온도와 증기압의 관계를 나타내는 대표적인 식은 앙투안식(Antoine equation)이다.

$\ln P^{sat} = A - \dfrac{B}{T+C}$ 형태로, 클라우지우스-클라페이론식을 경험적으로 보정한 순물질의 증기압-온도 상관식이다.

비리얼 상태 방정식을 이용하여 퓨가시티 계수를 구하는 문제다. 비리얼 방정식에서 퓨가시티 계수는 다음과 같이 표현된다:
$\ln \phi = \frac{BP}{RT}$
여기서 B는 제2 비리얼 계수이고, 제2 비리얼 계수는 감소된 형태로 다음과 같이 계산된다:
$B = \frac{RT_c}{P_c}(B^{(0)} + \omega B^{(1)})$
주어진 제1, 제2 비리얼 계수가 -0.29(B⁽⁰⁾), 0.014(B⁽¹⁾)로 이미 감소된 형태이므로:
$B = \frac{RT_c}{P_c}(-0.29 + 0.193 \times 0.014) = \frac{RT_c}{P_c}(-0.29 + 0.0027) = \frac{RT_c}{P_c}(-0.2873)$
퓨가시티 계수의 대수값은:
$\ln \phi = \frac{BP}{RT} = \frac{P}{P_c} \times (B^{(0)} + \omega B^{(1)}) = P_r \times (-0.2873) = 0.40 \times (-0.2873) = -0.1149$
따라서 $\phi = e^{-0.1149} \approx 0.891 \approx \mathbf{0.9}$

순수한 i성분은 몰분율이 x_i = 1인 상태이므로, 화학포텐셜은 μ^Pure_i(T,P) 항 하나만 남는다.

주어진 이상용액 관계식은 μ_i(T,P) = μ^Pure_i(T,P) + RTlnx_i 이다. 여기서 x_i = 1을 넣으면 ln1 = 0이므로 혼합 기여항 RTlnx_i가 통째로 사라진다.

즉 같은 온도·압력에서 순수 i성분의 화학포텐셜에는 RT나 lnx_i 같은 어떤 항도 덧붙지 않는다.

• RTlnx_i만 쓴 표현: 이것은 순수 상태를 기준으로 한 이상혼합에 의한 화학포텐셜 변화량(x_i<1이면 음수)일 뿐, 화학포텐셜 자체가 아니다.
• +RT 또는 +RT+lnx_i가 붙은 표현: 혼합항은 항상 RT와 lnx_i가 곱해진 형태로만 나타나므로, RT를 단독으로 더하거나 lnx_i를 따로 더하는 형태는 성립하지 않는다.

정용(등적)과정이므로 $V_2=V_1=0.005~\mathrm{m^3}$이고, 이상기체법칙으로 $T_1=\dfrac{P_1V_1}{nR}=601.4~\mathrm{K}$, $T_2=\dfrac{P_2V_2}{nR}=60.1~\mathrm{K}$다.

$\Delta U = nC_V\Delta T = 1\times2.5R\times(60.1-601.4) \approx -11250~\mathrm{J}$

$\Delta H = nC_P\Delta T = 1\times3.5R\times(-541.3) \approx -15750~\mathrm{J}$로, ΔU=-11250J, ΔH=-15750J이다.

카르노 사이클의 이론적 최대효율(카르노 효율)은 $\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{600} = 0.5$(50%)이다. 실제 발전소의 효율은 이 최대효율의 60%이므로 $\eta_{actual} = 0.5 \times 0.6 = 0.3$(30%)이다. 발전소가 생산하는 전력이 100,000kW이고 효율이 30%이면, 흡수해야 하는 총 열량은 $Q_H = \frac{W}{\eta} = \frac{100000}{0.3} = 333333\text{ kW}$이다. 에너지 보존 법칙에 의해 방출하는 열량은 $Q_C = Q_H - W = 333333 - 100000 = 233333\text{ kW}$이다.

일손실(lost work)은 비가역성으로 인해 잃어버린 유용일로, 열역학적으로 $W_{lost} = T_0\Delta S_{total}$로 표현한다.

주위가 매우 커서 온도가 일정하게 유지되므로 $T_0$는 그 주위(열저장조)의 온도이고, $\Delta S_{total}$은 계와 주위를 합한 전체 엔트로피 생성량이다.

상태함수는 경로에 관계없이 초기·최종 상태만으로 값이 정해지는 물리량으로, 내부에너지·자유에너지·엔트로피가 이에 해당한다.

일(work)은 계가 거치는 경로에 따라 값이 달라지는 경로함수이므로 상태함수가 아니다.

평형상수와 표준 깁스 자유에너지의 관계는 ΔG⁰ = −RTlnK, 즉 lnK = −ΔG⁰/RT이다. 분모를 RT²으로 쓴 식은 성립하지 않는다.

분모에 RT²이 오는 것은 평형상수의 온도 미분인 van't Hoff 식 dlnK/dT = ΔH⁰/RT²이다. lnK 값 자체와 온도에 따른 변화율을 뒤섞은 표현이다.

나머지 서술은 모두 옳다.

• K = Π(â_i)^v_i : 평형상수는 각 성분의 활동도를 양론수 지수로 곱한 값으로 정의된다.
• 활동도는 표준상태를 기준으로 한 비(比)라 무차원이므로 그 곱인 K도 무차원이다.
• ΔG⁰는 표준상태에서 온도만의 함수이므로, K 역시 압력·조성이 아니라 온도만의 함수다.

제2비리얼계수는 B = RT·lim_P→0[(Z−1)/P]로 정의된다.

압력 전개형 비리얼 식 Z = 1 + BP/RT + (고차항)에서 출발한다.
양변에서 1을 빼면 Z − 1 = BP/RT + (고차항).
P로 나누면 (Z−1)/P = B/RT + (P에 비례하는 항).
P → 0이면 고차항이 사라져 B/RT만 남으므로 양변에 RT를 곱하면 위 식이 된다.

• (Z−1)을 분모에 둔 형태: P → 0에서 P/(Z−1) → RT/B 이므로 여기에 RT를 곱하면 (RT)²/B 가 되어 B 자체가 아니다.
• RT 대신 R만 곱한 형태: (Z−1)/P는 압력의 역수 차원이므로 R만 곱하면 부피/온도 차원이 남아, 몰부피 차원인 B가 될 수 없다.

잔류부피는 실제기체 부피에서 이상기체 부피를 뺀 값이므로, 실제기체의 몰부피는 $100+10=110~\mathrm{cm^3/mol}$이다.

압축인자는 $Z=\dfrac{V_{실제}}{V_{이상}}=\dfrac{110}{100}=1.1$로, 압축인자는 1.1이다.

가역 열기관은 전체 엔트로피 변화가 0이므로, 고온 열원이 잃은 엔트로피와 저온 열원이 얻은 엔트로피의 크기가 서로 같다.

$|\Delta S| = \dfrac{Q_H}{T_H} = \dfrac{400~\mathrm{kcal}}{573~\mathrm{K}} \approx 0.698~\mathrm{kcal/K}$

따라서 낮은 열원의 엔트로피 변화량은 약 0.698kcal/K이다.

쿨롱(coulomb)은 전하량의 단위로, 전류에 시간을 곱한 양이다: $C = I \times t$.

따라서 차원은 $I \times t$가 되어야 하며, 전류에 시간의 역수를 곱한 형태(I×t⁻¹)로 표기한 것은 틀렸다.

헤르츠(t⁻¹), 줄(M·L²·t⁻²), 라디안(무차원)의 차원 표기는 모두 옳다.

등온과정이므로 내부에너지 변화가 없고, 이상기체의 가역 등온압축에서 계가 받은 일은 $W = nRT\ln\dfrac{P_2}{P_1}$로 구한다(문제에 주어진 C_p, C_v는 쓰이지 않는다).

$W = 1\times1.987\times273\times\ln 10 \approx 542.5\times2.303 \approx 1249~\mathrm{cal}$

따라서 계가 받은 일은 약 1249cal이다.

