유전체 경계면에 수직으로 입사한 전계가 경계면에 미치는 힘은 맥스웰 응력(Maxwell stress)으로 계산된다. 경계면의 단위 면적당 힘은 $f = \frac{1}{2}\varepsilon_0(E_1^2 - E_2^2)$이며, $E_1 > E_2$일 때 $f > 0$이므로 전계가 강한 쪽(E₁)에서 약한 쪽(E₂)으로 끌어당기는 인장력이 작용한다. 이는 경계면이 전계 강도가 높은 영역으로 끌려가려는 특성, 즉 유전체가 더 강한 전계 영역으로 흡입되려는 현상을 의미한다. 따라서 경계면에는 $\frac{\varepsilon_0}{2}(E_1^2 - E_2^2)$의 인장력이 E₁ 측에서 E₂ 측으로 작용한다.

회전하는 원형코일에 유기되는 기전력의 최대값은 $e_{m}=NBA\omega$로 구할 수 있다. 코일 면적은 $A=\pi r^{2}=\pi\times(0.1)^{2}\approx0.0314\,\mathrm{m^{2}}$이고, 각속도는 $\omega=2\pi\dfrac{n}{60}=2\pi\times\dfrac{1800}{60}=60\pi\,\mathrm{rad/s}$이다.

이를 대입하면 $e_{m}=1000\times0.5\times0.0314\times60\pi\approx2960.9\,\mathrm{V}$가 되며, 옴의 법칙 $I_{m}=\dfrac{e_{m}}{R}$에 저항 100Ω을 대입하면 최대전류는 약 29.6A로 계산된다.

전자볼트[eV]는 전하 1개가 전위차 1V를 지날 때 얻는 에너지로 정의되며, 1eV는 약 $1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$에 해당한다.

문제에서 주어진 에너지는 $10^{20}\,\mathrm{eV}$이므로 줄[J] 단위로 환산하면 $10^{20}\times1.602\times10^{-19}\approx16\,\mathrm{J}$이 되어, 약 16J에 해당하는 값이 정답이다.

교번자속에 의해 코일에 유기되는 기전력의 최대값은 $e_{m}=NBA\omega=NBA\times2\pi f$로 나타나며, 코일 면적 A와 자속이 변화하는 주파수 f에 각각 비례한다.

따라서 면적을 2배로 늘리고 자속밀도가 변화하는 주파수도 2배로 높이면, 기전력의 최대값은 두 배율이 곱해져 $2\times2=4$배로 커진다.

포아송 방정식 $\nabla^{2}V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}$을 이용하면, 주어진 전위함수 $V=x^{2}+y^{2}$로부터 $\nabla^{2}V=\dfrac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=2+2=4$를 얻는다.

이를 정리하면 $\rho=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V=-4\varepsilon_{0}\approx-4\times8.854\times10^{-12}\approx-35.4\times10^{-12}\,\mathrm{C/m^{3}}$이 되어 이 값이 자유공간 내 전하밀도이다.

그림에서 반지름 $a[\mathrm{m}]$인 원형코일의 중심 O에서 축 방향으로 $x[\mathrm{m}]$ 떨어진 점이 P이고, $\theta$는 P에서 코일 둘레의 한 점과 중심 O를 보는 각(∠APO)이다. 직각삼각형에서 $\sin\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$가 된다.

원형코일 축상의 자계는 비오-사바르 법칙에서 $H=\dfrac{a^2 I}{2\left(a^2+x^2\right)^{3/2}}$이다. 이를 $\sin\theta$로 바꾸면 $H=\dfrac{I}{2a}\cdot\dfrac{a^3}{\left(a^2+x^2\right)^{3/2}}=\dfrac{I}{2a}\sin^3\theta\,[\mathrm{AT/m}]$이다.

검산: $x=0$(코일 중심)이면 $\theta=90^\circ$이므로 $H=\dfrac{I}{2a}$가 되어 원형코일 중심 자계 공식과 정확히 일치한다. $\cos$ 형태로 쓰면 축에서 멀어질수록(θ가 작아질수록) 자계가 커지는 모순이 생겨 성립하지 않는다.

포인팅 벡터는 $\mathbf{P}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$로 단위면적당 전력 $[\mathrm{W/m^2}]$을 나타내며, 평면파에서는 크기가 $P=EH$이다.

자유공간의 고유(파동)임피던스는 $\eta=\dfrac{E}{H}=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\fallingdotseq 377\,[\Omega]$이므로 $H=\dfrac{E}{377}$이다.

이를 대입하면 $P=\dfrac{E^2}{377}$, 따라서 $E=\sqrt{377P}\,[\mathrm{V/m}]$이다. 전력이 전계의 제곱에 비례하므로 전계를 구할 때는 제곱근이 나오며, 377을 나누는 형태($\sqrt{P/377}$)는 자계의 세기 $H$를 구하는 꼴이 된다.

무한평면도체 앞에 놓인 점전하 +Q의 영상전하는, 평면도체 표면의 전위를 0으로 만들기 위해 실제 전하와 크기는 같고 부호는 반대인 -Q로 설정된다.

이 영상전하는 실제 전하와 평면을 기준으로 대칭인 위치에 있다고 가정하여, 도체 표면 밖의 전계를 실제 전하와 영상전하 두 점전하만으로 등가적으로 계산할 수 있게 해준다.

그림은 둘 다 같은 극성 $+q[\mathrm{C/m}]$로 대전된 두 도선이 간격 $d[\mathrm{m}]$로 평행하게 놓인 배치다. 선전하가 만드는 전계는 거리 $r$에서 $E=\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 r}$이다.

