전기력선은 전위가 높은 점에서 낮은 점으로 향하며, 그 방향은 해당 점에서의 전계 방향과 일치하고, 전계가 0이 아닌 곳에서는 서로 다른 두 전기력선이 교차하지 않는다는 성질을 갖는다.

다만 전기력선은 반드시 양전하에서 나와 음전하에서 끝나며, 전하가 존재하지 않는 공간에서는 새로 생기거나 끊어지는 일이 없다. 따라서 전하가 없는 곳에서도 전기력선이 발생·소멸한다는 설명은 전기력선의 성질과 맞지 않는다.

두 벡터의 내적과 크기를 이용하면 사이각을 구할 수 있다. $\vec{A}=2\hat{i}+4\hat{j},\ \vec{B}=6\hat{j}-4\hat{k}$일 때 내적은 $\vec{A}\cdot\vec{B} = 2\times0 + 4\times6 + 0\times(-4) = 24$이다.

각 벡터의 크기는 $|\vec{A}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$, $|\vec{B}|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$이므로, $\cos\theta = \dfrac{24}{\sqrt{20}\sqrt{52}} \approx 0.744$가 되어 $\theta \approx 42^\circ$를 얻는다.

자계 내에서 운동하는 대전입자에 작용하는 로렌츠 힘은 $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$로, 그 크기는 속도와 자계 사이의 각을 θ라 할 때 $F = qvB\sin\theta$이다.

이 힘은 항상 속도 벡터에 수직으로 작용하므로 입자의 속력(운동 에너지)을 변화시키지 못하며, 정상 자계가 입자에 일을 하지 않는다는 것도 여기서 비롯된다.

따라서 힘의 크기는 sinθ에 비례하는 것이 옳은 관계이며, cosθ에 비례한다는 설명은 자계 내 대전입자에 작용하는 힘의 관계와 맞지 않는다.

평행한 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘은 $F = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$로 구한다.

$F = \dfrac{4\pi\times10^{-7}\times1000\times1000}{2\pi\times0.02} = \dfrac{4\pi\times10^{-1}}{0.04\pi} = 10\ \mathrm{N/m}$이므로, 도선 1m마다 작용하는 힘은 10N/m이 된다.

전도전류 밀도와 변위전류 밀도의 최대값이 같아지는 조건을 이용한다. 전계 $E = 10\cos(2\pi ft)\mathbf{a}_x$에서 전도전류 밀도는 $J_c = \sigma E = 0.5 \times 10\cos(2\pi ft) = 5\cos(2\pi ft)$이므로 최대값은 $|J_{c,\max}| = 5$이다. 변위전류 밀도는 $J_d = \frac{\partial D}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0 n E) = \epsilon_0 n \frac{\partial E}{\partial t} = \epsilon_0 \times 2 \times (-10 \times 2\pi f \sin(2\pi ft)) = -20\pi f \epsilon_0 \sin(2\pi ft)$이므로 최대값은 $|J_{d,\max}| = 20\pi f \epsilon_0$이다.
$|J_{c,\max}| = |J_{d,\max}|$ 조건에서 $5 = 20\pi f \epsilon_0$이고, $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m을 대입하면 $f = \frac{5}{20\pi \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{1}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{1}{1.113 \times 10^{-10}} \approx 2.25 \times 10^9$ Hz = 2.25 GHz

그림은 간격 d의 평행판 사이를 극판과 평행한 경계면으로 나누어 유전율 ε₁, ε₂의 유전체를 각각 두께 d/2씩 겹쳐 넣은 구조다. 이때 두 층을 통과하는 전속밀도 D가 공통이므로 두 콘덴서의 직렬 접속과 등가이다.

각 층의 정전용량은 극판 면적 S, 두께 d/2를 적용해 C₁ = ε₁S/(d/2) = 2ε₁S/d, C₂ = ε₂S/(d/2) = 2ε₂S/d 이다.

직렬 합성용량은 C = C₁C₂/(C₁ + C₂) = (4ε₁ε₂S²/d²) ÷ {2S(ε₁ + ε₂)/d} = 2Sε₁ε₂ / {d(ε₁ + ε₂)}[F]이다. 만약 유전체를 극판에 수직인 경계면으로 나눠 면적을 절반씩 채웠다면 병렬이 되어 S(ε₁ + ε₂)/2d 꼴이 되므로, 그림에서 경계면 방향을 반드시 확인해야 한다.

그림은 왼쪽에 접지된 무한 평면도체(해칭)가 있고, 평면에서 a[m] 떨어진 곳에 점전하 Q가, 다시 Q에서 a[m] 더 먼 쪽에 점 P가 놓인 배치다. 즉 P는 평면에서 2a[m] 떨어져 있다. 접지 평면이 있는 문제는 전기영상법으로 푼다.

평면을 없애고 대칭 위치(평면 뒤쪽 a[m])에 영상전하 −Q를 놓으면 원래 문제와 같은 전계 분포가 된다. P에서 실전하 Q까지의 거리는 a, P에서 영상전하 −Q까지의 거리는 2a + a = 3a이다.

전위는 스칼라이므로 두 기여를 단순히 더하면 V_P = Q/(4πε₀·a) + (−Q)/(4πε₀·3a) = Q/(4πε₀a)(1 − 1/3) = Q/(6πε₀a)[V]이다. 영상전하를 빼먹으면 Q/(4πε₀a)가 되고, P까지의 거리를 잘못 잡으면 분모의 계수가 8π나 2π로 어긋난다.

코일의 자기 인덕턴스는 $L = \dfrac{N\Phi}{I}$로 구한다.

$L = \dfrac{250\times0.02}{4} = \dfrac{5}{4} = 1.25\ \mathrm{H}$이므로, 이 코일의 자기 인덕턴스는 1.25H이다.

옴의 법칙 $V=IR$을 전류에 대해 정리하면 $I = \dfrac{V}{R}$이 되어, 전류는 전압에 비례하고 저항에 반비례한다는 관계를 얻는다.

즉 전압이 커질수록 전류는 커지고, 저항이 커질수록 전류는 작아진다.

맥스웰 방정식의 적분형을 확인하는 문항이다. 암페어의 주회적분 법칙은 ∮_cH·dl = I + ∫_s(∂D/∂t)·dS 로 전도전류에 변위전류를 더한 형태, 자계에 대한 가우스의 정리는 ∮_sB·dS = 0 (자기력선은 시작도 끝도 없어 알짜 자속이 0), 전계에 대한 가우스의 정리는 ∮_sD·dS = ∫_vρ dv = Q 로 모두 옳은 표현이다.

