카르노 사이클은 단열압축 → 등온팽창 → 단열팽창 → 등온압축의 네 과정이 순서대로 반복되는 가역 사이클이다.

고온에서 등온팽창하며 열을 흡수하고, 이어서 단열팽창으로 온도를 낮춘 뒤, 저온에서 등온압축으로 열을 방출하고, 마지막으로 단열압축으로 다시 고온 상태로 되돌아온다.

사이클은 순환 과정이므로 어느 지점에서 시작해도 이 네 과정의 순서만 유지되면 동일한 카르노 사이클이 된다.

이 형태의 평형상수 식은 평형혼합물이 이상기체와 같은 거동을 할 때 성립한다.

기상 평형상수의 일반형은 $K=\prod_i\left(\dfrac{\hat{f}_i}{f_i^{\circ}}\right)^{\nu_i}$ 이고, 기상 성분의 퓨개시티 $\hat{f}_i=y_i\hat{\phi}_i P$ 를 대입하면 $K=P^{\nu}\prod_i (y_i\hat{\phi}_i)^{\nu_i}$ 가 된다.

여기서 혼합물이 이상기체로 거동하면 퓨개시티 계수가 모두 1이 되어 φ 항이 사라지고, 문제에 제시된 $K=P^{\nu}\prod_i (y_i)^{\nu_i}$ 만 남는다.

• 이상용액 거동은 퓨개시티 계수를 순수성분 값 φ_i로 만들 뿐 1로 만들지 못해 φ 항이 그대로 남는다.
• 몰수 변화가 없으면 ν=0이 되어 P^ν 항만 사라질 뿐, 조성 항의 φ는 여전히 남는다.
• 반응열이 온도에 무관하게 일정한지는 평형상수의 온도 의존성(반트호프 식)에 관한 조건이라 압력·조성 표현식과 무관하다.

계에 출입한 열은 상태량이 아니라 경로함수(path function)이며, 같은 초기·최종 상태라도 어떤 경로를 거쳤는지에 따라 값이 달라진다. 일(work)도 마찬가지다.

반면 내부에너지, 위치에너지, 엔트로피는 계의 상태만으로 값이 결정되는 상태함수(state function)이다.

가역단열 과정은 열 출입이 없고 가역적이므로 엔트로피 변화가 0인 등엔트로피(isentropic) 과정이다.

• 줄·톰슨 팽창은 엔탈피가 일정한 비가역 과정으로 엔트로피가 증가한다.
• 가역등온 과정은 열 출입이 있어 엔트로피가 변한다.
• 가역등압 과정도 열 출입을 동반하므로 엔트로피가 변한다.

오토(Otto) 사이클은 가솔린 자동차 엔진의 기본 사이클로, 흡입행정이 거의 대기압(정압)에서 이루어지고 이후 단열압축, 전기 점화에 의한 연소, 단열팽창의 과정을 거친다.

디젤 사이클은 압축착화 방식이고, 카르노·랭킨 사이클은 실린더 내연기관이 아닌 이상적 열기관·증기동력 사이클이므로 해당하지 않는다.

이상용액에서는 성분 간 상호작용이 순수성분과 동일하다고 가정하므로 활동도 계수 $\gamma = 1$이다.

$\gamma>1$은 양의 편차(라울 법칙보다 증기압이 높음), $\gamma<1$은 음의 편차를 나타내는 비이상용액의 경우이다.

가해진 열량은 약 26.93 cal 이다.

압력이 일정하므로 $Q=\int_{0}^{100}C_p\,dt=\int_{0}^{100}\left(0.2+\dfrac{10}{t+100}\right)dt$ 로 적분한다.

항별로 적분하면
$Q=0.2\times 100+10\ln\dfrac{100+100}{0+100}$
=20+10×0.6931
=26.93 cal

1/(t+100) 항은 자연로그가 되며 상한 200, 하한 100을 넣어 ln2를 얻는다. 이 항을 빠뜨리고 0.2×100만 계산하면 20 cal가 되는데, 이는 온도 의존항을 누락한 값이다.

압력이 0에 접근하면 실제 기체는 이상기체 거동에 가까워지므로 잔류 엔탈피와 잔류 엔트로피 모두 0에 접근한다.

잔류성질(residual property)은 실제기체와 이상기체 사이의 편차를 나타내는 값이므로, 이상기체 극한에서는 그 편차 자체가 사라지는 것이 당연하다.

순환법칙에서 얻어지는 최종식은 (∂P/∂T)_V = β/k 이다.

정의는 $\beta=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$, $k=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ 로, 등온압축률에는 음부호가 붙어 있다.

순환법칙을 (∂P/∂T)_V에 대해 풀면 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V=-\dfrac{(\partial V/\partial T)_P}{(\partial V/\partial P)_T}$

여기에 두 정의를 대입하면 $=-\dfrac{V\beta}{-Vk}=\dfrac{\beta}{k}$ 로, 음부호가 두 번 상쇄되어 양의 β/k가 된다. 등온압축률의 음부호를 빠뜨리면 -β/k, β와 k의 자리를 뒤집으면 k/β 형태로 잘못 나온다.

흐름열량계는 정상상태 유동계이므로 공급 열량은 질량유량과 비엔탈피 차의 곱과 같다.

$\dot{Q} = \dot{m}\,\Delta h$ 이므로 $\Delta h = \dfrac{\dot{Q}}{\dot{m}} = \dfrac{2000\,\mathrm{J/s}}{5\,\mathrm{g/s}} = 400\,\mathrm{J/g}$이다.

등온가역 팽창의 일은 W = RT·ln[(V₂-b)/(V₁-b)] - a(1/V₁ - 1/V₂) 이다.

가역과정의 일은 $W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$ 이므로 반데르발스 식 $P=\dfrac{RT}{V-b}-\dfrac{a}{V^2}$ 를 그대로 넣어 항별로 적분한다.

첫째 항: $\int_{V_1}^{V_2}\dfrac{RT}{V-b}dV=RT\ln\dfrac{V_2-b}{V_1-b}$
둘째 항: $\int_{V_1}^{V_2}\left(-\dfrac{a}{V^2}\right)dV=a\left(\dfrac{1}{V_2}-\dfrac{1}{V_1}\right)=-a\left(\dfrac{1}{V_1}-\dfrac{1}{V_2}\right)$

따라서 인력항 a는 (1/V₁ - 1/V₂) 앞에 음부호로 붙는다. a항의 부호를 뒤집은 식, V 대신 P를 넣은 식, a와 b의 자리를 맞바꾼 식은 모두 위 적분과 맞지 않는다.

용액 내 한 성분의 퓨개시티 계수는 φ̂_i = f̂_i/(x_iP) 로 정의된다.

순수성분에서는 기준이 전압 P이므로 $\phi_i=\dfrac{f_i}{P}$ 이지만, 용액(혼합물)에서는 이상기체 혼합물의 분압 x_iP가 기준이 되어 분모가 x_iP로 바뀐다.

차원으로도 확인된다. 퓨개시티는 압력 차원이므로 $\hat{\phi}_i=\dfrac{\hat{f}_i}{x_i P}$ 만 무차원이 된다.

• 분모가 P뿐인 식은 순수성분용 정의라 조성 항이 빠져 있다.
• 퓨개시티에 압력을 곱한 형태(f_iP)는 압력의 제곱 차원이 되어 계수가 될 수 없다.
• P를 분자에 두고 x_i로 나눈 형태 역시 무차원이 되지 않는다.

혼합물의 기-액 평형을 $\hat{\phi}_i^{V}=\hat{\phi}_i^{L}$로 쓴 것이 틀렸다. 옳은 조건은 성분별 퓨개시티의 상등 $\hat{f}_i^{V}=\hat{f}_i^{L}$, 즉 $y_i\hat{\phi}_i^{V}P=x_i\hat{\phi}_i^{L}P$이다.

기상 조성 $y_i$와 액상 조성 $x_i$가 서로 다르므로 조성을 뺀 퓨개시티 계수끼리는 같아지지 않는다. 계수만 같다고 쓰면 평형식이 성립하지 않는다.

• 순수성분의 기-액 평형: 조성이 1이라 조성항이 사라져 $\phi_i^{V}=\phi_i^{L}$이 그대로 평형조건이 된다.
• 2성분 혼합물의 액-액 평형: 두 액상에서 퓨개시티가 같으므로 $x_i^{I}\gamma_i^{I}=x_i^{II}\gamma_i^{II}$가 성립한다.
• 서로 다른 상 사이의 평형을 성분별 퓨개시티 상등 $\hat{f}_i^{L}=\hat{f}_i^{S}$로 쓴 식도 평형조건의 일반형에 맞다.