두 도선 사이의 한 점에서 각 도선이 만드는 전계는 서로 반대 방향이므로 합성 전계는 두 크기의 차이다. 한 도선에서 $x$만큼 떨어진 점에서 $\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 x}=\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 (d-x)}$가 되면 두 전계가 완전히 상쇄된다.

이 조건에서 $x=d-x$, 즉 $x=\dfrac{d}{2}$이므로 두 도선의 중앙점에서 전계가 0으로 최소가 된다. 어느 한쪽 도선에 가까워질수록 그 도선이 만드는 전계가 급격히 커지므로, 전계가 최소가 될 수 있는 곳은 두 전계의 크기가 같아지는 중앙뿐이다. 참고로 두 도선의 부호가 서로 달랐다면 두 전계가 같은 방향이 되어 더해지므로 중앙에서도 0이 되지 않고 $\dfrac{2q}{\pi\varepsilon_0 d}$가 남는다 — 그래서 전하 부호가 같은지 다른지를 먼저 확인해야 한다.

정전계는 주어진 전하 분포에 대해 전계 에너지가 최소가 되는 상태의 전기장을 의미하며, 이는 톰슨의 정리로 알려진 정전계의 기본 성질이다.

전하가 자유롭게 재배치될 수 있는 도체계는 결국 에너지가 최소인 안정한 전하 분포로 수렴하게 되므로, 에너지가 최대이거나 항상 0 또는 무한대라는 설명은 정전계의 정의와 맞지 않는다.

자계 내를 속도 v로 수직하게 통과하는 전하 e가 받는 힘은 로렌츠 힘 $F=evB$로 나타낼 수 있다.

공기 중에서는 자속밀도가 $B=\mu_{0}H$이므로 이를 대입하면 힘은 $F=\mu_{0}evH\,[\mathrm{N}]$로 정리된다.

평행한 두 면 사이의 전계는 전압과 두께의 관계식 $E=\dfrac{V}{d}$로 나타낼 수 있으므로, 두께는 $d=\dfrac{V}{E}$로 구할 수 있다.

주어진 값을 대입하면 $d=\dfrac{150}{3\times10^{4}}=0.005\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{mm}$가 되어, 이 판상 유전체의 두께는 5mm이다.

공극이 없을 때 무단(환상) 솔레노이드의 자기저항은 $R_m=\dfrac{l}{\mu_0\mu_r S}$이다. 길이 $l_0$의 공극을 만들면 철심 경로는 $l-l_0$로 줄고 공극이 직렬로 추가되므로 $R_m'=\dfrac{l-l_0}{\mu_0\mu_r S}+\dfrac{l_0}{\mu_0 S}$가 된다.

자기저항을 원래의 2배로 하는 조건 $R_m'=2R_m$에서 $\dfrac{l-l_0}{\mu_r}+l_0=\dfrac{2l}{\mu_r}$, 정리하면 $l_0\left(1-\dfrac{1}{\mu_r}\right)=\dfrac{l}{\mu_r}$이므로 $l_0=\dfrac{l}{\mu_r-1}$이다.

단서에서 $\mu_r\gg 1$이라 했으므로 $\mu_r-1\fallingdotseq\mu_r$로 근사되어 $l_0=\dfrac{l}{\mu_r}$가 된다. 즉 공극 길이가 평균자로의 $1/\mu_r$만 되어도 자기저항이 두 배가 되며, 이는 공극의 투자율이 철심보다 $\mu_r$배 작기 때문이다.

도체 표면에 작용하는 정전응력(단위면적당 힘)은 표면 전하밀도 $\sigma$로 $f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{D^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}\,[\mathrm{N/m^2}]$로 주어진다.

반지름 $a$인 구도체에 전하 $Q$가 주어지면 전하는 표면에 균일하게 분포하므로 $\sigma=\dfrac{Q}{4\pi a^2}$이다.

대입하면 $f=\dfrac{1}{2\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q}{4\pi a^2}\right)^{2}=\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 a^4}$이다. 분모의 계수는 $2\times(4\pi)^2=32\pi^2$에서 나오고 반지름은 $a^4$로 4승이 되는 점에 주의한다. 이 힘은 도체 표면을 밖으로 밀어내는 방향(장력)으로 작용한다.

그림은 내구 반지름 $a=0.2[\mathrm{m}]$, 외구 반지름 $b=0.5[\mathrm{m}]$인 동심구 사이를 고유저항 $\rho$인 유전체로 채운 구조다. 동심구 사이의 절연(누설)저항은 $R=\dfrac{\rho}{4\pi}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)$이다.

값을 대입하면 $R=\dfrac{2\times10^{12}}{4\pi}\left(\dfrac{1}{0.2}-\dfrac{1}{0.5}\right)=\dfrac{2\times10^{12}}{4\pi}\times 3=4.77\times10^{11}[\Omega]$이 된다.

따라서 누설전류는 $I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{150}{4.77\times10^{11}}=3.14\times10^{-10}[\mathrm{A}]$이다. 주어진 비유전율 100은 정전용량(및 방전 시정수 $\tau=\rho\varepsilon$) 계산에 쓰이는 값으로, 정상상태 누설전류에는 관여하지 않는 조건이다.

전속밀도 D는 유전체 내부에 존재하는 진전하(자유전하)만으로 결정되는 양으로, 유전체의 분극에 의해 나타나는 분극전하의 영향을 받지 않는다.

반면 전계 E는 진전하와 분극전하를 모두 포함한 실제 전하 분포로부터 만들어지므로, 두 개념의 이러한 차이가 유전체 문제를 다룰 때 D를 사용하는 이유가 된다.

자유공간을 전파하는 평면 전자기파에서 전계 E와 자계 H는 서로 수직인 방향으로 진동하면서도 시간적으로는 같은 위상으로 진동한다.