반면 패러데이의 전자유도 법칙의 정확한 적분형은 ∮_cE·dl = −∫_s(∂B/∂t)·dS 이다. 즉 좌변은 전계 E의 선적분(기전력)이고, 우변은 자속밀도 B의 시간 변화율을 면적분한 값에 음(−)의 부호를 붙인 것이다.

따라서 좌변을 전속밀도 D의 선적분으로, 우변을 자계 H의 시간 미분으로 써 놓은 식은 두 변의 물리량이 모두 바뀌어 있어 틀린 표현이다. E와 D(= εE), B와 H(= B/μ)를 혼동하지 않도록 유의한다.

물질을 자기적 성질로 분류하면, 외부 자계 반대 방향으로 약하게 자화되는 반자성체에는 구리·은·금·비스무트 등이 있고, 외부 자계와 같은 방향으로 약하게 자화되는 상자성체에는 백금·알루미늄 등이 있으며, 강하게 자화되는 강자성체에는 철·니켈·코발트 등이 있다.

따라서 제시된 물질 중 반자성체는 구리이며, 백금과 알루미늄은 상자성체, 니켈은 강자성체에 해당한다.

자기저항은 기자력을 자속으로 나눈 값, 즉 $R_m = \dfrac{NI}{\Phi}$로 구한다.

$R_m = \dfrac{250\times1.2}{1.5\times10^{-3}} = \dfrac{300}{1.5\times10^{-3}} = 2\times10^{5}\ \mathrm{AT/Wb}$가 되어, 이 철심의 자기저항은 $2\times10^{5}$ AT/Wb이다.

반지름 a인 구도체에 전하 Q를 주면 전하는 표면에 균일하게 분포하고, 가우스 법칙에 따라 구 외부에서는 중심에 점전하 Q가 있는 경우와 완전히 같은 전계·전위가 나타난다.

따라서 구심에서 거리 r(단 r ≥ a)인 점의 전위는 V = Q/(4πε₀r)이다. 문제에서 r = 5a이므로 V = Q/(4πε₀ × 5a) = Q/(20πε₀a)[V]이다.

주의할 점은 전위는 거리의 1승에 반비례하고 전계가 2승에 반비례한다는 것이다. 분모에 a²이 들어간 식은 전계(E = Q/4πε₀r²)의 형태이므로 전위가 될 수 없고, 4π를 그대로 둔 식은 r = 5a를 대입하지 않은 결과다.

B=∇×A를 계산한다. $A=2yz^2 a_x + y^2x\,a_y + 4xyz\,a_z$에서 $B_x=\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z}=4xz-0=4xz$, $B_y=\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}=4yz-4yz=0$, $B_z=\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}=y^2-2z^2$이다.
점 $(-1,2,5)$를 대입하면 $B_x=4(-1)(5)=-20$, $B_z=2^2-2(5)^2=4-50=-46$, $B_y=0$이므로 B=-20a_x-46a_z가 된다.

앙페르의 오른나사 법칙과 비오-사바르 법칙은 전류가 만드는 자계의 방향과 크기를 구하는 법칙이고, 플레밍의 왼손법칙은 자계 속의 전류가 받는 힘의 방향을 구하는 법칙으로, 모두 전류와 자계 사이의 직접적인 관계를 다룬다.

반면 쿨롱의 법칙은 두 전하(또는 두 자극) 사이에 작용하는 힘을 다루는 법칙으로, 전류의 흐름과 자계 사이의 관계를 직접적으로 다루지 않는다.

전계가 경계면에 수직으로 입사하면 경계조건에 의해 전속밀도 D 의 법선성분이 연속이 되어 두 유전체 속의 D 가 같아진다. 이때 경계면에 작용하는 단위 면적당 힘(맥스웰 변형력)은 $f=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^2\,[\mathrm{N/m^2}]$ 로 D 를 써서 표현된다.

$\varepsilon_1>\varepsilon_2$ 이면 $\dfrac{1}{\varepsilon_2}>\dfrac{1}{\varepsilon_1}$ 이므로 f 는 양(+)이 되고, 힘의 방향은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽으로, 즉 $\varepsilon_1$ 쪽에서 $\varepsilon_2$ 쪽으로 경계면을 밀어내는 방향이다. 따라서 D 로 표현된 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^2$ 과 $\varepsilon_1\rightarrow\varepsilon_2$ 방향이 동시에 맞아야 한다.

참고로 전계가 경계면에 수평(접선) 입사할 때는 E 의 접선성분이 연속이므로 $f=\dfrac{1}{2}(\varepsilon_1-\varepsilon_2)E^2$ 이 되며, 이 경우도 힘은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 작용한다. 수직입사인데 E 를 쓴 식이나, 힘이 $\varepsilon_2$ 에서 $\varepsilon_1$ 로 작용한다는 방향은 성립하지 않는다.

무한히 긴 원주 내부에 전하가 축대칭으로 균일하게 분포되어 있을 때, 원주 밖 r＞a인 점에서의 전계는 단위길이당 전하 λ가 축 위의 선전하처럼 작용한다고 보고 원통형 가우스 면을 이용해 구할 수 있다.

가우스 법칙을 반지름 r인 동심 원통면에 적용하면 $E \times 2\pi r l = \dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0}$이 되어, $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$를 얻는다.

두 도체구를 도선으로 연결하면 전하가 이동하여 같은 전위에 도달한다. 도체구의 정전용량은 $C = 4\pi\epsilon_0 R$이므로, 반지름 2m인 구의 용량을 $C_1 = 2k$, 반지름 3m인 구의 용량을 $C_2 = 3k$로 나타낼 수 있다(여기서 k는 상수). 연결 전 각 구의 전하량은 $Q_1 = C_1V_1 = 2k \times 5 = 10k$, $Q_2 = C_2V_2 = 3k \times 6 = 18k$이다. 연결 후 전체 전하는 보존되므로 $Q_{total} = 10k + 18k = 28k$이고, 전체 용량은 $C_{total} = 2k + 3k = 5k$이다. 공통 전위는 $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{28k}{5k} = 5.6\text{V}$이다.

전기쌍극자가 만드는 전계는 두 전하가 만드는 각각의 전계가 서로 상쇄되면서 거리에 따라 단일 점전하보다 훨씬 빠르게 감소한다.

일반적인 위치에서 전기쌍극자에 의한 전계의 세기는 거리 r의 세제곱에 반비례하는 1/r³ 관계를 가지며, 이는 점전하의 전계가 1/r²에 비례하는 것과 대비된다.

쿨롱의 법칙에 따른 두 점전하 사이의 힘은 그 두 전하의 크기와 거리에 의해서만 결정되며, 진공(또는 균일한 매질) 중에서는 주변에 다른 전하가 존재하더라도 이 힘 자체는 영향을 받지 않는다(중첩의 원리).

