무한장 솔레노이드 내부의 자계는 위치에 관계없이 일정하고, 단위 길이당 권수를 $n$ 이라 하면 $H=nI$ 이다.
단면적 $S=\pi a^2$ 를 지나는 자속은
$\phi=\mu HS=\mu nI\pi a^2$
길이 1 m 구간에는 권선이 $n$ 회 있으므로 그 구간의 쇄교 자속수는
$N\phi=n\cdot\mu nI\pi a^2=\mu\pi a^2n^2I$
따라서 단위 길이당 자기인덕턴스는
$L=\dfrac{N\phi}{I}=\mu\pi a^2n^2\,[\mathrm{H/m}]$
권수의 제곱에 비례하고 단면적(반지름의 제곱)에 비례하는 것이 특징이다.

그림은 반지름 r인 반원 형태의 선전하이다. 미소 길이 $dl=r\,d\theta$가 갖는 전하 $\rho r\,d\theta$가 중심에 만드는 전계는 $dE=\frac{\rho r\,d\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0 r}d\theta$이다.
반원의 대칭축에 수직인 성분은 좌우가 서로 상쇄되고 대칭축 방향 성분 $dE\sin\theta$만 남는다.
따라서 $E=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0 r}\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0 r}\times 2=\frac{\rho}{2\pi\epsilon_0 r}$[V/m]이다.
선전하이므로 $r^2$이 아니라 r의 1승만 분모에 남는다.

역자성체(반자성체)는 외부 자계를 걸었을 때 자화가 자계와 반대 방향으로 생겨 내부 자속이 오히려 줄어드는 물질이다.
즉 자화율이 음(-)이 되므로 비투자율은 $\mu_s \lt 1$인 값을 갖는다. 상자성체는 1보다 조금 크고, 강자성체는 1보다 훨씬 크다.

표피효과는 도체 내부에서 발생하는 유도기전력이 중심부의 전류를 방해하여 전류가 표면으로 몰리는 현상이며, 침투깊이는 $\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$로 주어진다.
따라서 도전율 σ, 투자율 μ, 주파수가 클수록 침투깊이가 얕아져 표피효과는 커진다. σ나 μ, 비투자율이 클수록 작아진다는 설명은 반대이며, 주파수가 높을수록 커진다는 설명이 옳다.

자기회로와 전기(도전)회로를 대응시키면 기자력은 기전력에, 자속은 전류에, 자기저항은 전기저항에, 자계의 세기는 전계의 세기에 각각 대응한다.
자속밀도와 자계의 관계식 $B=\mu H$는 전류밀도와 전계의 관계식 $J=\sigma E$에 대응하므로 투자율에 대응하는 것은 도전율이며, 유전율은 정전계에서 $D=\varepsilon E$로 대응하는 양이다. 따라서 투자율과 유전율을 대응시킨 것은 틀렸다.

자화의 세기는 자계의 세기에 비례하므로 $J=\chi H$ 이다. 자속밀도는 진공 성분과 자화 성분의 합이므로
$B=\mu_0H+J=\mu_0H+\chi H=(\mu_0+\chi)H=\mu H$
이 관계에서 $\mu=\mu_0+\chi$ 와 $B=\mu H$ 가 함께 나오고, 양변을 $\mu_0$ 로 나누면 $\mu_s=\dfrac{\mu}{\mu_0}=1+\dfrac{\chi}{\mu_0}$ 도 성립한다.
반면 $J=\chi B$ 는 $J=\chi H$ 와 어긋나 성립할 수 없다. $\chi$ 가 투자율과 같은 단위를 가지므로 $\chi B$ 는 자화의 세기 단위 $[\mathrm{Wb/m^2}]$ 가 되지 않는다. 굳이 $B$ 로 나타내면 $J=B-\mu_0H=B-\dfrac{\mu_0}{\mu}B=\left(1-\dfrac{1}{\mu_s}\right)B$ 이다.

분극의 세기는 전속밀도에서 진공 성분을 뺀 것으로 정의된다.
$P=D-\varepsilon_0E$
유전체 안에서는 $D=\varepsilon_0\varepsilon_rE$ 이므로 $E=\dfrac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$ 이고, 이를 대입하면
$P=D-\varepsilon_0\cdot\dfrac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r}=D\left(1-\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)$
$\varepsilon_r>1$ 이므로 $P$ 는 항상 $0$ 과 $D$ 사이의 값이 되어야 한다. $D(\varepsilon_r-1)$ 이나 $D(\varepsilon_r+1)$ 처럼 $D$ 보다 커지는 식은 이 조건에 맞지 않는다.

