전단력이 0이 되는 위치는 A점에서 0.75m 떨어진 곳이다.

그림은 A(힌지 지점) − B(중간 지점) − C(이동 지점)로 이어지는 2경간 연속보로 각 경간이 2m이고, 전 지간에 w = 400㎏/m의 등분포하중이 작용한다.

등경간 2경간 연속보에 등분포하중이 작용할 때 외측 지점의 반력은
R_A = 3wℓ/8 = 3 × 400 × 2 / 8 = 300㎏

A에서 x만큼 떨어진 단면의 전단력은 S_x = R_A − wx이므로
300 − 400x = 0 → x = 0.75m

도심은 x̄ = 16.2mm, ȳ = 31.9mm이다.

그림의 단면은 y축에 붙은 폭 20mm × 높이 60mm(36 + 24)의 직사각형과, 그 오른쪽 위에 얹힌 밑변 30mm × 높이 36mm의 직각삼각형으로 나눌 수 있다. 기준점은 단면의 좌측 하단이다.

직사각형: A₁ = 20 × 60 = 1,200mm², x₁ = 10mm, y₁ = 30mm
삼각형: A₂ = ½ × 30 × 36 = 540mm², x₂ = 20 + 30/3 = 30mm, y₂ = 24 + 36/3 = 36mm

x̄ = (1,200 × 10 + 540 × 30) / 1,740 = 28,200 / 1,740 = 16.2mm
ȳ = (1,200 × 30 + 540 × 36) / 1,740 = 55,440 / 1,740 = 31.9mm

수직 처짐이 최대가 되는 위치는 x = 0.577ℓ이다.

그림은 지간 ℓ인 단순보의 B단에 모멘트 하중 M만 작용하는 경우이다. 반력은 R_A = M/ℓ(↑), R_B = M/ℓ(↓)이고 A에서 x인 단면의 휨모멘트는 M_x = (M/ℓ)x이다.

이때 처짐곡선식은
y = (Mℓ² / 6EI) · (x/ℓ)[1 − (x/ℓ)²]
이 된다.

처짐이 최대인 곳은 처짐각이 0인 곳이므로 dy/dx = 0에서
1 − 3(x/ℓ)² = 0 → x = ℓ/√3 = 0.577ℓ

C점의 연직처짐은 0.785㎝이다.

그림에서 A와 B는 3m 간격의 힌지 지점이고 C는 B에서 수평으로 4m 떨어진 절점이다. 따라서 AC = √(3² + 4²) = 5m, BC = 4m이고 C에 P = 9t이 아래로 작용한다.

C점 절점법에서 연직하중은 경사재 AC가 받으므로
F_AC × (3/5) = 9 → F_AC = +15t(인장)
수평방향에서 F_BC = −15 × (4/5) = −12t(압축)

단위하중법 δ = Σ(F · f · L)/(EA)에서 f는 P = 1일 때 부재력(= F/9)이므로
AC: (15,000 × 5/3 × 500) / (2.0 × 10⁶ × 10) = 0.625㎝
BC: (12,000 × 4/3 × 400) / (2.0 × 10⁶ × 20) = 0.160㎝
δ_C = 0.625 + 0.160 = 0.785㎝

답은 20kg/cm²이다. 전단탄성계수는 전단응력을 전단변형률로 나눈 값이다.

그림에서 전단을 받는 면은 15cm × 12cm = 180cm²이므로 전단응력은 τ = V/A = 540 ÷ 180 = 3kg/cm²이다.

블록 높이가 4cm인데 상면이 0.6cm 밀렸으므로 전단변형률은 γ = 0.6 ÷ 4 = 0.15이다.

따라서 G = τ/γ = 3 ÷ 0.15 = 20kg/cm²가 된다.

C점 힌지를 기준으로 오른쪽 부재(C~B, 길이 3m)만 떼어 보면, C힌지는 모멘트를 전달하지 못하므로 B지점 모멘트는 이 구간에 작용하는 하중만으로 계산된다. C점에서 1.5m 떨어진 위치에 2t 하중이 작용하므로, B에 대한 모멘트는 C힌지에서의 반력을 통해 전달되는 하중효과로 M_B = 2t × (1.5m+1.5m) = 2×4.5=9t·m가 아니라, 하중점에서 B까지 거리 1.5m를 이용해 힌지반력을 구해 계산하면 M_B = 2 × 4.5 = 9 t·m로 산출된다.

답은 8:1이다. 자유단에 집중하중 P를 받는 캔틸레버의 변형에너지는 U = P²L³/(6EI)로 길이의 세제곱에 비례한다.

그림에서 (1)은 길이 2ℓ인 캔틸레버 자유단에 P가, (2)는 길이 ℓ인 캔틸레버 자유단에 P가 작용해 하중과 강성은 같고 길이만 2배 차이다.

따라서 U(1):U(2) = (2ℓ)³:ℓ³ = 8ℓ³:ℓ³ = 8:1이다.

단순보에 이동 집중하중이 작용할 때 최대 전단력과 최대 휨모멘트는 S=20t, M=50t·m이다.

최대 전단력은 하중이 지점 바로 위에 위치할 때 발생하며 그 값은 하중과 같으므로 $S_{max}=P=20\mathrm{t}$이다.

최대 휨모멘트는 하중이 지간 중앙에 위치할 때 발생하며 $M_{max}=\dfrac{PL}{4}=\dfrac{20\times10}{4}=50\mathrm{t\cdot m}$이다.

답은 5wL/8이다. 그림은 A단이 이동지점, B단이 고정지점인 1차 부정정보(프롭 캔틸레버)에 등분포하중 w가 경간 L 전체에 실린 경우다.

A점 반력을 부정정력으로 잡고 A의 처짐이 0이라는 조건을 쓰면, 등분포하중에 의한 자유단 처짐 wL⁴/(8EI)와 R에 의한 처짐 RL³/(3EI)가 같아야 하므로 A점 반력은 3wL/8이다.

연직력 평형에서 두 반력의 합이 wL이므로 고정단 B의 연직반력은 wL − 3wL/8 = 5wL/8이 된다. 고정단 쪽이 하중을 더 많이 부담한다.

오일러 좌굴하중은 $P_{cr} = \dfrac{n\pi^2 EI}{\ell^2}$ 형태로 표현되며, 지지조건에 따른 n값은 양단힌지 n=1, 양단고정 n=4, 일단고정 타단자유 n=1/4, 일단고정 타단힌지 n=2이다. 따라서 일단고정 타단힌지의 경우 n=1/2이 아니라 n=2가 되어야 하므로 보기 4번이 틀린 설명이다.

단면 상승모멘트는 좌표축의 위치에 따라 양(+)의 값뿐 아니라 음(-)의 값도 가질 수 있다.

단면 2차모멘트는 미소면적에 거리의 제곱을 곱해 더한 값, 단면계수는 단면 2차모멘트를 연단거리로 나눈 값, 단면 2차반경은 $r=\sqrt{I/A}$이므로 모두 양수만 갖는다. 반면 단면 상승모멘트는 $I_{xy}=\int xy\,dA$처럼 두 좌표의 곱으로 정의되어, 도형이 놓인 사분면이나 축의 위치에 따라 부호가 바뀔 수 있다.

세장비(슬렌더니스 비)는 유효길이를 최소회전반경으로 나눈 값이다. 양쪽 끝이 고정된 압축부재이므로 유효길이 $L_e = L = 2.9 \text{ m} = 290 \text{ cm}$이다. 직사각형 단면의 최소회전반경은 $i_{\min} = \frac{b}{\sqrt{12}}$이므로(b = 작은 변), $i_{\min} = \frac{20}{\sqrt{12}} = \frac{20}{3.464} \approx 5.77 \text{ cm}$이다. 세장비는 $\lambda = \frac{L_e}{i_{\min}} = \frac{290}{5.77} \approx 50.3 \approx 50$이다.

답은 160㎏/cm²이다. 최대 전단응력은 중립축에서 τ = VQ/(Ib)로 구한다.

단면은 30cm×10cm 플랜지 두 장과 10cm×30cm 복부로 이루어진 전체 높이 50cm의 I형이므로, 단면2차모멘트는 I = (30×50³ − 20×30³)/12 = 267,500cm⁴이다.

중립축 위쪽 단면1차모멘트는 플랜지 (30×10)×20 = 6,000, 복부 (10×15)×7.5 = 1,125을 더해 Q = 7,125cm³이고, 복부폭 b = 10cm다.

따라서 τ = 60,000 × 7,125 ÷ (267,500 × 10) ≒ 160㎏/cm²이다.

답은 375㎏이다. A점 아래 3m 구간에는 추의 무게만 걸려 있어 그 구간은 연직을 유지하므로, 추가 수평으로 3m 움직였다는 것은 A점이 수평으로 3m 움직였다는 뜻이다.

A점 위쪽 케이블은 길이 5m 그대로이므로 연직선과 이루는 각은 sinθ = 3/5, cosθ = 4/5, 즉 tanθ = 3/4이다.

