반응이 수반되는 계의 깁스 상률은 $F=C-P+2-r$로 확장된다($r$: 독립반응 수).

2성분계($C=2$)가 증기와 평형($P=2$)을 이루고 독립반응이 1개($r=1$) 있으므로, $F=2-2+2-1=1$로 자유도는 1이다.

줄-톰슨 팽창은 단열된 좁은 통로(밸브·다공전)를 통해 유체를 팽창시키는 과정으로, 유입과 유출의 엔탈피가 서로 같은 등엔탈피 과정이다.

1기압에서 물의 정상 끓는점은 100℃이므로, 103℃·1기압은 기체(수증기)가 평형상인 영역이다.

이 조건에서 수증기가 물로 응축되는 것은 자발적이지 않은 과정이므로 $\Delta G>0$이며, 무질서도가 큰 기체에서 질서도가 높은 액체로 바뀌므로 $\Delta S<0$이다.

주어진 비리얼 식에서 $V=\dfrac{RT}{P}+BRT$로 정리되며, 등온 과정이므로 $BRT$는 압력에 무관한 상수항이다.

따라서 $dV=-\dfrac{RT}{P^2}dP$로 이상기체와 완전히 동일한 형태가 되며, 등온가역 압축일 $W=-\int P\,dV=RT\ln\dfrac{P_2}{P_1}$ 도 이상기체와 같아진다.

즉 비리얼 계수 B가 존재해도, 등온압축에 필요한 일의 양은 이상기체의 경우와 같다.

반응이 없는 계의 깁스 상률은 $F=C-P+2$이다.

성분수 1, 상수 3(예: 물의 삼중점처럼 고체·액체·기체가 공존)이므로 $F=1-3+2=0$으로 자유도는 0, 즉 온도·압력이 하나로 고정된다.

부호는 a는 (+), b는 (−)가 되어야 한다.

Helmholtz 에너지의 미분형 dA = −S dT − P dV에 교차 2계도함수(∂²A/∂T∂V)를 적용하면 (∂S/∂V)_T = +(∂P/∂T)_V가 나온다.

Gibbs 에너지의 미분형 dG = −S dT + V dP에 같은 조작을 하면 (∂S/∂P)_T = −(∂V/∂T)_P가 나온다. dV 앞이 (−), dP 앞이 (+)라는 부호 차이가 그대로 결과 부호를 뒤집는다.

물리적으로도 등온에서 부피를 늘리면 분자의 배치 가짓수가 늘어 엔트로피가 증가하고(+), 압력을 높이면 반대로 감소하므로(−) 두 관계식의 부호가 서로 반대라는 점으로 검산할 수 있다.

제시된 두 설명은 모두 옳다.

비리얼 전개 Z = 1 + B/V + C/V² + …에서 계수 B, C는 분자 사이의 상호작용 세기를 나타내는 양이다. 순수한 단일 기체에서는 오직 온도만의 함수이며 압력이나 부피가 달라져도 값이 변하지 않는다.

혼합기체에서는 제2비리얼 계수가 B_mix = ΣΣ y_iy_jB_ij로 정의되어, 서로 다른 분자쌍의 교차계수 B_ij가 몰분율과 함께 들어간다. 따라서 온도와 조성 모두의 함수가 된다.

H₂ − H₁은 그 압력에서의 증발열(증발잠열)을 뜻한다.

ln P–H 선도에서 돔 모양 곡선의 왼쪽 가지는 포화액선, 오른쪽 가지는 포화증기선이고 그 안쪽이 액·증기 공존 영역이다. 그림의 H₁은 포화액, H₂는 포화증기의 엔탈피를 가리킨다.

두 점을 잇는 선이 수평, 즉 등압선이므로 압력과 온도가 일정한 상태에서 액이 전부 증기로 바뀔 때의 엔탈피 증가분이 된다. 이것이 곧 증발잠열이다.

융해열과 승화열은 고체가 관여하는 상변화라 액–증기 돔 안에서는 읽을 수 없고, 혼합열은 상변화가 아니라 조성 변화에 수반되는 열이므로 이 구간과 무관하다.

열의 일당량은 427 kgf·m/kcal이다.

1 kcal의 열이 남김없이 일로 바뀌면 427 kgf·m의 일이 되므로, 열의 일당량 J는 ‘일 ÷ 열’ 즉 kgf·m/kcal의 단위를 갖는다.

그 역수인 1/427은 일의 열당량 A로, 단위가 kcal/(kgf·m)이 되어야 한다. 427이라는 수를 그대로 쓰더라도 분자·분모를 뒤집은 kcal·m/kgf 형태의 단위는 성립하지 않는다.

이슬점에서는 수정 라울의 법칙에 따라 $P=\dfrac{1}{\sum(y_i/P_i^{sat})}$이 성립한다.

두 성분이 등몰(각 50%)로 존재하므로 $P=\dfrac{1}{0.5/1+0.5/2}=\dfrac{1}{0.75}\approx1.33\ \mathrm{atm}$으로 계산된다.

단열된 강체 용기이므로 내부에너지·온도·부피·엔탈피는 칸막이를 제거하기 전후로 변하지 않는다(이상기체이고 Cv 일정하므로 U가 그대로면 T도 그대로).

그러나 서로 다른 두 기체가 섞이는 과정 자체는 비가역적인 혼합 엔트로피 증가를 수반하므로, 계의 성질 중 변하는 것은 엔트로피뿐이다.

이상적인 가스터빈(브레이턴) 사이클의 열효율은 압력비만으로 결정되며 $\eta=1-\left(\dfrac{1}{r_p}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}$이다.

압력비 $r_p=6$, 비열비 $\gamma=1.4$를 대입하면 $\eta=1-6^{-0.2857}\approx1-0.60=0.40$으로, 효율은 약 40%가 된다.

이 식이 성립하는 데 등온이라는 조건은 필요하지 않다.

ΔH + Δu²/2 + gΔz = Q + W_s는 정상상태로 흐르는 열린계에 적용하는 총에너지수지식이다. 검사체적을 드나드는 유체가 있어야 엔탈피·운동에너지·위치에너지 항이 의미를 가지므로 열린계와 정상상태는 전제 조건이다.

또한 각 항이 J/kg처럼 단위질량당 에너지로 통일되어야 서로 더할 수 있으므로 이 역시 전제에 들어간다.

반대로 온도는 일정할 필요가 없다. 가열·냉각으로 온도가 변하면 그 효과가 엔탈피 변화 ΔH에 그대로 반영되므로, 등온이 아니어도 식은 그대로 성립한다.

총몰수는 ∑n_i = 8 + 2ε로 나타난다.

초기 몰수의 합은 CH₄ 2 + H₂O 1 + CO 1 + H₂ 4 = 8 mol이다.

CH₄ + H₂O ⇌ CO + 3H₂의 화학량론수 총합은 ν = (−1) + (−1) + (+1) + (+3) = +2이므로, 반응좌표가 ε만큼 진행하면 전체 몰수가 2ε 증가한다.

따라서 ∑n_i = n₀ + νε = 8 + 2ε이고, 각 성분의 몰분율은 y_CH₄ = (2 − ε)/(8 + 2ε)처럼 이 총몰수로 나누어 구한다.

프로판 연소반응은 $\mathrm{C_3H_8+5O_2\rightarrow3CO_2+4H_2O}$이며, 연소열은 헤스의 법칙으로 $\Delta H_c=\sum\Delta H_f^{products}-\sum\Delta H_f^{reactants}$로 구한다.

$[3\times(-393509)+4\times(-285830)]-(-104680)=-2219167\ \mathrm{J/mol}$로 계산되어, 표준연소열은 -2219167 J/mol이다.