따라서 근처에 전하 $Q_3$를 놓더라도 $Q_1$과 $Q_2$ 사이에 작용하는 전기력은 변하지 않으므로 두 힘은 서로 같다.

3상 선로의 충전전류를 구할 때는 대지정전용량과 선간정전용량을 합한 작용정전용량 $C_w = C_s + 3C_m$을 사용한다.

$C_w = 0.008 + 3\times0.0018 = 0.0134\ \mu\mathrm{F/km}$이고, 선로 길이 200km를 곱하면 총 정전용량은 $C = 0.0134\times200 = 2.68\ \mu\mathrm{F}$이다.

충전전류는 $I_c = 2\pi f C \dfrac{V}{\sqrt{3}} = 2\pi\times60\times2.68\times10^{-6}\times\dfrac{154000}{\sqrt{3}} \approx 89.8\ \mathrm{A}$로 계산된다.

440V는 사용전압이 400V 이상인 저압에 해당하므로, 금속관공사에 사용하는 금속관에는 특별 제3종 접지공사를 하도록 정해져 있었다.

400V 미만인 저압에서 적용되던 제3종 접지공사보다 더 엄격한 기준(낮은 접지저항값)이 요구되었다.

조상설비(동기조상기 등)를 갖춘 1차 변전소의 주변압기로는, 1·2차 권선 외에 조상설비를 연결할 수 있는 별도의 권선을 갖춘 3권선 변압기가 주로 사용된다.

3권선 변압기의 3차 권선(안정권선 겸용)에 조상설비를 접속하면 전압 조정과 무효전력 보상을 함께 수행할 수 있어, 승압용 변압기나 단권 변압기, 단상 변압기보다 이 용도에 적합하다.

소수력발전은 국내에 분포하는 소규모 하천이나 용수로의 낙차를 활용하는 방식으로, 국내 부존자원을 활용하고 초기 건설 이후에는 연료비가 들지 않아 운영비가 저렴하다는 장점이 있다.

또한 발전 외에 농업용수 공급이나 홍수 조절 등 다목적 이용이 가능하다는 것도 대표적인 장점으로 꼽힌다.

반면 소수력발전은 자연유량에 의존하는 유입식 운전이 많아 저수용량이 크지 않으므로, 양수발전처럼 필요할 때 즉시 대용량 출력을 낼 수 있는 첨두부하 대응력은 크지 않다. 따라서 첨두부하 기여도가 높다는 설명은 소수력발전의 장점으로 보기 어렵다.

아킹혼(소호각, arcing horn)은 애자련 양단에 설치하는 금속제 뿔 모양의 장치로, 낙뢰 등에 의한 섬락사고가 발생했을 때 아크가 애자 표면을 따라 흐르지 않고 아킹혼 사이에서 발생하도록 유도하는 역할을 한다.

이를 통해 아크의 고온으로부터 애자 자체가 손상되는 것을 막아 애자를 보호하는 것이 설치 목적이다.

코로나손 방지나 이상전압 제한, 지지물 보호는 각각 복도체·굵은 전선 채용, 피뢰기, 매설지선 등 다른 대책의 목적에 해당한다.

이론적인 분출속도는 낙차 H에 대해 $v_0=\sqrt{2gH}$로 구해지며, 유효낙차 400m를 대입하면 $v_0=\sqrt{2\times9.8\times400}\approx88.5\ \mathrm{m/s}$이다.

실제 분출속도는 여기에 속도계수 0.95를 곱한 값이므로 $v=0.95\times88.5\approx84.1\ \mathrm{m/s}$가 된다.

초고압 장거리 송전선로는 선로의 대지정전용량이 커서 경부하 시 수전단 전압이 송전단 전압보다 높아지는 페란티 현상이 발생하기 쉽다.

1차 변전소에 병렬(분로) 리액터를 설치하면 선로의 충전전류로 인한 진상 무효전력을 상쇄시켜 이러한 전압 상승을 억제할 수 있으므로, 병렬 리액터의 설치 목적은 페란티 효과 방지에 있다.

코로나 손실 경감은 복도체·굵은 전선 채용, 전압강하·선로손실 경감은 승압이나 역률개선 등 다른 대책과 관련이 있다.

SF6 가스 차단기는 밀폐된 탱크 구조에서 소호가 이루어지므로 개폐 시 소음이 적고, SF6 가스 자체의 절연내력이 공기보다 크며 소호능력도 우수해 근거리 고장과 같은 가혹한 재기전압 조건에서도 우수한 차단 성능을 발휘한다.

SF6 가스는 무색・무취・무독의 불연성 기체이며, 아크에 의해 일부가 분해되더라도 아크가 소멸하면 대부분 원래의 SF6로 다시 결합하는 성질(자기복귀성)이 있어, 차단기의 특성으로는 유독가스를 발생시키지 않는 것으로 설명된다.

따라서 아크에 의해 SF6 가스가 분해되어 유독가스를 발생시킨다는 설명은 SF6 가스 차단기의 특성과 맞지 않는 서술이다.

역섬락은 낙뢰 시 철탑에 유입된 뇌전류가 철탑과 대지 사이의 저항을 통해 흐르면서 철탑 전위가 급상승해, 철탑에서 전선 쪽으로 거꾸로 섬락이 일어나는 현상이다.

철탑 전위 상승은 탑각 접지저항이 클수록 커지므로, 탑각 접지저항을 작게 하여 뇌전류가 흘러도 철탑 전위 상승을 억제하는 것이 역섬락을 방지하는 가장 직접적인 대책이다.

가공지선이나 피뢰기, 소호각은 각각 직격뢰 차폐, 이상전압 제한, 애자 보호 등 다른 목적을 위한 설비다.

직류 송전은 전압의 파고값이 실효값과 같아 같은 송전전압에서도 요구되는 절연 수준이 낮아 선로의 절연이 쉽고, 리액턴스가 없어 안정도상 유리하며, 표피효과가 없어 도체 단면을 충분히 활용할 수 있어 송전손실이 적다. 또한 통신선에 대한 유도장해도 교류에 비해 작다는 장점이 있다.

반면 직류는 교류처럼 변압기로 간단히 승압・강압할 수 없어 별도의 정류기・인버터 설비를 통한 변환 과정이 반드시 필요하므로, 정류가 필요 없고 승압・강압이 쉽다는 설명은 직류 송전방식의 특징과 반대되는 내용이다.

그림은 Y 결선 3상 발전기로, 중성점이 대지에 접지되어 있고 a상 단자가 대지로 이어진 1선(a상) 지락 상태다. b·c상 단자는 개방되어 전류가 흐르지 못하므로 경계조건은 $I_b=I_c=0$, 지락점에서 $V_a=0$ 이다.