그림의 자기회로는 비투자율 $\mu_s$인 철심 부분(길이 $l_2$)과 공극 부분(길이 $l_1$)이 직렬로 이어져 있고, 단면적 S가 같으므로 자속밀도 B는 두 구간에서 동일하다.
공극의 자계는 $H_1=\frac{B}{\mu_0}$, 철심의 자계는 $H_2=\frac{B}{\mu_0\mu_s}$이다.
기자력은 각 구간의 자계와 길이의 곱을 더한 값이므로 $F=H_1l_1+H_2l_2=\frac{B}{\mu_0}l_1+\frac{B}{\mu_0\mu_s}l_2$이다.
정리하면 $F=\frac{B}{\mu_0}\left(l_1+\frac{l_2}{\mu_s}\right)$[AT]이다.

자화율은 $\chi=\mu-\mu_0$로 정의되고 자화의 세기가 $J=\chi H$이므로, 자계의 세기부터 구한다.
$H=\dfrac{J}{\chi}=\dfrac{8\times10^{3}}{0.02}=4\times10^{5}$ [A/m]
자속밀도는 진공 성분과 자화 성분의 합이다.
$B=\mu_0H+J=4\pi\times10^{-7}\times4\times10^{5}+8\times10^{3}$
$=0.503+8000\approx8\times10^{3}$ [T]
진공 성분 $\mu_0H\approx0.5$는 $J=8000$에 비하면 무시할 수준이어서, 자속밀도는 사실상 자화의 세기와 같은 값이 된다.

자계의 세기는 단위 자하가 받는 힘으로 정의되므로 $H=\dfrac{F}{m}$, 즉 $F=mH$이다.
$F=5\times10^{-3}\times10=5\times10^{-2}$ [N]
진공 중이라는 조건은 자계 $H$가 이미 주어졌으므로 별도로 쓰이지 않는다.

고유임피던스는 평면파에서 전계와 자계의 비 $\eta=E/H$다. 정현파에 대한 맥스웰 방정식
$\nabla\times E=-j\omega\mu H$, $\nabla\times H=j\omega\varepsilon E$
에 $z$방향 진행파 $e^{-j\beta z}$를 대입하면
$\beta E=\omega\mu H$, $\beta H=\omega\varepsilon E$
두 식을 곱하면 $\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$이고, 이를 첫 식에 넣으면
$\eta=\dfrac{E}{H}=\dfrac{\omega\mu}{\beta}=\dfrac{\omega\mu}{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$
차원으로도 확인된다. 이 식만 [Ω] 차원이 되며 진공에서 $\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=377$ [Ω]이다.

자화의 세기는 단위 체적당 자기모멘트다.
체적은 $V=3\times4\times20=240$ [cm³] $=240\times10^{-6}=2.4\times10^{-4}$ [m³]
$M=\dfrac{m}{V}=\dfrac{48}{2.4\times10^{-4}}=2\times10^{5}$ [A/m]
자속밀도 130 mT는 자화의 세기를 자기모멘트로부터 직접 구하는 이 계산에는 쓰이지 않는 조건이다.

그림에서 두 유전체는 각각 두께 d로 극판 사이를 직렬로 채우고 있고, 좌우 극판의 진전하 밀도가 $+\sigma$와 $-\sigma$이므로 경계면을 수직으로 통과하는 전속밀도는 두 유전체에서 같다.
즉 $D=\epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2=\sigma$이다.
그림에 표시된 $\epsilon_1=4$, $\epsilon_2=2$를 넣으면 $\frac{E_1}{E_2}=\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$이므로 $E_2=2E_1$, 곧 $2E_1=E_2$이다.
직렬로 겹친 유전체에서는 유전율이 큰 쪽의 전계가 더 작아진다.

전기쌍극자에 의한 전계는 축방향 성분과 이에 수직인 성분의 합으로, 그 크기는 $E=\dfrac{M}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta}$로 표현된다. 여기서 $\theta$가 커질수록 $\cos^2\theta$가 단조 감소하므로 전계의 크기도 함께 작아진다. 따라서 $\theta=0$일 때 $\sqrt{1+3}=2$로 최대가 되고, $\theta=\dfrac{\pi}{2}$에서는 $\sqrt{1}=1$로 최소가 된다.

두 전하의 부호가 다르므로 전계가 0이 되는 점은 두 전하 사이가 아니라, 크기가 작은 $+1$ [C] 쪽 바깥인 $x<0$ 영역에 있다.
그 점을 $x=-d\ (d>0)$라 하면 원점 전하까지의 거리는 $d$, $(2,0)$의 전하까지의 거리는 $2+d$이므로
$\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{1}{d^{2}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{2}{(2+d)^{2}}$
$(2+d)^{2}=2d^{2}\ \Rightarrow\ 2+d=\sqrt{2}\,d$
$d=\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}=2(\sqrt{2}+1)=2+2\sqrt{2}$
따라서 구하는 점은 $(-2-2\sqrt{2},\ 0)$이다. 검산하면 $d=4.83$, $2+d=6.83$에서 $1/4.83^{2}=0.0429$, $2/6.83^{2}=0.0429$로 두 전계 크기가 같다.