열역학 제1법칙은 열과 일이 서로 전환될 수 있는 형태의 에너지이며, 계의 에너지는 창조되거나 소멸되지 않는다는 에너지 보존의 원리를 표현한다.

Carnot 냉동기의 성능계수는 $COP=\dfrac{T_L}{T_H-T_L}$이며, $T_L=268\ \mathrm{K}$, $T_H=293\ \mathrm{K}$이므로 $COP=\dfrac{268}{25}\approx10.7$이다.

필요 일량은 $W=Q_L/COP\approx933\ \mathrm{kcal/h}$이고, 고열원으로 버려야 할 열량은 $Q_H=Q_L+W\approx10933\ \mathrm{kcal/h}$로 약 10932 kcal/h가 된다.

이상기체의 가역 비흐름 폴리트로픽 과정 $PV^{n}=const$에서, 지수 $n$이 비열비(γ=Cp/Cv)와 같아지는 경우가 바로 가역 단열(등엔트로피) 과정이다.

초임계 유체는 온도와 압력이 모두 임계점보다 높은 영역에서 존재하며, 압력이 임계압력보다 낮으면 초임계 상태가 아니다.

이 상태에서는 액상과 기상의 구분이 사라지고 끓는 현상(비등) 없이 열을 가하면 온도·부피가 연속적으로 증가한다.

공비점에서는 액상과 기상의 조성이 같다($x_B=y_B$).

수정 라울의 법칙 $y_BP_t=\gamma_Bx_BP_B$에 $x_B=y_B$를 대입하면 $x_B$가 소거되어 $\gamma_B=P_t/P_B$로 정리된다.

흡수탑에서 이산화탄소는 흡수되지 않는 불활성 성분이므로 그 몰수는 일정하게 유지된다.

기준 100몰(CO₂ 20, NH₃ 80)에서 CO₂ 20몰이 그대로 상부로 빠져나가고, 상부기체의 NH₃ 비율이 35%(CO₂ 65%)이므로 상부 NH₃량은 $20\times\dfrac{0.35}{0.65}\approx10.77$몰이다.

흡수된(제거된) NH₃는 $80-10.77=69.23$몰이며, 제거율은 약 86.54%이다.

기본 깁스 상률 $F=C-P+2$는 성분 간에 반응이 없는 계를 전제로 한 식이다.

독립적인 화학반응이 존재하면 반응식 수 $r$만큼 자유도가 줄어 $F=C-P+2-r$로 고쳐 써야 하므로, 반응계에 기본식을 그대로 적용할 수 있다는 설명은 옳지 않다.

그래서 자유도를 따질 때 화학종 간의 반응이 독립인지 종속인지를 먼저 확인해야 한다.

공기의 성분비를 질량 기준으로 환산한다. 질소($M=28$) 79몰%와 산소($M=32$) 21몰%를 100몰 기준으로 잡으면 질소 질량은 $0.79\times28=22.12$, 산소 질량은 $0.21\times32=6.72$이다.

전체 질량 28.84 중 질소가 차지하는 질량분율은 약 0.767이다.

배가스의 질소는 전량 공급공기에서 온 것이므로, 배가스 100몰($CO_2$ 15, $O_2$ 4, $N_2$ 81) 기준으로 공급공기량은 $81/0.79\approx102.5$몰, 여기 포함된 $O_2$는 $102.5\times0.21\approx21.5$몰이다.

실제 반응에 소비된 산소는 공급량에서 배가스 중 미반응 잔여 산소를 뺀 $21.5-4=17.5$몰이며, 이는 이론적으로 필요한 산소량과 같다.

과잉공기율은 $\dfrac{4}{17.5}\times100\approx22.8\%$로 계산된다.

용액 3L의 질량은 $3000\ \mathrm{cm^3}\times1.15\ \mathrm{g/cm^3}=3450\ \mathrm{g}$이며, 이 중 NaCl 500g을 빼면 물은 2950g이다.

NaCl 몰수는 $500/58.5\approx8.55\ \mathrm{mol}$, 물의 몰수는 $2950/18\approx163.9\ \mathrm{mol}$이다.

따라서 NaCl의 몰분율은 $8.55/(8.55+163.9)\approx0.050$이다.

용액 100g 기준으로 NaCl 20g, 물 80g이라 하면, NaCl 몰수는 $20/58.5\approx0.342\ \mathrm{mol}$, 물의 몰수는 $80/18\approx4.44\ \mathrm{mol}$이다.

몰분율로 환산하면 $0.342/(0.342+4.44)\approx0.071$로, NaCl은 약 7 mol%에 해당한다.

0℃, 1atm에서 22.4㎥는 이상기체 1kmol에 해당한다.

정압가열이므로 $Q=nC_p\Delta T$에서 $3000=1\times4.5\times\Delta T$, 즉 $\Delta T\approx666.7℃$이다.

초기온도 0℃에 더하면 가열 후 온도는 약 666.7℃가 된다.

밀폐된 강체 용기(정적계)이므로 부피 변화에 의한 일이 없어, 전달된 열량은 곧 내부에너지 증가량과 같다.

공기 2kg의 비내부에너지가 100→130kcal/kg로 30kcal/kg 증가했으므로, $Q=\Delta U=2\times30=60\ \mathrm{kcal}$이다.

클라우지우스-클라페이론(Clausius-Clapeyron) 식은 온도에 따른 증기압 변화를 기화열과 연관지어 추산하는 대표적인 열역학 관계식이다.

베르누이 식은 유체역학의 에너지수지식, 레들리히-크봉 식은 실제기체 상태방정식, 키르히호프 식은 반응열의 온도 의존성을 다루는 식으로 증기압 추산과는 무관하다.

혼합 전후의 성분 물질수지를 세우면 L/N = (X_M − X_B) / (X_A − X_M) 가 된다.

전체 질량은 L + N 이고 특정 성분의 질량은 L·X_A + N·X_B 이므로 성분수지는 L·X_A + N·X_B = (L + N)·X_M 이다.
X_M 항을 이항해 정리하면 L(X_A − X_M) = N(X_M − X_B).
양변을 N(X_A − X_M) 으로 나누면 L/N = (X_M − X_B) / (X_A − X_M) 를 얻는다.

이 결과는 지렛대 법칙(lever rule) 과 같은 꼴이다. X_M 이 X_A 에 가까울수록 분모 (X_A − X_M) 이 작아져 L/N 이 커지므로, 혼합 조성에 가까운 쪽 원액이 더 많이 들어간다는 뜻이 된다.

나머지 보기는 두 뺄셈 중 한쪽의 순서를 뒤집었거나 X_A 와 X_B 의 짝을 바꿔 놓은 것이어서, 위 수지식 L(X_A − X_M) = N(X_M − X_B) 를 되돌려 만들어 내지 못한다.

상접점(plait point)은 삼각선도의 이분곡선(binodal curve)에서 추출상과 추잔상의 조성이 서로 같아지는 점을 말한다.

tie line의 길이가 점점 짧아지다가 결국 0으로 수렴하는 극한 위치가 상접점이며, 그 지점에서는 두 평형상이 조성상으로 더 이상 구분되지 않는다.

• tie line을 잇는 선의 중간점이 아니라 tie line 길이가 0이 되는 점이다.
• 상접점이 추출의 최적 조건을 의미하는 것은 아니며, 오히려 두 상의 구분이 사라지는 한계점이다.

맞흐름(향류) 흡수탑에서는 액체와 기체의 몰 유량비(L/V)가 조작선의 기울기를 결정하므로, 흡수탑의 경제성(소요 단수·탑 높이와 액 순환 비용의 트레이드오프)에 큰 영향을 미친다.

