이상기체에서 $\Delta H=\Delta U+nR\Delta T$가 성립하므로, 온도변화가 없는 등온공정에서만 항상 $\Delta U=\Delta H$가 된다(이 경우 둘 다 0이 된다).

정적공정은 부피는 일정하지만 온도는 변할 수 있고, 등압·단열공정 역시 일반적으로 온도가 변하므로 두 값이 항상 일치한다고 볼 수 없다.

줄-톰슨 계수는 이상기체에서 항상 0이며 점도와는 아무런 관계가 없으므로, 점도에 비례한다는 설명이 틀렸다.

정의는 μ = (∂T/∂P)_H 로, 엔탈피가 일정한 조건(교축 팽창)에서 압력이 변할 때의 온도 변화율을 뜻한다.

이상기체는 엔탈피가 온도만의 함수라 등엔탈피 과정이 곧 등온 과정이 되어 μ = 0 이고, 실제기체도 역전온도(inversion temperature)에서는 μ = 0 이 되므로 실제 기체에서 0이 될 수 있다는 설명은 옳다.

화학포텐셜($\mu_i$)은 정의상 부분 몰 깁스 자유에너지와 같다.

부분 몰 엔탈피·엔트로피·용적은 각각 H, S, V에 대한 부분 몰량으로, 화학포텐셜과는 다른 상태량이다.

카르노 냉동기의 성능계수는 $COP=\dfrac{T_C}{T_H-T_C}$이며, 필요한 최소 일량은 $W=\dfrac{Q_C}{COP}$로 구한다.

절대온도로 환산하면 $T_C=261\,\mathrm{K}$, $T_H=305\,\mathrm{K}$이므로 $COP=\dfrac{261}{44}=5.93$이다.

$W=\dfrac{2300}{5.93}=387.7\,\mathrm{cal}$이고 1cal=4.184J를 곱하면 최소 일량은 약 1621J이다.

받은 열량을 모두 일로 전환하는 기관을 만들 수 없다는 것은 열역학 제2법칙(켈빈-플랑크 표현)에 해당하는 내용으로, 에너지 보존을 다루는 제1법칙과는 거리가 멀다.

• 에너지의 형태가 변해도 총량이 불변한다는 것은 제1법칙 그 자체인 에너지 보존을 나타낸다.
• 열량은 경로함수이고 내부에너지는 상태함수라는 구분은 제1법칙을 기술할 때 쓰이는 개념이다.
• 흡수한 열량에서 일을 뺀 나머지가 내부에너지를 증가시킨다는 것은 $\Delta U=Q-W$로 표현되는 제1법칙 자체이다.

물의 고체·액체·기체 세 상이 동시에 평형을 이루는 것은 삼중점 상태이며, 이때의 자유도는 깁스 상률로 구한다.

성분 수(C)가 1, 상의 수(P)가 3이므로 자유도는 0이 되어, 삼중점의 온도와 압력은 고정된 값으로 정해진다.

닫힌계의 기본 관계식은 dU = TdS − PdV 이므로 괄호에는 −PdV 가 들어간다.

열역학 제1법칙 dU = δQ + δW 에서 가역과정이면 δQ = TdS, δW = −PdV 이다.
두 항을 더하면 dU = TdS − PdV 가 되고, 이는 내부에너지의 자연변수가 S와 V임을 보여 준다.

부호가 반대인 +PdV 는 계가 받은 일이 아니라 한 일을 더한 꼴이 되어 맞지 않고, VdP 나 −VdP 를 넣으면 엔탈피 관계식 dH = TdS + VdP 와 혼동한 것이 된다.

단열(Q=0) 비가역 과정에서는 계와 주위를 합한 전체의 엔트로피가 항상 증가하므로, 엔트로피가 증가했다는 설명이 옳다.

엔탈피 증가·온도 저하·외부에 대한 일 수행 여부는 팽창의 구체적 조건(자유팽창인지, 일을 하는 팽창인지)에 따라 달라져 항상 성립한다고 볼 수 없다.

$dS \ge \dfrac{\delta Q}{T}$에서 단열($\delta Q=0$)이고 비가역이면 부등호가 성립해 dS>0이 되는 것은 항상 참이다.

등엔트로피(단열가역) 압축에서는 $PV^{\gamma}=\mathrm{const}$가 성립하므로 $V_2=V_1\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma}$로 계산한다.

$V_2 = 1\times\left(\dfrac{20}{100}\right)^{1/1.4}$에서 지수를 계산하면 $(0.2)^{0.714}\approx0.317$이다.

따라서 압축 후 최종 부피는 약 0.32m³이다.

일 $W=\int P\,dV$는 가역(준정적) 과정에서만 성립하는 식이며, 비가역 과정에서는 계의 압력이 아닌 외부 압력을 사용해야 하므로 항상 성립한다고 볼 수 없다.

• 이상기체의 엔탈피가 온도만의 함수라는 것은 이상기체의 정의에서 성립하는 옳은 설명이다.
• 고립계의 에너지가 일정하다는 것은 에너지 보존(제1법칙)에 따른 옳은 설명이다.
• 가역 단열과정에서 엔트로피가 변하지 않는다는 것(등엔트로피 과정)도 옳은 설명이다.

그림에서 계는 Q_H를 받아 Q_C를 버리고 일 W를 내놓으므로, 열효율은 η = W / Q_H 이다.

열효율의 정의는 (얻은 일) / (공급받은 열) 이고, 그림의 에너지수지에서 W = Q_H − Q_C 이므로
η = (Q_H − Q_C)/Q_H = 1 − Q_C/Q_H 로도 쓸 수 있다.

분모에 버려지는 열 Q_C를 두거나 분자에 Q_C를 포함시키는 형태는 '공급열 대비 순 일'이라는 정의에서 벗어나며, Q_H − W 를 분모로 쓴 식은 값이 Q_C/Q_C = 1 이 되어 의미가 없다.

반데르발스 기체에서 (∂U/∂V)_T = a/V² 이다.

열역학 상태식은 (∂U/∂V)_T = T(∂P/∂T)_V − P 이다.
주어진 (P + a/V²)(V − b) = RT 를 P에 대해 풀면 P = RT/(V − b) − a/V² 이 된다.

여기서 부피를 고정하면 (∂P/∂T)_V = R/(V − b) 이므로,
(∂U/∂V)_T = RT/(V − b) − [RT/(V − b) − a/V²] = a/V² 이다.

결과에 분자간 인력 상수 a만 남는다는 것은, a = 0 인 이상기체라면 내부에너지가 부피와 무관해진다는 사실과도 일치한다.

일이 W = −Q = −RT ln(V₂/V₁) 로 표현되는 과정은 등온과정이다.

W = −Q 라는 것은 곧 ΔU = Q + W = 0 을 뜻하고, 이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수이므로 ΔU = 0 은 온도가 일정하다는 의미가 된다.

실제로 등온 가역과정의 일은
W = −∫PdV = −∫(RT/V)dV = −RT ln(V₂/V₁)
로 주어진 식과 정확히 같다.

단열과정은 Q = 0 이라 W = ΔU 로 표현되고, 등압과정은 W = −PΔV, 정용과정은 부피가 변하지 않아 W = 0 이므로 어느 것도 로그 형태가 나올 수 없다.

선도가 두 개의 단열 곡선과 두 개의 정적(수직) 과정으로만 이루어져 있으므로 공기표준 오토엔진의 사이클이다.

선도를 따라가면 D→A 는 부피가 일정한 채 압력만 올라가는 정적 가열, A→B 는 압력이 완만히 떨어지는 단열 팽창, B→C 는 부피가 일정한 채 압력이 떨어지는 정적 방열, C→D 는 단열 압축이다.

디젤 사이클이라면 가열 구간이 압력 일정한 수평선으로 나타나야 하고, 가스터빈이 따르는 브레이턴 사이클은 정압 가열·정압 방열의 수평선 두 개를 가지므로 수직선 두 개인 이 선도와 맞지 않는다.

Y_iP = X_iP_i^sat, 즉 라울의 법칙은 기상을 이상기체로, 액상을 이상용액으로 가정한 식이므로 실제물질의 거동과 가장 관련이 없다.