즉 전계가 최대가 되는 순간에 자계도 함께 최대가 되므로, 두 파형 사이에 시간 지연이나 위상차가 존재하지 않는다.

판자석(자기 이중층)은 $+m$과 $-m$의 자하가 얇은 판의 양면에 마주 붙어 있는 모형으로, 어떤 점에서의 자위는 그 점에서 판을 보는 입체각 $\omega$에만 비례하고 판의 모양·거리에는 직접 관계하지 않는다.

세기 $P$인 판자석을 입체각 $\omega$로 보는 점의 자위는 $U=\dfrac{P\,\omega}{4\pi\mu_0}\,[\mathrm{A}]$이다. 즉 $\omega$는 분자, $4\pi\mu_0$는 분모에 온다.

확인용으로, 판의 한쪽 면에 무한히 가까이 접근하면 판 전체가 반공간을 채우므로 $\omega=2\pi$가 되어 $U=\dfrac{P}{2\mu_0}$가 되고, 판을 통과해 반대편으로 넘어가면 자위가 $P/\mu_0$만큼 불연속적으로 뛴다. 입체각이 분모에 있는 형태는 이 성질(입체각이 커질수록 자위도 커짐)에 어긋난다.

진공 중 점전하가 만드는 전계는 쿨롱 법칙으로부터 $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\dfrac{9\times10^{9}\,Q}{r^{2}}$로 구할 수 있다.

주어진 값을 대입하면 $E=\dfrac{9\times10^{9}\times3\times10^{-6}}{3^{2}}=\dfrac{27\times10^{3}}{9}=3000\,\mathrm{V/m}$가 되어, 3m 떨어진 점의 전계는 3000V/m이다.

쿨롱의 법칙은 $F=k\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}$로 나타나며, 진공 중의 비례상수 k는 $9\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}$이다.

따라서 크기가 같은 두 전하 $Q_{1}=Q_{2}=1\,\mathrm{C}$를 진공 중에서 1m 떨어뜨려 놓았을 때 작용하는 힘이 바로 $F=9\times10^{9}\,\mathrm{N}$이 되며, 이 관계가 1쿨롱의 크기를 정의하는 기준이 된다.

연가는 송전선로를 일정 구간마다 나누어 각 상의 전선 위치를 서로 바꾸어 주는 것으로, 보통 전 구간을 3의 배수로 나누어 각 상이 모든 위치를 한 번씩 거치도록 배치한다.

이를 통해 각 상의 인덕턴스와 정전용량 등 선로정수를 평형시키는 것이 주된 목적이며, 그 결과 전압·전류의 불평형과 인접 통신선에 대한 유도장해도 줄어든다.

수력발전소의 이론적 출력은 $P=9.8\,QH\,[\mathrm{kW}]$로 구할 수 있으며, 여기서 Q는 사용수량, H는 유효낙차이다.

주어진 값을 대입하면 $P=9.8\times10\times100=9800\,\mathrm{kW}$가 되어, 이 발전소의 이론적 출력은 9800kW이다.

우리나라의 22.9kV 배전선로는 대부분 3상 4선식으로 구성되어 있으며, 중성점을 여러 지점에서 대지에 접지하는 다중접지 방식을 채택하고 있다.

이 방식은 지락사고 시 보호계전기의 신속한 동작을 가능하게 하고, 중성선을 통해 저압 배전과의 연계를 용이하게 하는 특징이 있다.

송전선의 전압변동률은 부하가 걸릴 때와 걸리지 않을 때 수전단(부하측) 전압이 얼마나 변하는지를 전부하 전압 기준으로 나타낸 비율이다. 전사한 식 $\epsilon=\dfrac{V_{R1}-V_{R2}}{V_{R2}}\times100\,[\%]$에서 아래첨자 R은 모두 수전단(Receiving end)을 뜻한다.

기준이 되는 분모 $V_{R2}$는 전부하시 수전단 전압이고, 분자에서 그보다 큰 값이 되어야 하는 $V_{R1}$은 무부하시 수전단 전압이다. 부하를 걸면 선로의 임피던스 강하 때문에 수전단 전압이 무부하 때보다 낮아지므로 $V_{R1}>V_{R2}$가 되어 전압변동률이 양(+)으로 나온다.

송전단 전압으로 잘못 짚기 쉬우나, 전압변동률은 부하 변화에 따른 수전단 전압의 변동을 나타내는 지표이므로 두 값 모두 수전단 전압이다. 송전단 대비 수전단의 차이를 보는 것은 전압강하율로, 서로 다른 지표다.

단상변압기 3대로 △-△결선을 구성해 운전하던 중 1대가 고장나 나머지 2대로 V-V결선을 구성하면, 공급 가능한 용량은 단상변압기 1대 용량의 $\sqrt{3}$배로 줄어든다.

단상변압기 1대의 용량이 100kVA이므로 V결선으로 사용할 수 있는 용량은 $\sqrt{3}\times100\approx173\,\mathrm{kVA}$이다.

우리나라의 22.9kV 배전선로에 적용하는 피뢰기는 배전계통의 뇌서지나 개폐서지로부터 설비를 보호하기 위해 시설되며, 그 공칭방전전류는 2500A로 정해져 있다.

이는 변전소나 발전소에 적용하는 더 높은 전압 계통용 피뢰기의 공칭방전전류와 구분되는, 배전용 피뢰기에 특화된 규격값이다.

1선 지락 사고가 발생했을 때 건전상의 대지전위 상승 정도는 중성점 접지 임피던스의 크기에 따라 결정된다. 중성점을 임피던스 없이 대지에 직접 연결하는 방식은 지락전류가 크게 흘러 중성점 전위가 거의 0으로 유지되므로 건전상의 전위상승이 가장 작다.

