깁스-두헴식은 몰분율을 계수로 삼아 세기 성질의 변화량(dμ 또는 dlnγ)에 곱해 더한 형태여야 한다. 화학퍼텐셜을 계수로 두고 몰분율 변화 dx에 곱한 형태는 깁스-두헴식이 아니다.

일정 T, P에서 깁스-두헴식은 $\sum x_i\,d\mu_i=0$ 이고, 이성분계에서는 $x_1d\mu_1+x_2d\mu_2=0$, 활성도계수로 쓰면 $x_1\left(\dfrac{\partial \ln\gamma_1}{\partial x_1}\right)_{T,P}+x_2\left(\dfrac{\partial \ln\gamma_2}{\partial x_1}\right)_{T,P}=0$ 이다.

x₂=1−x₁이므로 편미분 형태의 두 식과 dμ 형태의 식은 모두 같은 관계를 달리 쓴 것이다. 반면 $\mu_1dx_1+\mu_2dx_2=0$ 은 몰분율과 화학퍼텐셜의 자리가 뒤바뀐 식이라 성립하지 않는다.

부분 몰 성질은 T, P 와 자기 자신을 뺀 나머지 몰수 n_j 를 모두 고정한 채, 용량성질 전체 nM 을 성분 i 의 몰수로 편미분한 값으로 정의된다.

식으로 쓰면 $\overline{M}_i=\left[\dfrac{\partial (nM)}{\partial n_i}\right]_{T,\,P,\,n_j}$ 이며, M 자리에 U·H·S·G 중 무엇을 넣더라도 고정 변수는 언제나 T, P, n_j 로 같다는 점이 핵심이다.

나머지 식들은 미분 대상과 고정 변수 조합이 어긋나 있다.

• nH 를 (nS, P), nA 를 (T, nV), nU 를 (nS, nV) 고정에서 미분하면 부분 몰 성질이 아니라 화학퍼텐셜 μ_i 가 얻어진다.
• 제시된 식들은 그 조합마저 (nS, nP)·(P, nV)·(T, nS) 로 틀어져 있어 어느 정의에도 해당하지 않는다.

참고로 깁스에너지에 대해서만 $\mu_i=\left[\dfrac{\partial (nG)}{\partial n_i}\right]_{T,P,n_j}=\overline{G}_i$ 로 부분 몰 성질과 화학퍼텐셜이 일치한다.

주어진 형태가 성립하는 것은 평형 혼합물이 이상기체처럼 거동할 때이다.

기상 화학평형의 일반식은 각 성분의 퓨개시티로 $K=\prod_i\left(\hat{\phi}_i\,y_i\,P\right)^{\nu_i}$ 로 쓴다. 여기서 이상기체가 되면 모든 퓨개시티 계수가 φ̂_i = 1 이 되어 $K=P^{\nu}\prod_i (y_i)^{\nu_i}$ 만 남는다.

다른 조건들은 이 형태를 만들지 못한다.

• 이상용액(루이스-랜달) 가정은 φ̂_i 를 순성분 값 φ_i 로 바꿔 줄 뿐, 1로 만들지는 못한다.
• 몰수 변화가 없으면 ν = Σν_i = 0 이 되어 P^ν 항이 사라질 뿐이고, 반응열이 일정하다는 것은 K 의 온도 의존성(반트호프 식)에 관한 조건이라 압력·조성 표현과 무관하다.

이상기체의 엔탈피는 온도만의 함수라는 것이 열역학의 기초 사항으로 옳은 설명이다.

이상기체는 분자간 상호작용이 없다고 가정하므로 내부에너지와 엔탈피가 압력이나 부피에 무관하게 오직 온도에 의해서만 결정된다.

• 완전결정의 엔트로피가 0이 되는 기준은 0℃가 아니라 절대온도 0K이다(열역학 제3법칙).
• 가역과정에서 계가 하는 일은 경로에 따라 달라지는 경로함수이지 상태함수가 아니다.
• 제1종 영구기관과 제2종 영구기관은 각각 열역학 제1법칙, 제2법칙에 위배되어 둘 다 불가능하다.

평형 상태에서 혼합에 따른 부피 변화($\Delta V_{mix}$)가 0이라는 조건은 성립하지 않으므로, 이것이 평형의 정의와 가장 거리가 멀다.

평형은 일정 T,P에서 깁스자유에너지 변화가 0인 상태($\Delta G_{T,P}=0$), 시간에 따라 계의 열역학적 특성이 더 이상 변하지 않는 상태, 그리고 정반응과 역반응의 속도가 같아지는 동적 평형 상태로 정의된다.

반면 $\Delta V_{mix}=0$은 혼합 용액이 이상용액에 가깝다는 것을 의미할 뿐, 평형 여부를 정의하는 조건이 아니다.

일정한 온도와 압력에서 닫힌계가 평형에 도달하는 조건은 깁스자유에너지의 변화가 0이 되는 것, 즉 $(dG^t)_{T,P}=0$이다.

일정 T, P 하에서 깁스자유에너지는 평형점에서 최솟값을 가지므로, 그 지점에서 1차 미분값(변화율)이 0이 되는 것이 평형의 수학적 조건이다.

터빈에서는 기체를 등엔트로피 팽창시켜 동력을 생산하는 것이지 압축하는 것이 아니므로, 터빈에서 등엔트로피 압축으로 액화된다는 설명은 틀렸다.

터빈은 고압 기체를 가역단열(등엔트로피) 팽창시켜 온도를 떨어뜨리고 동시에 일을 얻어내는 장치이며, 이 냉각 효과를 이용해 기체를 액화하는 것이 클라우데(Claude) 공정의 핵심이다.

• 일정 압력에서 열교환으로 냉각시켜 기체를 액화하는 것은 가능한 방법이다.
• 등엔탈피 팽창인 조름공정(줄-톰슨 효과)으로 기체를 액화하는 것도 옳은 설명이며 린데 공정의 원리이다.
• 린데 공정과 클라우데 공정이 대표적인 액화 공정이라는 설명도 옳다.

실제기체가 이상기체 거동에 가장 가까워지는 조건은 저압·고온이다.

압력이 낮으면 분자 사이 거리가 멀어져 분자 간 인력의 영향이 작아지고, 온도가 높으면 분자의 운동에너지가 커져 인력의 상대적 영향이 더욱 줄어들어 이상기체 가정에 가까워진다.

증기터빈에서 가장 많은 동력을 얻을 수 있는 공정은 등엔트로피(가역단열) 공정이다.

등엔트로피 팽창은 엔트로피 생성이 없는 이상적인 가역 과정이므로, 같은 압력 강하에 대해 비가역 손실이 있는 실제 공정보다 더 많은 일을 뽑아낼 수 있는 이론적 상한을 제공한다.

공비점에서는 P-x 곡선이 극값(최고점 또는 최저점)을 가지므로, dP/dx₁ = 0 을 만족하는 조성을 구하면 된다.

주어진 식은 $P = 2x_1^2 - 3x_1 + 3$ 이므로 조성으로 미분하면 $\dfrac{dP}{dx_1} = 4x_1 - 3$ 이다.

이를 0으로 놓으면 $4x_1 - 3 = 0$ 에서 x₁ = 0.75 를 얻는다.

공비점에서는 기상과 액상의 조성이 같아져(x₁ = y₁) 전압이 극값을 갖는다는 성질이 이 풀이의 근거이며, 2차항 계수가 양(+)이므로 이 점에서 전압 P 는 최솟값을 갖는다(P-x 선도의 최저점).

실제기체의 압력이 0에 접근하면 그 거동이 이상기체에 수렴하므로, 잔류 엔탈피와 잔류 엔트로피는 모두 0에 접근한다.

잔류물성은 같은 온도, 압력에서 실제기체와 이상기체 물성값의 차이로 정의되는데, 압력이 0에 가까워질수록 실제기체와 이상기체의 거동 차이 자체가 사라지므로 두 잔류물성 모두 0으로 수렴한다.

