순수 성분(또는 혼합물)이 융해·기화·승화와 같은 상변화를 겪을 때, 두 상이 평형을 이루는 조건은 각 성분의 화학포텐셜이 양쪽 상에서 같다는 것이다.

상변화가 일어나는 동안 화학포텐셜은 연속적으로 같은 값을 유지하며 변하지 않는다.

• 엔트로피는 상변화에 수반되는 잠열 때문에 크게 변한다.
• 내부에너지도 상 사이에서 다르므로 상변화 중 변화한다.
• 엔탈피 역시 융해열·기화열만큼 변한다.

온도와 압력이 일정할 때 자발적으로 진행되는 과정에서는 계의 깁스(Gibbs) 에너지가 감소하며, 평형에서 최솟값을 가진다. 이는 열역학 2법칙을 정온·정압계에 적용한 결과다.

헬름홀츠 에너지가 감소하는 것은 온도와 부피가 일정한 계에서 성립하는 조건이므로, 정온·정압 조건에 헬름홀츠 에너지를 대응시킨 서술은 조건이 맞지 않는다.

과잉물성(excess property)은 같은 온도·압력·조성에서 실제 용액의 물성값과 이상용액의 물성값의 차이로 정의된다. 즉 혼합에 따른 비이상성을 정량화한 값이다.

• 물성값의 합으로 정의한다는 설명은 과잉물성의 정의와 다르다.
• 물성값의 비로 정의한다는 설명도 성립하지 않는다.
• 물성값의 곱으로 정의한다는 설명 역시 맞지 않다.

에탄올-톨루엔계처럼 Pxy 선도가 라울의 법칙(직선)보다 양(+)의 편차를 보이면, 실제 증기압이 이상용액 예측치보다 높다는 뜻이다.

이는 서로 다른 분자끼리(에탄올-톨루엔) 끌어당기는 힘이 약해 분자들이 액상보다 기상으로 더 잘 달아나려 하기 때문이며, 결국 같은 종류의 분자간 인력이 다른 종류의 분자간 인력보다 크다는 것을 의미한다.

Maxwell 관계식 가운데 (∂T/∂P)_S = −(∂P/∂S)_V 는 성립하지 않는다. 올바른 짝은 (∂T/∂P)_S = (∂V/∂S)_P 다.

Maxwell 관계식은 네 개의 기본 관계식에서 이차 편미분의 교환법칙으로 얻는다.
dU = TdS − PdV → (∂T/∂V)_S = −(∂P/∂S)_V
dH = TdS + VdP → (∂T/∂P)_S = (∂V/∂S)_P

나머지도 같은 방식으로 dA = −SdT − PdV 에서 (∂S/∂V)_T = (∂P/∂T)_V, dG = −SdT + VdP 에서 −(∂S/∂P)_T = (∂V/∂T)_P 가 나오며, 이 세 개는 보기와 그대로 일치한다.

좌변이 (∂T/∂P)_S 라면 짝이 되는 우변은 엔탈피에서 나온 (∂V/∂S)_P 여야 하고, 내부에너지에서 나오는 −(∂P/∂S)_V 와는 짝지을 수 없다.

카르노 냉동기의 성능계수는 $\mathrm{COP}=\dfrac{T_C}{T_H-T_C}$로 계산한다(절대온도 기준).

$T_H=303\ \mathrm{K},\ T_C=263\ \mathrm{K}$이므로 $\mathrm{COP}=\dfrac{263}{303-263}=\dfrac{263}{40}\approx6.58$이 된다.

이상기체 1몰의 등온 가역 압축에서는 내부에너지 변화가 0이므로 $Q=-W$의 관계가 성립한다.

계가 받는 일은 $W=RT\ln\dfrac{P_2}{P_1}=R\times300\times\ln10\approx690R$이다.

압축 과정에서 기체는 외부로부터 일을 받고(+690R), 그만큼의 열을 방출(-690R)하여 내부에너지를 일정하게 유지한다.

먼저 에너지 수지(제1법칙)를 확인하면, 들어오는 열 25000 J/s에 비해 나가는 열과 일의 합은 $12000+15000=27000\ \mathrm{J/s}$로 더 크다. 에너지가 보존되지 않으므로 제1법칙에 위배된다.

다음으로 효율(제2법칙)을 보면, 주장된 효율은 $\eta=\dfrac{15000}{25000}=0.60$인데, 400K과 200K 사이에서 가능한 최대(카르노) 효율은 $1-\dfrac{200}{400}=0.50$에 불과하다. 주장된 효율이 카르노 한계를 넘으므로 제2법칙에도 위배된다.

따라서 이 열기관은 열역학 제1, 2법칙에 모두 어긋나 실현 불가능한 주장이다.

주어진 과잉 깁스에너지 식을 성분 1 에 대해 부분몰량으로 미분하면 ln γ₁ = B X₂² + C 가 된다.

활동도계수는 ln γ₁ = [∂(nG^E/RT) / ∂n₁]_T,P,n2 로 정의된다. 총량으로 바꿔 쓰면 n = n₁+n₂ 일 때
nG^E/RT = B·n₁n₂/n + C·n

첫 항을 n₁ 로 미분하면 B·n₂(n−n₁)/n² = B·n₂²/n² = B X₂² 이고, 둘째 항을 미분하면 C 가 그대로 남는다.

따라서 성분 1 의 활동도계수에는 상대 성분의 몰분율 X₂ 의 제곱이 들어가고 상수 C 도 함께 남는다. 자기 몰분율 X₁ 을 제곱해 넣거나 상수항을 빠뜨린 식은 이 미분 결과와 맞지 않는다.

라울의 법칙은 각 성분의 분압이 그 성분의 순수 증기압과 액상 몰분율의 곱으로 주어진다는 것으로, 이때 사용하는 순수 성분의 증기압이 존재하려면 적용온도가 임계온도 이하여야 한다.

• 저압에서 잘 맞는 근사이지 중압 이상에서만 적용되는 것은 아니다.
• 오히려 성분들이 화학적으로 비슷할수록 라울의 법칙에 더 잘 들어맞는다.
• 순수 성분의 증기압 값을 알아야 계산할 수 있으므로 증기압을 모르는 성분에는 적용할 수 없다.

다단 압축기에서 동력 소요를 최소로 하려면 각 단의 압축비를 같게 맞춰야 한다.

2단 압축이므로 중간압력은 $P_i=\sqrt{P_1P_2}=\sqrt{1\times7}\approx2.65$기압, 즉 약 2.6기압이 된다.

발열반응($\Delta H^0<0$)은 반트호프식 $\dfrac{d\ln K}{dT}=\dfrac{\Delta H^0}{RT^2}$에 따라 우변이 음수가 되므로, 온도가 오를수록 평형상수 K는 감소한다.

이는 르샤틀리에 원리와도 일치한다: 발열반응에 열을 가하면(온도 상승) 평형이 흡열 방향(역반응)으로 이동해 K가 작아진다.

가역 등온팽창에서 한 일은 W = RT ln[(V_f − b)/(V_i − b)] 이다.

가역과정의 일은 W = ∫P dV 이고, 주어진 상태식 P(V−b) = RT 를 정리하면 P = RT/(V−b) 이다.

등온이므로 RT 가 상수여서 바로 적분된다.
W = ∫_Vi^Vf RT/(V−b) dV = RT·[ln(V−b)]_Vi^Vf = RT ln[(V_f−b)/(V_i−b)]

b = 0 을 넣으면 이상기체의 RT ln(V_f/V_i) 로 되돌아간다. 즉 로그 안에 b 가 빠진 형태는 이상기체일 때의 결과일 뿐 이 상태식의 답이 아니고, 로그 없이 부피차를 곱하거나 (V_f−b)/(V_i−b) 를 그대로 곱한 형태도 1/(V−b) 의 적분 결과가 될 수 없다.

