이 재료의 프와송 비는 0.25이다.

축 방향 변형률은 $\varepsilon_a=\dfrac{\Delta L}{L}=\dfrac{0.3\ \mathrm{mm}}{500\ \mathrm{mm}}=0.0006$이고, 지름 방향 변형률은 $\varepsilon_d=\dfrac{\Delta d}{d}=\dfrac{0.0024\ \mathrm{mm}}{16\ \mathrm{mm}}=0.00015$이다.

프와송 비는 $\nu=\dfrac{\varepsilon_d}{\varepsilon_a}=\dfrac{0.00015}{0.0006}=0.25$로 구해진다.

체적 변형률은 약 0.00038이다.

단면적은 $A=\dfrac{\pi}{4}(20)^2\approx314.2\ \mathrm{mm^2}$이므로 축 응력은 $\sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{30000}{314.2\times10^{-6}}\approx95.5\ \mathrm{MPa}$이다.

축 변형률은 $\varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{95.5}{100000}\approx0.000955$이고, 체적 변형률은 $\varepsilon_v=\varepsilon(1-2\nu)=0.000955\times(1-0.6)\approx0.00038$이다.

경사 단면 Z-Z에 생기는 응력은 σ_n = −75.0 MPa, τ_n = 43.3 MPa이다.

봉이 받는 축응력은 압축이므로
σ = −P/A = −(100×10³ N) ÷ (1000 mm²) = −100 MPa.

그림의 30°는 봉의 축과 Z-Z 단면의 법선이 이루는 각이므로 θ = 30° 를 그대로 넣는다.
σ_n = σ·cos²θ = −100 × 0.75 = −75.0 MPa
|τ_n| = |σ|·sinθ·cosθ = 100 × 0.5 × 0.866 = 43.3 MPa

전단응력은 45° 단면에서 최대 50 MPa 이므로 30°에서 43.3 MPa 가 나오는 것은 타당하며, 법선각 대신 단면 자체의 경사각을 넣으면 −25 MPa 같은 엉뚱한 값이 된다.

중앙에 가할 수 있는 최대 집중하중은 3200kN이다.

양단 고정보에 중앙 집중하중이 작용할 때 최대 굽힘모멘트는 고정단에서 $M_{max}=\dfrac{PL}{8}$이다.

허용굽힘응력으로부터 $M_{max}=\sigma_a Z=80\times10^{3}\ \mathrm{kN/m^2}\times0.01\ \mathrm{m^3}=800\ \mathrm{kN\cdot m}$이므로, $P=\dfrac{8M_{max}}{L}=\dfrac{8\times800}{2}=3200\ \mathrm{kN}$이다.

강선에 생기는 최대 굽힘응력은 약 1000MPa이다.

곧은 강선을 원통에 감을 때의 굽힘응력은 $\sigma=\dfrac{Ed}{D}$(D: 원통 지름, d: 강선 지름)로 근사한다.

값을 대입하면 $\sigma=\dfrac{200000\times6}{1200}=1000\ \mathrm{MPa}$이다.

직사각형 단면의 최대 전단응력은 τ_max = 1.5 V/A이다.

보의 전단응력은 τ = VQ/(I·b)로 구하며, 직사각형 단면에서는 중립축에서 최대인 포물선 분포가 된다.

중립축에서 Q = b·(h/2)·(h/4) = bh²/8, I = bh³/12 이므로
τ_max = V(bh²/8) ÷ [(bh³/12)·b] = 3V/(2bh) = 3V/2A = 1.5 V/A.

V/A 는 단면에 고르게 퍼졌다고 가정한 평균 전단응력일 뿐 실제 최대값은 그 1.5배이며, 원형 단면이면 4/3배가 된다.

자유단의 전 비틀림각은 약 0.0025 rad이다.

그림에서 읽은 조건은 지름 d = 4cm, 길이 L = 100cm, 토크 T = 62.8 N·m 이고 전단탄성계수는 G = 100 GPa 이다. 원형 단면의 극단면2차모멘트는
I_p = πd⁴/32 = π × 0.04⁴ ÷ 32 = 2.51×10⁻⁷ m⁴.

비틀림각 공식에 대입하면
θ = T·L ÷ (G·I_p) = 62.8 × 1 ÷ (100×10⁹ × 2.51×10⁻⁷) ≈ 0.0025 rad.

cm→m, GPa→Pa 환산을 빠뜨리면 0.00025나 0.025 처럼 자릿수만 다른 값이 나오므로 단위 정리가 관건이다.

지점 B의 굽힘모멘트는 16 kN·m이다.

그림의 보는 A(힌지)에서 B(롤러)까지 10m, B에서 오른쪽 끝까지 4m 내민 구간이 있고 전 구간에 2 kN/m 의 등분포하중이 걸려 있다.

B 단면의 모멘트는 자유단 쪽 4m 만 떼어 계산하면 되므로
M_B = w·L₁² / 2 = 2 × 4² ÷ 2 = 16 kN·m (내민 부분을 아래로 처지게 하는 부(−)의 모멘트).

반력을 구해 A쪽 10m 구간부터 따질 필요가 없다는 것이 요령이다. 다만 등분포하중의 합력(2×4 = 8 kN)이 내민 구간 중앙, 즉 B에서 2m 지점에 걸린다는 점을 놓쳐 ÷2 를 빠뜨리면 32 kN·m 가 된다.

축방향 응력은 75MPa이다.

얇은 원통형 압력용기의 축방향 응력은 $\sigma_z=\dfrac{pd}{4t}$로 구한다.

값을 대입하면 $\sigma_z=\dfrac{1.2\times2500}{4\times10}=75\ \mathrm{MPa}$이다.

정답은 σ₁ = PE₁/(A₁E₁+A₂E₂+A₃E₃), σ₃ = PE₃/(A₁E₁+A₂E₂+A₃E₃) 이다.

그림처럼 두 강성판이 항상 수평을 유지하므로 세 재료가 늘어난 길이가 같고 원래 길이도 모두 ℓ 로 같으므로 세 재료의 변형률 ε 가 동일하다. 이것이 부정정 문제를 푸는 적합조건이다.

각 재료의 분담하중은 P_i = σ_iA_i = E_i·ε·A_i 이고, 힘의 평형 ΣP_i = P 에서
ε(A₁E₁ + A₂E₂ + A₃E₃) = P → ε = P ÷ (A₁E₁+A₂E₂+A₃E₃).

따라서 σ_i = E_i·ε 이므로 분자에는 그 재료의 E 만, 분모에는 각 재료 강성(AE)의 합이 온다. 분모가 단면적끼리 곱해진 형태이거나 분자에 다른 재료의 E 가 끼어든 식은 이 조건을 만족하지 않는다.

양단이 고정된 상태에서 가열로 인한 열응력을 구하는 문제다. 자유로이 팽창했을 때의 길이 변화량은 $\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T = 0.16 \times 10^{-4} \times 50 \times 40 = 0.032 \text{ mm}$이다. 양단 고정으로 인해 이 팽창이 억제되므로, 압축응력은 $\sigma = E \cdot \alpha \cdot \Delta T = 110 \times 10^9 \times 0.16 \times 10^{-4} \times 40 = 70.4 \times 10^6 \text{ Pa} = 70.4 \text{ MPa}$이다. 단면적은 $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 20^2}{4} = 314.16 \text{ mm}^2 = 314.16 \times 10^{-6} \text{ m}^2$이므로, 고정단을 누르는 힘은 $F = \sigma \times A = 70.4 \times 10^6 \times 314.16 \times 10^{-6} = 22.1 \text{ kN}$이다.