평행왕복 도선의 단위 길이당 정전기력은 $F/L = \frac{\epsilon_0 V^2}{2\pi d \ln(d/r)}$ 공식으로 구한다. 여기서 $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m, $V = 6000$ V, $d = 1$ m(도선 중심간 거리), $r = 0.002$ m(반지름)이다.
$\ln(d/r) = \ln(1/0.002) = \ln(500) = 6.215$를 계산하고, $F/L = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times (6000)^2}{2\pi \times 1 \times 6.215} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 3.6 \times 10^7}{39.04}$를 구하면 $F/L = \frac{318.7 \times 10^{-5}}{39.04} \approx 8.16 \times 10^{-5}$ N/m이 되어 8.06 × 10^-5 N/m에 근접한다.

전계가 경계면에 수직으로 작용하면 경계조건에 의해 전속밀도의 법선성분이 연속이므로 양쪽의 $D$가 같다. 이때 단위 체적당 정전에너지는 $w=\dfrac{D^{2}}{2\varepsilon}$이고, 경계면이 단위 면적만큼 이동할 때의 에너지 변화가 곧 단위 면적당 힘이 된다.
$f=\dfrac{D^{2}}{2\varepsilon_2}-\dfrac{D^{2}}{2\varepsilon_1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_2}-\dfrac{1}{\varepsilon_1}\right)D^{2}$ [N/m²]
즉 힘은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽을 향한다. 수직입사에서는 양쪽에서 같은 값이 $E$가 아니라 $D$이므로 $E^{2}$으로 쓴 식은 성립하지 않는다.

그림에서 P는 +q와 -q를 잇는 선분의 중점에서 수직으로 세운 선 위에 있고 중점으로부터의 거리가 r이므로, 쌍극자 축과 이루는 각이 $90^\circ$이며 두 전하까지의 거리가 서로 같다.
거리가 같고 부호만 반대이므로 두 전하가 만드는 전위가 상쇄되어 $V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_1}-\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r_2}=0$이다.
쌍극자 모멘트는 $M=qa$이고 전계는 $E=\frac{M}{4\pi\epsilon_0 r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta}$이므로, $\theta=90^\circ$를 넣으면 $E=\frac{qa}{4\pi\epsilon_0 r^3}$이다.
따라서 전계는 $\frac{qa}{4\pi\epsilon_0 r^3}$[V/m], 전위는 0이다.

비오-사바르 법칙 $dH=\dfrac{I\,dl\sin\theta}{4\pi r^{2}}$에서, 반지름 $a$인 원형코일의 중심은 모든 미소 도체에 대해 $r=a$, $\theta=90^\circ$이고 기여 방향도 모두 같다.
$H=\displaystyle\oint\dfrac{I\,dl}{4\pi a^{2}}=\dfrac{I}{4\pi a^{2}}\times 2\pi a=\dfrac{I}{2a}$ [AT/m]
무한장 직선도체의 $H=\dfrac{I}{2\pi a}$와 혼동하기 쉽다. 원형코일은 도체가 중심을 한 바퀴 감싸므로 적분 결과에서 $\pi$가 소거된다.

손실 유전체는 도전율 $\sigma$를 가지므로 전류항이 $(\sigma+j\omega\varepsilon)E$가 되고, 전파정수는 다음과 같이 정의된다.
$\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)}$
$=\sqrt{(j\omega)^{2}\mu\varepsilon\left(1+\dfrac{\sigma}{j\omega\varepsilon}\right)}=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\sqrt{1+\dfrac{\sigma}{j\omega\varepsilon}}$
$\dfrac{1}{j}=-j$이므로
$\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\sqrt{1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}}$
$\sigma=0$을 넣으면 $\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$가 되어 무손실 매질의 결과로 돌아간다.

선로손실은 $P_l=3I^2R$이고 $I=\dfrac{P}{\sqrt{3}V\cos\theta}$, $R=\dfrac{\rho l}{A}$이므로 손실률 $\varepsilon=\dfrac{P_l}{P}=\dfrac{\rho l P}{A V^2\cos^2\theta}$가 된다. 이를 단면적에 대해 풀면 $A=\dfrac{\rho l P}{\varepsilon V^2\cos^2\theta}$이고, 송전거리 l·전력 P·손실률 $\varepsilon$·역률이 모두 고정이므로 전선의 굵기는 전압의 제곱에 반비례한다. 승압하면 같은 손실률을 지키면서 전선 소요량을 줄일 수 있는 근거가 여기에 있다.