엔탈피(Enthalpy)는 평형 여부를 판별하는 열역학적 기준으로 쓰이지 않는다.

평형의 조건은 각 상(성분)에서 다음 물성들이 서로 같아지는 것으로 정의된다.

• 퓨개시티(fugacity)
• 깁스자유에너지(Gibbs free energy)
• 화학 포텐셜(Chemical potential)

깁스 상률 $F = C - P + 2$를 적용하면, 성분수 $C=3$, 상의 수(기상·액상) $P=2$이므로 자유도는 $F = 3-2+2 = 3$이다.

따라서 이 계의 상태를 완전히 결정하려면 최소 3개의 독립변수(예: 온도·압력·조성 일부)가 필요하다.

정압 가열 과정의 엔트로피 변화는 $\Delta S = m\,c_p \ln\dfrac{T_2}{T_1}$ 로 구한다.

$m=1000\,\mathrm{g}$, $c_p = 1.0\,\mathrm{cal/g{\cdot}K}$, $T_1=273\,\mathrm{K}$, $T_2=373\,\mathrm{K}$을 대입하면 $\Delta S = 1000 \times 1.0 \times \ln\dfrac{373}{273} \approx 312\,\mathrm{cal/K}$ 이다.

단위를 바꾸면 $\Delta S \approx 0.312\,\mathrm{kcal/K}$가 된다.

옳은 식은 dV/V = βdT - kdP 이다.

부피를 온도와 압력의 함수 V=V(T,P)로 보고 전미분하면 $dV=\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P dT+\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T dP$

여기에 $\beta=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P$, $k=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ 를 넣고 양변을 V로 나누면 $\dfrac{dV}{V}=\beta\,dT-k\,dP$

등온압축률 정의에 붙은 음부호 때문에 dP 항은 반드시 뺄셈이 된다. dT와 dP를 서로 바꿔 쓴 식이나 두 항이 모두 dP인 식은 전미분 형태 자체가 성립하지 않는다.

이상기체의 가역단열 압축에서는 $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{R/C_p}$ 관계가 성립한다.

$T_1 = 298\,\mathrm{K}$, $R \approx 1.987\,\mathrm{cal/mol{\cdot}K}$, $C_p = 5\,\mathrm{cal/mol{\cdot}K}$이므로 지수는 $R/C_p \approx 0.397$이다.

$T_2 = 298 \times 10^{0.397} \approx 744\,\mathrm{K}$이며, 섭씨로 바꾸면 약 $470\,^{\circ}\mathrm{C}$가 된다.

보기에 있는 745는 절대온도(K) 값이므로, 섭씨를 묻는 이 문제의 답으로 고르지 않도록 주의한다.

과포화되어 바닥에 고체 설탕이 남아있는 상태는 설탕 수용액(액상)과 고체 설탕(고상) 두 상이 평형을 이루는 계이다.

깁스 상률 $F=C-P+2$에서 성분수 $C=2$(설탕, 물), 상의 수 $P=2$이므로 $F = 2-2+2 = 2$가 된다.

옳지 않은 것은 T₁V₁^γ = T₂V₂^γ 로 쓴 관계이며, 올바른 형태는 지수가 γ-1인 TV^γ-1 = 일정 이다.

가역 단열과정의 기본식은 PV^γ=일정이다. 여기에 P=RT/V를 넣으면 $TV^{\gamma-1}=\text{일정}$, V=RT/P를 넣으면 $TP^{(1-\gamma)/\gamma}=\text{일정}$ 이 된다.

따라서 T와 P를 (1-γ)/γ 지수로 묶은 관계, T₂/T₁=(V₁/V₂)^γ-1, V₂/V₁=(P₂/P₁)^-1/γ는 모두 같은 식의 변형이라 옳다. 부피와 온도를 묶을 때만 지수가 γ가 아니라 γ-1이라는 점이 함정이다.

일정 압력에서 이상기체의 부피는 절대온도에 비례하므로(샤를의 법칙) 부피 증가율은 $\dfrac{\Delta V}{V_1} = \dfrac{T_2-T_1}{T_1}$로 구한다.

$T_1 = 273\,\mathrm{K}$, $T_2 = 293\,\mathrm{K}$를 대입하면 $\dfrac{20}{273} \approx 0.0733$, 즉 N₂ 기체의 부피는 약 7.33% 증가한다.

흡수과정에서 불활성 성분인 CO₂의 양은 변하지 않는다는 조건을 이용해 물질수지를 세운다.

공급기준 100mol(CO₂ 25, NH₃ 75)에서 출구 가스는 NH₃가 37.5vol%이므로 CO₂는 62.5vol%가 되고, 이때 전체 출구 몰수는 $25 \div 0.625 = 40\,\mathrm{mol}$이다.

출구 NH₃는 $40-25=15\,\mathrm{mol}$이므로 제거된 비율은 $\dfrac{75-15}{75} = 0.8$, 즉 80%이다.

정상상태 유동에서는 연속방정식에 의해 질량유량(유량)이 일정하게 보존된다.

유로 단면적이 확대되면 유속은 감소하고 그에 따라 압력도 베르누이 관계에 의해 변하지만, 유량 자체는 변하지 않는다.

수분 71wt%인 습윤 쓰레기 100kg을 기준으로 하면 수분 71kg, 건조고형분 29kg이다.

최초 수분의 60%가 증발하므로 증발량은 $71\times0.6 = 42.6\,\mathrm{kg}$이고, 잔류 수분은 $71-42.6=28.4\,\mathrm{kg}$, 잔류 총량은 $100-42.6=57.4\,\mathrm{kg}$이다.

따라서 증발 후 수분 조성은 $\dfrac{28.4}{57.4}\times100$, 즉 약 49.5%이다.

농축 과정에서 NaOH의 질량은 변하지 않는다는 물질수지를 이용한다.

공급수 1000kg/h 중 NaOH는 $1000\times0.015=15\,\mathrm{kg/h}$이고, 이것이 10wt% 농축액이 되려면 농축액 유량은 $15\div0.10=150\,\mathrm{kg/h}$이어야 한다.

따라서 증발되는 물의 양은 $1000-150=$ 850kg/h이다.

비리얼 상태식 $Z = 1 + \dfrac{B}{V} + \dfrac{C}{V^2}+\cdots$에서 각 비리얼계수(B, C, D, …)는 순물질에 대해 온도만의 함수로 정의된다.

압력·부피·조성에 따라 값이 정해지는 것이 아니라, 주어진 온도에서 하나의 값으로 고정된다는 점이 이 상태식의 핵심 특징이다.

노르말농도는 $N = \dfrac{10 \times \mathrm{SG} \times \mathrm{wt\%}}{\text{당량}}$로 구하며, HNO₃는 1가산이므로 당량이 분자량(63)과 같다.

비중 1.227, 37wt%를 대입하면 $N = \dfrac{10\times1.227\times37}{63}$, 즉 약 7.2이다.

반대수(semi-log) 좌표에서는 지수함수 형태 $F(t)=a\,e^{bt}$가 직선으로 나타난다.

양변에 로그를 취하면 $\ln F = \ln a + bt$가 되어, $\ln F$와 $t$ 사이에 선형관계가 성립하기 때문이다.

• 거듭제곱 형태($F=at^b$)는 양대수(log-log) 좌표에서 직선이 된다.
• 비례식($y=ax$)은 보통 좌표에서 이미 직선이고 양대수 좌표에서도 직선이 되지만, 반대수 좌표에서는 직선이 되지 않는다.
• 이차식($y=ax^2+b$)은 상수항 때문에 반대수·양대수 어느 좌표에서도 직선이 되지 않는다.

0~100℃ 구간의 평균 열용량은 0.60 cal/g·℃ 이다.

평균 열용량은 구간 적분을 구간 폭으로 나눈 값이다.
$\overline{C_p}=\dfrac{1}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}C_p\,dT$

대입하면
$\overline{C_p}=\dfrac{1}{100}\int_{0}^{100}(0.55+0.001T)\,dT=\dfrac{1}{100}\left(0.55\times100+\dfrac{0.001\times100^2}{2}\right)$
=(55+5)/100=0.60

C_p가 T의 1차식이므로 양 끝값 0.55(0℃)와 0.65(100℃)의 산술평균으로도 같은 0.60을 얻는다.