실제 혼합물의 비이상성은 퓨개시티 계수로 반영한다 — 기상과 액상의 퓨개시티 계수에 각 상의 몰분율을 곱해 서로 같다고 놓은 기액평형식, 두 액상에 대해 같은 방식으로 쓴 액액평형식이 여기에 해당한다.

또 두 상에서 성분의 몰당 Gibbs 자유에너지(화학퍼텐셜)가 같다는 조건은 이상·실제를 가리지 않고 성립하는 근본 평형조건이므로, 실제물질에도 그대로 적용된다.

주어진 관계식을 정적 조건으로 옮기면 C_P − C_V = T(∂V/∂T)_P(∂P/∂T)_V 가 얻어진다.

엔트로피를 T와 V의 함수로 보면 (∂S/∂T)_V = C_V/T 이다. 주어진 dS = (C_P/T)dT − (∂V/∂T)_PdP 를 dT로 나누고 부피 일정 조건을 적용하면 C_V/T = C_P/T − (∂V/∂T)_P(∂P/∂T)_V 가 된다.

양변에 T를 곱해 정리하면 결론의 형태가 나온다. 여기서 T가 반드시 곱해져야 차원이 맞고(열용량 = 에너지/온도), 편도함수는 (∂V/∂T)_P와 (∂P/∂T)_V의 곱이어야 한다.

검산으로 이상기체를 넣으면 T·(R/P)·(R/V) = R²T/PV = R 이 되어 C_P − C_V = R 을 재현한다. T가 빠진 식이나 (∂T/∂V)_P(∂T/∂P)_V처럼 역수 꼴로 놓은 식은 이 검산을 통과하지 못한다.

정압열용량의 압력의존성은 $\left(\dfrac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T\left(\dfrac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P$로 나타난다.

Joule-Thomson 계수의 정의로부터 $\mu C_P = T\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V$가 성립하는데, 이를 정압하에서 온도로 미분하면 $\left(\dfrac{\partial(\mu C_P)}{\partial T}\right)_P = T\left(\dfrac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P$가 되어 위 식과 부호만 반대로 일치한다.

따라서 −μC_P를 정압하에서 온도로 미분하면 정압열용량의 압력의존성 $(\partial C_P/\partial P)_T$를 얻을 수 있다.

단열 혼합이므로 열평형으로 최종온도를 먼저 구하면 $2(T_f-80)+3(T_f-10)=0$에서 $T_f=38^\circ\mathrm{C}$이다.

각 물 덩어리의 엔트로피 변화는 $\Delta S = mC_P\ln\dfrac{T_f}{T_i}$로 구하며, 절대온도로 환산해 대입한다.

$\Delta S = 2\times4.184\times\ln\dfrac{311}{353} + 3\times4.184\times\ln\dfrac{311}{283} \approx -1.060+1.184$이다.

두 물 사이의 온도차로 비가역 열전달이 일어났으므로 총 엔트로피는 약 0.124kJ/K 증가한다.

혼합가스 성분의 퓨개시티 계수는 φ_i = f_i / (y_iP) 로 정의되며, 계산 결과는 메탄 0.95, 에탄 0.91, 프로판 0.82 이다.

전압 P = 20 atm 이므로 각 성분의 분압은 메탄 0.70×20 = 14 atm, 에탄 0.20×20 = 4 atm, 프로판 0.10×20 = 2 atm 이다.

주어진 퓨개시티를 분압으로 나누면
메탄: 13.3 / 14 = 0.95
에탄: 3.64 / 4 = 0.91
프로판: 1.64 / 2 = 0.82

퓨개시티가 이미 40℃·20atm 조건에서 주어진 값이므로 온도는 계산에 직접 들어가지 않는다. mol%를 몰분율로 바꾸고 전압을 곱해 분압을 만드는 것이 이 문제의 전부다.

반트호프식 $\ln\dfrac{K_2}{K_1} = -\dfrac{\Delta H}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)$을 이용해 온도에 따른 평형상수 변화를 구한다.

절대온도는 $T_1=773\,\mathrm{K}$(500℃), $T_2=623\,\mathrm{K}$(350℃)이고, $\Delta H=-68000\,\mathrm{cal/mol}$, R=1.987cal/mol·K이다.

$\ln\dfrac{K_2}{K_1} = \dfrac{68000}{1.987}\left(\dfrac{1}{623}-\dfrac{1}{773}\right)\approx10.66$이므로 $\ln K_2 \approx 28+10.66=38.7$이다.

따라서 350℃에서의 평형상수는 e^38.7이다.

임계점에서는 액체와 기체의 구분이 사라지므로 증발잠열이 0이 되는 것이 임계상태의 특징이다.

• 임계온도 이하의 기체는 압력을 높이면 오히려 액화될 수 있다.
• 임계압력 이하의 기체도 온도를 충분히 낮추면 액화될 수 있다.
• 임계점에서 압력-부피 곡선은 변곡점을 이루어 $(\partial P/\partial V)_T=0$으로 미분값이 존재하며 0이 될 뿐, 미분 자체가 존재하지 않는 것은 아니다.

18℃ 액체를 기준으로 150℃ 증기까지의 엔탈피 변화는 액체 승온 → 증발 → 증기 승온 세 단계를 합산해 구한다.

$\Delta H = C_{P,liq}(100-18) + \lambda_{100} + C_{P,vap}(150-100)$

$= 0.44\times82 + 86.5 + 0.32\times50 = 36.08+86.5+16.0$이므로 150℃ 증기의 엔탈피는 약 139cal/g이다.

일정 압력에서 가역적으로 전달되는 열은 엔탈피 변화와 같다.

깁스자유에너지·엔트로피·내부에너지 변화는 각각 다른 상태량으로, 정압 가역과정의 열량과 일반적으로 일치하지 않는다.

SI 기본단위는 m, kg, s, A, K, mol, cd 7개뿐이며, 이 중 A(ampere)와 kg(kilogram)은 기본단위에 해당한다.

J(joule)은 기본단위들의 조합으로 정의된 SI 유도단위(에너지의 단위)로, 별도의 접두어 없이 SI 단위계 표에 그대로 실리는 단위이다.

반면 cm(centimeter)는 기본단위 m에 접두어 'centi'를 붙인 배수단위일 뿐, 기본단위나 고유 명칭을 가진 유도단위 표에 속하지 않는다.

돌턴의 분압법칙에 따라 각 성분의 몰분율은 분압을 전압으로 나눈 값과 같다.

질소 분압이 250atm이므로 $y_{N_2}=250/500=0.5$이고, 수소 분압은 $500-250=250\,\mathrm{atm}$이므로 $y_{H_2}=0.5$이다.

$M_{avg}=0.5\times28+0.5\times2=14+1$이므로 평균 분자량은 15.0이다.

순수한 액체성분의 증기압($P_A^{*}$)은 물질의 종류와 온도에 따라 정해지는 온도만의 함수이지, 압력의 함수가 아니다.

따라서 증기압을 압력만의 함수라고 서술한 것이 틀린 설명이다.

라울의 법칙 $P_A = P_A^{*}X_A$는 벤젠-톨루엔처럼 이상용액에 잘 맞으며, 한 성분의 몰분율이 1에 가까울 때 특히 잘 적용되는 법칙이다.

100g 기준으로 A 30g, B 70g이라 하면, 각각의 몰수는 분자량으로 나누어 구한다.

$n_A=\dfrac{30}{60}=0.5\,\mathrm{mol}$, $n_B=\dfrac{70}{140}=0.5\,\mathrm{mol}$로 두 성분의 몰수가 같다.

따라서 $x_A=\dfrac{0.5}{0.5+0.5}$이므로 A의 몰분율은 0.5이다.

Gibbs 상률 F = C − P + 2를 각각 적용하면 F₁=1, F₂=2 이므로 합은 3이다.

물과 수증기의 평형은 성분이 물 하나(C=1), 상이 액체와 기체 둘(P=2)이므로 F₁ = 1 − 2 + 2 = 1이다. 온도를 정하면 증기압이 따라 결정되는 관계와 일치한다.

