물이 얼음·수증기와 동시에 평형을 이루는 상태는 삼중점으로, 자유도는 0이다.

깁스 상률 $F = C - P + 2$에서 성분수 $C=1$(물), 상의 수 $P=3$(고체·액체·기체)이므로 $F = 1-3+2 = 0$이다.

즉 삼중점의 온도와 압력은 하나로 고정되어 임의로 바꿀 수 있는 변수가 없다.

등온 가역과정의 일은 시작·끝 압력만으로 결정되며, 계산하면 약 1364cal이다.

$W = nRT\ln\dfrac{P_1}{P_2} = (1)(1.987)(298)\ln\dfrac{100}{10} \approx 592\times2.303 \approx 1364\,\mathrm{cal}$

중간에 몇 단계로 압력을 낮췄는지는 가역과정이라면 결과에 영향을 주지 않으므로, 시작압력 100bar와 최종압력 10bar만으로 계산한다.

단열팽창에서 계가 외부에 하는 일은 가역과정일 때 최대이므로 $|W_{irr}| < |W_{rev}|$이다.

비가역과정은 마찰·유한한 압력차 등으로 에너지 손실(엔트로피 생성)이 발생해 같은 초기·최종 상태 사이에서도 외부에 전달되는 일의 크기가 가역과정보다 작아진다.

줄-톰슨 팽창은 단열 스로틀링 과정으로, 외부에 하는 일이 없고 엔탈피가 보존된다.

밸브를 통과하며 흐르는 과정이라 계 외부와 열 교환이 없어 $Q=0$이고, 축일을 하지 않아 $W=0$이며, 그 결과 $H_2-H_1=0$인 등엔탈피 과정이 된다.

결론: P-V 선도에서 좌우 두 변이 수직선(정적), 위아래 두 변이 완만한 곡선(단열) 인 것이 오토 사이클이다.

공기표준 오토 사이클은 단열압축 → 정적가열(점화) → 단열팽창 → 정적방열의 4단계다. 부피가 변하지 않는 정적과정은 P-V 선도에서 수직선 으로, $PV^{k}=\text{const}$ 인 단열과정은 완만한 쌍곡선형 곡선 으로 그려진다.

따라서 선도를 고를 때는 수직선 2개와 곡선 2개 로 이루어졌는지만 확인하면 된다.

• 가열·방열이 모두 수평선(정압) 으로 그려져 있으면 브레이턴(가스터빈) 사이클이다.
• 한쪽이 수평선(정압가열)이고 반대쪽이 수직선(정적방열)이면 디젤 사이클이다.
• 단열을 나타내는 곡선이 하나도 없이 직선만 으로 이루어진 선도는 오토 사이클이 될 수 없다.

벤젠-톨루엔 2성분계가 기액 평형을 이룰 때 자유도는 2이다.

깁스 상률 $F=C-P+2$에서 성분수 $C=2$, 상의 수 $P=2$(기상·액상)이므로 $F=2-2+2=2$이다.

즉 온도·압력·조성 중 두 변수를 독립적으로 정하면 나머지 상태가 결정된다.

이상용액의 혼합 엔트로피는 0이 아니므로 $\Delta S^{id}/R=0$은 옳지 않다.

이상용액의 혼합특성 중 부피($\Delta V^{id}=0$)와 내부에너지($\Delta U^{id}=0$)는 혼합 시 변화가 없지만, 혼합에는 항상 무질서도 증가가 따르므로 $\Delta S^{id} = -R\sum X_i\ln X_i$로 항상 0보다 크다.

깁스 자유에너지 관계식 $\Delta G^{id}/RT=\sum X_i\ln X_i$ 역시 옳은 표현이다.

결론: 빈칸에는 $V-T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ 가 들어간다.

엔탈피의 기본 관계식 $dH=T\,dS+V\,dP$ 에서 엔트로피를 T·P 의 함수로 전개하면 $dS=\dfrac{C_p}{T}dT-\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P dP$ 이며, 뒷항은 맥스웰 관계식 $\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T=-\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ 에서 나온다.

이를 대입하면 $dH=C_p\,dT+\left[V-T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]dP$ 가 되므로, dP 의 계수가 곧 빈칸이다.

검산으로 이상기체를 넣어 보면 $T\left(\partial V/\partial T\right)_P=V$ 라서 이 계수가 0 이 되고, 잘 알려진 대로 이상기체의 엔탈피는 압력에 무관 해진다. V 만 쓰거나 $T(\partial V/\partial T)_P$ 만 쓰면 이 성질이 재현되지 않는다.

반데르발스 식에서 a/V² 항은 압력 P 와 더해지므로 반드시 압력 단위(atm)를 가져야 하고, 여기서 a 의 단위가 결정된다.

V 의 단위가 L/mol 이므로 V² 의 단위는 L²/mol² 이다.
a = (a/V²) × V² = atm × L²/mol²
따라서 a 의 단위는 L²·atm/mol² 이다.

같은 논리로 (V − b) 의 b 는 부피와 빼지므로 L/mol 단위를 갖는다. mol² 이 분자로 올라가거나 L² 이 분모로 내려간 형태는 V² 을 곱하지 않고 나눈 것이어서 차원이 맞지 않는다.

주장된 효율은 카르노 효율보다 높으므로 열역학 제2법칙에 위배된다.

80℃(353K)와 10℃(283K) 사이에서 가능한 최대(카르노) 효율은 $\eta_{Carnot} = 1-\dfrac{283}{353} \approx 0.198\,(19.8\%)$이다.

그런데 주장된 효율은 $20/100=0.20\,(20\%)$로 카르노 효율을 넘어서므로 실현 불가능하며, 이는 제2법칙 위반에 해당한다.

단열 가역(등엔트로피) 팽창이므로 T₂ = T₁(P₂/P₁)^(γ−1)/γ 로 계산하면 최종온도는 약 90K 이다.

비열비 γ = C_P/C_V = 5/3 이므로 지수는 (γ−1)/γ = (2/3)/(5/3) = 0.4 이다.
T₁ = 25 + 273 = 298K, P₂/P₁ = 1/20 = 0.05
T₂ = 298 × 0.05^0.4 = 298 × 0.3017 ≈ 89.9K

단열 팽창에서는 열 출입이 없어 기체가 한 일만큼 내부에너지가 줄어 온도가 급격히 내려간다. 지수를 (γ−1)/γ = 0.4 대신 γ−1 = 0.667 등으로 잘못 쓰면 결과가 크게 어긋나므로 주의한다.

역카르노 사이클(냉동기)의 성능계수는 저온부에서 흡수한 열을 투입한 일로 나눈 값이므로 T₂/(T₁−T₂) 로 표시된다.

T−S 선도에서 사이클은 고온 T₁(방열)과 저온 T₂(흡열), 엔트로피 S₁과 S₂ 로 둘러싸인 직사각형이다.
흡수열 Q₂ = T₂(S₂−S₁), 방출열 Q₁ = T₁(S₂−S₁)
투입한 일 W = Q₁ − Q₂ = (T₁−T₂)(S₂−S₁)

따라서 COP = Q₂/W = T₂/(T₁−T₂) 이고 엔트로피 차 (S₂−S₁)는 약분되어 사라진다.

• 분자에 고온 T₁을 둔 형태 — 흡수열이 아니라 방출열을 기준으로 삼은 것이라 냉동기 성능계수가 아니다.
• 분모를 T₁ 하나로만 둔 형태 — 열기관의 열효율 (T₁−T₂)/T₁ 을 그대로 옮긴 것이며, 성능계수는 항상 1보다 큰 값이 나와야 한다.

미분계수가 양수라는 것은 반트호프 식으로부터 ΔH > 0, 즉 흡열반응이고 온도가 오르면 K 가 커진다는 뜻이다.

