순환법칙을 β·k의 정의로 정리하면 (∂P/∂T)_V = β/k 가 된다.

정의상 부피 팽창률 β = (1/V)(∂V/∂T)_P, 등온압축률 k = −(1/V)(∂V/∂P)_T 이다.

(∂P/∂T)_V(∂T/∂V)_P(∂V/∂P)_T = −1 에서
(∂P/∂T)_V = −(∂V/∂T)_P ÷ (∂V/∂P)_T
= −(Vβ) ÷ (−Vk) = β/k

등온압축률 정의에 이미 음(−)부호가 들어 있어 순환법칙의 −1과 상쇄되므로 결과에는 음부호가 남지 않으며, β와 k의 분자·분모 위치도 바뀌지 않는다.

B→C는 부피가 변하지 않는 정용(정적) 과정이다.

그림은 세로축이 P, 가로축이 V인 선도다. A→B는 압력이 그대로인 채 오른쪽으로 뻗는 수평선이므로 정압팽창이고, 이어지는 B→C는 같은 V 위치에서 아래로 곧게 내려가는 수직선이므로 부피는 고정된 채 압력만 낮아진다.

정용 과정에서는 ΔV = 0 이라 팽창일 W = ∫PdV = 0 이고, 계가 주고받은 열이 전부 내부에너지 변화로 간다.

등온이라면 PV = 일정인 쌍곡선, 단열이라면 PV^γ = 일정인 더 가파른 곡선이 되어 수직선이 될 수 없고, 정압은 앞 구간 A→B에 해당하는 수평선이다.

lnP = A − B/(T + C) 형태로 순수물질의 증기압을 온도의 함수로 주는 식은 안토인(Antoine) 식이다.

클라우지우스-클라페이롱 식에서 유도되는 lnP = A − B/T 를 실측치에 맞게 보정한 것으로, 분모에 상수 C를 더해 넓은 온도 구간에서 정확도를 높인 3-상수 경험식이다.

• 돌턴 식은 혼합기체에서 각 성분 분압의 합이 전압이라는 관계식이다.
• 라울 식은 이상용액의 기-액 평형을 p_i = x_iP_i^sat로 나타낸 식이다.
• 뉴턴의 이름이 붙은 식은 점성·냉각 등에 쓰이며 증기압-온도 관계식이 아니다.

평형에서의 반응좌표는 ε = 2/3 ≒ 0.667 몰이다.

반응 전후 총 몰수가 2몰 → 2몰로 변하지 않으므로 몰분율의 총몰수가 약분되어 압력에 무관하고, 평형상수를 몰수만으로 쓸 수 있다.
K = (n_CO2·n_H2) / (n_CO·n_H2O) = ε·ε / {(1 − ε)(2 − ε)} = 1.0

정리하면
ε² = 2 − 3ε + ε²
3ε = 2, ε = 0.667

이때 평형 조성은 CO 0.333몰, H₂O 1.333몰, CO₂ 0.667몰, H₂ 0.667몰이고, 대입하면 (0.667×0.667)/(0.333×1.333) = 1.0으로 확인된다.

단열가역 팽창이므로 엔트로피가 보존되어 팽창 후에도 $S=1.66\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}$로 유지된다.

2atm에서 건도 $x$는 $x=\dfrac{S-S_f}{S_g-S_f}=\dfrac{1.66-0.36}{1.70-0.36}=\dfrac{1.30}{1.34}\approx0.97$이다.

따라서 수증기의 질량비는 약 97%이다.

실제기체가 이상기체 거동에 가장 가까워지는 조건은 분자 간 거리가 멀어지고 분자 자체 부피·인력의 영향이 작아지는 저압, 고온 상태이다.

고압에서는 분자간 반발(부피)효과가, 저온에서는 분자간 인력이 커져 이상기체 가정에서 벗어난다.

이상기체의 엔탈피는 온도만의 함수이므로, 등온 과정에서 압력이 변해도 엔탈피는 변하지 않는다.

따라서 등온 하에서 압력을 증가시켜도 엔탈피는 일정하게 유지된다.

가역단열(등엔트로피) 이상기체 팽창이므로 결과는 T₂ = T₁·exp{−2.3026 / (C_P/R)} 이다.

이상기체의 엔트로피 변화식에 ΔS = 0을 넣으면
0 = C_Pln(T₂/T₁) − R·ln(P₂/P₁)
ln(T₂/T₁) = (R/C_P)·ln(P₂/P₁)

압력비가 1 bar ÷ 10 bar = 0.1이므로 ln 0.1 = −2.3026을 대입하면
T₂ = T₁·exp{−2.3026 / (C_P/R)}
즉 초기온도 T₁에 지수항이 곱해지는 형태가 된다.

지수의 −1.6094는 ln 0.2로 압력비를 1/5로 잘못 본 값이고, 앞에 T₁ 대신 C_P가 오면 좌변의 단위(K)와 맞지 않아 식 자체가 성립하지 않는다.

ΔH°와 ΔG°가 같아지는 온도에서 표준엔트로피 변화는 ΔS° = 0이다.

표준 깁스에너지의 정의는 $\Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\Delta S^\circ$ 이므로, 여기에 $\Delta H^\circ = \Delta G^\circ$ 를 대입하면 $T\Delta S^\circ = 0$ 이 된다.

절대온도 T는 0이 될 수 없으므로 남는 해는 ΔS° = 0 하나뿐이다.

• ΔS°가 0보다 크다·작다고 한 것은 부호를 고정할 근거가 없다.
• 보기 중 $\Delta S^\circ = \dfrac{\Delta H^\circ}{T}$ 로 쓴 것은 ΔG° = 0(평형)일 때 성립하는 식이므로 주어진 조건과 다르다.

Clapeyron식, Watson 상관식, Riedel식은 모두 순수성분의 증발잠열을 추산하는 데 쓰이는 식이다.

반면 Gibbs-Duhem식은 혼합물 성분들의 부분몰량 사이의 관계를 나타내는 식으로, 증발잠열 계산과는 직접 관련이 없다.

압축비를 4.5에서 7.5로 올리면 오토 사이클의 열효율은 약 1.22배가 된다.

오토 사이클 열효율은 $\eta = 1 - \left(\dfrac{1}{r}\right)^{\gamma-1}$ 이고, 주어진 열용량비가 $\dfrac{C_P}{C_V} = 1.4$ 이므로 $\gamma - 1 = 0.4$ 이다.

r = 4.5 : $\eta_1 = 1 - 4.5^{-0.4} = 1 - 0.548 = 0.452$
r = 7.5 : $\eta_2 = 1 - 7.5^{-0.4} = 1 - 0.447 = 0.553$

따라서 $\dfrac{\eta_2}{\eta_1} = \dfrac{0.553}{0.452} \approx 1.22$ 배이다.

열역학 제2법칙을 식으로 옮긴 것은 전체계(계+주위)의 엔트로피 변화가 0 이상이라는 $\Delta S_{total} \ge 0$ 이다.

가역과정이면 등호, 비가역(자발적) 과정이면 부등호가 성립하며, 이것이 변화의 방향성을 규정하는 제2법칙의 수학적 표현이다.

• $\Delta U + \dfrac{\Delta u^2}{2} + g\Delta z = Q - W$ 는 운동·위치에너지까지 포함한 제1법칙(에너지수지) 식이다.
• $dU = dQ - dW$ 도 제1법칙의 미분형이다.
• $\lim_{T \to 0} \Delta S = 0$ 은 절대영도에서의 엔트로피를 규정한 제3법칙이다.

