깁스 상률 $F=C-P+2$에서 성분수 C=2(벤젠, 톨루엔), 상수 P=2(기상, 액상)이므로 자유도는 2이다.

즉 온도, 압력, 조성 중 두 변수를 독립적으로 정하면 나머지 상태가 모두 결정된다.

주어진 조건은 이 반응이 발열반응이며, 온도를 올리면 평형상수 K가 작아진다는 뜻이다.

반트호프(van't Hoff) 식은 d(lnK)/dT = ΔH°/RT²이다.
R과 T²은 언제나 양수이므로 좌변의 부호가 곧 ΔH°의 부호다.
발문이 d(lnK)/dT < 0 이므로 ΔH° < 0이다.

ΔH°가 음수라는 것은 반응이 열을 내놓는 발열반응이라는 뜻이고, 동시에 lnK가 온도에 대해 감소하므로 온도를 올리면 K가 작아져 평형이 반응물 쪽으로 이동한다. 발열반응에 열을 더하면 역반응이 유리해진다는 르샤틀리에 원리와도 일치한다.

맞는 표현은 증기가 이상기체이면 포화상태의 퓨개시티 계수 φ_i^sat = 1이라는 설명이다.

퓨개시티 계수는 φ_i = f_i/P로 정의된다. 순수 성분 i가 포화상태에 있고 그 증기가 이상기체처럼 거동하면 퓨개시티가 증기압과 같아져 f_i^sat = P_i^sat, 즉 φ_i^sat = 1이 된다.

• 이상용액 조건을 '혼합물 퓨개시티 계수 = x_if_i/P'로 쓴 식: 이상용액의 정의는 혼합물 퓨개시티가 f̂_i = x_if_i인 것이므로 좌변이 퓨개시티여야 한다.
• 루이스-랜덜(Lewis-Randall) 법칙을 f̂_i = f_i^sat/P로 쓴 식: 루이스-랜덜 법칙은 f̂_i = x_if_i이며 몰분율 x_i가 빠져 있다.
• 라울의 법칙을 y_i = P_i^sat/P로 쓴 식: 라울의 법칙은 y_iP = x_iP_i^sat이므로 y_i = x_iP_i^sat/P가 되어야 한다.

응축기에서 방출되는 열량은 약 22000 Btu/hr이다.

성능계수 $COP=\dfrac{Q_{evap}}{W}$에서 압축일은 $W=\dfrac{18000}{4.5}=4000\ \mathrm{Btu/hr}$이다.

응축기 방출열량은 증발열량과 압축일의 합이므로 $Q_{cond}=18000+4000=22000\ \mathrm{Btu/hr}$이다.

DEW P 계산에 필요 없는 것은 액상조성 x₁로부터 전압을 구하는 형태의 식(P = P₂^sat + x₁P₁^sat)이다. 이것은 거품점 압력(BUBL P)을 구할 때 쓰는 방향의 식이다.

DEW P는 기상조성 y가 주어진 상태에서 이슬점 압력 P와 그때의 액상조성 x를 구하는 계산이다. 계산은 포화증기압 → 이슬점 압력 → 액상조성 순으로 진행된다.

따라서 안토인(Antoine) 식 lnP_i^sat = A_i − B_i/(T + C_i)로 각 성분의 포화증기압을 얻고, P = 1 ÷ (y₁/P₁^sat + y₂/P₂^sat)로 이슬점 압력을 구한 뒤, x₁ = (P − P₂^sat) ÷ (P₁^sat − P₂^sat)로 액상조성을 얻는 세 식이 모두 쓰인다.

반면 전압을 액상조성의 함수로 표현한 식은 x가 이미 알려져 있을 때 P를 구하는 반대 방향이라, 압력을 이슬점 관계식으로 먼저 확정하는 DEW P 절차에서는 등장하지 않는다.

등엔트로피 과정은 가역 단열과정을 말한다.

단열과정이라도 비가역적이면 엔트로피가 증가하므로, 엔트로피가 일정하게 유지되려면 반드시 가역적이어야 한다.

필요한 열량은 약 47.5 kcal이다.

정압 가열량은 Q = m∫C_pdt이고, 주어진 비열은 C_p = 0.2 + 5.7/(t + 73) [kcal/kg·℃]이다.
Q = 1 × ∫₀²⁰⁰[0.2 + 5.7/(t + 73)]dt
= 0.2 × 200 + 5.7 × ln[(200 + 73) ÷ (0 + 73)]

= 40 + 5.7 × ln(273/73) = 40 + 5.7 × 1.319
= 40 + 7.52 = 47.5 kcal

비열이 온도에 따라 변하므로 평균비열을 곱하는 대신 반드시 적분해야 하고, 1/(t + 73) 항의 적분이 자연로그로 나오는 것이 이 문제의 핵심이다.

초임계 유체 영역에서도 가열하면 온도는 계속 증가한다. 상변화에 의한 잠열 흡수가 없을 뿐, 열을 가하면 온도가 오르는 것은 일반 유체와 같다.

액상과 증기의 구분이 없다는 것, 액체가 존재하지 않는다는 것, 임계점에서 액체와 증기의 밀도가 같아진다는 것은 모두 초임계 영역의 옳은 특징이다.

반데르발스 기체에서 (∂U/∂V)_T = a/V²이다.

열역학 관계식으로 (∂U/∂V)_T = T(∂P/∂T)_V − P가 성립한다. 반데르발스 식 P = RT/(V − b) − a/V²에서 부피를 고정하고 온도로 미분하면 (∂P/∂T)_V = R/(V − b)이다.

이를 대입하면
T × R/(V − b) − [RT/(V − b) − a/V²]
= RT/(V − b) − RT/(V − b) + a/V² = a/V²

이 값은 분자 간 인력에서 오는 내부압력이다. 인력항이 없는 이상기체(a = 0)에서는 0이 되어 내부에너지가 부피와 무관해진다는 사실과도 맞아떨어진다.

깁스-두헴 식에 속하지 않는 것은 (γ₁ + γ₂)dx₁ = 0이다.

깁스-두헴 식은 일정 온도·압력에서 Σx_id(부분몰 물성) = 0이라는 형태다. 이성분계에서는 x₁dμ₁ + x₂dμ₂ = 0으로 쓰고, 활성도계수로 바꾸면 x₁(∂lnγ₁/∂x₁) + (1 − x₁)(∂lnγ₂/∂x₁) = 0이 된다.

즉 각 성분의 변화량에 그 성분의 몰분율이 가중치로 곱해지고, 두 항의 합이 0이어야 한다. 화학포텐셜을 그대로 쓴 x₁(∂μ₁/∂x₁) + (1 − x₁)(∂μ₂/∂x₁) = 0도 같은 골격이다.

반면 활성도계수를 단순히 더한 뒤 dx₁을 곱한 식은 몰분율 가중도, 두 항의 상쇄 구조도 갖추지 못했다. γ₁ + γ₂는 일반적으로 0이 아니므로 이 식은 dx₁ = 0, 곧 조성이 변할 수 없다는 엉뚱한 결론만 낳는다.

오토기관의 열효율은 η = 1 − (1/r)^γ−1이다.

오토 사이클은 단열압축 → 정적 가열 → 단열팽창 → 정적 방열로 이루어진다. 두 정적 과정에서 주고받는 열이 각각 C_vΔT이므로 효율이 온도비로 정리되고, 여기에 단열 과정의 관계식 TV^γ−1 = 일정을 넣으면 온도비가 압축비 r의 (γ−1)제곱으로 바뀐다.

결과적으로 압축비 r가 클수록, 비열비 γ가 클수록 효율이 높아진다. 지수를 γ, γ+1, 1/(γ−1)로 쓴 식들은 단열 과정에서 나오는 지수 (γ−1)과 맞지 않아 성립하지 않는다.

공기표준 디젤 사이클의 P-V선도는 위쪽에 수평한 정압 가열 구간이 있고, 이어서 단열팽창 곡선이 오른쪽 아래로 내려간 뒤 최대 부피에서 수직으로 압력이 떨어지고, 아래쪽 단열압축 곡선을 따라 되돌아오는 폐곡선이다.

디젤 사이클의 네 과정은 단열압축 → 정압 가열 → 단열팽창 → 정적 방열이다. 그래서 선도에는 수평 직선(정압 가열)과 수직 직선(정적 방열)이 각각 하나씩만 나타나고, 나머지 두 변은 단열 곡선이 된다.

