유전체 내에서 전속밀도는 진공 성분과 분극에 의한 성분의 합이므로 $D=\epsilon_0E+P$이다. 이를 분극의 세기에 대해 정리하면 $P=D-\epsilon_0E$가 된다.

그림에서 코일은 $x=0$인 $y$-$z$ 평면 위에 놓여 있고 $y$는 $-0.04$부터 $0$까지, $z$는 $0$부터 $0.08$까지이므로 코일 면적은 $S=0.04\times0.08=3.2\times10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$이다.
z축 위의 변에서는 화살표가 $+a_z$ 방향, 위쪽 변에서는 $-a_y$ 방향을 가리키므로 오른손 법칙으로 코일의 법선은 $+a_x$이고, 자기 쌍극자 모멘트는 $m=IS a_x=5\times3.2\times10^{-3}a_x=1.6\times10^{-2}a_x$이다.
토크는 $T=m\times B=1.6\times10^{-2}a_x\times\frac{0.05}{\sqrt{2}}(a_x+a_y)$이고 $a_x\times a_x=0$, $a_x\times a_y=a_z$이므로 $T=1.6\times10^{-2}\times\frac{0.05}{\sqrt{2}}a_z=5.66\times10^{-4}a_z\,[\mathrm{N\cdot m}]$이다.
쌍극자 모멘트가 $x$ 방향이고 자계에는 $x$, $y$ 성분만 있으므로 토크는 $z$ 성분으로만 남는다.

자기차폐는 외부 자계를 차폐 대상 내부로 들이지 않고 차폐물 벽 속으로 우회시키는 것이므로, 자속이 잘 통하는 재료일수록 효과가 크다. 따라서 강자성체 중에서도 비투자율이 큰 물질이 가장 적합하다. 비투자율이 1보다 작은 역자성체나 비투자율이 작은 강자성체는 자속을 끌어들이지 못해 차폐 효과가 떨어지고, 두께만 두껍게 해도 재질의 투자율이 낮으면 차폐되지 않는다.

도체 내부에서 전류밀도가 $e^{-x/\delta}$로 감쇠할 때 그 감쇠 거리 $\delta$가 표피두께다. 양도체 조건에서 전파정수 $\gamma=\sqrt{j\omega\mu\sigma}$의 실수부를 취하면
$\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$
투자율은 $\mu=\mu_r\mu_0=0.99\times4\pi\times10^{-7}=1.244\times10^{-6}$ H/m이므로
$\pi f\mu\sigma=\pi\times10^{8}\times1.244\times10^{-6}\times5.9\times10^{7}=2.31\times10^{10}$
$\delta=\dfrac{1}{\sqrt{2.31\times10^{10}}}=6.59\times10^{-6}$ m
m를 mm로 바꾸면 약 $6.6\times10^{-3}$ mm이다.

압전 효과에서 가해진 기계적 응력과 같은 방향으로 전기 분극이 나타나는 것을 종효과, 응력에 수직인 방향으로 분극이 나타나는 것을 횡효과라 한다. 문제는 수직 방향으로 분극이 생기는 경우를 물었으므로 횡효과이다.

도체의 저항은 $R=\rho\dfrac{l}{A}$이고, 온도가 변하면 $R_t=R_{20}\{1+\alpha(t-20)\}$로 보정한다.
단면적을 m²로 환산하면 $2$ mm² $=2\times10^{-6}$ m²이므로
$R_{20}=\dfrac{1.69\times10^{-8}\times100}{2\times10^{-6}}=0.845$ Ω
40 ℃에서는
$R_{40}=0.845\{1+0.00393\times20\}=0.845\times1.0786=0.911$ Ω
약 0.91 Ω이다. 단면적을 mm² 그대로 두면 $10^{-6}$배만큼 어긋난다.

전계는 전위가 가장 급격히 감소하는 방향을 향하므로 전위경도에 음의 부호를 붙인 $E=-\text{grad}\,V$가 된다. div는 벡터에 적용되는 연산이어서 스칼라인 전위 V에는 쓸 수 없다.

정전계에서 도체에 (+)전하를 주면 전하끼리 반발하여 모두 도체 외측 표면에만 분포하고, 도체 내부에 빈 공간(공동)이 있어도 그 공동면에는 전하가 존재하지 않는다. 따라서 공동면에도 전하가 골고루 분포한다는 설명이 틀렸다. 곡률반지름이 작은 곳일수록 전하밀도가 높다는 것과 도체 표면이 등전위면이어서 전기력선이 표면에 수직으로 출입한다는 설명은 옳다.

왕복 전류가 흐르는 평행 도선은 두 전류의 방향이 서로 반대이므로 작용하는 힘은 반발력이다. 단위길이당 힘은 $F=\dfrac{\mu I_1I_2}{2\pi d}$이며, 두 전류의 크기가 같으므로 힘은 전류의 제곱에 비례한다. 또한 힘은 매질의 투자율에 비례하고 도선 간격의 1승에 반비례하므로, 투자율에 반비례한다거나 간격의 제곱에 반비례한다는 설명은 옳지 않다.