L/V가 클수록 조작선이 평형선에서 멀어져 구동력은 커지지만 액 순환·재생 비용이 늘고, 작을수록 반대의 문제가 생기므로 이 비율의 선정이 흡수 공정 설계의 핵심이다.

• 기체속도가 일정할 때 액 유속이 줄면 조작선의 기울기(L/V)는 오히려 감소한다.
• L/V가 커지면 조작선과 평형곡선의 거리는 늘어나 구동력이 커지고, 필요한 탑 길이는 오히려 짧아지는 방향이다.
• 물질전달 구동력은 조작선과 평형선 사이 거리에 비례하며 반비례하지 않는다.

습도(Y, kg 수증기/kg 건조공기)는 수증기와 건조공기의 몰비에 분자량비를 곱해 구한다.

$Y = \dfrac{p_w}{P - p_w} \times \dfrac{M_w}{M_{air}}$

수증기 분압 $p_w = 20\ \mathrm{mmHg}$, 전압 $P = 760\ \mathrm{mmHg}$, 물의 분자량 18, 공기의 분자량 30을 대입하면
$Y = \dfrac{20}{740} \times \dfrac{18}{30} \approx 0.016$

이상기체 상태방정식 $PV = nRT$에서 몰수 n은 압력·부피·온도에 의해서만 결정되며 분자량과는 무관하다.

A와 B는 부피·압력·온도가 모두 같으므로, 분자량이 달라도 $n = \dfrac{PV}{RT}$ 값은 동일하게 나온다.

따라서 두 기체의 몰수는 서로 같다.

다중효용관은 앞 효용관에서 발생한 증기를 다음 효용관의 가열 열원으로 재사용하는 구조로, 압력과 온도가 뒤로 갈수록 낮아지도록 설계된다.

이렇게 해야 앞 효용관에서 생긴 증기가 응축될 때 뒤 효용관의 액체를 끓일 수 있는 온도차가 확보되므로, 마지막 효용관의 증기 공간 압력이 가장 낮다 — 압력이 가장 높다는 설명은 이 구조와 반대된다.

첫 효용관에 생수증기가 공급되고, 수증기~응축기 사이 압력차가 여러 효용관에 분산되며, 소모 수증기량·가열면적·근사온도·마지막 효용관 유출 증기량이 설계 목표가 된다는 나머지 설명은 다중효용관의 일반적 특징과 일치한다.

동일한 열량이 각 효용관을 통과한다고 보면 $Q = UA\Delta T$에서 면적 A가 같을 때 각 효용관의 온도차는 총괄열전달계수에 반비례하여 배분된다.

전체 온도차는 $110-82=28\ \mathrm{^\circ C}$이며, $\Delta T_1 : \Delta T_2 = \dfrac{1}{U_1} : \dfrac{1}{U_2} = \dfrac{1}{300} : \dfrac{1}{100} = 1:3$이다.

따라서 $\Delta T_1 = 28\times\dfrac{1}{4}=7\ \mathrm{^\circ C}$이고, 제1증발관 액체의 비점은
$110-7=103\ \mathrm{^\circ C}$

플런저 펌프(plunger pump)는 피스톤/플런저의 왕복운동으로 유체를 밀어내는 대표적인 왕복식(용적식) 펌프이다.

• 기어 펌프는 맞물린 기어로 유체를 이송하는 회전식 용적펌프이다.
• 볼류트 펌프와 터빈 펌프는 임펠러 회전으로 유체에 에너지를 전달하는 원심펌프 계열이다.

유체-에너지 밀(제트밀)은 압축공기 등 유체의 흐름으로 입자를 고속으로 가속시켜 입자끼리 또는 입자와 기벽 사이의 충돌·마찰·마멸로 분쇄하는 장치이다.

이 과정에서 지배적인 것은 기계적 충격·마찰이며, 입자와 기벽 간 열전달은 분쇄 메커니즘과는 무관한 현상이므로 분쇄 원리로 볼 수 없다.

지름이 일정한 관을 통해 압력용기의 기체가 대기로 방출될 때, 관 내 유속은 음속(Mach 1)에서 초크(choked flow)되어 더 이상 빨라지지 않는다.

단면이 축소-확대되는 노즐이 아닌 일정 단면의 관에서는 상류 압력을 아무리 높여도 초음속 흐름을 만들 수 없다. 유량은 임계압력비에서 최대가 되고 그 이상 압력을 높여도 관내 속도는 음속에 머문다.

Re=1600은 임계 레이놀즈수(약 2100) 이하이므로 층류(laminar flow) 상태이다.

층류에서 Fanning 마찰계수는 $f = \dfrac{16}{Re}$로 주어지므로
$f = \dfrac{16}{1600} = 0.01$

저장조의 액위는 적산(integrating) 공정으로, 유입량과 유출량이 다르면 새로운 정상상태에 정착하지 못하고 액위가 계속 변한다는 점이 이 문제의 핵심이다.

유입유량이 변하지 않는다면 액위 자체가 적분 요소로 작용하므로, 비례동작(P)만으로도 설정점 변화에 대해 오프셋 없는 제어가 가능하다 — 일반적인 자기조절 공정에서 P제어가 반드시 오프셋을 남기는 것과 대비되는 성질이다.

• 반대로 설정점이 고정된 상태에서 유입유량(외란)이 변하면 비례동작만으로는 오프셋이 남는다.
• 유입유량이 일정한데 유출유량을 계단으로 바꾸거나 그 반대인 경우, 두 유량이 같아지지 않는 한 액위는 어느 일정 수준에 머무르지 못하고 계속 변한다.

PI 제어기는 적분동작 덕분에 오프셋(정상상태 편차)을 제거할 수 있지만, 미분동작이 없어 에러의 변화 추세(미래 에러)를 미리 반영하지 못한다.

• P형은 적분동작이 없어 오프셋 자체가 남는다.
• PD형은 미분동작으로 추세를 반영하지만 적분동작이 없어 오프셋이 남는다.
• PID형은 미분동작까지 포함해 미래 에러 경향도 반영할 수 있다.

외란 T_I 를 0 으로 두고 설정값 변화에만 대한 응답을 보는 것이 서보 문제이므로 T/T_R = G_CG_I / (1 + G_CG_I) 이다.

선도를 따라가면 비교점에서 만들어진 오차 (T_R − T) 가 G_C 를 지나고, 그 출력에 외란 T_I 가 더해진 뒤 G_I 를 통과해 T 가 되며, T 는 이득 1 로 그대로 되먹임된다.
식으로 쓰면 T = G_I[G_C(T_R − T) + T_I] 이고, T_I = 0 을 넣으면 T(1 + G_CG_I) = G_CG_IT_R 이 된다.

• 분자가 G_I 뿐인 식은 반대로 T_R = 0 으로 두고 외란만 볼 때 얻는 조절 문제(regulator problem)의 전달함수 T/T_I 다.
• 분자에 G_C 만 남은 식이나 분모가 (1 + G_C) 인 식은 고리를 한 바퀴 돈 이득이 G_CG_I 라는 점을 빠뜨린 것이다.

위상앞섬(phase lead)은 위상각이 양(+)일 때 나타나고, 주어진 것 중 1 + τs 형태만 그렇다.

s = jω 를 넣으면 1 + jωτ 이고 위상각은 φ = tan⁻¹(ωτ) > 0 이다.
이는 미분 동작(D)에 해당하는 항이어서 정현파 입력에 대해 출력이 입력보다 앞선 위상으로 나온다.

• 1/(τs + 1) 은 1차 지연계로 φ = −tan⁻¹(ωτ) 이어서 위상이 뒤진다.
• e^−τs 는 수송지연(dead time)으로 φ = −ωτ 가 되어 주파수가 커질수록 한없이 뒤진다.
• 1 + 1/(τs) 는 적분 동작이 들어간 형태로 φ = −tan⁻¹(1/ωτ) 이어서 역시 뒤진다.

