장자리 C 이다.

강체회전하는 액체의 압력은 p = p₀ + ρω²r²/2 + ρg·(깊이) 형태로, 회전 중심에서 멀수록(r 증가), 아래로 내려갈수록 커진다.

그림에서 자유표면은 중심 B가 가장 낮고 벽면 쪽 D가 가장 높은 포물면이다. 표면 위의 B와 D는 모두 대기압이라 압력이 같고, 바닥의 두 점 중에서는 위에 얹힌 액주가 더 높은 벽면 쪽이 중심보다 압력이 크다.

즉 반지름이 최대이면서 가장 깊은 바닥 가장자리 C가 최대 압력점이 된다.

오일탱크 수면으로부터 3m 깊이에서의 절대압력은 약 125 kPa이다.

오일의 밀도는 $\rho=0.8\times1000=800\ \mathrm{kg/m^3}$이므로 계기압력은 $P_{gauge}=\rho g h=800\times9.81\times3\approx23.5\ \mathrm{kPa}$이다.

절대압력은 $P_{abs}=P_{atm}+P_{gauge}=101+23.5\approx125\ \mathrm{kPa}$로 계산된다.

터빈 출력은 약 1043 kW 이다.

그림에서 수면과 터빈 출구 중심의 높이 차는 30 m 이고, 출구관 지름 0.8 m, 출구속도 10 m/s 이므로
Q = (π/4) × 0.8² × 10 = 5.03 m³/s.

수면과 출구가 모두 대기압이므로 터빈이 뽑아 쓰는 유효낙차는 전체 낙차에서 버려지는 출구 속도수두를 뺀 값이다.
H = 30 − V²/(2g) = 30 − 10²/(2 × 9.81) = 30 − 5.10 = 24.9 m.

출력 = η·ρgQH = 0.85 × 9810 × 5.03 × 24.9 ≒ 1.04 × 10⁶ W = 약 1043 kW.
효율 85%를 곱하지 않으면 약 1228 kW, 속도수두를 빼지 않으면 더 큰 값이 나오므로 두 가지를 모두 반영해야 한다.

이 유동의 유선 방정식은 xy=C이다.

속도성분은 $u=-3x$, $v=3y$이므로 유선의 정의 $\dfrac{dx}{u}=\dfrac{dy}{v}$에서 $\dfrac{dx}{-3x}=\dfrac{dy}{3y}$가 된다.

양변을 적분하면 $-\ln x=\ln y+C_1$, 즉 $\ln(xy)=C_2$가 되어 유선의 방정식은 xy=C로 정리된다.

휘발유를 채우는 데 걸리는 시간은 약 141초이다.

필요 체적은 $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{20}{900}\approx0.0222\ \mathrm{m^3}$이고, 노즐 단면적은 $A=\dfrac{\pi d^2}{4}\approx3.14\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$이다.

유량은 $Q=AV\approx1.571\times10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$이므로 시간은 $t=\dfrac{V}{Q}\approx141\ \mathrm{s}$이다.

체적을 1% 감소시키기 위해 가해야 할 압력은 2.086×10⁷ Pa이다.

체적탄성계수의 정의 $K=-\dfrac{\Delta P}{\Delta V/V}$에서 압력 증분은 $\Delta P=K\times\dfrac{\Delta V}{V}$로 구한다.

$\Delta P=2.086\times10^9\times0.01=2.086\times10^7\ \mathrm{Pa}$이다.

경계층의 박리는 하류방향의 압력기울기가 역으로(양의 압력구배로) 바뀔 때 시작된다.

박리는 벽면에서의 속도구배가 0이 되는 지점에서 발생하며, 이는 유동이 감속되며 압력이 하류로 갈수록 오히려 증가하는 역압력구배(adverse pressure gradient) 구간에서 나타난다.

• 유속이 증가하는(가속되는) 구간은 순압력구배 구간으로 박리가 일어나지 않는다.
• 단순히 유속이 감소한다는 것만으로는 박리 발생 조건을 특정하지 못한다.
• 경계층 두께 자체가 0이 되는 것은 박리 조건과 무관하다.

완전발달 층류유동에서 유량은 점성계수에 반비례한다.

하겐-푸아죄유 식 $Q=\dfrac{\pi \Delta P d^4}{128\mu L}$에 따르면 유량은 압력강하와 지름의 4제곱에 비례하고, 관 길이와 점성계수에는 반비례한다.