반트호프 식: (∂lnK/∂T)_P = ΔH/RT²
RT² 은 언제나 양수이므로 미분계수의 부호는 반응엔탈피 ΔH 의 부호와 그대로 같다.
따라서 (∂lnK/∂T)_P > 0 → ΔH > 0 → 흡열반응

또한 미분계수가 양수이면 T 가 증가할수록 lnK 가 증가하므로 K 도 증가한다. 발열반응(ΔH < 0)이면 미분계수가 음수가 되어 온도 상승 시 K 가 작아지므로, 흡열·발열 판정과 K 의 증감 방향은 항상 한 쌍으로 결정된다.

보기 중 질량(mass)은 상태변수가 될 수 없다.

비부피·굴절율·몰당 내부에너지는 계의 현재 상태(온도·압력·조성 등)에 의해 값이 정해지는 물성이지만, 질량은 계에 포함된 물질의 양 자체를 나타낼 뿐 상태를 규정하는 물성이 아니다.

비가역 과정에서는 엔트로피 변화가 실제로 주고받은 열을 절대온도로 나눈 값보다 항상 크다. 즉 ΔS > ∫dQ/T 이다.

클라우지우스 부등식 dS ≥ dQ/T 에서 등호는 오직 가역 과정에서만 성립한다.
비가역 과정에는 마찰, 혼합, 유한한 온도차를 통한 열전달 같은 엔트로피 생성항 S_gen > 0 이 더해지므로 ΔS = ∫dQ/T + S_gen 이 된다.

• ΔS 와 ∫dQ/T 를 등호로 이은 식 — 가역 과정의 엔트로피 정의식이므로 비가역에는 쓸 수 없다.
• ΔS 가 ∫dQ/T 보다 작다는 식 — 엔트로피 생성이 음수라는 뜻이 되어 열역학 제2법칙에 어긋난다.
• ΔS = 0 — 단열이면서 가역인 등엔트로피 과정에만 해당한다.

이상기체 혼합의 엔트로피 변화를 계산하면 약 1.021kcal/kmol·K이다.

$\Delta S_{mix} = -R\sum x_i\ln x_i = -R(0.21\ln0.21+0.79\ln0.79)$

$\Delta S_{mix} \approx -1.987\times(-0.514) \approx 1.021\,\mathrm{kcal/kmol\cdot K}$

물의 몰분율은 y_H₂O = (1−2ε)/(4+2ε) 이다.

반응식 CH₄ + 2H₂O → CO₂ + 4H₂ 에서 물의 화학양론계수는 −2 이므로
n_H₂O = 1 − 2ε
몰수 변화 Δν = (1+4) − (1+2) = 2 이고 초기 총 몰수는 네 성분 각 1몰이므로 4몰이다.
n_총 = 4 + 2ε

따라서 y_H₂O = (1−2ε)/(4+2ε) 이다. 분모의 증가분은 반드시 Δν·ε = 2ε 이므로, 이를 −2ε 로 두면 총 몰수가 늘어나는 반응을 줄어드는 것으로 잘못 본 것이고 ε 로 두면 증가 폭을 절반으로 잡은 것이다. 분자의 −2ε 도 물이 2몰씩 소모되는 계수를 그대로 반영해야 한다.

동일한 두 열원 사이에서 작동하는 사이클 중 카르노 사이클의 열효율이 이론적으로 가장 크다.

카르노 사이클은 고온·저온 열원과 같은 온도에서 등온으로 열을 주고받는 가역과정만으로 구성되어 그 두 열원 사이에서 얻을 수 있는 최대 효율을 실현한다.

반면 오토·디젤·사바테 사이클은 정적·정압 과정에서 작동유체의 온도가 변하는 동안 열을 주고받으므로, 평균 흡열 온도는 최고온도보다 낮고 평균 방열 온도는 최저온도보다 높아져 카르노 효율에 미치지 못한다.

오토 사이클은 2개의 단열과정과 2개의 정적과정으로 이루어진 불꽃점화기관의 이상사이클이다.

흡입된 혼합기를 단열압축한 뒤 정적 상태에서 점화·연소로 열을 가하고, 다시 단열팽창으로 일을 하며, 마지막으로 정적 상태에서 열을 방출하는 과정으로 구성된다.

열역학 관계식 (∂U/∂V)_T = T(∂P/∂T)_V − P 에 반데르발스 식을 대입하면 결과는 a/V² 이다.

P = RT/(V−b) − a/V² 이므로 부피 일정 조건에서 온도로 미분하면 (∂P/∂T)_V = R/(V−b) 이다.
(∂U/∂V)_T = T·R/(V−b) − [RT/(V−b) − a/V²]
= RT/(V−b) − RT/(V−b) + a/V² = a/V²

같은 식에 이상기체 P = RT/V 를 넣으면 RT/V − RT/V = 0 이 되어 이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수임이 확인된다. 반데르발스 기체에서 남는 a/V² 항이 바로 분자간 인력을 이겨내며 부피를 넓힐 때 내부에너지가 늘어나는 몫이고, RT/(V−b) 처럼 반발부피 항이 남는 형태는 두 항의 상쇄를 놓친 것이다.

이상기체 상태방정식으로 계산하면 공기의 밀도는 약 1.17g/L이다.

평균분자량은 $M = 0.79\times28+0.21\times32 = 28.84\,\mathrm{g/mol}$이고, 압력은 $740\,\mathrm{mmHg}\approx0.974\,\mathrm{atm}$, 온도는 $293\,\mathrm{K}$이다.

$\rho = \dfrac{PM}{RT} = \dfrac{0.974\times28.84}{0.08206\times293} \approx 1.17\,\mathrm{g/L}$

1kW를 정확히 환산하면 $101.97\,\mathrm{kgf\cdot m/s}$가 되어야 하므로, 10.97kgf·m/s는 실제 값과 거리가 멀다.

나머지 세 값(0.239kcal/s, 0.948BTU/s, 1000000mW)은 1kW=1000J/s를 각각의 단위로 정확히 환산한 값과 일치한다.

습도 정의식으로 계산하면 건조공기 kg당 수증기는 약 0.0184kg이다.

$Y = \dfrac{P_w}{P-P_w}\times\dfrac{M_w}{M_{air}} = \dfrac{21.9}{760-21.9}\times\dfrac{18}{29}$

$Y \approx 0.0297\times0.621 \approx 0.0184\,\mathrm{kg\,H_2O/kg\,dry\,air}$

전체 질량과 알코올 성분의 물질수지를 세우면 95wt% 용액은 4.44g, 5wt% 용액은 15.56g이 된다.

전체 질량 수지는 $x+y=20$이고, 알코올 성분 수지는 $0.95x+0.05y = 0.25\times20 = 5$이다.

두 식을 연립하면 $x \approx 4.44\,\mathrm{g}$, $y \approx 15.56\,\mathrm{g}$이다.

정상상태 터빈의 출력은 W = ṁ(Ĥ_out − Ĥ_in) 로 구하며 약 −292kW 이다.

입구 Ĥ_in = 3201kJ/kg, 출구 Ĥ_out = 2675kJ/kg 이므로 비엔탈피 변화는 2675 − 3201 = −526kJ/kg 이다.
ṁ = 2000kg/h ÷ 3600s/h = 0.5556kg/s
W = 0.5556 × (−526) ≈ −292kJ/s = −292kW

부호가 음(−)인 것은 계인 수증기가 외부(터빈 축)로 일을 내보낸다는 뜻이다. 시간 단위를 h 에서 s 로 바꾸지 않고 그대로 계산하면 3600배 어긋난 값이 나오므로 환산을 반드시 확인한다.

지하 220m에서 지상 20m 물탱크까지 올리므로 총 상승 높이는 240m이며, 이때 위치에너지 증가율은 약 35280J/s이다.

$\dfrac{\Delta E_p}{\Delta t} = \dot m g \Delta h = 15\times9.8\times240 \approx 35280\,\mathrm{J/s}$

헨리의 법칙으로 계산하면 물에 용해되는 기체 성분의 몰분율은 약 $7.6\times10^{-6}$이다.

