CO, CO₂, H₂, H₂O, CH₄ 5개 화학종은 C, H, O 3개 원소로 이루어지므로, 독립반응식 수는 $5-3=2$이고 독립성분수는 $5-2=3$이다.

기상 단일상(P=1)이므로 깁스 상률 $F=C-P+2$에 대입하면
$F = 3-1+2 = 4$로, 이 계의 자유도는 4이다.

정압비열과 정적비열은 더하는 것이 아니라 빼야 하므로 C_P − Cv = R 이 옳고, 두 비열의 합을 R로 둔 식은 이상기체 특성식이 아니다.

H = U + PV = U + nRT 를 온도로 미분하면 nC_P = nCv + nR 이 되어 차이가 항상 R이다. 단원자 이상기체로 확인해도 (5/2)R − (3/2)R = R 이다.

• 압축인자는 Z = PV/nRT 로 정의되므로 이상기체에서는 Z = 1이다.
• 이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수여서 등온으로 부피를 바꿔도 변하지 않아 (∂U/∂V)_T = 0 이다.
• 상태식 PV = nRT 자체가 이상기체의 정의식이다.

깁스 자유에너지에서 얻는 맥스웰 관계식에는 음의 부호가 붙어 (∂V/∂T)_P = −(∂S/∂P)_T 가 되므로, 부호 없이 두 편미분을 같다고 쓴 식이 옳지 않다.

dG = −S dT + V dP 에서 2차 편미분의 순서를 바꿔도 같다는 성질을 쓰면 −(∂S/∂P)_T = (∂V/∂T)_P 가 나온다.

• dU = T dS − P dV 에서 (∂T/∂V)_S = −(∂P/∂S)_V
• dH = T dS + V dP 에서 (∂T/∂P)_S = (∂V/∂S)_P
• dA = −S dT − P dV 에서 (∂P/∂T)_V = (∂S/∂V)_T

네 관계식 가운데 부호가 하나만 어긋나 있으므로, 각 열역학 퍼텐셜의 미분식에서 부호를 되짚어 보면 바로 구분된다.

주울-톰슨 팽창은 등엔탈피(단열, 비가역) 과정으로, 압력이 강하하면서 계가 비가역적으로 팽창한다.

비가역 단열 과정에서는 계의 엔트로피가 항상 증가하므로, 주울-톰슨 팽창에서도 엔트로피는 증가한다.

한 성분의 증기압이 순수 상태의 증기압에 그 성분의 몰분율을 곱한 값과 같다는 것은 라울(Raoult)의 법칙의 정의이다.

헨리의 법칙은 묽은 용액에서 용해도가 낮은 기체 성분에 적용되는 법칙이고, 픽·푸리에 법칙은 각각 물질전달·열전달 속도식이므로 이 설명과는 관계가 없다.

압축계수(Z)를 사용한 실제기체 상태방정식은 $PV = ZnRT$이다.

$V = \dfrac{ZRT}{P} = \dfrac{1.5 \times 0.08206 \times 300\,\mathrm{K}}{800\,\mathrm{atm}}$를 계산하면
$V \approx 0.046\,\mathrm{L}$로, 이것이 27℃, 800atm에서 산소 1mol의 부피이다.

등압 부피팽창계수 $\beta = \left(\dfrac{1}{V}\right)\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{a}{V}$에서 $\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = a$가 되고,

등온 부피압축계수 $\kappa = -\left(\dfrac{1}{V}\right)\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T = \dfrac{b}{V}$에서 $\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -b$가 된다.

두 결과를 적분하면 상태방정식은 $V = aT - bP + \text{상수}$ 형태가 된다.

남아 있는 액체의 조성은 아래쪽 기포점 곡선을 따라 C에서 F로 이동하므로, 위쪽 이슬점 곡선 위의 D와 E를 잇는 경로를 따른다는 설명이 틀렸다.

선도에서 아래 곡선은 액상 조성(기포점), 위 곡선은 그와 평형인 증기 조성(이슬점)이다. X_A=0.40 인 용액을 가열하면 50℃에서 아래 곡선의 점 C에 닿아 끓기 시작하고, 같은 50℃ 수평선이 위 곡선과 만나는 점 D의 조성이 최초 증기라 Y_A=0.70 이 된다.

계속 증발하면 더 휘발성이 큰 A가 먼저 기체로 빠져나가 남은 액은 A가 묽어진다. 그래서 액 조성은 C(0.40) → F(0.15)로 아래 곡선을 따라 내려가고, 평형 증기 조성은 D(0.70) → E(0.40)로 위 곡선을 따라 옮겨간다.

60℃에서 증기 조성이 처음 넣은 0.40과 같아지는 점 E에 이르면 액이 모두 기화하며, 그 직전 마지막 한 방울의 조성은 F의 X_A=0.15 다.

역행응축(retrograde condensation)은 임계점 부근의 특수한 압력·온도 영역에서 압력을 낮출 때 오히려 액상이 생기는 현상이다.

이 현상은 지하 심부의 천연가스 응축유 저류층에서 나타나는데, 지층 압력이 자연히 낮아지는 과정에서 별도의 냉각·압축 동력 없이도 가스가 응축되어 액화천연가스(응축유)를 얻는 데 유용하게 활용된다.

주울-톰슨 전환점은 등엔탈피 팽창에서 온도가 변하지 않는 점이므로, 압력 항의 괄호가 0이 되는 T(∂V/∂T)_P = V 가 조건이다.

주어진 dH = C_PdT + [V − T(∂V/∂T)_P]dP 에서 교축은 등엔탈피이므로 dH = 0 을 대입하면
μ = (∂T/∂P)_H = [T(∂V/∂T)_P − V] / C_P 를 얻는다.

전환점은 μ = 0 인 지점이므로 분자가 0, 곧 T(∂V/∂T)_P − V = 0 이어야 한다. 온도를 곱하지 않은 식이나 우변을 0 또는 1/V 로 둔 식은 이 유도와 맞지 않는다. 참고로 이상기체는 V = RT/P 라 모든 온도에서 이 조건을 만족해 교축해도 온도가 변하지 않는다.

루이스-랜덜 규칙은 몰분율이 1에 가까워지는 극한을 다루므로, x_i → 1 에서 용액 중 퓨개시티를 몰분율로 나눈 값이 순수성분 퓨개시티 f_i 로 수렴한다는 표현이 옳다.

이상용액에서는 성분의 퓨개시티가 몰분율에 비례해 f̂_i = x_if_i 로 쓰이고, 실제 용액도 용매처럼 거의 순수해진 성분은 이 관계를 잘 따른다. 양변을 x_i로 나눈 뒤 x_i→1 극한을 취한 것이 규칙의 수식 표현이다.

반대로 x_i→0 극한에서 f̂_i/x_i 가 일정한 값에 수렴하는 것은 헨리의 법칙이며 그 극한값은 헨리 상수다. 또 극한값을 표준상태 퓨개시티로 둔 형태도 이 규칙의 표현이 아니다.

온도 항과 압력 항을 합하면 ΔS ≒ 1.9616R 로 엔트로피가 증가한다.

이상기체 1 mol의 엔트로피 변화는 ΔS = C_P ln(T₂/T₁) − R ln(P₂/P₁) 이고, 주어진 C_P = (7/2)R, 온도는 절대온도로 323.15 K → 293.15 K, 압력은 10 kPa → 1 kPa 이다.

온도 항: (7/2)R × ln(293.15/323.15) = (7/2)R × (−0.0974) = −0.341R
압력 항: −R × ln(1/10) = +2.303R
합: ΔS = −0.341R + 2.303R = 1.9616R

압력이 1/10로 떨어지며 늘어난 엔트로피가 온도 하강분보다 훨씬 커서 부호는 양(+)이다. 온도 항의 부호를 반대로 잡으면 0.341R + 2.303R = 2.6435R 이 나오므로 부호 처리에 주의해야 한다.

