암페어의 주회적분 법칙 $\oint\vec H\cdot d\vec l=I_{enc}$를 반지름 $r$인 원형 경로에 적용한다. 전류가 $a_z$ 방향이므로 오른나사 법칙에 의해 자계는 $a_\phi$ 방향이고, 원주 위에서 크기가 일정하므로 좌변은 $H\cdot2\pi r$이다.
경로가 둘러싸는 전류는 전류밀도를 단면에 적분해서 구한다. 반지름 $r'$의 미소 고리 면적이 $2\pi r'\,dr'$이므로
$I_{enc}=\int_0^{r}Kr'^2\,(2\pi r'\,dr')=2\pi K\int_0^{r}r'^3dr'=2\pi K\dfrac{r^4}{4}=\dfrac{\pi Kr^4}{2}$
두 결과를 같게 놓으면
$H\cdot2\pi r=\dfrac{\pi Kr^4}{2}\ \Rightarrow\ H=\dfrac{K}{4}r^3$
방향까지 쓰면
$\vec H=\dfrac{K}{4}r^3a_\phi\,[\mathrm{AT/m}]$
자계가 $a_z$ 방향인 형태는 전류 방향과 나란해져 오른나사 법칙에 어긋나고, $r^4$은 적분 결과인 전류 자체의 의존성이지 자계의 의존성이 아니다.

그림은 반원형 극판 두 장이 각 $\theta$만큼 겹쳐 있는 구조이므로 정전용량은 겹친 각에 비례하여 $C=\frac{C_0}{\pi}\theta$이고, $\theta=\pi$에서 최대값 $C_0$가 된다.
전압 $V$를 일정하게 유지한 상태에서 회전자에 작용하는 토크는 $T=\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{2}CV^2\right)=\frac{1}{2}V^2\frac{dC}{d\theta}$이다.
$\frac{dC}{d\theta}=\frac{C_0}{\pi}$이므로 $T=\frac{C_0V^2}{2\pi}\,[N\cdot m]$이다.

동축케이블의 외부 인덕턴스는 내부도체와 외부도체 사이 공간에 저장되는 자속에서 나온다. 안쪽 도체 전류가 $I$일 때 $a$

무한 평면에 면전류밀도 $K\,[\mathrm{A/m}]$가 한 방향으로 흐를 때, 평면을 가로지르는 직사각형 경로에 암페어 법칙을 적용한다. 평면 양쪽에서 자계가 같은 크기로 경로에 나란하므로
$2H\ell=K\ell\ \Rightarrow\ H=\dfrac{K}{2}\,[\mathrm{AT/m}]$
결과에 평면으로부터의 거리 $r$이 전혀 들어 있지 않다. 무한히 넓은 평면은 어느 높이에서 보아도 똑같이 무한하게 펼쳐져 보이므로, 거리에 따라 자계가 감쇠하지 않는다.
따라서
$\dfrac{H(r)}{H(2r)}=\dfrac{K/2}{K/2}=1$
거리에 반비례하는 $H=\dfrac{I}{2\pi r}$은 무한 직선 도선의 결과이고, 평면 전류에는 적용되지 않는다.

전위와 체적전하밀도는 푸아송 방정식으로 연결된다.
$\nabla^2V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\ \Rightarrow\ \rho=-\varepsilon\nabla^2V$
주어진 $V=\dfrac{1}{x}+2xy^2$를 두 번씩 편미분하면
$\dfrac{\partial V}{\partial x}=-\dfrac{1}{x^2}+2y^2,\qquad\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}=\dfrac{2}{x^3}$
$\dfrac{\partial V}{\partial y}=4xy,\qquad\dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=4x$
$\nabla^2V=\dfrac{2}{x^3}+4x$
점 $\left(\dfrac{1}{2},\,2\right)$를 넣으면 ($y$는 결과에 남지 않는다)
$\nabla^2V=\dfrac{2}{(1/2)^3}+4\times\dfrac{1}{2}=16+2=18$
비유전율이 $2$이므로 $\varepsilon=2\varepsilon_0$이고
$\rho=-2\times8.854\times10^{-12}\times18=-3.19\times10^{-10}\,[\mathrm{C/m^3}]$
$1\,[\mathrm{pC}]=10^{-12}\,[\mathrm{C}]$이므로 $\rho\approx-320\,[\mathrm{pC/m^3}]$이다. 비유전율 $2$를 빠뜨리면 절반인 $-160\,[\mathrm{pC/m^3}]$이 나온다.

