환상솔레노이드의 자기 인덕턴스는 $L=\dfrac{\mu N^2 S}{\ell}$이다. 자기저항이 자로의 길이에 비례하고 투자율과 단면적에 반비례하기 때문에, 인덕턴스는 투자율 μ와 단면적 S에 비례하고 자로의 길이 ℓ에 반비례하며 권선수의 제곱에 비례한다. 따라서 권선수의 제곱에 비례한다는 설명이 옳다.

두 매질의 경계면에서는 전계와 자계의 접선성분이 각각 연속이고, 진전하가 없으면 전속밀도와 자속밀도의 법선성분이 각각 연속이다. 자속밀도는 자하가 존재하지 않아 자속선이 끊기지 않는다는 점에서 법선성분이 같아야 하는 양이며 접선성분은 투자율이 다르면 달라진다. 따라서 자속밀도의 접선성분이 서로 같다는 설명은 경계조건이 아니다.

같은 형상에서 정전용량 문제와 누설저항 문제는 동일한 라플라스 방정식을 풀게 되므로, 두 도체 사이가 유전율 $\epsilon$, 도전율 $\sigma$인 매질로 채워져 있으면 항상
$RC=\dfrac{\epsilon}{\sigma}$
가 성립한다. 동축케이블의 정전용량은
$C=\dfrac{2\pi\epsilon l}{\ln\dfrac{r_2}{r_1}}$
이므로 이를 대입하면
$R=\dfrac{\epsilon}{\sigma C}=\dfrac{\epsilon}{\sigma}\times\dfrac{\ln\dfrac{r_2}{r_1}}{2\pi\epsilon l}=\dfrac{1}{2\pi\sigma l}\ln\dfrac{r_2}{r_1}$
유전율은 약분되어 사라지고 도전율만 남는다는 점, 그리고 저항이므로 로그항이 분자에 와야 한다는 점이 판별 기준이다.

자기회로는 기자력 $F=NI$를 기전력에, 자속 $\Phi$를 전류에, 자기저항 $R_m=\dfrac{l}{\mu S}$를 저항에 대응시킨 회로로 다룰 수 있고, 옴의 법칙에 해당하는 관계가 $\Phi=\dfrac{F}{R_m}$이다.
대입하면
$\Phi=\dfrac{NI}{\dfrac{l}{\mu S}}=\dfrac{\mu SNI}{l}$
즉 자속은 투자율·단면적·권수·전류에 비례하고 자로의 길이에 반비례한다. 단위로 확인해도 $\mu$[H/m], $S$[m²]에 $NI$[A]를 곱하고 $l$[m]로 나누면 Wb가 되어 맞는다.

전위와 전계의 관계는 $V_B-V_A=-\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{l}$이다. 전하를 전계 방향으로 이동시키면 전위는 그만큼 낮아진다.
평등전계이므로 전위 감소분은
$\Delta V=Ed=30\times0.8=24\,\text{V}$
출발점의 전위가 80V이므로 도착점의 전위는
$V=80-24=56\,\text{V}$
전하량 1C은 이동에 필요한 일 $W=qEd=24\,\text{J}$을 정할 뿐이고, 그 점의 전위 자체와는 무관하다. 또 80cm를 m로 환산하지 않으면 값이 완전히 달라지므로 $d=0.8\,\text{m}$로 넣어야 한다.

도체 내부에서 미소체적을 잡으면, 단면 $dS$를 지나는 전류 $J\,dS$가 길이 $dl$ 구간의 전위차 $E\,dl$을 통과하며 소비하는 전력은 $(E\,dl)(J\,dS)=EJ\,dv$이다. 즉 단위체적당 소비전력(전력밀도)이
$p=\vec{E}\cdot\vec{J}$
이고, 옴의 법칙 $\vec{J}=\sigma\vec{E}$를 쓰면 $p=\sigma E^2=\dfrac{J^2}{\sigma}$와도 같다.
전체 도체에서 소비되는 전력은 이를 체적에 대해 적분한
$P=\int_v \vec{E}\cdot\vec{J}\,dv$
전력은 스칼라이므로 두 벡터의 내적이어야 하며, 외적 $\vec{E}\times\vec{J}$는 결과가 벡터가 되어 전력이 될 수 없다. 또 $\vec{E}\cdot\vec{J}$ 자체가 이미 전력밀도이므로 $\dfrac{1}{\sigma}$를 따로 곱하면 안 된다.

자극의 세기 $m$, 길이 $l$인 막대자석의 자기모멘트는 $M=ml$이고, 이것이 평등자계 $H$ 안에서 자계와 $\theta$의 각을 이룰 때 받는 회전력은
$T=MH\sin\theta=mlH\sin\theta$
이다. 양 자극에 각각 $mH$의 힘이 반대 방향으로 걸려 짝힘을 이루고, 그 팔 길이가 $l\sin\theta$인 데서 나온 식이다.
길이를 m 단위로 고쳐 $l=3\,\text{cm}=3\times10^{-2}\,\text{m}$로 두고 대입하면
$T=(8\times10^{-6})\times(3\times10^{-2})\times120\times\sin30^\circ$
$=(2.4\times10^{-7})\times120\times0.5=2.88\times10^{-5}\times0.5$
$=1.44\times10^{-5}\,\text{N}\cdot\text{m}$

정상전류계에서 전류밀도는 도전율과 전계의 세기의 곱으로 나타난다. $i = kE$ 는 옴의 법칙 $J = \sigma E$ 를 미분형으로 표현한 것으로, 전류밀도가 전계에 비례하고 그 비례상수가 도전율임을 뜻한다. 전류밀도는 도전율에 비례하므로 도전율로 나누거나 고유저항을 곱한 형태는 비례관계가 뒤집힌 것이어서 성립하지 않고, 음의 부호가 붙은 형태는 전류가 전계와 반대 방향으로 흐른다는 뜻이 되어 도체 내 전도현상과 맞지 않는다.