정압 가열에 필요한 열량은 $Q = m\,c_p\,\Delta T$로 구한다.

$m=30\,\mathrm{kg}$, $c_p=0.24\,\mathrm{kcal/kg{\cdot}^{\circ}C}$, $\Delta T = 120-20=100\,^{\circ}\mathrm{C}$를 대입하면 $Q = 30\times0.24\times100 =$ 720kcal이다.

단열 수평관에서는 외부 열·일 출입이 없으므로 엔탈피 감소분이 운동에너지 증가분과 같아지는 에너지수지가 성립한다.

$c_p(T_1-T_2) = \dfrac{v_2^2-v_1^2}{2}$이며, 단위를 맞추기 위해 $c_p=0.24\,\mathrm{kcal/kg{\cdot}^{\circ}C}\approx1004\,\mathrm{J/kg{\cdot}^{\circ}C}$로 환산한다.

$v_2^2-v_1^2 = 150^2-90^2=14400\,\mathrm{m^2/s^2}$이므로 $T_1-T_2 = \dfrac{14400/2}{1004} \approx 7.2\,^{\circ}\mathrm{C}$, 따라서 출구온도는 $21-7.2\approx$ 13.8℃이다.

피토관(Pitot tube)은 유동 중 한 점의 정체압과 정압 차이로부터 그 지점의 국부속도(local velocity)를 측정하는 계기이다.

오리피스미터·벤츄리미터·로터미터는 모두 관 전체를 흐르는 평균 유량을 측정하는 기기로, 한 점의 속도를 재는 용도가 아니다.

열에 민감한 물질은 끓는점을 낮춰 낮은 온도에서 증발시켜야 하므로, 증기공간의 절대압력을 낮추는(감압·진공 증발) 방법이 적절하다.

가열시간을 늘리거나 가열온도를 높이면 고온 노출이 길어지고 심해져 손상이 오히려 커진다. 열전도도가 높은 재질을 쓰는 것은 열전달 효율을 높일 뿐, 증발이 일어나는 온도 자체를 낮추지는 못한다.

항률건조단계는 고체 표면이 자유수분으로 충분히 젖어있는 임계함수량(critical moisture content) 이상 구간에서 일어나며, 이 함수량 이하에서는 감률건조단계로 전환된다.

나머지 설명은 모두 항률건조단계의 올바른 특징이다.

• 복사·전도에 의한 열전달이 없다면 고체 표면온도는 공기의 습구온도와 같아진다.
• 건조속도는 고체의 수분함량과 무관하게 일정하다.
• 건조속도는 열전달식이나 물질전달식 어느 쪽으로도 계산할 수 있다.

추출에서 원료(추료)에 남아있는 불활성 물질(희석제) 위주의 상을 추잔상(raffinate)이라 한다.

추출상(extract)은 추제와 용질이 많이 이동한 쪽이며, 추질은 추출 대상 물질 자체를, 슬러지는 이 조작과 관계없는 용어이다.

최소이론단수는 펜스케(Fenske) 식으로 구한다.

$N_{min} = \dfrac{\ln\!\left[\dfrac{x_D}{1-x_D}\cdot\dfrac{1-x_W}{x_W}\right]}{\ln \alpha}$

$x_D=0.9$, $x_W=0.1$, $\alpha=2$를 대입하면 $N_{min} = \dfrac{\ln(9\times9)}{\ln 2} \approx 6.3$이 되어 최소 이론 단수는 약 6단이다.

노즐의 확대부에서 압력이 급격히 떨어지며(과팽창) 유속이 음속을 넘어설 때 충격파가 발생한다. 즉 충격파를 만드는 원인은 노즐 내부의 급격한 압력 강하이다.

초음속으로 과팽창된 흐름이 하류의 높은 압력에 맞추려면 불연속적으로 재압축될 수밖에 없고, 이 불연속면이 충격파다.

충격파를 지나는 순간 유체의 속도는 급감하고 압력·밀도·온도는 급상승하는데, 이는 충격파가 만들어진 뒤에 나타나는 결과이지 원인이 아니다.

단면적이 넓어지는 것만으로도 충격파가 생기지 않는다. 아음속 흐름은 확대부에서 오히려 감속·승압할 뿐이며, 초음속 조건이 만들어져야 충격파가 나타난다.

$L/V$의 최솟값은 조작선이 평형선과 접하는 지점, 즉 기-액 간 농도차(추진력)가 가장 작아지는 지점에서 결정되므로 '농도차가 가장 클 때'라는 설명은 성립하지 않는다.

나머지 설명은 모두 옳다.

• $L/V$ 값이 커지면 조작선이 평형선에서 멀어져 필요한 단수(탑 높이)가 낮아진다.
• $L/V$ 값이 작아지면 평형선에 가까워져 필요한 단수(탑 높이)가 높아진다.
• $L/V$는 탑 높이(설비비)와 액 순환량(운전비)의 트레이드오프를 결정하므로 흡수탑의 경제적 운전과 직결된다.

롤 지름은 약 18.4 cm 이다.

롤 분쇄기의 물림 조건에서 마찰계수는 물림각의 탄젠트이므로 tanα=1/√3 → α=30°, cosα=√3/2≒0.866 이다.

롤 반지름 R, 원료 반지름 r=4/2=2cm, 제품 크기(롤 간극)의 절반 d/2=1/2=0.5cm 를 기하 관계에 넣는다.
$\cos\alpha=\dfrac{R+d/2}{R+r}\;\Rightarrow\;0.866=\dfrac{R+0.5}{R+2}$

정리하면 0.866R+1.732=R+0.5 → 0.134R=1.232 → R≒9.2cm 이므로 지름 D=2R≒18.4cm 이다. 여기서 R을 그대로 답하면 9.2로 잘못 고르게 된다.

운동점도(kinematic viscosity)는 절대점도를 밀도로 나눈 값($\nu = \mu/\rho$)으로, 단위는 $\mathrm{m^2/s}$이다.

$\mathrm{N{\cdot}s/m^2}$와 cP(centipoise)는 절대점도(dynamic viscosity)의 단위이다.

제어기 이득은 출력범위 변화량을 입력범위 변화량으로 나눈 값이다.

출력전류 범위 $4\sim20\,\mathrm{mA}$(폭 16mA), 온도 범위 $20\sim100\,^{\circ}\mathrm{C}$(폭 80℃)를 대입하면 $K = \dfrac{16}{80} =$ 0.2 mA/℃이다.

제어기 출력은 t=0에서 곧바로 1로 뛰어오른 뒤 t=1까지 직선으로 2까지 상승하고, t=1을 지나면 1로 떨어져 그대로 유지되는 모양이다.

PD 제어기 출력은 p(t) = K_c[e(t) + τ_D·de/dt]인데 K_c=1, τ_D=1이므로 p(t) = e(t) + de/dt로 간단해진다. 그림의 입력은 t=0부터 t=1까지 기울기 1로 올라가 e=1에 닿고, 그 뒤로는 e=1로 평평한 신호다.

0<t<1 구간: e=t, de/dt=1 이므로 p = t + 1 → t=0에서 1, t=1에서 2.
t>1 구간: e=1, de/dt=0 이므로 p = 1.

즉 미분항이 램프 구간에서만 상수 1을 더해 주기 때문에 출력이 처음부터 1만큼 들려 있다가, 램프가 끝나 기울기가 0이 되는 순간 그 1이 사라지며 뚝 떨어진다. 0에서 출발하는 그래프나 t=1 이후에도 2를 유지하는 그래프는 미분항의 효과를 잘못 반영한 것이다.

Offset(정상상태 오차)을 없애는 것은 적분동작 자체의 기본 기능이지, Anti Reset Windup 고유의 동작이 아니므로 이 설명이 가장 거리가 멀다.

나머지 설명은 모두 Anti Reset Windup의 올바른 특징이다.

• 제어기 출력이 공정 입력 한계(포화)에 걸렸을 때 작동한다.
• 적분동작에 부과되는 보정 기능이다.
• 큰 설정치 변화에 공정 출력이 크게 흔들리는 오버슈트를 방지한다.

ωτ = 1일 때 감쇠계수 ζ 값에 관계없이 위상 지연이 정확히 90°가 된다.

