19년 2회차

모든 실수 $x$에 대하여
등식 $(1-2x+x^{2})^{5}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{9}x^{9}+a_{10}x^{10}$
이 성립할 때, $a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}$의 값은?
(단, $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{9}$, $a_{10}$은 상수이다.)

다항식 $P(x)$를 $x^{2}-3x-18$로 나누면 나머지가 $2x-3$
이다. $P(3x)$를 $x-2$로 나누었을 때, 나머지는?

등식 $x(1+2i)-(y+5)i=3$을 만족하는 실수 $x$, $y$에
대하여 $x+y$의 값은? (단, $i=\sqrt{-1}$)

$x$에 대한 이차방정식 $k^{2}+(6+2x)k+x^{2}+2ax-9b=0$이
실수 $k$의 값에 관계 없이 항상 중근을 가질 때, 실수
$a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값은?

원 $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼,
$y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하였더니
원 $x^{2}+y^{2}=c$가 되었다. 이때, 세 실수 $a$, $b$, $c$에
대하여 $a+b+c$의 값은?

점 $(k,\ 1)$에서 두 직선 $-x+2y-3=0$, $2x-y+5=0$에
이르는 거리가 같도록 하는 모든 실수 $k$의 값들의 합은?

원 $x^{2}+y^{2}+2x+4y-13=0$ 위의 점에서
직선 $y=-x+5$에 이르는 거리의 최솟값을 $k$라 할 때,
$k^{2}$의 값은?

전체집합 $U=\{x\mid -3\le x\le 3,\ x\text{는 정수}\}$에 대하여
두 조건 $p$, $q$가
$p:x^{3}+2x^{2}-x-2=0$, $q:x^{2}+2x-3=0$일 때,
‘$p$이고 $\sim q$’의 진리집합에서 모든 원소의 합은?

두 함수 $f(x)=x+3a$, $g(x)=bx+c$에 대하여
$f^{-1}(3)=0$, $(g\circ f^{-1})(x)=5x-4$가 성립할 때,
$a+b+c$의 값은? (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.)

$0\le x\le 4$일 때, 함수 $y=\frac{3x+1}{x+1}$의 최댓값과 최솟값의
합은?

수열 $\{a_{n}\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의
합 $S_{n}=n^{2}+n$일 때, $\sum_{n=1}^{12}\frac{13}{a_{n}a_{n+1}}$의 값은?

실수 $x$, $y$에 대하여 $5^{x}=9$, $15^{y}=27$일 때,
$\frac{2}{x}-\frac{3}{y}$의 값은?

각 항이 실수인 등비수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $a_{4}=\frac{80}{3}$,
$a_{5}+a_{6}=160$일 때, 수열 $\{a_{n}\}$의 공비 $r$은? (단, $r\gt 0$)

한 개의 주사위를 5번 던질 때, $k$번째 나오는 눈의
수를 $a_{k}(k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$라고 하자.
이때, $a_{1}\le a_{2}=a_{3}\le a_{4}\le a_{5}$인 경우의 수는?

$A={{}_{8}C_{0}}+7{{}_{8}C_{1}}+7^{2}{{}_{8}C_{2}}+\cdots+7^{8}{{}_{8}C_{8}}$이라고 할 때,
$\log_{4}A$의 값은?

이항분포 $\mathrm{B}(20,\ p)$를 따르는 확률변수 $X$에 대하여
$\mathrm{E}(2X+1)=9$일 때, $\mathrm{E}(X^{2})$의 값은?

수열 $\{a_{n}\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
부등식 $3n^{2}-1\le na_{n}\le 3n^{2}+2$을 만족할 때,
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}+n+2}{2n+1}$의 값은?

급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}+4^{n}}{5^{n}}$의 값은?

다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{2x^{2}+3x-1}=1$,
$\lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x^{2}-3x+2}=4$가 성립할 때, $f(3)$의 값은?

함수 $f(x)=x^{2}-2x-5$에 대하여
$\lim_{x\to 1}\frac{1}{x^{2}-1}\int_{1}^{x}f(t)dt$의 값은?