대칭좌표법을 적용하면 $I_b=I_c=0$ 에서 $I_0=I_1=I_2=\dfrac{1}{3}I_a$ 이고, $V_a=V_0+V_1+V_2=0$ 에 $V_1=E_a-I_1Z_1$, $V_2=-I_2Z_2$, $V_0=-I_0Z_0$ 를 대입하면 $E_a=I_0(Z_0+Z_1+Z_2)$, 즉 $I_0=\dfrac{E_a}{Z_0+Z_1+Z_2}$ 를 얻는다.

따라서 지락전류는 $I_g=I_a=3I_0=\dfrac{3E_a}{Z_0+Z_1+Z_2}$ 이다. 1선 지락에서는 영상·정상·역상 임피던스가 직렬로 합해지고 기전력이 3배로 나타나는 것이 핵심이며, 이 때문에 중성점 접지방식이 결정하는 영상 임피던스 $Z_0$ 가 지락전류 크기를 좌우한다.

전력계통의 안정도를 높이려면 계통의 직렬 리액턴스를 줄이는 것이 핵심으로, 직렬 콘덴서 설치는 선로 리액턴스를 상쇄시켜 안정도를 향상시키는 대표적인 대책이다.

또한 고장 구간을 신속히 분리・복구하는 고속차단・재폐로 방식과, 사고 시 정전 구간을 축소시키는 중간 개폐소 설치도 계통 안정도 향상에 기여하는 대책으로 꼽힌다.

병렬 콘덴서는 진상 무효전력을 공급해 역률을 개선하고 전압강하를 보상하는 설비로, 안정도 향상보다는 전압 유지・역률 개선을 위한 대책에 가까워 안정도 향상대책으로 보기는 어렵다.

4단자 회로(일반회로정수)에서 송전단과 수전단의 전압・전류는 $E_s=AE_r+BI_r,\ I_s=CE_r+DI_r$로 나타낸다.

여기서 A, D는 무차원 상수이고, B는 임피던스(단위 Ω)의 차원을 가지며, C는 어드미턴스의 차원을 가진다.

따라서 π형 회로의 일반회로정수 B가 의미하는 것은 임피던스다.

양단에서 전원이 공급되는 방사상 송전선로는 사고 시 어느 방향에서 고장전류가 유입되는지에 따라 차단해야 할 차단기가 달라지므로, 단순한 과전류만으로는 선택 차단이 어렵다.

이런 계통에서는 방향단락계전기를 과전류계전기와 조합해, 정해진 방향으로 흐르는 단락전류에 대해서만 동작하도록 하여 고장 구간을 선택적으로 차단한다.

주어진 전력원선도 방정식 $P_s^2+(Q_s-300)^2=250000$ 은 유효전력을 가로축, 무효전력을 세로축으로 하는 평면에서 중심이 (0, 300), 반지름이 $r=\sqrt{250000}=500$ 인 원을 나타낸다.

송전단이 취할 수 있는 유효·무효전력 조합은 이 원 위의 점이므로, 유효전력의 최대값은 원의 반지름과 같다. 즉 $P_{s,\max}=r=500$ 이며, 이때 무효전력은 원 중심의 값인 $Q_s=300$ 이다.

원 중심의 300 은 무효전력 축 방향으로 원이 평행이동한 양일 뿐 유효전력 최대값에는 영향을 주지 않는다. 중심값 300 이나 그 2배를 답으로 고르는 실수가 많으므로 전력원선도의 반지름 = 최대 전송 유효전력이라는 관계로 기억하면 된다.

그림은 A·B·C 세 선로에 각각 CT 를 설치하고 그 2차 회로를 잔류(residual) 결선한 것이다. 각 상 CT 2차측은 상별 계전기를 지나 공통선으로 모여 되돌아오며, X 는 이 공통 귀로(잔류회로)에 놓인 부분이다.

공통선에는 세 상 CT 2차 전류가 모두 합해져 흐르므로 $I_X=I_A+I_B+I_C=3I_0$ 가 된다. 즉 X 에 흐르는 것은 영상전류(정확히는 영상전류의 3배)이며, 이 결선이 지락과전류계전기에 영상분을 공급하는 표준적인 방법이다.

3상이 평형이면 $I_A+I_B+I_C=0$ 이므로 X 에는 전류가 흐르지 않고, 지락처럼 영상분이 생기는 고장에서만 전류가 나타난다. 정상분과 역상분은 각각 대칭 3상이어서 벡터 합이 0 이므로 잔류회로에는 나타나지 않으며, 특정 한 상의 전류만 흐르는 것도 아니다.

변류기(CT)는 1차 전류에 비례하는 전류원 성격의 소자로, 운전 중 2차측을 개방하면 1차 전류 전체가 여자전류로 흘러 철심이 심하게 포화되면서 2차 단자에 매우 높은 이상전압이 유기된다.

이 고전압은 2차측 권선의 절연을 파괴하거나 취급자에게 위험을 줄 수 있으므로, 변류기를 회로에서 분리할 때는 반드시 2차측을 단락하여 이러한 고전압 발생을 막고 2차측 절연을 보호한다.

그림은 6.6kV 모선에서 단로기(DS) → 차단기(CB) → 부하 순으로 이어진 배전선로다. DS 는 소호(아크 소멸) 장치가 없어 부하전류나 고장전류를 끊을 수 없고 무전압·무전류 상태에서 회로를 분리하는 데만 쓰인다. 반면 CB 는 부하전류는 물론 고장전류까지 차단할 수 있다.

따라서 급전(투입)할 때는 아직 전류가 흐르지 않는 상태에서 먼저 DS 를 닫고, 그 다음 CB 를 닫아 부하에 전류를 통한다. 정전(차단)할 때는 먼저 CB 로 부하전류를 끊어 전류를 0 으로 만든 뒤에 DS 를 연다.

정리하면 급전은 DS → CB 순, 정전은 CB → DS 순이며, 두 경우 모두 DS 는 전류가 흐르지 않는 상태에서만 조작한다는 하나의 원칙에서 나온다. 순서를 어겨 DS 로 부하전류를 끊으면 아크가 지속되어 기기 손상과 단락·지락 사고로 확대된다.

피뢰기는 이상전압이 유입되면 방전을 시작해 뇌전류를 대지로 흘려보내는데, 방전이 시작되는 순간의 단자전압 순시값이 방전개시전압이다.