그림의 루프는 위·아래 변이 $B=\pm B_r$에서 수평이고 기울어진 두 변이 $H=\pm H_c$를 지나는 평행사변형이므로, 루프의 넓이는 밑변 $2H_c$와 높이 $2B_r$의 곱인 $4B_rH_c$이다.
이 넓이가 단위체적당 1주기 히스테리시스 손실이므로 $P_h=4B_rH_c\,f\,V$이다.
체적을 $20\,\mathrm{cm}^3=20\times10^{-6}\,\mathrm{m}^3$로 고쳐 넣으면
$P_h=4\times5\times2\times60\times20\times10^{-6}=4.8\times10^{-2}\,\mathrm{W}$

그림의 코일은 $x=0$인 $y$-$z$ 평면에 놓여 있고, $z$ 방향 0.08m, $y=0$에서 $y=-0.04$m까지 0.04m이므로 면적은 $S=0.08\times0.04=3.2\times10^{-3}\,\mathrm{m}^2$이다.
전류는 $z$축 쪽 변에서 $+a_z$, 윗변에서 $-a_y$ 방향으로 흐르므로 오른손 법칙에 따라 코일면의 법선은 $+a_x$이고, 자기쌍극자 모멘트는 $m=IS\,a_x=5\times3.2\times10^{-3}a_x=1.6\times10^{-2}a_x$이다.
$T=m\times B=1.6\times10^{-2}a_x\times0.05\dfrac{a_x+a_y}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\times10^{-4}}{\sqrt{2}}(a_x\times a_y)$
$a_x\times a_x=0$, $a_x\times a_y=a_z$이므로 $T=5.66\times10^{-4}a_z\,[\mathrm{N\cdot m}]$이다.

그림에서 점전하 $Q$는 무한평면 도체에서 거리 $a$만큼 떨어져 있고, P는 도체면 위에서 수선의 발 0으로부터 $x$만큼 떨어진 점이다.
영상법으로 도체 뒤 $a$ 위치에 $-Q$를 놓으면 P에서 두 전하가 만드는 전계의 면에 나란한 성분은 상쇄되고 수직 성분만 두 배로 남는다.
$E_n=2\cdot\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}=\dfrac{Qa}{2\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{3/2}}$
면전하밀도는 $\sigma=\varepsilon_0E_n$이므로 $\sigma=\dfrac{Q}{2\pi}\cdot\dfrac{a}{(a^2+x^2)^{3/2}}$이며, 실제 부호는 $Q$와 반대이다.

전자파의 전파속도는 $v=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$이고, 진공에서 이 값이 광속 $c=3\times10^8\,[\mathrm{m/s}]$가 된다. 이 관계를 투자율에 대해 풀면
$c=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\ \Rightarrow\ \mu_0=\dfrac{1}{\varepsilon_0c^2}$
값을 대입하면
$\mu_0=\dfrac{1}{8.854\times10^{-12}\times(3\times10^8)^2}=\dfrac{1}{7.97\times10^{5}}=1.255\times10^{-6}$
즉
$\mu_0\approx12.55\times10^{-7}\,[\mathrm{H/m}]$
정확한 값은 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}=12.566\times10^{-7}\,[\mathrm{H/m}]$이며, 위에서 $\varepsilon_0$와 $c$를 반올림한 값으로 넣었기 때문에 끝자리만 조금 다르게 나온 것이다. 따라서 $12.56\times10^{-7}\,[\mathrm{H/m}]$이 답이다.

점전하 $Q$를 중심으로 반지름 $r$인 구면을 잡고 가우스 법칙 $\oint\vec D\cdot d\vec S=Q$를 적용한다. 구 대칭이므로 구면 위에서 $D$가 일정하고 면적은 $4\pi r^2$이다.
$D\cdot4\pi r^2=Q\ \Rightarrow\ D=\dfrac{Q}{4\pi r^2}$
$D=\varepsilon_0E$이므로
$E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\,[\mathrm{V/m}]$
분모에 $2\pi\varepsilon_0$가 오는 형태는 원통 대칭(무한 직선전하)에서 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$로 나오는 꼴이고, $\sigma$가 들어간 식은 면전하를 다루는 기호이므로 점전하 문제와 맞지 않는다.

손실이 없는 매질에서 맥스웰 방정식을 정리하면 파동방정식
$\nabla^2\vec E=\varepsilon\mu\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}$
가 얻어진다. 일반적인 파동방정식이 $\nabla^2\vec E=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}$이므로 계수를 비교하면 $\dfrac{1}{v^2}=\varepsilon\mu$이고
$v=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\,[\mathrm{m/s}]$
검산으로 진공값 $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}$, $\mu_0=4\pi\times10^{-7}$을 넣으면 $v=3\times10^8\,[\mathrm{m/s}]$인 광속이 나온다.
$\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$는 속도가 아니라 고유임피던스 $\eta$의 식이며, 단위도 $[\Omega]$이라 속도가 될 수 없다.

유전체 내부에서 전속밀도는 진공 성분과 분극 성분의 합인 $D = \epsilon_0 E + P$로 주어진다. 이를 분극의 세기에 대하여 풀면 $P = D - \epsilon_0 E$가 된다. 분극의 세기는 전속밀도에서 진공에서의 전속밀도분을 뺀 값이므로 두 항을 더하거나 $E/\epsilon_0$ 형태로 나누는 식은 차원부터 성립하지 않는다.

두 코일을 직렬로 연결하면 합성인덕턴스는 자속이 서로 보강되는 가동결합에서 $L_{C1} + L_{C2} + 2M$, 상쇄되는 차동결합에서 $L_{C1} + L_{C2} - 2M$이 된다. 따라서 $L_1 > L_2$이고, 두 값의 차가 $4M$이므로 $|M| = \dfrac{L_1 - L_2}{4}$가 성립한다.