기체 중 해당 성분의 분압은 $p = yP = 0.01\times20 = 0.2\,\mathrm{atm}$이고, 헨리의 법칙 $p = Hx$에서 $x = \dfrac{p}{H} = \dfrac{0.2}{2.63\times10^4} \approx 7.6\times10^{-6}$이다.

몰비를 질량비로 환산하면 산소 대 질소의 질량비는 약 0.303이다.

$\dfrac{m_{O_2}}{m_{N_2}} = \dfrac{0.21\times32}{0.79\times28} = \dfrac{6.72}{22.12} \approx 0.303$

분압은 전압에 부피분율을 곱해 구하며, CO₂ 분압은 약 61.2mmHg이다.

$p_{CO_2} = 0.08\times765 = 61.2\,\mathrm{mmHg}$

연소 반응식과 공기 조성으로 계산하면 과잉공기는 약 35.2%이다.

$C_2H_4+3O_2\rightarrow2CO_2+2H_2O$이므로 $C_2H_4$ 40kg(약 1428.6mol)을 완전연소시키는 데 필요한 이론산소량은 $3\times1428.6\times32\approx137.1\,\mathrm{kg}$이다.

공급된 공기 800kg 중 산소(공기 평균분자량 29 기준 질량비 약 23.2%)는 $800\times0.232\approx185.4\,\mathrm{kg}$이므로, 과잉공기율은 $\dfrac{185.4-137.1}{137.1}\times100\approx35.2\%$이다.

추출 용매(추제)는 추출 후 회수가 용이해야 한다.

추제는 원료와 끓는점 차이가 커서 증류 등으로 쉽게 분리·회수될 수 있어야 하며, 이 밖에도 선택도가 크고 값이 싸며 용질과의 화학결합력(과도한 용해력)이 작아 물리적 추출이 잘 되는 것이 바람직하다.

프란틀수는 운동량 확산도와 열 확산도의 비이므로, $Pr>1$이면 운동량 경계층이 열 경계층보다 두껍다.

$Pr = \nu/\alpha$에서 $Pr>1$은 운동량이 열보다 빠르게 확산됨을 의미하므로, 속도 변화가 미치는 영역(운동량 경계층)이 온도 변화가 미치는 영역(열 경계층)보다 넓게 퍼진다.

운동량 유속은 $\rho v^2$ 차원을 가지는데, 밀도와 질량유속의 곱은 이 차원과 맞지 않아 옳지 않은 표현이다.

질량유속($\rho v$)에 밀도를 다시 곱하면 $\rho^2 v$가 되어 운동량 유속의 실제 차원($\rho v^2$)과 어긋난다.

반면 질량유속과 선속도의 곱, 밀도와 선속도 제곱의 곱, 질량유량과 선속도의 곱을 단면적으로 나눈 값은 모두 같은 $\rho v^2$ 형태로 옳은 표현이다.

용액-확산(solution-diffusion) 모델에서는 물과 염류가 막에 용해된 뒤 각각 독립적인 경로로 확산되어 이동한다고 설명한다.

이때 물의 플럭스는 압력차(정확히는 압력차에서 삼투압차를 뺀 값)에 비례하지만, 염류의 플럭스는 막 양쪽의 농도차(활동도차)에 의해서만 결정되고 압력차와는 무관하다.

따라서 물의 플럭스가 압력차에 의존하지 않고 염류의 플럭스가 압력차에 크게 좌우된다는 설명은 실제 관계가 반대로 뒤바뀐 내용이라 옳지 않다.

최소환류비는 정류탑에서 요구되는 분리를 달성하는 데 필요한 이론단수가 무한대가 되는 환류비를 말한다.

환류비를 최소환류비보다 낮추면 조작선이 평형선과 만나(핀치점 발생) 아무리 단수를 늘려도 원하는 분리를 얻을 수 없게 된다.

층류의 속도 분포는 $v(r) = v_{max}\left[1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right]$로 주어지는 포물선 형태를 따른다.

관의 반지름은 $R = 5\ \mathrm{cm}$이고, 관벽에서 2cm 떨어진 지점은 중심에서 $r = 5-2 = 3\ \mathrm{cm}$ 되는 위치다.

$v = 2 \times \left[1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\right] = 2 \times 0.64 = 1.28\ \mathrm{cm/s}$

흡수탑의 소요 충전높이는 전달단위수(NTU)와 전달단위높이(HTU)의 곱으로 구한다.

$Z = NTU \times HTU = 20 \times 0.7\ \mathrm{m} = 14\ \mathrm{m}$

펄프를 얇고 연속적인 시트로 뽑아 건조할 때는 원통형건조기(Cylinder dryer)가 가장 적합하다.

가열된 대형 원통 표면에 젖은 시트를 밀착시켜 연속적으로 감아 통과시키면서 건조하는 방식으로, 제지공정의 연속 시트 건조에 널리 쓰인다.

터널건조기·회전건조기·상자건조기는 트레이나 대차에 실은 고체, 또는 입자·과립 형태의 물질을 건조하는 데 쓰이는 장치라 얇은 연속 시트를 감아 통과시키는 용도에는 맞지 않는다.

대류 전열속도는 뉴턴의 냉각법칙 $q = hA\Delta T$로 계산한다.

$q = 30\ \mathrm{W/m^2 \cdot ^\circ C} \times 0.25\ \mathrm{m^2} \times (250-50)\ ^\circ\mathrm{C} = 1500\ \mathrm{W} = 1.5\ \mathrm{kW}$

응축 중인 포화수증기는 일정한 온도(100℃)를 유지하므로, 이 열교환은 한쪽 유체 온도가 일정한 경우의 대수평균온도차(LMTD)로 계산한다.

양 끝단의 온도차는 $\Delta T_1 = 100-25 = 75\ ^\circ\mathrm{C}$, $\Delta T_2 = 100-65 = 35\ ^\circ\mathrm{C}$이다.

$LMTD = \dfrac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} = \dfrac{75-35}{\ln(75/35)} \approx 52.5\ ^\circ\mathrm{C}$

제어계에서 피제어변수가 유지해야 할 목표값을 설정치(set point)라 한다.

부하는 외부에서 계에 가해지는 교란을, 오차는 설정치와 측정값의 차이를 의미하므로 목표치 자체를 가리키는 말과는 다르다.

제어기 튜닝은 목적에 따라 달라진다. 설정값 변화(서보) 응답에 최적화된 튜닝값은 외란 변화(조정) 응답에는 최적이 아닌 경우가 일반적이어서, 두 목적에 동일한 튜닝값을 그대로 쓸 수는 없다.

제어기의 강인성과 성능을 함께 고려해야 하고, 튜닝은 잔류오차 없이 빠르고 부드럽게 설정값에 도달하도록 하는 것이 목표이며, 공정의 시간지연이 길어질수록 제어루프가 낼 수 있는 최대 성능은 저하된다는 나머지 설명은 모두 타당하다.

유출항 2√h 를 정상상태 액위 h_s = 4m 부근에서 선형화하면 모델식은 A dh/dt = q_i − h/2 − 2 가 된다.

탱크의 물질수지는 그림처럼 위에서 q_i 가 들어오고 아래로 q 가 빠지므로 A dh/dt = q_i − q, q = 2√h 이다.
테일러 1차 전개: q ≈ 2√h_s + (1/√h_s)(h − h_s)
h_s = 4 이면 2√4 = 4, 기울기 1/√4 = 1/2 이므로 q ≈ 4 + (1/2)(h − 4) = h/2 + 2

이를 물질수지에 대입하면 A dh/dt = q_i − (h/2 + 2) = q_i − h/2 − 2 이다. h 앞의 계수는 기울기 1/2, 상수항은 −2 로 부호가 음 이어야 하며, 상수항을 +2 로 두거나 q_i 에 2를 곱한 형태는 선형화 항을 잘못 옮긴 것이다.