A점의 힘 평형에서 위쪽 케이블 장력 T의 연직성분이 추 무게 500㎏, 수평성분이 P이므로 P = 500 × tanθ = 500 × 3/4 = 375㎏이 된다.

답은 −34.6t·m이다. 양단고정보이므로 등분포하중과 집중하중의 고정단모멘트를 각각 구해 더하면 된다.

3t/m 등분포하중이 경간 10m 전체에 작용하므로 이 항의 고정단모멘트는 −wL²/12 = −3 × 10² ÷ 12 = −25t·m이다.

10t 집중하중은 A에서 a = 6m, B에서 b = 4m 위치이므로 −Pab²/L² = −10 × 6 × 4² ÷ 10² = −9.6t·m이다.

두 값을 중첩하면 A점 휨모멘트는 −25 − 9.6 = −34.6t·m이다.

답은 Pa/(2R)이다. 그림은 반지름 R인 반원형 3힌지 아치로 지간이 2R, 라이즈가 R이며, 하중 P는 B에서 수평거리 a만큼 떨어진 오른쪽 절반에 놓여 있다.

A점에 대한 모멘트 평형에서 B점 연직반력은 P(2R−a)/(2R)이고, 연직력 평형으로 A점 연직반력은 Pa/(2R)가 된다.

하중이 없는 왼쪽 반부만 떼어 중앙힌지 C에서 휨모멘트가 0이라는 조건을 쓰면 (A점 연직반력)×R − (A점 수평반력)×R = 0이므로 두 값이 같고, 수평력 평형에서 B점 수평반력도 Pa/(2R)이다.

답은 10.625t(인장)이다. 먼저 오른쪽 지점에 대한 모멘트 평형으로 왼쪽 지점 반력을 구하면 R × 16 = 5×14 + 5×12 + 5×8 + 10×4 = 210, 즉 R = 13.125t이다.

왼쪽에서 2m 위치의 높이 2m 절점과 4m 위치의 하현 절점 A 사이를 자르면 45° 경사 상현재·45° 사재·하현재가 끊긴다. 절단면 왼쪽에 대해 연직·수평 평형을 함께 풀면 경사 상현재는 약 15.0t(압축), 사재는 3.54t(압축)이 된다.

같은 자유물체에서 높이 2m 절점을 모멘트 중심으로 잡으면, 반력이 만드는 모멘트 13.125 × 2m을 트러스 높이 2m로 나눠 하현재는 13.125t(인장)이 된다.

절점 A의 수평 평형을 보면 왼쪽 하현재 13.125t이 A를 왼쪽으로 당기고 45° 사재의 압축 수평성분 3.54/√2 = 2.5t가 오른쪽으로 미므로, 부재력은 13.125 − 2.5 = 10.625t(인장)이다.

답은 −12t·m이다. 그림은 A 자유단에 6t이 걸리고 2m 떨어진 B에 이동지점, 다시 4m 떨어진 C에 회전지점이 있으며 BC 구간 4m에 3t/m이 실린 내민보다.

내민 부분 때문에 B점에 부(−)의 휨모멘트가 생기고, 그 크기는 자유단 하중이 만드는 −6 × 2 = −12t·m이다.

지간 BC의 정(+)모멘트도 확인해 보면, C점 모멘트 평형에서 B점 반력이 (6×6 + 12×2)/4 = 15t이고 B 바로 오른쪽 전단력이 15 − 6 = 9t이므로 전단력이 0이 되는 곳은 B에서 3m 지점이다. 그 지점의 모멘트는 −12 + 9×3 − 3×3²/2 = +1.5t·m에 그친다.

따라서 절댓값이 가장 큰 −12t·m이 최대 휨모멘트다.

답은 9㎏ 이상이다. 벽에 힌지된 막대가 블록 A 위의 롤러에 얹혀 있으므로, 먼저 막대가 블록을 얼마나 누르는지부터 구한다.

힌지에 대한 모멘트 평형에서 (누르는 힘) × 10 = 10 × 30이므로 블록에 전달되는 수직력은 30㎏이다.

롤러 접촉이라 막대와 블록 사이에는 마찰이 없고, 블록을 붙잡는 것은 바닥면 마찰뿐이다. 최대 정지마찰력은 0.3 × 30 = 9㎏이므로 블록을 빼내려면 P가 이 값 이상이어야 한다.

탄성계수 E와 푸아송비 ν로 표현되는 체적탄성계수는 $K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}$이다.

이는 등방 탄성체에서 체적변형과 평균응력의 관계를 나타내는 표준 공식으로, 전단탄성계수 $G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$와 함께 자주 다뤄지는 관계식이다.

구면삼각법을 적용하는 측지측량과 평면삼각법을 적용하는 평면측량의 근본적인 차이는 삼각형 내각의 합에 있다.

평면측량에서는 삼각형 내각의 합을 180°로 취급하지만, 측지측량에서는 지구의 곡률을 고려하므로 구면삼각형 내각의 합이 180°보다 커지며 그 초과분이 구과량이다.

• 측량구역이 좁아 곡률을 고려하지 않아도 되는 측량은 측지측량이 아니라 평면측량이다.
• 평면기준점측량과 고저기준점측량의 구분은 정확도가 아니라 구하려는 위치정보(수평위치·높이)에 따른 구분이다.
• 현행 「공간정보의 구축 및 관리 등에 관한 법률」에서 측량은 기본측량·공공측량·지적측량·일반측량으로 구분되므로, 두 가지로만 나뉜다고 볼 수 없다.

표척 눈금이 정확하지 않아 생기는 오차는 시준거리를 같게 하는 방법으로는 소거되지 않는다.

이 오차는 표척 자체의 제작상 결함에서 비롯되는 것으로 전시와 후시의 시준거리를 같게 맞추는 것과는 무관하며, 별도의 표척 검정으로 대응해야 한다.

• 기포관축과 시준선이 평행하지 않아 생기는 시준선오차는 시준거리를 같게 하면 소거된다는 설명은 옳다.
• 지구곡률오차가 시준거리를 같게 하면 소거된다는 설명도 옳다.
• 초점나사 조작이 필요없어 시준오차를 줄일 수 있다는 설명도 옳다.

우리나라는 UTM 좌표계에서 40구역·43구역이 아니라 51구역·52구역에 위치한다.

경도 6° 간격으로 나뉘는 UTM 종대는 서경 180°를 기준으로 순서를 매기므로, 동경 124°~132° 부근에 위치한 우리나라는 51, 52구역에 해당한다.

• 중앙자오선의 축척계수가 0.9996이라는 설명은 옳다.
• 좌표계를 경도 6°, 위도 8° 간격으로 나눈다는 설명도 옳다.
• 경도의 원점이 중앙자오선에, 위도의 원점이 적도상에 있다는 설명도 옳다.

변길이의 최대 허용오차는 6.25mm이다.

정사각형 한 변의 길이는 $L=\sqrt{1600}=40\mathrm{m}$이고, 면적 $A=L^2$을 미분하면 $dA=2L\,dL$ 관계가 성립한다.

$dL=\dfrac{dA}{2L}=\dfrac{0.5}{2\times40}=0.00625\mathrm{m}=6.25\mathrm{mm}$

각주공식(프리즈마토이드 공식, Prismoidal Formula)은 $V = \frac{L}{6}(A_1 + 4A_m + A_2)$로 표현되며, 여기서 L은 거리, A₁은 시작단면적, A₂는 끝단면적, A_m은 중앙단면적이다. 주어진 값을 대입하면 $V = \frac{20}{6}(72 + 4 \times 132 + 182) = \frac{20}{6}(72 + 528 + 182) = \frac{20}{6} \times 782$이다. 계산하면 $V = \frac{15640}{6} = 2606.67 \approx 2606.7 \text{ m}^3$이므로 정답은 2606.7m³이다.

이 원곡선의 곡선시점(B.C)은 No.10이다.

접선장은 $TL=R\tan\dfrac{I}{2}=200\times\tan45^\circ=200\mathrm{m}$이며, 곡선시점까지의 추가거리는 교점까지의 거리에서 접선장을 뺀 $400-200=200\mathrm{m}$이다.

말뚝 간격이 20m이므로 $200\div20=10$, 즉 No.10 지점이 곡선시점이 된다.

접선장(T.L)은 곡선의 시작점(T.C)에서 곡선 중심까지의 거리로, 공식 $T.L = R \times \tan\left(\frac{I}{2}\right)$로 구한다. 주어진 값을 대입하면 $T.L = 150 \times \tan\left(\frac{60°}{2}\right) = 150 \times \tan(30°)$이고, $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5774$이므로 $T.L = 150 \times 0.5774 \approx 86.6\text{m}$이다.

답은 조합각 관측법이다. 그림은 한 점 O에서 A·B·C·D 네 방향을 정해 놓고 두 방향씩 짝지은 모든 각을 하나하나 재는 모습으로, 서로 반지름이 다른 호가 여러 겹 겹쳐 그려져 있다.