저항 접지나 리액터 접지는 중성점에 임피던스가 개재되어 지락전류가 제한되는 대신 건전상 전위상승이 커지고, 소호리액터 접지는 공진 상태로 운전되어 지락전류는 가장 작지만 건전상 전위상승은 오히려 가장 크게 나타난다.

차단기의 정격차단용량은 기준용량을 %임피던스로 나누어 구한다. $P_s=\dfrac{P_n}{\%Z}\times100$ 식에 기준용량 15000kVA와 합성 %임피던스 0.5%를 대입하면 $P_s=\dfrac{15000}{0.5}\times100=3{,}000{,}000\ \mathrm{kVA}=3000\ \mathrm{MVA}$가 된다.

해당 지점에 설치하는 차단기는 이 값 이상의 차단용량을 가져야 계통 단락사고 시 안전하게 차단할 수 있다.

직렬 콘덴서는 선로에 직렬로 삽입되어 선로 자체의 유도리액턴스를 용량성으로 보상하는 설비이다. 이를 통해 전압강하와 수전단 전압변동률이 줄고, 리액턴스 감소로 전달 가능한 전력이 늘어 정태안정도가 증가한다.

반면 역률 개선은 부하와 병렬로 연결하는 전력용 콘덴서의 역할로, 선로에 직렬로 삽입되는 콘덴서와는 목적이 다르므로 직렬 콘덴서의 장점으로 볼 수 없다.

급전선의 부하 변동이 심해 전압변동 폭이 큰 배전변전소에서는 연속적으로 전압을 가감할 수 있는 유도전압조정기를 사용해 부하 변화에 따라 실시간으로 전압을 보정한다.

주변압기 탭이나 단권 변압기는 단계적(비연속적) 조정만 가능하고, 전력용 콘덴서는 역률 개선이 주목적으로 전압 조정 기능이 제한적이어서 부하변동이 심한 경우의 대응책으로는 적합하지 않다.

차단기는 정상적인 부하전류의 개폐는 물론 사고 시 발생하는 대전류인 단락전류까지 안전하게 차단할 수 있도록 소호 기능을 갖춘 기기이다.

단로기와 선로개폐기는 무부하 상태에서 회로를 분리하는 용도라 부하전류조차 개폐할 수 없고, 전력퓨즈는 단락전류 차단은 담당하지만 용단으로 동작하는 일회성 소자여서 부하전류를 반복적으로 개폐하는 데는 쓸 수 없다.

전자유도 장해는 송전선로와 통신선 사이의 상호인덕턴스(자기적 결합)에 의해 발생하는 현상으로, 선로의 정전용량(커패시턴스)과는 직접적인 관련이 없다.

개폐서지, 중성점 잔류전압, 발전기의 자기여자현상은 모두 선로의 대지 정전용량 또는 콘덴서성 부하로 인해 나타나는 현상이므로 커패시턴스와 밀접한 관계가 있다.

배전선로에 부하가 선로를 따라 균등하게 분포되어 있을 때 말단에서의 전압강하는, 전체 부하가 선로 말단 한 지점에 집중되어 있다고 가정했을 때의 전압강하의 $\dfrac{1}{2}$이 된다.

이는 균등분포부하의 경우 전류가 선로를 따라 점차 줄어들며 흐르기 때문에, 등가적으로 전체 부하가 선로 길이의 1/2 지점에 집중된 것과 같은 전압강하가 나타나기 때문이다.

석탄 1[kg]의 발열량을 전기에너지로 변환하는 문제로, 발열량에 발전소 효율을 곱한 후 단위를 변환해야 한다. 먼저 발열량 5000[kcal/kg]을 [kJ]로 변환하면 5000 × 4.186 = 20,930[kJ]이다. 발전소 효율 40%를 적용하면 20,930 × 0.40 = 8,372[kJ]의 유효에너지가 발생한다. 이를 [kWh]로 변환하면 8,372[kJ] ÷ 3,600[kJ/kWh] = 2.326[kWh]이므로 약 2.3[kWh]이다.

선로손실은 $P_l=3I^2R$이고 $I=\dfrac{P}{\sqrt{3}V\cos\theta}$, $R=\dfrac{\rho l}{A}$이므로 손실률 $\varepsilon=\dfrac{P_l}{P}=\dfrac{\rho l P}{A V^2\cos^2\theta}$가 된다. 이를 단면적에 대해 풀면 $A=\dfrac{\rho l P}{\varepsilon V^2\cos^2\theta}$이고, 송전거리 l·전력 P·손실률 $\varepsilon$·역률이 모두 고정이므로 전선의 굵기는 전압의 제곱에 반비례한다. 승압하면 같은 손실률을 지키면서 전선 소요량을 줄일 수 있는 근거가 여기에 있다.

수용가의 최대수요전력은 설비용량에 수용률을 곱하여 구한다. $P=160\times0.6=96\ \mathrm{kW}$이며, 이 유효전력을 부하역률로 나누면 필요한 피상전력(변압기 용량)이 된다.

$P_a=\dfrac{96}{0.8}=120\ \mathrm{kVA}$이므로, 이 수용가에 전력을 공급하기 위한 변압기 용량은 120kVA가 되어야 한다.

단락용량은 기준용량을 고장점에서 본 %임피던스로 나누어 구한다. $P_s=\dfrac{P_n}{\%Z}\times100=\dfrac{100}{25}\times100=400\ \mathrm{MVA}$이다.

등가 정상임피던스가 작을수록 사고 시 흐르는 단락전류가 커지고, 그에 비례해 단락용량도 커진다.

외함접지, 2중 절연기기, 누전차단기 설치는 모두 기기의 누전이나 절연파괴 시 인체가 감전되지 않도록 하는 대표적인 감전방지 대책이다.