평형은 정반응과 역반응의 속도가 같아져 겉보기 변화가 없어 보이는 동적(dynamic) 상태이지, 미시적으로 아무 변화도 일어나지 않는 정지 상태가 아니다. 따라서 변화가 전혀 없는 상태라는 서술이 가장 부적절하다.

• 평형에 필요한 독립변수 수는 깁스 상률로 구할 수 있다는 것은 옳은 설명이다.
• 단일성분 기-액 평형에서 온도가 정해지면 압력(증기압)이 자동으로 정해진다는 것도 옳다.
• 여러 상이 평형을 이룰 때 각 상의 화학포텐셜이 같다는 것도 평형의 정의 그대로다.

윌슨(WILSON)식은 액상 활동도계수 모델로, 저·중압에서 액상의 비이상성을 다루는 데 적합하다.

그러나 에탄올과 이산화탄소의 고압 기·액 평형은 이산화탄소가 임계점 부근·초임계 상태에 있을 수 있는 고압계이므로, 활동도계수 모델이 아니라 상태방정식(EOS) 접근이 필요하다. 따라서 이 조합은 적합하지 않다.

• 물 속 이산화탄소 용해도는 저농도 기체 용해 문제이므로 헨리의 법칙이 적합하다.
• 메탄-에탄의 고압 기·액 평형은 SRK 같은 상태방정식으로 다루는 것이 적절하다.
• 메탄올-헥산의 저압 기·액 평형은 NRTL 같은 활동도계수 모델로 잘 맞는다.

부피팽창률 β 와 등온압축률 κ 가 모두 0 이어도 (∂H/∂P)_T = 0 은 성립하지 않는다. 이 값은 V 로 남기 때문이다.

정의상 β = (1/V)(∂V/∂T)_P = 0, κ = −(1/V)(∂V/∂P)_T = 0 이므로 (∂V/∂T)_P = 0, (∂V/∂P)_T = 0 이다.

엔탈피의 압력 의존성은 (∂H/∂P)_T = V − T(∂V/∂T)_P = V − TVβ = V 이므로, 부피가 0 이 아닌 한 결코 0 이 될 수 없다.

• (∂V/∂T)_P = Vβ = 0 은 정의에서 곧바로 나온다.
• (∂S/∂P)_T = −(∂V/∂T)_P = −Vβ = 0 이다(Maxwell 관계).
• (∂U/∂P)_T = −T(∂V/∂T)_P − P(∂V/∂P)_T = −TVβ + PVκ = 0 이다.

일정 온도·압력에서 평형은 계의 총 깁스에너지가 최소가 되는 상태이므로 (dG^t)_T,P = 0 이 성립한다.

T, P 가 일정할 때 자발적 변화는 G^t 가 감소하는 방향으로만 일어난다. 더 이상 감소할 수 없는 극값(최소점)에 이르면 변화가 멈추고, 그 지점에서 미분값이 0 이 된다.

• 미분값이 0 보다 작다는 것은 평형으로 가는 도중의 자발적 과정을 뜻하지 평형 자체가 아니다.
• 미분값이 0 보다 크다는 것은 자발적으로 일어나지 않는 방향이다.
• 미분값을 1 로 두는 식은 기준이 되는 단위조차 정해지지 않아 평형조건이 될 수 없다.

경계를 제거하기 전에는 어느 입자가 어느 상자에 있는지가 모두 고정되어 있으므로 가능한 배열은 하나뿐이다($\Omega_1=1$).

경계를 없애면 10개의 입자를 4개·3개·3개로 나누어 담는 모든 경우가 가능해진다.

$\Omega_2=\dfrac{N!}{n_A!\,n_B!\,n_C!}=\dfrac{10!}{4!\,3!\,3!}=4200$

볼츠만 엔트로피 식에 대입하면 $\Delta S=k\ln\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}=k\ln(4200)$이 되어 엔트로피 변화는 약 8.343k이다.

공기표준 오토사이클의 열효율은 압축비만으로 결정되며 η = 1 − (1/a)^r−1 이다.

그림의 P–V 선도에서 D→A 와 B→C 는 부피가 일정한 수직선(정적 가열·정적 방열), A→B 와 C→D 는 기울어진 곡선(단열 팽창·단열 압축)이다. 정적과정에서 주고받는 열이 $q_{in}=C_v(T_A-T_D)$, $q_{out}=C_v(T_B-T_C)$ 이므로 $\eta=1-\dfrac{T_B-T_C}{T_A-T_D}$ 로 쓸 수 있다.

두 단열과정에 $TV^{\,r-1}=\text{일정}$ 을 적용하면 온도비가 부피비로 바뀌어 $\eta=1-\left(\dfrac{1}{a}\right)^{r-1}$ 이 된다.

함정은 두 가지다. 괄호 안에 들어가는 것은 압축비가 아니라 압축비의 역수이고, 지수는 비열비 r 이 아니라 r−1 이다. 1−a^r 이나 1−a^r−1 처럼 압축비를 그대로 쓰면 압축비가 커질수록 효율이 음수로 발산해 성립하지 않는다.

부피×압력, 힘×거리, 몰수×기체상수×온도(nRT)는 모두 에너지의 단위(예: J, cal)를 가진다.

반면 열용량×질량은 온도차가 곱해지지 않았으므로 에너지 단위가 되지 않는다. 비열(단위질량당 열용량)에 질량과 온도차를 함께 곱해야 비로소 열량(에너지)이 된다.

열손실이 없다고 가정하면 고온수가 잃은 열량과 저온수가 얻은 열량이 같다(비열이 동일하므로 질량가중평균으로 계산).

$\dfrac{1500\times100+2500\times20}{1500+2500}=\dfrac{150000+50000}{4000}=\dfrac{200000}{4000}=50$

따라서 혼합 후 온도는 50℃가 된다.

혼합기체의 분압은 전압에 부피비(몰분율)를 곱해 구한다.

$P_{O_2}=0.21\times760\ \mathrm{mmHg}\approx160\ \mathrm{mmHg}$

37wt% HNO₃ 용액의 노르말 농도는 용액 1L의 질량에서 HNO₃ 질량을 구한 뒤 당량수로 환산해 계산한다.

$1000\ \mathrm{mL}\times1.227\ \mathrm{g/mL}\times0.37=454.0\ \mathrm{g}$

HNO₃의 분자량은 63, 1가산이므로 당량수도 같다: $N=\dfrac{454.0}{63}\approx7.2\ \mathrm{eq/L}$

클라우지우스-클라페이론(Clausius-Clapeyron) 식은 순수 성분의 증기압과 온도 사이의 관계를 유도해, 한 온도에서의 증기압으로부터 다른 온도의 증기압을 추산하는 데 쓰이는 대표적인 식이다.

• 베르누이식은 유체의 압력-속도-높이 관계를 다루는 유체역학 식이다.
• Redlich-Kwong식은 실제기체의 PVT 거동을 나타내는 상태방정식이다.
• 키르히호프식은 반응엔탈피의 온도 의존성을 다루는 식이다.

Hess 법칙으로 세 반응을 조합하면 CH₄의 표준생성열은 -4300 J 이다.

목표 반응이 C(s) + 2H₂ → CH₄ 이므로 주어진 식을 이렇게 맞춘다.
· (3) 그대로 : C(s)+O₂→CO₂, ΔH = -22500 J
· (2)를 뒤집어 2배 : 2H₂+O₂→2H₂O(L), ΔH = -2×16350 = -32700 J
· (1)을 뒤집어 : CO₂+2H₂O(L)→CH₄+2O₂, ΔH = +50900 J

세 식을 더하면 CO₂·H₂O·O₂ 가 모두 소거되어 목표 반응만 남고
ΔH_f = -22500 - 32700 + 50900 = -4300 J 이다.

