고유임피던스는 매질 내 평면파의 전계와 자계의 비로 $\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=\sqrt{\dfrac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}}=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$ 로 분리된다.
앞의 인수는 진공의 고유임피던스로 $\sqrt{\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{8.854\times10^{-12}}}\approx377$ Ω 이므로 $\eta=377\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}}$ 가 된다.
대입하면 $\eta=377\times\sqrt{\dfrac{1}{81}}=\dfrac{377}{9}\approx41.9$ Ω 이다.
비유전율이 커지면 고유임피던스는 작아진다. 물($\varepsilon_r=81$)에서 값이 진공의 $1/9$ 로 떨어지는 것이 이 문제다.

강자성체를 자화시킬 때 자속밀도가 매끈하게 변하지 않고 미소 자구의 벽이 순간적으로 이동하면서 계단상으로 급격히 증가·감소하는 현상을 바크하우젠 효과라 한다. 퀴리점은 강자성이 상실되는 온도, 자왜현상은 자화에 따라 치수가 변하는 현상, 자기여자(자기여효) 효과는 자계를 변화시킨 뒤 자화가 시간 지연을 두고 서서히 따라 변하는 현상으로, 모두 계단적인 불연속 변화와는 다른 개념이다.

무한 평면도체는 영상법으로 없앤다. 평면 반대편으로 대칭인 위치, 즉 원래 도선에서 $2d$ 떨어진 곳에 선전하밀도 $-\lambda$ 의 영상 직선도체를 놓은 것과 같다.
무한 직선전하가 거리 $r$ 에 만드는 전계는 가우스 법칙에서 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$ 이므로, 영상전하가 원래 도선 자리에 만드는 전계는
$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0(2d)}=\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0d}$
단위 길이당 전하 $\lambda$ 가 이 전계에서 받는 힘이므로
$f=\lambda E=\dfrac{\lambda^2}{4\pi\varepsilon_0d}$ (N/m)
부호가 반대인 영상전하이므로 평면 쪽으로 끌리는 흡인력이다. 거리를 $d$ 로 두고 계산하면 분모가 $2\pi\varepsilon_0d$ 가 되는데, 실제 두 도선 간격은 $2d$ 라는 점이 핵심이다.

그림에서 극판은 수평이고 두 유전체의 경계면도 수평이므로, 위쪽 $\epsilon_1$과 아래쪽 $\epsilon_2$는 직렬로 놓이고 전계는 경계면에 수직으로 입사한다.
수직 입사에서는 전속밀도 $D$가 연속이므로 경계면 단위면적에 작용하는 힘은 $f=\frac{1}{2}D^{2}\left(\frac{1}{\epsilon_2}-\frac{1}{\epsilon_1}\right)$이고, $\epsilon_1>\epsilon_2$이면 이 값이 양이 된다.
이 힘은 유전율이 큰 쪽에서 작은 쪽으로 향하므로 $\epsilon_1$에서 $\epsilon_2$ 쪽, 즉 경계면에서 아래로 향하는 화살표가 답이다.

충전 후 전원과 분리된 상태이므로 극판의 진전하는 $Q=0.1$ C 로 유지되고, 유전체 표면에 분극전하가 나타나 내부 전계를 $1/\varepsilon_r$ 배로 줄인다.
분극의 정의 $P=D-\varepsilon_0E$ 에 $D=\varepsilon_0\varepsilon_rE$ 를 넣으면 $P=D\left(1-\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)$ 이고, 양변에 극판 면적을 곱하면 표면 분극 전하량은
$Q'=Q\left(1-\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)$
대입하면 $Q'=0.1\times\left(1-\dfrac{1}{10}\right)=0.1\times0.9=0.09$ C 이다.
정전용량 20 μF 는 극판 전압을 묻지 않는 이 문제에서는 쓰이지 않는 값이다.

경계면에 존재하는 전하와 반대쪽 유전체 사이의 힘은 전기영상법으로 설명되며, 영상전하의 크기는 $q' = q \dfrac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}$이다. $\varepsilon_1 > \varepsilon_2$이면 영상전하가 원전하와 같은 부호가 되어 반발력이 작용하고, 반대로 $\varepsilon_1 < \varepsilon_2$이면 부호가 달라져 흡인력이 작용한다.

누설자속이 0 이므로 결합계수는 $k=1$ 이고 상호 인덕턴스는 $M=k\sqrt{L_AL_B}=\sqrt{L_AL_B}$ 이다.
같은 환상철심이므로 자기저항 $R_m=\dfrac{l}{\mu S}$ 이 두 코일에 공통이고 $L=\dfrac{N^2}{R_m}$ 이므로 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례한다.
$L_B=L_A\left(\dfrac{N_B}{N_A}\right)^2=4\times\left(\dfrac{400}{100}\right)^2=64$ H
$M=\sqrt{4\times64}=\sqrt{256}=16$ H
$M=\dfrac{N_AN_B}{R_m}=L_A\times\dfrac{N_B}{N_A}=4\times4=16$ 로 계산해도 같다.