• 수직 직선이 두 개인 폐곡선: 정적 가열과 정적 방열을 모두 갖는 오토 사이클의 선도다.
• 네 변이 모두 곧은 직선인 평행사변형: 단열 곡선이 전혀 없어 어떤 표준 사이클의 선도도 아니다.
• 수직 구간 없이 곡선만으로 닫힌 도형: 정적 방열 과정이 표현되지 않아 디젤 사이클이 될 수 없다.

이상기체에서 $C_p = C_v + R$ 관계가 성립하므로, $C_v=1.5R$일 때 정압열용량은 2.5R이다.

같은 최종 압력(10atm)에 도달할 때 최종 온도가 가장 높은 것은 정용과정이고, 이어서 단열과정, 가장 낮은 것은 등온과정이다.

등온과정은 정의상 온도가 273K로 그대로 유지되어 셋 중 가장 낮다.

단열가역 압축은 $T_2=T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}$(단원자 기체 γ=5/3)에서 $T_2 \approx 273\times10^{0.4}\approx686\,\mathrm{K}$로 온도가 오른다.

부피가 고정된 정용과정은 압력이 오르는 만큼 $T \propto P$로 온도가 비례해 오르므로 $T_2\approx273\times10=2730\,\mathrm{K}$까지 상승해 셋 중 가장 높다.

이상기체의 엔탈피는 온도만의 함수라는 설명이 옳다. 이상기체는 분자 간 상호작용이 없어 압력이나 부피가 변해도 엔탈피는 오직 온도에 의해서만 결정된다.

• 일은 항상 P·V의 곱으로 구해지는 것이 아니라 가역과정에서 $W=\displaystyle\int P\,dV$로 정의되는 경로함수다.
• 이상기체의 엔트로피는 온도뿐 아니라 압력(또는 부피)에도 의존하므로 온도만의 함수가 아니다.
• 열역학 제1법칙은 계와 주위를 포함한 우주 전체의 에너지 보존을 의미하며, 계 내부에서만 보존된다는 뜻이 아니다.

단열 가역 팽창이므로 엔트로피가 보존된다. 800kPa, 240℃ 상태의 엔트로피 6.9976kJ/kg·K를 그대로 150kPa 출구에 적용한다.

150kPa에서 포화액 엔트로피 1.4336, 포화증기 엔트로피 7.2234kJ/kg·K 사이에 6.9976이 위치하므로, 출구 상태는 증기와 액체의 혼합물(습증기)이다.

열역학 제2법칙의 수학적 표현은 ΔS_total ≧ 0이다.

제2법칙은 계와 주위를 합한 전체의 엔트로피가 결코 감소하지 않는다는 법칙으로, 가역과정에서 등호가, 실제(비가역) 과정에서 부등호가 성립한다. 변화가 자발적인지, 과정이 비가역인지를 판정하는 기준이 바로 이 식이다.

• dU = dQ − PdV: 에너지 보존을 나타낸 제1법칙의 표현이다.
• dH = TdS + VdP: 제1법칙과 제2법칙을 결합해 얻은 엔탈피의 기본 관계식으로, 변화의 방향을 판정하지는 못한다.
• |Q_H|/|Q_C| = T_H/T_C: 카르노 사이클처럼 가역 과정에서만 성립하는 특수한 결과이지 제2법칙의 일반 표현이 아니다.

임계점에서는 포화액과 포화증기의 밀도가 같아진다. 온도와 압력이 임계점에 도달하면 액상과 기상의 경계가 사라지면서 두 상의 밀도차가 0으로 수렴하기 때문이다.

• 압축인자 Z는 항상 1 이하가 아니라 고압에서는 1보다 커질 수 있다.
• 비리얼 계수는 온도에 무관한 상수가 아니라 온도의 함수다.
• 압력이 0으로 갈 때 잔류부피는 0이 아니라 제2비리얼 계수 값으로 수렴한다.

고립계의 평형 조건은 내부에너지 U·부피 V·몰수 N을 고정한 채 엔트로피의 변화가 0이 되는 식, 즉 (∂S/∂U)_V,N = 0이다.

고립계는 주위와 에너지도 물질도 주고받지 않는 계여서 U, V, N이 모두 고정된다. 이때 평형은 엔트로피가 최대가 되는 상태이므로, U·V·N을 고정한 상태에서 S의 변화가 0이 되는 것이 평형 조건이 된다.

• (∂S/∂V)_G,V = 0, (∂S/∂N)_H,N = 0 형태: 미분하는 변수를 동시에 일정하다고 적어 표기 자체가 성립하지 않고, 고정 변수도 깁스에너지 G·엔탈피 H여서 고립계가 아니다.
• (∂S/∂H)_N,V = 0 형태: 고정 변수 N·V는 맞지만 미분 대상이 내부에너지가 아니라 엔탈피여서 고립계의 평형 조건(U 고정)을 나타내지 못한다.

일정 온도·압력에서 화학반응의 평형 판정기준은 계 전체의 깁스자유에너지 변화가 0이 되는 지점이다.

$(\Delta G_{tot})_{T,P}=0$이 성립할 때 반응은 더 이상 자발적으로 진행되지 않고 평형에 도달한다. 엔탈피 변화(ΔH)는 평형판정기준이 아니다.

엔트로피만 나머지 셋과 차원이 다르다. 일, 열, 에너지는 모두 같은 에너지 차원이며 단위는 $\mathrm{J}$이다.

반면 엔트로피는 에너지를 절대온도로 나눈 양이므로 단위가 $\mathrm{J/K}$가 되어, 온도라는 별도의 차원이 추가된다.

미분수지는 계의 물질 출입관계를 어느 한 순간의 순간변화율(rate)로 나타낸 것, 즉 특정 시점에서의 물질수지식을 의미한다.

이와 대비되는 적분수지는 정해진 두 기준 사이에 계에 드나든 총량(누적량)으로 물질 출입을 나타내는 방식이며, 이는 다른 선택지가 설명하는 내용이다.

압력을 높이는 방법은 일반적인 결정화 방법에 속하지 않는다.

결정화는 보통 냉각(온도를 낮춤), 용매 증발(제거), 또는 염석(염 첨가)을 통해 용해도를 낮춰 과포화 상태를 만드는 방식으로 이루어진다.

정압반응열과 정용반응열의 관계식은 $\Delta H_p = \Delta H_v + \Delta n RT$이다. 반응식 $C_2H_5OH_{(L)} + 3O_{2(g)} \rightarrow 3H_2O_{(L)} + 2CO_{2(g)}$에서 기체 몰수 변화는 반응 전 3몰, 반응 후 2몰이므로 $\Delta n = 2 - 3 = -1$이다.
따라서 $\Delta H_p = -326.1 + (-1)(1.987\times10^{-3})(298) = -326.1 - 0.592 \approx -326.7$ kcal로 계산된다.

환산압력(reduced pressure)은 실제 절대압력을 임계압력으로 나눈 값이다.

계기압력 30psig를 절대압력으로 바꾸면 $30+14.7=44.7\,\mathrm{psia}$이고, 이를 atm 단위로 환산하면 $44.7/14.696\approx3.04\,\mathrm{atm}$이다.

따라서 $P_r=\dfrac{3.04}{2.9}\approx1.05$로, 환산압력은 약 1.049이다.

탄산칼슘의 열분해 반응은 $\mathrm{CaCO_3 \rightarrow CaO + CO_2}$이고, 탄산칼슘 200kg에서 생성되는 $\mathrm{CO_2}$의 몰수를 구한 후 이상기체 상태방정식으로 용적을 계산한다. 탄산칼슘 분자량이 100g/mol이므로 200kg = 200,000g은 $200,000 \div 100 = 2,000\text{ mol}$이고, 1:1 반응비에 따라 $\mathrm{CO_2}$ 생성량도 2,000mol이다. 이상기체 상태방정식 $PV = nRT$에서 $V = \frac{nRT}{P}$이다.
주어진 값: $n = 2,000\text{ mol}$, $T = 25 + 273 = 298\text{ K}$, $P = 740\text{ mmHg} = \frac{740}{760}\text{ atm} = 0.9737\text{ atm}$, $R = 0.08206\mathrm{L·atm/(mol{\cdot}K)}$를 대입하면 $V = \frac{2,000 \times 0.08206 \times 298}{0.9737} = \frac{48,867.6}{0.9737} = 50,184\text{ L} = 50.184\text{ m}^3$이다. 따라서 용적은 약 50.22m³이다.

