09년 2회차

직선검파회로의 출력 신호파 진폭은 검파효율과 변조도, 반송파 진폭의 곱으로 구해진다.

$V_{out} = \eta \times m \times V_c = 0.9 \times 0.5 \times 10 = 4.5\,\mathrm{V}$

따라서 출력에 나타나는 신호파의 진폭은 4.5[V]이다.

트랜지스터가 활성영역에서 동작하려면 베이스-이미터 접합은 순방향, 베이스-컬렉터 접합은 역방향 바이어스가 걸려야 한다.

컬렉터 접합을 역바이어스로 두어야 컬렉터측 공핍층이 넓어지고 이미터에서 넘어온 캐리어를 강한 전계로 끌어당겨 컬렉터 전류로 모을 수 있다.

• 베이스-컬렉터를 순방향으로 두면 포화영역 동작이 되어 활성영역 특성을 잃는다.
• NPN·PNP 여부와 무관하게 인가하는 전압의 극성만 반대일 뿐 컬렉터 접합에는 항상 역방향 바이어스가 필요하므로, 특정 형에만 국한된다는 설명은 옳지 않다.

멀티바이브레이터를 단안정·무안정·쌍안정으로 나누는 기준은 두 트랜지스터를 잇는 결합회로가 어떻게 구성되었는가이다.

양쪽 결합을 모두 콘덴서(교류)로 하면 무안정, 한쪽은 직류·한쪽은 콘덴서로 하면 단안정, 양쪽 모두 직류로 결합하면 쌍안정이 된다.

전원 전압·전류나 바이어스 전압의 크기는 회로의 동작점을 결정할 뿐 안정상태의 개수를 바꾸지 않으므로 분류 기준이 아니다.

증폭기 왜곡은 위상왜곡(주파수에 따라 위상 지연이 달라짐), 진폭왜곡(주파수에 따라 이득이 달라짐), 혼변조왜곡을 포함한 비직선왜곡으로 분류되며, "평형왜곡"은 표준적인 증폭기 왜곡 분류에 속하지 않는 용어다.

• 위상왜곡은 각 주파수 성분의 위상이 서로 다르게 지연되어 파형이 일그러지는 현상이다.
• 진폭왜곡(주파수왜곡)은 주파수에 따라 증폭도가 달라져 생기는 왜곡이다.
• 혼변조왜곡은 비직선 소자에서 서로 다른 주파수 성분이 섞여 새로운 주파수가 발생하는 왜곡이다.

제시된 IC 중 CMOS가 소비전력이 가장 작다.

CMOS는 상보형 MOS 구조로 스위칭 시에만 전류가 흐르고 정상상태에서는 누설전류 외에 거의 전류가 흐르지 않는 반면, TTL·DTL은 바이폴라 소자의 바이어스 전류가 항상 흐르고 ECL은 소자가 포화되지 않도록 항상 전류를 흘려 속도를 얻는 구조라 소비전력이 크다.

이 회로가 콜피츠 발진회로가 되려면 Z₁·Z₂가 용량성이고 Z₃가 유도성이어야 한다.

그림은 트랜지스터의 컬렉터-이미터 사이에 Z₁, 이미터-베이스 사이에 Z₂, 컬렉터-베이스 사이에 Z₃ 가 놓인 3소자 발진회로의 기본형이다. 직렬로 이어진 Z₁과 Z₂의 접속점이 이미터(접지)에 연결되어 되먹임 전압을 뽑는 분압 탭 역할을 한다.

이 형식이 발진하려면 Z₁과 Z₂는 같은 종류의 리액턴스, Z₃는 그 반대 종류여야 한다. 그래야 탭에서 되돌아오는 전압의 위상이 180° 뒤집히고, 트랜지스터의 반전 180°와 합쳐 총 360°가 되어 발진 조건을 만족한다.

탭을 이루는 두 소자가 콘덴서이고 나머지 하나가 코일이면 콜피츠, 반대로 탭이 두 개의 코일이고 나머지가 콘덴서이면 하틀리 발진회로다. 문제가 콜피츠라고 했으므로 Z₁·Z₂는 용량성, Z₃는 유도성이 된다.

다이오드가 순방향으로 도통하면 $V_D = 0.7\mathrm{V}$로 고정되므로 저항 양단 전압은 전원전압에서 이를 뺀 값이다.

$V_R = 5\mathrm{V} - 0.7\mathrm{V} = 4.3\mathrm{V}$

AM파의 전력은 반송파 전력에 변조도에 따른 측파대 전력을 더한 값으로, $P = P_c\left(1+\dfrac{m^2}{2}\right)$로 구한다.

$P = 300\left(1+\dfrac{0.85^2}{2}\right) = 300 \times 1.36125 \approx 408\mathrm{W}$

이상적인 차동증폭기는 동상 신호를 완전히 제거하는 것이 목표이므로 동상이득이 0이 되는 것이 이상적이다.

• CMRR은 클수록 동상신호 억제 성능이 좋아지므로 "CMRR이 작을수록 성능이 좋다"는 설명은 반대다.
• CMRR이 작다는 것은 동상이득에 견준 차동이득이 작다는 뜻이므로, "CMRR이 작을수록 차동이득이 증대된다"는 설명도 옳지 않다.
• CMRR은 동상이득에 대한 차동이득의 비($A_d/A_c$)이지 그 반대가 아니다.

PN접합에서 공핍층은 다수 캐리어가 확산으로 빠져나간 자리에 남은 고정된 이온(불순물 이온)으로 구성된다.

이 이온들은 이동할 수 없는 공간전하이며, 이로 인해 접합부에 전위장벽이 형성된다.