삼중점은 고체·액체·기체 3상이 동시에 평형을 이루는 점으로, 성분수가 1(물)이고 상수가 3이다.

깁스 상률 $F = C - P + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$이 되어, 삼중점의 자유도는 0이다. 즉 온도와 압력이 하나의 값으로 고정된다.

운동에너지는 $KE = \dfrac{1}{2}mv^2$이다.

속도를 SI 단위로 환산하면 $v = 40\,\mathrm{km/h} = 11.11\,\mathrm{m/s}$이고,
$KE = \dfrac{1}{2} \times 1500\,\mathrm{kg} \times (11.11\,\mathrm{m/s})^2 \approx 9.26\times10^{4}\,\mathrm{N\cdot m}$로 계산된다.

평형(equilibrium)은 계의 거시적 성질이 시간에 따라 변하지 않는 상태, 정반응과 역반응 속도가 같은 상태, 그리고 정온정압에서 $\Delta G = 0$인 상태로 정의된다.

반면 혼합에 의한 부피 변화(ΔV_mix)가 0이라는 것은 이상 혼합물의 성질을 나타내는 조건일 뿐, 평형 상태 자체를 정의하는 조건은 아니다.

라울의 법칙에 따라 전압은 $P = x_1 P_1^{sat} + x_2 P_2^{sat}$로 나타난다.

$1 = 1.5x_1 + 0.5(1-x_1)$을 풀면 $x_1 = 0.5$이고,
$y_1 = \dfrac{x_1 P_1^{sat}}{P} = \dfrac{0.5\times1.5}{1} = 0.75$로 계산되어 기체 조성 y₁은 3/4이다.

퓨개시티계수는 $\ln\phi = \displaystyle\int_0^P \dfrac{Z-1}{P}\,dP$로 정의된다.

$Z=1+\dfrac{BP}{RT}$이므로 $Z-1 = \dfrac{BP}{RT}$이고,
$\ln\phi = \displaystyle\int_0^P \dfrac{B}{RT}\,dP = \dfrac{BP}{RT}$로 계산된다.

이상기체의 엔탈피(H)는 온도만의 함수이며, 압력이나 부피에는 무관하다는 것이 이상기체의 기본 성질이다.

• 이상기체의 엔트로피는 온도뿐 아니라 압력(또는 부피)에도 의존하므로 온도만의 함수가 아니다.
• 일은 가역 과정에서만 $\int P\,dV$로 구할 수 있고, 비가역 과정에서는 이 식이 성립하지 않는다.
• 열역학 제1법칙은 계와 주위 사이의 에너지 출입을 포함한 총 에너지 보존을 의미하며, 계 내부에서 항상 보존된다는 뜻이 아니다.

라울의 법칙으로 구한 액상 조성을 분압비에 대입하면 y_A = (P_A⁰/P) × (P − P_B⁰)/(P_A⁰ − P_B⁰) 가 된다.

전압은 두 분압의 합이므로 P = P_A⁰x_A + P_B⁰(1 − x_A) = P_B⁰ + (P_A⁰ − P_B⁰)x_A 이고,
이를 풀면 x_A = (P − P_B⁰)/(P_A⁰ − P_B⁰) 다.

기상 조성은 분압을 전압으로 나눈 값이라 y_A = P_A⁰x_A/P 이므로, 여기에 위 x_A를 넣으면 결론의 식이 그대로 나온다.

• 분자에서 P_B⁰ 대신 P_A⁰ 를 뺀 형태는 액상 조성 유도부터 어긋난다.
• P_A⁰/P 를 곱하지 않은 형태는 액상 조성 x_A 그 자체여서 기상 조성이 될 수 없다.

주어진 식에 퓨가시티 계수 $\hat{\phi}_i$ 가 전혀 나타나지 않는다는 점이 핵심이며, 이는 평형혼합물을 이상기체로 볼 때만 성립하는 형태다.

기상 반응의 일반식은 $K=\prod_i\left(\dfrac{\hat{\phi}_i y_i P}{P^{\circ}}\right)^{v_i}=\left(\dfrac{P}{P^{\circ}}\right)^{v}\prod_i(\hat{\phi}_i y_i)^{v_i}$ 이고, 여기서 $v=\sum_i v_i$ 다.

이상기체 혼합물이면 모든 성분에서 $\hat{\phi}_i=1$ 이 되어 문제의 $K=\left(\dfrac{P}{P^{\circ}}\right)^{v}\prod_i y_i^{v_i}$ 로 정확히 줄어든다.

• 이상용액 가정은 $\hat{\phi}_i=\phi_i$(순성분 값)로 바꿔 줄 뿐 1로 만들지 못한다.
• 반응에 따른 몰수 변화가 없으면 $v=0$ 이 되어 압력항 자체가 사라지므로 위 형태와 다르다.
• 반응열이 온도에 무관하다는 조건은 K의 온도 의존성(반트호프 식)에 관한 것이라 압력·조성 표현과 무관하다.

진공압(대기압보다 낮은 게이지압)으로 측정된 경우, 절대압은 대기압에서 진공압을 뺀 값이다.

$P_{abs} = P_{atm} - P_{vac} = 745 - 26.7 = 718.3\,\mathrm{mmHg}$로 계산된다.

표준상태에서 기체 부피는 이상기체 법칙을 이용해 몰수와 22.4L/mol로 구한다.

$n = \dfrac{40000\,\mathrm{g}}{70.9\,\mathrm{g/mol}} \approx 564.2\,\mathrm{mol}$이고,
$V = 564.2 \times 22.4\,\mathrm{L/mol} \approx 12640\,\mathrm{L} \approx 12.6\,\mathrm{m^3}$로 계산되어, 생성되는 Cl₂ 가스의 부피는 약 12.6m³이다.

절대습도는 $H = \dfrac{18}{29}\times\dfrac{p}{P-p}$로 계산한다(18, 29는 각각 물과 공기의 분자량).

$H = \dfrac{18}{29}\times\dfrac{40}{750-40} \approx 0.035\,\mathrm{kg\,H_2O/kg\,dry\,air}$로 계산된다.

연소가스 조성으로부터 이론산소량과 실제 공급산소량을 각각 구해 초과공기율을 계산한다.

연료 중 탄소 13.5mol(=162g/12), 수소 11mol(=22g/2)에 대해 완전연소 시 필요한 이론산소량은 $13.5 + 11\times0.5 = 19.0\,\mathrm{mol}$이다.

연소가스 100mol 기준으로 N₂ 82.4mol에서 역산한 실제 공급산소량은 $82.4\times\dfrac{21}{79} \approx 21.9\,\mathrm{mol}$이므로,
과잉공기율은 $\dfrac{21.9-19.0}{19.0}\times100 \approx 15.3\%$로 계산된다.

흡수 대상이 액체 물이 아니라 수증기이므로 수화열에 응축열까지 더해야 하며, 발생 열은 약 154 kcal이다.

두 반응식을 더하면 CaCl₂(s) + 6H₂O(g) → CaCl₂·6H₂O(s) + Q 이고,
Q = 22.63 + 6 × 10.5 = 22.63 + 63 = 85.63 kcal/mol

CaCl₂ 200 g의 몰수 = 200 ÷ 111 = 1.80 mol
발생 열 = 1.80 × 85.63 ≒ 154 kcal

응축열 63 kcal을 빼먹고 수화열 22.63 kcal만 곱하면 1.80 × 22.63 ≒ 41 kcal이 나오므로, 기체 → 액체 → 수화물의 두 단계를 모두 세는 것이 관건이다.

공기 중 산소의 몰분율은 약 21%이며, 이상기체 혼합물에서는 부분부피가 몰분율에 비례한다(아마갓 분용의 법칙).