• 유량은 관의 길이에 비례하지 않고 오히려 반비례한다.
• 유량은 지름의 제곱에 반비례하는 것이 아니라 지름의 4제곱에 비례한다.
• 유량은 압력강하에 반비례하지 않고 비례한다.

표면장력의 차원은 MT⁻²이다.

표면장력은 단위 길이당 힘 $\gamma=\dfrac{F}{L}$으로 정의되며, 힘의 차원이 $MLT^{-2}$이므로 $\gamma$의 차원은 $\dfrac{MLT^{-2}}{L}=MT^{-2}$가 된다.

관 중심부에서의 최대 유속은 약 3.125 m/s이다.

수평 원관 내 층류유동에서 중심 최대유속은 $V_{max}=\dfrac{\Delta P r^2}{4\mu L}$로 구해지며, 반지름은 $r=0.025\ \mathrm{m}$이다.

$V_{max}=\dfrac{8000\times(0.025)^2}{4\times0.4\times1}\approx3.125\ \mathrm{m/s}$이다.

유속은 약 0.63 m/s 이다.

그림의 단순 피토관에서 관 속 액면이 수면보다 더 올라간 높이 Δh 가 곧 속도수두다.
V²/(2g) = Δh → V = √(2gΔh)

Δh = 20 mm = 0.02 m 이므로
V = √(2 × 9.81 × 0.02) = √0.3924 = 0.63 m/s.

관 속과 개수로가 같은 기름이므로 비중 0.8은 양변에서 상쇄되어 식에 들어가지 않고, 관 입구가 수면 아래 h = 30 mm 에 있다는 조건도 정압으로 상쇄되어 속도에 영향을 주지 않는다.

뉴턴의 점성법칙은 τ = μ(du/dy) 로 표현된다.

전단응력은 속도구배(벽면에서 멀어지는 방향의 단위 거리당 속도 변화)에 정비례하고, 그 비례상수가 점성계수 μ다. 벽면 근처일수록 속도가 급격히 변해 du/dy가 크므로 전단응력도 크다.

• μ(dy/du)는 속도구배의 역수를 쓴 꼴이라 속도 변화가 클수록 전단응력이 작아진다는 뜻이 되어 성립하지 않는다.
• (1/μ)(du/dy)는 점성이 큰 유체일수록 전단응력이 작아진다는 모순을 낳는다.
• √(du/dy) 형태는 응력이 속도구배에 선형 비례하지 않으므로 뉴턴 유체의 정의에서 벗어난다.

이 엔진의 추진력은 약 3850N이다.

비행속도는 $V_a=888\ \mathrm{km/h}\approx246.7\ \mathrm{m/s}$이며, 흡기량과 배출량이 같은 경우 추진력은 상대속도차에 질량유량을 곱한 값이다: $F=\dot m(V_e-V_a)$.

$F=30\times(375-246.7)\approx3850\ \mathrm{N}$이다.

스토크스 법칙에 따라 구에 작용하는 항력은 D_r = 3πμdV 이다.

레이놀즈수가 1보다 작은 매우 느린 흐름(크리핑 유동)에서는 관성력이 무시되고 점성력만 항력을 지배하므로 항력이 속도 V의 1제곱에 비례한다.

구의 반지름 r로 쓰면 D_r = 6πμrV 이고, 지름 d = 2r 을 대입하면 D_r = 3πμdV 가 된다. 6πμdV 는 반지름용 계수를 지름에 그대로 옮겨 쓴 오류다.

분모에 중력가속도 g가 들어간 식들은 SI 단위계에서 힘의 차원이 맞지 않으므로 성립할 수 없다.

이 관에서의 압력손실은 약 1140 Pa이다.

평균유속은 $V=\dfrac{Q}{A}\approx0.255\ \mathrm{m/s}$이고, 레이놀즈수는 $Re=\dfrac{Vd}{\nu}\approx1819$로 층류(Re<2300)에 해당한다.

층류 마찰계수 $f=\dfrac{64}{Re}\approx0.0352$를 달시-바이스바흐 식에 대입하면 $\Delta P=f\dfrac{L}{d}\dfrac{\rho V^2}{2}\approx1140\ \mathrm{Pa}$로 구해진다.