전자기파의 전파속도는 $v=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}=\dfrac{v_0}{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}$이다. 비유전율과 비투자율이 각각 3이므로 $v=\dfrac{v_0}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}v_0$가 된다.

그림은 반지름 $a$인 도체 반구를 평평한 면이 지표면과 일치하도록 묻은 접지극이다.
전류가 반구 표면에서 대지 속 아래쪽 반공간으로만 방사상으로 퍼지므로 중심에서 거리 $r$인 곳에서 전류가 지나는 면적은 반구면 $2\pi r^{2}$이고, 두께 $dr$인 껍질의 저항은 $dR=\frac{\rho}{2\pi r^{2}}dr$이다.
이를 $r=a$부터 무한대까지 적분하면 $R=\int_{a}^{\infty}\frac{\rho}{2\pi r^{2}}dr=\frac{\rho}{2\pi a}\,[\Omega]$이 된다.
전류가 퍼질 수 있는 공간이 절반뿐이므로 같은 반지름의 완전한 구를 묻었을 때의 $\frac{\rho}{4\pi a}$보다 두 배 크다.

변위전류밀도는 $J_d=\dfrac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\dfrac{\partial E}{\partial t}$에서 나온다. $E=E_m\sin\omega t$이면 미분으로 $\omega$가 앞에 나오므로 크기는 $J_d=\omega\varepsilon_0 E=2\pi f\varepsilon_0 E$이다.
대입하면
$2=2\pi f\times8.854\times10^{-12}\times2$
$f=\dfrac{2}{2\pi\times8.854\times10^{-12}\times2}=1.80\times10^{10}$ Hz
MHz 단위로 바꾸면 약 18000 MHz이다.

도체 표면에 작용하는 정전응력은 단위체적당 정전에너지와 같은 형태로 $f=\dfrac{1}{2}ED=\dfrac{D^2}{2\varepsilon_0}$이며, 도체 표면에서는 $D=\sigma$이므로 $f=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$가 된다.
$f=\dfrac{(2\times10^{-6})^2}{2\times8.854\times10^{-12}}=\dfrac{4\times10^{-12}}{1.771\times10^{-11}}=0.226$ N/m²
전하밀도가 주어졌으므로 간격 4 cm는 이 응력 계산에 들어가지 않는다.

자계 에너지 밀도는 $w=\int H\,dB$이고 선형 자성체($B=\mu H$)에서는 $w=\dfrac{1}{2}HB$가 된다.
여기에 $H=\dfrac{B}{\mu}$를 넣으면
$w=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{B}{\mu}\cdot B=\dfrac{1}{2\mu}B^2$
반대로 $B=\mu H$를 넣으면 $w=\dfrac{\mu}{2}H^2$이다. 즉 $H$로 표현하면 $\mu$가 분자에, $B$로 표현하면 분모에 온다.
따라서 $\dfrac{1}{2\mu}B^2$ (J/m³)이다.

외부 자기장의 세기가 일정 값을 넘는 순간 강자성체의 자구가 급격히 회전하여 자화가 계단적으로 불연속하게 증가하는 현상을 바크하우젠 효과라 한다. 자기여효는 자화가 시간적으로 뒤늦게 따라오는 현상, 자기왜현상은 자화에 따라 자성체의 치수가 변하는 현상, 핀치 효과는 전류 자신의 자계로 유체 도체가 수축하는 현상이어서 모두 다른 개념이다.

자성체 내부의 자계 세기는 $H=\dfrac{B}{\mu_0\mu_r}$로 구한다. $B=50$, $\mu_r=50$을 대입하면 $H=\dfrac{50}{4\pi\times10^{-7}\times50}=\dfrac{10^7}{4\pi}$가 된다. 반지름과 길이는 계산에 쓰이지 않는 조건이다.

평행판 콘덴서의 정전용량은 $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}$이고, 전극이 원판이므로 $A=\pi a^2$이다.
$A=\pi\times0.3^2=0.2827$ m², $d=0.1$ cm $=1\times10^{-3}$ m
$C=\dfrac{8.854\times10^{-12}\times4.0\times0.2827}{1\times10^{-3}}=1.00\times10^{-8}$ F
$1\times10^{-8}$ F는 $0.01$ μF이다.