$V_{O_2} = 10000\,\mathrm{m^3} \times 0.21 = 2100\,\mathrm{m^3}$로 계산된다.

CO(g)의 생성열은 -26.4 kcal/mol이다.

반응열은 생성열의 차로 쓰면 $\Delta H=\Delta H_f(\mathrm{CO})+\Delta H_f(\mathrm{H_2})-\Delta H_f(\mathrm{C})-\Delta H_f(\mathrm{H_2O(L)})$ 이고, 홑원소 물질인 C(s)와 H₂(g)의 생성열은 0이다.

따라서 42 = ΔH_f(CO) - (-68.4)
ΔH_f(CO) = 42 - 68.4 = -26.4 kcal/mol

부호를 잘못 잡아 물의 생성열을 더하면 +110.4가 나오므로, 흡열 반응이라 반응열이 +42이고 물의 생성열은 -68.4라는 두 부호를 함께 챙겨야 한다.

상대포화도는 혼합물 중 성분의 실제 분압을 그 온도에서의 포화증기압으로 나눈 값이다.

아세톤의 분압은 $p = 0.148 \times 745 = 110.3\,\mathrm{mmHg}$이고,
$\text{상대포화도} = \dfrac{110.3}{184.8}\times100 \approx 60\%$로 계산된다.

건조 전후 펄프 중 고형분(수분을 제외한 건조물)의 질량은 변하지 않는다는 물질수지를 이용한다.

원래 무게를 $W_0$라 하면 고형분은 $0.25W_0$이고, 건조 후 수분 25%인 상태에서 전체 무게는 $\dfrac{0.25W_0}{0.75}=\dfrac{W_0}{3}$이다.

증발된 수분은 $W_0 - \dfrac{W_0}{3} = \dfrac{2W_0}{3} = 100\,\mathrm{kg}$이므로, $W_0 = 150\,\mathrm{kg}$으로 계산되어 원래 펄프의 무게는 150kg이다.

1atm은 약 101.325kPa = 10.1325N/cm²이므로, 3atm은 $3 \times 10.1325 = 30.3975\,\mathrm{N/cm^2}$과 정확히 일치한다.

나머지 선택지는 단위 환산 과정에서 자릿수가 어긋난 값들이다.

• 3atm은 약 3.1kgf/cm²이지 309.9kgf/cm²가 아니다(약 100배 과다).
• 3atm은 약 44.1psi이지 441psi가 아니다(약 10배 과다).
• 3atm은 약 228cmHg이지 22.8cmHg가 아니다(약 10배 과소).

수은과 사염화탄소가 채워진 U자관 마노미터의 읽음값을 압력차로 환산할 때는 두 유체의 비중 차를 사용한다.

$\Delta h_{water} = R \times (SG_{Hg} - SG_{CCl_4}) = 21\,\mathrm{cm} \times (13.6-1.6) = 21 \times 12 = 252\,\mathrm{cm}$로 계산되어, 물기둥 높이로 환산한 값은 252cm이다.

두 물체가 열적 평형에 있을 때는 키르히호프의 법칙에 따라 복사강도와 흡수율의 비가 두 물체에서 동일하다.

$\dfrac{w_1}{a_1} = \dfrac{w_2}{a_2}$가 성립하며, 이를 정리하면 $a_1 w_2 = a_2 w_1$의 관계가 된다.

환류비 $R = L/D = 2$이고 환류량 $L=400\,\mathrm{kmol/h}$이므로 유출량 $D = L/R = 200\,\mathrm{kmol/h}$, 탑상부 증기량은 $V=L+D=600\,\mathrm{kmol/h}$이다.

전축기에서 제거해야 할 열량은 $Q = V\lambda = 600 \times 7800 = 4.68\times10^{6}\,\mathrm{kcal/h}$이다.

냉각수의 온도 상승은 $\Delta T = \dfrac{Q}{m_w C_p} = \dfrac{4.68\times10^{6}}{156000\times1} = 30^\circ\mathrm{C}$이므로, 냉각수 출구온도는 $20+30=50^\circ\mathrm{C}$가 된다.

일정한 압력손실 조건에서 유체가 흐르는 유로의 단면적 변화로부터 유량을 알아내는 장치는 로타미터(Rota meter)이다.

부자(float)가 유량에 따라 상승·하강하며 원추관 내 환상 단면적이 변하고, 이 위치를 눈금으로 읽어 유량을 지시한다.

• 피토관은 유속에 의한 정체압 차이로 유속을 측정하는 장치다.
• 오리피스미터·벤투리미터는 고정된 단면적에서 압력손실(차압) 변화로 유량을 구하는 장치다.

한계함수율이 항률건조 기간에서 감률건조 기간으로 바뀌는 지점이다.

건조 초기에는 고체 표면의 수분이 충분해 일정한 속도로 마르는 항률건조기간이 나타나지만, 표면 수분이 고갈되어 내부 확산이 건조속도를 지배하면 속도가 줄어드는 감률건조기간으로 바뀐다.

평형함수율은 그 조건에서 더 이상 건조가 진행되지 않는 최종 함수율이고, 자유함수율은 전체 함수율에서 평형함수율을 뺀 '제거 가능한 수분'을 뜻하므로, 전환점 자체를 가리키는 것은 한계함수율뿐이다.

균일도 지수(σ/σ0)는 혼합 초기에 1, 완전이상혼합에서 0이 되도록 정의된 값이다.

혼합 전에는 성분이 완전히 분리되어 있어 표준편차 σ가 최초 표준편차 σ0와 같으므로 비율이 1이고, 혼합이 진행될수록 국소 편차가 줄어들어 이 값은 1에서 0 사이로 작아진다.

완전한 이상혼합 상태에서는 어디를 재도 조성이 균일해 표준편차가 0이 되므로 균일도 지수도 0에 도달한다.

선택도가 클수록 분리효과는 오히려 커지므로, 선택도가 클수록 분리효과가 작아진다는 설명은 옳지 않다.

선택도는 추질과 원용매 각각의 분배계수의 비로 정의되며, 이 값이 클수록 추제가 추질을 원용매보다 훨씬 선택적으로 흡수한다는 뜻이다.

• 선택도는 추질과 원용매의 분배계수로부터 구해지는 값이다.
• 선택도가 클수록 원하는 성분을 얻는 데 필요한 추제의 양은 줄어든다.

배관을 통과하는 데 걸리는 시간은 약 4분이다.

파이프 단면적은 $A=\dfrac{\pi}{4}d^2=\dfrac{\pi}{4}(0.15\ \mathrm{m})^2\approx0.01767\ \mathrm{m^2}$이고, 질량유량 280 ton/h를 밀도 700 kg/m³(비중 0.7)로 나누면 부피유량은 $Q=\dfrac{280000\ \mathrm{kg/h}}{700\ \mathrm{kg/m^3}}=400\ \mathrm{m^3/h}\approx0.1111\ \mathrm{m^3/s}$이다.

유속은 $v=\dfrac{Q}{A}\approx6.29\ \mathrm{m/s}$이므로, $t=\dfrac{1509\ \mathrm{m}}{6.29\ \mathrm{m/s}}\approx240\ \mathrm{s}\approx4\ \mathrm{min}$이 걸린다.

증기측 격막계수(막계수)를 감소시키는 것은 증발관의 능력을 오히려 떨어뜨리는 조작이다.

증발관의 전열량은 총괄열전달계수와 전열면적, 온도차에 비례하므로, 액의 유속을 높이거나 열전도도가 큰 금속을 쓰고 장치 내 압력을 낮춰 끓는점을 낮추는 것은 모두 증발 능력을 키우는 방향이다.

반면 증기측 격막계수를 줄이면 총괄열전달계수가 작아져 전열량이 감소하므로 능력 향상 방법이 될 수 없다.