막대에 생기는 최대 전단응력은 약 36.6MPa이다.

비틀림각과 토크의 관계식 $\theta=\dfrac{TL}{GJ}$에서, 극관성모멘트는 $J=\dfrac{\pi d^4}{32}\approx981.7\ \mathrm{mm^4}$이다.

비틀림각 10°를 라디안(약 $0.1745\ \mathrm{rad}$)으로 바꿔 토크를 구하면 $T=\dfrac{\theta GJ}{L}\approx7197\ \mathrm{N\cdot mm}$이다.

최대 전단응력은 $\tau=\dfrac{T(d/2)}{J}\approx36.6\ \mathrm{MPa}$로 계산된다.

임계하중은 오일러 좌굴 공식 $P_{cr} = \dfrac{n\pi^2 EI}{L^2}$으로 구하며, 양단이 회전단(핀지지)이므로 하중계수 $n=1$이다.

원형 단면의 단면 2차모멘트는 $I = \dfrac{\pi d^4}{64} = \dfrac{\pi \times (0.02\mathrm{m})^4}{64} \approx 7.85\times10^{-9}\mathrm{m^4}$이다.

대입하면 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 \times 200\times10^9\mathrm{Pa} \times 7.85\times10^{-9}\mathrm{m^4}}{(1\mathrm{m})^2} \approx 15{,}500\mathrm{N} \approx 15.5\mathrm{kN}$으로 계산된다.

A점의 반력 모멘트는 wL²/8, 반시계방향 이다.

그림은 A가 고정단, B가 롤러 지지이고 전 구간에 등분포하중 w 가 걸린 1차 부정정보(일단고정 타단지지보) 다.

B점 처짐이 0 이라는 조건에서 R_B = 3wL/8, R_A = 5wL/8 이 얻어지고, B점에 대한 모멘트 평형에서
M_A = R_A·L − w·L·(L/2) = 5wL²/8 − wL²/2 = wL²/8.

방향은 등분포하중이 A를 시계방향으로 돌리려는 것을 고정단이 붙잡아 주는 쪽, 즉 반시계방향 이다. 7wL²/8 은 이 보에서 나올 수 없는 크기다.

지지점의 반력은 R_B ≈ 1.5 kN 이다.

그림은 A가 고정단, B가 지지단이며 중앙(150cm 지점)에 P = 4800N 이 작용하는 길이 L = 300cm 의 부정정보다.

일단고정·타단지지보에서 중앙 집중하중에 대한 지지단 반력은 R_B = 5P/16 이므로
R_B = 5 × 4800 ÷ 16 = 1500 N = 1.5 kN.

단순보로 착각해 P/2 = 2.4 kN 으로 잡으면 안 되며, 나머지 11P/16 = 3.3 kN 은 고정단이 부담한다.

지지점 B의 반력은 3P/4이다.

그림에서 왼쪽 A는 힌지, 오른쪽 B는 롤러이고 반원의 반지름이 R이므로 A와 B 사이의 스팬은 2R이다. 하중 P는 정점 C를 지나는 중심선에서 오른쪽으로 0.5R 떨어진 연직선을 따라 내려오므로, A로부터 하중 작용선까지의 수평거리는 R + 0.5R = 1.5R이다.

A점에 대한 모멘트 평형을 세우면
R_B × 2R = P × 1.5R
R_B = 1.5PR ÷ 2R = 0.75P = 3P/4

부재가 반원으로 휘어 있어도 반력 계산에는 지지점 위치와 하중 작용선의 수평 위치만 필요하다는 점이 이 문제의 요령이다.

A점에 관한 극관성 모멘트는 (bh/12)(b² + 4h²)이다.

그림에서 A는 밑변의 중점이고, x축은 밑변을 따라 놓이며 y축은 도형 중앙을 지나는 연직축이다. 극관성 모멘트는 I_P = I_x + I_y, 즉 서로 직교하는 두 축에 대한 단면 2차 모멘트의 합으로 구한다.

밑변을 지나는 x축: I_x = bh³/3
중앙 연직축 y: I_y = hb³/12
I_P = bh³/3 + hb³/12 = (bh/12)(4h² + b²)

A가 도심이 아니라 밑변 위에 있으므로 x축에는 도심값 bh³/12가 아니라 평행축 정리를 적용한 bh³/3을 써야 한다. 반대로 y축은 도형 중앙을 지나므로 hb³/12를 그대로 쓴다.

자중만 고려한 최대 인장응력은 σ_max = γℓ/3이다.

그림은 지름 d인 밑면이 위쪽 천장에 고정되고 꼭짓점이 아래를 향한 원추이다. 따라서 임의의 수평 단면이 견뎌야 하는 인장력은 그 단면보다 아래에 매달린 부분의 무게뿐이다.

꼭짓점에서 높이 x인 단면의 반지름을 r이라 하면 아래쪽 원추의 체적은 (1/3)πr²x 이므로
W = γ × (1/3)πr²x
σ = W ÷ (πr²) = γx/3

x = ℓ 인 고정단에서 최대가 되어 σ_max = γℓ/3이다. 아래로 갈수록 무게는 줄지만 단면적도 함께 줄어들어 서로 상쇄되므로, 밑면 지름 d는 결과식에 남지 않는다.

등분포하중을 받는 단순보의 최대 처짐량은 $\delta_{max} = \dfrac{5w\ell^4}{384EI}$로 주어지며, 이 식에서 세로탄성계수 E는 분모에 있어 반비례 관계를 이룬다.

• 보의 폭에 대해서는, 단면 2차모멘트 $I=\dfrac{bh^3}{12}$가 분모에 있으므로 폭이 커질수록 오히려 처짐이 작아져 반비례 관계이다.
• 보의 길이에 대해서는 4승에 비례하는 관계이지, 3승에 비례하지 않는다.
• 보의 높이에 대해서는 $I \propto h^3$이므로 처짐은 높이의 3승에 반비례하지, 2승에 반비례하지 않는다.

소선의 비틀림 각은 ø = 64PR²/(Gd⁴)이다.

코일에 축방향 하중 P가 걸리면 소선은 코일 반지름만큼의 팔을 갖는 비틀림 모멘트 T = PR을 받는다. 코일 한 권에 해당하는 소선의 길이는 L = 2πR이고, 지름 d인 원형 단면의 극단면 2차 모멘트는 I_P = πd⁴/32 이다.

비틀림각 공식에 대입하면
ø = TL ÷ (G·I_P) = (PR × 2πR) ÷ (G × πd⁴/32)
ø = 64PR²/(Gd⁴)

코일 반지름 R은 제곱, 소선 지름 d는 4제곱으로 들어가므로 소선을 조금만 굵게 해도 비틀림각이 급격히 줄어든다. 분모에 d²만 남은 식들은 I_P 계산을 빠뜨린 형태라 성립하지 않는다.

네 온도를 모두 절대온도(K)로 환산해 비교하면 섭씨로 표시된 값이 가장 낮다.

$104^\circ\mathrm{C} = 377.15\mathrm{K}$, $284^\circ\mathrm{F} = \dfrac{284-32}{1.8}+273.15 \approx 413.15\mathrm{K}$, $410\mathrm{K}$, $684^\circ\mathrm{R} = \dfrac{684}{1.8} = 380\mathrm{K}$이다.