틀린 것은 $\ln K = -\dfrac{\Delta G^\circ}{RT^2}$ 로 쓴 관계식이다. 분모는 RT²이 아니라 RT 여야 한다.

표준상태 기준으로 $\Delta G^\circ = -RT\ln K$ 이므로 옳은 형태는 $\ln K = -\dfrac{\Delta G^\circ}{RT}$ 이다. 분모에 T²이 들어가는 것은 van't Hoff 식 $\dfrac{d\ln K}{dT} = \dfrac{\Delta H^\circ}{RT^2}$ 처럼 온도로 미분한 형태일 때다.

• $K = \prod (a_i)^{\nu_i}$ 는 활동도와 양론수로 쓴 평형상수의 정의 그대로다.
• ΔG°가 표준상태에서 온도만의 함수이므로 K도 온도만의 함수다.
• 활동도가 무차원이라 그 거듭제곱의 곱인 K도 무차원이다.

1차 상전이에서 깁스 자유에너지 G는 두 상에서 같은 값을 가져 연속이며, 불연속인 것은 G의 1차 미분에 해당하는 엔트로피 S와 부피 V이다.

순수성분은 일정 온도에서 압력을 낮추거나 일정 압력에서 온도를 높이면 액체에서 기체로 상전이가 일어난다.

틀린 것은 n = γ 인 경우를 '등압변화'라고 한 설명이다. $PV^{\gamma} = c$ 는 단열(등엔트로피) 변화다.

폴리트로픽 식 $PV^n = c$ 에서 지수 n의 값이 곧 과정의 종류를 정한다.

• n = 0 → $P = c$, 등압변화
• n = 1 → $PV = c$, 등온변화
• n = γ (= C_P/C_V) → $PV^{\gamma} = c$, 단열변화
• n = ∞ → $V = c$, 정용(정적)변화

빗금 친 면적은 등온에서의 엔트로피 변화 ΔS를 나타낸다.

그림은 가로축이 압력 P, 세로축이 $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ 인 등온선이고, 빗금은 P₁ 에서 P₂ 까지 곡선 아래를 채운 영역이므로 그 넓이는 $\int_{P_1}^{P_2}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P dP$ 이다.

여기에 Maxwell 관계식 $\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ 를 넣으면 $-\int_{P_1}^{P_2}\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T dP$ 가 되어, 이 면적의 크기가 곧 등온 엔트로피 변화 ΔS 다.

차원으로 봐도 (부피/온도)×압력 = 에너지/온도이므로 일 W나 엔탈피 ΔH가 아니라 엔트로피 단위임이 확인된다.

증발 시 엔트로피 변화는 $\Delta S=\dfrac{L}{T}$로 구한다.

$\Delta S=\dfrac{539.1}{373}\approx1.445\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}$

수증기의 엔트로피는 $S_g=S_f+\Delta S=0.3+1.445\approx1.74\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}$로, 약 1.74이다.

고립계에서 상평형(열역학적 평형) 상태는 엔트로피가 최대가 되는 상태로 정의된다.

이는 열역학 제2법칙에 따른 것으로, 엔탈피·내부에너지·깁스 자유에너지는 평형에서 최대가 되는 성질이 아니다.

틀린 것은 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$ 로 쓴 식이다. 이 Maxwell 관계식에는 음(−)부호가 붙지 않는다.

Helmholtz 에너지 $dA = -SdT - PdV$ 의 교차 2계 편미분이 같아야 하므로 옳은 형태는 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T$ 이다.

• $\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\dfrac{\partial P}{\partial S}\right)_V$ — 내부에너지 $dU = TdS - PdV$ 에서 유도되며 옳다.
• $\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_S = \left(\dfrac{\partial V}{\partial S}\right)_P$ — 엔탈피 $dH = TdS + VdP$ 에서 유도되며 옳다.
• $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = -\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T$ — 깁스에너지 $dG = -SdT + VdP$ 에서 유도되며 옳다.

정해진 온도와 압력에서 화학반응의 평형조건은 깁스 자유에너지 변화가 0이 되는 지점이다.

$\Delta G=0$일 때 반응이 더 이상 자발적으로 진행되지 않고 평형에 도달한다.

비교습도(%H)는 실제 몰습도를 같은 온도·압력에서의 포화 몰습도로 나눈 값이다.

$\%H=\dfrac{p/(P-p)}{p_s/(P-p_s)}\times100$에 $P=750$, $p_s=31.8$, $\%H=20$을 대입해 풀면 $p\approx6.58\ \mathrm{mmHg}$이다.

따라서 공기 중 실제 증기압은 약 6.58mmHg이다.

습구온도계는 젖은 솜에서 물이 기화되며 빼앗는 잠열 때문에 온도가 내려가고, 이 온도 강하 정도로부터 주위 공기의 건조 상태(습도)를 예측한다.

물의 기화속도는 오히려 주위 공기의 건조도에 따라 달라지는 것이 원리의 핵심이므로, 기화속도가 공기건조도와 무관해지도록 하기 위함이라는 설명은 습구온도계의 목적과 맞지 않는다.

CO₂는 흡수되지 않는 불활성 성분이므로 기체 중 CO₂의 몰수는 처음부터 끝까지 일정하다.

100mol 기준 초기 CO₂=25mol, NH₃=75mol이며, 출구 기체 NH₃가 37.5%이면 CO₂는 62.5%이므로 출구 총량은 $25/0.625=40\ \mathrm{mol}$, 남은 NH₃는 $40\times0.375=15\ \mathrm{mol}$이다.

제거된 NH₃는 $75-15=60\ \mathrm{mol}$이므로 제거율은 $60/75\times100=80\%$이다.

두 용액의 삼투압이 같아지려면 용질 입자의 몰농도가 같아야 한다.

포도당(분자량 180) 4.5g/L의 몰농도는 $4.5/180=0.025\ \mathrm{mol/L}$이고 전리하지 않으므로 입자농도도 그대로 0.025mol/L이다.

NaCl은 완전히 전리($i=2$)하므로 $C_{NaCl}=0.025/2=0.0125\ \mathrm{mol/L}$이며, 분자량 58.5를 곱하면 $0.0125\times58.5\approx0.731\ \mathrm{g}$이다.

N₂+3H₂→2NH₃ 반응에서 N₂ $x$mol이 반응하면 전체 몰수는 $2x$만큼 줄어든다.

초기 총 42mol에서 평형 38mol이 되었으므로 $42-2x=38 \Rightarrow x=2$이고, 생성된 NH₃는 $2x=4\ \mathrm{mol}$이다.

시강변수(intensive property)는 계의 크기(양)에 무관한 성질로, 온도·압력·밀도·비체적 등이 해당한다.

• 체적은 계의 크기에 비례하는 시량변수가 맞지만, 온도와 비체적은 시강변수이므로 이들을 시량변수로 묶은 서술은 틀렸다.
• 질량은 계의 크기에 비례하는 시량변수이므로 시강변수 목록에 들어갈 수 없다.
• 시강변수도 온도·압력처럼 계의 상태를 규정하는 데 쓰인다.

1kgf=9.80665N의 환산관계는 성립하지만, 이를 0.4536kgf에 그대로 적용해 9.80665N이라 쓰면 틀린다 — $0.4536\times9.80665\approx4.448\ \mathrm{N}$이 되어야 한다.

나머지 $1.0\ \mathrm{g/cm^3}=1000\ \mathrm{kg/m^3}$, $0.2386\ \mathrm{J}=0.057\ \mathrm{cal}$, $1.013\ \mathrm{bar}=101.3\ \mathrm{kPa}$은 모두 올바른 환산이다.