방전이 진행되는 동안 피뢰기 단자에 걸리는 전압의 최댓값(파고값)은 제한전압이라 하며, 이는 피뢰기가 후단 기기에 실제로 인가시키는 최대 전압으로서 피뢰기 성능을 나타내는 중요한 지표가 된다.

충전전류는 선로 길이에 비례하므로, 1km당 충전전류 0.25A에 선로 길이 18km를 곱하면 구할 수 있다.

$I_c=0.25\ \mathrm{A/km}\times18\ \mathrm{km}=4.5\ \mathrm{A}$가 된다.

역기전력은 단자전압에서 전기자 저항에 의한 전압강하를 뺀 값이므로 $E=V-I_aR_a=215-50\times0.1=210\ \mathrm{V}$이다.

전기자에서 발생하는 기계적 동력은 $P=EI_a=210\times50=10500\ \mathrm{W}$이고, 각속도는 $\omega=\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{2\pi\times1500}{60}\approx157.1\ \mathrm{rad/s}$이다.

따라서 발생 토크는 $T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{10500}{157.1}\approx66.9\ \mathrm{N\cdot m}$가 된다.

임피던스(저항)를 1차측으로 환산할 때는 권수비의 제곱이 곱해지므로 $a^2=\dfrac{Z_1}{Z_2}=\dfrac{8000}{20}=400$에서 권수비 $a=20$이 된다.

권수비는 1차권수와 2차권수의 비이므로 2차권수는 $N_2=\dfrac{N_1}{a}=\dfrac{1500}{20}=75$회가 된다.

SCR은 아크가 발생하지 않는 반도체 소자여서 개폐 시 열 발생이 적고, 통전 중 순방향 전압강하가 작아 도통손실이 작으며, 열용량이 작아 고온이나 과부하에는 오히려 취약한 특성을 가진다.

또한 SCR은 게이트 신호 없이도 과전압이 가해지면 오동작(브레이크오버)을 일으킬 수 있어 과전압에 약한 소자다. 따라서 과전압에 강하다는 설명은 SCR의 특징과 맞지 않는다.

직렬종속법으로 두 유도전동기를 접속하면 동기속도는 두 전동기 극수의 합을 이용해 구하며 $N_s=\dfrac{120f}{P_1+P_2}=\dfrac{120\times60}{8+4}=600\ \mathrm{rpm}$이 된다.

따라서 무부하 시 속도는 약 600rpm이다.

변압기의 유기기전력은 $E_1=4.44fN_1\Phi_m$으로 나타나므로, 최대자속은 $\Phi_m=\dfrac{E_1}{4.44fN_1}$로 구한다.

주어진 값을 대입하면 $\Phi_m=\dfrac{6900}{4.44\times60\times3000}\approx8.63\times10^{-3}\ \mathrm{Wb}$가 된다.

동기발전기의 출력은 $P=\dfrac{EV}{X}\sin\delta$로 나타나며, 동기화력은 이 출력을 부하각 δ로 미분한 값으로 정의된다.

미분하면 $\dfrac{dP}{d\delta}=\dfrac{EV}{X}\cos\delta$가 되어, 동기화력은 cosδ에 비례하는 관계를 가진다.

전동기의 입력은 출력을 효율로 나눈 값이므로 $P_{in}=\dfrac{30}{0.86}\approx34.9\ \mathrm{kW}$이고, 이를 역률로 나누면 전동기가 필요로 하는 피상전력은 $\dfrac{34.9}{0.84}\approx41.5\ \mathrm{kVA}$가 된다.

단상 변압기 2대를 V결선으로 사용할 때 얻을 수 있는 전체 용량은 변압기 1대 용량의 √3배이므로, 변압기 1대의 용량은 $\dfrac{41.5}{\sqrt3}\approx24\ \mathrm{kVA}$가 된다.

동기 주파수 변환기는 주파수가 다른 두 계통을 잇기 위해 동기 전동기와 동기 발전기를 같은 축에 직결한 기기다. 두 기계의 회전자는 같은 축이므로 회전속도가 같고, $N_s=\dfrac{120f}{P}$ 에서 $\dfrac{120f_1}{P_1}=\dfrac{120f_2}{P_2}$ 가 성립한다.

이 식을 정리하면 $\dfrac{f_1}{f_2}=\dfrac{P_1}{P_2}$ 로, 주파수비가 곧 극수비가 된다. 예를 들어 60Hz 계통과 50Hz 계통을 잇는다면 두 쪽 극수도 6 : 5 로 맞춰야 한다.

주파수와 극수가 반비례한다고 보아 극수비를 거꾸로 놓거나, 두 극수의 곱·합으로 두는 관계는 같은 축(같은 회전속도)이라는 조건과 맞지 않는다. 회전속도가 하나로 묶여 있다는 점만 잡으면 바로 유도되는 관계식이다.

유도전동기의 원선도는 1차전압을 일정하게 유지한 상태에서 부하 변화에 따른 1차전류의 벡터 궤적을 원으로 나타낸 것으로, 그 지름은 1차전압 E와 1차로 환산한 누설리액턴스 x에 의해 결정된다.

원의 지름은 $\dfrac{E}{x}$에 비례하며, 저항 r은 원 위의 각 동작점을 구분하는 데 관계될 뿐 지름 자체를 결정하지는 않는다.

유도 전동기에서 2차 입력 $P_2$ 는 2차 동손 $P_c$ 와 기계적 출력 $P_0$ 로 나뉘며, 각각 $P_c=sP_2$, $P_0=(1-s)P_2$ 의 관계를 갖는다. 즉 $P_2:P_c:P_0=1:s:(1-s)$ 이다.

$P_c=sP_2$ 를 슬립에 대해 풀면 $s=\dfrac{P_c}{P_2}$ 가 된다. 슬립은 2차 입력 중 2차 저항에서 열로 소비되는 비율이라는 물리적 의미를 갖는다.

슬립은 0 과 1 사이의 무차원 비이므로 두 전력의 곱이나 합처럼 차원이 전력이 되는 관계식은 성립할 수 없고, 분자·분모가 뒤바뀐 $\dfrac{P_2}{P_c}$ 는 1 보다 큰 값이 되어 슬립이 될 수 없다. 정격 운전에서 슬립이 작다는 것은 곧 2차 동손이 작다는 뜻이다.

매극매상 슬롯수는 $q=\dfrac{\text{총 슬롯수}}{\text{극수}\times\text{상수}}=\dfrac{36}{4\times3}=3$으로 구해진다.

2층권에서는 하나의 슬롯에 상・하 두 개의 코일변이 들어가며, 코일 하나가 상・하 두 슬롯에 걸쳐 감기므로 총 코일수는 슬롯수와 같은 36개가 된다.