등압선(수평 점선)을 따라 포화액선 위의 H₁ 에서 포화증기선 위의 H₂ 까지 건너간 엔탈피 차이이므로 이 값은 증발열이다.

그림에서 돔 모양 포화곡선의 왼쪽 가지는 액상 경계(액상 영역 쪽), 오른쪽 가지는 기상 경계이고, lnP 가 일정한 점선이 두 가지와 만나는 지점의 엔탈피가 각각 H₁, H₂ 로 표시되어 있다.

즉 H₂ − H₁ 은 같은 온도·압력에서 포화액이 전부 포화증기로 바뀌는 데 필요한 열, 곧 증발잠열이다.

다른 값들은 이 구간과 맞지 않는다.

• 승화열은 고상에서 곧바로 기상으로 건너가는 구간의 열이라, 액상 포화선에서 출발하는 이 구간과 다르다.
• 혼합열·용해열은 서로 다른 물질이 섞일 때 나타나는 열이어서 순물질 한 성분의 압력-엔탈피 선도에는 등장하지 않는다.

반응이 일어나는 계의 자유도는 $F = 2 - \pi + N - r - s$ 로 구하며, 이 문제의 답은 3 이다.

기상 한 상만 있으므로 π = 1, 화학종은 H₂S·H₂O·H₂·SO₂ 로 N = 4, 독립 반응은 $\mathrm{H_2S(g)+2H_2O(g)\rightleftharpoons 3H_2(g)+SO_2(g)}$ 하나뿐이라 r = 1 이다.

여기에 특수 구속조건 s = 1 이 추가된다. 처음에 H₂S 와 H₂O 만 넣었으므로 생성물 H₂ 와 SO₂ 는 반드시 양론비 3 : 1 로만 만들어져 $y_{\mathrm{H_2}} = 3\,y_{\mathrm{SO_2}}$ 라는 관계가 항상 성립하기 때문이다.

따라서 $F = 2 - 1 + 4 - 1 - 1 = 3$ 이다. 반면 반응물의 초기비 1 : 3 은 소모비 1 : 2 와 달라 반응이 진행될수록 비가 계속 변하므로 추가 구속조건이 되지 않는다.

이상용액은 섞어도 열 출입이 없어 ΔH_mix = 0 이므로, 혼합엔탈피를 무한대로 놓은 설명이 틀렸다.

이상용액은 성분 사이의 상호작용이 순성분일 때와 같다고 보는 모형이라 섞어도 부피와 엔탈피가 변하지 않는다. 즉 ΔV = 0, ΔH = 0 이 성립한다.

섞이는 효과는 엔트로피에만 나타나 $\Delta S = -R\sum_i x_i \ln x_i \;(>0)$ 이고, 이를 ΔG = ΔH − TΔS 에 대입하면 $\Delta G = RT\left(x_A \ln x_A + x_B \ln x_B\right)\;(<0)$ 가 되어 혼합이 자발적임을 보여 준다.

정용(bomb) 열량계로 잰 값은 ΔU 이고 표준연소열은 ΔH 이므로, 기체 몰수 변화만큼 보정해야 한다.

보정식은 $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$ 이다.

반응식 $\mathrm{C_6H_6(\ell)+\dfrac{15}{2}O_2(g)\rightarrow 3H_2O(\ell)+6CO_2(g)}$ 에서 기체는 O₂ 7.5 mol 이 소모되고 CO₂ 6 mol 이 생기므로(물은 액체라 제외) $\Delta n_g = 6 - 7.5 = -1.5$ 이다.

대입하면 $\Delta H = -780{,}090 + (-1.5)(1.987)(298.15) \approx -780{,}090 - 889$ 이므로 약 −780,980 cal 이다.

열기관의 효율은 공급받은 열 중 일로 바뀐 비율이므로 $\eta = \dfrac{|W|}{Q_H}$ 이다.

그림에서 계는 고온부로부터 Q_H 를 받아 일 W 를 밖으로 내보내고 나머지 Q_C 를 저온부로 버린다. 즉 투입은 Q_H, 얻은 것은 |W| 이다.

사이클이므로 에너지 보존에서 $|W| = Q_H - Q_C$ 가 성립하고, 이 관계를 쓰면 다른 식들이 왜 안 되는지 바로 드러난다.

• 분모를 (Q_H − Q_C) 로 둔 식과 Q_C/(Q_H − |W|) 는 계산하면 항상 1 이 되어 효율이 될 수 없다.
• |W|/Q_C 는 버린 열을 기준으로 나눈 값이라 1을 넘을 수도 있어 열기관 효율의 정의가 아니다.

정적(부피 일정) 조건에서 20℃, 1atm인 아세톤을 30℃까지 가열하면 압력은 약 241atm까지 오른다.

부피가 일정한 과정에서 압력과 온도의 관계는 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V=\dfrac{\beta}{\kappa}$로 주어지므로, $\Delta P\approx\dfrac{\beta}{\kappa}\Delta T=\dfrac{1.487\times10^{-3}}{62\times10^{-6}}\times10\approx239.8\ \mathrm{atm}$이다.

따라서 $P_2=P_1+\Delta P\approx1+239.8\approx241\ \mathrm{atm}$이 된다.

액체-액체 평형은 두 액상에서 같은 성분의 퓨개시티가 서로 같다는 조건에서 나오므로 $x_1^{\alpha}\gamma_1^{\alpha} = x_1^{\beta}\gamma_1^{\beta}$ 가 옳다.

액상 퓨개시티를 활동도계수로 쓰면 $\hat{f}_1^{\alpha} = x_1^{\alpha}\gamma_1^{\alpha} f_1^{\circ}$, $\hat{f}_1^{\beta} = x_1^{\beta}\gamma_1^{\beta} f_1^{\circ}$ 이고, 같은 온도·압력이라 표준상태 퓨개시티 f₁^° 가 양변에서 약분되어 위 관계식만 남는다.

나머지는 다른 평형에 쓰는 식이다.

• 증기압 P₁^sat 이나 헨리상수 H₁ 이 들어간 식은 기-액 평형(라울의 법칙·헨리의 법칙)에 쓰는 관계로, 기상이 없는 액-액 평형에는 맞지 않는다.
• 퓨개시티 계수만 같다고 쓴 식은 조성 x₁ 이 빠져 있어 두 상의 퓨개시티가 같다는 조건 자체를 표현하지 못한다.

압력 전개형 비리얼식에서 제2비리얼계수는 B = RT·lim_P→0[(Z−1)/P] 로 정의된다.

비리얼식 $Z = 1 + \dfrac{BP}{RT} + \cdots$ 의 양변에서 1을 빼고 P 로 나누면 $\dfrac{Z-1}{P} = \dfrac{B}{RT} + (\text{고차항})$ 이 되고, P → 0 이면 고차항이 사라져 $\lim_{P\to 0}\dfrac{Z-1}{P} = \dfrac{B}{RT}$ 가 남는다.

양변에 RT 를 곱하면 $B = RT\lim_{P\to 0}\dfrac{Z-1}{P}$ 이다.

다른 식들은 성립하지 않는다.

• 분자·분모를 뒤집어 P/(Z−1) 로 쓴 형태는 P → 0 에서 극한이 발산한다.
• T 없이 R 만 곱한 식은 단위가 m³/(mol·K) 가 되어, 부피 차원인 B 와 단위가 맞지 않는다.

카르노 열기관의 효율은 고온부와 저온부의 절대온도비로 정해지며, 이 효율로 계산한 일의 양은 517cal이다.

절대온도로 변환하면 $T_H=500+273=773\ \mathrm{K}$, $T_C=100+273=373\ \mathrm{K}$이다.

카르노 효율은 $\eta=1-\dfrac{T_C}{T_H}=1-\dfrac{373}{773}\approx0.517$이므로 일은 $W=1000\ \mathrm{cal}\times0.517\approx517\ \mathrm{cal}$이다.

압력은 고체·액체의 용해도에는 거의 영향을 주지 않으므로 세 가지 상태 모두에 크게 영향을 미친다는 설명은 틀렸다.