아크혼은 애자련의 섬락사고 시 아크가 애자를 손상시키지 않도록 아크 경로를 유도해 애자를 보호하는 설비로, 감전방지와는 목적이 다르다.

소호리액터는 1선 지락 시 대지로 흐르는 충전전류(커패시턴스 성분)를 리액터의 유도성 전류로 상쇄시켜 아크를 자연 소멸시키는 설비이다.

이러한 목적을 달성하기 위해 소호리액터의 용량은 3상 1회선 전체(3선 일괄)가 대지에 대해 갖는 충전용량과 같게 설계한다.

표준현수애자는 사용전압이 높아질수록 절연을 확보하기 위해 직렬로 연결하는 개수가 늘어난다. 낮은 전압급은 적은 개수로 충분하지만, 개수가 18~23개에 이르는 것은 초고압 송전전압인 345kV급 선로에 해당한다.

765kV급은 이보다 훨씬 많은 개수의 애자가 필요하므로, 18~23개 범위와는 맞지 않는다.

교류 정류자 전동기는 정류 시 전기자 권선에 교류전압이 유기되어 정류가 직류기보다 훨씬 까다롭고 불꽃 발생 등 문제가 많아 구조가 복잡해지는 단점이 있다. 따라서 정류작용이 직류기와 같이 간단히 해결된다는 설명은 사실과 반대된다.

반면 기동토크가 크고 별도 기동장치 없이 기동이 가능하며, 정류자를 이용해 연속적인 속도제어가 가능하고 역률도 비교적 높다는 점은 교류 정류자 전동기의 실제 특징이다.

분권전동기의 속도는 $N=\dfrac{V-I_aR_a}{k\phi}$로 나타낼 수 있으며, 계자저항을 증가시키면 계자전류가 줄어들어 자속 $\phi$가 감소한다.

자속이 분모에 있으므로 자속 감소는 회전속도의 증가로 이어진다. 이는 분권전동기 특유의 정속도 특성 하에서 계자저항 조정을 통한 속도제어 원리이다.

변압기 저압측(200V, 3상)의 정격 선전류는 $I=\dfrac{P}{\sqrt3\,V}=\dfrac{100000}{\sqrt3\times200}=\dfrac{500}{\sqrt3}\ \mathrm{A}$이다.

역률이 0.8(뒤짐)이므로 무효율은 $\sin\theta=0.6$이고, 무효분 전류는 $I\sin\theta=\dfrac{500}{\sqrt3}\times0.6=100\sqrt3\ \mathrm{A}$로 계산된다.

권선형 유도전동기는 비례추이의 원리에 따라 2차 저항을 변화시키면 최대 토크가 발생하는 슬립의 위치만 이동할 뿐, 최대 토크의 크기 자체는 변하지 않는다.

이는 최대토크 값이 2차 저항과 무관하게 1차 전압과 리액턴스 등에 의해서만 결정되기 때문으로, 2차 저항 조정을 통한 속도제어에서도 기동토크와 슬립 특성만 바뀔 뿐 최대토크는 항상 일정하다.

유도전동기가 전동기로 동작하려면 회전자가 회전자계보다 느리게 돌아 상대적인 슬립이 존재해야 한다. 슬립이 0이면 회전자계와 같은 속도로 돌아 토크가 발생하지 않고, 슬립이 1이면 정지 상태이다.

따라서 전동기로서 정상적으로 작용하기 위한 슬립의 범위는 $0$

변압기유의 열화(산화)는 절연유가 공기 중의 산소·수분과 접촉하면서 진행되므로, 유면과 외기의 접촉을 줄이는 콘서베이터 설치, 질소 등 불활성 가스를 채워 넣는 밀봉방식, 브리더에 실리카겔을 넣어 수분을 제거하는 흡착제방식이 대표적인 방지법으로 쓰인다.

반면 수소봉입방식은 대용량 터빈발전기 같은 회전기의 냉각에 사용하는 방식이며, 변압기에 봉입하는 가스는 수소가 아니라 질소이므로 변압기유 열화방지 방법에는 해당하지 않는다.

스텝모터는 입력 펄스 수에 비례해 정확히 회전하는 특성 덕분에 피드백 없이 오픈루프로도 위치·속도제어가 가능하고, 디지털 신호로 직접 구동되어 컴퓨터 등 디지털 기기와 인터페이스가 쉬우며 가속·감속과 정역전 제어도 용이한 것이 장점이다.

또한 이론적으로 스텝모터는 위치 오차가 누적되지 않는다는 것이 큰 장점이므로, 각도 오차가 있고 누적된다는 설명은 스텝모터의 실제 특성과 반대되어 장점으로 볼 수 없다.

과도안정도를 높이려면 사고 시 발전기가 탈조하지 않도록 속응여자방식 채용과 조속기의 신속한 동작으로 출력 변동에 빠르게 대응하고, 동기탈조계전기로 이상 상태를 검출해 보호하는 방법이 쓰인다.

반면 동기화 리액턴스는 오히려 작게 해야 전달할 수 있는 최대전력이 커져 안정도가 향상되므로, 리액턴스를 크게 하는 것은 과도안정도 증가 방법이 아니다.

전기자 반작용이란 전기자 권선에 흐르는 부하전류가 만드는 자속이 주자속을 만드는 계자극에 영향을 주어 자속의 크기와 분포를 변화시키는 현상을 말한다.

그 결과 감자작용이나 편자작용이 함께 나타날 수 있지만, 이는 계자극에 대한 영향의 구체적인 양상이지 전기자 반작용 자체의 정의는 계자극에 미치는 영향으로 규정된다.

3상 유도전동기의 동기속도는 $N_s=\dfrac{120f}{P}$로 나타내며, 극수 P가 일정할 때 동기속도는 주파수 f에 정비례한다.