소금 결정과 포화수용액의 평형은 성분이 소금과 물 둘(C=2), 상이 고체와 액체 둘(P=2)이므로 F₂ = 2 − 2 + 2 = 2이다. 온도와 압력을 정하면 포화농도가 결정된다.

따라서 F₁ + F₂ = 1 + 2 = 3. 순수물질의 2상 평형은 자유도 1, 2성분 2상 평형은 자유도 2라는 점만 구분하면 된다.

메탄 100mol을 기준으로 하면 완전연소 반응식 $\mathrm{CH_4+2O_2\rightarrow CO_2+2H_2O}$에서 이론 산소량은 200mol이고, 20% 과잉이므로 공급 산소는 240mol이다.

메탄의 50%(50mol)만 반응하므로 소비 산소는 100mol, 남는 산소는 140mol이며, 생성물은 $\mathrm{CO_2}$ 50mol과 $\mathrm{H_2O}$ 100mol이다.

연소 후 기체 총량(습량 기준)은 미반응 메탄 50 + 잔여 산소 140 + CO₂ 50 + H₂O 100 = 340mol이다.

$y_{CO_2}=\dfrac{50}{340}$이므로 이산화탄소의 습량 기준 함량은 약 14.7%이다.

양대수좌표(log-log)에서 직선이 되려면 $\log Y$가 $\log x$의 1차식이어야 한다.

$Y=bx^{a}$의 양변에 로그를 취하면 $\log Y=\log b+a\log x$가 되어, logY와 logx 사이에 직선 관계가 성립한다.

반면 지수함수형 식은 반대수좌표에서, x의 1차식 형태는 x 자체에 대해서만 직선이 되므로 log-log 좌표에서는 모두 곡선이 된다.

건조 과정에서 건조고체(순수 고형분)의 질량은 변하지 않는다는 원리를 이용한다.

초기 고체 1000kg 중 수분 40%를 빼면 건조고체는 $1000\times(1-0.4)=600\,\mathrm{kg}$이다.

건조 후 수분이 10%가 되면 전체 질량은 $\dfrac{600}{1-0.1}=666.7\,\mathrm{kg}$이므로, 제거된 수분량은 약 333kg이다.

상대습도(Hr)는 수증기 분압을 같은 온도의 포화증기압으로 나눈 값이고, 비교습도(Hp)는 실제 절대습도를 같은 온도의 포화 절대습도로 나눈 값이다.

두 정의를 정리하면 $H_p = H_r\times\dfrac{P-p_s}{P-p}$의 관계가 되는데, 불포화 상태에서는 수증기 분압 $p$가 포화증기압 $p_s$보다 작아 이 보정항이 1보다 작다.

따라서 습도가 0%나 100%가 아닌 불포화 상태에서는 비교습도가 상대습도보다 항상 작다.

상접점(plait point)은 용해도 곡선(binodal curve) 위에 위치하는 한 점이지, 곡선 내부의 점이 아니다.

이 점에서는 tie-line의 길이가 0으로 수렴하여 추출상과 추출 잔류상의 조성이 서로 같아지며, 균일상과 불균일상을 가르는 경계에 해당한다.

최소환류비에서는 필요한 이론단수가 무한대가 된다.

조작선 y = [R/(R+1)]x + x_D/(R+1)의 기울기 R/(R+1)은 R이 작아질수록 작아진다. R을 낮추다 보면 조작선이 평형곡선에 닿는 지점(핀치점)이 생기는데, 그때의 환류비가 최소환류비이다.

핀치점에서는 조작선과 평형선 사이 간격이 0이라 계단작도가 더 이상 진행되지 않는다. 즉 목표 분리를 얻으려면 무한히 많은 단이 필요하다.

반대로 R = ∞인 전환류에서는 조작선이 대각선 y = x가 되어 최소단수를 갖고, R = 0이면 환류가 없어 정류 자체가 성립하지 않는다.

경사 마노미터에서 측정된 액주 길이 L과 압력차의 관계는 $\Delta P = \rho g L\sin\theta$로 나타난다.

여기서 θ는 경사각이므로, 동일한 액주 길이에서 압력차는 경사각의 sin값에 비례한다. 경사각을 작게 만들어 액주 길이를 길게 늘리면 미세한 압력차도 정밀하게 읽을 수 있다.

정류탑의 전체 물질수지 $F=D+B$와 메탄올 성분수지 $Fx_F=Dx_D+Bx_B$를 연립하여 공급량을 구한다.

$F\times0.4 = 100\times0.95+(F-100)\times0.05$를 정리하면 $0.35F=90$이다.

따라서 공급액의 양은 약 257kmol/h이다.

압력은 힘을 면적으로 나눈 값이므로 차원은 $\dfrac{MLT^{-2}}{L^2}=ML^{-1}T^{-2}$가 되어야 한다.

그런데 보기에서는 압력을 $ML^{-2}T^{-2}$로 적어 길이의 지수가 하나 어긋나 있으므로, 이것이 틀린 표현이다.

힘($MLT^{-2}$), 점도($ML^{-1}T^{-1}$), 일($ML^{2}T^{-2}$)의 차원은 모두 옳게 표기되어 있다.

비원형 관로의 상당직경(수력직경)은 $D_h=\dfrac{4A}{P}$(A: 단면적, P: 접수길이)로 구한다.

단면적은 $A=5\times20=100\,\mathrm{cm^2}$, 둘레는 $P=2\times(5+20)=50\,\mathrm{cm}$이다.

$D_h=\dfrac{4\times100}{50}$이므로 상당직경은 8cm이다.

분쇄는 고체 입자의 크기를 줄이는 크기축소(size reduction) 조작으로, 혼합물에서 성분을 나누는 분리조작과는 성격이 다르다.

여과·침강·집진은 모두 밀도차나 입자 크기 차이를 이용해 고체와 유체(또는 서로 다른 입자)를 물리적으로 갈라내는 대표적인 기계적 분리조작이다.

전자레인지로 음식을 데우는 것은 마이크로파가 물 분자를 직접 진동·회전시켜 발열시키는 유전가열(microwave heating)로, 전도·대류·복사의 기본 열전달 메커니즘과는 다른 방식이다.

• 라디에이터 팬으로 공기를 순환시켜 열을 내보내는 것은 강제대류이다.
• 냄비에서 음식이 끓는 것은 유체의 밀도차에 의한 대류로 열이 전달되는 현상이다.
• 커피잔 표면에 바람을 불어 식히는 것도 강제대류에 의한 냉각이다.

특성방정식은 1 + G_cG_P = 0 이며, 정리하면 6s² + 6s + 1 = 0 이다.

공정은 G_P(s) = 2/(2s+1), PI 제어기는 G_c(s) = K_C(1 + 1/τ_Is) = 0.5(1 + 1/3s) = (3s+1)/(6s) 이다.

두 식을 곱하면
G_cG_P = (3s+1)/(6s) × 2/(2s+1) = (3s+1)/[3s(2s+1)]
1 + G_cG_P = 0 → 3s(2s+1) + (3s+1) = 0
→ 6s² + 6s + 1 = 0

적분동작 때문에 분모에 s가 생기면서 특성방정식이 2차가 되고 상수항 1이 남는다. 비례동작만 있었다면 1차식(2s+2=0 형태)에 그쳤을 것이다.

지수 감쇠항이 곱해지면 변환식의 s가 s+a로 옮겨가므로 답은 (s+a)/[(s+a)² + ω²] 이다.

기본 변환은 L[cos ωt] = s/(s²+ω²) 이다.

여기에 1차 이동정리 L[e^−atf(t)] = F(s+a) 를 적용해 s 자리에 s+a를 대입하면 그대로 결론의 식이 된다.

분자가 ω인 형태는 e^−atsin ωt 의 변환이고, 분모가 s²+ω²로 남은 형태는 감쇠항 e^−at를 전혀 반영하지 못한 식이다. 분자가 1인 형태는 cos ωt 의 분자 s를 잃어버린 식이다.

시간상수는 유출특성을 정상상태에서 선형화한 기울기로 단면적을 나눈 값이며, 계산하면 약 2분이다.