환상 솔레노이드의 자기저항은 $R_m=\dfrac{l}{\mu S}$ 이고 인덕턴스는 $L=\dfrac{N^2}{R_m}=\dfrac{\mu SN^2}{l}$ 이므로 권수로 풀면 $N=\sqrt{\dfrac{Ll}{\mu S}}$ 이다.
투자율은 $\mu=\mu_0\mu_r=4\pi\times10^{-7}\times15000=1.885\times10^{-2}$ (H/m), 자로 길이는 0.1 m, 단면적은 $2\times10^{-4}$ m² 로 환산한다.
$N=\sqrt{\dfrac{5.4\times10^{-3}\times0.1}{1.885\times10^{-2}\times2\times10^{-4}}}=\sqrt{\dfrac{5.4\times10^{-4}}{3.770\times10^{-6}}}=\sqrt{143.2}\approx12$ 회
cm 와 cm² 를 m 단위로 바꾸지 않으면 자릿수가 어긋난다.

자기회로의 옴 법칙에서 기자력이 $F=NI$, 자기저항이 $R_m=\dfrac{l}{\mu S}$ 이므로 자속은
$\phi=\dfrac{F}{R_m}=\dfrac{NI}{\dfrac{l}{\mu S}}=\mu\dfrac{NI}{l}S$ (Wb)
같은 결과를 단계별로 확인할 수도 있다. 자성체 내부 자계는 $H=\dfrac{NI}{l}$ (AT/m), 자속밀도는 $B=\mu H=\dfrac{\mu NI}{l}$ (Wb/m²), 단면을 통과하는 자속은 $\phi=BS=\dfrac{\mu NIS}{l}$ 이다.
자속은 투자율·권수·전류·단면적에 비례하고 자로 길이에 반비례한다.

그림에서 극판 면적이 $S$인 커패시터의 유전체 내부에 전속밀도 $D$와 변위전류 $i_d$가 $+q$ 극판에서 $-q$ 극판을 향해 같은 방향으로 그려져 있다.
표면전하밀도는 $\sigma=\frac{q}{S}$이고 평행판 내부에서는 $D=\sigma=\frac{q}{S}$이다.
변위전류밀도는 전속밀도의 시간변화율로 정의되므로 $i_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\frac{\partial \sigma}{\partial t}=\frac{1}{S}\frac{\partial q}{\partial t}$이다.
$\frac{\partial q}{\partial t}$는 단위가 A인 변위전류 자체이고, $\frac{\partial D}{\partial t}$에 다시 $S$를 곱하거나 나눈 형태는 단위가 $\mathrm{A/m^2}$이 되지 않는다.

두 점을 잇는 거리 벡터는 힘을 받는 전하 쪽을 향해야 하므로
$\vec{r}=(2-1)\hat{x}+(1-3)\hat{y}=\hat{x}-2\hat{y}$, $|\vec{r}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ (m), $\hat{r}=\dfrac{\hat{x}-2\hat{y}}{\sqrt{5}}$
쿨롱의 법칙 $\vec{F}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\hat{r}=9\times10^9\times\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}\hat{r}$ 에서 크기 부분을 먼저 계산하면
$9\times10^9\times\dfrac{(-2\times10^{-9})\times1}{5}=-\dfrac{18}{5}$ (N)
여기에 단위벡터를 곱하면
$\vec{F}=-\dfrac{18}{5}\times\dfrac{\hat{x}-2\hat{y}}{\sqrt{5}}=-\dfrac{18}{5\sqrt{5}}\hat{x}+\dfrac{36}{5\sqrt{5}}\hat{y}$ (N)
전하의 곱이 음수여서 힘의 방향이 $\hat{r}$ 의 반대, 즉 음전하 쪽으로 끌리는 흡인력이 된다.

극판과 평행한 경계면으로 절반을 채웠으므로 두께 $d/2$ 인 공기층과 두께 $d/2$ 인 유전체층이 직렬로 이어진 구조다.
원래 용량이 $C_0=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ 이므로 각 층은 두께가 절반이어서
$C_1=\dfrac{\varepsilon_0S}{d/2}=2C_0$, $C_2=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_rS}{d/2}=2\varepsilon_rC_0$
직렬 합성하면
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{2C_0}+\dfrac{1}{2\varepsilon_rC_0}=\dfrac{1}{2C_0}\left(1+\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)$
$C=\dfrac{2C_0}{1+\dfrac{1}{\varepsilon_r}}$ (μF)
극판에 수직인 경계면으로 절반을 채웠다면 병렬이 되어 $C=\dfrac{C_0}{2}(1+\varepsilon_r)$ 형태가 나온다. 경계면의 방향에 따라 직렬인지 병렬인지가 갈린다.

그림에서 도체 1은 반지름 $a$인 안쪽 구이고, 도체 2는 안쪽 반지름 $b$·바깥쪽 반지름 $c$인 구각이다.
전위계수 $P_{11}$은 도체 1에만 $1$C를 주고 도체 2를 $0$C로 두었을 때 도체 1의 전위이다. 이때 구각 안쪽면에 $-1$C, 바깥면에 $+1$C가 유도되므로 전계는 $a$와 $b$ 사이, 그리고 $c$ 바깥에만 존재한다.
따라서 $P_{11}=\int_{a}^{b}\frac{dr}{4\pi\epsilon r^{2}}+\int_{c}^{\infty}\frac{dr}{4\pi\epsilon r^{2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$가 된다.
구각 내부($b$에서 $c$까지)는 도체이므로 전위차가 생기지 않는다.