방향이 4개면 조합 수는 4×3/2 = 6개가 되어 필요한 개수보다 관측값이 남고, 이 잉여 관측을 최소제곱법으로 조정해 정밀도를 높일 수 있다. 그래서 1등삼각측량처럼 정밀도가 요구되는 작업에 쓴다.

기준 방향 하나를 0으로 두고 나머지 방향값만 차례로 읽어 각을 빼내는 방식이나, 같은 각 하나를 망원경 정·반으로 되풀이해 누적한 뒤 횟수로 나누는 방식과는 관측 대상 자체가 다르다는 점에서 구별된다.

필지 경계 등 필지정보는 지적도의 영역이며, 수치지형도에서 주로 얻는 것은 표고자료·수계정보·도로·건물 등 지형지물 정보이다.

수치지형도는 지형·지물의 위치와 형상을 수치화한 지도이므로 소유권 경계와 관련된 필지정보까지 포함한다고 보기는 어렵다.

• 1:5000 수치지형도를 국토기본도로 한다는 설명은 옳다.
• 일반적으로 항공사진측량에 의해 구축된다는 설명도 옳다.
• 축척별로 포함 사항이 다르다는 설명도 옳다.

후시(B.S.)와 전시(F.S.)만으로 기입하는 가장 간단한 야장기입법은 고차식이다.

고차식은 중간점을 두지 않고 후시 합계와 전시 합계의 차로 고저차를 구하므로 절차가 단순하지만, 중간점의 표고를 함께 구하거나 계산을 검산하기에는 기고식이나 승강식보다 불리하다.

4점법의 평균유속 공식은 $V_m=\dfrac{1}{5}\left[(V_{0.2}+V_{0.4}+V_{0.6}+V_{0.8})+\dfrac{1}{2}\left(V_{0.2}+\dfrac{V_{0.8}}{2}\right)\right]$이다.

괄호 안을 먼저 정리하면 $V_{0.2}+V_{0.4}+V_{0.6}+V_{0.8}=1.2+1.0+0.7+0.3=3.2$, $\dfrac{1}{2}\left(1.2+\dfrac{0.3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}(1.2+0.15)=0.675$이다.

따라서 $V_m=\dfrac{3.2+0.675}{5}=\dfrac{3.875}{5}=0.775\,\mathrm{m/s}$이다.

삼각망을 조정하면 동일한 변의 길이는 어느 계산경로를 거치더라도 같은 값이 나와야 한다.

계산경로에 따라 변장이 달라진다는 설명은 삼각망 조정의 목적(정합성 확보)에 어긋나므로 옳지 않다.

검기선 조건, 1점 주위 각의 합이 360°가 되는 점조건, 삼각형 내각의 합이 180°가 되는 조건은 모두 삼각망 조정에서 성립하는 옳은 설명이다.

기복변위(relief displacement)는 사진상의 높이 차이로 인한 위치 변위를 나타내며, 공식은 $d = \frac{h \cdot r}{f}$이다. 여기서 h는 높이(65m), r은 사진 중심으로부터의 거리, f는 초점거리(0.15m)이다. 최대 기복변위는 사진의 모서리에서 발생하므로, 사진 크기 23㎝×23㎝의 대각선 거리 $r = \frac{23\sqrt{2}}{2} \approx 16.26\text{cm} = 0.1626\text{m}$를 사용한다. 사진상 변위는 $d_{\text{사진}} = \frac{65 \times 0.1626}{0.15} = 70.52\text{m}$이고, 이를 축척 1:20000으로 환산하면 $d_{\text{도상}} = \frac{70.52}{20000} = 0.0035\text{m} = 0.35\text{cm}$가 된다.

클로소이드 곡선의 요소 중에는 길이 단위를 갖는 값(반지름, 곡선길이, 좌표 등)이 있으므로, 모든 요소가 단위를 갖지 않는다는 설명은 옳지 않다.

클로소이드는 곡률이 곡선길이에 비례하는 완화곡선의 일종으로 고속도로 설계에 널리 쓰인다.

한 쌍의 입체사진에서 기선(촬영기선)의 길이가 길수록 기선고도비가 커져 과고감이 크게 나타난다.

• 초점거리가 긴 사진기의 입체상은 짧은 사진기보다 낮게 보인다.
• 축척이 30%나 차이 나면 입체시가 어려워지므로 무관하다는 설명은 옳지 않다.
• 입체상의 변화(과고감)는 기선고도비의 영향을 크게 받는다.

측선에 직각방향의 위치오차 e와 관측거리 L 사이에는 $\theta=\dfrac{e}{L}$(라디안)의 관계가 성립한다.

$\theta=\dfrac{3\,\mathrm{cm}}{5000\,\mathrm{cm}}=0.0006\,\mathrm{rad}$이고, 이를 도분초로 환산하면 $0.0006\times\dfrac{180}{\pi}\times3600''=123.8''\approx0^\circ2'04''$이다.

직접법 등고선 측정에서 구하는 표척 관측값은 기계고에서 목표 등고선까지의 높이 차이다. 기계고(HI)는 A점 표고에 기계고를 더한 값이므로 HI = 71.6m + 1.5m = 73.1m이다. P점이 70m 등고선 위에 있으므로, 표척 관측값 = HI − P점 표고 = 73.1m − 70m = 3.1m이다.

하천에서 수애선(水涯線)은 물과 육지의 경계선으로, 일반적으로 평수위를 기준으로 결정한다.

갈수위·최저수위·평균최저수위는 하천 유량이 적을 때의 수위 지표로, 수애선 결정 기준으로 쓰이지 않는다.

줄자로 여러 번 나누어 측정할 때 우연오차는 측정횟수의 제곱근에 비례하여 누적된다.

320m를 20m 줄자로 측정하면 $n=\dfrac{320}{20}=16$회 측정하게 되고, 총 우연오차는 $\pm3\,\mathrm{mm}\times\sqrt{16}=\pm12\,\mathrm{mm}$이다.

시가지의 허용오차 한계는 $20\sqrt{n}''\sim30\sqrt{n}''$(n=5)이므로 약 44.7″~67.1″이며, 실측 오차 30″는 이 한계보다 작으므로 재측량할 필요 없이 조정하면 된다.

각 관측의 경중률이 모두 동일하므로, 발생한 오차는 각의 크기와 관계없이 각 측점에 균등하게 배분한다.

삼각위어(V자형 위어)는 수두 H의 5/2제곱에 비례하는 유량 특성을 가진다.

$Q\propto H^{5/2}$의 관계로, 사각위어($H^{3/2}$)보다 저유량 계측에서 정밀도가 높아 소유량 측정에 주로 이용된다.

도수(hydraulic jump)는 흐름이 사류(Froude수 1보다 큼)에서 상류(Froude수 1보다 작음)로 급격히 바뀔 때 발생하는 현상이다.

이 과정에서 수심이 급격히 커지고 큰 에너지 손실이 일어난다.

직접유출 총량은 유효우량 깊이를 유역 전체 면적에 곱한 값이므로 $\sum Q_e=\sum R_e\times A$의 관계가 성립하며, 단위를 맞추면 $\sum Q_e[\mathrm{m^3}]=\sum R_e[\mathrm{mm}]\times10^{-3}\times A[\mathrm{km^2}]\times10^{6}=10^{3}\times A\times\sum R_e$이다.

이를 $\sum R_e$에 대해 정리하면 $\sum R_e=\dfrac{\sum Q_e}{10^{3}\times A}$이다.

DAD 해석(Depth-Area-Duration analysis)은 강우깊이(Depth), 유역면적(Area), 강우 지속기간(Duration) 세 요소의 관계를 분석하는 기법이다.

이를 통해 특정 지속기간과 면적에 대한 최대 가능 강우깊이를 산정할 수 있다.

틀린 설명은 중심점의 마찰력이 유속의 제곱에 비례한다는 것이다. 층류에서 마찰응력은 τ = μ(du/dy)로 속도경사에 1차 비례하며, 속도의 제곱에 비례하는 것은 난류 영역의 마찰손실 이야기다.

더구나 그림의 중심선 위 A점은 포물선 유속분포의 꼭짓점이어서 du/dy = 0, 즉 마찰응력이 0인 자리다. 제곱 비례를 따질 대상 자체가 아니다.

나머지 설명은 층류의 하겐-푸아죄유 분포와 그대로 맞는다.

• 유속은 관 중심에서 최대인 포물선 분포를 이룬다.
• 중심의 최대유속은 단면 평균유속의 2배다.
• 마찰응력은 중심에서 0, 관벽에서 최대가 되도록 반지름에 비례해 커지므로 중심에서 관벽 쪽으로 갈수록 커진다.

뉴턴유체의 전단응력은 $\tau=\mu\dfrac{dV}{dy}$로 구한다.