공기 콘덴서의 정전용량은 $C_0=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}$이다. 두께 $\dfrac{d}{2}$인 유리판을 극판과 평행하게 넣으면, 두께 $\dfrac{d}{2}$의 공기층과 두께 $\dfrac{d}{2}$의 유리층이 직렬로 연결된 구조가 된다.
$C_1=\dfrac{\varepsilon_0S}{d/2}=\dfrac{2\varepsilon_0S}{d},\qquad C_2=\dfrac{\varepsilon S}{d/2}=\dfrac{2\varepsilon S}{d}$
직렬 합성이므로
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}=\dfrac{d}{2\varepsilon_0S}+\dfrac{d}{2\varepsilon S}=\dfrac{d}{2\varepsilon_0S}\left(1+\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)$
$\dfrac{d}{\varepsilon_0S}=\dfrac{1}{C_0}$이므로
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{2C_0}\left(1+\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)\ \Rightarrow\ C=\dfrac{2C_0}{1+\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}}\,[\mathrm{F}]$
검산하면 $\varepsilon=\varepsilon_0$일 때 $C=\dfrac{2C_0}{2}=C_0$가 되어 원래의 공기 콘덴서로 되돌아간다. 분모에 $\dfrac{1}{\varepsilon}$만 들어간 형태는 무차원이 되지 않아 성립하지 않는다.

자속밀도는 벡터 퍼텐셜의 회전으로 정의되고, 자계는 이를 투자율로 나눈 것이다.
$\vec B=\nabla\times\vec A,\qquad\vec H=\dfrac{\vec B}{\mu}$
주어진 $\vec A=3x^2y\,a_x+2x\,a_y-z^3\,a_z$에 대해 회전을 성분별로 계산한다.
$(\nabla\times\vec A)_x=\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z}=0-0=0$
$(\nabla\times\vec A)_y=\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}=0-0=0$
$(\nabla\times\vec A)_z=\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}=2-3x^2$
$x$, $y$ 성분은 모두 소거되고 $z$ 성분만 남으므로
$\vec B=(2-3x^2)a_z\,[\mathrm{Wb/m^2}]$
$\vec H=\dfrac{1}{\mu}(2-3x^2)a_z\,[\mathrm{A/m}]$

자기회로의 자기저항은 $R_m = \dfrac{l}{\mu A}$로 표현된다. 즉 자로의 길이에 비례하고 단면적과 투자율에는 반비례하므로, 단면적에 비례한다거나 비투자율에 비례 또는 그 제곱에 비례한다는 서술은 모두 반비례 관계를 잘못 뒤집은 것이다.

고유임피던스는 매질 내 평면파의 전계와 자계의 비로 $\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}}=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$ 로 분리된다.
앞의 인수는 진공의 고유임피던스로 $\sqrt{\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{8.854\times10^{-12}}}\approx377$ Ω 이므로 $\eta=377\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$ 가 된다.
대입하면 $\eta=377\times\sqrt{\dfrac{1}{81}}=\dfrac{377}{9}\approx41.9$ Ω 이다.
비유전율이 커지면 고유임피던스는 작아진다. 물($\varepsilon_r=81$)에서 값이 진공의 $1/9$ 로 떨어지는 것이 이 문제다.

환상 솔레노이드는 평균 반지름 $r$의 원을 자로로 보고 암페어 법칙을 적용한다. 자로 길이가 $2\pi r$, 기자력이 $NI$이므로
$H=\dfrac{NI}{2\pi r}=\dfrac{500\times2}{2\pi\times0.1}=\dfrac{1000}{0.6283}=1592\,[\mathrm{AT/m}]$
자속밀도는
$B=\mu_0\mu_sH=4\pi\times10^{-7}\times4000\times1592=8.0\,[\mathrm{Wb/m^2}]$
단면적은 $10\,[\mathrm{cm^2}]=10\times(10^{-2})^2=10^{-3}\,[\mathrm{m^2}]$이므로
$\phi=BA=8.0\times10^{-3}=8\times10^{-3}\,[\mathrm{Wb}]$
단면적을 $10^{-4}\,[\mathrm{m^2}]$로 잘못 환산하면 $8\times10^{-4}\,[\mathrm{Wb}]$가 나오므로, $\mathrm{cm^2}$에서 $\mathrm{m^2}$로 바꿀 때 $10^{-4}$를 곱한다는 점을 확인해야 한다.

그림의 정방형관은 위·아래·왼쪽 변이 0V, 오른쪽 변이 100V이고, 각 격자점의 전위는 이웃한 네 점 전위의 평균이 된다. 반복법은 거친 격자에서 시작해 격자를 반씩 세분해 가며 값을 구한다.
먼저 관 한가운데 점은 네 변의 중점을 이웃으로 보므로 $V=\dfrac{0+0+0+100}{4}=25\,\mathrm{V}$이다.
다음 단계에서 왼쪽 위 사분면의 중심점(및 대칭인 왼쪽 아래 점)은 왼쪽 위 모서리·윗변 중점·왼쪽 변 중점의 0V와 한가운데의 25V가 이웃이므로 $V=\dfrac{0+0+0+25}{4}=6.25\,\mathrm{V}$이다.
구하는 점은 왼쪽 변 중점의 0V, 위·아래의 6.25V, 오른쪽 한가운데의 25V가 이웃이므로 $V=\dfrac{0+6.25+6.25+25}{4}=9.375\,\mathrm{V}$, 즉 약 9.4V이다.