이 선도의 전달함수는 Y(s)/X(s) = (G₁G₂G₃ + G₃)/(1 + G₂G₃) 이다.

입력 X 는 G₁ 을 거치는 경로와, 아래로 갈라져 두 번째 합산점에 (+)로 곧바로 들어가는 경로로 나뉘고, 출력 Y 는 첫 번째 합산점에 (−)로 되먹임된다.
ε₂ = G₁X − Y
ε₁ = G₂ε₂ + X
Y = G₃ε₁

차례로 대입하면 Y = G₃[G₂(G₁X − Y) + X] 이고, Y 항을 좌변으로 모으면 Y(1 + G₂G₃) = (G₁G₂G₃ + G₃)X 가 된다.

되먹임 고리가 감싸는 블록이 G₂와 G₃ 뿐이므로 분모는 1 + G₂G₃ 이며, 분모에 G₁ 이 들어간 형태는 되먹임 경로가 G₁ 출구 뒤에서 합류한다는 점을 놓친 것이다. 분자의 G₃ 는 G₁·G₂ 를 거치지 않고 바로 들어가는 전방경로가 만든 항이다.

역응답이 나타나려면 전달함수가 우반평면 영점(양의 영점)을 가져야 하고, 그 조건은 r < 1/2 이다.

G(s) = 4/(2s+1) − 1/(rs+1) 을 통분하면
분자 = 4(rs+1) − (2s+1) = (4r − 2)s + 3
영점 s = −3/(4r − 2)

이 영점이 양수가 되려면 분모가 음수, 즉 4r − 2 < 0 이어야 하므로 r < 1/2 이다. 실제로 r = 0.25 를 넣으면 영점이 s = +3 으로 우반평면에 놓인다.

부호가 반대인 두 1차계가 병렬로 놓일 때, 시간상수가 작은 쪽(빠른 응답)이 먼저 반대 방향으로 계를 끌어당기기 때문에 초기에는 최종값과 반대로 움직였다가 되돌아오는 역응답이 생긴다. r 이 1/2 보다 크면 영점이 좌반평면으로 가서 역응답이 사라진다.

계단입력 $u(t)=1$에 대한 정상상태 출력이 $y(\infty)=2$이므로 정상상태 이득 $K=2$임을 바로 알 수 있다.

주파수응답의 진폭비는 $AR = \dfrac{K}{\sqrt{1+(\tau\omega)^2}}$이다. 입력 진폭이 1이고 출력 진폭이 $2/\sqrt{2}=\sqrt{2}$이므로 $AR=\sqrt{2}$이고, $\omega=\sqrt{2}$를 대입하면 $\dfrac{2}{\sqrt{1+2\tau^2}}=\sqrt{2}$에서 $1+2\tau^2 = 2$, 즉 $\tau = 1/\sqrt{2}$가 된다.

위상은 $\phi = -\theta\omega - \tan^{-1}(\tau\omega) = -\dfrac{\pi}{2}$인데 $\tau\omega=1$이라 $\tan^{-1}(1)=\pi/4$이므로 $\theta\sqrt{2} = \pi/4$, 즉 $\theta = \dfrac{\pi}{4\sqrt{2}}$로 정리된다.

라플라스 영역에서 s 를 곱한 항은 미분, 1/s 를 곱한 항은 적분에 대응하므로 시간영역 표현은 y(t) = e(t) + 2·de(t)/dt + 1.5∫₀^te(t)dt 이다.

주어진 식을 항별로 되돌리면
(1 + 2s)e(s) → e(t) + 2·de(t)/dt
(1.5/s)e(s) → 1.5∫₀^te(t)dt

즉 비례·미분·적분 세 동작을 모두 갖춘 PID 형태이며, 상수항 1 은 e(t) 에 그대로 곱해지는 비례 동작이다.

• 미분항과 적분항의 계수를 뒤바꾼 형태 — s 계수 2 는 미분, 1/s 계수 1.5 는 적분에 붙어야 한다.
• e(t) 자리에 숫자 1 이 놓인 형태 — s 의 0차항 1 은 오차 e(t) 에 곱해지는 이득이지 상수 입력이 아니다.

전달함수가 안정해도 그 역함수까지 안정한 것은 아니다 — 역함수도 안정하다고 한 서술이 잘못됐다.

G(s) = (0.2s−1)(0.1s+1) / [(s+1)(2s+1)(3s+1)] 에서 분모를 0으로 두면 극점은 s = −1, −1/2(=−0.5), −1/3 이고, 분자를 0으로 두면 영점은 s = 1/0.2 = 5, s = −1/0.1 = −10 이다. 극점이 모두 음의 실수부이므로 G(s) 자체는 안정하다.

그런데 역함수 1/G(s)의 극점은 원래 G(s)의 영점이다. 그중 s = 5 가 우반평면(양의 실수부)에 놓이므로 1/G(s)는 발산한다. 분자에 (0.2s−1) 처럼 우반평면 영점을 가진 공정은 역함수가 불안정해진다.

주어진 식은 최종값 정리(final value theorem)를 그대로 쓴 것이다.

lim_s→0 s·F(s) = lim_t→∞ f(t) 는 라플라스 영역의 F(s)에 s를 곱한 뒤 s→0 극한을 취하면 시간영역 응답의 정상상태 값을 얻는다는 뜻으로, 역변환 없이 offset이나 정상상태 오차를 구할 때 쓴다.

비교하면 초기값 정리는 s→∞ 극한(lim s·F(s) = f(0))이고, Ziegler–Nichols는 제어기 조율법, 스토크스 정리는 벡터해석의 적분 정리, 테일러 정리는 함수의 급수전개로 모두 라플라스 극한과 무관하다.

미분동작은 오차가 느리게 변하고 측정잡음이 적은 공정(예: 온도 제어처럼 동특성이 느린 공정)에서 미래의 오차 변화 추세를 앞서 반영해 제어 성능을 개선하는 데 적합하다.

• 미분동작의 출력은 오차의 변화율에 비례하는 것이지 반비례하는 것이 아니다.
• 미분게인이 너무 크면(작은 것이 아니라) 잡음에 민감해져 오히려 제어가 불안정해질 수 있다.
• 오프셋(잔류오차) 제거는 적분동작의 역할이며, 미분동작만으로는 오프셋이 없어지지 않는다.

y(s) = w / [(s+a)² + w²] 의 역변환은 y(t) = e^−at sin(wt) 인 감쇠 사인함수다.

기본쌍 L{sin(wt)} = w/(s²+w²) 에 이동정리(s를 s+a로 바꾸면 시간영역에 e^−at가 곱해진다)를 적용하면 된다.
w/(s²+w²) → w/[(s+a)²+w²] 이므로 sin(wt) → e^−atsin(wt).

분모가 (s+a)² 형태이므로 지수는 e^−at(감쇠)이지 e^+at가 아니며, 분자가 상수 w이므로 사인이다. 분자가 (s+a)였다면 e^−atcos(wt)가 된다.

과소감쇠 2차계에서 decay ratio는 overshoot의 제곱과 같은 관계를 갖는다.

두 값 모두 감쇠비(damping ratio) $\zeta$의 함수로, overshoot $a = \exp\left(-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)$, decay ratio $= \exp\left(-\dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) = a^2$로 유도된다.

직접합성법(direct synthesis)으로 풀면 PID 제어기가 나오고 K_c = 2/3, τ_I = 12, τ_D = 35/12 이다.

직접합성 공식은 G_c = (1/G)·(C/R)_d / [1 − (C/R)_d] 이다.
(C/R)_d = 1/(6s+1) 이므로 (C/R)_d/[1−(C/R)_d] = [1/(6s+1)] ÷ [6s/(6s+1)] = 1/(6s)

G(s) = 3/[(5s+1)(7s+1)] 을 대입하면
G_c = (5s+1)(7s+1)/3 × 1/(6s) = (35s² + 12s + 1)/(18s)

이를 표준형 K_c[1 + 1/(τ_Is) + τ_Ds] 로 묶으면 (2/3)[1 + 1/(12s) + (35/12)s] 이 되어 K_c=2/3, τ_I=12, τ_D=35/12 인 PID 형태임을 알 수 있다.