역반응은 부호를 바꾸고 계수 배수만큼 곱한다는 원칙이 핵심이다. 물의 분해열에 2를 곱하지 않거나 메탄 연소열의 부호를 그대로 두면 전혀 다른 값이 나온다.

혼합기체의 평균분자량을 부피비로 구한 뒤 이상기체 밀도식에 대입한다.

$\bar{M}=0.11\times2+0.89\times32=28.70$

$\rho=\dfrac{PM}{RT}=\dfrac{(737/760)\times28.70}{0.08206\times303}\approx1.12\ \mathrm{g/L}$

혼합가스의 평균분자량은 각 성분의 부피비(몰분율)에 분자량을 곱해 합산한다.

$\bar{M}=0.4\times44+0.2\times28+0.4\times2=17.6+5.6+0.8=24$

비교포화도(percentage saturation)는 실제 혼합가스에서의 '아세톤 분압÷불활성기체 분압'을, 같은 전압에서 포화되었을 때의 같은 비와 비교한 값이다: $\%\,S=\dfrac{p_A/(P-p_A)}{p_A^{sat}/(P-p_A^{sat})}\times100$

$p_A=0.15\times750=112.5\ \mathrm{mmHg}$, $p_A^{sat}=185\ \mathrm{mmHg}$를 대입하면
$\%\,S=\dfrac{112.5/637.5}{185/565}\times100\approx53.9\%$

동력 단위를 마력(hp)으로 환산할 때 $1\ \mathrm{hp}\approx76\ \mathrm{kgf\cdot m/s}$를 사용한다.

$\dfrac{150\ \mathrm{kgf\cdot m/s}}{76\ \mathrm{kgf\cdot m/s/hp}}\approx1.97\ \mathrm{hp}$

추료에 추제를 접촉시켜 평형을 이루면 두 개의 액상으로 분리되는데, 추제(용매) 쪽으로 용질이 많이 이동한 상을 추출상, 원래 추료의 불활성 물질(희석제)이 대부분 그대로 남는 상을 추잔상(raffinate)이라 부른다.

추질은 추출 대상이 되는 용해성분 자체를 가리키는 용어이고, 슬러지는 고체가 섞인 현탁액을 뜻하므로 이 상황에는 해당하지 않는다.

건조 전후 불활성 고체분(75kg)은 변하지 않는다는 물질수지를 이용하면, 증발되는 수분은 약 24.24kg이다.

수분 25%인 고체 100kg 중 건조 고체분은 75kg, 수분은 25kg이다. 건조 후 전체 무게를 $m_2$라 하면 최종 수분함량이 1%일 때 고체분 비율이 99%이므로 $75=(1-0.01)\times m_2$에서 $m_2=\dfrac{75}{0.99}\approx75.76\,\mathrm{kg}$이다.

따라서 제거되는 수분은 $100-75.76=24.24\,\mathrm{kg}$이다.

습도(humidity) 공식으로 계산하면 이 공기의 습도는 약 0.016이다.

습도는 $Y=\dfrac{M_w}{M_a}\times\dfrac{p_w}{P-p_w}$로 구하며, 수증기 분압 $p_w=20\,\mathrm{mmHg}$, 전압 $P=760\,\mathrm{mmHg}$, 공기 분자량 30과 수증기 분자량 18을 대입한다.

$Y=\dfrac{18}{30}\times\dfrac{20}{740}\approx0.016$이다.

0℃ 물을 100℃까지 가열하는 현열 100kcal/kg, 증발잠열 539kcal/kg, 300℃까지의 과열 현열을 더하면 과열수증기 엔탈피는 약 729kcal/kg이다.

$H=100+539+0.45\times(300-100)=100+539+90=729\,\mathrm{kcal/kg}$

틀린 설명은 상대휘발도가 액상·기상 조성과 무관하다는 진술이다. 실제로 상대휘발도 $\alpha_{12}=\dfrac{y_1/x_1}{y_2/x_2}$는 이상용액이 아닌 한 조성에 따라 값이 달라진다.

• 휘발도는 성분의 분압과 몰분율의 비로 정의되므로 옳은 설명이다.
• 이상용액에서 상대휘발도는 두 성분의 순수 증기압 비와 같아지므로 옳은 설명이다.
• 상대휘발도가 1에서 멀어질수록 두 성분의 끓는점 차이가 커져 증류로 분리하기 쉬워지므로 옳은 설명이다.

상당직경(수력직경) $D_e=\dfrac{4A}{P}$ 공식을 적용하면 결과는 48cm이다.

가로 40cm, 세로 60cm 단면에서 $A=40\times60=2400\,\mathrm{cm^2}$, 둘레 $P=2\times(40+60)=200\,\mathrm{cm}$이므로 $D_e=\dfrac{4\times2400}{200}=48\,\mathrm{cm}$이다.

터빈 펌프(turbine pump)는 회전차의 원심력으로 액체를 이송하는 원심 펌프 계열이며, 왕복 펌프에 속하지 않는다.

피스톤, 플런저, 다이어프램 펌프는 모두 실린더 내부의 왕복 운동으로 유체를 밀어내는 대표적인 왕복 펌프이다.

피토관(Pitot tube)은 흐름의 한 지점에서 정체압과 정압의 차이로부터 그 지점의 국부속도를 직접 구하는 계측기이다.

오리피스미터, 벤츄리미터, 로터미터는 모두 단면 전체를 지나는 평균 유량을 구하는 유량계로, 한 점의 국부속도 측정에는 적합하지 않다.

프로펠러형 교반기는 고속 회전으로 축류를 형성해 저점도 액체를 대량으로 순환·혼합하는 데 적합하지만, 점도가 높은 액체에는 효과가 떨어진다.

리본형·앵커형·나선형 교반기는 반대로 고점도 액체를 벽면 가까이까지 저속으로 훑어주는 용도로 주로 쓰인다.

병류식(parallel feed)은 신선한 원료를 각 효용관에 개별적으로 공급하고 각 효용관에서 각각 제품을 뽑아내는 방식이라, 한 효용관의 농축액을 다음 효용관으로 옮길 필요가 없다.

순류식·역류식·혼합류식은 모두 하나의 흐름이 효용관을 차례로 거치도록 효용관 사이에서 용액을 이동시켜야 한다는 공통점이 있다.

제어기 이득 K_c 가 커지면 폐회로 시간상수 τ 는 작아진다, 즉 응답이 빨라진다.

그림의 루프는 제어기 K_c(1+τ_Ds), 공정 1/(τ₁s+1), 되먹임 측정요소 1/(τ_ms+1) 로 이루어져 있고 공정 입구에 외란 U 가 더해진다. 설정값 응답은 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{K_c(1+\tau_D s)(\tau_m s+1)}{(\tau_1 s+1)(\tau_m s+1)+K_c(1+\tau_D s)}$ 이다.

분모를 펼치면 $\tau_1\tau_m s^2+(\tau_1+\tau_m+K_c\tau_D)s+(1+K_c)$ 이고, 표준형 $\tau^2 s^2+2\zeta\tau s+1$ 이 되도록 (1+K_c) 로 나누면 $\tau=\sqrt{\dfrac{\tau_1\tau_m}{1+K_c}}$ 를 얻는다.

이 식에서 τ 는 K_c 가 커질수록 감소한다. 반대로 공정 시간상수 τ₁ 이 작아지면 τ 도 같이 작아지고, 측정 시간상수 τ_m 이 커지면 τ 도 커진다. 미분시간(선도에는 τ_D, 보기에는 τ₀ 로 적힌 값)은 분모의 1차항(감쇠계수)에만 들어갈 뿐 τ 자체에는 나타나지 않는다.