동기조상기는 여자전류를 조정하여 진상과 지상 무효전력을 모두 낼 수 있는 회전기인 반면, 전력용 콘덴서는 구조상 진상 무효전력만 공급할 수 있다. 시충전은 회전기인 동기조상기라야 가능하고, 회전에 따른 손실이 있으므로 전력손실은 동기조상기가 더 크며, 무효전력 조정은 여자를 연속으로 바꿀 수 있는 동기조상기가 연속적이고 개폐로 뱅크를 넣고 빼는 콘덴서가 계단적이다.

유효전력은 그대로 두고 무효전력만 줄이는 것이 역률 개선이므로, 필요한 콘덴서 용량은 개선 전후 무효전력의 차다.
$Q_c=P(\tan\theta_1-\tan\theta_2)=P\left(\dfrac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1}-\dfrac{\sin\theta_2}{\cos\theta_2}\right)$
$\cos\theta_1=0.6$이면 $\sin\theta_1=0.8$이므로 $\tan\theta_1=\dfrac{0.8}{0.6}=1.333$,
$\cos\theta_2=0.9$이면 $\sin\theta_2=\sqrt{1-0.9^2}=0.436$이므로 $\tan\theta_2=\dfrac{0.436}{0.9}=0.484$.
대입하면
$Q_c=100\times(1.333-0.484)=84.9\ \approx\ 85\,[\mathrm{kVA}]$
역률 개선 후에도 유효전력은 $100\,[\mathrm{kW}]$ 그대로이고, 피상전력만 $\dfrac{100}{0.6}=166.7\,[\mathrm{kVA}]$에서 $\dfrac{100}{0.9}=111.1\,[\mathrm{kVA}]$로 줄어든다.

튜블러 수차는 수차와 발전기를 수로 축방향에 일체로 배치한 형식으로, 낙차가 15m 이하로 매우 낮고 유량이 큰 조건에서 효율이 좋아 조력발전에 쓰인다. 카플란 수차도 저낙차용이지만 조력발전처럼 극저낙차·대유량 조건에 맞춰진 것은 튜블러 수차이며, 펠톤은 고낙차, 프란시스는 중낙차에 적합하다.

공학기압과 표준대기압의 관계에서 출발한다. $1\,[\mathrm{atm}]$은 수은주 $760\,[\mathrm{mmHg}]$에 해당하며 이는 $1.0332\,[\mathrm{kg/cm^2}]$이다.
$1\,[\mathrm{atm}]=1.0332\,[\mathrm{kg/cm^2}]$
따라서
$\dfrac{169}{1.0332}=163.6\,[\mathrm{atm}]$
환산 기준값이 $1$에 가깝기 때문에 결과도 $169$에서 조금 줄어든 값이 되어야 한다. $1650$이나 $12850$처럼 자릿수가 달라지는 값은 이 환산에서 나올 수 없다.

이도가 클수록 전선이 아래로 더 처지므로 지표까지의 높이를 확보하려면 지지물을 그만큼 높게 세워야 한다. 즉 이도의 대소가 지지물 높이를 좌우한다. 전선을 팽팽하게 가선한 상태는 이도가 작은 것이고, 바람에 좌우로 크게 흔들려 다른 상에 접촉하거나 전선끼리 꼬이는 현상은 이도가 클 때 생기는 문제이므로, 이를 이도가 작을 때의 현상으로 서술한 것은 옳지 않다.

승압기는 2차(직렬)권선만 선로에 직렬로 삽입되는 단권변압기다. 승압기 자신의 용량(자기용량)은 직렬권선에 걸리는 전압과 그 권선을 지나는 전류의 곱이다.
$W=e\,I_2\ \Rightarrow\ I_2=\dfrac{W}{e}$
이 전류가 그대로 부하로 흐르고 부하에는 승압 후 전압 $V_h$가 걸리므로, 공급 가능한 부하용량은
$W_L=V_hI_2=V_h\times\dfrac{W}{e}=\dfrac{V_h}{e}\times W$
즉 자기용량에 $\dfrac{V_h}{e}$배를 곱한 만큼을 감당할 수 있다. 승압분 $e$가 승압 후 전압 $V_h$에 비해 작을수록 배율이 커지므로, 작은 용량의 승압기로 큰 부하를 다룰 수 있다는 것이 단권변압기의 이점이다.

유도전동기는 부하와 무관하게 자속을 만드는 여자전류가 거의 일정하게 흐르는데, 경부하로 운전하면 유효전류는 줄고 여자전류만 남아 무효분의 비중이 커지므로 역률이 크게 떨어진다. 동기전동기는 여자를 조정해 진상으로 운전할 수 있어 오히려 역률 개선에 쓰이고, 선로의 충전전류는 진상분이며 전등부하는 거의 순저항이므로 역률 저하의 주된 원인이 되지 않는다.

송·수전단 사이에 리액턴스 $X$만 있다고 보는 근사(저항 무시)에서 전송전력은
$P=\dfrac{V_sV_r}{X}\sin\delta$
여기서 $\delta$는 송전단 전압과 수전단 전압의 위상차다. $\sin\delta$는 $\delta=90^\circ$에서 최대값 $1$을 가지므로
$P_{max}=\dfrac{V_sV_r}{X}\,[\mathrm{W}]$
이 식은 전력이 두 전압의 크기 차가 아니라 위상차에 의해 전달된다는 점을 보여 준다. $V_s-V_r$가 들어간 형태는 전력이 아니라 전압강하를 다룰 때 쓰는 꼴이다.