네 값 중 377.15K가 가장 작으므로 이 온도가 가장 낮은 온도가 된다.

그림에서 입구 조건은 $z_i=6\,\mathrm{m}$, $v_i=50\,\mathrm{m/s}$, $h_i=3137.0\,\mathrm{kJ/kg}$이고, 출구 조건은 $z_e=3\,\mathrm{m}$, $v_e=200\,\mathrm{m/s}$, $h_e=2675.5\,\mathrm{kJ/kg}$이며 유량은 입·출구 모두 1.5 kg/s이다.

정상유동 에너지식 $\dot{W}=\dot{m}\left[(h_i-h_e)+\dfrac{v_i^2-v_e^2}{2}+g(z_i-z_e)\right]-\dot{Q}_{loss}$에 대입한다. 엔탈피 차는 $3137.0-2675.5=461.5\,\mathrm{kJ/kg}$, 운동에너지 항은 $\dfrac{50^2-200^2}{2}=-18750\,\mathrm{J/kg}=-18.75\,\mathrm{kJ/kg}$, 위치에너지 항은 $9.8\times(6-3)=29.4\,\mathrm{J/kg}\approx0.03\,\mathrm{kJ/kg}$이다.

따라서 $\dot{W}=1.5\times(461.5-18.75+0.03)-8.5\approx664.2-8.5=656\,\mathrm{kW}$이다. 위치에너지 변화는 거의 무시할 수준이지만, 유속이 50에서 200 m/s로 커지면서 늘어난 운동에너지 약 19 kJ/kg과 열손실 8.5 kW는 출력을 깎으므로 반드시 반영해야 한다.

체적이 일정한 과정이므로 정적비열을 사용해 엔트로피 변화를 계산한다: $\Delta S = m C_v \ln\dfrac{T_2}{T_1}$.

절대온도로 환산하면 $T_1 = 288\mathrm{K}$, $T_2 = 323\mathrm{K}$이다.
대입하면 $\Delta S = 5\mathrm{kg} \times 0.7171\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times \ln\dfrac{323}{288} \approx 0.411\mathrm{kJ/K}$으로 계산된다.

성적계수(COP)는 얼음을 만드는 데 흡수한 열량을 투입된 일로 나눈 값이다.

물이 얼음이 되며 방출하는 열량은 $Q = m \times r = 2000\mathrm{kg} \times 334\mathrm{kJ/kg} = 668{,}000\mathrm{kJ} = 668\mathrm{MJ}$이다.

따라서 $COP = \dfrac{Q}{W} = \dfrac{668\mathrm{MJ}}{180\mathrm{MJ}} \approx 3.71$로 계산된다.

클라우지우스 부등식에 따라 사이클 적분 $\oint\dfrac{\delta Q}{T}$는 가역 사이클에서 0이고, 비가역 사이클에서는 0보다 작다. 즉 비가역 사이클에서는 $\oint\dfrac{\delta Q}{T} < 0$이 성립하며, 이는 엔트로피 증가 원리의 근거가 된다.

정압비열은 기체상수와 비열비의 관계식으로 구한다.

기체상수는 $R = \dfrac{\bar{R}}{M} = \dfrac{8.314}{44} \approx 0.189\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$이며, $C_p - C_v = R$와 $k = C_p/C_v$를 결합하면 $C_p = \dfrac{kR}{k-1}$이다.

대입하면 $C_p = \dfrac{1.29 \times 0.189}{1.29-1} \approx 0.84\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$로 계산된다.

건도(quality)는 습증기의 비체적이 포화액과 포화증기 비체적 사이 어디에 위치하는지로 구한다: $x = \dfrac{v - v_f}{v_g - v_f}$.

대입하면 $x = \dfrac{0.2327 - 0.001079}{0.5243 - 0.001079} \approx 0.443$으로 계산된다.

재열사이클은 터빈에서 팽창하는 증기의 습도를 낮춰(건도를 높여) 터빈 날개의 침식을 막고 열효율을 높이는 것이 목적이다.

즉 터빈 출구의 습도는 감소하는 방향으로 작동하므로, 습도가 증가하여 날개를 보호한다는 설명은 재열사이클의 실제 효과와 반대된다.

• 이론 열효율이 증가하는 것은 재열사이클의 실제 목적에 해당한다.
• 터빈 날개의 침식이 줄어 수명이 연장되는 것도 실제 목적에 해당한다.
• 터빈 출구의 건도가 향상되는 것도 실제 목적에 해당한다.

체적 일정 조건에서 이상기체의 압력 변화는 Gay-Lussac 법칙 $P_1/T_1 = P_2/T_2$를 적용한다. 초기 절대압력은 계기압력 0.183 MPa에 대기압을 더하여 $P_1 = 183 + 101.3 = 284.3 \text{ kPa}$, 초기 절대온도는 $T_1 = 20 + 273 = 293 \text{ K}$, 최종 절대온도는 $T_2 = 80 + 273 = 353 \text{ K}$이다. 최종 절대압력은 $P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 284.3 \times \frac{353}{293} = 284.3 \times 1.205 = 342.6 \text{ kPa}$이다. 압력 상승량은 $\Delta P = P_2 - P_1 = 342.6 - 284.3 = 58.3 \text{ kPa}$로 약 58 kPa이다.

같은 압력에서 비체적과 절대온도는 비례 관계이므로(이상기체 상태방정식), 이 관계로 나중 온도를 구한다.

$T_1 = 127+273 = 400\mathrm{K}$이며, $\dfrac{v_1}{T_1} = \dfrac{v_2}{T_2}$에서 $T_2 = T_1 \times \dfrac{v_2}{v_1} = 400 \times \dfrac{0.3}{0.4} = 300\mathrm{K}$이다.

섭씨로 환산하면 $300 - 273 = 27^\circ\mathrm{C}$가 된다.

이상기체 상태방정식 $Pv = RT$을 이용해 비체적을 구한다.

수소의 기체상수는 $R = \dfrac{\bar{R}}{M} = \dfrac{8.3145}{2} \approx 4.157\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$이고, 절대온도는 $T = 100+273 = 373\mathrm{K}$이다.

대입하면 $v = \dfrac{RT}{P} = \dfrac{4.157 \times 373}{1000} \approx 1.55\mathrm{m^3/kg}$으로 계산된다.

가역 단열과정은 등엔트로피 과정이므로, 팽창 중 엔트로피는 변하지 않는다.

단열이면 계 외부와의 열 출입이 없어 $\delta Q = 0$이고, 가역이면 마찰 등에 의한 엔트로피 생성도 없으므로 엔트로피 변화는 0이 된다.

밀폐용기에서 부피 변화가 없으므로 가열기로 공급된 열량이 모두 내부에너지 증가로 저장된다.

초기 내부에너지는 $U_1 = m u_1 = 0.5\mathrm{kg} \times 200\mathrm{kJ/kg} = 100\mathrm{kJ}$이며, 공급된 열량은 $Q = 500\mathrm{W} \times 120\mathrm{s} = 60{,}000\mathrm{J} = 60\mathrm{kJ}$이다.

따라서 최종 내부에너지는 $U_2 = U_1 + Q = 100 + 60 = 160\mathrm{kJ}$이 된다.

정적비열을 이용해 내부에너지 변화를 구한다: $\Delta u = C_v \Delta T$.