3상 전파(6펄스) 제어정류회로에서 점호각 α=0일 때 얻어지는 평균 직류전압은 선간전압을 기준으로 $E_d=\dfrac{3\sqrt2}{\pi}V_L\approx1.35V_L$로 구해진다.

여기에 입력 선간전압 220V를 대입하면 $E_d\approx1.35\times220\approx297\ \mathrm{V}$가 된다.

직류전동기의 속도는 $N=\dfrac{V-I_aR_a}{K\Phi}$로 나타나므로, 전압과 전류(따라서 역기전력)가 일정할 때 회전수는 계자자속에 반비례한다.

따라서 회전수를 절반으로 줄이려면 계자자속을 2배로 증가시켜야 한다.

동기속도는 $N_s=\dfrac{120f}{P}=\dfrac{120\times60}{4}=1800\ \mathrm{rpm}$이고, 최초 슬립은 $s_1=\dfrac{1800-1728}{1800}=0.04$이다.

부하 토크가 일정한 조건에서 2차저항을 3배로 하면 비례추이 원리에 의해 슬립도 3배로 커져 $s_2\approx0.12$가 된다.

이때 회전수는 $N_2=N_s(1-s_2)=1800\times(1-0.12)=1584\ \mathrm{rpm}$이 된다.

3상 △-△결선에서 단상 변압기 3대를 구성하는 방식은 각 변압기의 1차 권선이 3상 전원의 두 선간에 직접 연결되고, 2차 권선도 동일하게 연결되는 구조다. 이 경우 1차 측 선간전압과 2차 측 선간전압은 변압기 1차·2차의 권선 극성이 같으므로 동상이지만, 3상 시스템 전체에서 보면 1차 3상 선간전압 벡터와 2차 3상 선간전압 벡터 사이에 180°의 위상 변위가 발생한다. 이는 3상 △결선의 기하학적 성질에서 1차와 2차 전압이 각 상별로 반대 방향을 가지기 때문이며, 따라서 전압의 각변위(위상차)는 180°다.

변압기의 임피던스 전압은 변압기 내부의 권선저항과 누설리액턴스로 이루어진 내부 임피던스에 정격전류를 곱한 값, 즉 정격전류가 흐를 때 내부에서 발생하는 전압강하를 의미한다.

이는 통상 2차측(또는 저압측)을 단락한 상태에서 1차측에 정격전류가 흐르도록 인가하는 전압을 측정해 구하며, 변압기의 %임피던스나 전압변동률을 계산하는 기초 자료로 사용된다.

3상 유도전동기를 급속히 정지시켜야 할 때는 회전 중인 전동기의 전원 접속 순서(상순)를 반대로 바꾸어 역방향 토크를 발생시키는 역상제동(플러깅)을 사용한다.

역상제동은 강한 제동토크를 얻을 수 있어 단시간에 정지시키는 데 적합하며, 발전제동이나 회생제동에 비해 제동력이 크고 급정지에 유리하다.

동기발전기와 달리 동기전동기는 부하전류의 방향이 반대이므로 전기자반작용도 발전기의 경우와 반대로 나타난다.

동기발전기에서 진상전류가 증자작용을 일으키는 것과 달리, 동기전동기에서 진상전류는 계자자속을 약화시키는 감자작용을 일으킨다.

3상 권선형 유도전동기의 2차 회로 중 한 상이 단선되면 회전자에는 사실상 단상 전류만 흐르게 되어, 정상적인 회전자계 대신 비대칭적인 자계가 형성된다.

이 상태에서 부하가 다소 커지면 전동기는 정지하지 않고 동기속도의 절반, 즉 슬립 50% 부근에서 안정적으로 계속 회전하는 특이한 현상이 나타나는데, 이를 게르게스 현상이라 한다.

2상 서보모터는 기준권선에 일정 전압을 인가하고 제어권선의 전압 크기나 위상을 조절해 회전 방향과 속도를 제어하는데, 대표적으로 전압제어, 위상제어, 전압・위상 혼합제어 방식이 사용된다.

온도를 이용해 회전을 제어하는 방식은 서보모터의 표준적인 제어방식에 해당하지 않는다.

미분방정식 $\dfrac{dx(t)}{dt}+x(t)=1$ 의 양변을 라플라스 변환한다. 초기값이 $x(0)=0$ 이므로 미분항은 $\mathcal{L}\left[\dfrac{dx(t)}{dt}\right]=sX(s)-x(0)=sX(s)$ 이고, 우변의 상수 1(단위계단 입력)은 $\dfrac{1}{s}$ 로 변환된다.

따라서 $sX(s)+X(s)=\dfrac{1}{s}$, 즉 $(s+1)X(s)=\dfrac{1}{s}$ 이므로 $X(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}$ 가 된다.

우변의 1 을 변환하지 않고 그대로 두면 $\dfrac{1}{s+1}$ 꼴이 나오고 좌우를 뒤집으면 $s(s+1)$ 이 되므로, 계단입력의 변환 $\dfrac{1}{s}$ 을 빠뜨리지 않는 것이 요점이다. 실제로 역변환하면 $x(t)=1-e^{-t}$ 로 시정수 1초의 지수 상승 응답이 되어 결과가 타당하다.

4단자(2포트) 회로의 영상 파라미터에서 전달정수 $\theta$ 는 4단자 정수와 $\cosh\theta=\sqrt{AD}$, $\sinh\theta=\sqrt{BC}$ 의 관계를 갖는다.

두 식을 더하면 $e^{\theta}=\cosh\theta+\sinh\theta=\sqrt{AD}+\sqrt{BC}$ 이므로, 양변에 자연대수를 취해 $\theta=\ln\left(\sqrt{AD}+\sqrt{BC}\right)$ 를 얻는다. 여기에는 상반(가역) 회로의 조건 $AD-BC=1$ 이 함께 쓰인다.

즉 근호 안은 대각 정수끼리 AD, 나머지끼리 BC 로 짝지어야 한다. AB·CD 처럼 짝을 잘못 묶은 형태는 쌍곡선 함수 관계와 맞지 않고, 두 근호를 뺀 $\sqrt{AD}-\sqrt{BC}$ 는 $e^{-\theta}$ 에 해당하므로 대수를 취하면 $-\theta$ 가 되어 전달정수가 아니다.

그림에서 10V 전압원, 2A 전류원 두 개, 10Ω 저항이 모두 같은 두 절점 사이에 병렬로 연결되어 있다. 이상적인 전압원이 병렬로 붙어 있으면 그 두 절점 사이의 전압은 다른 소자와 상관없이 10V 로 고정된다.

10Ω 저항에는 이 10V 가 그대로 걸리므로 옴의 법칙에서 $I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{10}{10}=1\,[\mathrm{A}]$ 이다.