전달함수 $G(s)=\dfrac{K}{(\tau s)^{2}+2\zeta\tau s+1}$에 s = jω를 넣으면 $G(j\omega)=\dfrac{K}{1-(\omega\tau)^{2}+2\zeta\tau\omega j}$가 되고, 위상각은 $\phi=-\tan^{-1}\dfrac{2\zeta\omega\tau}{1-(\omega\tau)^{2}}$이다.

여기서 ωτ = 1이면 분모 1−(ωτ)²이 0이 되어 arctan의 인수가 무한대가 되므로, ζ가 얼마이든 φ = −90°로 고정된다. 이 지점이 바로 고유진동수 ω = 1/τ에 해당한다.

ω와 τ를 같다고 놓거나 ωτ를 √2로 두면 분모가 0이 되지 않아 위상이 ζ에 따라 달라지고, ω를 τ²과 같다고 놓는 조건은 차원조차 맞지 않는다.

최종값은 10이다.

입력이 X(s) = 4/s, 즉 크기 4의 계단입력이므로 출력은 $Y(s)=\dfrac{10}{s^{2}+1.6s+4}\cdot\dfrac{4}{s}=\dfrac{40}{s\,(s^{2}+1.6s+4)}$이다.

최종값 정리 $\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)$를 적용하면 $\lim_{s\to0}\dfrac{40}{s^{2}+1.6s+4}=\dfrac{40}{4}=10$이다.

전달함수의 정상상태 이득이 10/4 = 2.5이고 입력 크기가 4이므로 2.5 × 4 = 10으로도 곧바로 확인된다. 정상상태 이득만 답하면 2.5가 되는데, 여기에 입력 크기 4를 곱해야 실제 최종값이 된다.

제어기는 Direct 동작이어야 하고, 오차를 e = 설정값 − 측정값으로 쓰는 표준 표기에서 제어기 이득은 음수가 된다.

그림은 유입관이 탱크로 들어오고, 탱크 바닥에서 펌프를 거쳐 나온 유출관에 제어밸브가 달린 액위제어계다. 액위전송기(LT)가 탱크 수위를 측정해 액위제어기(LC)로 보내고, LC의 출력이 그 유출측 제어밸브를 조작한다.

밸브가 ATO(Air-To-Open)이므로 제어출력인 공기압이 커지면 밸브가 더 열려 유출유량이 늘고 액위는 내려간다. 따라서 액위가 올라가면 제어출력을 올려 유출을 늘려야 하며, 이는 공정출력 상승 시 제어출력이 상승하는 Direct 동작이다.

한편 e = 설정값 − 측정값이므로 액위가 올라가면 오차 e는 작아진다. p = p̄ + K_ce에서 e가 줄어드는데도 출력 p를 키우려면 K_c < 0이어야 한다. 즉 Direct 동작과 음(−)의 이득이 한 쌍을 이룬다.

Routh 배열 제1열의 부호 변화가 한 번도 없으므로 이 계는 안정(stable)하다.

특성식 s⁴ + 3s³ + 5s² + 4s + 2 = 0으로 배열을 세운다.
s⁴행: 1, 5, 2
s³행: 3, 4, 0

s²행 첫 항 = (3×5 − 1×4)/3 = 11/3, 둘째 항 = (3×2 − 1×0)/3 = 2.
s¹행 = ((11/3)×4 − 3×2)/(11/3) = (44/3 − 6)/(11/3) = 26/11 ≈ 2.36.
s⁰행 = 2.

제1열이 1, 3, 11/3, 26/11, 2로 모두 양수다. Routh 판별에서 제1열의 부호 변화 횟수가 곧 우반평면 근의 개수이므로 우반평면 근은 0개이고, 모든 근이 허수축 왼쪽에 있는 안정한 계다.

비선형계를 선형화하여 전달함수로 표현하면 원래의 비선형 동특성을 근사적으로 나타낼 수 있다. 전달함수는 본래 선형시스템에 대해서만 정의되는 개념이기 때문이다.

실제 공정은 대부분 비선형이지만, 정상상태 부근에서 테일러 급수 전개(선형화)를 적용하면 국소적으로 선형 모델을 얻을 수 있고, 이 모델의 전달함수는 비선형계의 거동을 그 근방에서만 근사적으로 재현한다.

• 선형계는 전달함수로 나타낼 수 있는 대표적 대상이므로, 표현할 수 없다는 설명은 맞지 않다.
• 선형화는 어디까지나 근사이므로 비선형 동특성을 정확히 표현한다고 볼 수 없다.
• 비선형계를 전달함수로 나타내려면 반드시 선형화 과정을 거쳐야 한다.

전달함수는 $\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{G_c(1+G_aG_b)}{1+G_bG_c}$이다.

그림에서 입력 X는 두 갈래로 갈라진다. 한 갈래는 G_a를 지나 앞쪽 합산점으로 들어가고 이 합산점에는 출력 Y가 음(−)으로 되먹임된다. 다른 한 갈래는 그대로 뒤쪽 합산점에 양(+)으로 더해진다. 앞 합산점의 신호가 G_b를 거쳐 뒤 합산점에서 X와 합쳐진 뒤 G_c를 지나 Y가 된다.

식으로 옮기면 Y = G_c[G_b(G_aX − Y) + X]이고, 전개하면 Y = G_aG_bG_cX − G_bG_cY + G_cX이다.
Y항을 모으면 Y(1 + G_bG_c) = G_c(1 + G_aG_b)X가 된다.

따라서 분모에는 실제 되먹임 경로인 G_bG_c만 남고, 분자에는 X가 뒤쪽 합산점으로 바로 들어가는 경로(1)와 G_aG_b를 거쳐 가는 경로가 함께 남는다. 분모에 G_a까지 넣거나 분자를 G_aG_bG_c 하나로만 두면 X의 직결 경로를 빠뜨린 셈이 된다.

접점의 에너지수지식은 τ·dT_m/dt = T − T_m 형태가 된다.

접점에 축적되는 열이 유체에서 접점으로 전달되는 열과 같으므로 mC_m·dT_m/dt = UA(T − T_m)이다. 좌변은 질량 m, 비열 C_m인 접점의 축열항이고, 우변은 총열전달계수 U와 접점 표면적 A로 쓴 열전달량이다.

양변을 UA로 나누면 (mC_m/UA)·dT_m/dt = T − T_m이 되고, 시간상수를 τ = mC_m/UA로 놓으면 τ·dT_m/dt = T − T_m으로 정리된다.

미분되는 대상은 탱크 온도 T가 아니라 접점 온도 T_m이며, 접점이 유체보다 차가울 때(T > T_m) 접점 온도가 올라가야 하므로 우변은 T_m − T가 아니라 T − T_m이어야 한다.

닫힌 루프 전달함수는 $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{G_cG_p}{1+G_c(G_p-G_m)}$이다.

그림에서 제어기 G_c의 출력은 공정 G_p와 모델 G_m으로 동시에 들어간다. 오른쪽 합산점에서 출력 Y에 양(+), 모델 출력에 음(−)이 붙고, 그 차이가 다시 앞쪽 합산점으로 음(−) 되먹임된다.

제어기 출력을 U라 하면 Y = G_pU이고 되먹임 신호는 Y − G_mU = (G_p − G_m)U이므로 U = G_c[R − (G_p − G_m)U]이다.
정리하면 U[1 + G_c(G_p − G_m)] = G_cR이고, 여기에 Y = G_pU를 대입하면 Y/R = G_cG_p/[1 + G_c(G_p − G_m)]이 된다.

이 구조는 공정과 모델의 차이만 되먹임하는 형태라, 모델이 공정과 완전히 일치하면 분모가 1이 되어 되먹임이 사라진다. 분모를 1 + G_cG_pG_m으로 두면 모델이 직렬 곱으로 들어간다고 잘못 본 것이다.

1차계 단위계단응답은 $y(t)=1-e^{-t/\tau}$로 주어지며, t가 2τ일 때 응답은 약 86.5%에 이른다.

지수 부분에 t=2τ를 대입하면 $y(2\tau)=1-e^{-2}$이고, $e^{-2}\approx0.135$이므로 $y(2\tau)\approx0.865$가 된다.

참고로 t=τ일 때는 63.2%, t=3τ일 때는 약 95%에 도달하는 것이 1차계 응답의 대표적인 기준점이다.

X를 합산점에 넣고 출력 Y를 P₂로 되돌려 그 합산점에 다시 넣는 되먹임(feedback) 구조가 Y = P₁X ± P₂X를 나타내지 못한다.