속도구배는 $\dfrac{dV}{dy}=\dfrac{200\,\mathrm{cm/s}}{0.5\,\mathrm{cm}}=400\,\mathrm{s^{-1}}$이므로, $\tau=0.01\,\mathrm{N{\cdot}s/cm^2}\times400\,\mathrm{s^{-1}}=4\,\mathrm{N/cm^2}$이다.

Darcy-Weisbach 공식은 $h_L=f\dfrac{L}{D}\dfrac{V^2}{2g}$이며, 관경이 일정하면 유속 V는 유량 Q에 비례한다.

따라서 손실수두는 유량의 제곱에 비례하는 $h_L\propto Q^2$의 관계를 가진다.

참고로 Hazen-Williams 공식을 사용하면 $h_L\propto Q^{1.85}$의 관계가 된다.

유역형상계수는 유역이 얼마나 좁고 긴 형태인지를 나타내는 지표로, 유역 평균폭 B는 $B=\dfrac{A}{L}$로 정의된다.

형상계수를 유역면적과 유로연장으로 표현하면 $\dfrac{B}{L}=\dfrac{A/L}{L}=\dfrac{A}{L^2}$이 된다.

Dupuit의 공식은 자유면(불압대수층) 지하수 흐름에서 단위폭당 유량을 나타내며, $q=\dfrac{k}{2\ell}(h_1^2-h_2^2)$로 표현한다.

여기서 h₁, h₂는 각각 상류측과 하류측의 침윤선 높이, ℓ은 두 지점 사이의 침윤선 길이이다.

이중누가우량분석(double mass analysis)은 검토 대상 관측소의 누가우량을 인근 관측소들의 평균 누가우량과 대비해, 두 값의 관계선이 도중에 꺾이는지로 자료의 일관성을 조사하는 방법이다.

관측점 이설, 관측방법 변경 등으로 생긴 자료의 불연속을 이 방법으로 찾아내어 과거 기록치를 보정할 수 있다.

삼각 단면의 통수면적에서 유속을 구하면 비에너지는 2.27m가 된다.

수면폭 1.2m, 수심 0.9m인 V형 단면이므로 통수면적은 A = ½ × 1.2 × 0.9 = 0.54m²이고, 평균유속은 V = Q/A = 2.8 ÷ 0.54 = 5.19m/s이다.

비에너지는 수로 바닥을 기준면으로 한 단위무게당 에너지이므로 H_e = h + αV²/2g를 쓴다.
H_e = 0.9 + (1 × 5.19²) ÷ (2 × 9.8) = 0.9 + 1.37 = 2.27m

수심 0.9m를 그대로 고르면 속도수두 1.37m를 빠뜨린 것이고, 속도수두만 계산하면 1.37m에 머문다.

층류 영역에서 관마찰손실계수는 $f=\dfrac{64}{Re}$로 산정한다.

이는 하겐-푸아죄유(Hagen-Poiseuille) 흐름 이론에서 유도된 결과로, 난류에 쓰이는 무디선도 등의 경험식과 구분된다.

스넬의 법칙을 적용하면 굴절 후 입사각은 23.58°이다.

파랑이 수심이 얕아지는 쪽으로 진행하면 파속이 느려지면서 파향선이 꺾이고, 이때 파속과 입사각 사이에 sinβ₁/C₁ = sinβ₂/C₂가 성립한다.

sinβ₂ = sinβ₁ × C₂/C₁ = sin30° × 40.0/50.0 = 0.5 × 0.8 = 0.4
β₂ = sin^-1(0.4) = 23.58°

파속이 느려진 쪽에서는 파향선이 등심선에 더 나란해지므로 입사각은 반드시 30°보다 작아진다. 30°보다 큰 값이 나왔다면 파속의 비를 거꾸로 대입한 것이다.

벤츄리미터(Venturi meter)는 관 단면을 좁혔다가 넓히는 목(throat) 구간에서 발생하는 압력차를 이용해 유속을 측정하는 계측기이다.

연속방정식과 베르누이 정리를 이용해 목 부분의 압력강하로부터 관내 유속을 산정하고, 여기에 단면적을 곱해 유량까지 구할 수 있다.

오리피스 유출유량은 $Q=C\,A\sqrt{2gh}$로 구한다.

$A=20\,\mathrm{cm^2}=0.002\,\mathrm{m^2}$, $\sqrt{2\times9.8\times3}=7.668\,\mathrm{m/s}$이므로 $Q=0.6\times0.002\times7.668=0.0092\,\mathrm{m^3/s}$이다.

두 갈래 관의 유량이 서로 같다고 본 설명이 옳지 않다.

그림은 점 1에서 갈라졌다가 점 2에서 다시 합류하는 병렬관이고, 관 B의 길이는 관 A의 두 배(ℓ_B = 2ℓ_A)이다. 병렬관의 두 갈래는 같은 두 점을 잇기 때문에 손실수두가 서로 같아야 한다.

손실수두가 같은데 관 B가 두 배로 길면 관 B의 유속이 더 느려지므로 Q_A와 Q_B는 같을 수 없다. 길이가 짧은 관 A로 더 많은 유량이 흐른다.

• 연속방정식에서 갈라진 유량의 합은 전체 유량과 같으므로 Q = Q_A + Q_B는 성립한다.
• 병렬 구간의 손실수두가 서로 같다는 h_LA = h_LB도 성립한다.
• 점 2의 수두는 점 1의 수두에서 손실수두만큼 줄어들므로 h₂ = h₁ − h_LA도 성립한다.

침투 손실을 시간당 일정하게 본 값, 즉 5.15mm/hr이다.

총 강우량은 15.2 + 25.4 + 20.3 + 7.6 = 68.5mm이고 지표 유출량이 47.9mm이므로, 침투 등으로 사라진 손실량은 68.5 − 47.9 = 20.6mm이다.

φ-index는 이 손실이 강우 지속시간 동안 시간당 일정한 강도로 빠져나갔다고 보는 지표이므로
φ = 20.6mm ÷ 4hr = 5.15mm/hr

검산하면 (15.2−5.15) + (25.4−5.15) + (20.3−5.15) + (7.6−5.15) = 47.9mm로 주어진 유출량과 정확히 맞는다. 네 시간 모두 강우강도가 5.15mm/hr보다 크므로 별도의 시간 제외 없이 4시간으로 나누는 것이 맞다.

부력과 무게의 평형에서 V₁/V₂ = r₂/r₁ − 1이 된다.

물체 전체의 무게는 비중 r₁에 전체 부피를 곱한 r₁(V₁ + V₂)이고, 물체를 떠받치는 부력은 액면 아래 잠긴 부피만큼의 액체 무게인 r₂V₂이다.

떠 있는 상태이므로 두 값을 같게 두면
r₁(V₁ + V₂) = r₂V₂
r₁V₁ = (r₂ − r₁)V₂
V₁/V₂ = (r₂ − r₁)/r₁ = r₂/r₁ − 1

r₂ > r₁이므로 이 값은 항상 0보다 크고, 두 비중 차가 클수록 액면 위로 드러나는 부피가 커진다는 사실과도 맞는다. 비를 r₁/r₂로 뒤집거나 −1을 빼먹으면 잠긴 부피와 드러난 부피를 혼동한 결과가 된다.

마찰손실을 고려한 확장 베르누이 정리는 점1에서 점2로 흐르는 유체에 대해 펌프는 에너지를 더하고 터빈은 에너지를 빼며, 마찰손실은 우변에서 뺀다는 부호 규칙을 따른다. 기본 형태는 $\dfrac{v_1^2}{2g} + \dfrac{p_1}{\rho g} + z_1 + E_P - E_T = \dfrac{v_2^2}{2g} + \dfrac{p_2}{\rho g} + z_2 + h_L$이므로, 좌변으로 정리하면 $\dfrac{v_1^2}{2g} + \dfrac{p_1}{\rho g} + z_1 = \dfrac{v_2^2}{2g} + \dfrac{p_2}{\rho g} + z_2 - E_P + E_T + h_L$이 된다. 문제에서 $E_P$가 펌프, $E_T$가 터빈 수두이므로, 펌프 항은 음의 부호로, 터빈 항은 양의 부호로 표현되며, 마찰손실 $h_L$은 우변에서 양의 부호로 나타난다.

Manning 공식 $Q=\dfrac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}$을 조도계수 n에 대해 정리하여 구한다.

단면적 $A=2\times4=8\,\mathrm{m^2}$, 윤변 $P=4+2\times2=8\,\mathrm{m}$이므로 경심 $R=1\,\mathrm{m}$이다.

$n=\dfrac{AR^{2/3}S^{1/2}}{Q}=\dfrac{8\times1\times0.02}{14.56}=0.01099$이다.

인장 이형철근의 정착길이 산정 시, 에폭시 도막철근이 상부철근인 경우 위치계수(α)와 도막계수(β)의 곱 αβ는 1.7을 초과할 수 없다는 것이 기준이며, 1.6이 아니다.

피복두께가 3d_b 미만이거나 순간격이 6d_b 미만인 에폭시 도막철근의 β=1.5, 상부철근의 위치계수 α=1.3, 아연도금철근의 β=1.0은 모두 옳은 값이다.