압력이 용해도에 크게 작용하는 경우는 기체가 용질일 때(헨리의 법칙)뿐이며, 고체·액체 용질의 용해도는 주로 온도와 분자간 인력에 의해 결정된다.

• 온도가 오르면 기체의 용해도는 감소한다는 설명은 맞는 내용이다.
• 온도가 오르면 고체·액체의 용해도는 대체로 증가한다는 설명도 맞는 내용이다.
• 극성 물질은 극성 용매에, 비극성 물질은 비극성 용매에 잘 녹는다는 설명(유유상용) 역시 맞는 내용이다.

라울의 법칙에 따라 각 성분의 분압을 더하면 용액의 증기압은 약 372.6mmHg이다.

벤젠 분압은 $P_{benzene}=743\times0.2=148.6\ \mathrm{mmHg}$이고, 톨루엔 분압은 $P_{toluene}=280\times0.8=224.0\ \mathrm{mmHg}$이다.

전체 증기압은 $P=148.6+224.0=372.6\ \mathrm{mmHg}$이다.

화합물의 열용량이 이를 구성하는 개개 원소의 열용량 합과 같다는 규칙은 Kopp의 법칙이다.

Dulong-Petit 법칙은 고체 원소(금속)의 원자열이 일정하다는 법칙이고, Trouton 법칙은 정상비점에서의 몰증발열과 비점의 관계를 다룬다는 점에서 이 설명과는 다른 개념이다.

질소 물질수지를 세우면 탱크 2의 부피는 약 2.45 m³ 이다.

그림에서 탱크 1의 부피는 1 m³ 로 표시돼 있고, 밸브를 열면 두 탱크의 기체가 섞인다. 각 탱크의 몰수는 이상기체식 n = PV/RT 로 구한다.
$n_1 = \dfrac{600 \times 1}{8.314 \times 343.15} = 0.2103\ \mathrm{kmol}$
$n_2 = \dfrac{1200 \times V_2}{8.314 \times 373.15} = 0.3868\,V_2\ \mathrm{kmol}$

공기의 질소는 79%, 탱크 2 기체의 질소는 90%, 혼합 후는 88% 이므로
$0.79\,n_1 + 0.90\,n_2 = 0.88\,(n_1+n_2)$
$0.02\,n_2 = 0.09\,n_1 \;\Rightarrow\; n_2 = 4.5\,n_1 = 0.9464\ \mathrm{kmol}$

따라서 $V_2 = \dfrac{0.9464}{0.3868} \approx 2.45\ \mathrm{m^3}$ 이다. 탱크 1의 기체가 '공기'라는 점에서 질소 조성 79% 를 잡아 주는 것이 이 문제의 관건이다.

필요한 이론 산소량은 11 mol 이다.

연료 100 g 중 탄소는 84 g, 수소는 16 g 이므로
탄소 $\dfrac{84}{12} = 7\ \mathrm{mol}$, 수소 $\dfrac{16}{2} = 8\ \mathrm{mol\;(H_2)}$ 이다.

반응식대로 $\mathrm{C + O_2 \rightarrow CO_2}$ 는 C 1 mol 당 O₂ 1 mol, $\mathrm{H_2 + \dfrac{1}{2}O_2 \rightarrow H_2O}$ 는 H₂ 1 mol 당 O₂ 0.5 mol 을 쓴다.

합하면 $7 \times 1 + 8 \times 0.5 = 7 + 4 = 11\ \mathrm{mol}$ 이다. 수소를 원자 수 16 mol 로 세면 답이 두 배로 틀리므로, 반응식 기준대로 H₂ 분자 8 mol 로 세는 것이 함정이다.

단위를 변환해 계산하면 연간 에너지 소비량은 약 5.3×10¹⁹ cal/year이다.

1년은 $3.15\times10^{7}\ \mathrm{s}$이므로 연간 에너지는 $7.1\times10^{12}\ \mathrm{W}\times3.15\times10^{7}\ \mathrm{s}\approx2.24\times10^{20}\ \mathrm{J}$이다.

1cal=4.184J이므로 칼로리로 환산하면 $\dfrac{2.24\times10^{20}}{4.184}\approx5.3\times10^{19}\ \mathrm{cal}$이다.

NaOH는 1가 염기이므로 당량수는 몰수와 같고, 계산하면 노르말농도는 0.5N이다.

NaOH 10g의 몰수는 $\dfrac{10}{40}=0.25\ \mathrm{mol}$이며, 1가이므로 당량수도 0.25당량이다.

0.5L 용액이므로 $N=\dfrac{0.25}{0.5}=0.5$이다.

비교습도(percentage humidity)는 실제 수증기 함량과 포화 시 수증기 함량의 비로 구하며, 계산하면 약 33%이다.

실제 수증기분압은 $p=0.40\times289=115.6\ \mathrm{mmHg}$이고, 전압은 $1.5\ \mathrm{bar}\approx1125\ \mathrm{mmHg}$이다.

비교습도는 $\dfrac{p/(P-p)}{p_s/(P-p_s)}\times100=\dfrac{115.6/1009.5}{289/836.1}\times100\approx33\%$이다.

주어진 연소열로 계산하면 표준반응열은 +3710 kcal/mol이다.

연소열 자료로 반응열을 구할 때는 ΔH_반응 = Σ(반응물의 연소열) − Σ(생성물의 연소열)을 쓴다. 물은 이미 완전연소 생성물이라 연소열이 0이므로 생성물 쪽은 아세트산에틸 값만 들어간다.

반응물 합 = (−326700) + (−208340) = −535040 kcal/mol
생성물 합 = (−538750) + 0 = −538750 kcal/mol
ΔH = (−535040) − (−538750) = +3710 kcal/mol

생성물의 연소열이 반응물 합보다 더 크게 음수이므로 결과는 양(+)이 된다. 뺄셈 순서를 뒤집어 −3710을 고르는 것이 대표적인 실수다.

절대압력으로 환산한 뒤 임계압력으로 나누면 환산압력은 약 1.049이다.

계기압력 30psig를 절대압력으로 바꾸면 $30+14.7=44.7\ \mathrm{psia}$이고, atm 단위로는 $\dfrac{44.7}{14.7}\approx3.04\ \mathrm{atm}$이다.

환산압력은 $P_r=\dfrac{P}{P_c}=\dfrac{3.04}{2.9}\approx1.049$이다.

직렬 전도저항을 합산해 계산하면 단위 면적당 열손실은 약 343kcal/m²·h이다.

각 층의 저항은 $R=\dfrac{L}{k}$이므로 $R_1=\dfrac{0.10}{0.10}=1.0$, $R_2=\dfrac{0.08}{0.05}=1.6$, $R_3=\dfrac{0.30}{1.5}=0.2$이고, 합은 2.8이다.

열손실은 $q=\dfrac{\Delta T}{\sum R}=\dfrac{1000-40}{2.8}\approx343\ \mathrm{kcal/m^2\!\cdot h}$이다.

압력의 차원은 힘을 면적으로 나눈 ML⁻¹T⁻²인데, 압력 항목에 적힌 차원식은 이와 달라 틀렸다.

힘의 차원은 $F=ma$에서 $MLT^{-2}$이고, 압력은 이를 면적($L^2$)으로 나눈 $MLT^{-2}/L^{2}=ML^{-1}T^{-2}$가 되어야 한다.

제시된 압력의 차원식은 길이 지수와 시간 지수가 모두 이와 달라 성립하지 않는다.

기상과 액상 사이의 평형을 이용해 성분을 분리하는 공정은 증류(distillation)이다.

액체추출은 액-액 평형, 흡착은 고체-유체 평형, 침출은 고체-액체 평형을 이용하는 분리공정이라는 점에서 기-액 평형과는 다르다.

선택도(selectivity)는 추출상과 추잔상에서 용질(초산)과 희석제(물)의 조성비를 서로 나눈 값으로, 계산하면 약 15.6이다.

