단열·가역 팽창이면 열 출입도 비가역성도 없으므로 엔트로피는 변하지 않는다(등엔트로피 과정).

출구 압력(30psia)과 입구와 같은 엔트로피 값을 알고 있으므로, 수증기표나 몰리에 선도에서 이 두 값이 만나는 상태점을 찾으면 출구가 과열증기인지 습증기인지, 습증기라면 건도가 얼마인지까지 특정할 수 있다.

따라서 기체인지 액체인지 알 수 없다는 설명이 틀렸다.

그림은 T–S 선도로, 종 모양 곡선(포화선) 안쪽이 액체와 증기가 공존하는 영역이다. 점 A에서 출발하는 경로 가운데 오른쪽 아래로 뻗어 포화선에서 멀어지는 경로만 끝까지 기체로 남아 액화가 일어나지 않는다.

A에서 왼쪽 아래로 내려가는 경로와 A에서 수직으로 곧장 내려가는 경로(엔트로피 일정, 등엔트로피 팽창)는 모두 도중에 포화증기선을 가로질러 공존영역 안으로 들어간다. 공존영역에 들어서는 순간 액상이 나타나므로 액화가 진행된다.

A를 위로 압축해 B로 보낸 뒤 A′까지 냉각하고 다시 팽창시키는 경로도 최종 상태가 포화선 내부에 놓인다. 임계점 부근까지 식힌 다음 팽창시키는, 실제 기체 액화공정의 전형적인 경로다.

반면 A에서 엔트로피가 커지는 오른쪽 아래 방향으로 가는 경로는 포화선과 만나지 않고 과열증기 영역에만 머물러, 온도가 내려가도 액체가 생기지 않는다.

건도 x인 습증기의 비엔트로피는 액체 성분과 증기 성분의 엔트로피를 질량분율로 가중평균한 값이다.

$S=S_V x+S_L(1-x)$

건도 x는 전체 습증기 중 증기가 차지하는 질량비이므로, 증기 성분에는 x를, 액체 성분에는 (1-x)를 곱해 더하면 된다.

깁스 상률 $F=C-P+2$를 성분 수 C=3, 상의 수 P=2(기상·액상)인 계에 적용하면 자유도(F)는 3이 된다.

따라서 3성분계의 기-액 평형을 완전히 계산하려면 온도·압력·조성 중 최소 3개의 독립변수를 지정해야 한다.

열의 일당량은 1kcal의 열에 해당하는 일의 크기이므로 427kgf·m/kcal이다.

1kcal=4,186J, 1kgf·m=9.8J이므로 $\dfrac{4186}{9.8}\approx 427$이 되고, 단위는 (일)/(열)인 kgf·m/kcal 형태여야 한다.

• 단위는 같아도 계수가 $\dfrac{1}{427}$인 값은 크기가 427배 작아 열의 일당량이 될 수 없다.
• 분모가 열 단위(kcal)가 아니라 힘 단위(kgf)인 형태는 '열 1kcal당 일'이라는 정의 자체가 성립하지 않는다.
• $\dfrac{1}{427}$은 역수인 일의 열당량 A의 값이지만 A의 단위는 $\mathrm{kcal/(kgf\cdot m)}$다. m이 분자로 올라간 $\mathrm{kcal\cdot m/kgf}$는 어느 쪽 환산에도 맞지 않는다.

주어진 식은 van't Hoff 식으로, ΔH°가 일정한 구간에서 적분하면 직선의 기울기는 $-\dfrac{\Delta H^{\circ}}{R}$이고 가로축도 T가 아니라 1/T여야 한다. 기울기를 $\dfrac{\Delta H^{\circ}}{R^{2}}$로 쓴 설명이 틀렸다.

적분형이 $\ln K=-\dfrac{\Delta H^{\circ}}{R}\cdot\dfrac{1}{T}+C$이므로 lnK를 1/T에 대해 그려야 직선이 되며, 기체상수는 1제곱으로만 들어간다.

• 좌변이 $\dfrac{d\ln K}{dT}$이므로 온도에 따른 평형상수의 변화를 나타낸다.
• 발열반응은 ΔH°<0이라 우변이 음수가 되어 온도가 오르면 K가 감소한다.
• 서로 다른 두 온도에서 K를 측정하면 이 식으로 ΔH°를 구할 수 있다.

이상기체의 퓨개시티계수는 1이므로, 증기를 이상기체로 볼 수 있으면 $\phi_i^{\mathrm{sat}}=1$이라는 설명이 옳다. 퓨개시티계수는 $\phi=f/P$로 정의되는데 이상기체는 f=P이기 때문이다.

나머지는 정의식이 어긋난다.

• 이상용액은 루이스–랜덜 법칙 $\hat{f}_i^{\,l}=x_i f_i^{\,l}$을 따른다. 여기에 퓨개시티계수를 한 번 더 곱한 형태는 성립하지 않는다.
• 루이스–랜덜 법칙 자체는 $\hat{f}_i=x_i f_i$이며, $f_i^{\mathrm{sat}}/P$는 법칙이 아니라 퓨개시티계수의 정의다.
• 라울의 법칙은 $y_iP=x_iP_i^{\mathrm{sat}}$, 즉 $y_i=\dfrac{x_iP_i^{\mathrm{sat}}}{P}$이므로 액상 몰분율 $x_i$가 빠지면 안 된다.

가역단열 과정에서는 계와 외부 사이에 열 출입이 없고(단열) 비가역성도 없으므로(가역), 엔트로피 변화가 0이 되어 등엔트로피 과정과 같다.

생성된 CO₂ 몰수만큼만 분해되므로, 남은 CaCO₃는 약 47%다.

고체의 활동도는 1이라 평형상수가 곧 CO₂ 분압이다.
$P_{\mathrm{CO_2}}=K_P=1.3\,\mathrm{atm}$
$n_{\mathrm{CO_2}}=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{1.3\times 10}{0.082\times 1000}=0.159\ \mathrm{mol}$

처음 넣은 양은 $\dfrac{30}{100}=0.3\ \mathrm{mol}$이고 분해량이 CO₂ 몰수와 같으므로 남은 양은 $0.3-0.159=0.141\ \mathrm{mol}$이다.

따라서 $\dfrac{0.141}{0.3}\times100\approx 47\%$. 727℃를 1000K로 환산하고 R=0.082 L·atm/(mol·K)를 쓰는 것이 계산의 핵심이다.

이상기체의 내부에너지는 압력이나 부피에 관계없이 온도만의 함수이다(줄의 법칙).

분자 간 상호작용을 무시하는 이상기체 모델에서는 내부에너지가 오로지 분자의 운동에너지, 즉 온도에만 의존하기 때문이다.

퓨개시티는 압력이 0으로 갈 때 이상기체 거동으로 수렴해야 하므로 $\lim_{P\to 0}\dfrac{f}{P}=1$이다. 이 극한을 ∞라고 한 설명이 틀렸다.

퓨개시티는 이상기체 압력을 대신해 실제기체에 쓰도록 도입한 보정된 압력이며, 정의상 압력과 같은 차원을 갖는다.