두 물질의 증기압을 동일 온도에서 서로 비교해 대수좌표(로그-로그)에 나타낸 도표는 Othmer 도표이며, 두 물질의 증기압 사이 직선관계를 이용해 몰 증발잠열의 비를 구할 수 있다.

Duhring 도표는 용액과 순수 용매의 끓는점을 비교한 것이고, Cox 선도와 Watson 상관식은 각각 다른 형태로 증기압·잠열을 표현하는 방법이다.

1%는 10,000ppm에 해당하므로, $10\ \mathrm{ppm}=\dfrac{10}{10000}\%=0.001\%$이다.

정상상태에서 성립하는 관계는 A = B이다.

그림은 공급 원료 A가 재순환류 C와 합쳐져 D가 되어 공정으로 들어가고, 공정 출구 E가 다시 재순환 C와 제품 B로 갈라지는 순환 조작이다.

계 전체를 하나의 경계로 묶으면 밖에서 들어오는 흐름은 A, 밖으로 나가는 흐름은 B뿐이고 축적이 없으므로 A = B가 된다.

• 합류점 수지는 A + C = D 이므로 A + C = D + B 는 성립하지 않는다.
• 분기점 수지는 E = C + B 이므로 D = E + C 도 성립하지 않는다.
• 공정 전후로 D = E 이고 C는 내부 순환량이라 A·B와 같아야 할 이유가 없다.

이상용액이므로 Raoult 법칙 $P=x_M P_M^{sat}+(1-x_M)P_E^{sat}$을 적용한다.

$760=x_M(857)+(1-x_M)(543)$을 정리하면 $x_M=\dfrac{760-543}{857-543}=\dfrac{217}{314}\approx0.69$이다.

따라서 액상 메탄올의 몰분율은 약 0.69이다.

수분함량(습량기준)은 제거된 수분량을 처음 습윤재료의 질량으로 나눈 값이다.

제거된 수분은 $10-9.2=0.8\ \mathrm{kg}$이므로, 수분함량은 $\dfrac{0.8}{10}\times100=8\%$이다.

향류 흡수탑에서 한계 기액비는 필요한 액 유량과 이론단수·탑높이를 좌우하므로, 흡수탑의 경제성에 큰 영향을 미친다 — 별로 영향을 미치지 않는다는 설명은 틀렸다.

• 기체 속도가 일정할 때 액 유속이 줄면 조작선 기울기(L/V)는 감소한다.
• L/V비가 작아 조작선이 평형선에 가까워지면(핀치) 필요한 탑의 단수·길이가 길어진다.
• 경제적인 조업을 위해 조작선과 평형선의 기울기를 서로 비슷한 수준으로 맞추는 설계가 일반적으로 쓰인다.

분쇄(comminution)는 고체 입자의 크기를 줄이는 조작으로, 기계적 분리조작이 아니라 크기 축소(파쇄) 조작에 해당한다.

여과·침강·집진은 모두 혼합물에서 고체를 분리해내는 대표적인 기계적 분리조작이다.

순수한 물의 20℃ 점도는 약 1cP(centipoise)이며, 이는 $0.001\ \mathrm{Pa\cdot s}$에 해당한다.

$1\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}$(=1poise), $1\ \mathrm{Pa\cdot s}$, $1\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}$는 모두 물보다 100~1000배 큰 값으로 실제 물의 점도를 나타내지 않는다.

더운 물의 열부하는 $Q=\dot m c_p \Delta T=20\times4.184\times(370-340)\approx2510\ \mathrm{kW}$이다.

같은 열량으로 냉각수 출구온도를 구하면 $300+\dfrac{2510}{30\times4.184}\approx320\ \mathrm{K}$이며, 향류이므로 양끝 온도차는 $\Delta T_1=370-320=50\ \mathrm{K}$, $\Delta T_2=340-300=40\ \mathrm{K}$이다.

대수평균온도차 $\mathrm{LMTD}=\dfrac{50-40}{\ln(50/40)}\approx44.8\ \mathrm{K}$이고, 전열면적은 $A=\dfrac{Q}{U\cdot\mathrm{LMTD}}=\dfrac{2510}{2.5\times44.8}\approx22.4\ \mathrm{m^2}$이다.

열전달량과 온도구배의 관계를 나타내는 가장 기본적인 법칙은 푸리에(Fourier)의 법칙으로, 전도 열유속이 온도구배에 비례함을 나타낸다.

뉴턴의 법칙은 대류 열전달, 픽의 법칙은 물질확산, 후크의 법칙은 응력-변형률 관계를 다루는 법칙으로 열전달-온도 관계의 기본 법칙이 아니다.

Fanning 마찰계수 f로 손실수두를 나타내면 $H_f = 4f\dfrac{L}{D}\dfrac{\bar{V}^2}{2g}$ 이다.

Fanning 계수는 벽면 전단응력 기준으로 정의되어 Darcy 관마찰계수와 $f_D = 4f$ 의 관계가 있고, Darcy 식 $H_f = f_D\dfrac{L}{D}\dfrac{\bar{V}^2}{2g}$ 에 이를 넣으면 위 식이 된다.

• $H_f = f\dfrac{L}{D^2}\dfrac{\bar{V}^2}{g}$ 는 직경이 제곱으로 들어가 차원이 맞지 않는다.
• H_f = 16/f, H_f = 16f/N_Re 는 층류에서의 f = 16/N_Re 관계를 손실수두 식인 것처럼 옮긴 것이다.

단일 성분 확산(A만 이동하고 B는 정지한 상태)을 나타내는 식은 $\dfrac{N_A}{A} = \dfrac{D_m}{B}\ln\left(\dfrac{1-y}{1-y_i}\right)$ 이다.

정지한 B층을 뚫고 A만 이동하면 A의 이동에 따른 총괄흐름(bulk flow)이 함께 생겨 물질수지에 (1 − y) 항이 남고, 이를 확산층 두께 B에 걸쳐 적분하면 로그 형태가 나온다.

• $\dfrac{N_A}{A} = \dfrac{D_m}{B}(y_i - y)$ 는 두 성분이 서로 같은 몰수만큼 반대로 오가는 등몰상호확산 식이다.
• 로그 없이 $\dfrac{1-y}{1-y_i}$ 만 곱한 식과 농도차에 로그를 씌운 $\ln(y_i - y)$ 형태는 유도 과정에 나오지 않는 형태다.

플러그(plug)는 관의 끝을 막는 부속품으로, 두 개의 관을 서로 연결하는 용도가 아니다.

유니온·니플·소켓은 모두 두 관을 이어주는 대표적인 관 연결 부속품이다.

가장 적합한 것은 부제어루프가 $\dfrac{2}{2s+1}$, 주제어루프가 $\dfrac{6}{10s+1}$ 인 조합이다.

캐스케이드 제어는 내부(부)루프가 외란을 주루프보다 훨씬 빨리 잡아 줄 때 효과가 나므로, 부제어루프 공정의 시간상수가 주제어루프보다 작아야 한다.

이 조합은 부루프 시간상수가 2, 주루프가 10이라 내부 루프가 약 5배 빠르므로 외란이 주제어변수에 영향을 주기 전에 제거된다.

• 부루프 시간상수 10에 주루프 2인 조합들은 내부가 오히려 느려서 캐스케이드의 이점이 없다.
• 부·주 모두 시간상수가 10으로 같은 조합도 속도 차이가 없어 부적합하다.

잔류편차(offset)는 약 0.71이다.

공정이 $G_P(s) = \dfrac{2}{3s+1}$ 이므로 공정이득 $K_p = 2$ 이고, 비례제어기 이득은 $K_c = 3$ 이다.