표시선(파일럿 와이어) 계전방식은 선로 양단의 계전기를 별도의 제어용 전선으로 이어 양단 정보를 직접 주고받는 방식으로, 방향비교방식·전압방향(전압반향)방식·전류순환방식이 여기에 속한다. 반면 위상비교방식은 양단 전류의 위상을 반송파에 실어 전력선 자체로 주고받는 반송(캐리어) 보호계전방식이어서 별도의 표시선을 쓰지 않는다. 그래서 표시선 계전방식에 해당하지 않는 것은 위상비교방식이다.

중성점 직접접지 방식은 1선 지락 시 건전상의 전압 상승이 거의 없고 절연레벨을 낮출 수 있어 변압기 단절연이 가능하지만, 대신 지락전류가 매우 크게 흘러 통신선 유도장해와 과도안정도 저하 문제가 있다. 지락전류가 크기 때문에 차단기는 오히려 큰 차단용량이 요구되므로, 지락전류가 적어 차단능력이 감소된다는 설명은 틀린 내용이다.

단상 변압기 1대의 용량을 $P$라 하면, 3대를 쓰는 $\Delta$결선 출력은 $P_{\Delta}=3P$이고, 2대만 남은 V결선 출력은 $P_{V}=\sqrt{3}\,P$다.
$\dfrac{P_{V}}{P_{\Delta}}=\dfrac{\sqrt{3}P}{3P}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=0.577$ → 57.7 [%]
이용률 $\dfrac{\sqrt{3}P}{2P}=0.866$ → 86.6 [%]와 구분해야 한다. 출력비는 고장 전 3대 용량과, 이용률은 남은 2대 용량과 비교한 값이다.

전력선에 1선 지락 등으로 영상전류가 흐르면 이 전류와 통신선 사이의 상호인덕턴스에 의해 통신선에 기전력이 유기되는데, 이를 전자유도장해라고 한다. 전자유도장해는 영상전류와 상호인덕턴스의 크기에 비례하며, 영상전압과 정전용량에 의해 발생하는 정전유도장해와는 구분된다.

변압기 2차측에 3고조파 전압이 외부로 나타나려면 1차, 2차 어느 쪽에도 델타(△) 결선이 없어야 한다. Y-Y 결선은 델타 결선이 없어 3고조파 전류가 권선 내부에서 순환할 통로가 없으므로, 1차의 3고조파가 그대로 2차 전압에 나타나 왜형파 문제를 일으킨다. 반면 △ 결선이 포함된 결선에서는 3고조파 전류가 델타 안에서 순환하여 외부로 나타나지 않는다.

전력, 배전거리, 전력손실, 전압이 동일한 조건에서 각 방식의 전선 소요량을 1φ2W식을 기준으로 비교하면 3상3선식은 3/4, 3상4선식은 1/3에 해당한다. 따라서 3상3선식 대비 3상4선식의 전선 소요량 비는 (1/3)을 (3/4)로 나눈 값인 4/9가 된다.

수전단 전력원선도 방정식 $P_r^2+(Q_r+400)^2=250000$은 중심이 $(0,-400)$이고 반지름이 500인 원을 나타낸다. 이 원 위에서 유효전력 $P_r$이 최대가 되는 점은 원의 중심을 지나는 수평선과 원이 만나는 점, 즉 $Q_r=-400$일 때이며 이때 $P_r=500$이 된다.

그림의 선로전류는 수전단에서 0이고 송전단으로 갈수록 직선적으로 커지는 삼각형 분포이다.
송전단 전류를 I, 선로 길이를 l, 단위길이당 저항을 r이라 하면 송전단에서 x만큼 떨어진 점의 전류는 $i(x)=I\left(1-\frac{x}{l}\right)$이다.
전압강하는 $e=\int_0^{l}i(x)\,r\,dx=Irl\times\frac{1}{2}$이고, 같은 전류 I가 말단에만 집중된 경우의 전압강하는 $Irl$이다.
따라서 균등 분포인 경우의 전압강하는 말단 집중인 경우의 $\frac{1}{2}$이 된다.
참고로 전력손실은 같은 조건에서 $\frac{1}{3}$이 되므로 혼동하지 않도록 한다.

전력조류계산에서 슬랙(기준)모선은 계통 전체의 유효전력과 무효전력의 손실을 보상해 주는 역할을 하므로 그 값을 미리 알 수 없다. 대신 슬랙모선은 전압 크기와 위상각을 기준값(예: 크기 1.0, 위상각 0)으로 고정하여 지정하고, 이를 기준으로 나머지 모선들의 전압 크기와 위상각을 계산한다.

비접지 배전계통에서 동일 모선에 여러 급전선이 있는 경우, 각 급전선의 지락사고를 구별하여 선택적으로 차단하기 위해서는 영상전류의 방향과 크기를 비교하는 선택접지계전기(SGR)를 사용한다. 과전류계전기(OCR)나 과전압계전기(OVR)는 지락회로 선택 기능이 없어 이러한 용도에 적합하지 않다.