이상기체의 $dG_i=RT\dfrac{dP}{P}$에서 P 자리에 퓨개시티를 넣은 $dG_i=RT\dfrac{df}{f}$가 실제기체에 적용된다는 설명도 옳다.

이상용액에서는 용액 중 성분 i의 퓨개시티계수가 순수 i의 퓨개시티계수와 같아진다. 즉 $\hat{\phi}_i=\phi_i$가 이상용액의 성질이다.

이상용액은 루이스–랜덜 법칙 $\hat{f}_i=x_i f_i$를 따르므로, 양변을 $x_iP$로 나누면 $\hat{\phi}_i=\dfrac{\hat{f}_i}{x_iP}=\dfrac{f_i}{P}=\phi_i$가 된다.

• $\hat{\phi}_i=1$은 이상기체 혼합물의 조건이지 이상용액의 조건이 아니다.
• 이상용액은 활동도계수가 1이므로 $\ln\gamma_i=0$이고, 활동도가 $\hat{a}_i=x_i$이므로 $\ln(\hat{a}_i/x_i)=0$이다. 두 값 모두 1이 아니라 0이다.

카르노 효율 공식으로 절대온도를 대입하면 필요한 공급 열량을 구할 수 있다.

$\eta=1-\dfrac{T_C}{T_H}=1-\dfrac{303}{393}\approx0.229$

$Q_H=\dfrac{W}{\eta}=\dfrac{1000}{0.229}\approx4{,}367\,\mathrm{J}$이므로, 열원에서 공급해야 하는 열량은 약 4,367J이다.

퓨개시티는 계의 압력에 퓨개시티 계수를 곱해 구한다.

$f=\varphi P=0.9415\times10.2\,\mathrm{atm}\approx9.6\,\mathrm{atm}$

화학포텐셜은 몰당 에너지이므로 단위가 J/mol 형태이고, 압력 단위인 kPa로 표시된다는 설명이 틀렸다.

정의가 $\mu_i=\left(\dfrac{\partial (nG)}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_j}=\left(\dfrac{\partial (nA)}{\partial n_i}\right)_{T,nV,n_j}$이므로, 분자는 에너지·분모는 몰수라서 차원이 에너지/몰이 된다.

상평형 조건은 각 상에서 성분별 화학포텐셜이 같아지는 것이므로, 평형에서 각 성분의 값이 같아진다는 설명도 옳다.

등온가역 일은 $W=RT\ln\dfrac{P_1}{P_2}$이고, 비리얼 상수 B는 식에 남지 않는다.

$Z=\dfrac{PV}{RT}=1+BP$에서 $V=\dfrac{RT}{P}+BRT$인데, 등온이므로 BRT는 상수라 미분하면 사라진다.
$dV=-\dfrac{RT}{P^{2}}dP$

$W=\int P\,dV=\int_{P_1}^{P_2}P\left(-\dfrac{RT}{P^{2}}\right)dP=-RT\ln\dfrac{P_2}{P_1}=RT\ln\dfrac{P_1}{P_2}$

결국 이상기체와 같은 형태가 되므로, 뒤에 B나 BRT가 더해지거나 앞에 1이 붙은 식은 성립하지 않는다.

이 상태식에서는 $\phi=\exp\left(\dfrac{bP}{RT}\right)$가 된다.

$P=\dfrac{RT}{V-b}$를 V에 대해 풀면 $V=\dfrac{RT}{P}+b$이고, 압축인자는 $Z=\dfrac{PV}{RT}=1+\dfrac{bP}{RT}$이다.

퓨개시티계수 정의식에 넣으면
$\ln\phi=\int_{0}^{P}\dfrac{Z-1}{P}dP=\int_{0}^{P}\dfrac{b}{RT}dP=\dfrac{bP}{RT}$
따라서 $\phi=\exp\left(\dfrac{bP}{RT}\right)$.

지수 안에 1이 더해진 형태는 P→0에서 φ→1이라는 조건을 어기고, 상수 b가 빠지거나 b가 P와 더해진 형태는 위 적분 결과와 맞지 않는다.

깁스 상률 $F=C-P+2$에서 성분 수 C=1(요오드), 상의 수 P=2(고체·증기)이므로 자유도는 $1-2+2=1$이 된다.

따라서 이 평형계는 온도(또는 압력) 중 1개의 변수만 정하면 나머지 상태가 모두 결정된다.

정용 가열에서 압력 변화는 부피팽창률(β)과 등온압축률(κ)의 비로 근사할 수 있다.

$\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V=\dfrac{\beta}{\kappa}$

$\Delta P\approx\dfrac{\beta}{\kappa}\Delta T=\dfrac{1.488\times10^{-3}}{6.2\times10^{-5}}\times10\approx240\,\mathrm{atm}$이므로, 초기 압력 1atm에 더하면 최종 압력은 약 241atm이 된다.

대응상태 원리는 대비온도·대비압력이 같으면 같은 상태라는 뜻이므로, B의 대응 상태는 T=481.6K, P=107.8kPa, V≈36,200cm³/mol이다.

먼저 A의 대비값을 구한다.
$T_r=\dfrac{300}{190}=1.579$
$P_r=\dfrac{101.325}{4600}=0.02203$

같은 대비값을 B의 임계값에 적용하면
$T_B=1.579\times 305=481.6\,\mathrm{K}$
$P_B=0.02203\times 4900=107.8\,\mathrm{kPa}$

대응상태에서는 압축인자도 같으므로 $Z=\dfrac{101.325\times 24000}{8314\times 300}=0.975$이고,
$V_B=\dfrac{ZRT_B}{P_B}=\dfrac{0.975\times 8314\times 481.6}{107.8}\approx 36{,}200\ \mathrm{cm^3/mol}$
즉 온도·압력이 A와 같다고 본 답이나 부피를 26,215로 본 답은 성립하지 않는다.

원료·증기·잔류액 사이의 물질수지(지렛대 관계)를 세우면 증발된 비율을 구할 수 있다.

원료 100mol 기준, 증기량을 V라 하면 $100\times0.5=0.57V+0.27(100-V)$이고, 이를 풀면 $V\approx76.67\,\mathrm{mol}$이다.

따라서 원 용액의 약 76.66%가 증발한 것이 된다.

열은 상태량이 아니라 계가 어떤 경로를 거쳐 변하는지에 따라 그 양이 달라지는 경로함수이다.

반면 내부에너지·압력·엔탈피는 계의 현재 상태만으로 값이 정해지는 상태함수이므로 경로에 무관하다.

15℃ 포화용액 100kg 중 물의 양을 구한 뒤, 65℃에서 그 물에 더 녹을 수 있는 NaCl 양과의 차이를 계산하면 된다.

15℃ 용해도(6.12kmol/1,000kg H₂O)를 질량비로 환산하면 용액 100kg 중 물은 약 73.66kg, NaCl은 약 26.34kg이다.

65℃ 용해도(6.37kmol/1,000kg H₂O)로 같은 양의 물에 대한 포화 NaCl량을 구하면 약 27.43kg이므로, 추가로 녹일 수 있는 양은 약 1.1kg이다.

초기 100kg 솜(수분 80kg, 고형분 20kg) 기준으로 수분의 60%가 제거되면 남은 수분과 전체 질량으로부터 수분함량을 구할 수 있다.