그 선도에서 합산점 출력은 X ± P₂Y이고 Y = P₁(X ± P₂Y)이므로, 정리하면 Y = P₁X /(1 ∓ P₁P₂)가 되어 분모가 생긴다. 원하는 식과는 형태 자체가 다르다.

• X를 두 갈래로 나눠 각각 P₁과 P₂에 통과시킨 뒤 합산하는 선도: Y = P₁X ± P₂X 그대로다.
• 블록 하나 안에 P₁ ± P₂를 적은 선도: Y = (P₁ ± P₂)X이므로 같은 식이다.
• X를 먼저 P₂에 통과시켜 P₂X를 만들고 한 갈래를 P₁/P₂에 통과시켜 P₁X를 얻은 뒤 둘을 합산하는 선도: 역시 P₁X ± P₂X다.

정리하면 병렬(합산) 구조는 그대로 덧셈식이 되지만 되먹임 구조는 1/(1∓P₁P₂) 꼴의 분모를 만든다는 점이 갈림길이다.

감쇠비 $\xi$가 1보다 큰 2차계는 과도감쇠(overdamped) 상태이며, 진동 없이 서서히 정상상태로 접근하는 무진동 감쇠응답을 나타낸다.

ξ=1.2는 임계감쇠(ξ=1)보다 큰 값이므로 오버슈트나 진동 없이 완만하게 목표값에 도달하는 거동이 된다.

참고로 ξ가 0이면 무감쇠 진동, 0과 1 사이이면 감쇠 진동, 정확히 1이면 임계감쇠 응답이 나타난다.

전송기의 이득은 출력 변화폭을 입력 변화폭으로 나눈 값이므로, 4~20mA(변화폭 16mA)를 0~150℃(변화폭 150℃)에 대응시키면 이득은 $\dfrac{20-4}{150-0}=\dfrac{16}{150}\ \mathrm{mA/^{\circ}C}$가 되어야 한다.

0%를 4mA로 설정하는 것은 단선(신호선 단락) 검출과 잡음 내성을 위한 live-zero 방식으로, 이는 올바른 설명이다.

ATC(Air-To-Close) 밸브는 신호가 클수록 밸브가 닫히므로, 8mA는 4~20mA 구간의 25% 지점에 해당해 밸브 열림도는 $1-0.25=0.75$로 계산되어 옳은 설명이다.

Laplace 변환 결과는 $X(s)=\dfrac{2}{s(s^{2}+2s+2)}$이다.

주어진 식은 X″ + 2X′ + 2X = 2이고 초기조건이 X(0) = X′(0) = 0으로 모두 0이다. 초기조건이 0이면 미분의 변환에서 초기항이 전부 사라져 2차 미분은 s²X(s), 1차 미분은 sX(s)로 단순해진다.

좌변: s²X(s) + 2sX(s) + 2X(s) = (s² + 2s + 2)X(s)
우변: 상수 2의 변환은 2/s
따라서 (s² + 2s + 2)X(s) = 2/s → X(s) = 2 / [s(s² + 2s + 2)]

분모의 2차식은 원식의 계수를 그대로 받아 1차항 2s와 상수항 2가 와야 하고, 분자에는 우변 상수 2가 그대로 남는다. 상수항을 3이나 1로 바꾸거나 1차항을 s로 줄이면 원래 미분방정식의 계수와 어긋난다.

정치제어에서는 설정값이 변하지 않으므로 R = 0으로 놓게 되고, 이때 조작신호는 M = G_cG₁(−B)가 된다.

그림의 앞쪽 합산점은 R에 양(+), 되먹임 신호 B에 음(−)이 붙어 A = R − B이다. 이 A가 G_c와 G₁을 차례로 지나 M이 되므로 M = G_cG₁A = G_cG₁(R − B)이다.

정치제어(regulatory control)는 설정값을 고정한 채 외란 U만 잡는 제어이므로 편차변수로 보면 R = 0이다. 이를 대입하면 A = −B이고 M = G_cG₁(−B)로 정리된다.

합산점 부호가 (+R, −B)이므로 R + B로 묶으면 안 되고, 출력 C는 M에 외란 U가 더해진 뒤 G₂를 지나므로 C = G₂(M + U)여서 G_cG₁G₂만으로는 표현되지 않는다.

부제어루프 공정이 2/(2s+1), 주제어루프 공정이 6/(10s+1)인 조합이 캐스케이드제어에 가장 적합하다.

캐스케이드제어의 핵심은 안쪽(부제어) 루프가 바깥쪽(주제어) 루프보다 훨씬 빨라야 한다는 것이다. 외란이 주제어 변수까지 번지기 전에 안쪽 루프가 먼저 잡아 줘야 이중 루프를 쓰는 의미가 생기기 때문이다.

보기의 시정수를 비교하면 이 조합만 부제어루프 τ = 2, 주제어루프 τ = 10으로 안쪽이 바깥쪽보다 5배 빠르다. 통상 시정수 비가 3~5배 이상이면 캐스케이드 효과가 뚜렷하다고 본다.

부제어루프 시정수가 10이고 주제어루프가 2인 조합들은 안쪽이 오히려 느려 부루프가 제때 응답하지 못하고, 양쪽 모두 시정수가 10인 조합은 속도 차이가 없어 캐스케이드로 얻을 이득이 없다.

제어기 출력을 10% 증가시켰을 때 최종적으로 제어변수가 10% 감소했으므로, 이 공정은 입력이 커질수록 출력이 작아지는 역동작(reverse-acting) 공정이다.

음의 되먹임 루프가 성립하려면 공정과 제어기의 작용 방향이 서로 반대여야 하므로, 역동작 공정에는 정동작 제어기를 짝지어야 한다.

공정 이득은 정상상태를 기준으로 정의하므로 $\dfrac{\Delta PV}{\Delta MV}=\dfrac{-10\%}{10\%}=-1.0$이다. 과도응답의 최대치(5%)로 계산한 0.5나 과도응답 변화 폭(5%→-10%)으로 계산한 -1.5는 공정 이득이 아니다.

최종값 정리로 계산하면 이 신호가 수렴하는 값은 2다.

최종값 정리는 $\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s\,F(s)$ 이다. 주어진 $F(s)=\dfrac{4(s+2)}{s(s+1)(s+4)}$ 에 s를 곱하면 분모의 s가 소거된다.

$\lim_{s \to 0} s \cdot \dfrac{4(s+2)}{s(s+1)(s+4)} = \dfrac{4 \times 2}{1 \times 4} = 2$

분모의 극점이 $s=0,\,-1,\,-4$ 로 원점에 하나뿐이고 나머지는 좌반면에 있어 응답이 발산하지 않으므로 최종값 정리를 그대로 쓸 수 있다. 값이 무한대로 커지거나 0으로 사라진다고 보는 판단은 이 극점 배치와 맞지 않는다.

수은법은 전류밀도가 크고, 생성되는 가성소다의 순도도 격막법보다 높다.

격막법은 격막을 통해 Cl⁻와 OH⁻가 다소 섞여 넘어가므로 제품에 NaCl이 혼입되어 순도가 낮고, 전류밀도도 상대적으로 낮게 운전된다.

반면 수은법은 나트륨이 수은 아말감으로 분리되어 순수한 NaOH 용액을 얻을 수 있어 고순도·고전류밀도 조업이 가능하지만, 수은 오염이라는 환경 문제가 있다.

유기화합물은 일반적으로 가연성이 있고, 물에는 잘 녹지 않는 것이 특징이다.

유기화합물은 탄소를 골격으로 한 공유결합 화합물이 대부분이라 극성이 낮아 물(극성 용매)에 잘 용해되지 않으며, 탄화수소 골격의 특성상 산소와 반응해 연소하는 가연성을 갖는다.

이는 이온결합 위주로 극성이 강하고 불연성인 경우가 많은 무기화합물과 대비되는 일반적 경향이다.

카프로락탐은 사이클로헥사논 옥심(cyclohexanone oxime)을 황산으로 처리하는 베크만(Beckmann) 전위 반응으로 생성된다.

사이클로헥사논에 하이드록실아민을 반응시켜 옥심을 만든 뒤 진한 황산을 촉매로 고리 확장(전위) 반응을 일으키면, 7원자 고리의 락탐인 카프로락탐이 얻어진다.

카프로락탐은 나일론 6,6이 아니라 나일론 6의 원료이며, 사이클로헥사논과 암모니아의 단순 반응이나 초산·아민과의 반응으로 얻어지는 것은 아니다.