자기인덕턴스는 코일 자신에 흐르는 전류에 의해 발생한 자속 쇄교수와 전류의 비로 정의되며, 전류의 방향에 관계없이 자속이 항상 전류와 같은 방향으로 쇄교하므로 그 값은 항상 정(正)의 부호를 가진다. 상호인덕턴스는 두 회로의 배치에 따라 부호가 달라질 수 있지만, 자기인덕턴스는 그렇지 않다는 점에서 구분된다.

쇄교자속수는 $\Psi=N\Phi=LI$이고, 코일에 축적되는 자기에너지는 전류를 0에서 $I$까지 올리는 동안 한 일 $\int_0^I Li\,di$에서
$W=\dfrac{1}{2}LI^2=\dfrac{1}{2}\Psi I$
로 얻어진다.
$\Psi=4\,\text{Wb}$, $I=4\,\text{A}$를 대입하면
$W=\dfrac{1}{2}\times4\times4=8\,\text{J}$
이때 인덕턴스는 $L=\dfrac{\Psi}{I}=\dfrac{4}{4}=1\,\text{H}$이므로 $W=\dfrac{1}{2}\times1\times4^2=8\,\text{J}$로 계산해도 같다. $\dfrac{1}{2}$을 빠뜨리면 16J이 된다.

전자파의 전파속도는 $v = \dfrac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \dfrac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ 로 주어지므로, 진공 중 빛의 속도 c와 같아지려면 비유전율과 비투자율이 모두 1이어야 한다. 매질이 진공(또는 진공과 동일한 특성)일 때만 전파속도가 빛의 속도와 일치한다.

그림에서 두 도선의 전류 $I$와 $4I$는 모두 위쪽을 향하고 점 P는 두 도선 사이에 있으므로, P에서 두 전류가 만드는 자계는 서로 반대 방향이 되어 크기가 같아질 때 합성 자계가 0이 된다.
무한장 직선도선의 자계는 $H=\frac{I}{2\pi r}$이므로 $\frac{I}{2\pi a}=\frac{4I}{2\pi b}$가 성립한다.
정리하면 $b=4a$이고 따라서 $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$이다.

자기회로에서 자속은 전기회로의 전류에, 기자력은 기전력에, 자계의 세기는 전계의 세기에 대응한다. 그러나 투자율은 자기저항 $R_m = \dfrac{l}{\mu A}$ 에서 자속을 잘 통과시키는 정도를 정하는 상수로, 전기저항 $R = \dfrac{l}{\sigma A}$ 에서 같은 자리에 놓이는 도전율에 대응한다. 유전율은 정전계에서 전하와 전속밀도를 잇는 상수여서 자기회로의 자속 흐름과 대응 관계가 성립하지 않으므로, 투자율을 유전율에 대응시킨 것은 옳지 않다.

평등자계 속에 놓인 직선도체가 받는 힘은 $F = BIL\sin\theta$ 이다. 전류가 자계와 나란하면 힘이 0이고 직각일 때 최대이므로, 사잇각의 $\sin$ 이 곱해진다.
대입하면
$F = 0.3 \times 5 \times 2 \times \sin 60^\circ = 3 \times 0.866 = 2.6$ [N]
각도를 무시하고 $BIL = 3$ [N] 으로 두면 안 되고, $\sin 60^\circ = 0.866$ 을 곱한 값이 답이 된다.

유한 길이 직선도선이 만드는 자계 $H = \dfrac{I}{4\pi d}(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$ 를 정사각형의 한 변에 적용한다.
중심에서 각 변까지의 수직거리는 $d = \dfrac{a}{2}$ 이고, 중심에서 그 변의 양 끝을 바라보는 각은 각각 $45^\circ$ 이다.
한 변이 만드는 자계는
$H_1 = \dfrac{I}{4\pi \cdot \frac{a}{2}}(\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \dfrac{I}{2\pi a} \times \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2}\,I}{2\pi a}$
네 변이 모두 중심에서 같은 방향의 자계를 만들므로 단순히 4배 한다.
$H = 4H_1 = \dfrac{4\sqrt{2}\,I}{2\pi a} = \dfrac{2\sqrt{2}\,I}{\pi a}$ [AT/m]

전하가 있는 점 (3, 0, 0) 에서 관측점 (6, 4, 0) 으로 향하는 벡터는 $(6-3)a_x + (4-0)a_y = 3a_x + 4a_y$ 이고, 그 거리는
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ [m]
점전하의 전계 $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 9 \times 10^9 \dfrac{Q}{r^2}$ 에 대입하면
$E = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-9}}{5^2} = \dfrac{36}{25} = 1.44$ [V/m]
방향은 양전하에서 바깥으로 향하므로, 위 벡터를 크기 5로 나눈 단위벡터
$a_r = \dfrac{3a_x + 4a_y}{5} = \dfrac{1}{5}(3a_x + 4a_y)$
가 된다. $3a_x + 4a_y$ 는 크기가 5라서 단위벡터가 아니고, $r^2 = 25$ 대신 $125$ 로 나누면 전계 크기가 달라진다.