감도(sensitivity)는 입력 변화에 대한 계측기 출력의 반응 정도를 나타내므로, 작은 변화도 잘 잡아내려면 클수록 유리한 특성이다.

반면 시간상수·응답시간·수송지연은 모두 계측 반응이 느려지는 요인이므로 작을수록 바람직하다.

충격응답은 계단응답을 시간으로 미분한 것이므로 (t/τ²)·e^−t/τ 이다.

계단입력의 라플라스 변환이 1/s, 충격입력이 1 이므로 충격응답 = d(계단응답)/dt 관계가 성립한다.
Y(t) = 1 − (1 + t/τ)e^−t/τ 를 곱미분하면 dY/dt = −(1/τ)e^−t/τ + (1 + t/τ)·(1/τ)e^−t/τ 이고,
공통항 (1/τ)e^−t/τ 로 묶으면 (1/τ)(−1 + 1 + t/τ)e^−t/τ = (t/τ²)e^−t/τ 가 된다.

주어진 계단응답은 시간상수가 같은 1차계 두 개가 직렬로 붙은 임계감쇠 2차계(전달함수 1/(τs+1)²)의 것으로, t = 0 에서 응답값도 기울기도 0인 특징이 충격응답에 그대로 나타난다. 괄호에 (1 + t/τ) 나 (1 − t/τ²) 가 그대로 남은 식은 미분 과정에서 서로 상쇄되는 −1 과 +1 을 정리하지 않은 결과이고, (t/τ) 만 남은 식은 τ 의 차수를 하나 빠뜨린 것이다.

순방향 경로가 G₁G₂G₃, 되먹임 경로가 G_m 인 음되먹임 고리이므로 C/R = G₁G₂G₃ / (1 + G_mG₁G₂G₃) 이다.

비교점의 출력은 R − G_mC 이고 이 신호가 G₁, G₂, G₃ 를 차례로 지나 C 가 되므로 C = G₁G₂G₃(R − G_mC) 이다.
C 로 정리하면 C(1 + G₁G₂G₃G_m) = G₁G₂G₃R 이 되어 위 결과를 얻는다.

즉 분자는 순방향 이득, 분모는 1 + 고리를 한 바퀴 돈 이득이라는 표준 형태다. 분모가 (1 + G_m) 뿐인 식은 되먹임 신호가 G₁G₂G₃ 를 지나 온다는 점을 빠뜨린 것이고, 분자와 분모를 통째로 뒤집어 놓은 식은 R/C 를 구한 꼴이라 총괄전달함수가 아니다.

시간상수(time constant)는 시간의 단위를 갖는 계 고유의 상수로, 저항과 용량의 곱($\tau = R \times C$)과 같은 값을 가지며, 단위계단 입력에 대해 최종값의 63%에 도달하는 시간과 일치한다.

반면 "입력함수와 출력함수 사이의 직선적 비례상수"는 시간상수가 아니라 정상상태 이득(gain)을 설명하는 표현이므로, 시간상수의 정의로는 옳지 않다.

전달함수의 안정성은 pole(극)의 위치로 결정되며, zero(영)의 위치는 안정성 자체와는 무관하다 — 양의(우반평면) zero가 있어도 모든 pole이 좌반평면에 있으면 시스템은 안정하다.

다만 양의 zero는 계단입력에 대해 역응답(inverse response)을 유발할 수 있고, 순허수 pole은 진폭이 일정한 지속 진동 응답에 대응되며, 물리적으로 실현 가능한 공정에서는 pole 개수가 zero 개수 이상이어야 한다는 나머지 설명은 모두 옳다.

운전 비유에서 손(핸들 조작)은 조향장치를 직접 움직이는 최종제어요소에 해당하며, 판단·지시를 내리는 제어기 역할은 두뇌가 맡는다.

따라서 "손 - 제어기"라는 연결은 잘못되었고, 눈은 계측기, 발은 페달을 조작하는 최종제어요소, 자동차는 공정에 대응된다는 나머지 연결은 타당하다.

선형 제어계가 안정하려면 특성방정식의 모든 근이 S평면의 좌반면, 즉 실수부가 음(-)인 영역에 있어야 한다.

근의 실수부가 양이면 시간에 따라 응답이 발산하고, 실수부가 0(허수축 위)이면 진폭이 일정한 지속 진동으로 한계안정 상태가 되므로, 안정성의 필요충분조건은 모든 근의 실수부가 음수인 것이다.

되먹임 제어는 측정된 편차에 반응해 조작량을 바꾸는 방식이므로, 응답속도가 빠른 공정일수록 편차 발생과 제어 동작 사이의 지연이 작아 제어가 쉽다.

반대로 시간지연이 크거나 역응답이 있거나 비선형성이 큰 공정은 되먹임 신호가 실제 상태를 늦게·왜곡되게 반영해 튜닝과 안정적 제어가 어려워진다.

단위계단 입력에 대한 응답은 y(t) = 1 − e^−t(cos t + sin t) 이다.

Y(s) = G(s)·(1/s) = 2 / [s(s² + 2s + 2)] 이고, 분모의 2차식은 (s + 1)² + 1 로 완전제곱 정리된다.
부분분수로 나누면 Y(s) = 1/s − (s + 2)/[(s + 1)² + 1] = 1/s − (s + 1)/[(s + 1)² + 1] − 1/[(s + 1)² + 1] 이다.
각 항을 역변환하면 y(t) = 1 − e^−tcos t − e^−tsin t 이다.

이 계는 τ = 1/√2, ζ ≈ 0.707 인 감쇠진동(underdamped) 2차계여서 감쇠항 e^−t 와 진동항 cos t·sin t 가 함께 나오고 최종값은 1 로 수렴한다. 괄호 안이 (cos t − sin t) 인 식은 부분분수 계수가 맞지 않아 t = 0 에서 y(0) = 0 조건을 어기고, 부호가 + 인 식은 최종값이 1 이 되지 않으며, 지수가 e^+t 인 식은 시간이 지날수록 발산해 안정한 계의 응답이 될 수 없다.

설정값은 1 까지 올라가는데 출력은 0.2 에서 멈추므로 잔류편차는 0.8 이다.

단위계단이므로 R(s) = 1/s 를 대입하면 y(s) = 0.2 / [s(3s + 1)] 이다.
최종값 정리로 y(∞) = lim_s→0 s·y(s) = 0.2 / (3·0 + 1) = 0.2.
offset = R(∞) − y(∞) = 1 − 0.2 = 0.8.

폐회로 이득이 1 이 아니라 0.2 이면 설정값의 20 % 까지만 따라간다는 뜻이고, 시간상수 3 은 도달 속도만 좌우할 뿐 잔류편차 크기에는 영향을 주지 않는다. 부호가 음수인 값은 출력이 설정값을 넘어섰을 때 나오는 결과라 이 경우와 맞지 않고, 0.2 는 잔류편차가 아니라 최종 출력값 자체다.

정현파 입력 $u(t) = A\sin(\omega t)$에 대해 충분히 시간이 지난 후의 출력은 $y(t) = A|G(i\omega)|\sin(\omega t + \phi)$이며, 여기서 $\phi$는 $G(i\omega)$의 위상각이다.

$G(2i) = -1-i$이므로 크기는 $|G(2i)| = \sqrt{2}$이고, 위상은 3사분면 값이므로 $\phi = -\dfrac{3\pi}{4}$이다.