금형 온도가 높아지면 냉각 속도가 느려져 분자쇄가 이완될 시간을 벌게 되므로 배향은 오히려 작아진다.

배향은 유동에 의해 정렬된 고분자 사슬이 미처 이완되기 전에 냉각·고화되어 그대로 굳는 현상이므로, 냉각이 느릴수록 즉 금형 온도나 수지 온도가 높을수록 배향은 줄어든다.

반대로 살두께가 얇아 냉각이 빠르거나 사출 시간이 길어 유동 응력을 오래 받을수록 배향은 커지므로 이 설명들은 옳다.

인장강도는 최대하중을 시험편 평행부의 단면적으로 나눈 값이다.

평행부 지름이 14mm이므로 단면적은 $A=\dfrac{\pi}{4}\times14^2\approx153.9\ \mathrm{mm^2}$이다.

따라서 인장강도는 $\sigma=\dfrac{6400\ \mathrm{kgf}}{153.9\ \mathrm{mm^2}}\approx41.6\ \mathrm{kgf/mm^2}$이다. 표점거리 변화는 연신율 계산에 쓰이는 값으로 인장강도 계산과는 무관하다.

Zn(아연)을 강 표면에 확산 침투시키는 표면처리법은 세라다이징이다.

금속침투법(시멘테이션)은 침투 원소에 따라 이름이 다른데, 크로마이징은 Cr, 칼로라이징은 Al을 침투시키는 방법이고 세라다이징은 Zn을 침투시켜 내식성을 높이는 방법이다.

그림은 순금속 A와 B가 모든 농도 범위에서 하나의 액상선(L)과 하나의 고상선(α)만을 가지며 완전히 균일한 고용체를 형성하는 형태로, 액체와 고체 모두 전 조성에서 서로 완전히 용해되는 전율 고용체(고용체 전체 고용) 상태도의 특징이다. 편정형이나 공정형은 반응점(수평선)과 두 개의 고상이 나타나야 하는데 이 그림에는 그러한 불변반응선이 없으므로 해당되지 않는다.

황(S) 성분이 적은 선철을 용해한 후 주형 주입 전에 Mg, Ca 등의 원소를 첨가하여 흑연을 구상(spheroidal) 형태로 변환시킨 주철은 구상흑연주철(ductile iron, nodular iron)이다. 구상흑연주철은 Mg나 Ce 같은 구상화 원소를 용탕에 첨가하면 흑연이 판상(flake) 형태가 아닌 구 모양으로 석출되어 강도와 인성이 크게 향상된다. 합금주철은 특정 원소를 대량 첨가한 것, 칠드주철은 급냉으로 백주철을 만든 것, 가단주철은 가열처리로 흑연화시킨 것으로 모두 구상화 원소 첨가를 특징으로 하지 않는다.

금속나트륨이나 플루오르화 알칼리 등을 첨가하여 결정조직을 미세화하는 처리는 Al-Si 합금의 변질처리(modification)를 지칭한다. Al-Si 합금(규소 함량 약 5~13%)은 초정정(primary silicon)이 조대하고 취성이 높아 기계적 성질이 저하되는데, 나트륨(0.01~0.05%) 또는 플루오르화염(Na₃AlF₆ 등)을 첨가하면 Si 결정의 형태가 바뀌고 미세화되어 강도·연신율·충격값이 향상되고 가공성도 개선된다. Cu-Sn(청동), Ti-Zr, Cu-Zn(황동) 등은 이러한 변질처리 원리를 적용하지 않는다.

문쯔메탈은 베어링용 합금이 아니라 구리에 아연을 섞은 6:4 황동으로, 구조용·판재용으로 쓰인다.

• 화이트메탈은 주석·납 계열의 대표적인 베어링용 합금이다.
• 켈밋합금은 구리에 납을 섞은 고속·고하중용 베어링 합금이다.
• 배빗메탈은 주석 또는 납을 주성분으로 하는 베어링용 화이트메탈의 한 종류이다.

상온에서 순철(α철)은 체심입방격자(BCC) 구조를 가진다.

철은 온도에 따라 결정구조가 바뀌는데, 상온~910℃ 구간의 α철은 체심입방격자이고 910~1400℃의 γ철은 면심입방격자(FCC)로 변태한다.

탄소함유량이 0.8%를 넘는 과공석강은 A1 변태점보다 30~50℃ 높은 온도에서 담금질한다.