입력 X 가 합산점을 지나 P₁ 으로 들어가고 그 출력 Y 가 다시 P₂ 를 거쳐 합산점으로 되돌아오는 되먹임 구조는 Y = P₁X ± P₂X 를 나타내지 못한다.

그 선도를 식으로 옮기면 Y = P₁(X ± P₂Y) 이고, 정리하면 $Y=\dfrac{P_1X}{1\mp P_1P_2}$ 로 분모에 P₁P₂ 가 남는 닫힌 루프 응답이 된다. 두 항의 단순 합이 아니다.

나머지 선도는 모두 같은 식이다.

• X 를 두 갈래로 나눠 각각 P₁, P₂ 를 통과시킨 뒤 합산점에서 ± 로 더하면 곧바로 P₁X ± P₂X 다.
• 블록 하나에 P₁ ± P₂ 를 적은 것은 위의 병렬 두 블록을 하나로 합친 등가 표현이다.
• X 를 먼저 P₂ 에 통과시켜 P₂X 를 만든 뒤 한 갈래에 P₁/P₂ 를 곱해 P₁X 로 되살리고 다른 갈래는 그대로 합산해도 결과는 P₁X ± P₂X 로 같다.

Routh 판별 조건과 맞지 않는 것은 특성방정식의 근이 복소수축(허수축) 오른쪽에 있으면 안정하다는 진술이다. 실제로는 그 반대로, 근이 허수축의 오른쪽(우반평면)에 있으면 계는 불안정하다.

• Routh 배열의 첫 번째 열이 모두 양수여야 안정하다는 것은 Routh 판별법의 핵심 조건이므로 옳다.
• 특성방정식이 s에 대한 n차 다항식이어야 한다는 것은 Routh 배열을 만들기 위한 전제 조건이므로 옳다.
• 수송지연(시간지연)이 있으면 특성방정식이 다항식 형태가 아니게 되어 Routh법을 그대로 쓸 수 없다는 것도 옳은 설명이다.

PI 제어기는 적분(I) 동작이 있어 정상상태에서 남는 오차, 즉 잔류오차(offset)를 0으로 제거할 수 있다.

P 제어기와 PD 제어기는 적분 동작이 없어 일반적으로 오프셋이 남고, "해당 제어기가 없다"는 진술도 PI 제어기의 존재로 인해 틀린 설명이다.

Cv가 큰 밸브를 사용하는 것은 불평형 압력에 의한 오차·히스테리시스를 줄이는 대책과는 거리가 먼 방법이다.

포트 면적이 넓은 밸브일수록 유체 압력차로 인한 불평형력이 오히려 커지는 방향이기 때문이다.

실제로 이 문제는 밸브 포지셔너 사용, 면적이 넓은 구동기 사용, 압력이 서로 상쇄되는 복좌형 밸브 사용 등으로 줄인다.

적분공정($G(s)=\dfrac{1}{s}$)에서 옳지 않은 설명은 입력외란의 계단변화에 대해 비례제어만으로 오프셋을 제거할 수 있다는 진술이다.

적분공정은 자체에 적분 요소가 있어 설정값 변화나 출력외란에는 비례제어만으로도 정상상태 오차가 0이 되지만, 입력외란에 대해서는 새로운 정상상태에서 유한한 오프셋($D/K_c$)이 남는다.

비례-적분제어는 개회로에 적분기가 두 개(공정+제어기) 있는 셈이라, 직선적으로 증가하는 설정값(램프 입력)도 오프셋 없이 추종할 수 있다.

미분동작과 관련된 현상이라는 설명은 틀렸다. 와인드업은 제어기 출력이 포화(saturation) 등으로 공정에 정상 전달되지 못할 때, 제어기 내부의 적분(I) 동작이 오차를 계속 누적하면서 나타나는 현상이다.

이를 완화하는 기능이 안티와인드업이며, 와인드업이 풀리기 전까지 제어기가 사실상 제어 불능 상태가 된다는 설명은 옳다.

1차계 공정은 공정이득을 아무리 키워도 진동하지 않는다. 진동은 2차 이상의 계에서만 나타나므로 이것만 1차계의 특성이 아니다.

전달함수 $G(s)=\dfrac{K_p}{\tau_p s+1}$ 의 극점은 $s=-\dfrac{1}{\tau_p}$ 하나뿐이고 항상 실수다. 진동이 생기려면 극점이 켤레복소수여야 하는데 1차계에는 그럴 자리가 없고, 이득 K_p 는 극점 위치를 전혀 바꾸지 못한다.

나머지는 모두 1차계의 성질이다.

• 계단입력을 주면 스스로 새 정상상태로 수렴하므로 자율(자기조절) 공정이다.
• 단위계단 응답 $y(t)=K_p\left(1-e^{-t/\tau_p}\right)$ 를 미분해 t=0 을 넣으면 초기 기울기가 $K_p/\tau_p$ 다.
• t=τ_p 를 대입하면 $1-e^{-1}=0.632$ 이므로 최종값의 63.2% 에 도달하는 시간이 시간상수다.

1차계의 단위계단응답 $y(t)/y(\infty)=1-e^{-t/\tau}$에 $t=2\tau$를 대입하면 퍼센트 응답은 약 86.5%이다.

$1-e^{-2}=1-0.135\approx0.865$이므로 86.5%가 된다.

이 되먹임 루프의 설정값 응답은 Y/R = G_cG_p / (1 + G_cG_pG_m) 이다.

그림에서 R 은 합산점에서 되먹임 신호를 빼고(−), 그 오차가 제어기 G_c 와 공정 G_p 를 차례로 지나 출력 Y 가 되며, Y 는 측정요소 G_m 을 거쳐 합산점으로 되돌아온다.

식으로 쓰면 $Y=G_cG_p\left(R-G_mY\right)$ 이고, Y 로 묶어 정리하면 $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{G_cG_p}{1+G_cG_pG_m}$ 이 된다.

규칙만 외워도 된다. 분자는 입력에서 출력까지 지나가는 전방경로의 곱, 분모의 둘째 항은 루프를 한 바퀴 도는 경로의 곱이다. 분자에 G_m 을 끼워 넣거나 분자를 1로 두는 형태는 이 규칙에 어긋난다.

역변환은 (t − sin t)U(t), 즉 (−sin t + t)U(t) 이다.

부분분수로 쪼개면 $\dfrac{1}{s^2(s^2+1)}=\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s^2+1}$ 이다. 실제로 통분해 보면 $\dfrac{(s^2+1)-s^2}{s^2(s^2+1)}=\dfrac{1}{s^2(s^2+1)}$ 로 원래 식이 되므로 분해가 맞다.

각 항을 되돌리면 $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{1/s^2\right\}=t$, $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{1/(s^2+1)\right\}=\sin t$ 이므로 f(t) = t − sin t 다.

검산도 쉽다. t→0 에서 t − sin t ≈ t³/6 → 0 으로, 분모의 s 차수가 분자보다 4 만큼 큰 것과 맞아떨어진다. cos t 항은 분자에 s 가 있어야 생기므로 이 식에서는 나올 수 없다.

이 함수의 Laplace 변환은 $\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1-e^{-hs}}{s}\right)$ 이다.

f(t) 는 높이 1/h 인 계단에서 h 만큼 늦게 시작하는 같은 계단을 뺀 것, 즉 0부터 h 까지만 값이 1/h 인 사각펄스(면적이 1인 근사 임펄스)다.

단위계단은 $\mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}$, 시간지연은 $\mathcal{L}\{u(t-h)\}=\dfrac{e^{-hs}}{s}$ 이므로
$F(s)=\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{e^{-hs}}{s}\right)=\dfrac{1-e^{-hs}}{hs}$.

지연항의 지수는 −hs 이지 −h/s 가 아니며, 두 계단을 빼므로 부호도 (1 − e^−hs) 다. h→0 으로 보내면 F(s)→1 로 임펄스의 변환과 일치하는지 확인하면 검산이 된다.