입력 진폭이 2이므로 출력 진폭은 $2\sqrt{2}$가 되어
$y(t) = 2\sqrt{2}\sin\left(2t-\dfrac{3\pi}{4}\right)$

이 시스템은 유입유량과 가열기 전력, 두 개의 조작변수로 출력흐름의 온도와 유량, 두 개의 제어변수를 동시에 다루므로 입력과 출력이 각각 2개씩인 시스템이다.

따라서 이 시스템은 다중 입력 – 다중 출력(MIMO) 시스템으로 분류된다.

진폭비가 저주파에서 평평하다가 꺾임점 뒤로 기울기 +1 로 계속 커지는 모양이므로 비례-미분(PD) 제어기다.

가로축 ωτ_d, 세로축 AR/K_c 인 양대수 선도에서 ωτ_d ≪ 1 이면 AR/K_c ≈ 1 로 수평이고, ωτ_d = 1 부근에서 꺾인 뒤 ωτ_d = 10 에서 약 10 까지 올라간다.
이는 G = K_c(1 + τ_ds) 의 진폭비 AR/K_c = √(1 + (ωτ_d)²) 와 같은 모양이며, 가로축 기호가 미분시간 τ_d 인 점도 이를 뒷받침한다.

• 비례 제어기라면 모든 주파수에서 AR/K_c = 1 인 수평선만 나온다.
• 비례-적분 제어기는 저주파에서 기울기 −1 로 치솟고 고주파에서 1 로 평평해져 그림과 좌우가 반대다.
• 적분과 미분만 있는 형태는 저주파와 고주파 양쪽에서 진폭비가 커지고 중간에 골이 생겨, 그림처럼 평평한 구간이 나타나지 않는다.

라플라스 변환은 선형성(덧셈에 대한 분배)은 성립하지만, 시간영역에서 두 함수의 곱에 대한 변환은 각 변환의 곱과 같지 않다 — 이는 오히려 합성곱(convolution) $f(t)*g(t)$의 변환에 해당한다.

모든 연속함수가 라플라스 변환을 갖는 것은 아니라는 것, 합의 변환은 각 변환의 합과 같다는 것, 2계 도함수의 변환식 $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$은 모두 옳은 설명이다.

Routh 배열의 첫 번째 컬럼 부호가 바뀐 횟수는 우반평면(불안정) 근의 개수와 같다는 것이 Routh-Hurwitz 판별법의 핵심이며, 특성방정식 계수의 부호가 서로 다르면 불안정하다는 것은 판별의 필요조건이다.

다만 첫 번째 컬럼에 0이 나타나는 것 자체는 불안정을 의미하지 않는다 — 이는 허수축 위의 근(한계안정) 등 특수한 경우일 수 있어, 0을 작은 값 ε으로 치환해 별도로 계속 판별해야 하는 예외적 상황일 뿐이다.

공정의 시상수가 클수록 응답이 느려지므로, 적분동작이 그 느린 동특성을 따라가도록 적분시간도 크게 설정해야 과도한 적분 되먹임으로 인한 불안정을 피할 수 있다.

• 공정 이득이 클수록 제어기 이득은 오히려 작게 설정해야 루프 전체 이득이 과도해지지 않는다.
• 시간지연이 클수록 안정성을 위해 제어기 이득은 작게 설정해야 한다.
• 빠른 폐루프 응답을 원한다면 일반적으로 제어기 이득을 크게 설정한다.

암모니아 합성법은 반응압력 수준으로 구분되는데, Claude법은 약 1000atm에 이르는 초고압 공정이므로 이 짝지음이 옳다.

Casale법 역시 600~750atm대의 고압법으로 분류되어 약 300atm과는 맞지 않고, Fauser법과 Haber-Bosch법은 300atm 전후의 중압법이므로 약 600atm·약 500atm이라는 짝지음도 실제 조업 압력과 다르다.

니트로벤젠을 완전히 환원해 아닐린을 얻으려면 산성 조건에서 금속에 의한 환원, 즉 Zn + Acid(산) 조합이 적합하다 — 산성 매질의 금속이 발생기 수소(nascent hydrogen)를 충분히 공급해 니트로기를 아민기까지 완전히 환원시킨다.

반면 중성 조건(Zn + Water)에서는 페닐히드록실아민 단계에서, 알칼리성 조건(Zn + Alkali)이나 알칼리성 황화물에서는 아조·하이드라조 화합물 등 중간 단계에서 환원이 멈추기 쉬워 아닐린을 얻기에 적합하지 않다.

Leblanc법은 원료 투입부터 반응, 후처리까지 회분식(batch process)으로 진행되어 인건비와 생산성 면에서 불리했다.

이후 등장한 Solvay(암모니아소다)법은 연속식 공정으로 원가와 효율에서 크게 앞섰기 때문에, Leblanc법은 비연속적인 회분식 공정이라는 근본적 한계 때문에 오늘날 전적으로 폐기되었다.

피리딘(pyridine)은 질소를 고리 안에 포함하는 대표적인 질소 함유 헤테로고리 화합물로, 원유 중 질소화합물의 전형적인 예이다.

나프텐산은 산소를 포함한 카르복시산이며, 나프토티오펜과 벤조티오펜은 황(S)을 포함한 황화합물이므로 질소화합물이 아니다.

반응식에서 수소 1몰(22.4L)이 반응하면 44.12kcal가 발생한다. 200L의 수소는 $200/22.4=8.93$몰에 해당하므로, 발생 열량은 $8.93 \times 44.12 \approx 394\,\text{kcal}$이다.

디메틸텔레프탈레이트(DMT)와 에틸렌글리콜을 축중합시키면 에스테르 결합이 반복되는 폴리에스테르 섬유(PET)가 생성된다.

이는 폴리에스테르 섬유의 대표적인 공업적 합성 경로로, 아크릴이나 폴리아미드, 폴리비닐알코올 섬유의 제조 원료와는 다르다.

동역학적 사슬길이는 라디칼 1개당 소모된 모노머 수이므로, 라디칼 2개가 개시에 관여하고 모노머 2000개가 소모되었다면
$\nu = \dfrac{2000}{2} = 1000$

정지반응이 재결합(combination)으로 일어나면 성장하던 두 사슬이 결합해 고분자 하나가 되므로 중합도는 동역학적 사슬길이의 2배가 된다.
$X_n = 2\nu = 2\times1000 = 2000$

공급 소금물을 양극액 온도로 예열하거나, 전해조 재료의 저항을 줄이거나, 전해조를 보온하는 조치는 모두 열·전기 손실을 줄여 전력원단위를 개선하는 방법이다.

반면 망초(Na₂SO₄)는 불순물로, 함량이 높아지면 격막을 막거나 전해질 저항을 늘려 전력 효율을 떨어뜨리므로 낮게 유지해야 하며, 2% 이상으로 유지하는 것은 오히려 전력원단위를 악화시키는 조치다.

고리에 붙은 치환기가 전자를 밀어 줄수록 설폰화가 쉬우므로 아미노기(–NH₂)를 가진 아닐린이 가장 잘 일어난다.

설폰화는 SO₃(또는 HSO₃⁺)가 친전자체로 작용하는 방향족 친전자성 치환이라, 고리의 전자밀도가 높을수록 반응이 빨라진다.
–NH₂ 는 질소의 비공유 전자쌍을 고리로 내주는 강한 활성화기이며 o-, p- 배향성을 나타낸다.

• –NO₂ 는 대표적인 강한 전자끌개로 고리를 크게 비활성화시켜 치환이 매우 느리다.
• 이미 –SO₃H 가 붙어 있는 것은 그 치환기 자체가 전자끌개라 두 번째 설폰화가 더 어렵다.
• –NR₃ 는 질소의 결합이 모두 채워져 고리로 내줄 비공유 전자쌍이 없고, 질소 쪽 양전하가 오히려 고리 전자를 끌어당겨 가장 불리하다.