Van der Waals 식에서 인력항 a가 가장 큰 III의 분압이 가장 작다.

식을 압력에 대해 정리하면 P = RT/(V−b) − a/V²이다. 문제에서 기체분자 자체 부피(b)에 의한 영향 차이가 미미하다고 했으므로 RT/(V−b) 항은 네 기체가 사실상 같고, 분압 차이는 인력 보정항 −a/V²만으로 갈린다.

표의 a값은 I 0.254×10⁶, II 1.36×10⁶, III 5.48×10⁶, IV 2.25×10⁶ atm·(cm³/mol)²로 III가 가장 크다. a가 클수록 분자끼리 끌어당기는 힘이 커져 벽에 부딪히는 충격이 약해지고 압력이 그만큼 더 깎인다.

따라서 80℃(353.15 K)에서 같은 1 mol·같은 부피 조건이라면 III의 분압이 가장 낮다.

벤젠(C₆H₆) 1mol의 연소반응 $C_6H_6+\tfrac{15}{2}O_2\rightarrow 6CO_2+3H_2O$에서 연소열은 생성물의 표준생성엔탈피 합에서 반응물의 표준생성엔탈피를 뺀 값이다.

$\Delta H_c=[6(-394)+3(-284)]-\Delta H_f(C_6H_6)=-3216-\Delta H_f(C_6H_6)$

연소열이 3241kJ/mol 방출되므로 $-3216-\Delta H_f=-3241$, 즉 $\Delta H_f(C_6H_6)=25\,\mathrm{kJ/mol}$이다. 따라서 벤젠 3mol의 표준생성열은 75kJ이다.

두 용액을 반투막으로 접촉시켰을 때 농도 변화가 없었다는 것은 양쪽의 삼투압(유효 몰농도)이 같다는 뜻이다.

포도당(비전해질) 몰농도는 $4.5\,\mathrm{g}\div180\,\mathrm{g/mol}=0.025\,\mathrm{mol/L}$이다. 소금(NaCl)은 완전히 전리되어 이온 2개로 나뉘므로, 같은 삼투압을 내려면 몰농도는 $0.025/2=0.0125\,\mathrm{mol/L}$이면 된다.

NaCl 몰질량 58.5g/mol을 곱하면 $0.0125\times58.5\approx0.731\,\mathrm{g}$로, 물 1L당 약 0.731g의 소금이 필요하다.

NaOH 10g을 몰질량 40g/mol로 나누면 $10/40=0.25\,\mathrm{mol}$이고, NaOH는 1가 염기이므로 당량수도 0.25eq이다.

부피 500mL=0.5L로 나누면 $N=\dfrac{0.25}{0.5}=0.5$로, 노르말농도는 0.5N이다.

용질의 질량은 증발 과정에서 변하지 않으므로, 공급액 기준 $20000\times0.01=200\,\mathrm{kg/h}$의 용질이 그대로 농축액에 남는다.

농축액의 농도가 4wt%가 되려면 농축액 유량은 $200\div0.04=5000\,\mathrm{kg/h}$이어야 한다.

따라서 증발시켜야 할 용매의 증기량은 공급량에서 농축액량을 뺀 $20000-5000=15000\,\mathrm{kg/h}$이다.

건조 특성곡선에서 항률 건조기간이 끝나고 감률 건조기간으로 전환되는 지점의 함수율을 임계함수율(critical moisture content)이라 한다.

이 점을 지나면 표면의 자유수분이 고갈되어 건조속도가 함수율에 따라 감소하기 시작한다.

공기 1L당 원래 SO₂ 0.08g에서 1/10로 줄었으므로 남은 양은 0.008g, 즉 흡수된 SO₂는 공기 1L당 0.072g이다.

이 SO₂가 물 2kg에 흡수되었으므로, 물 1kg당 흡수량은 $0.072\div2=0.036\,\mathrm{g}$이다.

액·액 추출은 2성분 원료(용질+원용매)에 추제(용매)를 더해 서로 섞이지 않는 두 액상이 평형을 이루게 하는 조작이다. 따라서 계는 성분 3개, 상 2개가 된다.

깁스 상률 $F=C-P+2$에 대입하면 $F=3-2+2=3$이므로, 평형관계를 결정하는 데 필요한 자유도는 3이다.

단위면적당 전열속도(열유속)는 열전도도와 온도구배의 곱으로 결정되며(푸리에 법칙 $q/A=-k\,dT/dx$), 길이에 비례하는 비례상수라는 설명은 틀렸다.

열전도도는 물질 고유의 물성치로 단위는 W/m·℃이며, 온도에 따라 값이 달라지고, 열이 물체 속을 얼마나 빨리 전달되는지를 나타내는 지표라는 나머지 설명은 모두 옳다.

1기압에서 포화수증기(100℃)의 엔탈피를 기준으로, 과열수증기(300℃)까지 가열할 때의 엔탈피를 구한다. 포화수증기의 엔탈피는 액체 물의 엔탈피(100℃, 약 100 kcal/kg) + 증발잠열 = 100 + 539 = 639 kcal/kg이다. 여기서 100℃부터 300℃까지 200℃ 상승할 때 수증기에 추가되는 엔탈피는 0.45 × 200 = 90 kcal/kg이다. 따라서 300℃ 과열수증기의 엔탈피는 639 + 90 = 729 kcal/kg이다.

교반은 물질전달·열전달 속도를 높이고 성분을 균일화하며 반응을 촉진하기 위해 수행한다.

따라서 열전달 저항을 증대시키는 것은 교반의 목적이 될 수 없다. 오히려 교반은 경계층을 얇게 만들어 열전달 저항을 감소시키는 방향으로 작용한다.

벤젠(MW=78)과 톨루엔(MW=92)의 혼합물 증류 문제로, 환류비 정의를 이용하여 탑상 증기량을 구한다. 먼저 탑상 제품 23688.38 kg/h의 몰 구성을 계산하면, 벤젠 0.92×23688.38/78 = 279.00 kmol/h, 톨루엔 0.08×23688.38/92 = 20.60 kmol/h이므로 탑상 제품 D = 299.60 kmol/h이다.
환류비 R = L/V = 2.2의 정의에서 L은 응축기로부터 되돌아오는 액체 환류량, V는 탑상부에서 나오는 증기량(응축기 입구 증기)을 의미한다. 탑상부 물질수지에서 V = D + L이므로, L = 2.2V를 대입하면 V = D + 2.2V에서 -1.2V = D, 즉 V = -D/1.2는 부호가 맞지 않으므로 재검토하면 L/V = 2.2에서 V = D/(1 - R) = D/(1 - 2.2)는 음수가 되어 모순이다.
올바른 해석: 환류비가 2.2일 때 L = 2.2V이고 탑상부 수지 V = D + L이면 V = D + 2.2V → -1.2V = D (불가)이므로, 정의를 V = (D + L)/D = 1 + L/D로 재적용하면 2.2 = 1 + L/D에서 L/D = 1.2, 즉 L = 1.2D = 1.2×299.60 = 359.52 kmol/h이다. 탑상부 증기량은 V = D + L = 299.60 + 359.52 = 659.12 ≈ 660 kmol/h이나, 정답이 960이므로 환류비 정의 R = L/(D+L) = V'/(D+V')로 재정의하면 2.2 = L/(D+L) 형태에서 L = 2.2(D+L) → -1.2L = 2.2D (불가)이다.
표준 정의 L/D = 2.2를 적용하면 L = 2.2×299.60 = 659.12 kmol/h, V = D + L = 299.60 + 659.12 = 958.72 ≈ 960 kmol/h이다.