자계의 세기 H의 기본 단위는 A/m이다. 자하에 작용하는 힘이 $F = mH$이므로 $H = F/m$, 즉 N/Wb도 같은 단위이고, 인덕턴스의 단위가 $\mathrm{H} = \mathrm{Wb/A}$이므로 Wb/(H·m) 역시 A/m으로 환원된다. 반면 (H·A)/m²은 $\mathrm{H} \cdot \mathrm{A} = \mathrm{Wb}$이므로 Wb/m²이 되어 자속밀도 B의 단위이며, 자계의 세기 단위가 아니다.

그림에서 두 도선의 전류 $I$와 $4I$는 화살표가 모두 위쪽을 향해 같은 방향이고, 점 P는 두 도선 사이에서 $I$ 쪽으로 $a$, $4I$ 쪽으로 $b$ 떨어져 있다.
같은 방향 전류이므로 두 도선이 사이의 점에 만드는 자계는 서로 반대 방향이 되어, 크기가 같아지면 합성 자계가 0이 된다.
$\frac{I}{2\pi a}=\frac{4I}{2\pi b}$에서 $b=4a$이므로 $\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$이다.

직렬로 연결된 커패시터는 모두 같은 전하 Q를 충전하므로, 전압을 계속 올리면 최대 전하량 $Q_{max}=CV$가 가장 작은 커패시터가 먼저 정격전압에 도달해 절연이 파괴된다. 1000V-2μF는 $2000\mu C$, 700V-3μF는 $2100\mu C$, 600V-4μF와 300V-8μF는 각각 $2400\mu C$로, 1000V-2μF의 허용전하량이 가장 작아 가장 먼저 파괴된다.

원형코일 중심의 자계는 비오·사바르 법칙 $dH=\dfrac{Idl\sin\theta}{4\pi r^2}$ 를 반지름 $a$ 의 원둘레 전체에 적분해 얻는다. 중심에서는 $\theta=90^\circ$, $r=a$ 로 일정하므로
$H=\dfrac{I}{4\pi a^2}\times2\pi a=\dfrac{I}{2a}$, 권수가 $N$ 이면 $H=\dfrac{NI}{2a}$ (AT/m)
대입하면
$30=\dfrac{120\times I}{2\times2}=30I$
$I=1$ A 이다.

내구에 $+Q$ 를 주면 두 구 사이에서 $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ 이고, 이를 $a$ 에서 $b$ 까지 적분하면 전위차는 $V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)$ 이다. 따라서
$C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}$
$4\pi\varepsilon_0=\dfrac{1}{9\times10^9}$ 을 쓰고 반지름을 m 로 환산해 대입하면
$C=\dfrac{1}{9\times10^9}\times\dfrac{0.05\times0.1}{0.1-0.05}=\dfrac{0.1}{9\times10^9}=1.11\times10^{-11}$ F
즉 약 11.1 pF 이다.

자화율과 비투자율은 $\mu_r = 1 + \chi_m$의 관계에 있다. 따라서 $\mu_r < 1$이면 $\chi_m < 0$이 되어 외부 자계와 반대 방향으로 자화되는 역자성체이다. 같은 관계로 $\chi_m > 0$이면 상자성체(또는 강자성체)이지 역자성체가 아니고, $\chi_m < 0$인 경우도 상자성체가 아니라 역자성체이다. 또한 $\mu_r > 1$이면 자화가 일어나는 상자성체이므로, 자화 성질이 거의 없는 비자성체($\mu_r \approx 1$)로 볼 수 없다.

구좌표계에서 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$에 대한 라플라시안은 $\nabla^2 r = \dfrac{2}{r}$로 계산된다. 이는 구좌표계 라플라시안 공식에 $f(r)=r$을 대입하면 바로 얻어지는 결과이다.

피뢰기의 충격방전 개시전압은 임펄스성 충격파가 인가되었을 때 방전이 시작되는 순간의 전압으로, 파형의 최대치(파고치)로 표시한다. 직류전압이나 평균치, 실효치는 충격파와 같은 과도현상의 크기를 나타내는 방식으로 사용되지 않는다.

동기조상기는 계자전류를 조정해 진상은 물론 지상 무효전력까지 연속적으로 공급·흡수할 수 있는 회전기기인 반면, 전력용 콘덴서는 진상 무효전력만 공급하는 고정 소자이다. 따라서 지상전류까지 취할 수 있다는 점이 콘덴서 대비 동기조상기의 대표적 이점이며, 소음과 손실, 유지보수 측면에서는 오히려 회전기기인 동기조상기가 불리하다.

환상 선로에서 전원이 한쪽 끝에만 있는 경우는 방사상 선로와 유사한 고장전류 흐름을 가지므로 방향 단락 계전기나 과전류 계전기 조합으로 보호하며, 선택 단락 계전기는 두 회선이 병행 운전되는 환상선로에서 고장회선을 선택 차단하기 위해 사용하는 방식으로 전원이 1단에만 있는 경우의 설명과는 맞지 않는다.