전기화학 반응의 깁스자유에너지 변화와 기전력 사이에는 $\Delta G = -nFE$의 관계가 성립한다.

이를 E에 대해 정리하면 부식반응의 구동력은
$E = -\dfrac{\Delta G}{nF}$

양이온 중합에서는 보통 Lewis 산(예: BF₃, AlCl₃ 등)이 공개시제(coinitiator)로 작용해 개시제와 함께 활성 양이온종을 형성하고 중합을 개시한다.

Lewis 염기나 유기금속염기, sodium amide는 오히려 음이온 중합 계열에서 쓰이는 물질로 양이온 중합의 공개시제와는 거리가 멀다.

Si 건식식각에는 CF₄, HBr, CClF 같은 할로겐 계열 기체가 반응성 라디칼·이온을 만들어 식각제로 쓰인다.

반면 C₆H₆(벤젠)은 할로겐을 포함하지 않는 방향족 탄화수소로, 실리콘 건식식각 공정에 쓰이는 기체가 아니다.

Friedel-Crafts 반응은 알킬화(알킬할라이드·알켄)나 아실화(산할라이드·산무수물)처럼 친전자체를 형성할 수 있는 이탈기를 가진 화합물이 필요하다.

$\mathrm{(CH_3CO)_2O}$(무수아세트산)는 아실화제, $\mathrm{CH_3CH=CH_2}$와 $\mathrm{CH_3CH_2Cl}$은 알킬화제로 쓰이지만, 아세톤(CH₃COCH₃)은 적절한 이탈기가 없어 Friedel-Crafts 반응의 시약으로 쓰이지 않는다.

수증기증류법은 수증기를 함께 흘려 유분의 분압을 낮춤으로써, 상압에서보다 훨씬 낮은 온도에서도 고비점 유분이 유출되도록 하는 증류법이다.

이 방법은 열분해가 쉬운 중질유를 무리하게 고온으로 가열하지 않고도 분리할 수 있게 해주며, 가압증류·상압증류·공비증류와는 목적과 원리가 다르다.

건식법은 인광석을 전기로나 용광로에서 환원·기화시켜 인 증기를 얻은 뒤 이를 별도로 산화시켜 오산화인을 만들고 물에 흡수시키는 방식이라 철·알루미늄·칼슘 같은 불순물이 인산에 섞이지 않아 순도가 높은 인산을 얻는다.

따라서 철, 알루미늄, 칼슘의 일부가 인산 중에 함유되어 순도가 낮다는 설명은 건식법이 아니라 광석을 황산으로 직접 분해하는 습식법의 특징이다.

• 전기로법과 용광로법으로 나뉘는 것은 건식법의 실제 구분이다.
• 저품위 광석도 쓸 수 있는 것은 불순물이 슬래그로 분리되기 때문이다.
• 인의 기화와 산화를 별도 공정으로 진행하는 것이 건식법의 핵심 원리다.

접촉식 황산 제조의 핵심 반응식은 $2\text{SO}_2 + \text{O}_2 \rightleftharpoons 2\text{SO}_3$이다. SO₃ 1kmol을 생산하려면 SO₂ 1kmol과 O₂ 0.5kmol이 필요하다. 공기 중 산소의 부피 분율은 21%이므로, 필요한 O₂ 0.5kmol을 얻기 위한 공기의 부피는 $\frac{0.5}{0.21} = 2.381\text{ kmol}$이다. 표준상태(STP)에서 기체 1kmol의 부피는 22.4 Sm³이므로, 필요한 공기의 최소량은 $2.381 \times 22.4 = 53.3\text{ Sm}^3$이다.

모노글리세라이드는 글리세롤의 하이드록시기 중 하나만 지방산과 에스테르 결합을 이룬 구조로, 이온화되는 작용기가 없어 비이온 계면활성제로 분류된다.

식품·화장품용 유화제로 널리 쓰이며, 양쪽성·양이온·음이온 계면활성제처럼 전하를 띠는 극성기를 갖지 않는다는 점이 특징이다.

암모니아 산화법(오스트발트법)에서 암모니아가 최종적으로 질산이 되는 총괄반응은 $\mathrm{NH_3}+2\mathrm{O_2}\rightarrow\mathrm{HNO_3}+\mathrm{H_2O}$이다.

암모니아 1몰당 질산 1몰(63 g)과 물 1몰(18 g)이 함께 생기므로, 흡수탑에서 얻어지는 질산 용액의 농도는 $\dfrac{63}{63+18}\times100\approx77.8\%$, 즉 약 78 wt%가 된다.

더 진한 질산이 필요하면 진한 황산 등을 쓰는 별도의 농축 공정을 거쳐야 한다. 참고로 68%는 질산-물의 공비 조성이지 이 반응으로 바로 얻어지는 농도가 아니다.

골분(뼈를 분쇄한 것)은 인산 성분이 주된 인산질 비료의 원료이지 칼륨비료의 원료가 아니다.

• 칼륨광물(광물성 칼륨염)은 대표적인 칼륨비료 원료다.
• 초목재(식물을 태운 재)에는 탄산칼륨이 들어 있어 예로부터 칼륨 공급원으로 쓰였다.
• 간수(제염 부산물)에는 염화칼륨이 남아 있어 칼륨비료 원료가 된다.

회분 반응기의 반응시간은 1/(−r_A) 곡선 아래의 면적, 즉 B·C·D·E 로 둘러싸인 영역이다.

정용 회분 반응기의 설계식 t = ∫ dC_A/(−r_A) 은 세로축 1/(−r_A) 를 가로축 C_A 로 적분한 넓이가 곧 시간임을 뜻한다.
그림에서 적분 구간의 아래끝은 반응이 끝난 점 D 의 C_A 값이고 위끝은 점 C 의 C_A 값이므로, 세로변 D–E, 곡선 E–B, 세로변 B–C, 가로축 C–D 로 닫힌 영역이 답이 된다.

나머지 보기는 같은 그림의 다른 조각을 가리킨다. 직사각형 ABCD 는 곡선을 무시하고 점 B 의 1/(−r_A) 값을 전 구간에 그대로 적용한 넓이라 실제 적분값보다 크고, ABE 는 그 직사각형에서 곡선 아래 면적을 뺀 나머지(곡선 위쪽) 조각이며, 직사각형의 절반은 곡선의 모양과 아무 관계가 없는 값이다. 셋 다 ∫dC_A/(−r_A) 와 같아지지 않는다.

자동촉매반응에서 전화율이 낮은 구간을 노린다면 혼합흐름반응기(CSTR)가 유리하다.

그림의 −r_A 대 C_A 곡선은 위로 볼록한 산 모양이라, 반응이 시작되는 오른쪽 끝(C_A 가 큰 쪽)에서는 생성물이 거의 없어 속도가 0 에 가깝고 반응이 진행될수록(화살표 방향) 속도가 커진다.
따라서 낮은 전화율 구간에서는 1/(−r_A) 가 매우 크게 치솟는 구간을 지나야 하는데, 플러그흐름반응기는 그 큰 값을 처음부터 끝까지 모두 적분해야 한다.

반면 혼합흐름반응기는 들어온 원료가 생성물이 섞인 출구 조건으로 곧바로 희석되어 처음부터 빠른 속도로 반응하므로 같은 전화율에 필요한 부피가 더 작다. 전화율이 높아져 곡선의 왼쪽 내리막 구간이 지배적이 되면 반대로 플러그흐름반응기가 유리해지므로, 반응기 종류에 따라 성능이 분명히 갈리며 그 기준은 온도가 아니라 목표 전화율이다.

PFR 설계식 $V=F_{A0}\displaystyle\int_0^X\dfrac{dX}{-r_A}$에서 0차 반응은 반응속도가 농도와 무관하게 일정하므로 $V=\dfrac{F_{A0}X}{-r_A}$로 간단해진다.