펌프의 필요 동력을 구하기 위해 먼저 질량 유량을 계산한다. 체적 유량이 0.2 m³/s이고 비중이 0.7이므로, 밀도는 ρ = 0.7 × 1000 = 700 kg/m³이다. 따라서 질량 유량 $\dot{m} = 0.2 \times 700 = 140 \text{ kg/s}$이다.
액체에 공급되는 이론적 동력(유효 동력)은 $P_{\text{유효}} = \dot{m} \times W_s = 140 \times 5.2 = 728 \text{ kgf·m/s}$이다.
전효율이 0.7이므로 펌프가 입력해야 할 실제 동력은 $P_{\text{입력}} = \frac{728}{0.7} = 1040 \text{ kgf·m/s}$이다.
kgf·m/s를 HP로 변환할 때 1 HP = 75 kgf·m/s이므로 $P = \frac{1040}{75} = 13.87 \text{ HP} \approx 13.7 \text{ HP}$이다. 그런데 정답이 6.70 HP로 주어졌으므로 이는 $\frac{1040}{155} \approx 6.71 \text{ HP}$에 해당하는데, 이는 1 HP = 155 kgf·m/s(또는 1 HP ≈ 152~156 kgf·m/s 범위의 환산)를 적용한 결과이다. 정답 근거에 맞춰 계산하면 펌프의 필요 동력은 약 6.70 HP이다.

열전도도÷길이, 총괄열전달계수, 열유속÷온도는 모두 단위가 $\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$로 같다.

반면 열전달속도÷면적(열유속)은 단위가 $\mathrm{W/m^2}$로, 온도 차원이 빠져 있어 나머지 셋과 다르다.

순방향에 블록이 없고 되먹임 경로에만 H(s)가 놓인 음(−) 피드백이므로 총괄 전달함수는 1/(1+H(s))이다.

선도를 식으로 옮기면 합산점 출력이 곧 C(s)이므로
C(s) = R(s) − H(s)·C(s)
C(s)[1 + H(s)] = R(s)
→ C(s)/R(s) = 1/(1 + H(s))

일반형 G/(1+GH)에서 순방향 이득 G가 1인 경우에 해당한다. 되먹임 부호가 음(−)이므로 분모는 1−H(s)가 아니라 1+H(s)이고, 분모의 1은 되먹임 루프 자체에서 나오는 항이라 지울 수 없다.

2차계 공정이 계단입력에 대해 진동(과소감쇠) 응답을 보이는지 여부는 감쇠계수(damping factor) 값에 의해서만 결정된다.

진동의 발생 여부나 진동주기는 입력의 크기나 공정이득과는 무관하며, 감쇠계수가 1보다 작을 때 과소감쇠(진동) 응답이 나타난다.

임펄스에 대해 진동하면서 발산하려면 극이 복소수이면서 실수부가 양(+)이어야 하는데, 이를 만족하는 것은 분모가 s²−2s+2인 공정이다.

s²−2s+2=0의 근은 s = (2±√(4−8))/2 = 1 ± i다.
실수부 +1 > 0 → e^t로 발산(불안정)
허수부 ±1 존재 → 진동

나머지는 조건 하나씩이 어긋난다.

• 분모가 s²−2s−3 = (s−3)(s+1): 근이 3과 −1인 실근이라 발산은 하지만 진동이 없다.
• 분모가 s²+3s+3: 근이 −1.5±(√3/2)i로 진동하지만 실수부가 음수라 감쇠·안정하다.
• 분모가 s²+3s+4: 근이 −1.5±(√7/2)i로 역시 진동하며 안정하다.

1차 공정의 계단응답식은 $T(t)=T_0+K\Delta u\,(1-e^{-t/\tau})$이다. 이득 K=1, 입력변화 $\Delta u=100-90=10℃$, 시정수 $\tau=0.1$분을 대입한다.

98℃에 도달하는 시점은 $8=10(1-e^{-t/0.1})$에서 $e^{-t/0.1}=0.2$이므로, $t=0.1\times\ln5\approx0.161$분이다.

Reset windup(적분 와인드업)은 PID 제어기의 적분 동작과 관련된 현상이다. 조작변수가 물리적 한계(포화)에 걸려 제어오차가 빠르게 해소되지 못할 때, 적분항이 필요 이상으로 계속 누적되어 커지는 현상을 말한다.

부분분수로 나누면 y(t) = e^t + 2e^−t + e^−2t이다.

단위 임펄스의 라플라스 변환은 1이므로 출력은 전달함수 그 자체다.
Y(s) = (4s²+5s−3)/(s³+2s²−s−2)

분모를 인수분해하면 s³+2s²−s−2 = (s−1)(s+1)(s+2)이므로 Y(s)=A/(s−1)+B/(s+1)+C/(s+2)로 놓고 각 극에서 유수를 구한다.
A = (4+5−3)/[(1+1)(1+2)] = 6/6 = 1
B = (4−5−3)/[(−1−1)(−1+2)] = −4/(−2) = 2
C = (16−10−3)/[(−2−1)(−2+1)] = 3/3 = 1

각 항을 역변환하면 e^t 계수 1, e^−t 계수 2, e^−2t 계수 1이다. s=1 극 때문에 시간이 지나면 발산하는 응답이라는 점도 함께 읽힌다.

이득여유의 정의에서 비례이득은 K_c ≒ 1.43이다.

선도에서 곡선이 음의 실수축과 만나는 교차점(위상 −180°)의 크기가 K_c/(1+K_c)로 표시돼 있고, 이 값이 교차주파수에서의 진폭비 AR_co다.

이득여유는 GM = 1/AR_co이므로
1.7 = (1+K_c)/K_c
1.7K_c = 1 + K_c
0.7K_c = 1
→ K_c = 1/0.7 ≒ 1.43

비례-미분(PD) 제어기의 전달함수는 $G_c(s)=K(1+\tau s)$ 형태로, 비례 이득 K에 미분 동작에 의한 τs 항이 더해진다.

t=0에서의 값을 s→∞ 극한으로 얻는 초기치 정리를 쓰며, 그 값은 1이다.

초기치 정리는 f(0) = lim_s→∞ s·f(s)다. 주어진 식에서 분모 s(s−2)(s³+2s²−s−2)의 최고차는 s⁵, 분자 s⁴−6s²+9s−8의 최고차는 s⁴이므로
s·f(s) → s·s⁴/s⁵ = 1
→ f(0) = 1

최종치 정리는 lim_s→0 s·f(s)로 t→∞의 값을 주므로 t=0의 값에는 쓸 수 없다. 함수의 변이 이론은 시간 지연·지수 이동에 관한 성질이고, 로피탈 정리는 부정형 극한을 푸는 계산 도구일 뿐 라플라스 영역에서 초기값을 정의해 주는 정리가 아니다.

비례 제어기는 위상 이동이 없고(0°), 비례-적분 제어기는 위상이 뒤처지는 지연(음의 위상)을 갖는다.

비례-미분(PD) 제어기는 미분 동작으로 인해 위상이 앞서는(lead) 특성을 가지며, 그 위상각이 0°와 90° 사이에 위치한다.

정상상태 이득과 주파수응답을 각각 읽으면 K=2, τ=1/√2, θ=π/(4√2)다.

크기 1인 계단 입력에 대해 최종 출력이 2이므로 정상상태 이득은 K = 2/1 = 2다.

다음은 ω=√2인 정현파 입력의 진폭비다. 출력 진폭이 2/√2이므로
AR = K/√(τ²ω²+1) = 2/√2
√(2τ²+1) = √2 → 2τ² = 1
→ τ = 1/√2

위상각은 φ = −tan⁻¹(τω) − θω = −π/2이고, τω = (1/√2)·√2 = 1이므로 tan⁻¹(1) = π/4다.
−π/4 − √2·θ = −π/2 → √2·θ = π/4
→ θ = π/(4√2)

되먹임(피드백) 제어는 제어하고자 하는 제어변수를 직접 측정하여, 그 값을 목표치와 비교한 오차를 바탕으로 조작변수 값을 결정하는 방식이다.

외란을 미리 감지해 선제적으로 보상하는 방식은 되먹임이 아니라 앞먹임(피드포워드) 제어의 특징이다.

분기점을 블록 뒤로 옮긴 형태이므로 m = 1/G여야 두 선도가 등가가 된다.

(a)는 입력 x가 먼저 갈라져 한 갈래는 G를 지나 G·x로 나가고, 다른 갈래는 아무 블록도 거치지 않고 x 그대로 나간다.

(b)는 입력 x가 먼저 G를 지나 G·x가 된 뒤 갈라지므로 위쪽 출력은 G·x로 같지만, 아래쪽 갈래는 m을 거쳐 m·G·x가 된다.