충전탑에서 기체 속도가 지나치게 커져 액이 아래로 흐르지 못하고 넘쳐 오르는 현상을 범람(flooding)이라 한다.

기체 유속이 증가하면 충전물 사이 액막에 걸리는 마찰력이 커져 압력손실이 급격히 상승하고, 결국 액이 정체되어 탑 위로 밀려 올라가는 범람점에 도달한다.

편류는 유체가 충전층의 일부 경로로 치우쳐 흐르는 현상, 공동화는 압력 저하로 기포가 생기는 현상, 비말동반은 기체가 액방울을 함께 실어 내보내는 현상이므로 이 상황과는 다르다.

두 블록이 병렬로 더해지고 되먹임은 G₂(s) 뒤에서만 뽑히므로 전달함수는 (G₁+G₂)/(1+G₂H)가 된다.

그림에서 앞쪽 가산점을 지난 신호는 G₁(s)와 G₂(s)로 똑같이 갈라져 들어가고, 두 블록의 출력은 뒤쪽 가산점에서 모두 (+)로 합쳐져 C(s)가 된다. 되먹임 H(s)는 G₂(s)의 출력에서 분기해 앞쪽 가산점에 (-)로 들어간다.

가산점 출력을 E(s)라 하면 $E=R-H G_2 E$ 에서 $E=\dfrac{R}{1+G_2H}$ 이고, $C=(G_1+G_2)E$ 이므로 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{G_1+G_2}{1+G_2H}$ 이다.

분자를 곱 G₁G₂로 쓰면 두 블록이 직렬일 때의 결과이고, 분모를 1+G₁H로 쓰면 되먹임이 G₁(s) 출력에서 뽑힌 경우여서 그림과 맞지 않는다.

한계이득과 한계주기는 각각 Kcu=12.6, Tu=7.0248이다.

특성방정식 $10s^3+17s^2+8s+(1+K_C)=0$에 Routh 배열을 적용하면 s¹행 계수는 $\dfrac{17\times8-10(1+K_C)}{17}=\dfrac{126-10K_C}{17}$이며, 이 값이 0이 되는 지점이 한계이득이므로 $K_{cu}=12.6$이다.

이때 s²행의 보조방정식 $17s^2+(1+K_{cu})=0$을 풀면 $\omega_u=\sqrt{0.8}\approx0.8944$이고, 한계주기는 $T_u=\dfrac{2\pi}{\omega_u}\approx7.0248$이다.

두 전달함수가 직렬로 이어져 있으므로 곱하면 되고, 결과는 2/[(2s+1)(3s+1)] 이다.

주어진 관계 $X_2=\dfrac{2}{2s+1}X_1$ 를 $X_3=\dfrac{1}{3s+1}X_2$ 에 대입해 중간 변수 X₂를 소거한다.

$X_3=\dfrac{1}{3s+1}\cdot\dfrac{2}{2s+1}X_1=\dfrac{2}{(2s+1)(3s+1)}X_1$ → 직렬 연결은 전달함수의 곱이다.

• 두 전달함수를 더한 형태는 같은 입력이 두 갈래로 갈라져 출력에서 합쳐지는 병렬 연결의 결과다.
• (2s+1)(3s+1)이 통째로 분자로 올라간 형태나 두 인자가 분자·분모에 하나씩 갈라진 형태는 분모를 뒤집어 쓴 것이라 X₁→X₃ 관계가 성립하지 않는다.

t=a에서 크기 1로 뛰어오르는 계단이므로 라플라스 변환은 e^-as/s다.

그림의 f(t)는 0 ≤ t < a 에서 0, t ≥ a 에서 1인 함수, 즉 a만큼 지연된 단위계단함수 u(t-a)다.

시간지연 정리 $\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$ 에 $\mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}$ 를 넣으면 $\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}$ 가 된다.

• 1/s는 지연이 전혀 없는 단위계단의 변환이다.
• a/s는 높이가 a인 계단함수의 변환으로, 그림의 높이가 1인 것과 맞지 않는다.
• a·e^-as/s는 지연에 더해 크기까지 a배 한 것이라 과하다.

안정한 폐루프 특성방정식은 모든 계수가 빠짐없이 양수이면서 Routh 배열 첫 열에 부호변화가 없는 식이다.

차수는 4인데 s² 항이 빠진 식이나 음의 계수가 포함된 식은 이 필요조건부터 위배되어 즉시 불안정하다.

계수가 1, 6, 11, 10인 3차식은 s¹행 계수가 $\dfrac{6\times11-1\times10}{6}\approx9.33>0$으로 부호변화가 없어 안정하다. 반면 계수가 1, 16, 5, 170인 식은 계수가 모두 양수여도 $\dfrac{16\times5-1\times170}{16}<0$이 되어 불안정하므로, 계수 부호만으로는 판정할 수 없다.

앞먹임 경로에 블록이 없어 순방향 이득이 1이므로 총괄 전달함수는 1/(1+H(s))다.

그림에서 가산점을 지난 신호가 곧바로 C(s)가 되고, 그 C(s)가 분기해 H(s)를 거쳐 가산점으로 (-) 부호로 되돌아온다. 즉 순방향에는 블록이 하나도 없다.

따라서 $C=R-H(s)C$ → $C\,[1+H(s)]=R$ → $\dfrac{C}{R}=\dfrac{1}{1+H(s)}$ 이다.

분모가 1-H(s)가 되려면 되먹임 부호가 (+)여야 하고, 분모에서 1이 빠진 형태들은 폐루프 특성방정식이 1+(개루프 이득)이라는 사실을 놓친 것이다.

기획부는 제어계를 구성하는 요소가 아니다.

일반적인 제어계는 대상 상태를 재는 검출부, 측정값을 목표값과 비교해 조작량을 정하는 조절부, 그 신호를 전달하는 전송부로 구성된다.

기획부는 경영·계획 업무를 담당하는 조직 단위로, 신호의 검출·전송·조절이라는 제어 루프와는 무관하다.

출력은 t=0에서 곧바로 1로 뛴 뒤 t=1까지 2로 직선 상승하고, t=1을 지나면 1로 떨어져 유지되는 모양이다.

그림의 입력 e(t)는 t=0부터 t=1까지 기울기 1로 올라가 값 1에 도달한 뒤 계속 1로 유지되는 램프-계단 신호다.

PD 제어기 출력은 $p(t)=K_c\left(e+\tau_D\dfrac{de}{dt}\right)=e+\dfrac{de}{dt}$ 이므로,
0 < t < 1 구간: e=t, de/dt=1 → p = t+1 (1에서 2까지 직선)
t > 1 구간: e=1, de/dt=0 → p = 1

즉 미분항이 램프 구간 내내 일정하게 1을 더해 주고, 기울기가 사라지는 순간 그만큼 뚝 떨어진다. 시작값이 0인 그림은 미분 기여를 빠뜨린 것이고, t=1 이후에도 2에 머무는 그림은 미분항이 없어지는 것을 반영하지 못한 것이다.

단위계단 응답은 -3e^-t + (3/2)(1 + e^-2t) 이다.

전달함수를 인수분해하면 $G(s)=\dfrac{3}{(s+1)(s+2)}$ 이고, 단위계단 입력 $X(s)=\dfrac{1}{s}$ 를 곱하면 $Y(s)=\dfrac{3}{s(s+1)(s+2)}$ 이다.

부분분수로 나누면 $Y(s)=\dfrac{3/2}{s}-\dfrac{3}{s+1}+\dfrac{3/2}{s+2}$ 이므로 역변환하면 $y(t)=\dfrac{3}{2}-3e^{-t}+\dfrac{3}{2}e^{-2t}$ 가 되고, 이는 위 형태와 같다.

검산은 두 지점으로 끝난다. t=0에서 1.5-3+1.5=0, t→∞에서 1.5로 정상상태이득 G(0)=3/2와 일치한다.