대입하면 $\Delta u = 0.7315\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times (160-10)\mathrm{K} \approx 109.7\mathrm{kJ/kg}$이며, 공기가 1kg이므로 내부에너지 변화는 약 109.7kJ이 된다.

열역학 제1법칙 $\Delta U = Q - W$을 적용하면, 계가 받은 열에서 외부로 한 일을 뺀 값이 내부에너지 변화가 된다.

대입하면 $\Delta U = 190\mathrm{kJ} - 20\mathrm{kJ} = 170\mathrm{kJ}$이며, 값이 양수이므로 내부에너지는 170kJ만큼 증가한다.

이상기체(완전가스)의 내부에너지는 압력이나 체적에 관계없이 오직 온도만의 함수이다.

이는 이상기체 상태방정식을 따르는 기체에서 분자 간 상호작용을 무시하기 때문으로, 내부에너지가 온도 변화에만 의존하는 특성으로 정리된다.

카르노 열펌프의 성적계수는 온도만으로 정해지며, 이 값으로 필요한 최소 동력을 구한다: $COP_H = \dfrac{T_H}{T_H - T_C}$.

절대온도로 $T_H = 18+273 = 291\mathrm{K}$, $T_C = -15+273 = 258\mathrm{K}$이므로 $COP_H = \dfrac{291}{291-258} \approx 8.82$이다.

따라서 $W_{min} = \dfrac{Q}{COP_H} = \dfrac{12\mathrm{kW}}{8.82} \approx 1.36\mathrm{kW}$로 계산된다.

카르노 사이클 효율은 고온부와 저온부의 절대온도비로 구한다: $\eta_{th} = 1 - \dfrac{T_L}{T_H}$.

절대온도로 $T_H = 500+273 = 773\mathrm{K}$, $T_L = 25+273 = 298\mathrm{K}$이므로 $\eta_{th} = 1 - \dfrac{298}{773} \approx 0.6143$이다.

일은 $W = \eta_{th} \times Q_1 = 0.6143 \times 500\mathrm{kJ} \approx 307.2\mathrm{kJ}$로 계산된다.

오토사이클 이론열효율은 압축비와 비열비로 결정된다: $\eta = 1 - \left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)^{k-1}$.

대입하면 $\eta = 1 - \left(\dfrac{1}{8}\right)^{0.4} \approx 1 - 0.435 = 0.565$으로, 약 56.5%가 된다.

정적과정(체적 일정)에서는 계가 외부에 일을 하지 않으므로, 이 과정 동안 계에 출입한 열량이 그대로 내부에너지 변화가 된다.

즉 상태 1에서 2로 변할 때 $U_2 - U_1 = Q_{12}$의 관계가 성립하며, 부피 변화가 없어 $W_{12}=0$이기 때문이다.

연속방정식은 검사체적(control volume)에 대한 질량 보존을 나타내는 일반적인 표현식이다.

운동량 방정식이 뉴턴의 운동 제2법칙에 대응하고, 에너지 방정식이 일과 에너지의 관계를 나타내는 것과 달리, 연속방정식은 유입·유출 질량유량의 균형만을 표현한다.

B점의 절대압력은 약 78.8 kPa이다.

그림에서 왼쪽은 대기에 열린 수조로 그 유면이 A이고, 오른쪽은 밀폐된 탱크로 가스와 기름이 만나는 경계가 B이다. B는 A보다 2.5 m 높은 위치이며, 정지 유체에서는 위로 올라갈수록 압력이 낮아진다.

기름의 비중량: γ = 0.92 × 9.81 = 9.03 kN/m³
높이차에 의한 압력 감소: 9.03 × 2.5 = 22.6 kPa
P_B = 101.325 − 22.6 = 약 78.8 kPa

A에 표준대기압이 작용한다고 했으므로 절대압력 101.325 kPa에서 출발해야 하고, B가 위쪽이므로 22.6 kPa을 더하는 것이 아니라 빼야 한다는 점이 함정이다.

수력기울기선(수력구배선)의 높이는 압력수두와 위치수두의 합으로, 속도수두는 포함하지 않는다.

기준면에서 위치수두가 0이므로 압력수두만 계산하면 $h = \dfrac{P}{\rho g} = \dfrac{40{,}000\mathrm{Pa}}{1000\mathrm{kg/m^3} \times 9.81\mathrm{m/s^2}} \approx 4.08\mathrm{m}$이 된다.

같은 유선 위에 있는 점은 (1, 1)과 (−1, 1)이다.

유선은 속도 벡터에 접하는 곡선이므로 dy/dx = v/u가 성립한다. 주어진 유동은 u = 1, v = 2x 이므로 dy/dx = 2x 이고, 이를 적분하면 y = x² + C인 포물선 무리가 된다.

각 점의 적분상수 C를 구하면
(1, 1): C = 1 − 1² = 0
(1, −1): C = −1 − 1² = −2
(−1, 1): C = 1 − (−1)² = 0

C가 같아야 같은 유선이므로 C = 0인 y = x² 위의 두 점이 짝을 이루고, C = −2인 점만 다른 유선에 놓인다.

경계층 박리는 유동 방향으로 압력이 오히려 증가하는 역압력 구배가 발생할 때 일어난다.

역압력 구배 구간에서는 벽면 근처의 저속 유체가 압력에 밀려 역류하기 시작하고, 결국 경계층이 벽면에서 떨어져 나가는 박리가 발생한다.

물방울과 같은 구형 액적의 내부압력과 외부압력의 차이는 영 라플라스 방정식으로 구한다. 구형 물방울의 경우 $\Delta P = \frac{4\gamma}{d}$이다. 여기서 $\Delta P$는 압력차(Pa), $\gamma$는 표면장력(N/m), $d$는 지름(m)이다. 주어진 값을 대입하면 $10 = \frac{4 \times 0.07}{d}$이고, $d = \frac{0.28}{10} = 0.028\text{ m} = 2.8\text{ cm}$이다.

피토관은 정체압과 정압의 차이로 유속을 구한다: $P_0 - P = \dfrac{1}{2}\rho V^2$.

대입하면 $128 - 120 = \dfrac{1}{2} \times 1.0 \times V^2$에서 $V^2 = 16$, 따라서 $V = 4\mathrm{m/s}$로 계산된다.

전단응력은 속도 기울기에 점성계수를 곱해 구한다: $\tau = \mu \dfrac{du}{dy}$.

속도구배는 $\dfrac{du}{dy} = 5 \times 0.2 \times e^{-0.2y} = e^{-0.2y}$이며, 벽면(y=0)에서 최댓값 1을 가진다.

따라서 최대 전단응력은 $\tau_{max} = 2\times10^{-5}\mathrm{Pa\cdot s} \times 1 = 2\times10^{-5}\mathrm{Pa}$이 된다.

레이놀즈수 정의식 $Re = \dfrac{VD}{\nu}$을 속도에 대해 풀어 임계속도를 구한다.

대입하면 $V = \dfrac{Re \times \nu}{D} = \dfrac{2100 \times 0.01787\mathrm{cm^2/s}}{1\mathrm{cm}} \approx 37.5\mathrm{cm/s}$로 계산된다.

정체압(stagnation pressure)은 유동을 등엔트로피적으로 정지시킬 때 발생하는 압력으로, 정압과 동압의 합이며 피토관 등 액주계로 측정할 수 있다.

