정답은 액과 증기가 끊기지 않고 이어지면서 상전이 온도에서 기울기만 더 가팔라지는 우하향 그래프다.

$dG=-S\,dT+V\,dP$ 이므로 정압에서는 $\left(\dfrac{\partial G}{\partial T}\right)_P=-S$ 이고, 엔트로피는 항상 양수이므로 G-T 곡선은 반드시 우하향한다.

또한 액과 증기가 평형을 이루는 온도에서는 두 상의 몰 깁스 자유에너지가 같으므로 G는 연속이고 수직으로 뛰지 않는다. 다만 S_증기 > S_액 이라 증기 쪽 기울기가 더 급해져 꺾임만 생기는데, 이것이 1차 상전이의 특징이다.

• 상전이점에서 G가 수직으로 뚝 떨어지거나 뛰어오르는 그래프 — 평형에서 두 상의 G가 같다는 조건에 어긋난다.
• 온도가 올라갈수록 G가 커지는 우상향 그래프 — 기울기가 −S여야 하므로 성립할 수 없다.

주울-톰슨 팽창은 등엔탈피과정에 해당한다.

단열 조건에서 유체가 다공성 마개나 밸브 같은 좁은 통로를 통과하며 팽창할 때 외부와 일을 주고받지 않고 위치·운동에너지 변화도 무시할 수 있으므로, 정상상태 에너지수지에 의해 팽창 전후의 엔탈피가 일정하게 유지된다.

압력과 기상 조성이 주어진 상태에서 온도와 액상 조성을 구하는 계산은 DEW T(이슬점 온도 계산)이다.

기상 조성이 이미 알려져 있고 압력이 고정되어 있으므로 미지수는 온도와 액상 조성이며, 이는 이슬점을 구하는 문제에 해당한다. 온도가 주어지고 압력이 미지수라면 DEW P가 된다.

역행응축 현상은 천연가스 채굴 시 별도의 동력 없이 많은 양의 액화 천연가스(응축액)를 얻는 데 유용하게 활용된다.

임계점 부근의 특정 압력·온도 영역에서는 압력이 낮아질 때 오히려 액상이 새로 생성되는 역행 거동이 나타나는데, 가스전에서 생산 과정 중 저류층 압력이 자연히 낮아지면서 이 현상을 이용해 별도의 압축·냉각 동력 없이 응축액을 회수할 수 있다.

실제기체의 조름공정(Throttling process) 전후에도 변하지 않는 성질은 엔탈피이다.

조름 과정은 단열이며 외부에 일을 하지 않고 위치·운동에너지 변화도 무시되므로, 에너지수지에 의해 통과 전후의 엔탈피가 동일하게 유지된다.

반면 온도, 압력, 엔트로피는 조름 과정을 거치며 값이 변한다.

P-H 선도에서 등엔트로피선의 기울기는 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial H}\right)_S=\dfrac{1}{V}$ 다.

엔탈피의 기본 관계식은 $dH=T\,dS+V\,dP$ 이다. 등엔트로피 과정에서는 dS=0이므로 $dH=V\,dP$ 만 남는다.

양변을 정리하면 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial H}\right)_S=\dfrac{1}{V}$ 이며, 비체적의 역수 곧 밀도가 기울기가 된다.

비체적 V는 항상 양수이므로 기울기도 양수여야 한다. 부호가 음인 형태나 V 자체를 기울기로 쓴 형태는 이 관계식에서 나오지 않는다.

성분 i의 화학포텐셜은 부분몰 깁스 자유에너지, 곧 $\mu_i=\left(\dfrac{\partial(nG)}{\partial n_i}\right)_{P,T,n_j}$ 다.

기본식 $d(nG)=(nV)dP-(nS)dT+\sum_i \mu_i\,dn_i$ 에서 보듯 μ_i와 짝이 되는 자연변수는 P와 T다. 그래서 미분할 때 고정해야 할 변수도 P, T, 그리고 i 이외의 몰수 n_j가 된다.

• 헬름홀츠 에너지 A로 쓴 형태 — A의 자연변수는 T와 V이므로 고정변수가 T, V, n_j여야 하고 P, T 조합과는 맞지 않는다.
• 고정변수를 P, V로 잡은 형태 — P와 V는 서로 독립인 자연변수 짝이 아니어서 화학포텐셜의 정의가 성립하지 않는다.

계의 총 압력은 10.4kPa, 증기 중 벤젠 조성은 0.764이다.

등몰 혼합물이므로 액상 몰분율은 벤젠·톨루엔 각각 0.5이며, 라울의 법칙에 의해 $P = x_{benzene}P^{sat}_{benzene} + x_{toluene}P^{sat}_{toluene} = 0.5\times15.9 + 0.5\times4.9 = 10.4\ \mathrm{kPa}$이다.

증기의 벤젠 조성은 $y_{benzene} = \dfrac{x_{benzene}P^{sat}_{benzene}}{P} = \dfrac{7.95}{10.4} \approx 0.764$로 계산된다.

같은 등압선을 따라 포화액선에서 포화증기선까지 건너가는 구간이므로 H₂−H₁은 증발열(증발잠열)이다.

선도에서 H₁은 포화돔의 왼쪽 경계(포화액), H₂는 오른쪽 경계(포화증기)와 만나며 두 점은 같은 수평선 위, 곧 같은 압력에 있다. 이 구간에서는 온도와 압력이 변하지 않은 채 액체가 전부 증기로 바뀌므로 두 점의 엔탈피 차가 곧 상변화에 쓰인 잠열이다.

나머지 후보는 선도에서 위치가 다르다.

• 융해열은 고상 영역과 액상 영역 경계를 건너는(고체→액체) 구간의 엔탈피 차다.
• 승화열은 고상에서 액상을 거치지 않고 곧바로 기상으로 가는, 삼중점보다 낮은 압력에서의 변화다.
• 혼합열은 두 성분을 섞을 때 출입하는 열이라 순물질 상변화 선도에는 나타나지 않는다.

열과 일 사이의 에너지 보존 원리를 나타낸 법칙은 열역학 제1법칙이다.

열역학 제1법칙은 계에 출입하는 열과 일의 합이 내부에너지 변화와 같다는 에너지 보존을 표현하며, 열과 일이 서로 형태만 다를 뿐 동등하게 환산될 수 있음을 보여준다.

기체 한 상에 화학종 3개, 독립 반응 1개이므로 자유도는 3이다.

화학반응이 있는 계의 상률은 F = 2 − π + N − r 이다(π=상의 수, N=화학종 수, r=독립 화학반응 수).
π = 1(전부 기체), N = 3(N₂, H₂, NH₃), r = 1(N₂ + 3H₂ → 2NH₃)
F = 2 − 1 + 3 − 1 = 3

조성에 대한 추가 구속조건(예: 순수 NH₃만 분해시켜 H₂:N₂ = 3:1로 고정되는 경우)이 주어지지 않았으므로 빼 줄 항이 더 없다. 즉 온도·압력·기상 조성 하나를 정하면 계의 세기 상태가 모두 결정된다.

디젤 사이클에서 연소(열 공급) 과정은 등압과정에서 일어난다.

디젤 사이클은 단열압축 → 정압 연소(열흡수) → 단열팽창 → 정용 방열의 순서로 구성되며, 오토 사이클과 달리 연소가 일정한 부피가 아닌 일정한 압력에서 진행되는 것이 특징이다.

평형상수를 이용해 반응의 속도를 정확히 알 수 있다는 설명은 옳지 않다.

여기서 다루는 평형상수(K-value)는 기-액 상평형에서의 분배계수로, 열역학적 평형 상태의 조성을 결정하는 값일 뿐 반응속도와 같은 반응속도론적 정보는 담고 있지 않다.

등온 플래시 계산이 온도·압력을 주고 기상·액상 조성을 구하는 계산이며 뉴튼법 등 반복계산으로 수행된다는 것, 평형에 도달했을 때의 최종 조성을 평형상수로 구할 수 있다는 것은 모두 타당한 설명이다.

같은 압축비에 대해서는 오토 사이클이 디젤 사이클보다 열효율이 좋다.

