그림처럼 무한히 긴 선전하에서 수직으로 $r$만큼 떨어진 P점을 잡고, 그 선을 축으로 하는 반지름 $r$, 길이 $l$인 원통을 가우스면으로 둔다.
전계는 선에 수직인 방사 방향으로만 나오므로 원통의 두 밑면은 기여하지 않고 옆면만 계산에 들어가 $E\cdot 2\pi r l=\frac{\rho_L l}{\varepsilon_0}$가 성립한다.
정리하면 $E=\frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 r}$로, 점전하와 달리 거리에 반비례한다.

전류는 단위 시간당 도체 단면을 지나는 전하량이므로, 1초 동안 지나는 전하는
$Q=It=10\times 1=10$[C]
전자 한 개가 나르는 전하량이 $e=1.602\times 10^{-19}$[C]이므로 개수는
$n=\dfrac{Q}{e}=\dfrac{10}{1.602\times 10^{-19}}=6.24\times 10^{19}$
즉 1초에 약 $6.24\times 10^{19}$개의 전자가 단면을 통과한다.
반지름 5mm는 전류가 이미 주어졌으므로 개수 계산에는 쓰이지 않고, 전자의 이동속도나 전류밀도를 물을 때 필요한 조건이다.

자속밀도 B와 벡터 포텐셜 A 사이에는 $B=\mathrm{rot}\,A$의 관계가 성립하고, 패러데이 법칙에 의해 $\mathrm{rot}\,E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}$이다.
두 식을 결합하면 $\mathrm{rot}\,E=-\mathrm{rot}\dfrac{\partial A}{\partial t}$가 되므로, 전계의 세기는 $E=-\dfrac{\partial A}{\partial t}$로 표현된다.

비투자율 μs가 1보다 작다는 것은 자화율 χ가 음(-)이라는 뜻이고, 이는 외부 자계와 반대 방향으로 자화되는 역(반)자성체의 성질이다.
반대로 χ가 양(+)이면 μs는 1보다 커지므로 χ가 양일 때 역자성체, 음일 때 상자성체라는 대응은 서로 뒤바뀐 것이다. 또한 비자성체는 μs가 1에 가까운 물질이므로 μs가 1보다 큰 경우를 비자성체라 할 수도 없다.

인덕턴스의 정의식 $V=L\dfrac{di}{dt}$에서 인덕턴스의 단위는 전압을 전류의 시간 변화율로 나눈 것으로, 전기저항의 단위인 옴에 시간의 단위인 초를 곱한 것과 같은 차원을 갖는다.
따라서 $\Omega\cdot s$와 같은 단위는 헨리(H)이다.

로렌츠 힘 $F=q(E+v\times B)$를 적용하면, $v\times B$는 주어진 속도와 자속밀도의 외적으로 $15a_x-10a_y+4a_z$가 되고, 여기에 전계를 더한 뒤 전하량 0.2C를 곱하면 힘은 $3a_x-a_y+a_z$로 계산된다.
따라서 점전하에 작용하는 힘은 해당 벡터로 구해진다.

전류밀도는 앙페르 법칙에 의해 자계의 회전(rot H)으로 구해진다.
주어진 자계 성분을 각 좌표에 대해 편미분하여 회전을 계산하면 y성분과 z성분만 남으며, 이를 점 (2,3,5)에서 계산하면 전류밀도는 $5a_y+3a_z$가 된다.

극간 전압이 일정할 때 평행판 콘덴서의 흡인력은 $F = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{V^2}{d^2} A$로 표현된다. 극간 거리 d가 변하면 흡인력이 변한다.
공기 상태에서 극간거리가 d이고 흡인력 $F_1 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \frac{V^2}{d^2} A$이다.
유리판(2d/3 두께, ε_r=10)을 삽입하면 공기층은 d/3이 된다. 이때 유리와 공기를 직렬로 본 유효 유전율을 구하려면 전극-유리-공기-전극 구조에서 $\frac{d}{C} = \frac{d_{glass}}{C_{glass}} + \frac{d_{air}}{C_{air}}$의 관계를 사용한다. 콘덴서의 용량은 $C_2 = \varepsilon_0 A \left(\frac{2d/3}{10} + \frac{d/3}{1}\right)^{-1} = \varepsilon_0 A \left(\frac{d}{15} + \frac{d}{3}\right)^{-1} = \varepsilon_0 A \left(\frac{d + 5d}{15}\right)^{-1} = \frac{15\varepsilon_0 A}{6d} = \frac{5\varepsilon_0 A}{2d}$이다.
유효 극간거리는 $d_{eff} = \frac{V^2 \varepsilon_0 A}{2F_2} \cdot \frac{1}{C_2}$를 역으로 계산하면, 흡인력 $F_2 = \frac{1}{2}\frac{V^2}{(d/15 + d/3)^2} \varepsilon_0 A = \frac{1}{2}\frac{V^2 \varepsilon_0 A}{(6d/15)^2} = \frac{1}{2}\frac{V^2 \varepsilon_0 A}{(2d/5)^2} = \frac{25V^2\varepsilon_0 A}{8d^2}$이다.
따라서 $\frac{F_2}{F_1} = \frac{25V^2\varepsilon_0 A/(8d^2)}{V^2\varepsilon_0 A/(2d^2)} = \frac{25}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{25}{4} = 2.5$이다.

쿨롱의 법칙 $F=\dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$에 주어진 전하량과 거리를 대입하면 힘의 크기는 약 0.4N이 된다.
두 전하의 부호가 서로 다르므로(양전하와 음전하) 작용력은 서로 끌어당기는 흡인력이 된다.