유한 길이 직선도선이 만드는 자계 $H=\dfrac{I}{4\pi r}(\sin\theta_1+\sin\theta_2)$를 한 변에 적용한다. 한 변의 길이가 $l$인 정사각형의 중심에서 각 변까지의 수직거리는 $r=\dfrac{l}{2}$이고, 중심에서 변의 양 끝을 보는 각은 각각 45°이므로 $\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.
한 변의 기여는
$H_1=\dfrac{I}{4\pi(l/2)}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{I}{2\pi l}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}I}{2\pi l}$
네 변이 만드는 자계가 중심에서 모두 같은 방향이므로 4배 하면
$H=4\times\dfrac{\sqrt{2}I}{2\pi l}=\dfrac{2\sqrt{2}I}{\pi l}$

두 도체를 도선으로 연결하면 전위가 같아지고 전하 총량은 보존된다.
연결 전 전위는 $V_1=\dfrac{-5}{1}=-5$ V, $V_2=\dfrac{2}{2}=1$ V로 서로 다르다.
연결 후 공통전위는
$V=\dfrac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}=\dfrac{-5+2}{1+2}=-1$ V
따라서 $Q_1'=C_1V=-1$ μC, $Q_2'=C_2V=-2$ μC이다.
C₁의 전하는 $-5\to-1$로 $+4$ μC 변했으므로 C₁에서 C₂로 이동한 전하는 $-4$ μC이다. C₂ 쪽도 $-2-2=-4$ μC 변해 같은 값으로 확인된다.

절반 두께만 유리로 채우면 두께 $d/2$의 공기층과 $d/2$의 유리층이 직렬로 연결된 구조가 된다. 원래 용량이 $C_0=\dfrac{\varepsilon_0A}{d}=0.03$ μF이므로
공기층 $C_a=\dfrac{\varepsilon_0A}{d/2}=2C_0$, 유리층 $C_g=\dfrac{10\varepsilon_0A}{d/2}=20C_0$
직렬 합성은
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{2C_0}+\dfrac{1}{20C_0}=\dfrac{10+1}{20C_0}=\dfrac{11}{20C_0}$
$C=\dfrac{20}{11}C_0=1.818\times0.03=0.0545$ μF
약 0.055 μF이며, 유전체를 절반만 넣었으므로 10배가 아니라 2배가 채 안 되게 늘어난다.

커패시터의 진상용량은 $Q=3\omega CV_p^2$로 상전압의 제곱에 비례한다. Δ결선에서는 상전압이 선간전압과 같지만 Y결선으로 바꾸면 상전압이 $1/\sqrt{3}$배로 줄어들므로 용량은 그 제곱인 $1/3$배가 되어 $Q_Y=\dfrac{1}{3}Q_\Delta$이다.

3상 3선식 배전선로의 전압강하는 선간전압 기준이므로 $V_d=\sqrt{3}\,I(R\cos\theta+X\sin\theta)$로 나타나 계수는 $k=\sqrt{3}$이다. 참고로 단상 2선식과 3상 4선식은 각각 계수가 2와 1이다.

가공지선을 2조로 시설하면 두 가공지선이 만드는 보호 범위가 겹쳐 전선을 덮는 각도가 좁아지므로 차폐각이 작아진다. 차폐각은 작을수록 차폐효과가 크지만 그만큼 지지물이 높아져 건설비가 늘어나므로 실제로는 대략 35~40도 정도로 잡으며, 차폐각이 클수록 차폐효과가 크다는 설명은 반대로 서술한 것이다. 또 가공지선은 뇌전류를 흘리면서 지지물 사이에 가선해야 하므로 인장강도가 큰 강연선 계열을 주로 사용하고 연동선은 쓰지 않는다.

전력손실은 $P_l=\dfrac{P^2R}{V^2\cos^2\theta}$ 꼴이므로 역률 개선, 배전전압 승압, 부하 불평형 방지는 모두 손실을 직접 줄이는 대책이 된다. 반면 다중접지 방식은 중성선을 여러 곳에서 접지하여 지락 시 대지전위 상승을 억제하고 보호계전기 동작을 확실하게 하려는 접지 방식에 관한 사항이어서 전력손실 경감 대책과는 무관하다.

그림에서 1차 권선 쪽에 3300V, 2차 권선 쪽에 100V가 표시되어 있으므로 권수비는 $a=\frac{3300}{100}=33$이다.
2차 측에 5Ω이 걸려 있으므로 2차 전류는 $I_2=\frac{100}{5}=20\,\mathrm{A}$이고, 이상 변압기에서 전류는 권수비에 반비례하므로 $I=\frac{I_2}{a}=\frac{20}{33}=0.606\,\mathrm{A}$, 즉 약 0.6A이다.
부하를 1차로 환산해 $a^{2}R=33^{2}\times5=5445\,\Omega$, $I=\frac{3300}{5445}=0.606\,\mathrm{A}$로 계산해도 같은 값이 나온다.

전압과 유효전력이 일정할 때 선로전류는 역률에 반비례하고 저항손실은 전류의 제곱에 비례하므로, 손실은 역률의 제곱에 반비례한다. 따라서 $\dfrac{P_{70\%}}{P_{90\%}}=\left(\dfrac{0.9}{0.7}\right)^2\approx1.7$이 되어 역률 70%일 때의 손실은 90%일 때의 약 1.7배이다.

대지를 귀로로 보았을 때 1선의 자기 인덕턴스 $L_e$는 그 도체 자신의 전류가 만드는 쇄교자속에, 상호 인덕턴스 $L_m$은 다른 상 도체의 전류가 만드는 쇄교자속에 대응한다. 평형 3상에서는 $I_a+I_b+I_c=0$이므로 다른 두 상에 의한 상호분이 자기분에서 상쇄되는 형태가 되어 1선의 작용 인덕턴스는 $L=L_e-L_m$이 된다.