• 정체압이 정압과 동압의 합이므로 정압과 같거나 크다는 설명은 옳다.
• 동압이 밀도에 비례하므로 정체압이 유체 밀도에 영향을 받는다는 설명도 옳다.
• 같은 정압에서 속도가 빠를수록 동압이 커져 정체압이 커진다는 설명도 옳다.

따라서 액주계로 측정할 수 없다는 설명이 실제와 어긋난다.

부력은 대기 중 무게와 수중 무게의 차이로 구하며, 이는 물체가 밀어낸 물의 무게와 같다.

$F_B = 6\mathrm{N} - 1.1\mathrm{N} = 4.9\mathrm{N}$이며, 비중은 물체 무게를 부력으로 나눈 값이다.

따라서 $s = \dfrac{6}{4.9} \approx 1.2$로 계산된다.

수문에 작용하는 힘은 약 677 kN, 수면에서 작용점까지의 거리는 5.68 m이다.

지름 4 m 원형수문의 최상단이 수면 아래 3.5 m 이므로 도심 깊이 h_C = 3.5 + 2 = 5.5 m이고, 수문 면적은 A = πD²/4 = π × 4²/4 = 12.57 m² 이다.

전압력: F = γ·h_C·A = 9.8 × 5.5 × 12.57 = 약 677 kN
작용점: x = h_C + I_G/(h_C·A), 여기서 I_G = πD⁴/64 = 12.57 m⁴
x = 5.5 + 12.57 ÷ (5.5 × 12.57) = 5.5 + 0.18 = 5.68 m

압력이 깊이에 비례해 커지므로 작용점은 항상 도심보다 아래에 생기며, 여기서는 0.18 m만큼 내려온다. 도심 깊이를 3.5 m로 잘못 잡으면 힘이 431 kN으로 어긋나므로 최상단 깊이에 반지름 2 m를 더하는 것이 관건이다.

물제트의 속도는 약 1.26 m/s이다.

원판이 받는 힘은 들어온 축방향 운동량에서 구멍으로 그대로 빠져나간 운동량을 뺀 값이다. 뒤로 나가는 제트의 속도가 입구와 같은 V 이므로
F = ρA₁V² − ρA₂V² = ρV²(A₁ − A₂)

단면적을 구하면
A₁ = π × 0.3²/4 = 0.0707 m²
A₂ = π × 0.1²/4 = 0.00785 m²
A₁ − A₂ = 0.0628 m²

100 = 1000 × V² × 0.0628 에서 V² = 1.59 이므로 V ≒ 1.26 m/s이다. 원판에 막혀 옆으로 흩어지는 물은 축방향 운동량을 남기지 않으므로 구멍 면적만큼만 빼 주면 되고, 구멍을 무시하면 답이 1.19 m/s로 어긋난다.

조파저항 실험은 프루드 상사법칙을 따르므로, 프루드수가 같도록 모형선 속도를 정한다: $\dfrac{V_m}{\sqrt{gL_m}} = \dfrac{V_p}{\sqrt{gL_p}}$.

길이비는 $\dfrac{L_m}{L_p} = \dfrac{6}{600} = \dfrac{1}{100}$이므로 속도비는 $\dfrac{V_m}{V_p} = \sqrt{\dfrac{L_m}{L_p}} = \dfrac{1}{10}$이 된다.

따라서 $V_m = 15\mathrm{km/h} \times \dfrac{1}{10} = 1.5\mathrm{km/h}$로 계산된다.

먼저 레이놀즈수를 구해 층류인지 확인한다: $Re = \dfrac{VD}{\nu} = \dfrac{3\mathrm{m/s} \times 0.05\mathrm{m}}{1\times10^{-4}\mathrm{m^2/s}} = 1500$.

레이놀즈수가 2300보다 작아 층류이므로, 관마찰계수는 $f = \dfrac{64}{Re} = \dfrac{64}{1500} \approx 0.043$으로 계산된다.

일률(동력)은 일을 시간으로 나눈 양으로, 일의 차원에 시간 차원을 하나 더 나누어 구한다.

일의 차원은 $ML^2T^{-2}$이므로, 일률의 차원은 $ML^2T^{-2} \div T = ML^2T^{-3}$이 된다.

전체 수두손실은 관마찰 손실과 밸브에 의한 부차손실의 합이므로, 이 관계에서 밸브의 손실계수를 역산한다.

속도수두는 $\dfrac{V^2}{2g} = \dfrac{2^2}{2\times9.81} \approx 0.204\mathrm{m}$이고, 관마찰 손실은 $f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g} = 0.02\times\dfrac{200}{0.1}\times0.204 \approx 8.16\mathrm{m}$이다.

따라서 밸브 손실은 $10 - 8.16 = 1.84\mathrm{m}$이며, 손실계수는 $K = \dfrac{1.84}{0.204} \approx 9.0$으로 계산된다.

마하수는 유속과 음속의 비로, 유체의 압축성이 지배적인 유동에서 사용하는 무차원수이다.

오일러수는 압력과 관성력, 레이놀즈수는 점성력, 프루드수는 중력의 영향을 다루는 무차원수로, 압축성 효과와는 직접 관련이 없다.

점 (3, 2)에서의 속도 벡터는 24i + 18j이다.

단서에서 속도포텐셜을 V = ∇ø = grad ø로 정의했으므로, 속도 성분은 포텐셜을 각 좌표로 편미분해서 얻는다.

ø = 2x²y 에서
u = ∂ø/∂x = 4xy
v = ∂ø/∂y = 2x²

x = 3, y = 2를 대입하면 u = 4 × 3 × 2 = 24, v = 2 × 3² = 18 이다. y로 편미분할 때 2x²은 상수 취급이라 y가 사라진다는 점을 놓치면 12i + 9j 같은 값이 나온다.

스토크스 법칙은 레이놀즈수가 매우 작아 박리가 없는 저속 유동에서 구에 작용하는 항력을 나타낸다.

이때 항력은 $D = 6\pi\mu a V$로 주어지며, 점성계수와 구의 반지름, 속도에 각각 비례한다.

과냉 오스테나이트 상태에서 소성가공(변형)을 한 후 냉각하여 마텐자이트화하는 열처리 방법은 오스포밍(Ausforming)이다. 오스포밍은 오스테나이트 영역 내에서 변형을 가한 후 냉각하여 마텐사이트 변태를 유도함으로써 강도와 인성을 동시에 향상시키는 고급 열처리 기법이다. 크로마이징은 표면침탄, 심랭처리는 극저온 처리, 인덕션하드닝은 유도가열 경화로 각각 다른 목적의 열처리 방법이다.

ABS 수지는 열가소성 수지로, 가열 시 연화·변형되고 냉각하면 경화되는 특성을 가지며 반복적으로 가공이 가능하다. 반면 페놀 수지, 멜라민 수지, 에폭시 수지는 모두 열경화성 수지로, 가열 중 화학적 가교결합이 일어나 경화되며 재가열해도 원래 상태로 돌아가지 않는다.

Fe-Fe₃C 평형상태도에는 포정반응, 공정반응, 공석반응이 나타나지만, 편정반응은 나타나지 않는다.

• 포정반응은 δ고용체와 액상이 반응해 오스테나이트를 생성하는 반응으로 이 상태도에 존재한다.
• 공정반응은 액상이 오스테나이트와 시멘타이트로 분해되는 반응으로 이 상태도에 존재한다.
• 공석반응은 오스테나이트가 페라이트와 시멘타이트로 분해되는 반응으로 이 상태도에 존재한다.