제거된 수분은 $0.6\times80=48\,\mathrm{kg}$이므로 남은 수분은 32kg, 전체 질량은 $100-48=52\,\mathrm{kg}$이다.

따라서 건조된 솜의 수분함량은 $\dfrac{32}{52}\approx61.5\%$이다.

강관의 단면적에 가스 속도를 곱해 부피유량을 구한 뒤 밀도를 곱하면 질량유량을, 여기에 하루 초 수를 곱하면 1일 배출가스량을 구할 수 있다.

$A=\dfrac{\pi}{4}(26\,\mathrm{cm})^2\approx530.9\,\mathrm{cm^2}$, $Q=A\times v\approx80{,}900\,\mathrm{cm^3/s}$

질량유량은 $80{,}900\times0.0012\approx97.1\,\mathrm{g/s}$이고, 하루(86,400초) 동안 누적하면 약 8.4ton/day가 된다.

주어진 질량비를 원자량으로 나눈 몰비로부터 분자식은 C₇H₅NO임을 알 수 있다.

각 원소의 몰수는 C: 70.6/12=5.88, H: 4.2/1=4.2, N: 11.8/14=0.84, O: 13.4/16=0.84이며, 가장 작은 값(0.84)으로 나누면 C:H:N:O ≈ 7:5:1:1이 된다.

이 실험식의 화학식량은 7×12+5×1+14+16=119로 주어진 분자량과 일치하므로 실험식이 곧 분자식이다.

표준상태(0℃, 1atm)에서 이상기체 100kg의 부피는 약 75m³이다.

몰수는 $n=\dfrac{100\,\mathrm{kg}}{30\,\mathrm{kg/kmol}}=3.33\,\mathrm{kmol}$이고, 표준상태의 몰부피 22.4m³/kmol을 곱하면 $V=3.33\times22.4\approx75\,\mathrm{m^3}$이 된다.

980N은 100kgf에 해당한다.

중력가속도 $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$를 사용하면 $1\,\mathrm{kgf}=9.8\,\mathrm{N}$이므로, $980\,\mathrm{N} \div 9.8 = 100\,\mathrm{kgf}$이다.

액체의 질량은 약 80.2kg이다.

원통의 부피는 밑면적 930cm²와 높이 0.75m(=75cm)를 곱해 $V=930\times75=69{,}750\,\mathrm{cm^3}$이 된다.

여기에 밀도 1.15g/cm³를 곱하면 $m=69{,}750\times1.15\approx80{,}212\,\mathrm{g}\approx80.2\,\mathrm{kg}$이다.

다단 압축기에서 각 단의 압축비가 동일하도록 설계하면 전체 압축비의 n제곱근이 각 단의 압축비가 된다.

3단으로 1기압에서 64기압까지 압축하므로 $r=\sqrt[3]{64/1}=\sqrt[3]{64}=4$이며, 각 단의 압축비는 4이다.

Bond의 파쇄법칙에 따르면 파쇄에 필요한 일은 입자의 부피에 대한 표면적비의 제곱근(√(s/u))에 비례한다.

입자의 비표면적 s/u는 입자 지름 D_p에 반비례하므로, Bond 법칙의 소요일은 결국 $1/\sqrt{D_p}$에 비례하는 형태가 된다.

관 양단의 압력차는 약 0.4기압이다.

마노미터 압력차 공식 $\Delta P=(\rho_{Hg}-\rho_{water})\,g\,h$에 $\rho_{Hg}-\rho_{water}=12{,}600\,\mathrm{kg/m^3}$, $h=0.33\,\mathrm{m}$를 대입하면 $\Delta P=12{,}600\times9.8\times0.33\approx40{,}748\,\mathrm{Pa}$이다.

이를 표준대기압(101,325Pa)으로 나누면 약 $0.4$기압이 된다.

정류부 조작선은 y=0.6x+0.384이다.

정류부 조작선의 일반식은 $y=\dfrac{R}{R+1}x+\dfrac{x_D}{R+1}$이며, 기울기는 $\dfrac{1.5}{1.5+1}=0.6$, 절편은 $\dfrac{0.96}{2.5}=0.384$이다.

건조 특성곡선에서 항율 건조기간이 끝나고 감율 건조기간이 시작되는 지점의 함수율을 임계함수율(critical moisture content)이라 한다.

이 지점 이후로는 고체 표면의 자유수분이 부족해져 건조속도가 함수율에 따라 감소하는 감율기간으로 전환된다.

항복응력(임계전단응력) 이상에서만 흐르기 시작하는 유체를 빙햄가소성 유체(Bingham plastic fluid)라 한다.

임계전단응력 이하에서는 고체처럼 거동하다가, 이를 초과하면 유체로서 흐르기 시작하는 것이 특징이다.

10시간 동안 잃은 열량은 약 62,857kcal이다.

복합벽의 정상상태 열전달률은 $q=\dfrac{A\,\Delta T}{\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}}$이며, $\dfrac{L_1}{k_1}=\dfrac{0.15}{3.0}=0.05$, $\dfrac{L_2}{k_2}=\dfrac{0.10}{0.1}=1.0$이다.

$q=\dfrac{10\times(700-40)}{0.05+1.0}=\dfrac{6600}{1.05}\approx6285.7\,\mathrm{kcal/h}$이며, 10시간이면 $6285.7\times10\approx62{,}857\,\mathrm{kcal}$이다.

롤 지름은 약 18.4cm다.

마찰계수는 물림각 α의 탄젠트와 같으므로 $\tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$에서 α=30°, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0.866$이다.

롤 반지름 R, 원료 반지름 $r_1=2\,\mathrm{cm}$, 제품 반지름 $r_2=0.5\,\mathrm{cm}$를 물림 조건에 넣으면
$\cos\alpha=\dfrac{R+r_2}{R+r_1}$
$0.866=\dfrac{R+0.5}{R+2}$

정리하면 $0.134R=1.232$, $R\approx 9.2\,\mathrm{cm}$이므로 지름 = 2R ≈ 18.4cm이다. 반지름 9.2cm를 그대로 답으로 고르지 않도록 주의한다.

침수식 수직관식 증발관은 수평관식보다 열전달계수가 크고 청소가 쉬우며 증발효과가 우수하지만, 비응축 기체의 탈기 측면에서는 오히려 불리하다.

증기 중 비응축 기체의 탈기(배출)가 잘 된다는 점은 수평관식 증발관의 장점으로 꼽히는 항목이므로, 수직관식이 수평관식보다 나은 이유로는 볼 수 없다.

충전탑에서 기체속도를 높이면 탑내 액정체량(hold up)이 증가하고 압력손실이 급격히 커지면서 액체의 하강이 방해받기 시작하는데, 이 시점의 속도를 부하속도(loading velocity)라 한다.

기체속도를 더 높이면 액체가 아예 아래로 흐르지 못하고 넘쳐 올라오는 범람점(flooding point)에 이르므로, 문제에서 설명하는 초기 방해 시점은 그 전 단계인 부하속도에 해당한다.

탱크 단면적이 일정하므로 액위는 시간에 1차(선형)로 증가하고, 그 라플라스 변환은 0.0025/s²가 된다.