• 다수 캐리어나 소수 캐리어는 이동 가능한 자유 캐리어로, 공핍층에는 거의 남아 있지 않다(그래서 '공핍'층이다).
• 중성인 원자 자체가 아니라, 전자나 정공을 잃거나 얻어 전하를 띠게 된 불순물 이온이 남는 것이다.

이 회로는 피크검출기다.

입력 $V_{i}$ 가 연산증폭기의 비반전 입력으로 들어가고 출력에 다이오드가 직렬로 붙은 뒤, 그 다이오드 뒤쪽 노드에서 반전 입력으로 궤환이 걸려 있다. 같은 노드에 커패시터와 부하저항 $R_{L}$ 이 접지와의 사이에 놓여 출력 $V_{o}$ 를 만든다.

입력이 커패시터 전압보다 높아지면 다이오드가 도통해 커패시터를 입력값까지 충전하고, 입력이 낮아지면 다이오드가 역바이어스되어 충전된 최댓값이 그대로 유지된다. 궤환을 다이오드 뒤에서 잡았기 때문에 다이오드의 순방향 전압강하가 상쇄되어 첨두값을 오차 없이 얻는다.

• 전압폴로워라면 다이오드와 커패시터 없이 출력이 곧바로 반전 입력에 연결되어야 한다.
• 대수증폭기는 궤환 경로에 다이오드나 트랜지스터를 넣고 입력을 반전 단자로 받는 구성이라 이 접속과 다르다.
• 전류-전압 변환기는 반전 입력으로 전류를 받아 궤환저항에서 전압을 만드는 회로여서 값을 붙들어 두는 커패시터가 필요 없다.

전자의 페르미-디랙 분포 함수는 $f(E)=\dfrac{1}{e^{\frac{E-E_{F}}{KT}}+1}$ 이다.

여기서 $E$ 는 에너지 준위, $E_{F}$ 는 페르미 준위, $K$ 는 볼츠만 상수, $T$ 는 절대온도이며 $f(E)$ 는 그 준위가 전자로 채워져 있을 확률을 뜻한다.

지수의 분자가 $E-E_{F}$ 이고 분모에 +1 이 붙는다는 점이 핵심이다. 분모의 +1이 빠진 형은 $E\lt E_{F}$ 에서 값이 1을 넘어 확률이 될 수 없고, 지수 부호를 $E_{F}-E$ 로 뒤집고 분모에 -1 을 붙인 형은 보즈-아인슈타인 분포여서 전자에 쓸 수 없으며, 지수함수에 1을 더하기만 한 형은 분수 꼴조차 아니어서 항상 1보다 커진다.

실제로 $E=E_{F}$ 를 넣으면 $f(E)=\dfrac{1}{1+1}=0.5$ 가 되어 페르미 준위는 점유 확률이 50%인 준위라는 정의와 정확히 들어맞는다.

클리퍼(clipper) 회로는 입력 파형의 상층이나 하층을 일정 레벨에서 잘라내는 파형정형 회로다.

• 신호를 증폭하는 기능은 증폭회로의 역할이지 클리퍼의 목적이 아니다.
• 궤환을 이용한 신호 안정화는 클리퍼와 무관하다.
• 파형의 직류 레벨을 되돌려 주는 복원 기능은 클램퍼(clamper) 회로의 역할이다.

RC결합 증폭회로는 이득-대역폭 곱이 대략 일정하므로, 대역폭을 5배로 넓히려면 전압이득을 1/5로 줄여야 한다.

이를 dB로 환산하면 $20\log_{10}5 \approx 14\mathrm{dB}$이므로 이득을 약 14dB 낮추어야 한다.

앞단 미분기와 뒷단 적분기가 직렬로 이어진 구성이므로 출력은 입력이 그대로 복원된 V_i가 된다.

앞단은 입력측에 C, 귀환에 R이 놓여 있어 미분기로 동작하므로 그 출력은 $v_1 = -CR\dfrac{d}{dt}V_i$ 이다.

뒷단은 입력측에 R, 귀환에 C가 놓여 있어 적분기로 동작하므로 $v_o = -\dfrac{1}{CR}\int v_1\,dt = -\dfrac{1}{CR}\int\left(-CR\dfrac{d}{dt}V_i\right)dt = V_i$ 로 정리된다.

두 번의 반전으로 부호가 상쇄되고 CR도 약분되므로 미분한 뒤 적분하면 원래 신호가 되돌아온다. 비반전 입력에 달린 R₁·R₂는 바이어스 전류에 의한 옵셋을 줄이기 위한 것으로 전달 특성에는 관여하지 않는다.

발진주파수를 안정화하는 방법으로는 항온조를 이용해 온도 변화에 따른 소자 정수 변동을 줄이는 방법, 정전압회로로 전원 변동의 영향을 줄이는 방법, 완충증폭기(버퍼)를 두어 부하 변동이 발진회로에 영향을 주지 않게 하는 방법이 대표적이다.

푸시풀 주파수체배기는 발진 주파수를 정수배로 높이는 회로일 뿐 부하변동에 따른 주파수 변화를 막는 안정화 수단이 아니다.

리액턴스 트랜지스터(리액턴스관)는 제어전압에 따라 등가 리액턴스가 변하도록 만들어, 이를 발진회로에 병렬로 연결해 발진 주파수를 신호에 따라 변화시키는 방식으로 주파수변조(FM)에 사용된다.

진폭변조는 반송파의 진폭을, 펄스변조·링변조는 각기 다른 방식으로 신호를 싣는 방식이라 리액턴스 소자를 이용한 주파수 가변 방식과는 원리가 다르다.

3단 CR 이상회로를 쓰는 병렬 저항형 발진기의 발진 주파수는 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{6}\,RC}$ 이다.