Bode 안정성 판별법은 개루프 전달함수의 진폭비와 위상각을 주파수에 따라 그려 놓고, 위상각이 -180°가 되는 위상 크로스오버 주파수에서의 진폭비로 폐루프의 안정 여부를 가리는 방법이다. 이 주파수에서 진폭비가 1보다 작으면 안정하며, 그때 진폭비의 역수가 곧 이득여유다. 반대로 진폭비가 1이 되는 이득 크로스오버 주파수에서는 위상각이 -180°보다 커야, 즉 위상여유가 양수여야 안정하다.

따라서 위상 크로스오버 주파수와 진폭비의 관계, 이득여유의 정의, 이득 크로스오버 주파수에서의 위상 조건을 말한 서술들은 모두 표준 내용과 그대로 일치한다. 남는 것은 적용 범위에 관한 서술인데, 적용 대상을 '열린 루프에서 안정한 공정'으로만 한정한 설명이 옳지 않다. 판별 조건은 개루프 전달함수가 우반평면에 극을 갖지 않는 것이되 원점의 단일 극은 예외로 허용하므로, 적분 요소를 포함해 개루프가 안정하다고 보기 어려운 공정에도 이 방법을 쓸 수 있다.

정리하면 Bode 선도로 안정성을 판별할 때 실제로 발목을 잡는 것은 개루프 안정성 자체가 아니라 진폭비와 위상각이 단조롭게 변하지 않아 크로스오버 주파수가 여러 개 생기는 경우이며, 그런 계에는 더 일반적인 Nyquist 판별법을 적용해야 한다.

한 시간 간격으로 읽어 얻은 값들이므로 데이터는 이산시간(discrete-time)이고, 수은주가 가리키는 온도 자체는 아날로그 값이다.

그림에는 0~5시간 동안 1시간 간격으로 읽은 두 지점의 온도가 점으로만 찍혀 있다(한쪽은 약 35℃에서 시작해 54℃ 부근에서, 다른 쪽은 54℃ 부근에서 시작해 81℃ 부근에서 각각 일정해진다). 점과 점 사이에는 값이 없으므로 일정 주기로 표본화된 신호, 곧 이산시간 신호다.

반면 수은기둥은 온도에 따라 연속적으로 늘고 줄어 눈금 사이의 어떤 값도 가질 수 있다. 값의 크기가 연속적이므로 아날로그이며, 유한한 자릿수로 양자화된 디지털 값이 아니다.

'연속/이산'은 시간축을, '아날로그/디지털'은 값의 축을 가리키는 구분이라는 점을 기억하면 두 축을 헷갈리지 않는다.

Routh 배열의 첫 번째 열이 모두 양수가 되므로 이 제어계는 안정하다.

계수 1, 6, 11, 6으로 배열하면 $s^1$ 행 값은 $\dfrac{6\times11-1\times6}{6}=10$이고, 첫 번째 열은 $1,\ 6,\ 10,\ 6$으로 부호 변화가 없다.

실제로 $s^3+6s^2+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3)$으로 인수분해되어 모든 근이 음의 실수이므로 결론과 일치한다.

최종값은 2 다.

최종값 정리 $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s)$ 를 쓴다. s 를 곱하면 $sF(s)=\dfrac{4(s+2)}{(s+1)(s+4)}$ 이고, s=0 을 대입하면
$\dfrac{4\times 2}{1\times 4}=2$.

정리를 쓰기 전에 극점이 안정한지 확인해야 한다. 극점은 s = 0, −1, −4 로 s=0 하나를 빼면 모두 좌반평면에 있으므로 응답이 발산하지 않고, 최종값 정리를 그대로 적용할 수 있다.

위상지연이 180˚가 되는 임계주파수에서 개회로 전달함수의 진폭비(AR)가 1 미만이어야 폐회로가 안정하다.

이 조건에서 AR이 1 이상이면 이득여유가 1 이하로 줄어들어 계가 불안정해지므로, 안정 조건은 AR이 1보다 작은 경우이다.

단열된 파이프의 입구온도와 출구온도 사이 전달함수는 순수한 지연, 즉 $e^{-(L/U)s}$ 다.

열출입이 없으므로 입구에서 생긴 온도 변화가 아무 변형 없이 유체를 타고 흘러 출구로 나온다. 길이 L 을 평균속도 U 로 지나는 데 걸리는 시간이 수송지연 θ = L/U 이고, 출구온도는 입구온도를 그만큼 늦춘 것과 같다.

즉 $T_{out}(t)=T_{in}\!\left(t-\dfrac{L}{U}\right)$ 이고, 시간지연의 Laplace 변환 성질을 쓰면 $\dfrac{T_{out}(s)}{T_{in}(s)}=e^{-\theta s}=e^{-(L/U)s}$ 가 된다.

지수의 부호가 음(−) 이어야 과거 값을 내보내는 지연이 되고, 단면적 A 는 지연시간에 들어가지 않는다. 1/((L/U)s+1) 같은 1차계 형태는 내부에서 완전혼합·축적이 일어나는 경우이지 순수 이송이 아니다.

진동응답이 나타나는 것은 K_c = 0.25 일 때다.

특성방정식의 분모를 곱해 정리하면 (s+1)(2s+1) + K_c = 0, 즉 2s² + 3s + (1 + K_c) = 0 이다.

진동은 근이 켤레복소수일 때만 생기므로 판별식이 음수여야 한다.
D = 3² − 4×2×(1+K_c) = 1 − 8K_c < 0
→ K_c > 0.125

K_c = 0.25 만 이 조건을 넘는다. K_c = 0 이면 근이 −0.5, −1 인 서로 다른 실근이라 진동이 없고, K_c = −1.25 는 2s²+3s−0.25=0 이 되어 판별식이 양수이면서 근 하나가 양수(약 0.079)라 진동 없이 발산한다.

1차 지연공정에 비례제어기를 적용한 경우, 임계주파수에서의 진폭비를 이용해 계산하면 비례제어 상수는 약 0.83이다.

진폭비는 $AR_p(\omega_c)=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\tau\omega_c)^2}}$로 시간지연 항의 영향을 받지 않으며, $\tau=2\,\mathrm{min}$, $\omega_c=0.5\,\mathrm{rad/min}$이므로 $AR_p=\dfrac{1}{\sqrt{1+1}}\approx0.707$이다.

이득여유 $GM=\dfrac{1}{K_c\times AR_p}=1.7$에서 $K_c=\dfrac{1}{1.7\times0.707}\approx0.83$으로 구해진다.

르블랑법(Leblanc process)은 원료인 식염(NaCl)에 황산을 작용시켜 황산나트륨을 만든 뒤 석회석·코크스와 함께 가열해 탄산나트륨(소다회)을 얻는 옛 소다회 제조 공정이다.

탄산칼슘이나 염화칼슘을 원료로 삼는 설명들은 르블랑법의 원료·제품 관계와 맞지 않는다.

솔베이법(암모니아소다법)은 NaCl, H₂O, NH₃, CaCO₃(석회석)을 기본 원료로 사용해 탄산나트륨을 제조하는 공정이다.

암모니아는 반응 중 회수되어 재순환되고, 석회석은 CaO와 CO₂를 공급하는 역할을 한다.

요소 1ton 합성에 필요한 석회석은 약 1.96ton이다.

반응 $CO_2+2NH_3\rightarrow(NH_2)_2CO+H_2O$에서 요소(분자량 60) 1몰당 $CO_2$ 1몰이 필요하므로, 요소 1000kg에 필요한 $CO_2$(분자량 44)는 $1000\times\dfrac{44}{60}\approx733.3\,\mathrm{kg}$이다.