표피효과는 도체 내부일수록 자속쇄교가 커져 유도되는 역기전력이 커지므로 전류가 표면 쪽으로 몰리는 현상이다. 침투깊이는 $\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}$이므로 주파수가 높을수록 얕아져 표피효과가 커진다. 같은 이유로 투자율과 도전율이 클수록, 그리고 전선의 단면적(굵기)이 클수록 표피효과가 커지므로, 단면적·비투자율·도전율에 반비례한다는 설명들은 모두 틀렸다.

부하가 일정할 때 전압강하율은 전압의 제곱에 반비례한다. 전압강하는 전류에 비례하는데 전력이 일정하면 전류가 전압에 반비례하고, 전압강하율은 다시 전압으로 나눈 값이기 때문이다. 전압을 3kV에서 6kV로 2배 승압하면 전압강하율은 $\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$로 줄어든다.

안정도를 높이려면 계통의 직렬 리액턴스를 줄이고 전압 변동을 억제하며 고장을 빨리 제거해야 한다. 발전기·변압기의 리액턴스를 작게 하는 것, 중간 조상 방식으로 전압을 유지하는 것, 고속도 재폐로로 고장 구간을 신속히 복구하는 것이 모두 여기에 해당한다. 반대로 선로의 회선수를 줄이면 병렬 회선이 사라져 전체 리액턴스가 커지므로 안정도가 나빠진다. 따라서 회선수 감소는 안정도 증진 대책이 아니다.

소호리액터는 1선 지락 시 대지 정전용량으로 흐르는 충전전류를 리액터 전류로 상쇄하도록 병렬공진시키는 것이다. 리액터에서 보면 3상의 대지 정전용량이 병렬로 합쳐져 $3C$가 되므로 공진조건은
$\omega L=\dfrac{1}{3\omega C}$
대입하면
$X=\dfrac{1}{3\times2\pi\times60\times0.5\times10^{-6}}=\dfrac{1}{5.655\times10^{-4}}=1768$ Ω
약 1770 Ω이다.

구분개폐기는 배전선로를 여러 구간으로 나누어 놓는 개폐기로, 고장이나 보수 점검 시 해당 구간만 분리하여 정전 범위를 그 구간으로 한정할 수 있다. 단로기는 무부하 상태에서 회로를 개방하는 기기, 컷아웃스위치는 주로 주상변압기 1차측 보호용, 계자저항기는 발전기·전동기의 계자전류 조정용이어서 정전구간 축소 목적과는 다르다.

전력원선도 방정식 $P_r^2+(Q_r+400)^2=250000$은 중심이 $(0,\,-400)$이고 반지름이 $\sqrt{250000}=500$인 원이다. $P_r$이 최대가 되는 점은 원의 중심과 같은 높이, 즉 $Q_r+400=0$일 때이므로 최대 공급 부하전력은 $P_r=500$이고 이때 필요한 무효전력은 $Q_r=-400$이다.

수전용 변전설비의 1차측 차단기 차단용량은 공급측 전원(계통)의 단락용량을 기준으로 정해진다.
이는 사고 시 공급측에서 흘러들어오는 최대 단락전류를 차단기가 견뎌야 하기 때문이며, 수용가 측의 계약용량이나 부하설비의 단락용량, 역률·부하율은 차단용량 결정과 직접 관련이 없다.

특유속도가 지나치게 크면 캐비테이션과 진동이 심해지므로 수차 종류별로 유효낙차에 따른 한계식이 정해져 있다. 프란시스 수차의 한계는
$N_s\le\dfrac{20000}{H+20}+30$
으로, 유효낙차 $H$가 커질수록 허용 특유속도가 작아지는 형태다.
예를 들어 $H=80$ m이면 $N_s\le\dfrac{20000}{100}+30=230$이 된다.

중성점 저항접지 계통에서 1선 지락이 나면 접지저항에 걸리는 전압은 선간전압이 아니라 그 상의 상전압이다. 따라서
$I_g=\dfrac{E}{R}=\dfrac{V/\sqrt{3}}{R}$
상전압은
$E=\dfrac{6600}{\sqrt{3}}=3810.5$ V
지락전류를 100 A로 제한하려면
$R=\dfrac{E}{I_g}=\dfrac{3810.5}{100}=38.1$ Ω
약 38 Ω이다.

역섬락은 철탑에 낙뢰 시 탑각 접지저항이 높아 철탑의 전위가 급상승하여 철탑에서 전선 쪽으로 섬락이 일어나는 현상이므로, 탑각 접지저항을 낮추는 것이 근본적인 대책이다.
가공지선은 직격뢰를 차폐하는 설비이고 아크혼은 애자 섬락 시 아크로 인한 애자 손상을 막는 설비이며 연가는 선로정수 평형을 위한 것으로 역섬락과는 관계가 없다.