추출상에서 초산 대 물의 비는 $\dfrac{3}{0.5}=6.0$이고, 추잔상에서는 $\dfrac{27}{70}\approx0.386$이다.

선택도는 $\beta=\dfrac{6.0}{0.386}\approx15.6$이다.

층류 전이길이는 레이놀즈수가 같으면 관경에 비례하므로, 관경이 2배가 되면 전이길이도 2배가 되어 약 7.5m가 된다.

전이길이는 $L_e=0.05\,Re\,D$ 형태로 관경 D에 비례하는 관계식을 따른다.

안지름이 50mm에서 100mm로 2배가 되었으므로 $L_e=3.75\times2=7.5\ \mathrm{m}$이다.

틀린 설명은 L/V의 최소값이 탑 하부에서 기액 농도차가 가장 클 때의 값이라고 한 것이다.

조작선의 기울기 L/V는 액 유량과 기체 유량의 비다. 최소 L/V는 액량을 줄여 나가다가 조작선이 평형곡선에 닿는 순간(pinch point)의 값이고, 그 접점에서 기액 농도차(흡수 추진력)는 0이 된다. 즉 농도차가 가장 클 때가 아니라 가장 작아질 때의 값이므로 이 진술이 잘못됐다.

나머지는 모두 옳다.

• L/V가 커지면 조작선이 평형곡선에서 멀어져 추진력이 커지므로 필요한 탑 높이가 짧아진다.
• L/V가 작아지면 추진력이 줄어 같은 회수율을 얻는 데 탑 높이가 길어진다.
• 액량을 늘리면 탑은 짧아지지만 용매·펌프·재생 비용이 커지므로 실제 설계는 최소 L/V의 1.2~2배로 잡는다 — 경제적 운전과 직결된다.

고체 벽에 인접한 유체층의 흐름은 점성 마찰이 지배하는 경계층 흐름이므로, 이는 퍼텐셜 흐름에 대한 설명이 아니다.

퍼텐셜 흐름은 이상유체의 비회전·무마찰 흐름으로, 고체 벽에서 멀리 떨어진 주류 영역에서 성립하는 흐름이다.

여러 무차원수 중 밀도가 정의식에 들어가지 않는 것은 너셀(Nusselt)수이다.

레이놀즈수·슈미트수·그라쇼프수는 모두 정의식에 밀도(ρ)를 포함하지만, 너셀수는 $Nu=\dfrac{hD}{k}$로 열전달계수·길이·열전도도만으로 정의되어 밀도가 나타나지 않는다.

온도강하를 각 효용의 총괄열전달계수에 반비례하도록 배분하면, 2효용관 액의 끓는점은 약 83℃이다.

전체 온도강하는 $110-53=57\ \mathrm{℃}$이고, 각 효용의 강하량은 $1/U$에 비례하므로 $\Delta T_1:\Delta T_2:\Delta T_3=\dfrac{1}{2500}:\dfrac{1}{2000}:\dfrac{1}{1000}$이다.

비례배분하면 $\Delta T_1\approx12,\ \Delta T_2\approx15,\ \Delta T_3\approx30$이므로 2효용관 끓는점은 $110-12-15=83\ \mathrm{℃}$이다.

HETP는 값이 작을수록 단의 효율이 좋은 것이므로, 1m보다 클 때 효율이 좋다는 설명이 틀렸다.

HETP는 충전탑에서 이론단 하나와 같은 분리 성능을 내는 데 필요한 충전 높이($Z/N$)를 뜻하므로, 이 값이 작을수록 같은 높이에 더 많은 이론단이 들어가 효율이 높다.

Routh 배열을 채우면 (a) = 1/2, (b) = 6이다.

특성방정식 s³+4s²+2s+6=0의 계수를 한 칸 건너뛰며 두 줄로 나누면 첫 행은 1, 2이고 둘째 행은 4, 6으로, 문제에 이미 채워진 값과 같다.

셋째 행 = (둘째 행 첫 값 × 첫 행 둘째 값 − 첫 행 첫 값 × 둘째 행 둘째 값) ÷ 둘째 행 첫 값
(a) = (4×2 − 1×6) ÷ 4 = (8−6)/4 = 1/2
마지막 행에는 상수항이 그대로 내려오므로 (b) = 6

첫 열이 1, 4, 1/2, 6으로 모두 양수이고 부호 변화가 없으므로 이 계는 안정하다는 것까지 함께 읽어낼 수 있다.

이 선도를 만족하는 전달함수는 G(s) = 5(s+2)/(s+1)이다.

선도의 저주파 영역에서 AR/10이 1로 평평하므로 정상상태 이득 AR = 10이다. 실제로 G(0) = 5×2/1 = 10으로 맞는다.

꺾이는 지점은 ω=1과 ω=2 두 곳이다. ω=1에서 기울기가 −1로 떨어지는 것은 분모의 극 (s+1)(꺾임 주파수 1/τ = 1) 때문이고, ω=2부터 다시 수평이 되는 것은 분자의 영점 (s+2)가 그 −1 기울기를 상쇄하기 때문이다.

고주파에서 AR/10이 0.5, 즉 AR = 5로 일정해지는 것도 |G(∞)| = 5와 일치한다. 나머지 보기는 저주파 이득을 먼저 따지면 곧바로 걸러진다. 이득이 20이 되는 형태, 분자가 분모와 약분돼 주파수와 무관한 상수 20이 되는 형태, 저주파 이득이 2에 그치는 형태 모두 AR/10 = 1인 첫 수평구간을 만들지 못한다.

Anti Reset Windup은 제어기 출력이 포화되었을 때 적분항이 과도하게 누적되는 것을 막는 동작이며, 오프셋 제거 자체를 위한 동작은 아니다.

오프셋을 없애는 것은 적분동작 본연의 기능이고, Anti Reset Windup은 출력 포화 시 적분누적을 제한해 설정치 급변에 따른 과도한 흔들림을 막는 보조 기능이다.

시간상수는 τ ≒ 0.632이다.

표준형 2차계는 τ²(d²Y/dt²) + 2ζτ(dY/dt) + Y = K·X 꼴이다. 즉 Y의 계수가 1이 되도록 양변을 5로 나누는 것이 첫 단계다.

(2/5)(d²Y/dt²) + (4/5)(dY/dt) + Y = (6/5)X
τ² = 2/5 = 0.4
τ = √0.4 = 0.632

Y의 계수로 나누지 않고 최고차항 계수 2를 그대로 τ²로 보면 틀린다. 참고로 2ζτ = 0.8이므로 감쇠계수 ζ ≒ 0.63, 이득 K = 6/5 = 1.2이다.

운전자가 신호등을 눈으로 보고(센서) 두뇌로 판단한 뒤(제어기), 실제로 핸들을 조작하는 손이 최종 조작변수(최종제어요소)에 해당한다.

공정제어계에서 최종제어요소는 제어기의 명령을 받아 실제 조작량을 물리적으로 변화시키는 밸브와 같은 역할을 하므로, 이 비유에서는 손이 그 역할을 한다.

정상상태 이득과 임계주파수에서의 크기·주기를 구하면 공정이득 k=5.0, 임계이득 kcu=0.5, 임계주기 Pu=π이다.

정상상태 이득은 $k=G(0)=5.0$이고, 임계주파수(위상이 -π가 되는 지점)에서 $|G(j2)|=2$이므로 임계이득은 $k_{cu}=\dfrac{1}{|G(j2)|}=\dfrac{1}{2}=0.5$이다.

임계주기는 $P_u=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$이다.

진폭비와 위상차를 입력 정현파에 그대로 적용하면 정상상태 출력은 y(t)=0.5sin(3t+π/3)이다.

진폭은 입력 진폭에 진폭비를 곱한 $1\times\dfrac{1}{2}=0.5$이고, 위상은 입력 위상에 공정의 위상지연을 더한 $\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$이다.

따라서 $y(t)=0.5\sin\!\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)$가 된다.

정답은 e^−ds/s이다.