동축 케이블의 내부 도체에 $I$가 흐르면, 앙페르의 주회적분에서 내부 도체와 외부 도체 사이 반지름 $r$인 곳의 자계는
$H=\dfrac{I}{2\pi r}$
외부 도체 바깥에서는 왕복 전류가 상쇄되어 자계가 0이므로, 자속은 반지름 $a$에서 $b$까지의 공간에만 존재한다. 단위 길이당 쇄교 자속은
$\phi=\int_a^b \mu_0 H\,dr=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\int_a^b\dfrac{dr}{r}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$
$L=\dfrac{\phi}{I}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$[H/m]
외부 반지름 $c$는 외부 도체 내부의 자속(도체 두께에 의한 성분)을 따질 때 쓰이는 값이어서 이 식에는 나타나지 않고, $\mu_0$가 분모에 오는 형태는 인덕턴스의 차원이 될 수 없다.

반지름 a인 고립 도체구의 정전용량은 $C=4\pi\varepsilon_0 a$로 주어진다.
이는 도체구 표면 전위 $V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a}$와 전하량 Q의 비로부터 유도되는 기본 공식이다.

그림에서 C₁과 C₂는 서로 병렬이고, 그 병렬 조합이 C₀와 직렬로 a-b 사이에 연결되어 있다.
a-b에서 본 합성 정전용량은 $C=\frac{C_0(C_1+C_2)}{C_0+C_1+C_2}$이므로 전 회로에 실리는 전하는 $Q=CV$이고, 직렬이므로 이 전하가 병렬부에도 그대로 실린다.
따라서 병렬부에 걸리는 전압은 $V_1=\frac{Q}{C_1+C_2}=\frac{C_0}{C_0+C_1+C_2}V$이다.
C₁에 저장되는 에너지는 $W=\frac{1}{2}C_1V_1^2=\frac{C_1V^2}{2}\left(\frac{C_0}{C_0+C_1+C_2}\right)^2$이다.

무한장 직선도체의 자계는 앙페르의 주회적분 $H\cdot 2\pi r=I$ 에서
$H=\dfrac{I}{2\pi r}$
같은 도체·같은 전류이므로 자계는 거리에 반비례한다.
$\dfrac{H_2}{H_1}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{0.1}{0.3}=\dfrac{1}{3}$
$H_2=180\times\dfrac{1}{3}=60$[AT/m]
거리가 3배가 되면 자계는 $\dfrac{1}{3}$이 된다. 거리 제곱에 반비례하는 것은 점전하의 전계나 점자극의 자계이고, 직선 전류는 1승에 반비례한다.

진행파의 전계 성분이 $E_y,\ E_z$ 두 방향으로 주어졌으므로 합성 전계의 진폭은 두 성분의 제곱합의 제곱근으로 구해지며, 계산하면 $5\times10^{-2}$가 된다.
포인팅 벡터의 크기는 $E^2\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}$로 구해지고, 자유공간의 고유임피던스(약 377)를 이용해 계산하면 $6.63\times10^{-6}\sin^2\omega(x-vt)$가 얻어진다.

전기 쌍극자의 전위는 $V=\dfrac{Q\ell\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$로 주어진다.
주어진 값을 대입하면 분자와 분모의 $\pi\varepsilon_0$가 약분되어 전위는 $25\times10^3$[V]로 계산된다.

유도기전력 최대값은 $E_m=N B A \omega$의 관계로 구해진다.
주어진 자속밀도, 면적, 각속도를 이용해 권수 N에 대해 정리하면 약 195회가 되어야 최대값 220V가 얻어진다.

전계가 경계면에 수직이면 경계조건에서 전속밀도의 법선 성분이 연속이므로 양쪽에서 $D$가 같다.
각 유전체의 단위 체적당 정전에너지는
$w=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2=\dfrac{D^2}{2\varepsilon}$
경계면에 작용하는 힘은 양쪽 에너지밀도의 차와 같으므로
$f=\dfrac{D^2}{2\varepsilon_2}-\dfrac{D^2}{2\varepsilon_1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^2$[N/m²]
$\varepsilon_1>\varepsilon_2$ 이므로 값이 양(+)이 되고, 힘은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 작용하는 인장응력이다.
에너지밀도가 $D^2$에 비례하므로 $D$의 1차식은 단위상 $\mathrm{N/m^2}$이 될 수 없다.

와전류에 의한 손실(와류손)은 교번자속의 주파수와 최대자속밀도 각각의 제곱에 비례한다.
따라서 주파수와 최대자속밀도에 단순 비례한다는 서술은 이 관계와 맞지 않아 옳지 않다. 와류손이 히스테리시스손과 함께 철손을 이룬다는 것, 철심을 성층하여 와전류 경로를 끊음으로써 와류손을 줄인다는 것, 단위 체적당 와류손이 W/m³ 단위를 갖는다는 것은 모두 옳은 설명이다.

전속밀도는 가우스 법칙에 의해 자유전하량으로부터 결정되는 벡터량으로, 매질(유전체)의 종류나 유전율에 관계없이 크기가 일정하게 유지된다.
전속은 벡터량이므로 전속밀도도 스칼라가 아닌 벡터이고, 전속밀도의 방향은 전계의 세기와 같은 방향이며, 분극의 세기와는 $D=\varepsilon_0 E+P$ 관계로 서로 다른 값이므로 나머지 서술은 옳지 않다.