가우스 법칙의 미분형 $\nabla \cdot D = \rho_v$ 에서 체적 전하밀도는 전속밀도의 발산이다.
$\nabla \cdot D = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2) + \dfrac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z$
점 (1, 2, 3) 을 대입하면
$\rho_v = 2(1 + 2 + 3) = 12$ [C/m³]

전위의 기울기는 1차 편도함수를 성분으로 갖는 벡터다.
$\mathrm{grad}\,V = i\dfrac{\partial V}{\partial x} + j\dfrac{\partial V}{\partial y} + k\dfrac{\partial V}{\partial z}$
따라서 2차 편도함수 $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ 등을 성분으로 쓴 식은 성립하지 않는다. 2차 편도함수의 합은 방향 성분이 없는 스칼라량인 라플라시안 $\nabla^2 V = \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}$ 이지, 기울기 벡터가 아니다.
나머지는 모두 옳다. $E = -\mathrm{grad}\,V$ 는 전계가 전위가 낮아지는 방향을 향한다는 관계, $\int_s E \cdot n\,ds = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}$ 는 가우스 법칙의 적분형, $V = \int_P^\infty E \cdot d\ell$ 은 무한원을 기준으로 한 점 P의 전위 정의식이다.

전속은 가우스 법칙에 의해 전하량에만 의존하며 매질의 유전율에는 영향을 받지 않는다. 따라서 대전체를 비유전율이 10인 유전체 속으로 옮기더라도 전속은 변하지 않고 그대로 Q로 유지된다. 반면 전속밀도나 전계의 세기는 매질에 따라 달라질 수 있다는 점과 구분해야 한다.

스토크스 정리는 폐곡선 c 를 따라 도는 선적분을, 그 곡선이 둘러싸는 면 s 위의 회전(rotation)의 면적분으로 바꾸어 주는 정리다.
$\oint_c H \cdot dl = \int_s (\nabla \times H) \cdot ds$
좌변은 선적분이므로 $dl$ 이 붙고, 우변은 면적분이므로 $ds$ 가 붙으며 피적분함수에는 회전 $\nabla \times$ 가 온다. 좌변을 $ds$ 로 쓰거나, 우변에 발산 $\nabla \cdot$ 을 쓰면 정리의 형태가 아니다.
발산이 등장하는 것은 폐곡면의 면적분을 체적적분으로 바꾸는 발산 정리 $\oint_s H \cdot ds = \int_v (\nabla \cdot H)\,dv$ 쪽이다.
이 정리를 $H$ 에 적용하면 암페어 법칙의 적분형과 미분형 $\nabla \times H = J$ 가 연결된다.

직류 송전방식은 동기 안정도 문제 자체가 없어 교류 송전방식보다 안정도 측면에서 불리하지 않으며, 오히려 동기화 문제가 없어 유리한 방식으로 평가된다. 따라서 안정도가 낮다는 설명은 옳지 않다. 반면 직류연계는 단락전류를 교류계통으로 공급하지 않으므로 차단용량이 작아지고, 직류는 최대값이 곧 실효값이어서 같은 송전전압에 대해 절연계급을 낮출 수 있으며, 주파수와 위상에 얽매이지 않으므로 비동기 연계가 가능한 것은 모두 직류 송전의 실제 장점이다.

수력발전소의 출력은 물의 위치에너지 $9.8QH$ [kW] 에 수차효율과 발전기효율을 곱한 것이다.
$P = 9.8QH\eta_t\eta_g = 9.8 \times 20 \times 100 \times 0.7 \times 0.85 = 11662$ [kW]
연간 발전전력량은 1년 $365 \times 24 = 8760$ 시간을 곱한다.
$W = 11662 \times 8760 \fallingdotseq 1.02 \times 10^8 = 10 \times 10^7$ [kWh]

4단자 정수의 정의식은
$E_s = AE_r + BI_r$, $I_s = CE_r + DI_r$
이다. 무부하이면 수전단에 흐르는 전류가 없으므로 $I_r = 0$ 이고, 첫 식이
$E_s = AE_r$
로 줄어든다. 따라서 무부하 시 수전단 전압은
$E_r = \dfrac{E_s}{A}$
가 된다. B 는 $I_r$ 에 곱해지는 정수이므로 무부하에서는 아예 관여하지 않는다.

종합역률은 전체 유효전력을 전체 피상전력으로 나눈 값이다. 두 부하가 모두 뒤진 역률이므로 유효분끼리, 무효분끼리 각각 그대로 더할 수 있다.
유효전력 합: $P = P_1 + P_2$
각 부하의 무효전력은 $Q_i = P_i \tan\theta_i$ 이므로
무효전력 합: $Q = P_1\tan\theta_1 + P_2\tan\theta_2$
따라서 종합역률은
$\cos\theta = \dfrac{P}{\sqrt{P^2 + Q^2}} = \dfrac{P_1 + P_2}{\sqrt{(P_1+P_2)^2 + (P_1\tan\theta_1 + P_2\tan\theta_2)^2}}$
각 부하의 피상전력 $\dfrac{P_i}{\cos\theta_i}$ 를 산술적으로 더한 식은 위상이 다른 양을 크기만 더한 것이라 성립하지 않는다.

옥내배선의 전선 굵기는 통전 시 발열을 견디는 허용전류, 부하 말단까지의 전압강하, 시설 및 사고 시 손상을 견디는 기계적 강도를 고려하여 결정한다. 배선방식(예: 가지식, 환상식 등)은 선로의 구성 형태에 관한 것으로 전선 굵기 산정의 직접적 고려요소가 아니다.