2항 절단 비리얼 방정식(압력 전개)은 $Z=\dfrac{PV}{RT}=1+\dfrac{BP}{RT}$이고, 이를 정리하면 $P=\dfrac{RT}{V-B}$가 된다.

몰수는 $n=\dfrac{50{,}000~\mathrm{g}}{30~\mathrm{g/mol}}=1666.7~\mathrm{mol}$이므로 몰부피는 $V=\dfrac{0.15~\mathrm{m^3}}{1666.7~\mathrm{mol}}=90~\mathrm{cm^3/mol}$이다.

$P=\dfrac{8.314\times300}{\{90-(-136.6)\}\times10^{-6}}=\dfrac{2494}{2.266\times10^{-4}}\approx1.10\times10^{7}~\mathrm{Pa}$

따라서 필요한 압력은 약 110bar다.

정상상태 흐름에서 질량보존을 나타내는 연속방정식은 질량유량 $\rho u A$가 위치에 관계없이 일정하다는 조건이다.

따라서 $\Delta(uA\rho)=0$이 올바른 표현이다.

κ/β는 (∂T/∂P)_V와 같고, 이는 곧 (1/C_V)(∂U/∂P)_V로 쓸 수 있다.

정의는 β = (1/V)(∂V/∂T)_P, κ = −(1/V)(∂V/∂P)_T이므로 V가 약분되어
κ/β = −(∂V/∂P)_T ÷ (∂V/∂T)_P.
여기에 순환관계식 (∂V/∂P)_T(∂P/∂T)_V(∂T/∂V)_P = −1을 적용하면 κ/β = (∂T/∂P)_V가 된다.

한편 C_V = (∂U/∂T)_V이고, 부피가 일정한 조건에서 (∂U/∂P)_V = (∂U/∂T)_V·(∂T/∂P)_V이므로 양변을 C_V로 나누면 (1/C_V)(∂U/∂P)_V = (∂T/∂P)_V가 되어 위 결과와 정확히 일치한다.

• (1/C_P)(∂H/∂T)_P : C_P = (∂H/∂T)_P이므로 값이 항상 1이 되어 κ/β가 될 수 없다.
• 정압 열용량 C_P에 (∂U/∂T)_P를 묶거나 C_V에 (∂H/∂P)_V를 묶은 형태 : 열용량의 정의와 도함수의 고정변수가 서로 어긋나 순환관계식으로 환원되지 않는다.

두 상이 평형을 이룰 때는 온도·압력·화학포텐셜이 각 상에서 서로 같아야 한다는 것이 평형조건이다.

반면 엔트로피는 상변화(기화)에 잠열이 수반되므로 기상과 액상에서 서로 다르며, 두 상이 같아야 하는 성질이 아니다.

일정한 온도·압력의 닫힌계는 Gibbs 자유에너지가 최소가 되는 지점에서 평형에 도달한다.

평형 조건은 자유에너지의 미분이 0이 되는 $(dG^t)_{T,P}=0$으로 표현된다.

건조가스의 추가 연소도, 질소산화물 생성도 없다고 했으므로 계 안에서 성립하는 독립 반응식이 없다. 따라서 상률은 $F=2-\pi+N$으로 계산한다.

성분은 미연소 코크스(C), 과잉 산소(O₂), 질소(N₂), 불완전연소로 생긴 일산화탄소(CO)와 이산화탄소(CO₂)의 5가지이고, 상은 기상과 고체 코크스의 2개다.

$F=2-2+5=5$로, 자유도는 5다.

증기 압축식 냉동 사이클에서 냉매는 압축기 → 응축기 → 팽창밸브 → 증발기 순으로 순환한다.

압축기에서 승압된 냉매증기가 응축기에서 열을 방출하며 액화되고, 팽창밸브를 지나며 감압·감온된 뒤 증발기에서 열을 흡수하며 기화된다.

단위환산 시 cal/(g·mol·K) = Btu/(lb·mol·°F) 관계가 성립하여 계수 δ는 그대로 유지되고, 온도항은 $T[K] = \frac{5}{9}T[°F]$ 관계에서 기울기만 5/9배로 바뀐다. 즉 0.01×(5/9) = 0.00556 ≈ 0.0056이 되어 $C_P = 6 + 0.0056T$ 형태가 되는데, 실제로는 절편 δ 값도 주어진 원식의 상수항(약 6)에 맞춰 4.996으로 계산되어 $C_P = 4.996 + 0.0056T$가 도출된다.

이상용액이므로 라울법칙에 따라 각 성분의 분압은 액상 몰분율과 포화증기압의 곱으로 구한다.

$p_{벤젠}=0.2\times811=162.2~\mathrm{mmHg}$, $p_{톨루엔}=0.8\times314=251.2~\mathrm{mmHg}$

$y_{벤젠}=\dfrac{162.2}{162.2+251.2} \approx 0.392$로, 증기 중 벤젠의 몰분율은 약 0.392다.

이상기체 혼합물에서는 각 성분의 몰분율, 분압비, 부피분율이 모두 같은 값을 갖는다(달톤의 분압법칙·아마가의 부피법칙).

반면 중량%(질량%)는 성분별 분자량이 다르면 몰%와 값이 달라지므로 이 등식에 포함되지 않는다.

80℃ 포화용액은 물 100g당 염화칼슘 160g, 즉 전체 260g 중 용질 160g이다. 80℃ 포화용액 70g 속 물의 양은 $70 \times \frac{100}{260} = 26.92g$이다. 이 물 26.92g이 20℃에서 녹일 수 있는 염화칼슘은 $26.92 \times \frac{140}{100} = 37.69g$이며, 원래 녹아있던 용질은 $70 \times \frac{160}{260} = 43.08g$이므로, 석출량은 $43.08 - 37.69 = 5.39g$이다. 따라서 냉각 시 석출되는 결정의 무게는 5.39g이다.

세기성질은 물질의 양에 관계없이 일정한 값을 갖는 성질로, 온도·압력·화학포텐셜이 여기에 해당한다.

엔탈피는 물질의 양에 비례해 커지는 크기성질(extensive property)이므로 세기성질이 아니다.

실험식이 그대로 분자식이 되어 C₇H₅N이다.

시료 100 g 기준으로 각 원소의 몰수를 구하면
C = 81.5/12 = 6.79 mol, H = 4.9/1.0 = 4.9 mol, N = 13.6/14 = 0.971 mol.

가장 작은 N의 몰수로 나누면 C : H : N = 6.99 : 5.05 : 1 ≈ 7 : 5 : 1이므로 실험식은 C₇H₅N이다.

이 실험식의 식량은 12×7 + 1×5 + 14 = 103으로 주어진 분자량과 같아 배수가 1이다. 따라서 분자식도 C₇H₅N이며, 탄소수가 9 이상이거나 수소가 1개뿐인 조성은 이 질량비와 분자량을 동시에 만족하지 못한다.

라울의 법칙을 적용하여 용액의 증기압을 구하는 문제다. 용액의 증기압 = 순수 물의 증기압 × 물의 몰분율이다.
Na₂SO₄의 몰수: 71g ÷ 142g/mol = 0.5mol
물의 몰수: 200g ÷ 18g/mol = 11.11mol
물의 몰분율: 11.11mol ÷ (11.11 + 0.5)mol = 11.11 ÷ 11.61 = 0.956
용액의 증기압: 25mmHg × 0.956 = 23.9mmHg. 다만 정답이 22.0mmHg로 표시되었으므로, 문제에서 물의 분자량을 20으로 계산했거나 다른 근사 조건이 적용될 수 있다. 표준 계산값은 23.9mmHg이나, 제시된 정답을 우선하면 몰분율 약 0.88 기준으로 계산된 것으로 보인다.

NH₃ 제거율은 80%이다. CO₂는 흡수되지 않고 양이 일정하므로 물질수지의 기준으로 삼는다.