물질수지는 A·dh/dt = f(t)이다. 유입유량 10 L/min = 0.01 m³/min이므로
dh/dt = 0.01 ÷ 4 = 0.0025 m/min(시간에 무관한 상수).

빈 탱크에서 출발하므로 h(0)=0이고, 양변을 적분하면 h(t) = 0.0025t [m]이다.

t의 라플라스 변환이 1/s²이므로 H(s) = 0.0025/s²가 된다. 액위가 t²에 비례하려면 유입유량이 시간에 비례해 늘어나야 하고, H(s)의 분모가 s의 1승이면 h(t)가 상수(계단)라는 뜻이므로 문제 조건과 맞지 않는다.

감쇠계수 ζ가 정확히 1이므로 이 계의 단위계단응답은 임계 감쇠(critically damped)이다.

분모 s²+3s+2.25를 표준형 τ²s²+2ζτs+1로 맞추기 위해 2.25로 나눈다.
(1/2.25)s² + (3/2.25)s + 1 → τ² = 1/2.25, 즉 τ = 1/1.5 = 0.667
2ζτ = 3/2.25 = 1.333 → ζ = 1.333 ÷ (2×0.667) = 1.0

인수분해로 확인해도 s²+3s+2.25 = (s+1.5)²이라 실수 중근이다. 극점에 허수부가 없으므로 응답에 진동 성분이 전혀 없고, 진동 없는 응답 중 가장 빠르게 최종치에 도달한다.

ζ가 1보다 작으면 감쇠하면서 진동하고, ζ=0이면 감쇠 없이 계속 진동하며, ζ가 1보다 크면 과도 감쇠로 느리게 접근한다. 여기서는 ζ가 정확히 1인 경계값이다.

시간지연 θ를 가진 1차계의 전달함수는 G(s) = e^−θs/(τs+1)이다.

지연이 없는 1차계는 1/(τs+1) 꼴이어야 한다. 분모가 τs+1이라야 s=0에서 정상상태 이득이 1이고 s의 계수 τ가 곧 시정수가 된다. 분모를 s+τ로 쓰면 정상상태 이득이 1/τ가 되어 시정수의 정의와 어긋난다.

출력이 θ만큼 늦게 나타나는 시간이동은 라플라스 영역에서 e^−θs를 곱하는 것과 같다. 지수의 부호가 +θs이면 신호가 오히려 θ만큼 앞당겨진다는 뜻이 되어 물리적으로 성립하지 않는다.

표준형으로 정리하면 이 계의 시정수는 2이다.

6 dY/dt = 2X − 3Y에서 Y항을 좌변으로 옮긴다.
6 dY/dt + 3Y = 2X
양변을 Y의 계수 3으로 나누면 2 dY/dt + Y = (2/3)X

1차계 표준형 τ(dY/dt) + Y = K·X와 비교하면 τ = 2, 정상상태 이득 K = 2/3이다.

라플라스로 검산해도 (6s+3)Y = 2X → Y/X = 2/(6s+3) = (2/3)/(2s+1)이므로, 분모에서 s에 곱해진 2가 곧 시정수다. Y의 계수로 나누지 않고 6이나 3을 그대로 읽으면 틀린다.

개루프에 불안정한 극점이 없을 때는 Nyquist 선도가 (−1, 0)점을 에워싸는 경우가 불안정이다. 즉 선도가 음의 실축을 자르는 점이 −1 눈금보다 더 왼쪽(원점에서 먼 쪽)에 있으면 폐루프가 불안정하다.

불안정에 해당하는 것은 진동하며 감겨 들어오다가 원점으로 들어오기 직전의 실축 교차점이 −1 눈금 바깥쪽(왼쪽)에 놓인 선도다. 위상이 −180°가 되는 주파수에서 진폭비가 1보다 크다는 뜻이므로 제어계가 발산한다.

• 모양은 같지만 마지막 실축 교차가 −1보다 안쪽(원점 쪽)에서 일어나는 선도 — 위상교차 주파수에서 진폭비가 1보다 작아 안정하다.
• 원점 부근에서 고리를 그리는 선도 — 고리가 −1점보다 오른쪽에 있어 −1을 에워싸지 않으므로 안정하다.
• 3사분면에서 원점으로 곧게 들어오는 직선형 선도 — 음의 실축을 원점 외에는 자르지 않아 안정하다.

베르누이 법칙을 이용해 유체의 전압과 정압의 차이(속도수두)로 유속을 구하는 헤드형 차압유량계는 피토관(Pitot tube)이다.

코리올리 유량계는 질량유량을 직접 측정하고, 열선유속계(Hot-wire anemometer)는 대류에 의한 열손실을, 볼텍스슈더는 와류 발생 주파수를 이용하는 방식이라 베르누이 압력차 원리와는 다르다.

1차계 두 개가 직렬로 연결되어 이루어진 2차계는 항상 실근을 갖는 특성방정식을 가지므로 감쇠계수(damping factor)가 1과 같거나 크다(과도감쇠 또는 임계감쇠).

두 시간상수를 τ₁, τ₂라 하면 $\zeta=\dfrac{\tau_1+\tau_2}{2\sqrt{\tau_1\tau_2}}\ge 1$이므로 진동응답이 나타나지 않으며, 전달함수도 1차계 전달함수의 2배와 같은 단순 배수 관계로 표현되지 않는다.

정방향 경로가 G₁G₂, 되먹임 경로가 G₃G₄인 음의 되먹임 구조이므로 C/R = G₁G₂ / (1 + G₁G₂G₃G₄)이다.

선도를 보면 R(s)가 비교점에 (+)로 들어가고, 출력 C(s) 쪽 분기점에서 나온 신호가 G₄와 G₃를 차례로 지나 같은 비교점에 (−)로 되돌아온다. 즉 전향경로 이득은 G₁G₂, 개루프 이득은 G₁G₂G₃G₄다.

식으로 쓰면 C = G₁G₂(R − G₃G₄C)이고, 정리하면
C(1 + G₁G₂G₃G₄) = G₁G₂R

분자가 G₁+G₂나 G₃+G₄가 되려면 두 블록이 병렬로 놓여 합해져야 하는데, 이 선도에서는 모두 직렬이라 곱으로 나타난다. 분모가 1+G₁G₂+G₃G₄가 되는 것도 되먹임 루프가 두 개일 때의 형태라 맞지 않는다.

다단제어에서는 상위(주) 제어기만 오프셋 제거를 위한 적분동작이 필요하며, 하위(부) 제어기는 적분동작 없이 비례동작만으로도 충분한 경우가 많아 두 제어기 모두 적분동작이 필수라는 설명은 옳지 않다.

하위 루프는 지역 외란을 상위 변수에 영향이 미치기 전에 먼저 제거하고 공정의 비선형성을 완화하는 역할을 하므로, 오히려 응답속도가 빠른 것이 중요하다.

초기값이 모두 0이므로 라플라스 변환 결과는 X(s) = 10 / [s(s²+4s−5)]이다.