조속기의 폐쇄시간이 짧다는 것은 부하 급변 시 안내깃(수구)을 빠르게 닫는다는 뜻이므로, 수차의 회전수가 치솟기 전에 유량이 줄어들어 속도 변동률은 작아진다.
반면 유수를 급히 막을수록 수압관 내 유속 변화가 커져 수격작용과 수압 상승률은 오히려 커지고, 발전기의 전압 상승률은 속도 변동에 따라 나타나므로 속도 변동률이 작아지는 만큼 함께 작아진다.

제5고조파는 전력용 콘덴서와 계통 리액턴스가 공진하면서 크게 확대되므로, 콘덴서에 직렬리액터를 넣어 제5고조파 주파수에서 회로가 유도성이 되도록 만들면 공진이 성립하지 않아 고조파가 억제된다.
분로리액터는 경부하 시 진상 충전전류에 의한 페란티 현상을 막는 설비이고, 방전코일은 콘덴서 개방 후 잔류전하를 방전시켜 감전을 막는 설비이며, 공심 리액터는 고조파 저감 목적의 기기가 아니다.

복도체를 구성하는 두 소전선이 바람 등에 의해 흔들리며 서로 충돌하거나 근접하는 것을 막기 위해 전선 사이에 일정 간격을 유지시키는 금구가 스페이서이다.
아모로드는 전선 보강, 댐퍼는 진동 억제, 아킹혼은 애자 섬락 시 보호 용도로 목적이 다르다.

무부하 시험에서 여자전류 $I_0$는 전압과 동상인 철손분과 90° 뒤진 자화분으로 분해된다. 무부하 입력은 거의 전부 철손이므로
철손전류 $I_i=\dfrac{P_i}{V}=\dfrac{80}{120}=0.667$ A
자화전류 $I_\phi=\sqrt{I_0^2-I_i^2}=\sqrt{1.4^2-0.667^2}=\sqrt{1.516}=1.231$ A
여자 리액턴스는 자화전류로 나누어
$X_m=\dfrac{V}{I_\phi}=\dfrac{120}{1.231}=97.5$ Ω
철손전류를 $0.6667$로 더 정밀하게 잡아도 $97.47$ Ω이므로 약 97.6 Ω에 해당한다. 여자전류 1.4 A를 그대로 나누면 여자 어드미턴스의 역수인 $85.7$ Ω이 되어 리액턴스가 아니다.

서보모터는 일반적으로 직류 서보모터가 교류 서보모터보다 시동토크가 크고 응답성이 우수하므로, 교류 서보모터의 시동토크가 직류 서보모터보다 매우 크다는 서술은 옳지 않다.
발생토크가 입력신호에 비례하는 점, 관성모멘트가 작고 전기적 시정수가 짧은 점, 가혹한 기동·정지·역전에 견디는 점은 서보모터의 정상적인 특성이다.

W상만 반대로 접속하면 그 상전압이 $-E_W$가 되어 나머지 두 상과 $120^\circ$가 아닌 $60^\circ$ 위상차를 이룬다.
W와 무관한 선간전압은 정상대로 $V_{U-V}=\sqrt{3}\times70=121.2$V이지만, $V_{V-W}=E_V-(-E_W)=E_V+E_W$이므로 두 벡터가 $120^\circ$를 이루어 크기가 70V가 되고, $V_{W-U}=-E_W-E_U$ 역시 같은 이유로 70V가 된다.

직류기의 유기기전력은 $E=\dfrac{PZ\phi N}{60a}$이다. 중권은 병렬회로 수가 극수와 같아 $a=P$이므로 $P/a=1$로 약분되어
$E=\dfrac{Z\phi N}{60}$
대입하면
$E=\dfrac{960\times0.04\times400}{60}=\dfrac{15360}{60}=256$ V

유도전동기의 최대토크는 2차 저항 값과 무관하게 일정하며, 2차 저항을 변화시키면 최대토크가 발생하는 슬립의 위치만 바뀔 뿐 크기는 변하지 않는다.
따라서 2차 저항을 2배로 해도 최대토크는 변하지 않는다.

동기전동기의 위상특성곡선(V곡선)에서 전기자전류가 최소가 되는 지점이 역률 1인 상태이며, 계자전류를 그보다 늘리면 과여자로 앞선 역률, 줄이면 부족여자로 뒤진 역률이 된다.
즉 전기자전류는 계자전류 증가에 따라 감소하다가 최솟값을 지나 다시 증가하는 형태이므로, 전기자전류가 최소일 때 역률이 1이라는 설명이 옳다.

%저항강하는 정격전류가 흐를 때의 저항강하를 정격전압으로 나눈 값이다. 분자·분모에 정격전류를 곱하면
$p=\dfrac{I_nr}{V_n}\times100=\dfrac{I_n^2r}{V_nI_n}\times100=\dfrac{P_c}{P_n}\times100$
즉 임피던스와트(단락시험 시 동손)를 정격용량으로 나눈 값이 된다.
$p=\dfrac{150}{3\times10^{3}}\times100=5$ %
임피던스전압 120 V는 %임피던스를 구할 때 쓰는 값이며 %저항강하 계산에는 필요하지 않다.