인장력을 용접 유효단면적으로 나누면 125.0MPa이 된다.

그림에서 읽히는 값은 인장력 420kN, 철판 두께 12mm, 하중 방향에 직각인 접합부 폭 280mm이고 용접선은 30° 기울어져 있다. 완전용입 홈용접에서는 유효목두께를 모재 두께(12mm), 유효길이를 접합되는 부재의 폭(280mm)으로 잡는다.

유효단면적 A = 12 × 280 = 3,360mm²
f = P/A = 420 × 10³ ÷ 3,360 = 125.0MPa

용접선이 30° 경사졌다고 해서 경사 길이(280 ÷ sin30° = 560mm)를 유효길이로 쓰면 응력이 절반으로 과소평가된다. 유효길이는 어디까지나 하중에 직각인 폭으로 산정한다.

프리스트레스 도입 직후 상부의 탄성변형률이 3.5×10^-4이고 설계하중 작용 후 처짐이 0이라는 것은, 하중으로 인한 압축변형이 프리스트레스로 인한 확장변형을 정확히 상쇄한다는 의미다. 프리스트레스만으로 인한 상부 변형률을 구하면: $\varepsilon_{\text{top}} = \frac{P_i}{E_c \cdot A_g} = 3.5 \times 10^{-4}$ (유효율 R=0.85 적용하면 실제 긴장력은 $P_i$에 R을 곱한 값이 작용). 재정렬하면 $P_i = \varepsilon_{\text{top}} \times E_c \times A_g \times \frac{1}{R}$이 된다.
값을 대입하면: $P_i = 3.5 \times 10^{-4} \times 26000 \text{ MPa} \times 150000 \text{ mm}^2 \times \frac{1}{0.85}$. $= 3.5 \times 10^{-4} \times 26000 \times 150000 \div 0.85 = 1365 \times 10^{3} \text{ N} \div 0.85 = 1605.9 \text{ kN} \approx 1606 \text{ kN}$. 따라서 강재의 초기긴장력은 약 1606 kN이다.

전단철근이 부담해야 할 몫으로부터 210mm 간격이 나온다.

그림의 단면은 폭 b = 300mm, 유효깊이 d = 450mm이고 인장철근은 3-D22이다. 콘크리트가 부담하는 전단강도는
V_c = (1/6)√f_ck·b·d = (1/6) × √24 × 300 × 450 = 110.2kN

전단철근이 부담할 몫은 V_s = V_u/φ − V_c = 225/0.75 − 110.2 = 189.8kN이고, D13 스터럽은 단면을 두 가닥이 지나므로 A_v = 2 × 127 = 254mm²이다.
s = A_v·f_y·d ÷ V_s = 254 × 350 × 450 ÷ 189,800 = 210mm

V_s가 (1/3)√f_ck·b·d = 220.5kN보다 작으므로 최대간격 제한은 d/2 = 225mm이고, 계산값 210mm는 이 안에 들어 그대로 쓸 수 있다.

균형철근비는 $\rho_b=0.85\eta\dfrac{f_{ck}}{f_y}\beta_1\dfrac{\varepsilon_{cu}E_s}{\varepsilon_{cu}E_s+f_y}$로 계산한다.

$f_{ck}=29\,\mathrm{MPa}\le40\,\mathrm{MPa}$이므로 $\eta=1.0$, $\beta_1=0.80$이며, 2021년 개정 규정의 극한변형률은 $\varepsilon_{cu}=0.0033$이다.

대입하면 $\rho_b=0.85\times1.0\times\dfrac{29}{300}\times0.80\times\dfrac{0.0033\times200000}{0.0033\times200000+300}=0.0657\times0.6875\approx0.045$이다.

강도설계법에서는 압축측 콘크리트의 극한변형률을 0.003(2021년 개정 규정은 0.0033)으로 가정하는 것이며, 인장측 철근의 극한변형률로 가정하는 값이 아니다.

철근과 콘크리트의 변형률이 중립축으로부터의 거리에 비례한다는 것과, 항복강도 이하에서 철근의 응력을 변형률에 탄성계수를 곱한 값으로 본다는 것은 모두 옳은 기본가정이다.

계수하중은 하중조합 $w_u=1.2w_D+1.6w_L$으로 구한다.

$w_u=1.2\times1.1+1.6\times1.7=1.32+2.72=4.04\,\mathrm{t/m}$이고, 단순보의 최대 계수휨모멘트는 $M_u=\dfrac{w_uL^2}{8}=\dfrac{4.04\times12^2}{8}=72.7\,\mathrm{t{\cdot}m}$이다.

단철근 직사각형보의 최소철근량은 $A_{s,min}=\max\left(\dfrac{0.25\sqrt{f_{ck}}}{f_y},\ \dfrac{1.4}{f_y}\right)b_wd$로 구한다.

$\dfrac{0.25\sqrt{35}}{400}\times300\times500=555\,\mathrm{mm^2}$, $\dfrac{1.4}{400}\times300\times500=525\,\mathrm{mm^2}$이므로 더 큰 값인 555mm²가 최소철근량이다.

장기추가처짐계수는 $\lambda_\Delta = \dfrac{\xi}{1+50\rho'}$로 계산한다. 압축철근비 $\rho' = \dfrac{A_s'}{bd} = \dfrac{1000}{250\times400} = 0.01$이므로, $\lambda_\Delta = \dfrac{2.0}{1+50(0.01)} = \dfrac{2.0}{1.5} = 1.333$이다. 장기처짐은 $\delta_L = \lambda_\Delta \times \delta_i = 1.333 \times 15 = 20mm$이며, 전체 처짐은 탄성처짐과 장기처짐의 합인 $\delta_T = 15 + 20 = 35mm$이다. 따라서 35mm가 전체 처짐이 된다.

정답 2번의 근거: 인장 이형철근의 겹침이음 기준에서 A급 이음은 1.3ld 이상, B급 이음은 1.0ld 이상이 맞는데, 보기 2는 "A급 이음은 1.3l 이상"으로 표기하여 ld(정착길이)를 명시하지 않았고, B급도 "1.0dl"로 기호 순서가 역으로 표기되어 있다. 건설기준에서 정의하는 정착길이 ld와의 관계를 명확히 표현해야 하는데 표기가 부정확하다.
보기 1, 3, 4는 옳다. D35를 초과하는 철근은 용접이음이나 기계적이음만 허용되고 겹침이음은 금지되며, 압축 철근 이음에서 설계기준압축강도 21MPa 미만 시 겹침이음길이 1/3 증가, 용접·기계적 이음은 항복강도의 125% 이상 발휘 기준이 모두 현행 기준에 부합한다.

강재와 쉬스(sheath) 사이의 마찰에 의한 손실은 PS강재가 덕트(쉬스) 속을 통과하며 긴장되는 포스트텐션 방식에서만 발생하는 손실 요인이다.

프리텐션 방식은 강재를 직접 인장한 뒤 콘크리트를 타설하므로 쉬스 마찰손실이 존재하지 않는다.

콘크리트의 탄성수축·크리프·건조수축에 의한 손실은 두 방식 모두에서 발생하며, 상대적으로 프리텐션 방식에서 더 크게 나타나는 경향이 있다.

전단철근으로 이형철근을 사용하는 경우 설계기준항복강도는 500MPa을 초과할 수 없다는 것이 기준이며, 550MPa이 아니다.

스터럽과 굽힘철근의 조합 사용, 주인장철근에 45°이상 각도로 설치된 스터럽의 사용, 경사스터럽·굽힘철근이 부재 중간높이(0.5d)에서 반력점 방향으로 주인장철근까지 연장된 45°선과 교차하도록 배치하는 규정은 모두 옳은 설명이다.

지그재그로 배치된 두 번째 구멍의 공제량을 잘못 쓴 설명이 틀렸다.

p²/4g < d 인 경우에는 두 번째 구멍을 지름 전부가 아니라 (d − p²/4g)만큼만 추가로 공제한다. 즉 순폭은 b_n = b − d − (d − p²/4g)이며, p²/4g를 그대로 빼면 공제해야 할 양과 남겨야 할 양이 뒤바뀐다.

• ㄱ형강을 한 장의 판으로 펼치면 모서리에서 두께 t가 한 번 겹치므로 전개 총폭 b = b₁ + b₂ − t는 옳다.
• 같은 이유로 두 다리에 걸친 리벳선 사이 거리는 g = g₁ − t로 잡는 것이 옳다.
• p²/4g ≥ d 이면 파단선이 지그재그로 꺾일 이유가 없어 구멍 하나만 공제하므로 b_n = b − d가 맞다.

전단철근 없이 계수전단력을 지지하려면 $V_u\le\phi\dfrac{V_c}{2}$를 만족해야 하며, $V_c=\dfrac{1}{6}\sqrt{f_{ck}}\,b_wd$이다.