항별로 변환한다.
d²x/dt² → s²X(s) − s·x(0) − x′(0) = s²X(s)
dx/dt → sX(s) − x(0) = sX(s)
우변의 상수 10 → 10/s

대입해 X로 묶으면
s²X + 4sX − 5X = 10/s
→ X(s)·(s²+4s−5) = 10/s

따라서 X(s) = 10/[s(s²+4s−5)]이다. 우변이 상수 10(계단 성격)이므로 분모에 s가 반드시 하나 남는다는 점이 갈림길이다. 참고로 s²+4s−5 = (s+5)(s−1)이라 양의 근 s=1이 있어 이 계는 발산한다.

임계주파수가 ω_u = 3이므로 임계주기는 2π/3이다.

임계상태는 특성방정식의 근이 허축 위에 있는 경우이므로 s = jω를 대입한다.
(jω)³ + 6(jω)² + 9(jω) + 1 + K_c = 0
→ (−6ω² + 1 + K_c) + j(−ω³ + 9ω) = 0

허수부를 0으로 두면 ω(9 − ω²) = 0이므로 ω_u = 3이다. 실수부를 0으로 두면 임계이득 K_cu = 6×3² − 1 = 53이 함께 구해진다.

임계주기는 P_u = 2π/ω_u = 2π/3이다. ω_u를 9로 잘못 읽으면 주기가 지나치게 짧아지므로, ω²=9에서 ω를 제곱근으로 되돌리는 단계를 빠뜨리지 않아야 한다.

적분동작이 없는 비례(P)형 제어기는 부하변화가 생기면 새로운 정상상태에서 설정치와 차이가 남는 오프셋(off-set)이 발생한다.

I, PI, PID형 제어기는 적분동작이 포함되어 있어 정상상태 오차를 결국 0으로 만들 수 있다는 점에서 차이가 있다.

Kc의 안정 범위는 Kc > -2이다.

특성방정식을 정리하면 $(s+1)(s+2)+K_c=0 \Rightarrow s^2+3s+(2+K_c)=0$이 되고, Routh-Hurwitz 판정법에서는 모든 계수가 양수여야 안정하므로 $2+K_c>0$, 즉 $K_c>-2$이다.

비례제어만 사용하면 설정값 변화에 잔류편차가 남아 offset은 1/(1+K_cA)가 된다.

Servo 문제이므로 외란 입력 T_i는 0으로 두면 선도는 제어기 K_c와 공정 A/(τs+1)이 직렬로 놓인 단위 되먹임 구조가 된다.
T/T_R = [K_cA/(τs+1)] ÷ [1 + K_cA/(τs+1)] = K_cA / (τs + 1 + K_cA)

단위계단 T_R(s) = 1/s를 넣고 최종치 정리를 적용한다.
T(∞) = lim_s→0 s·T(s) = K_cA / (1 + K_cA)

offset = 설정값 − 최종값 = 1 − K_cA/(1+K_cA) = 1/(1 + K_cA)이다. K_c를 키우면 0에 가까워질 뿐 완전히 0이 되지는 않으므로 offset이 0이거나 음수로 나오는 결과는 성립할 수 없다.

측정 가능한 외란이 공정에 영향을 미치기 전에 미리 보상하여 제거하는 제어 방식은 앞먹임 제어(feedforward control)이다.

되먹임 제어는 외란의 영향이 이미 피제어변수에 나타난 뒤에야 대응하므로, 외란을 사전에 측정할 수 있는 경우에는 앞먹임 제어가 더 효과적이다.

초기값 10에서 출발해 지수적으로 0까지 감쇠하므로 답은 X(t) = 10e^−5t이다.

dX/dt + 5X = 0을 변환하면 미분항에서 초기값이 살아난다.
[sX(s) − X(0)] + 5X(s) = 0
→ X(s)(s+5) = 10 → X(s) = 10/(s+5)

1/(s+a)의 역변환이 e^−at이므로 X(t) = 10e^−5t가 된다.

우변이 0이라 외부 입력이 없으므로 t→∞에서 X는 반드시 0으로 수렴해야 한다. 지수항 뒤에 상수가 더해지는 형태는 최종치가 0이 아니어서 성립하지 않고, t=0을 넣어 X(0)=10이 나오는지 확인하면 계수 10도 검산된다.

진동 없이 접근하려면 감쇠계수 ζ가 1 이상이어야 하고, 주어진 값 가운데 그 조건을 만족하는 것은 K = 1뿐이다.

분모를 표준형 τ²s²+2ζτs+1로 맞추기 위해 상수항 (1+K)로 나눈다.
[2/(1+K)]s² + [4/(1+K)]s + 1
→ τ² = 2/(1+K), 2ζτ = 4/(1+K)

두 식을 나누면 ζ = 2 / [(1+K)·τ] = √2 / √(1+K)이고, ζ ≥ 1 조건은 2 ≥ 1+K, 즉 K ≤ 1이 된다.

K = 1이면 ζ = 1로 임계 감쇠가 되어 진동 없이 최종치에 도달한다. K가 2, 3, 4로 커지면 ζ는 각각 약 0.82, 0.71, 0.63으로 1보다 작아져 감쇠하면서 진동하는 응답이 된다.

초기값 y(0)=1이 변환식에 그대로 들어가므로 Y(s) = (s+1) / [s(s+3)]이다.

항별로 변환한다.
dy/dt → sY(s) − y(0) = sY(s) − 1
3y → 3Y(s)
우변의 상수 1 → 1/s

정리하면
sY − 1 + 3Y = 1/s
→ Y(s+3) = 1/s + 1 = (s+1)/s

따라서 Y(s) = (s+1)/[s(s+3)]이다. 초기값이 0이었다면 분자에 1만 남지만, y(0)=1이 있어 분자에 s+1이 만들어진다는 점이 갈림길이다. 우변 상수 1에서 온 1/s 때문에 분모의 s도 반드시 남는다.

측정 가능한 외란이 결과에 영향을 주기 전에 선제적으로 조작변수를 움직이는 방식은 앞먹임(feed-forward) 제어이므로, 스팀 유량 x₁의 변화에 미리 대비하려면 피드백 제어기가 아니라 앞먹임 제어기를 추가해야 한다.

계통도에서 x₁은 스팀 배출관의 유량전송기(FT), x₂는 드럼 액위(LT), x₃는 밸브 V-1을 지난 보일러 급수 유량(FT), x₄·x₅는 버너로 가는 공기·연료 유량(FT), x₆는 드럼의 스팀 압력(PT)이다. 피드백 제어는 x₂·x₆가 실제로 목표값에서 벗어난 뒤에야 동작하므로 선제 대응 자체가 성립하지 않는다.

• 공기·연료·보일러 급수의 공급압력이 흔들리면 밸브 개도가 같아도 유량이 변하므로 공급압력은 외란으로 작용한다.
• x₃·x₄·x₅에 빠른 유량제어 루프를 두고 그 위에 액위·압력 루프를 얹는 다단(cascade) 구성은 외란 억제에 유리하다.
• 공기와 연료는 완전연소를 위해 일정한 비율을 지켜야 하므로 비율(ratio) 제어가 바람직하다.

공정제어는 외란을 극복하고 불안정한 공정을 안정화하며 시운전 시 목표 운전상태에 신속히 도달하도록 돕는 기능을 수행하지만, 공정의 최적 운전조건을 스스로 찾아주는 것은 공정제어의 일반적 기능이 아니다.

