폴리트로픽 공정 $PV^{1.3}=\text{const.}$에서 온도와 압력의 관계는 $\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}$이다.

$T_1=367\,\mathrm{K},\;P_2/P_1=2,\;n=1.3$을 대입하면 $T_2=367\times 2^{0.3/1.3}\approx367\times1.174\approx430\,\mathrm{K}$이 된다.

따라서 질소가스의 최종 온도는 약 430K이다.

중간냉각이 있는 2단 압축에서는 중간압력 P가 P₁과 P₂의 기하평균일 때 전 소요일이 최소가 되므로, 성립해야 할 관계는 P² = P₂P₁ 이다.

그림처럼 P₁·T₁ 로 들어간 기체가 1단에서 P로 압축된 뒤 다시 처음 온도 T₁ 으로 냉각되어 2단에서 P₂ 로 압축되므로, 두 단의 일은 각각 압력비에만 의존한다.
$W = \dfrac{k}{k-1}RT_1\left[\left(\dfrac{P}{P_1}\right)^{(k-1)/k}-1\right] + \dfrac{k}{k-1}RT_1\left[\left(\dfrac{P_2}{P}\right)^{(k-1)/k}-1\right]$

이 합을 중간압력 P로 미분해 0으로 놓으면 $\dfrac{P}{P_1}=\dfrac{P_2}{P}$, 즉 $P=\sqrt{P_1P_2}$ 를 얻는다. 결국 두 단의 압력비를 똑같이 나누는 것이 최소일 조건이다.

중간압력이 아니라 P₂ 나 P₁ 을 제곱한 관계식, 또는 등호가 아닌 부등호 관계는 이 극값 조건을 나타내지 못한다.

디젤 사이클은 단열압축 → 정압가열(연소) → 단열팽창 → 정적방열의 4과정으로 구성된다.

오토 사이클이 정적가열(정적연소)을 쓰는 것과 달리, 디젤 사이클은 압축비가 높아 압축착화 방식으로 연료가 서서히 연소되므로 정압가열 과정을 거치는 것이 특징이다.

비리얼 방정식 $Z=1+BP$에서 몰부피는 $V=\dfrac{RT}{P}+BRT$로 표현되며, 등온 조건에서 $B$는 압력에 무관한 상수이다.

가역 압축일은 $W=-\displaystyle\int P\,dV$인데, $BRT$ 항은 압력에 대해 일정한 상수라 미분하면 사라지므로 $dV=-\dfrac{RT}{P^2}dP$가 되어 결국 $W=RT\ln\dfrac{P_2}{P_1}$로 이상기체의 결과와 정확히 같아진다.

따라서 필요한 일의 양은 이상기체의 경우와 같다.

옳은 설명은 공비 조성(azeotrope)에 관한 것이다. 공비점에서는 액상과 기상의 조성이 같아($x_i=y_i$) 증발이 진행돼도 액의 조성이 변하지 않고, 그래서 단순 증류로는 그 조성을 넘어 분리할 수 없다.

• 일정한 T·P에서 비가역과정은 깁스에너지가 감소하는 방향(dG ≤ 0)으로 진행하며, 평형에서 G가 최소가 된다.
• 압력이 일정한 단일상에서는 $\Delta H=\int_{T_1}^{T_2}C_P\,dT$ 이다. 정압인데 정적비열 $C_V$ 로 적분한 식은 성립하지 않는다.
• 화학반응의 에너지 변화는 원자의 물리적 배열만이 아니라 화학결합의 종류와 세기(결합에너지)가 달라지는 데서 온다.

이 용액은 92℃에서 끓기 시작해 100℃에서 완전히 증발하므로 끓는 온도는 92℃부터 100℃까지다.

선도는 1atm 기준으로 순수 B(조성 0)의 끓는점이 110℃, 순수 A(조성 1.0)가 80℃이며, 아래쪽 곡선이 액상선(x_A), 위쪽 곡선이 기상선(y_A)이다. 조성 0.4에서 수직선을 그으면 액상선과 92℃, 기상선과 100℃에서 만난다.

액상 조성 0.4인 용액을 가열하면 액상선에 닿는 기포점 92℃에서 첫 기포가 생기고, 저비점 성분 A가 먼저 증발해 남은 액이 묽어지므로 온도가 계속 올라간다. 마지막 액방울이 사라지는 이슬점 100℃에서 전량이 증기가 된다.

2성분계는 순수 성분과 달리 끓는 동안 온도가 한 점에 고정되지 않으므로, 80℃·110℃ 같은 단일 값이나 80~92℃ 구간은 답이 될 수 없다.

냉장고는 부엌(격리된 공간) 내부의 열을 흡수해 그대로 다시 부엌 안으로 방출하므로, 흡수한 열만으로는 부엌 전체의 에너지가 변하지 않는다.

하지만 압축기를 구동하는 모터의 일(전기에너지)이 추가로 열로 변환되어 계속 부엌 안에 쌓이므로, 격리된 부엌의 온도는 시간이 지날수록 올라간다.

반트호프식(Van't Hoff equation) $\dfrac{d\ln K}{dT}=\dfrac{\Delta H}{RT^2}$에 따르면, 온도에 따른 평형상수의 변화율은 반응의 엔탈피 변화량(ΔH)에 의해 결정된다.

따라서 평형상수가 온도에 얼마나 민감하게 변하는지 알기 위해서는 반응열(엔탈피 변화량)을 알아야 한다.

이심인자(acentric factor)는 분자가 구형(단원자 분자)에서 얼마나 벗어나는지를 나타내는 지표이다.

제논, 아르곤, 크립톤은 모두 완전한 구형 구조를 갖는 단원자 비활성기체로 이심인자가 0에 가깝지만, 산소(O₂)는 두 원자로 이루어진 비구형 분자이므로 보기 중 이심인자 값이 가장 크다.

카르노 효율은 $\eta = 1-\dfrac{T_C}{T_H}$로, 저온열원 온도가 절대영도가 아닌 한 항상 1보다 작다. 절대영도의 열원은 실제로 만들 수 없으므로 열기관의 효율은 100%에 이를 수 없고, "최대효율은 100%이다"라는 설명은 틀렸다.

고립계(우주)의 엔트로피가 증가한다는 것, 흡수한 열을 완전히 일로 바꾸는 순환공정은 불가능하다는 것, 열이 고온에서 저온으로 자발적으로 이동한다는 것은 모두 제2법칙에 부합하는 옳은 설명이다.

오토 사이클의 P-V 선도는 좌우 두 변이 수직선이고 위아래 두 변이 아래로 볼록한 단열 곡선인 도형이다.

공기표준 오토 사이클은 단열압축 → 정적 가열 → 단열팽창 → 정적 방열의 4과정으로 이루어진다. 정적 과정은 부피가 변하지 않으므로 P-V 선도에서 V가 일정한 수직선으로, 단열 과정은 $PV^{k}=\text{const}$ 를 따르는 완만한 쌍곡선형 곡선으로 그려진다.

• 위쪽 변이 수평선(정압 가열)이고 오른쪽만 수직선인 도형은 디젤 사이클이다.
• 위아래 변이 모두 수평선인 도형은 정압 가열·정압 방열을 하는 브레이턴 사이클이다.

등온 가역과정에서 이상기체가 하는 일은 $W=RT\ln\dfrac{P_1}{P_2}$로 계산된다.