이를 d에 대해 정리하면 $d\ge\dfrac{12V_u}{\phi\sqrt{f_{ck}}\,b_w}=\dfrac{12\times70000}{0.75\times\sqrt{24}\times400}=572\,\mathrm{mm}$이다.

휨인장응력을 축방향 압축응력으로 정확히 상쇄시키려면 P = 3,840kN이 필요하다.

경간 8m 단순보에 w = 40kN/m가 작용하므로 최대 휨모멘트는 M = wL²/8 = 40 × 8² ÷ 8 = 320kN·m이고, 300 × 500 단면의 단면계수는 Z = bh²/6 = 300 × 500² ÷ 6 = 12.5 × 10⁶mm³, 단면적은 A = 150,000mm²이다.

PS강재가 도심에 배치되어 편심모멘트가 없으므로, 인장측 응력이 0이 되는 조건은 축응력과 휨응력이 같아지는 P/A = M/Z이다.
P = A × M/Z = 150,000 × (320 × 10⁶ ÷ 12.5 × 10⁶) = 150,000 × 25.6 = 3,840 × 10³N = 3,840kN

이때 하연 응력은 25.6 − 25.6 = 0MPa, 상연 응력은 25.6 + 25.6 = 51.2MPa의 압축이 된다. 편심 배치였다면 Pe/Z 항이 더해져 훨씬 작은 긴장력으로도 같은 조건을 만들 수 있다.

등가응력블록 깊이는 $a=\dfrac{A_sf_y}{0.85f_{ck}b}=\dfrac{1520\times400}{0.85\times28\times300}=85.15\,\mathrm{mm}$이다.

공칭휨강도는 $M_n=A_sf_y\left(d-\dfrac{a}{2}\right)=1520\times400\times(500-42.6)=278.1\,\mathrm{kN{\cdot}m}$이고, 과소철근보로 인장지배단면에 해당하므로 $\phi=0.85$를 적용한다.

따라서 설계휨강도는 $\phi M_n=0.85\times278.1=236.4\,\mathrm{kN{\cdot}m}$이다.

한쪽으로만 슬래브가 붙은 비대칭 T형보(반T형보)의 유효폭은 다음 세 값 중 가장 작은 값으로 정한다.

• 복부폭 + 경간의 1/12: 300+6000/12=800mm
• 복부폭 + 플랜지두께의 6배: 300+6×100=900mm
• 복부폭 + 인접보와 내측거리의 1/2: 300+1600/2=1100mm

이 중 가장 작은 값인 800mm가 유효폭이 된다.

압축력을 플랜지만으로 감당하지 못해 T형보로 계산하면 a = 140mm이다.

그림의 단면은 플랜지 폭 1,000mm, 플랜지 두께 100mm, 복부 폭 480mm, 유효깊이 600mm이다. 먼저 플랜지 폭 전체가 압축을 받는 직사각형보로 보면
a = A_sf_y ÷ (0.85f_ckb) = 7,094 × 300 ÷ (0.85 × 21 × 1,000) = 119.2mm
이 값이 플랜지 두께 100mm를 넘으므로 T형보로 거동한다.

플랜지 돌출부의 압축력에 대응하는 철근량은
A_sf = 0.85f_ck(b − b_w)t_f ÷ f_y = 0.85 × 21 × (1,000 − 480) × 100 ÷ 300 = 3,094mm²
나머지 A_sw = 7,094 − 3,094 = 4,000mm²가 복부의 압축과 균형을 이룬다.

따라서 응력 사각형 블록의 깊이는 복부 폭으로만 계산해
a = A_swf_y ÷ (0.85f_ckb_w) = 4,000 × 300 ÷ (0.85 × 21 × 480) = 140mm

부착시키지 않은(언본디드) PSC 부재는 부착시킨 PSC 부재보다 파괴강도가 낮고 균열 폭이 크게 나타나는 등 역학적 성능이 오히려 떨어진다.

PS강재를 곡선으로 배치할 수 있어 대형구조물에 유리한 점, 프리캐스트 부재의 결합·조립에 편리한 점, 그라우팅 없이 재긴장이 가능한 점은 언본디드 포스트텐션 방식의 옳은 특징이다.

나선철근기둥(단주)의 순수 축강도는 $P_o=0.85f_{ck}(A_g-A_{st})+f_yA_{st}$로 구한다.

$P_o=0.85\times24\times(180000-4500)+350\times4500=3580.2+1575=5155.2\,\mathrm{kN}$이다.

나선철근기둥은 최소편심을 고려한 저감계수 0.85를 곱하여 공칭축강도 $P_n=0.85\times5155.2=4381.9\,\mathrm{kN}$이 된다.

베인시험의 점착력은 $c=\dfrac{T}{\pi\left(\dfrac{D^2H}{2}+\dfrac{D^3}{6}\right)}$로 구한다.

$D=5\,\mathrm{cm}$, $H=10\,\mathrm{cm}$를 대입하면 $\dfrac{D^2H}{2}+\dfrac{D^3}{6}=125+20.83=145.83\,\mathrm{cm^3}$이다.

따라서 $c=\dfrac{590}{\pi\times145.83}=1.29\,\mathrm{kg/cm^2}$이다.

실제 침투유속(seepage velocity) Vs는 공극을 통한 실제 물의 이동속도로, Vs = v/n (v: 겉보기 투수속도, n: 공극률)으로 구한다. 먼저 겉보기 투수속도를 구하면 v = Q/(A·t) = 150cm³/(20cm²·120sec) = 0.0625cm/sec이다. 다음으로 공극률을 구하기 위해 건조밀도 ρd = 420g/(20cm³) = 21g/cm³ = 2.1g/cm³, 비중 Gs = 2.67이므로 n = (Gs - ρd/ρw)/(Gs - 1) = (2.67 - 2.1)/(2.67 - 1)로 계산한다. 여기서 ρw = 1g/cm³, ρd = 건조중량/총체적 = 420g/(20cm² × 10cm) = 2.1g/cm³이므로 n = 0.57/(1.67) ≈ 0.341이다. 따라서 Vs = 0.0625cm/sec ÷ 0.341 ≈ 0.183cm/sec인데, 더 정밀하게 계산하면 공극비 e를 이용한 n = e/(1+e) 관계식에서 ρd = Gs·ρw/(1+e)이므로 2.1 = 2.67/(1+e), 즉 e ≈ 0.271, n = 0.271/1.271 ≈ 0.213이 되어 Vs = 0.0625/0.213 ≈ 0.293cm/sec로 약 0.296cm/sec에 부합한다.

흙의 과압밀비(OCR)는 선행압밀압력을 현재의 유효상재압력으로 나눈 값이다.

지표면 아래 5m 깊이의 유효상재압력은 $\sigma_v' = 1.8 \times 5 = 9\ \mathrm{t/m^2}$이다.

따라서 선행압밀압력은 $P_c = OCR \times \sigma_v' = 2 \times 9 = 18\ \mathrm{t/m^2}$이 된다.

압밀이 진행되면 초기 과잉간극수압이 점차 소산되므로, 압밀도는 소산된 과잉간극수압의 비율로 구한다.

$U = \left(1 - \dfrac{u_e}{u_0}\right) \times 100$

구조물 축조 직후 과잉간극수압 10t/m², 4년 후 2t/m²이므로 $U = \left(1 - \dfrac{2}{10}\right) \times 100 = 80\%$가 된다.

K_f선의 경사각을 모어-쿨롬 파괴포락선 각도로 환산하면 38.7°이다.

그림에서 가로축은 P(t/m²), 세로축은 q(t/m²)이고 K_f선이 P축과 이루는 각은 32°이다. p = (σ₁+σ₃)/2, q = (σ₁−σ₃)/2로 그린 응력경로에서 파괴선의 경사각 α와 내부마찰각 φ 사이에는 sinφ = tanα의 관계가 성립한다.

sinφ = tan32° = 0.6249
φ = sin^-1(0.6249) = 38.7°

K_f선은 모어 원의 꼭짓점을 이은 선이라 파괴포락선보다 완만하므로, 경사각 32°를 그대로 내부마찰각으로 읽으면 안 되고 φ는 항상 α보다 크게 나온다.

유선망 해석 문제로, A점의 간극수압은 전수두 - 위치수두로 구한다. 등수두선 개수(N_d)로 손실수두를 나누어 A점까지의 손실수두를 구하면 전수두 H_A = H - (n/N_d)×H이며, 여기에 A점의 위치수두(기준면으로부터의 깊이)를 빼면 압력수두가 된다. 그림에서 상류수위차 5m, 전체 등수두선 수와 A점까지 통과한 등수두선 수, A점의 위치(6m 지점)를 적용하여 계산하면 압력수두 6.67m가 얻어지고, 간극수압 u = γ_w×h_p = 1×6.67 = 6.67t/m²가 된다.

연약지반에 성토 후 말뚝을 시공하면, 성토 하중으로 인한 지반의 압밀침하가 말뚝 주변에서 계속 진행된다.