최적 운전조건을 탐색하는 것은 제어(control)가 아니라 별도의 공정 최적화(optimization) 영역에 해당한다.

Pt 촉매를 사용하고 NH₃ 농도가 9%일 때 암모니아 산화율이 최대가 되는 O₂:NH₃ 몰비는 약 2.3:1이다.

암모니아 산화 반응(4NH₃+5O₂→4NO+6H₂O)의 이론 몰비는 1.25:1이지만, 실제로는 과잉의 산소를 공급해야 산화가 충분히 진행되어 2.2~2.3 부근에서 산화율이 최대가 된다.

칼륨(가리)비료에 속하는 것은 볏집재(볏짚을 태운 재, 초목회)로, 그 재에는 탄산칼륨(K₂CO₃) 성분이 들어있어 칼륨질 비료로 이용된다.

유안(황산암모늄), 요소, 초안(질산암모늄)은 모두 질소를 공급하는 질소질 비료에 해당한다.

석유 정제용 용제는 추출 성분에 대한 선택성과 용해도가 높고 독성·부식성이 낮아야 하지만, 용제와 추출성분의 비점 차이는 오히려 커야 추출 후 증류로 쉽게 분리·회수할 수 있다.

따라서 "비점 차이가 적어야 한다"는 설명은 용제가 갖추어야 할 조건과 반대되는 내용이다.

실바이나이트(Sylvinite)는 KCl과 NaCl이 대략 1:1 몰비로 함께 산출되는 천연 칼리광물로, NaCl 함량이 약 44wt%이고 나머지는 KCl이다.

NaCl(식량 58.5)과 KCl(식량 74.6)로 계산하면 58.5/(58.5+74.6)≈0.44가 되며, 이 광물은 염화칼륨·가성칼리 등 칼륨화합물 제조의 원료로 이용된다.

암모니아 합성용 수소를 만드는 2차 개질(secondary reforming)에서는 공기를 불어넣어 1차 개질에서 남은 메탄을 산소로 부분산화시키므로, 주반응은 CH₄ + ½O₂ → CO + 2H₂이다.

이때 공기와 함께 들어온 질소가 뒤이은 합성공정에 필요한 N₂:H₂ = 1:3 비율을 맞춰 주고, 발열인 부분산화의 열이 흡열인 개질반응의 온도를 유지시킨다.

• CO + H₂O → CO₂ + H₂는 개질 이후 단계인 CO 전화(수성가스 전이) 반응이다.
• CO₂ + 3H₂ → CH₄ + H₂O + ½O₂ 형태의 식은 수소를 소비하는 방향이라 수소 제조 주반응이 될 수 없다.
• C + O₂ → CO₂는 탄소의 완전연소로, 수소가 전혀 생성되지 않는다.

윤활유 정제에서 방향족 등 불필요한 성분을 선택적으로 추출하는 용제로 Furfural이 널리 사용된다.

벤젠·톨루엔·n-헥산은 오히려 정제 대상이 되는 방향족·탄화수소 성분이거나 선택성이 부족해 윤활유 정제 용제로는 쓰이지 않는다.

아나타제(anatase)와 루틸(rutile) 결정상을 가지며 광촉매로 널리 사용되는 물질은 TiO₂(이산화티타늄)이다.

TiO₂는 자외선을 받으면 강한 산화력을 가진 활성종을 생성해 폐수·유해가스의 광촉매 분해 처리에 이용된다.

고분자의 유리전이온도(Tg)는 시차주사열량법(DSC), 딜라토미터(dilatometry), 동적기계분석(DMA) 등으로 측정하는 것이 일반적이다.

반면 원자현미경(Atomic force microscope)은 표면 형상·나노역학 특성을 관찰하는 장비로, Tg를 구하는 표준적인 측정법에 해당하지 않는다.

범용 플라스틱 중 비중이 가장 작고 폴리에틸렌 필름보다 투명성이 우수한 것은 폴리프로필렌(Polypropylene)이다.

폴리프로필렌은 밀도가 약 0.90~0.91g/cm³로 폴리에틸렌보다 낮으며, 연신 필름으로 가공하면 투명도가 더 높게 나타난다.

플라스틱 분류에서 폴리우레탄수지는 열경화성 수지로 분류된다.

폴리아미드·폴리아세탈·폴리에틸렌수지는 모두 가열하면 연화·용융되어 재성형이 가능한 열가소성 수지에 해당한다.

D.V.S.(탈수값)는 반응 후 남아있는 황산량을 반응 후 존재하는 물의 총량(원래 물+반응 생성수)으로 나눈 값이다.

질산이 전량 반응하므로 생성되는 물의 양은 $24\,\mathrm{kg}\times\dfrac{18}{63}=6.86\,\mathrm{kg}$이다.

반응 후 물의 총량은 $16+6.86=22.86\,\mathrm{kg}$이므로 $\mathrm{D.V.S.}=\dfrac{60}{22.86}=2.63$이 된다.

건조한 염소 가스는 철이나 구리 같은 금속을 거의 부식시키지 않는다.

염소가 금속을 부식시키는 것은 수분과 반응해 염산이 생성되는 습윤 상태에서이며, 이 때문에 건조 염소는 강재 용기와 배관으로도 안전하게 저장·이송할 수 있다.

염소가 식염수 전해로 제조되고 황록색의 유독 기체이며 살균·표백용으로 쓰인다는 설명은 모두 옳다.

초산비닐수지는 선형 고분자 구조를 가져 열을 가하면 연화·용융되는 열가소성 수지이다.

페놀수지, 요소수지, 멜라민수지는 모두 축합 반응으로 3차원 그물(가교) 구조를 형성하는 열경화성 수지로, 한 번 경화되면 다시 가열해도 녹지 않는다.

분해가솔린은 중질유를 고온·고압에서 열분해(cracking)시켜 얻는 저비점 탄화수소 혼합물이다.

개질가솔린은 접촉개질로, 직류가솔린은 원유의 단순 증류로, 알킬화가솔린은 저급 올레핀과 이소파라핀의 알킬화 반응으로 얻어지는 등 생성 경로가 서로 다르다.

전력효율은 약 54.3%이다.

전력효율은 전류효율과 전압효율의 곱으로 구하며, 전압효율은 $\dfrac{2.31}{4}=0.578$이다.

따라서 전력효율은 $0.94\times0.578\approx0.543$, 즉 54.3%이다.

벤젠으로부터 아닐린을 합성할 때는 먼저 니트로화로 벤젠을 니트로벤젠으로 만든 뒤, 이를 수소화(환원)하여 아닐린을 얻는다.

즉 반응 순서는 니트로화 → 수소화이다.

수산화나트륨(NaOH) 생산량은 약 20ton이다.

소금물 전기분해 반응은 2NaCl + 2H₂O → 2NaOH + Cl₂ + H₂로, 생성되는 NaOH와 Cl₂의 몰비는 2:1이다.

Cl₂ 17.75ton은 $\dfrac{17.75}{71}=0.25$ ton-mol이므로, NaOH는 $0.25 \times 2 \times 40 = 20$ ton이 생성된다.

전류효율 90%는 두 생성물에 동일하게 작용하므로, 이미 실측된 생산량 사이의 화학양론적 비율에는 영향을 주지 않는다.