유출유량 q = 8√(h−2)를 h로 미분하면 dq/dh = 8/[2√(h−2)] = 4/√(h−2) 이다.

정상상태 액위 h_s = 9를 대입하면
dq/dh = 4/√7 ≒ 1.51
τ = A / (dq/dh) = 3 / 1.51 ≒ 1.98 ≒ 2분

물질수지 A(dh/dt) = q_i − q 를 편차변수로 쓰면 [A/(dq/dh)](dh′/dt) + h′ = … 형태가 되므로, 단면적을 유출특성의 기울기로 나눈 값이 곧 시간상수가 된다.

테일러 1차 전개로 선형화하면 Q ≒ C√H_s + [C/(2√H_s)](H − H_s) 이다.

비선형 함수 Q(H) = C√H 를 정상상태 H_s 근처에서 전개하면 Q ≒ Q(H_s) + (dQ/dH)|_Hs(H − H_s) 이다.

여기서 Q(H_s) = C√H_s 이고 (dQ/dH)|_Hs = C/(2√H_s) 이므로, 편차항 계수는 반드시 2√H_s로 나눈 형태여야 한다.

• 편차항에 2√H_s를 곱해 놓은 식은 미분값의 역수를 쓴 잘못된 형태다.
• √H_s로만 나눈 식은 √H를 미분할 때 붙는 1/2을 빠뜨렸다.
• (H_s − H)로 쓴 식은 편차의 부호가 반대여서 응답 방향이 뒤집힌다.

되먹임 경로에 별도 요소가 없는 단위 음성 되먹임이므로 C/R = G/(1+G) 이고, 계산하면 (s+2)/(s²+2s+2) 이다.

개루프 전달함수 G(s) = (s+2)/[s(s+1)] 을 대입하면 C/R = [(s+2)/s(s+1)] ÷ {1 + (s+2)/s(s+1)} 이다.

분자와 분모에 s(s+1)을 곱해 정리하면
C/R = (s+2) / [s(s+1) + (s+2)]
= (s+2)/(s²+s+s+2) = (s+2)/(s²+2s+2)

즉 분모는 개루프의 분모 s(s+1)에 분자 (s+2)를 더한 것이다. 분모가 s²+s 로 남은 식은 되먹임을 아예 반영하지 않은 것이고, s²+s+2 인 식은 s항을 한 번 빠뜨린 결과다.

적분공정에 단위임펄스가 입력되면 출력은 계단형 신호가 된다.

적분공정의 전달함수는 $G(s)=\dfrac{K}{s}$이고 임펄스 입력의 라플라스 변환은 1이므로, 출력은 $Y(s)=\dfrac{K}{s}$가 되어 시간영역에서 일정한 크기의 계단함수로 나타난다.

• 진폭비는 $AR=K/\omega$로 주파수에 반비례하므로 비례한다는 설명은 틀렸다.
• 작은 구멍으로 자연 유출되는 저장탱크는 액위가 높아질수록 유출량이 늘어 스스로 균형을 찾는 자기조절형 공정이지 적분공정이 아니다(유출을 정량펌프로 뽑아내 액위와 무관해질 때가 적분공정이다).
• 이송지연(수송지연)은 순수 시간지연 공정으로 적분공정과는 별개의 개념이다.

1차계의 진폭비를 적용하면 출력 진폭은 2/√5 이다.

G(S) = 1/(0.1S+1) 이므로 이득 K = 1, 시간상수 τ = 0.1 이고, 입력 2sin(20t)에서 각진동수 ω = 20, 입력 진폭은 2이다.

1차계 정현파 응답의 진폭비는 AR = K/√(τ²ω²+1) 이므로
τω = 0.1 × 20 = 2
AR = 1/√(2²+1) = 1/√5

따라서 출력 진폭 = 입력 진폭 × AR = 2 × 1/√5 = 2/√5 이다. 정현파 입력에서는 진폭만 AR배로 줄고 위상만 뒤질 뿐 진동수는 그대로라는 점을 이용한 것이다.

Ziegler-Nichols 조율법은 공정의 전달함수를 미리 구할 필요 없이, 계단응답 실험(반응곡선법)이나 한계이득 실험처럼 실험적으로 얻은 응답 데이터만으로 제어기 파라미터를 정하는 방법이다.

따라서 전달함수를 구하는 과정이 필수라는 설명은 틀렸다.

반면 제어기 설계용 공정모델은 물리적 수지식으로 세울 수도 있고, 입출력 데이터를 이용한 경험적 형태로 세울 수도 있으며, 두 방식을 혼합한 형태도 가능하다는 나머지 설명들은 모두 타당하다.

한 시간 간격으로 읽어 얻은 값들이므로 데이터는 이산시간(discrete-time)이고, 수은주가 가리키는 온도 자체는 아날로그 값이다.

그림에는 0~5시간 동안 1시간 간격으로 읽은 두 지점의 온도가 점으로만 찍혀 있다(한쪽은 약 35℃에서 시작해 54℃ 부근에서, 다른 쪽은 54℃ 부근에서 시작해 81℃ 부근에서 각각 일정해진다). 점과 점 사이에는 값이 없으므로 일정 주기로 표본화된 신호, 곧 이산시간 신호다.

반면 수은기둥은 온도에 따라 연속적으로 늘고 줄어 눈금 사이의 어떤 값도 가질 수 있다. 값의 크기가 연속적이므로 아날로그이며, 유한한 자릿수로 양자화된 디지털 값이 아니다.

'연속/이산'은 시간축을, '아날로그/디지털'은 값의 축을 가리키는 구분이라는 점을 기억하면 두 축을 헷갈리지 않는다.

이상적인 피드포워드 제어기는 G_ff = −G_d/G_P 이므로, 계산하면 2(5s+1)e^−s/(10s+1) 이다.

외란이 제어변수에 주는 영향을 조작변수 경로가 정확히 상쇄해야 하므로 G_ffG_P + G_d = 0 으로 놓는다.

G_ff = −G_d/G_P = [4e^−4s/(10s+1)] × [(5s+1)/(2e^−3s)]
= 2(5s+1)e^−s/(10s+1)

외란 이득이 −4로 음수라 제어기 이득은 양수 2가 되고(음수 이득으로 남긴 식은 부호를 한 번 더 뒤집은 오답이다), 지연은 e^−4s/e^−3s = e^−s로 1만큼만 남아 실현 가능하다. 분자·분모의 시상수가 뒤바뀐 형태나 지연이 e^−7s로 커진 형태는 두 시간지연을 나누지 않고 곱해버린 결과라 상쇄 조건을 만족하지 못한다.

특성방정식을 정리해 Routh 조건을 적용하면 12K < 5 + 10τK 일 때 이 제어계가 안정하다.

개회로 전달함수가 $G_{OL}=\dfrac{2K(1+\tau s)}{s(1+2s)(1+3s)}$ 이므로 특성방정식 1 + G_OL = 0 은
s(1+2s)(1+3s) + 2K(1+τs) = 0
6s³ + 5s² + (1+2Kτ)s + 2K = 0

3차식 a₀s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0 의 Routh 안정조건은 모든 계수가 양수이고 a₁a₂ > a₀a₃ 이다. 대입하면 5(1+2Kτ) > 6×2K → 5 + 10Kτ > 12K.

이를 뒤집으면 12K < 5 + 10τK 이다. 이득 K가 커질수록 불안정해지고 τ가 커질수록 안정 영역이 넓어지는데, 부등호 방향이 반대이거나 τ항 계수가 2인 관계식은 이 조건과 맞지 않는다.

PI 온도제어 루프의 안정성 한계는 루프를 구성하는 각 요소의 이득(gain) 곱에 의해 결정되는데, 온도전송기의 영점(zero) 변화는 전송기의 이득을 바꾸지 않고 단지 출력의 기준점만 이동시키므로 안정성에 영향을 주지 않는다.

• 전송기의 span 변화는 전송기 이득 자체를 바꾸므로 루프이득이 달라져 안정성에 영향을 준다.
• 밸브의 trim(유량특성) 변화는 밸브 이득을 바꾸므로 안정성에 영향을 준다.
• 반응기 원료 조성 변화는 반응속도·공정이득을 바꿀 수 있어 안정성에 영향을 준다.