미소각 진동은 복원 토크가 각변위에 비례할 때 단진동이 된다.
자기모멘트 $m$인 자석이 자속밀도 $B$ 중에서 $\theta$만큼 기울면 복원 토크는 $T=-mB\sin\theta$이고, 미소진동에서는 $\sin\theta\simeq\theta$이므로 $T\simeq-mB\theta$가 된다.
회전 운동방정식 $I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=T$에 넣으면 $I\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+mB\theta=0$, 즉 각주파수가 $\omega=\sqrt{\dfrac{mB}{I}}$인 단진동이다.
주기는 $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mB}}$이다.
관성모멘트가 클수록 느리게, 자기모멘트와 자속밀도가 클수록 빠르게 진동하므로 근호 안에서 $I$가 분자에 와야 한다.

그림은 상전압 $E,\ aE,\ a^2E$인 세 상이 각각 대지정전용량 $C_a,\ C_b,\ C_c$를 통해 대지로 연결된 Y 회로이므로, 중성점 대지간 전압은 밀만의 정리로 $V_n=\frac{C_aE+C_b aE+C_c a^2E}{C_a+C_b+C_c}$가 된다.
$a=1\angle 120^\circ$를 대입하면 분자를 $E$로 나눈 값의 실수부는 $C_a-\frac{C_b+C_c}{2}$, 허수부는 $\frac{\sqrt{3}}{2}(C_b-C_c)$이고, 이 둘의 제곱합은 $C_a^2+C_b^2+C_c^2-C_aC_b-C_bC_c-C_cC_a$로 정리된다.
따라서 $V_n=\frac{\sqrt{C_a(C_a-C_b)+C_b(C_b-C_c)+C_c(C_c-C_a)}}{C_a+C_b+C_c}E$이며, 세 정전용량이 같으면 이 값이 0이 되어 중성점 전위가 나타나지 않는다.

전력 계통에서 전압은 무효전력과, 주파수는 유효전력과 밀접하게 연관되어 있다.
따라서 전압을 조정하는 가장 보편적인 방법은 발전기 또는 조상설비 등을 통한 계통의 무효전력 조정이다.

폐쇄 배전반은 충전부를 함(box) 내부에 밀폐하여 시설함으로써 취급자나 일반인이 충전부에 직접 접촉하는 것을 방지하는 구조이다.
따라서 폐쇄 배전반을 사용하는 주된 이유는 사람에 대한 감전 사고 방지, 즉 안전 확보에 있다.

송전 계통의 안정도를 높이기 위해서는 송전 가능 최대전력을 늘려야 하므로 계통의 직렬 리액턴스를 감소시켜야 한다.
직렬 리액턴스를 증가시키는 것은 오히려 최대송전전력을 낮추어 안정도를 저하시키므로 안정도 향상 방법이 될 수 없다.

%임피던스로 나타내면 단락전류는 정격전류의 $\dfrac{100}{\%Z}$배가 된다. $\%Z=\dfrac{I_n Z}{E}\times100$이고 단락전류는 $I_s=\dfrac{E}{Z}$이므로 $\dfrac{I_s}{I_n}=\dfrac{E}{I_n Z}=\dfrac{100}{\%Z}$가 나온다.
기준용량이 자기용량 40 MVA로 이미 맞춰져 있으므로 용량 환산 없이 $\%Z=20$을 그대로 넣는다.
$\dfrac{I_s}{I_n}=\dfrac{100}{20}=5$
따라서 고장전류는 정격전류의 5배이다. 전압 66 kV는 %법을 쓰는 과정에서 소거되므로 계산에 등장하지 않는다.

조압수조는 수차의 부하가 급변할 때 발생하는 수격작용에 의한 압력 변동을 흡수하여 완화하는 설비이다.
이를 통해 압력 변동이 그대로 전달되는 것을 막아 수압관로를 보호하는 것이 조압수조의 설치 목적이다.

망상(네트워크) 배전방식은 여러 회선에서 그물망 형태로 전력을 공급하므로 전압변동이 적고, 부하 증가에 대한 융통성이 크며, 한 회선이 고장 나도 다른 경로로 공급이 유지되어 무정전 공급이 가능하다.
그러나 저압측이 서로 연결되어 있어 한 곳을 개방해도 다른 경로에서 계속 전압이 걸리고 사고 시 유입되는 전류도 커지므로, 인축에 대한 감전(접지)사고 위험은 오히려 커진다. 이는 이 방식의 단점이지 장점이 아니다.

충전전류는 선로의 정전용량에 상전압이 걸려 흐르는 진상전류이므로 $I_c=\omega C l\dfrac{V}{\sqrt{3}}$이다. 정전용량은 각 상과 대지 사이에 있으므로 선간전압이 아니라 상전압을 쓰는 것이 핵심이다.
$\omega=2\pi f=2\pi\times60=376.99$ [rad/s]
$Cl=0.01\times10^{-6}\times173.2=1.732\times10^{-6}$ [F]
$\dfrac{V}{\sqrt{3}}=\dfrac{60\times10^3}{\sqrt{3}}=34641$ [V]
$I_c=376.99\times1.732\times10^{-6}\times34641\simeq22.6$ [A]
선간전압 60 kV를 그대로 넣으면 $\sqrt{3}$배인 39 A 부근이 되므로, 상전압으로 나누는 단계를 빠뜨리지 않아야 한다.

원자로의 냉각재는 노심에서 발생한 열을 효율적으로 운반해야 하므로 비열, 즉 열용량이 커야 한다.
열용량이 적으면 같은 열을 흡수하는 데 필요한 냉각재의 순환량이 늘어나 비효율적이므로, 열용량이 적을 것이라는 조건은 냉각재가 갖추어야 할 조건으로 옳지 않다.