$R=1.987\,\mathrm{cal/(mol\cdot K)},\;T=300\,\mathrm{K},\;P_1/P_2=10/2=5$를 대입하면 $W=1.987\times300\times\ln5\approx596.1\times1.609\approx959.4\,\mathrm{cal}$이다.

따라서 소요된 일의 크기는 약 959.4cal이다.

CaCO₃(s)가 CaO(s)와 CO₂(g)로 완전히 분해되면 더 이상 CaCO₃(s)가 남아있지 않으므로, 반응 평형이 아니라 CaO(s)와 CO₂(g) 두 상만 존재하는 계가 된다.

두 성분이 각각 순수한 고체·기체 상으로 완전히 분리되어 있어 조성 변수는 없고 반응평형에 의한 구속 조건도 더 이상 작동하지 않으므로, 상률 $F=C-P+2$에 $C=2,\;P=2$를 대입하면 $F=2$가 된다.

즉 이 계의 자유도는 2로, 온도와 압력을 각각 독립적으로 정할 수 있다.

옳지 않은 것은 비리얼 계수가 온도·압력에 관계없이 일정하다는 설명이다. B, C, D는 온도만의 함수이므로 같은 기체라도 온도가 달라지면 값이 달라진다.

전개식 $Z=\dfrac{PV}{RT}=1+\dfrac{B}{V}+\dfrac{C}{V^{2}}+\dfrac{D}{V^{3}}+\cdots$ 에서 각 항은 분자 사이 상호작용을 차수별로 담는다. B는 두 분자, C는 세 분자 사이의 상호작용에서 비롯되고, 상호작용이 없는 이상기체는 모든 계수가 0이라 Z = 1 이 된다.

또 몰부피 V가 클수록 고차 항이 급격히 작아지므로 $\dfrac{B}{V}$ 항의 기여가 $\dfrac{C}{V^{2}}$ 항보다 크게 나타난다.

옳은 식은 판트호프(van't Hoff) 식을 적분한 $\ln\dfrac{K}{K_0}=-\dfrac{\Delta H^{\circ}}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right)$ 이다.

미분형은 $\dfrac{d\ln K}{dT}=\dfrac{\Delta H^{\circ}}{RT^{2}}$ 이고, ΔH°를 온도에 무관한 상수로 보고 T₀에서 T까지 적분하면 위 식이 얻어진다.

• 발열반응(ΔH° < 0)이면 온도가 올라갈수록 lnK가 작아지므로 평형상수는 감소한다.
• 미분형을 정리하면 $\Delta H^{\circ}=RT^{2}\dfrac{d\ln K}{dT}$ 이므로 −RT를 곱한 형태는 차원부터 맞지 않는다.
• 표준 깁스에너지와의 관계는 $\Delta G^{\circ}=-RT\ln K$, 즉 $\dfrac{\Delta G^{\circ}}{RT}=-\ln K$ 로 부호가 반대다.

가역단열 팽창 후 온도는 약 13.2℃가 된다.

가역단열 과정에서는 $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$가 성립한다.

초기온도 $T_1 = 32+273=305\,\mathrm{K}$이고 $\dfrac{\gamma-1}{\gamma} = \dfrac{0.4}{1.4} \approx 0.286$이므로, $T_2 = 305 \times (0.8)^{0.286} \approx 305 \times 0.938 \approx 286.3\,\mathrm{K}$이다.

섭씨로 환산하면 $286.3-273 \approx 13.2\mathrm{℃}$가 된다.

닫힌 계에서 내부에너지 변화량이 항상 영(zero)이라는 설명이 틀린 설명이다.

열역학 제1법칙에 따르면 닫힌 계의 내부에너지 변화는 $\Delta U = Q - W$로 주어지며, 계와 외부 사이에 열이나 일의 출입이 있으면 $\Delta U$는 0이 아니다.

내부에너지 변화량이 항상 0인 경우는 고립계(에너지·물질 출입이 전혀 없는 계)에 한정된다.

나머지 설명들은 에너지 총량 보존, 계와 외계의 에너지 변화 총합이 0이라는 점, 에너지 형태 전환 시 총량 불변이라는 점을 각각 올바르게 서술하고 있다.

깁스-두헴(Gibbs-Duhem) 식이 기-액 상평형 자료의 열역학적 건전성(consistency)을 검증하는 데 사용된다.

이 식은 일정한 온도·압력에서 각 성분의 화학퍼텐셜(또는 활동도계수) 변화가 서로 독립적일 수 없다는 제약을 나타내며, 실측 VLE 데이터가 이 관계식을 만족하는지 확인함으로써 데이터의 신뢰성을 판단한다.

클라우지우스-클레이페이론식은 순물질의 증기압-온도 관계, 맥스웰 관계식은 열역학적 상태함수 사이의 편미분 관계, 헤스의 법칙은 반응열의 가산성을 다루는 것으로 상평형 자료 검증과는 직접 관련이 없다.

오토 사이클의 효율은 압축비 r_V 와 비열비 k만으로 정해져 $\eta = 1-\left(\dfrac{1}{r_V}\right)^{k-1}$ 이다.

정적 가열량과 방열량이 각각 $C_V(T_3-T_2)$, $C_V(T_4-T_1)$ 이고, 두 단열 과정에 $TV^{k-1}=\text{const}$ 를 적용해 온도비를 압축비로 바꾸면 위 식이 정리되어 나온다.

• 지수가 k 이거나 (k−1)/k 인 식은 단열 과정의 압력·온도 관계 지수를 잘못 옮긴 것으로 효율식이 아니다.
• 팽창비 r_f 가 들어가 $\dfrac{r_f^{\,k-1}}{k(r_f-1)}$ 항이 곱해진 식은 정압 가열을 하는 디젤 사이클 효율의 형태를 흉내 낸 것으로, 정적 가열인 오토 사이클에는 이런 보정항이 붙지 않는다.

엔탈피는 상태함수라 용기가 밀폐(정적)여도 ΔH = nC_PΔT 로 계산하며, 답은 약 2216 cal 이다.

먼저 헬륨의 몰수를 구한다.
$n=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{1\times 100}{0.082\times 273.15}\approx 4.46\ \mathrm{mol}$

단원자 이상기체이므로 $C_V=\dfrac{3}{2}R$ 에서 $C_P=C_V+R=\dfrac{5}{2}R=2.5\times 1.987\approx 4.97\ \mathrm{cal/mol\cdot K}$ 이다.

온도 변화가 0℃ → 100℃ 로 ΔT = 100 K 이므로
$\Delta H=4.46\times 4.97\times 100\approx 2216\ \mathrm{cal}$
정적 과정이라 $\Delta U=nC_V\Delta T\approx 1330\ \mathrm{cal}$ 이지만, 묻는 것은 엔탈피 변화이므로 C_V가 아닌 C_P를 써야 한다.

혼합가스의 평균분자량은 각 성분의 몰분율과 분자량을 곱한 값의 합으로 구한다.

$M = 0.75 \times 32 + 0.25 \times 16 = 24 + 4 = 28$

따라서 이 혼합가스의 평균분자량은 28이다.

정압 반응열과 정용 반응열의 차이는 기체 몰수 변화 Δn에서만 생기며, 크기는 약 296 cal 이다.

두 반응열의 관계는 $\Delta H=\Delta U+\Delta nRT$, 즉 $Q_P-Q_V=\Delta n RT$ 이다.

반응 $\mathrm{C(s)}+\dfrac{1}{2}\mathrm{O_2(g)}\rightarrow\mathrm{CO(g)}$ 에서 고체인 탄소는 세지 않으므로 기체 몰수 변화는 Δn = 1 − 0.5 = 0.5 이다.