실제 되먹임 루프의 개회로 전달함수가 $k\,e^{-s}$ 하나뿐이므로 0 < k < 1 이면 이 공정은 안정하다.

블록선도에서 입력 쪽 1/(s+1)과 출력 합산점으로 들어오는 1/(s+1)은 모두 루프 바깥에 있어 안정도에 관여하지 않는다. 닫힌 경로는 합산점 → exp(−s) → 합산점 → k → 다시 앞 합산점(음의 되먹임) 하나뿐이다.

따라서 특성방정식은 1 + k·e^−s = 0 이다. 주파수응답으로 보면 진폭비는 AR = k 로 진동수에 무관하고, 위상각은 φ = −ω(rad) 이므로 −180°가 되는 교차진동수는 ω_c = π 이다.

Bode 안정판별에서 교차진동수의 AR이 1보다 작아야 하므로 k < 1, 음의 되먹임이 성립하려면 k > 0 이어야 한다. k가 1보다 큰 범위나 음수 범위는 모두 불안정하다.

특성방정식 $10s^3+17s^2+8s+(1+K_c)=0$에 Routh-Hurwitz 안정성 판별법을 적용하면 안정 조건은 $-1 < K_c < 12.6$이다.

Routh 배열의 1열 계수가 모두 양수여야 하므로 $s^1$행에서 $\dfrac{17\times8-10(1+K_c)}{17}>0$을 풀면 $K_c<12.6$이 나온다.

$s^0$행에서 $1+K_c>0$을 풀면 $K_c>-1$이 나오며, 두 조건을 동시에 만족하는 범위가 정답이다.

그림의 f(t−c)는 f(t)를 시간축으로 c만큼 오른쪽으로 평행이동한 것이므로 그 변환은 e^−csL[f] 이다.

라플라스 변환의 시간지연(이동) 정리는 $\mathcal{L}\left[f(t-c)u(t-c)\right]=e^{-cs}F(s)$ 이며, u(t−c)는 t < c 구간을 0으로 만드는 단위계단이다. 그림에서도 f(t−c) 곡선이 t = c 이전에는 값이 없고 c에서 점선과 함께 비로소 시작한다.

정의로 확인하면 $\displaystyle\int_{c}^{\infty}f(t-c)e^{-st}dt$ 에서 λ = t − c 로 치환해 $e^{-cs}\int_{0}^{\infty}f(\lambda)e^{-s\lambda}d\lambda=e^{-cs}L[f]$ 를 얻는다.

지수의 부호가 +cs 이면 시간을 앞당기는 조작이 되고, L[f(s−c)]나 L[s(s+c)] 같은 형태는 s 영역에서의 이동·곱이라 시간축 지연과는 다르다.

비례(P) 제어기는 적분동작이 없어 정상상태 offset은 남지만, 적분에 의한 위상지연이 없어 최종치에 가장 빨리 도달한다.

반면 PI·PID 제어기는 적분동작으로 offset을 없애주는 대신, 적분 특유의 지연 때문에 최종치 도달까지 시간이 더 걸리거나 진동이 커지는 경향이 있다. 미분(D) 동작만 있는 제어기는 오차가 일정해지면 출력이 0이 되어 단독 제어기로 쓰이지 않는다.

정상상태에서 편미분을 취하면 d(y−y_s)/dt = (1+u_s)(y−y_s) + y_s(u−u_s) 가 된다.

주어진 공정은 $\dfrac{dy}{dt}=f(y,u)=y+yu$ 이고, 정상상태 (y_s, u_s) 둘레의 1차 Taylor 전개는 $\dfrac{d(y-y_s)}{dt}=\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_s (y-y_s)+\left.\dfrac{\partial f}{\partial u}\right|_s (u-u_s)$ 이다.

편미분은 ∂f/∂y = 1 + u, ∂f/∂u = y 이므로 정상상태 값을 넣으면 y 편차의 계수는 (1+u_s), u 편차의 계수는 y_s 가 된다.

y 편차 계수가 u_s 뿐인 형태는 y항을 미분해 나오는 1을 빠뜨린 것이고, y 편차와 u 편차의 계수를 서로 맞바꾼 형태도 편미분 결과와 어긋난다.

열전대는 서로 다른 두 금속을 접합해 양 접점에 온도차를 주면 기전력이 발생하는 열전효과를 이용한 온도센서이며, 보기 가운데 같은 열전현상 계열인 Thomson-Peltier 효과가 이에 해당한다.

압전효과는 결정에 압력을 가할 때 전하가 발생하는 현상으로 압력센서에, 줄-톰슨 효과는 기체를 단열 팽창시킬 때 온도가 변하는 현상으로 냉동·액화 공정에 쓰이며, 반데르발스 효과는 분자간 인력을 설명하는 개념으로 모두 열전대의 원리와는 무관하다.

감쇠계수가 ζ = 0.5로 1보다 작으므로 계단응답은 2차 과소감쇠(underdamped), 즉 진동하며 최종값에 접근한다.

G(s) = 4/(s²+2s+4)의 분자·분모를 4로 나누면 $G(s)=\dfrac{1}{0.25s^{2}+0.5s+1}$ 이고, 표준형 $\dfrac{K}{\tau^{2}s^{2}+2\zeta\tau s+1}$ 과 비교하면 τ² = 0.25 → τ = 0.5, 2ζτ = 0.5 → ζ = 0.5 이다.

극점으로 확인해도 s² + 2s + 4 = 0 의 근이 s = −1 ± j√3 인 켤레복소수여서 응답에 진동 성분이 남는다.

ζ = 1이면 임계감쇠, ζ > 1이면 과도감쇠로 진동 없이 접근하며, 분모가 2차식이므로 1차 비진동 응답이 될 수도 없다.

강한 적분동작(적분시간이 짧을수록)은 오히려 폐루프의 안정성을 저하시키는 경향이 있으므로, 강한 적분동작이 안정성을 향상시킨다는 설명은 틀렸다.

적분동작은 일정한 설정치·외란에 대한 잔류오차(offset)를 제거해 주고, 적분시간을 길게 줄수록 적분동작은 약해지며, 적분 특유의 저역통과 성질 때문에 잡음의 영향을 어느 정도 필터링해 주는 효과도 있다 — 이 세 가지 설명은 모두 타당하다.

니트로글리세린은 글리세린을 질산과 황산의 혼산으로 니트로화시켜 만드는 물질이다.

비중이 약 1.6이며, 다이너마이트 제조의 핵심 원료로 쓰인다.

원유에 황화합물이 많으면 장치 부식, 공해 유발, 악취 발생 등의 문제가 나타나지만, 촉매 환원은 이러한 황화합물로 인한 직접적 문제로 보기 어렵다.

황화합물이 촉매에 일으키는 실제 문제는 촉매를 환원시키는 것이 아니라 피독(poisoning)시켜 활성을 떨어뜨리는 것이므로, 촉매 환원은 나머지 셋과 달리 황화합물의 폐해에 해당하지 않는다.

필요한 40% 발연황산의 양은 약 48.9g이다.

95.6% 황산 100g에는 물이 $100\times(1-0.956)=4.4\ \mathrm{g}$ 들어있고, 이 물을 전부 $\mathrm{SO_3}+\mathrm{H_2O}\rightarrow\mathrm{H_2SO_4}$ 반응으로 소모시켜야 100% 황산이 된다.

물 4.4g은 $\dfrac{4.4}{18}=0.2444\ \mathrm{mol}$이므로 같은 몰수의 $\mathrm{SO_3}$가 필요하며 질량으로는 $0.2444\times80=19.56\ \mathrm{g}$이다.

이 $\mathrm{SO_3}$가 발연황산의 40%에 해당하므로 발연황산 필요량은 $\dfrac{19.56}{0.4}\approx48.9\ \mathrm{g}$이다.

격막법 전해조에서 다공성 격막으로 양극·음극 용액을 나누는 주된 목적은 부반응을 줄이기 위함이다.