죽은시간이 2인데 1차 Padé 식에 θ=4를 넣은 꼴인 5(-2s+1)/[(10s+1)(2s+1)] 이 원 함수에서 가장 멀다.

원 함수 $G(s)=\dfrac{5e^{-2s}}{10s+1}$ 의 근사는 결국 $e^{-2s}$ 를 유리함수로 바꾸는 작업이고, 아래 셋은 모두 θ=2에 정확히 대응한다.

• 1차 Taylor $e^{-2s}\approx 1-2s$ → $\dfrac{5(-2s+1)}{10s+1}$
• 분모형 근사 $e^{-2s}\approx\dfrac{1}{1+2s}$ → $\dfrac{5}{(10s+1)(2s+1)}$
• 1차 Padé $e^{-\theta s}\approx\dfrac{1-\theta s/2}{1+\theta s/2}$ 에 θ=2 → $\dfrac{5(-s+1)}{(10s+1)(s+1)}$

반면 $\dfrac{1-2s}{1+2s}$ 는 같은 Padé 식에서 θ/2=2, 즉 죽은시간을 4로 본 결과여서 실제 2초 지연을 두 배로 잡은 셈이 된다.

공급물 조성은 증류탑이 조정하는 출력변수가 아니라, 외부에서 정해져 들어오는 외란이다.

탑정 생산물 조성, 탑의 압력, 탑저 액위는 모두 제어기가 목표값에 맞추기 위해 관측·조정하는 피제어변수에 해당한다.

반면 공급물 조성은 증류탑 운전으로 바꿀 수 있는 값이 아니라 상류 공정에서 결정되어 들어오는 입력이므로 피제어변수로 분류되지 않는다.

편차(offset)는 정상상태에서 피제어변수의 목표값과 실제값의 차이를 뜻한다.

적분동작이 없는 비례제어만 쓰면 외란이나 설정값 변화 후 시간이 충분히 지나도 피제어변수가 목표값에 완전히 도달하지 못하고 일정한 차이를 남기는데, 이 잔류 오차가 offset이다.

이는 제어기 내부 신호끼리의 차가 아니라, 어디까지나 공정의 실제 출력과 그 희망값 사이의 차로 정의된다.

계단입력에 대해 응답이 최종변화치의 63.2%에 도달하는 시간이 시간상수이므로, 95%에 도달하는 시간이라는 설명은 틀렸다.

1차계 응답은 $y(t)=y_\infty(1-e^{-t/\tau})$ 형태이며, t=τ일 때 지수항이 $e^{-1}\approx0.368$이 되어 응답은 최종값의 63.2%에 이른다.

시간상수가 계의 저항과 용량의 곱이고 시간의 단위를 가지며, 값이 클수록 응답이 느려진다는 나머지 설명은 모두 옳다.

PI 제어기의 영점이 공정의 극점을 그대로 상쇄해 버리는 것이 열쇠이며, 안정 범위는 0 ≤ θ < 0.314다.

개루프 전달함수는 $L(s)=5\left(1+\dfrac{1}{s}\right)\cdot\dfrac{e^{-\theta s}}{s+1}=\dfrac{5(s+1)}{s}\cdot\dfrac{e^{-\theta s}}{s+1}=\dfrac{5e^{-\theta s}}{s}$ 로 적분기와 불감시간만 남는다.

위상이 -180°가 되는 교차주파수는 $-\dfrac{\pi}{2}-\theta\omega_c=-\pi$ 에서 $\omega_c=\dfrac{\pi}{2\theta}$ 이고, 그때 진폭비는 $|L(j\omega_c)|=\dfrac{5}{\omega_c}=\dfrac{10\theta}{\pi}$ 다.

안정하려면 진폭비가 1보다 작아야 하므로 $\dfrac{10\theta}{\pi}<1$, 즉 $\theta<\dfrac{\pi}{10}=0.314$ 이다.

충격응답은 계단응답을 시간으로 미분한 것이므로 (t/τ²)e^-t/τ 다.

단위충격 입력의 라플라스 변환이 1이고 단위계단 입력의 변환이 1/s이므로, s영역에서 s를 곱하는 것은 시간영역에서 미분에 해당한다. 즉 충격응답 = 계단응답의 도함수다.

$\dfrac{dY}{dt}=-\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}+\dfrac{1}{\tau}\left(1+\dfrac{t}{\tau}\right)e^{-t/\tau}=\dfrac{t}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}$

결과는 t=0에서 0이고 t=τ에서 최대가 되는 임계감쇠 2차계 특유의 모양이다. (1±t/τ)e^-t/τ 형태의 답들은 미분을 하지 않고 계단응답의 일부를 그대로 옮긴 것이라 t=0에서 0이 되지 않고, (t/τ)e^-t/τ 는 미분에서 나오는 1/τ 를 한 번만 세어 τ 차수가 하나 모자란다.

비례폭이 0에 가깝다는 것은 비례이득이 무한대에 가깝다는 뜻으로, 이는 곧 on-off 제어기의 특성이다.

비례폭(PB)과 비례이득(Kc)은 $PB=\dfrac{100}{K_C}$ 관계이므로 비례폭이 0에 가까워질수록 이득은 무한히 커지고, 출력이 두 극단값 사이를 전환하는 on-off 동작과 같아진다.

PI·PD·PID 제어기는 유한한 비례이득에 적분·미분 동작을 조합해 쓰므로 이 경우에 해당하지 않는다.

이 비유에서 자동차의 핸들은 조작변수에 해당한다.

눈으로 차선 위치를 확인하는 것이 감지기, 뇌에서 방향을 판단하는 것이 조절부의 역할이라면, 그 판단에 따라 손으로 돌리는 핸들(조향각)은 자동차의 진행 방향을 바꾸기 위해 직접 조정하는 조작변수가 된다.

자동차가 실제로 차선을 벗어나거나 유지하는 주행 위치 자체는 최종적으로 관측·제어하려는 피제어변수임을 구분해야 한다.

편차(offset)를 없애려면 적분동작을 넣어야 한다는 설명이 옳다.

비례동작만으로는 정상상태에서 목표값과 실제값 사이에 일정한 편차가 남는데, 적분동작은 누적된 오차를 계속 보정해 편차를 0으로 수렴시킨다.

반면 미분동작은 오차의 변화율에 반응하는 동작이라 측정잡음을 크게 증폭시키므로, 잡음이 큰 공정에서 미분동작을 위주로 조율하는 것은 오히려 피해야 한다.

결론: 감쇠계수 ζ가 1보다 작아질수록 진동주기는 짧아진다.

과소감쇠(ζ<1) 2차계의 단위계단 응답은 진동하며, 그 주기는 $T=\dfrac{2\pi r}{\sqrt{1-\zeta^2}}$ 이다. ζ가 작아지면 $\sqrt{1-\zeta^2}$ 가 1에 가까워져 커지므로 T는 작아진다.

발문의 전달함수에서 K는 정상상태 이득, r는 시간 척도를 정하는 상수다. 즉 진동주기는 r와 ζ만으로 결정되고 K와는 무관하다.

• 최대 초과량(overshoot)은 $\exp\!\left(-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)$ 이므로 ζ가 작을수록 오히려 커진다.
• 진동주기가 K에 무관한 것은 맞지만 r에는 비례하므로 "K와 r 모두에 무관"은 성립하지 않는다.
• K는 최종 도달값의 크기만 K배로 바꿀 뿐 응답 속도를 좌우하지 않는다. 속도를 정하는 것은 r다.

결론: 역변환하면 $f(t)=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\sin\sqrt{3}\,t$ 이다.

라플라스 변환쌍 $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ 에 맞추려면 분모를 $s^2+(\sqrt{3})^2$ 로 보아 ω=√3 으로 읽어야 한다.