$\Delta nRT = 0.5\times 1.987\times 298.15 \approx 296\ \mathrm{cal}$
25℃를 절대온도 298 K로 바꾸는 것과 고체·액체는 Δn에서 제외하는 것이 핵심이다.

N₂O₄ → 2NO₂ 해리 반응에서 평형 몰수는 이상기체 상태방정식으로 구할 수 있다.

초기 몰수 $n_0 = \dfrac{4\,\mathrm{g}}{92\,\mathrm{g/mol}} = 0.0435\,\mathrm{mol}$, 평형 총 몰수는 $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{3.63 \times 0.5}{0.08206 \times 323.15} = 0.0685\,\mathrm{mol}$이다.

해리도 $\alpha$는 $n_0(1+\alpha) = n$의 관계에서 $\alpha \approx 0.575$, 즉 약 57.5%로 계산된다.

임계온도 이하이면서 압력이 임계압력 이상인 조건에서는 기체가 오히려 응축(액화)되므로, 그 조건에서 응축하지 않는다는 서술이 옳지 않다.

압력을 아무리 높여도 액화되지 않는 것은 임계온도를 넘는 온도에서의 이야기이며, 임계온도 아래에서는 압력을 충분히 올리면 액화가 일어난다.

임계점에서의 온도·압력을 각각 임계온도·임계압력이라 정의하고, 임계상태가 기상과 액상의 거동이 구분되지 않는 상태라는 나머지 설명들은 옳다.

ppm은 100만분율이므로 wt%로 환산하려면 10⁴으로 나눈다.

$100\,\mathrm{ppm} = \dfrac{100}{10^4}\,\% = 0.01\%$

따라서 칼슘 함량은 0.01wt%이다.

보일러 공급수 200톤 중 산소 2ppm에 해당하는 산소 질량을 구한 뒤, 2Na₂SO₃ + O₂ → 2Na₂SO₄ 반응의 양론비로 필요한 아황산나트륨 양을 계산한다.

$m_{O_2} = 200{,}000\,\mathrm{kg} \times 2 \times 10^{-6} = 0.4\,\mathrm{kg}$, $n_{O_2} = \dfrac{0.4}{32} = 0.0125\,\mathrm{kmol}$

산소 1몰당 Na₂SO₃ 2몰이 필요하므로 $n_{Na_2SO_3} = 0.025\,\mathrm{kmol}$, 분자량 126을 곱하면 $0.025 \times 126 = 3.15\,\mathrm{kg}$이다.

1 poise는 SI 단위로 $0.1\,\mathrm{kg/(m \cdot s)}$에 해당한다.

$0.05\,\mathrm{poise} \times 0.1 = 0.005\,\mathrm{kg/(m \cdot s)}$

따라서 0.005kg/m·s로 환산된다.

수증기로 포화된 H₂ 가스의 전압(742mmHg)에서 포화수증기압(32mmHg)을 뺀 값이 순수 H₂의 분압이다.

같은 온도에서 H₂의 몰수는 변하지 않으므로, 전압 742mmHg 조건에서 순 H₂가 차지할 부피는 분압 비율로 환산한다.

$V_{H_2} = 2300\,\mathrm{cm^3} \times \dfrac{742-32}{742} \approx 2200\,\mathrm{cm^3}$

베르누이식은 비점성·비압축성 유체의 정상상태 흐름에서 유선을 따라 성립하는 식으로, 마찰(점성) 손실이 없는 이상유체를 전제로 유도된다.

따라서 마찰손실이 압력손실이나 속도수두 손실로 나타나는 실제 점성 흐름을 해석한다는 설명은 틀린 설명이다.

수평흐름에서 압력손실이 속도수두 증가로 나타나거나, 압력수두·속도수두·위치수두의 상호관계를 예측할 수 있다는 설명, 비점성·비압축성·정상상태·유선 조건에서 적용된다는 설명은 모두 옳다.

연소하기 전 반응기 내에 있는 산소량은 공기 중 산소의 질량 조성으로부터 구한다.

공기는 질량 기준으로 약 23.3%가 산소이므로, $m_{O_2} = 300\,\mathrm{kg} \times 0.233 \approx 69.9\,\mathrm{kg}$이다.

몰수로 환산하면 $n_{O_2} = \dfrac{69.9}{32} \approx 2.18\,\mathrm{kmol}$이다.

주어진 선형 속도분포에서 평균속도는 최대속도의 1/3 이다.

평균속도는 단면 전체 유량을 단면적으로 나눈 값이므로, 반경 r에서 두께 dr인 고리의 넓이 2πr dr로 가중해 적분한다.
$\overline{v}=\dfrac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} V_{max}\left(1-\dfrac{r}{R}\right)2\pi r\,dr$

$=\dfrac{2V_{max}}{R^{2}}\left[\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{r^{3}}{3R}\right]_{0}^{R}=\dfrac{2V_{max}}{R^{2}}\cdot\dfrac{R^{2}}{6}=\dfrac{V_{max}}{3}$

중심 속도와 벽면 0을 단순 산술평균해 1/2로 답하기 쉬운데, 바깥쪽 고리일수록 면적이 커서 가중치가 크므로 실제 평균은 그보다 작은 1/3이 된다.

라울의 법칙을 이용해 액상 조성을 먼저 구한 뒤, 이를 이용해 기상 평형 조성을 계산한다.

전압 $P = x_1 P_1^{sat} + (1-x_1) P_2^{sat}$에서 $760 = x_1(1025) + (1-x_1)(173)$이므로 $x_1 \approx 0.689$이다.

기상 조성은 $y_1 = \dfrac{x_1 P_1^{sat}}{P} = \dfrac{0.689 \times 1025}{760} \approx 0.93$으로, n-헥산의 기상 평형 조성은 약 0.93이다.

상계점(plait point)은 추출상과 추잔상의 조성이 같아져 대응선(tie-line)의 길이가 0이 되는 점으로, 삼각선도의 용해도곡선(binodal curve) 위에 놓이며 임계점이라고도 불린다.

한편 분배곡선은 두 상의 용질 조성을 직각좌표에 나타낸 별개의 선도이고, 그 위에서 상계점은 대각선(y=x)과 만나는 점으로 나타난다.

즉 분배곡선과 용해도곡선은 서로 다른 선도에 그려지는 곡선이므로, 두 곡선의 교점으로 상계점을 정의한다는 설명이 옳지 않다.

레이놀즈수는 무차원수이므로 어떤 단위계를 사용해 계산하더라도 그 값은 동일해야 한다.

FPS 단위계로 계산해 얻은 값이 1000이었다면, MKS 단위계로 환산해 다시 계산해도 물리량 자체는 변하지 않으므로 결과는 그대로 1000이다.

임계함수율은 건조 과정에서 항률건조기간이 끝나고 감률건조기간으로 넘어가는 시점의 함수율을 말한다.

이 시점 이전(항률기간)에는 건조속도가 일정하게 유지되지만, 이 시점 이후(감률기간)부터는 재료 표면의 자유수분이 부족해지면서 건조속도가 점차 감소한다.

Fourier의 열전도 법칙은 Fick의 확산법칙과 마찬가지로 '전달속도 = 구동력/저항'의 형태로 일반화되는 유사한 구조를 갖는다.