과공석강을 그보다 높은 온도로 가열하면 오스테나이트 결정립이 조대화되어 담금질 후 취성이 커지므로, A1 직상에서 가열해 일부 시멘타이트를 남긴 채 담금질하는 것이 표준적인 방법이다.

영구자석강은 잔류자속밀도와 보자력이 모두 커야 한다.

잔류자속밀도가 클수록 강한 자기력을 유지할 수 있고, 보자력이 클수록 외부 자계나 충격에도 자성을 잃지 않고 오래 유지되기 때문이다.

이는 히스테리시스 루프 면적과 보자력이 모두 작아야 하는 연자성 재료의 조건과 반대된다.

체크밸브나 릴리프밸브에서 압력이 올라가 밸브가 열리기 시작해 일정한 흐름량이 인정되는 압력을 크래킹 압력이라 한다.

이는 밸브가 완전히 열려 정격 유량이 흐르는 압력과는 구분되는, 밸브 개방이 시작되는 시점의 압력을 뜻한다.

그림의 기호는 무부하 밸브(언로딩 밸브)를 나타낸다.

사각 기호 안의 화살표가 위·아래 포트와 어긋나게 그려져 평상시 닫혀 있고, 오른쪽에 스프링이 달린 압력제어 밸브임을 보여준다. 아래쪽 포트는 탱크 기호로 이어져 열리면 유량을 탱크로 방출한다.

결정적인 단서는 왼쪽에서 들어오는 파일럿 라인(파선)이 자기 입구 포트가 아니라 외부에서 따로 들어온다는 점이다. 즉 다른 회로의 압력이 설정값에 도달하면 펌프 토출유를 탱크로 흘려보내 펌프를 무부하 운전시키는 밸브다.

• 릴리프 밸브는 파일럿을 자기 입구 압력에서 내부로 따오므로 파선이 입구 배관에 연결되어 그려진다.
• 시퀀스 밸브는 출구가 탱크가 아니라 2차 회로로 이어지고 별도의 외부 드레인 라인이 붙는다.
• 감압 밸브는 평상시 열려 있어 화살표가 두 포트와 일직선이며, 파일럿을 출구(2차) 측에서 따온다.

실린더 배관에 체크밸브를 설치하여 유압 실린더로 유입되는 유량은 자유롭게 흐르게 하고 반대 방향의 흐름은 차단함으로써, 실린더가 임의의 위치에서 정지한 상태를 유지하도록 하는 로크(lock) 회로이다. 무부하 회로는 언로드 밸브로 펌프 부하를 제거하는 회로, 블리드 오프 회로는 유량제어밸브로 실린더 속도를 제어하는 회로, 어큐뮬레이터 회로는 축압기를 이용한 회로로 본 회로 구성과 다르다.

유압모터는 유압 에너지를 기계적 회전운동으로 변환하는 장치로, 주요 종류는 회전피스톤 모터, 베인 모터, 기어 모터 등이 있다. 이들은 모두 실제 유압 시스템에서 널리 사용되는 표준 모터 타입이다. 반면 나사 모터는 유압모터의 공식적인 분류에 포함되지 않으며, 나선형 회전으로 유체를 이동시키는 펌프(예: 나선펌프)로 분류되거나 공압 분야에서만 제한적으로 사용되는 장치다. 따라서 나사 모터는 표준적인 유압모터 종류가 아니다.

베인 모터의 회전수는 공급 유량을 1회전당 유량(배제용적)으로 나누어 구한다.

공급 유량 $Q=30\ \mathrm{L/min}=30{,}000\ \mathrm{cc/min}$이고 1회전당 유량이 50cc이므로,
회전수는 $N=\dfrac{30{,}000}{50}=600\ \mathrm{rpm}$이다.

공급 압력은 모터가 낼 수 있는 토크와 관련된 값으로, 회전수 계산에는 쓰이지 않는다.

두 힘의 관계는 F₂ = 4F₁ 이다.

그림처럼 두 실린더가 아래에서 유체로 연결된 유압 잭에서는 파스칼의 원리에 따라 두 피스톤에 걸리는 압력이 같다.
p = F₁/A₁ = F₂/A₂

따라서 F₂ = F₁ × (A₂/A₁) = F₁ × (D₂/D₁)² 이고, D₂ = 2D₁ 이므로
F₂ = F₁ × 2² = 4F₁.