비례제어만 걸린 폐루프의 설정값 응답을 최종치정리로 구하면 $y(\infty) = \dfrac{K_cK_p}{1+K_cK_p}\Delta r = \dfrac{6}{7}\times 5 = 4.29$ 이다.

따라서 $\text{offset} = \Delta r - y(\infty) = \dfrac{\Delta r}{1+K_cK_p} = \dfrac{5}{7} \approx 0.71$ 이다.

모든 주파수에서 진폭비(AR)가 1로 일정한 요소는 순수 시간지연(dead time)이므로 $e^{-0.2s}$가 답이다.

주파수응답은 s에 jω를 대입해 구한다. $|e^{-0.2j\omega}|=1$ 이므로 크기는 ω와 무관하게 항상 1이고, 위상만 $-0.2\omega$(rad)만큼 뒤진다. 즉 신호의 크기는 그대로 두고 시각만 0.2만큼 늦추는 요소다.

• $\dfrac{1}{s+1}$ : $AR=\dfrac{1}{\sqrt{\omega^{2}+1}}$ 로 ω가 커질수록 1보다 작아진다.
• $\dfrac{1}{s-0.1}$ : 극점이 우반평면에 있어 계 자체가 불안정하고 AR도 주파수에 따라 변한다.
• $s+1$ : $AR=\sqrt{\omega^{2}+1}$ 로 ω가 커질수록 무한히 커진다.

최좌열의 부호가 두 번 바뀌므로 양의 실수부를 갖는 근은 2개다.

Routh 판별법에서 특성방정식이 갖는 우반평면 근(불안정한 근)의 개수는 Routh 배열 첫 열의 부호 변화 횟수와 같다.

주어진 열은 위에서부터 1 → 3 → -1 → 3 → 2 이다.
3에서 -1로 갈 때 한 번, -1에서 3으로 갈 때 또 한 번 부호가 바뀌므로 부호 변화는 모두 2회다.
따라서 양의 실수부를 갖는 근이 2개 존재하며, 이 계는 불안정하다.

이 공정의 정상상태 이득은 2이므로 단위계단에 대한 최종 출력 변화도 2이다. 6만큼 변한다는 설명이 틀렸다.

최종값 정리로 확인하면
$\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}s\cdot\dfrac{2(3s+1)}{(5s+1)(2s+1)}e^{-4s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{2\times 1}{1\times 1}=2$

나머지 설명은 모두 옳다.

• $e^{-4s}$는 4분의 수송지연이므로 실제 출력 변화는 4분이 지난 뒤에 비로소 시작된다.
• 영점이 $s=-\dfrac{1}{3}$로 좌반평면에 있다. 역응답은 양의 영점이 있을 때 생기므로 여기서는 나타나지 않는다.
• 극점이 $s=-\dfrac{1}{5},\ -\dfrac{1}{2}$로 모두 서로 다른 실수여서 진동 없이 단조롭게 수렴한다.

V의 시간변화율이 항상 0 이하이므로 V는 시간에 따라 감소한다.

주어진 관계는 $\dfrac{dx_1}{dt}=x_2$, $\dfrac{dx_2}{dt}=-x_1-x_2$ 이고, 살펴볼 양은 $V=x_1^{2}+x_2^{2}$ 이다.

V를 시간으로 미분해 대입하면
$\dfrac{dV}{dt}=2x_1\dfrac{dx_1}{dt}+2x_2\dfrac{dx_2}{dt}=2x_1x_2+2x_2(-x_1-x_2)=-2x_2^{2}$
$-2x_2^{2}\le 0$ 이므로 V는 결코 커지지 않고, $x_2\neq 0$인 동안 계속 줄어든다.

이는 Lyapunov 함수로 안정성을 판정하는 전형적인 형태로, 상태가 원점으로 수렴함을 뜻한다. 따라서 진동하거나 초기값에 따라 증감이 갈리는 일은 없다.

$\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}$ 이므로 1/s가 답이다.

정의대로 적분하면
$\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-st}dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=0-\left(-\dfrac{1}{s}\right)=\dfrac{1}{s}\quad(s>0)$

혼동하기 쉬운 것들을 정리하면, $\dfrac{1}{s^{2}}$은 단위램프 $f(t)=t$의 변환이고, s나 s²은 미분 연산에 대응하는 인자라 상수함수의 변환이 될 수 없다.

공정에 대한 수학적 모델은 공정 이해 향상, 운전 최적화, 제어시스템 설계·평가 등에 직접 활용된다.

반면 제품 시장의 분석 및 평가는 마케팅·경영 영역의 활동으로, 공정 모델의 직접적 용도로 보기 어렵다.

설정치를 일정하게 유지한 채 부하(외란)가 변화할 때 이를 억제하는 문제는 레귤레이터(regulator) 문제라 하며, 화학공장에서 가장 흔히 나타나는 제어 문제이다.

이와 달리 설정치 자체가 변화하는 경우를 다루는 것은 서보(servo) 문제이다.

정상상태 (0, 2) 부근에서 1차 테일러 전개로 선형화하면 $f\approx f(0,2)+\dfrac{\partial f}{\partial x}\Big|_{0,2}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\Big|_{0,2}(y-2)$이다.

$f(0,2)=e^{0}+2^2-5=0$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^x=1$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y=4$이므로 $f\approx x+4(y-2)=x+4y-8$이다.

피드포워드 제어기는 공정에 영향을 주는 외란을 사전에 측정하여 그 영향이 나타나기 전에 조작변수를 조정하는 방식이므로, 보상하고자 하는 외란을 반드시 측정할 수 있어야 한다.

설정점과 제어변수의 오차를 이용하는 것은 피드백 제어의 특징이고, 피드포워드는 PID가 아니라 공정모델 기반 연산기를 주로 사용하며, 피드백과 함께 사용하면 오히려 제어 성능이 향상되는 것이 일반적이다.

단위계단입력에 감쇠 진동(underdamped) 응답을 보이려면 특성방정식의 근이 실수부가 음수인 켤레복소수여야 한다.

주어진 근 중 $-1+2i,\ -1-2i$는 실수부($-1$)가 음수이고 허수부를 가지므로 안정하면서 진동이 감쇠하는 응답을 나타낸다.

실수부가 양수인 켤레복소근은 발산하는 진동을 주고, 근이 모두 실수인 경우(음의 실근이든 양의 실근이든)는 진동 없는 응답이 되어 조건에 맞지 않는다.

선형 피드백제어계의 특성방정식은 폐루프 전달함수의 분모를 0으로 놓은 식으로, 이는 $1+G_{OL}(s)=0$, 즉 1 + 열린 루프(open loop) 전달함수 = 0의 형태로 표현된다.

여기서 열린 루프 전달함수는 제어기·공정·측정기 전달함수를 모두 곱한 값이다.

선도를 정리하면 Y/X = (G_aG_bG_c + G_c) / (1 + G_bG_c) 가 된다.

신호 흐름을 그대로 식으로 옮기면, 첫 합산점에서 $E_2=G_aX-Y$, 두 번째 합산점에서 $E_1=G_bE_2+X$, 마지막으로 $Y=G_cE_1$ 이다.

차례로 대입해 Y로 정리하면
$Y=G_c\left[G_b(G_aX-Y)+X\right]$
$Y(1+G_bG_c)=(G_aG_bG_c+G_c)X$
$\dfrac{Y}{X}=\dfrac{G_aG_bG_c+G_c}{1+G_bG_c}$

되먹임 루프가 G_b–G_c 구간 하나뿐이라 분모에는 G_bG_c만 남고, 입력 X가 G_c 바로 앞으로 직접 들어가는 앞먹임 경로 때문에 분자에 G_c 항이 따로 더해진다.