격막이 없으면 양극에서 생성된 염소가 음극 쪽 수산화나트륨과 반응해 차아염소산나트륨 등을 만들거나, 염소와 수소가 섞여 폭발 위험이 커지는 등 원치 않는 반응이 일어나기 쉽다.

실제 사용된 25wt% HCl 가스의 양은 약 1.40ton이다.

공급가스를 $F$(ton)라 하면 HCl은 $0.25F$, 불활성 성분은 $0.75F$이고, 이 불활성 성분은 그대로 배출가스로 빠져나가므로 배출가스량은 $G\approx0.75F$이다.

HCl 물질수지는 $0.25F=0.35\ \mathrm{ton}+0.00012\times G$이다.

$0.25F-0.00012\times0.75F=0.35\;\Rightarrow\;0.24991F=0.35\;\Rightarrow\;F\approx1.40\ \mathrm{ton}$

고체 $\mathrm{MgCO_3}$가 부분 분해되는 계, $\mathrm{MgCO_3(s)}\rightleftharpoons\mathrm{MgO(s)}+\mathrm{CO_2(g)}$는 자유도가 1이다.

성분 수는 화학종 3개에서 평형반응식 1개를 뺀 $C=3-1=2$이고, 상의 수는 고체 2개와 기체 1개로 $P=3$이므로, 상률 $F=C-P+2=2-3+2=1$이 된다.

수용액 전기분해로 음극에서 금속을 얻으려면 그 금속 양이온이 수소보다 환원되기 쉬워야 하는데, 이 조건을 만족하는 것은 $\mathrm{CuSO_4}$이다.

$\mathrm{Cu^{2+}}$는 이온화 경향이 수소보다 작아 음극에서 구리 금속으로 석출되지만, $\mathrm{KOH}$, $\mathrm{K_2SO_4}$, $\mathrm{NaCl}$의 양이온인 K⁺, Na⁺는 이온화 경향이 수소보다 훨씬 커서 음극에서는 금속 대신 수소 기체가 발생한다.

에스테르화 반응은 카르복실산과 알코올이 축합하여 물을 잃으며 에스테르를 만드는 반응이므로, $\mathrm{CH_3COOH}$(아세트산)와 $\mathrm{C_2H_5OH}$(에탄올)의 조합이 이에 해당한다.

• 이미 에스테르인 물질과 메탄올의 조합은 에스테르화가 아니라 에스테르 교환반응의 반응물이다.
• 아세틸렌과 아세트산의 조합은 삼중결합에 산이 부가되는 부가반응으로 일반적인 에스테르화와는 메커니즘이 다르다.
• 에탄올과 아세트아미드의 조합은 아마이드가 관여하여 통상적인 에스테르화 반응물 짝이 아니다.

발문의 $\mathrm{NO_2^+}$는 니트로화 반응을 일으키는 니트로늄 이온을 가리킨다. 이 이온의 생성과 관련된 주요 인자는 혼산 속 질산 자체($\mathrm{HNO_3}$)와 그 유도체인 $\mathrm{N_2O_4}$, $\mathrm{N_2O_5}$ 등이며, 이들은 이온화되어 $\mathrm{NO_2^+}$를 생성할 수 있다.

반면 $\mathrm{C_2H_5ONO_2}$(질산에스테르)는 니트로화 반응이 끝난 뒤 만들어지는 생성물에 해당하여, 니트로늄 이온을 생성시키는 인자와는 거리가 멀다.

접촉식 황산 제조 공정에서는 생성된 $\mathrm{SO_3}$ 가스를 물이 아니라 진한 황산에 흡수시켜 발연황산을 만든 뒤 이를 물로 희석하는 방식을 쓴다.

$\mathrm{SO_3}$를 물에 직접 흡수시키면 미세한 산 안개(미스트)가 발생해 흡수 효율이 떨어지고 장치 부식 등 문제가 생기므로 실제 공정에서는 이 방법을 쓰지 않는다.

백금이나 $\mathrm{V_2O_5}$ 촉매를 사용하는 것은 접촉식 황산 제조의 실제 특징이다.

아닐린을 $\mathrm{Na_2Cr_2O_7}$으로 황산 용액 중 저온(약 5℃)에서 산화시키면 벤조퀴논(p-벤조퀴논)이 생성된다.

저온에서 산화를 진행하는 것은 과산화·분해 등 부반응을 억제하고 벤조퀴논의 수율을 높이기 위함이다.

주사슬에 −O−R−O−C(=O)− 반복단위(카보네이트·에스터 결합)를 갖는 수지만 축합중합으로 얻어지므로 부가 반응 생성물이 아니다.

이 구조는 폴리카보네이트·폴리에스터 계열로, 두 개의 −OH 와 카보닐 화합물이 결합하면서 물이나 염화수소 같은 저분자가 빠져나온다. 이중결합이 열리며 단량체가 그대로 이어붙어 부산물이 없는 부가중합과는 원리가 다르다.

• −CH₂−CH₂− 반복단위: 에틸렌의 이중결합이 열려 이어진 폴리에틸렌 — 부가중합
• −CH₂−CHCl− 반복단위: 염화비닐의 부가중합으로 얻는 PVC
• −CH₂−CH(C₆H₅)− 반복단위: 스타이렌의 부가중합으로 얻는 폴리스타이렌

이 셋은 모두 비닐 단량체의 부가중합이라 단량체와 반복단위의 조성이 같다는 점에서 구별된다.

융점이 327℃로 매우 높고 내약품성이 뛰어나 화학장치의 부식방지용 내식재료로 널리 쓰이는 고분자는 폴리테트라플루오로에틸렌(PTFE, 테플론)이다.

탄소-불소 결합이 매우 강하고 안정하여 대부분의 산·염기·용매에 침식되지 않는 것이 이 재료의 특징이다.

일산화탄소와 수소로 이루어진 수성가스로부터 인조석유(합성탄화수소)를 만드는 대표적 합성법은 Fischer-Tropsch법이다.

촉매(주로 Fe, Co계) 위에서 CO와 H₂를 반응시켜 사슬 형태의 탄화수소를 합성하는 공정이다.

진성반도체에서 페르미 준위는 밴드갭의 중앙 부근에 위치하므로, 페르미 준위가 가전자대(valence band) 부근에 형성된다는 설명은 틀렸다.

페르미 준위가 가전자대 쪽으로 치우치는 것은 정공이 많은 p형(외인성) 반도체의 특징이지 진성반도체의 특징이 아니다.

전자-정공쌍에 의해서만 전도가 일어나고, 불순물·결함이 거의 없는 화학양론적 물질이며, 저온에서는 부도체처럼 고온에서는 도체처럼 거동한다는 나머지 설명은 진성반도체의 타당한 특징이다.

염화수소 가스 합성($\mathrm{H_2}+\mathrm{Cl_2}\rightarrow2\mathrm{HCl}$) 공정에서 생성된 HCl 가스를 냉각시키는 것은 흡수·회수를 돕는 조작일 뿐, 반응 자체의 폭발을 막는 조치는 아니다.

실제 폭발 방지책은 공기 등 불활성 가스로 염소를 희석하거나, 반응이 급격히 진행되지 않도록 완화 촉매(석영괘·자기괘)를 쓰거나, 수소를 과잉으로 공급해 미반응 염소가 남지 않도록 하는 것이다.

알킬화 반응은 이소부탄과 저급 올레핀을 산 촉매(HF·H₂SO₄)로 결합시켜 고옥탄가 가솔린의 프리미엄 배합 성분(알킬레이트)을 만드는 대표적인 공정이다.

알킬레이트는 가지가 많은 이소파라핀계 탄화수소로 옥탄가가 매우 높아, 그대로 고급 휘발유의 블렌딩 원료로 쓰인다.

솔베이법에서 암모니아를 회수할 때는 $\mathrm{NH_4Cl}$ 용액에 $\mathrm{Ca(OH)_2}$(소석회)를 가하여 증류탑에서 암모니아 가스를 재발생시켜 재사용한다.

반응식은 $2\mathrm{NH_4Cl}+\mathrm{Ca(OH)_2}\rightarrow\mathrm{CaCl_2}+2\mathrm{NH_3}+2\mathrm{H_2O}$이다.