가공지선은 전선로 최상부에 가설되어 직격뢰를 대신 받아 차폐하고, 뇌운에 의한 유도뢰에 대해 정전차폐 효과를 내며, 통신선에 유도되는 전자유도 전압을 상쇄시켜 장해를 줄인다. 반면 전압강하는 부하전류가 선로 임피던스를 흐르며 생기는 것이어서 전력선의 굵기·역률·선로정수로 결정되므로 가공지선과는 무관하다.

피뢰기가 방전하는 동안 단자에 남아 있는 전압의 파고값을 제한전압이라 하며, 이 값이 낮을수록 뒤에 있는 기기의 절연을 잘 보호한다. 속류는 방전이 끝난 뒤 상용주파 전압에 의해 계속 흐르는 전류이고, 기준충격절연강도는 기기의 절연설계 기준값이므로 방전 중 단자전압의 파고값과는 다른 개념이다.

그림에서 1차측은 $\Delta$결선, 2차측은 중성점이 접지된 Y결선이다.
2차 중성점을 통해 영상전류가 흐르면 1차 $\Delta$권선 안에도 이에 대응하는 영상전류가 유기되어 순환한다.
그러나 $\Delta$결선에서 세 상의 영상전류는 크기와 위상이 같아 폐회로 안에서만 돌 뿐 선로로 빠져나갈 통로가 없다.
따라서 1차측 변압기 내부에는 영상전류가 존재하지만 1차측 선로에 나타나는 영상전류는 반드시 0이다.

밸런서는 단상 3선식에서 중성선을 기준으로 양쪽 부하가 불평형일 때 전압이 한쪽으로 치우치는 것을 막기 위해 설치하는 권수비 1의 단권변압기이므로, 중성선이 없는 단상 2선식에는 쓸 이유가 없다. 저압 뱅킹 방식이 변압기 용량을 서로 융통해 전압변동을 줄이는 점, 손실계수가 부하율 $F$와 $F^2$ 사이의 값을 가지는 점, 수용률이 최대수용전력을 설비용량으로 나눈 백분율인 점은 모두 옳다.

제동권선은 회전자에 감긴 단락 도체로, 부하 변동 등으로 회전자가 동기속도를 중심으로 진동(난조)하면 상대속도가 생기면서 유도전류가 흘러 진동을 억제하는 제동력을 낸다. 이렇게 난조를 억누르는 것이 곧 안정도 증진이며, 정지시간 단축이나 정상 운전 시의 회전력 증가, 과부하 내량 증대는 제동권선의 기능이 아니다.

전압강하율의 정의 $\delta=\dfrac{e}{V_r}$에서 허용 전압강하를 먼저 구한다.
$e=\delta V_r=0.1\times30000=3000\,[\mathrm{V}]$
3상 3선식 선로의 전압강하는
$e=\sqrt3\,I(R\cos\theta+X\sin\theta)$
$\cos\theta=0.8$이면 $\sin\theta=0.6$이므로 괄호 안은
$15\times0.8+20\times0.6=12+12=24$
$I=\dfrac{3000}{\sqrt3\times24}=72.2\,[\mathrm{A}]$
수전 가능한 전력은
$P=\sqrt3\,V_rI\cos\theta=\sqrt3\times30000\times72.2\times0.8=3.0\times10^6\,[\mathrm{W}]=3000\,[\mathrm{kW}]$
두 식을 합치면 전류를 거치지 않고
$P=\dfrac{V_r\,e\cos\theta}{R\cos\theta+X\sin\theta}=\dfrac{30000\times3000\times0.8}{24}=3\times10^6\,[\mathrm{W}]$
로 한 번에 얻을 수도 있다.

변압기 여자전류에는 자기포화 때문에 제3고조파가 필연적으로 포함되는데, 델타 결선이 있으면 각 상의 제3고조파가 동상이어서 델타 폐회로 안을 순환전류로 돌게 되고 외부 선로로 나가지 못한다. 그 결과 기전력 파형이 정현파로 유지된다. 제5·제7고조파는 상순이 달라 델타 안을 순환하지 못하며, 직류분 제거와도 관계가 없다.

직류는 전류가 0을 지나는 점이 없어 아크를 끊을 자연적인 기회가 생기지 않으므로, 고전압·대전류의 차단은 교류보다 오히려 어렵고 이것이 직류 송전의 대표적인 단점이다. 무효전력이 흐르지 않아 전압변동률이 좋은 점, 동기 안정도 한계가 없어 송전용량을 크게 잡을 수 있는 점, 변환기의 스위칭 때문에 고조파가 발생하는 점은 모두 직류 송전의 실제 특징이다.