분자를 ω 형태로 맞추면 $F(s)=\dfrac{5}{s^2+3}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{s^2+3}$ 이므로 계수 5/√3 가 그대로 남는다.

분모에 s의 1차항이 없어 감쇠 없는 순수 진동이고, cos 형태가 나오려면 분자가 s에 비례해야 하는데 분자는 상수 5뿐이므로 cos 항은 나올 수 없다. 또 계수를 5 그대로 두면 ω=√3 을 맞추기 위해 나눈 √3 을 빠뜨린 것이 된다.

암모니아소다법에서 쓰는 암모니아함수의 표준 조성은 전염소 160 g/L, 암모니아 90 g/L 수준이다.

암모니아함수는 원료 식염수에 암모니아를 흡수시켜 만든 용액으로, 이후 탄산화탑에서 이산화탄소를 흡수시켜 중조(NaHCO₃)를 석출시키는 데 쓰인다.

염소·암모니아 농도가 이 기준을 벗어나면 탄산화 반응의 수율과 결정 품질이 떨어지므로 공정에서는 이 조성을 표준으로 관리한다.

공기액화분리법은 공기 중 질소와 산소를 분리하는 방법이지, 수소를 제조하는 공정이 아니다.

수성가스법은 코크스에 수증기를 반응시켜 CO와 H₂ 혼합가스를 얻는 방법이고, 수증기개질법과 부분산화법도 탄화수소로부터 수소를 얻는 대표적인 공업적 제조법이다.

반면 공기액화분리법은 심랭 증류로 공기를 분리해 산소·질소·아르곤을 얻는 공정으로, 수소 제조와는 원리 자체가 다르다.

벤젠을 Ni 촉매 하에서 수소화하면 벤젠 고리의 이중결합이 모두 포화되어 시클로헥산이 생성된다.

벤젠(C₆H₆)에 수소 3몰을 첨가하는 접촉수소화 반응으로 방향족 고리가 지방족 육각형 고리로 바뀌며, 이는 아디프산 등 나일론 원료를 만드는 출발물질로 쓰인다.

결론: 고체산·제올라이트 촉매, 카르보늄이온 기구, 방향족 다량 생성은 접촉분해법(catalytic cracking)의 특징이다.

제올라이트 같은 고체산 촉매가 탄화수소에 양성자를 주거나 하이드라이드를 떼어내 카르보늄이온을 만들고, 이 이온이 β-절단·이성화·수소이동을 거치면서 분지알칸과 방향족 탄화수소가 풍부한 고옥탄가 가솔린이 얻어진다.

• 열분해법은 촉매 없이 고온·고압에서 자유라디칼 기구로 진행되어 저급 올레핀이 주로 생긴다.
• 수소화분해법은 고압 수소와 금속·산 이중기능 촉매를 써서 방향족을 오히려 포화시키고 포화탄화수소를 얻는다.
• 이성화법은 분자를 쪼개는 분해 반응이 아니라 직쇄를 분지쇄로 바꾸는 골격 재배열 공정이다.

진성반도체의 전기전도도는 약 2.53×10⁻⁷ Ω⁻¹m⁻¹이다.

진성반도체는 전자 농도와 정공 농도가 같으므로 전도도는 $\sigma = n e (\mu_n+\mu_p)$로 구한다.

값을 대입하면 $\sigma = (6.8\times10^{12})(1.6\times10^{-19})(0.19+0.0425)\approx2.53\times10^{-7}\ \mathrm{\Omega^{-1}m^{-1}}$이다.

건식법(전기로법)은 인의 농도가 낮은 저품위 인광석도 원료로 쓸 수 있다는 것이 특징이다.

전기로에서 인광석을 코크스·규석과 함께 가열해 인을 환원·기화시킨 뒤, 별도의 연소탑에서 산화시켜 P₂O₅를 얻고 이를 물에 흡수시켜 인산을 만드는 방식이라 원료의 품위에 비교적 덜 민감하다.

• 전기로 안에서는 인의 환원(기화)까지만 일어나고 산화는 후단 연소탑에서 별도로 일어난다.
• 건식법은 불순물이 적은 고순도·고농도 인산을 얻을 수 있는 방법이다.
• 이수석고법은 황산으로 인광석을 분해하는 대표적인 습식법이지 건식법이 아니다.

석유 중 황화합물이 많을 때 나타나는 문제는 주로 부식·공해·악취이며, 환원 작용은 이에 해당하지 않는다.

황화합물은 연소 시 SOx로 산화되어 대기오염과 악취를 유발하고, 수분과 결합해 산성 물질을 만들어 배관·장치를 부식시킨다.

이러한 영향은 대부분 황화합물이 산화되면서 나타나는 현상이지, 환원 작용을 일으킨다는 설명과는 거리가 멀다.

격막식 전해조에서 전해액이 도입되는 양극의 재료로는 전통적으로 흑연이 쓰인다.

격막법 전해에서는 양극실에 포화 식염수를 넣어 염소를 발생시키고, 격막을 통해 음극실로 넘어간 용액에서 수산화나트륨이 생성되는데, 이때 염소 발생에 견디는 내식성이 필요한 양극 재료로 흑연이 오랫동안 쓰여 왔다.

인산비료에서 말하는 유효인산(가용성 인산)이란 수용성 인산과 구용성 인산을 합쳐 식물이 흡수할 수 있는 인산을 가리킨다.

수용성 인산은 물에 바로 녹아 즉시 흡수되는 형태이고, 구용성 인산은 물에는 잘 녹지 않지만 약산성 토양이나 구연산 용액에는 녹아 서서히 비효를 나타내는 형태로, 두 가지 모두 작물이 이용할 수 있는 인산으로 본다.

반면 불용성 인산은 토양에서도 거의 흡수되지 않으므로 유효인산에는 포함되지 않는다.

결론: TDI는 벤젠 고리에 메틸기 1개와 이소시아네이트기(-NCO) 2개가 붙은 2,4-톨루엔디이소시아네이트다.

톨루엔을 니트로화한 뒤 환원하면 톨루엔디아민(-CH₃ + -NH₂ 2개)이 되고, 여기에 포스겐을 반응시키면 -NH₂ 가 -NCO 로 바뀌어 TDI 가 된다. 폴리올의 -OH 와 -NCO 가 반응해 우레탄 결합으로 사슬이 자라려면 한 분자에 -NCO 가 2개 있어야 한다.

• 메틸기와 -NCO 가 하나씩만 있는 구조는 관능기가 1개뿐이라 사슬이 이어지지 않아 폴리우레탄을 만들 수 없다.
• 메틸기 없이 -NCO 2개만 벤젠에 붙은 구조는 톨루엔 유도체가 아니라 벤젠디이소시아네이트다.
• 메틸기와 -NH₂ 2개를 가진 구조는 포스겐화 이전 단계인 톨루엔디아민(TDA)이며 TDI 자체가 아니다.

접촉식 황산 제조의 전화기(converter)에서는 온도가 지나치게 높아지면 전화율이 오히려 떨어지므로 온도 조절이 중요하다는 설명이 옳다.

SO₂가 SO₃로 산화되는 반응은 발열반응이므로, 온도가 과도하게 오르면 평형이 역방향으로 밀려 전화율이 낮아진다.

이 때문에 다단 촉매층 사이에서 냉각을 병행해 촉매 활성이 유지되는 온도 범위에서 운전하는 것이 전화기 운전의 핵심이다.

열가소성 수지는 분자량이 커질수록 용해도가 낮아진다는 설명이 옳다.

고분자는 사슬 길이(분자량)가 길어질수록 사슬 간 얽힘과 상호작용이 강해져 용매 분자가 침투하기 어려워지므로, 분자량이 클수록 유기용매에 대한 용해도가 감소한다.