그림의 함수는 t < d에서 0이고 t = d 시점부터 크기 1로 올라가 계속 유지된다. 즉 d만큼 시간지연된 단위 계단함수 u(t−d)다.

단위 계단함수의 변환은 L{u(t)} = 1/s이고, 시간지연에는 시간이동 정리 L{f(t−d)} = e^−ds·F(s)가 적용된다.
따라서 L{u(t−d)} = e^−ds/s

지연은 오직 지수항으로만 나타난다. 분모가 (s−d)로 바뀌거나 분자가 상수 d가 되는 형태는 시간이동 정리와 맞지 않는다.

불안정한 것은 분모가 s² − 0.5s + 1인 계이다.

안정성은 특성방정식의 근(극점) 실수부가 모두 음수인가로 판정한다. 2차식 s² + as + b가 안정하려면 계수가 모두 양수여야 하는데, s² − 0.5s + 1은 s의 계수가 음수다.

근을 직접 구하면 s = (0.5 ± √(0.25−4))/2 = 0.25 ± 0.968j로 실수부가 +0.25다. 우반평면 극점이므로 진폭이 커지며 발산한다.

나머지는 모두 안정하다.

• 분모가 (s+1)(s+3)인 두 경우는 극점이 −1, −3으로 좌반평면에 있고, 분자의 exp(−3s)는 단순한 시간지연일 뿐 안정성을 바꾸지 않는다.
• s² + 0.5s + 1은 근이 −0.25 ± 0.968j여서 감쇠진동하며 수렴한다.

단위 계단응답은 y(t) = 1 + e^2t + 2e^−3t이다.

단위 계단입력은 1/s이므로 Y(s) = G_p(s)·(1/s)이고, 분모를 인수분해하면 s² + s − 6 = (s+3)(s−2)이다.
Y(s) = (4s² − 6) / [s(s+3)(s−2)]

A/s + B/(s+3) + C/(s−2)로 놓고 각 극점을 대입하면
A = (−6)/[(3)(−2)] = 1, B = (36−6)/[(−3)(−5)] = 2, C = (16−6)/[(2)(5)] = 1

각 항을 역변환하면 y(t) = 1 + 2e^−3t + e^2t. 극점 s = +2가 있어 시간이 지날수록 발산하는 불안정 응답이라는 점도 함께 확인된다.

측정계에서 과도한 수송지연(전달지연)은 주로 배관·검출부의 물리적 이동 시간에서 비롯되는 문제로, 전송기 자체의 신호처리 문제로 보기 어렵다.

잡음, 잘못된 보정, 낮은 해상도는 전송기가 신호를 변환·증폭·전달하는 과정에서 흔히 발생하는 전형적인 전송기 문제로 분류된다.

특성방정식에 Routh 안정판별법을 적용하면 한계이득은 0.5, 진동주기는 2π가 된다.

폐루프 특성방정식은 $s^3+s^2+s+(0.5+K_c)=0$이며, Routh 배열의 s¹ 행이 0이 되는 조건에서 $K_c=0.5$가 한계이득이 된다.

이때 보조방정식은 $s^2+1=0$이 되어 $\omega=1$이므로 진동주기는 $P_u=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi$이다.

정상상태에서는 입력과 출력의 각주파수가 같으므로 $\omega=\sqrt2$로 놓고 진폭비·위상지연식을 각각 풀면 τ=1/√2, θ=π/(4√2)가 된다.

진폭비 조건 $AR=\dfrac{1}{\sqrt{\tau^2\omega^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt2}$에서 $\tau\omega=1$이 되어 $\tau=\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{1}{\sqrt2}$이다.

위상지연 조건 $-\theta\omega-\arctan(\tau\omega)=-\dfrac{\pi}{2}$에서 $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$이므로 $\theta\omega=\dfrac{\pi}{4}$, 즉 $\theta=\dfrac{\pi}{4\sqrt2}$이다.

이 선도가 나타내는 것은 비례적분(PI) 제어다.

입력 X가 합산점으로 들어가 그대로 출력 Y가 되고, 그 Y가 1/(1+τs) 블록을 거쳐 같은 합산점에 (+)로 되먹임되는 구조다. 식으로 쓰면 Y = X + Y/(1+τs)이다.

Y로 정리하면 Y[1 − 1/(1+τs)] = X → Y·τs/(1+τs) = X
Y/X = (1+τs)/(τs) = 1 + 1/(τs)

비례항 1과 적분항 1/(τs)만 남고 s에 비례하는 미분항이 없으므로 PI다. 이렇게 1차 지연 블록을 양의 되먹임으로 걸어 적분 동작을 만드는 방식을 리셋 피드백(reset feedback)이라 부른다.

위상지연이 180°가 되는 주파수는 교차(crossover) 주파수라고 부른다.

이 주파수는 나이퀴스트 안정성 판별에서 위상선도가 -180°를 지나는 지점으로, 비례제어 시 한계이득·한계주기를 구하는 기준이 되는 주파수이다.

역변환 결과는 e^−t − e^−3t이다.

F(s) = 2/[(s+1)(s+3)]을 부분분수로 나눈다. A/(s+1) + B/(s+3)로 놓고 각 극점을 대입하면
A = 2/(−1+3) = 1, B = 2/(−3+1) = −1

따라서 F(s) = 1/(s+1) − 1/(s+3)이고, L⁻¹{1/(s+a)} = e^−at이므로
f(t) = e^−t − e^−3t

극점이 −1과 −3으로 모두 음수이므로 지수는 반드시 감쇠형(e^−t, e^−3t)이어야 한다. e^t·e^3t처럼 발산하는 형태나 두 항의 부호가 뒤바뀐 형태는 성립하지 않는다.

적분동작은 오프셋을 제거하지만 시스템의 안정성은 오히려 감소시키므로, 안정성을 증가시킨다는 설명이 틀렸다.

적분동작은 위상지연을 유발해 폐루프의 위상여유를 줄이는 방향으로 작용하기 때문에, 오프셋 제거라는 장점과 별개로 안정성 측면에서는 불리하게 작용한다.

옳은 것은 D₁ = D₂ = 0일 때 C = (G₁G₂R − G₁G₂H₁D₃) / (1 + G₂H₂ + G₁G₂H₁)이라고 한 설명이다.

선도를 따라가면 G₂로 들어가는 신호는 [G₁(R − H₁(C+D₃)) + D₁ − H₂C − D₂]이므로
C = G₂[G₁R − G₁H₁C − G₁H₁D₃ + D₁ − H₂C − D₂]

C가 든 항을 좌변으로 모으면
C = (G₁G₂R + G₂D₁ − G₂D₂ − G₁G₂H₁D₃) / (1 + G₂H₂ + G₁G₂H₁)
여기에 D₁ = D₂ = 0을 대입하면 위 식이 그대로 나온다.

나머지는 항이 어긋난다.

• D₁ = D₃ = 0으로 두면 남는 외란항은 −G₂D₂여야 하는데, D₂에 G₁H₁이 붙은 형태가 되어 있다.
• R = D₂ = 0인 경우 D₁은 G₁을 통과하지 않고 들어오므로 계수가 G₂여야 하고, 분모에 G₃·H₃ 같은 블록이 나올 수도 없다.
• R = D₁ = 0인 경우 D₂는 합산점에 (−)로 들어가므로 분자는 −G₂D₂가 되어야 한다.

정답은 (1/h)·(1 − e^−hs)/s이다.

그림의 f(t)는 0 < t < h 구간에서만 높이가 1/h이고 그 밖에서는 0인 사각 펄스다(면적 = h × 1/h = 1). 계단함수로 쓰면 f(t) = (1/h)[u(t) − u(t−h)]이다.

정의대로 적분하면
F(s) = ∫₀^h (1/h)e^−stdt = (1/h)·(1 − e^−hs)/s

펄스가 t = h에서 끝나는 것이므로 지수는 반드시 e^−hs여야 하고, 높이가 1/h이므로 앞의 계수도 h가 아니라 1/h다. h → 0으로 보내면 F(s) → 1이 되어 단위충격함수의 변환과 일치하는 것도 확인된다.