선택 지락 계전기는 병행하는 두 회선 중 어느 회선에서 지락고장이 발생했는지를 구분하여, 고장이 발생한 회선만을 선택적으로 차단하기 위해 사용된다. 단일 회선에서는 회선을 선택할 대상 자체가 없으므로 이 계전기의 용도가 될 수 없다.

비접지 방식의 선로는 대지와 선로 사이의 정전용량을 통해 흐르는 충전전류가 지락전류로 나타난다. 중성점이 접지되어 있지 않아 지락 시에도 큰 고장전류가 흐르지 않고, 선로의 대지 정전용량에 의한 충전전류 수준의 전류만 흐르는 것이 비접지 방식의 특징이다.

터빈의 임계속도는 회전축과 회전자의 고유 진동수와 회전수가 일치하여 공진에 의해 진동이 급격히 커지는 위험한 회전수를 의미한다. 이 속도로 장시간 운전하면 축의 진동이 과대해져 손상될 수 있으므로 기동 및 정지 시 이 속도를 빠르게 통과시켜야 한다.

공통 중성선 다중 접지 배전선로의 보호협조는 변전소에 가까운 곳부터 재폐로 기능이 있는 리클로저(R), 구간을 분리하는 섹셔널라이저(S), 최말단의 라인퓨즈(F) 순으로 배치하는 것이 일반적이다. 이는 상위 보호기기가 먼저 재폐로 동작을 시도하여 일시적 고장을 처리하고, 영구고장인 경우에만 하위 기기가 차단하도록 하기 위함이다.

송전선로의 특성임피던스와 전파정수는 선로의 직렬임피던스와 병렬어드미턴스로부터 계산되며, 수전단을 개방한 무부하시험에서 $Z_{oc}$ 를, 수전단을 단락한 단락시험에서 $Z_{sc}$ 를 측정하면 $Z_0 = \sqrt{Z_{oc} Z_{sc}}$ 로 특성임피던스를, 두 값의 비로부터 전파정수를 구할 수 있다. 이는 변압기의 등가정수를 구하는 방법과 유사한 원리이다.

복도체 방식은 도체 표면의 전위경도를 낮추어 코로나 임계전압을 높이는 효과가 있으며, 이로 인해 코로나 손실과 잡음을 줄일 수 있다. 따라서 코로나 임계전압을 낮출 수 있다는 설명은 사실과 반대이다. 인덕턴스 감소와 정전용량 증가로 송전용량이 늘고 안정도가 향상되는 것은 복도체의 올바른 특성이다.

차단용량은 기준용량과 %임피던스로부터
$P_s = \dfrac{100}{\%Z}P_n$
으로 구한다. %Z 가 작을수록 단락전류가 커져 요구되는 차단용량이 커진다는 관계다.
$P_s = \dfrac{100}{0.4} \times 10000 = 250 \times 10000 = 2.5 \times 10^6$ [kVA]
$1000$ [kVA] $= 1$ [MVA] 이므로
$P_s = 2500$ [MVA]

환상식(루프식)은 배전선로를 고리 모양으로 구성하여, 고장이 발생하면 자동으로 고장구간을 분리하고 건전한 구간을 폐로시켜 반대 방향에서 전력을 공급받을 수 있도록 하는 방식이다. 수요 분포에 따라 임의의 분기점에서 전력을 공급받을 수 있어 가지식보다 공급 신뢰도가 높다.

중거리 송전선로의 T형 회로는 직렬 임피던스 Z 를 절반씩 나누어 양쪽 끝에 두고, 가운데에 병렬 어드미턴스 Y 를 몰아둔 등가회로다. 수전단에서 출발해 송전단 쪽으로 따라간다.
중앙점 전압: $V_m = E_r + \dfrac{Z}{2}I_r$
송전단 전류는 수전단 전류에 병렬 어드미턴스로 새는 전류가 더해진 것이므로
$I_s = I_r + YV_m = I_r + Y\left(E_r + \dfrac{Z}{2}I_r\right) = I_r\left(1 + \dfrac{ZY}{2}\right) + E_r Y$
즉 4단자 정수로 $C = Y$, $D = 1 + \dfrac{ZY}{2}$ 이다.
$1 + \dfrac{ZY}{4}$ 라는 인수가 붙는 것은 T형 회로의 $B = Z\left(1 + \dfrac{ZY}{4}\right)$ 쪽이며, 이는 전류식이 아니라 송전단 전압식에 나타난다.

전력계통을 상호 연계하면 발전기 및 고장전류 공급경로가 늘어나 단락용량이 오히려 증가하는 것이 일반적이며, 단락전류가 감소한다는 설명은 사실과 다르다. 반면 경제급전이 용이해지고 공급신뢰도가 향상되는 것, 한 계통의 사고가 다른 계통으로 파급될 수 있다는 것은 계통연계의 올바른 특징이다.

아킹혼(소호각)은 애자련 양단에 설치하여, 뇌격 등에 의한 섬락이 발생했을 때 아크가 애자 표면을 따라 흐르지 않고 아킹혼 사이에서 발생하도록 유도함으로써 애자가 아크열에 의해 손상되는 것을 방지하는 장치이다.

변전소에서의 접지는 기기의 절연파괴 시 인체 감전과 기기 손상을 막고 근무자의 안전을 확보하며, 계통 운용상 중성점을 접지하여 고장전류 검출과 이상전압 억제를 돕는 목적으로 이루어진다. 반면 차단기가 개폐할 때 접점 사이에 생기는 아크를 끄는 일은 차단기 자체의 소호매질과 소호장치(가스, 진공, 절연유 등)가 담당하는 기능이며 대지로 흘리는 접지와는 경로도 목적도 다르므로, 아크 소호는 변전소 접지의 목적이 될 수 없다.