전화율은 $X=\dfrac{C_{A0}-C_{Af}}{C_{A0}}=\dfrac{10-5}{10}=0.5$이고, 반응속도는 $-r_A=10\ \mathrm{mol/(L\cdot h)}$로 일정하다.

따라서 $V=\dfrac{1000\ \mathrm{mol/h}\times0.5}{10\ \mathrm{mol/(L\cdot h)}}=50\ \mathrm{L}$로, 요구되는 반응기 부피는 50 L이다.

공간시간에 제약이 없다면 가능한 한 낮은 온도에서 반응시켜야 목적물 R을 가장 많이 얻는다.

이 반응은 A가 1단계로 R이 되고 R이 다시 2단계로 S가 되는 직렬반응이라 목적물 R이 중간체다. 중간체의 최대 수율은 $\dfrac{C_{R,\max}}{C_{A0}}=\left(\dfrac{k_1}{k_2}\right)^{k_2/(k_2-k_1)}$ 이므로 k₁/k₂ 가 클수록 R이 많이 남는다.

$\dfrac{k_1}{k_2}=\dfrac{A_1}{A_2}\exp\!\left(\dfrac{E_2-E_1}{RT}\right)$ 인데 E₁＜E₂ 라서 지수의 분자가 양수다. 즉 온도를 낮출수록 k₁/k₂ 가 커진다. 다만 저온에서는 반응이 느려 필요한 공간시간이 길어지므로, 공간시간을 얼마든지 늘릴 수 있을 때에만 최저온도가 최선이 된다.

• 등온이면서 공간시간이 정해진 경우에 온도를 최고로 올리면 활성화에너지가 큰 R→S 쪽이 더 크게 가속되어 R이 S로 넘어가 버린다. 이때는 주어진 공간시간 안에서 R이 최대가 되는 중간 온도가 있을 뿐이다.
• 반응 후반은 R이 가장 많이 쌓여 있는 구간이므로, 진행될수록 온도를 올리는 조작은 하필 손실이 가장 커지는 시점에 R→S 를 가속하는 셈이다.

정용 회분식 반응기에서 초기압력이 다른 두 실험의 반감기를 비교하면 반응차수를 구할 수 있다. n차 반응의 반감기는 초기농도(압력)에 대해 $t_{1/2}\propto P_0^{\,1-n}$의 관계를 따른다.

두 조건을 대입하면 $\dfrac{410}{880}=\left(\dfrac{363}{169}\right)^{1-n}$이 되고, 양변에 로그를 취해 정리하면 $1-n\approx-1.0$, 즉 $n\approx2$가 나온다.

반감기가 초기압력에 반비례하는(초기압력이 낮을수록 길어지는) 경향은 2차 반응의 특징과 일치한다.

발열반응의 단열 조작선은 전화율과 온도가 에너지수지에 의해 정비례하는 직선으로 나타난다. 반응기에 외부 열을 추가로 공급하면 같은 온도 상승을 만드는 데 반응열만으로 얻는 전화율보다 더 적은 전화율만 필요하게 되어, 동일한 전화율에 도달하기 위한 온도 상승폭이 단열 조작보다 커진다.

즉 전화율-온도 그래프에서 조작선이 온도축 쪽으로 눕게 되므로, 가열 시 기울기는 단열과정보다 감소한다.

아레니우스 식으로 두 온도에서의 속도상수 비를 구하면 반응이 몇 배 빨라지는지 계산할 수 있다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$에서 $T_1=546\,\mathrm{K}$(273℃), $T_2=819\,\mathrm{K}$(546℃), $E_a=7500\ \mathrm{cal/mol}$를 대입한다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{7500}{1.987}\left(\dfrac{1}{546}-\dfrac{1}{819}\right)\approx2.30$이므로 $k_2/k_1=e^{2.30}\approx10.0$, 즉 약 10배 빨라진다.

공간시간(space time)은 반응기 부피를 반응물이 들어오는 부피유량으로 나눈 값으로 정의되며, 반응에 따른 부피팽창 여부와는 무관하다.

$\tau=\dfrac{V}{v_0}=\dfrac{1\ \mathrm{L}}{2\ \mathrm{L/s}}=0.5\ \mathrm{s}$이다.

전화율이나 부피팽창계수 정보는 체류시간(mean residence time)을 구할 때 필요한 값이지, 공간시간 자체의 계산에는 쓰이지 않는다.

앞뒤 두 구간은 곡선 아래 면적으로, 가운데 한 구간만 출구값 높이의 직사각형으로 그려진 선도가 맞다.

1/(−r_A)–X_A 선도에서 반응기 부피는 F_A0×면적으로 읽는다. 플러그흐름반응기는 $V=F_{A0}\displaystyle\int\frac{dX_A}{-r_A}$ 라 곡선 아래 면적이고, 혼합흐름반응기는 $V=\dfrac{F_{A0}\,\Delta X_A}{(-r_A)_{\text{출구}}}$ 라 출구 조건의 1/(−r_A) 를 높이로 하는 직사각형 면적이다.

선도의 1/(−r_A) 가 X_A 와 함께 커지는 모양이므로, 혼합흐름 구간의 직사각형은 그 구간의 곡선보다 위로 솟아 나온다. 이 튀어나온 부분이 완전혼합 때문에 더 써야 하는 여분의 부피다.

• 위쪽 경계가 전부 평평한 계단형 직사각형으로만 이어진 선도는 혼합흐름반응기를 여러 개 직렬로 놓은 경우다. 직사각형 높이를 그 구간의 입구값으로 잡았는지 출구값으로 잡았는지만 다를 뿐, 플러그흐름 구간이 하나도 없다.
• 모든 구간의 위쪽 경계가 곡선인 선도는 플러그흐름반응기만 이어 붙인 경우여서 완전혼합에 따른 여분 면적이 나타나지 않는다.

플러그흐름반응기를 쓰고 전화율을 낮게 유지해야 S의 수율이 최대가 된다.

세 반응의 속도상수가 같으므로 S의 순간수율은 $\varphi_S=\dfrac{kC_A^{3}}{kC_A+kC_A^{2}+kC_A^{3}}=\dfrac{C_A^{2}}{1+C_A+C_A^{2}}$ 이고, 이 값은 C_A 가 클수록 커진다. 목적물 S가 반응차수 3차로 가장 높기 때문이다.

따라서 반응 내내 A의 농도를 높게 유지하는 조작이 유리하다. 혼합흐름반응기는 들어온 원료가 곧바로 출구 농도로 희석되어 전 부피가 낮은 C_A 에서 돌아가지만, 플러그흐름반응기는 입구부터 높은 C_A 구간을 그대로 지난다. 전화율까지 낮게 잡으면 반응기 끝단의 C_A 도 높게 유지되어 1차 반응인 T 쪽으로 새는 비중이 줄어든다.

계산하면 약 986 L, 즉 1 m³ 이다.

등온·정용 플러그흐름반응기의 공간시간은 $\tau=\dfrac{V}{\nu}=\displaystyle\int_{C_A}^{C_{A0}}\frac{dC_A}{-r_A}$ 이다.

속도식을 뒤집어 넣으면 피적분함수가 $\dfrac{1+0.5C_A}{0.1C_A}=\dfrac{10}{C_A}+5$ 이므로
$\tau=10\ln\dfrac{C_{A0}}{C_A}+5\,(C_{A0}-C_A)$

전화율 95%이면 C_A = 2×(1−0.95) = 0.1 mol/L 이므로
$\tau=10\ln 20+5(2-0.1)=29.96+9.5=39.46\ \mathrm{min}$
$V=\tau\nu=39.46\times25=986\ \mathrm{L}\approx0.99\ \mathrm{m^3}$
단위 환산에서 1 m³ = 1,000 L 인 점만 놓치지 않으면 된다.