1차 입력은 $P_1=\dfrac{50}{0.9}=55.56kW$, 회전자(2차) 입력은 $P_2=\dfrac{50}{1-0.04}=52.08kW$, 회전자 동손은 $sP_2=0.04\times52.08=2.08kW$로 나머지 세 값은 모두 맞다.
그러나 2차 효율은 $1-s=0.96=96\%$이므로 92%라는 값은 틀렸다.

2전동기설은 단상 교번자계를 크기가 같고 회전방향이 반대인 두 회전자계로 분해해 본다. 회전자 속도를 $N$, 동기속도를 $N_s$라 하면 정방향 자계에 대한 슬립은 $s=\dfrac{N_s-N}{N_s}$이다.
역방향 자계는 $-N_s$로 회전하므로 그에 대한 슬립은
$s'=\dfrac{-N_s-N}{-N_s}=\dfrac{N_s+N}{N_s}=1+\dfrac{N}{N_s}=1+(1-s)=2-s$
$s'=2-0.2=1.8$

직류 가동복권발전기는 직권 계자와 분권 계자의 기자력이 서로 더해지는 방식인데, 이를 전동기로 사용하면 전기자 전류의 방향이 반대가 되어 직권 계자의 기자력 방향이 반전되므로 두 계자가 서로 상쇄하는 관계로 바뀐다.
따라서 가동복권발전기는 전동기로 사용하면 직류 차동복권전동기가 된다.

동기발전기의 병렬운전 조건은 기전력의 크기, 위상, 주파수, 파형이 같아야 하는 것이며 용량은 조건에 포함되지 않는다.
용량이 다른 발전기끼리도 위 조건만 만족하면 병렬운전이 가능하다.

IGBT는 게이트-에미터 사이의 입력 임피던스가 매우 높아 적은 구동전력으로도 스위칭이 가능하며, 이 점이 BJT보다 구동하기 쉬운 이유이다.
따라서 입력 임피던스가 매우 낮다는 서술은 옳지 않다.

공급 전압이 일정한 상태에서 주파수만 낮아지면 자속이 증가하여 철손과 여자전류가 커지고, 이로 인해 온도상승이 커진다.
회전속도는 동기속도에 비례하므로 주파수가 낮아지면 오히려 감소한다.

용접용 직류발전기는 아크 용접 중 부하전류가 급변해도 아크를 안정적으로 유지해야 하므로, 전류가 증가할수록 전압이 급격히 낮아지는 수하특성이 가장 중요한 특성이다.
전압변동률이 작거나 과부하에 견디는 것은 일반 발전기의 요구사항일 뿐 용접용 발전기의 핵심 특성은 아니다.

제동권선은 난조를 억제하고, 기동토크를 발생시키며, 불평형 부하 시 전압 파형을 개선하고 송전선 불평형 단락 시 이상전압을 억제하는 효과가 있다.
그러나 과부하 내량을 증대시키는 기능은 제동권선의 역할이 아니다.

변압기를 병렬운전하면 부하 분담은 각 변압기의 자기용량에 비례하고 %임피던스에 반비례한다. 분담 지표를 계산하면
A는 $\dfrac{400}{2.4}=166.7$, B는 $\dfrac{300}{3.6}=83.3$
이므로 A와 B는 2 : 1로 나누어 부담한다.
A가 정격 400 kVA를 부담할 때 B는 200 kVA를 부담하며 이는 B의 정격 300 kVA 이내이므로, A가 먼저 한계에 도달한다.
따라서 걸 수 있는 합성부하용량은 $400+200=600$ kVA이다. 두 정격을 그냥 더한 700 kVA를 걸면 A가 과부하가 된다.

동작모드 그림을 보면 사이리스터 $S_1$, $S_2$는 출력 파형이 솟아오르는 점화 시점마다 교대하면서 각각 반주기씩 도통하고, 다이오드 $D_1$, $D_2$는 출력 파형이 0으로 떨어지는 전원 전압의 영교차 시점마다 교대하면서 각각 반주기씩 도통한다.
두 사이리스터끼리 서로 전류를 넘겨주고 두 다이오드끼리 서로 전류를 넘겨주는 동작이므로, 사이리스터 두 개가 직류 출력의 한쪽 단자에 공통으로 묶이고 다이오드 두 개가 반대쪽 단자에 공통으로 묶인 결선이어야 한다.
제시된 브리지 중 이 조건을 만족하는 것은 $D_1$, $D_2$가 한쪽 직류 단자에, $S_1$, $S_2$가 반대쪽 직류 단자에 모여 있는 회로이며, 나머지는 각 직류 단자마다 사이리스터와 다이오드가 하나씩 섞여 있어 이런 도통 패턴이 나오지 않는다.
이 결선에서는 영교차부터 다음 점화까지 $S_1$과 $D_2$가 동시에 도통해 부하 전류가 환류하므로, 그 구간에서 출력 전압이 0이 되어 파형에 빈 구간이 생긴다.