저항이 접지측에 병렬로 놓인 C-R 마디 3개가 각각 위상을 앞서게 해 합계 180°를 만들고, 증폭기의 반전 180°와 더해져 궤환 루프의 위상이 0°가 되면서 발진 조건이 성립한다.

귀환회로 전달함수의 허수부를 0으로 놓으면 $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{6}\,RC}$ 이고, $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$ 이므로 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{6}\,RC}$ 를 얻는다.

이때 귀환율이 $\beta = \dfrac{1}{29}$ 이므로 증폭기 이득은 29 이상이어야 발진이 지속된다. 저항을 직렬로 배치한 이상형에서는 $f = \dfrac{\sqrt{6}}{2\pi RC}$ 로 √6 의 위치가 뒤바뀌므로 함께 구분해 두면 좋다.

전위장벽(potential barrier)은 PN 접합에서 공핍층 양단에 형성되는 전위차를 말한다.

확산으로 이동한 캐리어가 남긴 공간전하(이온)로 인해 접합부에 전계가 생기고, 이 전계가 더 이상의 캐리어 이동을 막는 장벽 역할을 하면서 나타나는 전위차이다.

임계파괴 전압이나 다이오드에 흐르는 전류와는 다른 개념이다.

반전 입력단에 여러 입력이 각자의 저항을 통해 모이고 귀환저항 하나로 되돌아오는 구성이므로 가산기(반전 가산증폭기)이다.

비반전 입력이 접지되어 반전 입력은 가상접지가 되고, 입력저항 R₁₁·R₁₂·R₁₃에 흐르는 전류의 합이 그대로 귀환저항 R₂로 흐르므로 $\dfrac{V_1}{R_{11}} + \dfrac{V_2}{R_{12}} + \dfrac{V_3}{R_{13}} = -\dfrac{V_0}{R_2}$ 이다.

정리하면 $V_0 = -R_2\left(\dfrac{V_1}{R_{11}} + \dfrac{V_2}{R_{12}} + \dfrac{V_3}{R_{13}}\right)$ 로, 출력이 입력들의 가중 합에 비례한다. 네 저항이 모두 같으면 출력은 −(V₁+V₂+V₃)가 된다.

• 입력측 저항·귀환 커패시터면 적분기, 입력측 커패시터·귀환 저항이면 미분기인데 이 회로에는 커패시터가 하나도 없다.
• 정류는 다이오드로 한쪽 극성만 통과시켜야 이루어지는데 다이오드 역시 보이지 않는다.

이 시간함수의 라플라스 변환은 $\dfrac{a}{s(s+a)}$ 이다.

선형성을 이용해 항별로 변환하면 $\mathcal{L}[1] = \dfrac{1}{s}$, $\mathcal{L}[e^{-at}] = \dfrac{1}{s+a}$ 이다.

두 항을 빼서 통분하면 $F(s) = \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s+a} = \dfrac{(s+a)-s}{s(s+a)} = \dfrac{a}{s(s+a)}$ 가 된다.

분자에 a가 남는다는 점이 핵심이며, 분자가 1인 형태는 $\dfrac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)$ 의 변환이라 크기가 a배만큼 다르다.

직류에 해당하는 $\omega = 0$ 에서 전달함수의 크기는 1이다.

저항 R이 직렬, 커패시터 C가 병렬로 놓인 회로이므로 분압으로 $G(j\omega) = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} = \dfrac{1}{1 + j\omega RC}$ 이다.

여기에 $\omega = 0$ 을 대입하면 $G = \dfrac{1}{1+0} = 1$ 로, 커패시터가 개방처럼 작용해 입력이 감쇠 없이 그대로 출력에 나타난다.

참고로 차단각주파수 $\omega = \dfrac{1}{RC}$ 에서 크기가 $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ 로 떨어지고, 주파수가 무한대로 갈수록 0에 수렴한다.

a-b 단자간 임피던스가 R이 되려면 $Z_1 Z_2 = R^2$ 이어야 한다.

R과 Z₁의 직렬 가지, R과 Z₂의 직렬 가지가 a-b 사이에 병렬로 놓였으므로 $Z_{ab} = \dfrac{(R+Z_1)(R+Z_2)}{(R+Z_1)+(R+Z_2)}$ 이다.

이것을 R과 같다고 두면 $(R+Z_1)(R+Z_2) = R(2R+Z_1+Z_2)$ 이고, 좌변을 전개해 $R^2 + RZ_1 + RZ_2 + Z_1Z_2 = 2R^2 + RZ_1 + RZ_2$ 를 정리하면 $Z_1 Z_2 = R^2$ 를 얻는다.

주파수와 무관하게 단자 임피던스가 순저항 R로 유지되는 정저항 회로의 조건이며, 두 임피던스의 비가 아니라 곱이 R²이 되도록 하나를 유도성, 다른 하나를 용량성으로 짝지어 설계한다.

3상 불평형률은 정상분 전압에 대한 역상분 전압의 비로 정의한다(영상전압은 계산에 쓰이지 않는다).

$\text{불평형률} = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{280}{600} \approx 0.47$

R과 C의 병렬회로에서 주파수가 0부터 무한대까지 변할 때, 어드미턴스 $Y = \dfrac{1}{R} + j\omega C$는 실수축 위의 점 $1/R$에서 시작해 허수축 방향(위)으로 뻗는 반직선을 그린다.

임피던스 $Z=1/Y$는 그 역수이므로, 실수부는 양(+)이고 허수부는 음(-)인 궤적, 즉 제4상한 내의 반원을 그리게 된다.

이 회로의 4단자 정수 C는 $j\omega C$ 이다.