물리적 흡착은 반데르발스 힘으로 일어나는 약한 결합이라 가역성이 높은 것이 특징이며, 이 점이 화학적 흡착(비가역적)과 구분된다.

• 여러 층이 겹쳐 붙는 다분자층 흡착이 가능하다.
• 결합력이 약해 활성화 에너지가 작다.
• 기체 분자가 고체 표면에 붙는 현상이다.

따라서 가역성이 낮다는 설명이 물리적 흡착과 가장 거리가 멀다.

정답 관계식은 $C_B=k_1C_{A0}\,t\,e^{-k_2 t}$ 다.

A는 B(k₁)와 D(k₃) 두 경로로 동시에 사라지므로 $-\dfrac{dC_A}{dt}=(k_1+k_3)C_A$ 이고 $C_A=C_{A0}e^{-(k_1+k_3)t}$ 다. 여기에 문제 조건 k₂ = k₁ + k₃ 를 넣으면 $C_A=C_{A0}e^{-k_2 t}$ 가 된다.

B의 수지는 $\dfrac{dC_B}{dt}=k_1C_A-k_2C_B=k_1C_{A0}e^{-k_2 t}-k_2C_B$ 이다. 적분인자 $e^{k_2 t}$ 를 곱하면 $\dfrac{d}{dt}\left(C_Be^{k_2 t}\right)=k_1C_{A0}$ 로 우변이 상수가 되고, 초기에 B가 없으므로 $C_Be^{k_2 t}=k_1C_{A0}t$ 즉 $C_B=k_1C_{A0}te^{-k_2 t}$ 다.

일반해의 분모 (k₂−k₁−k₃) 가 0이 되는 중복근 상황이라 지수 두 개의 차 대신 t가 앞에 곱해져 나온다는 점이 핵심이다. 앞의 계수가 B를 만드는 k₁ 이 아니라 k₃ 이고 지수 감쇠상수도 k₁ 인 식은 이 유도와 맞지 않고, 우변에 C_B 가 그대로 남아 있는 식은 미분방정식일 뿐 시간에 대한 해가 아니다.

두 온도에서의 속도상수로 활성화 에너지를 구하는 아레니우스 식을 적용한다.

$\ln\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)$에서 $T_1=298\,\mathrm{K}$, $T_2=338\,\mathrm{K}$, $k_2/k_1\approx141.9$이다.

$E_a=\dfrac{R\ln(k_2/k_1)}{1/T_1-1/T_2}=\dfrac{1.987\times4.955}{3.971\times10^{-4}}\approx24800\ \mathrm{cal/mol}$, 즉 약 24.8 kcal/mol이다.

부피팽창계수 $\varepsilon_A$는 $\varepsilon_A=y_{A0}\,\delta$로 구하며, $\delta$는 A 1몰이 반응할 때의 몰수 변화량이다.

반응 $A\rightarrow4B$에서 $\delta=4-1=3$이고, A와 C가 5:5로 섞였으므로 $y_{A0}=0.5$이다.

따라서 $\varepsilon_A=0.5\times3=1.5$이다. 반응에 참여하지 않는 C는 몰수 변화에 기여하지 않으므로 계산에서 제외한다.

혼합흐름반응기의 설계식은 $V=\dfrac{F_{A0}-F_A}{-r_A}$ 다.

혼합흐름반응기는 내부가 완전히 섞여 있어 반응기 안 조성이 출구 조성과 같다. 그래서 반응속도가 위치에 따라 변하지 않고, 정상상태 물질수지 "유입 − 유출 − 반응소모 = 0", 즉 $F_{A0}-F_A-(-r_A)V=0$ 이 적분 없이 그대로 대수식이 된다.

정리하면 위 식이 되고, $F_A=F_{A0}(1-X_A)$ 를 넣으면 익숙한 $\dfrac{V}{F_{A0}}=\dfrac{X_A}{-r_A}$ 형태가 된다.

• dF_A/dV = r_A 는 축 방향으로 조성이 계속 변해 미소부피마다 수지를 세워야 하는 플러그흐름반응기의 미분형 설계식이다.
• −dN_A/dt = (−r_A)V 는 유입·유출이 없는 회분식반응기의 식이고, 시간의 2계 미분(dt²)으로 쓴 식은 물질수지 자체가 성립하지 않는다.

속도상수의 단위가 $\mathrm{min^{-1}}$인 것으로 보아 1차 비가역 반응이며, $\varepsilon=0$인 혼합흐름반응기(CSTR)의 설계식은 $\tau=\dfrac{X}{k(1-X)}$이다.

$\tau=\dfrac{0.75}{0.0207\times0.25}\approx144.9\ \mathrm{min}=2.415\ \mathrm{h}$로 계산된다.

반응기 부피는 $V=\tau\times v_0=2.415\ \mathrm{h}\times3\ \mathrm{L/h}\approx7.25\ \mathrm{L}$이다.

농도비는 유효인자와 같은 값인 0.8 이다.

유효인자는 실제 반응속도 ÷ 기공 내 확산저항이 전혀 없어 촉매 전체가 표면농도일 때의 반응속도로 정의된다. 확산저항 때문에 기공 안쪽 농도가 표면보다 낮아지는 만큼 속도가 깎이는 비율이다.

반응이 1차면 속도가 농도에 정비례하므로 $\varepsilon=\dfrac{k\,\overline{C_A}}{k\,C_{AS}}=\dfrac{\overline{C_A}}{C_{AS}}$ 가 되어 속도비가 곧 농도비다. 따라서 유효인자 0.8 이 그대로 농도비다.

tanh 가 들어간 표현은 $\varepsilon=\dfrac{\tanh m_L}{m_L}$ 처럼 Thiele 계수로부터 유효인자를 계산할 때 쓰는 식이다. 여기서는 유효인자 값이 이미 주어졌으므로 다시 tanh 를 취하거나 역수(1/0.8 = 1.25)를 취할 이유가 없다.

반트호프 식으로 평형상수와 온도의 관계를 이용해 원하는 평형전화율을 주는 온도를 구한다.

목표 평형전화율 80%에서 평형상수는 $K=\dfrac{X_{Ae}}{1-X_{Ae}}=\dfrac{0.8}{0.2}=4$이다.

$\ln\dfrac{K_2}{K_1}=-\dfrac{\Delta H}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)$에 $K_1=300,\ T_1=298\,\mathrm{K},\ \Delta H=-10000\ \mathrm{cal/mol}$을 대입해 풀면 $T_2\approx400\,\mathrm{K}$, 즉 약 127℃가 나온다.

A의 농도는 $C_A=C_{A0}e^{-k_1 t}$ 로 변한다.

직렬반응이지만 A는 첫 단계로만 사라진다. 두 번째 단계는 R을 S로 바꿀 뿐 A를 소비하지 않고, 비가역이라 R이나 S에서 A로 되돌아오지도 않는다.

따라서 A의 수지는 단독 1차 반응과 완전히 같아 $-\dfrac{dC_A}{dt}=k_1C_A$ 이고, C_A0 에서 적분하면 $\ln\dfrac{C_{A0}}{C_A}=k_1t$, 곧 $C_A=C_{A0}e^{-k_1 t}$ 다.

지수에 k₂ 나 (k₁+k₂)가 들어간 식은 A가 두 번째 반응으로도 소모된다고 본 것이라 틀리고, $\dfrac{k_1}{k_2-k_1}$ 같은 인자가 붙은 형태는 중간체 R의 농도식에 나타나는 꼴이지 A의 식이 아니다.