이 공정은 양의 영점(s = 1/2)을 가져 역응답(inverse response)을 보인다. 즉 출력이 처음에는 아래로 내려갔다가 방향을 바꿔 올라가 양의 정상값에 수렴하는 모양이다.

단위계단 응답을 실제로 구하면
$Y(s)=\dfrac{-2s+1}{s(s+1)^{2}}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{3}{(s+1)^{2}}$
$y(t)=1-e^{-t}-3te^{-t}$

초기 기울기가 $y'(0)=-2<0$ 이라 처음에는 음의 방향으로 움직이고, $t=\dfrac{2}{3}$ 에서 최소값 약 -0.54를 지난 뒤 상승해 최종값 1로 수렴한다.

따라서 처음부터 지수적으로 올라가는 1차 응답 곡선, 크게 솟았다가 내려오는 오버슈트 곡선, S자로 완만히 올라가는 고차 지연 곡선은 모두 이 식과 맞지 않는다.

두 공정 모두 1차계이고 이득이 각각 2와 4이므로, 이득이 큰 공정 B의 최종 응답 변화가 더 크다.

크기 M인 계단입력에 대한 최종값은 이득 × M 이다.
공정 A : 최종 변화 $2M$, 시간상수 $\tau=10$
공정 B : 최종 변화 $4M$, 시간상수 $\tau=5$

즉 B의 최종 변화량이 A의 2배다. 게다가 시간상수가 작은 B가 오히려 더 빨리 정상상태에 도달하므로, A가 더 빠르다는 설명은 성립하지 않는다.

또한 두 공정 모두 실수 극점 하나뿐인 1차계여서 진동 자체가 생기지 않는다. 어느 쪽 진동이 더 심한지를 따지는 설명들은 애초에 맞지 않는다.

위상이 -180°가 되는 임계주파수는 약 1.33 rad/time이고, 그 주파수에서 진폭비가 1이 되는 K_c의 최대치는 약 4.34이다.

개루프 전달함수는 $G_{OL}(j\omega)=K_c\left(1+\dfrac{1}{2j\omega}\right)\dfrac{1}{(j\omega+1)^{3}}$ 이고, 위상 조건은
$-\tan^{-1}\dfrac{1}{2\omega}-3\tan^{-1}\omega=-180^{\circ}$

ω = 1.33을 넣으면 $20.6^{\circ}+3\times 53.1^{\circ}\approx 180^{\circ}$ 로 성립한다. ω = 2.68이면 219°가 되어 조건을 만족하지 못한다.

이 주파수에서 진폭비를 1로 두면
$AR=K_c\sqrt{1+\dfrac{1}{4\omega^{2}}}\cdot\dfrac{1}{\left(\sqrt{1+\omega^{2}}\right)^{3}}=K_c\times 0.23\approx 1$
따라서 $K_c\approx 4.34$ 이며, 이보다 크면 폐루프가 불안정해진다.

앞먹임(피드포워드) 제어는 제어변수에 영향을 주기 전에 측정 가능한 외란을 직접 측정하여 그 정보를 바탕으로 조작변수를 미리 조정하는 방식이다.

공정상태변수나 출력변수를 이용하는 것은 피드백 계열의 접근이며, 입력 조작변수는 제어기가 계산해 내보내는 결과이지 측정 대상이 아니다.

단위충격 응답은 단위계단 응답을 시간으로 미분한 것이므로 $\dfrac{t}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}$ 가 답이다.

계단입력의 라플라스 변환은 1/s, 충격입력은 1이므로 $Y_{impulse}(s)=s\,Y_{step}(s)$ 이고, 이는 시간영역에서 미분에 해당한다.

실제로 미분하면
$\dfrac{d}{dt}\left[1-\left(1+\dfrac{t}{\tau}\right)e^{-t/\tau}\right]=-\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}+\left(1+\dfrac{t}{\tau}\right)\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}=\dfrac{t}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}$

이 응답은 t = 0에서 0으로 출발해 t = τ에서 최대가 된 뒤 지수적으로 사라지는, 중근을 갖는 2차계의 전형적인 충격응답이다. 계단응답 식을 그대로 옮겨 쓴 형태나 τ의 제곱이 빠진 형태는 미분 결과가 될 수 없다.

공정제어는 운전 중인 공정의 변수를 원하는 값으로 유지·조절하는 활동으로, 가열로 온도 유지, 미생물량 조절을 통한 유출수 독성 저감, 증류탑 탑상농도 유지를 위한 조작 결정이 모두 이에 해당한다.

반면 열효율 극대화를 위해 열교환기 배치를 다시 설계하는 것은 설비 배치를 바꾸는 설계(디자인) 문제로, 실시간 변수 조절을 다루는 공정제어의 범주에 들지 않는다.

건식법(전기로법)은 인광석을 코크스·규석과 함께 고온에서 반응시켜 고순도 인산을 얻는 공정이므로, 불순물 혼입으로 순도가 낮아진다는 설명은 옳지 않다.

전기로 안에서 인광석의 인이 기화된 뒤 별도의 연소탑에서 산화되어 오산화인(P₂O₅)이 되고, 이를 물에 흡수시켜 인산을 얻는다. 철·알루미늄 성분은 슬래그로 분리되므로 저품위 광석도 사용할 수 있고 전기로법과 용광로법 모두 이 방식에 속한다.

반대로 철, 알루미늄, 칼슘 등 불순물이 인산에 그대로 남아 순도가 낮아지는 것은 인광석을 황산으로 직접 분해하는 습식법의 특징이다.

폴리카보네이트는 비스페놀 A와 포스겐(또는 디페닐카보네이트)의 축합으로 얻어지는 폴리탄산에스테르 결합의 열가소성 수지이다.

투명하고 자기소화성을 가지며 내충격성, 내한성, 전기적 성질이 균형 있게 뛰어나 방탄유리, 헬멧, 전자기기 부품 등에 쓰이는 대표적인 엔지니어링 플라스틱이다.

• 폴리프로필렌은 프로필렌의 부가중합체로 비스페놀 A와 무관하다.
• 폴리아미드(나일론)는 아마이드 결합을 갖는 수지로 투명성·자기소화성이 이 설명과 다르다.
• 폴리이소프렌은 이소프렌의 중합체(고무류)로 엔지니어링 플라스틱이 아니다.

페놀과 부산물로 아세톤이 함께 생성되는 공업적 합성법은 큐멘법(Cumene법)이다.

벤젠과 프로필렌을 반응시켜 큐멘을 만든 뒤 공기로 산화하여 큐멘하이드로퍼옥사이드로 만들고, 이를 산 분해하면 페놀과 아세톤이 동시에 생성된다.

• Raschig법은 벤젠을 염소화한 뒤 가수분해하여 페놀을 얻는 방법으로 아세톤이 생기지 않는다.
• Dow법은 클로로벤젠을 알칼리 가수분해하는 방법으로 역시 아세톤이 부산물로 나오지 않는다.
• 톨루엔을 원료로 하는 경로도 벤조산을 거쳐 페놀을 얻으므로 아세톤과는 무관하다.

석유의 접촉분해(catalytic cracking)에서는 사슬 절단(분해) 외에도 이성질화, 고리화, 탈수소 반응이 함께 일어나지만 축합 반응은 접촉분해의 특징적 반응으로 보기 어렵다.

축합은 생성물끼리 결합해 더 큰 분자(코크·타르 등)를 만드는 방향이어서, 촉매의 산점에서 카르보늄 이온을 거쳐 진행되는 분해·이성질화·고리화·수소이동 반응과는 성격이 반대다. 그래서 접촉분해 반응 중 가장 거리가 먼 것으로 분류된다.