동기기 1상의 등가회로는 전기자 저항 $r$, 누설 리액턴스 $X_\ell$, 그리고 전기자 반작용의 효과를 리액턴스로 환산한 $X_a$가 모두 직렬로 이어진 형태다. 두 리액턴스를 합한 것을 동기 리액턴스라 하여 $X_s=X_a+X_\ell$로 쓴다.
따라서 동기임피던스는
$Z_s=r+j(X_a+X_\ell)$
크기로 나타내면
$|Z_s|=\sqrt{r^2+(X_a+X_\ell)^2}$

반발유도형 전동기는 기동 시뿐 아니라 운전 중에도 농형권선과 반발전동기용 회전자 권선을 함께 사용하는 방식이므로, 운전 중에는 농형권선만 이용한다는 설명은 옳지 않다.
반발기동형, 분상기동형, 커패시터기동형에 대한 나머지 설명은 각 기동방식 특성과 일치한다.

직류전동기의 회전속도는 $N=K\dfrac{V-I_aR_a}{\phi}$로 표현되므로, 인가전압 $V$를 바꾸는 전압제어법, 자속 $\phi$를 바꾸는 계자제어법, 전기자 회로의 저항 $R_a$를 바꾸는 저항제어법의 세 가지가 속도제어법이 된다.
전력은 이 식에 독립적으로 조절할 수 있는 양이 아니므로 전력제어법이라는 속도제어 방식은 없다.

그림의 블록선도는 입력에서 궤환 신호를 빼서 $E(s)$를 만들고 전향경로에 $G(s)$, 궤환경로에 $H(s)$가 놓인 구조이므로 개루프 전달함수는 $G(s)H(s)$이고 $E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}$이다.
단위계단 입력 $R(s)=\frac{1}{s}$를 넣고 최종값 정리를 쓰면 $e_{ss}=\lim_{s \to 0}sE(s)=\frac{1}{1+\lim_{s \to 0}G(s)H(s)}$가 된다.
이 식의 분모에 나타나는 $\lim_{s \to 0}G(s)H(s)$가 곧 위치 편차상수이므로 $K_p=\lim_{s \to 0}G(s)H(s)$이다.

비례적분 동작의 조작량은 $y(t)=K_p z(t)+\dfrac{K_p}{T_i}\int z(t)dt$이다.
비례감도 $K_p=4$, 적분시간 $T_i=4$, $z(t)=2t$를 대입하면 $y(t)=4(2t)+\dfrac{4}{4}\int 2t\,dt=8t+t^2$가 된다.

$\sin\omega t=\dfrac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$이고 지수함수의 z변환은 $Z\{e^{at}\}=\dfrac{z}{z-e^{aT}}$이므로
$Z\{\sin\omega t\}=\dfrac{1}{2j}\left(\dfrac{z}{z-e^{j\omega T}}-\dfrac{z}{z-e^{-j\omega T}}\right)$
통분하면 분자는
$\dfrac{z}{2j}\left(e^{j\omega T}-e^{-j\omega T}\right)=z\sin\omega T$
분모는
$z^2-z\left(e^{j\omega T}+e^{-j\omega T}\right)+1=z^2-2z\cos\omega T+1$
따라서 $\dfrac{z\sin\omega T}{z^2-2z\cos\omega T+1}$이다. 분모의 부호가 $-$이고 분모에 $\cos\omega T$, 분자에 $\sin\omega T$가 오는 점이 구분 기준이다.

신호흐름선도에서 입력에서 출력까지 가는 전향경로는 하나뿐이고 이득은 $P_1=1\times2\times3\times1=6$이다.
궤환루프는 이득 3인 가지와 되돌아오는 이득 4인 가지가 만드는 $L_1=3\times4=12$, 그리고 이득 2와 3인 가지를 지나 되돌아오는 이득 5인 가지가 만드는 $L_2=2\times3\times5=30$ 두 개이며, 두 루프는 마디를 공유하므로 서로 접촉한다.
따라서 $\Delta=1-(L_1+L_2)=1-(12+30)=-41$이고 전향경로가 두 루프에 모두 접촉하므로 $\Delta_1=1$이다.
그러므로 $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{6}{-41}=-\frac{6}{41}$이다.

특성방정식 $s^4+2s^3+s^2+4s+2=0$의 라우스 배열을 작성하면 제1열의 부호가 두 번 바뀌어 우반평면에 극이 2개 존재하는 것으로 나타난다.
제1열에 부호변화가 있으므로 이 시스템은 불안정하다.