카프로락탐은 사이클로헥사논 옥심을 황산으로 처리하는 베크만 전위(Beckmann rearrangement)로 생성된다.

사이클로헥사논에 하이드록실아민을 반응시켜 옥심을 만든 뒤, 황산 촉매 하에서 전위 반응을 일으켜 락탐 고리를 얻는다.

• 카프로락탐은 나일론 6,6이 아니라 나일론 6의 원료이다.
• 사이클로헥사논과 암모니아의 직접 반응으로는 생성되지 않는다.
• 사이클로헥산과 초산, 아민의 반응 경로도 아니다.

Acetylene(C₂H₂)을 물과 반응시킬 때 수은염(HgSO₄) 촉매를 사용하면 Acetaldehyde(CH₃CHO)가 생성된다. 이는 Kutter 반응으로 알려진 반응으로, HC≡CH + H₂O → CH₃CHO의 식을 따른다. Acetylene의 삼중결합이 물의 수소와 수산기로 첨가되어 enol 중간체를 거쳐 aldehyde로 tautomerization되므로 acetaldehyde가 주생성물이다.

수증기증류법은 중질유에 수증기를 함께 가해 유분의 분압을 낮춤으로써, 순수 증류보다 훨씬 낮은 온도에서 고비점 유분을 유출시키는 방법이다.

수증기를 불어넣으면 전체 압력이 각 성분의 분압 합으로 유지되어 유분 자체의 비점이 낮아진 것과 같은 효과가 나타나므로, 열분해 없이 고비점 성분을 회수할 수 있다.

• 상압증류는 대기압에서 그대로 증류해 비점 강하 효과가 없다.
• 공비증류법과 추출증류법은 각각 공비 혼합물, 비점차가 작은 성분의 분리에 쓰이는 방법으로 목적이 다르다.

분산이 작은 관형반응기의 체류시간분포(E곡선)가 정규분포에 가장 가깝다.

완전한 플러그흐름은 이론적으로 체류시간이 한 값에 모이는 델타함수 형태이지만, 실제 관형반응기에는 약간의 축방향 분산이 존재한다.

이 분산 정도가 작을 때 확산방정식으로 표현되는 E곡선이 가우시안(정규분포) 형태로 근사되며, 완전혼합반응기나 직렬 혼합반응기의 분포와는 형태가 다르다.

반응속도상수는 약 120 L·mol^-1·h^-1이다.

압력 기준 속도식 $-\dfrac{dP_A}{dt}=3.66P_A^{2}$에 이상기체 관계 $P_A=C_A RT$를 대입하면 $-RT\dfrac{dC_A}{dt}=3.66\,(C_A RT)^{2}$가 된다.

양변을 RT로 나누면 $-\dfrac{dC_A}{dt}=3.66RT\,C_A^{2}$이므로, 농도 기준 속도식 $-r_A=kC_A^{2}$와 비교하면 $k=3.66RT$이다.

수치를 넣으면 $k=3.66\times0.082\times400\approx120$이고, 2차 반응의 속도상수 차원이 (농도)^-1(시간)^-1이므로 단위는 L·mol^-1·h^-1가 된다.

부피와 온도가 일정하므로 농도는 $C_A=\dfrac{P_A}{RT}$이고, 반응속도는 $-r_A=-\dfrac{1}{RT}\dfrac{dP_A}{dt}$로 표시된다.

정의상 $-r_A=-\dfrac{dC_A}{dt}$인데 R와 T가 상수라 미분 밖으로 나오므로 $-\dfrac{dC_A}{dt}=-\dfrac{1}{RT}\dfrac{dP_A}{dt}$가 그대로 성립한다.

RT를 곱하거나 반응기 부피 V를 곱·나눈 형태는 농도 변화율의 차원(mol/L·시간)을 만들지 못해 옳지 않다.

k₁의 단위는 (mol/m³)^-0.5(s)^-1이다.

분모 $k_2+[\mathrm{HBr}]/[\mathrm{Br_2}]$에서 농도끼리의 비는 무차원이므로 k₂도 무차원이고, 결국 분모 전체가 무차원이 된다.

따라서 분자의 차원이 곧 속도의 차원이어야 하므로 $k_1\,C^{1}\,C^{1/2}=\dfrac{C}{t}$, 즉 $k_1=C^{-1/2}\,t^{-1}$이다.

농도를 mol/m³, 시간을 s로 두면 (mol/m³)^-0.5·s^-1가 된다.

순환반응기는 자동촉매반응에 가장 적합하다.

자동촉매반응은 생성물이 쌓일수록 반응속도가 빨라지는 특성을 가지므로, 출구 흐름의 일부를 입구로 되돌려 생성물을 미리 공급하면 초기의 느린 반응속도 구간을 피할 수 있다.

2차 비가역반응이나 1차 가역반응, 직렬반응은 순환에 따른 이러한 이점이 크지 않다.

가스-가스 반응은 균일계(homogeneous) 반응에 해당한다.

균일계 반응은 반응물질이 하나의 상(phase)에 함께 존재하며 진행되는 반응을 말하는데, 기체-기체 반응은 두 반응물이 같은 기체 상에 섞여 있으므로 이 조건을 만족한다.

불균일계 반응은 서로 다른 상(예: 기체-고체) 사이에서 일어나는 반응을 가리킨다.

이상적 혼합반응기(CSTR)가 회분식 반응기와 같은 특성을 나타낸다는 설명이 옳지 않다.

회분식 반응기는 시간에 따라 반응기 내부 농도가 계속 변하는 비정상상태 운전인 반면, CSTR은 정상상태에서 반응기 내부 농도와 출구 농도가 항상 같게 유지된다.

무한개의 CSTR을 직렬로 연결하면 관형반응기(PFR)가 된다는 것, 그리고 1차 반응에서 동일 부피 기준 전화율이 PFR보다 혼합반응기가 항상 못하다는 것은 모두 옳은 설명이다.

반응물 A의 소실속도는 단위 반응기 부피당 A의 몰수 감소율, 즉 $-r_A=-\dfrac{1}{V_R}\dfrac{dn_A}{dt}$로 나타낸다.

반응속도는 부피당 값으로 정의되므로 반응기 부피 V_R를 곱하는 것이 아니라 나누어야 하고, 소실속도는 줄어드는 몰수 변화에 음(−)의 부호를 붙여야 양의 값이 된다.

생성물 B의 몰수 n_B로 쓴 식은 A의 소실이 아니라 B의 생성속도를 나타내므로 문제의 정의에 맞지 않는다.

PFR의 순환비(R)를 무한대로 하면 CSTR과 같아진다.

순환비가 커질수록 반응기로 재유입되는 유체의 양이 신선한 공급물에 비해 압도적으로 많아져, 반응기 내부 조성이 출구 조성에 가깝게 균일해진다.

이는 결국 완전혼합 상태와 동일해지므로, 순환비가 무한대인 관형반응기는 CSTR과 동등하게 거동한다.

필요한 반응기 체적은 약 49.4ft³이다.

생성물 C의 몰유량은 $\dfrac{2\times10^{8}}{62} \div (365\times24\times60) \approx 6.14\ \mathrm{lb\,mol/min}$이며, A → C의 1:1 반응이므로 이는 A의 전화량과 같다.