따라서 전원 주파수가 높아지면 동기속도도 그에 비례하여 증가한다.

3단자 사이리스터는 애노드, 캐소드, 게이트 세 개의 단자만을 가지는 소자로 SCR, GTO, TRIAC이 이에 해당한다. SCS(실리콘 제어 스위치)는 애노드 게이트와 캐소드 게이트를 모두 가지는 4단자 소자이므로 3단자 사이리스터가 아니다.

동기속도는 $N_s=\dfrac{120f}{P}=\dfrac{120\times60}{4}=1800\ \mathrm{rpm}$이다.

슬립이 4%이므로 실제 회전수는 $N=N_s(1-s)=1800\times(1-0.04)=1728\ \mathrm{rpm}$으로 계산된다.

비례추이는 2차 회로의 저항을 조정함에 따라 토크-슬립 특성곡선이 같은 최대토크를 유지한 채 슬립 축을 따라 평행 이동하는 현상으로, 2차 저항을 외부에서 자유롭게 조절할 수 있는 전동기에만 적용할 수 있다.

3상 권선형 유도전동기는 슬립링을 통해 2차 저항을 외부에서 조정할 수 있어 비례추이가 적용되지만, 농형 유도전동기나 동기전동기, 정류자 전동기는 이러한 2차 저항 조정 구조를 갖지 않는다.

출력은 $P_2=200\times0.8=160\ \mathrm{kW}$이고, 전부하 시 손실은 철손과 동손의 합인 $P_i+P_c=1.6+2.5=4.1\ \mathrm{kW}$이다.

효율은 $\eta=\dfrac{P_2}{P_2+P_i+P_c}\times100=\dfrac{160}{164.1}\times100\approx97.5\%$로 계산된다.

직류직권전동기는 무포화 영역에서 계자자속이 전기자전류에 비례한다($\phi \propto I_a$). 토크는 $T\propto \phi I_a \propto I_a^2$이 된다.

역기전력이 거의 일정하다고 보면 회전속도는 $N\propto \dfrac{1}{\phi}\propto\dfrac{1}{I_a}$이므로 $I_a\propto \dfrac{1}{N}$이 되고, 이를 토크식에 대입하면 $T\propto \dfrac{1}{N^2}$의 관계가 성립한다.

변압기는 부하율 m에서 동손이 $m^2P_c$로 변하므로, 철손과 동손이 같아지는 지점에서 효율이 최대가 된다. 즉 $m^2P_c=P_i$이다.

따라서 최고효율이 되는 부하율은 $m=\sqrt{\dfrac{P_i}{P_c}}=\sqrt{\dfrac{120}{270}}\approx0.667$이며, 이는 정격출력의 약 66.7%에 해당한다.

단상 반파정류 회로에서 부하에 나타나는 직류전압은 $E_d=\dfrac{E_m}{\pi}$의 관계를 가지므로, 필요한 최대(피크) 교류전압은 $E_m=E_d\times\pi=150\times\pi\approx471\ \mathrm{V}$이다.

단상 반파정류회로에서 다이오드가 비도통 구간에 역방향으로 받는 최대 전압(PIV)은 이 교류 최대전압 $E_m$과 같으므로, 다이오드는 약 471V 이상의 내압을 가져야 한다.

동기전동기를 자기동법으로 기동할 때 회전자가 정지 상태에 가까우면, 고정자의 회전자계가 계자권선을 빠르게 가로질러 지나가면서 권수가 많은 계자권선에 매우 높은 전압이 유도될 수 있다.

이 고전압으로 인한 절연파괴를 막기 위해 기동 시에는 계자권선의 양단을 저항을 통해 단락시켜 유도되는 고전압을 방전시킨다.

직권 계자권선과 분권 계자권선이 같은 방향으로 작용하도록 접속된 과복권 발전기는 부하전류가 증가할수록 직권 계자에 의한 기자력이 커져 유기기전력이 증가한다.

그 증가분이 전기자 반작용이나 저항강하로 인한 전압강하보다 크게 설계되어 있어, 무부하 시보다 부하 증가 시 오히려 단자전압이 상승하는 특성을 보인다.

3상 교류발전기에서 전기자전류가 기전력보다 $\pi/2$(90도) 뒤진 경우는 순수 지상(뒤짐) 역률 부하에 해당한다.

이때 전기자전류가 만드는 자속은 주자속과 정반대 방향으로 작용하여 계자자속을 약화시키는 감자작용이 나타난다.

제3고조파 전압의 실효값은 $75[V]$이고, 3고조파에서 리액턴스는 $3\omega L = 3 \times 1 = 3[\Omega]$이다. 따라서 임피던스는 $Z_3 = \sqrt{R^2+(3\omega L)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5[\Omega]$이며, 제3고조파 전류의 실효값은 $I_3 = \dfrac{75}{5} = 15[A]$이다.

3상 소비전력은 $P=\sqrt3\,V_lI_l\cos\theta$이므로 선전류는 $I_l=\dfrac{P}{\sqrt3\,V_l\cos\theta}=\dfrac{10000}{\sqrt3\times220\times0.6}$이 된다.

이를 계산하면 $I_l\approx\dfrac{10000}{228.6}\approx43.7\ \mathrm{A}$이다.

전달함수 $\dfrac{E_0(s)}{E_i(s)}=\dfrac{1}{s^2+3s+1}$을 분모를 없애 정리하면 $\left(s^2+3s+1\right)E_0(s)=E_i(s)$가 된다. 즉 분모 다항식은 출력 $E_0$에 곱해지고, 분자는 입력 $E_i$에 곱해진다.