오토 사이클의 이론 열효율은 압축비만으로 결정되지만, 디젤 사이클은 여기에 정압 연소 구간의 부피비인 차단비(cut-off ratio)로 인한 보정항이 곱해진다. 이 보정항은 항상 1보다 크므로 효율을 깎아내리고, 결과적으로 같은 압축비에서 디젤 사이클의 효율이 오토 사이클보다 낮아진다.

• 두 기관의 효율은 압축비에 따라 달라지므로 압축비와 무관하다는 설명은 틀리다.
• 디젤 사이클은 정용과정이 1개(방열 과정)뿐이며, 열공급은 정압과정에서 일어난다.
• 오토 사이클은 정용과정 2개(열흡수·방열)로 구성되며 정압과정은 없다.

퓨개시티 계수는 퓨개시티를 압력으로 나눈 값(φ_i = f_i/P)이므로 무차원이다 — 압력의 단위를 가진다는 설명이 틀렸다.

퓨개시티 f_i 자체는 압력 차원을 갖지만 같은 압력 차원인 P로 나누면 단위가 상쇄된다. 이상기체에서는 f_i = P 이므로 f_i/P = 1, 즉 φ_i = 1 이 되어 실제기체가 이상성에서 얼마나 벗어났는지를 재는 보정계수 역할을 한다.

나머지는 모두 옳은 서술이다.

• 잔류 깁스에너지와의 관계는 G_i^R = RT ln φ_i 이며, φ_i = 1인 이상기체에서 0이 된다.
• 같은 온도·압력에서 어떤 성분의 퓨개시티가 모든 상에서 같다는 것이 곧 상평형 조건이다(기-액 평형의 판정식).

라울의 법칙 y₁P = x₁P₁^sat 에 이성분계 전압을 대입하면 y₁ = x₁P₁^sat / [P₂^sat + x₁(P₁^sat − P₂^sat)] 이 된다.

전압은 두 성분 분압의 합이다.
P = x₁P₁^sat + x₂P₂^sat 이고 x₂ = 1 − x₁ 이므로
P = P₂^sat + x₁(P₁^sat − P₂^sat)

이 P를 y₁ = x₁P₁^sat/P 에 넣은 형태가 정답 꼴이다. 분자를 x₂P₂^sat로 쓴 식은 성분 1이 아니라 성분 2의 기상 몰분율 y₂를 주는 식이고, 분모 괄호를 (P₂^sat − P₁^sat)로 뒤집은 식은 x₂ = 1 − x₁ 대입 부호가 어긋나 x₁ = 1일 때 P = P₁^sat이 되지 않는다.

수렴노즐은 목에서 음속(초크 상태)에 도달할 때 질량유량이 최대가 되며, 그 때의 하류 압력인 임계압력 약 32.4기압으로 유지해야 가장 빨리 뽑아낼 수 있다.

임계압력비 식에 비열비 γ = 1.33을 대입한다.
P*/P₀ = [2/(γ+1)]^γ/(γ−1) = (2/2.33)^1.33/0.33
= 0.8584^4.030 = 0.540

P* = 60 × 0.540 = 32.4기압
제2 탱크 압력을 이보다 더 낮춰도 목의 속도는 음속에서 더 올라가지 못해 유량이 늘지 않으므로, 32.4기압보다 낮은 값은 더 빠르게 뽑아내는 조건이 되지 못한다. 4.51·45.1처럼 임계압력비가 0.075나 0.75가 나오는 값도 γ = 1.33에서는 성립하지 않는다.

순수성분 i의 화학포텐셜은 $\mu^{pure}_i = \mu^{o}_i(T,P)$로 나타낼 수 있다.

이상용액의 화학포텐셜 식 $\mu_i = \mu^{o}_i(T,P) + RT\ln X_i$에서 순수성분은 몰분율 $X_i = 1$이므로 $\ln X_i = 0$이 되어, $RT\ln X_i$ 항이 사라지고 $\mu^{o}_i(T,P)$만 남는다.

단열압축 후 최종 체적은 약 0.37m³이다.

단열과정에서는 $P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}$가 성립하므로, $V_2 = V_1\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} = 1\times\left(\dfrac{5}{20}\right)^{1/1.4}$이다.

이를 계산하면 $V_2 = (0.25)^{0.714} \approx 0.37\ \mathrm{m^3}$가 된다.

삼차 상태방정식으로는 H⁰, C_p⁰, S⁰ 같은 기준(이상기체 표준상태) 물성 자체를 계산할 수 없다 — 이것이 틀린 설명이다.

상태방정식은 P, V, T 사이의 관계만 담고 있어서 이상기체 상태를 기준으로 한 편차, 곧 잔류물성을 주는 도구다. 기준 물성은 열량 측정이나 분광 데이터에서 얻은 이상기체 열용량·생성엔탈피에서 나오며, 상태방정식이 만들어 주는 값이 아니다.

나머지는 모두 옳다.

• van der Waals·SRK·Peng-Robinson 등 삼차식은 P = f(T, V) 꼴로 압력을 온도와 부피의 항으로 나타낸다.
• 부피에 대한 3차식이므로 기·액 공존 영역에서는 실근 3개, 그 밖에서는 실근 1개를 갖는다.
• 혼합규칙을 적용하면 기체 혼합물의 잔류엔탈피·잔류엔트로피 같은 잔류물성을 계산할 수 있다.

정상상태로 흐르는 유체가 유로의 확대된 부분을 지날 때 변하지 않는 것은 유량이다.

정상상태에서는 질량보존(연속방정식)에 의해 단위시간당 통과하는 유체의 양(유량)이 관 어느 단면에서나 일정하게 유지된다.

반면 유동단면적이 커지면 그에 반비례하여 유속이 감소하고, 이에 따라 압력도 함께 변화한다.

이 이상기체는 약 2mol이다.

등온과정에서 기체가 주위로부터 받은 일은 $W = nRT\ln\dfrac{V_1}{V_2}$로 나타나며, 여기에 $V_1=10\ \mathrm{L}$, $V_2=1.5\ \mathrm{L}$, $T=298.15\ \mathrm{K}$, $W=2250\ \mathrm{cal}$를 대입한다.

$n = \dfrac{2250}{1.987\times298.15\times\ln(10/1.5)} = \dfrac{2250}{1.987\times298.15\times1.897} \approx 2\ \mathrm{mol}$로 계산된다.

등온 가역과정의 일은 W = nRT ln(P₂/P₁) 이므로 (1)(8.314)(300) ln(400/100) J 로 쓴 식이 맞다.

이상기체 등온과정에서는 nRT가 상수이므로
W = −∫P dV = nRT ln(V₁/V₂) = nRT ln(P₂/P₁)
= 1 mol × 8.314 J/(mol·K) × 300 K × ln 4 ≒ 3.46 × 10³ J

단위와 자릿수로도 걸러진다. R을 8.314가 아니라 1/8.314로, T를 300이 아니라 1/300으로 넣은 식은 J/(mol·K)·K가 상쇄되지 않아 에너지 차원이 나오지 않는다. 또 R을 J 단위로 쓴 값에 kJ을 붙인 식은 크기가 1000배 어긋난다.

전체 수지와 성분 수지를 연립하면 증류물 D = 35.3 mol/h, 잔류물 B = 64.7 mol/h 이다.

그림처럼 공급 F = 100 mol/h(이염화에틸렌 x_F = 0.40)가 탑 중간으로 들어가 위로 증류물 D(x_D = 0.95), 아래로 잔류물 B(x_B = 0.10)로 나가고 탑 안 축적은 없다.
전체 수지: D + B = 100
이염화에틸렌 수지: 0.95D + 0.10B = 0.40 × 100 = 40

두 식을 풀면
D = 100(0.40 − 0.10)/(0.95 − 0.10) = 30/0.85 = 35.3 mol/h
B = 100 − 35.3 = 64.7 mol/h
두 흐름의 합이 공급량 100 mol/h가 되어야 하므로 0.35·0.64 같은 소수 값은 유량(mol/h)으로 성립하지 않고, D와 B를 맞바꾼 조합은 성분 수지 0.95×64.7 + 0.10×35.3 = 65.0 ≠ 40 이 되어 맞지 않는다.