그림은 발전기 기전력 $E_G$와 전동기 기전력 $E_M$ 사이에 $X_G$, $X_L$, $X_M$이 직렬로 놓인 회로이므로 전체 리액턴스는 $X=X_G+X_L+X_M$ 하나로 묶인다.
저항을 무시한 순리액턴스 선로에서 두 기전력 사이로 전달되는 전력은 $P=\frac{E_G E_M}{X}\sin\delta$이다.
상차각이 $\delta=90^\circ$일 때 최대전력 $\frac{E_G E_M}{X}$가 되고 $\delta=0$이면 전력이 전달되지 않으므로 $\cos\delta$ 형태는 성립하지 않는다.

피뢰기의 정격전압은 속류를 차단할 수 있는 상용주파수 정현파 전압의 최고 한도를 실효값으로 나타낸 것이며, 순시값이 아니다. 방전전류를 뇌충격전류의 파고값으로 표시하는 것, 직렬갭이 속류를 차단·소호하는 것, 속류가 방전 종료 후에도 계통에서 피뢰기로 흘러드는 전류를 뜻하는 것은 모두 옳은 설명이다.

배전선로의 전력손실은 부하전류의 제곱과 저항의 곱에 비례하는데, 같은 부하전력에서 전류는 역률에 반비례하므로 전류의 제곱은 역률의 제곱에 반비례한다. 따라서 역률이 cosθ인 경우의 손실은 역률이 1인 경우에 비해 $\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ 배가 된다.

분권발전기는 계자권선이 전기자(단자)에 병렬로 연결되므로, 계자회로 전체에 정격 단자전압 100V 가 걸린다.
계자회로 전체 저항은
$R = \dfrac{V}{I_f} = \dfrac{100}{2} = 50$ [$\Omega$]
이 값은 계자권선 자체의 저항과 직렬로 삽입된 외부저항의 합이므로
$R_f = 50 - 10 = 40$ [$\Omega$]
정격전류 10A 는 부하(전기자) 쪽 값이라 계자회로 계산에는 쓰이지 않는다.

직류발전기의 외부 특성곡선은 계자전류를 일정하게 유지한 상태에서 부하전류가 변화할 때 단자전압이 어떻게 변하는지를 나타낸 곡선이다. 전기자 반작용과 전기자저항 강하로 인해 부하전류가 증가할수록 단자전압이 낮아지는 경향을 보여준다.

단상 직권정류자전동기는 직권 특성상 교류와 직류 양쪽 전원에서 모두 동작이 가능하여 만능전동기라 불리며, 재봉틀이나 소형공구, 영사기 등 소형 가정·사무용 기기에 널리 사용된다. 3상 유도전동기나 전기 동력계, 차동 복권전동기는 이러한 단상 교직 양용 특성을 갖지 않는다.

회전계자형을 채택하는 이유는 전기자가 고정자이므로 고압 대전류를 절연하기 쉽고, 계자는 상대적으로 저압 소용량의 직류이므로 회전부 구조가 간단해지며, 무거운 전기자보다 계자극을 회전시키는 것이 기계적으로 더 튼튼하기 때문이다. 기전력 파형의 개선은 권선법(분포권, 단절권 등)에 관계된 것으로 회전계자형을 채택하는 이유와는 무관하다.

변압기 철심의 자화특성이 비선형이기 때문에, 정현파 전압을 인가하여 정현파 자속과 정현파 유기전압을 얻으려면 여자전류에는 기본파 외에 주로 제3고조파 성분이 포함되어야 한다. 이 제3고조파 여자전류로 인해 Δ결선 변압기에서는 순환전류가 흐르며 기전력 파형이 정현파에 가깝게 유지된다.

동기발전기의 병렬 운전 중 두 기전력 사이에 위상차가 생기면, 위상차에 비례하는 유효전력 성분의 횡류(유효횡류)가 흘러 위상이 앞선 발전기는 부하를 더 분담하고 뒤진 발전기는 이를 보충받으면서 두 기전력의 위상이 다시 일치하도록 동기화력이 작용한다. 이는 크기 차이로 인한 무효횡류와는 구분되는 현상이다.

변압기유는 냉각과 절연을 담당하므로 순환이 잘 되어 열을 효과적으로 방출해야 하며, 이를 위해서는 점도가 낮아야 한다. 점도가 높으면 대류에 의한 냉각효과가 떨어지므로 점도가 높을 것이라는 조건은 옳지 않다. 응고점이 낮고 인화점과 절연내력이 높아야 하는 것은 변압기유가 갖추어야 할 올바른 조건이다.

3상 반파 정류회로의 제어각이 없을 때 직류 평균전압은 상전압 실효값 E 에 대해
$E_{d0} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\sqrt{2}E = 1.17E$
이다. 순저항 부하에서 제어각이 $30^\circ$ 이하이면 전류가 끊기지 않고 이어지므로, 무제어 값에 $\cos\alpha$ 만 곱하면 된다.
$E_d = 1.17E\cos\alpha = 1.17 \times 200 \times \cos 30^\circ = 234 \times 0.866 \fallingdotseq 203$ [V]
234 V 는 제어각을 0으로 둔, 즉 위상제어를 하지 않았을 때의 값이다.