Fick의 법칙이 농도구배를 구동력으로 물질전달속도를 나타내듯, Fourier의 법칙은 온도구배를 구동력으로 열전달속도를 나타낸다.

Stefan-Boltzman 법칙은 복사열전달, Henry 법칙과 Raoult 법칙은 상평형 관계식으로 이러한 속도-구동력-저항 구조와는 성격이 다르다.

유효속도(superficial velocity)는 충전물이 없는 빈 탑의 전체 단면적을 기준으로 계산한 겉보기 속도이고, 실제 유체는 충전물 사이의 공극만 통과한다.

공극률이 0.3이면 실제 유동 단면적은 전체의 30%뿐이므로, 공극 내 평균 속도는 유효속도를 공극률로 나누어 구한다.

$v = \dfrac{0.9\,\mathrm{m/s}}{0.3} = 3.0\,\mathrm{m/s}$

Nusselt수는 대류열전달과 전도열전달의 비를 나타내는 무차원수로, 경막열전달계수 h, 관의 직경 D, 열전도도 k를 이용해 정의된다.

$N_{Nu} = \dfrac{h D}{k}$

혼합에 영향을 주는 물리적 조건 중 액체와 고체를 혼합·반죽할 때는 습윤성이 큰 재료일수록 혼합이 잘 된다는 것이 옳은 설명이며, 습윤성이 적은 것이 혼합하기 쉽다는 설명은 사실과 반대이다.

• 섬유상 형상의 재료는 서로 얽혀 혼합이 어렵다는 설명은 옳다.
• 건조분말과 습한 재료를 혼합할 때 한쪽을 분할하여 넣는 방법이 유리하다는 설명은 옳다.
• 밀도차가 큰 경우 무거운 것이 가라앉으므로 상하 교환이 일어나도록 회전방식을 택한다는 설명도 옳다.

원심펌프는 초기 작동 시 자체적으로 기동하지 못해 프라이밍(priming) 조작이 필요하다는 점이 오히려 단점으로 꼽히며, 이를 장점처럼 서술한 설명이 옳지 않다.

프라이밍은 펌프 케이싱과 흡입관에 미리 액체를 채워 공기를 제거하는 조작으로, 이것이 더 좋은 양정을 만들어주는 것이 아니라 펌프가 정상적으로 작동하기 위한 필수 선행 조건일 뿐이다.

대량 유체 수송이 가능하고 구조가 간단하며 용량 대비 가격이 저렴하다는 나머지 설명들은 원심펌프의 실제 장점에 해당한다.

PI 제어기의 주파수응답에서 위상각은 $\phi = -\arctan\left(\dfrac{1}{\omega \tau_I}\right)$로 주어진다.

$\omega \tau_I = 1$일 때 $\phi = -\arctan(1) = -45^\circ$가 되므로, 이 조건에서 위상각이 -45도가 된다는 설명이 옳다.

또한 위상각은 항상 음수(위상 지연)이고 주파수에 따라 변하므로, 위상 앞섬이 나타난다거나 위상각이 언제나 0이라는 설명은 성립하지 않는다.

진동(부족감쇠) 응답은 특성방정식의 근이 복소수일 때 나타나며, 여기서는 K_c = 0.25 가 그 조건을 만족한다.

분모를 없애 이차식으로 정리한다.
$(s+1)(2s+1)+K_c=0\;\Rightarrow\;2s^{2}+3s+(1+K_c)=0$

근이 복소수가 되려면 판별식이 음수여야 한다.
$D=3^{2}-4\cdot 2\cdot(1+K_c)=1-8K_c<0\;\Rightarrow\;K_c>0.125$

• K_c = 0 이면 D = 1 > 0 으로 서로 다른 실근이라 과감쇠가 되어 진동하지 않는다.
• K_c = −1.25 이면 D = 11 > 0 으로 역시 실근이고, 상수항 1+K_c 가 음수라 불안정해지지만 진동 형태는 아니다.

적분동작이 없는 P형과 PD형 제어기는 정상상태에서 0이 아닌 잔류편차(offset)를 남긴다.

이 중 PD형은 미분동작이 오차 변화에 미리 반응해 응답 속도를 높이고 최종값에 더 빨리 도달하게 하므로, 잔류편차를 발생시키면서 최종값 도달시간을 가장 단축시키는 제어방식에 해당한다.

이 계의 시정수는 2다.

주어진 식 $6\dfrac{dY}{dt}=2X-3Y$ 를 Laplace 변환하면 $6sY(s)=2X(s)-3Y(s)$ 이고, Y 로 정리하면 $(6s+3)Y(s)=2X(s)$ 가 된다.

따라서 전달함수는 $G(s)=\dfrac{2}{6s+3}$ 이고, 분모의 상수항을 1 로 맞춰 표준형 $\dfrac{K}{\tau s+1}$ 로 바꾸면 $G(s)=\dfrac{2/3}{2s+1}$ 이다.

즉 이득 K = 2/3, 시정수 τ = 2 다. 6s+3 의 6 을 그대로 시정수로 읽으면 틀리므로, 반드시 상수항을 1 로 만든 뒤 s 의 계수를 읽어야 한다.

앞먹임 제어(feedforward control)는 외란(외부교란변수)이 공정에 영향을 미치기 전에 이를 사전에 측정하여 그에 따라 조작변수를 미리 조절하는 제어방식이다.

공정출력이 실제로 변하기를 기다렸다가 대응하는 되먹임 제어와 달리, 외란이 발생하는 즉시 예측적으로 대응함으로써 외란의 영향이 나타나기 전에 보정할 수 있다.

제어밸브를 quick opening이나 equal percentage 같은 비선형 특성으로 설계하는 이유는, 이를 실제 공정의 비선형적 유량-압력 특성과 결합시켰을 때 제어루프 전체의 선형성이 개선되기 때문이다.

공정 자체가 비선형이므로, 밸브 고유 특성을 의도적으로 그와 반대 경향의 비선형으로 설계하면 밸브 개도와 실제 공정흐름 사이의 종합적인 관계가 선형에 가까워져 제어 성능이 안정된다.

역변환 결과는 y(t) = 1 − e^−t − te^−t 다.

$Y(s)=\dfrac{1}{s(s+1)^2}$ 를 $\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+1}+\dfrac{C}{(s+1)^2}$ 로 놓으면 $1=A(s+1)^2+Bs(s+1)+Cs$ 다.

s = 0 을 넣어 A = 1, s = −1 을 넣어 C = −1 을 얻고, s² 계수 비교(A + B = 0)에서 B = −1 이다.

따라서 $Y(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{(s+1)^2}$ 이고 각 항의 역변환 $1,\; e^{-t},\; te^{-t}$ 를 적용하면 1 − e^−t − te^−t 다. 분모의 중근 (s+1)² 때문에 te^−t 항이 반드시 나타난다는 점이 핵심이며, 극점이 s = 0 과 s = −1(중근)뿐이라 e^+t 처럼 발산하는 항은 나올 수 없다.

영점(zero)은 측정범위의 하한값, 변화폭(span)은 측정범위의 폭(상한-하한)을 의미한다.

측정 범위가 50℃~150℃이므로 영점은 $50^\circ\mathrm{C}$이고, 변화폭은 $150-50=100^\circ\mathrm{C}$이다.

맨 위 단(탑정)은 응축기와 환류의 영향을 크게 받아, 제품 조성이 변하더라도 온도 변화가 다른 단에 비해 매우 작아 민감도가 낮다.