이 공기의 밀도는 약 1.167kg/m³이다.

이상기체 상태방정식을 밀도 형태로 쓰면 $\rho = \dfrac{PM}{RT}$이며, 여기에 760mmHg(=101.325kPa), 공기의 평균분자량 29g/mol, T=303.15K를 대입한다.

$\rho = \dfrac{101.325\times29}{8.314\times303.15} \approx 1.17\ \mathrm{kg/m^3}$로 계산된다.

이상기체의 단열 가역과정에서는 T₂/T₁ = (P₂/P₁)^(K−1)/K 가 성립한다.

단열식 PV^K = 일정에 이상기체식 V = RT/P를 대입하면
P(RT/P)^K = 일정 → T^KP^1−K = 일정
양변을 K로 나누어 정리하면 T₂/T₁ = (P₂/P₁)^(K−1)/K

지수의 부호로도 걸러진다. K > 1이므로 (K−1)/K는 0과 1 사이의 양수여서 압축(P₂ > P₁) 시 온도가 올라간다. 지수를 (1−K)/K나 1−K로 쓰면 음수가 되어 압축할수록 온도가 내려가는 잘못된 결과가 되고, K−1로만 쓴 것은 K로 나누는 과정을 빠뜨린 형태다.

Hess의 법칙은 엔탈피 변화가 초기 및 최종 상태에만 의존한다는 것을 나타낸다.

엔탈피는 상태함수이므로 그 변화량은 반응 경로와 무관하게 시작 상태와 끝 상태만으로 결정되며, 이 성질 덕분에 여러 단계 반응의 엔탈피 변화를 합산하여 원하는 반응의 엔탈피를 간접적으로 구할 수 있다.

공기 중 질소의 질량분율은 약 0.767이다.

몰분율 79%(N₂), 21%(O₂)를 각 성분의 분자량(N₂=28, O₂=32)과 곱해 질량 기준으로 환산한다.

$w_{N_2} = \dfrac{0.79\times28}{0.79\times28 + 0.21\times32} = \dfrac{22.12}{28.84} \approx 0.767$로 계산된다.

제시된 값 중 가장 낮은 압력을 나타내는 것은 14.2psi이다.

모두 같은 단위(kPa)로 환산하면 760mmHg와 101.3kPa은 약 101.3kPa(1atm)에 해당하고, 1bar는 100kPa, 14.2psi는 약 97.9kPa로 가장 낮다.

공기 1m³ 중에 포함된 수증기의 양은 약 11.6g이다.

상대습도 50%이므로 수증기 분압은 $P_w = 0.5\times24\ \mathrm{mmHg} = 12\ \mathrm{mmHg} \approx 1600\ \mathrm{Pa}$이다.

이상기체 상태방정식 $n = \dfrac{P_wV}{RT}$에 $V=1\ \mathrm{m^3}$, $T=298.15\ \mathrm{K}$를 대입하면 $n\approx0.645\ \mathrm{mol}$이고, 물의 분자량 18g/mol을 곱하면 약 $11.6\ \mathrm{g}$이 된다.

등방성 난류(Isotropic turbulent)란 난류에서 x, y, z 세 방향의 편차속도의 자승 평균값이 모두 같은 경우를 말한다.

즉 흐름의 통계적 성질이 방향에 관계없이 동일하게 나타나는 상태로, 어느 한 방향으로 치우친 변동이 없는 이상적인 난류 상태를 의미한다.

건조 조작에서 재료의 임계함수율이란 항률 건조 단계에서 감율 건조 단계로 바뀌는 시점의 함수율을 말한다.

항률 건조 구간에서는 재료 표면이 계속 습윤 상태로 유지되어 건조속도가 일정하지만, 함수율이 임계값 아래로 떨어지면 표면이 건조되며 내부 수분 확산이 속도를 지배하는 감율 건조 구간으로 전환된다.

그래프에서 기울기가 처음 꺾이는 b점이 부하점(loading point)이다.

액을 흘리지 않는 dry packing 선은 기울기가 일정한 직선이다. 액을 흘리면 a에서 시작해 b까지는 그 직선과 나란한 완만한 기울기를 유지하다가, b를 지나면서 상승하는 기체가 하강하는 액을 붙잡아 충전층에 액이 고이기 시작하고 압력강하 곡선의 기울기가 눈에 띄게 급해진다. 이 꺾임점이 부하점이다.

그 뒤 c에서 곡선이 거의 수직으로 서면서 액이 충전층 위에 고여 정상 조작이 불가능해지는데 이 점이 왕일점(범람점, flooding point)이고, d는 범람이 진행된 뒤의 구간이다. a는 아직 dry packing과 같은 기울기로만 압력강하가 증가하는 정상 조작 구간의 출발점이라 부하점이 아니다.

NTU가 평균 불활성 성분 조성의 역수라는 설명은 옳지 않다.

NTU(이동단위수)는 탑 전체에서의 농도 변화량을 대수평균 농도차(추진력)로 나눈 값으로 정의되며, 불활성 성분 조성과는 직접적인 관계가 없다.

• HTU가 대수평균 농도차만큼의 농도변화가 일어나는 충전탑 높이라는 설명은 타당하다.
• NTU가 전탑 내 농도변화를 대수평균 농도차로 나눈 값이라는 설명도 타당하다.
• HTU가 전체 충전고를 NTU로 나눈 값이라는 설명도 타당하다.

원료가 과열증기일 때 $f<1$이라는 설명은 옳지 않다.

f는 원료 중 기화된 증기의 분율로, 원료가 포화액체이면 f=0, 포화증기이면 f=1, 기-액 혼합물이면 $0$

원료가 과열증기 상태라면 이미 전량 기화된 상태를 넘어선 것이므로 $f>1$로 정의되어야 하며, f<1이라는 설명은 성립하지 않는다.

최소환류비는 4.5이다.

포화액체(비점) 상태로 공급되는 이성분계 증류에서 최소환류비는 $R_{min} = \dfrac{1}{\alpha-1}\left(\dfrac{x_D}{x_F} - \alpha\dfrac{1-x_D}{1-x_F}\right)$로 구할 수 있다.

여기에 $\alpha=1.5$, $x_F=0.40$, $x_D=0.95$를 대입하면 $R_{min} = \dfrac{1}{0.5}\left(\dfrac{0.95}{0.40} - 1.5\times\dfrac{0.05}{0.60}\right) = 2\times(2.375-0.125) = 4.5$가 된다.

전압을 변화시켜도 공비혼합물의 조성과 비점이 변하지 않는다는 설명은 옳지 않다.

공비점은 상대휘발도가 1이 되는 지점으로, 압력이 달라지면 상평형 관계 자체가 바뀌므로 공비 조성과 비점도 함께 변한다.

보통의 증류로 고순도 제품을 얻을 수 없다는 것, 비점도표에서 극소·극대점을 나타낼 수 있다는 것, 공비점에서 상대휘발도가 1이라는 것은 모두 공비혼합물의 타당한 특성이다.

태양의 표면온도는 약 4,544℃이다.

비인의 변위법칙 $\lambda_{max}T = b$에 상수 $b=2.89\times10^{-3}\ \mathrm{mK}$와 $\lambda_{max}=6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$를 대입한다.

$T = \dfrac{2.89\times10^{-3}}{6\times10^{-7}} \approx 4816.7\ \mathrm{K}$이고, 섭씨로 환산하면 $4816.7 - 273.15 \approx 4544\ ℃$가 된다.

필요한 가열면적은 약 1.5m²이다.

필요한 열량은 $Q = \dot m C_p \Delta T = 500\times1.0\times(200-60) = 70{,}000\ \mathrm{kcal/h}$이다.

포화수증기(240℃로 일정)를 열원으로 사용하므로 대수평균온도차는 $\Delta T_{lm} = \dfrac{(240-60)-(240-200)}{\ln\frac{240-60}{240-200}} = \dfrac{140}{\ln4.5} \approx 93.1℃$이다.