진성 반도체의 전기전도도는 온도가 증가할수록 증가하므로, 온도 상승에 따라 감소한다는 설명은 틀렸다.

온도가 오르면 열에너지로 전도대로 여기되는 전자와 정공 쌍(캐리어)이 늘어나므로 반도체는 금속과 달리 온도가 높아질수록 전도도가 커진다.

• 4족 원소의 에너지 갭은 탄소(다이아몬드)＞실리콘＞게르마늄 순으로 크며 이는 옳은 서술이다.
• 에너지 갭이 클수록 캐리어 생성이 어려워 전도도가 낮아진다는 것도 맞는 설명이다.
• 절대온도 0K에서 전자가 채워진 최상위 준위를 페르미 준위로 정의하는 것도 옳다.

필요한 식염수 부피는 약 10.26 m³이다.

NaOH 1ton(1000kg)을 생산하려면 몰수로 1000/40=25kmol이 필요하고, 전해반응(NaCl→NaOH)은 1:1 몰비이므로 반응한 NaCl도 25kmol(=25×58.5=1462.5kg)이다.

분해율 50%를 고려하면 투입 NaCl은 1462.5/0.5=2925kg이며, 공정 손실률 5%를 반영하면 실제 필요한 NaCl량은 2925/(1-0.05)≈3078.9kg이다.

식염수 농도가 30g/100mL(=300kg/m³)이므로 부피는 3078.9/300≈10.26 m³가 된다.

격막식 전해조에서 양극(anode) 재료로는 주로 흑연이 사용된다.

흑연은 염소가 발생하는 산화 분위기에서 내식성이 좋아 격막법 전해조의 양극 재료로 널리 쓰였으며, 음극에는 주로 철(철망·철판)이 사용된다.

실비아니트는 KCl과 NaCl이 몰비 1:1로 이루어진 복염 광물로 취급하며, 이때 KCl의 질량 함량은 약 56.05%이다.

KCl의 분자량은 39.1+35.5=74.6, NaCl의 분자량은 23+35.5=58.5이므로, 등몰 혼합물에서 KCl의 질량비는 74.6/(74.6+58.5)×100≈56.05%로 계산된다.

연실법의 능률을 높이고 경제적으로 조업하기 위해 개량된 설비는 Petersen Tower법이다.

기존의 부피 큰 연실(lead chamber) 여러 개 대신 충전탑(페터슨탑)을 사용해 질소산화물의 흡수·회수 효율을 높이고 설치 면적과 설비비를 줄인 개량형 연실법이다.

• Reynold법, Monsanto법은 연실법을 개량한 설비 명칭이 아니어서 답이 될 수 없다.
• 소량응축법 역시 연실법의 능률 개선 설비로 분류되지 않는다.

액중 연소법은 수소와 염소를 물(또는 염산액) 속에서 연소시켜 곧바로 진한 염산 수용액을 얻는 방법으로, 물이 없는 무수 염산(가스)을 만드는 방법이 아니다.

무수 염산은 수소와 염소를 기상에서 직접 합성하거나(직접 합성법), 진한 염산을 증류하거나, 흡착제·탈수제로 수분을 흡수시킨 뒤 탈착시키는 방법(건조 흡탈착법)으로 얻는 것이 일반적이다.

염안소오다법으로 Na₂CO₃를 제조할 때 부산물로 NH₄Cl(염화암모늄)이 생성된다.

일반적인 솔베이(Solvay)법에서는 부산물 NH₄Cl을 석회와 반응시켜 암모니아를 회수하고 CaCl₂를 폐기물로 배출하지만, 염안소오다법은 이 NH₄Cl을 회수하지 않고 비료로 판매되는 부산물로 그대로 얻는 변법이다.

-NH₂가 붙은 아닐린이 술폰화가 가장 쉽다. 아미노기가 고리에 전자를 밀어 넣는 강한 활성화기이기 때문이다.

술폰화는 SO₃(또는 ${}^{+}SO_3H$)가 벤젠고리의 π전자를 공격하는 친전자성 방향족 치환이다. 따라서 고리의 전자밀도가 높을수록 반응이 빨라진다.

• 니트로벤젠의 -NO₂는 전자를 강하게 끌어당기는 비활성화기여서 술폰화가 가장 어렵다.
• 벤젠술폰산은 이미 -SO₃H가 붙어 있고 이 역시 전자끌개라 추가 술폰화가 잘 일어나지 않는다.

메탄의 염소화(CH₄ + Cl₂ → CH₃Cl + HCl)가 유리기 연쇄반응이다.

빛이나 열로 $Cl_2\rightarrow 2Cl\cdot$ 개시가 일어난 뒤 $Cl\cdot+CH_4\rightarrow HCl+CH_3\cdot$, $CH_3\cdot+Cl_2\rightarrow CH_3Cl+Cl\cdot$ 로 전파 단계가 되풀이되고, 라디칼끼리 결합하면 정지된다. 개시-전파-정지의 전형적인 연쇄 구조다.

• 에틸렌의 수소첨가는 금속 촉매 표면에 흡착되어 진행되는 반응으로 유리기 연쇄가 아니다.
• 에틸렌에 브롬이 붙는 반응은 브로모늄 이온을 거치는 이온성 친전자성 첨가다.
• 벤젠의 질산화는 황산이 만들어 준 $NO_2^{+}$가 고리를 공격하는 이온성 친전자성 치환이다.

혼합 시료의 수평균 분자량은 1.5×10⁵이다.

수평균 분자량은 전체 질량을 전체 몰수로 나눈 값이므로, 각 시료의 몰수를 먼저 구한다.

$n_1=\dfrac{1\text{g}}{100000}=1\times10^{-5}\text{mol}$, $n_2=\dfrac{2\text{g}}{200000}=1\times10^{-5}\text{mol}$

따라서 $\bar{M_n}=\dfrac{1\text{g}+2\text{g}}{2\times10^{-5}\text{mol}}=1.5\times10^{5}$이 된다.

전해질은 전지를 구성하는 재료 자체이지, 전지의 성능을 수치로 나타내는 지표가 아니다.

에너지 밀도, 충방전 횟수(수명), 자기방전율은 모두 전지의 성능을 직접 평가하는 대표적 지표이지만, 전해질은 이러한 성능이 결정되도록 하는 구성 요소일 뿐 성능값 자체를 나타내지는 않는다.

Carothers식에서 수평균 중합도는 $\bar{X_n}=\dfrac{1}{1-p}$로 주어지며, 전환율 $p=0.99$일 때 수평균 중합도는 100이 된다.

$\bar{X_n}=\dfrac{1}{1-0.99}=\dfrac{1}{0.01}=100$

암모니아 산화 촉매는 매우 가는 백금 선으로 망을 떠서 쓰므로, 직경 0.2cm 이상의 굵은 선을 쓴다는 설명은 틀렸다.

실제 백금계 촉매망은 직경 0.2mm 이하 정도의 가는 선을 사용한다. 0.2cm는 2mm로 이보다 10배 이상 굵어, 단위 중량당 표면적이 크게 줄어들기 때문에 산화 효율이 떨어진다.

• Pt에 Rh, Pd를 첨가한 백금계 촉매가 일반적으로 사용된다는 설명은 옳다.
• 단위 중량당 표면적이 큰 촉매가 유리하다는 설명도 옳다.
• Rh 첨가가 강도·촉매활성 향상과 촉매 손실 저감에 효과가 있다는 설명도 옳다.