따라서 조성 변화를 온도로 추론(inferential) 제어할 때는 온도 변화에 더 민감하게 반응하는 맨 위 단보다 몇 단 아래의 온도를 측정하는 것이 유리하다.

특성방정식이 (s − 2)² = 0 이므로 근은 +2 (중근) 이다.

단위 부귀환계의 특성방정식은 1 + G(s) = 0 이다. $G(s)=\dfrac{-(s-1)}{s^2-3s+3}$ 를 대입해 분모를 곱하면 $s^2-3s+3-(s-1)=0$ 이 된다.

정리하면 $s^2-4s+4=(s-2)^2=0$ 이므로 s = 2 가 중근이다.

근의 실수부가 양(+2)이므로 이 폐회로는 불안정하다. 개루프 분자의 음부호를 빠뜨리면 s² − 2s + 2 = 0 이 되어 1 ± j 같은 복소근이 나오므로, 분자의 −(s−1) 을 부호 그대로 더해야 한다.

온도센서의 측정범위가 500℃에서 250℃로 절반으로 좁아지면, 같은 4~20mA 신호폭에 대응하는 온도 폭이 절반이 되어 센서의 이득(gain)이 2배로 커진다.

PID 제어기는 4~20mA 신호(전류) 자체를 피제어변수로 다루므로, 전체 루프 이득을 이전과 동일하게 유지하려면 센서 이득 증가분을 상쇄하도록 제어기의 비례이득값을 1/2로 줄여야 한다.

제한값 부근에서 반응기 온도를 운전해 반응속도를 높이거나, 평형반응에서 수율이 최대가 되도록 온도를 조절하거나, 안전을 위해 압력이 일정 수준을 넘지 않도록 조절하는 것은 모두 공정제어(운전 변수 조절)의 목적에 해당한다.

반면 외부 시장 환경을 고려해 이윤이 최대가 되도록 생산량을 조정하는 것은 생산계획·경영 차원의 의사결정으로, 공정 자체를 안전하고 안정적으로 운전하는 공정제어의 목적과는 거리가 멀다.

정답은 t = 2 까지 변화가 없다가 그 이후 1차계 곡선으로 올라가 최종값 4 에 수렴하는 응답이다.

전달함수 $G(s)=\dfrac{2}{5s+1}e^{-2s}$ 에 입력 $X(s)=\dfrac{2}{s}$ 를 곱하면 $Y(s)=\dfrac{4}{s(5s+1)}e^{-2s}$ 다.

역변환하면 t < 2 에서 y(t) = 0, t ≥ 2 에서 $y(t)=4\left(1-e^{-(t-2)/5}\right)$ 이다. 즉 지연시간(dead time) 2, 시정수 5, 최종값 4 인 1차 응답이다.

• 최종값은 공정이득 2 와 계단 크기 2 의 곱이므로 2 가 아니라 4 이다.
• 분모가 1 차식이라 극점이 실수 하나뿐이므로 감쇠 진동 형태가 될 수 없고, 적분기(1/s)가 없으므로 기울기가 일정한 램프 형태로 계속 올라가지도 않는다.

안정 조건은 K_c > 1 이다.

P 제어기(전달함수 K_c)와 공정 $G_P(s)=\dfrac{1}{2s-1}$ 로 이루어진 닫힌루프의 특성방정식은 $1+\dfrac{K_c}{2s-1}=0$ 이다.

분모를 곱해 정리하면 $2s-1+K_c=0$, 즉 $s=\dfrac{1-K_c}{2}$ 다.

안정하려면 근이 좌반평면에 있어야 하므로 $1-K_c \lt 0$, 곧 K_c > 1 이다. 공정 자체의 극점이 s = +1/2 로 원래 불안정한 공정이므로 이득을 어느 수준 이상 키워야만 안정해진다는 점이 이 문제의 핵심이다.

전달함수는 Y/X = (G_aG_b − 1)G_c ÷ (1 − G_bG_c) 다.

앞쪽 합산점은 G_a 출력과 출력 Y 를 모두 + 로 받으므로 그 출력은 G_aX + Y 이고, 뒤쪽 합산점은 G_b 출력을 +, 입력 X 를 −로 받으므로 그 출력은 G_b(G_aX + Y) − X 다.

여기에 G_c 를 곱한 것이 Y 이므로 $Y=G_c\left[G_b(G_aX+Y)-X\right]$ 이고, Y 항을 좌변으로 모으면 $(1-G_bG_c)Y=(G_aG_b-1)G_cX$ 다.

따라서 $\dfrac{Y}{X}=\dfrac{(G_aG_b-1)G_c}{1-G_bG_c}$ 다. 출력 Y 가 앞쪽 합산점으로 + 로 되돌아오는 정귀환이라 분모가 1 + 가 아니라 1 − G_bG_c 이고, 입력 X 가 뒤쪽 합산점에 −로 들어가므로 분자에 −1 이 붙는다.

그래프는 t = 0 에서 값이 1 이고 지수적으로 0 에 수렴하는 곡선이므로, 함수는 e^−atU(t) 이고 그 Laplace 변환은 1/(s + a) 다.

t < 0 구간이 0 이고 t = 0 에서 1 부터 시작해 단조 감소하는 형태이므로, 단위계단함수 U(t) 를 곱한 감쇠지수함수가 맞다.

정의대로 적분하면 $\mathcal{L}\left[e^{-at}U(t)\right]=\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s+a}$ 다.

• 변환이 a/s 인 것은 크기 a 인 계단함수의 변환이라, 값이 줄어드는 이 곡선과 맞지 않는다.
• U(t + a) 를 쓰면 t = −a 부터 값이 생기는 함수가 되어, t = 0 에서 시작하는 그래프와 어긋난다.

전달함수는 C/R = 1 + G₂ + G₁G₂ 다.

위쪽 선은 출력 C 가 아니라 입력 R 에서 분기해 두 합산점에 각각 + 로 더해지는 전향(feedforward) 경로다. 되먹임이 없으므로 전달함수에 분모가 생기지 않는다.

첫 합산점 출력은 G₁R + R 이고 여기에 G₂ 를 곱하면 G₁G₂R + G₂R 이며, 둘째 합산점에서 다시 R 을 더하면 $C=G_1G_2R+G_2R+R$ 다.

양변을 R 로 나누면 $\dfrac{C}{R}=1+G_2+G_1G_2$ 다. 위쪽 경로를 되먹임으로 오해해 1 ± G₁G₂ 를 분모에 두는 형태는 이 선도에 맞지 않는다.

복사열전달식 $q = kcAT^4$을 $T=T_s$ 부근에서 테일러급수로 1차 선형화한다.

$q \approx kcAT_s^4 + 4kcAT_s^3(T-T_s) = 4kcAT_s^3 T - 3kcAT_s^4$

이를 정리하면 $q \approx 4kcAT_s^3(T - 0.75T_s)$의 형태가 된다.

임펄스 응답은 y(t) = (K_p/τ)·e^−t/τ 다.

단위충격입력의 Laplace 변환은 X(s) = 1 이므로 출력은 $Y(s)=G(s)\cdot 1=\dfrac{K_p}{\tau s+1}$ 다.

역변환하려면 분모에서 s 의 계수를 1 로 만들어야 하므로 $Y(s)=\dfrac{K_p/\tau}{s+1/\tau}$ 이고, $\dfrac{1}{s+a}\to e^{-at}$ 를 적용하면 $y(t)=\dfrac{K_p}{\tau}e^{-t/\tau}$ 다.

t = 0 에서 K_p/τ 로 시작해 시정수 τ 로 감쇠하며 최종값은 0 이다(최종값이 K_p 로 남는 계단응답과 구분해야 한다). 계수가 1/K_p 나 τ/K_p 인 형태, 지수의 어깨에 K_p 가 들어간 형태는 위 변환식과 맞지 않는다.