직렬 팔에 L, 병렬 팔에 C, 다시 직렬 팔에 L이 놓인 대칭 T형이므로 $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & j\omega L \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ j\omega C & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & j\omega L \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 로 세 행렬을 곱해 구한다.

4단자 정수 C는 출력을 개방했을 때 $C = \left.\dfrac{I_1}{V_2}\right|_{I_2=0}$ 로 정의되는데, 출력이 개방이면 오른쪽 인덕터에는 전류가 흐르지 않아 병렬 팔의 어드미턴스가 그대로 답이 된다. 따라서 $j\omega C$ 이다.

같은 곱셈에서 $A = D = 1 - \omega^2 LC$, $B = j\omega L(2 - \omega^2 LC)$ 가 나오므로, 나머지 보기들은 모두 A·D 또는 B 자리에 해당하는 값이다.

정상 전류의 63.2[%]에 이르는 시간은 이 회로의 시정수인 $\dfrac{L}{R}$ [sec]이다.

스위치를 닫은 뒤 전류는 $i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$ 로 상승하며, 충분한 시간이 지난 정상 전류는 $\dfrac{E}{R}$ 이다.

따라서 $1 - e^{-\frac{R}{L}t} = 0.632$ 로 두면 $e^{-\frac{R}{L}t} = 0.368 = e^{-1}$ 이므로 $\dfrac{R}{L}t = 1$, 즉 $t = \dfrac{L}{R}$ 가 된다.

R-L 직렬회로의 시정수는 L을 R로 나눈 값이며, 두 값을 곱하거나 뒤집은 형태는 차원이 시간이 되지 않는다. 참고로 R-C 직렬회로의 시정수는 RC이다.

이 비정현파 전압의 실효값은 약 15[V]이다.

비정현파의 실효값은 각 고조파 실효값의 제곱합의 제곱근이므로 $E = \sqrt{E_1^2 + E_3^2 + E_5^2}$ 이고, 각 항의 실효값은 진폭을 $\sqrt{2}$ 로 나눈 값이다.

대입하면 $E = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{14.1^2 + 7.1^2 + 14.1^2} = \dfrac{\sqrt{448.03}}{\sqrt{2}} = \dfrac{21.17}{1.414} \approx 14.97$ [V]이다.

기본파·제3고조파·제5고조파에 붙은 위상각 π/3, −π/6 은 실효값에 전혀 영향을 주지 않는다는 점이 핵심이며, 진폭만으로 계산해 약 15[V]를 얻는다.

피상전력은 유효전력과 무효전력의 벡터합의 크기로 구한다.

$P_a = \sqrt{P^2+Q^2} = \sqrt{300^2+400^2} = \sqrt{250000} = 500\mathrm{VA}$

저항과 콘덕턴스가 모두 0일 때 전파정수는 $j\omega\sqrt{LC}$ 가 된다.

전파정수는 $\gamma = \sqrt{ZY}$ 로 정의되는데, R=0, G=0 이면 $Z = j\omega L$, $Y = j\omega C$ 만 남는다.

대입하면 $\gamma = \sqrt{(j\omega L)(j\omega C)} = \sqrt{-\omega^2 LC} = j\omega\sqrt{LC}$ 이다.

실수부인 감쇠정수가 0이고 허수부인 위상정수만 남으므로 감쇠 없이 위상만 지연되는 무손실 선로가 되며, 이때 특성임피던스는 $\sqrt{L/C}$ 인 순저항이 된다.

특성방정식의 근은 -1과 -2이다.

계수행렬이 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$ 이므로 특성방정식은 $|sI - A| = 0$ 으로 구한다.

$sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix}$ 이고 그 행렬식은 $s(s+3) + 2 = s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2)$ 이므로 근은 $s = -1,\ -2$ 이다.

두 근이 모두 s 평면의 좌반면에 있으므로 이 계는 안정하며, 입력행렬은 특성방정식에 관여하지 않는다는 점도 함께 기억해 두면 좋다.

점근선이 실수축과 만나는 점은 -6이다.

점근선의 교차점은 $\sigma = \dfrac{\sum \text{극점} - \sum \text{영점}}{n - m}$ 으로 구하며, 여기서 극점은 $0,\ -5,\ -8$ 로 n=3, 영점은 $-1$ 로 m=1 이다.

대입하면 $\sigma = \dfrac{(0 - 5 - 8) - (-1)}{3 - 1} = \dfrac{-12}{2} = -6$ 이다.

영점의 합을 빼는 부호를 놓치면 -7 이나 -6.5 같은 값이 나오므로 주의해야 한다. 점근선의 개수는 n−m=2개이고 각도는 90°와 270°이다.

추종제어(follow-up control)는 목표값이 시간에 따라 임의로 변화하는 것을 추종하도록 하는 제어로, 위치·방위·자세 등이 대표적인 제어량이다.

유량은 온도·압력·액위 등과 함께 일정한 목표값을 유지하는 프로세스(공정)제어의 대표적인 제어량이므로 추종제어와는 성격이 다르다.

접점 A와 B는 직렬, 그 직렬 조합에 C가 병렬로 연결된 회로이므로 논리식은 AB + C이다.

그림에서 좌측 단자와 우측(하단) 단자 사이는 두 갈래로 나뉘는데, 가운데 가지에는 접점 A 다음에 접점 B가 차례로 놓여 한 줄로 이어지고, 오른쪽 가지에는 접점 C 하나만 놓여 같은 두 점을 잇는다.

계전기 접점회로에서 직렬 접속은 논리곱(AND), 병렬 접속은 논리합(OR)에 대응한다. 즉 'A와 B가 모두 닫히거나' 또는 'C가 닫히면' 회로가 도통되므로 AB + C로 표현된다.