블록선도의 특성방정식을 풀면 k > 1 일 때 안정하다.

선도는 입력에서 출력을 빼는 부(−)피드백 루프에 이득 k 와 공정 1/(s−1) 이 직렬로 놓인 구조다. 열린루프 전달함수가 k/(s−1) 이므로 특성방정식은 1 + k/(s−1) = 0, 정리하면 s − 1 + k = 0 이다.

근은 s = 1 − k 하나뿐이고, 안정하려면 이 근이 음수(좌반평면)여야 한다.
1 − k < 0 → k > 1

공정 자체가 s = +1 에 극점을 가진 불안정 공정이므로, 이득이 1을 넘어야 비로소 극점이 좌반평면으로 옮겨간다. k가 양수이기만 하면 된다거나 1보다 작아야 한다는 조건으로는 극점이 여전히 우반평면에 남는다.

폐회로 특성방정식은 S³ + 6S² + 11S + 32.5 = 0 이다.

개회로 전달함수가 G(s) = K_c/[(S+1)(½S+1)(⅓S+1)] 이므로 특성방정식은 1 + G(s) = 0, 즉 (S+1)(½S+1)(⅓S+1) + K_c = 0 이다.

분모를 전개하면 (S+1)(0.5S+1) = 0.5S² + 1.5S + 1 이고, 여기에 (⅓S+1)을 곱하면
S³/6 + S² + (11/6)S + 1

K_c = 4.41 을 더한 뒤 양변에 6을 곱하면
S³ + 6S² + 11S + 6(1 + 4.41) = S³ + 6S² + 11S + 32.46 ≈ 32.5 = 0

Routh 판정을 적용하면 K의 상한은 K < 5 이다.

특성방정식 s³ + 3s² + 2s + (1+K) = 0 에 대해 Routh 배열의 앞 두 행은
s³행: 1, 2
s²행: 3, 1+K

s¹행의 첫 항은 [3×2 − 1×(1+K)]/3 = (5−K)/3 이고, s⁰행은 1+K 이다. 안정하려면 첫 열이 모두 양수여야 하므로 (5−K)/3 > 0 → K < 5, 그리고 1+K > 0 → K > −1.

따라서 안정 영역은 −1 < K < 5 이고, 문제가 묻는 상한(upper bound)은 5 이다.

정상상태에서 이 적분값은 2 가 된다.

제어기 u(t) = 1.0(1.0 − y(t)) + (1.0/2.0)∫₀ᵗ(1−y(r))dr 는 설정값 1.0, K_c = 1.0, τ_I = 2.0 인 PI 제어기다. 적분동작이 있으므로 정상상태에서 잔류편차가 사라져 y(∞) = 1 이다.

공정 d²y/dt² + 2dy/dt + y = u(t−0.1) 에서 정상상태이면 미분항이 모두 0 이므로
y(∞) = u(∞) = 1

이를 제어기 식에 대입하면 비례항은 1.0(1.0 − 1.0) = 0 이 되어
1 = 0 + 0.5 × ∫₀^∞(1−y(r))dr
→ ∫₀^∞(1−y(r))dr = 2 (= τ_I·u(∞)/K_c)

안정화에 필요한 비례이득의 아래 한계는 0.5 이다.

공정 G(s) = 2e^−s/(s−1) 은 극점이 s = +1 인 불안정 공정(공정이득 2, 시상수 1, 지연시간 1)이다. 비례제어기를 걸면 특성방정식은 1 + K_c·2e^−s/(s−1) = 0 이 된다.

지연항 e^−s는 이득의 위쪽 한계를 정할 뿐이고, 아래쪽 한계는 지연을 무시한 s − 1 + 2K_c = 0 에서 나온다.
근 s = 1 − 2K_c < 0 → K_c > 1/2 = 0.5

즉 제어기이득 × 공정이득이 1을 넘어야(K_c·2 > 1) 불안정 극점이 좌반평면으로 옮겨간다. 이보다 작은 이득으로는 어떤 조율을 해도 안정화되지 않는다.

서보문제(servo problem)는 외란(load)은 일정하게 유지된 채 설정치(set point)만 변화시켜 피제어변수가 새로운 설정치를 따라가도록 하는 제어 문제를 말한다.

반대로 설정치는 고정하고 부하(외란)가 변할 때 이를 억제하는 문제는 조정문제(regulatory problem)로 구분된다.

설정치는 일정하게 고정하고 외란(disturbance)의 변화를 억제하여 피제어변수를 설정치에 유지시키는 제어를 조정(Regulatory)제어라 한다.

설정치 자체를 변화시켜 피제어변수가 그 궤적을 추종하도록 하는 것은 서보(Servo)제어로, 이 문제와는 반대되는 개념이다.

암모니아소다법(솔베이법)의 핵심 반응은 염화나트륨 포화수용액에 암모니아와 이산화탄소를 흡수시켜 용해도가 낮은 중탄산나트륨(NaHCO₃)을 석출시키는 것이다.

$\mathrm{NaCl + NH_3 + CO_2 + H_2O \rightarrow NaHCO_3 + NH_4Cl}$

이렇게 얻어진 NaHCO₃를 열분해하면 최종 제품인 소다회(Na₂CO₃)가 만들어진다.

중과린산석회(중과인산석회)는 인광석을 황산이 아닌 인산으로 처리해 만든 비료로, 유효 인산 성분 대부분이 물에 녹는 수용성 형태로 존재해 작물의 흡수가 빠르다.

• Thomas 인비는 제강 슬래그를 원료로 한 구용성(구연산 가용성) 비료다.
• 용성인비는 인광석을 용융·급랭시켜 만든 구용성 비료로 물에는 잘 녹지 않는다.
• 소성인산 3석회는 인광석을 소성 처리한 것으로 역시 구용성에 해당한다.

글리세린을 질산과 황산의 혼산으로 니트로화시켜 만드는 물질이 니트로글리세린이며, 비중이 약 1.6으로 다이너마이트의 주원료로 쓰인다.

트리니트로톨루엔(TNT)은 톨루엔을 니트로화한 별개의 화합물이고, 글리세릴 디·모노니트레이트는 니트로글리세린(트리니트레이트)에 비해 니트로기 수가 적은 중간체·부산물에 해당한다.

윤활유는 화재 위험을 낮추고 고온에서 안정적으로 작동해야 하므로 인화점이 높아야 한다. 인화점이 낮아야 한다는 설명은 실제 요구되는 성상과 반대다.

유막강도가 커서 하중을 견디고, 사용 조건에 맞는 적당한 점도를 가지며, 산화·열에 대한 안정도가 커야 한다는 나머지 조건은 윤활유에 요구되는 타당한 성상이다.

Fauser법은 암모니아와 질산을 반응시켜 질산암모늄(NH₄NO₃)을 제조하는 공정이다.

질산암모늄은 흡습성이 강해 저장·취급에 유의해야 하지만, 질소 함량이 높고 논보다는 밭작물 재배 지역에서 주로 사용되는 비료다.

경도(mg/L as CaCO₃)는 각 경도유발 이온의 농도를 당량비를 이용해 CaCO₃ 기준으로 환산하여 합산한다.

Ca²⁺: $40\ \mathrm{mg/L} \times \dfrac{50}{40/2} = 100\ \mathrm{mg/L\ as\ CaCO_3}$

Mg²⁺: $24.3\ \mathrm{mg/L} \times \dfrac{50}{24.3/2} \approx 100\ \mathrm{mg/L\ as\ CaCO_3}$

두 값을 더하면 $100+100=200\ \mathrm{mg/L\ as\ CaCO_3}$가 된다.