입력유량과 가열기 전력이라는 두 개의 조작변수로 출력흐름의 온도와 유량이라는 두 개의 제어변수를 다루므로, 이 시스템은 다중입력-다중출력(MIMO) 시스템에 해당한다.

조작변수와 제어변수가 각각 하나씩인 경우에만 단일입력-단일출력(SISO) 시스템으로 분류되며, 이 문제처럼 조작·제어 변수가 모두 2개 이상이면 MIMO로 분류한다.

패턴이 형성된 반도체 표면에서 원하지 않는 부분을 화학적·물리적으로 깎아내는 공정은 에칭(etching)공정이다.

세정공정은 오염물 제거, 포토리소그래피는 감광막에 패턴을 형성하는 노광 공정이라는 점에서 재료를 선택적으로 제거하는 에칭과는 목적이 다르다.

산과 알코올이 물을 잃으면서 에스테르를 생성하는 반응은 축합반응이다.

이 에스테르화 반응은 카복실산과 알코올이 결합하며 물 분자가 빠져나오는 전형적인 축합반응의 형태를 띤다.

95.6% 황산에 들어있는 물을 발연황산의 SO₃로 모두 흡수시켜 100% 황산으로 만드는 데 필요한 발연황산의 양은 약 48.9g이다.

95.6% 황산 100g에는 물이 $100\times(1-0.956)=4.4\ \mathrm{g}$ 들어있고, 몰수는 $\dfrac{4.4}{18}\approx0.244\ \mathrm{mol}$이다.

이 물과 반응하는 SO₃의 양은 $0.244\times80\approx19.6\ \mathrm{g}$이며, 40% 발연황산 중 SO₃가 40wt%이므로 필요한 발연황산 무게는 $\dfrac{19.6}{0.40}\approx48.9\ \mathrm{g}$이다.

암모니아 함수는 솔베이(암모니아소다)법에서 사용되는 원료로, 르블랑법과는 관계가 없다.

망초(황산나트륨), 흑회, 녹액은 모두 르블랑법의 공정 중간 산물 또는 원료로, 소금과 황산으로 망초를 만들고 이를 석회석·석탄과 함께 태워 흑회를 얻은 뒤 물로 침출해 녹액을 얻는 일련의 흐름에 속한다.

석회질소는 탄화칼슘과 질소를 직접 반응시켜 만들어지므로, 암모니아를 원료로 하지 않는 질소비료이다.

황산암모늄, 요소, 질산암모늄은 모두 암모니아를 원료로 하여 각각 황산·이산화탄소·질산과 반응시켜 만들어지는 비료라는 점에서 석회질소와 차이가 있다.

담체는 그 자체로는 촉매작용을 하지 않고, 촉매 성분을 분산·지지해 촉매의 활성을 높여주는 역할을 한다.

담체는 촉매가 아니어서 반응속도를 직접 높이지도, 부촉매처럼 활성을 억제하지도 않는다. 오히려 촉매의 유효면적과 분산도를 키워 활성을 돕는다는 점에서 활성을 잃게 한다는 설명과는 정반대다.

헥산(C₆H₁₄)의 구조이성질체는 정헥산, 2-메틸펜탄, 3-메틸펜탄, 2,2-디메틸부탄, 2,3-디메틸부탄의 5개이다.

탄소골격의 분지 형태를 바꿔가며 세어보면 곁가지가 없는 사슬 1개, 메틸기 하나가 붙은 사슬 2개, 메틸기 두 개가 붙은 사슬 2개로 총 5가지 구조가 나온다.

기전력으로부터 자유에너지 변화를 구하면 $\Delta G=-nFE$에서 이동 전자수 n=2를 적용해 약 -19.3kcal가 된다.

$\Delta G=-2\times96485\ \mathrm{C/mol}\times0.418\ \mathrm{V}\approx-80660\ \mathrm{J/mol}$이고, 이를 칼로리로 환산하면 $\dfrac{-80660}{4184}\approx-19.3\ \mathrm{kcal}$이다.

양론량만 공급하면 혼합가스 중 NH₃의 부피 백분율은 약 14.4%다.

반응식 $4\mathrm{NH_3}+5\mathrm{O_2}\rightarrow 4\mathrm{NO}+6\mathrm{H_2O}$에서 NH₃ 4 mol을 산화시키는 데 O₂ 5 mol이 필요하다.

공기 중 산소는 21%이므로 필요한 공기량은 $\dfrac{5}{0.21} \approx 23.81\ \mathrm{mol}$이다.

혼합가스 총량은 $4 + 23.81 = 27.81\ \mathrm{mol}$이므로 $\dfrac{4}{27.81}\times 100 \approx 14.4\%$가 된다.

텔로머(telomer)는 알켄(RCH=CH₂)과 사염화탄소·할로겐화 메탄 같은 저분자 물질을 텔로머화(telomerization) 반응시켜 얻는, 사슬이 짧게 끊긴 저분자량 중합체를 말한다.

연쇄이동제 역할을 하는 할로겐화 메탄이 성장 사슬을 계속 끊어주기 때문에 일반 중합체보다 훨씬 짧은 사슬이 만들어진다.

• 덴드리머는 중심에서 규칙적으로 가지가 뻗어나가는 나무 모양의 고분자로 저분자 연쇄이동과는 무관하다.
• 아이오노머는 사슬에 이온성 작용기를 도입한 고분자로 제조 원리가 다르다.
• 프리커서는 중합체 자체가 아니라 그 원료가 되는 전구물질을 가리키는 말이다.

NOx(질소산화물)는 대기 중 수증기와 반응해 질산으로 변하며 산성비의 주요 원인이 된다.

• 오존층 파괴는 주로 프레온가스(CFC) 등에 의한 것이며 CO₂와는 직접 관련이 적다.
• 광화학스모그는 CO₂·SOx가 아니라 NOx와 탄화수소가 자외선을 받아 생기는 현상이다.
• 열에너지를 기계에너지로 바꾸는 효율은 열역학 제2법칙에 따라 100%가 될 수 없다.

수은법은 격막법보다 전류밀도가 크고 얻어지는 NaOH의 순도(제품 품질) 또한 더 우수하다.

수은 음극에 나트륨이 아말감으로 모여 격막을 거치지 않고 순수한 알칼리를 얻을 수 있어 고농도·고순도 제품 생산에 유리하기 때문이다.

반면 격막법은 격막을 통해 식염이 일부 섞여 들어가 제품 순도가 낮고, 전류밀도도 상대적으로 낮다.

합성염산의 원료가 되는 H₂와 Cl₂는 소금물(NaCl 수용액)의 전해로 얻는다.

전해조에서 음극에서는 수소가, 양극에서는 염소가 각각 발생하며, 이 두 기체를 연소·합성시켜 순수한 염화수소(합성염산)를 만든다.

SBS(스타이렌-부타디엔-스타이렌) 블록공중합체는 리빙 음이온 중합으로 제조한다.

이 방법은 사슬이 정지·이동 반응 없이 계속 살아있는(living) 상태로 성장하므로, 스타이렌을 먼저 중합한 뒤 부타디엔, 다시 스타이렌을 순차적으로 붙여 정밀한 블록 구조를 만들 수 있다.

용액 중합은 단량체를 용매에 녹여 반응시키므로 발열을 용매가 흡수해 열제거가 쉽고 반응 혼합물의 점도도 낮게 유지된다.

다만 성장하는 사슬이 용매 분자로 연쇄이동을 일으키기 쉬워 저분자량 고분자가 얻어지는 단점이 있다.

열가소성 고분자는 사슬이 서로 얽혀 있을 뿐 화학적으로 연결되지 않은 선형 또는 가지형 구조이며, 망상(그물)구조는 가교로 인해 녹지 않는 열경화성 고분자의 특징이다.

비결정성 열가소성 플라스틱은 대체로 투명하고, 상온에서 고체 상태인 경우가 많으며, PVC도 대표적인 열가소성 고분자에 속한다.