중성점을 소호리액터로 접지한 경우 1선 지락 시 지락전류가 소호리액터의 공진작용에 의해 거의 상쇄되어 매우 작은 값이 되므로, 차단기가 차단해야 할 전류가 가장 작아 차단능력 부담이 가장 가볍다. 반면 직접접지 계통은 지락전류가 매우 커서 차단기에 요구되는 차단용량이 크다.

한류리액터는 회로에 직렬로 삽입하여 리액턴스를 크게 함으로써 단락사고 발생 시 흐르는 단락전류의 크기를 제한하는 목적으로 사용된다. 이를 통해 차단기나 기기에 요구되는 차단용량과 기계적, 열적 스트레스를 줄일 수 있다.

전자유도전압은 3선의 영상전류 합 $3I_0$가 만드는 자속이 상호인덕턴스를 통해 통신선에 유기하는 전압이다.
$E_m=\omega Ml\,(3I_0)=2\pi f\,Ml\times 3I_0$
$Ml=0.06\times10^{-3}\times40=2.4\times10^{-3}$ [H]
$E_m=2\pi\times60\times2.4\times10^{-3}\times3\times100$
$=376.99\times2.4\times10^{-3}\times300=271.4$ [V]
영상전류에 3을 곱하는 것을 빠뜨리면 값이 1/3로 나온다.

단거리 송전선로는 저항과 리액턴스만 고려하는 집중정수회로로, 장거리 송전선로는 선로정수가 분포되어 있다고 보는 분포정수회로로 다룬다. 중거리 송전선로는 그 중간 성격으로 저항, 인덕턴스, 정전용량을 모두 고려하되 이를 집중된 소자로 취급하는 RLC 집중정수회로(T형 또는 π형 등가회로)로 해석한다.

콘덴서에서 다루는 무효전력은 $Q=\omega C V^2$으로 표현되며, 동일 용량을 유지하면서 사용전압 V를 2배로 하면 $V^2$이 4배가 되므로 정전용량 C는 이전의 1/4로 감소해야 같은 용량을 유지할 수 있다.

단락비가 작은 발전기는 상대적으로 동기임피던스가 크다는 것을 의미한다. 동기임피던스가 크면 부하 변동에 따른 전압강하가 커져 전압변동률이 커지고, 단락전류와 선로 충전용량은 오히려 작아지며 안정도도 낮아진다. 따라서 단락비가 작을 때 나타나는 현상은 전압변동률이 커지는 것이다.

1선 지락 시 건전상의 전압 상승은 중성점 접지 방식에 따라 달라지는데, 직접접지 방식은 중성점 전위가 거의 0으로 유지되어 건전상의 전위 상승이 가장 적다. 비접지 방식은 지락 시 건전상 전압이 상전압의 √3배까지 상승할 수 있어 전압 상승이 가장 크다.

배전선로의 전력손실은 전류의 제곱과 저항에 비례하므로, 배전전압을 승압하거나 역률을 개선하는 전력용 콘덴서를 설치하거나 전류밀도를 낮추고 부하를 평형시키는 것이 손실 경감 대책이 된다. 누전차단기는 감전 및 화재 등 인체·설비 안전을 위한 보호기기로, 선로손실 경감과는 직접적인 관련이 없다.

댐의 부속설비로는 취수구, 수로, 수조 등이 있으며 이들은 하천의 물을 끌어와 발전소까지 전달하는 역할을 한다. 흡출관은 수차에서 사용한 물을 방수로로 배출하면서 낙차를 유효하게 이용하도록 하는 수차의 부속설비로, 댐의 부속설비가 아니다.

3상 유도전동기의 2차 입력 $P_2$, 2차 저항손 $P_{c2}$, 기계적 출력 $P_0$ 사이에는 $P_{c2}=sP_2$, $P_0=(1-s)P_2$의 관계가 있다. 두 식에서
$s=\dfrac{P_{c2}}{P_2}=\dfrac{P_{c2}}{P_0+P_{c2}}$
$s=\dfrac{300}{7500+300}=\dfrac{300}{7800}=0.0385$ → 3.85 [%]
분모를 출력 7500 W로만 두면 4 %로 어긋난다. 2차 입력은 출력에 저항손을 더한 값이다.

직류 분권발전기를 병렬운전하기 위해서는 각 발전기의 극성이 같아야 하고 단자전압(정격전압) V가 동일해야 부하전류가 역류하지 않고 안정적으로 분담된다. 반면 각 발전기의 용량 P는 서로 달라도 되며, 부하 분담은 각 발전기의 외부특성곡선에 따라 이루어진다.