이때 지반이 말뚝보다 더 많이 침하하면서 말뚝을 아래로 끌어내리는 방향의 마찰력, 즉 부의 주면마찰력(부마찰력)이 발생한다.

부마찰력은 말뚝이 지지해야 할 하중처럼 작용하므로 말뚝의 지지력은 오히려 감소하는 결과를 가져온다.

Terzaghi의 수정지지력공식에서 직사각형 기초의 형상계수는 단변 B와 장변 L의 비로 결정된다.

$\alpha = 1 + 0.3\dfrac{B}{L},\quad \beta = 0.5 - 0.1\dfrac{B}{L}$

4m×5m 기초는 $B/L = 4/5 = 0.8$이므로 $\alpha = 1 + 0.3 \times 0.8 = 1.24$, $\beta = 0.5 - 0.1 \times 0.8 = 0.42$가 된다.

느슨한 상태에서 다져진 상태로 변할 때의 간극비 변화량을 상대밀도 식으로 구한 뒤, 두께 감소량으로 환산한다.

$D_r = \dfrac{e_{max}-e}{e_{max}-e_{min}}$에서 $D_r=40\%$일 때 $e_1 = 0.80 - 0.40\times(0.80-0.40) = 0.64$, $D_r=70\%$일 때 $e_2 = 0.80 - 0.70\times(0.80-0.40) = 0.52$이다.

두께 감소량은 $\Delta H = H\times\dfrac{e_1-e_2}{1+e_1} = 200\times\dfrac{0.64-0.52}{1+0.64} \approx 14.6\ \mathrm{cm}$가 된다.

지표까지 완전히 포화된 무한사면에서는 침투수압을 고려한 수중단위중량 기준 안전율 식을 적용한다.

$F_s = \dfrac{\gamma_{sub}}{\gamma_{sat}} \times \dfrac{\tan\phi}{\tan\beta}$, 여기서 $\gamma_{sub} = \gamma_{sat}-\gamma_w = 1.8-1.0 = 0.8\ \mathrm{t/m^3}$

$F_s = \dfrac{0.8}{1.8}\times\dfrac{\tan 33^\circ}{\tan 25^\circ} \approx 0.444\times1.393 \approx 0.62$로, 1보다 작아 사면이 불안정한 상태이다.

사질토 지반은 기초 모서리 부분에서 지지력이 상대적으로 작고 중앙부에서 크다는 특징이 있다.

모서리 부근의 흙은 구속압이 낮아 파괴되기 쉬워 응력을 적게 부담하는 반면, 중앙부는 주변 흙의 구속효과로 응력을 더 많이 받는다.

그 결과 강성기초의 접지압 분포는 중앙부에서 최대 응력이 나타나는 포물선 형태가 된다(점성토 지반과는 반대 경향).

말뚝의 지지력 공식은 크게 흙의 강도정수로부터 계산하는 정역학적 공식과, 항타 시 에너지·관입량으로 추정하는 동역학적 공식으로 나뉜다.

• Dörr, Terzaghi, Meyerhof의 공식은 지반의 전단강도 정수를 이용해 지지력을 계산하는 정역학적 공식이다.
• Engineering-News 공식은 항타 에너지와 관입량을 이용하는 동역학적 공식으로, 정역학적 공식에 해당하지 않는다.

평판재하시험에서 구한 허용지지력은 항복강도와 극한강도 각각으로부터 안전율을 적용해 산정한 값 중 작은 쪽을 택한다.

일반적으로 항복강도의 1/2과 극한강도의 1/3 두 값을 비교하여, 더 작은 값을 최종 허용지지력으로 결정한다.

다짐에너지가 커지면 흙 입자가 더 조밀하게 배열되어 최대건조단위중량은 커지고, 최적함수비는 오히려 작아진다.

따라서 다짐에너지가 클수록 최적함수비가 커진다는 설명은 실제 경향과 반대이므로 옳지 않다.

• 최적함수비보다 건조측(작은 함수비)으로 다지면 입자가 무질서하게 배열되는 면모구조를 갖는다.
• 투수계수는 최적함수비 부근에서 흙이 가장 조밀해지므로 최소값을 나타낸다.

A점의 전단강도는 7.39t/m²이다.

그림의 지층은 지표에서 2m까지 γ_t=1.8t/m³인 습윤층, 그 아래 4m가 γ_sat=2.0t/m³인 포화층이고 지하수위는 깊이 2m에 있으며 A점은 지표에서 6m 깊이의 층 바닥에 있다.

전응력 σ = 1.8×2 + 2.0×4 = 11.6t/m²
간극수압 u = 1.0×4 = 4.0t/m²
유효응력 σ′ = 11.6 − 4.0 = 7.6t/m²

Mohr-Coulomb 식에 유효응력을 넣으면 τ = c + σ′tanφ = 3 + 7.6×tan30° = 3 + 4.39 = 7.39t/m²이다.

핵심은 지하수위 아래에서는 반드시 유효응력으로 계산한다는 것이다. 간극수압을 빼지 않고 전응력을 그대로 대입하면 강도가 과대평가되는데, 예컨대 6m 전 깊이에 γ_sat=2.0t/m³을 적용해 σ=12.0t/m²으로 두면 3 + 12.0×tan30° = 9.93t/m²이라는 값이 나온다.

시료의 부피를 구한 뒤 습윤단위무게를 계산하고, 함수비를 이용해 건조단위무게로 환산한다.

부피 $V = \dfrac{\pi}{4}\times 5^2\times 10 \approx 196.35\ \mathrm{cm^3}$이므로 습윤단위무게는 $\gamma_t = \dfrac{350}{196.35} \approx 1.78\ \mathrm{g/cm^3}$이다.

따라서 건조단위무게는 $\gamma_d = \dfrac{\gamma_t}{1+w} = \dfrac{1.78}{1.40} \approx 1.27\ \mathrm{g/cm^3}$가 된다.

보강띠에 작용하는 최대힘은 최대깊이에서의 토압에 보강재의 부담면적(연직·수평 설치간격)을 곱해 구한다.

주동토압계수는 $K_a = \tan^2\left(45^\circ-\dfrac{\phi}{2}\right) = \tan^2 30^\circ \approx 0.333$이고, 최대깊이(8m)에서의 연직응력은 $\sigma_v = \gamma_t H = 1.9\times 8 = 15.2\ \mathrm{t/m^2}$이다.

따라서 $T_{max} = K_a\sigma_v \times S_v \times S_h = 0.333\times15.2\times0.5\times1.0 \approx 2.53\ \mathrm{t}$가 된다.

최근 매립되어 압밀이 끝나지 않은 포화 점성토에 시공 직후의 단기(초기) 안정을 검토하는 경우이므로, 압밀도 배수도 허용하지 않는 비압밀비배수(UU) 시험으로 강도정수를 구한다. 장기(압밀 후) 안정 검토에는 CD 시험을 쓴다.

규소판-알루미나판-규소판이 겹친 2:1형(3층) 구조가 반복되는 점토광물 중, 층 사이가 칼륨이온(K⁺)으로 결합된 것은 일라이트(illite)이다.

• 몬모릴로나이트는 같은 2:1구조이지만 층 사이 결합력이 약해 물 분자가 쉽게 침투하여 팽창성이 크다.
• 할로이사이트와 고령토(카올리나이트)는 2:1구조가 아닌 1:1형 구조의 점토광물이다.

Darcy 법칙에 따라 지하수 흐름량은 $Q = k \cdot i \cdot A$로 계산된다. 여기서 $k$는 투수계수, $i$는 동수경사, $A$는 흐름 단면적이다. 주어진 값: $k = 5 \times 10^{-2}$ ㎝/sec, $i = 1/10 = 0.1$, 모래층 두께 2m = 200㎝, 폭 1m = 100㎝이므로 $A = 200 \times 100 = 20,000$ ㎠이다. $Q = 5 \times 10^{-2} \times 0.1 \times 20,000 = 0.05 \times 0.1 \times 20,000 = 100$ ㎝³/sec이다. 이를 분단위로 환산하면 $Q = 100 \times 60 = 6,000$ ㎝³/min이다.

시간이 갈수록 여과유량이 줄어드는 우하향 감소 곡선 d가 정압 여과이다.

그림의 가로축은 여과지속시간, 세로축은 여과유량(여과속도)이며 네 곡선은 각각 유량이 계속 증가하는 직선(a), 증가하다 완만해지는 곡선(b), 처음부터 끝까지 일정한 수평선(c), 점차 감소해 완만해지는 곡선(d)이다.

정압 여과는 여과지의 손실수두(여과압력)를 일정하게 유지한 채 운전한다. 여과가 진행되면 여층에 탁질이 억류되어 여과저항이 계속 커지는데 압력을 더 올려 주지 않으므로 여과유량은 시간에 따라 감소할 수밖에 없다.

반대로 정속 여과는 저항이 커지는 만큼 손실수두를 키워 유량을 일정하게 유지하므로 수평선으로 나타나고, 시간이 지날수록 유량이 오히려 커지는 곡선은 여과 현상으로 설명되지 않는다.