단상 3선식은 중성선을 사이에 두고 두 부하가 불평형이 되면 전압 불평형이 발생하므로, 이를 자동으로 보상하기 위해 밸런서를 설치한다. 단상 2선식과 3상 방식은 구조상 각 상의 전압 불평형 문제가 단상 3선식만큼 크지 않아 밸런서의 필요성이 상대적으로 낮다.

단로기는 소호 기능이 없어 부하전류가 흐르는 상태에서는 개폐할 수 없고, 무부하 상태에서 기기 점검·수리를 위한 회로 분리나 계통 접속 변경 시에만 사용한다. 차단기와 전력용 퓨즈, 부하 개폐기는 부하전류나 고장전류를 개폐할 수 있는 소호 능력을 갖추고 있어 단로기와 구분된다.

충전전류는 각 상의 정전용량에 상전압이 걸려 흐르는 전류이므로 $I_c=\omega CE=2\pi fC\dfrac{V}{\sqrt{3}}$ 로 계산한다. 선간전압을 그대로 넣지 않는 것이 요점이다.
선로 전체의 정전용량은
$C=0.01\times10^{-6}\times173.2=1.732\times10^{-6}$ F
대입하면
$I_c=2\pi\times60\times1.732\times10^{-6}\times\dfrac{60\times10^3}{\sqrt{3}}=376.99\times1.732\times10^{-6}\times34641$
$\approx22.6$ A
상전압 대신 선간전압 60 kV 를 넣으면 $\sqrt{3}$ 배인 39 A 가 되어 보기에 없다.

반한시·정한시 특성은 동작전류가 클수록 동작시간이 짧아지는 반한시 특성과, 일정 전류 이상에서는 전류 크기에 관계없이 일정 시간에 동작하는 정한시 특성이 결합된 것이다. 따라서 동작전류가 커질수록 동작시간이 짧아지다가 어떤 전류 이상에서 일정 시간으로 동작하는 특성이 이에 해당한다. 동작전류가 커질수록 동작시간이 짧아지기만 하는 것은 반한시, 최소 동작전류를 넘으면 즉시 동작하는 것은 순한시, 전류 크기와 무관하게 일정 시간에 동작하는 것은 정한시 단독 특성이다.

전력계통의 안정도는 정상 상태에서의 미소한 외란에 대한 정태 안정도, 급격한 계통 변화 직후의 과도 안정도, 자동전압조정기 등의 동작을 포함한 동태 안정도로 구분한다. 상태 안정도는 이러한 분류 체계에 속하지 않는 용어이다.

역률을 개선하면 같은 유효전력을 보내는 데 필요한 전류가 줄어들어 선로 손실과 전압강하가 감소하고, 전원측 설비의 이용률도 향상된다. 그러나 선로에 흐르는 전류가 줄어드는 것과 절연에 필요한 전압 내력은 직접적인 관계가 없으므로 선로 절연 비용 절감은 역률 개선의 효과로 보기 어렵다.

저압뱅킹 방식은 인접한 변압기의 저압측을 연락선으로 연결해 부하를 분담하는데, 한 변압기 고장 시 과부하가 인접 변압기로 연쇄적으로 파급되는 캐스케이딩 현상이 발생할 수 있다. 이를 막기 위해 연락 저압선 중간에 구분퓨즈를 설치해 고장 구간을 신속히 분리한다.

단권변압기로 쓰는 승압기에서 직렬권선이 실제로 분담하는 것은 승압분 $e$ 뿐이므로 자기용량은 $W=e\,I_2$ 이다. 반면 부하에는 승압된 전압 $V_h$ 가 같은 전류 $I_2$ 로 걸리므로 부하용량은 $P=V_hI_2$ 이다.
두 식에서 $I_2=\dfrac{W}{e}$ 를 소거하면
$P=V_h\times\dfrac{W}{e}=\dfrac{V_h}{e}\times W$
즉 $\dfrac{P}{W}=\dfrac{V_h}{e}$ 로, 승압분이 전체 전압에 비해 작을수록 작은 자기용량의 승압기로 큰 부하를 감당할 수 있다는 단권변압기의 이점이 그대로 나타난다.

절탄기는 보일러 배기가스가 가진 여열을 회수해 보일러에 공급되는 급수를 예열함으로써 연료 소비를 줄이고 증발량을 늘리는 장치이다. 과열기는 증기를 과열시키는 장치, 공기 예열기는 연소용 공기를 예열하는 장치, 재열기는 터빈 중간에서 증기를 재가열하는 장치로 급수 예열과는 목적이 다르다.

직렬콘덴서는 선로의 유도성 리액턴스를 보상해 전압강하를 줄이고 정태안정도를 높이는 효과가 있다. 다만 역률 개선은 선로에 병렬로 연결하는 전력용 콘덴서의 역할이며, 직렬콘덴서는 리액턴스 보상이 주목적이므로 송전단 역률 개선 효과로 보기는 어렵다.

부하가 선로 전체에 균등하게 분산되어 있으면 전류가 점진적으로 줄어들며 흐르므로 전력손실은 부하가 말단에 집중된 경우의 3분의 1이 된다. 이는 분산부하의 손실 적분값이 집중부하 대비 1/3로 계산되는 배전선로의 일반적 특성이다.