매설지선은 철탑 기초 부근의 지중에 방사상으로 매설하는 도선으로, 접지봉만으로는 탑각 접지저항을 목표값까지 낮추기 어려울 때 접지저항을 추가로 낮추어 역섬락을 방지하기 위해 사용한다.
가공지선은 뇌격을 직접 차폐하기 위한 설비이고, 크로스 본드선은 케이블 금속시스에 흐르는 순환전류를 줄이기 위한 것이며, 차폐선은 통신선에 대한 유도장해를 줄이기 위한 것이므로 탑각 접지저항 저감과는 용도가 다르다.

그림에서 전압파는 $Z_1$ 선로를 따라 A에서 B로 진행하고, B점을 지나면 선로가 C쪽 $Z_2$와 D쪽 $Z_3$로 갈라지므로 두 선로는 B에서 볼 때 병렬이다.
반사계수 $\rho=\frac{Z_0-Z_1}{Z_0+Z_1}$이 0이어야 무반사이므로, 진행해 온 선로의 임피던스 $Z_1$이 B에서 본 합성 임피던스 $Z_0=\frac{Z_2Z_3}{Z_2+Z_3}$와 같아야 한다.
이 조건을 역수로 쓰면 $\frac{1}{Z_1}=\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3}$이다.

섹셔널라이저는 그 자체로는 고장전류를 차단하는 능력이 없어, 반드시 후비보호 장치인 리클로저와 같은 차단기능을 가진 장치와 직렬로 조합하여 사용해야 한다.
리클로저의 동작 횟수를 계수하여 정정된 횟수에 도달하면 무전류 상태에서 개방되어 고장 구간을 분리하는 방식으로 동작한다.

다중접지 3상 4선식 배전선로에서 고압측 중성선과 저압측 중성선을 전기적으로 연결하는 것은, 변압기의 고저압 혼촉사고가 발생했을 때 저압측에 침입하는 이상전압(상승전압)을 대지로 방류시켜 억제하기 위한 목적이다.
이를 통해 수용가 설비에 위험한 고전압이 유입되는 것을 방지한다.

%임피던스는 기기 용량을 기준으로 한 상대적인 비율로 나타내는 무차원량으로, 변압기나 동기기뿐만 아니라 선로 등 전력계통을 구성하는 여러 기기에 공통적으로 적용할 수 있는 개념이다.
따라서 변압기나 동기기의 내부 임피던스에만 사용할 수 있다는 서술은 옳지 않다.

전압 변동률은 부하를 끊었을 때(무부하) 수전단 전압이 전부하 수전단 전압에서 얼마나 올라가는지를, 전부하 수전단 전압을 기준으로 본 값이다.
$\varepsilon=\dfrac{V_{r0}-V_{r}}{V_{r}}\times100$
무부하 수전단 전압 $V_{r0}=63$ kV, 전부하 수전단 전압 $V_{r}=60$ kV이므로
$\varepsilon=\dfrac{63-60}{60}\times100=5.0$ [%]
기준(분모)은 송전단 전압이 아니라 전부하 수전단 전압이며, 송전단 전압 66 kV는 전압 강하율을 구할 때 쓰이는 값이라 이 계산에는 들어가지 않는다.

피뢰기의 직렬 갭은 평상시에는 절연을 유지하여 상용주파 전류가 흐르지 않도록 하다가, 이상전압이 내습하면 방전을 개시하여 뇌전류를 대지로 흘려보내고, 방전이 끝난 뒤에는 뒤따르는 상용주파 속류를 차단하여 원래의 절연 상태로 복귀시킨다.
뇌전류 방전 시의 전위상승(제한전압)을 억제하는 것은 직렬 갭이 아니라 비직선 저항 특성을 갖는 특성요소의 역할이며, 피뢰기는 이상전압의 진행파를 증가시키지도, 상용주파 전류를 상시 방전시키지도 않는다.

전력선과 통신선로 사이에는 상호인덕턴스가 존재하며, 지락사고가 발생하면 영상전류가 크게 증가하여 이 상호인덕턴스를 통해 통신선로에 큰 유도전압이 발생한다.
이것이 전자유도장해가 발생하는 주된 원인이며, 전력선과 통신선 사이의 상호인덕턴스가 감소하면 오히려 유도장해는 줄어드므로 반대되는 설명이다.

콘덴서가 공급해야 할 용량은 역률 개선 전후 무효전력의 차이다. $Q=P\tan\theta$이고 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta}$이므로 $Q_c=P(\tan\theta_1-\tan\theta_2)$이다.
개선 전: $\cos\theta_1=0.75$, $\sin\theta_1=\sqrt{1-0.75^2}=0.6614$, $\tan\theta_1=\dfrac{0.6614}{0.75}=0.8819$
개선 후: $\cos\theta_2=0.93$, $\sin\theta_2=\sqrt{1-0.93^2}=0.3676$, $\tan\theta_2=\dfrac{0.3676}{0.93}=0.3952$
$Q_c=3000\times(0.8819-0.3952)=3000\times0.4867\simeq1460$ [kVA]
유효전력 3000 kW는 콘덴서를 달아도 변하지 않고, 무효전력만 줄어든다.

배전계통에 전력용 콘덴서를 설치하면 부하의 지상 무효전력을 보상하여 역률이 개선되고, 이에 따라 선로에 흐르는 전류가 감소한다.
전류 감소로 인해 배전선의 저항 손실이 줄어들고 전압강하도 감소하므로, 콘덴서 설치의 주된 목적은 배전선의 전력손실 감소이다.