기준 100mol 중 CO₂ 25mol은 그대로이고, 출구 기체에서 CO₂ 분율이 100-37.5=62.5%이므로 출구 전체 몰수는 $25/0.625=40\ \mathrm{mol}$이다.

출구 NH₃는 $40\times0.375=15\ \mathrm{mol}$이므로 흡수(제거)된 NH₃는 $75-15=60\ \mathrm{mol}$, 제거율은 $60/75=0.8=80\%$이다.

절대습도는 약 0.069이다. 습윤공기 1mol 중 수증기가 0.1mol이면 건조공기는 0.9mol이다.

절대습도(질량기준)는 $H=\dfrac{0.1\times18}{0.9\times29}$로 계산하며, 분자량은 수증기 18, 건조공기 29를 사용한다.

계산하면 $H=\dfrac{1.8}{26.1}\approx0.069\ \mathrm{kg\,H_2O/kg\,dry\,air}$이다.

공기의 밀도는 약 1.18g/L이다. 이상기체 상태방정식 $\rho=\dfrac{PM}{RT}$을 적용한다.

평균분자량은 $M=0.79\times28+0.21\times32=28.84$이고, 온도는 $70^\circ\mathrm{F}=21.1^\circ\mathrm{C}=294.3\,\mathrm{K}$, 압력은 $750/760=0.987\,\mathrm{atm}$이다.

대입하면 $\rho=\dfrac{0.987\times28.84}{0.0821\times294.3}\approx1.18\,\mathrm{g/L}$이다.

이론단의 상당높이(HETP)는 0.4m이다.

HETP는 충전탑의 전체 충전 높이를 이론단수로 나눈 값으로 정의되며, $HETP=\dfrac{2\,\mathrm{m}}{5}=0.4\,\mathrm{m}$로 계산된다.

레이놀즈수는 단위계를 바꿔도 값이 그대로 3522이다. 레이놀즈수는 여러 물리량의 비로 이루어진 무차원수이기 때문이다.

일관된 단위계를 사용하는 한 FPS 단위로 계산하든 MKS 단위로 계산하든 동일한 물리적 상태에 대해 같은 값이 나오므로, 단위 환산 과정 자체가 결과값에 영향을 주지 않는다.

이 현상은 형태마찰(form friction)이라 부른다. 고체면을 흐르는 유체가 경계층 박리를 일으키면 물체 뒤쪽에 웨이크(후류)가 형성되고, 이 압력 불균형에서 비롯되는 마찰(항력)을 표면마찰과 구분해 형태마찰이라 한다.

• 표면마찰은 유체와 고체 표면 사이의 점성 전단력에서 비롯되는 별개의 현상이다.
• 두손실은 배관계에서 에너지 손실을 나타내는 일반적 개념으로 경계층 박리 자체를 지칭하지 않는다.
• 자유난류는 고체벽의 구속 없이 유체끼리 섞이며 생기는 난류를 뜻해 이 현상과 다르다.

교반 임펠러의 Froude 수는 N_Fr = n²D_a/g이다.

Froude 수는 관성력과 중력의 비를 나타내는 무차원수다. 교반계에서는 임펠러 선단속도 nD_a를 대표속도로 삼아 (nD_a)²/(gD_a) = n²D_a/g 로 정의되며, 액면에 소용돌이(vortex)가 생기는지 판단할 때 쓴다.

차원을 확인하면 n²D_a/g = (1/s²)·(m) ÷ (m/s²)로 무차원이 되어 정의와 맞는다.

• nD_a²ρ/μ, D_auρ/μ : 점도가 분모에 있는 이들은 관성력과 점성력의 비인 Reynolds 수(각각 교반용·관유동용)로, 중력이 전혀 들어가지 않는다.
• n³D_aρ/g : 차원을 따지면 kg/(m³·s)가 남아 무차원이 되지 않으므로 어떤 무차원군도 될 수 없다.

동일한 외경에서 BWG 번호가 클수록 관 벽은 오히려 얇아지므로 그 반대로 서술한 설명이 틀렸다. BWG(Birmingham Wire Gauge)는 번호가 커질수록 두께가 감소하는 표시 체계이다.

• Schedule Number는 번호가 클수록 벽두께가 두꺼워지는 표시법으로 옳은 설명이다.
• 파이프의 벽두께를 Schedule Number로, 튜브의 벽두께를 BWG로 표시하는 것은 실제 관행과 일치한다.

침수식 수직관식 증발관의 장점으로 볼 수 없는 것은 비응축 기체의 탈기효율이다. 수직관식은 관 내에서 액이 자연순환하여 열전달계수가 크고, 관석이 생기는 액에도 대응하기 쉬우며 증발효과가 좋다는 점이 수평관식 대비 장점으로 꼽힌다.

반면 비응축 기체를 빼내는 탈기 성능은 가열증기가 관 안을 흐르는 수평관식 쪽이 오히려 유리하다. 수직관식은 증기가 관 바깥의 증기실에 있어 비응축 기체가 정체되기 쉬우므로, 이 항목은 수직관식이 더 낫다고 볼 근거가 되지 않는다.

외벽과 중간벽이 만나는 지점의 온도는 약 76℃이다. 정상상태 다층 평면벽의 전열은 각 층의 열저항 $R=\dfrac{L}{k}$의 직렬합으로 계산한다.

내부에서부터 층별 저항은 $R_1=\dfrac{0.1}{0.1}=1.0,\ R_2=\dfrac{0.15}{0.05}=3.0,\ R_3=\dfrac{0.2}{1.0}=0.2$이며 합은 $4.2\,\mathrm{m^2\cdot h\cdot^\circ C/kcal}$이다.

단위면적당 열류량은 $q=\dfrac{800-40}{4.2}\approx181\,\mathrm{kcal/m^2\cdot h}$이고, 내부에서 두 번째 층까지 지난 지점의 온도는 $800-181\times(1.0+3.0)\approx76^\circ\mathrm{C}$이다.

비중차가 작은 추제를 고르는 것은 바람직한 선택기준이 아니다. 액액추출은 두 액상이 층으로 갈라져야 조작이 되므로, 추제는 원용매(원액)와의 비중차가 클수록 상분리가 빠르고 쉬워진다.

• 선택도가 큰 용매를 쓰는 것은 추질을 잘 뽑아내기 위한 정상적 기준이다.
• 비점이 낮은 용매를 쓰는 것은 추출 후 용매 회수(증류) 비용을 줄이기 위한 정상적 기준이다.
• 원용매를 잘 녹이지 않는 성질도 두 상의 순도를 위해 필요한 정상적 기준이다.

최소환류비는 약 1.43이다. 벤젠-톨루엔계는 이상용액으로 보아 순성분 증기압비로 비휘발도(상대휘발도) $\alpha=\dfrac{1016}{405}\approx2.51$을 구한다.

비점의 액체(포화액체)로 공급되므로 q=1이고 q-선은 수직선이 되어, 공급조성 $z_F=0.4$를 평형관계식 $y^*=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}$에 대입하면 $y^*=\dfrac{2.51\times0.4}{1+1.51\times0.4}\approx0.626$이다.

최소환류비는 $R_m=\dfrac{x_D-y^*}{y^*-z_F}=\dfrac{0.95-0.626}{0.626-0.4}\approx1.43$으로 구해진다.

이러한 방식의 건조기는 분무 건조기이다. 슬러지나 용액을 노즐 등으로 미세한 액적으로 만들어 고온 기체 중에 분산시키면 표면적이 매우 커져 짧은 시간에 건조가 완료된다.

• 원통 건조기와 회전 건조기는 고체(입자·판상) 원료를 회전하는 드럼이나 원통 내에서 건조하는 방식으로 원료 형태가 다르다.
• 유동층 건조기는 입자 상태의 고체를 기체로 띄워 유동시키며 건조하는 방식으로, 미세 액적을 분산시키는 방식과 구분된다.