열가소성 수지는 대부분 적절한 유기용매에 녹으며, 열경화성 수지는 오히려 열에 강하고 한 번 경화된 뒤에는 재가열해도 다시 연화되지 않고 분해·탄화된다.

에탄올이 간에서 대사되면서 생기는 아세트알데히드가 숙취의 주된 원인물질이다.

알코올탈수소효소(ADH)가 에탄올을 아세트알데히드로 산화시키는데, 이 물질이 제때 아세트산으로 분해되지 못하고 체내에 쌓이면 두통, 메스꺼움 등 숙취 증상을 일으킨다.

아세틸렌에 염화수소(HCl)를 부가시키면 염화비닐이 생성된다.

촉매(HgCl₂ 등) 존재 하에서 아세틸렌(C₂H₂)에 염화수소를 첨가하면 삼중결합 하나가 끊어지면서 염화비닐(CH₂=CHCl)이 만들어지며, 이는 PVC 합성의 원료가 된다.

발생하는 NO의 양은 약 3.4 kg이다.

36 wt% HNO₃ 20 kg 중 순수 HNO₃의 질량은 $20\ \mathrm{kg}\times0.36=7.2\ \mathrm{kg}$이고, 몰수로는 $\dfrac{7200\ \mathrm{g}}{63\ \mathrm{g/mol}}\approx114.3\ \mathrm{mol}$이다.

HNO₃의 질소가 같은 몰수의 NO로 전환된다고 보면 $114.3\ \mathrm{mol}\times30\ \mathrm{g/mol}\approx3430\ \mathrm{g}\approx3.4\ \mathrm{kg}$이 생성된다.

Fischer 에스테르화는 산 촉매 하에서 일어나는 반응이므로, 염기성 촉매를 쓴다는 설명은 틀렸다.

일반적으로 진한 황산 같은 강산을 촉매로 카르복시산과 알코올을 반응시켜 에스테르와 물을 생성하는 가역반응이며, 알코올이나 산을 과량 사용하거나 생성된 물을 계 밖으로 제거하면 평형이 에스테르 쪽으로 이동해 수율을 높일 수 있다.

식염수용액을 전기분해해 NaOH를 만드는 방식은 격막법, 수은법, 이온교환막법 세 가지이며, 증발법은 전해 방식이 아니다.

격막법·수은법·이온교환막법은 모두 전기분해로 음극실에서 NaOH를 직접 생성시키는 방법인 반면, 증발법은 이미 생성된 묽은 NaOH 용액을 가열·농축해 고농도로 만드는 후속 공정에 해당한다.

부타디엔과 같은 공액디엔에 무수말레산 같은 친디엔체를 부가시켜 6원 고리 화합물을 얻는 반응을 Diels-Alder 반응이라 한다.

디엔의 두 이중결합과 친디엔체(dienophile)의 이중결합이 한 번의 고리화 첨가로 새로운 6원 고리를 형성하는 반응으로, 부타디엔과 무수말레산의 반응은 이 반응의 대표적인 예다.

다니엘 전지의 (-)극(anode)에서는 아연이 산화되는 $\mathrm{Zn \rightarrow Zn^{2+}+2e^-}$ 반응이 일어난다.

아연판이 전자를 잃고 용액으로 녹아 들어가면서 방출된 전자가 외부 회로를 통해 구리판 쪽 (+)극으로 이동해 Cu²⁺을 Cu로 환원시키는 것이 다니엘 전지의 기본 작동 원리다.

결론: 약 394 kcal 이 발생한다.

표준상태에서 기체 1 mol 은 22.4 L 이므로 수소 200 L 의 몰수는 $\dfrac{200}{22.4}=8.93\ \mathrm{mol}$ 이다.

반응식이 H₂ 1 mol 당 44.12 kcal 발생으로 주어졌으므로 $8.93\times44.12\approx394\ \mathrm{kcal}$ 이다.

발열량이 HCl 2 mol 이 아니라 H₂ 1 mol 기준으로 표기된 식이므로, 44.12 를 2로 나누거나 2배 하면 안 된다.

화학반응 속도의 온도의존성을 설명하는 대표적 이론은 아레니우스 법칙, 전이상태이론, 분자충돌이론이며, 볼츠만 법칙은 이들과 성격이 다르다.

아레니우스 법칙은 활성화에너지 개념으로 온도와 반응속도상수의 관계를 설명하고, 분자충돌이론과 전이상태이론은 각각 충돌 빈도와 활성화 착물 형성 과정을 통해 그 근거를 제공한다.

볼츠만 법칙은 입자들의 에너지 분포를 다루는 통계역학의 일반 원리로, 반응속도의 온도의존성을 설명하기 위한 전용 이론과는 성격이 다르다.

결론: t ≤ C_A0/k 인 동안에만 0차 반응이 지속된다.

0차 반응은 $-\dfrac{dC_A}{dt}=k$ 로 농도와 무관하게 속도가 일정하므로, 적분하면 $C_A=C_{A0}-kt$ 인 직선 이 된다.

반응물 A 가 모두 소모되는 순간, 즉 $C_A=0$ 이 되는 $t=\dfrac{C_{A0}}{k}$ 가 이 식이 성립하는 한계 시각이다. 그 이후에는 반응할 A 가 없어 더 이상 0차식이 성립하지 않는다.

차원으로도 확인된다. 0차 반응에서 k 의 단위는 mol/L·time 이므로 C_A0/k 만이 시간의 차원을 가지며, k/C_A0 는 1/time, 1/k 는 L·time/mol 로 시간이 되지 못한다.

Thiele modulus, Weisz-Prater 식, Mears 식은 모두 불균일 촉매반응에서 확산이 반응율속인지를 판별하는 기준이지만, Langmuir-Hinshelwood 식은 목적이 다르다.

Langmuir-Hinshelwood 식은 촉매 표면에 흡착된 반응물의 표면 반응속도를 나타내는 속도식으로, 반응 메커니즘 자체를 표현하기 위한 것이지 확산 제한 여부를 판정하기 위한 식이 아니다.

반면 Thiele modulus는 촉매 입자 내 확산과 반응의 상대적 속도를, Weisz-Prater 식과 Mears 식은 측정 가능한 값들로부터 확산 제한 여부를 판별하기 위해 고안된 식이다.

결론: $t_F=\dfrac{F^{1-n}-1}{k(n-1)}\,C_{A0}^{\,1-n}$ 이다.

n차 비가역 반응 $-\dfrac{dC_A}{dt}=kC_A^{\,n}$ 를 n≠1 조건에서 적분하면 $C_A^{\,1-n}-C_{A0}^{\,1-n}=k(n-1)t$ 를 얻는다.

여기에 $C_A=F\,C_{A0}$ 를 대입하면 $t_F=\dfrac{(FC_{A0})^{1-n}-C_{A0}^{\,1-n}}{k(n-1)}=\dfrac{F^{1-n}-1}{k(n-1)}\,C_{A0}^{\,1-n}$ 이 된다.

검산해 보면 n=2, F=0.5 일 때 $t_F=\dfrac{2-1}{k}C_{A0}^{-1}=\dfrac{1}{kC_{A0}}$ 로 2차 반응의 반감기와 정확히 일치한다. 분모를 k(1-n) 으로 쓰면 부호가 뒤집혀 t_F 가 음수가 되고, 지수를 n-1 로 쓰면 적분 결과의 지수 1-n 과 어긋난다.

결론: 같은 전화율에 가장 작은 V/F₀ 로 도달하는 촉매 A 의 활성이 가장 크다.

V/F₀(또는 W/F₀)는 공급 몰수당 촉매 부피·질량, 즉 공간시간에 해당한다. 그림에서 점선으로 그은 동일 전화율 X_A 선과 만나는 지점을 보면 A 가 가장 왼쪽이고 이어서 B, C, D 순으로 오른쪽에 놓인다.