역률 개선용 콘덴서로 동일한 무효전력(kVar)을 얻으려 할 때, Y결선은 각 상에 걸리는 전압이 선간전압의 $1/\sqrt{3}$배로 낮아지므로 같은 무효전력을 내려면 더 큰 정전용량이 필요하다.
따라서 Δ결선의 정전용량은 Y결선의 정전용량에 비해 1/3에 불과하다.

유도전동기의 2차 여자법에서, 2차 유도기전력과 같은 위상으로 전압을 가하면 속도 제어에 관여하고, 위상을 90도 어긋나게 가하면 무효전력 성분을 조정하여 역률을 제어할 수 있다.
따라서 2차 유도기전력보다 위상을 90도 빠르게 한 전압을 가하면 진상 무효전력을 공급하는 효과가 나타나 역률이 개선된다.

효율은 $\eta=\dfrac{P_{in}-P_{loss}}{P_{in}}\times100$으로 구한다. 손실을 항목별로 모은다.
입력 $P_{in}=200\times46=9200$ [W]
계자전류 $I_f=\dfrac{200}{100}=2$ [A], 계자손 $=200\times2=400$ [W]
전기자전류 $I_a=46-2=44$ [A], 전기자 동손 $=44^2\times0.25=484$ [W]
브러시 접촉 손실 $=2\times44=88$ [W]
철손과 마찰손 $=380$ [W]
표유부하손 $=0.01\times10\times746=74.6$ [W]
총 손실 $=400+484+88+380+74.6=1426.6$ [W]
$\eta=\dfrac{9200-1426.6}{9200}\times100=\dfrac{7773.4}{9200}\times100\simeq84.5$ [%]
분권기이므로 계자전류가 전부하 전류에서 갈라져 나가고, 전기자 동손과 브러시 강하는 전기자전류 44 A로 계산해야 한다.

서보모터는 빈번한 시동, 정지, 역전에 견디도록 견고해야 하고 큰 돌입전류를 견뎌야 하며, 회전부의 관성모멘트가 작고 전기적 시정수가 짧아 응답이 빨라야 하고, 발생 토크가 입력신호에 비례해야 한다.
다만 시동 토크는 일반적으로 직류 서보모터가 교류 서보모터보다 크므로, 교류 서보모터의 시동 토크가 직류 서보모터보다 매우 크다는 서술은 옳지 않다.

전원의 극성을 바꾸는 것은 역전제동(플러깅)에 대한 설명으로, 전원을 반대로 걸어 역토크를 발생시켜 급제동하는 방식이다.
회전자의 운동 에너지를 전기 에너지로 바꿔 저항에서 열로 소비시키는 것과, 복권 전동기에서 직권 계자 권선의 접속을 반대로 하는 것은 모두 발전제동에 대한 설명이다. 복권기는 발전제동으로 전환하면 전기자 전류의 방향이 반대가 되어 직권 계자가 감자 작용을 하므로, 접속을 반대로 해 자속을 유지해야 제동이 성립한다.

저항 부하 단상 반파 위상제어 정류회로의 평균 출력전압은 $V_{avg}=\dfrac{V_m}{2\pi}(1+\cos\alpha)$로 주어진다.
점호각이 0°일 때는 $1+\cos0^\circ=2$, 60°일 때는 $1+\cos60^\circ=1.5$이므로 그 비는 $\dfrac{1.5}{2}=\dfrac{3}{4}$가 되어 원래 전압의 3/4배로 줄어든다.

동기 발전기의 병렬운전 조건은 기전력의 크기·위상·주파수·파형이 같아야 한다는 것이며, 이 조건만 맞으면 극수나 회전수가 다른 발전기끼리도 병렬운전이 가능하다.
회전수는 $N_s=\dfrac{120f}{P}$로 극수에 따라 달라지는 값이어서, 주파수만 같으면 회전수가 서로 달라도 무방하므로 고려하지 않아도 되는 조건이다.

무효순환전류는 두 발전기의 기전력 크기가 서로 달라질 때 그 차전압이 거의 순리액턴스 회로에 걸려 흐르는 전류이며, 여자전류를 조정하면 기전력의 크기가 달라지므로 그 원인이 된다.
부하의 증감이나 원동기 출력변화는 기전력의 크기가 아니라 위상을 어긋나게 하므로, 위상을 되맞추려는 유효순환전류(동기화전류)의 원인이 되어 무효순환전류와는 구분된다.

전압 변동률은 2차 무부하 전압과 2차 전부하 전압의 차를 전부하 전압 기준으로 본 값이다.
$\varepsilon=\dfrac{V_{20}-V_{2n}}{V_{2n}}\times100$에서 $V_{20}=V_{2n}(1+\varepsilon)=100\times(1+0.04)=104$ [V]
1차 단자전압은 이 무부하 2차 전압을 권수비 $a=20$으로 환산한 값이므로
$V_1=a\,V_{20}=20\times104=2080$ [V]
전부하 2차 전압 100 V를 그대로 환산하면 2000 V가 되는데, 이는 내부 전압강하분이 빠진 값이라 1차 단자전압이 아니다.

저항제어는 권선형 유도전동기의 2차 회로에 가변저항을 넣어 비례추이 원리로 슬립을 바꾸는 방식으로, 조작이 간단하고 속도 조정이 원활한 대신 저항에서 손실이 생겨 효율이 나쁘고 속도 조정 범위도 넓지 못하다.
농형 유도전동기는 회전자가 단락 도체로 되어 있어 슬립링을 통해 외부저항을 넣을 수 없으므로 2차 저항제어 자체를 적용할 수 없고, 따라서 저항제어와 관계가 없다.