권선형 유도전동기는 2차 회로에 외부저항을 삽입할 수 있는데, 저항을 삽입하면 비례추이 원리에 의해 최대토크가 발생하는 슬립이 커지면서 기동 시의 토크가 증대되고 동시에 기동전류는 감소한다. 이 때문에 대용량 권선형 유도전동기의 기동에 2차 저항 기동법이 널리 쓰인다.

변압기의 철손은 여자전류에 의해 발생하는 손실로, 정격전압을 인가하고 2차측을 개방한 상태에서 실시하는 무부하시험(개방시험)을 통해 측정한다. 반면 동손은 2차측을 단락하고 임피던스전압을 인가하는 단락시험을 통해 구한다.

$sE_2$는 슬립 $s$일 때 2차 권선에 유기되는 전압이고, 여기에 같은 위상의 외부 전압 $E_c$를 직렬로 넣는 2차 여자 방식이다.
이때 2차 전류는 $I_2=\dfrac{sE_2+E_c}{\sqrt{r_2^2+(sx_2)^2}}$로 결정되는데, 부하 토크가 일정하면 $I_2$가 거의 일정하게 유지되어야 하므로 $sE_2+E_c$가 대체로 일정해진다.
따라서 $E_c$를 키운 만큼 $s$가 작아져 속도가 올라가고, $E_c$가 더 커져 $s$가 0을 지나 음수가 되면 동기속도 이상으로도 회전할 수 있다.
회전자계의 방향은 1차측 상순이 정하는 것이라 2차 여자로는 바뀌지 않으므로, 회전 방향은 회전자계와 같은 방향 그대로다.

회전자 속도는 $N=(1-s)N_s$이므로 동기속도를 먼저 구한다.
$N_s=\dfrac{N}{1-s}=\dfrac{720}{1-0.2}=900$ [rpm]
동기속도의 정의 $N_s=\dfrac{120f}{p}$에서
$p=\dfrac{120f}{N_s}=\dfrac{120\times60}{900}=8$ [극]
회전자 속도 720 rpm을 동기속도 자리에 그대로 넣으면 $p=\dfrac{120\times60}{720}=10$극이 되어 어긋난다. 슬립만큼 되돌린 동기속도를 써야 한다.

단락비가 큰 동기기는 동기임피던스가 작다는 것을 의미하며, 이 경우 전기자반작용이 작고 전압변동률도 작아 전압을 일정하게 유지하기 쉬워 안정도가 높다. 다만 철을 많이 사용하는 구조가 되어 기계의 크기가 커지고 가격도 상승하는 단점이 있다.

SCR을 이용해 유도전동기의 1차 전압을 제어할 때는 SCR의 점호각(위상각)을 조절함으로써 출력전압의 실효값을 변화시켜 속도를 제어한다. 즉 SCR을 통해 직접 변화시키는 대상은 위상각이며, 이를 통해 결과적으로 전압과 토크가 변화하는 것이다.

비철극형(원통형) 동기발전기는 전기자 저항을 무시하면 1상당 출력이
$P_1=\dfrac{EV}{X_s}\sin\delta$
이다. 유도기전력과 단자전압의 위상차가 부하각 $\delta$이고, 3상이므로 3배 한다.
$P=3\times\dfrac{6000\times5000}{10}\times\sin30^\circ$
$=3\times3\times10^{6}\times0.5=4.5\times10^{6}$ [W] $=4500$ [kW]

그림의 원선도에서 세로축이 전압 기준축이고, 원 위의 운전점 P와 원점을 이은 $\overline{OP}$가 1차 전류 벡터다.
P에서 세로축으로 수평선을 그어 만난 점이 P'이므로 $\overline{OP'}$는 전류의 유효분이고, $\overline{OP}$와 세로축이 이루는 각이 역률각 $\theta$가 된다.
그러므로 $\cos\theta=\dfrac{\overline{OP'}}{\overline{OP}}$이고, 백분율 역률은 $\dfrac{\overline{OP'}}{\overline{OP}}\times100$[%]로 표시된다.

분포권 기전력은 $q$개의 슬롯에 나뉜 코일 기전력을 위상차를 두고 벡터합한 것이고, 분포계수는 그 벡터합과 산술합의 비다.
기본파에서 이웃 슬롯 사이의 전기각은 $\dfrac{\pi}{mq}$이며, $n$차 고조파에서는 그 $n$배인 $\dfrac{n\pi}{mq}$가 된다. 같은 크기의 벡터 $q$개를 이 각도 간격으로 더하면 반각을 써서
$k_{dn}=\dfrac{\sin\left(q\cdot\dfrac{n\pi}{2mq}\right)}{q\,\sin\dfrac{n\pi}{2mq}}=\dfrac{\sin\dfrac{n\pi}{2m}}{q\,\sin\dfrac{n\pi}{2mq}}$
가 된다. $q=1$(집중권)을 넣으면 분자와 분모가 같아져 $k_{dn}=1$이 되는 것으로 식의 형태를 확인할 수 있다.