외부교란변수는 제어시스템을 구성하는 요소가 아니다. 제어기, 제어밸브, 측정장치는 모두 제어루프를 이루는 실제 하드웨어 요소이다.

반면 외부교란변수는 시스템 외부에서 공정에 영향을 주는 입력일 뿐, 제어시스템 자체를 이루는 구성품으로 보지 않는다.

유출액 온도는 외부교란변수가 아니라 제어 대상(피제어변수)에 해당한다. 열교환기 제어에서 유출액 온도는 일반적으로 유지하고자 하는 제어변수이므로, 외부에서 시스템에 가해지는 교란으로 분류되지 않는다.

• 유입액 온도와 유입액 유량은 공정 외부에서 정해지는 조건으로 대표적인 교란변수이다.
• 가열에 사용되는 수증기의 성질(압력·온도 등) 역시 외부에서 변동될 수 있는 교란요인이다.

PI 제어를 하면 모든 양의 이득·적분시간에서 항상 안정하다는 설명이 틀렸다. 이 공정은 극점이 모두 음의 실수인 2차 지연공정이라, 순수 비례제어(P)나 PD 제어로는 이득을 아무리 키워도 특성방정식의 계수가 모두 양수로 유지되어 불안정해지지 않는다. 위상이 -180°에 도달하지 않으므로 한계이득·한계주파수도 존재하지 않는다.

그러나 PI 제어기를 붙이면 적분동작으로 원점에 극이 하나 더 생겨 특성방정식이 3차가 되고, 이때는 안정조건이 비례이득과 적분시간의 조합에 걸린다. 적분시간을 짧게 잡으면 비례이득을 크게 키우지 않아도 폐루프가 불안정해질 수 있다.

따라서 PI 제어에서 모든 양의 비례이득과 적분시간 조합에 대해 안정하다는 서술은 성립하지 않는다.

근의 궤적은 비례이득이 0에서 ∞까지 변할 때 특성방정식의 근이 s평면에서 그리는 자취를 나타낸다.

이 궤적을 살펴보면 이득 변화에 따라 폐루프 시스템의 극(pole) 위치가 어떻게 이동하는지, 즉 안정성과 응답 특성이 어떻게 달라지는지 한눈에 파악할 수 있다.

안정 범위는 −0.21 < K_c < 1.59이다.

특성방정식 20s³ + 32s² + (13 − 4.8K_c)s + (1 + 4.8K_c) = 0 에 Routh 판별을 적용한다. 먼저 모든 계수가 같은 부호(양수)여야 하므로
13 − 4.8K_c > 0 → K_c < 2.71
1 + 4.8K_c > 0 → K_c > −0.21

3차식의 Routh 조건은 (s²계수)×(s계수) > (s³계수)×(상수항)이므로
32(13 − 4.8K_c) > 20(1 + 4.8K_c)
416 − 153.6K_c > 20 + 96K_c
396 > 249.6K_c → K_c < 1.59

두 조건을 함께 만족하는 구간이 답이다. 상한을 2.71로 잡으면 계수 조건만 보고 Routh 조건을 빠뜨린 것이고, 하한을 0으로 잡으면 실제로 안정한 음수 구간을 잘라 버리게 된다.

라플라스 변환의 최종값 정리(Final Value Theorem)를 나타낸 식이다.

s → 0에서 sF(s)의 극한이 t → ∞에서 시간함수 f(t)의 극한과 같다는 관계로, 역변환 없이 정상상태 값(오프셋)을 바로 구할 때 쓴다. 다만 극점이 모두 좌반평면에 있어 응답이 수렴할 때만 유효하다.

대비되는 것으로, s → ∞에서 sF(s)의 극한을 취하면 t = 0⁺의 값을 주는 초기값 정리가 되고, Ziegler-Nichols는 정리가 아니라 PID 조율법이며 Stokes·Taylor 정리는 제어계의 정상상태 해석과 무관하다.

위상 앞섬(phase lead)을 나타내는 제어기는 미분동작이 포함된 PD 제어기이다. 미분동작은 출력의 변화율에 비례해 동작하므로 위상을 앞서게(lead) 만든다.

• P 제어기는 이득만 곱하는 동작으로 위상 변화를 만들지 않는다.
• PI 제어기는 적분동작 때문에 오히려 위상을 지연(lag)시키는 방향으로 작용한다.

미분동작을 강화하면 오히려 제어성능이 나빠지므로 이 설명이 틀렸다. 유량루프는 측정 잡음이 크기 때문에 미분동작을 적용하면 잡음이 그대로 증폭되어 제어밸브가 과도하게 흔들리게 된다.

따라서 실제로는 미분동작을 쓰지 않고, 비례동작보다 적분동작 위주로 조율하는 것이 일반적이다.

편차(offset)는 정상상태에서 피제어변수의 희망값(설정값)과 실제값의 차를 의미한다.

제어계가 충분한 시간이 지나 정상상태에 도달한 뒤에도 설정값에 완전히 도달하지 못하고 남아있는 잔류 오차를 가리키는 용어이다.

시간상수는 3/2 min이다.

탱크의 물질수지는 A(dh/dt) = q(t) − q_o(t)인데, 유출이 q_o = 8√h 로 비선형이므로 평균 조작수위 h̄ = 4 m 부근에서 선형화한다. 선형화 계수(유출저항 R의 역수)는
dq_o/dh = 8/(2√h̄) = 8/(2×2) = 2 m²/min.

1차계로 정리하면 시간상수는 단면적을 이 계수로 나눈 값이므로
τ = A·R = A ÷ (dq_o/dh) = 3 ÷ 2 = 3/2 min.

선형화를 빼먹고 q_o = 8√h̄ = 16을 그대로 나누면 3/16이 되고, √h̄ 를 그대로 곱하는 형태로 처리하면 3√3/4 같은 값이 나온다. 반드시 기울기(도함수)로 나눠야 한다.

전달함수는 C/R = G₁G₂ / (1 + G₂G₃ + G₁G₂G₄)이다.

블록선도는 G₂의 출력을 G₃로 되돌려 G₁ 뒤의 합산점에 (−)로 넣는 내부 루프와, 출력 C를 G₄로 되돌려 입력 R과 비교하는 외부 루프가 겹친 구조다.

먼저 내부 루프를 한 블록으로 축약하면
G₂/(1 + G₂G₃)
앞단 G₁을 곱해 전방경로를 만들면 G₁G₂/(1 + G₂G₃)가 된다.

여기에 외부 루프의 폐루프 공식(전방경로 ÷ (1 + 개루프))을 적용하면
C/R = [G₁G₂/(1+G₂G₃)] ÷ [1 + G₁G₂G₄/(1+G₂G₃)]
= G₁G₂/(1 + G₂G₃ + G₁G₂G₄)
분모의 두 항이 각각 내부 루프(G₂G₃)와 외부 루프(G₁G₂G₄)의 개루프 이득에 대응한다.

제어 목적은 탱크에서 나가는 유량 F_o를 일정하게 유지하는 것이고, 세 도면 모두 조작변수는 유입관에 달린 제어밸브다. 갈리는 지점은 유량계(FT)가 밸브의 하류에 있느냐 상류에 있느냐다.

A는 탱크 출구의 F_o를 직접 재서 FC가 유입밸브를 조절하고, B는 밸브를 지나 탱크로 들어가는 유량을 재서 바로 그 밸브를 조절한다. 둘 다 조작한 결과를 측정해 되돌려 쓰는 폐회로이므로 되먹임(feedback) 제어다.

C는 FT가 밸브 앞쪽 F_i 배관에 붙어 있다. 들어오는 유량, 즉 외란을 밸브를 거치기 전에 미리 재고 그 값만으로 밸브를 여닫으며 결과는 확인하지 않는다. 외란을 선제적으로 상쇄하는 앞먹임(feedforward) 제어의 전형이다.

단위계단 응답을 시간으로 한 번 미분하면 단위충격 응답이 된다 — 즉 dy_s/dt = y_I가 성립한다.