지름이 2배면 면적은 4배가 되므로 힘도 4배다. 지름 비를 그대로 곱해 2배로 두면 면적 비를 빠뜨린 것이다.

피스톤형 어큐뮬레이터는 습동부 실(seal)이 마모되면 가스실의 가스가 유실 쪽으로 침입할 우려가 있다.

따라서 유실에 가스 침입 염려가 없다는 설명은 틀린 내용이다.

• 대형 제작이 용이하다는 것은 피스톤형의 장점으로 옳다.
• 축유량(저장할 수 있는 기름의 양)을 크게 잡을 수 있다는 것도 옳다.
• 구조가 비교적 간단하고 구성 부품이 적다는 것도 피스톤형의 특징으로 옳다.

펌프 흡입구에 설치되어 유압작동유 속 이물질을 걸러내는 기기는 스트레이너이다.

스트레이너는 이물질이 펌프로 빨려 들어가 캐비테이션이나 마모를 일으키는 것을 막기 위해 흡입 배관에 설치하는 여과망이다.

카운터 밸런스 밸브는 부하의 낙하를 막기 위해 배압을 유지시키는 압력제어밸브이다.

실린더의 자중이나 부하가 급격히 낙하하지 않도록 귀환 관로에 일정한 배압을 걸어주는 역할을 한다.

• 여러 분기 회로를 순서대로 작동시키는 것은 시퀀스밸브의 기능이다.
• 회로 내 최고 압력을 설정하는 것은 릴리프밸브의 기능이다.
• 펌프를 무부하로 돌려 동력을 절감시키는 것은 언로딩밸브의 기능이다.

미터인 회로는 실린더 입구 쪽에 유량제어밸브를 설치해 유입 유량을 제어하는 방식이다.

펌프가 보내는 유량 중 실린더로 들어가지 못하는 잉여 유량은 릴리프밸브를 통해 탱크로 분기되므로, 특히 경부하 시 이 분기 유량으로 인한 동력손실이 크다는 것이 미터인 회로의 특징이다.

최소 스프링 압축량은 약 9.9 cm 이다.

그림에서 추와 종 사이 거리는 30 cm 이고 스프링은 변형되지 않은 상태다. 스프링을 x 만큼 압축하면 추가 x 만큼 더 내려가므로, 종에 닿으려면 (0.3 + x) m 를 올라가야 한다.

스프링 탄성에너지가 그 높이만큼의 위치에너지로 전부 바뀌어야 하므로
½kx² = mg(0.3 + x)
½ × 80 × x² = 0.1 × 9.81 × (0.3 + x)
40x² − 0.981x − 0.2943 = 0

근의 공식으로 풀면
x = (0.981 + √(0.981² + 4 × 40 × 0.2943)) / 80 = (0.981 + 6.932)/80 = 0.0989 m ≒ 9.9 cm.
압축량 x를 상승 높이에 더하지 않고 30 cm만 올라간다고 계산하면 약 8.6 cm가 나와 틀린 값이 된다.

이 진동계의 감쇠비는 약 0.32이다. 그림은 질량(무게 W)이 스프링 K와 댐퍼 C로 바닥에 나란히(병렬로) 연결된 1자유도 감쇠진동계다.

감쇠비는 실제 감쇠계수를 임계감쇠계수로 나눈 값이다.
$\zeta=\dfrac{C}{C_c}=\dfrac{C}{2\sqrt{mK}}$

단위를 cm 계로 통일하면 질량은 $m=\dfrac{W}{g}=\dfrac{22.68}{980}=0.02314\ \mathrm{N\cdot s^2/cm}$ 이고, 임계감쇠계수는 $C_c=2\sqrt{0.02314\times0.357}=0.1818\ \mathrm{N\cdot s/cm}$ 이다.

따라서 $\zeta=\dfrac{0.0579}{0.1818}=0.318$, 즉 약 0.32가 된다. 1보다 훨씬 작으므로 이 계는 부족감쇠(진동하며 감쇠) 상태다.

미끄럼이 일어나지 않을 조건은 T ≤ Mg(3μ_scosα − sinα) 이다.

그림처럼 실이 원기둥 꼭대기에서 경사면과 나란히 위로 당겨지므로 병진·회전 방정식은 $Ma=T-Mg\sin\alpha+F$ 와 $\tfrac{1}{2}Mr^{2}\cdot\dfrac{a}{r}=(T-F)r$ 이다(균일 원기둥 $I=\tfrac{1}{2}Mr^{2}$, 구름조건 $a=r\ddot\theta$).