아세틸렌은 수화 반응으로 아세트알데히드를, 염화수소 부가로 염화비닐을, 아세트산 부가로 아세트산비닐을 만드는 주요 원료로 널리 쓰였다.

반면 포름알데히드는 메탄올을 산화시켜 얻는 것이 일반적이며, 아세틸렌을 원료로 하는 합성 경로가 아니다.

인광석 중의 유효성분 P₂O₅가 물과 반응해 인산으로 전환되는 반응은 $\mathrm{P_2O_5 + 3H_2O \rightarrow 2H_3PO_4}$이다.

P₂O₅ 1몰(142kg)에서 H₃PO₄ 2몰(196kg)이 생성되므로, 200kg의 인산을 얻으려면 필요한 P₂O₅는 $200 \times \dfrac{142}{196} \approx 144.9\ \mathrm{kg}$이다.

인광석에 P₂O₅가 30% 들어있으므로, 필요한 인광석량은 $\dfrac{144.9}{0.30} \approx 483.1\ \mathrm{kg}$이다.

디젤연료의 착화성·연소 품질을 나타내는 척도는 세탄가이다.

옥탄가는 가솔린의 노킹 저항성을, 유동점과 아닐린점은 연료의 저온 유동성이나 방향족 함량 등 다른 물성을 나타내는 지표다.

패턴이 형성된 표면에서 원하지 않는 부분을 화학적 또는 물리적으로 깎아내는 반도체 공정은 에칭이다.

리소그래피는 패턴 자체를 형성하는 공정이고, 세정은 오염물 제거, 이온주입은 불순물을 도핑하는 공정으로 각각 목적이 다르다.

융점 약 327℃에 매우 우수한 내약품성을 지녀 화학장치의 내식재료로 널리 쓰이는 고분자는 폴리테트라플루오로에틸렌(PTFE, 테프론)이다.

불소 원자가 탄소골격을 감싸는 구조 때문에 대부분의 화학약품에 침해되지 않는 특성을 가진다.

응축액의 질산 농도는 약 78 wt% 이다.

반응식 NH₃ + 2O₂ ⇌ HNO₃ + H₂O 에서 HNO₃ 1 mol 당 H₂O 도 1 mol 생성된다. 반응가스를 응축시키면 이 둘이 그대로 섞여 질산 수용액이 된다.

분자량은 HNO₃ = 63, H₂O = 18 이므로
농도 = 63 / (63 + 18) × 100
= 63 / 81 × 100 = 77.8 wt% ≈ 78 wt%

이것이 직접합성법의 한계 농도이며, 공비점(약 68 wt%)을 넘는 진한 질산을 얻을 수 있다는 것이 이 공정의 장점이다.

아닐린은 비점이 약 184℃인 액체다.

• 아닐린은 특유의 냄새를 가진 액체이지 무취가 아니다.
• 니트로벤젠은 환원되어 아닐린이 되는 것이지 산화되는 것이 아니다.
• 아닐린은 알코올과 에테르에 잘 녹는다.

물과 같은 분산매에 단량체를 액적 형태로 분산시켜 개시제와 함께 교반하며 중합시키는 현탁중합은 생성된 입상(구슬 모양) 중합체를 그대로 회수해 쓸 수 있고, 물이 열을 흡수해 중합열 제어가 용이하다.

다만 액적을 안정화하기 위해 넣는 현탁안정제가 입자 표면에 남아 오염되므로 세척·건조 공정이 추가로 필요하다.

빈칸에 들어갈 물질은 에틸렌글리콜이다.

에틸렌(CH₂=CH₂)을 은(Ag) 촉매 위에서 산소로 부분산화하면, 그림 가운데처럼 두 탄소가 산소 하나를 사이에 두고 삼각형 고리를 이루는 에틸렌옥사이드(에폭사이드)가 만들어진다.

이 3원자 고리는 변형에너지가 커서 쉽게 열린다. 물이 첨가되면 고리가 열려 인접한 두 탄소에 −OH가 하나씩 붙어 HOCH₂CH₂OH 가 되며, 이것이 부동액·PET 원료로 쓰이는 에틸렌글리콜이다.

비교하면 아세트알데히드는 PdCl₂/CuCl₂ 촉매의 Wacker 공정, 에탄올은 산 촉매 직접수화로 얻어져 이 경로와 다르다.

이산화황이 산화되어 삼산화황이 되는 반응은 $\mathrm{SO_2 + \tfrac{1}{2}O_2 \rightarrow SO_3}$이므로, SO₃ 1몰 생성에는 O₂ 0.5몰이 필요하다.

공기 중 산소는 약 21vol%이므로 필요한 공기량은 $\dfrac{0.5}{0.21} \approx 2.38\ \mathrm{mol}$이다.

표준상태 기준 부피로 환산하면 $2.38 \times 22.4\ \mathrm{L/mol} \approx 53\ \mathrm{L}$가 된다.

Friedel-Crafts 알킬화·아실화 반응에서 가장 대표적으로 쓰이는 촉매는 염화알루미늄(AlCl₃)과 같은 루이스산이다.

강한 전자쌍 받개(루이스산) 성질로 할로겐화알킬·할로겐화아실을 활성화시켜 친전자체를 만들어내는 역할을 한다.

부식전류는 부식반응의 환원 상대전극 반응(주로 산소환원)을 촉진하는 조건에서 커지므로, 용존 산소농도가 높을수록 부식전류가 증가한다. 낮을 때라는 설명은 실제와 반대다.

온도가 높고 전해액의 전도성이 크며 금속 표면의 내부응력 차가 클수록 부식전류가 커진다는 나머지 설명은 타당하다.

삼투압법·비등점상승법·빙점강하법은 모두 총괄성(colligative property)을 이용해 수평균분자량(Mn)을 구하는 방법이다.

반면 광산란법은 산란광 세기로부터 중량평균분자량(Mw)을 구하는 방법이라 수평균분자량 측정법과는 거리가 멀다.

수은법은 나트륨 아말감을 물로 분해해 곧바로 50% 안팎의 고농도 가성소다를 얻으므로 증발농축이 거의 필요 없다. 다량의 증기와 보일러 연료가 드는 쪽은 묽은 전해액을 농축해야 하는 격막법이고, 연료를 때는 만큼 대기오염 문제도 함께 따라온다.

따라서 수은법이 고농도를 만들려고 증기를 많이 써서 대기오염 문제가 없다는 서술은 주체도 뒤바뀌었고 논리도 성립하지 않는다. 수은법의 대표적 환경 문제는 오히려 수은 유출에 의한 오염이다.

전류밀도가 수은법이 격막법의 약 5~6배라는 점, 수은법 제품의 순도가 높고 격막법 제품에는 NaCl이 1~1.5% 정도 섞인다는 점, 격막법에서 양극실과 음극실 액의 pH가 다르다는 점은 모두 맞는 설명이다.

2차 반응이므로 작은 반응기부터 큰 반응기 순서(C → B → A)로 설치해야 생산율이 최대가 된다.

그림은 원료 C_A0 가 세 개의 혼합흐름반응기를 차례로 지나 C_A 로 빠져나가는 직렬 배열이다. 혼합흐름반응기 직렬에서는 총 부피가 같아도 배열 순서에 따라 최종 전화율이 달라진다.

반응차수 n > 1 인 반응은 속도가 농도에 민감해서, 농도가 높은 앞단에서는 작은 부피로도 충분히 반응이 진행된다. 반대로 농도가 낮아진 뒷단일수록 같은 전화를 얻는 데 큰 부피가 필요하므로 뒤로 갈수록 부피를 크게 배치해야 한다.

따라서 부피가 A ＞ B ＞ C 인 조건에서는 C → B → A 가 최적이다. (1차 반응이면 순서와 무관하고, n < 1 이면 반대로 큰 것부터가 유리하다.)

2A+B→2C 반응에서 A와 B가 양론비(2:1)로 도입되므로 초기 몰수를 $N_{A0}=2a,\ N_{B0}=a$로 두면 $N_{t0}=3a$이다.