세 접점이 모두 직렬이면 ABC, 모두 병렬이면 A+B+C가 되고, A와 B의 병렬에 C를 직렬로 넣으면 (A+B)C가 되어 그림의 접속 형태와 맞지 않는다.

최종값 정리로 계산하면 정상치는 0.25이다.

주어진 출력은 $C(s)=\dfrac{s+0.5}{s(s^{2}+s+2)}$ 이고, 최종값 정리는 $c(\infty)=\lim_{s \to 0} sC(s)$ 이다.

대입하면 $\lim_{s \to 0} s\cdot\dfrac{s+0.5}{s(s^{2}+s+2)}=\lim_{s \to 0}\dfrac{s+0.5}{s^{2}+s+2}$ 이고,
여기에 $s=0$ 을 넣으면 $\dfrac{0.5}{2}=0.25$ 가 된다.

분모의 $s^{2}+s+2=0$ 근이 모두 좌반평면에 있어 계가 안정하므로 최종값 정리를 그대로 적용할 수 있다. 극점이 우반평면에 있으면 이 정리를 쓸 수 없다는 점도 함께 기억해 둘 만하다.

루스 판별법으로 구한 안정 범위는 0 < K < 6이다.

블록선도는 전향요소 $G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}$ 를 단위 부(−)궤환한 구조이므로 특성방정식은 $s(s+1)(s+2)+K=0$, 전개하면 $s^{3}+3s^{2}+2s+K=0$ 이다.

루스 배열을 세우면 $s^{1}$ 행의 값이 $\dfrac{3\times 2-K}{3}=\dfrac{6-K}{3}$, $s^{0}$ 행의 값이 $K$ 이다.
제1열의 부호가 모두 같아야 안정하므로 $6-K>0$ 과 $K>0$ 을 동시에 만족해야 한다.

따라서 K는 0보다 크고 6보다 작아야 하며, K가 0 이하이거나 6 이상이면 제1열에 부호 변화가 생겨 우반평면 근이 나타나고 계는 불안정해진다.

메이슨 공식으로 정리하면 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{K}{(s+a)(s^{2}+s+0.1K)}$ 이다.

선도의 전향경로는 $\dfrac{1}{s+a}\to\dfrac{1}{s}\to K\to 1$ 하나뿐이므로 $P_{1}=\dfrac{K}{s(s+a)}$ 이다.

귀환루프는 $\dfrac{1}{s}$ 가지를 되돌리는 $L_{1}=\dfrac{1}{s}\times(-s^{2})=-s$ 와 K 가지까지 거쳐 되돌리는 $L_{2}=\dfrac{1}{s}\times K\times(-0.1)=-\dfrac{0.1K}{s}$ 두 개이고 서로 접촉하므로 비접촉 루프 항이 없다.
따라서 $\Delta=1-(L_{1}+L_{2})=1+s+\dfrac{0.1K}{s}=\dfrac{s^{2}+s+0.1K}{s}$ 이다.

전향경로가 두 루프와 모두 접촉해 $\Delta_{1}=1$ 이므로 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{K}{s(s+a)}\div\dfrac{s^{2}+s+0.1K}{s}=\dfrac{K}{(s+a)(s^{2}+s+0.1K)}$ 로 분모에 $s^{2}+s+0.1K$ 가 나타나고 분자는 K만 남는다.

지수함수의 Z변환 공식에 따라 $f(t)=e^{-at}$ 의 Z변환은 $F(z)=\dfrac{z}{z-e^{-at}}$ 이다.

Z변환 정의 $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n}$ 에 대입하면 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{e^{-aT}}{z}\right)^{n}$ 인 무한등비급수가 되고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이다.

즉 분자에 z가 남고 분모의 극점만 $e^{-at}$ 로 이동한 형태다. 분자가 1인 꼴은 급수 합에서 $z^{-1}$ 을 정리하지 않은 것이고, 분모가 $z+e^{-at}$ 나 $z+e^{at}$ 인 꼴은 공비의 부호·지수가 맞지 않는다.

$f(t)=1$ 의 Z변환이 $\dfrac{z}{z-1}$ 인 것과 같은 구조이며, 옛 회차 문항이라 샘플링 주기 T를 따로 쓰지 않고 $e^{-at}$ 로 표기했다.

단위 임펄스 응답은 $\dfrac{1}{2}\sin 2t$ 이다.

전달함수 $G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+2\delta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$ 에 $\omega_{n}=2$, $\delta=0$ 을 대입하면 감쇠항이 사라져 $G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}$ 가 된다.

단위 임펄스 입력은 $R(s)=1$ 이므로 출력은 $C(s)=G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}$ 이고,
공식 $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\right]=\sin\omega t$ 에 맞추어 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{2}+2^{2}}$ 로 고치면 $c(t)=\dfrac{1}{2}\sin 2t$ 이다.

제동비가 0이므로 감쇠 없이 고유각주파수 2[rad/s]로 지속 진동하는 무제동 응답이며, 각주파수가 1/2로 줄어든 형태나 초기값이 최대인 코사인 꼴은 나오지 않는다.

특성방정식 $s^2+2\delta\omega_n s+\omega_n^2=0$의 근의 형태로 제동 형태가 결정되며, 서로 다른 두 실근을 갖는 경우는 감쇠비 $\delta>1$인 과제동에 해당한다.

부족제동($0<\delta<1$)은 공액복소근, 임계제동($\delta=1$)은 중근, 무제동($\delta=0$)은 순허수근을 갖는 경우다.

2차 입력($P_2$), 기계적 출력($P_0=10\mathrm{kW}$), 2차동손($P_{c2}$)은 $P_2 : P_0 : P_{c2} = 1 : (1-s) : s$의 비를 갖는다.