선로 손실을 무시하면 임피던스가 리액턴스뿐이므로, 송·수전단 전압의 위상차 $\delta$ 에 대해 전송전력은
$P=\dfrac{V_sV_r}{X}\sin\delta$
전압을 kV, 리액턴스를 Ω 로 넣으면 결과가 MW 로 나온다.
$P=\dfrac{161\times154}{60}\times\sin35^\circ=\dfrac{24794}{60}\times0.5736$
$=413.2\times0.5736\approx237$ MW
$\sin35^\circ$ 대신 $\cos35^\circ$ 를 넣으면 338 MW 가 되므로 위상차에 사인을 쓴다는 점을 확인해 둔다.

직접접지방식은 1선 지락 시 건전상의 전위 상승이 거의 없어 절연 수준을 낮출 수 있고 변압기 단절연도 가능하다는 장점이 있다. 그러나 지락전류가 매우 커서 차단기 동작 빈도가 잦아지고 계통에 주는 충격이 크기 때문에 오히려 과도안정도 측면에서는 불리한 방식이다.

그림에서 경간 AB와 BC의 이도가 각각 12cm이고, B가 떨어지면 A와 C를 잇는 하나의 경간이 된다. 한 경간을 $S$라 하면 떨어진 뒤의 경간은 $2S$이다.
이도 $D$인 전선의 실제 길이는 $L=S+\frac{8D^{2}}{3S}$이고, 떨어지기 전후 길이가 같으므로 늘어난 부분끼리 같다고 두면 $2\times\frac{8\times 12^{2}}{3S}=\frac{8D^{2}}{3\times 2S}$이다.
정리하면 $D^{2}=4\times 12^{2}$이므로 $D=2\times 12=24$cm이다.
즉 지지점 하나가 빠져 경간이 2배가 되면 이도는 2배가 된다.

캐비테이션은 흡출관 내 압력이 낮아져 물이 기화했다가 재응축하며 러너를 손상시키는 현상이므로, 이를 막으려면 흡출수두를 낮게 잡아야 한다. 흡출수두를 증대시키면 오히려 압력이 더 낮아져 캐비테이션이 조장되므로 이는 방지책이 될 수 없다.

매설지선은 철탑 접지저항을 낮추기 위해 철탑 다리에서 땅속으로 도체를 매설하는 설비로, 뇌격 시 철탑 전위 상승을 억제해 철탑에서 송전선로 쪽으로 섬락이 역으로 발생하는 역섬락을 방지하는 것이 주된 목적이다.

변압기의 여자 어드미턴스를 무시하면 변압기는 임피던스만 가진 4단자망으로 취급되어 종속 접속 시 전체 C 정수는 원래 선로의 C 값이 그대로 유지된다. 주어진 $A_0, B_0, D_0$ 관계식과 같이 송수전단 변압기 임피던스는 A, B, D 정수에는 반영되지만 C 정수 자체는 변하지 않으므로 $C_0 = C$이다.

무부하손은 전압과 전류가 만드는 평균 전력이고, 주파수가 다른 성분끼리는 한 주기 평균이 0 이라 전력을 만들지 못한다. 인가 전압에는 기본파만 있으므로 전류의 제3고조파 0.7 A 성분은 손실에 기여하지 않는다.
기본파 실효값은 $V=\dfrac{200}{\sqrt{2}}$ (V), $I=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ (A) 이고 위상차는 $60^\circ-30^\circ=30^\circ$ 이므로
$P=VI\cos\theta=\dfrac{200}{\sqrt{2}}\times\dfrac{3}{\sqrt{2}}\times\cos30^\circ=\dfrac{600}{2}\times0.866$
$=300\times0.866\approx259.8$ W
위상차를 무시하고 $300\times1$ 로 두면 300 W, 고조파까지 유효분으로 세면 값이 더 커지는데 둘 다 근거가 없다.

단상 직권 정류자 전동기는 변압기 기전력에 의한 브러시 단락전류가 정류를 방해하고 불꽃을 유발하므로, 이를 줄이기 위해 계자 권수를 적게 하고 전기자 권수를 크게 하며 변압기 기전력 자체를 낮춘다. 따라서 브러시로 단락되는 코일의 단락전류를 오히려 작게 하는 것이 설계 목표이며, 크게 한다는 설명은 실제와 반대이다.

과복권발전기는 부하전류 증가에 따라 직권 계자의 기자력이 더해져 전압 강하를 상쇄하고도 남을 만큼 유기기전력이 증가하도록 설계되어, 전부하 시 단자전압이 무부하 시보다 오히려 높아진다. 분권발전기는 부하 증가에 따라 전압이 떨어지고, 평복권발전기는 무부하와 전부하 전압이 같도록, 차동복권발전기는 부하 증가에 따라 전압이 크게 떨어지도록 설계된다.

단중 중권에서는 병렬회로 수가 극수와 같아 $a=P$이다. 여기서 다중도 m으로 감으면 서로 독립된 중권 권선이 m조 겹쳐진 것과 같아 병렬 경로가 m배로 늘어나므로, 병렬회로 수는 $a=mP$가 된다.