$CaCO_3\rightarrow CaO+CO_2$ 반응으로 이 $CO_2$를 얻으므로 필요한 순수 $CaCO_3$(분자량 100)는 $733.3\times\dfrac{100}{44}\approx1666.7\,\mathrm{kg}$이고, 탄산칼슘 함량 85%인 석회석으로는 $\dfrac{1666.7}{0.85}\approx1961\,\mathrm{kg}\approx1.96\,\mathrm{ton}$이 필요하다.

감광제(포토레지스트)는 고분자(수지), 용매, 광감응제가 기본 3대 구성요소이며, 이들이 혼합되어 하나의 감광액을 이룬다.

현상액(developer)은 노광 후 패턴을 형성하기 위해 별도로 사용하는 공정용 약품이지, 감광제 자체를 구성하는 성분이 아니다.

에틸렌으로부터는 에틸벤젠(벤젠과의 알킬화), 아세트알데히드(Wacker 산화), 에탄올(수화 반응) 등이 얻어진다.

반면 염화알릴(allyl chloride)은 에틸렌이 아니라 프로필렌을 염소와 고온에서 치환반응시켜 얻는 물질이므로, 에틸렌 유도체와는 거리가 멀다.

무수프탈산(phthalic anhydride)은 o-크실렌(o-xylene)을 촉매 존재 하에 공기로 산화시켜 공업적으로 제조한다.

m-크실렌, p-크실렌, 톨루엔은 각각 다른 유도체(이소프탈산, 테레프탈산, 벤조산 등)의 원료로 쓰이며 무수프탈산의 기본 원료는 아니다.

아세틸렌을 염화구리·염화암모늄 수용액 촉매로 이량화하면 모노비닐아세틸렌이 생성되고, 여기에 염산을 부가시키면 클로로프렌(chloroprene)이 얻어진다.

클로로프렌은 네오프렌 합성고무의 원료로 쓰이며, 클로로히드린·염화프로필렌·염화비닐은 이 반응 경로의 주생성물이 아니다.

물질수지와 용해도를 함께 고려하면 석출되는 황산암모늄 결정은 약 998.7kg이다.

85wt% 황산 1000kg 중 $H_2SO_4$ 850kg, 물 150kg이며, 반응 $H_2SO_4+2NH_3\rightarrow(NH_4)_2SO_4$에서 생성되는 $(NH_4)_2SO_4$(분자량 132)는 $850\times\dfrac{132}{98}\approx1144.9\,\mathrm{kg}$이다.

남은 물 150kg에는 용해도(97.5g/100g H₂O)만큼만 용액으로 남으며 그 양은 $150\times0.975\approx146.25\,\mathrm{kg}$이므로, 석출량은 $1144.9-146.25\approx998.7\,\mathrm{kg}$이다.

벤젠을 공기로 산화시켜 말레산 무수물을 제조하는 공정에서는 오산화바나듐(V₂O₅) 촉매가 사용된다.

니켈, PdCl₂, LiH₂PO₄ 계열 촉매는 각각 수소화·다른 산화 반응 등에 쓰이는 촉매로, 이 벤젠 공기산화 공정의 촉매가 아니다.

모노글리세라이드는 지방산과 글리세린이 에스테르 결합한 물질로, 분자 내에 이온화되는 작용기가 없어 비이온 계면활성제로 분류된다.

양쪽성, 양이온, 음이온 계면활성제는 각각 이온성 친수기를 가지는 계면활성제이므로 모노글리세라이드의 특성과 맞지 않는다.

인산칼슘 중 인산 1칼슘(Ca(H₂PO₄)₂)은 물에 녹는 수용성 형태이다.

인산 2칼슘은 물에는 거의 녹지 않고 구연산암모늄 용액에만 녹는 구용성이며, 인산 3칼슘·인산 4칼슘은 칼슘 비율이 더 높아 물에 녹지 않는 불용성 화합물이다.

흡착법은 염화수소가 섞여 있는 가스에서 HCl만 흡착제에 선택적으로 흡착시킨 뒤 가열·탈착시켜 순수한 HCl 가스를 얻는 방법이다.

Hargreaves법은 식염에 아황산가스·공기·수증기를 작용시켜 황산나트륨을 만드는 공정으로 염화수소가 다른 가스와 섞인 채 부생하고, Deacon법은 반대로 염화수소를 산화시켜 염소를 만드는 공정이다. 질산 분해법 역시 순수 HCl 가스를 얻는 방법이 아니다.

아세톤과 페놀(2몰)을 염산과 같은 산 촉매 하에서 축합 반응시키면 비스페놀 A(Bisphenol A)가 생성된다.

비스페놀 A는 폴리카보네이트·에폭시 수지의 주요 원료로 널리 쓰이며, 아세토페논·벤조페논·벤질알코올은 이 반응의 주생성물이 아니다.

물의 순도를 나타내는 비저항의 단위는 Ω·cm(옴·센티미터)이다.

비저항이 클수록 이온성 불순물이 적어 순도가 높은 물임을 의미하며, 초순수는 이 값이 매우 크게 나타난다.

질산형 연료전지는 실제로 존재하지 않는 형태로, 연료전지 분류 체계에 포함되지 않는다.

연료전지는 전해질 종류에 따라 인산형(PAFC), 용융탄산염형(MCFC), 알칼리형(AFC) 등으로 분류되며, 이들은 모두 실제 사용되는 형식이다.

접촉분해(촉매 크래킹)가 열분해보다 방향족과 이소파라핀을 더 많이 생성한다는 것이 옳은 설명이며, 이를 반대로 뒤바꿔 서술한 항목이 옳지 않은 설명이다.

열분해는 자유라디칼 연쇄반응이라 직쇄상 물질이 상대적으로 많이 남는 반면, 접촉분해는 산 촉매의 카르보늄이온 메커니즘을 거치며 이성질화·고리화가 촉진되어 방향족·이소파라핀 비율이 높아진다.

• 열분해가 자유라디칼에 의한 연쇄반응이라는 설명은 옳다.
• 접촉분해가 촉매를 사용해 열분해보다 낮은 온도에서 분해가 가능하다는 설명은 옳다.
• 접촉분해에서 방향족이 올레핀보다 반응성이 낮다는 설명도 옳다.

LPG는 원래 무취이며 누출 감지를 위해 부취제(메르캅탄류)를 인위적으로 첨가하는 것이므로, 그 자체로 심한 냄새가 난다는 설명은 옳지 않다.

• 주성분이 C3, C4 탄화수소(프로판·부탄)라는 설명은 옳다.
• 상온·상압에서 기체 상태라는 설명은 옳다.
• 가압하거나 냉각시켜 액화한다는 설명도 옳다.

불순물(도펀트)을 첨가하면 캐리어 농도가 늘어 전기전도도가 높아지고 저항은 감소하므로 이 설명이 옳다.

• 진성반도체는 온도가 오를수록 열에너지로 생성되는 캐리어가 늘어 전기전도도가 증가하므로 반대로 서술되었다.
• p형 반도체는 Si에 Ⅲ족(3가) 원소를 첨가한 것이며, Ⅴ족 원소를 첨가하면 n형이 된다.
• LED는 p형과 n형을 접합한 p-n 접합 소자이므로 n형만 이용한다는 설명은 틀렸다.

화학기상증착법(CVD) 등으로 불순물을 웨이퍼 내부로 도입하는 공정은 확산(diffusion)이며, 이온주입(ion implantation)은 가속된 이온을 빔 형태로 직접 주입하는 별개의 물리적 공정이므로 이 설명은 옳지 않다.

• 감광되지 않은 부분을 제거하는 에칭 공정을 건식·습식으로 나눈다는 설명은 옳다.
• 감광성 고분자로 회로패턴을 전사하는 리소그래피 설명도 옳다.
• 잔류물·오염물을 제거하는 세정 공정을 건식·습식으로 나눈다는 설명도 옳다.