두 식에서 가속도를 소거하면 접촉면에 필요한 마찰력은 $F=\dfrac{T+Mg\sin\alpha}{3}$ 로 정리된다.

수직항력이 $N=Mg\cos\alpha$ 이므로 미끄럼이 없으려면 $\dfrac{T+Mg\sin\alpha}{3}\le\mu_s Mg\cos\alpha$ 이어야 하고, 이를 T에 대해 풀면 $T\le Mg(3\mu_s\cos\alpha-\sin\alpha)$ 를 얻는다.

고유진동수는 정적 처짐만으로 구할 수 있으며 스프링 개수와는 무관하다.

고유진동수 공식은 $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\delta_{st}}}$이다.

정적 처짐 $\delta_{st}=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$를 대입하면 $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{9.81}{0.03}}\approx2.9\ \mathrm{Hz}$이다.

그림에서 A(2kg)는 오른쪽으로 3m/s, B(0.75kg)는 왼쪽으로 1m/s로 접근하므로, 충돌 후 속도는 u_A=1.25m/s, u_B=3.65m/s(둘 다 오른쪽 방향)이다.

오른쪽을 (+)로 두면 운동량 보존식은 $2(3)+0.75(-1)=2u_A+0.75u_B=5.25$ 이다.

반발계수는 분리속도와 접근속도의 비이므로 $e=\dfrac{u_B-u_A}{v_A-v_B}=0.6$ 이고, 접근속도가 $3-(-1)=4\ \mathrm{m/s}$ 이므로 $u_B-u_A=2.4\ \mathrm{m/s}$ 이다.

두 식을 연립하면 $2.75u_A=3.45$ 에서 $u_A=1.25\ \mathrm{m/s}$, 이어서 $u_B=1.25+2.4=3.65\ \mathrm{m/s}$ 가 된다. 가벼운 B가 반대 방향으로 튕겨 나가며 더 빨라지는 것이 이 결과의 물리적 의미다.

뉴턴의 제1법칙(관성의 법칙)은 외력이 작용하지 않으면 물체가 정지 상태나 등속 직선운동을 계속한다는 법칙이다.

• 가속도가 합력에 비례한다는 설명은 뉴턴의 제2법칙(운동의 법칙, F=ma)이다.
• 작용력과 반작용력이 크기가 같고 방향이 반대라는 설명은 뉴턴의 제3법칙(작용·반작용의 법칙)이다.
• 자유낙하 물체가 같은 가속도를 갖는다는 것은 갈릴레이의 낙하 법칙에 해당한다.

그림의 x–x′축은 원판면에 수직으로 중심을 관통하는 회전축이므로, 질량관성모멘트는 약 0.06 kg·m²이다.

균일 원판의 이 축(극관성축)에 대한 값은 $J=\dfrac{1}{2}mr^{2}$ 이다.

대입하면 $J=\dfrac{1}{2}\times3\times0.2^{2}=\dfrac{1}{2}\times3\times0.04=0.06\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}$ 이다.

같은 원판이라도 축이 지름 방향(원판면 안에 놓인 축)이면 $\dfrac{1}{4}mr^{2}=0.03\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}$ 로 절반이 되므로, 그림에서 축이 면에 수직인지 면 안에 있는지를 먼저 확인해야 한다.

수직으로 던진 물체의 최대 도달 높이는 등가속도 운동식으로 구한다.

최고점에서 속도가 0이 되므로 $v^2=v_0^2-2gh$에서 $h=\dfrac{v_0^2}{2g}$이다.

$h=\dfrac{9.81^2}{2\times9.81}=\dfrac{9.81}{2}\approx4.9\ \mathrm{m}$이다.

바닥으로 전달되는 힘을 줄이려면 고유진동수가 외력 진동수의 1/√2 보다 작아야 한다. 즉 ω_n < ω/√2 이다.

그림처럼 질량 m이 스프링 k와 댐퍼 c로 바닥에 지지되면, 바닥에 전달되는 힘과 가진력의 비(전달률)는 진동수비 $r=\dfrac{\omega}{\omega_n}$ 로 결정된다.