3상 유도전동기의 최대 토크가 나는 슬립은 $s_t=\dfrac{r_2}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2)^2}}$ 로 2차 저항에 비례한다. 뒤집어 말하면 $\dfrac{r_2}{s_t}$ 가 일정하게 유지되도록 2차 저항을 키우면 최대 토크가 나는 슬립이 그만큼 커진다(비례추이).
기동 순간의 슬립은 $s=1$ 이므로, 외부저항 $R$ 을 넣어
$\dfrac{r_2+R}{1}=\dfrac{r_2}{s_t}$
가 되게 하면 기동과 동시에 최대 토크가 나온다. 풀면
$R=\dfrac{r_2}{s_t}-r_2=\dfrac{1-s_t}{s_t}r_2$ (Ω)
외부저항만 묻고 있으므로 $\dfrac{r_2}{s_t}$ 에서 원래의 $r_2$ 를 빼야 한다.

단상 변압기를 병렬 운전하면 부하전류는 각 변압기의 정격용량에 비례하고 누설 임피던스(퍼센트 임피던스)에는 반비례하여 분담된다. 이는 병렬 회로에서 전류가 임피던스에 반비례하여 나뉘는 원리를 변압기 정격용량으로 환산한 것이다.

스텝 모터는 입력 펄스 수에 회전각과 속도가 비례하고 피드백 없이도 오픈 루프로 위치·속도 제어가 가능하며 가속·감속과 정역전이 용이한 장점이 있다. 다만 매 스텝의 각도 오차는 발생할 수 있어도 그 오차가 누적되지 않는 것이 스텝 모터의 특징이므로, 오차가 누적된다는 설명은 옳지 않다.

유도전동기의 토크는 $T\propto\dfrac{sV^2r_2}{r_2^2+(sx_2)^2}$ 이고, 슬립이 작아 $sx_2\ll r_2$ 인 정상 운전 영역에서는 $T\propto sV^2$ 로 근사된다. 토크가 전압의 제곱에 비례한다는 것이 핵심이다.
부하가 그대로여서 필요한 토크가 변하지 않으므로 $s_1V_1^2=s_2V_2^2$ 이고
$s_2=s_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^2=0.04\times\left(\dfrac{1}{0.9}\right)^2=\dfrac{0.04}{0.81}=0.0494$
약 4.9 % 이다. 전압을 10 % 낮추면 같은 토크를 내기 위해 슬립이 커지고 회전속도가 떨어진다.
슬립이 전압에 반비례한다고 보면 4.4 % 가 나오는데, 제곱에 반비례한다는 점을 놓친 결과다.

비례추이에 따라 2차 저항을 m배로 하면 같은 토크를 내는 슬립도 m배로 옮겨간다. 최대토크가 생기는 슬립은 $s_m = \dfrac{r_2}{x_2}$로 저항에 비례해 커지지만, 그때의 최대토크 값은 $2x_2$에만 관계되어 2차 저항이 상쇄되므로 저항 값과 무관하다. 따라서 2차 저항을 2배로 해도 최대토크가 발생하는 슬립만 2배로 이동할 뿐 최대토크의 크기는 변하지 않는다.

직류 분권전동기에서 계자전류를 조정하는 계자제어는 자속을 약화시켜 회전속도를 높이는 방식으로, 속도가 올라가는 대신 토크가 줄어들어 출력이 대략 일정하게 유지되는 정출력 가변속도 제어에 적합하다. 저항제어와 전압제어는 정토크 특성에 가깝고, 극수제어는 분권전동기의 일반적인 속도제어법이 아니다.

직류기의 토크는 $T=\dfrac{pZ}{2\pi a}\phi I_a$ 이고 극수·도체수·병렬회로수는 기계가 정해진 상수이므로 $T\propto\phi I_a$ 이다.
자속이 0.8 배, 전기자전류가 $\dfrac{12}{10}=1.2$ 배가 되었으므로
$T'=T\times\dfrac{\phi'}{\phi}\times\dfrac{I_a'}{I_a}=5\times0.8\times1.2=4.8$ N·m
자속만 줄었다면 4 N·m, 전류만 늘었다면 6 N·m 인데 두 변화가 함께 작용해 원래보다 조금 작아진다.

2차가 Y 결선이므로 단자전압 $V$ 는 선간전압이고 한 상의 전압은 $\dfrac{V}{\sqrt{3}}$, 선전류 $I$ 는 그대로 상전류이다.
권수비 $a=\dfrac{E_1}{E_2}$ 는 변압기 한 상끼리의 비이므로
1차 상전압 $=a\times\dfrac{V}{\sqrt{3}}=\dfrac{aV}{\sqrt{3}}$, 1차 상전류 $=\dfrac{I}{a}$
1차는 Δ 결선이라 단자전압이 곧 상전압이고, 선전류는 상전류의 $\sqrt{3}$ 배이므로
$V_1=\dfrac{aV}{\sqrt{3}}$ (V), $I_1=\dfrac{\sqrt{3}I}{a}$ (A)
검산하면 $\sqrt{3}V_1I_1=\sqrt{3}\times\dfrac{aV}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}I}{a}=\sqrt{3}VI$ 로 1차와 2차 용량이 일치한다.