여자회로는 인가전압 $V_1$이 걸리고 여자전류 $I_0$가 흐르는 병렬 회로이므로, 어드미턴스의 정의 $Y=\dfrac{I}{V}$를 그대로 적용한다.
$Y_0=\dfrac{I_0}{V_1}$
여자전류는 철손전류와 자화전류의 벡터합 $\dot{I_0}=\dot{I_i}+\dot{I_\phi}$이고, 이에 대응해 어드미턴스도 $\dot{Y_0}=g_0-jb_0$로 분해된다. 여기서 $g_0=\dfrac{I_i}{V_1}$는 컨덕턴스, $b_0=\dfrac{I_\phi}{V_1}$는 서셉턴스이므로 이 둘은 어드미턴스 전체가 아니라 그 성분이다.
컨덕턴스를 다시 전압으로 나눈 형태는 단위부터 어드미턴스가 되지 않는다.

단상 직권 정류자 전동기의 입력은 저항손과 속도기전력이 담당하는 전력으로 나뉜다. 브러시가 중성축에 있고 철손을 무시하므로, 입력에서 빼야 할 손실은 전기자와 직권 계자의 저항손뿐이다.
입력 $P_{in}=VI\cos\theta=100\times1\times0.85=85$ [W]
저항손 $P_r=I^2r=1^2\times40=40$ [W]
속도기전력이 담당하는 전력 $EI=85-40=45$ [W]
$E=\dfrac{45}{I}=\dfrac{45}{1}=45$ [V]
속도 7500 rpm과 극수 2, 주파수 60 Hz는 자속과 회전수의 관계를 따질 때 쓰이는 값이고, 속도기전력의 크기 자체는 위 전력 수지만으로 정해진다.

퍼센트 리액턴스 강하는 정격전류가 누설 리액턴스에 만드는 전압강하를 정격전압에 대한 비로 나타낸 값이다.
$\%X=\dfrac{I_{1n}X}{V_{1n}}\times100$
1차 정격전류 $I_{1n}=\dfrac{10\times10^3}{2000}=5$ [A]이고, 1차로 환산한 리액턴스는 $X=7$ [$\Omega$]이다.
$\%X=\dfrac{5\times7}{2000}\times100=\dfrac{35}{2000}\times100=1.75$ [%]
같은 방식으로 저항분은 $\%R=\dfrac{5\times6.2}{2000}\times100=1.55$ [%]가 된다. 백분율로 만드는 $\times100$을 빠뜨리면 0.0175가 나오므로 마지막 단계를 확인해야 한다.

농형 유도전동기는 회전자 권선이 자체 단락되어 있고 슬립링이 없어, 회전자 회로에 외부 저항이나 전압을 넣어야 하는 2차 저항제어·2차 여자제어, 그리고 회전자끼리 접속하는 종속제어를 적용할 수 없다.
대신 고정자 권선의 접속을 바꿔 극수를 변화시키면 동기속도 자체가 계단적으로 바뀌므로, 극수제어법이 농형 유도전동기의 속도제어에 주로 사용된다.

동기전동기는 계자 여자전류를 따로 조정할 수 있어 역률을 1로 맞추거나 진상역률로도 운전할 수 있으므로, 제시된 전동기 중 역률이 가장 우수하다.
농형 유도전동기와 반발기동 전동기는 자속을 만드는 여자전류를 전원에서 받아야 하므로 항상 지상역률로 운전되고, 교류 정류자 전동기는 정류자를 통해 역률을 어느 정도 개선할 수 있으나 동기전동기처럼 역률을 임의로 조정하지는 못한다.

분포권으로 감으면 슬롯마다 기전력의 위상이 조금씩 달라 합성 기전력이 집중권보다 작아진다. 슬롯 간 전기각을 $\alpha=\dfrac{180^\circ}{mq}$라 하면, 크기가 같고 $\alpha$씩 벌어진 $q$개 벡터의 합과 산술합의 비가 분포계수이다.
$K_d=\dfrac{\sin\dfrac{q\alpha}{2}}{q\sin\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\sin\dfrac{180^\circ}{2m}}{q\sin\dfrac{180^\circ}{2mq}}$
상수 $m=3$, 매극 매상당 슬롯수 $q=4$이므로
$K_d=\dfrac{\sin30^\circ}{4\sin7.5^\circ}=\dfrac{0.5}{4\times0.1305}=\dfrac{0.5}{0.522}\simeq0.958$
필요한 각은 $\dfrac{180^\circ}{2m}=30^\circ$와 $\dfrac{180^\circ}{2mq}=7.5^\circ$ 둘뿐이므로, 제시된 나머지 사인값은 쓰이지 않는다.

단락비가 크면 동기 리액턴스가 상대적으로 작아지고 전기자 반작용의 영향도 줄어들어, 부하전류에 의한 전압강하가 작아지므로 전압변동률이 작아진다.
반대로 동기 리액턴스나 전기자 반작용이 크면 부하가 걸릴 때 단자전압이 크게 떨어져 전압변동률이 커지고, 자기여자작용이 크다는 것도 단락비가 작은 기계의 특징이므로 전압변동률을 작게 하는 조건이 아니다.