2차입력은 $P_2 = \dfrac{P_0}{1-s} = \dfrac{10}{1-0.048} \approx 10.50\mathrm{kW}$이다.

2차동손은 $P_{c2} = s \times P_2 = 0.048 \times 10.50 \approx 0.5\mathrm{kW}$이다.

동기속도는 $N_s = \dfrac{120f}{p} = \dfrac{120\times50}{4} = 1500\mathrm{rpm}$이다.

회전자 속도는 $N = N_s(1-s) = 1500\times(1-0.04) = 1440\mathrm{rpm}$이다.

신호현시가 열차·차량에 의해 자동으로 제어되면서도 필요할 때 취급자가 조작할 수도 있는 신호기를 반자동의 신호기라 한다.

자동의 신호기는 취급자의 개입 없이 열차 검지에 의해서만 현시가 바뀌고, 수동의 신호기는 취급자의 조작에 의해서만 현시가 바뀐다는 점에서 반자동과 구분된다.

전기 선로전환기에 쓰이는 콘덴서 기동전동기는 기동 시에만 콘덴서로 위상차를 만들어 기동토크를 얻고, 기동이 끝나면 주권선만으로 회전을 유지한다.

따라서 운전 중에 콘덴서 회로가 단선되더라도 전동기는 그대로 계속 회전해 전환 동작을 마친다.

다만 다음 번 기동 때에는 기동토크를 얻지 못해 전환이 되지 않을 수 있으므로 단선은 반드시 복구해야 한다.

사이리스터는 PNPN 4층 구조를 기본으로 하는 스위칭 소자군으로 SCR, TRIAC, SUS(실리콘 단방향 스위치) 등이 여기에 속한다.

다이오드(diode)는 PN 2층 구조의 단순 정류소자로 4층 구조도 아니고 게이트에 의한 턴온 제어 기능도 없으므로 사이리스터에 포함되지 않는다.

철도신호 계전기 중 가장 널리 쓰이는 일반적인 직류 계전기는 선조 계전기로, 여러 조의 정위(N) 접점과 반위(R) 접점을 갖추어 다양한 연동회로 구성에 두루 사용된다.

완동 계전기는 동작에, 완방 계전기는 복귀에 각각 시간지연을 주는 특수 목적의 계전기이고, 시소계전기 역시 특수 용도의 계전기여서 범용 접점 구성용으로 쓰이는 일반 직류 계전기와는 성격이 다르다.

변압기 효율은 입력에 대한 출력의 비($\eta = P_2/P_1$)이므로, 1차 입력은 정격출력을 효율로 나누어 구한다.

$P_1 = \dfrac{P_2}{\eta} = \dfrac{5\mathrm{kW}}{0.962} \approx 5.2\mathrm{kW}$

전동기를 발전기로 동작시켜 회전부의 운동에너지를 전기에너지로 바꾼 뒤 이를 저항에서 열로 소비시켜 제동하는 방식을 발전제동이라 한다.

• 회생제동은 발생한 전기에너지를 열로 버리지 않고 전원측으로 되돌려 재사용한다는 점에서 다르다.
• 맴돌이전류제동은 전동기를 발전기로 쓰는 것이 아니라 도체에 유도되는 맴돌이전류로 제동력을 얻는 방식이다.

직류 분권전동기는 전압이 일정하면 계자전류와 자속 $\Phi$가 일정하므로 토크는 전기자전류에 비례한다($T \propto \Phi I_a$).

따라서 부하토크가 2배가 되면 전기자전류, 즉 부하전류도 2배로 증가한다.

국내 교류 NS형 전기선로전환기는 방진·방수를 위해 고속회전축에 밀폐형(실드형) 볼베어링을 사용하므로, "개방형의 볼베어링을 사용한다"는 설명은 옳지 않다.

보수노력을 줄이기 위한 콘덴서 기동전동기 채용, 수동전환 시의 수동완료 표시장치, 쇄정간·쇄정면의 상하 중첩식 구조 등 나머지 설명은 NS형 선로전환기의 특징과 일치한다.

변압기 내부고장(권선 단락, 절연 파괴 등)이 발생하면 절연유가 국부적으로 가열·분해되면서 가스가 발생하는데, 부흐홀쯔계전기는 이때 발생하는 가스와 유류(油流)를 검출해 동작하므로 변압기 내부고장 보호에 가장 적합하다.

O.C.R(과전류계전기)·역상계전기·접지계전기는 각각 과전류, 역상분(상불평형), 지락사고를 검출하는 계전기로 변압기 내부고장 자체를 직접 검출하는 용도가 아니다.

건널목 전동차단기는 정전 등으로 전원이 없어질 때 자체무게로 차단봉이 내려와 도로를 가로막는 수평 상태가 되어야 열차와 도로 통행자의 충돌을 막을 수 있다(페일세이프 구조).

따라서 "자체무게에 의하여 하강하여 수직을 유지"한다는 설명은 차단봉이 세워진 개방 상태를 뜻하므로 안전 취지에 어긋나 옳지 않다.

전력용(유입식) 변압기의 냉각방식은 절연유의 순환·냉각 방법에 따라 유입 자냉식, 유입 풍냉식, 유입 송유식 등으로 구분된다.

공랭식은 절연유 없이 공기로 직접 냉각하는 건식 변압기의 냉각방식이므로 전력용 유입변압기의 냉각방식 분류에는 포함되지 않는다.

반파정류회로의 직류전압은 변압기 2차 상전압(실효값) $E$와 정류기 내부 전압강하 $e$를 이용해 $E_{dc} = 0.45E - e$로 나타낸다.