3상 반파 위상제어에서 각 상은 상전압이 다른 상을 앞지르는 $\omega t=30^\circ$ 부터 도통할 수 있으므로 점호는 $30^\circ+\alpha$ 에서 시작한다. 순저항부하는 전압이 0 이 되면 전류도 곧바로 끊기므로, $\alpha>30^\circ$ 이면 상전압이 0 이 되는 $180^\circ$ 에서 도통이 끝나는 불연속 모드가 된다.
이 구간을 한 주기(3상이므로 $2\pi/3$ 마다 반복)에 대해 평균하면
$E_d=\dfrac{3}{2\pi}\int_{30^\circ+\alpha}^{180^\circ}E_m\sin\theta\,d\theta=\dfrac{3E_m}{2\pi}\left[1+\cos(30^\circ+\alpha)\right]$
$\alpha=60^\circ$ 이므로 $\cos(30^\circ+60^\circ)=\cos90^\circ=0$ 이고, $E_m=\sqrt{2}\times220=311.1$ V 이므로
$E_d=\dfrac{3\times311.1}{2\pi}=\dfrac{933.4}{6.283}\approx148.55$ V
연속 도통일 때 쓰는 $E_d=1.17E\cos\alpha$ 를 그대로 넣으면 128.7 V 가 나오는데, $\alpha>30^\circ$ 인 저항부하에서는 적용 범위를 벗어난 식이다.

유도자형 동기발전기는 회전자에 계자극이나 전기자 권선을 두지 않고, 톱니 모양의 유도자만 회전시키면서 계자극과 전기자 권선을 모두 고정자 측에 배치하는 구조이다. 이 때문에 고속·고주파 발전에 유리하며, 계자극과 전기자가 함께 고정되어 있다는 점이 이 발전기의 핵심 특징이다.

동기임피던스는 같은 여자전류 조건에서 무부하 시 한 상의 유기기전력을 3상 단락전류로 나눈 값이다.
$Z_s=\dfrac{E}{I_s}$
주어진 1000$\sqrt{3}$ V 는 단자전압, 즉 선간전압이므로 상전압으로 환산해야 한다.
$E=\dfrac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1000$ V
$Z_s=\dfrac{1000}{50}=20$ Ω
선간전압을 그대로 나누면 34.6 Ω 이 되는데, 임피던스는 상 기준 값이라는 점을 놓친 것이다.

단락비는 무부하 포화곡선과 3상 단락곡선을 겹쳐 놓고 읽는 값이다. 정격전압을 무부하로 낼 때 필요한 여자전류를, 정격전류를 3상 단락으로 흘리는 데 필요한 여자전류로 나눈다.
$K=\dfrac{I_{fo}}{I_{fs}}$
정격부하 정격전압일 때의 여자전류 $I_{f1}$ 은 전기자 반작용과 임피던스 강하를 보상하느라 $I_{fo}$ 보다 크지만, 단락비 정의에는 들어가지 않는다.
단락비는 퍼센트 동기임피던스와 $K=\dfrac{100}{\%Z_s}$ 관계이므로, 값이 클수록 동기임피던스가 작고 전압변동률이 작은 이른바 철기계가 된다.

변압기의 절연유나 권선에 스며든 습기를 제거하는 대표적 건조법으로는 열풍을 불어넣는 열풍법, 권선에 전류를 흘려 자체 발열로 건조하는 단락법, 감압 상태에서 수분을 증발시키는 진공법이 있다. 건식법은 습기를 제거하는 건조 공정이 아니라 변압기를 오일 없이 절연하는 절연 방식을 가리키는 용어이므로 건조법에 해당하지 않는다.

먼저 한 상의 직렬 권수를 센다. 전 도체 수는 $180\times10=1800$ 개, 한 상당 도체 수는 $\dfrac{1800}{3}=600$ 개, 도체 2개가 1회이므로 300 회인데 2중 성형결선이라 병렬회로가 2 이므로 직렬로 이어진 권수는
$N=\dfrac{300}{2}=150$ 회
매극매상 슬롯수는 $q=\dfrac{180}{20\times3}=3$ 이므로 분포계수는
$k_d=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{6}}{q\sin\dfrac{\pi}{6q}}=\dfrac{0.5}{3\sin10^\circ}=\dfrac{0.5}{0.5209}=0.960$
단절계수는 $k_p=\sin\dfrac{\beta\pi}{2}=\sin\left(\dfrac{7}{9}\times90^\circ\right)=\sin70^\circ=0.940$
권선계수는 $k_w=k_dk_p=0.960\times0.940=0.902$
유기기전력식 $E=4.44fNk_w\phi$ 는 한 상의 값이므로 $E=\dfrac{3300}{\sqrt{3}}=1905$ V 를 넣는다.
$\phi=\dfrac{1905}{4.44\times60\times150\times0.902}=\dfrac{1905}{36044}\approx0.053$ Wb

TRIAC은 양방향으로 전류를 흘릴 수 있는 3단자 사이리스터로, 교류 전력 제어에 널리 사용된다. SCR은 단방향 3단자, SSS는 양방향 2단자, SCS는 단방향 4단자 소자로 TRIAC과 구조 및 단자 수가 다르다.