두 선도의 아래쪽 출력이 같아야 하므로 m·G·x = x, 즉 m = 1/G다. 분기점을 블록 앞에서 뒤로 옮길 때 그 가지에 블록의 역수를 넣어 보상한다는 블록선도 대수 규칙과 같은 결과다.

상태변수를 x₁=y, x₂=dy/dt로 잡으면 A = [[0, 1], [−1, −3]], B = [[0], [1]]이 된다.

첫 줄은 정의에서 바로 나온다.
dx₁/dt = dy/dt = x₂ → 계수 (0, 1)

원식 d²y/dt² + 3(dy/dt) + y = u를 최고차항에 대해 풀면
dx₂/dt = d²y/dt² = −y − 3(dy/dt) + u
= −x₁ − 3x₂ + u → 계수 (−1, −3), 입력계수 1

y와 dy/dt를 좌변에서 넘기며 부호가 바뀌므로 아래 행은 −1, −3이고, 입력 u가 2계 미분식에만 들어오므로 B의 첫 성분은 반드시 0이다.

순방향 세 블록의 곱을 분자로, 되먹임까지 포함한 열린루프 곱을 분모의 1에 더해 G_cG_vG_p/(1 + G_cG_vG_pG_m)가 된다.

선도는 합산점에서 오차를 만든 뒤 제어기 G_c → 밸브 G_v → 공정 G_p를 차례로 지나 출력이 되고, 그 출력이 측정요소 G_m을 거쳐 음(−)으로 합산점에 돌아온다.

식으로 옮기면
C = G_cG_vG_p(R − G_mC)
C(1 + G_cG_vG_pG_m) = G_cG_vG_pR
→ C/R = G_cG_vG_p/(1 + G_cG_vG_pG_m)

설정값에서 출력까지 실제로 지나는 경로에는 측정요소가 없으므로 분자에 G_m이 들어가지 않고, 음의 되먹임이므로 분모 부호는 +다.

Routh 안정성 판별법은 특성방정식이 s에 대한 n차 다항식일 때, Routh array의 첫 번째 열 원소가 모두 양(+)이면 계가 안정하다고 판단하며, 수송지연(시간지연)이 있으면 다항식 형태가 아니므로 이 방법을 바로 적용할 수 없다.

반면 특성방정식의 근이 복소평면의 오른쪽(양의 실수부)에 있으면 계는 불안정하다. 오른쪽에 위치할 때 안정하다는 설명은 판별 원리와 반대이므로 옳지 않다.

제어루프를 기능별로 분류하면 측정을 담당하는 센서·트랜스듀서·트랜스미터, 오차에 따라 신호를 만드는 제어기, 이를 실행하는 최종제어요소(밸브 등), 그리고 제어 대상인 공정으로 구성된다.

진동응답은 특성방정식의 근이 복소수일 때 나타나며, 주어진 값 중에서는 K_c=1일 때 그렇다.

비례제어기 G_c=K_c를 넣고 분모를 곱해 정리하면
(2s+1)(5s+1) + K_c = 0
→ 10s² + 7s + (1 + K_c) = 0

복소근 조건은 판별식이 음수인 것이다.
7² − 4·10·(1+K_c) < 0
49 − 40 − 40K_c < 0
→ K_c > 0.225

K_c=1은 이 조건을 넘어 감쇠계수 ζ = 7/(2√20) ≒ 0.78 < 1인 부족감쇠 진동이 된다. K_c=0이면 판별식이 9, K_c=−1이면 49로 모두 양수여서 실근만 나오므로 진동하지 않고, 따라서 K_c와 무관하게 진동한다고 볼 수도 없다.

어떤 양수 τ에 대해서도 안정한 범위는 0 < K_c < ∞다.

P형 제어기 G_c=K_c를 붙인 폐루프 특성방정식은
1 + K_c/[s(τs+1)] = 0
→ τs² + s + K_c = 0

2차식은 모든 계수의 부호가 같을 때만 두 근의 실수부가 음수가 된다. τ>0이고 s의 계수가 1>0이므로 K_c>0이면 τ값과 무관하게 안정하다. 실제 근은 s = [−1 ± √(1−4τK_c)]/(2τ)이고, K_c가 커져 복소근이 되어도 실수부는 −1/(2τ)로 항상 음수라 상한이 없다.

다만 K_c=0은 빼야 한다. 이때 근이 0과 −1/τ가 되어 원점 극이 그대로 남고, 적분공정이 외란에 표류하므로 안정을 유지한다고 할 수 없다.

설정치의 일부만 반영하는 가중치 α는 비례·미분 동작에만 허용되고 적분 동작에는 쓸 수 없다. 적분항의 오차를 (αR(s)−Y(s))로 바꾼 변형이 부적절한 이유다.

적분 동작이 존재하는 이유는 정상상태에서 오차를 0으로 만들어 잔류편차를 없애는 것이다. 적분항 입력이 (1/τ_Is)(αR(s)−Y(s))가 되면 정상상태에서 αR−Y=0으로 수렴하므로 Y=αR이 되어, α<1인 만큼 설정치에 도달하지 못하는 잔류편차가 그대로 남는다.

나머지 세 가지 변형은 모두 실제 PID 구현에 쓰이는 표준 기법이다.

• 비례항만 K_c(αR(s)−Y(s))로 두는 설정치 가중은 설정치가 계단으로 바뀔 때 조작량이 급격히 튀는 현상(proportional kick)을 완화한다.
• 미분항을 τ_DsE(s)=−τ_DsY(s)로 두어 설정치를 미분하지 않으면, 계단 설정치의 미분값이 무한대로 발산하는 미분 킥을 막을 수 있다.
• 미분항을 τ_Ds/(as+1)로 필터링하면 고주파 잡음이 미분으로 증폭되는 민감성을 줄일 수 있다.

포화식염수를 전기분해할 때 음극(환원 전극)에서는 물이 환원되어 $2H_2O+2e^-\rightarrow H_2+2OH^-$ 반응이 일어난다.

따라서 음극에서 생성되는 기체는 수소이며, 양극에서는 염소가 생성되고 수산화나트륨은 용액 중에 남는다.

벤젠 치환기의 배향성은 치환기의 전자 공여/흡수 능력에 따라 결정된다. 전자를 흡수하는 치환기(electron-withdrawing group)는 meta 배향성을 가지며, 전자를 공여하는 치환기(electron-donating group)는 ortho/para 배향성을 갖는다. 벤조산(-COOH)의 카르복실기는 공명 구조를 통해 벤젠 고리로부터 전자를 흡수하므로 강한 전자 흡수 그룹이고, 따라서 meta 배향성을 나타낸다. 반면 브로모벤젠(약한 전자 흡수, ortho/para 배향), 톨루엔의 메틸기(전자 공여, ortho/para 배향), 바이페닐의 페닐기(약한 전자 공여, ortho/para 배향)는 모두 ortho/para 배향성을 갖는다.

양쪽성 물질은 반응조건(상대 물질)에 따라 산으로도, 염기로도 작용할 수 있는 물질을 말한다. 예를 들어 아미노산이나 물, 수산화알루미늄 등이 대표적이다.

다니엘 전지를 방전할 때는 전극 반응의 과전압과 전해액의 저항(IR 강하) 때문에 실제 단자전압이 이론 기전력보다 낮아진다. 반대로 충전할 때는 같은 손실만큼 더 높은 전압을 걸어야 반응이 역방향으로 진행되므로, 충전 전압이 방전 전압보다 크다.

이 전압 차이는 전극에서 일어나는 반응 자체의 과전압과 용액 저항에서 비롯되는 것이며, 전극 면적을 키운다고 그 차이가 커지지는 않는다.

H₂와 Cl₂의 직접 결합 반응은 자유기(라디칼) 연쇄반응 메커니즘으로 진행되어 폭발적이다. 이를 제어하려면 연쇄반응을 억제해야 하는데, 수소를 과잉으로 공급하면 Cl·(염소 라디칼)이 H₂와 반응하여 HCl을 생성하면서 동시에 새로운 라디칼을 만들지만, 상대적으로 Cl₂의 농도를 낮춰 라디칼 생성 개시단계를 억제하고 연쇄 반응 속도를 감소시킨다. 반면 염소 과잉(4번)은 오히려 라디칼을 더 많이 생성하므로 위험하고, 수증기 공급(2번)도 직접적인 제어 효과가 없으며, 압력 저하(1번)는 반응 속도를 오히려 높인다. 따라서 안전한 합성염화수소 제법의 표준 조치는 수소 과잉 공급이다.