격막법과 수은법으로 만든 가성소다를 비교하면, 수은법 제품의 순도(품질)가 격막법보다 우수하다.

수은법은 수은 아말감을 거쳐 물과 반응시켜 별도의 농축 과정 없이도 고농도·고순도 가성소다를 얻을 수 있는 반면, 격막법은 $\mathrm{NaCl}$이 섞인 묽은 가성소다가 나와 추가 증발농축이 필요하다.

물에 분산시킨 단량체를 수용성 개시제로 중합하는 유화중합의 장·단점이다.

물이 열매체 역할을 해 반응열 조절이 쉽고, 라디칼이 미셀(중합입자) 안에 하나씩 격리되어 정지반응이 억제되므로 중합속도와 중합도를 동시에 크게 할 수 있다. 다른 방법으로는 얻기 어려운 공중합체를 만들 수 있는 것도 이 방식의 강점이다.

반면 유화제·전해질·응집제 같은 첨가제가 제품에 남아 오염되는 것이 대표적인 단점으로, 제시된 단점 항목과 그대로 맞아떨어진다.

• 괴상중합: 첨가제가 없어 순도는 높지만 점도 상승으로 반응열 제거가 가장 어렵다
• 용액중합: 용매가 열을 흡수하나 연쇄이동으로 중합도가 낮아지고 용매 회수 부담이 있다
• 현탁중합: 분산제 오염은 있으나 속도와 중합도를 함께 높이는 미셀 효과는 없다

속도상수는 약 0.231 min⁻¹이다.

압력이 일정한 반응기라도 A의 몰수 변화 $dN_A/dt=-kN_A$는 부피 변화와 무관하게 성립하므로 1차반응의 적분식 $1-X_A=e^{-kt}$를 그대로 쓸 수 있다.

혼합물의 초기 A 비율이 80%이고 $2A\rightarrow R$이므로 팽창인자는 $\varepsilon_A=y_{A0}\times\dfrac{1-2}{2}=0.8\times(-0.5)=-0.4$이고, 부피비 $V/V_0=1+\varepsilon_AX_A=0.8$에서 $X_A=0.5$가 나온다.

$kt=-\ln(1-X_A)=-\ln0.5=0.693$이므로 $k=0.693/3\approx0.231\ \mathrm{min^{-1}}$이다.

van't Hoff 식으로 348 K 의 평형상수를 구하면 K ≈ 3.8 이고, 평형 전환율은 약 79% 이다.

평형상수의 온도 의존성은 $\ln\dfrac{K_{2}}{K_{1}}=-\dfrac{\Delta H_r}{R}\left(\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}\right)$ 이고 K₁ = 300(298 K), ΔH_r = −18000 cal/mol, R = 1.987 cal/mol·K, T₂ = 348 K 이다.

1/348 − 1/298 = −4.82×10⁻⁴ 이므로
ln(K₂/300) = −(−18000/1.987) × (−4.82×10⁻⁴) ≈ −4.37
K₂ = 300 × e^−4.37 ≈ 3.8

A ⇄ R 형 반응의 평형에서 K = X/(1−X) 이므로 X = K/(1+K) = 3.8/4.8 ≈ 0.79, 즉 79%다. 발열반응이라 온도를 50 K 올리는 것만으로 평형상수가 300에서 3.8로 급락해 전환율도 크게 떨어진다.

Arrhenius 식을 로그로 펴면 ln k 는 1/T 에 대해 기울기 −E_a/R 인 직선이 되므로, 우하향하는 곧은 직선 그래프가 옳다.

$k=Ae^{-E_a/RT}$ 의 양변에 자연로그를 취하면 $\ln k=\ln A-\dfrac{E_a}{R}\cdot\dfrac{1}{T}$ 이다. y = ln k, x = 1/T 로 보면 절편은 ln A, 기울기는 −E_a/R 이다.

활성화 에너지가 양수라고 했으므로 기울기는 반드시 음수다. 물리적으로도 1/T 가 커진다는 것은 온도가 낮아진다는 뜻이고, 온도가 낮으면 속도상수가 작아지므로 ln k 가 내려가야 한다.

• 우상향 직선: 온도가 낮을수록 반응이 빨라진다는 뜻이라 활성화 에너지가 음수인 경우다
• 수평선: 온도에 무관한 속도상수, 즉 E_a = 0 인 경우다
• 아래로 볼록한 곡선: ln k 와 1/T 는 1차식 관계라 휘어질 수 없다

직렬로 연결한 두 번째 혼합흐름반응기를 거친 후 전체 전환율은 0.96이 된다.

첫 번째 반응기에서 1차반응 $k\tau=\dfrac{X_1}{1-X_1}=\dfrac{0.8}{0.2}=4$이므로, 동일한 크기·같은 처리유량의 반응기를 하나 더 이어붙이면 두 번째 반응기도 같은 $k\tau=4$를 가진다.

두 번째 반응기의 설계식 $k\tau=\dfrac{C_{A1}}{C_{A2}}-1$에서 $C_{A1}=0.2C_{A0}$를 대입하면 $C_{A2}=\dfrac{C_{A1}}{5}=0.04C_{A0}$가 되어, 전체 전환율 $X=1-0.04=0.96$이 된다.

혼합흐름반응기에서의 전환율은 약 51.5%이다.

정용 회분식 반응기 자료에서 속도상수를 구하면, 부피가 고정돼 있으므로 몰수 변화가 $1-X_A=e^{-kt}$를 그대로 따르고, $0.2=e^{-10k}$에서 $k=\dfrac{\ln5}{10}\approx0.1609\ \mathrm{min^{-1}}$이 나온다.

혼합흐름반응기는 기체 몰수가 늘어나는 반응($A\rightarrow2R$)이라 팽창인자 $\varepsilon_A=1$이고, 설계식 $k\tau=\dfrac{X_A(1+\varepsilon_AX_A)}{1-X_A}$에 $k\tau=0.1609\times10\approx1.609$를 대입해 풀면 $X_A\approx0.515$가 나온다.

충분한 시간이 지나면 A는 비가역 반응으로 모두 소모되어 $C_A\rightarrow0$이 되고, 가역반응 $R\rightleftharpoons S$는 평형에 도달하므로 $C_R=C_S$가 성립한다.

R과 S 사이의 평형상수는 $K=\dfrac{k_2}{k_{-2}}$인데 $k_2=k_{-2}$이므로 $K=1$, 즉 평형에서 두 농도가 같아진다.

물질수지상 $C_R+C_S=C_{A0}=1$이므로 결국 $C_R=C_S=0.5$가 된다.

1/(−r_A) 가 전환율이 커질수록 계속 낮아지므로, 같은 전환율을 얻는 데 부피가 작은 혼합흐름반응기가 더 경제적이다.

설계식으로 보면 플러그흐름반응기는 $\dfrac{V}{F_{A0}}=\int_{0}^{X_A}\dfrac{dX_A}{-r_A}$ 로 곡선 아래 면적이고, 혼합흐름반응기는 $\dfrac{V}{F_{A0}}=\dfrac{X_A}{(-r_A)}$ 로 출구 조건의 1/(−r_A) 를 높이로 하는 직사각형이다.

그래프의 곡선은 X_A = 0 에서 가장 높고 오른쪽으로 갈수록 단조 감소한다. 따라서 가장 낮은 출구 값을 높이로 잡은 직사각형이 곡선 아래 면적보다 항상 작아 혼합흐름반응기 부피가 더 작다.

가격이 부피에만 의존한다고 했으므로 부피가 작은 쪽이 곧 저렴하다. 곡선이 반대로 상승하는 형태라면 플러그흐름반응기가 유리하고, 최소점을 갖는 U자형이라야 두 반응기를 직렬로 조합하는 것이 의미가 있다.

정용 회분식 반응기에서 비가역 0차 반응이 완결($C_A=0$)되는 데 필요한 시간은 초기 농도를 반응속도 정수로 나눈 값과 같다.

0차 반응의 적분식은 $C_A=C_{A0}-kt$이므로, $C_A=0$이 되는 시점은 $t=\dfrac{C_{A0}}{k}$이다.

이 반응의 활성화에너지는 약 24.75 kcal/mol이다.