메탈로센 촉매는 활성점의 구조가 균일한 단일 활성점(single-site) 촉매로, 입체규칙성을 정밀하게 제어할 수 있어 신디오탁틱(syndiotactic) 폴리스티렌 합성에 사용된다.

• 금속 산화물계 촉매는 활성점이 균일하지 않아 신디오탁틱 구조를 선택적으로 만들어 내기 어렵다.
• 벤조일퍼옥사이드는 라디칼 중합 개시제로, 스티렌을 중합하면 입체규칙성이 없는 어택틱 폴리스티렌이 얻어진다.
• 린들러 촉매는 알킨을 시스-알켄으로 부분수소화하는 데 쓰는 촉매로 스티렌 중합과 관련이 없다.

아세틸렌에 HCl(염화수소)을 부가시키면 염화비닐(비닐클로라이드)이 생성된다.

수은 촉매(HgCl₂) 존재 하에 아세틸렌과 HCl을 반응시키는 하이드로클로르화 반응으로 $\mathrm{C_2H_2 + HCl \rightarrow CH_2=CHCl}$이 진행된다.

유지에 함유된 지방산의 평균분자량을 알 수 있는 분석값은 비누화값(saponification value)이다.

비누화값은 유지 1g을 완전히 비누화하는 데 필요한 수산화칼륨의 mg수로 정의되며, 이 값이 클수록 지방산의 평균분자량이 작다는 반비례 관계가 성립해 값으로부터 평균분자량을 역산할 수 있다.

반응속도는 단위 부피당 소모(생성) 속도이므로 소비 속도를 반응기 체적으로 나누어 구한다.

$r=\dfrac{6\ \mathrm{kmol/s}}{0.212\ \mathrm{m^3}}\approx 28.3\ \mathrm{kmol/(m^3\cdot s)}$

발열반응에서 불활성 물질을 늘리면 단열 조작선은 기울기가 커져 등온조건을 나타내는 수직선 쪽으로 이동한다. 그림 오른쪽(ΔH_r<0) 영역에서 실선이 안쪽 점선으로 옮겨가는 방향이다.

단열 조작의 에너지수지는 $x_A=\dfrac{C_p(T-T_1)}{-\Delta H_r}$ 이므로, 조작선의 기울기는 $\dfrac{dx_A}{dT}=\dfrac{C_p}{-\Delta H_r}$ 이다.

불활성 물질은 반응에 참여하지 않으면서 혼합물의 열용량 C_p만 키우므로 기울기가 커지고, 같은 전화율에서 온도 상승 폭이 작아진다. 불활성 물질이 아주 많아지면 온도가 거의 오르지 않아 등온 수직선에 수렴한다.

바깥쪽으로 더 눕는 점선은 열용량이 오히려 작아진 경우이고, 그림 왼쪽의 두 점선은 ΔH_r>0인 흡열반응 영역이라 이 문항의 조건과 맞지 않는다.

빗금 친 면적은 반응기를 빠져나오는 R의 최종 농도 C_Rf를 나타낸다.

순간수율의 정의에서 $dC_R=-\varphi\,dC_A$ 이고, 플러그 흐름반응기에서는 농도가 C_A0에서 C_Af까지 연속적으로 변하므로 적분하면 $C_{Rf}=\int_{C_{Af}}^{C_{A0}}\varphi\,dC_A$ 가 된다. 이 적분값이 곧 그래프에서 φ 곡선 아래·C_Af와 C_A0 사이의 넓이다.

• 총괄수율은 이 넓이를 (C_A0−C_Af)로 나눈 평균값이므로 넓이 자체가 아니다.
• 반응해서 없어진 반응물의 몰수는 가로 길이 C_A0−C_Af에 해당한다.
• 그 순간의 반응물 농도는 가로축 위의 한 점일 뿐 넓이가 될 수 없다.

반응기 입구는 신선한 공급액과 순환액이 합쳐지는 지점이므로 두 흐름의 물질수지로 혼합 농도를 구한다. 결과는 $C_{Ai}=\dfrac{R\,C_{Af}+C_{A0}}{R+1}$ 이다.

그림에서 신선한 공급은 유량 V, 농도 C_A0이고, 순환 흐름은 유량 R·V에 농도가 반응기 출구와 같은 C_Af다.
A의 물질수지: $V\,C_{A0}+RV\,C_{Af}=(1+R)V\,C_{Ai}$

양변을 (1+R)V로 나누면 위 식이 나온다. 순환비가 0이면 C_Ai=C_A0(순환 없는 플러그흐름), 순환비가 무한대면 C_Ai→C_Af(혼합흐름반응기에 접근)로 두 극한이 모두 물리적으로 맞아떨어진다.

평형에서는 정반응과 역반응 속도가 같아지므로 평형상수는 K_c=k₁/k₂, 즉 두 속도상수의 비다.

정반응 속도 $k_1C_AC_B$와 역반응 속도 $k_2C_RC_S$가 같아지는 조건에서 $k_1C_AC_B=k_2C_RC_S$.

정리하면 $K_c=\dfrac{C_RC_S}{C_AC_B}=\dfrac{k_1}{k_2}$ 이다. 두 속도상수의 곱이나 그 역수 형태는 평형 조건에서 나올 수 없고, 분모·분자가 뒤집힌 형태는 역반응의 평형상수에 해당한다.

직렬 혼합탱크 2개를 통과한 후 방사능은 원래보다 약 97.67% 감소한다.

1차 반응인 방사성 붕괴의 속도상수는 $k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693}{50}\approx0.01386\ \mathrm{h^{-1}}$이고, 각 탱크의 체류시간은 $\tau=\dfrac{V}{Q}=\dfrac{4000}{10}=400\ \mathrm{h}$이다.

1차 반응이 일어나는 혼합탱크(CSTR) n개 직렬 연결에서는 $\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{1}{(1+k\tau)^n}$이 성립하므로, $\dfrac{C}{C_0}=\dfrac{1}{(1+0.01386\times400)^2}=\dfrac{1}{6.545^2}\approx0.0233$이다.

따라서 감소율은 $1-0.0233\approx0.9767$, 즉 약 97.67%가 된다.

연속흐름 반응기의 일반적 물질수지식은 입류량 = 출류량 + 소멸량 + 축적량이다.

반응기로 들어오는 물질(입류)은 그대로 나가는 양(출류) 외에도 반응으로 없어지는 양(소멸량)과 반응기 내에 쌓이는 양(축적량)으로 나뉘어 소모되므로, 세 항을 모두 더한 것이 입류량과 같아야 물질이 보존된다.

총 부피가 같을 때 1차 이상의 반응에서는 플러그흐름반응기 단독이 전화율이 가장 높고, 혼합흐름반응기만 직렬로 둔 배열이 가장 낮다. 따라서 X₁ < X₂ < X₃이다.

1차 이상이면 반응속도가 농도에 비례하거나 그보다 더 민감하다. 혼합흐름반응기는 유입액이 즉시 출구 농도로 희석되어 반응기 전체가 가장 낮은 농도에서 운전되므로 같은 부피로 얻는 전화율이 작다.

반대로 플러그흐름반응기는 입구의 높은 농도부터 출구까지 농도가 연속적으로 낮아지며 반응하므로 평균 반응속도가 크다. 그림에서 교반조 두 개를 직렬로 놓은 배열이 가장 불리하고, 교반조 뒤에 관형 반응기를 붙인 배열이 중간, 전 부피를 관형 반응기 하나로 채운 배열이 가장 유리하다.

전화율-온도(X-T) 선도에서 반응기에 열을 가하면 조작선의 기울기는 단열과정보다 감소한다.