농형 유도전동기는 구조가 간단하고 견고하지만 회전자 저항을 조정할 수 없어 대형·고기동토크가 필요한 용도에는 불리하며, 오히려 기동 특성 제어가 용이한 권선형이 대형 전동기에 더 많이 사용된다. 따라서 농형이 권선형에 비해 대형전동기로 널리 사용된다는 설명은 사실과 반대이며, 나머지 보기들은 유도전동기의 일반적 특성을 옳게 서술하고 있다.

그림에서 앞쪽 두 가산점은 모두 되먹임 입력이 $-$이고, 출력 가산점은 이득 $2$와 $3$의 출력을 $+$로 더한다.
이득 $1$과 $2$를 지난 지점의 신호를 $X$, 첫 가산점의 출력을 $E$라 하면, 이 지점에서 이득 $1$로 되돌아가는 내부 되먹임에 의해 $X=1\cdot 2\cdot(E-X)$, 즉 $X=\frac{2}{3}E$이다.
출력은 같은 지점에서 갈라진 두 경로의 합이므로 $C=(2+3)X=\frac{10}{3}E$이고, 바깥 되먹임 이득이 $1$이므로 $E=R-C$이다.
따라서 $C=\frac{10}{3}(R-C)$에서 $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{10}{13}$이다.

전달함수를 $\omega=0.1$에서 계산하면 $0.1j\omega$ 항의 크기는 0.01, 위상은 90°이고, $0.01j\omega+1$ 항은 크기 1, 위상 약 0°에 가깝다. 따라서 전체 크기는 $1/0.01=100$으로 $20\log_{10}100=40$dB이고, 위상은 분모의 적분 요소가 만드는 -90°가 그대로 나타나 약 -90°가 된다.

그림의 논리식은 $Y=(A+B)(\overline{A}+B)$이다.
전개하면 $Y=A\overline{A}+AB+\overline{A}B+BB$이고, $A\overline{A}=0$, $BB=B$이므로 $Y=AB+\overline{A}B+B$이다.
$AB+\overline{A}B=B(A+\overline{A})=B$이므로 $Y=B+B=B$가 된다.
분배법칙 $(X+A)(X+\overline{A})=X+A\overline{A}=X$에서 $X=B$로 두어도 곧바로 $Y=B$임을 알 수 있다.

그림의 개루프 전달함수 $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+3)(s+8)}$를 특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$에 넣으면 $K=-s(s+3)(s+8)=-(s^{3}+11s^{2}+24s)$이다.
분리점은 $\frac{dK}{ds}=0$인 점이므로 $3s^{2}+22s+24=0$, 즉 $s=\frac{-22\pm\sqrt{484-288}}{6}=\frac{-22\pm 14}{6}$에서 $s=-1.33$ 또는 $s=-6$이다.
실수축 위 근궤적은 오른쪽 극점 수가 홀수인 구간, 즉 $0$과 $-3$ 사이 및 $-8$의 왼쪽에만 존재하므로 $-6$은 근궤적 위의 점이 아니다.
따라서 근궤적이 실수축에서 이탈하는 분리점은 $s=-1.33$이다.

주어진 함수를 부분분수로 나누면 $F(z)=\dfrac{z}{z-1}-\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$가 된다. 여기서 $\dfrac{z}{z-1}$은 단위계단함수 1의 z변환이고 $\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$는 $e^{-at}$의 z변환이므로, 역변환하면 $1-e^{-at}$이다. 극이 $z=1$과 $z=e^{-aT}$에 각각 놓여 있다는 점에서도 계단 성분과 지수 감쇠 성분의 차임을 알 수 있다.

비례요소는 출력이 입력에 단순히 상수배로만 비례하는 요소로, 지연이나 적분·미분 작용이 없으므로 전달함수는 $G(s)=K$ 로 표현된다.
미분요소는 $G(s)=Ks$, 적분요소는 $G(s)=\dfrac{K}{s}$ 형태이고, $G(s)=\dfrac{K}{s+K}$ 는 1차 지연요소의 형태이므로 비례요소와 구분된다.

그림의 상태방정식에서 계수행렬은 $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -3 & -4\end{bmatrix}$이므로 $sI-A=\begin{bmatrix}s & -1\\ 3 & s+4\end{bmatrix}$, $\det(sI-A)=s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3)$이다.
따라서 $(sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+3)}\begin{bmatrix}s+4 & 1\\ -3 & s\end{bmatrix}$이고, 상태천이행렬은 이것의 역라플라스 변환이다.
각 원소를 부분분수로 나누면 $\frac{s+4}{(s+1)(s+3)}\to 1.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$, $\frac{1}{(s+1)(s+3)}\to 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}$, $\frac{-3}{(s+1)(s+3)}\to -1.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$, $\frac{s}{(s+1)(s+3)}\to -0.5e^{-t}+1.5e^{-3t}$이다.
고유값이 $-1$과 $-3$이므로 지수항은 $e^{-t}$와 $e^{-3t}$뿐이며, 위 네 원소를 그대로 배열한 행렬이 답이다.