충전전류는 각 선의 대지 정전용량에 상전압이 걸려 흐르는 전류이므로, 선간전압이 아니라 상전압을 써야 한다.
$I_c=\omega C\ell\dfrac{V}{\sqrt3}=2\pi fC\ell\dfrac{V}{\sqrt3}$
선로 전체의 정전용량은
$C\ell=0.3587\times10^{-6}\times15=5.381\times10^{-6}\,[\mathrm{F}]$
상전압은
$\dfrac{66000}{\sqrt3}=38105\,[\mathrm{V}]$
대입하면
$I_c=2\pi\times60\times5.381\times10^{-6}\times38105=77.3\,[\mathrm{A}]$
선간전압 $66000\,[\mathrm{V}]$를 그대로 넣으면 $\sqrt3$배 큰 값이 되므로, 상전압으로 바꾸는 과정을 빠뜨리면 안 된다.

가스차단기(GCB)는 절연내력이 공기보다 훨씬 높고 전자를 잘 흡착하여 아크를 빠르게 소호하는 육불화황(SF₆) 가스를 소호매질로 사용한다. 질소·아르곤·네온은 이러한 전자 흡착성과 소호능력을 갖추지 못해 차단기의 소호매질로 쓰이지 않는다.

진공차단기(VCB)는 고진공 속에서 아크 생성물이 급속히 확산되고 절연이 즉시 회복되는 성질을 이용해 아크를 소호하는 방식이며, 공기 중 냉각으로 소호하는 것이 아니다. 유입차단기는 절연유가 분해되며 생기는 가스의 흡부력, 공기차단기는 압축공기의 취부, 자기차단기는 전자력으로 아크를 소호실로 끌어들여 냉각하는 방식이 맞다.

네트워크 배전 방식은 여러 회선의 급전선에서 변압기를 거쳐 저압측을 그물망으로 연결하는 방식이라 한 회선이 정전되어도 다른 회선이 공급을 이어받아 신뢰도가 높고, 부하가 여러 경로로 분담되어 전압변동과 전력손실이 줄어든다. 다만 저압 계통이 상시 다중으로 접속되어 있어 사고 시 여러 방향에서 전류가 유입되므로 인축의 접촉사고 위험은 오히려 커지며, 이를 막기 위해 네트워크 프로텍터 같은 보호장치가 필요하다.

환류다이오드는 유도성 부하에서 스위칭 소자가 꺼지는 순간 인덕터에 저장된 에너지가 흐를 경로를 만들어 주어, 전류가 끊기며 생기는 과전압을 막고 부하전류를 연속적으로 평활하게 유지한다. 따라서 유도성 부하에서는 오히려 필수적이며 불필요하다는 서술이 틀렸다. 순저항 부하는 전류를 유지하려는 인덕턴스가 없어 환류 경로가 필요 없고, 환류 구간에서 부하가 다이오드로 단락되어 출력전압이 거의 0V가 되는 것도 맞는 설명이다.

3상 변압기를 병렬운전하려면 1차와 2차 사이의 위상 변위가 서로 같아야 한다. 델타-와이 결선은 1·2차 전압 사이에 30도의 위상차가 생기는 반면 델타-델타 결선은 위상차가 없으므로, 이 둘을 병렬로 묶으면 위상차만큼의 전압차로 큰 순환전류가 흘러 병렬운전이 불가능하다. 델타-와이와 와이-델타처럼 위상 변위가 있는 것끼리, 델타-델타와 와이-와이처럼 위상 변위가 없는 것끼리 조합하면 병렬운전이 가능하다.

3상 직권 정류자 전동기의 중간(직렬)변압기는 정류자에 걸리는 전압을 적정한 값으로 낮추고, 실효 권수비를 바꿔 전동기 특성을 원하는 대로 설계하며, 경부하에서 속도가 이상 상승하는 것을 억제하는 데 쓰인다. 회전자 권선의 상수는 중간변압기 덕분에 고정자와 무관하게 자유로이 선정할 수 있게 되는 것이지, 상수를 줄이는 것이 사용 목적은 아니다.

직류 분권 전동기의 회전속도는 $N = K\dfrac{V - I_a R_a}{\phi}$로 자속에 반비례한다. 무부하 중 계자회로가 단선되면 계자전류가 끊겨 잔류자속만 남으므로 자속이 거의 0에 가까워지고, 그만큼 속도가 급격히 치솟아 원심력으로 회전자가 파손될 위험이 있다. 계자를 잃어도 전기자에는 전원이 그대로 걸려 있으므로 정지하거나 역전하지 않는다.

변압기의 여자전류는 철심에 자속을 만드는 자화전류와 히스테리시스손·와류손을 공급하는 철손전류의 합성이다. 이 가운데 부하와 관계없이 순수하게 자속만을 만드는 무효분이 자화전류이며, 여자전류 전체는 철손전류라는 유효분을 포함하므로 자속만을 발생시키는 전류라고 할 수 없다.

규약효율은 측정하기 어려운 양을 직접 재지 않고, 측정이 쉬운 쪽의 전력과 손실만으로 정의한 효율이다.
전동기는 입력이 전기량이라 정확히 측정되지만 출력은 기계적 동력이라 측정이 까다롭다. 그래서 출력을 입력에서 손실을 뺀 값으로 대신한다.
$\eta=\dfrac{P_{in}-P_{loss}}{P_{in}}\times100\,[\%]$
반대로 발전기는 출력이 전기량이라 측정이 쉬우므로, 입력을 출력에 손실을 더한 값으로 두어
$\eta=\dfrac{P_{out}}{P_{out}+P_{loss}}\times100\,[\%]$
를 쓴다. 두 식 모두 손실을 실측 가능한 쪽에 붙인다는 원칙은 같고, 기기 종류에 따라 어느 쪽이 분모에 오는지가 달라진다.