유도전동기의 토크는 공극 자속과 2차 전류의 곱으로 정해지고 둘 다 인가전압에 비례하므로, 슬립이 같으면 토크는 전압의 제곱에 비례한다. $T\propto V^2$
전전압 $V$로 기동할 때의 토크가 $T(V)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}T_n$로 주어졌다.
기동 보상기로 전압을 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$로 낮추면 토크는 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\dfrac{1}{3}$배가 되므로
$T=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}T_n=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}T_n$
전압을 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$로 낮췄다고 토크가 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$배가 되는 것이 아니라, 제곱인 $\dfrac{1}{3}$배가 된다.

3상 유도전동기에서 2차 입력·2차 동손·기계적 출력은 $P_2:P_{c2}:P_o=1:s:(1-s)$의 비를 가진다.
따라서 2차 동손은 $P_{c2}=sP_2$이며, 슬립이 클수록 2차측에서 열로 버려지는 몫이 커진다.

GTO는 게이트에 역방향(음극성) 전류를 흘리면 유지전류를 부하전류보다 높게 끌어올려 도통을 스스로 끊을 수 있으므로, 게이트 조작만으로 턴온과 턴오프가 모두 가능하다.
SCR과 LASCR은 게이트(또는 빛)로 턴온만 가능하고 끄려면 주회로 전류를 유지전류 이하로 떨어뜨려야 하며, TRIAC은 양방향 도통이 가능할 뿐 게이트로 턴오프하지는 못한다.

그림에서 1차 600 V 권선과 2차 120 V 권선의 극성 표시(점)가 모두 위쪽 단자에 있고, 그 두 위쪽 단자가 도선으로 이어져 하나의 공통점을 이룬다.
전원 600 V는 1차 권선 양단에 걸리고, 출력단자는 2차 권선의 아래쪽 단자와 1차 권선의 아래쪽(N) 단자 사이에서 나오도록 배선되어 있다.
1차 아래 단자를 기준으로 하면 공통점은 600 V이고 2차 아래 단자는 극성이 같으므로 공통점보다 120 V 낮으므로, 출력전압은 $V_{1n}-V_{2n}=600-120=480$ [V]이다.
즉 두 권선의 기전력이 서로 빼지도록 직렬로 이은 단권변압기 접속이다.

$z$변환은 샘플링한 수열에 대해 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$로 정의된다. 정의에 직접 넣어 본다.
$F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-akT}z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT}z^{-1}\right)^{k}$
공비가 $e^{-aT}z^{-1}$인 등비급수이므로 공비의 크기가 1보다 작은 영역에서
$F(z)=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$
보기에서는 샘플링 주기를 생략해 $\dfrac{z}{z-e^{-at}}$로 적은 형태이다. 분자가 1이 아니라 $z$인 점이 핵심이며, $a=0$을 넣으면 단위계단의 $z$변환 $\dfrac{z}{z-1}$이 되어 검산도 맞는다.

그림의 전향경로는 $\frac{1}{s+1}$, $\frac{1}{s+2}$, $\frac{1}{s+3}$이 직렬이고 되먹임 경로에 $K$가 있으며 가합점 부호가 음이므로, 특성방정식은 $(s+1)(s+2)(s+3)+K=0$, 즉 $s^3+6s^2+11s+6+K=0$이다.
라우스표를 만들면 $s^1$행의 값이 $\frac{6\cdot 11-(6+K)}{6}=\frac{60-K}{6}$, $s^0$행의 값이 $6+K$이다.
제1열이 모두 양이어야 안정하므로 $K<60$이고 $K>-6$, 따라서 $-6$

곱의 형태 그대로는 변환표에 없으므로 배각 공식으로 단일 정현파로 바꾼다. $\sin2t=2\sin t\cos t$이므로
$f(t)=\sin t\cos t=\dfrac{1}{2}\sin2t$
$\mathcal{L}\left[\sin\omega t\right]=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$에 $\omega=2$를 넣고 계수를 곱하면
$F(s)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{s^2+2^2}=\dfrac{1}{s^2+2^2}$
앞의 $\dfrac{1}{2}$와 분자의 $\omega=2$가 상쇄되어 분자가 1로 남고, 분모의 각주파수는 1이 아닌 2가 된다.

그림은 입력이 $P$를 먼저 지난 뒤 가합점에서 바깥 신호와 합쳐지는 구조이므로, 입력을 $X$, 바깥 신호를 $Y$라 하면 출력은 $P\,X\pm Y$이다.
가합점을 $P$ 앞으로 옮기려면 바깥 신호가 $\frac{1}{P}$를 거쳐 들어와야 하며, 이때 출력은 $P\left(X\pm\frac{Y}{P}\right)=P\,X\pm Y$로 원래와 같아진다.
따라서 가합점이 $P$ 앞에 놓이고 바깥 신호 경로에 $\frac{1}{P}$가 삽입되며 부호도 그림과 같은 것이 등가 블록선도다.

자동제어계에서 제어요소는 동작신호를 받아 제어대상에 가할 조작량으로 바꾸는 부분이며, 동작신호를 증폭·연산하는 조절부와 그 결과를 실제 조작량으로 내보내는 조작부로 구성된다.
검출부는 제어량을 측정해 피드백하는 요소이고 비교부는 목표값과 검출값의 차를 만드는 요소로, 둘 다 제어요소 바깥에 있는 별개의 구성 부분이다.

그림에서 입력 PBS₁을 누르면 타이머 코일 T가 여자되는 동시에, 한시동작 b접점 T를 통해 릴레이 A도 여자된다.
A가 여자되면 A의 a접점이 닫혀 PBS₁을 대신하는 자기유지가 걸리고, 오른쪽 A 접점을 통해 부하 L이 동작한다.
설정시간이 지나 T의 한시접점이 열리면 A가 소자되어 자기유지가 풀리고 T까지 함께 복귀하여 회로는 스스로 원래 상태로 돌아간다.
순간적인 입력 하나에 대해 정해진 시간만 출력을 내고 안정 상태로 복귀하므로 단안정 회로다.