안정한 2차계(선형계)에 사인파를 입력하면, 초기 과도상태가 지나 충분한 시간이 지난 후에는 입력과 같은 주기(주파수)의 사인파가 출력으로 나타난다.

이때 진폭과 위상은 입력 주파수와 계의 특성에 따라 달라지지만, 정상상태에서의 주기 자체는 입력과 동일하게 유지된다는 것이 안정한 선형계의 주파수응답 특성이다.

폴리우레탄(polyurethane)은 알코올기(-OH)를 가진 폴리올과 이소시안산기(-NCO)를 가진 디이소시아네이트가 반응하여 우레탄 결합을 형성하며 만들어지는 고분자이다.

폴리에틸렌은 에틸렌의 부가중합, 폴리메틸메타크릴레이트와 폴리아세트산비닐은 각각 해당 단량체의 부가중합으로 얻어지는 고분자로, 알코올기와 이소시안산기의 결합과는 관련이 없다.

표준환원전위가 더 낮은(더 음인) 금속이 먼저 산화되므로, 철과 아연이 접촉하면 아연이 우선적으로 부식된다.

제시된 값은 Fe²⁺/Fe = −0.447V, Sn²⁺/Sn = −0.138V, Zn²⁺/Zn = −0.667V 다. 환원전위가 낮을수록 환원되기 어렵고 반대로 산화(부식)되기 쉽다.

세 금속 중 아연이 −0.667V 로 가장 낮으므로 철과 접촉하면 아연이 희생양극(anode)이 되어 먼저 녹고 철은 보호된다. 아연도금(갈바나이징)으로 철을 보호하는 원리가 바로 이것이다.

• 주석(−0.138V)은 아연(−0.667V)보다 환원전위가 높으므로, 둘이 접촉하면 주석이 아니라 아연이 부식된다.
• 공기 중 산소의 환원반응 O₂ + 2H₂O + 4e → 4OH⁻ 는 +0.401V 로 세 금속보다 모두 높아, 아연과 주석도 공기 중에서 산화될 수 있다.

나프탈렌을 V₂O₅ 촉매 하에 공기 중 약 400℃에서 산화시키면 벤젠고리 하나가 산화 분해되면서 무수프탈산(프탈산 무수물, phthalic anhydride)이 생성된다.

이는 무수프탈산을 공업적으로 제조하는 대표적인 촉매 산화 공정이다.

접촉식 황산제조 공정의 SO₃ 흡수탑에서는 농도 98.3%의 황산을 사용한다.

이 농도에서 황산 위의 수증기 분압이 가장 낮아 SO₃가 안개(미스트)를 형성하지 않고 효율적으로 흡수되기 때문이다.

폴리실록산(polysiloxane)은 실리콘 계열의 절연성 고분자로, 전기가 통하지 않는 대표적인 비전도성 고분자이다.

반면 폴리아닐린, 폴리피롤, 폴리티오펜은 공액구조를 가져 전기전도성을 나타내는 대표적인 전도성 고분자들이다.

수성가스(water gas)는 코크스(탄소)에 고온의 수증기를 반응시켜 얻는 가스로, 일산화탄소(CO)와 수소(H₂)를 주성분으로 한다.

이 CO와 H₂ 혼합가스는 이후 전화(shift) 반응 등을 거쳐 암모니아 합성에 필요한 수소를 얻는 원료로 활용된다.

아말감 중 Na 함유량이 높아지면 아말감이 불안정해져 물(전해질)과 반응하여 분해되고, 그 결과 전해질 내에서 수소가스가 발생한다.

• Na 함유량이 늘면 아말감의 점성이 커져 유동성은 오히려 나빠진다.
• 분해는 촉진되므로 분해속도가 느려진다는 설명도 맞지 않다.
• 불순물 혼입이 많아지는 것은 이 현상의 직접적 결과가 아니다.

2-메틸헵테인은 곁가지가 하나뿐인 사슬형 파라핀계로, 네 물질 중 옥탄가가 가장 낮다.

같은 탄소수라도 가지가 많은 파라핀·방향족·나프텐계일수록 옥탄가가 높아지는데, 톨루엔(방향족)과 사이클로헥세인(나프텐계)은 옥탄가가 매우 높고 1-펜텐(올레핀계)도 이중결합으로 옥탄가가 높은 편이다.

CFC 명명법에서 세 자리 번호의 각 자리는 순서대로 탄소수-1, 수소수+1, 불소수를 나타내며, CFC-113은 탄소 2개·불소 3개·수소 0개인 C₂Cl₃F₃ 구조에 해당한다.

이 조성을 만족하는 것은 CFCl₂CF₂Cl(1,1,2-트라이클로로-1,2,2-트라이플루오로에테인)이며, 나머지는 각각 CFC-11(CFCl₃), HCFC-123(CF₃CHCl₂), HCFC-22(CHClF₂)이다.

Cr강·Cr-Ni강은 뜨임취성(temper brittleness)이 나타나기 쉬운데, 여기에 몰리브덴(Mo)을 넣으면 뜨임취성이 크게 억제된다.

그래서 고온·고압 수소 분위기에서 견뎌야 하는 암모니아 합성장치의 고온전환로 재료로는 Cr-Mo강이 쓰인다. 탄소강은 같은 환경에서 수소침식(탈탄)에 견디지 못해 부적합하다.

아세틸렌에 염화수소(HCl)를 촉매 존재하에 부가시키면 염화비닐(CH₂=CHCl)이 생성된다.

이는 염화비닐 단량체를 얻는 대표적 공업적 합성 경로 중 하나로, 염소(Cl₂)나 차아염소산(HOCl)을 작용시키는 반응과는 생성물 경로가 다르다.

용액중합은 용매에 단량체를 녹여 반응시키므로 점도가 낮게 유지되고 반응열이 용매로 잘 분산되어 온도조절이 용이하다.

• 계면활성제(유화제)를 사용하는 것은 유화중합의 특징이다.
• 용매로의 연쇄이동과 용매 잔류 때문에 순도가 높은 고분자를 얻기는 오히려 어렵다.
• 물을 매질로 쓰는 것은 현탁중합·유화중합 쪽 특징이다.

수평균분자량은 전체 질량을 전체 몰수로 나눈 값이다.

몰수는 $n_1=\dfrac{100}{1.0\times10^4}=0.01,\ n_2=\dfrac{50}{2.5\times10^4}=0.002,\ n_3=\dfrac{50}{1.0\times10^5}=0.0005$이며 합은 $\Sigma n_i=0.0125$, 전체 질량은 200g이다.

$\bar{M_n}=\dfrac{200}{0.0125}=16000$으로, 수평균분자량은 16000이다.

옳은 것은 경도와 스케일 생성, 경도 저감법, COD 의 정의 세 가지다.

물의 경도는 Ca²⁺·Mg²⁺ 농도를 나타내며 높으면 배관과 보일러 벽에 탄산염 스케일이 석출된다. 이 경도는 석회소다법(Ca(OH)₂·Na₂CO₃ 첨가로 침전 제거)이나 이온교환법으로 낮출 수 있다.