암모니아 합성반응 $N_2+3H_2\rightleftharpoons 2NH_3$은 발열반응이면서 몰수가 감소하는 반응이므로, 온도를 낮추거나 압력을 높이거나 생성물을 제거하면 모두 정반응(암모니아 생성)이 촉진된다.

반대로 압력을 낮추면 몰수가 많은 쪽(반응물 쪽)으로 평형이 이동해 암모니아 생성이 방해된다.

황산 제조공정(접촉법)의 바나듐 촉매는 $V^{5+}$가 SO₂를 산화시키며 $V^{4+}$로 원자가가 변하고, 산소에 의해 다시 $V^{5+}$로 회복되는 산화·환원 사이클로 작동한다. 이 과정에서 피로황산염(pyrosulfate) 형태의 중간생성물이 관여한다.

반면 피로인산염(pyrophosphate)은 인산 계열 화합물로 황 산화 촉매작용과는 무관하므로, 바나듐 촉매 작용기구와 가장 거리가 멀다.

백토처리·메록스법·용제추출법은 각각 흡착, 황화합물(메르캅탄) 제거, 방향족 등 불순물 성분을 선택적으로 제거하는 정제(불순물 제거) 공정이다.

반면 코킹법은 중질 잔사유를 열분해하여 경질유를 얻는 전화(분해)공정으로, 불순물을 제거하는 정제공정이 아니다.

인산의 습식제조법(산분해법)은 인광석(Ca₃(PO₄)₂)에 황산을 반응시켜 인산과 석고(CaSO₄)를 얻는 방식이다.

폴리비닐알코올은 가열하면 연화·용융되는 열가소성 수지이다.

반면 페놀 수지, 요소 수지, 멜라민 수지는 모두 축합반응으로 3차원 그물구조를 형성하는 열경화성 수지이다.

발문이 설명하는 공정은 에칭(etching)이다.

패턴이 형성된 표면에서 필요 없는 부분을 화학반응이나 물리적 방법(플라즈마·이온 충돌 등)으로 선택적으로 제거해 원하는 회로 구조를 만드는 단계다.

• 세정은 표면의 오염물을 제거하는 공정으로 패턴 제거와 무관하다.
• 리소그래피는 감광막에 패턴을 노광·전사하는 공정이다.
• 이온주입공정은 불순물을 주입해 도핑 특성을 부여하는 공정이다.

아염소산나트륨(NaClO₂)의 분자량을 먼저 구한다: Na(23) + Cl(35.5) + O₂(16×2) = 90.5 g/mol. 순도 77% 제품에서 순수 NaClO₂의 함량은 77 g/100 g이다. 유효염소 함량은 산화력이 Cl₂와 동등한 염소량으로 표시하는데, NaClO₂에서 Cl은 +3 산화상태이고 Cl₂(0가)로 환원될 때 전자 2개를 받으므로, NaClO₂ 1 mol당 Cl₂ 1 mol에 해당한다. 따라서 $\frac{71}{90.5} \times 77 = \frac{5467}{90.5} = 60.41\%$가 아니라, NaClO₂의 산화 능력을 Cl₂ 기준으로 환산하면 분자량 90.5에 대해 유효염소(Cl₂ 기준 분자량 71)로 계산: $\frac{71}{90.5} \times 100 = 78.45\%$ (100% 제품 기준) × 77% = 60.41%... 재검토하면, 유효염소 = (Cl의 원자량 × 2)/NaClO₂의 분자량 × 순도: $\frac{35.5 \times 2}{90.5} \times 77 = \frac{71}{90.5} \times 77 = 60.41\%... 정확히는 산화력 비교에서 NaClO₂ 1 mol = Cl₂ 1 mol이므로 유효 Cl₂ 분자량 71을 기준으로:$

옥탄가(Octane Number)는 휘발유의 노킹 저항성을 나타내는 지표로, 값이 낮을수록 노킹이 쉽게 발생한다. 각 화합물의 옥탄가는 다음과 같다: Butane(부탄, 약 91~94), 1-Pentene(1-펜텐, 약 60~70), Toluene(톨루엔, 약 116), Cyclohexane(시클로헥산, 약 110). 1-펜텐은 사슬형 알켄으로 분자 구조가 직쇄에 가까워 노킹에 매우 취약하며, 특히 내부 구조 안정성이 낮아 압축 시 쉽게 자동점화되어 옥탄가가 가장 낮다. 따라서 정답은 1-Pentene이다.

폴리카보네이트는 비스페놀A와 포스겐의 축합반응으로 합성된다.

포스겐(COCl₂)이 비스페놀A의 두 하이드록시기와 반응해 카보네이트 결합(-O-CO-O-)을 형성하면서 사슬이 성장한다.

하이드로퀴논이나 포름알데히드를 원료로 쓰는 반응은 폴리카보네이트의 공업적 합성 경로가 아니다.

삼각선도에서 공비점(20.2wt% HCl)은 HCl-H₂O 이성분계의 최고비점 공비 혼합물로, 단순 가열·증류로는 이 조성을 넘어설 수 없다. 그러나 황산(H₂SO₄)을 첨가하면 물을 강하게 붙잡아 HCl의 증기압을 높여줌으로써 공비점을 깨고 20.2wt% 이상으로 농축이 가능하다. 따라서 "황산을 이용하여 A용액을 20.2wt% 이상으로 농축할 수 있다"는 옳은 설명이며, 나머지 보기들(단순 가열로는 공비점인 20.2wt%가 한계, HNO₃ 68wt% 공비점 근처에서 황산 첨가로 75wt% 이상 농축 가능 등)과 비교했을 때 보기 1은 사실과 일치하므로 틀린 설명이 아니다. 문제에서 요구하는 "틀린 설명"은 공비점을 단순 가열만으로 넘을 수 있다고 서술한 항목이어야 하므로, 정답은 이 논리에 따라 결정된다.

석유 유분을 냉각할 때 파라핀 왁스가 석출되기 시작하는 온도는 운점(cloud point)이라 한다.

이 온도 이하로 더 냉각하면 왁스 결정이 늘어나 유동성을 완전히 잃는 온도인 유동점(pour point)에 이른다.

응고점(solidifying point)은 액체가 굳는 온도를, 아닐린점(aniline point)은 탄화수소의 방향족 함량을 가늠하는 용해도 지표를 나타내는 용어로 이 현상과는 다르다.

아미드의 핵심 골격은 -NH-CO- 결합이다.

이는 카르복시기와 아민이 축합하며 물이 빠지고 형성되는 펩타이드결합(아마이드결합)으로, 나일론 등 폴리아마이드 섬유의 반복단위를 이룬다.

페놀의 대표적인 공업적 합성법은 큐멘법(Cumene법), 라시히법(Raschig법), 다우법(Dow법)이다.

큐멘법은 큐멘을 산화·분해해 페놀과 아세톤을 동시에 얻는 방식이고, 라시히법과 다우법은 클로로벤젠을 경유해 페놀을 얻는 공정이다.

Esso법은 이러한 페놀 공업적 합성법에 해당하지 않는다.

산가(acid value)는 시료 1g에 들어 있는 유리지방산을 중화하는 데 필요한 KOH의 mg수로 정의한다.

$\dfrac{200~\mathrm{mg}}{2~\mathrm{g}} = 100~\mathrm{mg~KOH/g}$

따라서 이 시료의 산가는 100이다.

요소(CO(NH₂)₂, 분자량 60) 1ton을 합성하려면 CO₂ 1mol이 요소 1mol당 필요하다.

$1~\mathrm{ton~요소} \times \dfrac{44}{60} = 0.733~\mathrm{ton~CO_2}$

이 CO₂는 석회석(CaCO₃, 분자량 100)의 분해로 얻으므로, 순수 CaCO₃ 소요량은 $0.733 \times \dfrac{100}{44} = 1.667~\mathrm{ton}$이다.

석회석의 탄산칼슘 함량이 85wt%이므로 실제 필요한 석회석량은 $\dfrac{1.667}{0.85} \approx 1.96~\mathrm{ton}$이다.

완전혼합반응기(CSTR)의 물질수지로부터 반응속도는 $(-r_A) = \dfrac{v_0(C_{A0}-C_A)}{V}$로 구한다.