용제의 비점과 추출성분의 비점은 오히려 차이가 커야 추출 후 증류로 용제를 쉽게 회수·분리할 수 있다.

용제 추출은 선택성과 용해도가 높은 용제로 원하는 성분만 뽑아낸 뒤 증류로 용제를 다시 분리해 재사용하는 공정이므로, 비점 차이가 작으면 분리가 어려워져 용제로 부적합하다.

선택성·용해도가 높고 독성·부식성이 낮아야 한다는 나머지 조건들은 용제 선정의 일반적 요건으로 타당하다.

진한 황산을 흡수제로 첨가해 질산-물-황산의 3성분계를 만들면, 물이 황산에 우선적으로 흡수되면서 질산의 농도를 높일 수 있다.

암모니아 산화법으로 얻은 약 65% 질산(HNO₃)은 물과 공비혼합물을 이루어 단순 증류로는 그 이상 농축되지 않는다.

여기에 물과 강하게 결합하는 황산(H₂SO₄)을 첨가해 공비점을 깨뜨리는 추출증류(탈수 증류) 방식을 쓰면 고농도 질산을 얻을 수 있다.

요소(CO(NH₂)₂)는 질소 함량이 약 46%로, 주요 질소질 비료 중 이론적으로 가장 높다.

분자량 대비 질소 원자 비율을 비교하면 황산암모늄은 약 21%, 염화암모늄은 약 26%, 질산암모늄은 약 35% 수준인 반면, 요소는 분자 하나에 질소 원자 2개를 포함하면서도 분자량이 작아 질소 함량 비율이 가장 크다.

단계 성장 중합(축합중합)은 반응을 임의의 시점에서 중지할 수 있고, 그 중간체(올리고머)도 안정적으로 분리·단리할 수 있다는 점이 사슬 성장 중합과 다른 핵심 특징이다.

사슬 성장 중합은 라디칼·이온 같은 반응성이 매우 큰 중간체를 거치므로 이 중간체는 분리가 불가능하지만, 단계 성장 중합의 중간체는 안정한 분자이므로 분리가 가능하다.

단계 성장 중합이 작용기를 가진 분자들 사이의 반응이라는 점, 사슬 성장 중합이 탄소-탄소 이중결합 단량체를 기반으로 진행된다는 점은 옳은 설명이다.

아말감 중 나트륨 함량이 높아질수록 물과의 분해 반응이 오히려 빨라지므로, 분해 속도가 느려진다는 설명은 옳지 않다.

수은법에서는 흑연 양극과 수은 음극을 사용해 Na⁺가 수은에 녹아 묽은 아말감을 형성하고, 이 아말감을 분해조에서 물과 반응시켜 NaOH와 H₂를 얻는다.

아말감 내 Na 농도가 지나치게 높으면 반응성이 커져 전해조 안에서도 아말감이 분해되면서 수소가 발생할 수 있어, 제거되기는커녕 관리해야 할 위험 요인이 된다.

다분산도(PDI)는 중량평균분자량(Mw)을 수평균분자량(Mn)으로 나눈 값이며, 계산하면 약 1.2가 된다.

각 성분의 몰수는 질량을 분자량으로 나눈 값으로, 5종 모두 $n_i=10$몰로 동일하게 계산된다.

수평균분자량은 $M_n=\dfrac{\sum n_iM_i}{\sum n_i}=\dfrac{750{,}000}{50}=15{,}000$이고, 중량평균분자량은 $M_w=\dfrac{\sum n_iM_i^2}{\sum n_iM_i}\approx\dfrac{13{,}750{,}000{,}000}{750{,}000}\approx18{,}333$이다.

따라서 $PDI=\dfrac{M_w}{M_n}\approx\dfrac{18{,}333}{15{,}000}\approx1.2$로 계산된다.

벤젠 고리에 이소프로필기가 결합해 만들어진 화합물이므로 프로필렌으로 쿠멘을 얻는 반응은 알킬화반응(Friedel-Crafts 알킬화)이다.

발문의 구조는 벤젠 고리에 탄소 하나가 붙고 그 탄소에 CH₃ 두 개와 H 하나가 달린 이소프로필벤젠, 곧 쿠멘이다. 프로필렌의 이중결합이 산 촉매(인산·제올라이트 등)에서 이소프로필 양이온을 만들고 벤젠 고리가 여기에 결합하면서 고리와 알킬기 사이에 새로운 탄소-탄소 결합이 생긴다.

나머지 공정은 이렇게 구분한다.

• 산화반응: 이미 만들어진 쿠멘을 쿠멘하이드로퍼옥사이드로 바꾸는 다음 단계에 해당하며, 쿠멘 자체를 합성하는 반응이 아니다.
• 수화공정: 프로필렌에 물을 붙여 이소프로판올을 얻는 반응이라 방향족 고리가 결합하지 않는다.
• 중합공정: 프로필렌끼리 반복해서 이어 붙여 폴리프로필렌을 만드는 반응이다.

나프타는 상압증류(topping)의 경질 유분으로 얻어지며, 감압증류 공정을 거치지 않고 생산된다.

윤활유·아스팔트·벙커C유는 상압증류탑 하부의 무거운 잔사유를 다시 감압증류로 분리해 얻는 대표적인 중질유 제품이다.

반면 나프타는 원유를 상압에서 1차 증류할 때 초기 유분으로 바로 회수되므로 감압 공정과는 관계가 없다.

용존 산소 농도가 낮을 때는 오히려 부식 반응(환원 반쪽반응)에 필요한 산소가 부족해져 부식 전류가 작아지는 방향이므로, 부식 전류를 키우는 원인으로 볼 수 없다.

부식 전류는 온도가 높을수록, 전해액의 전도도가 클수록, 금속 표면의 내부 응력 차(불균일성)가 클수록 전기화학적 반응이 활발해져 커진다.

반대로 용존 산소 농도가 높아질수록 캐소드 반응(산소 환원)이 활발해져 부식 전류가 커지는 것이 일반적인 경향이다.

연실법의 능률을 높이고 경제적으로 조업하기 위해 개량된 대표적 설비가 페테르젠탑(Petersen Tower)법이다.

연실법은 넓은 부지와 많은 연실이 필요해 비효율적인데, 페테르젠탑은 충전탑 구조를 도입해 연실 수를 줄이고 반응 효율을 높인 개량 방식이다.

나머지 명칭들은 연실법을 개량한 설비로 다루지 않는다.

에폭시 수지는 열적으로 비교적 안정할 뿐 아니라 접착력과 강도도 우수한 것이 특징이므로, 강도가 좋지 않다는 설명은 옳지 않다.

에폭시 수지는 금속 표면에 대한 접착성이 뛰어나 접착제·도료·주형용 수지로 널리 쓰이며, 일반적으로 비스페놀A와 에피클로로히드린의 반응으로 제조된다.

또한 수지 안의 하이드록시기도 에폭시기와 반응할 수 있어 가교 결합 형성에 관여한다.

황산암모늄 등 황산근 비료를 시비하면 식물이 암모늄을 흡수한 뒤 토양에 남은 황산 이온이 축적되면서 토양을 산성화시킨다.

식물은 주로 양이온인 암모늄(NH₄⁺)을 흡수하는 반면 짝음이온인 황산 이온은 토양에 그대로 남게 되고, 이것이 반복적으로 축적되면 토양의 pH를 낮추는 주된 원인이 된다.

인(P) 31g을 완전연소시키는 데 필요한 산소 부피는 표준상태에서 약 28L이다.

연소 반응식은 $4P+5O_2\rightarrow2P_2O_5$이며, P의 원자량이 31이므로 31g은 $1\ \mathrm{mol}$에 해당한다.

화학양론비에 따라 필요한 산소는 $1\ \mathrm{mol}\times\dfrac{5}{4}=1.25\ \mathrm{mol}$이고, 표준상태 부피로 환산하면 $1.25\times22.4=28\ \mathrm{L}$가 된다.

벤젠을 니트로벤젠으로 만드는 니트로화 반응에는 진한 황산과 진한 질산을 섞은 혼산(混酸)이 가장 널리 쓰인다.

황산은 질산으로부터 니트로늄 이온(NO₂⁺)이 잘 생성되도록 돕는 촉매·탈수제 역할을 하여 벤젠에 대한 친전자성 치환 반응(니트로화)을 촉진한다.

인광석을 산으로 분해해 인산을 만드는 습식법에는 황산·염산·질산 분해법이 있으며, 아세트산 분해법은 공업적으로 쓰이는 방식이 아니다.