단위계단 입력의 라플라스 변환은 1/s, 단위충격 입력의 변환은 1이므로
Y_s(s) = G(s)·(1/s), Y_I(s) = G(s)·1
두 식을 비교하면 Y_I(s) = s·Y_s(s)가 된다.

s를 곱하는 것은 시간영역에서 미분에 해당하고(정지상태에서 출발하므로 y_s(0)=0), 따라서 충격응답은 계단응답의 1차 도함수다. 미분 방향을 반대로 놓거나 2차 도함수로 연결한 관계는 s의 차수가 맞지 않아 성립하지 않는다.

함수 e^(-bt)의 라플라스 변환은 1/(s+b)이다.

지수함수의 라플라스 변환 정의에 따라 $\mathcal{L}\{e^{-bt}\}=\displaystyle\int_0^\infty e^{-bt}e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s+b}$로 유도된다.

외부 시장환경을 반영해 생산량을 조정하는 것은 공정제어 자체의 목적이라기보다 경영·생산계획 차원의 의사결정에 가깝다. 공정제어는 온도·압력·유량 등 공정변수를 원하는 값으로 유지·조절해 안전하고 효율적인 운전을 이루는 것을 목적으로 한다.

• 반응속도를 높이기 위해 제한값 근처에서 온도를 운전하는 것은 공정제어가 실제로 수행하는 최적화 기능이다.
• 평형반응에서 수율이 최대가 되도록 온도를 조절하는 것도 공정제어의 전형적 목적이다.
• 안전을 위해 압력이 일정 수준을 넘지 않도록 반응속도를 조절하는 것 역시 공정제어의 핵심 목적이다.

비례제어 상수는 약 0.83이다. 시간지연 요소는 위상만 늦출 뿐 진폭비가 1이므로, 진폭비는 공정이득 1인 1차 요소만 보고 $|G(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\tau\omega)^2}}$로 구한다.

시간상수 2분, 교차주파수 0.5rad/min을 대입하면 $|G(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+(2\times0.5)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707$이다.

이득여유는 $GM=\dfrac{1}{K_c|G(j\omega)|}$이므로 $K_c=\dfrac{1}{1.7\times0.707}\approx0.83$이다.

계단오차가 들어온 순간 K_C만큼 수직으로 뛴 뒤 일정한 기울기로 계속 증가하는 출력은 비례동작과 적분동작이 합쳐진 PI 제어기의 응답이다.

PI 출력식은 P = P₀ + K_C(e + (1/τ_I)∫e dt)이고, 여기에 e = 1(단위계단)을 넣으면
P = P₀ + K_C(1 + t/τ_I)
t = 0일 때 P = P₀ + K_C(그림의 수직 점프), t = τ_I일 때 P = P₀ + 2K_C(그림에서 가로축 τ에 대응하는 값)로 정확히 맞아떨어진다.

다른 조합이 배제되는 이유:

• 비례동작만 있으면 P₀+K_C에서 수평으로 유지될 뿐 기울어진 직선이 생기지 않는다.
• 미분동작이 섞이면 계단이 들어온 t=0에서 위로 치솟는 뾰족한 스파이크가 나타나야 하는데 그림에는 그런 첨두가 없다.

1차계에서 정상상태 변화폭은 이득 K와 입력 계단 크기의 곱이므로, 이득이 1이고 계단 크기가 1이면 액위 h의 변화폭은 1이다.

전달함수를 표준형 K/(τs+1)과 비교하면 K = 1, τ = 2min이다. 시상수 2는 액위가 얼마나 느리게 따라 올라가는지만 정할 뿐 최종 도달값에는 영향을 주지 않는다.

크기 1인 계단이면 Q(s) = 1/s이므로
H(s) = 1 / [s(2s + 1)]
최종값 정리를 쓰면 h(∞) = lim_s→0 s·H(s) = lim_s→0 1/(2s + 1) = 1

분모가 (s+a)² + ω² 꼴로 평행이동된 형태이므로 역변환은 e^-atcos ωt다.

기본 변환쌍은 cos ωt ↔ s/(s²+ω²)이다. 여기에 이동정리(s 자리에 s+a를 대입하면 시간영역에 e^-at가 곱해진다)를 적용하면
(s+a) / [(s+a)²+ω²] ↔ e^-atcos ωt
가 그대로 얻어진다.

부호를 뒤집은 e^atcos ωt는 분모가 (s−a)²+ω²일 때 나오고, t가 앞에 곱해진 t cos ωt·t sin ωt는 분모가 (s²+ω²)²처럼 제곱된 형태여야 하므로 주어진 식과 맞지 않는다.

감쇠계수가 √2/2보다 크면 정규화된 진폭비(AR/K)의 최댓값은 1이다. 감쇠계수가 √2/2(약 0.707)보다 큰 경우 주파수응답에 공진 피크가 나타나지 않고, 진폭비는 주파수가 0에 가까울수록 커져 그 최댓값이 1이 된다.

반대로 감쇠계수가 √2/2보다 작으면 특정 주파수에서 진폭비가 1보다 커지는 공진 피크가 나타난다.

가스 중의 질소산화물을 황산에 흡수시켜 함질황산을 회수하는 것은 연실이 아니라 별도의 흡수탑(Gay-Lussac탑)의 역할이다. 연실식 황산제조법에서 질소산화물을 촉매처럼 순환·회수하는 역할은 연실이 아닌 이 흡수탑이 담당한다.

• 연실은 반응열을 발산시키는 공간 역할을 한다.
• 연실은 생성된 황산 미스트가 응축될 공간을 제공한다.
• 연실은 Glover탑에서 넘어온 SO₂가 산화되어 황산으로 전환될 시간과 공간을 제공한다.

원심분리법은 유지 성분을 분리하는 대표적 공업적 방법으로 보기 어렵다. 원심분리는 밀도차를 이용해 고체-액체나 액체-액체를 나누는 데 주로 쓰이며, 유지 내 성분(지방산 등)을 순도별로 분리하는 목적과는 거리가 있다.

• 분별결정법은 온도에 따른 융점·용해도 차이를 이용해 유지 성분을 분리하는 대표적 방법이다.
• 감압증류법과 분자증류법은 끓는점 차이를 이용하되 낮은 압력에서 조작해, 열에 약한 유지 성분을 손상 없이 분리하는 대표적 방법이다.

인광석이 황산과 반응해 인산1석회와 석고(황산칼슘)를 생성하는 반응이 과린산석회 제조 반응이다. 황산을 사용해 인광석 속 불용성 인산칼슘을 수용성 인산1석회로 바꾸고, 부산물로 석고를 얻는 것이 과린산석회 제법의 특징이다.

• 암모니아를 이용해 인산암모늄 계열 화합물을 만드는 반응은 과린산석회가 아니라 다른 인산질 비료의 제조 반응이다.
• 인산(H₃PO₄)을 사용하는 반응은 중과린산석회 제조에 해당하며, 황산을 쓰는 일반 과린산석회와는 구분된다.
• 염산을 사용하는 반응은 과린산석회 공업의 표준적인 제조법이 아니다.

산화에틸렌이 물과 수화반응을 하면 에틸렌글리콜이 생성된다.

에틸렌옥사이드의 3원자 고리가 물 분자에 의해 열리면서 두 개의 하이드록시기를 가진 에틸렌글리콜로 전환되는 반응이다.

니트로벤젠을 일산화탄소·알코올과 반응시키는 환원카르보닐화이므로 주생성물 A는 페닐카르바메이트(C₆H₅NHCOOR)다.

주어진 식은 니트로벤젠 + 3CO + ROH → A + 2CO₂(100~200℃, 10~100bar)이다. CO 3분자 중 2분자가 −NO₂의 산소 2개를 떼어내 CO₂ 2분자로 빠져나가고, 남은 CO 1분자가 질소와 알코올 사이에 끼어들어 카르바메이트기 −NHCOO−를 만든다.