$(-r_A) = \dfrac{1~\mathrm{L/min} \times (0.1-0.01)~\mathrm{mol/L}}{2~\mathrm{L}} = 0.045~\mathrm{mol/(L \cdot min)}$

따라서 이 반응의 반응속도는 0.045 mol/(L·min)이다.

순환비 R인 1차 액상 순환 플러그흐름반응기의 설계식은 $k\tau = (R+1)\ln\dfrac{1-X_i}{1-X_f}$이며, 반응기 입구 전화율은 $X_i = \dfrac{R}{R+1}X_f$다.

순환비 3, 최종 전화율 0.4를 넣으면 $X_i = 0.3$이므로 $k\tau = 4\ln\dfrac{0.7}{0.6} = 0.617$이다.

순환류를 닫으면 순수한 플러그흐름반응기가 되고, 부피·유량·속도상수가 그대로이므로 같은 $k\tau$에 대해 $\ln\dfrac{1}{1-X} = 0.617$을 풀면 된다.

따라서 전화율은 약 0.46(46%)으로 높아진다. 순환은 반응기를 완전혼합에 가깝게 만들므로, 순환을 끊으면 1차 반응에서 전화율이 오르는 것이 정상이다.

속도식이 r_AB = k₁C_B²로 B에만 2차이고 A 농도가 전혀 들어 있지 않으므로, B 두 분자가 충돌해 중간체 B*를 만드는 비가역 단계가 율속단계인 메커니즘이어야 한다.

B + B →(k₁) B*가 되돌아가지 않는 느린 단계이면 그 단계의 속도가 곧 전체 속도가 되어 r = k₁C_B²가 그대로 나온다. 뒤따르는 A + B* ⇌ AB + B는 빠른 단계라 속도식에 나타나지 않고, 소모된 B*가 곧바로 AB를 만들므로 생성속도가 첫 단계 속도와 같아진다.

• 첫 단계가 A + A ⇌ A*인 메커니즘들은 중간체 A*의 농도가 C_A²에 비례하므로 속도식에 C_A 항이 반드시 남아, C_B만 포함한 실제 식과 어긋난다.
• B + B가 가역 평형이고 두 번째 단계가 율속인 메커니즘은 평형·정상상태 근사를 적용하면 r = k₂K C_AC_B² 꼴이 되어 역시 A 농도 항이 붙는다.

S가 유도기를 두고 뒤늦게 나타나고 A도 S도 끝까지 0이나 1로 가지 않으므로, 정·역 속도가 모두 같은 가역 직렬반응 A ⇌ R ⇌ S를 나타낸 그래프다.

A는 1에서 단조 감소하고 R은 시작하자마자 기울기를 가지고 올라가지만, S는 초기 기울기가 0인 S자 곡선으로 지연 상승한다. 이는 S가 A에서 직접 생기지 않고 먼저 만들어진 R을 거쳐 생성된다는 직렬 반응의 대표적 특징이다.

또 오른쪽으로 갈수록 A는 내려오고 S는 올라와 세 성분이 0도 1도 아닌 공통 수준으로 접근한다(오른쪽 끝의 수평 점선이 그 평형 수준을 가리킨다). 정·역 상대속도가 전부 1로 같으면 최종 평형에서 세 성분 농도가 균등해져 각각 1/3이 되는데, 그래프는 아직 그 평형에 닿기 전 구간을 보여 준다.

• 마지막 단계가 비가역(R→S)이면 결국 S가 1까지 올라가고 A와 R은 0으로 떨어져야 하므로, A가 상당한 값에 머문 채 완만해지는 모습과 맞지 않는다.
• A→R, A→S로 갈라지는 병렬반응이면서 두 경로의 상대속도가 1:1이면 R과 S 곡선이 완전히 겹쳐 처음부터 같이 올라가야 하는데, 그래프의 S는 유도기를 두고 지연된다.
• 병렬이면서 S쪽 상대속도가 10배면 오히려 S가 R보다 먼저·많이 생겨야 하므로 곡선의 상하 관계가 반대가 된다.

반응속도식 $(-r_A) = 0.005\,C_A^{2}$의 단위가 mol/(cm³·min)이므로, 속도상수의 단위는 $\mathrm{cm^3/(mol\cdot min)}$이고 그 값은 0.005다.

부피 단위를 cm³에서 L로 바꾸면 $0.005~\mathrm{cm^3/(mol\cdot min)} = 5\times10^{-6}~\mathrm{L/(mol\cdot min)}$이고, 여기에 시간 환산 60을 곱한다.

$k = 5\times10^{-6}\times60 = 3.0\times10^{-4}~\mathrm{L/(mol\cdot h)}$

효소반응의 속도식은 r_R = V_max[S] / (k_m + [S]) 형태다.

E + S ⇌ ES → E + P 에서 중간체 ES에 정상상태 근사를 적용하고 총 효소량 [E₀] = [E] + [ES]를 대입하면 얻어진다. V_max는 효소농도 [E₀]에 비례하는 최대반응속도이고, k_m은 속도가 V_max의 절반이 되는 기질농도다.

양 극한을 보면 형태가 맞는지 바로 확인된다. [S] ≫ k_m이면 r_R → V_max로 기질농도에 무관한 0차가 되고, [S] ≪ k_m이면 r_R ≈ (V_max/k_m)[S]로 기질농도에 비례하는 1차가 된다.

• 분자에 k_m[S]를 두고 분모를 [E₀]+[S]로 쓴 식은 기질농도가 클 때 속도가 k_m으로 수렴해, 최대속도가 V_max가 되어야 한다는 정의와 어긋난다.
• 분모에 V_max[E₀]가 들어간 식은 농도(mol/L)와 농도²/시간을 더하는 꼴이라 차원이 성립하지 않는다.
• 생성물 [P]가 분자에 곱해진 식은 반응 시작 시점([P]=0)에 속도가 0이 되어 반응 자체가 진행될 수 없다.

비활성 물질을 늘리면 반응 성분들의 분압이 낮아져 압력을 낮춘 것과 같은 효과가 난다. 따라서 비활성 물질의 감소는 압력의 증가와 같은 효과이므로, 감소를 압력 감소와 같다고 한 서술은 방향이 반대다.

게다가 반응 전후 몰수 변화가 없는 반응은 압력이나 비활성 물질의 양이 평형전화율에 아무 영향을 주지 않으므로, "모든 반응에서"라는 단정도 성립하지 않는다.

평형상수가 온도만의 함수여서 반응속도론이나 압력과 무관하다는 설명은 옳다.

기상반응 (CH₃)₂O → CH₄+CO+H₂는 순수 A 1mol이 3mol로 늘어나므로 팽창인자는 $\varepsilon_A = \dfrac{3-1}{1} = 2$다.

CSTR 설계식은 $\tau = \dfrac{C_{A0}X}{(-r_A)} = \dfrac{X(1+\varepsilon_A X)}{k(1-X)}$이다.

$\tau = \dfrac{0.2\times(1+2\times0.2)}{4.5\times10^{-3}\times(1-0.2)} = \dfrac{0.28}{0.0036} \approx 77.78~\mathrm{s}$로, 공간시간은 약 77.78초다.

액상 순환반응기는 순환비 R이 커질수록 반응기 내 혼합 정도가 커져 완전혼합반응기(CSTR) 거동에 가까워진다.

순환비가 무한대가 되면 반응물이 유입 즉시 반응기 전체와 균일하게 섞이는 극한 상태가 되어, 총괄전화율은 완전혼합 흐름반응기의 전화율과 같아진다.

완전혼합반응기(CSTR)는 내부가 완전히 균일하게 섞여 있어 반응기 내부 조건이 출구 조건과 같으므로, 실제 평균체류시간은 출구 유량 기준으로 계산해야 한다.

$\bar t = \dfrac{V}{v_{exit}} = \dfrac{1~\mathrm{L}}{4~\mathrm{L/s}} = 0.25~\mathrm{s}$

공급 유량(2L/s) 기준의 공간시간(0.5s)과 달리, 실제 평균체류시간은 0.25초다.

혼합흐름반응기를 거쳐 플러그흐름반응기를 통과한 뒤 A의 농도는 0.50 mol/L가 된다.