편정반응은 하나의 액상이 고상과 또 다른 액상으로 나뉘는 반응으로, 철-시멘타이트(Fe-Fe₃C)계에는 나타나지 않는다.

A3 변태는 약 910℃ 부근에서 결정격자 구조가 BCC(α-Fe)에서 FCC(γ-Fe)로 바뀌는 변태이다.

• BCC가 FCC로 변한다는 설명은 A3 변태의 실제 내용과 일치한다.
• 약 910℃ 부근에서 일어난다는 설명도 A3 변태의 실제 온도와 일치한다.
• α-Fe가 γ-Fe로 변화한다는 설명도 A3 변태의 실제 내용과 일치한다.

따라서 격자구조 변화 없이 자성만 바뀐다는 설명은 A3 변태가 아니라 자기변태(A2 변태)에 해당하는 내용이다.

인장강도는 최대하중을 시험편의 원래 단면적으로 나눈 값이다.

평행부 지름이 14mm이므로 원단면적은 $A = \dfrac{\pi}{4} \times 14^2 = 153.9\ \mathrm{mm^2}$이다.

인장강도는 $\sigma = \dfrac{6400}{153.9} \approx 41.6\ \mathrm{kgf/mm^2}$로 계산된다.

표점거리 변화(100→120mm)는 연신율 계산에 쓰이는 값으로, 인장강도 계산과는 무관하다.

주철에 C, Si 등의 함량이 많을수록 비중은 작아진다 — 흑연화가 촉진되어 비중이 낮은 흑연 성분의 비율이 늘어나기 때문이다.

• C, Si가 많으면 공정점에 가까워져 용융점은 오히려 낮아진다.
• 흑연편이 클수록 자기 감응도(투자율)는 나빠진다.
• 주철의 성장은 시멘타이트의 흑연화에 따른 팽창이 원인이며, 마텐자이트나 수축과는 관계가 없다.

마텐자이트 변태는 비확산 변태(diffusionless transformation)로, 원자의 확산 없이 협동적 원자운동(shear)에 의해 발생한다. 따라서 2번이 틀렸다. 1번은 정확하며, 마텐자이트는 오스테나이트에서 급냉 시 생성되는 고용체의 단일상이다. 3번도 맞으며, 협동적 원자운동(집단적 전단변형)이 마텐자이트 변태의 핵심 메커니즘이다. 4번도 맞으며, 빠른 냉각으로 인한 전단변형 과정에서 전위와 쌍정(twinning) 등의 격자결함이 다량 생성된다.

Al-Cu-Ni-Mg 계 합금으로 시효경화되며 내열성이 우수하고 피스톤용으로 사용되는 알루미늄 합금은 Y 합금이다. Y 합금은 Cu와 Ni를 주요 합금원소로 하여 고온 강도와 내열성이 뛰어나 항공기 엔진 피스톤, 실린더 헤드 등 고온 부위에 적용되며, 열처리로 인한 시효경화 특성을 가진다. 실루민(Si 첨가)은 주조성 개선용, 라우탈(Cu 고함유)은 일반 강화용, 하이드로날륨(Mg 첨가)은 단조용으로 각각 용도가 다르다.

KSD 3698 냉간압연 스테인리스강판 및 강대 규격에서 석출경화계(沈澱硬化系, Precipitation Hardening) 스테인리스강의 기호는 STS600번대를 사용한다. 보기에서 STS630은 600번대에 해당하는 석출경화계 스테인리스강이고, STS305·STS410·STS430은 각각 오스테나이트계(300번대)·마르텐사이트계(400번대)·페라이트계(400번대)에 속하므로 석출경화계가 아니다.

Cu와 Zn의 합금 비율에 따른 분류와 성질을 정확히 구분해야 한다. Cu+Sn 합금은 청동이고 Cu+Zn 합금은 황동이므로 보기 1, 2는 반대로 잘못되었다. 문쯔메탈(muntz metal)은 Cu 60% + Zn 40% 조성으로 알려진 황동의 한 종류로 보기 3이 정확하다. Cu의 전기 전도율은 은(Ag) 다음으로 높으며(Ag가 최고), Cu는 비자성체이므로 보기 4는 틀렸다.

개스킷(gasket)은 고정된 결합면 사이의 누설을 막는 고정부분용 실(seal)이다.

이에 비해 운동부분에 사용되는 실은 패킹(packing)이라고 구분해서 부른다.

카운터 밸런스 밸브는 실린더나 액추에이터의 귀환관로에 배압을 걸어 자중에 의한 낙하나 관성에 의한 자유낙하를 방지하는 밸브이다.

반대 방향의 흐름은 내장된 체크밸브를 통해 자유롭게 흐르도록 구성된다.

체적탄성계수(Bulk modulus)는 압력 변화에 대한 체적 변화의 저항성을 나타내는 지표로, 식으로는 K = -ΔP / (ΔV/V)이다. 1번은 정압(Pa, bar 등)과 같은 단위를 가지므로 맞다. 2번은 식에서 명백히 압력 변화량 ΔP와 체적 변화량 ΔV/V가 반비례 관계에 있으므로 맞다. 3번은 압축률(compressibility) β = 1/K로 정의되므로 맞다. 4번이 틀린 이유는 체적탄성계수가 클수록 같은 압력 변화에 체적 변화가 작다는 뜻이므로 압축이 잘 되는 것이 아니라 압축에 잘 저항한다는 의미이기 때문이다. 즉 체적탄성계수가 크면 유체가 압축되기 어렵다.

쇼크 업소버(shock absorber)는 오일이 좁은 오리피스를 통과할 때 생기는 유동저항으로 충격 에너지를 흡수하는 장치로, 오일의 팽창·수축을 이용하는 방식이 아니다.

진동 개폐 밸브, 압력계, 온도계는 오일의 팽창·수축을 동작이나 지시값으로 바꾸어 이용하는 장치이다.

회로도에서 펌프 토출 라인에 바이패스 유량제어밸브가 병렬로 연결되어 실린더로 들어가기 전 압유 일부를 탱크로 분기시키는 구조를 보인다. 이렇게 액추에이터 입구 관로에서 필요 없는 유량을 바이패스시켜 배출량을 제어함으로써 속도를 제어하는 방식이 블리드 오프 회로의 특징이다.

터빈 펌프는 회전 날개로 유체에 운동에너지를 주는 비용적형(원심형) 펌프로, 토출량이 부하(압력)에 따라 변한다.

기어 펌프, 베인 펌프, 피스톤 펌프는 밀폐된 공간의 용적 변화로 유체를 밀어내는 용적형 펌프이며, 회전수가 일정하면 토출량도 일정하게 유지된다.

유압 모터의 효율은 전효율 = 체적효율 × 기계효율로 정의되므로, 전효율은 기계효율에 비례한다. 따라서 2번 "전효율은 기계효율에 반비례한다"는 틀렸다. 1번은 전효율이 체적효율에 비례하므로 참이며, 3번은 전효율을 축 출력(기계 동력)/유체 입력(유압 동력)으로 표현하는 것이 맞다. 4번도 체적효율의 정의가 실제 송출유량/이론 송출유량이므로 참이다.