따라서 가열면적은 $A = \dfrac{Q}{U\Delta T_{lm}} = \dfrac{70{,}000}{500\times93.1} \approx 1.5\ \mathrm{m^2}$로 계산된다.

고점도 액체 혼합에 가장 적합한 교반기는 나선형 리본(helical-ribbon) 교반기이다.

나선형 리본형 교반기는 탱크 벽 가까이까지 넓은 면적으로 저속·층류 상태에서 유체를 밀어내며 혼합하도록 설계되어, 점도가 매우 높은 유체에서도 사각지대 없이 효과적으로 순환을 만들어낼 수 있다.

반면 터빈형·프로펠러형 교반기는 난류 영역에서 고속 회전으로 혼합하는 방식이라 점도가 매우 높은 유체에서는 효과가 떨어진다.

주제어기의 출력신호가 종속제어기의 목표값(설정값)으로 사용되는 제어 방식은 다단제어(캐스케이드 제어)이다.

이 구조에서는 외란에 더 빠르게 반응하는 종속(부) 루프가 먼저 교란을 흡수하고, 주(1차) 루프는 전체 공정 변수를 목표값에 맞추기 위해 종속루프의 설정값을 조정하는 이중 루프 형태로 동작한다.

개루프 전달함수를 구해 G/(1+G)로 정리하면 Y(s)/Y_sp(s) = (s+1)/(2s² + 2s + 1) 이다.

PI 제어기: G_c = K_c(1 + 1/τ_Is) = 0.5(1 + 1/s) = 0.5(s+1)/s
공정: G_p = 2/(2s+1)
G_cG_p = [0.5(s+1)/s] × [2/(2s+1)] = (s+1)/[s(2s+1)]

나머지 요소의 전달함수가 1이므로 설정값에 대한 닫힌루프 응답은
Y/Y_sp = G_cG_p/(1 + G_cG_p) = (s+1)/[s(2s+1) + (s+1)]
= (s+1)/(2s² + 2s + 1)
적분동작 때문에 분자에 (s+1)이 남는 것이 특징이며, s → 0에서 값이 1이 되어 오프셋이 없다. 분자가 1뿐인 식은 PI의 비례항이 만드는 영점을 빠뜨린 것이고, 분모의 s 계수가 2가 아닌 식은 s(2s+1)에 s를 더하는 항을 놓친 형태다.

적분동작은 제어기 입력신호인 오차(설정점-측정값)를 부호까지 포함하여 시간에 대해 적분하는 것이지, 신호의 절대값을 적분하는 것이 아니다.

절대값을 적분하면 오차의 부호와 무관하게 값이 계속 누적되어, 설정점에 도달한 뒤에도 적분값이 줄지 않는 비정상적 동작이 되므로 실제 적분동작의 정의에 어긋난다.

반면 오프셋 제거, 적분시간(τI)이 클수록 동작이 느려지는 점, 이득(Kc)이 클수록 적분작용이 강해지는 점은 모두 적분동작의 정상적인 특성이다.

구석점 주파수에서 일차계 하나의 위상각이 −45°이므로, 두 개를 직렬로 놓으면 −90°, 곧 −π/2 이다.

G(s) = 1/(s+1)은 시상수 τ = 1인 일차계이고 구석점 주파수는 ω = 1/τ = 1 rad/s이다.
일차계의 위상각: ∠G = −tan⁻¹(ωτ) = −tan⁻¹(1) = −45° = −π/4

직렬 연결에서는 진폭비는 곱해지고 위상각은 더해진다.
(−π/4) + (−π/4) = −π/2
−π/4는 일차계 한 개만의 값이고, −π는 같은 일차계를 4개 직렬로 놓았을 때의 값이다. 또 일차계 하나의 위상 지연은 아무리 주파수를 올려도 −90°를 넘지 못해 2개 직렬의 한계가 −π이므로, 그보다 큰 −3π/2는 나올 수 없다.

동일한 1차계 두 개를 상호작용 없이 직렬로 이으면 감쇠계수가 정확히 1인 임계감쇠 2차계가 된다.

각 1차계의 전달함수가 1/(τs+1)이므로 직렬 연결의 전체 전달함수는 $G(s)=\dfrac{1}{(\tau s+1)^2}=\dfrac{1}{\tau^2 s^2+2\tau s+1}$이다.

이를 2차계 표준형 $\dfrac{1}{\tau^2 s^2+2\xi\tau s+1}$과 항별로 비교하면 $2\xi\tau=2\tau$, 즉 ξ = 1이다.

감쇠계수가 1보다 크면 서로 다른 두 실근(과감쇠), 1보다 작으면 공액복소근이 되어 진동이 생긴다. 같은 1차계 두 개의 직렬 연결은 중근(반복근)을 가지므로 진동 없이 가장 빠르게 정상상태에 도달하는 임계감쇠에 해당하며, 감쇠계수가 무한대인 계는 물리적으로 성립하지 않는다.

외란과 출력 사이의 전달함수는 Y(s)/D(s) = 1 / [1 + C₁(s)G₁(s) + C₂(s)G₂(s)]이다.

그림에서 출력 Y는 외란 D와 두 갈래 제어 경로의 출력이 합쳐진 값이다. 위쪽 경로는 설정값 0에서 Y를 뺀 −Y가 C₂→G₂를 지나 −C₂G₂Y로, 아래쪽 경로도 같은 −Y가 C₁→G₁을 지나 −C₁G₁Y로 합류점에 들어온다.

따라서 $Y=D-C_2G_2Y-C_1G_1Y$ 이고, Y로 정리하면 $Y(1+C_1G_1+C_2G_2)=D$,
$\dfrac{Y(s)}{D(s)}=\dfrac{1}{1+C_1(s)G_1(s)+C_2(s)G_2(s)}$ 가 된다.

두 제어 경로가 병렬로 되먹임되므로 각 경로의 열린루프 이득이 분모에 합으로 더해지는 것이 핵심이다. 외란이 합류점 뒤에서 곧바로 출력에 들어오므로 분자에는 어떤 블록도 남지 않으며, 분모에 한쪽 경로만 넣거나 분자에 C·G 곱을 올리는 형태는 나머지 되먹임 경로를 빠뜨린 결과다.

서보 문제의 총괄전달함수는 C/R = G₁G₂ / (1 + G₁G₂H)이다.

서보 문제는 외란 u를 0으로 두고 설정값 R의 변화만 보는 경우다. 그림에서 R은 (+), 되먹임은 (−)로 들어와 오차가 $\varepsilon=R-HC$이고, 이 오차가 G₁과 G₂를 차례로 지나 출력이 되므로 $C=G_1G_2(R-HC)$ 이다.

C로 정리하면 $C(1+G_1G_2H)=G_1G_2R$,
$\dfrac{C}{R}=\dfrac{G_1G_2}{1+G_1G_2H}$ 이다.

분자는 설정값에서 출력까지의 전진경로 이득(G₁G₂), 분모의 둘째 항은 되먹임 요소까지 포함한 열린루프 이득(G₁G₂H)이라는 표준형 그대로다. H를 분자에 올리거나 분모에서 빼면 측정요소의 이득이 반영되지 않은 식이 된다.

총괄전달함수는 $\dfrac{\overline{T}}{\overline{T_s}}=\dfrac{G_CG_VG_P}{1+G_CG_VG_PG_m}$이다.

그림의 전진경로는 편차 Ē가 제어기 G_C → 조절밸브 G_V → 공정 G_P를 차례로 지나 온도 T̄가 되고, 그 T̄는 측정요소 G_m을 거쳐 합류점에 음(−)의 부호로 되돌아온다.

식으로 쓰면 $\overline{T}=G_CG_VG_P\left(\overline{T_s}-G_m\overline{T}\right)$,
정리하면 $\overline{T}\left(1+G_CG_VG_PG_m\right)=G_CG_VG_P\,\overline{T_s}$ 가 되어 위 결과가 나온다.

분자에는 전진경로 세 블록의 곱만 오고 분모에는 1 + 측정요소까지 포함한 열린루프 이득이 오는 것이 되먹임 제어계의 표준형이다. G_m을 분자에 올리거나 분모에서 빠뜨리면 되먹임 경로를 잘못 센 것이다.