전화율 $X_A$에서 반응한 A는 $2aX_A$, 반응한 B는 $aX_A$, 생성된 C는 $2aX_A$이므로 $N_t = (2a-2aX_A)+(a-aX_A)+2aX_A = 3a - aX_A$가 된다.

따라서 $\dfrac{N_t}{N_{t0}} = \dfrac{3a-aX_A}{3a} = 1-\dfrac{X_A}{3}$로 정리된다.

2차 반응의 혼합반응기(CSTR) 설계식 $\tau k C_{A0} = \dfrac{X_A}{(1-X_A)^2}$에 $X_A=0.5$를 대입하면 $\tau k C_{A0} = 2$가 얻어진다.

동일한 크기(같은 $\tau$)의 플러그흐름반응기(PFR)로 바꾸면 설계식은 $\tau k C_{A0} = \dfrac{X_A}{1-X_A}$가 되므로, 같은 $\tau k C_{A0}=2$를 대입하면 $X_A = \dfrac{2}{3} \approx 67\%$로 전환율이 상승한다.

동일한 반응기 부피·유량 조건에서는 일반적으로 PFR이 CSTR보다 높은 전환율을 준다는 사실과도 부합한다.

순환비를 0으로 두면 이 식은 플러그 흐름 반응기의 설계식이 된다.

주어진 식은 순환 반응기(recycle reactor)의 설계식 $\dfrac{V}{F_{Ao}}=(R+1)\int_{\frac{R}{R+1}X_{Af}}^{X_{Af}}\dfrac{dX_A}{-r_A}$ 이다. 여기에 R=0을 넣으면 앞의 계수는 (0+1)=1이 되고, 적분 하한은 $\dfrac{0}{0+1}X_{Af}=0$ 이 된다.

따라서 $\dfrac{V}{F_{Ao}}=\int_{0}^{X_{Af}}\dfrac{dX_A}{-r_A}$ 로 정리되는데, 이것이 바로 플러그 흐름 반응기의 설계식이다. 순환이 없다는 것은 입구부터 출구까지 조성이 한 방향으로만 변한다는 뜻이기 때문이다.

반대로 $R\to\infty$ 로 보내면 적분 상·하한이 붙어 $\dfrac{V}{F_{Ao}}=\dfrac{X_{Af}}{-r_{Af}}$, 곧 혼합 흐름 반응기 식이 된다. 순환 반응기는 R 값에 따라 이 두 극한 사이를 잇는 반응기다.

R의 수득률이 최대가 되는 공간시간은 10분이고, 이때 반응기 부피는 16.67 L이다.

A→R→S 1차 연속반응을 플러그 흐름 반응기에서 진행할 때 R이 최대가 되는 공간시간은 $\tau_{opt}=\dfrac{\ln(k_2/k_1)}{k_2-k_1}$ 이고, $k_1=k_2=k$ 인 경우 그 극한값은 $\tau_{opt}=\dfrac{1}{k}$ 가 된다.

$\tau_{opt}=\dfrac{1}{0.1\ \mathrm{min^{-1}}}=10\ \mathrm{min}=\dfrac{10}{60}\ \mathrm{h}$

$V=\tau_{opt}\cdot v_0=\dfrac{10}{60}\ \mathrm{h}\times 100\ \mathrm{L/h}=16.67\ \mathrm{L}$ — 속도상수는 min^-1, 유량은 L/h이므로 시간 단위 환산을 빠뜨리면 부피가 60배로 틀어진다.

열역학적 평형상수는 $K = \exp\left(-\dfrac{\Delta G^\circ}{RT}\right)$로 정의되며, 표준반응 자유에너지 $\Delta G^\circ$가 온도만의 함수이므로 평형상수 역시 계의 온도에 의해서만 값이 결정된다.

압력이나 불활성물질의 존재는 평형의 위치(조성)에는 영향을 줄 수 있지만, 열역학적으로 정의된 평형상수 값 자체를 변화시키지는 않으며, 반응속도론은 평형과는 별개인 반응 속도에 관한 것이다.

정답은 모든 반응경로가 B-R 변(邊) 위의 한 점으로 모여드는 3성분 조성도다.

A→B는 비가역이므로 시간이 충분히 지나면 A는 전부 소모된다. 즉 최종 조성은 반드시 A 성분이 0인 선, 곧 B와 R을 잇는 변 위에 놓인다.

이어지는 B⇄R은 가역반응이라 평형에 도달하면 B와 R의 비가 평형상수 하나로 고정된다. 따라서 출발 조성이 어디였든 궤적의 끝은 B-R 변 위의 같은 평형점 한 곳이고, 모든 경로가 그 점으로 수렴한다.

• R 꼭짓점으로 모이는 그림 — B→R까지 비가역일 때의 모습이라 가역 평형을 나타내지 못한다.
• B 꼭짓점으로 모이는 그림 — A와 R이 모두 B로 가는 반응이어야 하므로 주어진 반응식과 맞지 않는다.
• 궤적들이 B-R 변의 서로 다른 점에서 각각 끝나는 그림 — 평형점이 하나로 정해진다는 가역반응의 성질에 어긋난다.

세 속도상수 사이에 k₂=k₁+k₃가 성립하므로 C_B(t)=k₁C_AO·t·e^−k₂t 가 된다.

A는 B(k₁)와 D(k₃) 두 갈래로 동시에 사라지므로 $-\dfrac{dC_A}{dt}=(k_1+k_3)C_A$, 즉 $C_A=C_{AO}e^{-(k_1+k_3)t}=C_{AO}e^{-k_2t}$ 이다.

B에 대한 수지는 $\dfrac{dC_B}{dt}=k_1C_A-k_2C_B=k_1C_{AO}e^{-k_2t}-k_2C_B$ 이다. 생성항의 지수와 소멸항의 지수가 같아지는 중근(重根) 상황이라 두 지수함수의 차 형태로는 풀리지 않는다.

적분인자 $e^{k_2t}$를 곱하면 $\dfrac{d}{dt}\left(C_Be^{k_2t}\right)=k_1C_{AO}$ 이므로 $C_B=k_1C_{AO}\,t\,e^{-k_2t}$, 즉 t가 앞에 곱해진 형태가 된다. 우변에 C_B가 남아 있는 식들은 적분이 끝나지 않은 미분식이라 답이 될 수 없다.

액상 플러그 흐름 반응기의 물질수지는 농도에 대한 적분식 $\tau=-\int_{C_{AO}}^{C_{Af}}\dfrac{dC_A}{-r_A}$ 이다.

플러그 흐름 반응기는 축 방향으로 농도가 계속 변하므로 미소부피에 대해 수지를 세운 뒤 적분해야 하며, 일반형은 $\tau=C_{AO}\int_{0}^{X_{Af}}\dfrac{dX_A}{-r_A}$ 이다.

액상은 밀도 변화가 없어 $C_A=C_{AO}(1-X_A)$, $dC_A=-C_{AO}\,dX_A$ 가 성립한다. 이를 대입하면 적분변수가 전화율에서 농도로 바뀌면서 앞에 음(−)부호가 붙은 위 식이 된다.

• $\tau=\dfrac{C_{AO}-C_A}{-r_A}$ — 내부 농도가 균일해 적분이 필요 없는 혼합 흐름 반응기의 식이다.
• $\tau=-\int_{C_{AO}}^{C_{Af}} r_A\,dC_A$ — 반응속도로 나누지 않고 곱했으므로 차원부터 시간이 되지 않는다.
• $t=-\int_{C_{AO}}^{C_{Af}}\dfrac{dC_A}{C_A}$ — 반응속도항이 빠진 1차 회분식 적분 형태로, 흐름 반응기의 물질수지가 아니다.

이 반응의 부피변화율 ε_A는 4이다.