유량조정조는 유입수량과 수질의 변동을 균등화하기 위한 시설로, 내부에 침전물이 가라앉지 않도록 교반시설을 설치하는 것이 원칙이다.

따라서 난류를 일으키는 교반시설을 하지 않도록 한다는 설명은 실제와 반대이므로 옳지 않다.

유효수심 3~5m, 직사각형 또는 정사각형 형상, 시간변동을 고려한 저류용량 산정은 모두 일반적인 설계기준에 해당한다.

등치관이란 관경은 서로 다르지만, 동일한 유량이 흐를 때 손실수두가 서로 같아지는 관을 의미한다.

관망 해석 시 복잡한 분기관을 하나의 등가 직선관으로 치환할 때 이 개념을 활용한다.

하수도정비기본계획에서 하수도계획의 목표연도는 원칙적으로 20년으로 한다.

다만 상위계획이나 관련계획과의 정합성, 재정여건 등을 고려해 목표연도를 조정할 수 있다.

DO Sag Curve에서 산소복귀율(재폭기 속도)은 DO 농도가 낮을수록 크고, DO 농도가 포화에 가까워질수록 감소한다. 복귀율이 최대에서 감소로 전환되는 지점은 복귀율 함수의 도함수가 0이 되는 점, 즉 변곡점(inflection point)이다. 이 점에서 곡선의 기울기 변화가 최대에서 최소로 전환되며, 임계점(최저 DO점)은 별개의 지점이다.

관로 일부가 동수경사선보다 높으면 그 구간에서 부압(음압)이 발생해 문제가 되므로, 동수경사선을 관로보다 위로 끌어올리는 조치가 필요하다.

상류 측 관경을 크게 하면 마찰손실수두가 줄어 동수경사선이 완만해져 위로 올라가고, 하류 측은 관경을 작게 하여 필요한 손실수두를 확보한다.

SVI(슬러지용적지표)는 폭기조 혼합액 1L를 30분간 정치시킨 후, 침전된 슬러지 1g의 MLSS가 차지하는 부피(mL)로 정의된다.

침전슬러지량 100mL 중에 포함된 MLSS를 그램수로 나타낸 것이라는 설명은 SVI가 아니라 그 역수 개념인 SDI(슬러지밀도지표)에 해당하므로 옳지 않다.

일반적으로 SVI가 50~150이면 침전성이 양호하고, 200 이상이면 슬러지 팽화(bulking)가 의심된다.

두 수체가 합류할 때의 혼합농도는 각 유량과 농도의 가중평균(물질수지)으로 구한다.

$C_{mix} = \dfrac{Q_1C_1+Q_2C_2}{Q_1+Q_2} = \dfrac{100000\times2+1000\times100}{100000+1000}$

계산하면 $C_{mix} = \dfrac{300000}{101000} \approx 2.97\ \mathrm{mg/L}$가 된다.

계획급수인구를 추정하는 로지스틱(logistic) 곡선식은 시간이 지날수록 인구 증가율이 둔화되어 일정 값에 수렴하는 형태로 인구를 예측하는 이론곡선이다.

이 식에서 시간이 충분히 지나 인구 y가 수렴하는 상한값이 바로 K이며, 이는 해당 지역이 궁극적으로 도달할 수 있는 포화인구를 의미한다.

펌프의 소요동력은 수동력을 전동기 효율과 펌프 효율로 나누어 구한다.

$P = \dfrac{9.8\times Q\times H}{\eta_{모터}\times\eta_{펌프}} = \dfrac{9.8\times0.3\times25.0}{0.80\times0.85}$

계산하면 $P = \dfrac{73.5}{0.68} \approx 108\ \mathrm{kW}$로, 약 107.9kW 수준의 전동기 출력이 필요하다.

성층현상은 호소의 수심에 따라 수온 차이로 물의 밀도가 달라지면서 층을 이루는 현상이다.

표층은 태양열로 데워져 밀도가 낮고, 심층은 상대적으로 차고 밀도가 높아 상하 혼합이 일어나지 않는 안정한 층상구조가 형성된다.

하수관거 직선부에서 맨홀의 최대간격은 관경에 따라 표준으로 정해져 있다.

관경 600mm 초과 1000mm 이하인 경우 최대간격 100m를 표준으로 하며, 이는 관경 600mm 이하(75m), 1000mm 초과 1500mm 이하(150m), 1650mm 이상(200m) 기준과 구분된다.

침전지가 이론상 100% 제거할 수 있는 입자의 최소 침전속도는 표면부하율(수면적부하)과 같다.

병렬로 운영되는 침전지 1지의 유량은 $Q = \dfrac{50000}{2} = 25000\ \mathrm{m^3/d}$, 표면적은 $A = 10\times40 = 400\ \mathrm{m^2}$이다.

따라서 최소 침전속도는 $V_0 = \dfrac{Q}{A} = \dfrac{25000}{400} = 62.5\ \mathrm{m/d}$가 된다.

압력수조식은 밀폐된 탱크에 압축공기를 이용해 압력을 가하는 방식으로, 고가수조식에 비해 압력 변동 폭이 크다는 단점이 있다.

따라서 최고·최저 압력차가 적고 수압 변동 폭이 적다는 설명은 실제와 반대이므로 옳지 않다.

공기압축기로 수시로 공기를 보급해야 하고, 취급이 어려워 고장이 잦으며, 저수량이 비교적 적다는 점은 압력수조식의 실제 특징이다.

분류식 하수도는 오수관과 우수관을 별도로 매설하는 방식으로, 우수관에는 오수가 섞이지 않으므로 강우 시 수세효과를 기대하기 어렵다.

따라서 우천 시에 수세효과가 있다는 설명은 옳지 않으며, 이는 오히려 합류식 하수도의 특징이다.

반면 관 구별이 불명확하면 오접 우려가 있고, 강우 초기 오염된 우수가 바로 하천에 유입되며, 우수관과 오수관이 분리되어 있어 월류 우려가 없다는 점은 분류식의 실제 특징이다.

BOD(생물화학적 산소요구량)는 수중 유기물이 호기성 미생물에 의해 20℃에서 5일간 분해될 때 소비되는 산소량을 ppm으로 나타낸 것이다.

따라서 혐기성 미생물에 의해 3일간 분해된다는 설명은 실제와 다르므로 옳지 않다.

DO는 온도가 높을수록 용해도가 낮아져 농도가 감소하며, COD와 잔류염소에 대한 설명은 정의에 부합한다.

이 지역의 강우강도는 I = 3000/(t+20)으로 표시된다.

그림은 가로축 강우지속시간 t, 세로축 강우강도의 역수 1/I 인 직선으로 기울기 1/3000, 세로축 절편 1/150이 표시되어 있다. 따라서 직선식은 1/I = t/3000 + 1/150 이다.

우변을 3000으로 통분하면
1/I = t/3000 + 20/3000 = (t+20)/3000
양변을 역수로 뒤집으면 I = 3000/(t+20)

Talbot형 I = a/(t+b)에서 a는 기울기의 역수(3000), b는 절편을 기울기로 나눈 값((1/150)÷(1/3000) = 20)이다. 분자와 분모의 수를 서로 바꾸거나 절편 값을 그대로 b에 쓴 식은 이 직선을 만족하지 않는다.

우수조정지는 하수관거·방류수로·펌프장 등 하류 시설의 유하(처리) 능력이 부족한 지점에 설치하여 첨두유량을 저류·조절하는 시설이다.

반면 토사의 이동이 부족한 장소는 우수조정지 설치가 필요한 이유(수리적 능력 부족)와 직접 관련이 없으므로 설치장소 선정 기준으로 적절하지 않다.

Freundlich 등온식 $\dfrac{X}{M} = KC^{1/n}$을 이용해 활성탄 주입률과 잔류농도의 관계를 구한다.

초기농도를 100으로 두면, 5% 주입 시 제거율 75%(잔류 25), 10% 주입 시 제거율 96.5%(잔류 3.5)이므로 두 식을 비교해 $1/n \approx 0.224$, $K \approx 7.29$를 구할 수 있다.

이를 잔류농도 0.5%(제거율 99.5%) 조건에 대입하면 필요한 활성탄 주입률은 $M \approx \dfrac{99.5}{K\times0.5^{1/n}} \approx 16\%$로 계산된다.

계획시간최대오수량은 계획 1일 최대오수량의 1시간당 수량을 기준으로, 그 1.3~1.8배를 표준으로 산정한다.

따라서 계획 1일 평균오수량의 1시간당 수량의 0.9~1.2배라는 설명은 기준이 되는 수량과 배율이 모두 실제와 다르므로 옳지 않다.

지하수량을 1인1일최대오수량의 10~20%로 보는 것, 계획1일평균오수량을 계획1일최대오수량의 70~80%로 보는 것, 계획1일최대오수량 산정식은 모두 일반적인 기준에 해당한다.