황산 분해법(가장 대표적, 인산비료 제조와 연계)과 염산·질산 분해법은 모두 강산으로 인광석의 인산칼슘을 분해해 인산을 얻는 습식 공정으로 실제 사용된다.

아세트산은 약산이며 인광석 분해에 쓰이는 산으로 취급되지 않으므로 습식법의 종류에 해당하지 않는다.

AlAs와 AlSb는 각각 3족 원소(Al)와 5족 원소(As, Sb)로 이루어진 대표적인 III-V족 화합물 반도체이다.

SiC·SiGe는 모두 4족 원소로만 이루어진 IV-IV족, CdS·CdSe는 2족과 6족의 II-VI족, PbS·PbTe는 4족과 6족의 IV-VI족 화합물 반도체로 분류된다.

염화알릴(allyl chloride)은 에틸렌이 아니라 프로필렌을 염소화하여 얻는 제품이므로 에틸렌 유래 제품에 해당하지 않는다.

에틸벤젠은 에틸렌과 벤젠의 알킬화, 아세트알데히드는 에틸렌의 바커(Wacker) 산화, 에탄올은 에틸렌의 수화 반응으로 각각 얻어지는 대표적인 에틸렌 유도체이다.

반면 염화알릴은 프로필렌의 알릴 위치를 염소화해 만드는 프로필렌 계열 제품이다.

S 쪽 선택도를 키우려면 C_A는 높게, C_B는 낮게 유지해야 한다.

두 속도식을 나누어 선택도를 만든다.
$\dfrac{dC_S}{dC_R} = \dfrac{k_2 C_A C_B^{0.3}}{k_1 C_A^{0.5} C_B^{1.8}} = \dfrac{k_2}{k_1}\,C_A^{0.5} C_B^{-1.5}$

이 식에서 C_A의 지수는 +0.5로 양수라 A 농도가 클수록 S가 유리하고, C_B의 지수는 −1.5로 음수라 B 농도가 작을수록 S가 유리하다.

실제 조작으로는 A를 한꺼번에 넣어 반응기 안 농도를 높게 두고, B는 조금씩 나누어 흘려 넣어 순간 농도를 낮게 유지하면 된다.

반응기 체적은 공간시간(space time)에 공급 유량을 곱해 구하며, 계산하면 900L이다.

공간시간의 정의는 $\tau=\dfrac{V}{v_0}$이므로, 반응기 체적은 $V=\tau\times v_0$로 구한다.

주어진 값을 대입하면 $V=3\ \mathrm{s}\times300\ \mathrm{L/s}=900\ \mathrm{L}$이다.

PFR과 CSTR의 평균 체류시간이 같을 때 두 반응기의 전화율이 서로 같아지는 경우는 반응차수가 0차일 때이다.

0차 반응은 반응속도가 농도와 무관하게 일정하므로, 반응기 내부의 농도 분포(플러그흐름의 농도 구배 vs 혼합흐름의 균일 농도)가 전환율에 영향을 주지 않는다.

반면 1차 이상의 반응에서는 혼합흐름반응기가 항상 더 낮은 평균 농도에서 운전되어, 같은 체류시간이라도 관형반응기보다 전화율이 낮게 나타난다.

전화율은 처음 넣은 A 가운데 반응으로 없어진 몫의 비율이므로 $X_A = \dfrac{N_{A0} - N_A}{N_{A0}}$ 로 정의한다.

분자 $N_{A0} - N_A$ 는 소모된 A의 몰수이고, 이것을 기준량인 초기 몰수 N_A0 로 나눈다. 그래야 반응 전에는 0, 완전히 반응하면 1이 되어 값이 0과 1 사이에 놓인다.

나머지 형태는 정의를 만족하지 못한다.

• 분모를 남은 몰수 N_A 로 둔 식은 A가 거의 다 소모될수록 값이 무한히 커져 1을 넘어버린다.
• 분자를 $N_A - N_{A0}$ 로 둔 식은 A가 줄어드는 반응에서 항상 음수가 되어 전화율이 될 수 없다.

촉매는 반응의 활성화 에너지를 낮춰 속도만 변화시킬 뿐, 화학평형의 조성 자체는 변화시키지 못한다.

촉매는 정반응과 역반응의 속도를 동일한 비율로 촉진하므로 평형에 도달하는 시간만 단축시킬 뿐 평형상수나 평형 조성에는 영향을 주지 않는다.

활성화 에너지를 낮추는 점, 반응에 따라 선택성이 높다는 점, 소량으로도 다량의 생성물을 얻을 수 있다는 점은 촉매의 일반적 특성으로 옳은 설명이다.

표의 반감기 변화를 비교하면 속도식은 A에 1차, B에 2차인 $r = -\dfrac{dP_B}{dt} = k_P P_A P_B^2$ 이다.

A의 압력이 B보다 훨씬 커서 반응 동안 P_A는 거의 일정하므로 유사차수로 다룰 수 있다. P_B가 10mmHg로 같고 P_A만 500에서 250mmHg로 절반이 될 때 반감기가 80에서 160min으로 두 배가 되므로 A에 대해 1차다.

P_A가 250mmHg로 같고 P_B만 10에서 20mmHg로 두 배가 될 때는 반감기가 160에서 80min으로 절반이 된다. 반감기가 초기 압력에 반비례하는 것은 B에 대해 2차일 때 나타나는 특징이다.

검산하면 $t_{1/2} \propto \dfrac{1}{P_A P_B}$ 이므로 P_A=125, P_B=15인 조건의 반감기는 $160 \times \dfrac{250 \times 10}{125 \times 15} = 213\ \mathrm{min}$ 으로 표의 값과 정확히 맞는다.

차수가 2인 반응이므로 플러그흐름반응기를 앞에 두고 혼합흐름반응기를 뒤에 잇는 직렬 배열이 전환율이 가장 크다.

차수가 1보다 크면 농도가 높을수록 반응속도가 급격히 커진다. 따라서 농도가 가장 높은 입구 쪽은 농도를 그대로 유지하며 흐르는 플러그흐름반응기가 맡고, 농도가 이미 낮아진 뒤쪽을 즉시 희석되는 혼합흐름반응기가 담당해야 손실이 적다.

부피가 같은 두 반응기를 $k=1,\ C_{A0}=1,\ V/u_0=1$ 로 두고 $-r_A = C_A^2$ 를 풀면 차이가 그대로 드러난다.

• 플러그흐름반응기를 먼저 두면 중간 농도 0.5를 거쳐 최종 $C_A = \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.366$ 으로 가장 낮다.
• 혼합흐름반응기를 먼저 두면 중간 농도 0.618을 거쳐 최종 $C_A \approx 0.382$ 가 남는다.
• 두 반응기를 병렬로 놓고 공급을 절반씩 나누면 두 출구가 0.333과 0.5로 갈려 합류 농도가 약 0.417로 가장 나쁘다.

세 값이 서로 다르므로 연결 방법과 순서에 상관없이 전환율이 같다는 설명도 성립하지 않는다.

총괄 속도식을 유도할 때 어떤 단계가 비선형성을 띠면 이를 그대로 결합하기 어려우므로, 선형화 등으로 회피하거나 별도로 처리하는 것이 일반적이며, 회피하지 말고 그대로 적용해야 한다는 설명은 옳지 않다.

불균질 반응은 물질 이동(확산)과 화학 반응이 직렬로 연결되어 있어 속도식에 물질 이동항이 포함되며, 각 단계의 속도 단위가 같아야 총괄 속도식을 유도하기 쉽다.

또한 중간체(흡착종 등)의 농도항은 측정이 어려우므로 총괄 속도식에서는 제거되도록 정리하는 것이 일반적이다.

가역 1차 반응의 평형상수는 평형에서의 농도비이므로 K_C ≈ 5.67이다.

순수한 A에서 출발해 평형 전화율이 85%라면 남은 A는 $C_{Ae} = C_{A0}(1-0.85) = 0.15\,C_{A0}$ 이고, 생성된 R은 $C_{Re} = 0.85\,C_{A0}$ 이다.

$K_C = \dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{C_{Re}}{C_{Ae}} = \dfrac{0.85\,C_{A0}}{0.15\,C_{A0}} = 5.67$

전화율 0.85를 그대로 옮겨 적거나 분모·분자를 뒤집은 0.18을 답으로 삼으면 평형에서 남아 있는 A로 나누는 과정이 빠지거나 거꾸로 된 것이다.