아레니우스식 $\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$에 $k_1=3.46\times10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}(298\ \mathrm{K})$, $k_2=4.87\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}(338\ \mathrm{K})$을 대입한다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\ln140.75\approx4.947$, $\dfrac{1}{298}-\dfrac{1}{338}\approx3.971\times10^{-4}\ \mathrm{K^{-1}}$이므로 $E_a=\dfrac{1.987\times4.947}{3.971\times10^{-4}}\approx24750\ \mathrm{cal/mol}\approx24.75\ \mathrm{kcal/mol}$이다.

공간시간(space time)은 한 반응기 부피만큼의 반응물을 처리하는 데 필요한 시간을 뜻한다.

정의식으로는 $\tau=\dfrac{V}{v_0}$(반응기 부피 ÷ 공급 부피유량)이며, 공급 조건 기준의 부피유량으로 반응기를 몇 번 채울 수 있는지를 시간 단위로 나타낸 값이다.

30%까지 분해되는 데 걸리는 시간은 약 515초이다.

1차반응 $kt=-\ln(1-X_A)$에서 99% 분해 시 $k\times6646=-\ln0.01\approx4.605$이므로 $k\approx6.929\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}$이다.

30% 분해 시 $t=\dfrac{-\ln0.7}{k}=\dfrac{0.357}{6.929\times10^{-4}}\approx515\ \mathrm{s}$이다.

단위부피당·단위질량당·단위표면적당 생성속도는 각각 $r_i=\dfrac{1}{V}\dfrac{dN_i}{dt}$, $r_i=\dfrac{1}{W}\dfrac{dN_i}{dt}$, $r_i=\dfrac{1}{S}\dfrac{dN_i}{dt}$처럼 서로 다른 기준량으로 나눈 별개의 정의이지, 이 값들이 서로 같을 이유는 없다.

따라서 $r_i/V=r_i/W=r_i/S$처럼 세 값이 항상 같다고 쓰는 것은 틀린 설명이다.

나머지 세 정의(유체 단위부피당, 고체 단위질량당, 고체 단위표면적당 생성 몰수)는 균일계·불균일 촉매계에서 각각 쓰이는 타당한 표현이다.

회분식 반응기는 배치마다 원료 투입·제품 배출·세척 등을 반복해야 하므로, 단위 생산량당 인건비와 취급비가 오히려 많이 드는 것이 단점이다.

따라서 인건비·취급비가 적게 든다는 설명은 회분식 반응기의 특성과 거리가 멀다.

소량 생산에 적합하고, 연속화가 어려운 공정에 쓰이며, 한 장치에서 여러 제품을 만들 수 있다는 점은 회분식 반응기의 실제 장점이다.

양의 반응차수(1차 포함)에서는 같은 전화율을 얻는 데 필요한 반응기 부피가 플러그흐름반응기가 혼합흐름반응기보다 항상 작거나 같다는 성능비교가 성립한다.

혼합흐름반응기(CSTR)는 반응기 전체가 출구 농도(가장 낮은 반응속도)로 균일하게 유지되어 반응속도를 비효율적으로 사용하는 반면, 플러그흐름반응기(PFR)는 입구에서 출구로 갈수록 농도가 연속적으로 변하며 매 지점의 반응속도를 최대로 활용한다.

따라서 부피(공간시간) 관점에서는 플러그흐름반응기가 가장 유리하며, 두 반응기의 직렬 연결은 그 중간 성능을 보인다.

k₁ = k₂ 인 직렬 1차 반응이므로 R 이 최대가 되는 공간시간은 τ = 1/k = 5분이고, 필요한 부피는 8.33 L 이다.

A → R → S 에서 플러그흐름반응기의 R 농도는 $C_R=C_{A0}\dfrac{k_1}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1\tau}-e^{-k_2\tau}\right)$ 인데, k₁ = k₂ = k 인 경우 극한을 취하면 $C_R=C_{A0}\,k\tau\,e^{-k\tau}$ 로 간단해진다.

τ 로 미분해 0으로 두면 $\dfrac{dC_R}{d\tau}=C_{A0}ke^{-k\tau}(1-k\tau)=0$ 에서 τ_opt = 1/k = 1/0.2 = 5 min 이다.

공간시간의 정의 τ = V/v₀ 에 넣으면
V = 5 min × 100 L/h × (1 h / 60 min)
= 5 × 1.667 = 8.33 L

A 가 두 경로로 사라지되 S 생성 쪽은 A 를 2몰씩 쓰므로 순간수율은 1/[1 + (2k₂/k₁)C_A] 가 된다.

순간수율의 정의는 $\varphi=\dfrac{\text{생성된 R의 몰수}}{\text{소모된 A의 몰수}}=\dfrac{r_R}{-r_A}$ 이다.

A 의 총 소모속도는 두 반응을 합하되 2A → S 에서는 화학양론계수가 2이므로
−r_A = k₁C_A + 2k₂C_A²
φ = k₁C_A / (k₁C_A + 2k₂C_A²)

분자·분모를 k₁C_A 로 나누면 $\varphi=\dfrac{1}{1+\dfrac{2k_2}{k_1}C_A}$ 이다. 계수 2가 빠진 형태나 비를 k₁/k₂ 로 뒤집은 형태는 양론계수와 정의를 잘못 반영한 것이다.

두 속도상수는 k₁≒0.131/min, k₂≒6.57×10^-3/min, k₁/k₂=20 이다.

두 경로 모두 A에 대해 1차이므로 A의 총 소모속도는 -dC_A/dt=(k₁+k₂)C_A 이고, 1000초에 전환율 90%라는 조건에서
$\ln\dfrac{1}{1-0.9}=(k_1+k_2)\times 1000\,\mathrm{s}$
k₁+k₂=2.303/1000=2.303×10^-3/s=0.1382/min

생성물 비는 화학양론을 반영해야 한다. A→R 경로는 A 1몰당 R 1몰, A→2S 경로는 A 1몰당 S 2몰을 내므로 C_R:C_S=k₁:2k₂ 이고, R이 S의 10배이므로 k₁/(2k₂)=10 → k₁=20k₂.

이를 합에 대입하면 21k₂=0.1382/min → k₂=0.1382/21≒6.58×10^-3/min(보기에는 6.57×10^-3/min으로 반올림해 적혀 있다), k₁=20k₂≒0.131/min 이 되어 k₁/k₂=20 이다. 계수 2를 놓치면 비가 10으로 잘못 나온다.

반감기와 초기농도의 관계식을 이용하면 이 반응은 3차 반응임을 알 수 있다.

n차 반응(n≠1)의 반감기는 $t_{1/2} \propto C_0^{\,1-n}$ 관계를 가지므로 두 조건의 비를 취하면 $\dfrac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}} = \left(\dfrac{C_{0,1}}{C_{0,2}}\right)^{1-n}$ 이다.

값을 대입하면 $\dfrac{100}{140} = \left(\dfrac{340}{288}\right)^{1-n}$ 이고, 양변에 로그를 취해 풀면 $n \approx 3$이 얻어진다.

순환식 반응기에서 반응기 입구(혼합점)의 전화율은 공급물 전화율과 출구 전화율을 순환비로 가중평균한 값이다.

순수 공급물의 초기 전화율이 0이므로 혼합점 전화율은 $X_i = \dfrac{R}{R+1}\,X_f$ 로 계산된다.

$R=4$, $X_f=0.9$를 대입하면 $X_i = \dfrac{4}{5}\times 0.9 = 0.72$이다.

반응기를 나오는 R의 농도는 6.75 mol/L 이다.

총괄수율(overall yield)은 소모된 A 1몰당 실제로 얻어진 R의 몰수를 뜻하므로, 속도상수를 따로 쓸 필요 없이 $C_R=\Phi\,(C_{A0}-C_A)=\Phi\,C_{A0}X_A$ 로 바로 구한다.

대입하면
C_R=0.75×10 mol/L×0.9
=6.75 mol/L

• 0.675 는 초기농도 10 mol/L를 곱하지 않은 값이다.
• 7.50 은 전환율 0.9를 빠뜨리고 0.75×10만 계산한 값이다.