COD 는 화학적 산소요구량(Chemical Oxygen Demand)으로, 산화제로 유기물을 산화시킬 때 소비되는 산소량을 산소 질량으로 환산한 값이다.

반면 수온이 올라가면 기체 용해도가 떨어져 용존산소(DO)는 감소한다. 따라서 '물의 온도가 증가하면 용존산소가 증가한다'는 설명이 포함된 조합은 모두 답이 될 수 없다.

접촉분해는 열분해보다 오히려 방향족 탄화수소 생성이 많은 것이 특징이므로, 방향족이 적다는 설명이 옳지 않다.

촉매 작용으로 이성질화·수소이동 반응이 촉진되어 가지달린 파라핀과 방향족이 늘고, 코크스·타르 석출과 다이올레핀 생성은 줄어드는 것이 접촉분해의 일반적 특징이다.

물질수지로 증발된 수분량을 구한다.

초기 HNO₃량은 $1000\times0.20=200\ \mathrm{kg}$으로 농축 후에도 일정하며, 55% 용액이 되려면 전체 질량은 $\dfrac{200}{0.55}=363.6\ \mathrm{kg}$이 되어야 한다.

증발된 수분은 $1000-363.6=636.4\ \mathrm{kg}$으로, 약 636kg이다.

칠레초석(NaNO₃)을 황산으로 분해하는 반응은 질산(HNO₃) 제조에 쓰이는 고전적 방법으로, 염산 생산과는 관계가 없다.

직접합성법(H₂+Cl₂), 식염의 황산분해법(만하임법), 부생염산 회수법은 모두 염산을 얻는 실제 공업적 경로이다.

흡착법은 무수 금속염에 염화수소를 흡착시킨 뒤 가열해 다시 방출시키는 방식으로 순수한 HCl 가스를 얻는 방법이다.

이때 흡착제로는 황산구리(CuSO₄)·황산납(PbSO₄)·인산철(Fe₃(PO₄)₂)이 쓰이며, 염화마그네슘(MgCl₂)은 흡착제로 이용되지 않는다.

Na₂CO₃·10H₂O 중 결정수의 질량비를 구하는 문제이다.

분자량은 Na₂CO₃=106, 10H₂O=10×18=180으로 전체 286이다.

$\dfrac{180}{286}\times100\approx63\%$로, 결정수는 약 63%를 차지한다.

벤젠설폰산(C₆H₅SO₃H)은 설폰산기(-SO₃H)를 가져 산성도가 매우 강한 편으로, 제시된 화합물 중 산성이 가장 강하다.

페놀(C₆H₅OH)은 약산이고, 벤조산·프로피온산 같은 카복실산은 페놀보다는 강하지만 설폰산보다는 훨씬 약한 산이다.

모든 반응에 고온 조건이 유리한 것은 아니다 — 발열 평형반응은 고온에서 오히려 전화율이 떨어지고, 급격한 온도 상승은 촉매 활성 저하나 부반응을 일으킬 수 있다.

반면 발열반응에서 관 직경이 클수록 방열이 어려워 관중심 온도가 상승하는 것이나, 전열조건이 전화율을 좌우한다는 것은 실제 반응장치에서 나타나는 옳은 설명이다.

필요한 D 는 약 19.7 mol 이다.

두 속도식을 나누면 D 농도가 소거되어 $\dfrac{dC_A}{dC_B}=\dfrac{C_AC_D}{7C_BC_D}=\dfrac{C_A}{7C_B}$ 이고, 적분하면 $\dfrac{C_A}{C_{A0}}=\left(\dfrac{C_B}{C_{B0}}\right)^{1/7}$ 가 된다.

초기값 C_A0 = 45, C_B0 = 5 와 목표 C_A = 100C_B 를 대입하면 $\dfrac{100C_B}{45}=\left(\dfrac{C_B}{5}\right)^{1/7}$ 이고, 양변을 7 제곱해 정리하면 $C_B^{\,6}=\dfrac{1}{5\times(100/45)^7}$ 에서 C_B ≒ 0.3 mol/L, 따라서 C_A ≒ 30 mol/L 다.

D 는 A·B 와 각각 1:1 로 반응하므로 소모량은 $(45-30)+(5-0.3)=19.7$, 즉 약 19.7 mol 이다. B 의 속도상수가 7 배라 불순물 B 가 A 보다 훨씬 빠르게 제거되면서 A/B 비가 9 에서 100 까지 올라간다.

S의 최대농도는 약 0.67mol/L이다.

혼합반응기에서 $C_S = r_S \tau = \dfrac{2C_A(2-C_A)}{1+2C_A+C_A^2} = \dfrac{2C_A(2-C_A)}{(1+C_A)^2}$로 나타낼 수 있다.

이 식을 $C_A$에 대해 미분해 극값을 구하면 $C_A=0.5\,\mathrm{mol/L}$일 때 $C_S$가 최대가 된다.

이때 $C_S = \dfrac{2\times0.5\times1.5}{(1.5)^2} = \dfrac{1.5}{2.25} \approx 0.67\,\mathrm{mol/L}$이다.

1/C_A를 t에 대해 플롯해 직선이 나오는 것은 2차반응의 적분속도식 특징이다.

2차반응은 $\dfrac{1}{C_A}-\dfrac{1}{C_{A0}}=kt$ 형태로 적분되며, 기울기가 k에 해당한다.

기울기가 1이므로 $k=1$이 되어, 속도식은 -r_A=C_A²이 된다.

직렬반응 A→R→S에서 1단계가 2차, 2단계가 1차이므로 A의 농도가 높을수록 차수가 높은 1단계가 상대적으로 더 촉진되어 R이 잘 만들어진다.

따라서 농도를 높게 유지하는 플러그흐름 반응기가 혼합흐름 반응기보다 R의 수율에 유리하고, A의 농도가 R의 수율과 무관하다는 설명도 틀리다. 온도는 두 단계의 활성화에너지 크기를 모르면 높을수록 좋다고 단정할 수 없다.

R을 많이 얻고 S를 적게 얻으려면 A의 농도는 높게, B의 농도는 낮게 유지해야 한다.

두 속도식의 비를 구하면 $\dfrac{r_R}{r_S} = \dfrac{k_1 C_A C_B^{0.5}}{k_2 C_A^{0.5} C_B} = \dfrac{k_1}{k_2}\sqrt{\dfrac{C_A}{C_B}}$가 된다.

이 비가 커질수록 R이 상대적으로 많이 생성되므로, $C_A$를 크게 하고 $C_B$를 작게 할수록 유리하다.

혼합흐름반응기(CSTR)의 정상상태 물질수지에서 나오는 1차 반응 성능식은 kτC_Af = C_A0 − C_Af 이다.

CSTR 물질수지는 $\tau=\dfrac{C_{A0}X_A}{-r_A}$ 이고, 완전혼합이므로 반응기 내부 농도가 곧 유출농도인 점을 이용해 $-r_A=kC_{Af}$ 를 대입하면 $\tau=\dfrac{C_{A0}X_A}{kC_{Af}}$ 가 된다.

여기에 $C_{Af}=C_{A0}(1-X_A)$, 즉 $C_{A0}X_A=C_{A0}-C_{Af}$ 를 넣어 정리하면 $k\tau C_{Af}=C_{A0}-C_{Af}$ 를 얻는다. 양변을 $C_{Af}$ 로 나누면 $k\tau=\dfrac{C_{A0}}{C_{Af}}-1=\dfrac{X_A}{1-X_A}$ 로도 쓸 수 있다.