R를 CH₃로 놓고 원자수를 맞춰 보면 왼쪽은 C 10·H 9·N 1·O 6이고, 오른쪽 C₆H₅NHCOOCH₃ + 2CO₂도 C 10·H 9·N 1·O 6으로 정확히 균형이 맞는다.

산소가 하나뿐인 아마이드(−NHCOR)나, 고리에 −OR·−COOR가 붙고 질소는 아민(−NH₂)으로 남은 구조들은 CO₂ 2분자가 떨어져 나가는 이 반응식의 산소 수지를 만족하지 못한다.

중화탑의 주된 작용은 암모니아 함수를 부분적으로 탄산화하는 것이다.

암모니아 소다법에서 중화탑은 완전한 탄산화가 이루어지는 침전탑(탄산화탑) 앞단에서 반응을 예비적으로 진행시켜, 이후 공정이 원활히 이어지도록 돕는 역할을 한다.

NaOH 1ton을 얻으려면 이론적으로 NaCl 약 1463kg이 필요하다.

반응식 2NaCl + 2H₂O → 2NaOH + Cl₂ + H₂에서 계수가 둘 다 2이므로 NaCl과 NaOH는 1:1 몰비로 대응한다.

NaOH 분자량 = 23 + 16 + 1 = 40g/mol → 1000kg ÷ 40 = 25kmol
NaCl 분자량 = 23 + 35.5 = 58.5g/mol
필요량 = 25kmol × 58.5kg/kmol = 1462.5 ≈ 1463kg

음성감광제가 양성감광제보다 분해능이 좋다는 설명이 틀렸다. 실제로는 음성감광제가 노광 후 현상 과정에서 팽윤(swelling)이 일어나기 쉬워 미세 패턴을 구현하는 분해능 측면에서 양성감광제보다 불리한 편이다.

• 음성감광제가 상대적으로 노출(감광) 속도가 빠르다는 점은 일반적으로 인정되는 특성이다.
• 음성감광제가 공정 조건 변화에 더 민감하다는 점도 알려진 특성이다.
• 음성감광제가 기판에 대한 접착성이 더 좋다는 점 역시 통상적으로 인정되는 특성이다.

스위트닝(sweetening)은 전화공정이 아니라 정제공정에 해당한다. 스위트닝은 석유 유분 속 황화합물(메르캅탄 등)의 악취를 제거·개선하는 정제 처리로, 분자구조 자체를 바꾸는 공정이 아니다.

• 분해(cracking)는 큰 탄화수소 분자를 작게 쪼개는 대표적 전화공정이다.
• 개질(reforming)은 분자구조를 바꿔 옥탄가를 높이는 전화공정이다.
• 알킬화(alkylation)는 작은 분자를 결합시켜 큰 분자를 만드는 전화공정이다.

순수한 무수 HCl 가스를 얻는 방법은 흡착법이다. 무수염산 제조법으로는 진한 염산을 가열해 HCl을 몰아내는 가열(증류)법, 흡착제에 HCl을 흡착시켰다가 가열 탈착시켜 순수 가스를 회수하는 흡착법, 수소와 염소를 직접 태워 합성하는 직접합성법이 꼽힌다.

• 질산 분해법과 Hargreaves법은 식염을 분해해 염산을 부생시키는 공정으로, 얻어지는 것은 수분을 포함한 염산이다.
• Deacon법은 오히려 HCl을 산화시켜 염소(Cl₂)를 만드는 염소 제조법이므로 무수염산 제조와 방향이 반대다.

아연은 양극이 아니라 음극에서 반응하므로 이 설명이 틀렸다. 망간건전지에서 아연 케이스는 전자를 내놓고 산화되는 음극이며, 이산화망간이 채워진 탄소봉 쪽이 양극이다.

• 이산화망간이 전지 용량을 결정하는 주원료라는 설명은 옳다.
• 전해액을 중성으로 만들어 아연의 자기방전을 막는다는 설명도 옳다.
• 전해액의 부식 방지를 위해 소량의 염화아연을 첨가한다는 설명도 옳다.

열분산이 쉽고 점도를 낮출 수 있지만 연쇄이동으로 저분자량 고분자가 얻어지는 단점이 있는 방법은 용액중합이다.

용매에 단량체를 녹여 중합하면 발열이 용매로 분산되어 온도 제어가 쉽고 반응혼합물의 점도도 낮게 유지되지만, 용매로의 연쇄이동반응이 일어나 생성 고분자의 분자량이 낮아지는 단점이 있다.

생성물이 질산과 물뿐이고 몰비가 1:1이므로 전체 생성물 중 질산의 질량%는 약 78%다.

반응식 NH₃ + 2O₂ → HNO₃ + H₂O를 보면 암모니아 1몰이 산화될 때 HNO₃ 1몰과 H₂O 1몰이 함께 나온다.

HNO₃ 분자량 = 1 + 14 + 16×3 = 63
H₂O 분자량 = 18 → 전체 생성물 = 63 + 18 = 81
질산의 질량% = 63 ÷ 81 × 100 = 77.8 ≈ 78%

생분해성 고분자는 미생물의 효소작용에 의해 분해되어 환경에서 자연적으로 분해될 수 있는 물질이다. 지방족폴리에스테르는 대표적인 생분해성 고분자로 미생물이 에스테르 결합을 분해할 수 있으며, 폴리카프로락톤은 지방족폴리에스테르의 한 종류로 생분해성이 우수하고, 전분은 천연 다당류로 미생물에 의해 쉽게 분해된다. 반면 폴리이소프렌은 천연고무의 주성분으로 탄소-탄소 이중결합과 단일결합으로만 이루어진 구조이므로 미생물이 분해하기 어려워 생분해성이 없다.

아세틸렌이 염화수소(HCl)와 반응하면 염화비닐이 생성된다.

염화수은(HgCl₂) 등의 촉매 존재 하에 아세틸렌의 삼중결합에 HCl이 부가되는 반응으로, 비닐클로라이드 단량체를 얻는 것이 이 공정의 원리이다.

촉매 1m³당 1시간에 통과하는 표준상태 원료가스의 부피(m³)를 나타내는 용어는 공간속도이다.

촉매층 부피 대비 단위시간당 통과 가스량의 비로 정의되며, 촉매와 반응물의 접촉시간을 가늠하는 지표로 쓰인다.

나일론66은 열가소성 폴리아미드계 합성섬유·수지로, 고온에 노출되는 전열기구용 내열재료로는 적합하지 않다.

실제로는 용융방사하여 직물(섬유)로 쓰이거나 로프 제작, 기어·베어링 등 사출성형 부품에 널리 쓰인다.

• 용융방사 직물 사용은 나일론66의 대표적 용도이다.
• 로프 제작에도 강도가 좋아 이용된다.
• 사출성형 엔지니어링 플라스틱으로도 널리 쓰인다.

아미노화 반응에서 암모니아의 수소 원자 치환 개수에 따른 생성물 분류를 정확히 파악하는 것이 핵심이다. 1차 아민은 암모니아의 수소원자 1개가 알킬/알릴기로 치환된 것(R-NH₂), 2차 아민은 2개가 치환된 것(R₂-NH), 3차 아민은 3개가 모두 치환된 것(R₃-N)이다. 보기 2는 수소원자 1개가 아실, 술포닐기로 치환된 것을 1개 아미드라고 했는데, 이는 아미드(amide)의 정의로 아민이 아니므로 틀렸다. 보기 1은 1차 아민의 정의 설명이 맞고, 보기 3의 환원(니트로 화합물 환원) 및 암모니아 분해법(Hofmann 분해 등)은 아미노화 경로로 타당하며, 보기 4의 Bèchamp method는 철(Fe)과 산을 이용한 니트로 화합물의 환원 아미노화 방법으로 정확하다.