펌프 효율은 용적손실(토출량 감소), 압력손실(토출 압력 감강), 기계손실(마찰 등)로 정의되며, 각각의 효율식이 서로 다르다. 용적효율은 실제 토출량 Q를 이론 토출량 Q₀로 나눈 Q/Q₀이고, 압력효율은 실제 토출 압력 P를 손실이 없을 때의 토출 압력 P₀로 나눈 P/P₀이다. 기계효율은 유체동력 Lₕ를 축동력 Lₛ로 나눈 Lₕ/Lₛ이며, 전 효율은 세 효율의 곱이다. P₀/P 형태의 식은 손실로 실제 압력이 낮아질수록 값이 오히려 1보다 커지는 역수 관계이므로 압력효율의 정의에 맞지 않는다.

그림의 기호는 릴리프 밸브이다.

한 개의 사각형 봉투 안에 화살표가 한쪽으로 치우쳐 그려져 있고, 오른쪽에는 설정압을 만드는 스프링, 왼쪽에는 입구 압력을 되받아 오는 파일럿 라인(점선)이 붙어 있다. 이 세 요소의 조합이 압력제어 밸브 중 릴리프 밸브의 표준 기호다.

평소에는 스프링 힘으로 닫혀 있다가 입구 압력이 설정값을 넘으면 파일럿 압력이 스프링을 이겨 밸브가 열리고, 아래쪽에 붙은 탱크 기호로 여분의 유량을 흘려보내 회로 최고압력을 제한한다.

• 스톱 밸브 — 스프링과 파일럿 선 없이 유로를 열고 닫기만 하는 단순 개폐 기호
• 체크 밸브 — 볼과 시트로 한 방향만 통하게 그리며 압력 설정용 스프링·파일럿 회로가 없다
• 가변 교축 밸브 — 조임 부위에 비스듬한 화살표를 얹어 유량 조절임을 나타낸다

오버라이드 압력은 밸브가 열리기 시작하는 최소 유량 시점부터 완전히 열리는 최대 유량 시점까지 계속 증가하는 압력을 말한다.

크래킹 압력과 전량 유량 압력의 차이로 정의되며, 값이 작을수록 압력 제어 특성이 우수하다.

순간중심점(instant center)은 매 순간 위치가 달라지는 점이며, 위치가 고정된 점이 아니다.

평면운동은 병진과 회전으로 분해할 수 있고, 순간중심에 대한 순간적인 회전으로도 해석할 수 있다.

곡선경로를 움직이더라도 물체 내 모든 선분의 방향이 변하지 않으면 병진운동으로 볼 수 있다.

연쇄 충돌 후 C의 속도는 약 1.15 m/s다. 그림처럼 A만 1.5 m/s로 달리고 B·C는 정지해 있으므로, 충돌을 A-B, B-C 두 번으로 나눠 순서대로 푼다.

질량이 같은 두 물체의 정면충돌에서 운동량 보존과 반발계수 정의를 연립하면, 정지해 있던 쪽이 얻는 속도는 $v'=\dfrac{1+e}{2}v$가 된다.

A가 B를 칠 때: $v_B=\dfrac{1+0.75}{2}\times 1.5=1.3125\ \mathrm{m/s}$
이어서 B가 C를 칠 때: $v_C=\dfrac{1+0.75}{2}\times 1.3125\approx 1.148\ \mathrm{m/s}$

같은 계수 0.875가 두 번 곱해지는 구조이므로 $1.5\times 0.875^{2}\approx 1.15\ \mathrm{m/s}$로 한 번에 계산해도 된다.

바닥에 전달되는 힘은 약 200 N이다. 그림의 계는 질량 m이 $k/2$ 스프링 두 개(합성 강성 k)와 감쇠기 c로 바닥에 지지된 1자유도 강제진동계다.

고유각진동수 $\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1000\times10^{3}}{100}}=100\ \mathrm{rad/s}$이고, 가진 각진동수가 200 rad/s이므로 진동수비 $r=\dfrac{200}{100}=2$다.

감쇠계의 전달률은 $TR=\dfrac{\sqrt{1+(2\xi r)^{2}}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\xi r)^{2}}}$이고 $2\xi r=2(0.2)(2)=0.8$이므로
$TR=\dfrac{\sqrt{1+0.64}}{\sqrt{(1-4)^{2}+0.64}}=\dfrac{1.281}{3.105}=0.4125$

따라서 $F_{tr}=TR\times F_0=0.4125\times 485\approx 200\ \mathrm{N}$. 감쇠기가 달려 있으므로 분자의 $(2\xi r)^{2}$ 항을 빠뜨리지 않는 것이 요점이다.

질량 $m$에 스프링 $k$ 하나와 댐퍼 $c$ 두 개(왼쪽 벽, 오른쪽 벽에 각각 병렬 연결)가 작용한다. 두 댐퍼는 모두 질량의 속도 $\dot{x}$에 반대로 저항하므로 감쭤력은 $2c\dot{x}$로 합산되고, 스프링력은 $kx$이다. 뉴턴 제2법칙을 적용하면 $m\ddot{x} + 2c\dot{x} + kx = 0$ 형태가 되며, 이는 댐퍼 2개가 합쳐져 감쇠항이 2c로 나타나는 식과 일치한다.

스프링의 최대 압축 길이는 3.0 m다. 탄환이 블록에 박히는 순간은 완전소성충돌(운동량 보존), 그 뒤 스프링을 밀며 멈출 때까지는 에너지 보존으로 두 단계로 끊어 푼다.

충돌 직후 탄환+블록의 공통 속도
$v=\dfrac{0.02\times 1200}{0.02+0.3}=\dfrac{24}{0.32}=75\ \mathrm{m/s}$

이 운동에너지가 전부 스프링 탄성에너지로 바뀌므로
$\tfrac{1}{2}(0.32)(75)^{2}=\tfrac{1}{2}(200)x^{2}$
$900=100x^{2}\ \Rightarrow\ x=3.0\ \mathrm{m}$

바닥 마찰을 무시하므로 에너지 손실은 충돌 단계에서만 생긴다. 여기서 1200 m/s를 그대로 에너지식에 넣으면 안 되고, 반드시 충돌 후 속도 75 m/s를 써야 한다.

A점에서의 속력은 약 6.84 km/s다. 중심 O에서 거리 S인 곳의 중력가속도가 $g(S)=g_0\dfrac{S}{R}$로 주어졌으므로, 거리에 비례하는 스프링과 같은 형태의 힘이 된다.

북극(S=R)에서 A점(S=R/2)까지 중력이 한 일은
$W=\displaystyle\int_{R/2}^{R} mg_0\dfrac{S}{R}\,dS=\dfrac{mg_0}{R}\left[\dfrac{S^{2}}{2}\right]_{R/2}^{R}=\dfrac{3}{8}mg_0R$

에너지 보존 $\tfrac{1}{2}mv^{2}=\tfrac{1}{2}mv_0^{2}+W$ 에서
$v^{2}=v_0^{2}+\dfrac{3}{4}g_0R=10^{2}+0.75\times 9.8\times 6.371\times 10^{6}$
$v=\sqrt{4.683\times 10^{7}}\approx 6.84\times 10^{3}\ \mathrm{m/s}$

초기속도 10 m/s는 결과에 거의 영향을 주지 못할 만큼 작다. 지표면의 9.8 m/s²를 S=R일 때의 값으로 놓고 비례식을 세우는 것이 핵심이다.

옳은 관계식은 $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$다.

주기 T는 1회 진동에 걸리는 시간(s), 진동수 f는 1초당 진동 횟수(Hz)이므로 둘은 서로 역수다. 즉 $f=1/T$.