• 유출농도 대신 초기농도를 곱한 $\tau kC_{A0}=C_{A0}-C_{Af}$ 는 $-r_A$ 를 $kC_{A0}$ 로 잘못 놓은 형태다.
• $kC_{A0}\tau=\dfrac{C_{A0}}{C_{Af}}-1$ 은 우변이 무차원인데 좌변에 농도가 남아 차원이 맞지 않는다.
• 로그항이 들어간 식은 회분식·플러그흐름 반응기의 적분형에서나 나오는 꼴로, 대수식으로 정리되는 혼합흐름반응기 성능식과는 형태 자체가 다르다.

CSTR 설계식으로 부피 증가에 따른 전화율을 구한다.

2차반응 CSTR의 공간시간은 $\tau\propto\dfrac{X}{(1-X)^2}$이며, X=0.5일 때 이 값은 $\dfrac{0.5}{0.5^2}=2$이다.

부피(τ)가 6배가 되면 $\dfrac{X}{(1-X)^2}=12$를 만족해야 하고, X=0.75일 때 $\dfrac{0.75}{0.25^2}=12$로 성립하므로 전화율은 0.75가 된다.

이 가역반응의 평형상수는 1.5이다.

평형에서는 정반응과 역반응의 속도가 같으므로 $k_2 C_{A,eq} = k_1 C_{P,eq}$가 성립하고, 평형상수는 $K=\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{C_{P,eq}}{C_{A,eq}}$로 정의된다.

평형 전화율이 60%이므로 $C_{P,eq}=0.6C_{A0}$, $C_{A,eq}=0.4C_{A0}$이고, 이를 대입하면 $K=\dfrac{0.6}{0.4}=1.5$가 된다.

n차(n>0) 반응에서 혼합흐름 반응기와 플러그흐름 반응기의 부피비 V_m/V_p는 전화율이 높아질수록 오히려 커진다 — 전화율이 높을수록 CSTR이 낮은 농도에서 운전하는 불리함이 더 두드러지기 때문이다.

V_m이 V_p보다 항상 크다는 것, 반응차수가 높을수록 V_m/V_p가 커진다는 것, 부피변화 분율이 클수록 V_m/V_p가 커진다는 것은 모두 옳은 설명이다.

반응속도는 단위 반응부피·단위시간당 몰수 변화로 정의하며, 생성되는 물질을 기준으로 잡으면 음의 부호를 붙이지 않는다. 따라서 $r_B=\dfrac{1}{V_R}\dfrac{dn_B}{dt}$ 가 옳다.

A → B 에서 B의 몰수는 시간이 지날수록 늘어나 미분값 자체가 양수이므로, 그대로 두어야 반응속도가 양수가 된다. 반대로 소모되는 A를 기준으로 할 때만 $-r_A=-\dfrac{1}{V_R}\dfrac{dn_A}{dt}$ 처럼 음의 부호를 붙여 양수로 만든다.

• B 기준 식 앞에 음의 부호를 붙인 형태는 생성물의 반응속도를 음수로 만들어 정의에 어긋난다.
• A 기준으로 쓴 식들은 문제가 요구한 '생성되는 물질 기준'이라는 조건에 맞지 않는다.
• A → B 는 양론계수가 모두 1이므로 몰수 변화에 2를 곱할 근거가 없다.

0.5차 반응의 적분식으로 15분 후 전화율을 구한다.

0.5차반응은 $2(\sqrt{C_{A0}}-\sqrt{C_A})=kt$로 적분되며, C_A0=1로 놓으면 10분·전화율 0.75(C_A=0.25)에서 $2(1-0.5)=10k\Rightarrow k=0.1$이다.

15분 후에는 $2(1-\sqrt{C_A})=0.1\times15=1.5$에서 $C_A=0.0625$가 되어, 전화율은 약 0.94이다.

몰수가 변하는 기체반응이므로 평균체류시간은 반응기 부피를 출구 부피유량으로 나눈 값이다.

A→2P 반응이므로 팽창인자는 $\varepsilon_A=1$이고, 출구 부피유량은 $v=v_0(1+\varepsilon_A X_A)=1\times(1+0.6)=1.6\ \mathrm{L/s}$이다.

혼합흐름 반응기는 내부 전체가 출구 조성과 같으므로 $\bar{t}=\dfrac{V}{v}=\dfrac{3.2}{1.6}=2$초로, 평균체류시간은 2초가 된다.

회분식 1차 반응에서 전화율은 시간의 지수함수로 증가하므로, 전화율이 반응시간에 정비례한다는 설명만 1차 반응과 관계가 없다.

속도식 $-r_A=kC_A$ 를 적분하면 $-\ln\dfrac{C_A}{C_{A0}}=kt$ 이고, 이를 전화율로 바꾸면 $X_A=1-e^{-kt}$ 이다. 초기에는 가파르게 오르다가 1에 점근하는 곡선이므로 직선(정비례)이 될 수 없다.

나머지는 모두 1차 반응이 갖는 성질이다.

• 반응속도가 A의 농도에 정비례한다 — 1차 속도식의 정의 그대로다.
• $-\ln\dfrac{C_A}{C_{A0}}$ 를 반응시간에 대해 그리면 기울기가 k인 직선이 된다 — 위 적분형에서 바로 나온다.
• 속도상수의 차원은 $k=\dfrac{-r_A}{C_A}$ 에서 (mol/L·s)÷(mol/L) = 1/s, 즉 시간의 역수다.

초기농도가 서로 다른 2차 반응에서는 ln[(C_B·C_A0)/(C_B0·C_A)] 를 t 에 대해 도시해 원점을 지나는 직선을 얻고, 그 기울기에서 k 를 구한다.

−dC_A/dt = kC_AC_B 이고 반응량이 같아 C_A0−C_A = C_B0−C_B 이므로, 부분분수로 적분하면
ln (C_B·C_A0)/(C_B0·C_A) = (C_B0−C_A0)·k·t

t = 0 에서 C_A=C_A0, C_B=C_B0 이라 좌변이 0 이므로 이 직선은 반드시 원점을 지나고 기울기가 (C_B0−C_A0)k 다. 따라서 k = 기울기 ÷ (C_B0−C_A0) 로 얻는다.

• ln(C_B/C_A) 는 t=0 에서 ln(C_B0/C_A0) ≠ 0 이므로 원점을 지나지 않는다.
• ln[(1−X_A)/(1−X_B)] 는 위 적분식의 부호만 뒤집은 값이어서 이것 역시 원점을 지나는 직선이 된다. 따로 절편을 갖는다는 설명은 맞지 않는다.
• 기울기에 (C_A0−C_B0)² 이 들어간 형태는 적분 결과와 맞지 않는다.

참고로 C_A0 = C_B0 이면 이 적분식 자체를 쓸 수 없으므로, 그때는 1/C_A 를 t 에 대해 도시한 직선을 쓴다.

화학반응공학에서 말하는 단일상 이상반응기는 회분식·플러그흐름·혼합흐름(CSTR) 세 가지로 정의된다.

유동층 반응기는 기체-고체 두 상이 함께 존재하고 유체역학적 거동이 복잡해 이 세 이상반응기 모형에 해당하지 않는다.

혼합흐름 반응기의 부피는 공간시간과 부피유량의 곱으로 구한다.

$\tau=4\ \mathrm{h}=240\ \mathrm{min}$이므로 $V=240\times3=720\ \mathrm{L}$로, 반응기 부피는 720L이다.