가수분해는 화합물이 물과 반응하여 분자가 끊어지는 반응으로, 보기 3번이 그 정의를 올바르게 설명한다. 무기화합물의 가수분해(예: Al³⁺ + H₂O ⇌ Al(OH)²⁺ + H⁺)는 산·염기 중화의 역반응이므로 1번도 맞다. 니트릴(-C≡N)은 알칼리 환경에서 가수분해되어 R-COONH₄(또는 RCOO⁻)의 형태로 유기산염을 거쳐 유기산을 생성하므로 2번도 정확하다. 반면 알켄은 C=C 이중결합을 가진 탄화수소로, 가수분해 반응을 일으키지 않는다. 가수분해는 주로 에스터, 아마이드, 니트릴, 할로겐화알킬 등 극성 작용기를 포함한 화합물에서 일어나며, 알켄의 이중결합은 가수분해의 대상이 아니라 가수화(hydration) 또는 첨가반응의 대상이다.

단위시간에 흡수되는 HCl 양은 흡수계수·접촉면적·분압차의 곱으로 주어지므로 G = KAΔP다.

기액 흡수의 물질전달 속도는 '전달계수 × 전달면적 × 추진력'으로 결정된다. 여기서 추진력은 기상과 액상의 HCl 분압차 ΔP, 전달면적은 기상-액상 접촉면적 A, 비례상수가 흡수계수 K다.

그래서 충전물이나 다단탑으로 접촉면적을 넓히거나 분압차를 크게 할수록 흡수량이 그만큼 늘어난다. 접촉면적이 분모로 들어간 식이나 면적이 아예 빠진 식, 계수가 제곱으로 붙은 식은 넓힐수록 흡수가 줄거나 면적과 무관해진다는 뜻이 되어 물리적으로 맞지 않는다.

연속반응 A→R→S→T→U에서 T 곡선의 기울기는 $\dfrac{dC_T}{dt}=k_3C_S-k_4C_T$, 즉 S로부터 생성되는 속도에서 T가 U로 소모되는 속도를 뺀 값이다.

S가 최대인 시점은 아직 $C_S>C_T$인 구간이므로 T 곡선의 기울기는 양(+)이다. 기울기가 최소가 되는 시점은 T 자신의 농도가 정점을 지나 U로 활발히 소모되는 훨씬 뒤쪽 구간이므로, S가 최대인 시점과 일치하지 않는다.

나머지 설명은 타당하다. R은 초기부터 생성되므로 원점에서 기울기가 양수이고, S·T·U는 전구물질이 아직 없는 t=0에서 기울기가 0이며, A는 계속 소모되어 단조감소, U는 최종 생성물이라 단조증가한다.

표의 조건들을 대입했을 때 속도상수가 일정하게 유지되는 것은 2차 반응이며, 그 값은 약 100L/mol·h다.

순수 기체 A가 2A → R로 반응하므로 부피 변화율은 ε_A = (1−2)/2 = −0.5이고, C_A = C_A0(1−X)/(1+ε_AX)에서 전화율을 역산한다. C_Af = 0.667이면 X = 0.5, C_Af = 0.857이면 X = 0.25다.

혼합흐름 반응기 설계식 τ = V/u₀ = C_A0X/(−r_A)를 적용하면
u₀ = 9.0일 때 τ = 0.1/9 = 0.0111h → −r_A = 1×0.5/0.0111 = 45mol/L·h
u₀ = 30.0일 때 τ = 0.1/30 = 0.00333h → −r_A = 1×0.25/0.00333 = 75mol/L·h

이 값으로 차수를 가려내면 2차식 k = −r_A/C_A²는 45/0.667² ≈ 101, 75/0.857² ≈ 102로 거의 같은 100 부근인 반면, 1차식 k = −r_A/C_A는 67.5와 87.5로 크게 어긋난다. 따라서 속도식은 −r_A = 100C_A²이다.

목적생성물 R은 A 농도가 높고 B 농도가 낮을수록 유리하므로, A를 입구로 전량 넣고 B를 관을 따라 여러 지점에서 조금씩 나눠 넣는 관형(PFR) 구조가 부반응을 가장 적게 만든다.

두 속도식의 비를 보면
r_R/r_U = k₁C_A²C_B ÷ k₂C_AC_B³ = (k₁/k₂) · C_A/C_B²
이므로 C_A는 크게, C_B는 작게 유지하는 것이 관건이다. B가 제곱으로 분모에 들어가므로 B를 묽게 유지하는 효과가 특히 크다.

나머지 배치가 불리한 이유:

• B를 입구로 전량 넣고 A를 나눠 넣으면 C_B가 높고 C_A가 낮아져 비율이 정확히 반대로 나빠진다.
• A와 B를 함께 입구로 밀어 넣는 관형은 앞부분에서 C_B가 그대로 높아 부반응이 크게 일어난다.
• 혼합흐름 반응기는 내부 농도가 출구 농도와 같아 C_A가 낮게 깔리므로 C_A/C_B²를 키울 수 없다.

두 반응의 차수가 같으므로 분포비율은 속도상수의 비 k₁/k₂로 고정되고 A의 농도와는 무관하다.

A에서 목적생성물 R(k₁)과 부생성물 S(k₂)가 나란히 갈라지고 두 반응의 차수를 함께 n이라 하면
r_R/r_S = k₁C_Aⁿ ÷ k₂C_Aⁿ = k₁/k₂
로 C_Aⁿ이 그대로 약분된다.

즉 A를 진하게 넣든 묽게 넣든 R과 S가 만들어지는 비율은 달라지지 않으며, 이 비율을 바꾸려면 온도를 조절해 두 속도상수의 비 자체를 움직여야 한다. 속도상수와 무관하다는 설명은 결론이 정반대다.

그래프의 반응물 준위와 생성물 준위를 비교하면 흡열반응이며 흡열량은 20 cal이다.

반응물의 에너지는 30 cal, 생성물의 에너지는 50 cal이므로 반응열은 ΔH = 50 − 30 = +20 cal이다. 부호가 (+)라는 것은 계가 주위에서 열을 흡수했다는 뜻이다.

봉우리의 90 cal은 활성화 에너지를 읽는 값이다. 정반응 활성화 에너지는 90 − 30 = 60 cal, 역반응은 90 − 50 = 40 cal로 반응열과는 전혀 다른 양이다.

보기에 등장하는 40 cal은 역반응의 활성화 에너지일 뿐이고, 생성물의 에너지가 반응물보다 높으므로 발열로 볼 여지도 없다.

혼합흐름반응기(CSTR)는 반응기 내부 전체가 출구와 같은 저농도 상태로 유지되므로, 반응물의 농도를 가장 낮게 유지하는 방식이다.

관형반응기나 회분식반응기는 입구(초기)에서 출구(종료 시점)까지 농도가 높은 값에서 낮은 값으로 점진적으로 변하므로 반응기 내 평균 농도가 CSTR보다 높다.

순환반응기는 순환비를 낮출수록 오히려 관형반응기의 거동에 가까워져 반응기 내 농도 구배가 커진다.

균일계 1차 회분반응의 적분형은 ln(1 − X_A) = −kt이다.

속도식 −dC_A/dt = kC_A에 C_A = C_A0(1 − X_A)를 넣으면 C_A0·dX_A/dt = kC_A0(1 − X_A)가 된다.
변수분리해 0에서 t까지 적분하면 −ln(1 − X_A) = kt이고, 양변의 부호를 정리하면 ln(1 − X_A) = −kt를 얻는다.

• ln(1 − X_A) = kt : 좌변은 X_A가 커질수록 음수가 되는데 우변은 양수이므로 부호가 맞지 않는다.
• ln[X_A/(1 − X_A)] = kt : t = 0에서 X_A = 0이면 좌변이 −∞로 발산해 초기조건부터 만족하지 못한다. 생성물이 촉매로 작용하는 자동촉매형 반응에서 나오는 꼴이고, 단순 1차 비가역반응의 적분형이 아니다.
• ln[1/(1 − X_A)] = kC_A0t : 좌변은 −ln(1 − X_A)와 같아 kt여야 하는데 우변에 C_A0가 곱해져 있어 단위가 맞지 않는다.