$100 = 0.45E - 15 \;\Rightarrow\; E = \dfrac{115}{0.45} \approx 256\mathrm{V}$

변압기의 유기기전력은 $E = 4.44fN\Phi_m$으로 주파수와 자속의 곱에 비례하므로, 같은 전압을 유지하려면 자속밀도는 주파수에 반비례한다.

50Hz일 때의 자속밀도와 60Hz일 때의 자속밀도의 비는 $\dfrac{B_{50}}{B_{60}} = \dfrac{60}{50} = \dfrac{6}{5}$이다.

따라서 50Hz에서의 자속밀도는 60Hz일 때의 6/5배가 된다.

3상 유도전동기의 기동법은 전동기 구조에 따라 달라지는데, 권선형(卷線形) 유도전동기는 회전자 권선에 저항기를 접속해 기동전류를 억제하는 2차 저항 기동법을 사용한다.

• 전전압기동법은 소용량 농형 전동기에 직접 정격전압을 인가하는 방식이다.
• Y-△기동법은 농형 전동기의 고정자 결선을 바꿔 기동전류를 낮추는 방식이다.
• 리액터기동법은 농형 전동기의 1차측에 리액터를 직렬로 넣어 전압을 낮추는 방식이다.

이 세 가지는 모두 농형 유도전동기에 적용되는 기동법이므로 권선형 전동기의 기동법과는 구분된다.

축전지(연축전지) 충전 시 전해액의 온도가 지나치게 낮거나 높으면 화학반응 효율과 수명에 영향을 주므로, 적정 전해액 온도는 20~25℃ 범위로 관리한다.

이보다 낮은 온도에서는 충전 효율이 떨어지고, 높은 온도에서는 전해액 증발과 극판 손상이 촉진되므로 이 범위를 벗어나지 않도록 유지하는 것이 일반적인 기준이다.

선로전환기가 정위 또는 반위로 정지해 있는 평상시에는 무여자 상태를 유지하다가 전환 동작이 이루어질 때만 여자되어 전환 중 쇄정을 거는 계전기가 전철쇄정계전기이다.

이는 전환 도중 외력이나 오조작으로 전환기가 움직이는 것을 막기 위한 안전장치로, 전환이 끝나면 다시 무여자 상태로 복귀한다.

• 전철표시계전기는 전환기의 정위·반위 개통 상태를 표시하는 역할을 한다.
• 전철제어계전기는 전환기의 전환 동작 자체를 제어하는 역할을 한다.
• 전철표시반응계전기는 표시 회로의 응답 상태를 취급하는 계전기로 전환 중 쇄정 기능과는 다르다.

건널목 경보제어거리는 열차 최고속도와 경보시간의 곱으로 산정한다.

속도를 초속으로 환산하면 $150\ \mathrm{km/h} = \dfrac{150 \times 1000}{3600} \approx 41.7\ \mathrm{m/s}$이다.

따라서 경보제어거리는 $41.7\ \mathrm{m/s} \times 30\ \mathrm{s} \approx 1250\ \mathrm{m}$로 산정된다.

열차자동운전장치(ATO)는 운전자를 대신해 정속도 운전 제어, 정위치 정지 제어, 출입문 자동 개폐 제어 등 열차 운행과 직결된 기능을 자동으로 수행하는 장치이다.

반면 수송수요를 판단해 운행 계획을 조정하는 것은 관제·운영 차원의 업무로, 개별 열차에 탑재된 ATO의 기능 범위를 벗어난다.

그림은 신호주 위에 이중 원을 얹고 그 안에 수평 막대를 그린 기호로, 중계 신호기를 나타낸다.

중계 신호기는 주신호기의 현시를 앞서 알려 주는 종속신호기다. 선로가 굽었거나 구조물에 가려 주신호기의 확인거리가 확보되지 않는 곳에서, 앞쪽 주신호기의 상태를 정지중계·제한중계·진행중계로 그대로 옮겨 현시한다.

나머지 기호들은 쓰임이 다르다.

• 원방 신호기: 자동폐색식이 아닌 구간에서 장내 신호기에 종속되어 그 현시를 예고하는 신호기
• 입환 신호기: 입환하는 차량에 대해 진행 여부를 지시하는 주신호기
• 폐색 신호기: 폐색구간의 시·종점에서 열차의 진입 가부를 지시하는 주신호기

옛 회차 문항이므로 출제 당시의 신호기 도식기호 표기를 기준으로 한다.

열차가 진로의 일정 구간을 통과함에 따라 그 구간 내의 선로전환기와 궤도회로에 대한 쇄정을 순차적으로 해정하여, 이미 지나온 구간부터 입환이나 후속열차 취급에 쓸 수 있게 하는 방식을 진로구분쇄정이라 한다.

• 철사쇄정은 열차나 차량이 선로전환기 위에 있는 동안 그 전환기를 전환하지 못하도록 거는 쇄정이다.
• 접근쇄정은 열차가 신호기에 접근한 뒤 신호를 정지로 바꾸더라도 일정 시간 동안 진로를 풀지 못하게 하는 쇄정이다.
• 폐로쇄정은 신호기에 진행을 지시하는 신호가 현시된 동안 그 진로 내의 선로전환기를 전환하지 못하도록 거는 쇄정이다.

이들은 모두 조건이 해소될 때 한꺼번에 풀리는 쇄정인 반면, 열차 통과에 따라 구간별로 순차 해정되는 것이 진로구분쇄정의 특징이다.

UM71 궤도회로에서 송신기와 수신기 사이의 임피던스를 정합시키는 설비는 정합 변성기(matching unit)이며, 특정 주파수에 동조되지 않고 주파수와 무관하게 임피던스 정합 기능만 수행한다.