전송기의 이득(gain)은 출력변화량을 입력변화량으로 나눈 값, 즉 $\dfrac{\Delta(\text{출력})}{\Delta(\text{입력})}$ 이므로 단위는 $\mathrm{mA}/^\circ\mathrm{C}$ 가 되어야 한다.

0~150℃ 범위를 4~20mA(스팬 16mA)로 전송하는 전송기의 이득은 $\dfrac{16\ \mathrm{mA}}{150\ ^\circ\mathrm{C}}$ 이지, $150/16\ (^\circ\mathrm{C/mA})$ 로 나타내는 것은 입력과 출력을 뒤바꾼 표현이라 옳지 않다.

전류신호가 전압신호보다 잡음에 덜 민감한 점, 0%를 4mA로 설정해 단선 판별과 잡음 대응을 동시에 노리는 점, ATC 밸브에서 8mA(신호의 25% 지점)일 때 밸브가 75% 열린 상태가 되는 점은 모두 옳은 설명이다.

사인 응답에서 위상앞섬(phase lead)을 내는 것은 1 + τs 형태다.

s에 jω를 대입하면 1 + jωτ의 위상각은 $\phi=+\tan^{-1}(\omega\tau)$로 항상 양(+)이다. 위상각이 양이면 출력 파형이 입력보다 앞서므로 위상앞섬이며, 주파수가 높아질수록 최대 +90°에 가까워진다.

• 1/(τs+1)은 위상이 $-\tan^{-1}(\omega\tau)$로 음수여서 최대 90°까지 뒤지는 대표적 위상지연 요소다.
• e^−τs는 위상이 −ωτ로 주파수에 비례해 무한히 뒤지는 시간지연(수송지연) 요소다.
• 1 + 1/(τs)는 적분항 때문에 위상이 $-\tan^{-1}\!\left(\dfrac{1}{\omega\tau}\right)$로 음수가 되는 비례적분 형태여서 앞서지 않는다.

K = 1.0이다.

이득여유는 위상각이 −180°가 되는 한계주파수에서 열린루프 진폭비의 역수다. $G(j\omega)H(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega(j\omega+1)^2}$ 의 위상은 $-90^\circ-2\tan^{-1}\omega$ 이므로, −180°가 되려면 $\tan^{-1}\omega=45^\circ$ 즉 ω_u = 1이다.

이때 진폭비는 $|GH|=\dfrac{K}{\omega\left(\sqrt{\omega^2+1}\right)^2}=\dfrac{K}{1\times 2}=\dfrac{K}{2}$,
이득여유는 $GM=\dfrac{1}{|GH|}=\dfrac{2}{K}=2.0$ 이므로 K = 1.0이다.

$\dfrac{1}{S^2+3S+2} = \dfrac{1}{(S+1)(S+2)}$ 처럼 서로 다른 두 실근으로 인수분해되는 2차계만 두 개의 1차계를 직렬로 연결한 것과 같다.

이는 시정수가 다른 1차계 $\dfrac{1}{S+1}$ 과 $\dfrac{1}{S+2}$ 를 곱한 것과 동일한 형태이며, 과제동(overdamped) 특성을 갖는다.

• 판별식이 음수인 경우($S^2+0.9S+0.7$, $S^2+S+2$)는 복소수근을 가져 진동하는 부족제동계이므로 1차계의 곱으로 표현될 수 없다.
• $S^2+5$ 는 1차항이 없어 순허수근을 가지므로 지속 진동하는 무제동계로, 역시 1차계 두 개의 직렬연결이 아니다.

계단입력에 대해 진폭이 줄지도 늘지도 않는 지속적인(감쇠 없는) 진동이 나타나는 것은 제동비(damping ratio)가 0인 무제동 2차계의 특징이다.

제동비가 0이면 특성방정식의 근이 순허수가 되어 에너지 손실 없이 일정한 진폭으로 계속 진동하며, 제동비가 1(임계제동)이면 진동 없이 서서히 수렴하고, 0과 1 사이면 진폭이 점점 줄어드는 감쇠진동이 된다.

비례대(proportional band)는 제어기 이득 Kc와 반비례 관계이므로, 비례대가 0에 가까워질수록 이득은 무한대에 가까워진다.

이 극한 상태가 바로 오차의 부호만으로 출력을 완전히 켜거나(on) 끄는(off) on-off 제어동작이며, PD·PI·PID 제어동작은 모두 유한한 비례대(이득)를 전제로 한다.

응축기 드럼의 성분수지식은 d(Mx)/dt = Vy − (R + D)x이다.

드럼으로 들어오는 주성분의 몰유량은 응축되는 증기 쪽 Vy 하나뿐이고, 나가는 쪽은 탑으로 되돌아가는 환류 Rx와 제품으로 빠지는 Dx다. 두 유출 흐름의 조성이 모두 액상 조성 x로 같으므로 (R + D)x로 묶인다.

축적항은 드럼 안에 들어 있는 주성분의 몰수 Mx의 시간변화, 즉 $\dfrac{d(Mx)}{dt}$ 이다. 홀드업 M도 변할 수 있으므로 M을 미분 밖으로 빼내 M(dx/dt)로 쓰면 안 된다.

• 유출을 Dx만으로 두면 탑으로 되돌아가는 환류 R을 빠뜨린 식이 된다.
• 축적항을 x(dM/dt)나 dM/dt로 두고 유입항에 조성 y를 곱하지 않으면 성분수지가 아니라 전량수지 형태가 된다.

이 비유에서 손(핸들 조작)은 실제로 자동차의 방향을 바꾸는 동작을 수행하므로 최종제어요소에 대응하며, 판단을 내리는 제어기는 사람의 두뇌에 대응한다.

따라서 손과 제어기를 짝지은 것은 잘못된 연결이며, 눈은 계측기, 발은 최종제어요소(가속·브레이크 조작), 자동차 전체는 공정에 대응한다는 나머지 설명은 모두 타당하다.

τ = 2.958이다.

한계주기 P_u로부터 한계주파수를 먼저 구한다.
$\omega_u=\dfrac{2\pi}{P_u}=\dfrac{2\pi}{3.14}\fallingdotseq 2$

한계이득 조건은 그 주파수에서 열린루프 진폭비가 1이 되는 것이다. 시간지연 e^−θs의 크기는 1이므로 $K_{cu}\cdot\dfrac{k}{\sqrt{(\tau\omega_u)^2+1}}=1$,
대입하면 $\dfrac{3\times 2}{\sqrt{4\tau^2+1}}=1$ → $4\tau^2+1=36$ → $\tau=\sqrt{8.75}\fallingdotseq 2.958$

시간지연 θ는 위상조건 $-\theta\omega_u-\tan^{-1}(\tau\omega_u)=-180^\circ$ 에서 따로 결정되며, 시간상수 τ는 진폭조건만으로 구해진다는 점이 계산의 요령이다.

라플라스 변환하면 Y(s) = (2s + 3) / [s(2s + 1)]이다.

초기값이 0이 아니므로 미분항은 $\mathcal{L}\left[\dfrac{dy}{dt}\right]=sY(s)-y(0)=sY(s)-1$ 로 y(0) = 1을 반드시 넣어야 하고, 우변의 상수 3은 3/s로 변환된다.

$2\left[sY(s)-1\right]+Y(s)=\dfrac{3}{s}$
$(2s+1)Y(s)=\dfrac{3}{s}+2=\dfrac{2s+3}{s}$
$Y(s)=\dfrac{2s+3}{s(2s+1)}$

초기값을 빠뜨리면 3/[s(2s+1)] 이 되고, 우변 상수를 3/s로 바꾸지 않으면 분모의 s가 사라진 3/(2s+1) 형태가 나온다.

라플라스 변환의 주요 목적은 미분·적분 연산이 포함된 선형 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 대수적으로 풀 수 있게 하는 것이다.

라플라스 변환은 선형계에 적용되는 도구이므로 비선형 방정식을 선형 방정식으로 바꾸는 것과는 무관하다.