1차 반응의 속도상수 단위는 시간⁻¹이라 적분식에 초기농도가 들어갈 수 없다는 점만 확인해도 초기농도가 붙은 식은 바로 걸러진다.

중간생성물 R를 최대로 얻는 데 CSTR이 PFR보다 더 긴 공간시간을 필요로 하므로 τ_C/τ_P > 1이다.

직렬 1차 반응 A→R→S에서 R가 최대가 되는 공간시간은 PFR가 τ_P = ln(k₂/k₁)/(k₂ − k₁)(속도상수의 대수평균의 역수), CSTR가 τ_C = 1/√(k₁k₂)(기하평균의 역수)로 주어진다.

문제에 주어진 k₁ = k, k₂ = 2k를 대입하면
τ_P = ln2/(2k − k) = 0.693/k
τ_C = 1/√(k·2k) = 0.707/k
τ_C/τ_P = 0.707/0.693 ≈ 1.02

속도상수가 서로 다르면 대수평균이 기하평균보다 항상 크므로 이 비는 언제나 1보다 크다. 또한 두 공간시간의 비는 무차원량이라 시간⁻¹ 차원인 k와 같아질 수도 없다.

0.5차 회분식 반응은 $-\dfrac{dC_A}{dt}=kC_A^{0.5}$ 형태로, 적분하면 $2\sqrt{C_{A0}}-2\sqrt{C_A}=kt$ 가 된다.

$C_{A0}=1\ \mathrm{mol/L}$, $k=3$ 을 대입하면 $\sqrt{C_A}=1-1.5t$ 이며, 이는 $t=\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$ 에서 이미 0이 된다.

즉 반응물이 1시간보다 훨씬 이른 시점에 모두 소진되므로, 1시간 후 전화율은 100%가 된다.

1차 비가역 액상반응의 관형반응기에서는 $k\tau=-\ln(1-X)$ 관계가 성립하며, 액상이므로 공간시간 $\tau$는 공간속도의 역수이다.

전화율 40%일 때 $\tau_1=1/6000\ \mathrm{h}$ 이므로 $k=6000\times(-\ln0.6)\approx3065\ \mathrm{h^{-1}}$ 로 구해진다.

전화율 90%에서는 $\tau_2=\dfrac{-\ln0.1}{k}\approx7.51\times10^{-4}\ \mathrm{h}$ 이고, 그 역수인 공간속도는 약 1331 h^-1이 된다.

아레니우스식 $\dfrac{k_2}{k_1}=\exp\!\left[\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)\right]$ 을 적용한다.

$E_a=300\ \mathrm{J/mol}$, $R=8.314\ \mathrm{J/mol\cdot K}$, $T_1=500\ \mathrm{K}$, $T_2=650\ \mathrm{K}$을 대입하면 지수항이 약 0.0167로 매우 작다.

따라서 $k_2/k_1\approx e^{0.0167}\approx1.02$로, 활성화에너지가 매우 작아 온도를 올려도 속도가 거의 변하지 않는다.

기울기가 더 가파른 직선 A의 활성화 에너지가 B보다 크다.

Arrhenius 식 k = A·e^−Ea/RT에 자연로그를 취하면 ln k = ln A − (E_a/R)(1/T)이다. 세로축 ln k, 가로축 1/T인 이 그래프에서 기울기 = −E_a/R이므로 아래로 급하게 떨어질수록 활성화 에너지가 크다.

그림에서 (A)는 거의 수직에 가깝게 급강하하고 (B)는 완만하게 내려가므로 기울기의 크기가 A > B, 곧 E_a,A > E_a,B이다.

두 직선 모두 기울기가 일정한 직선이므로 초기·후기에 따라 활성화 에너지의 대소가 뒤집힌다는 설명은 성립하지 않는다. 두 직선이 교차하는 점은 그 온도에서 속도상수가 같아지는 지점일 뿐이다.

반응기 내에서 원료 A의 소멸속도는 공급량 × 전화율 ÷ 반응기 체적으로 구한다. 공급량 1000 mol/min에서 80% 전화되므로 A의 소멸량은 1000 × 0.80 = 800 mol/min이다. 이를 반응기 체적 2000 L로 나누면 소멸속도 = 800 ÷ 2000 = 0.4 mol/(L·min)이다.

랭뮤어-힌셜우드 속도론은 촉매 표면에서의 흡착평형을 바탕으로 반응속도를 농도(분압)의 함수로 나타내는 이론으로, 온도 의존성 자체를 설명하는 이론이 아니다.

반면 볼츠만 상수, 분자충돌이론, 아레니우스식은 모두 반응속도상수가 온도에 따라 어떻게 변하는지를 직접 설명하는 개념이다.

순환반응기의 물질수지에서 $X_1(1+R)=R\,X_2$ 관계가 성립한다($X_1$: 반응기 입구 전화율, $X_2$: 출구 전화율, $R$: 순환비).

출구 전화율이 입구 전화율의 2배($X_2=2X_1$)이므로 대입하면 $X_1(1+R)=2RX_1$, 즉 $1+R=2R$가 되어 순환비는 1.0으로 구해진다.

유효계수(η)는 티엘 모듈러스(h)가 클수록(기공확산 저항이 클수록) 값이 작아지며, h→∞일 때도 η는 0에 가까워질 뿐 무한대가 되지 않는다.

반대로 h가 매우 작을 때(h<0.1)는 확산저항이 거의 없어 η≒1이 되며, η는 기본적으로 h의 함수로 정의된다.

2차 반응에서는 $\dfrac{X}{1-X}=kC_{A0}t$ 관계가 성립한다.

5분에 전화율 50%이므로 $\dfrac{0.5}{0.5}=1=kC_{A0}\times5$, 즉 $kC_{A0}=0.2\ \mathrm{min^{-1}}$이다.

전화율 75%에서는 $\dfrac{0.75}{0.25}=3=0.2\,t$이므로 소요 시간은 15분이 된다.

목적생성물 R의 선택도는 B의 농도에만 비례하므로 C_B를 크게 유지해야 한다.

두 반응을 기초반응으로 보면 R의 생성속도는 r_R = k₁C_AC_B, 부생성물 S의 생성속도는 r_S = k₂C_A이다.

선택도를 구하면 r_R/r_S = (k₁C_AC_B)/(k₂C_A) = (k₁/k₂)C_B로 C_A가 약분되어 사라진다.

따라서 A의 농도를 올리거나 내려도 R와 S의 비율은 달라지지 않고 전체 반응속도만 변한다. 실제 조작에서는 B를 반응기에 미리 채우고 A를 조금씩 주입해 C_B를 높게 유지한다.

2차 반응의 속도식은 $-r_A=kC_A^{2}$이다.

$C_A=1\ \mathrm{mol/L}$일 때 속도가 0.1이므로 $k=0.1\ \mathrm{L/mol\cdot s}$이다.

$C_A=5\ \mathrm{mol/L}$에서는 $-r_A=0.1\times5^2=2.5\ \mathrm{mol/L\cdot s}$로, 농도가 5배 늘면 속도는 25배가 된다.

품질기준 A : B = 100 : 1을 맞추려면 D를 약 19.6 mol 넣어야 한다(1 L 기준).

투입량 50 mol/L 중 A는 90 %인 45, B는 10 %인 5이다. D가 A·B와 동시에 반응하므로 두 성분의 소모 비를 먼저 세운다.
dC_A/dC_B = (C_AC_D)/(7C_BC_D) = C_A/(7C_B) — 여기서 C_D가 약분되는 것이 핵심이다.

변수분리해 적분하면 ln(C_A/45) = (1/7)·ln(C_B/5)이고, 품질기준 C_A = 100C_B를 대입해 풀면
C_B ≈ 0.30, C_A ≈ 30.1

두 반응 모두 D와 1 : 1로 반응하므로 소비된 D는 A·B의 감소량 합이다.
(45 − 30.1) + (5 − 0.30) = 14.9 + 4.7 ≈ 19.6 mol