아닐린을 삼산화크롬(CrO₃) 같은 강산화제로 산화시키면 벤조퀴논이 생성된다.

아닐린의 아미노기가 산화되면서 벤젠고리가 함께 산화되어 두 개의 카르보닐기를 가진 퀴논 구조로 바뀌는 반응이다.

암모니아소다법의 탄산화 공정에서 중화탑은 정제한 암모니아 함수에 탄산가스를 통해 함수를 부분적으로 탄산화시키는 역할을 한다.

함수 속 유리 암모니아의 일부를 미리 탄산암모늄 형태로 바꿔 두면, 이어지는 침전탑(탄산화탑)에서 본 탄산화가 고르게 진행되어 탄산수소나트륨(중조) 결정이 안정적으로 석출된다.

연실식 황산 제조에서 Gay-Lussac 탑은 배출되는 연소가스 중 미반응 질소산화물을 진한 황산에 흡수시켜 회수하는 역할을 한다.

흡수된 질소산화물은 니트로실황산 형태로 잡혔다가 다시 Glover 탑으로 보내져 반응에 재사용되므로, 질소산화물이 그대로 대기로 손실되는 것을 막아준다.

아디프산과 헥사메틸렌디아민을 축합중합시키면 나일론 66이 만들어진다.

두 단량체 모두 탄소 수가 6개이기 때문에 이름에 66이 붙으며, 각각 이산·이아민의 아마이드 축합 반응으로 사슬이 성장한다.

같은 크기의 두 반응기를 이을 때는 PFR을 앞에, MFR을 뒤에 두는 직렬 배열의 전화율이 가장 크다.

속도식이 $-r_A = kC_A^{2}$인 2차(n>1) 반응이면 $1/(-r_A)$ 대 $X_A$ 곡선이 아래로 볼록하다. 이때는 농도가 높은 초기 구간을 농도 구배가 살아 있는 플러그 흐름으로 처리하고, 농도가 낮아진 뒤쪽만 혼합 흐름에 맡겨야 같은 부피로 더 큰 전화율을 얻는다.

• 혼합 흐름을 앞에 두면 입구 농도가 즉시 낮은 출구 농도로 떨어져 반응속도가 큰 초기 구간을 통째로 손해 본다.
• 공급물을 절반씩 나눠 두 반응기에 병렬로 보내면 혼합 흐름 쪽의 낮은 성능이 그대로 절반의 흐름에 남아 직렬 배열보다 불리하다.
• 배열에 따라 필요한 부피와 전화율이 분명히 달라지므로 세 경우가 같아질 수 없다.

1차 반응의 반감기 공식으로 계산하면 속도상수는 약 0.0347min⁻¹이다.

$k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693}{20\,\mathrm{min}}\approx0.0347\,\mathrm{min^{-1}}$

밀도 변화가 없는 계에서는 회분식 반응기의 반응시간과 플러그흐름반응기의 공간시간(τ)이 같은 성능식을 만족하므로, 3시간(=180분)을 그대로 공간시간으로 사용할 수 있다.

$V=\tau \times v_0 = 180\,\mathrm{min}\times 3\,\mathrm{ft^3/min}=540\,\mathrm{ft^3}$

따라서 필요한 플러그흐름반응기 부피는 540ft³이다.

두 반응기의 공간시간 비와 농도 변화를 맞춰 보면 이 반응은 2차 반응이다.

그림에서 유입 농도는 1 mol/L, 1단 CSTR(부피 V₁, $\tau_1 = 90\ \mathrm{s}$)의 출구는 0.5 mol/L, 2단 CSTR($V_2 = 2V_1$이므로 $\tau_2 = 180\ \mathrm{s}$)의 출구는 0.25 mol/L이다.

CSTR 설계식 $\tau = \dfrac{C_{\mathrm{in}}-C_{\mathrm{out}}}{k\,C_{\mathrm{out}}^{\,n}}$에 대입하면
1단: $90 = \dfrac{1-0.5}{k(0.5)^{n}}$
2단: $180 = \dfrac{0.5-0.25}{k(0.25)^{n}}$이다.

두 식을 나누면 $2 = \dfrac{0.25}{0.5}\times\left(\dfrac{0.5}{0.25}\right)^{n} = 0.5\times 2^{n}$이므로 $2^{n} = 4$, 곧 n = 2가 된다.

순환을 끊으면 같은 반응기에서 전화율이 0.75로 올라간다.

순환비 R인 순환 플러그 흐름 반응기의 2차 액상 반응 설계식은 $kC_{A0}\tau = (R+1)\left[\dfrac{1}{1-X_{Af}} - \dfrac{1}{1-X_{A1}}\right]$이고, 반응기 입구 전화율은 $X_{A1} = \dfrac{R}{R+1}X_{Af}$다.

$R=1$, $X_{Af} = \dfrac{2}{3}$이면 $X_{A1} = \dfrac{1}{3}$이므로
$kC_{A0}\tau = 2\left(\dfrac{1}{1/3} - \dfrac{1}{2/3}\right) = 2(3 - 1.5) = 3$이다.

순환비 0은 순수 플러그 흐름이므로 $kC_{A0}\tau = \dfrac{X_A}{1-X_A} = 3$이고, 반응기 크기와 유량이 같아 $kC_{A0}\tau$ 값이 그대로 유지되므로 $X_A = 0.75$가 된다.

같은 시간 간격마다 잔류량이 일정 비율로 줄어들므로 이 분해는 1차 반응이다.

KMnO₄ 적정량 v는 남아 있는 H₂O₂ 양에 비례하므로, 0분 22.8 mL → 10분 13.8 mL → 20분 8.25 mL를 그대로 농도로 쓸 수 있다.

1차 반응이면 $k = \dfrac{1}{t}\ln\dfrac{C_0}{C}$가 구간마다 일정해야 한다.
0→10분: $\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{22.8}{13.8} \approx 0.0502\ \mathrm{min^{-1}}$
10→20분: $\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{13.8}{8.25} \approx 0.0514\ \mathrm{min^{-1}}$

두 값이 사실상 같고 10분마다 약 0.6배씩 줄어드는 일정 비율 감소 형태이므로, 잔류량에 비례하는 1차 속도식이 맞다.

순수 포스핀이 완전히 분해되면 몰수가 4에서 7로 늘어나므로 팽창계수는 0.75다.

팽창계수는 $\varepsilon_A = \dfrac{V_{X_A=1} - V_{X_A=0}}{V_{X_A=0}}$, 즉 전화율 0과 1 사이의 부피(몰수) 변화 비율이다.

반응식 $4\mathrm{PH_3} \rightarrow \mathrm{P_4} + 6\mathrm{H_2}$에서 반응물 4 mol이 생성물 $1 + 6 = 7\ \mathrm{mol}$로 바뀐다.

따라서 $\varepsilon_{\mathrm{PH_3}} = \dfrac{7-4}{4} = 0.75$이며, 불활성 기체 없이 순수 포스핀만 들어 있으므로 몰분율에 의한 보정도 필요 없다.

미카엘리스-멘텐 속도식은 효소의 초기농도 [E₀]와 기질농도 [A], 미카엘리스 상수 [M]으로 다음과 같이 표현된다.

$r_R=\dfrac{k[A][E_0]}{[M]+[A]}$

기질농도가 [M]보다 훨씬 크면 반응속도는 [E₀]에 의해 정해지는 최대속도에 가까워지고, [M]보다 작으면 [A]에 거의 비례하는 1차 반응처럼 거동한다.

혼합흐름반응기에서 중간생성물 R의 최대 농도비는 $\dfrac{C_{R,\max}}{C_{A0}} = \dfrac{1}{\left[(k_2/k_1)^{1/2}+1\right]^{2}}$다.

혼합흐름반응기의 물질수지를 풀면 $C_A = \dfrac{C_{A0}}{1+k_1\tau}$, $C_R = \dfrac{k_1\tau\,C_{A0}}{(1+k_1\tau)(1+k_2\tau)}$가 된다.