같은 전화율을 더 적은 촉매량으로 낼수록 단위 촉매당 반응속도가 크다는 뜻이므로, 원점에서의 곡선 기울기가 가장 가파른 A 가 최고 활성이고 가장 완만한 D 가 최저 활성이다.

필요한 반응기의 부피는 약 100 L이다.

관형반응기(PFR)에서 1차 반응의 설계식은 $k\tau = \ln\dfrac{C_{A0}}{C_A}$이며, 유출농도를 유입농도의 10%로 낮추려면 $\ln\dfrac{1}{0.1}=\ln10\approx2.303$이 필요하다.

체류시간은 $\tau=\dfrac{2.303}{0.23\ \mathrm{min^{-1}}}\approx10.0\ \mathrm{min}$이고, 반응기 부피는 $V=\tau v = 10.0\ \mathrm{min}\times10\ \mathrm{L/min}=100\ \mathrm{L}$이다.

1차 반응은 전화율이 초기 농도에 무관하게 공간시간 τ에 의해서만 결정된다.

1차 반응의 적분속도식은 $-\ln(1-X_A) = k\tau$로, 우변에 초기 농도 $C_{A0}$가 나타나지 않아 τ가 같으면 전화율도 같다.

반면 0차나 2차 반응은 적분식에 $C_{A0}$가 포함되어 초기 농도가 달라지면 같은 τ에서도 전화율이 달라진다.

결론: A 가 0 이 아닌 농도에서 멈추므로 A⇌R 와 A⇌S 가 나란히 일어나는 가역 병렬반응이다.

그림에서 A 농도는 감소하다가 유한한 값에서 수평 이 되고, R·S 농도는 함께 증가하다가 역시 수평이 된다. 반응물이 끝까지 소모되지 않고 남는 것은 정반응과 역반응 속도가 같아진 평형 도달을 뜻한다.

두 갈래가 모두 비가역이면 A 는 결국 0 까지 떨어지고, 한쪽만 비가역이어도 그 경로가 배출구가 되어 A 는 0 으로 간다. 따라서 두 갈래 모두 가역이어야 A 가 남은 채 평탄해진다.

또 A⇌R→S 처럼 R 를 거쳐 S 로 빠지는 직렬형이라면 중간체 R 농도가 최대를 찍고 다시 감소해야 하는데, 그림의 R·S 곡선은 함께 올라가 평탄해질 뿐 극대점이 없다.

두 혼합반응기의 물질수지를 풀면 이 분해반응은 2차 반응이다.

직렬 연결이므로 부피비만큼 체류시간도 늘어나 2번째 반응기의 체류시간은 $\tau_2 = 2\tau_1 = 192\,\mathrm{s}$이다.

각 반응기에 n차 반응의 CSTR 설계식 $\tau = \dfrac{C_{in}-C_{out}}{kC_{out}^{\,n}}$을 적용하면 1번째 반응기는 $96 = \dfrac{1-0.5}{k(0.5)^n}$, 2번째 반응기는 $192 = \dfrac{0.5-0.25}{k(0.25)^n}$이다.

두 식을 나누어 k를 소거하면 $2^n = 4$가 되어 $n=2$, 즉 2차 반응임을 알 수 있다.

촉매는 활성화 에너지를 낮추어 반응 속도를 증가시킨다.

촉매는 정반응과 역반응의 활성화 에너지를 동일한 비율로 낮추므로 반응 경로만 바꿀 뿐 평형상수 K는 변화시키지 않는다.

1차 반응의 반감기 공식으로 속도상수를 구하면 분해된 분율은 약 0.622이다.

$k = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0.693}{20500} \approx 3.38\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}$

8시간(28800s) 동안 $kt \approx 0.974$이므로 잔존 분율은 $e^{-kt}\approx 0.378$, 분해된 분율은 $1-0.378 = 0.622$이다.

Arrhenius식으로 계산하면 활성화 에너지는 약 16.6kcal/mol이다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1} = \dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$에서 $T_1=297\,\mathrm{K}$, $T_2=307\,\mathrm{K}$, $k_2/k_1=2.5$를 대입한다.

$E_a = \dfrac{R\ln 2.5}{\frac{1}{297}-\frac{1}{307}} \approx \dfrac{1.987\times0.916}{1.097\times10^{-4}} \approx 16600\,\mathrm{cal/mol} = 16.6\,\mathrm{kcal/mol}$

직렬반응 A→R→S에서 C_R이 최대가 되는 시간은 약 0.693분이다.

1차 직렬반응의 중간체 최대 시점 공식은 $t_{max} = \dfrac{\ln(k_1/k_2)}{k_1-k_2}$이다.

$k_1=2\,\mathrm{min^{-1}}$, $k_2=1\,\mathrm{min^{-1}}$을 대입하면 $t_{max} = \dfrac{\ln 2}{2-1} = \ln 2 \approx 0.693\,\mathrm{min}$이다.

1차 액상반응의 적분식으로 계산하면 80% 전환에 걸리는 시간은 약 16분이다.

$-\ln(1-X_A) = kt$에서 40% 전환 시 $k = \dfrac{-\ln(0.6)}{5} \approx 0.102\,\mathrm{min^{-1}}$을 얻는다.

같은 k로 80% 전환 시간을 구하면 $t = \dfrac{-\ln(0.2)}{0.102} \approx 15.8\,\mathrm{min} \approx 16\,\mathrm{min}$이다.

결론: 반응기 체적은 약 1 m³ 이다.

PFR 설계식 $\tau=C_{A0}\displaystyle\int_0^{X}\frac{dX}{-r_A}$ 에 $-r_A=\dfrac{0.1C_A}{1+0.5C_A}$ 와 $C_A=C_{A0}(1-X)=2(1-X)$ 를 넣어 정리하면 피적분항이 $\dfrac{10}{1-X}+10$ 으로 간단해진다.

적분하면 $\tau=10\ln\dfrac{1}{1-0.95}+10\times0.95=10\ln 20+9.5\approx39.5\ \mathrm{min}$ 이다.

따라서 $V=\tau\,v=39.5\times25\approx987\ \mathrm{L}\approx1\ \mathrm{m^3}$ 이다. L 를 m³ 로 바꿀 때 1000 으로 나누는 단위 환산을 빠뜨리지 않아야 한다.

k₁이 k₂보다 100배 커서 A→R 반응이 사실상 순간적으로 끝나므로, S의 생성 속도는 두 번째 단계(k₂)만으로 결정된다.

이 경우 전체 과정은 마치 R을 거치지 않고 속도상수 k₂인 단일 1차 반응 A→S가 진행되는 것과 같아, $\dfrac{C_S}{C_{A0}} \approx 1-e^{-k_2t} = 1-e^{-t}$로 근사된다.

촉매는 반응의 평형상수를 변화시키지 않는다.

촉매는 정반응과 역반응의 활성화 에너지를 같은 정도로 낮추어 평형에 도달하는 속도만 빠르게 할 뿐, 열역학적으로 결정되는 평형 위치($K_P$)에는 영향을 주지 않으므로 $K_P = K_{PC}$이다.

Arrhenius식에 따르면 속도상수는 $k \propto \exp\!\left(-\dfrac{\theta}{T}\right)$ 형태로 온도에 의존한다.

원식 $k = A\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{RT}\right)$에서 $\theta = E_a/R$로 두면 같은 형태가 되며, 이는 온도가 높을수록 k가 지수적으로 증가함을 의미한다.

반응기 부피를 6배로 늘리면 전화율은 0.75가 된다.

2차 반응 CSTR의 설계식은 $\tau = \dfrac{C_{A0}X_A}{kC_{A0}^2(1-X_A)^2}$이며, 부피(τ)가 같은 비율로 늘어나므로 $\dfrac{X_A}{(1-X_A)^2}$ 값도 6배가 된다.