빛의 파장과 주파수의 관계식은 $c = \lambda \nu$이므로, 주파수는 $\nu = \frac{c}{\lambda}$이다. 주어진 값을 대입하면 $\nu = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{600 \times 10^{-9} \text{ m}} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \times 10^{15} = 5 \times 10^{14} \text{ Hz}$이다. 따라서 주파수는 5×10¹⁴ Hz이다.

혼합흐름(CSTR) 반응기의 물질수지로 반응속도를 구하면 공간시간은 $\tau = \dfrac{V}{v_0} = \dfrac{2\ \mathrm{L}}{2\ \mathrm{L/min}} = 1\ \mathrm{min}$이다.

따라서 $-r_A = \dfrac{C_{A0}-C_A}{\tau} = \dfrac{0.2-0.02}{1} = 0.18\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}$로 계산된다.

A는 지수적으로 0까지 감소하고 R은 최댓값을 찍은 뒤 다시 감소하며 S만 계속 증가하는 그래프가 옳다.

k₁ = k₂ = k인 A→R→S에서 농도는
C_A = C_A0e^−kt, C_R = C_A0ktㆍe^−kt, C_S = C_A0(1 − e^−kt − ktㆍe^−kt)

중간체 R은 t = 1/k에서 최대 C_A0/e ≈ 0.368C_A0를 지난 뒤 0으로 떨어지고, 최종적으로 초기 A가 전부 S로 바뀐다. S가 처음에 기울기 0에서 출발하는 유도기(induction period)도 직렬반응의 특징이다.

• A가 0까지 내려가지 않고 A·R·S가 각각 일정한 값으로 나란히 수렴하는 그래프: 평형에 도달한 가역반응 모습이라 비가역 직렬반응과 다르다.
• R이 꼭짓점 없이 일정한 값을 유지하는 그래프: 중간체가 더 이상 소모되지 않는다는 뜻이라 두 번째 단계가 없는 셈이다.

자동촉매반응은 생성물이 촉매 역할을 해 전화율이 낮은 초반에는 반응속도가 느리고 전화율이 어느 정도 오른 뒤 속도가 빨라지는 특성을 가진다.

따라서 전화율이 낮은 구간에서는 반응기 전체를 미리 섞어 내부 농도를 높게 유지하는 혼합흐름 반응기(CSTR)가 유리하고, 전화율이 높아진 뒤에는 관형 반응기가 더 유리해진다.

어느 한 쪽이 전화율과 무관하게 항상 유리하다는 설명은 성립하지 않는다.

동일한 평균체류시간(공간시간)에서 반응차수 $n>0$인 반응은 전화율이 오를수록 반응속도가 느려지므로, 반응기 전체에서 농도(구동력)를 높게 유지하는 관형 반응기(PFR)가 혼합반응기(CSTR)보다 더 큰 전화율을 얻는다.

즉 $n>0$이면 $X_p > X_m$이 성립하며, 이 부등호는 반응차수와 무관하게 항상 성립하는 것이 아니라 양의 차수 조건에서 성립한다.

C_A 는 낮게, C_B 는 높게 유지해야 하므로, B 를 관형 반응기 입구로 한꺼번에 넣고 A 를 관 길이를 따라 여러 지점에서 조금씩 나눠 공급하는 배치가 부반응을 가장 잘 억제한다.

두 속도식의 비가 곧 선택도다.
r_R/r_S = (k₁C_A^0.3C_B) / (k₂C_A^1.8C_B^0.5) = (k₁/k₂)·C_B^0.5 / C_A^1.5

C_A 의 지수가 −1.5 로 음수라 A 농도가 낮을수록, C_B 의 지수가 +0.5 로 양수라 B 농도가 높을수록 원하는 R 쪽이 유리해진다.

• A 를 입구로 넣고 B 를 나눠 공급하는 배치: C_A 는 높고 C_B 는 낮아져 정반대로 부반응이 커진다.
• A·B 를 함께 관 입구로 넣는 배치: 입구에서 C_A 가 최대가 되어 S 생성이 집중된다.
• A·B 를 함께 넣는 교반 혼합흐름 반응기: C_A 는 낮출 수 있으나 C_B 도 같이 낮아져 C_B^0.5/C_A^1.5 를 최대로 만들지 못한다.

1차 반응의 전화율은 −ln(1−X_A) = kt 관계를 따르므로, X_A 가 반응시간에 정비례한다는 설명이 옳지 않다.

−dC_A/dt = kC_A 를 적분하면 C_A=C_A0e^−kt, 즉 X_A=1−e^−kt 이다. 시간이 길어질수록 증가폭이 줄며 1 에 점근하므로 직선(정비례)이 아니다. 전화율이 시간에 정비례하는 것은 0차 반응의 특징이다.

나머지 설명은 모두 성립한다.

• 속도식이 −r_A=kC_A 이므로 반응속도는 A 의 농도에 정비례한다.
• −ln(C_A/C_A0) 를 시간에 대해 그리면 원점을 지나는 기울기 k 의 직선이 된다.
• −r_A[mol/L·min] = k·C_A[mol/L] 에서 k 의 차원은 min⁻¹, 곧 시간의 역수이다.

공간시간 $\tau$는 공간속도의 역수이므로 $\tau = 1/(1\ \mathrm{min^{-1}}) = 1\ \mathrm{min}$이다.

반응식 $2A \rightarrow R + 2S$는 2몰이 3몰로 늘어나는 기체 팽창 반응이므로, 반응기 내부의 실제 부피유량이 입구보다 커져 실제 평균체류시간 t는 입구 기준 공간시간 τ보다 짧아진다.

따라서 $\tau = 1\ \mathrm{min}$이고 $t < 1\ \mathrm{min}$인 관계가 된다.

두 CSTR을 직렬 연결해 총 부피를 최소화할 때, 반응차수가 $n>1$이면 전화율이 오를수록 반응속도가 급격히 떨어지므로 작은 반응기를 먼저 배치하고 큰 반응기를 뒤에 두는 쪽이 유리하다.

따라서 차수가 1보다 클 때 큰 반응기를 먼저 놓는다는 설명은 실제와 반대이므로 가장 거리가 먼 설명이다.

• 최적부피가 반응속도식과 목표 전화율에 따라 달라진다는 설명은 타당하다.
• 1차 반응에서는 두 반응기의 크기가 같을 때 총 부피가 최소가 되므로, 부피가 같은 반응기를 사용한다는 설명은 옳다.

B는 공급액에 없고($C_{B0}=0$) 반응으로만 생성되므로, CSTR 물질수지에서 B의 생성속도는 $r_B = \dfrac{C_{Bf}-C_{B0}}{\tau}$로 구한다.

공간시간은 $\tau = V/v_0 = 1\,\mathrm{L}/1\,\mathrm{L/min} = 1\ \mathrm{min}$이므로 $r_B = \dfrac{0.04-0}{1} = 0.04\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}$이며, 부호는 생성을 의미하는 양수(+)가 된다.

$2A \rightarrow R$ 반응에서 순수 A 기준 팽창계수는 $\varepsilon_A=(1-2)/2=-0.5$이고, 공급 혼합물 중 A의 비율이 80%이므로 실제 팽창계수는 $\varepsilon = 0.8\times(-0.5) = -0.4$이다.

정압(등온·등압) 회분 반응은 부피 변화와 전화율이 $V/V_0 = 1+\varepsilon X_A$로 연결되므로, 부피가 20% 줄었다면($V/V_0=0.8$) $1-0.4X_A=0.8$에서 $X_A=0.5$가 된다.