전달률이 1보다 작아져 실제로 진동절연이 되는 구간은 $r>\sqrt{2}$ 이며, 이 경계는 감쇠비와 무관하게 항상 √2 이다.

$\dfrac{\omega}{\omega_n}>\sqrt{2}$ 를 ω_n에 대해 정리하면 $\omega_n<\dfrac{\omega}{\sqrt{2}}$ 이다. 반대로 $r<\sqrt{2}$ 이면 스프링·댐퍼를 달아도 전달력이 오히려 커진다.

그림(a)는 스프링 k₁과 k₂가 위아래로 이어진 직렬 배치이므로, 등가강성은 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ 를 만족한다.

천장 → k₁ → k₂ → 질량 m 순서로 한 줄로 매달려 있어 두 스프링에 같은 힘 P가 걸리고 변위는 서로 더해진다.

따라서 $\delta=\delta_1+\delta_2=\dfrac{P}{k_1}+\dfrac{P}{k_2}=\dfrac{P}{k_{eq}}$ 이고, 양변을 P로 나누면 $\dfrac{1}{k_{eq}}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ 를 얻는다.

덧셈 형태인 $k_{eq}=k_1+k_2$ 는 두 스프링이 병렬로 나란히 붙어 변위가 같을 때의 식이고, 강성과 유연도를 섞어 더한 형태들은 차원조차 맞지 않는다.

사형과 금속형(칠)을 함께 사용해 표면은 급랭으로 백주철, 내부는 서랭으로 회주철이 되게 하는 주조법은 칠드주조법이다.

표면에 접한 금속형이 급속히 열을 빼앗아 시멘타이트 조직(백주철)을 만들어 내마모성을 높이고, 냉각이 느린 내부는 회주철로 남아 인성을 유지한다.

불활성가스 분위기에서 소모성 전극 와이어를 연속으로 공급하며 아크를 발생시키는 용접법은 MIG 용접이다.

TIG 용접은 비소모성 텅스텐 전극을 사용하고 용가재를 별도로 공급한다는 점에서 이 방식과 구분된다.

구성인선을 방지하려면 절삭속도를 오히려 빠르게 해야 한다.

구성인선은 저속 절삭에서 칩이 공구 앞면에 눌어붙어 생기는 현상이므로, 절삭속도를 느리게 하면 오히려 구성인선이 더 잘 생긴다.

• 절삭 깊이를 작게 하는 것은 절삭저항을 줄여 구성인선 방지에 도움이 된다.
• 공구 인선을 예리하게 하는 것도 칩 배출을 원활히 해 구성인선을 줄이는 방법이다.
• 윗면 경사각을 크게 하는 것도 절삭저항을 줄여 구성인선 방지에 유효하다.

압하율은 줄어든 두께를 압연 전 두께로 나눈 값이므로 (H₀ − H₁)/H₀ × 100(%) 이다.

압연에서 압하량은 $H_0-H_1$ 이고, 이것을 가공 전 치수인 $H_0$ 로 나눠 백분율로 나타낸 것이 압하율이다.
$r=\dfrac{H_0-H_1}{H_0}\times100(\%)$

• 분자를 $H_1-H_0$ 로 두고 분모를 압연 후 두께 $H_1$ 로 두면 부호와 기준이 모두 뒤바뀌어 음수가 나온다.
• 두 두께를 더한 $H_1+H_0$ 나 단순 비 $H_1/H_0$ 는 두께 감소분 자체를 나타내지 못한다.

0℃ 이하로 냉각해 잔류 오스테나이트를 마텐자이트화시켜 공구강의 경도를 높이는 열처리는 심냉처리이다.

일반 담금질만으로는 일부 오스테나이트가 상온에서도 변태하지 못하고 남는데, 이를 영하의 온도까지 냉각시켜 마텐자이트로 완전히 변태시킴으로써 경도와 치수 안정성을 높인다.

연삭 크랙이 발생했다면 경(硬)한 숫돌이 아니라 결합도가 무른(연한) 숫돌을 사용해야 한다.

결합도가 높은 숫돌은 무뎌진 입자가 제때 탈락하지 않아 마찰열이 계속 쌓이고, 이 열이 표면에 급격한 열응력을 만들어 연삭 균열을 일으킨다. 따라서 크랙이 생기면 결합도가 낮은 숫돌로 바꿔 자생작용이 원활히 일어나게 해야 한다.