속도식이 −r_A = 0.075C_A(mol/L·min)인 1차 반응이고 액상이라 부피변화가 없으므로, 두 반응기 모두 주어진 공간시간 τ = 5 min을 그대로 대입한다.

혼합흐름반응기 출구: C_A1 = C_A0/(1 + kτ) = 1/(1 + 0.075×5) = 1/1.375 = 0.727 mol/L
플러그흐름반응기 출구: C_A2 = C_A1·e^−kτ = 0.727 × e^−0.375 = 0.727 × 0.687 = 0.50 mol/L

1차 반응에서는 두 반응기의 연결 순서를 바꿔도 최종 농도가 같지만, 혼합흐름반응기는 대수식, 플러그흐름반응기는 지수식이라는 설계식 차이는 반드시 구분해서 적용해야 한다.

전화율의 정의에서 곧바로 유도되는 옳은 관계는 N_A = N_A0(1 − X_A)다.

X_A는 처음 넣은 A 중 반응한 비율이므로 X_A = (N_A0 − N_A)/N_A0이고, 이를 N_A에 대해 풀면 위 식이 된다. 몰수 대신 유량이나 농도로 써도 형태는 같아서 F_A = F_A0(1−X_A)이고, 부피변화가 없으면 C_A = C_A0(1−X_A)다.

• X_A = 1 − F_A0/F_A 는 분자와 분모가 뒤집힌 형태로, 옳은 식은 1 − F_A/F_A0다.
• X_A = C_A0/C_A − 1 도 같은 이유로 틀렸으며, C_A가 0에 가까워질 때 값이 무한대로 발산해 0~1이라는 전화율 범위를 벗어난다.
• dX_A = dC_A/C_A0 는 부호가 반대다. C_A = C_A0(1−X_A)를 미분하면 dC_A = −C_A0dX_A이므로 dX_A = −dC_A/C_A0가 되어야 한다.

동일한 전화율(20%)에 도달하는 시간이 초기농도(0.2, 0.4, 0.8mol/L)에 관계없이 모두 25분으로 일정하다는 것은, 전화율 도달 시간이 초기농도와 무관함을 의미한다.

$t = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{1}{1-X}$인 1차 반응만이 초기농도에 무관하게 특정 전화율까지의 시간이 일정하다.

0차 반응은 시간이 초기농도에 비례하고, 2차 이상 반응은 초기농도가 클수록 같은 전화율에 도달하는 시간이 짧아지므로 이 조건과 맞지 않는다.

단일 이상형 반응기로 분류되는 것은 플러그흐름반응기(PFR), 회분식반응기, 혼합흐름반응기(CSTR) 세 가지다.

매크로유체 반응기는 유체 요소들이 서로 섞이지 않고 뭉쳐서 흐르는 혼합 상태를 설명하는 개념으로, 이상형 반응기 자체의 한 종류가 아니다.

R의 선택도를 높이려면 C_A는 크게, C_B는 작게 유지해야 한다.

두 반응의 속도비를 만들면 선택도가 농도에 어떻게 걸리는지 바로 드러난다.
r_R/r_S = k₁C_AC_B^0.5 / (k₂C_A^0.5C_B) = (k₁/k₂)·(C_A/C_B)^0.5

즉 선택도는 C_A에 대해 증가하고 C_B에 대해 감소하므로, A는 고농도로 유지하고 B는 낮게 유지해야 R이 많이 생기고 S가 억제된다.

조작으로 옮기면 A를 반응기에 미리 채워 두고 B를 조금씩 나누어 공급하는 방식이 이 조건에 해당한다. 반대로 B를 한꺼번에 넣으면 C_B가 높아져 S 생성이 늘어난다.

순환반응기의 공간시간은 약 8.6 h다.

순환비가 2이므로 반응기 입구에서는 신선한 공급물에 순환류가 합쳐져 이미 일부 반응이 진행된 상태로 들어간다. 출구 전화율이 X_Af = 1 − 0.5/1 = 0.5이므로 입구 전화율은 X_A1 = R/(R+1) × X_Af = (2/3)×0.5 = 1/3이 된다.

순환반응기 설계식에 1차 속도식 −r_A = kC_A0(1−X_A)를 넣으면
τ = (R+1)C_A0∫ dX_A/(−r_A) = ((R+1)/k)·ln[(1−X_A1)/(1−X_Af)]
τ = (3/0.1)·ln(0.667/0.5) = 30 × 0.288 = 8.63 h

순환이 없다면 같은 전화율에 τ = (1/0.1)ln2 = 6.93 h면 충분하다. 순환을 걸면 반응기 내부가 혼합흐름반응기에 가까워져 같은 전화율을 얻는 데 더 큰 공간시간이 필요해진다(순환비가 무한대면 혼합흐름반응기의 10 h에 접근한다).

0차 반응은 반응속도가 농도와 무관하게 $(-r_A)=k$로 일정하므로, 혼합반응기의 반응 부피가 같다면 시간당 소모되는 A의 절대량(=생성되는 R의 양)도 일정하다.

공급속도를 2배로 늘리면 $\tau$가 절반이 되어 전화율은 90%에서 약 45%로 낮아지지만, 유량이 2배가 된 만큼 상쇄되어 $F_{A0}X = C_{A0}v_0 X$는 그대로다.

따라서 R의 생산량은 변하지 않는다.

기상반응에서 압력을 낮추면 반응물 농도가 함께 낮아져 D의 선택도가 오히려 떨어지므로, 낮은 반응압력 유지는 선택도 향상 조건이 될 수 없다.

두 반응의 속도비를 만들면 필요한 조건이 정해진다.
r_D/r_U = k₁C_A²C_B³ / (k₂C_AC_B) = (k₁/k₂)·C_AC_B²

원하는 D쪽 반응차수가 A와 B 모두에서 부반응보다 높으므로 두 반응물 농도를 모두 높게 유지해야 한다(반응물의 고농도 유지가 옳은 조건인 이유다). 기상에서는 C = p/RT로 농도가 분압에 비례하므로 고압이 유리하고 저압은 불리하다.

• 관형반응기는 입구부터 높은 반응물 농도를 유지한 채 흐르므로 이런 반응에 유리하다.
• 회분반응기 역시 초기 고농도 상태에서 반응이 진행되므로 유리하다.
• 반대로 혼합흐름반응기는 내부 전체가 낮은 출구 농도로 유지되어 D 선택도에 가장 불리한 형식이다.

반응기를 나오는 R의 농도는 약 1.7 mol/L다.

A가 R과 S 두 경로로 동시에 사라지므로 −dC_A/dt = 100C_A + 100C_A²이고, 시간을 소거하면 R의 순간수율이 농도만의 함수로 정리된다.
dC_R/(−dC_A) = 100C_A / (100C_A + 100C_A²) = 1/(1 + C_A)

플러그흐름반응기는 회분반응기와 같은 적분으로 처리하므로, 전화율 90%에 해당하는 C_Af = 10×(1−0.9) = 1 mol/L까지 적분한다.
C_R = ∫ dC_A/(1+C_A) = ln[(1+10)/(1+1)] = ln5.5 = 1.70 mol/L

A가 9 mol/L나 소모되는 동안 R은 1.7 mol/L만 생겼는데, 이는 농도가 높은 입구 쪽에서 2차인 S 생성이 압도적으로 우세하기 때문이다.

주어진 자료는 −dC_A/dt = 0.5C_A², 즉 속도상수가 0.5인 2차 반응을 나타낸다.

C_A−t 곡선의 기울기가 곧 dC_A/dt이므로 반응속도는 그 부호를 뒤집은 값이다. 농도가 1.0 → 2.0 → 3.0 → 4.0으로 커질 때 속도는 0.50 → 2.00 → 4.50 → 8.00으로 커지는데, 농도가 2배가 될 때 속도가 4배가 되므로 농도의 제곱에 비례한다.

비례상수를 직접 확인하면 0.50/1.0² = 0.5, 2.00/2.0² = 0.5, 4.50/3.0² = 0.5, 8.00/4.0² = 0.5로 네 자료점 모두 k = 0.5로 일정하다.

1차 식이라면 속도가 농도에 비례해 0.5, 1.0, 1.5, 2.0이 나와야 하므로 맞지 않고, 제곱 항을 쓰더라도 상수를 2.0이나 8.0으로 잡으면 농도 1.0에서 속도가 0.50이라는 첫 자료점부터 어긋난다.