1차 전류는 슬립이 1인 기동 순간에 가장 크고, 회전자가 가속되어 슬립이 0에 가까워질수록 감소한다.
그림에서 $s=1$ 쪽 시작값이 가장 높고 $s=0$을 향해 계속 줄어드는 곡선은 (2)이므로 이것이 1차 전류를 나타낸다.
나머지 곡선들은 $s=1$에서 (2)보다 낮은 값으로 출발해 중간 슬립에서 최대가 되었다가 $s=0$으로 갈수록 떨어지므로, 기동 시 가장 크다는 1차 전류의 특징과 맞지 않는다.

동기전동기는 부하가 걸려도 자극과 회전자가 동기화되어 회전하는 특성상 회전속도가 항상 동기속도와 동일하게 유지되며, 부하 증가에 따라 속도가 변하는 대신 회전자와 회전자계 사이의 위상각(부하각)이 커지는 형태로 대응한다. 따라서 무부하에서 부하가 걸려도 속도는 동기속도로 일정하다.

양호한 정류를 얻으려면 정류주기를 크게 하고, 전기자 코일의 인덕턴스와 리액턴스 전압을 작게 하며, 브러시의 접촉저항을 크게 하여 정류작용을 돕는 것이 필요하다. 리액턴스 전압은 정류를 방해하는 요인이므로 이를 크게 해야 한다는 설명은 옳지 않다.

스테핑모터는 펄스 하나가 들어올 때마다 축이 스텝각만큼 회전한다. 따라서 1초 동안 회전하는 각도는 스텝각과 초당 펄스 수의 곱이다.
$2^\circ \times 1800 = 3600$ [°/s]
1회전이 $360^\circ$ 이므로 축속도는
$n = \dfrac{3600}{360} = 10$ [rps]

전기자 반작용은 직류전동기에서 주자속을 감소시키는 방향(감자작용)으로 작용하는데, 자속이 감소하면 유기기전력이 줄어드는 대신 전기자전류가 커지고 결과적으로 회전속도는 증가하는 경향을 보인다. 따라서 전기자 반작용이 직류전동기의 속도를 감소시킨다는 짝짓기는 옳지 않다. 보극이 리액턴스 전압을 줄이고, 보상권선이 전기자 반작용을 줄이며, 정류기간이 코일이 단락되는 기간을 뜻하는 것은 모두 올바른 설명이다.

단상 변압기의 병렬운전을 위해서는 극성, 정격전압과 권수비, 백분율 임피던스(저항과 리액턴스의 비)가 같아야 부하 분담이 정격용량에 비례하여 원활히 이루어진다. 그러나 두 변압기의 정격출력(용량) 자체는 서로 달라도 병렬운전이 가능하므로, 정격출력이 같아야 한다는 조건은 필수 요건이 아니다.

변압기의 누설리액턴스는 누설자속에 의한 누설인덕턴스에서 비롯되며, 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례한다. 따라서 누설리액턴스도 권수 N의 제곱에 비례하는 형태로 나타난다.

분포권 계수는 한 상의 코일들이 여러 슬롯에 나뉘어 들어가면서 기전력이 벡터합이 되어 집중권보다 작아지는 비율이며,
$k_d = \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2m}}{q\sin\dfrac{\pi}{2mq}}$
로 주어진다. 여기서 m 은 상수, q 는 매극 매상의 슬롯수다.
3상이므로 $m = 3$, 문제에서 $q = 3$ 이므로
$k_d = \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{6}}{3\sin\dfrac{\pi}{18}} = \dfrac{0.5}{3\sin\dfrac{\pi}{18}} = \dfrac{1}{6\sin\dfrac{\pi}{18}}$
수치로 확인하면 $\sin\dfrac{\pi}{18} = \sin 10^\circ = 0.1736$ 이므로 $k_d \fallingdotseq 0.96$ 으로, 분포권 계수가 1보다 조금 작다는 성질과도 맞는다. 분모·분자가 뒤집힌 형태는 1보다 큰 값이 되어 성립하지 않는다.

직류 분권발전기의 유기기전력은
$E = V + I_a R_a + e_a$
이고, 여기서 $e_a$ 는 전기자 반작용에 의한 전압강하다. 무부하 단자전압 230V 가 곧 유기기전력에 해당한다.
부하전류: $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{40000}{220} = 181.8$ [A]
계자전류: $I_f = \dfrac{V}{R_f} = \dfrac{220}{22} = 10$ [A]
분권이므로 전기자전류는 둘의 합이다.
$I_a = 181.8 + 10 = 191.8$ [A]
대입하면
$230 = 220 + 191.8R_a + 5$
$R_a = \dfrac{5}{191.8} \fallingdotseq 0.026$ [$\Omega$]

같은 극수의 유도전동기는 슬립이 존재하므로 동기속도보다 슬립분 $sN_s$ 만큼 늦게 회전한다. 이 늦어짐을 보상하기 위해 유도전동기의 극수를 동기전동기보다 2극 적게 하여 유도전동기 자체의 동기속도를 높여줌으로써, 실제 회전속도가 기동하려는 동기전동기의 동기속도에 가깝게 맞춰지도록 한다.

주파수가 50Hz에서 60Hz로 높아지면 자속이 감소하는데, 이때 단자전압을 110%로 높여 자속 감소를 어느 정도 상쇄시키므로 철손은 거의 변하지 않고 여자전류는 감소한다. 자속이 오히려 낮아져 발열이 완화되는 데다 회전속도가 높아져 냉각팬의 통풍효과까지 커지므로, 온도상승은 증가가 아니라 감소하는 것이 타당하며, 출력이 일정하다면 전압 상승으로 유효전류는 감소한다.