2A 전류원 두 개는 전압원이 주고받는 전류만 바꿀 뿐 절점 전압을 바꾸지 못하므로 10Ω 에 흐르는 전류에는 전혀 영향을 주지 않는다. 전류원 값을 그대로 답으로 옮기거나(2A), 전류원 값을 더해 4A·5A 같은 값을 만드는 것이 전형적인 함정이며, 이상 전압원과 병렬인 가지의 전류는 전압원 전압만으로 결정된다는 점을 확인하면 된다.

△(델타)결선에서는 각 상의 상전압이 선간전압과 같으므로, 부하 한 상에 걸리는 전압은 220V이다.

순저항 부하이므로 1상의 저항은 $R=\dfrac{V_p}{I_p}=\dfrac{220}{7.33}\approx30\ \Omega$이 된다.

그림의 부하는 100Ω·100Ω·200Ω 으로 이루어진 Δ 결선이고, a 단자에만 저항 R 이 직렬로 들어 있다. 두 개의 100Ω 이 a 쪽 꼭짓점에서 만나고, 200Ω 이 b·c 쪽 두 꼭짓점을 잇는 구조다. 선전류를 비교하려면 Δ 를 Y 로 변환하는 것이 편하다.

Δ→Y 변환에서 분모는 $100+100+200=400$ 이므로, a 쪽 상저항은 $\dfrac{100\times100}{400}=25\,\Omega$, b 쪽은 $\dfrac{100\times200}{400}=50\,\Omega$, c 쪽도 $\dfrac{100\times200}{400}=50\,\Omega$ 이 된다.

대칭 3상 전압에서 각 선전류의 크기가 같으려면 등가 Y 부하의 세 상 저항이 같아야 한다. b·c 상이 50Ω 이므로 a 상에서 $R+25=50$, 즉 $R=25\,[\Omega]$ 이다. 이때 세 상 모두 50Ω 의 평형 Y 부하가 되어 선전류가 서로 같아진다.

종속전원(제어전원)은 자신이 독립적으로 크기를 갖는 것이 아니라 회로 내 다른 지점의 전압이나 전류 값에 의해 그 크기가 결정되어 전압 또는 전류를 공급하는 전원으로, 트랜지스터 등가회로의 전류원처럼 회로 해석에서 널리 쓰인다.

선형소자는 중첩의 원리와 비례법칙을 만족하는 저항・인덕터・커패시터 등을 말하며, 전압-전류 특성이 비선형인 다이오드는 선형소자로 볼 수 없다.

개방회로는 두 단자 사이의 전류가 인가전압과 관계없이 항상 0이 되는 상태를 말하는 것으로, 전류가 무한대가 된다는 설명은 개방회로가 아니라 이상적인 단락 상태에 가까운 설명이다.

그림은 저항 $R_1$ 과 커패시터 $\dfrac{1}{Cs}$ 가 병렬로 직렬가지를 이루고, 그 뒤 접지 사이에 $R_2$ 가 놓인 분압 회로다. 직렬가지의 합성 임피던스는 $Z=\dfrac{R_1\cdot\dfrac{1}{Cs}}{R_1+\dfrac{1}{Cs}}=\dfrac{R_1}{1+R_1Cs}$ 이다.

분압 법칙을 쓰면 $\dfrac{V_2(s)}{V_1(s)}=\dfrac{R_2}{Z+R_2}=\dfrac{R_2}{\dfrac{R_1}{1+R_1Cs}+R_2}$ 이고, 분자·분모에 $(1+R_1Cs)$ 를 곱해 정리하면 $\dfrac{R_2+R_1R_2Cs}{R_1+R_2+R_1R_2Cs}$ 를 얻는다.

극한으로 검산하면 $s\rightarrow0$(직류)에서 커패시터가 개방이므로 $\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ 의 저항 분압이 되고, $s\rightarrow\infty$ 에서는 커패시터가 단락되어 $R_1$ 이 무시되므로 이득이 1 에 가까워진다. 두 극한이 모두 회로 거동과 맞으므로 위 식이 옳다. 고주파를 그대로 통과시키는 진상(앞선) 보상 회로의 표준형이며, 분모에 $s^2$ 이 나오는 형태나 $R_2$ 가 빠진 형태는 이 구조와 맞지 않는다.

코일의 유기기전력은 $v=L\dfrac{di}{dt}$로 나타나므로, 자기인덕턴스는 $L=\dfrac{v}{di/dt}$로 구할 수 있다.

전류 변화율은 $\dfrac{di}{dt}=\dfrac{5}{0.5\times10^{-3}}=10000\ \mathrm{A/s}$이므로, $L=\dfrac{20}{10000}=2\times10^{-3}\ \mathrm{H}=2\ \mathrm{mH}$가 된다.

왜형파를 $f(t)=a_0+\sum a_n\cos nwt+\sum b_n\sin nwt$ 로 전개했을 때, 어떤 항이 살아남는지는 파형이 가진 대칭성이 결정한다.

정현대칭(기수함수 대칭, f(-t)=-f(t))이면 직류분 a₀와 코사인 계수 a_n이 모두 0이 되어 사인항 b_n만 남는다. 코사인은 우함수여서 홀함수 파형을 합성할 수 없기 때문이다.

반파대칭(f(t)=-f(t+T/2))이면 짝수차(우수) 고조파가 서로 상쇄되어 사라지고 홀수차(기수) 고조파만 남는다.

이 파형은 두 대칭을 동시에 가지므로 두 조건의 교집합, 즉 b_n의 기수항(홀수차 사인항)만 존재한다. 참고로 여현대칭(우수함수 대칭)이면 반대로 b_n=0이 되어 a₀·a_n만 남는다.

주어진 소자가 인덕터라면 $X_L=2\pi fL$에서 $L=\dfrac{X_L}{2\pi f}=\dfrac{10}{2\pi\times60}\approx26.53\times10^{-3}\ \mathrm{H}$, 즉 약 26.53mH가 된다.

같은 소자가 커패시터라면 $X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}$에서 $C=\dfrac{1}{2\pi fX_C}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times10}\approx265.25\times10^{-6}\ \mathrm{F}$, 즉 약 265.25㎌가 된다.

그림의 π형 회로는 왼쪽 단자쌍 1-2가 입력, 오른쪽 단자쌍 1'-2'가 출력이며, 두 단자쌍 사이에 중앙 직렬 임피던스 Z₂가 놓이고 입력측 분로에 Z₁, 출력측 분로에 Z₃가 각각 병렬로 붙은 형태다.