시간지연 $e^{-\theta s}$ 의 주파수응답은 $e^{-j\theta\omega}$ 이므로 위상각은 $-\theta\omega$, 즉 주파수에 대해 선형적으로 감소할 뿐 지수적으로 증가하지 않는다.

진폭비는 항상 1로 일정하지만 위상만 계속 지연되어 피드백 제어계의 안정성에 불리한 영향을 주는 것은 맞으나, 그 변화 양상을 지수적이라 한 부분이 틀렸다.

시간지연이 측정·이송 지연이나 고차 전달함수의 근사 표현으로 쓰이는 점, 시간지연이 더해지면 한계이득과 한계(교차)주파수가 모두 작아진다는 점은 옳은 설명이다.

과린산석회는 인광석의 인산삼칼슘을 황산으로 분해해 제1인산칼슘과 석고를 함께 얻는 반응으로 만든다.

반응식은 Ca₃(PO₄)₂ + 2H₂SO₄ + 5H₂O → CaH₄(PO₄)₂·H₂O + 2[CaSO₄·2H₂O] 이다. 물에 녹지 않던 인산삼칼슘이 물에 녹는 제1인산칼슘으로 바뀌어 작물이 흡수할 수 있게 되고, 부산물인 석고가 그대로 섞여 남는다.

• 황산 대신 인산을 써서 석고 없이 제1인산칼슘만 얻는 Ca₃(PO₄)₂ + 4H₃PO₄ + 3H₂O → 3[CaH₄(PO₄)₂·H₂O] 는 인산 함량이 훨씬 높은 중과린산석회의 제조식이다.
• 염산으로 분해해 염화칼슘이 생기는 식은 과린산석회 공정이 아니며, 제1인산칼슘에 암모니아를 작용시켜 인산암모늄을 얻는 식은 복합비료 쪽 반응이다.

페놀을 수소화하면 시클로헥산올(및 시클로헥사논)이 생성되고, 이를 질산으로 산화시키면 고리가 절단되면서 아디프산(adipic acid)이 얻어진다.

아디프산은 나일론66 제조의 핵심 원료로, 이 경로는 공업적으로 널리 쓰이는 아디프산 합성법이다.

암모니아 산화법으로 얻은 약 65% 질산은 물과 공비 혼합물을 이루어 단순 증류로는 더 이상 농축되지 않는다.

이때 진한 황산(H₂SO₄)과 같은 탈수제를 첨가해 물-질산-황산의 3성분계를 만들면 공비점이 깨져 증류로 고농도 질산을 얻을 수 있다.

고분자의 결정구조(결정격자, 결정화도 등)를 분석하는 대표적인 방법은 X-선 회절(XRD)이다.

FT-IR은 작용기 확인, NMR은 화학구조(연결방식·입체규칙성), UV-visible은 발색단 분석에 주로 쓰이며 결정구조 분석에는 적합하지 않다.

아세트알데히드(아세트산알데히드)를 공기 산화시키면 아세트산(초산)이 생성되며, 이는 공업적인 아세트산 제조법 중 하나이다.

연실법 황산제조에서 질소산화물 공급을 위한 HNO₃는 SO₂와 반응해 NO를 재생한다: $2\mathrm{HNO_3} + 3\mathrm{SO_2} + 2\mathrm{H_2O} \rightarrow 3\mathrm{H_2SO_4} + 2\mathrm{NO}$

36wt% HNO₃ 용액 10kg 중 HNO₃의 질량은 $10 \times 0.36 = 3.6\ \mathrm{kg} = 3600\ \mathrm{g}$, 몰수는 $\dfrac{3600}{63} \approx 57.14\ \mathrm{mol}$ 이다.

반응식에서 HNO₃와 NO는 1:1 몰비이므로 NO 몰수도 57.14mol이며, 질량으로 환산하면 $57.14 \times 30 \approx 1714\ \mathrm{g} \approx 1.72\ \mathrm{kg}$ 이다.

고비점 유분을 상압에서 증류하면 끓는점에 도달하기 위해 매우 높은 온도가 필요한데, 이 온도에서는 석유 성분이 열분해(크래킹)되어 원하는 제품을 얻기 어렵다.

감압증류는 압력을 낮춰 끓는점 자체를 낮춤으로써 열분해를 방지하면서 고비점 유분을 분리하기 위한 것이다.

원유 정유공정에서 각 유분은 비점이 낮은 순서로 가스 → 나프타 → 등유 → 경유 → 중유 → 아스팔트 순으로 분류된다.

이는 상압증류탑에서 아래로 갈수록(온도가 높을수록) 더 무거운(비점이 높은) 유분이 얻어지는 일반적인 분별증류 순서와 일치한다.

활성탄에 촉매를 담지한 상태에서 아세틸렌에 아세트산을 부가시키면 비닐아세테이트(초산비닐)가 생성된다.

이는 초산비닐의 공업적 제조법의 하나로, 비닐아세테이트는 폴리비닐아세테이트(PVAc) 등의 원료로 쓰인다.

친전자성 치환반응(술폰화 포함)은 벤젠고리의 전자밀도를 높이는 치환기(전자주개 그룹)가 있을 때 잘 일어난다.

아미노기(-NH₂)는 대표적인 강한 전자주개(활성화) 그룹으로 고리의 전자밀도를 높여 친전자성 치환을 촉진하는 반면, 니트로기(-NO₂)나 술폰산기(-SO₃H)는 모두 전자를 끌어당기는 비활성화 그룹으로 오히려 치환반응을 어렵게 한다.

사슬중합(연쇄중합)은 이중결합을 가진 비닐 단량체가 라디칼이나 이온 등의 활성종에 의해 사슬처럼 순차적으로 부가되는 방식이 대표적이다.

• 사슬중합에서는 반응 초기부터 이미 고분자량 사슬이 만들어지며, 전환율은 생성된 고분자의 양만 늘릴 뿐 분자량 자체를 크게 바꾸지 않는다(고전환율에서 고분자량이 생기는 쪽은 단계중합이다).
• 단량체 농도는 반응이 진행되며 서서히 줄어들 뿐, 단계중합처럼 초기에 급격히 감소하지 않는다.
• 서로 반응할 관능기를 가진 단량체가 필요한 것은 단계중합의 조건이다.

아세톤, 아세트산, 에탄올은 모두 물과 임의의 비율로 섞이는 극성 유기용매이다.

반면 디에틸에테르(C₂H₅OC₂H₅)는 극성이 약해 물에 대한 용해도가 낮아, 보기 중 물과 가장 섞이지 않는 용매이다.

암모니아 산화 반응(질산 제조)에서 사용되는 산화코발트 촉매의 조성은 Co₃O₄로 표현되며, 이는 화학적으로 정확한 서술이다.

반면 공업적으로 가장 널리 쓰이는 촉매는 백금-로듐(Pt-Rh) 계열이므로, Pt-Bi가 가장 널리 사용된다는 서술은 옳지 않다.

반응식 4NH₃ + 5O₂ → 4NO + 6H₂O에서 NH₃ : O₂ = 4 : 5의 몰비가 필요하다. 공기 중 산소는 약 21%이므로, NH₃ 4몰에 필요한 산소 5몰을 공급하려면 공기가 $5/0.21 \approx 23.8$몰 필요하다. 따라서 전체 혼합가스 몰수는 $4 + 23.8 = 27.8$몰이 되고, NH₃의 부피비는 $4/27.8 \times 100 \approx 14.4\%$이다.

공업적인 무수염산 제조법에는 수소와 염소를 직접 반응시키는 직접합성법, 진한 염산을 가열·증류해 염화수소 가스를 얻는 농염산증류법, 염화수소를 흡착제에 흡착시켰다가 탈착시켜 회수하는 흡착법이 있다.

이 세 가지 방법에 해당하지 않는 염산분해법은 무수염산의 표준적인 제조법이 아니다.

인산질 비료 중 P₂O₅ 함유량은 제조법에 따라 크게 달라지는데, 인산으로 진하게 처리한 중과린산석회(중과석)가 가장 높고(통상 40% 이상), 소성 과정을 거친 소성인비가 그 다음이며, 황산으로 처리한 일반 과린산석회(과석)가 가장 낮다(통상 20% 이하).