전화율 0.8을 적용하면 공급 A의 몰유량은 $F_{A0}=6.14/0.8\approx7.67\ \mathrm{lb\,mol/min}$이고, B와 동일 부피로 혼합되어 농도가 절반(2lb mol/ft³)이 되므로 부피유량은 $v_0=7.67/2\approx3.84\ \mathrm{ft^3/min}$이다.

1차 반응 CSTR 설계식 $V=\dfrac{v_0 X_A}{k(1-X_A)}$에 대입하면 $V=\dfrac{3.84\times0.8}{0.311\times0.2}\approx49.4\ \mathrm{ft^3}$이다.

반감기법은 적분법(integral method)에 속하며 미분속도 해석법과는 관련이 없다.

미분법은 농도-시간 데이터로부터 순간 반응속도를 직접 구하는 접근으로, 도식적 방법·수치해석법·다항식 맞춤법이 모두 여기에 포함된다.

반감기법은 여러 초기농도에서의 반감기를 비교해 반응차수를 구하는 적분법 계열의 기법이다.

C_A=5mol/L일 때 반응속도는 2.5mol/L·sec이다.

2차 반응이므로 $-r_A=kC_A^2$이며, $C_A=1\ \mathrm{mol/L}$일 때 $0.1=k\times1^2$에서 $k=0.1$이다.

$C_A=5\ \mathrm{mol/L}$을 대입하면 $-r_A=0.1\times5^2=2.5\ \mathrm{mol/L\cdot sec}$이다.

평형상수 K_c는 약 5.67이다.

초기 농도 0.1mol/L에서 A의 분해율이 85%이므로 평형에서 $C_A=0.1\times(1-0.85)=0.015\ \mathrm{mol/L}$, 생성물은 $C_R=0.1\times0.85=0.085\ \mathrm{mol/L}$이다.

1차 가역반응은 평형에서 정반응과 역반응 속도가 같아지므로 $K_c=\dfrac{C_R}{C_A}$가 되고(문제의 반응식 표기로는 정반응 상수 k₂와 역반응 상수 k₁의 비), $K_c=\dfrac{0.085}{0.015}\approx5.67$로 계산된다.

필요한 공급속도는 약 0.533 mol/min이다.

혼합흐름반응기(CSTR)의 설계식은 $\dfrac{V}{F_{A0}}=\dfrac{X_A}{-r_A}$이며, 반응기 내부 농도는 출구 농도와 같아 $C_A=C_{A0}(1-X_A)=1\times(1-0.6)=0.4\ \mathrm{mol/L}$이다.

속도식 $-r_A=0.1C_A^{2}$에 대입하면 $-r_A=0.1\times0.4^{2}=0.016\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}$이다.

따라서 $F_{A0}=\dfrac{V\times(-r_A)}{X_A}=\dfrac{20\times0.016}{0.6}\approx0.533\ \mathrm{mol/min}$가 된다.

목적반응의 차수가 더 크면 반응물 농도 C_A가 높을수록 선택도가 좋아지므로, 농도를 낮게 유지하는 혼합흐름반응기(CSTR)를 택하는 것은 오히려 불리하다.

같은 반응물 A에서 갈라지는 두 반응 $\mathrm{A}\xrightarrow{k_D}\mathrm{D}$, $\mathrm{A}\xrightarrow{k_U}\mathrm{U}$의 선택도는 $\dfrac{r_D}{r_U}=\dfrac{k_D}{k_U}C_A^{\,a_1-a_2}$이고, a₁>a₂이면 지수가 양수라 C_A가 클수록 선택도가 커진다.

• 관형반응기(PFR)는 입구에서 농도가 최대이고 평균 농도도 CSTR보다 높아 선택도에 유리하다.
• 순수 반응물을 희석 없이 입구로 직접 넣으면 반응물 농도가 최대가 된다.
• 액상 반응에서 희석제를 쓰지 않는 것도 농도를 높게 유지하는 방법이다.

공간시간은 1,350초이다.

0차 반응은 반응속도가 농도에 무관하게 일정($-r_A=k$)하므로, 관형반응기 설계식은 부피 변화 여부와 관계없이 $\tau=\dfrac{C_{A0}X_A}{-r_A}$ 형태로 그대로 적용된다.

$\tau=\dfrac{1.5\times0.9}{10^{-3}}=1350\ \mathrm{sec}$이다.

이 반응은 1/2차 반응이며, 속도상수는 1이다.

1차 반응은 농도가 지수적으로 감소해 유한한 시간에 완결될 수 없으므로, 2시간 만에 반응이 종결되었다는 조건 자체가 차수가 1보다 작음(여기서는 1/2차)을 가리킨다.

회분식 반응기에서 1/2차 반응을 적분하면 $2\sqrt{C_A}=2\sqrt{C_{A0}}-kt$이며, 1시간 후 전화율 75%($C_A=0.25$)를 대입하면 $2\sqrt{0.25}=2\sqrt{1}-k\times1$에서 $k=1$이 된다. 이때 완결시간은 $t_f=2\sqrt{C_{A0}}/k=2$시간으로 조건과 일치한다.

따라서 반응속도식은 $-r_A=(1\ \mathrm{mol^{1/2}L^{-1/2}h^{-1}})C_A^{1/2}$이다.

두 반응기 모두 관형반응기(PFR)로 구성할 때 최종 전화율이 가장 크다.

1차 반응에서는 동일한 총 부피 조건에서 관형반응기가 혼합반응기보다 항상 더 높은 전화율을 낸다.

따라서 두 반응기를 직렬로 연결할 때도 혼합반응기가 하나라도 포함되면 전체 전화율이 낮아지므로, 관형반응기 두 개를 직렬로 연결한 조합이 가장 유리하다.

같은 크기의 혼합반응기로 바꾸면 전화율은 약 70%가 된다.

1차 반응 PFR에서 $X_A=1-e^{-k\tau}=0.9$이므로 $k\tau=\ln10\approx2.303$이다.

같은 $k\tau$를 CSTR 설계식 $X_A=\dfrac{k\tau}{1+k\tau}$에 대입하면 $X_A=\dfrac{2.303}{3.303}\approx0.70$이다.

목적물의 반응차수 a₁이 비목적물의 차수 a₂보다 작으면, 반응물 농도를 낮게 유지하는 혼합흐름반응기가 적절하다.

두 반응이 같은 반응물 A에서 평행하게 진행되므로 목적물에 대한 선택도는 $\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{k_1}{k_2}C_A^{\,a_1-a_2}$로 쓰이고, a₁<a₂이면 지수가 음수라 C_A가 작을수록 선택도가 커진다.

혼합흐름반응기는 공급물이 들어오자마자 출구 농도로 희석되어 반응기 전체가 낮은 농도로 유지되는 반면, 관형흐름반응기는 입구부터 높은 농도가 유지되므로 반대로 a₁>a₂인 경우에 유리하다.

두 차수가 같으면 $C_A^{\,a_1-a_2}=1$이 되어 농도의 영향이 사라지므로, 어느 반응기를 쓰든 선택도는 달라지지 않는다.