단상 유도전동기는 교번자계를 정회전과 역회전 방향의 두 회전자계로 나누어 해석하는데, 2차 저항을 일정 수준 이상으로 크게 하면 토크-속도 특성 곡선의 형태가 바뀌면서 저속 영역에서 토크가 음(-)이 되는 구간이 나타나 역회전이 가능해지는 현상이 생긴다. 이는 토크가 항상 양이거나 기동토크가 단순히 증가하는 것과는 다른 현상이다.

그림은 $V_1(t)$에 $R$, $L$, $C$가 직렬로 연결되고 출력 $V_2(t)$를 커패시터 양단에서 얻는 회로이다.
따라서 전달함수는 $\frac{V_2(s)}{V_1(s)}=\frac{\frac{1}{Cs}}{R+Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}$이고, 이를 표준형 $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$과 비교한다.
$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{2 \times 200 \times 10^{-6}}}=50$이고, $\frac{R}{L}=\frac{100}{2}=50=2\zeta\omega_n$에서 $\zeta=\frac{50}{2 \times 50}=0.5$이다.

그림에서 입력 마디부터 출력 마디까지 이어지는 전향경로는 $a$, $b$, $c$를 차례로 지나는 하나뿐이므로 전향경로 이득은 $abc$이다.
세 번째 마디에서 두 번째 마디로 되돌아오는 가지 $d$가 그려져 있어, $b$와 $d$가 하나의 폐루프를 이루고 루프이득은 $bd$이다.
루프가 이것 하나뿐이므로 $\Delta = 1 - bd$이고, 전향경로가 이 루프와 접하므로 $\Delta_1 = 1$이다.
따라서 $G = \frac{abc}{1-bd}$이다.

근궤적법은 개루프 전달함수 $G(s)H(s)$ 의 이득상수 K를 0에서 무한대까지 변화시킬 때, 폐루프 전달함수 $\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$ 의 극이 s평면 상에서 이동하는 궤적을 그려 계통의 안정도와 응답특성을 해석하는 기법이다. 보드 선도법이나 나이퀴스트 판정법은 주파수응답을 이용한 별개의 안정도 해석법이다.

주어진 근 $s_1, s_2 = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$에서 $0 < \zeta < 1$이면 $1-\zeta^2 > 0$이므로 허수부가 남아 서로 공액인 복소근이 된다.
실수부 $-\zeta\omega_n$이 음수이므로 응답은 $e^{-\zeta\omega_n t}$로 줄어들면서 $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$의 각주파수로 진동한다.
즉 목표값을 넘어섰다가 진동하며 수렴하는 감쇠진동이 나타나므로 부족제동이다.
참고로 $\zeta = 0$이면 무제동, $\zeta = 1$이면 임계제동, $\zeta > 1$이면 과제동이다.

그림의 전향경로에는 이득 $2$인 블록과 $\frac{1}{s+2}$가 직렬로 놓여 $G(s) = \frac{2}{s+2}$이고, 궤환경로에는 $\frac{1}{s+5}$가 있으며 가합점에 음(-)부호가 표시되어 있으므로 부궤환이다.
특성방정식은 $1 + G(s)H(s) = 0$이므로 $1 + \frac{2}{(s+2)(s+5)} = 0$이다.
양변에 $(s+2)(s+5)$를 곱하면 $s^2 + 7s + 10 + 2 = s^2 + 7s + 12 = 0$이고 인수분해하면 $(s+3)(s+4) = 0$이다.
따라서 특성방정식의 근은 $-3$과 $-4$이다.

이진 값 신호는 On/Off, 0과 1처럼 두 개의 불연속적인 상태만을 가지는 신호로, 디지털 신호나 스위치의 On-Off 신호, 반도체 소자의 동작·부동작 상태가 이에 해당한다. 아날로그 신호는 시간에 따라 연속적으로 변화하는 값을 가지므로 이진 값 신호가 아니다.

보드 선도에서 이득여유는 위상이 -180˚가 되는 지점(위상교차점)에서의 이득과 0dB 사이의 차이로 정의된다. 위상이 -180˚인 주파수에서 이득이 0dB에 도달하면 계는 지속진동 상태가 되므로, 그 주파수의 이득이 0dB보다 얼마나 아래에 있는지가 곧 이득을 얼마까지 더 올려도 안정한가를 나타낸다. 반면 위상이 0˚나 -90˚인 지점은 부궤환이 정궤환으로 뒤바뀌는 임계 조건과 무관하여 안정도 판정의 기준이 되지 못하고, 이득이 0dB인 주파수에서의 위상을 -180˚와 비교하는 것은 이득여유가 아니라 위상여유다.

가합점이 블록 뒤에 있어 $X_3 = GX_1 + X_2$인 회로를, 가합점을 블록 앞으로 옮기면서 $X_2$ 경로에 $G$를 넣은 변환은 $X_3 = G(X_1 + GX_2) = GX_1 + G^2X_2$가 되어 $X_2$항이 $G$배만큼 어긋난다.
옳게 옮기려면 $X_2$ 경로에 $\frac{1}{G}$를 넣어 $G\left(X_1 + \frac{X_2}{G}\right) = GX_1 + X_2$가 되게 해야 한다.
나머지 세 변환은 모두 성립한다. 가합점을 블록 뒤로 옮길 때 $X_2$ 경로에 $G$를 넣으면 $(X_1+X_2)G = GX_1+GX_2$로 같고, 인출점을 블록 앞으로 옮길 때는 $G$를, 뒤로 옮길 때는 $\frac{1}{G}$를 넣으면 뽑아내는 신호가 그대로 보존된다.