상승시간은 응답이 최종값의 10%에서 90%까지 도달하는 데 걸리는 시간으로 정의된다.
지연시간은 최종값의 50%에 처음 도달하는 시간, 정정시간은 응답이 허용오차 범위 안에 들어와 머무르는 데 걸리는 시간을 뜻하므로 서로 다른 지표다.

근궤적은 이득 $K$를 0에서 무한대까지 변화시킬 때 특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$의 근이 그리는 자취이므로, 그 개수는 특성방정식의 차수, 즉 극점 수와 영점 수 중 큰 쪽과 같다.
$G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+4)(s+5)}$에서 극점은 $s=0,\;-4,\;-5$의 3개이고 유한 영점은 없다.
특성방정식은 $s(s+4)(s+5)+K=0$으로 3차이므로 근이 항상 3개이고, 근궤적의 가지도 3개이다.
참고로 무한대로 발산하는 점근선의 수는 $p-z=3-0=3$으로 이 문제에서는 같은 값이 된다.

그림의 회로는 $v_i(t)$가 R과 C의 직렬에 가해지고 C 양단이 $v_0(t)$인 구조이므로, 초기값이 0이면 $I(s)=\frac{1}{R}V_i(s)-\frac{1}{R}V_0(s)$이고 $V_0(s)=\frac{1}{Cs}I(s)$이다.
따라서 $V_i$에서 $I$로 가는 이득이 $\frac{1}{R}$, $I$에서 $V_0$로 가는 이득이 $\frac{1}{Cs}$, $V_0$에서 $I$로 되돌아오는 되먹임 이득이 $-\frac{1}{R}$인 선도가 맞다.
이 선도에 메이슨 공식을 적용하면 $\frac{V_0}{V_i}=\frac{\frac{1}{RCs}}{1+\frac{1}{RCs}}=\frac{1}{RCs+1}$로 회로의 전달함수와 일치한다.

$G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}=\frac{K}{-\omega^2+j\omega}$의 분모를 유리화하면 $G(j\omega)=-\frac{K}{1+\omega^2}-j\frac{K}{\omega(1+\omega^2)}$이다.
$K>0$이므로 $\omega>0$인 전 구간에서 실수부와 허수부가 모두 음이어서 궤적은 제3사분면에만 그려진다.
$\omega\to 0$에서는 실수부가 $-K$에 가까워지면서 허수부가 $-\infty$로 내려가고, $\omega\to\infty$에서는 원점으로 수렴하므로 제3사분면에서 원점으로 들어오는 곡선이 맞다.

대칭 $n$상에서 이웃한 상전류의 위상차는 $\dfrac{2\pi}{n}$이다. 다각형(환상) 결선에서 선전류는 한 절점에서 만나는 두 상전류의 차이므로 $\dot{I_l}=\dot{I_p}-\dot{I_p}\angle\!\left(-\dfrac{2\pi}{n}\right)$이다.
크기가 같고 $\dfrac{2\pi}{n}$만큼 벌어진 두 벡터가 만드는 이등변삼각형에서, 차 벡터는 원래 상전류보다 $\dfrac{1}{2}\left(\pi-\dfrac{2\pi}{n}\right)$만큼 앞선 방향을 가진다.
정리하면 $\theta=\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$ [rad]
검산으로 $n=3$을 넣으면 $\dfrac{\pi}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{\pi}{6}$, 곧 삼상 델타결선의 30°가 나온다. 같은 벡터도에서 크기 관계 $I_l=2\sin\dfrac{\pi}{n}\,I_p$도 얻어진다.

그림의 파형은 주기가 $\pi$이고, 앞의 $\pi/2$ 구간은 0에서 5까지 직선으로 오르는 톱니, 뒤의 $\pi/2$ 구간은 $-5$로 일정하다.
앞 구간의 순시값이 $v=\frac{10t}{\pi}$이므로 $V^2=\frac{1}{\pi}\left[\int_0^{\pi/2}\left(\frac{10t}{\pi}\right)^2dt+\int_{\pi/2}^{\pi}5^2dt\right]$이고, 두 적분값은 각각 $\frac{25\pi}{6}$와 $\frac{25\pi}{2}$이다.
따라서 $V^2=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{100\pi}{6}=\frac{100}{6}$이므로 실효값은 $\frac{10}{\sqrt{6}}$이다.

위상차를 보려면 두 파형을 같은 함수로 맞춰야 하므로, 전류를 코사인 기준으로 바꾸면 $i=-2\sin(3t+10^\circ)=2\cos(3t+10^\circ+90^\circ)=2\cos(3t+100^\circ)$가 된다.
전압 $v=3\cos3t$의 위상은 0°이므로 두 파형의 위상차는 100°이다.

그림의 파형은 $t \lt a$에서 값이 0이고, $t=a$에서 1로 뛰어오른 뒤 계속 1을 유지한다.
이는 기본 단위 계단 $u(t)$를 시간축에서 오른쪽으로 $a$만큼 평행이동한 것이므로 $f(t)=u(t-a)$이다.
$u(t)$는 $t=0$에서 올라가고, $u(a-t)$는 $t \lt a$에서 1이었다가 $t \gt a$에서 0이 되어 그림과 반대이며, $-u(t-a)$는 $t \gt a$에서 $-1$이 되므로 그림과 맞지 않는다.