초기값을 0으로 두고 역라플라스 변환하면 $s$는 $\dfrac{d}{dt}$, $s^2$는 $\dfrac{d^2}{dt^2}$로 대응된다. 따라서 $\dfrac{d^2}{dt^2}e_0(t)+3\dfrac{d}{dt}e_0(t)+e_0(t)=e_i(t)$가 얻어진다.

주의할 점은 두 가지다. 첫째, 미분항이 붙는 쪽은 입력이 아니라 출력이다(입·출력을 바꾸면 전달함수가 역수가 된다). 둘째, 상수항 1은 $e_0(t)$ 그대로이며 적분항 $\int e_0\,dt$가 아니다 — 적분이 나오려면 분모에 $1/s$ 항이 있어야 한다.

발문의 급수 $i(t)=\dfrac{4I_m}{\pi}\left(\sin\omega t+\dfrac{1}{3}\sin3\omega t+\dfrac{1}{5}\sin5\omega t+\cdots\right)$는 직류분과 여현(cos)항이 없고 홀수차 정현항만 나타나며, 계수가 차수에 반비례($1/n$)해 감소한다. 이것이 진폭 $I_m$인 구형파(사각파)의 푸리에 급수다.

정현항만 존재한다는 것은 파형이 기함수(원점 대칭)라는 뜻이고, 직류분이 0이므로 평균값도 0이다. 따라서 $t=0$에서 $-I_m$에서 $+I_m$으로 뛰어올라 0~T/2 구간에서 +I_m, T/2~T 구간에서 −I_m을 유지하는 대칭 구형파가 이 급수에 대응한다.

제시된 파형 중 $t=0$을 중심으로 +I_m 구간이 좌우로 걸쳐 있는 구형파는 우함수여서 여현 급수로 전개되므로 맞지 않고, $t=0$에서 +I_m에서 −I_m으로 내려가는 구형파는 부호가 반대($-\dfrac{4I_m}{\pi}\left(\sin\omega t+\cdots\right)$)여서 제외된다. 삼각파는 계수가 $1/n^2$로 감소해 제3고조파 계수가 $1/9$여야 하므로 역시 아니다.

그림의 회로는 저항 가지(5[A])와 인덕턴스 가지(12[A])가 병렬로 접속되고, 그 병렬부에 3[Ω]이 직렬로 이어져 전원에 전류 $I$가 흐르는 구조다.

병렬 가지는 같은 전압을 받으므로 저항 전류는 전압과 동상, 인덕터 전류는 전압보다 90° 뒤진다. 두 전류는 서로 직각이므로 산술합이 아니라 벡터합으로 더해야 한다.

$I=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,[\mathrm{A}]$이다. 5+12=17로 더하는 것이 대표적인 오답이며, 직렬 3[Ω]은 전원 전압의 크기를 좌우할 뿐 이미 주어진 가지 전류에서 구하는 $I$의 크기에는 관여하지 않는다.

발문의 $F(s)=\dfrac{3s+10}{s^3+2s^2+5s}$에 최종값 정리 $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)$를 적용한다.

$sF(s)=\dfrac{3s+10}{s^2+2s+5}$이고, $s\to0$이면 $\dfrac{10}{5}=2$이므로 최종값은 2다.

적용 조건도 확인된다. 분모는 $s\left(s^2+2s+5\right)$로 인수분해되어 극점이 $s=0,\;-1\pm j2$인데, 원점 외의 극점이 모두 좌반평면에 있어 시간 응답이 수렴하므로 최종값 정리를 쓸 수 있다. 참고로 초기값은 $\lim_{s\to\infty}sF(s)=0$이다.

제n고조파에서는 각주파수가 $n\omega$이므로 리액턴스가 $X_L=n\omega L$, $X_C=\dfrac{1}{n\omega C}$가 된다. 직렬 공진은 두 리액턴스가 같아지는 조건이므로 $n\omega L=\dfrac{1}{n\omega C}$이다.

정리하면 $n^2\omega^2LC=1$, 즉 $\omega=\dfrac{1}{n\sqrt{LC}}$이고 $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi n\sqrt{LC}}\,[\mathrm{Hz}]$다.

즉 제n고조파 공진주파수는 기본파 공진주파수 $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$의 1/n 배다. n이 근호 안으로 들어간 형태나 $n^2$이 붙은 형태는 공진 조건을 잘못 정리한 결과다.

기본 변환쌍 $\mathcal{L}\left[e^{-at}\right]=\dfrac{1}{s+a}$를 거꾸로 읽으면 된다. $\dfrac{1}{s+3}$은 $a=3$인 경우이므로 역라플라스 변환은 $e^{-3t}$다.

극점이 $s=-3$으로 좌반평면에 있으므로 시간이 지나면 0으로 수렴하는 감쇠 지수함수여야 한다. 지수가 양인 $e^{3t}$는 극점이 $s=+3$인 $\dfrac{1}{s-3}$의 역변환이다.

시정수와 혼동해 $e^{-t/3}$로 답하기 쉬운데, 그것은 $\dfrac{1}{s+\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{3s+1}$에 대응하는 함수다.

단상 변압기 2대를 V결선으로 구성하면 3상 전력을 공급할 수 있으며, 이때 공급 가능한 최대 3상 용량은 변압기 1대 용량의 $\sqrt3$배가 된다.

따라서 20kVA 변압기 2대를 V결선했을 때 최대 3상 전력은 $\sqrt3\times20\approx34.6\ \mathrm{kVA}$로, 약 35kVA가 된다.

Y결선 평형부하이므로 상전압은 $V_p=\dfrac{200}{\sqrt3}\ \mathrm{V}$이고, 임피던스 크기는 $|Z|=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \Omega$이므로 상전류는 $I_p=\dfrac{V_p}{|Z|}=\dfrac{200}{\sqrt3\times10}\ \mathrm{A}$이다.