회전자 도체가 받는 힘은 자속밀도와 도체전류의 곱으로 정해지므로, 유도전동기의 토크도 $T\propto\phi I_2\cos\theta_2$와 같이 1극당 자속 $\phi$와 2차 유효전류 $I_2\cos\theta_2$의 곱에 비례한다. 자속과 전류가 각각 1승으로 들어가므로 제곱에 비례한다거나 반비례한다는 표현은 성립하지 않는다.

동기전동기의 자기동법에서는 기동 시 계자권선이 개방된 상태로 있으면 회전자계에 의해 계자권선에 매우 높은 전압이 유도되어 절연이 파괴될 위험이 있다. 이를 방지하기 위해 기동 시에는 계자권선을 저항을 통해 단락시켜 고전압 유도를 방지한다.

매극 매상의 슬롯수는 전체 슬롯수를 극수와 상수의 곱으로 나눈 값이므로 $q=\dfrac{36}{4\times3}=3$이다. 2층권은 슬롯마다 코일변이 위·아래 두 개씩 들어가 코일변이 모두 $36\times2=72$개이고, 코일 하나가 코일변 두 개로 이루어지므로 코일 수는 $\dfrac{72}{2}=36$개, 즉 슬롯수와 같아진다.

3단자 사이리스터는 애노드, 캐소드, 게이트 세 개의 단자만을 가지는 소자로 SCR, GTO, TRIAC이 이에 해당한다. SCS(실리콘 제어 스위치)는 애노드 게이트와 캐소드 게이트를 모두 가지는 4단자 소자이므로 3단자 사이리스터가 아니다.

단상 변압기를 병렬운전할 때 각 변압기가 분담하는 부하전류는 각 변압기의 용량에는 비례하고 누설임피던스(퍼센트 임피던스)에는 반비례하는 관계를 가진다. 이는 누설임피던스가 작은 변압기일수록 더 많은 전류를 분담하게 됨을 의미한다.

중권이므로 병렬회로수는 극수와 같아 $a=p=6$이다. 정류자편 132개가 6개의 병렬회로에 나뉘므로 한 회로가 차지하는 편수는
$\dfrac{k}{a}=\dfrac{132}{6}=22$ [편]
한 병렬회로 양단에 유기기전력 210 V가 걸리고 그것이 22개 편 사이에 고르게 나뉘므로
$e=\dfrac{E}{k/a}=\dfrac{pE}{k}=\dfrac{6\times210}{132}=9.55$ [V]
약 9.5 V다. 극수를 곱하지 않고 $210/132=1.6$으로 계산하면 병렬회로가 6조라는 점을 빠뜨린 것이 된다.

직류발전기의 전기자반작용은 전기자전류가 만드는 기자력이 주자속에 간섭하는 현상으로, 자속 분포를 한쪽으로 일그러뜨리는 편자(교차자화)작용 때문에 전기적 중성축이 회전방향으로 이동하고, 그 결과 브러시 위치와 어긋나 정류가 나빠지며 정류자편 사이의 전압도 불균일해진다. 또한 자기포화의 영향으로 자속이 증가하는 쪽보다 감소하는 쪽이 더 크게 작용해 전체 주자속은 오히려 줄어든다(감자작용). 그러므로 주자속이 증가한다는 것은 전기자반작용의 영향이 아니다.

단권변압기는 승압분 $(V_h-V_l)$만을 직렬권선이 부담하므로, 자기용량 $P_s$와 부하용량 $P_L$의 비는
$\dfrac{P_s}{P_L}=\dfrac{V_h-V_l}{V_h}=\dfrac{3300-3000}{3300}=0.0909$
$P_s=0.0909\times100=9.09$ [kVA]
약 9.1 kVA다. 승압비가 1에 가까울수록 자기용량이 작아져 같은 부하를 훨씬 작은 변압기로 감당할 수 있다는 것이 단권변압기의 이점이다.

변압기의 효율이 최대가 되는 부하는 철손과 동손이 같아지는 점으로, 부하율 a에서 동손은 $a^2$에 비례해 변화한다. 최대효율 부하율이 0.75이므로 이때의 동손은 전부하 동손의 $0.75^2=0.5625$배이고, 이 값이 철손과 같으므로 전부하에서의 철손 대 동손의 비는 $0.5625:1$, 즉 9:16이 된다.

단위피드백 제어계의 위치편차상수는 $K_p=\lim_{s\to0}G(s)=\dfrac{1}{1\times2}=\dfrac{1}{2}$이다. 단위 계단입력에 대한 정상편차는 $e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$로 계산된다.