그림에서 누름버튼 $PB_1$의 a접점과 전자접촉기 X의 a접점이 서로 병렬로 묶인 뒤 코일 X와 직렬로 연결되어 있다.
$PB_1$을 누르면 코일 X가 여자되고, 그와 동시에 병렬로 붙은 X의 a접점이 닫히면서 $PB_1$을 우회하는 통전 경로가 새로 생긴다.
그래서 손을 떼어 $PB_1$이 다시 열려도 X의 a접점을 통해 코일이 계속 여자 상태로 남는다.
이처럼 자기 자신의 접점으로 여자 상태를 붙잡아 두는 구성을 자기유지회로라 한다.

특성방정식 $s^2+2s+K=0$의 근은 $s=-1\pm\sqrt{1-K}$이다. K가 1보다 커지면 근호 안이 음수가 되어 근은 서로 켤레인 복소수가 되지만, 이는 서로 다른 두 복소근이지 중근이 아니다. 중근이 되는 경우는 판별식이 0이 되는 K=1일 때뿐이므로, K가 1보다 큰 구간 전체에서 중근이라는 설명은 틀렸다. K가 0일 때는 $s=0,\ s=-2$로 G(s)의 극점과 일치하고, 0과 1 사이의 K에서는 두 근 모두 음의 실근이 되는 것도 맞는 설명이다.

저항이 길이에 비례하므로, 길이를 $\dfrac{2}{3}$ 로 자르면 저항도
$R = \dfrac{2}{3}R_0$
이 된다. 전압을 걸어 쓰는 전열선이므로 소비전력은 $P = \dfrac{V^2}{R}$ 로 다룬다.
원래 상태에서 $P_0 = \dfrac{E_0^2}{R_0}$ 이므로 $R_0 = \dfrac{E_0^2}{P_0}$
자른 뒤 E 를 걸면
$P = \dfrac{E^2}{R} = \dfrac{E^2}{\frac{2}{3}R_0} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{E^2}{R_0} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{E^2 P_0}{E_0^2}$
정리하면
$P = \dfrac{3P_0}{2}\left(\dfrac{E}{E_0}\right)^2$
저항이 줄었으므로 같은 전압이라면 전력은 오히려 커져야 하고, 계수가 $\dfrac{3}{2}$ 로 1보다 큰 것이 이와 맞는다.

그림은 입력단 쪽에 $Z_C$가 병렬, 가운데에 $Z_A$가 직렬, 출력단 쪽에 $Z_B$가 병렬로 붙은 $\pi$형 회로이다.
입력에서 출력 순서로 4단자 행렬을 곱하면 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{Z_C} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & Z_A \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{Z_B} & 1 \end{bmatrix}$이다.
이를 계산하면 $A = 1 + \frac{Z_A}{Z_B}$, $B = Z_A$이고 $D = 1 + \frac{Z_A}{Z_C}$이다.
남은 성분은 $C = \frac{1}{Z_B} + \frac{1}{Z_C} + \frac{Z_A}{Z_B Z_C} = \frac{Z_A + Z_B + Z_C}{Z_B Z_C}$이다.

콘덴서에 저장되는 정전에너지는
$W = \dfrac{1}{2}CV^2$
이므로 정전용량은
$C = \dfrac{2W}{V^2} = \dfrac{2 \times 9}{300^2} = \dfrac{18}{90000} = 2 \times 10^{-4}$ [F]
$1$ [F] $= 10^6$ [μF] 이므로
$C = 2 \times 10^{-4} \times 10^6 = 200$ [μF]

그림의 저항 세 개는 $\Delta$ 결선을 이루며, R가 달린 꼭짓점과 b 사이가 $40\,\Omega$, 같은 꼭짓점과 c 사이가 $40\,\Omega$, b와 c 사이가 $120\,\Omega$이고 R는 a선에 직렬로 들어가 있다.
$\Delta$를 Y로 환산하면 세 저항의 합이 $40+40+120 = 200$이므로, R쪽 꼭짓점의 등가 상저항은 $\frac{40 \times 40}{200} = 8\,\Omega$, b쪽과 c쪽은 각각 $\frac{40 \times 120}{200} = 24\,\Omega$이다.
대칭 3상 전압에서 각 선전류가 같으려면 Y 등가의 세 상저항이 모두 같아야 하므로 $R + 8 = 24$여야 한다.
따라서 $R = 16\,\Omega$이다.

그림에서 $R$가 직렬로 들어가고 $C$가 병렬로 붙어 출력을 커패시터 양단에서 뽑고 있다.
분압으로 전달함수를 구하면 $H(s) = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC} = \frac{\frac{1}{RC}}{s + \frac{1}{RC}}$이다.
단위 임펄스 $\delta(t)$의 라플라스 변환이 $1$이므로 출력의 라플라스 변환은 $H(s)$ 자체가 되고, 임펄스응답은 전달함수의 역변환이다.
따라서 $h(t) = \frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$이다.

서로 다른 주파수 성분을 가진 전류의 실효값은 각 고조파 성분 실효값의 제곱합의 제곱근으로 구한다. 기본파 실효값은 $30/\sqrt2$, 3고조파 실효값은 $40/\sqrt2$이므로 전체 실효값은 $\sqrt{(30/\sqrt2)^2+(40/\sqrt2)^2}=\sqrt{450+800}=\sqrt{1250}=25\sqrt2$가 된다.