3상 무효전력은 $Q=3I_p^2X=3\times\left(\dfrac{200}{10\sqrt3}\right)^2\times8=3200\ \mathrm{Var}$로 계산된다.

그림은 입력측 직렬 $Z_1$, 출력측 직렬 $Z_2$, 상·하 도선 사이 분로(병렬)로 $Z_3$가 놓인 T형 4단자망이다.

임피던스 파라미터 정의상 $Z_{22}=\left.\dfrac{V_2}{I_2}\right|_{I_1=0}$, 즉 입력단(1-1′)을 개방한 상태에서 출력단에서 본 임피던스다. 입력이 개방되면 $Z_1$에는 전류가 흐를 수 없으므로 $I_2$는 $Z_2$와 $Z_3$를 직렬로 지난다.

따라서 $Z_{22}=Z_2+Z_3$다. 같은 방법으로 $Z_{11}=Z_1+Z_3$, $Z_{12}=Z_{21}=Z_3$가 되어 T형 회로가 가역(대칭) 회로임도 확인된다.

콘덴서만의 회로에서 용량성 리액턴스는 $X_C=\dfrac{V}{I}=\dfrac{100}{0.06}\approx1666.7\ \Omega$이다.

정전용량은 $C=\dfrac{1}{2\pi f X_C}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times1666.7}\approx1.59\times10^{-6}\ \mathrm{F}=1.59\ \mu\mathrm{F}$로 계산된다.

△결선에서는 상전압이 선간전압과 같아 상전류가 $I_\triangle=\dfrac{V}{Z}$이고, 소비전력은 $P_\triangle=3\dfrac{V^2}{Z}$이다.

같은 부하를 Y결선으로 바꾸면 상전압이 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$로 줄어들어 소비전력은 $P_Y=3\dfrac{(V/\sqrt{3})^2}{Z}=\dfrac{V^2}{Z}$가 되므로, $\dfrac{P_Y}{P_\triangle}=\dfrac{1}{3}$이다.

즉 선간전압이 일정하다면 Y결선으로 바꿀 때 소비전력은 원래의 1/3로 줄어든다.

그림은 입력 $e_i(t)$에 R, L, C가 직렬로 연결되고 루프 전류가 $i(t)$인 회로다. s영역에서 직렬 임피던스는 $Z(s)=R+Ls+\dfrac{1}{Cs}$다.

$E_i(s)=Z(s)I(s)$이므로 전달함수는 $G(s)=\dfrac{I(s)}{E_i(s)}=\dfrac{1}{R+Ls+\frac{1}{Cs}}$이고, 분자·분모에 $Cs$를 곱해 정리하면 $G(s)=\dfrac{Cs}{LCs^2+RCs+1}$가 된다.

출력이 전류이므로 전달함수는 어드미턴스 차원이 되어 분자에 $Cs$가 온다. 같은 회로에서 출력을 커패시터 전압으로 잡으면 $\dfrac{1}{LCs^2+RCs+1}$, 인덕터 전압으로 잡으면 $\dfrac{LCs^2}{LCs^2+RCs+1}$이 된다.

그림은 $I_0[\mathrm{A}]$ 직류 전류원이 스위치 S를 통해 R[Ω]과 L[H]의 병렬 조합에 전류를 공급하는 회로이며, 두 소자에 각각 $i_R(t)$, $i_L(t)$가 흐른다.

인덕터 전류는 급변할 수 없으므로 $i_L(0^+)=0$이고, 스위치를 닫은 순간 전류원의 전류는 전부 저항으로 흐른다: $i_R(0^+)=I_0$. 충분한 시간이 지난 정상상태에서는 인덕터가 단락처럼 동작해 전류를 모두 가져가므로 $i_R(\infty)=0$이다.

병렬 R-L의 시정수는 $\tau=\dfrac{L}{R}$이므로 $i_R(t)=I_0e^{-\frac{R}{L}t}\,[\mathrm{A}]$로 지수적으로 감쇠한다. 이때 $i_L(t)=I_0\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$이며 두 전류의 합은 언제나 $I_0$가 된다.

전압과 전류를 같은 삼각함수 형태로 통일하면, $i = I_m\sin(100\pi t + \pi/4) = I_m\cos(100\pi t + \pi/4 - \pi/2) = I_m\cos(100\pi t - \pi/4)$이다. 전압의 위상 $-\pi/3$과 전류의 위상 $-\pi/4$의 위상차는 $\theta = \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{12}$이며, 크기는 $\pi/12$ [rad]이다.
이 위상차를 시간으로 환산하면 $t = \dfrac{\theta}{\omega} = \dfrac{\pi/12}{100\pi} = \dfrac{1}{1200} \approx 8.33\times10^{-4}$ [s]가 되어 8.33×10⁻⁴초가 정답이다.

그림에서 2[V] 전압원(+가 위쪽), 3[Ω] 저항, 1[A] 전류원이 모두 같은 위·아래 두 절점 사이에 병렬로 접속돼 있고, 구하려는 $V$는 3[Ω] 양단(위쪽 +, 아래쪽 −) 전압이다.

이상적인 전압원은 자신이 걸린 두 절점의 전위차를 고정한다. 3[Ω]이 그 전압원과 직접 병렬이므로 양단 전압은 극성까지 그대로 $V=2\,[\mathrm{V}]$다.

1[A] 전류원은 이 전압을 바꾸지 못하고 전압원이 주고받는 전류만 바꾼다. 실제로 3[Ω]에는 $\dfrac{2}{3}[\mathrm{A}]$가 흐르고, 절점 전류 법칙에 따라 남는 $\dfrac{1}{3}[\mathrm{A}]$는 전압원 쪽으로 흘러 들어간다.