근궤적 점근선의 교차점은 극점의 합에서 영점의 합을 빼고, 극점 수 $n$에서 영점 수 $m$을 뺀 값으로 나눈 것이다.
극점은 $s=0,\ 0,\ -2,\ -3$로 $n=4$, 영점은 $s=-1$로 $m=1$이다.
$\sigma=\dfrac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}=\dfrac{(0+0-2-3)-(-1)}{4-1}=\dfrac{-4}{3}$
원점의 중근을 하나로 세면 분모가 2가 되어 값이 달라지므로, 중근은 개수만큼 세어야 한다.

그림에서 전향 경로는 K와 G가 직렬로 놓여 있고, 출력에서 $1/K$를 거쳐 가산점으로 되돌아오는 부궤환 경로가 하나 있다.
따라서 폐루프 전달함수는 $T=\dfrac{KG}{1+KG\cdot\dfrac{1}{K}}=\dfrac{KG}{1+G}$이다.
감도는 $S_K^T=\dfrac{K}{T}\dfrac{dT}{dK}$인데, $\dfrac{dT}{dK}=\dfrac{G}{1+G}=\dfrac{T}{K}$이므로 $S_K^T=1$이다.
되먹임 경로의 $1/K$가 전향 경로의 K를 상쇄해 $T$가 K에 그대로 비례하게 되므로 감도가 1로 남는다.

극점은 분모를 0으로 만드는 $s$, 영점은 분자를 0으로 만드는 $s$다.
극점 $s=-1\pm j2$를 근으로 갖는 분모는
$(s+1-j2)(s+1+j2)=(s+1)^{2}-(j2)^{2}=(s+1)^{2}+4$
영점 $s=-2$를 주는 분자는 $s+2$이므로
$G(s)=\dfrac{s+2}{(s+1)^{2}+4}$
$(s-1)^{2}+4$는 극점이 $+1\pm j2$가 되어 우반면에 놓이고, $s-2$는 영점이 $+2$가 된다.

비례요소는 입력에 비례하는 출력을 만드는 요소로, 시간지연이나 적분, 미분 성분 없이 상수 이득만을 가지는 전달함수 $G(s)=K$로 표현된다. 적분요소는 $K/s$, 미분요소는 $Ks$, 1차지연요소는 $K/(Ts+1)$ 형태를 가진다.

그림에서 A와 B가 첫 번째 NAND에 들어가 $\overline{AB}$를 만들고, 이 출력과 B에서 분기된 신호가 두 번째 NAND의 두 입력이 된다.
그러므로 출력은 $X=\overline{\overline{AB}\cdot B}=AB+\overline{B}$이다.
흡수 법칙 $\overline{B}+AB=\overline{B}+A$를 적용하면 $X=A+\overline{B}$로 간단해진다.

근궤적은 이득 K를 $0$에서 $\infty$까지 변화시킬 때 극점에서 출발해 영점에서 끝나는데, 극점과 영점의 수가 다르면 남는 가지가 무한원점으로 뻗어 나가므로 가지 수는 극점 수와 영점 수 중 큰 값과 같아진다. 나머지 설명이 틀린 이유는, 점근선은 실수축 위의 무게중심에서 뻗어 나가 실수축과 만나므로 허수축에서만 교차한다고 할 수 없고, 근궤적이 허수축을 지나는 K는 계마다 특성방정식으로 정해지는 값이라 일정하지 않으며, 허수축을 넘는 지점이 곧 안정 한계이고 극점이 허수축에 가까울수록 상대안정도가 나빠지므로 근궤적은 안정도와 직접 관계가 있기 때문이다.

특성방정식 $s^3+4s^2+2s+K=0$에 대해 루쓰표를 작성하면 $s^1$행의 계수는 $\dfrac{4\times2-1\times K}{4}=\dfrac{8-K}{4}$이고 $s^0$행의 계수는 K이다. 계가 안정하려면 루쓰표의 첫째 열 부호가 모두 양이어야 하므로 $8-K\gt 0$과 $K\gt 0$을 동시에 만족해야 하며, 이를 정리하면 $0\lt K\lt 8$이 된다.

전달함수 $G(s)=\dfrac{1}{(s+a)^2}$에 임펄스 입력을 가하면 출력의 라플라스 변환은 $C(s)=G(s)$ 그대로가 된다. 이를 역라플라스 변환하면 $\dfrac{1}{(s+a)^2}$은 시간영역에서 $te^{-at}$에 대응되므로 임펄스응답은 $c(t)=te^{-at}$이다.

부분분수로 나누면 $\dfrac{s}{(s+1)^2}=\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{(s+1)^2}$이 되고, 각 항의 라플라스 역변환은 $e^{-t}$와 $te^{-t}$이다.
따라서 역변환 결과는 $e^{-t}-te^{-t}$이다.