이 혼합흐름반응기에서 R의 총괄수율은 0.45이다.

A와 B가 같은 농도로 같은 속도로 공급되고 두 반응 모두 A와 B를 1:1로 소모하므로 반응기 안에서 $C_A = C_B$가 유지된다.

이때 두 속도식의 농도 지수 합이 $1.5+0.3=1.8$, $0.5+1.3=1.8$로 같아지므로 점수율 $\varphi = \dfrac{r_R}{r_R+r_S}$은 농도에 관계없이 항상 $0.5$로 일정하다.

즉 반응한 A 중 절반이 R로 가며, 처음 공급한 A를 기준으로 한 수율은 여기에 전화율을 곱해 $0.5 \times 0.9 = 0.45$가 된다.

가역 1차 반응에서 A의 농도는 평형값을 향해 지수적으로 접근하므로 $\dfrac{C_A - C_{Aeq}}{C_{A0} - C_{Aeq}} = e^{-(k_1+k_2)t}$ 로 나타낸다.

A⇌B의 속도식은 $-\dfrac{dC_A}{dt} = k_1 C_A - k_2 C_B$ 이고 평형에서는 $k_1 C_{Aeq} = k_2 C_{Beq}$ 가 성립한다. 두 관계의 차를 취하면 $-\dfrac{d(C_A - C_{Aeq})}{dt} = (k_1+k_2)(C_A - C_{Aeq})$ 가 되어 정방향과 역방향 속도상수의 합이 평형 접근 속도를 지배한다.

t=0에서 $C_A = C_{A0}$ 를 초기조건으로 적분하면 $-\ln\dfrac{C_A - C_{Aeq}}{C_{A0} - C_{Aeq}} = (k_1+k_2)t$ 이고, 이를 지수형으로 옮긴 것이 위 식이다.

분자를 시각 t의 평형 이탈량, 분모를 초기 이탈량으로 둔 비는 시간이 갈수록 0으로 줄어들어야 하므로 지수의 부호가 반드시 음수다. 같은 좌변에 양의 지수를 붙이면 이탈량이 오히려 커지는 발산 거동이 되어 성립하지 않는다.

1차인 R, 3차인 T 사이에서 2차인 S를 선호하려면 너무 낮지도 높지도 않은 중간 수준의 A 농도가 유리하며, 이를 구현하려면 혼합흐름반응기(CSTR)를 사용해야 한다.

반응차수가 낮은 R은 A 농도가 낮을 때, 반응차수가 높은 T는 A 농도가 높을 때 상대적으로 더 잘 생성되므로, 중간 차수인 S가 우세해지려면 중간 수준의 A 농도가 유지되어야 한다.

혼합흐름반응기는 반응기 전체가 유출 농도로 균일하게 운전되므로, 원하는 중간 농도를 일정하게 유지하기에 적합한 반응기 형태이다.

수소화탈알킬화 평형에서 반응 후 남은 수소 농도는 약 2.01mol/L로 계산된다.

반응식을 톨루엔+수소 ⇌ 벤젠+메탄으로 놓고 반응한 톨루엔의 농도를 x라 하면, 평형상수는 $K_c=\dfrac{x^2}{(2-x)(4-x)}=227$이다.

이를 정리하면 $226x^2-1362x+1816=0$이 되고, 물리적으로 타당한 근을 취하면 $x\approx1.99\ \mathrm{mol/L}$이다.

따라서 반응 후 수소 농도는 $4-x\approx4-1.99=2.01\ \mathrm{mol/L}$이 된다.

중간체 R의 농도가 최댓값을 지난 뒤 감소하고 세 성분이 모두 0이 아닌 값에 수렴하므로 A⇌R⇌S 형태의 가역 직렬반응이다.

R가 봉우리를 만드는 것은 A에서 생긴 R가 다시 S로 넘어가기 때문이며, 이는 A에서 R와 S가 각각 갈라져 나오는 병렬반응에서는 나타나지 않는 직렬반응의 표식이다. 또 A·R·S가 모두 유한한 값에서 평평해지는 것은 각 단계가 가역이라 평형에 도달했다는 뜻이다.

그래프의 최종값은 A가 가장 낮고 R와 S는 거의 같은 높이에서 겹친다. 평형관계 $\dfrac{C_R}{C_A} = \dfrac{3}{1}$, $\dfrac{C_S}{C_R} = \dfrac{1}{1}$ 을 적용하면 $C_A : C_R : C_S = 1 : 3 : 3$, 즉 약 0.14 : 0.43 : 0.43이 되어 그림과 일치한다.

정·역 속도상수가 모두 같은 직렬반응이라면 세 성분이 각각 $\tfrac{1}{3}$ 로 같은 높이에 모여, A만 유독 낮게 남는 이 그림이 나오지 않는다.

온도가 27℃에서 37℃로 오를 때 반응속도가 2배 빨라지는 조건에서 활성화 에너지를 아레니우스 식으로 구하면 약 12,810 cal/mol이다.

아레니우스 식으로부터 $\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)=\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$이며, 절대온도로 환산하면 $T_1=300\ \mathrm{K}$, $T_2=310\ \mathrm{K}$이다.

여기에 $k_2/k_1=2$, $R=1.987\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)}$를 대입해 정리하면 $E_a=\dfrac{\ln2\times R\times T_1T_2}{T_2-T_1}\approx12{,}810\ \mathrm{cal/mol}$이 된다.

1차 반응에서 같은 전화율을 얻으려면 공간시간이 같아야 하므로 부피비는 공급 몰속도의 비와 같아져 V₂/V₁ = 2가 된다.

플러그흐름반응기의 1차 반응 설계식은 $k\tau = -\ln(1-X_A)$ 이다. 두 반응기의 전화율이 80%로 같으므로 공간시간 $\tau$ 도 서로 같아야 한다.

공간시간은 $\tau = \dfrac{V}{v_0} = \dfrac{V\,C_{A0}}{F_{A0}}$ 이고 두 반응기 모두 초기 농도가 1로 같으므로 부피는 공급 몰속도에 정비례한다.

$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{F_{A0,2}}{F_{A0,1}} = \dfrac{2}{1} = 2$
즉 초기 농도가 같은데 공급 몰속도가 두 배면 반응기 부피도 두 배여야 같은 전화율에 도달한다.

두 경로의 공간시간이 같아야 전화율이 같아지므로 D쪽 공급 분율은 부피비 그대로인 5/8이다.

그림에서 위쪽 경로는 30L·50L·20L가 차례로 이어져 합이 100L이고, 아래쪽 경로는 40L·20L가 이어져 합이 60L다. 플러그흐름반응기는 직렬로 붙이면 부피가 그대로 더해지므로 각 경로를 한 덩어리로 볼 수 있다.

같은 1차 반응에서 전화율이 같으려면 $\dfrac{V_D}{v_D} = \dfrac{V_E}{v_E}$ 여야 하므로 $\dfrac{v_D}{v_E} = \dfrac{100}{60} = \dfrac{5}{3}$ 이다.

전체 공급 T는 두 경로의 합이므로 $\dfrac{D}{T} = \dfrac{5}{5+3} = \dfrac{5}{8}$ 가 된다.

티엘레(Thiele) 계수는 가속도와 속도의 비가 아니라 반응속도와 확산속도의 비를 나타내는 무차원수이므로, 가속도와 속도의 비라는 설명은 옳지 않다.

티엘레 계수가 클수록 촉매 입자 내부로 반응물이 충분히 확산되기 전에 표면 부근에서 반응이 소모되어, 입자 내부의 유효 농도는 낮아진다.

따라서 촉매 입자 내부의 유효 농도는 티엘레 계수 값에 의존하며, 이는 촉매 표면과 내부의 효율적 이용도를 가늠하는 척도로 쓰인다.

63℃와 74℃에서의 살균 시간 차이로부터 아레니우스 식을 적용하면 활성화 에너지는 약 422 kJ/mol로 계산된다.

같은 살균 효과를 낸다고 보면 속도상수는 시간에 반비례하므로 $\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{1800\ \mathrm{s}}{15\ \mathrm{s}}=120$이다.

절대온도 $T_1=336\ \mathrm{K}$, $T_2=347\ \mathrm{K}$를 아레니우스 식 $E_a=\dfrac{R\ln(k_2/k_1)}{\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}}$에 대입하면 $E_a\approx421.8\times10^3\ \mathrm{J/mol}\approx422\ \mathrm{kJ/mol}$이 된다.