주어진 상태방정식은 $\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)$ 형태이고 시스템 행렬은 $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\-3 & -4\end{bmatrix}$이므로, 특성방정식은 입력행렬 $B$와 무관하게 $|sI-A|=0$으로 구한다.
$sI-A=\begin{bmatrix}s & -1\\3 & s+4\end{bmatrix}$이므로 $|sI-A|=s(s+4)-(-1)\times3=s^{2}+4s+3$이다.
따라서 특성방정식은 $s^{2}+4s+3=0$이다.

근궤적은 이득 $K$가 0에서 무한대로 변할 때 특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$의 근이 그리는 자취이므로, 가지 수는 특성방정식의 차수와 같고 이는 개루프 극점 수와 영점 수 중 큰 값이다.
여기서 극점은 $s=0,\;-1,\;-3,\;-4$로 4개, 영점은 $s=-2$로 1개이므로 가지 수는 4이다.
무한대로 발산하는 점근선의 수는 $4-1=3$으로 가지 수와 다른 값이니 구분해야 한다.

그림의 회로는 입력 단자에서 $L$과 $C$가 직렬로 이어지고 그 끝에 $R$이 세로로 연결되어 출력 단자와 병렬을 이루므로, 하나의 전류 $i(t)$가 흐르는 직렬 회로이고 $v_2(t)$는 $R$ 양단 전압이다.
따라서 분압 관계로 $G(s)=\frac{V_2(s)}{V_1(s)}=\frac{R}{sL+\frac{1}{sC}+R}$이다.
분자와 분모에 $sC$를 곱해 정리하면 $G(s)=\frac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}$이 된다.

근의 실수부가 응답의 증감을 결정하는데, 모든 근이 허수축 위에 있으면 실수부가 0이므로 응답이 감쇠하지도 발산하지도 않고 일정 진폭으로 계속 진동한다.
안정과 불안정의 경계에 놓인 이 상태를 임계안정이라 한다.

$AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})=A$이므로 식은 $A+AB+\overline{A}B$가 된다.
$A+AB=A$이므로 다시 $A+\overline{A}B$로 줄어들고, 이는 흡수법칙에 의해 $A+B$와 같다.

그림에서 부하는 저항 $R$ 세 개가 Y로 결선되어 있고, 전력계는 전류코일이 a선에, 전압코일이 a-b 두 상 사이에 접속되어 있다.
따라서 지시값은 $W=|V_{ab}||I_a|\cos\theta$이며, 순저항 평형부하이므로 선전류 $I_a$는 자기 상전압과 동상이고 선간전압 $V_{ab}$는 그 상전압보다 $30^{\circ}$ 앞서므로 $\theta=30^{\circ}$이다.
즉 $W=V_{ab}I_a\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}V_{ab}I_a$이므로 $I_a=\frac{2W}{\sqrt{3}V_{ab}}$이다.
평형 3상이므로 c상 전류의 크기도 이와 같은 $\frac{2W}{\sqrt{3}V_{ab}}\,[\mathrm{A}]$이다.

역상분 전류는 $I_2=\dfrac{1}{3}(I_a+a^2I_b+aI_c)$로 구하며, 여기서 $a=1\angle120^\circ$이다.
주어진 $I_a=15+j2$, $I_b=-20-j14$, $I_c=-3+j10$을 대입하여 계산하면 $I_2\approx1.91+j6.24$가 된다.

27V 전원 쪽 1Ω 뒤의 마디를 A(4Ω이 걸린 곳), 20Ω 뒤의 마디를 B(5Ω과 6A 전류원이 걸린 곳)라 하고 아래쪽 도선을 기준 마디로 둔다.
마디해석으로 $\frac{27-V_A}{1}=\frac{V_A}{4}+\frac{V_A-V_B}{20}$, $\frac{V_A-V_B}{20}=\frac{V_B}{5}+6$ 을 세워 풀면 $V_A=20\,\text{V}$, $V_B=-20\,\text{V}$ 이다.
따라서 20Ω에 흐르는 전류는 $\frac{20-(-20)}{20}=2\,\text{A}$ 이고, 소비전력은 $P=I^2R=2^2\times 20=80\,\text{W}$ 이다.

양변을 라플라스 변환한다. 직류전압은 $\mathcal{L}[V]=\dfrac{V}{s}$이고, 초기전하가 없으므로 $\mathcal{L}\left[\int i(t)dt\right]=\dfrac{I(s)}{s}$이다.
$\dfrac{V}{s}=RI(s)+\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{I(s)}{s}=I(s)\left(R+\dfrac{1}{sC}\right)$
정리하면
$I(s)=\dfrac{V/s}{R+\dfrac{1}{sC}}=\dfrac{V}{sR+\dfrac{1}{C}}=\dfrac{V}{R}\cdot\dfrac{1}{s+\dfrac{1}{RC}}$
역변환하면 $i(t)=\dfrac{V}{R}e^{-t/RC}$로, $t=0$에서 $V/R$로 시작해 지수적으로 감소하는 RC 충전전류가 되어 물리적으로도 맞는다. 분모가 $s+\dfrac{1}{RC}$여야 극점이 $s=-\dfrac{1}{RC}$가 되어 감쇠한다.