단열조작선은 반응에서 나온 열만으로 온도가 올라가는 경우이고, 그 기울기는 $\dfrac{dX}{dT}=\dfrac{C_p}{-\Delta H_r}$로 주어진다.

여기에 외부에서 열을 더 넣어 주면 반응이 조금만 진행되어도 온도가 그만큼 더 올라가므로, 같은 온도 상승을 얻는 데 필요한 전화율이 줄어들어 조작선이 완만해진다(기울기 감소).

반대로 반응기에서 열을 빼내면(냉각) 같은 온도 상승에 더 큰 전화율이 필요하므로 기울기는 단열조작선보다 커진다.

0차 반응의 반응물 농도는 시간에 대해 일정한 기울기로 곧게 감소하는 직선으로 나타난다.

0차에서는 $-r_A=k$ 로 농도와 무관하게 반응속도가 일정하다. 적분하면 $C_A=C_{A0}-kt$ 가 되어 기울기가 −k인 직선이 되고, $t=C_{A0}/k$ 에서 농도가 0이 되어 그래프가 가로축에 닿는다.

• 시간에 관계없이 일정한 수평선은 농도가 변하지 않는 상태, 즉 반응이 진행되지 않는 경우다.
• 원점에서 늘어나는 직선이나 위로 휘며 늘어나는 곡선은 시간이 갈수록 농도가 커지는 모습이라, 소모되는 반응물이 아니라 쌓이는 성분의 거동이다.

총괄 속도식을 유도할 때 비선형 단계는 되도록 피해야 하므로, 비선형성을 띠는 단계를 그대로 총괄속도식에 적용해 해결해야 한다는 설명은 틀렸다.

여러 기초 단계(흡착·반응·탈착 등)의 속도식을 결합해 총괄속도식을 얻을 때, 어느 한 단계가 농도에 대해 비선형이면 대수적으로 소거·결합하기가 어려워지므로 이런 단계는 율속단계로 가정해 단순화하거나 피하는 것이 일반적인 접근이다.

• 불균질 반응의 속도식에 화학반응항과 물질이동항이 함께 포함된다는 설명은 옳다.
• 여러 단계의 속도 단위가 같으면 총괄속도식을 유도하기 편리하다는 설명도 옳다.
• 총괄속도식에서 측정할 수 없는 중간체의 농도항은 제거되어야 한다는 설명도 옳다.

완전교반흐름반응기(CSTR)는 반응이 일어나는 만큼 각 성분의 몰유량이 달라지므로, 입구와 출구의 몰속도가 같다는 설명은 틀렸다.

반응으로 성분의 몰수가 변하면(전화율만큼 반응물이 소모되고 생성물이 늘어나므로) 각 성분의 입구·출구 몰유량은 서로 다르다.

• 정상상태에서 운전되는 흐름반응기라는 설명은 CSTR의 정의에 맞는 옳은 서술이다.
• 완전혼합으로 인해 반응기 내부 어디서나 농도가 균일해 축방향 농도 구배가 없다는 설명도 옳다.
• 같은 이유로 반응기 내 온도 구배가 없다는 설명도 옳다.

1차 반응에서는 크기가 다른 혼합흐름반응기를 어느 순서로 놓아도 최종 전화율이 같다.

혼합흐름반응기 1차 반응의 물질수지는 $C_{out}=\dfrac{C_{in}}{1+k\tau}$ 이다. 그림처럼 두 대를 직렬로 이으면 $C_{A2}=\dfrac{C_{A0}}{(1+k\tau_1)(1+k\tau_2)}$ 로, 분모가 두 공간시간의 곱 형태라 τ₁과 τ₂를 맞바꿔도 값이 변하지 않는다.

순서가 의미를 갖는 것은 차수가 1이 아닐 때다. 1차보다 높은 차수면 작은 반응기를 앞에, 1차보다 낮은 차수면 큰 반응기를 앞에 두는 편이 유리하다.

초기압력에 따른 반감기 변화로부터 이 반응은 2차 반응으로 판정된다.

n차 반응(n≠1)에서 반감기는 초기압력에 대해 $t_{1/2}\propto P_0^{1-n}$의 관계를 가지므로, 두 조건의 비를 취하면 $\dfrac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}}=\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1-n}$이 성립한다.

$\dfrac{80}{120}=\left(\dfrac{478}{315}\right)^{1-n}$에서 양변에 자연로그를 취하면 $1-n\approx-0.972$, 즉 $n\approx2$로 계산된다.

일정 부피 기체 반응에서 A의 분압은 $P_A=P_{A0}-\dfrac{a}{r-a-b}(P-P_0)$ 로 표현된다.

반응 aA+bB→rR의 진행도를 압력 단위 x로 두면 $P_A=P_{A0}-ax$, $P_B=P_{B0}-bx$, $P_R=rx$ 이다.
전압은 $P=P_0+(r-a-b)x$ 이므로 $x=\dfrac{P-P_0}{r-a-b}$.

이 x를 P_A 식에 대입하면 위 결과를 얻는다. 몰수가 늘어나는 반응이면 전압이 커지면서 A의 분압이 줄고, 몰수가 줄어드는 반응이면 (r−a−b)가 음수라 부호가 저절로 뒤집혀 그대로 성립하므로 분모는 반드시 r−a−b여야 하고, 소비항이므로 앞 부호는 음수여야 한다.

유효인자(effectiveness factor)가 작을수록 기공 내부까지 반응물이 충분히 확산되지 못한다는 뜻이므로 실제 반응속도는 작아진다.

유효인자는 실제 반응속도를 기공확산 저항이 없다고 가정했을 때의 고유(intrinsic) 반응속도로 나눈 값으로 정의되므로, 이 값이 작을수록 확산 제한이 커서 실제 반응속도가 고유 속도보다 훨씬 낮아진다.

• 기공확산 저항만이 율속단계가 된다는 설명은 틀렸다 — 외부 물질전달이나 표면반응도 율속단계가 될 수 있다.
• 기공확산 저항이 클수록 실제 반응속도가 증가한다는 설명은 반대로 되어 있어 틀렸다.
• 기공확산 저항이 고체입자 형태와 무관하다는 설명도 틀렸다 — Thiele 계수는 입자의 특성 길이(형태)에 좌우된다.

양론식 $\mathrm{A+3B\rightarrow2R+S}$에서 각 성분의 소모·생성 속도는 양론계수(1:3:2:1)로 나누어야 서로 같은 값이 된다.

A의 소모속도를 기준으로 하면 B의 소모속도는 그 3배, R의 생성속도는 그 2배이므로, 각 항을 자기 양론계수로 나누어 정리하면 $-r_A=-\dfrac{1}{3}r_B=\dfrac{1}{2}r_R$의 관계가 된다.

A에 대해 2차인 반응이므로 2차 적분식으로 풀면 반응 시간은 3.0초다.

A+A→D는 A가 두 분자 소비되는 기초반응이므로 $-r_A=kC_A^2$, 적분형은 $\dfrac{1}{C_A}-\dfrac{1}{C_{A0}}=kt$ 이다.

전화율 75%이면 $C_A=1.0\times(1-0.75)=0.25\ \mathrm{mol/m^3}$.
$t=\dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{0.25}-\dfrac{1}{1.0}\right)=\dfrac{4-1}{1.0}=3.0\ \mathrm{s}$

1차 반응으로 착각해 $t=\ln 4/k\approx1.4\ \mathrm{s}$ 로 답하는 실수가 잦으니, 반응식에서 A가 두 분자 들어가는 2차 반응임을 먼저 확인하는 것이 요령이다.