따라서 P₂O₅ 함량은 중과린산석회 > 소성인비 > 과린산석회 순이 된다.

페놀수지, 폴리우레탄, 요소수지는 가열하면 화학적으로 가교(경화)되어 다시 녹지 않는 열경화성 수지이다.

반면 폴리프로필렌은 가열하면 녹고 냉각하면 다시 굳는 열가소성 수지이므로 열경화성에 해당하지 않는다.

건식법(전기로법) H₃PO₄ 제조에서는 인광석을 규사(SiO₂, 융제)와 코크스(환원제)와 함께 전기로에서 반응시켜 황린(P₄)을 얻은 뒤, 이를 연소·수화시켜 인산을 만든다.

해수를 가열·농축한 슬러리를 건조해 식탁염을 얻는 방식 중, 연소가스를 액체 속에 직접 분사해 빠르게 증발시키는 방법이 액중연소법이며, 이 방식은 각종 미네랄과 흡습방지 성분이 소금 결정에 남아 식탁염 생산에 적합하다.

진공증발법은 순도 높은 정제염을 얻는 데 주로 쓰여 미네랄 성분이 상대적으로 적게 남는다는 점에서 차이가 있다.

트리니트로톨루엔(TNT)은 비극성에 가까운 방향족 화합물로 물에 거의 녹지 않는다. 물에 매우 잘 녹는다는 설명은 TNT의 실제 성질과 반대이다.

톨루엔을 니트로화하여 제조하며, 강력한 폭발물질로 이용되고, 공업용 제품은 담황색 결정 형태를 띠는 것은 모두 옳은 설명이다.

ε_N2 = −0.4이다.

체적 변화율은 한계반응물이 완전히 전화됐을 때의 부피 변화를 처음 부피로 나눈 값이다. 반응은 N₂ + 3H₂ → 2NH₃이고 공급 조성이 N₂ 20%·H₂ 80%(=1:4)이므로 화학량론비 1:3보다 수소가 남아돌아 N₂가 한계반응물이다.

전체 1 mol 기준으로 N₂ 0.2 mol이 모두 반응하면 H₂ 0.6 mol이 소모되고 NH₃ 0.4 mol이 생겨, 남는 기체는 H₂ 0.2 + NH₃ 0.4 = 0.6 mol이다.
$\varepsilon_{\mathrm{N}_2}=\dfrac{0.6-1.0}{1.0}=-0.4$

기체 몰수가 줄어드는 반응이므로 부호는 반드시 음수이고, 반응 후에도 남는 H₂ 0.2 mol을 빠뜨리면 부피 감소를 과대평가해 −0.5가 나오게 된다.

정용 회분식 반응기에서 1차 반응의 적분식은 $\ln\dfrac{C_{A0}}{C_A} = kt$ 이다.

$t = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{C_{A0}}{C_A} = \dfrac{1}{0.345}\ln\dfrac{2.4}{0.9} = \dfrac{\ln 2.667}{0.345} \approx \dfrac{0.981}{0.345} \approx 2.84\ \mathrm{min}$

정용 회분식 반응기에서는 몰수비가 곧 농도비이므로 1차 반응 적분식을 몰수로 바로 쓸 수 있다: $\ln\dfrac{N_{A0}}{N_A} = kt$

$t = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{N_{A0}}{N_A} = \dfrac{1}{0.865}\ln\dfrac{30}{0.2} = \dfrac{\ln 150}{0.865} \approx \dfrac{5.01}{0.865} \approx 5.8\ \mathrm{min}$

반응속도식은 r = −dP_B/dt = k_pP_AP_B², 즉 A에 대해 1차·B에 대해 2차다.

표에서 A의 초기압력이 B보다 훨씬 크므로 A는 과잉이고 반응 중 P_A가 거의 일정하다고 볼 수 있다. 이때 B의 반감기는 $t_{1/2}\propto P_A^{-a}\,P_B^{\,1-b}$ 형태가 된다.

P_B가 10으로 같고 P_A만 500 → 250으로 절반이 된 두 실험에서 반감기가 80 → 160 min으로 두 배가 되므로 A에 대해 1차(a = 1)다.
P_A가 250으로 같고 P_B만 10 → 20으로 두 배가 된 두 실험에서 반감기가 160 → 80 min으로 절반이 되므로 1 − b = −1, 즉 B에 대해 2차(b = 2)다.

검산하면 t_1/2·P_A·P_B 값이 일정해야 한다. 80×500×10 = 4×10⁵이고, P_A = 125·P_B = 15인 실험에서 4×10⁵/(125×15) ≒ 213 min으로 표의 값과 정확히 맞는다.

2차 반응이 진행되는 PFR의 설계식은 $k\tau C_{A0} = \dfrac{X}{1-X}$ 형태이며, 전화율이 같으면 이 값은 반응기 크기와 무관하게 일정하다.

기존 반응기 하나(부피 V, 공급속도 $F_{A0}$)로 $X=0.95$를 얻었다면 $k\dfrac{V}{F_{A0}}C_{A0} = \dfrac{0.95}{0.05}=19$ 이다.

동일한 반응기를 직렬로 하나 더 연결해 전체 부피가 2V가 되어도 같은 전화율(같은 값)을 유지하려면 $V/F_{A0}$가 그대로 유지되어야 하므로, 부피가 2배가 된 만큼 공급속도도 2배로 늘려야 한다.

자동촉매 반응이므로 반응속도는 중간 농도에서 최대가 되는 위로 볼록한(∩) 곡선이 된다.

반응식이 A + R → R + R 이고 A 1몰이 R 1몰로 바뀌므로 C_A + C_R = C_A0 + C_R0 = C₀(일정)이다. 이를 속도식에 넣으면 −r_A = kC_AC_R = kC_A(C₀ − C_A)로 C_A에 대한 2차식이 된다.

이 식은 C_A = C₀/2에서 최댓값을 가진다. 즉 가로축 C_A/C_A0가 클 때는 촉매 역할을 하는 R가 거의 없어서 느리고, 작을 때는 반응물 A가 고갈되어 느리며, 중간에서 가장 빠른 봉우리 모양이 나타난다.

원점에서 올라가는 직선이나 단조 증가하는 지수형 곡선은 C_R가 곱해진 자동촉매 항을 무시한 형태이고, 아래로 볼록한(U) 곡선은 극대가 아니라 극소를 갖게 되어 자동촉매 거동과 정반대다.

중간체 R의 농도가 극대를 지난 뒤 감소하고 세 성분이 서로 다른 높이에서 평형에 이르므로, 정반응이 역반응의 3배인 A ⇌ R 에 이어 R ⇌ S 가 붙은 가역 직렬반응의 농도-시간 곡선이다.

그림에서 A는 1에서 출발해 단조 감소하고, R는 원점에서 기울기를 가지고 급히 올라가 봉우리를 만든 뒤 내려오며, S는 기울기 0에서 시작해 S자로 올라간다. R가 극대를 갖는다는 것은 먼저 생성된 뒤 다시 소비되는 중간체라는 뜻이므로, A가 R와 S로 갈라지는 병렬형 도식으로는 이 봉우리가 만들어지지 않는다.

결정적인 단서는 평형 높이다. 정·역 속도상수가 짝마다 같은 도식(병렬이든 직렬이든)은 평형상수가 모두 1이 되어 A = R = S = 1/3, 즉 세 곡선이 한 높이로 겹쳐야 한다. 그림은 세 값이 뚜렷이 다르고 A가 가장 낮게 남으므로 그런 도식은 모두 배제된다.

반면 A → R 정반응이 역반응의 3배인 직렬 도식이라면 평형에서 R = 3A, S = R 이므로 A ≒ 0.14, R = S ≒ 0.43이 되어 A만 크게 낮아진다. R의 극대와 A의 최저 평형이라는 두 특징을 동시에 만족하는 도식은 이것뿐이다.

두 경로가 모두 A에 1차인 병렬반응이므로 k₁ = 0.131 /min, k₁/k₂ = 20이다.