• 동조 유니트는 인접 궤도회로 간의 간섭을 막기 위해 해당 궤도회로의 주파수에 동조시키는 설비로 주파수에 종속된다.
• 보상용 콘덴서는 레일의 인덕턴스 성분을 보상해 전송 특성을 개선하는 용도이다.
• 공심유도자는 동조 유니트와 함께 전기적 절연이음매를 구성하는 인덕턴스 소자이다.

열차집중제어장치(CTC)의 장점으로 볼 수 없는 것은 고장구간 축소다. CTC는 여러 역의 신호·선로전환기 취급 권한을 한 곳의 중앙사령실로 모으는 설비이므로, 오히려 중앙장치나 전송로에 장애가 생기면 그 영향이 제어 대상 구간 전체로 번진다.

CTC는 사령원이 관제화면(표시반)으로 열차 위치와 진로를 한눈에 보며 직접 진로를 제어하므로, 역마다 사람이 개별 취급할 때보다 취급 착오와 대기 시간이 줄어든다. 그 결과로 얻어지는 이점이 나머지 항목들이다.

• 보안도 향상 — 연동장치와 결합한 집중 제어로 취급자의 오취급 여지가 줄고 진로 감시가 일원화된다.
• 선로용량 증가 — 진로 구성과 교행·대피 지시가 신속해져 열차 운행 간격을 좁힐 수 있다.
• 운전 능률 향상 — 열차 지연 시 실시간으로 운전 정리를 하여 회복 운전이 쉬워지고, 역의 신호취급 인력을 줄일 수 있다.

정리하면 CTC의 이점은 안전도·선로용량·운전능률 쪽에 있고, 고장의 파급 범위는 집중화로 인해 넓어지는 방향이므로 장점으로 제시될 수 없다.

상치신호기는 기능에 따라 주신호기, 종속신호기, 신호부속기로 구분되며, 이 중 열차 운행에 직접적인 정지·진행 지시를 내리는 장내·출발·폐색신호기와 함께 엄호신호기가 주신호기에 해당한다.

• 중계신호기는 주신호기의 현시를 승무원이 잘 볼 수 있도록 중계하는 종속신호기이다.
• 원방신호기는 주신호기의 예고 역할을 하는 종속신호기이다.
• 통과신호기는 신호부속기로서 통과 여부를 보조적으로 알리는 설비이다.

철도신호설비의 Fail-safe 설계는 고장이 나더라도 항상 정지 측(안전 측)으로 동작하도록 구성하는 원칙으로, 폐전로 방식·낙하 시 전원 차단과 계전기 단락·위상제어 방식 등이 이에 해당한다.

반대로 여러 조건을 하나의 선(한선)에 몰아 회로를 구성하면 그 선 하나의 단선·단락이 곧바로 오동작이나 위험 측 고장으로 이어질 수 있어, 조건을 여러 선로로 분산시키는 것이 Fail-safe의 취지에 맞다.

따라서 회로 조건을 한 선에 집중시키는 구성은 Fail-safe 원칙에 해당하지 않는다.

고속철도 선로에서 보수 작업자에게 열차 접근을 미리 알려 대피하도록 하는 설비가 터널경보장치로, 시야와 대피 공간이 제한되는 터널 구간에서 열차 접근을 경보한다.

나머지는 모두 열차 운행을 지장하는 요인을 검지하는 설비 계열이다. 끌림검지장치는 차량 하부에 늘어진 부속물을, 지장물검지장치는 선로 안으로 떨어진 낙하물이나 지장물을 검지하는 설비로 보수자 보호를 목적으로 하지 않는다.

절연이음매를 사이에 둔 두 궤도회로의 전압이 서로 더해져 나타났으므로 인접 궤도회로는 이극성이다.

그림은 두 궤도회로의 경계에서 한쪽 레일의 절연이음매를 단락시켜 건너뛰게 하고, 오른쪽 궤도회로의 레일 사이 전압을 $E_{1}$, 반대쪽 레일의 절연이음매 양단 전압을 $E_{2}$ 로 측정하는 배치다.

두 궤도회로의 극성이 같으면 마주 보는 두 전압이 서로 상쇄되어 $E_{2}$ 가 $E_{1}$ 보다 작게(거의 0에 가깝게) 나오고, 극성이 반대이면 두 전압이 합쳐져 $E_{2}$ 가 $E_{1}$ 보다 높게 나타난다. 측정값이 후자이므로 인접 궤도회로의 극성은 서로 반대다.

인접 궤도회로를 이극성으로 배열하는 이유는 절연이음매가 파손되었을 때 궤도계전기가 낙하해 안전측으로 동작하도록 하기 위해서다. 동극성이면 절연이 깨져도 계전기가 계속 여자되어 열차 검지에 실패할 수 있다.

단선구간의 선로용량은 $N=\dfrac{1440}{T+C}\times f$ 로 표현한다.

단선에서는 한 열차가 역 사이를 완전히 통과한 뒤에야 다음 열차를 보낼 수 있으므로, 열차 한 회가 선로를 점유하는 시간은 역 사이 평균 운행시간 T와 폐색취급시간 C의 합이다.

하루 1,440분을 이 점유시간으로 나누면 이론상 운행 가능한 열차 횟수가 되고, 여기에 선로이용률 f를 곱해 실제 선로용량 N을 얻는다.

구하려는 값은 열차 횟수이므로 좌변이 T로 놓인 식은 성립하지 않고, 분모에 T 대신 이용률 f를 넣으면 시간끼리의 합이 아니게 되어 차원이 맞지 않는다. 옛 회차 문항이므로 출제 당시의 계산식 표기를 기준으로 한다.