부피변화율은 $\varepsilon_A = y_{A0}\,\delta_A$로 정의되며, $\delta_A = \dfrac{5-1}{1} = 4$는 A 1몰이 완전히 반응할 때의 몰수 변화(생성물 5몰 − 반응물 1몰)를 A의 계수로 나눈 값이다.

초기에는 A만 존재하므로 초기 몰분율 $y_{A0}=1$이고, 따라서 $\varepsilon_A = 1\times 4 = 4$가 된다.

모든 반응에서 비활성 물질의 감소가 압력의 감소와 같다는 설명은 옳지 않다.

일정한 전압에서 비활성 물질을 넣으면 반응물의 분압이 낮아져 압력을 낮춘 것과 같은 효과가 나타난다. 따라서 비활성 물질을 줄이면 반대로 압력을 높인 것과 같은 효과가 되며, 압력 감소와 같다는 서술은 방향부터 어긋난다.

또한 몰수 변화가 없는 반응(Δn=0)에서는 비활성 물질의 양이 평형전화율에 아무 영향도 주지 않으므로 '모든 반응에서'라는 단정도 성립하지 않는다.

반면 평형상수는 온도만의 함수이므로 반응속도론이나 압력과 무관하며, 평형상수가 1보다 매우 크면 반응이 사실상 완결에 가까운 비가역 반응으로 취급된다는 설명은 타당하다.

속도상수 값은 8.33×10⁻⁴이다.

이 반응은 1차 반응이므로 속도상수 k의 단위는 시간의 역수만 가지며, 농도 단위를 mol/cm³에서 mol/L로 바꿔도 k 값 자체에는 영향을 주지 않는다.

따라서 $k = 0.05\ \mathrm{h^{-1}} \times \dfrac{1\ \mathrm{h}}{60\ \mathrm{min}} = 8.33\times10^{-4}\ \mathrm{min^{-1}}$로 계산된다.

같은 크기의 혼합 흐름 반응기 2개를 직렬로 놓았을 때 최종 전화율은 0.889다.

A→R은 1차 기초반응이므로, 같은 크기 혼합 흐름 반응기 N개를 직렬 연결하면 $\dfrac{C_N}{C_{AO}}=\dfrac{1}{(1+k\tau)^N}$ 이 성립한다.

$k\tau=2,\ N=2$ 를 대입하면 $\dfrac{C_2}{C_{AO}}=\dfrac{1}{(1+2)^2}=\dfrac{1}{9}$

$X_A=1-\dfrac{C_2}{C_{AO}}=1-\dfrac{1}{9}=0.889$ — 같은 크기 반응기 하나만 썼을 때의 $X=\dfrac{2}{3}=0.667$ 보다 커지는 것이 직렬 연결의 효과다.

A의 흡착이 율속이면 초기 반응속도는 분모가 전압의 1차식인 $\gamma_0=\dfrac{p}{a+bp}$ 형태가 된다.

흡착 율속이면 속도식은 A의 흡착단계 $\gamma_0=k\,p_AC_v$ 로 쓰이고, 빈자리 농도는 다른 성분의 흡착 때문에 $C_v=\dfrac{C_t}{1+K_Bp_B+K_Rp_R}$ 이다. 초기에는 생성물이 없으므로 $p_R=0$ 이다.

A와 B가 같은 양이므로 $p_A=p_B=\dfrac{p}{2}$ 를 넣으면 $\gamma_0=\dfrac{kC_t(p/2)}{1+K_B(p/2)}=\dfrac{kC_tp}{2+K_Bp}$ 가 되어, 정수 a·b로 묶으면 $\gamma_0=\dfrac{p}{a+bp}$ 꼴이다.

분자·분모가 함께 제곱이 된 형태는 두 자리를 쓰는 표면반응이 율속일 때 나오는 모양이고, 분자만 p²이거나 분모만 제곱인 형태는 어느 율속단계에서도 유도되지 않는다.

R의 순간수율은 $\phi=\dfrac{1}{1+C_A^{-0.5}C_B}$ 다.

순간수율은 소모된 A 중 R로 간 비율이므로 $\phi=\dfrac{dC_R}{-dC_A}=\dfrac{r_R}{r_R+r_S}$ 로 정의된다.

주어진 속도식 $r_R=1.0\,C_AC_B^{0.5}$, $r_S=1.0\,C_A^{0.5}C_B^{1.5}$ 를 대입하면 $\phi=\dfrac{C_AC_B^{0.5}}{C_AC_B^{0.5}+C_A^{0.5}C_B^{1.5}}$

분자·분모를 $C_A^{0.5}C_B^{0.5}$ 로 나누면 $\phi=\dfrac{C_A^{0.5}}{C_A^{0.5}+C_B}=\dfrac{1}{1+C_A^{-0.5}C_B}$ 로 정리된다. A 농도가 높고 B 농도가 낮을수록 R의 수율이 커진다는 뜻이므로, 실제 조업에서는 B를 조금씩 나눠 넣는 방식이 유리하다.

관형반응기(PFR)에서 부피가 전화율에 따라 직선적으로 변하는 경우, 평균체류시간은 오히려 반응속도에 의존하므로 반응속도와 무관하다는 설명은 옳지 않다.

부피팽창 반응계에서는 전화율이 반응기 내 위치에 따라 어떻게 변하는지가 반응속도식에 의해 결정되고, 그에 따라 각 지점의 국부 유속이 달라지므로 이를 적분해 얻는 평균체류시간도 반응속도의 영향을 받는다.

반면 밀도가 일정한 반응계에서 공간시간과 평균체류시간이 항상 같다는 것, 부피팽창 기체반응에서 평균체류시간이 공간시간보다 작다는 것, 공간시간과 공간속도의 곱이 항상 1이라는 것은 모두 타당한 설명이다.

비압축성 유체(액상) 반응에서 반응속도에 가장 영향이 적은 변수는 반응압력이다.

액체는 압력이 변해도 밀도와 농도가 거의 변하지 않으므로, 압력 변화가 반응속도에 미치는 영향이 매우 작다.

반면 반응온도는 속도상수를 지수적으로 변화시키고, 반응물 농도와 촉매의 활성도는 반응속도식에 직접 관여하므로 영향이 크다.

반감기는 약 155분이다.

1차 반응이므로 $\ln\dfrac{C_0}{C} = kt$를 적용하면, 20% 분해($C/C_0=0.8$)에 50분이 걸렸으므로 $k = \dfrac{\ln(1/0.8)}{50} = \dfrac{0.2231}{50} \approx 4.463\times10^{-3}\ \mathrm{min^{-1}}$이다.

따라서 반감기는 $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0.6931}{4.463\times10^{-3}} \approx 155\ \mathrm{min}$이 된다.

1차 반응(액상, A→R+S)에서는 반응기의 배치 순서가 총 전화율에 영향을 미치지 않는다.

1차 반응의 속도식은 농도에 대해 선형이므로, 혼합흐름반응기(CSTR)와 플러그흐름반응기(PFR)를 직렬로 연결할 때 어느 것을 앞에 두어도 동일한 반응기 부피 조건에서 최종 전화율이 같다.

이 성질은 반응차수가 1차가 아닌 비선형 반응식에서는 성립하지 않으며, 그 경우에는 배치 순서에 따라 전화율이 달라진다.

반응 후 총 몰수는 n_AO+2n_AOX_A 다.

A → B + C + D 에서 A 1몰이 반응하면 생성물이 3몰 나오므로, A가 1몰 반응할 때마다 총 몰수는 2몰씩 늘어난다.

남아 있는 A는 $n_{AO}(1-X_A)$, 생성물 B·C·D는 각각 $n_{AO}X_A$ 이므로
$n_T=n_{AO}(1-X_A)+3n_{AO}X_A$

정리하면 $n_T=n_{AO}+2n_{AO}X_A$ 이다. 몰수가 변하지 않는 반응이라면 X_A 항이 사라지고, 몰수가 줄어드는 반응이라면 그 항의 부호가 음이 된다는 점으로 답을 가려낼 수 있다.