타여자 전동기는 계자가 전기자와 별개의 전원에서 여자되어 부하가 변해도 자속이 일정하게 유지되므로, 부하에 따른 속도 변화가 전기자 저항강하에 의한 미소한 몫에 그쳐 정속도 전동기로 분류된다. 직권 전동기는 부하전류가 곧 계자전류여서 부하가 늘면 자속이 커지고 속도가 급격히 떨어지며, 복권 전동기도 직권 계자의 영향으로 타여자만큼 속도가 일정하지 않다.

반발 기동형은 기동 시 정류자와 단락 브러시를 이용해 회전자에 직권 특성에 가까운 큰 전류를 흘려 토크를 얻으므로 단상 유도전동기 기동 방식 가운데 기동토크가 가장 크다. 콘덴서 분상 기동형, 분상 기동형, 세이딩 코일형의 순으로 기동토크가 작아지며, 특히 세이딩 코일형은 회전자계가 약해 토크가 가장 작다.

부흐홀츠 계전기는 변압기 내부 고장으로 절연유가 분해되며 발생한 가스나 급격한 유류의 흐름이라는 기계적 현상을 검출해 동작한다. 즉 전류·전압 같은 전기적 신호를 직접 받아 동작하는 계전기가 아니다. 기계적 충격이나 유온 변화로도 동작할 수 있어 오동작 가능성이 있고, 변압기 보호용으로 주탱크와 콘서베이터를 잇는 연결관 도중에 설치한다는 설명은 옳다.

정류코일의 리액턴스 전압은 코일 인덕턴스가 만드는 유도 전압이므로 $e_L = L\dfrac{di}{dt}$에서 출발한다.
정류주기 $T_c$ 동안 전류가 $I_c$에서 $-I_c$로 바뀌므로 전류 변화량은 $\Delta i = I_c-(-I_c) = 2I_c$이고, 걸린 시간은 $\Delta t = T_c$이다.
평균값을 묻고 있으므로 순시 미분 대신 변화량의 비를 그대로 넣으면
$e_r = L\dfrac{\Delta i}{\Delta t} = L\dfrac{2I_c}{T_c}$[V]
정류주기가 짧아질수록(고속 회전) 리액턴스 전압이 커져 정류가 나빠지고 브러시에 불꽃이 생긴다.

리니어 전동기는 회전형 전동기를 축방향으로 펼친 구조로 직선 방향의 추진력을 직접 얻는 것이 본질이므로, 직접 원운동이 얻어진다는 서술은 리니어 전동기의 장점이 될 수 없다. 회전·감속 기구가 없어 구조가 간단하고 신뢰성이 높은 점, 마찰에 의존하지 않고 전자력으로 추진력을 얻는 점, 회전체가 없어 원심력에 의한 속도 제한이 없는 점은 모두 실제 장점이다.

초퍼는 직류 전원을 반도체 스위치로 고속으로 끊었다 이었다 하며 평균 출력전압을 바꾸는 직류-직류 변환기이다. 인버터는 직류를 교류로 바꾸고, 사이클로컨버터는 교류를 다른 주파수의 교류로 직접 변환하는 장치이므로 직류를 다른 전압의 직류로 바꾸는 기기와는 다르다.

패러데이 법칙에 따르면 시변자속이 강자성체 철심을 지나면 철심 내부에 유기전압이 발생하고, 이 유기전압에 의해 와전류가 흘러 철심 내부에서 발열(손실)이 일어난다. 와전류에 의한 에너지손실은 전류가 흐르는 경로(철심 두께)의 제곱에 비례하여 커지므로, 경로 크기에 반비례한다는 설명은 틀렸다.

철손이 $fB_m^2$에 비례하고, 자속밀도 $B_m$은 유기기전력식에 의해 $B_m \propto V/f$ 관계를 가지므로 철손은 $f \cdot (V/f)^2 = V^2/f$에 비례한다.
전압이 1.03배, 주파수가 0.97배로 변화하였으므로 철손비는 $\dfrac{1.03^2}{0.97}\approx 1.094$가 되어 정격 상태보다 약 9.4% 증가한다.

속도 기전력은 직류기 유기기전력과 같은 꼴인 $E = \dfrac{PZ\phi n}{60a}$에서 출발한다. 다만 갭의 자속분포가 정현파이므로 이 식으로 얻은 값은 최대값에 해당하여 실효값으로 바꾸려면 $\sqrt{2}$로 나누고, 브러시 축이 자극축과 $\theta$만큼 기울면 유효 성분이 $\sin\theta$배로 줄어든다.
$E_s = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{PZ\phi_m n}{60a}\sin\theta$
먼저 앞부분을 계산하면 $\dfrac{2\times200\times0.14\times1200}{60\times1} = 1120$[V]
$E_s = \dfrac{1120}{\sqrt{2}}\times\sin30^\circ = 791.96\times0.5 \approx 396$[V]
약 400 V이다. 자속분포가 정현파라는 조건이 실효값 환산 $1/\sqrt{2}$을 요구하는 근거이므로 이 단계를 빠뜨리면 값이 $\sqrt{2}$배 커진다.