각진동수 ω는 1회 진동을 각도 $2\pi$ rad에 대응시킨 양이라 $\omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}$이고, f에 대해 풀면 $f=\dfrac{\omega}{2\pi}$가 된다.

따라서 f와 T를 같다고 놓은 식은 단위(Hz와 s)부터 어긋나고, $f=\dfrac{2\pi}{\omega}$는 오히려 주기의 차원이 된다. $f=\dfrac{2\pi}{T}$는 차원만 맞을 뿐 f가 아니라 ω 자체라 $2\pi$배 크다.

위치 $x = 6t^2 - t^3$를 시간에 대해 미분하면 속도 $v = 12t - 3t^2$이다.

속도가 최대가 되는 시점은 가속도 $a = \dfrac{dv}{dt} = 12 - 6t = 0$에서 $t = 2\ \mathrm{s}$이다.

이때 최대 속도는 $v = 12(2) - 3(2)^2 = 12\ \mathrm{m/s}$이다.

미끄럼이 일어나지 않을 조건은 $T\le Mg(3\mu_s\cos\alpha-\sin\alpha)$다. 그림은 경사각 α인 사면 위의 균일 원기둥 M이고, 감겨 있는 실은 접촉점의 정반대편인 꼭대기에서 접선으로 빠져나와 사면과 나란히 위쪽으로 당겨진다.

먼저 접촉점을 기준으로 모멘트를 잡는다. T의 모멘트 팔은 지름 $2r$이고, 접촉점에 대한 관성모멘트는 $I=\tfrac{1}{2}Mr^{2}+Mr^{2}=\tfrac{3}{2}Mr^{2}$이므로
$\tfrac{3}{2}Mr^{2}\cdot\dfrac{a}{r}=2Tr-Mgr\sin\alpha\ \Rightarrow\ \tfrac{3}{2}Ma=2T-Mg\sin\alpha$

이를 사면 방향 운동방정식 $Ma=T+f-Mg\sin\alpha$에 넣어 마찰력을 구하면
$f=\dfrac{T+Mg\sin\alpha}{3}$

구름이 유지되려면 이 마찰력이 최대정지마찰력을 넘지 않아야 하므로 $f\le\mu_s Mg\cos\alpha$, 즉
$T+Mg\sin\alpha\le 3\mu_s Mg\cos\alpha\ \Rightarrow\ T\le Mg(3\mu_s\cos\alpha-\sin\alpha)$

반지름 r은 소거되어 답에 남지 않는다. 마찰한계는 수직항력 $Mg\cos\alpha$에서 나오므로 μ_s에 붙는 것은 cosα이고, $Mg\sin\alpha$는 그 자체로 마찰력을 요구하는 항이라 T가 쓸 수 있는 여유를 깎아먹으므로 빼는 부호가 된다.

10회 진동에 16초가 걸렸으므로 주기는 $T = \dfrac{16}{10} = 1.6\ \mathrm{s}$이다.

각진동수는 $\omega = \dfrac{2\pi}{T} \approx 3.93\ \mathrm{rad/s}$이고, 스프링 상수는 $k = m\omega^2 = 98 \times 3.93^2 \approx 1511\ \mathrm{N/m}$이다.

단위를 cm 기준으로 바꾸면 $k \approx 15.1\ \mathrm{N/cm}$이다.

피로시험은 반복하중을 가해 시험편이 파단될 때까지 진행하는 대표적인 파괴시험이다.

• 외관시험은 육안으로 표면 결함을 확인하는 비파괴검사이다.
• 초음파 탐상시험은 초음파 반사를 이용해 내부 결함을 찾는 비파괴검사이다.
• 음향시험은 방출음이나 타격음으로 결함을 판정하는 비파괴검사이다.

뜨임(tempering)은 담금질로 생긴 취성이 큰 마텐자이트 조직을 A1 변태점 이하의 온도로 재가열하여 인성을 부여하고 잔류응력을 제거하는 열처리이다.

풀림과 불림은 담금질 전 단계에서 조직을 조정하거나 결정립을 미세화하는 목적으로 쓰이며, 침탄법은 표면에 탄소를 침투시켜 경화층을 만드는 처리이다.

방전가공은 전극과 공작물 사이의 방전을 자동 제어로 진행할 수 있어 무인가공이 가능하며, 무인가공이 불가능하다는 설명이 틀렸다.

가공 부분에 열영향으로 인한 변질층이 남고, 전극 형상대로 정밀 가공이 가능하며, 방전 에너지로 재료를 녹여내므로 가공물의 경도와 관계없이 가공할 수 있다는 나머지 설명은 모두 옳다.

현형(現型)은 제품과 동일한 외형을 그대로 본뜬 모형으로, 통짜로 만든 단체모형, 두 쪽으로 나눈 분할모형, 여러 조각을 조립하는 조립모형이 모두 여기에 속한다.

스테켈 압연기(Steckel mill)는 롤러 자체를 구동하지 않고 양쪽의 권취기(coiler)가 판재를 잡아당기는 인장력으로 압연하는 방식이다.

구동 부담이 롤러가 아닌 권취기에 있어 연질재의 얇은 박판을 압연하는 데 적합하다.

압하율은 (가공 전 두께 - 가공 후 두께) / 가공 전 두께 × 100%로 계산한다. 주어진 값을 대입하면 압하율 = (20 - 15) / 20 × 100% = 5 / 20 × 100% = 25%이다.

숏 피닝(shot peening)은 작은 강구를 고속으로 표면에 분사·충돌시켜 표면에 압축잔류응력을 형성함으로써 피로강도를 향상시키는 냉간 가공법이다.

전해가공, 전해연삭, 화학연마는 표면을 깎아내거나 용해시키는 제거 가공이라는 점에서 원리가 다르다.

분할 크랭크를 18구멍 분할판에서 11구멍씩 돌리면 된다.

브라운샤프형 분할대는 웜과 웜휠의 비가 40 : 1이라 크랭크를 1회전시켜도 공작물은 $360^\circ/40=9^\circ$만 회전한다. 따라서 각도 $D^\circ$를 분할할 때 필요한 크랭크 회전수는 $n=\dfrac{D}{9}$다.

$n=\dfrac{5.5}{9}=\dfrac{11}{18}$
1회전이 안 되는 $\dfrac{11}{18}$회전이므로, 구멍수 18인 분할판을 골라 한 번에 11구멍씩 이동시키면 된다.

나머지 조합을 같은 식으로 되돌리면 27구멍에 14구멍은 약 4.67°, 21구멍에 7구멍은 3°, 24구멍에 15구멍은 5.625°가 되어 5½°와 맞지 않는다.

언더컷은 아크길이가 너무 길 때 주로 발생하며, 아크길이가 너무 짧은 경우는 언더컷의 원인이 아니다.

• 용접속도가 너무 빠르면 용융금속이 충분히 채워지지 못해 언더컷이 생긴다.
• 용접전류가 너무 높으면 모재가 과도하게 녹아 홈이 파인다.
• 부적당한 용접봉을 사용해도 용착금속의 흐름이 불량해져 언더컷이 발생할 수 있다.

절삭가공 시 절삭온도를 측정하는 주요 방법은 복사고온계(비접촉식), 열전대(접촉식), 칼로리미터(열량 측정식) 등이다. 부식을 이용하는 방법은 절삭온도 측정이 아니라 금속 표면의 화학적 식각 처리 기법으로, 절삭온도 측정의 직접적인 수단이 아니다. 따라서 절삭온도 측정방법에 포함되지 않는다.