이를 $\tau$로 미분해 0으로 두면 최적 공간시간은 $\tau_{opt} = \dfrac{1}{\sqrt{k_1k_2}}$이고, 이를 $C_R$ 식에 되돌려 넣으면 위 결과가 나온다.

즉 괄호 안의 비는 반드시 k₂/k₁이고, 그 제곱근에 1을 더해 제곱한 값의 역수(지수 −2) 형태여야 한다. 두 속도상수의 비가 뒤집혀 있거나 지수가 −1/2인 식은 이 유도 결과와 맞지 않는다.

두 시점의 분해속도와 잔류 농도를 비교하면 이 반응의 차수는 약 2.1차다.

분해량이 20%일 때 남은 CH₃CHO는 초기 압력의 0.8배, 40%일 때는 0.6배이며, 그때의 분해속도는 각각 5.54, 3.07 mmHg/min이다.

속도식 $-r = kP^{n}$의 두 점을 나누고 로그를 취하면
$n = \dfrac{\ln(5.54/3.07)}{\ln(0.8/0.6)} = \dfrac{0.590}{0.288} \approx 2.05$가 된다.

비를 취하는 과정에서 초기 압력이 약분되므로 잔류 비율만으로 차수를 구할 수 있고, 계산값 2.05는 2.1차에 가장 가깝다.

1차 비가역 반응의 관형반응기에서는 공간시간이 $\tau=-\dfrac{\ln(1-X)}{k}$로 전화율에 따라 결정되므로, 공간속도(1/τ)의 비를 이용해 속도상수를 소거하면 새 조건의 공간속도를 구할 수 있다.

$k=\dfrac{-\ln(1-0.3)}{1/2500}\approx892\,\mathrm{h^{-1}}$

$\tau_{90\%}=\dfrac{-\ln(1-0.9)}{892}\approx0.00258\,\mathrm{h}\;\Rightarrow\;1/\tau\approx387\,\mathrm{h^{-1}}$

따라서 전화율 90%에서의 공간속도는 약 387h⁻¹이다.

순수한 A에서 출발해 A가 R과 S로 분해되면 반응한 A 1몰마다 전체 몰수가 1몰씩 늘어나므로, 전화율 X에서 전압은 $\pi=\pi_0(1+X_A)$가 된다.

이로부터 $X_A=\dfrac{\pi-\pi_0}{\pi_0}$이고, A의 분압은 $P_A=P_{A0}(1-X_A)=\pi_0-(\pi-\pi_0)=2\pi_0-\pi$로 정리된다.

조작선의 기울기가 큰 경우에는 플러그 흐름 반응기가 가장 유리하다.

그림은 세로축 $X_A$, 가로축 $T$ 평면에 그려진 직선 형태의 단열 조작선이다. 기울기 $\dfrac{C_P}{-\Delta H_r}$가 크다는 것은 전화율이 올라가도 온도가 거의 변하지 않는다(열용량에 비해 반응열이 작다)는 뜻이다.

온도 변화가 작으면 반응기 전 구간에서 속도상수가 거의 일정하므로, 남은 것은 농도 효과뿐이다. 이때는 농도가 높은 상태를 그대로 지나가며 반응시키는 플러그 흐름이 같은 전화율을 가장 작은 부피로 얻는다.

반대로 기울기가 작아 조작선이 크게 누우면 전화율이 조금만 올라가도 온도가 크게 변해 낮은 전화율 구간의 속도가 매우 느려지므로, 출구 조건으로 단번에 건너뛰는 혼합 흐름(교반형) 쪽이 유리해진다.

물리적 흡착은 반데르발스 힘에 의한 약한 결합이라 활성화 에너지가 작고 흡착과 탈착이 쉽게 일어나는, 가역성이 높은 현상이다.

가역성이 낮다는 설명은 오히려 강한 화학결합을 형성하는 화학흡착의 특징에 해당하므로 물리적 흡착에 대한 설명으로는 옳지 않다.

다분자층 흡착이 가능하다는 점, 고체 표면에서 일어난다는 점은 모두 물리적 흡착의 올바른 특징이다.

불균일 촉매반응의 속도를 나타낼 때는 보통 반응물의 물질전달·흡착, 표면반응, 생성물의 탈착·확산 같은 물리·화학적 단계들을 직렬로 놓고 고려한다.

촉매표면의 구조변화는 촉매의 비활성화(피독·소결 등)와 관련된 현상으로, 속도식을 구성하는 표준 단계에는 포함되지 않는다.

두 반응의 속도상수가 같으므로 τ_p/τ_m = 1, 즉 R이 최대가 되는 공간시간이 두 반응기에서 서로 같다.

1차 직렬반응 $\mathrm{A}\rightarrow\mathrm{R}\rightarrow\mathrm{S}$에서 R의 농도를 최대로 만드는 공간시간은
관형 반응기: $\tau_p = \dfrac{\ln(k_2/k_1)}{k_2-k_1}$(속도상수의 로그평균의 역수)
혼합 반응기: $\tau_m = \dfrac{1}{\sqrt{k_1k_2}}$(기하평균의 역수)이다.

문제 조건대로 $k_1 = k_2 = k$를 넣으면 관형은 극한값 $\tau_p = \dfrac{1}{k}$, 혼합은 $\tau_m = \dfrac{1}{\sqrt{k\cdot k}} = \dfrac{1}{k}$가 되어 두 값이 정확히 같아진다.

다만 같아지는 것은 최대점을 주는 공간시간뿐이고, 그때 얻어지는 R의 최대 농도 자체는 관형 반응기 쪽이 더 크다.

아레니우스식에 두 온도에서의 속도비를 대입하면 활성화 에너지를 구할 수 있다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$

$\ln 2=\dfrac{E_a}{1.987}\left(\dfrac{1}{320}-\dfrac{1}{330}\right)$을 풀면 $E_a\approx14{,}500\,\mathrm{cal}$로, 활성화 에너지는 약 14,500cal이다.

공간시간이 5분이라는 것은 1분 동안 반응기 부피의 1/5에 해당하는 공급물을 처리할 수 있다는 뜻이다.

공간시간 $\tau = \dfrac{V}{v_0}$는 반응기 부피 한 개 분량의 공급물을 처리하는 데 걸리는 시간이다. 따라서 5분이 걸려야 반응기 부피 1개 분량을 처리한다.

이를 분당으로 환산하면 $\dfrac{1}{5}$배 부피이고, 공간속도는 그 역수인 $0.2\ \mathrm{min^{-1}}$이다. 분당 5배를 처리한다는 설명은 공간시간과 공간속도를 뒤바꾼 것이다.

또한 공간시간은 부피 기준의 처리 능력을 나타내는 값일 뿐이어서, 특정 전화율에 도달하는 시간이나 100% 전환에 걸리는 시간을 뜻하지 않는다.

순간적 수득분율은 그 순간 반응한 A 중 원하는 생성물 R로 간 비율, 곧 $\phi = \dfrac{dC_R}{-dC_A}$다.

A는 R과 S로 동시에 갈라지므로 분모에는 소모된 A의 양이 들어간다. 반응이 진행되면 A는 줄어들어 $dC_A$가 음수이므로, 부호를 뒤집은 $-dC_A$를 써야 값이 0과 1 사이의 양수가 된다.

분자는 요구 물질인 R의 생성량 $dC_R$이다. 부산물 S의 생성량을 분자에 두면 원하지 않는 쪽의 수득분율이 되어 정의에 어긋나고, 분모의 부호를 뒤집지 않으면 결과가 음수가 되어 수득분율로 쓸 수 없다.

순환식 플러그흐름반응기의 2차 반응 설계식으로 반응기 크기(kC_A0τ)를 먼저 구한 뒤, 같은 반응기를 순환 없이 사용했을 때의 전화율을 다시 풀면 된다.

순환비 R=2이면 반응기 입구 전화율은 $X_1=\dfrac{R}{R+1}X_f=\dfrac{2}{3}\times0.5=\dfrac{1}{3}$이므로