1차 반응은 몰수 변화(부피 변화)와 무관하게 $-\ln(1-X_A)=kt$가 그대로 성립하므로, $k=\dfrac{-\ln(1-0.5)}{2\ \mathrm{min}} = \dfrac{0.693}{2} \approx 0.347\ \mathrm{min^{-1}}$로 계산된다.

화학량론 계수로 나눈 값이 모든 성분에서 같으므로 (−r_A)/2 = (−r_B)/2 = r_R, 곧 −½r_A = −½r_B = r_R 가 옳다.

2A + 2B → R 에서는 R 이 1 몰 생길 때 A 와 B 가 각각 2 몰씩 소모된다. 따라서 −r_A = −r_B = 2r_R 이고, 양변을 2 로 나누면 위 관계식이 된다.

• −r_A=−r_B=r_R: A 소모속도와 R 생성속도를 같게 두어 계수 2 를 무시한 형태다.
• −2r_A=−2r_B=r_R: A 소모속도가 R 생성속도의 절반이라는 뜻이 되어 관계가 거꾸로다.
• 속도를 제곱한 형태: 좌우 차원이 맞지 않아 속도식의 관계로 성립할 수 없다.

밀도 변화가 없는 반응에서는 회분식 반응기의 반응시간과 관형흐름(PFR) 반응기의 공간시간이 같은 전화율에서 서로 같다. 따라서 회분식에서 90% 전화율에 걸린 4시간(=240분)이 그대로 공간시간 $\tau$가 된다.

필요한 반응기 부피는 $V=\tau\times v_0 = 240\ \mathrm{min}\times 3\ \mathrm{m^3/min} = 720\ \mathrm{m^3}$로 계산된다.

반감기가 초기농도와 무관하게 t_1/2 = ln2 / K 로 나오는 차수는 1차 반응뿐이므로 n=1 이다.

−r_A=KC_A 를 적분하면 ln(C_A0/C_A)=Kt 이고, 여기에 C_A=C_A0/2 를 넣으면 ln2 = K·t_1/2 → t_1/2=ln2/K 가 되어 C_A0 가 완전히 소거된다.

n≠1 인 일반 n차에서는 t_1/2 = (2ⁿ⁻¹−1) / [K(n−1)C_A0ⁿ⁻¹] 이라 초기농도가 반드시 식에 남는다. 실제로 2차는 1/(KC_A0), 3차는 3/(2KC_A0²), 1/2차는 (2−√2)√C_A0/K 로 모두 C_A0 에 의존한다.

ln k–1/T 선도가 왼쪽(고온)에서 가파르게 떨어지다가 오른쪽(저온)으로 갈수록 완만해지는 아래로 볼록한 곡선이 평행반응에 해당한다.

평행반응에서는 활성화에너지가 서로 다른 두 경로가 동시에 진행되어 겉보기 속도상수가 $k=k_{1}+k_{2}$로 합쳐진다. 그러면 겉보기 활성화에너지는 두 값의 가중평균이 되어 온도에 따라 변하고, 기울기 -E/R도 함께 달라진다.

고온(1/T가 작은 왼쪽)에서는 활성화에너지가 큰 경로가 지배해 기울기가 가파르고, 저온(1/T가 큰 오른쪽)에서는 활성화에너지가 작은 경로가 지배해 기울기가 완만해진다. 그래서 직선이 아니라 휘어진 곡선이 나온다.

• 기울기가 일정한 직선은 경로가 하나뿐인 단일 기본반응을 뜻한다.
• 왼쪽이 완만하고 오른쪽에서 급격히 꺾여 떨어지는 곡선은 기울기 변화 방향이 반대라 평행반응과 맞지 않는다.
• 중간에 최댓값을 갖는 꺾은선은 온도를 올릴 때 오히려 속도가 감소하는 구간이 있다는 뜻이라 단순 평행반응으로 설명되지 않는다.

관형(미분형, plug flow) 반응기는 모든 유체 요소가 동일한 시간 동안 머무르는 것이 이상적이므로 체류시간 분포가 가장 좁게 나타난다.

• 완전 혼합형(CSTR) 반응기는 유입 즉시 전체 부피와 섞이므로 체류시간 분포가 넓은 지수함수 형태를 띤다.
• 재순환(recycle)이 더해지면 유체가 반응기를 여러 차례 거치게 되어 혼합형이든 관형이든 분포가 더 넓어진다.

완전 혼합(perfect mixing)이 이루어지는 혼합흐름(CSTR) 반응기는 유입되는 순간 반응기 전체 부피와 즉시 균일하게 섞인다고 가정하므로, 반응기 내부 농도는 출구 농도와 항상 일치한다.

이 가정 덕분에 CSTR을 하나의 균일한 상태로 놓고 물질수지를 세울 수 있다.

두 반응 모두 A에 대해 1차이므로 A의 소모 속도는 $-\dfrac{dC_A}{dt}=(k_1+k_2)C_A$로 합쳐진 1차 반응처럼 진행된다.

전화율 90%, 반응시간 60분으로부터 $(k_1+k_2)\times60=\ln10=2.303$이므로 $k_1+k_2=0.03838\,\mathrm{min^{-1}}$이다.

S는 A 1몰당 2몰씩 생성되므로 R과 S의 몰비가 10.1이라는 조건은 $\dfrac{k_1}{2k_2}=10.1$, 즉 $k_1=20.2\,k_2$를 의미한다.

두 식을 연립하면 $21.2\,k_2=0.03838$에서 $k_2=0.00181$이고, 따라서 $k_1=0.0366\,\mathrm{min^{-1}}$이 된다.

미카엘리스-멘텐 반응속도식은 $-r_A = \dfrac{V_{max}[A]}{[M]+[A]} = \dfrac{k[E_0][A]}{[M]+[A]}$로, [M]은 분모에 들어 있어 값이 커질수록 반응속도는 오히려 낮아진다. 따라서 반응속도가 미카엘리스 상수 [M]에 비례한다는 설명은 틀렸다.

• 속도가 전체 효소농도 [E0]에 비례한다는 설명은 옳다($V_{max}=k[E_0]$).
• [A]가 [M]보다 훨씬 작을 때는 [A]에 비례하는 1차 반응이 된다는 설명도 옳다.
• [A]가 [M]보다 훨씬 클 때는 [A]와 무관한 0차 반응에 가까워진다는 설명도 옳다.

1차 반응에서 전화율 80% 를 얻는 데 필요한 부피는 혼합흐름 반응기가 압출류 반응기의 약 2.5배다.

압출류 반응기(PFR): kτ_p = ln[1/(1−X_A)] = ln(1/0.2) = ln5 = 1.609

혼합흐름 반응기(MFR): kτ_m = X_A/(1−X_A) = 0.8/0.2 = 4

처리 유량과 k 가 같으므로 부피비는 공간시간의 비와 같아 V_MFR/V_PFR = 4/1.609 ≒ 2.5 다. 혼합흐름 반응기는 내부 농도가 낮은 출구 농도로 균일해져 반응속도가 느리므로 같은 전화율에 항상 더 큰 부피가 필요하다.

기초반응이므로 $A\rightarrow 2R$의 속도식은 1차인 $-r_A=kC_A$이며, 부피가 일정한 회분식 반응기에서는 $-\ln(1-X_A)=kt$가 성립한다.

전화율 80%, 10분 데이터를 대입하면 $k=\dfrac{-\ln(1-0.8)}{10} = \dfrac{1.609}{10}\approx 0.161\ \mathrm{min^{-1}}$이다.

순수 A 기준 몰수 팽창계수는 $\varepsilon_A=(2-1)/1=1$이며, 혼합흐름(CSTR) 설계식 $k\tau=\dfrac{X_A(1+\varepsilon_A X_A)}{1-X_A}$에 $k\approx0.161,\ \tau=10$을 대입해 풀면 전화율은 약 51.5%로 계산된다.