전체 소모속도는 두 경로의 합이다.
−r_A = (k₁ + k₂)C_A, 90% 분해이므로 C_A/C_A0 = 0.1
ln(1/0.1) = (k₁ + k₂) × 1000 s
k₁ + k₂ = 2.303 × 10^-3 /s = 0.1382 /min

생성비를 쓸 때는 A → 2S가 S를 2몰씩 내놓는다는 화학량론을 반드시 반영해야 한다.
C_R/C_S = k₁ / (2k₂) = 10
k₁/k₂ = 20

따라서 k₁ = (20/21) × 0.1382 = 0.131 /min, k₂ = 0.00658 /min이다. 계수 2를 빠뜨리면 비가 10, k₁도 0.126 /min으로 어긋난다.

기초 반응의 분자도는 한 번의 충돌에 참여하는 반응물 분자 수의 합이므로 2NO + O₂ → 2NO₂에서 2 + 1 = 3이다.

좌변의 화학량론 계수를 그대로 더해 구하며, NO 2분자와 O₂ 1분자가 동시에 충돌하는 삼분자 반응(termolecular)에 해당한다.

기초 반응에서는 속도식의 차수가 분자도와 같으므로 −r_NO = kC_NO²C_O2가 되어 전체 3차이며, 차수를 세는 방법으로 확인해도 같은 값이 나온다.

1차 반응 CSTR의 설계식은 $\dfrac{V}{Q} = \dfrac{X}{k(1-X)}$ 이므로, 동일한 유량·속도상수 조건에서 반응기 부피는 $\dfrac{X}{1-X}$ 에 비례한다.

$\dfrac{V_{40\%}}{V_{60\%}} = \dfrac{0.4/(1-0.4)}{0.6/(1-0.6)} = \dfrac{0.4/0.6}{0.6/0.4} = \dfrac{2/3}{3/2} = \dfrac{4}{9}$

자동촉매반응은 반응속도가 전화율에 따라 증가했다가 다시 감소하는 비단조(S자형) 속도곡선을 가진다.

이 때문에 낮은 전화율 구간과 높은 전화율 구간에서 최소 부피를 주는 반응기 형태(혼합 흐름 또는 플러그 흐름, 또는 둘의 조합)가 달라지므로, 목표 전화율에 따라 유리한 반응기가 달라진다.

1차 비가역 반응이 일어나는 관형(PFR) 반응기의 설계식은 $k\tau = -\ln(1-X)$ 이다.

먼저 $\tau=2\ \mathrm{min}, X=0.4$ 로부터 $k = \dfrac{-\ln(0.6)}{2} \approx \dfrac{0.511}{2} \approx 0.255\ \mathrm{min^{-1}}$ 를 구한다.

$X=0.9$일 때 필요한 공간시간은 $\tau' = \dfrac{-\ln(0.1)}{0.255} = \dfrac{2.303}{0.255} \approx 9.02\ \mathrm{min}$

공간시간(space time)은 반응기 부피를 공급물의 부피유량으로 나눈 값으로, 반응기 부피 1개 분량의 공급물을 처리하는 데 걸리는 시간을 뜻한다.

따라서 공간시간이 5분이라는 것은 매 5분마다 반응기 부피만큼의 공급물이 처리됨을 의미할 뿐, 5분 안에 100% 전화율이 보장되거나 부피의 5배를 처리한다는 뜻은 아니다.

반응차수가 0차인 경우 반응속도가 농도와 무관하게 일정하므로, 동일한 조건에서 CSTR과 PFR에 필요한 반응기 부피는 서로 같다.

반응차수가 0보다 큰 일반적인 경우에는 오히려 PFR의 부피가 CSTR보다 작다(CSTR이 더 크다)는 것이 잘 알려진 결과이며, 반응차수가 커질수록 두 반응기의 부피 차이는 더 벌어지는 경향을 보인다.

1단계(A→R)는 2차, 2단계(R→S)는 1차 반응으로 1단계의 반응차수가 2단계보다 높은 경우, R의 생성 선택도를 높이려면 A의 농도를 높게 유지하는 것이 유리하다.

1단계 반응차수가 더 높으면 A 농도가 높을수록 R 생성 속도(1단계)가 R 소모 속도(2단계)보다 상대적으로 더 빨라지기 때문이며, 이 경우 원료를 희석하지 않고 고농도로 유지하는 회분식이나 플러그흐름 방식이 유리하다.

같은 크기의 반응기라면 관형반응기의 R 성분수율이 혼합반응기보다 항상 크다.

A → R → S 직렬반응에서 R는 중간체다. 완전혼합반응기는 반응기 안이 전부 출구 조성이어서 갓 들어온 A가 이미 R가 쌓인 유체와 즉시 섞이고, 그만큼 R가 S로 더 많이 파괴된다. 관형반응기는 이런 역혼합이 없어 R가 살아남는다.

같은 공간시간 τ에서 비교하면
관형: C_R/C_A0 = k₁(e^-k₁τ − e^-k₂τ)/(k₂ − k₁) (k₁ = k₂이면 극한값 k₁τe^-k₁τ)
혼합: C_R/C_A0 = k₁τ / {(1 + k₁τ)(1 + k₂τ)}

τ = 1에서 두 극단을 넣어 보면
k₁ = k₂ = 1 → 관형 0.368, 혼합 0.250
k₁ = 1 < k₂ = 2 → 관형 0.233, 혼합 0.167

즉 두 속도상수가 같아도, 두 번째 반응이 더 빨라도 관형 쪽이 크다. 이 대소 관계는 k₁과 k₂의 크기에 관계없이 항상 성립하므로, 두 상수가 같으면 수율이 같아진다거나 어떤 조건에서 혼합반응기가 유리해진다는 설명은 성립하지 않는다.

Thiele 계수는 촉매 표면 반응속도와 입자 내부 확산속도의 비를 나타내는 무차원수이며, 가속도와 속도의 비를 뜻하지 않는다.

Thiele 계수가 커질수록 확산저항 때문에 입자 내부 농도가 낮아지고, 촉매의 유효이용률도 이 값에 의존한다.

연속 평행반응은 같은 반응물 B가 먼저 A를 공격해 R를 만들고, 그 R를 다시 공격해 S를 만드는 형태, 즉 A + B → R, R + B → S 이다.

이 도식은 A를 기준으로 보면 A → R → S의 직렬(연속)이고, B를 기준으로 보면 A와 R가 B를 놓고 다투는 병렬이라 두 성격을 동시에 갖는다. 방향족 치환, 에틸렌의 산화에틸렌화 같은 공정이 대표 예다.

• A → R → S 는 중간체를 거치기만 하는 직렬(연속)반응으로 두 번째 반응물이 없다.
• A → R, A → S 는 한 반응물이 두 경로로 갈라지는 병렬(경쟁)반응이다.
• A → R, B → S 는 서로 간섭하지 않는 독립반응이다.

율속단계는 여러 단계 중 전체 반응속도를 지배하는 단계를 말하며, 각 단계의 저항 크기에 따라 정해진다.

고체표면 반응이나 기체막 물질전달이 항상 율속단계인 것은 아니며, 저항이 가장 큰 단계가 율속단계이다.

순간 선택도가 r₁/r₂ = (k₁/k₂)(C_A/C_R)·C_B 이므로, A와 B를 처음부터 함께 넣어 두 농도를 모두 높게 유지해야 R가 많이 남는다.

원하는 반응은 B에 대해 2차(C_B²), 원치 않는 반응은 B에 대해 1차(C_B)다. 따라서 C_B가 높을수록 R 쪽이 유리하므로, B를 한 방울씩 떨어뜨려 C_B를 낮게 유지하는 방식은 오히려 S를 키운다.

반대로 B가 가득한 용기에 A를 한 방울씩 넣으면 C_A는 거의 0인데 과잉의 B가 계속 남아 있어, 갓 생성된 R가 곧바로 공격받아 S까지 끝까지 진행해 버린다.

결국 C_B가 높으면서 C_A도 높아 A가 R와의 B 쟁탈에서 앞서는 조건, 즉 두 물질을 동시에 넣는 회분식·관형 접촉이 최선이다. 넣는 순서가 무관하다는 판단은 선택도가 두 농도에 함께 의존한다는 사실과 어긋난다.