4단자 정수 중 D는 출력을 단락(V₂=0)했을 때의 전류비 I₁/I₂ 로 정의된다. 출력을 단락하면 출력측 분로 Z₃는 단락으로 제거되고, Z₂에 흐르는 전류가 그대로 출력 전류 I₂가 된다.

이때 입력 노드 전압은 $V_1=I_2Z_2$ 이므로 입력측 분로 Z₁으로 흘러 나가는 전류가 $\dfrac{I_2Z_2}{Z_1}$ 이고, 입력 전류는 두 전류의 합이 된다. 따라서 $I_1=I_2\left(1+\dfrac{Z_2}{Z_1}\right)$ 이므로 $D=1+\dfrac{Z_2}{Z_1}$ 이다.

같은 방법으로 정리하면 $A=1+\dfrac{Z_2}{Z_3}$, $B=Z_2$, $C=\dfrac{1}{Z_1}+\dfrac{1}{Z_3}+\dfrac{Z_2}{Z_1Z_3}$ 이다. A와 D는 Z₁과 Z₃가 서로 바뀐 대칭 꼴이므로, D에는 입력측 분로 Z₁이, A에는 출력측 분로 Z₃가 들어간다는 점으로 구분하면 헷갈리지 않는다.

전기량(전하)의 단위는 쿨롱(C)이며, 1C은 1A의 전류가 1초 동안 흐를 때 이동한 전하량으로 정의된다.

mA는 전류의 단위, nW는 전력의 단위, ㎌(마이크로패럿)는 정전용량의 단위로 전하의 단위와는 구분된다.

직렬 RL회로에서 전압과 전류의 위상차 θ는 저항과 유도리액턴스의 비로 구해진다.

인가전압 200V는 임피던스 크기 $Z=\sqrt{60^2+80^2}=100\,\Omega$나 전류를 구할 때 쓰이며, 위상차 자체는 저항과 유도리액턴스의 비로만 정해지므로 전압 값과는 무관하게 약 53.13°가 된다.

그림은 직류 전원 V에 스위치 K와 직렬 콘덴서 C가 연결되고, 그 뒤 노드에서 R₁이 분로(병렬)로 내려가며, 여기에 R₂–L 직렬 가지가 다시 병렬로 붙은 회로다. i₁은 V·C·R₁을 도는 좌측 메시 전류, i₂는 R₂·L·R₁을 도는 우측 메시 전류다.

스위치를 닫는 순간의 값은 두 소자의 연속 조건으로 결정된다. 콘덴서 전압은 급변할 수 없고 t<0에서 0V였으므로 t=0₊에서 C는 단락과 같이 동작한다. 인덕터 전류도 급변할 수 없는데 스위치가 열려 있어 t<0에서 전류가 0이었으므로 t=0₊에서 L은 개방과 같이 동작한다.

L이 개방이므로 R₂–L 가지에는 전류가 흐를 수 없어 $i_2(0_+)=0$ 이다. 한편 C가 단락이므로 전원 V가 R₁에 그대로 걸리고 그 전류가 곧 i₁이므로 $i_1(0_+)=\dfrac{V}{R_1}$ 이다.

즉 초기값은 V/R₁ 과 0이다. 반대로 충분한 시간이 지난 정상상태에서는 C가 개방·L이 단락으로 바뀌는데, 직렬 콘덴서가 직류를 막으므로 두 전류 모두 0으로 수렴한다.

그림은 저항 R=3Ω과 용량 리액턴스 X_C=1/wC=4Ω인 콘덴서가 병렬로 접속되고 그 양단에 100V 교류가 인가된 회로다. 전원에서 나온 전체 전류 I가 저항 전류 I_R과 콘덴서 전류 I_C로 갈라진다.

병렬 회로는 어드미턴스로 합성하는 것이 빠르다. $Y=\dfrac{1}{R}+jwC=\dfrac{1}{3}+j\dfrac{1}{4}$ 이므로 $|Y|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2}=\dfrac{5}{12}$ 이고, $|Z|=\dfrac{1}{|Y|}=\dfrac{12}{5}=2.4\ \Omega$ 이다.

공식으로 바로 써도 같다. $|Z|=\dfrac{R\,X_C}{\sqrt{R^2+X_C^2}}=\dfrac{3\times 4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{12}{5}=2.4\ \Omega$.

전류로 검산해도 일치한다. I_R=100/3≒33.3A, I_C=100/4=25A 이고 두 전류는 위상이 90° 차이여서 I=√(33.3²+25²)≒41.7A, Z=100/41.7≒2.4Ω 이다. 병렬 합성 임피던스는 가장 작은 소자값(3Ω)보다 반드시 작아진다는 점을 기억하면 오답을 빨리 걸러낼 수 있다.

주파수 응답은 전달함수의 s 자리에 jw를 대입해 얻는다. $G(s)=\dfrac{20}{3+2s}$ 이므로 $G(jw)=\dfrac{20}{3+j2w}$ 이다.

w=2[rad/sec]를 넣으면 $G(j2)=\dfrac{20}{3+j4}$ 가 되고, 크기는 분자와 분모 각각의 절대값 비이므로 $|G(j2)|=\dfrac{20}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{20}{5}=4$ 이다.

즉 이 요소는 w=2에서 입력 정현파의 진폭을 4배로 키운다. 위상은 $\angle G(j2)=-\tan^{-1}\dfrac{4}{3}=-53.13^\circ$ 만큼 뒤진다.

분모의 실수부 3과 허수부 4가 3-4-5 직각삼각형을 이루도록 값이 설계되어 있으므로, 제곱근을 일일이 계산하지 않고 바로 5로 놓으면 빠르다. 이때 2s의 계수 2가 허수부에 w와 함께 곱해진다는 점(2w=4)을 놓치지 않아야 한다.

RL직렬회로에 직류 전압을 가할 때 전류는 $i(t) = I_f(1 - e^{-t/\tau})$ 형태로 변한다. 여기서 $\tau$는 시정수(time constant)이고 $I_f$는 최종값이다. $t = 2\tau$일 때 전류를 구하면 $i(2\tau) = I_f(1 - e^{-2\tau/\tau}) = I_f(1 - e^{-2})$이다. $e^{-2} \approx 0.1353$이므로 $i(2\tau) = I_f(1 - 0.1353) = 0.8647 I_f$이고, 이는 최종값의 약 86.5%에 해당한다.

3상 4선식 회로에서 중성선에는 각 상전류의 벡터 합이 흐른다. 세 상전류의 합이 0이 되면 중성선에 흐르는 전류가 없으므로 중성선을 제거하고 3상 3선식으로 운전할 수 있다.

이는 키르히호프의 전류법칙을 3상 시스템에 적용한 결과로, 중성선 생략의 조건식이 된다.