역률 개선에 필요한 진상 무효전력은 개선 전 무효전력에서 개선 후 무효전력을 뺀 값이다. $Q_c = P_1\tan\theta_1 - P_2\tan\theta_2$이며, $\tan\theta = \dfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta}$로 역률에서 바로 얻는다.
개선 전은 부하 350 kW, 역률 0.85이므로 $\tan\theta_1 = \dfrac{\sqrt{1-0.85^2}}{0.85} = 0.620$, $Q_1 = 350\times0.620 = 216.9$[kVar]
개선 후는 동기 전동기 50 kW가 더해져 유효전력이 $350+50 = 400$[kW]가 되고 역률이 0.95이므로 $\tan\theta_2 = \dfrac{\sqrt{1-0.95^2}}{0.95} = 0.3287$, $Q_2 = 400\times0.3287 = 131.5$[kVar]
$Q_c = 216.9-131.5 = 85.4$[kVar]
약 85 kVar이며, 이것이 동기 전동기를 과여자로 운전해 내보내야 할 진상 무효전력이다.

변압기의 무부하시험에서는 여자전류와 철손을, 단락시험에서는 임피던스전압과 동손을 구할 수 있고 이 값들로 전압변동률도 계산할 수 있다. 그러나 절연내력은 별도의 내전압(절연내력) 시험을 통해 확인하는 항목이므로 두 시험만으로는 구할 수 없다.

동기발전기의 무부하포화곡선은 철심의 자기포화로 인해 곡선을 이루지만, 단락시험 시에는 전기자 반작용에 의한 감자작용으로 철심 내 자속이 작게 유지되어 자기포화가 일어나지 않으므로 단락전류와 계자전류의 관계가 직선으로 나타난다.

단락비는 무부하 정격전압을 내는 여자에서의 단락전류와 정격전류의 비이며, 퍼센트 동기 임피던스의 역수로 $K_s = \dfrac{100}{\%Z_s}$이다. 퍼센트 임피던스는 정의 $\%Z = \dfrac{I_n Z}{E}\times100$에 정격전류 $I_n = \dfrac{P}{\sqrt{3}V}$를 넣어 정리하면 $\%Z_s = \dfrac{PZ_s}{10V^2}$가 된다(P는 kVA, V는 kV).
대입하면 $\%Z_s = \dfrac{5000\times1.8}{10\times3.3^2} = \dfrac{9000}{108.9} = 82.6$[%]
$K_s = \dfrac{100}{82.6} = 1.21$
약 1.2이다.

동기기의 회전자에 의한 분류는 계자와 전기자 중 어느 쪽이 회전하는지 또는 유도자가 회전하는지에 따라 회전계자형, 회전전기자형, 유도자형으로 나뉜다. 원통형은 계자극의 형상(원통형·돌극형)에 따른 분류이지 회전자의 종류에 의한 분류가 아니다.

제어계에서 기준입력과 주궤환량(출력을 되먹임한 신호)의 차를 동작신호(편차신호)라 하며, 이 신호가 제어요소에 가해져 실제 제어동작을 일으키는 원인이 된다.

2차 제어계에서 감쇠비 δ가 클수록 진동이 억제되어 제동이 많이 걸리고 응답은 느려지지만 비교안정도는 향상된다. 반대로 δ가 작아지면 제동이 적게 걸려 오버슈트와 진동이 커지므로 비교안정도는 오히려 저하된다. 따라서 δ를 작게 할수록 비교안정도가 향상된다는 설명은 틀렸다.

이산치(샘플값) 제어계는 특성방정식의 근이 z평면 단위원 내부, 즉 크기가 1보다 작을 때 안정하다. 주어진 근 -0.3, -0.2, 0.5는 모두 절댓값이 1보다 작으므로 이 시스템은 안정하다.

라우스 표를 전개하면 $s^3$행의 첫 항이 0이 되므로 바로 윗행으로 보조방정식 $2s^4+4s^2+10=0$을 세우고 이를 미분한 $8s^3+8s$의 계수로 그 행을 대체하여 계속 전개한다. 그 결과 제1열은 $1,\ 2,\ 8,\ 2,\ -32,\ 10$이 되어 부호가 두 번 바뀐다.
라우스 판별법에서 제1열의 부호 변화 횟수는 s평면 우반면에 있는 근의 개수와 같으므로, 우반면에 근이 2개 존재하여 이 계는 불안정하다.

근궤적의 가지 수는 이득 $K$를 0에서 무한대로 변화시킬 때 움직이는 폐루프 특성근의 개수이므로, 개루프 전달함수의 극점 수 $n$과 영점 수 $m$ 중 큰 값과 같다.
$G(s)H(s) = \dfrac{K(s+1)}{s(s+1)(s+2)}$에서 극점은 $s = 0,\,-1,\,-2$로 $n = 3$이고, 영점은 $s = -1$로 $m = 1$이다.
따라서 근궤적의 수는 $\max(n,\,m) = \max(3,\,1) = 3$이다.
특성방정식 $1+G(s)H(s) = 0$을 정리하면 $s(s+1)(s+2)+K(s+1) = 0$인 3차식이 되어 근이 3개라는 점에서도 확인된다.